PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

TRONG MẶT PHẲNG

1/ Phép Dời Hình ………………………………………………………………………. trang 2

2/ Phép Tịnh Tiến............................................................................................................ trang 5

3/ Phép Đối Xứng Trục……………………………………………………………….. trang 10

4/ Phép Đối Xứng Tâm……………………………………………………………… trang 18

5/ Phép Quay................................................................................................................. trang 22

6/ Hai hình bằng nhau………………………………………………………………… trang 30

7/ Phép Vị Tự…………………………………………………………………………. trang 32

8/ Phép Đồng Dạng…………………………………………………………………… trang 38

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Phép biến hình.

ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được

một điểm duy nhất điểm M của mặt phẳng. Điểm M gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.

Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M là ảnh của M qua phép f . Ta viết:

M f M hay f M M hay :f M M hay fM M .

Lưu ý : + Điểm M gọi là tạo ảnh, M là ảnh.

+ f là phép biến hình đồng nhất ,f M M M H . Điểm M gọi là điểm

bất động, điểm kép, bất biến.

+ 1 2,f f là các phép biến hình thì 2 1f f là phép biến hình.

Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M f M , với M H , tạo thành

hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: H f H .

2/ Phép dời hình.

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ,

tức là với hai điểm bất kì ,M N và ảnh ,M N của chúng, ta luôn có: M N MN .(Bảo toàn

khoảng cách)

3/ Tính chất (của phép dời hình):

ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không

thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.

HQ: Phép dời hình biến:

+ Đường thẳng thành đường thẳng.

+ Tia thành tia.

+ Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

+ Tam giác thành tam giác bằng nó. (Trực tâm trực tâm, trọng tâm

trọng tâm,…)

+ Đường tròn thành đường tròn bằng nó. (Tâm biến thành tâm:

,I I R R )

+ Góc thành góc bằng nó.

B . BÀI TẬP

x = 2x 11 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f: M(x;y) M = f(M) = .

y = y + 3

Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)

Giaûi :

a) A = f(A) = (1;5)

b) B =

I

f(B) = ( 7;6)

c) C = f(C) = (3; 1)

x = 2x y 12 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = .

y = x 2y + 3

Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2;

I

4)

Giaûi :

a) A = f(A) = (4;3)

b) B = f(B) = ( 4; 4)

c) C = f(C) = ( 7; 7)

3 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Ñaây coù phaûi laø pheùp dôøi

hình hay k

Ihoâng ?

1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

Giaûi : Laáy hai ñieåm baát kì M(x ;y ),N(x ;y )

Khi ñoù f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .

f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )

I

I

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

1 2

Ta coù : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )

Neáu x x thì M N MN . Vaäy : f khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình .

(Vì coù 1 soá ñieåm f khoâng baûo toaøn khoaûng caùch) .

4 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình :

a) f : M(x;y) M = f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) .

Pheùp bieán hình naøo treân ñaây laø pheùp dôøi hình ?

HD :

I I

1 2 a) f laø pheùp dôøi hình b) g khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ( vì x x thì M N MN )

5 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình :

a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) b) I

1

g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) .

Pheùp bieán hình naøo treân ñaây laø pheùp dôøi hình ?

Giaûi :

a) f laø pheùp dôøi hình b) g khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ( vì y y

I

2

thì M N MN )

6 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm aûnh cuûa ñöôøng

thaúng ( ) : x 3y 2 = 0 qua pheùp bieán hình f .

Giaûi :

Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä

I

xx = 2x x

Ta coù f : M(x;y) M = f(M) = 2y y 1

y y 1

x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0

2

Caùch 2 : Laáy 2 ñieåm baát kì M,N ( ) : M N .

+ M

I

( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1)

+ N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0)

II

Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ ( ) : x 6y 2 0

6 1VTCP : M N (6; 1)

2 2

7 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3 ;y 1) .

a) CMR f laø pheùp dôøi hình .

b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x

I

I 2 22) + (y 3) = 4

8 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3 ;y 1) .

a) CMR f laø pheùp dôøi hình .

b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng ( ) : x + 2y 5 = 0 .

c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x

I

2 2+ 1) + (y 2) = 2 .

2 2x y

d ) Tìm aûnh cuûa elip (E) : + = 1 .

3 2

1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

Giaûi : a) Laáy hai ñieåm baát kì M(x ;y ),N(x ;y )

Khi ñoù f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) .

f : N(x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1)

Ta coù : M N = (

I

I

2 2

2 1 2 1x x ) (y y ) = MN

Vaäy : f laø pheùp dôøi hình .

b) Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä

x = x 3 x x 3 Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =

y y 1 y y 1

Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (

I

) : x 2y 4 0

Caùch 2 : Laáy 2 ñieåm baát kì M,N ( ) : M N .

+ M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)

+ N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)

II

Qua M (2;1) x 2 y 1 ( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ( ) : x 2y 4 0

2 1 VTCP : M N ( 2;1)

Caùch 3 : Vì f laø pheùp dôøi hình neân f bieán ñöôøng thaúng ( ) thaønh ñöôøng thaúng (

) // ( ) .

+ Laáy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)

+ Vì ( ) // ( ) ( ) : x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ) : x 2y 4 0

c) Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä

I

2 2 2 2

x = x 3 x x 3 Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =

y y 1 y y 1

Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2

M (x ;y )

I

2 2

f 2 2

(C ) : (x 4) (y 3) 2

+ Taâm I( 1;2) + Taâm I = f [ I( 1;2)] ( 4;3) Caùch 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2

BK : R = 2 BK : R = R = 2

d) Duøng bieåu thöùc toaï ñoä

x = x 3 x x 3 Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =

y y 1 y y 1I

2 2 2 2 2 2x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1)

Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1

3 2 3 2 3 2

9 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .

a) CMR f laø pheùp dôøi hình .

b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng ( ) : x 2y 3

I

2 2

2

2 2 2

= 0.

c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .

d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y = 4x .

ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)

10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây

sai ?

I

A. f laø 1 pheùp dôøi hình B. Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A

C. M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh D. f [M(2;3)] ñöôøng thaúng 2x + y + 1 = 0

ÑS : Choïn C . Vì M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc tung C sai .

1 1 2 2

1 2

12 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình :

f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) .

Tìm toaï ñoä aûnh cuûa A(4; 1) qua f roài f , nghóa laø tì

I I

1 2

2 1

f f

m f [f (A)] .

ÑS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I

x11 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ?

2

A. f (O) = O (O laø ñieåm baát bieán) B. AÛnh cuûa A Ox thì

I

aûnh A = f(A) Ox .

C. AÛnh cuûa B Oy thì aûnh B = f(B) Oy . D. M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)

ÑS : Choïn D . Vì M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)

Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho

uMM .

Kí hieäu : T hay T .Khi ñoù : T (M) M MM uu u

Pheùp tònh tieán hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát vectô tònh tieán cuûa noù .

Neáu T (M) M , M thì T laø pheùp ñoàng nhaát .o o

2/ Biểu thức tọa độ: Cho u = (a;b) và phép tịnh tiến Tu

.

x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì

uy = y + b

I

3/ Tính chất:

ÑL : Pheùp tònh tieán baûo toaøn khoaûng caùch giöõa hai ñieåm baát kì .

HQ :

1. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng .

2. Bieán moät tia thaønh tia .

3. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng .

5. Bieán moät ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .

6. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho .

Bieán 7. tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâm tröïc taâm , troïng taâm troïng taâm )I I

8. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù .

(Taâm bieán thaønh taâm : I I , R = R )I

PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM

x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì

uy = y + b

I

PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .

Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: không đổi)

1/ Lấy M (H) M (H )I

2/ (H) ñöôøng thaúng (H ) ñöôøng thaúng cuøng phöông

Taâm I Taâm I (H) (C) (H ) (C ) (caàn tìm I ) .

+ bk : R + bk : R = R

II

Caùch 2 : Duøng bieåu thöùc toïa ñoä .

Tìm x theo x , tìm y theo y roài thay vaøo bieåu thöùc toïa ñoä .

Caùch 3 : Laáy hai ñieåm phaân bieät : M, N (H) M , N (H )I

B. BÀI TẬP

1 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M cuûa ñieåm M(3; 2) qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2;1) .

Giaûi

x 3 2 x 5Theo ñònh nghóa ta coù : M = T (M) MM u (x 3; y 2) (2;1)

uy 2 1 y 1

M (5; 1)

2 Tìm aûnh caùc ñieåm chæ ra qua pheùp tònh tieán theo vectô u :

a) A( 1;1) , u = (3;1)

A (2;3)

b) B(2;1) , u = ( 3;2)

B ( 1;3)

c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)

3 Trong mpOxy . Tìm aûnh A ,B laàn löôït cuûa ñieåm A(2;3), B(1;1) qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (3;1) .

Tính ñoä daøi AB , A B .

Giaûi

Ta coù : A = T (A) (5;4) , B = T (B)u u

1 2

1 2

(4;2) , AB = |AB | 5 , A B = |A B | 5 .

4 Cho 2 vectô u ;u . Gæa söû M T (M),M T (M ). Tìm v ñeå M T (M) .1 2 1 u 2 u 1 2 v

Giaûi

Theo ñeà : M T (M) MM u , M T (M ) M M1 u 1 1 2 u 1 1 2

u .2

Neáu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vaäy : v u + u2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2

5 Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A( 1;0) , caét Oy taïi B(0;2) . Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng laø aûnh

cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2; 1) .

Giaûi Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) .u u

qua A (1; 1) x 1 t Maët khaùc : T ( ) ñi qua A ,B . Do ñoù : ptts :

uy 1 2t VTCP : A B = (1;2)

6 Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A(1;0) , caét Oy taïi B(0;3) . Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng laø aûnh

cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = ( 1; 2) .

