PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - gvhieu.files.wordpress.com · PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011 Tổng hợp

PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011

Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ

Các phương trình sin x m , cos x m có nghiệm khi | | 1m và vô nghiệm khi | | 1m

Phương trình tan x m Điều kiện:2

x k

; đặt tan m

Phương trình cot x m Điều kiện x k ; đặt cot m

2. Bài tập có lời giải

1. Giải các phương trình sau:

a)3

sin 32

x b) 2cos(2 ) 26

x

c)3tan( ) 36

x

d)sin5 cos2x x

2. Giải phương trình: 2tan tan tan3 2x x x (2)

Điều kiện: cos 0

cos3 0

x

x

(2)sin( 3 ) sin 2

tan (tan tan3 ) 2 tan 2 tan 2cos cos3 cos cos3

x x xx x x x x

x x x x

22sin 2sin cos sin

2 1 sin cos cos3cos cos cos3 cos cos3

x x x xx x x

x x x x x

cos2 1 cos4 cos2 cos4 1 4 2 ( )4 2

x x x x x k x k k

Ta thấy4 2

x k

thỏa yêu cầu điều kiện bài toán.

Vậy nghiệm của phương trình là 4 2

x k

( k )

3. Giải phương trình cos3 tan5 sin7x x x (3)

Điều kiện cos5 0x (*)

(3)sin5 1 1

cos3 sin 7 cos3 sin5 sin 7 cos5 (sin8 sin 2 ) (sin12 sin 2 )cos5 2 2

xx x x x x x x x x x

x

2sin12 sin8 ( )

20 10

x k

x x k

x k

2sin ( , sin )

2

x kx m k m

x k

2sin sin

2

u v ku v k

u v k

2cos ( , cos )

2

x kx m k m

x k

2cos cos

2

u v ku v k

u v k

tan tan ( )x x k k tan tanu v u v k k

cot cot ( )x x k k cot cotu v u v k k



Kiểm tra điều kiện:

Với 2

x k

thay vào (*) ta có: cos 5 02

k k

phải là số chẵn. Đặt 2 ( )k m m

22 2

x k m m

( )m

Với 20 10

x k

thay vào (*) ta có: cos5 0 cos 020 10 4 2

k k

Nếu k là số chẵn k=2n cos 04

n

luôn đúng.

Nếu k là số lẻ thì k=2n+13

cos (2 1) cos 04 2 4

n n

luôn đúng.

Vậy nghiệm của phương trình là ( , )

20 10

x m

k mx k

4. Giải phương trình tan cot 4x x (4)

Điều kiện: sin 0

sin cos 0 sin 2 0 ( )cos 0 2

xx x x x k k

x

(4)sin cos 1 1 1

4 4 sin cos sin 2cos sin sin cos 4 2

x xx x x

x x x x

12( )

512

x kk

x k

5. Giải phương trình 22sin3 1 4sin 1x x (5)

(5) 2 22sin3 1 4(1 cos ) 1 2sin3 (4cos 3) 1x x x x

Ta dễ thấy cosx=0 không phải là nghiệm. Nên nhân 2 vế cho cosx ta có: 32sin3 (4cos 3cos ) cosx x x x

Áp dụng công thức nhân ba: 3cos3 4cos 3cosa a a ta được:

2

14 72sin 3 cos3 cos sin 6 cos cos 6 cos ( )

22

10 5

x k

x x x x x x x k

x k

6. Giải phương trình 1

cos cos 2 cos 4 cos816

x x x x (6)

Ta dễ thấy sinx=0 không là nghiệm của (6). Nhân 2 vế của (6) với 16sinx ta được:

(6)2sin 0 sin 0

( , )1516sin cos cos 2 cos 4 cos8 sin sin16 sin

2

17 17

x k

x x x mk m

x x x x x x x x

x m

2 15

715 2 2

k km k m k

Vì | 152 2

k km p p m p



2 1

817 17 2

km k m k

Vì 1 1

| 17 82 2

k km q q m q

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

2, 15 ,

15

2, 17 8,

17 17

x m m p p

x m m q q

7. Giải phương trình 4 4sin cos 1

(tan cot )sin 2 2

x xx x

x

(7)

Điều kiện sin 2 0x

(7)2 2

2 21 2sin cos 1 11 sin 2 1 sin 2 0 sin 2 0

sin 2 sin 2 2

x xx x x

x x

(vi phạm điều kiện)

Vậy phương trình vô nghiệm.