Giaûi

Vì : A T (A) (0; 2) ,u

B T (B) ( 1;1) .u

qua A (0; 2) x t Maët khaùc : T ( ) ñi qua A ,B . Do ñoù : ptts :

uy 2 3t VTCP : A B = ( 1;3)

7 Töông töï : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) : x 2y 2 0

b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0

2 28 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (1; 3) .

Giaûi

x = x + 1 x = x 1 Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa pheùp tònh tieán T laø :

uy = y 3 y = y + 3

V

2 2 2 2 2 2ì : M(x;y) (C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4

2 2 Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C ) : x (y 1) 4

9 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .

a) CMR f laø pheùp dôøi hình .

b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng ( ) : x 2y 3

I

2 2

2

2 2 2

= 0.

c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .

d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y = 4x .

ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x

1)

10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây

sai ?

A. f laø 1 pheùp dôøi hình B.

I

Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A

C. M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh D. f [M(2;3)] ñöôøng thaúng 2x + y + 1 = 0

ÑS : Choïn C . Vì M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua t ruïc tung C sai .

2 29 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua pheùp tònh tieán theo vectô u = ( 2;4) .

x = x 2 x = x + 2 Giaûi : Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa pheùp tònh tieán T laø :

uy = y 4 y = y 4

2 2 2 2 2 2 Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2 Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2 2 2BT Töông töï : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2 b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) 2 2

: x y 2x 2y 7 0

10 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñænh C vaø D cuûa hình bình haønh ABCD bieát ñænh

A( 2;0), ñænh B( 1;0) vaø giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo laø I(1;2) .

Giaûi

Goïi C(x;y) .Ta

coù : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)

Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân :

x 1 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4)

AI y 2 2 y 4

Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân :

D = T (I) IDBI

x 1 2 x 3D D

BI D(3;4)

y 2 2 y 4D D

Baøi taäp töông töï : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .

11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d .

Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?

Giaûi : Choïn 2 ñieåm coá ñònh A d , A d

Laáy ñieåm tuyø yù M d . Gæa söû : M = T (M) MM ABAB

MA M B M B/ /MA M d d = T (d)AB

Nhaän xeùt : Coù voâ soá pheùp tònh

tieán bieán d thaønh d .

12 Cho 2 ñöôøng troøn (I,R) vaø (I ,R ) .Haõy chæ ra moät pheùp tònh tieán bieán (I,R) thaønh (I ,R ) .

Giaûi : Laáy ñieåm M tuyø yù treân (I,R) . Gæa söû : M = T (M) MII

M II

IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]II

13 Cho hình bình haønh ABCD , hai ñænh A,B coá ñònh , taâm I thay ñoåi di ñoäng

treân ñöôøng troøn (C) .Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa caïnh BC.

Giaûi

Goïi J laø trung ñieåm caïnh AB . Khi ñoù d eã thaáy J coá ñònh vaø IM JB .

Vaäy M laø aûnh cuûa I qua pheùp tònh tieán T . Suy ra : Quyõ tích cuûa M laøJB

aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) trong pheùp tònh tieán theo vectô JB

214 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Goïi T laø pheùp tònh tieán theo vectô u = (m,n)

vaø (P ) laø aûnh cuûa (P) qua pheùp tònh tieán ñoù . Haõy vieát phöông trình cuûa

u

(P ) .

Giaûi :

T

M(x;y) M (x ;y ) , ta coù : MM = u , vôùi MM = (x x ; y y)

x x = m x = x m Vì MM = u

y y = n y = y n

2 2Maø : M(x;y) (P) : y ax y n = a(x m) y =

I

2 2 a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n

2 2 2 Vaäy : AÛnh cuûa (P) qua pheùp tònh tieán T laø (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n .

u

15 Cho ñt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectô u 0 ñeå = T ( ) . u

Gi

aûi : VTCP cuûa laø a = (2; 6) . Ñeå : = T ( ) u cuøng phöông a . Khi ñoù : a = (2; 6) 2(1; 3)u

choïn u = (1; 3) .

16 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho 2 ñieåm A( 5;2) , C( 1;0) . Bieát : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u vaø vu v

ñeå coù theå thöïc hieän pheùp bieán ñoåi A thaønh C ?

Giaûi

u vT T

A( 5;2) B C( 1;0)I I .

Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)

u v

17 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho 3 ñieåm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) vaø 2 vectô u = (2;3) ,v = ( 1;2) .

Tìm aûnh cuûa K,M,N qua pheùp tònh tieán T roài T .u v

T THD : Gæa söû : A(x;y) BI I

C(x ;y ) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)

x 1 1 x 2 Do ñoù : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) .

u vy 2 5 y 7

Töông töï : M (4;4) , N (3;2) .

18 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G laø troïng taâm ABC vaø pheùp

tònh tieán theo vectô u 0 bieán A thaønh G . Tìm G = T (G) .u

u u

Giaûi

T T

A(3;0) G( 1;3) G (x ;y )

x 1 4 x 5Vì AG ( 4;3) u . Theo ñeà : GG u G ( 5;6).

y 3 3 y 6

2 219 Trong maët phaúng Oxy , cho 2 ñöôøng troøn (C) : (x 1) (y 3) 2,(

I I

2 2C ) : x y 10x 4y 25 0.

Coù hay khoâng pheùp tònh tieán vectô u bieán (C) thaønh (C ) .

HD : (C) coù taâm I(1; 3), baùn kính R = 2 ; (C ) coù taâm I (5; 2), baùn kính R = 2 .

Ta thaáy : R =

R = 2 neân coù pheùp tònh tieán theo vectô u = (4;1) bieán (C) thaønh (C ) .

20 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho hình bình haønh OABC vôùi A( 2;1) vaø B :2x y 5 = 0 . Tìm taäp

hôïp ñænh C ?

Giaûi

u

Vì OABC laø hình bình haønh neân : BC AO (2; 1) C T (B) vôùi u = (2; 1)u

T x x 2 x x 2 B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u

y y 1 y y 1

B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;

I

y ) : 2x y 10 = 0

21 Cho ABC . Goïi A ,B ,C laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC,CA,AB. Goïi O ,O ,O vaø I ,I ,I1 1 1 1 2 3 1 2 3

töông öùng laø caùc taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø caùc taâm ñöôøng troø

1AB

2

n noäi tieáp cuûa ba tam giaùc AB C ,1 1

BC A , vaø CA B . Chöùng minh raèng : O O O I I I .1 1 1 1 1 2 3 1 2 3

HD :

Xeùt pheùp tònh tieán : T bieán A C,C B,B A .1 1 1 1

AB

2

T

AB C C BA ;O1 1 1 1

I I I

I

1 1AB AB

2 2

T T

O ;I I .1 2 1 2

O O I I O O I I .1 2 1 2 1 2 1 2

Lyù luaän töông töï : Xeùt caùc pheùp tònh tieán T ,T suy ra :1 1

BC CA

2 2

O O I I vaø O O I2 3 2 3 3 1 3

I I

I O O I I ,O O I I O O O I I I (c.c.c).1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3

BC

22 Trong töù giaùc ABCD coù AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 vaø D 90 .

Tính ñoä daøi caùc caïnh BC vaø DA .

HD :

T

Xeùt : A M AM BC.Ta coù : ABCM laø hình bình haønh vaø BCM 3I 0 (vì B 150 )

o Laïi coù : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .

Ñònh lyù haøm cos trong MCD :

32 2 2 2 2MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36

2

MD = 6cm .

1 Ta coù : MD = CD vaø MC = MD 3 MDC laø tam giaùc

2

ñeàu

MCD laø nöûa tam giaùc ñeàu DMC 90 vaø MDA 30 .

Vaäy : MDA MAD MAB 30 AMD laø tam giaùc caân taïi M .

6 3

Döïng MK AD K laø trung ñieåm cuûa AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm

2

Toùm laïi : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm

Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

A . KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ ĐN1:Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của

đoạn MM

Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng coøn goïi laø pheùp ñoái xöùng truïc . Ñöôøng thaúng a goïi laø truïc ñoái xöùng.

ÑN2 : Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng a laø pheùp bieán hình bieán mo

a o o o

ãi ñieåm M thaønh ñieåm M ñoái xöùng

vôùi M qua ñöôøng thaúng a .

Kí hieäu : Ñ (M) M M M M M , vôùi M laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng a .

Khi đó :

a

Neáu M a thì Ñ (M) M : xem M laø ñoái xöùng vôùi chính noù qua a . ( M coøn goïi laø ñieåm baát ñoäng )

a

M a thì Ñ (M) M a laø ñöôøng trung tröïc cuûa MM

a a

Ñ (M) M thì Ñ (M ) M

a a

Ñ (H) H thì Ñ (H ) H , H laø aûnh cuûa hình H .

d

ÑN : d laø truïc ñoái xöùng cuûa hình H Ñ (H) H .

Pheùp ñoái xöùng truïc hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát truïc ñoái xöùng cuûa noù .

Chuù yù : Moät hình coù theå khoâng coù truïc ñoái xöùng ,coù theå coù moät hay nhieàu truïc ñoái xöùng .

2/ Biểu thức tọa độ: d

M(x;y) M Ñ (M) (x ;y )I

x = x x = x ª d Ox : ª d Oy :

y = y y = y

3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

1.Pheùp ñoái xöùng truïc bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø baûo toaøn thöù töï cuûa caùc

ñieåm töông öùng .

2. Ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng .

3.

HQ :

Tia thaønh tia .

4. Ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .

5. Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâm tröïc taâm , troïng taâm troïng taâm )

6. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng

I I troøn baèng noù . (Taâm bieán thaønh taâm : I I , R = R )

7. Goùc thaønh goùc baèng noù .

I

aPP : Tìm aûnh M = Ñ (M)

1. (d) M , d a

2. H = d a

3. H laø trung ñieåm cuûa MM M ?

a

a

ª PP : Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng : = Ñ ( )

TH1: ( ) // (a)

1. Laáy A,B ( ) : A B

2. Tìm aûnh A = Ñ (A)

3. A , // (a)

a

TH2 : // a

1. Tìm K = a

2. Laáy P : P K .Tìm Q = Ñ (P)

3. (KQ)

ª PP : min

Tìm M ( ) : (MA + MB) .

min

min

Tìm M ( ) : (MA+ MB)

Loaïi 1 : A, B naèm cuøng phía ñoái vôùi ( ) :

1) goïi A laø ñoái xöùng cuûa A qua ( )

2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B

Do ñoù: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )

min

Loaïi 2 : A, B naèm khaùc phía ñoái vôùi ( ) :

M ( ), thì MA + MB AB

Ta coù: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )

B . BÀI TẬP

ÑÑ OyOx

1 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M(2;1) ñoái xöùng qua Ox , roài ñoái xöùng qua Oy .

HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)

2 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M(a;b) ñoái xöùng qua Oy , roài ñoái xöù

I I

Ñ ÑOy Ox

Ñ Ña b

Ñ Ña b

ng qua Ox .

HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)

3 Cho 2 ñöôøng thaúng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 vaø ñieåm M( 1;2) . Tìm : M M M .

HD : M( 1;2) M (5;2)

I I

I I

I I

Ñ Ña b

Ñ Ña b

tñ(m;y) tñ(

M (5; 4) [ veõ hình ] .

4 Cho 2 ñöôøng thaúng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).

Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).

x 2m x HD : M(x;y) M

y y

I I

2m x; n)

x 2m xM

y 2n y

5 Cho ñieåm M( 1;2) vaø ñöôøng thaúng (a) : x + 2y + 2 = 0 .

HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H laø trung ñieåm cuûa MM M ( 3; 2)

6 Cho ñieåm M( 4;

a

a

1) vaø ñöôøng thaúng (a) : x + y = 0 . M = Ñ (M) ( 1;4)

7 Cho 2 ñöôøng thaúng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm aûnh = Ñ ( ) .

HD :

4 1 Vì

1

a

caét a K a K( 2;1)

1

M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7 / 2) : tñieåm cuûa MM M Ñ (M) (2;2)

KM : x 4y + 6 = 0

a

a

a

8 Tìm b = Ñ (Ox) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y + 3 = 0 .

HD : a Ox = K( 3;0) .

3 9 M O(0;0) Ox : M = Ñ (M) = ( ; ) .

5 5

b KM : 3x + 4y 9 = 0 .

9 Tìm b = Ñ (Ox) vôùi ñöôø ng thaúng (a) : x + 3y 3 = 0 .

HD : a Ox = K(3;0) .

P O(0;0) Ox .

+ Qua O(0;0) : 3x y 0

+ a

3 9 3 9 E = a E( ; ) laø trung ñieåm OQ Q( ; ) .

10 10 5 5

b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .

1

Ox

Ox

0 Tìm b = Ñ (a) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y 3 = 0 .

Giaûi :

Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä (raát hay)

Caùch 2 : K= a Ox K(3;0)

P(0;1) a Q = Ñ (P) = (0; 1)

b KQ : x 3y 3 = 0 .

a11 Cho 2 ñöôøng thaúng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm aûnh = Ñ ( ) .

PP : / /a

Caùch 1 : Tìm A,B A ,B A B

Caùch 2 : Tìm A A / / , A

a

2 2

a

2 2

Giaûi : A(0;1) A Ñ (A) (2; 3)

A , / / : x 2y 8 0

12 Cho ñöôøng troøn (C) : (x+3) (y 2) 1 , ñöôøng thaúng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Ñ [(C)]

HD : (C ) : (x 3) y 1 .

Ox

13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) vaø C(1;6) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ?

A. ABC caân ôû B B. ABC coù 1 truïc ñoái xöùng

C. ABC Ñ ( ABC) Oy

D. Troïng taâm : G = Ñ (G)

HD : Choïn D

2 214 Trong mpOxy cho ñieåm M( 3;2), ñöôøng thaúng ( ) : x + 3y 8 = 0, ñöôøng troøn (C) : (x+3) (y 2) 4.

Tìm aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc (a) : x 2y + 2 = 0 .

Giaûi : Goïi M ,

( ) vaø (C ) laø aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc a .

Qua M( 3;2)a) Tìm aûnh M : Goïi ñöôøng thaúng (d) :

a

+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d) : 2x y 4 = 0

H M M

H M M

MM

MM

1x (x x )

2 + H = (d) (a) H( 2;0) H laø trung ñieåm cuûa M,M H

1y (y y )

2

12 ( 3 x )

x 12

M ( 1; 2)1 y 2

0 (2 y )

2

b) Tìm aûnh ( ) :

1 3 Vì ( ) caét (a

1 2

) K= ( ) (a)

x + 3y 8 = 0 Toaï ñoä cuûa K laø nghieäm cuûa heä : K(2;2)

x 2y + 2 = 0

a Laáy P K Q = Ñ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Laøm töông töï nhö caâu a) )

Qua P( 1;3) Goïi ñöôøng thaúng (b) :

a

E P Q Q

E P Q Q

+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b) : 2x y 1 = 0

+ E = (b) (a) E(0;1) E laø trung ñieåm cuûa P,Q

1 1x (x x ) 0 ( 1 x ) x

2 2 E

1 1y (y y ) 1 (3 y )

2 2

Q

Q

1

Q(1; 1)

y 1

Qua K(2;2) x 2 y 2 + ( ) (KQ) : ( ) : 3x y 4 0

1 3VTCP : KQ ( 1; 3) (1;3)

Ñ Ña a

c) + Tìm aûnh cuûa taâm I( 3;2) nhö caâu a) .

Taâm I Taâm I + Vì pheùp ñoái xöùng truïc laø pheùp dôøi hình neân (C): (C ) : .Tìm I I

R 2 R R 2

+ Taâm I( 3;2) Vaäy : (C)

BK :

I I

Ña

a

2 2

2 2+ Taâm I = Ñ [I( 3; 2)] ( ; )

(C ) 5 5

R = 2 BK : R = R = 2

2 2 (C ) : (x ) (y ) 4

5 5

I

2 215 Trong mpOxy cho ñieåm M(3; 5), ñöôøng thaúng ( ) : 3x + 2y 6 = 0, ñöôøng troøn (C) : (x+1) (y 2) 9.

Tìm aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc (a) : 2x y + 1 = 0 .

HD :

a) M(3; 5) I

Ña

a

33 1 9 13M ( ; ),(d) : x 2y 7 0,tñieåm H( ; )

5 5 5 5

4 15 b) + K= (a) K( ; )

7 7

+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Ñ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 0

c) + I(1; 2) Ñ 2 2a

9 8 9 8I ( ; ) , R = R = 3 (C ) : (x + ) (y ) 9

5 5 5 5

I

2 2

ÑOx

16 Cho ñieåm M(2; 3), ñöôøng thaúng ( ) : 2x + y 4 = 0, ñöôøng troøn (C) : x y 2x 4y 2 0.

Tìm aûnh cuûa M, ( ) vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng qua Ox .

x xHD : Ta coù : M(x;y) M (

y y

Ñ

Ox

x x1) (2)

y y

Thay vaøo (2) : M(2; 3) M (2;3)

2 2 2 2

2 2 2 2

M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 .

M(x;y) (C) : x y 2x 4y 2 0 x y 2x 4y 2 0

(x 1) (y 2) 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 3

Ox

ÑOx

17 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm aûnh cuûa a qua Ñ .

x x x xGiaûi : Ta coù : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (

I

Ñ

Oy

x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0

Vaäy : (a) (a ) : 2x y + 3 = 0 I

2 2

Oy

ÑOy

2 2 2 2 2

18 Trong mpOxy cho ñöôøng troøn (C) : x y 4y 5 = 0 . Tìm aûnh cuûa a qua Ñ .

x x x xGiaûi : Ta coù : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (C) : x y 4y 5 = 0 ( x ) y 4(y ) 5 = 0 x

I

2

2 2

ÑOy 2 2

y 4y 5 = 0

M (x ;y ) (C ) : x y 4y 5 = 0

Vaäy : (C) (C ) : x y 4y 5 = 0I

2 2

a

a

19 Trong mpOxy cho ñthaúng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .

a) Vieát bieåu thöùc giaûi tích cuûa pheùp ñoái xöùng truïc Ñ .

b) Tìm aûnh cuûa ñieåm M(4; 1) qua Ñ .

a a

2 2

Ña

c) Tìm aûnh : ( ) = Ñ ( ),(C ) Ñ (C) .

Giaûi

a) Toång quaùt (a) : Ax + By + C=0 , A B 0

Goïi M(x;y) M (x ;y ) , ta coù : MM (x x;y y) cuøng phöông VTPT n = (A;B) MM tn

x

I

2 2

x x y yx At x x At( t ) . Goïi I laø trung ñieåm cuûa MM neân I( ; ) (a)

y y Bt y y Bt 2 2

x x y y x x At y y Bt A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0

2 2 2 2

2(Ax + By + C) (A B )t 2(Ax + By + C) t

A

2 2

2 2 2 2

Ña

B

2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C) x x ;y y

A B A B

4(2x y 3) 3 4 12x x x x y

5 5 5 5 AÙp duïng keát quaû treân ta coù :

2(2x y 3) 4 3 6y y y y y

5 5 5 5

4 7b) M(4; 1) M ( ;

5

I

Ña

Ñ 2 2a

)

5

c) : 3x y 17 0

d) (C) (C ) : (x 1) (y 4) 2

I

I

20 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng ( ) : x 5y 7 = 0 vaø ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm pheùp ñoái xöùng qua

truïc bieán ( ) thaønh ( ) .

Giaûi

1 5Vì ( ) vaø ( ) caét nhau . Do ñoù truïc ñoái xöùng (a) cuûa pheùp ñoái xöùng bieán ( ) thaønh ( ) chính

5 1

laø ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi ( ) vaø ( ) .