2.8 Giải phương trình 25 3sin 4cos 1 2cosx x x (8)

Điều kiện: 1

1 2cos 0 cos2

x x

(8) 2 2 25 3(1 cos ) 4cos 1 4cos 4cos cos 1 cos 1 2 ,x x x x x x x k k

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

1.1 tan cot 2(sin 2 cos2 )x x x x ĐS: ;8 2 4 2

x m x m

1.2 2 2cot tan

16(1 cos 4 )cos 2

x xx

x

ĐS:

16 8x k

1.3 2 3cos10 2cos 4 6cos3 cos cos 8cos cos 3x x x x x x x

Hd: đặt nhân tử chung, cung nhân ba, tích thành tổng, hạ bậc… ĐS: 2x k

1.4 3 31sin cos cos sin

4x x x x ĐS:

8 2x k

1.5 6 6sin cos cos4x x x ĐS: 2

x k

1.6 4 4 7sin cos cot cot

8 3 6x x x x

ĐS:

12 2x k

1.7 sin cot 5

1cos9

x x

x ĐS:

4, ;

4 5 20 10

kx m m x m

1.8 3 3 3sin cos3 cos sin3 sin 4x x x x x ĐS: 12

x k

1.9 1 1

2sin3 2cos3sin cos

x xx x

ĐS: ;4 2 12 3

x k x k

1.10 3 3 2cos cos3 sin sin3

4x x x x ĐS:

8x k



1.11 1 tan 2 2 sinx x ĐS:2

4 3x k

1.12 cos sin 2 cos3x x x ĐS:

1.13 23sin 2 2cos 2 2 2cos2x x x ĐS:2

x k

1.14 3 3(1 tan )cos (1 cot )sin 2sin 2x x x x x ĐS: 4

x m

1.15 3 3 3 3sin cos sin cot cos tan 2sin 2x x x x x x x

(Hd: Đặt nhân tử chung, BĐT Cauchy… ĐS: 24

x k

1.16 (2cos 1)(sin cos ) 1x x x ĐS:2

2 ,6 3

x k x k

1.17 22sin 3 1 8sin 2 cos 24

x x x

ĐS:5

2 ; (2 1)12 12

x k x k

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC


Phương trình bậc hai đối với một số lượng giác có dạng: 2 0 ( 0)at bt c a

Trong đó {sin ,cos , tan ,cot }t u u u u

Cách giải: Đặt điều kiện (nếu có), đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có). Giải pt bậc 2


1. Giải phương trình 22sin 2 3sin 2 1 0x x (1)

Đặt sint x điều kiện 1t .Ta có:

(1) 22 3 1 0t t

2 26 12

1 1sin 2 7

2 22 26 12

1 ( sin 2 1

2 242

(nhaän)

nhaän)

x k x k

t xx k x k

t x

x kx k

2. Giải phương trình 2 24sin 2 6sin 3cos2 9 0x x x (2)

2 21 cos2(2) 4(1 cos 2 ) 6 3cos2 9 0 2cos 2 3cos2 1 0

2

xx x x x

2 2cos 2 12

212 2cos 2

323

x kx x k

x kxx k

3. Giải phương trình 1 1 2

cos sin 2 sin 4x x x (3)

Điều kiện

cos 0

sin 2 0 sin 4 04

sin 4 0

x

x x x k

x



1 1 2 1 1(3) 1

cos 2sin cos 4sin cos cos 2 2sin 2sin cos 2x x x x x x x x x

2

sin 1

2sin sin 1 0 1sin

2

22

2 26 6

x

x xx

x k

x k x k

4. Giải phương trình 3(tan cot ) 2(2 sin 2 )x x x (4)

Điều kiện cos 0

sin 2 0sin 0

xx

x

Ta có sin cos 1 2

tan cotcos sin sin cos sin 2

x xx x

x x x x x nên

2sin 2 12

(4) 3. 2(2 sin 2 ) sin 2 2sin 2 3 0sin 2 3 (sin 2 voâ nghieäm)

xx x x

xx

2 2 ( )2 4

x k x k k

5. Giải phương trình 2 24sin 3tan 1x x (5)

Điều kiện 2

x k

(5) 2 2 2 2 2 2 24sin cos 3sin cos sin 2 3(1 cos ) cos 0x x x x x x x

2 2 2 21 cos2sin 2 4cos 3 0 1 cos 2 4 3 0 cos 2 2cos2 2 0

2

xx x x x x

cos 2 1 3 1

arccos( 1 3) ( )2cos 2 1 3 (voâ nghieäm)

xx k k

x



2.1 2cos (2sin 3 2) 2cos 1

11 sin 2

x x x

x

ĐS: 2

4x k

2.2 1

tan cotcos

x xx

ĐS: 7

26

x k

2.3 2 2 2 2 3cos cos 2 cos 3 cos 4

2x x x x ĐS:

1 1 5arccos

8 4 2 2

kx x k

2.4 35sin 5cos sin

2 2

x xx ĐS:

1 212 arccos 2

10x k x m

2.5 2sin (3 2 2cos ) 2sin 1

11 sin 2

x x x

x

ĐS:

3

4 4x k x m

2.6 tan tan 2 sinx x x ĐS: x k

2.7 2cos2 sin 2cos 1 0x x x ĐS: (2 1)x k



2.8 5cos cos2 2sin 0x x x ĐS: 3

x k

2.9 sin3 2cos2 2 0x x ĐS: 5

2 26 6

x k x k x k

2.10 23cos4 2cos 3 1x x ĐS: 1 1 21

arccos2 4

x k x m

2.11 3 2cos sin 3sin cos 0x x x x ĐS: arctan(1 2)4

x k x m

2.12 2 32cos 1 3cos 2

2

xx ĐS:

1 212 arccos 2

4x k x k

2.13 cos cos4 cos2 cos3 0x x x x ĐS: 1 1 17

arccos2 2 8

x k x m

2.14 34cos 3 2 sin 2 8cosx x x ĐS: 3

; 2 ; 22 4 4

k m l

2.15 1 sin 2 1 sin 2

4cossin

x xx

x

ĐS: ;

6 3k m

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX sin cosa x b x c


Phương trình có dạng 2 2sin cos (1) ( 0)a x b x c a b

(Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2a b c )

CÁCH GIẢI:

Cách 1:

Biến đổi biểu thức sin cosa x b x về dạng sin( )C x hoặc cos( )C x trong đó:

2 2 2 22 2

2 2 2 2

cos sin

sin cos

a a

a b a bC a b

b b

a b a b

Khi đó ta có (1) sin( )C x c hoặc cos( )C x c . Đây là phương trình lượng giác cơ bản.

Cách 2:

sin cos sin cosb c

a x b x c x xa a

( chia 2 vế cho a)

Đặt tanb

a , khi đó ta có: sin cos sin tan .cos

b c cx x x x

a a a

sin cos cos sin cos sin cosc c

x x xa a

(PT cơ bản)


1. Giải phương trình 3sin 3 cos 3x x (1)

(1)3 1 3 3

3sin cos 3 sin cos sin sin cos cos2 2 2 3 3 2

x x x x x x



2 23 3 6 2

cos cos ( )3 2 6

2263 6

x k x k

x k

x kx k

2. Giải phương trình 3 cos2 sin 2 2x x (2)

3 1 2(2) cos 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos

2 2 2 6 6 4x x x x

2 26 4 24

cos 2 cos56 4

2 26 4 24

x k x k

x

x k x k

3. Giải phương trình 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x (3)

2 1 cos2(3) 2 2 sin cos 2 2 cos 3 cos2 2 sin 2 2 2 3 cos2

2

xx x x x x x

2 sin 2 ( 2 1)cos2 3 2x x

Ta thấy: 2 2 2 2

2 2 2

2 2

( 2) ( 2 1) 5 2 2

(3 2) 11 6 2

a ba b c

c

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.



3.1 4sin 2 3cos2 12sin 3x x x ĐS: k

3.2 2 2cos sin 3sin 2 1x x x ĐS: ;3

k k

3.3 4 44 cos sin 3sin 4 2x x x ĐS: ;4 2 12 2

k k

3.4 33sin3 4sin 3 3cos9 1x x x ĐS:2 7 2

;18 9 54 9

k k

3.5 4 4 1sin cos

4 4x x

ĐS:

( 1) 1

8 2

k

k

3.6sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x ĐS: 2 ; 26 2

k k

3.7 Cho phương trình cos 2 2 sin 1x x m

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để phương trình có nghiệm thuộc 0;3

3.8 Cho phương trình sin cos 1x m x

a) Giải phương trình khi 3m

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

3.9 Tìm m để phương trình 2 22sin sin 2 2(2 )cos 4x m x m x có nghiệm thuộc ;4 2



IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 2 2 2 2 2sin sin cos cos ( 0)a x b x x c x d a b c

Cách giải 1:

Kiểm tra xem cos 0x có phải là nghiệm hay không. Nếu phải thì 2

x k

là họ nghiệm.