1

2

1 2

x y 5 0 (a )| x 5y 7 | | 5x y 13| Töø ñoù suy ra (a) :

x y 1 0 (a )1 25 25 + 1

Vaäy coù 2 pheùp ñoái xöùng qua caùc truïc ( ) : x y 5 0 , ( ) : x y 1 0

a21 Qua pheùp ñoái xöùng truïc Ñ :

1. Nhöõng tam giaùc naøo bieán thaønh chính noù ?

2. Nhöõng ñöôøng troøn naøo bieán thaønh chính noù ?

2 2

HD :

1. Tam giaùc coù 1 ñænh truïc a , hai ñænh coøn laïi ñoái xöùng qua truïc a .

2. Ñöôøng troøn coù taâm a .

22 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x 1) (y 2) 4 qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy.

2 2 PP : Duøng bieåu thöùc toaï ñoä ÑS : (C ) : (x 1) (y 2) 4

23 Hai ABC vaø A B C cuøng naèm trong maët phaúng toaï ñoä vaø ñoái xöùng nhau qua truïc Oy .

Bieát A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Haõy

tìm toaï ñoä caùc ñænh A , B vaø C .

ÑS : A (1;5), B (4;6) vaø C( 3;1)

24 Xeùt caùc hình vuoâng , nguõ giaùc ñeàu vaø luïc giaùc ñeàu . Cho bieát soá truïc ñoái xöùng töông öùng cuûa moãi

loaïi ña giaùc ñeàu ñoù vaø chæ ra caùch veõ caùc truïc ñoái xöùng ñoù .

ÑS :

Hình vuoâng coù 4 truïc ñoái xöùng , ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñænh ñoái dieän vaø caùc ñöôøng thaúng

ñi qua trung ñieåm cuûa caùc caëp caïnh ñoái dieän .

Nguõ giaùc ñeàu coù 5 truïc ñoái xöùng ,ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua ñænh ñoái dieän vaø taâm cuûa nguõ giaùc ñeàu .

Luïc giaùc ñeàu coù 6 truïc ñoái xöùng , ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñænh ñoái dieän vaø caùc ñöôøng thaúng ñi

qua trung ñieåm cuûa caùc caëp caïnh ñoái dieän .

d 25 Goïi d laø phaân giaùc trong taïi A cuûa ABC , B laø aûnh cuûa B qua pheùp ñoái xöùng truïc Ñ . Khaúng ñònh

naøo sau ñaây sai ?

A. Neáu AB < AC thì B ôû treân caïnh AC .

d

B. B laø trung ñieåm caïnh AC .

C. Neáu AB = AC thì B C .

D. Neáu B laø trung ñieåm caïnh AC thì AC = 2AB .

ÑS : Neáu B = Ñ (B) thì B AC .

A ñuùng . Vì AB < AC maø AB = AB neân AB < AC B ôû treân caïnh AC .

1 B sai . Vì giaû thieát baøi toaùn khoâng ñuû khaúng ñònh AB = AC.

2

C ñuùng . Vì AB = AB maø AB = AC neân AB = AC B C .

a b

Ñ Ña b

D ñuùng . Vì Neáu B laø trung ñieåm caïnh AC thì AC=2AB maø AB =AB neân AC=2AB .

26 Cho 2 ñöôøng thaúng a vaø b caét nhau taïi O . Xeùt 2 pheùp ñoái xöùng truïc Ñ vaø Ñ :

A B CI I

. Khaúng ñònh naøo sau ñaây khoâng sai ?

A. A,B,C ñöôøng troøn (O, R = OC) .

B. Töù giaùc OABC noäi tieáp .

C. ABC caân ôû B

D. ABC vuoâng ôû B

1 2

HD : A. Khoâng sai . Vì d laø trung tröïc cuûa AB OA = OB , d laø trung tröïc

cuûa BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C ñöôøng troøn (O, R = OC) .

Caùc caâu B,C,D coù theå sai .

27 Cho ABC coù hai truïc ñoái xöùng . Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng ?

A. ABC laø vuoâng B. ABC laø vuoâng caân C. ABC laø ñeàu D. ABC laø caân .

HD : Gæa söû ABC coù 2truïc ñoái xöùng laø AC vaø BC

AB = AC AB AB BC ABC ñeàu .

BC = BA

o

o o o o o o o

28 Cho ABC coù A 110 . Tính B vaø C ñeå ABC

coù truïc ñoái xöùng .

A. B = 50 vaø C 20 B. B = 45 vaø C 25 C. B = 40 vaø C 30 D. B = C 35

o o

o o oo

HD : Choïn D . Vì : ABC coù truïc ñoái xöùng khi ABC caân hoaëc ñeàu

Vì A 110 90 ABC caân taïi A , khi ñoù :

180 A 180 110 B C 35

2 2

29 Trong caùc hình sau , hình naøo coù nhieàu truïc ñoái xöùng nhaát ?

A. Hình chöõ nhaät B. Hình vuoâng C. Hình thoi D. Hình thang caân .

ÑS : Choïn B. Vì : Hình vuoâng coù 4 truïc ñoái xöùng .

30 Trong caùc hình sau , hình naøo coù ít truïc ñoái xöùng nhaát ?

A. Hình chöõ nhaät B. Hình vuoâng C. Hình thoi D. Hình thang caân .

ÑS : Choïn D. Vì : Hình thang caân coù 1 truïc ñoái xöùng .

31 Trong caùc hình sau , hình naøo coù 3 truïc ñoái xöùng ?

A. Hình thoi B. Hình vuoâng C. ñeàu D. vuoâng caân .

ÑS : Choïn C. Vì : ñeàu coù 3 truïc ñoái xöùng .

32 Trong caùc hình sau , hình naøo coù nhieàu hôn 4 truïc ñoái xöùng ?

A. Hình vuoâng B. Hình thoi C. Hình troøn D. Hình thang caân .

ÑS : Choïn C. Vì : Hình troøn coù voâ soá truïc ñoái xöùng .

33 Trong caùc hình sau , hình naøo khoâng coù truïc ñoái xöùng ?

A. Hình bình haø nh B. ñeàu C. caân D. Hình thoi .

ÑS : Choïn A. Vì : Hình bình haønh khoâng coù truïc ñoái xöùng .

34 Cho hai hình vuoâ

ng ABCD vaø AB C D coù caïnh ñeàu baèng a vaø coù ñænh A chung .

Chöùng minh : Coù theå thöïc hieän moät pheùp ñoái xöùng truïc bieán hình vuoâng ABCD thaønhø AB C D .

HD : Gæa söû : BC B C = E .

ÑAE

Ta coù : AB = AB , B B 90 ,AE chung .

EB = EBABE = AB F B B

bieát AB = AB

I

ÑAE

Ñ ÑA AE

EC = ECMaët khaùc : C C

AC = AC = a 2

BABNgoaøi ra : AD = AD vaø D AE DAE 90

2

D D ABCD AB C D

I

I I

35 Goïi H laø tröïc taâm ABC . CMR : Boán tam giaùc ABC , HBC , HAC , HAC coù

ñöôøng troøn ngoaïi tieáp baèng nhau .

1 2

1 1 1 2

Ñ ÑBC BC

HD :

Ta coù : A = C (cuøng chaén cung BK )

A = C (goùc coù caïnh töông öùng ) C = C

CHK caân K ñoái xöùng vôùi H qua BC .

Xeùt pheùp ñoái xöùng truïc BC .

Ta coù : K H ; B B ;I I

ÑBC

ÑBC

C C

Vaäy : Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp KBC Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp HBC

I

I

a

36 Cho ABC vaø ñöôøng thaúng a ñi qua ñænh A nhöng khoâng ñi qua B,C .

a) Tìm aûnh ABC qua pheùp ñoái xöùng Ñ .

b) Goïi G laø troïng taâm ABC , Xaùc ñònh G laø aûnh cuûa G qua pheùp ñoái xöùng Ña.

a

a

a

a

Giaûi

a) Vì a laø truïc cuûa pheùp ñoái xöùng Ñ neân :

A a A Ñ (A) .

B,C a neân Ñ : B B ,C C sao cho a laø trung tröïc cuûa BB ,CC

b) Vì G a neân Ñ : G G sao cho a laø trung tröïc

I I

I cuûa GG .

37 Cho ñöôøng thaúng a vaø hai ñieåm A,B naèm cuøng phía ñoái vôùi a . Tìm treân ñöôøng

thaúng a ñieåm M sao cho MA+MB ngaén nhaát .

Giaûi : Xeùt pheùp ñoái xöùng Ñ : A A .a

M a thì MA = MA . Ta c

I

où : MA + MB = MA + MB A B

Ñeå MA + MB ngaén nhaát thì choïn M,A,B thaúng haøng

Vaäy : M laø giao ñieåm cuûa a vaø A B .

38 (SGK-P13)) Cho goùc nhoïn xOy vaø M laø moät ñieåm beân trong goùc ñoù . Haõy

tìm ñieåm A treân Ox vaø ñieåm B treân Oy sao cho MBA coù chu vi nhoû nhaát .

Giaûi

Goïi N = Ñ (M) vaø P = Ñ (M) . KhiOx Ox

ñoù : AM=AN , BM=BP

Töø ñoù : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP

( ñöôøng gaáp khuùc ñöôøng thaúng )

MinCVi = NP Khi A,B laàn löôït laø giao ñieåm cuûa NP vôùi Ox,Oy .

39 Cho ABC caân taïi A vôùi ñöôøng cao AH . Bieát A vaø H coá ñònh . Tìm taäp hôïp

ñieåm C trong moãi tröôøng hôïp sau :

a) B di ñoäng treân ñöôøng thaúng .

b) B di ñoäng treân ñöôøng troø

n taâm I, baùn kính R .

Giaûi

a) Vì : C = Ñ (B) , maø B neân C vôùi = Ñ ( ) AH AH

Vaäy : Taäp hôïp caùc ñieåm C laø ñöôøng thaúng

b) Töông töï : Taäp hôïp caùc ñieåm C laø ñöôøng troøn taâm J , baùn kính R laø aûnh cuûa

ñöôøng troøn (I) qua Ñ .AH

Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ÑN : Pheùp ñoái xöùng taâm I laø moät pheùp dôøi hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M ñoái xöùng vôùi M qua I.

Pheùp ñoái xöùng qua moät ñieåm coøn goïi laø pheùp ñoái taâm .

Ñieåm I goïi laø taâm cuûa cuûa pheùp ñoái xöùng hay ñôn giaûn laø taâm ñoái xöùng .

Kí hieäu : Ñ (M) M IM IM .I

Neáu M I thì M I

Neáu M I thì M Ñ (M) I laø trung tröïc cuûa MM .I

ÑN :Ñieåm I laø taâm ñoái xöùng cuûa hình H Ñ (H) H.I

Chuù yù : Moät hình coù theå khoâng coù taâm ñoái xöùng .

IÑ

2 Bieåu thöùc toïa ñoä : Cho I(x ;y ) vaø pheùp ñoái xöùng taâm I : M(x;y) M Ñ (M) (x ; y ) thì o o I

x = 2x xo

y 2y yo

3 Tính chaát :

1. Pheùp ñoái xöùng taâm baûo toaøn khoaûng caùch giö

I

õa hai ñieåm baát kì .

2. Bieán moät tia thaønh tia .

3. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng .

4. Bieán moät ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .

5. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho .

6. Bieán moät goùc thaønh goùc coù

soá ño baèng noù .

7. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . ( Tröïc taâm tröïc taâm , troïng taâm troïng taâm )

8. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . ( Taâm bieán thaønh taâm : I I , R = R )I

B . BÀI TẬP

1 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I :

1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1)

2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3)

3) C(2;4) , I(3;1) C (4; 2)

Giaûi :

x 1 3 x 4 a) Gæa söû : A Ñ (A) IA IA (x 1;y 2) ( 3;1) A (4;1)I

y 2 1 y 1

Caùch : Duøng bieåu thöùc toaï ñoä

2 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I :

1) ( ) : x 2y 5 0,I(2; 1) ( ) : x 2y 5 0

2) ( )

: x 2y 3 0,I(1;0) ( ) : x 2y 1 0

3) ( ) : 3x 2y 1 0,I(2; 3) ( ) : 3x 2y 1 0

Giaûi

PP : Coù 3 caùch

Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä

Caùch 2 : Xaùc ñònh daïng // , roài duøng coâng thöùc tính khoaûng caùch d( ; ) .

Caùch 3 : Laáy baát kyø A,B , roài tìm aûnh A ,B

I

A B

Ñ x 4 x x 4 x 1) Caùch 1: Ta coù : M(x;y) M

y 2 y y 2 y

I

I

Vì M(x;y) x 2y 5 0 (4 x ) 2( 2 y ) 5 0 x 2y 5 0

M (x ;y ) : x 2y 5 0

Ñ

Vaäy : ( ) ( ) : x 2y 5 0

Caùch 2 : Goïi = Ñ ( ) song song I

I

: x + 2y + m = 0 (m 5) .

|5| | m | m 5 (loaïi) Theo ñeà : d(I; ) = d(I; ) 5 | m |

m 52 2 2 21 2 1 2

( ) : x 2y 5 0

Caùch 3 : Laáy : A( 5;0),B( 1; 2) A (9; 2),B (5; 0) A B : x 2y 5 0

3 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I :

2 2 2 2 1) (C) : x (y 2) 1,E(2;1) (C ) : (x 4) y 1

2 2) (C) : x

2 2 2y 4x 2y 0,F(1;0) (C ) : x y 8x 2y 12 0

ñ / nghiaõ hay bieåu thöùc toaï ñoä2 3) (P) : y = 2x x 3 , taâm O(0;0) .

E

2(P ) : y = 2x x 3

HD :1) Co ù 2 caùch giaûi :

Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä .

Ñ

Caùch 2 : Tìm taâm I I ,R R (ña õ cho) .

2) Töông töï .

4 Cho hai ñieåm A vaø B .Cho bieát pheùp bieán ñoåi M thaøn

I

h M sao cho AMBM laø moät hình bình haønh .

HD :

MA BMNeáu AMBM laø hình bình haønh

MB AM

Vì : MM MA AM MA MB (1)

Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB . Ta coù : IA IB

Töø (1) MM MI

IA MI IB MM 2MI

MI IM M Ñ (M) .I

5 Cho ba ñöôøng troøn baèng nhau (I ;R),(I ;R),(I ;R) töøng ñoâi tieáp1 2 3

xuùc nhau taïi A,B,C . Gæa söû M laø moät ñieåm treân

I

CA B 1

(I ;R) , ngoaøi ra : 1

ÑÑÑ Ñ

M N ; N P ; P Q . CMR : M Q .I I I I

A A A

HD :

Do (I ;R) tieáp xuùc vôùi (I ;R) taïi A , neân : 1 2

Ñ Ñ Ñ

M N ;I I MI NI MI NI (1)1 2 1 2 1 2

I I I

B B B

C C C

Do (I ;R) tieáp xuùc vôùi (I ;R) taïi B , neân : 2 3

Ñ Ñ Ñ

N P ; I I NI PI NI PI (2)2 3 2 3 2 3

Do (I ;R) tieáp xuùc vôùi (I ;R) taïi C , neân : 3 1

Ñ Ñ Ñ

P Q ; I I PI3 1 3

I I I

I I I

1

QI PI QI (3)1 3 1

Töø (1),(2),(3) suy ra : MI QI M Ñ (Q) .1 1 I

5 Cho ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A . Keû ñöôøng cao AH . Veõ phía

ngoaøi tam giaùc hai hình vuoâng ABDE vaø ACFG .

a) Chöùng minh taäp hôïp 6 ñieåm B,C,F,G,E,D co ù moät truïc ñoái xöùng .

b) Goïi K laø trung ñieåm cuûa EG . Chöùng minh K ôû treân ñöôøng thaún

g AH .

c) Goïi P = DE FG . Chöùng minh P ôû treân ñöôøng thaúng AH .

d) Chöùng minh : CD BP, BF CP .

e) Chöùng minh : AH,CD,BF ñoàng qui .

DF DF DF DF

DF

HD :

a) Do : BAD 45 vaø CAF 45 neân ba ñieåm D,A,F thaúng haøng .

Ñ Ñ Ñ Ñ Ta coù : A A ; D D ; F F ; C G ;

Ñ

B E (Tính chaát hình vuoâng ).

Vaäy : Taäp

l l l l

l

hôïp 6 ñieåm B,C,F,G,E,D co ù truïc ñoái xöùng chính laø ñöôøng thaúng DAF .

b) Qua pheùp ñoái xöùng truïc DAF ta coù : ABC = AEG neân BAC AEG.

Nhöng : BCA AGE ( 2 ñoái xöùng = )

AGE A (do KAG caân taïi K) . Suy ra : A A K,A,H thaúng haøng K ôû treân AH .2 1 2

c) Töù giaùc AFPG laø moät hình chöõ nhaät neân : A,K,P thaúng haøng . (Hôn nöõa K laø trung ñieåm cuûa AP )

Vaäy : P ôû treân PH .

d) Do EDC = DBP neân DC = BP .

DC = BP

Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB nhöng hai goùc naøy coù caëp

BC = AP

caïnh : BC AP caëp caïnh coøn laïi : DC BP.

Lyù lua

än töông töï , ta coù : BF CP.

e) Ta coù : BCP . Caùc ñöôøng thaúng AH, CD vaø BF chính laø ba ñöôøng cao cuûa BCP neân ñoàng qui .

2AB

6 Cho hai ñieåm A vaø B vaø goïi Ñ vaø Ñ laàn löôït laø hai pheùp ñoái xöùng taâm A vaø B .A B

a) CMR : Ñ Ñ T .B A

b) Xaùc ñònh Ñ Ñ .A B

HD : a) Goïi M laø moät ñieåm baát kyø , ta coù :

M

A

B

Ñ

M : MA AM

Ñ

M M : MB BM . Nghóa laø : M = Ñ Ñ (M), M (1)B A

I

I

B AÑ Ñ

Ta chöùng minh : M M :

Bieát : MM MM M M

Maø : MM 2MA vaø M M 2M B

Vaäy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB

Vì : MA

I

2AB

AM neân MA M A 0 . Suy ra : MM 2AB M T (M), M (2)

2AB

2BA

Töø (1) vaø (2) , suy ra : Ñ Ñ T .B A

b) Chöùng minh töông töï : Ñ Ñ T .A B

7 Chöùng minh raèng neáu hình (H) coù hai truïc ñoái xöùng vuoâng goùc vôùi nhau thì

(H) coù taâm ñoái xöùng .

HD : Duøng hình thoi

Gæa söû hình (H) coù hai truïc ñoái xöùng vuoâng goùc vôùi nhau

.

Laáy ñieåm M baát kyø thuoäc (H) vaø M Ñ (M) , M Ñ (M ) . Khi ñoù , theo1 a 2 b 1

ñònh nghóa M ,M (H) .1 2

Goïi O = a b , ta coù : OM = OM vaø MOM 2AOM 1 1 1

OM = OM vaø M OM 2M OB 1 2 1 2 1

Suy ra : OM = OM vaø MOM M OM 2(AOM +M OB)2 1 1 2 1 1

hay MOM 2 90 1801

Vaäy : O la

ø trung ñieåm cuûa M vaø M . 2

Do ñoù : M Ñ (M), M (H),M (H) O laø taâm ñoái xöùng cuûa (H) .2 O 2

N

8 Cho ABC coù AM vaø CN laø caùc trung tuyeán . CMR : Neáu BAM BCN = 30 thì ABC ñeàu .

HD :

Töù giaùc ACMN coù NAM NCM 30 neân noäi tieáp ñtroøn taâm O, bkính R=AC vaø MON 2NAM 60 .