Với cos 0x , chia hai vế phương trình đã cho ta được phưng trình bậc hai theo tanx: 2 2tan tan (1 tan )a x b x c d x

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc để đưa về dạng bậc nhất theo sinx, cosx



4.1 2 24sin 3 3sin 2 2cos 4x x x

4.2 2 22sin 3sin 2 4cos 3 2x x x

4.3 3 2 3sin 2sin cos 3cos 0x x x x

4.4 2 23cos 2sin 2 sin 2 3x x x

Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm

4.5 2 2sin sin 2 3 cos 1m x x m x

4.6 2 2 2( 2)cos 4 sin cos 3m x m x x m

4.7 2 2cos sin cos 2sinx x x x m

V. PHƯƠNG TRÌNH (sin cos ) sin cosa x x b x x c

Cách giải:

Đặt sin cos 2 sin( )4

t x x x

đk: 2t

22 1

1 2sin cos sin cos2

tt x x x x

Thay vào phương trình đã cho, ta được:

2

212 2 1 0

2

tat b c bt at c

Ví dụ 1: Giải phương trình 3(sin cos ) 2sin 2 3 0 (1)x x x

a) sin cos 2 sin( )4

t x x x

. Điều kiện | | 2t

Ta có:2

21sin 2 2sin cos 2 1

2

tx x x t

2 2

22

21 2 sin( ) 14

(1) 3 2( 1) 3 0 2 3 1 0 11arcsin( ) 21

2 sin( ) 42 224 2

1arcsin( ) 2

42 2

x k

x kt x

t t t tx kt

x

x k



Ví dụ 2: Giải phương trình sin cos 4sin cos 1 0 (2)x x x x

a) sin cos 2 sin( ), | | 24

t x x x t

22 2 1

(sin cos ) 1 2sin cos sin cos2

tt x x x x x x

221

(2) 4 1 0 2 3 02

tt t t

1

2 sin( ) 134(

2loaïi)

t

xt

22

sin( ) 34 2 2

2

x k

xx k

VI MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Những phương trình lượng giác cơ bản, những phương trình lượng giác mẫu mực được

trình bày trong mục 5. đã có phương pháp giải rõ ràng và cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế giải

toán chúng ta còn gặp rất nhiều phương trình lượng giác khác không nằm trong những dạng trên

và không có phương pháp vạn năng nào chung cho mọi trường hợp. Dù vậy, chúng ta có thể nêu

ra một vài phương pháp chung cho việc giải những phương trình lượng giác.

a) Biến đổi phương trình đã cho về những phương trình lượng giác cơ bản, mẫu mực mà

ta đã biết cách giải. (quy lạ về quen)

Ví dụ: Giải phương trình cos5 sin 4 cos3 sin 2x x x x

1 1

sin(4 5 ) sin(4 5 ) sin(3 2 ) sin(2 3 )2 2

sin 9 sin sin 5 sin

9 5 2 2sin 9 sin 5

9 5 2

14 7

x x x x x x x x

x x x x

x kx x k

x xx x k

x k

b) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích (rất thường sử dụng)

Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng tích ( ) 0

( ). ( ) 0( ) 0

f xf x g x

g x

Ví dụ: Giải phương trình sin sin 2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x

sin 2 2sin 2 cos cos 2 2cos 2 cos

sin 2 (1 2cos ) cos 2 (1 2cos )

(sin 2 cos 2 )(1 2cos ) 0

sin 2 cos 2 cos( 2 ) cos 2sin 2 cos 2 0 8 22

11 2cos 0 1 2cos

cos 222 3

x x x x x x

x x x x

x x x

x x x kx xx x

x xx x k

Phương trình cơ bản



c) Đưa về cùng hàm lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều hàm lượng giác khác

nhau (sin ,cos ...x x ) thì biến đổi phương trình về phương trình mới mà trong đó chỉ còn lại

một hàm lượng giác. Lúc đó, có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác đó.