Ñ

Xeùt : A I

N

M M

Ñ

B (O) (O ) thì B (O ) vì A (O) .1 1

Ñ Ñ

C B (O) (O ) thì B (O ) vì C (O) .2 2

OO OO 2R1 2

Khi ñoù , ta coù : OO O laø tam giaùc ñeàu .1 2

MON 60

Vì O B O B R R 2R O O neân B laø trun1 2 1 2

I

I I

g ñieåm O O .1 2

Suy ra : ABC OO O (Vì cuøng ñoàng daïng vôùi BMN) .1 2

Vì OO O laø tam giaùc ñeàu neân ABC laø tam giaùc ñeàu .1 2

Vấn đề 5 : PHÉP QUAY

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ÑN : Trong maët phaúng cho moät ñieåm O coá ñònh vaø goùc löôïng giaùc . Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm

M thaønh ñieåm M sao cho OM = OM vaø (OM;OM ) = ñöôïc goïi laø pheùp quay taâm O vôùi

Pheùp quay hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát taâm vaø goùc quay

Kí hieäu : Q .O

goùc quay .

Chuù yù : Chieàu döông cuûa pheùp quay chieàu döông cuûa ñöôøng troøn löïông giaùc .

2k Q pheùp ñoàng nhaát , k

(2k+1) Q pheùp ñoái xöùng taâm I , k

2 Tính chaát :

ÑL : Pheùp quay laø moät pheùp dôøi hình .

HQ :

1.Pheùp quay bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø baûo toaøn thöù töï cuûa caùc ñieåm töông

öùng .

2. Ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng th

aúng .

3. Tia thaønh tia .

4. Ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .

(O ; )

Q Q

5. Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâm tröïc taâm , troïng taâm troïng taâm )

Q

6. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . ( Taâm bieán thaønh taâm : I I , R

I I

I = R )

7. Goùc thaønh goùc baèng noù .

B. BÀI TẬP

(O ; )

/1 Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm M(x;y) . Tìm M = Q (M) .

(O ; )

HD :

x = rcos Goïi M(x;y) . Ñaët : OM = r , goùc löôïng giaùc (Ox;OM) = thì M

y = rsin

Q/ /

Vì : M M . Goïi M (x ;y ) thì ñoI

/ /ä daøi OM = r vaø (Ox;OM ) = + .

Ta coù :

x = rcos( + ) = acos .cos asin .sin x cos ysin .

y = rsin( + ) = asin .cos acos .sin xsin y cos .

x = x cos ysin / Vaäy : M

y = xsin y cos

(O ; )

(I ; )

o o

(I ; )

o o

Ñaëc bieät :

Qx = x cos ysin / /

M M

y = xsin y cos

Q x x = (x x )cos (y y )sin / o o o

M M

y y = (x x )sin (y y )cosI(x ;y )o o o

Q

M

I(x ;y )

I

I

I

x x = (x x )cos (y y )sin / / o o o

M

y y = (x x )sin (y y )coso o o

(O ; 45 )

2 Trong mpOxy cho pheùp quay Q . Tìm aûnh cuûa :

(O;45 )

2 2 a) Ñieåm M(2;2) b) Ñöôøng troøn (C) : (x 1) + y = 4

Q

/ / /Giaûi . Goïi : M(x;y) M (x ;y ) . Ta coù : OM = 2 2, (Ox; OM) I

=

x = rcos( +45 ) r cos .cos45 rsin .sin 45 x.cos45 y.sin 45/Thì M

y = rsin( +45 ) r sin .cos45 r cos .sin 45 y.cos45 x.sin 45

2 2x = x y

/ 2 2 M

2 2y = x y

2 2

(O ; 45 )

(O ; 45 )

(O ; 45 )

Q

/ a) A(2;2) A (0 ;2 2)

Q/ Taâm I(1;0) Taâm I ?

b) Vì (C) : (C ) : Bk : R = 2 Bk : R = R = 2

Q2 2 2 2/ 2 2

I(1;0) I ( ; ) . Vaäy : (C ) : (x ) + (y ) =

2 2 2 2

I

I 4

1 3x = x y

2 23 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : . Hoûi f laø pheùp gì ?

3 1y = x y

2 2

Giaûi

x = x cos ysin

3 3Ta coù f : M(x;y) M (x ;y ) vôùi f laø pheùp quay Q

(O; )y = xsin y cos

33 3

I

4 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng ( ) : 2x y+1= 0 . Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng qua :

a) Pheùp ñoái xöùng taâm I(1; 2). b) Pheùp quay Q .

(O;90 )

Giaûi

a) Ta coù : M (x ;y ) = Ñ (M) thì bieåu thöùc I

x 2 x x 2 x

toïa ñoä My 4 y y 4 y

Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 0 2(2 x ) ( 4 y ) 1 0 2x y 9 0

M (x ;y ) ( ) : 2x y 9 0

I

(O;90 )

Ñ

Vaäy : ( ) ( ) : 2x y 9 0

Q

b) Caùch 1 : Goïi M(x;y) M (x ;y ) . Ñaët (Ox ; OM) = , OM = r ,

Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r .

x = rcos Khi ñoù : M

y

I

I

(O;90 )

(

Q

x r cos( 90 ) r sin y x y M

= rsin y xy r sin( 90 ) rcos x

Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + 1 = 0 x 2y + 1 = 0 M (x ;y ) ( ) : x 2y 1 0

Q

Vaäy : ( )

I

I O;90 )( ) : x 2y 1 0

(O;90 )

(O;90 )

(O;90 )

Q

Caùch 2 : Laáy : M(0;1) ( ) M ( 1;0) ( )

Q1 1

N( ;0) ( ) N (0; ) ( )

2 2

Q

( ) ( ) M N : x 2y 1 0

I

I

I

(O;90 )

(O;90 )

Q1

Caùch 3 : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) maø heä soá goùc : k 2 k

2

Q

M(0;1) ( ) M (1;0) ( )

Qua M (1;0)

( ) : ( )1 hsg ; k =

2

I

I

: x 2y 1 0

5 Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy cho A(3;4) . Haõy tìm toaï ñoä ñieåm A laø aûnh

o cuûa A qua pheùp quay taâm O goùc 90 .

HD :

Goïi B(3;0),C(0;4) laàn löôït laø hình chieáu cuûa A leân caùc truïc Ox,

Oy . Pheùp

oquay taâm O goùc 90 bieán hình chöõ nhaät OABC thaønh hình chöõ nhaät OC A B .

Khi ñoù : C (0;3),B ( 4;0). Suy ra : A ( 4;3).

6 Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy . Tìm pheùp quay Q bieán ñieåm A( 1;5)

thaønh ñieåm B(5;1) .

OA OB 26HD : Ta coù : OA ( 1;5) vaø OB (5;1)

OA.OB 0 OA OB

B = Q

(

(A) .

O ; 90 )

7 Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy , cho ñieåm M(4;1) . Tìm N = Q (M) .

(O ; 90 )

HD :

Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 0 4x+y = 0 y= 4x (1)

(O ; 90 )

2 2 Do : OM ON x y 16 1 17 (2) .

Giaûi (1) vaø

(2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1;4) .

Thöû laïi : Ñieàu kieän (OM;ON) 90 ta thaáy N( 1;4) thoaû maõn .

8 a)Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy , cho ñieåm A(0;3) . Tìm B = Q (A) .

(O ; 45 )

HD : Pheùp quay Q bieán ñieåm A Oy thaønh ñieåm B ñt : y x, ta coù :

(O ; 45 )

x y 0 2 2B B . Maø OB = x y 3 xB B

OA OB 3

o

3 3 3B( ; ).

B2 2 2

4 3 3 3 4 3b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q (A) B ( ; )

(O;60 ) 2 2

2 29 Cho ñöôøng troøn (C) : (x 3) (y 2) 4 . Tìm (C ) = Q (C) .

(O ; 90 )

2 2 HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ) : (x 2) (y 3) 4 .

(O ; 90 )

2 210 Cho ñöôøng troøn (C) : (x 2) (y 2 3) 5 . Tìm (C ) =

Q (C) .

(O ; 60 )

2 2 HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ) : (x 2) (y 2 3) 5 .

(O ; 60 )

2 211 Cho ñöôøng troøn (C) : (x 2) (y 2) 3 . Tìm (C ) = Q (C) .

(O ; 45 )

2 2 HD : Tìm aûnh cuûa taâm I : Q (I) I (1 2;1 2) (C ) : (x 1 2) (y 1 2) 3 .

(O ; 45 )

12 [CB-P19] Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy , cho ñieåm A(2;0) vaø ñöôøng thaúng (d) : x + y 2 = 0.

Tìm aûnh cuûa A vaø (d) qua pheùp quay Q .

(O ; 90 )

HD :

Ta coù : A(2;0) Ox . Goïi B = Q (

(O ; 90 )

A) thì B Oy vaø OA = OB .

Vì toaï ñoä A,B thoaû maõn pt (d) : x + y 2 = 0 neân A,B (d) .

Do B = Q (A) vaø töông töï Q (A) = C( 2;0)

(O ; 90 ) (O ; 90 )

x y x y neân Q (d) = BC (BC) : 1

(O ; 90 ) x y 2 2C C

1 x y 2 0

13 Cho (d) : x 3y 1 = 0 . Tìm = Q (d) . ( ) : 3x y 1 0

(O ; 90 )

14 Cho (d) : 2x y 2 = 0 . Tìm = Q (d) .

(O ; 60 )

1 3aûnhHD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A ( ; ),B ( 3;1)

2 2

( ) : ( 3 2 )x (2 3 1)y 4 0

15 Cho tam giaùc ñeàu ABC coù taâm O vaø pheùp quay Q .

(O;120 )

a) Xaùc ñònh aûnh cuûa caùc ñænh A,B,C .

b) Tìm aûnh cuûa ABC qua pheùp quay Q

(O;120 )

Giaûi

a) Vì OA = OB = OC vaø AOC BOC COA 120 neân Q : A B,B C,C A

(O;120 )

b) Q : ABC ABC

(O;120 )

I I I

16 [CB-P19] Cho hình vuoâng ABCD taâm O .

a) Tìm aûnh cuûa ñieåm C qua pheùp quay Q .

(A ; 90 )

b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng BC qua pheùp quay Q

(O ; 90 )

HD : a) Goïi E = Q (C) thì AE=AC va

(A ; 90 )

ø CAE 90 neân AEC

vuoâng caân ñænh A , coù ñöôøng cao AD . Do ñoù : D laø trung ñieåm cuûa EC .

b) Ta coù : Q (B) C vaø Q (B) C Q (BC) CD.

(O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 )

17 Cho hình vuoâng ABCD taâm O . M laø trung ñieåm cuûa AB , N laø trung ñieåm

cuûa OA . Tìm aûnh cuûa AMN qua pheùp quay Q .

(O;90 )

HD : Q (A) D , Q (M) M laø trung ñieåm cuûa A

(O;90 ) (O;90 )

D .

Q (N) N laø trung ñieåm cuûa OD . Do ñoù : Q ( AMN) DM N

(O;90 ) (O;90 )

18 [ CB-1.15 ] Cho hình luïc giaùc ñeàu ABCDEF , O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa noù . Tìm aûnh cuûa

OAB qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O

OE

OE (O;60 )

(O;60 ) (O;60 ) (O;60 )

OE OE OE

, goùc 60 vaø pheùp

tònh tieán T .

HD :

Goïi F = T Q . Xeùt :

Q (O) O,Q (A) B,Q (B) C .

T (O) E,T (B) O,T (C) D

Vaäy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D F( OAB) = EOD

19 Cho hình luïc giaùc ñeàu ABCDEF theo chieàu döông , O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa noù . I laø

trung ñieåm cuûa AB .

a) Tìm aûnh cuûa AIF qua pheùp quay Q .

(O ; 120 )

b) Tìm aû

nh cuûa AOF qua pheùp quay Q .

(E ; 60 )

HD :

a) Q bieán F,A,B laàn löôït thaønh B,C,D , trung ñieåm I

(O ; 120 )

thaønh trung ñieåm J cuûa CD neân Q ( AIF) CJB .

(O ; 120 )

b) Q bieán

(E ; 60 )

A,O,F laàn löôït thaønh C,D,O .

21 [ CB-1.17 ] Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BC . Ñieåm A chaïy treân nöûa ñöôøng troøn ñoù .

Döïng veà phía ngoaøi cuûa ABC hình vuoâng ABEF . Chöùng minh raèng : E chaïy

treân nöûa ñ

öôøng coá ñònh .

HD : Goïi E = Q (A) . Khi A chaïy treân nöûa ñöôøng troøn (O) ,

(B;90 )

E seõ chaïy treân nöûa ñöôøng troøn (O ) = Q [(O)] .

(B;90 )

22 Cho ñöôøng (O;R) vaø ñöôøng thaúng khoâng caét ñöôøng troøn . Haõy

döïng aûnh cuûa ( ) qua pheùp quay Q .

(O ; 30 )

Giaûi

Töø O haï ñöôøng vuoâng goùc OH vôùi . Döïng ñieåm H sao cho

(OH

;OH ) = 30 vaø OH = OH . Döïng ñöôøng troøn qua 3 ñieåm O,H,H ;

ñöôøng troøn naøy caét taïi ñieåm L . Khi ñoù LH laø ñöôøng thaúng phaûi döïng .

15 Cho ba ñieåm A,B,C theo thöù töï treân thaúng haøng . Veõ cuøng moät phía döïng hai tam giaùc ñeàu ABE vaø

BCF . Goïi M vaø N töông öùng laø hai trung ñieåm cuûa AF vaø CE . Chöùng minh raèng : BMN laø tam giaùc ñeàu .

HD :

Xeùt pheùp quay Q .Ta coù : Q (A) E , Q (F) C (B; 60 ) (B; 60 ) (B; 60 )

Q (AF) EC .(B; 60 )

Do M laø trung ñieåm cuûa AF , N laø trung ñieåm cuûa EC , neân :

Q (M) N BM (B; 60 )

= BN vaø MBN 60 BMN laø tam giaùc ñeàu .

23 Cho ñöôøng thaúng d vaø ñieåm O coá ñònh khoâng thuoäc d , M laø ñieåm

di ñoäng treân d . Haõy tìm taäp hôïp caùc ñieåm N sao cho OMN ñeàu .

Giaûi : OMN ñeàu OM ON vaø NOM 60 . Vì vaäy khi M chaï

y treân d thì :

N chaïy treân d laø aûnh cuûa d qua pheùp quay Q .

(O;60 )

N chaïy treân d laø aûnh cuûa d qua pheùp quay Q

(O; 60 )

24 Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O ) baèng nhau vaø caét nhau ôû A vaø B .

Töø ñieåm I coá ñònh keû caùt tuyeán di ñoäng IMN vôùi (O) , MB vaø NB caét

(O ) taïi M vaø N . Chöùng minh ñöôøng thaúng

M N luoân luoân ñi qua moät

ñieåm coá ñònh.

Giaûi

Xeùt pheùp quay taâm A , goùc quay (AO; AO ) = bieán (O) thaønh (O ) .

Vì MM vaø NN qua B neân (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) .

Qua pheùp quay Q : MI

(A; )

M , N N vaø do ñoù

Q

MN M N

Ñöôøng thaúng MN qua ñieåm coá ñònh I neân ñöôøng thaúng M N qua

ñieåm coá ñònh I laø aûnh cuûa I qua Q(A; )

I

I

25 Cho hai hình vuoâng ABCD vaø BEFG

a) Tìm aûnh cuûa ABG trong pheùp quay Q .

(B; 90 )

b) Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AG vaø CE .

Chöùng minh BMN vuoâng caân .

Giaûi

BA BC

a) Vì

(BA;

BG BE

vaø

BC) 90 (BG;BE) 90

Q : A C,G E Q : ABG CBE

(B; 90 ) (B; 90 )

b) Q : AG CE Q : M N BM BN vaø (BM;BN) = 90

(B; 90 ) (B; 90 )

BMN vuoâng caân taïi B .

I I

I

26 Cho ABC . Qua ñieåm A döïng hai tam giaùc vuoâng caân ABE vaø ACF . Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC

vaø giaû söû AM FE = H . Chöùng minh : AH laø ñöôøng cao cuûa AEF .

HD :

Xeùt pheùp quay Q : Keùo daøi FA moät ñoaïn AD = AF .

(A;90 )

Vì AF = AC AC = AD neân suy ra : Q bieán B , C laàn löôït thaønh E , D

(A;90 )

Ñ/nghóneân goïi trung ñieåm K cuûa DE thì K= Q (M)

(A;90 )

aMA AK (1) .

Trong DEF , vì AK laø ñöôøng trung bình neân AK // FE (2)

Töø (1),(2) suy ra : AM FE AH laø ñöôøng cao cuûa AEF .

27 Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng 2 vaø coù caùc ñænh veõ theo chieàu

döông . Caùc ñöôøng cheùo caét nhau taïi I. Treân caïnh BC laáy BJ = 1 . Xaùc ñònh

pheùp bieán ñoåi AI thaønh BJ .

HD

AB 2: Ta coù : AI= 1 AI BJ . Laïi coù : (AI,BJ) 45 .

2 2

BJ = Q (AI) . Taâm O = ttröïc cuûa AB cung chöùa goùc 45 ñi

(O;45 )

qua A,B BJ = Q (AI)

(O;45 )

28 [CB-1.18] Cho ABC . Döïng veà phía ngoaøi cuûa tam giaùc caùc hình vuoâng BCIJ,ACMN,ABEF

vaø goïi O,P,Q laàn löôït laø taâm ñoái xöùng cuûa chuùng .

a) Goïi D laø trung ñieåm cuûa AB . Chö

ùng minh raèng : DOP vuoâng caân taïi D .

b) Chöùng minh raèng : AO PQ vaø AO = PQ .

HD :

a) Vì : AI = Q (MB) MB = AI vaø MB AI .

(C;90 )

Maët khaùc : DP1

BM , DO

2

AI

DP = vaø DO DOP vuoâng caân taïi D .

(D;90 ) (D;90 )

b) Töø caâu a) suy ra :

Q Q

O P,A Q OA vaø PQ.I I

29 Cho ABC coù caùc ñænh kí hieäu theo höôùng aâm . Döïng

veà phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc hình vuoâng ABDE vaø BCKF .

Goïi P laø trung ñieåm cuûa AC , H laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua B ,

M laø tr

ung ñieåm cuûa ñoaïn FH .

a) Xaùc ñònh aûnh uûa hai vectô BA vaø BP trong pheùp quay Q .

(B;90 )

b) Chöùng minh raèng : DF BP vaø DF = 2BP .

HD :

BA = BH (cuøng baèng BD)

a) Ta coù :

(BA;BH) = 90

90 90 H Q (A) BH Q (BA)

B B

90 90 90 Vì : Q (A) H,Q (C) F Q (AC) HF .

B B B

90 90 Maø : F laø trung ñieåm cuûa AC , Q (F) M laø trung ñieåm cuûa HF . Do ñoù : Q (BP) BM

B B

.

90b) Vì : Q (BP) BM BP BM,BP BM .

B

1 1 Maø : BM = DF vaø BM // DF (Ñöôøng trung bình cuûa HDF ). Do ñoù : BP = DF , DF BP .

2 2

30 Cho töù giaùc loài ABCD . Veà phía ngoaøi töù giaùc döïng caùc tam giaùc ñeàu ABM , CDP . Veà phía trong

töù giaùc, döïng hai tam giaùc ñeàu BCN vaø ADK . Chöùng minh : MNPK laø hình bình haønh .