Ví dụ: Giải phương trình 2

3 1tan 2 1 (1)

cot 2 cos 2x

x x

Điều kiện:sin 2 0 2

cos 2 0

4 2

x kx

xx k

2 2(1) 3tan 2 1 tan 2 tan 2 6 tan 2 4tan 2 5 0 (2)x x x x x

Đặt tan 2t x

21 tan 2 1 8 2

(2) 4 5 05 tan 2 5 arctan 5

2 2

x kt x

t tt x

x k

d) Đưa về cùng một cung lượng giác: Nếu phương trình đã cho có nhiều cung lượng giác

khác nhau ( ,2 ,3 ...x x x ) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà tại đó chỉ

còn lại một cung lượng giác. Sau đó có thể dùng các công thức biến đổi lượng giác để đưa

về phương trình tích hay tìm cách đặt ẩn phụ…

Ví dụ: Giải phương trình 24cos sin 4 4cos2 2x x x

1 cos 24 2sin 2 cos 2 4cos 2 2

2

2 2cos 2 2sin 2 cos 2 4cos 2 2

2sin 2 cos 2 2cos 2 0

cos 2 0 4 22cos 2 (sin 2 1) 0

sin 2 1

4

xx x x

x x x x

x x x

x kx

x xx

x k

e) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng: 2 20

00

AA B

B

Ví dụ: Giải phương trình 2

2

1sin 2 2sin 2 2 tan 1 0

cosx x x

x

Điều kiện: cos 02

x x k



2

2

2 2

2 2

1sin 2 2sin 2 2 tan 1 0

cos

sin 2 2sin 2 1 tan 2 tan 1 0

(sin 2 1) (tan 1) 0

sin 2 1 0 sin 2 1

tan 1 0 tan 1 4

x x xx

x x x x

x x

x xx k

x x

f) Đánh giá các hàm hay biểu thức của phương trình:

2A B mA m

A mB m

B m

Ví dụ: Giải phương trình sin( ) cos( ) 2x y x y

Ta có:sin( ) 1, ,

sin( ) cos( ) 2 ,cos( ) 1, ,

x y x yx y x y x y

x y x y

Do đó: sin( ) cos( ) 2x y x y

2sin( ) 1 2 4 2

,2cos( ) 1

2 24 2

k lx

x y x y kk l

x y k lx y l y

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:

a)sin sin7 sin3 sin5x x x x b)sin5 cos3 sin9 cos7x x x x

c) cos cos3 sin 2 sin6 sin 4 sin6 0x x x x x x d)sin 4 sin5 sin 4 sin3 sin 2 sin 0x x x x x x

2. Dùng công thức biến đổi tổng thành tích để giải các phương trình sau:

a)sin5 sin3 sin 4x x x b)sin sin 2 sin3 0x x x

c) cos cos3 2cos5 0x x x d)cos22 3cos18 3cos14 cos10 0x x x x

3. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:

a) 2 2 2 3sin sin 2 sin 3

2x x x b) 2 2 2 2sin 3 sin 4 sin 5 sin 6x x x x

c) 2 2 2sin 2 sin 4 sin 6x x x d) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x

e) 2 2 2 3cos 3 cos 4 cos 5

2x x x f) 48cos 1 cos4x x

g) 4 4sin cos cos4x x x h) 2 2 23cos 2 3sin cos 0x x x


a) tan cot 3 03 6

x x

b)3 7

tan 2 cot 4 04 8

x x



c) tan 2 tan 13 2

xx

d)sin 2 2cot 3x x


a) tan 1 cos2x x b) 0 0 1tan( 15 )cot( 15 )

3x x

c)sin 2 2cos2 1 sin 4cosx x x x d) 4 43sin 5cos 3 0x x

e) 2(2sin cos )(1 cos ) sinx x x x f)1 sin cos2 sin cos2x x x x


a) tan cos sin 2 02

xx x b) 6 2 6sin 3sin cos cos 1x x x x

c) 3 3 2sin cos sin cos

8x x x x d) 2 2 3

sin sin cos 4 cos 44

x x x x

7. Biết rằng các số đo radian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình

2 3tan tan 0

2 3

xx . CMR tam giác ABC là tam giác đều.

8. Cho phương trình cos2 (2 1)cos 1 0x m x m

a) Giải phương trình với 3

2m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm 3

;2 2

x

9. Giải phương trình 2(2sin 1)(2sin 2 1) 3 4cosx x x

10. Giải các phương trình:

a)sin 2 12(sin cos ) 12 0x x x b) 3 3sin cos 1x x

11. Giải phương trình: 1 1 7

4sin3sin 4

sin2

xx

x

12. Giải phương trình: 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x

13. Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cosx x x x

14. Giải các bất phương trình sau:

a)1

sin 22

x b)sin cos 1x x

Documents

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - gvhieu.files.wordpress.com · PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011 Tổng hợp