H

(B;90 )

(D;90 )

60D : Xeùt pheùp quay Q : M A , N C

B

Q

MN AC MN AC (1)

60Xeùt pheùp quay Q : P C , K A

D

Q

PK CA PK CA (2)

Töø (1) , (2) suy ra : MN = PK .

Lí luaän , töô

I I

I

I I

I

ng töï : MK = PN MKNP laø hình bình haønh .

(B;60 ) (B;60 )

31 Cho ABC . Veà phía ngoaøi tam giaùc , döïng ba tam giaùc ñeàu

BCA ,ACB ,ABC . Chöùng minh raèng : AA ,BB ,CC ñoàng quy .1 1 1 1 1 1

HD :

Q Q

Gæa söû AA CC I . Xeùt : A C,A C1 1 1 1

A A1

I I

I

(B;60 )

Q

CC (A A;CC ) 60 AJC 60 (1)1 1 1 1

Laáy treân CC ñieåm E sao cho : IE = IA . Vì EIA 60 EIA ñeàu .1

(A;60 ) (A;60 ) (A;60 )

Q Q Q

Xeùt : B C ,I E , B C1 1

Vì : C ,B,C thaúng haøng neân B,I,B thaúng haøng 1 1

AA ,BB ,CC ñoàng quy .1 1 1

I I I

32 Chöùng minh raèng caùc ñoaïn thaúng noái taâm caùc hình vuoâng döïng

treân caùc caïnh cuûa moät hình bình haønh veà phía ngoaøi , hôïp thaønh

moät hình vuoâng .

HD : Goïi I , I , I , I laø taâm cuûa1 2 3 4

(I;90 )

hình vuoâng caïnh AB,BC,CD,DA .

Duøng pheùp quay Q(I;90 ) : B C . Vì I BA I CD1 3

CI BI vaø DCI ABI 45 . Maø DC // AB CI BI3 1 3 1 3 1

Q

Vaäy : I I I I I I vaø I I I I .3 1 2 1 2 3 2 1 2 3

Lyù luaän töông t

I

Iöï , ta coù : I I I I laø moät hình vuoâng .

1 2 3 4

Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ÑL : Neáu ABC vaø A B C laø hai tam giaùc baèng nhau thì coù pheùp dôøi hình bieán ABC thaønh A B C .

2 Tính chaát :

1. Neáu thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp dôøi hình thì ñöôïc moät pheùp dôøi hình .

2. Hai hình goïi laø baèng nhau neáu coù pheùp dôøi hình bieán hình naøy thaønh hình kia .

B. BÀI TẬP

1 Cho hình chöõ nhaät ABCD . Goïi E,F,H,I theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh

AB,CD,BC,EF. Haõy tìm moät pheùp dôøi hình bieán AEI thaønh FCH .

HD :

Thöïc hieän lieân tieáp pheùp tònh tie

án theo AE vaø pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng IH

T : A E,E B,I H T ( AEI) EBHAE AE

I I I

Ñ : E F,B C,H H Ñ ( EBH) FCHIH IH

Ñ : T ( AEI) FCHIH AE

Do ñoù : Ñ T ( AEI) FCH AEI FCHIH AE

I I I

2 Cho hình chöõ nhaät ABCD . Goïi O laø taâm ñoái xöùng cuûa noù ; E,F,G,H,I,J theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa

caùc caïnh AB,BC,CD,DA,AH,OG . Chöùng minh raèng : Hai hình thang AJOE vaø GJFC baèng nhau .

HD :

Pheùp tònh tieán theo AO bieán A,I,O,E laàn löôït thaønh O,J,C,F . Pheùp ñoái

xöùng qua truïc cuûa OG bieán O,J,C,F laàn löôït thaønh G,J,F,C.

Töø ñoù suy ra pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp hai

pheùp bieán hình treân seõ bieán hình thang AJOE thaønh hình thang GJFC .

Do ñoù hai hình thang aáy baèng nhau .

3 [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) vaø ñöôøng thaúng (d) : 2x y = 0 . Tìm aûnh cuûa (d) qua pheùp

dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay Q vaø pheùp tònh tieán

(O;90 )

T .u

(O;90 ) u

QT

HD : PP : d d d

Goïi d Q (d) . Vì taâm O d neân Q (O) O d .

(O;90 ) (O;90 )

Maët khaùc : d d d : x 2y C 0 (C 0) maø d qua O neân C = 0 d : x + 2y = 0

Caùch khaùc : Choïn

I I

(O;90 )

Q

M(1;2) d M d .

x OM cos( 90 ) x OM cos cos90 OMsin sin 90 x x cos90 ysin 90 Ta coù : M

y OMsin( 90 ) y OMsin cos90 OM cos sin 90 y y cos90 xsin 90

I

x 1cos90 2sin 90 x 2M ( 2;1)

y 1y 2 cos90 1sin 90

Goïi d T (d ) d // d d : x 2y C 0 . u

x x 3 x 3 Goïi O T (O) OO = u O (3;1) .

uy y 1 y 1

Vì d O 3 2 C 0

C 5 d : x 2y 5 0

Vaäy :T Q (d) (d ) : x 2y 5 0u

(O;90 )

2 24 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : x y 2x 4y 4 0 coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp

tònh tieán theo u = (3; 1) vaø pheùp Ñ .Oy

2 2 ÑS : (C ) : (x + 4) (y 3) 9

2 25 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : x y 6x 2y 6 0 coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp

quay Q vaø pheùp Ñ .Ox

(O;90 )

HD : (C) coù taâm I(3;1) , bk : R = 2 . Khi ñoù :

(C) : I(3;1)

(O;90 ) Ox

QÑ

, R = 2 (C ) : I ( 1;3) , R = 2 (C ) : I ( 1; 3) , R = 2

2 2(C ) :(x + 1) (y 3) 4

I I

6 [CB-P23] Trong mpOxy cho caùc ñieåm A( 3;2),B( 4;5) vaø C( 1;3).

a) Chöùng minh raèng : Caùc ñieåm A (2;3),B (5;4) vaø C (3;1) theo thöù töï laø aûnh cuûa A,B vaø C qua Q .

(O; 90 )

b) Goïi A B C l1 1 1

aø aûnh cuûa ABC qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp

(O;

Q vaø pheùp ñoái xöùng Ñ . Tìm toaï ñoä caùc ñænh cuûa A B C .Ox 1 1 1

(O; 90 )

HD :

a) Goïi M,N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân Ox,Oy thì

M( 3;0),N(0;2).

Q

Khi ñoù : Hình chöõ nhaät OMAN I

90 )

(O; 90 )

hcnhaät OM A N

vôùi M (0;3),N (2;0).

Do ñoù : A (2;3) = Q (A) .

(O; 90 )

Ttöï : B (5;4) = Q (B),C (3;1) = Q (C) .

(O; 90 ) (O; 90 )

Q

Caùch khaùc : Gæa söû A A AOA vuoâng cI

aân taïi O .

Ñieàu ñoù ñuùng vì : OA = OA = 13, OA.OA 0 . Laøm töông töï cho B,C ta coù ñieàu caàn chöùng minh .

b) Pheùp quay : Q ( ABC) A B C ,Ñ ( A B C ) A B COx 1 1 1

(O; 90 )

1

1

x x 2A A

Khi ñoù : A (2; 3).Ttöï : B (5; 4),C (3; 1).1 1 1

y y 3A A

27 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P ) : y 2x ,

1

2 (P ) : y 2x 4x 1. Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ?

2

2 2 A) y 2x 4x 1 y 2(x 1) 3

B)

Tònh tieán sang traùi 1 ñôn vò roài xuoáng döôùi 3 ñôn vò ta ñöôïc (P ).2

C) (P ) vaø (P ) baèng nhau .1 2

D) Pheùp tònh tieán theo u = (1; 3) bieán (P ) thaønh (P ) .1 2

ÑS : B)

8 Trong mpOxy ,

(O;90 )

cho 4 ñieåm A(2;0),B(4;4),C(0;2) vaø D( 4;4) .

Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ?

A) Caùc OAC, OBD laø caùc tam giaùc vuoâng caân .

Q

B) Pheùp quay : OAB OCD .

C) OAB vaø OCD laø hai hì

Inh baèng nhau .

D) Toàn taïi moät pheùp tònh tieán bieán A thaønh B vaø C thaønh D .

ÑS : D)

9 Trong mpOxy cho ABC vôùi A( 3;0),B(0;3),C(2;4) . Pheùp bieán hình f bieán A thaønh A ( ;3) , B

thaønh B (2;6),C thaønh C (4;7) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng ?

3

A) f laø pheùp quay Q . B) f laø pheùp ñoái xöùng taâm I( 1; ) .

(O;90 ) 2

C) f laø pheùp tònh tieán theo vectô u = (2;3) . D) f laø pheùp ñoái xöùng truïc .

ÑS : C)

Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ

1 ÑN : Cho ñieåm I coá ñinh vaø moät soá k 0 . Pheùp vò töï taâm I tæ soá k .

k Kí hieäu : V , laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M sao cho IM k IM.

I

k

I

k2 Bieåu thöùc toïa ñoä : Cho I(x ;y ) vaø pheùp vò töï V .

o o I

x = kx+ (1 k)xV k o M(x;y) M V (M) (x ;y ) thì

Iy = ky+ (1 k)y

o

I

3 Tính chaát :

k k1. M V (M), N V (N) thì M N = kMN , M N = |k|.MN

I I

2. Bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø baûo toaøn thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng .

3. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho .

4. Bieán moät tia thaønh tia .

5. Bieán ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng maø ñoä daøi ñöôïc nhaân leân |k| .

6. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc ñoàng daïng vôùi noù .

7. Ñöôøng troøn coù baùn kính R tha ønh ñöôøng troøn coù baùn kính R = |k|.R .

8. Bieán goùc thaønh goùc baèng noù .

B . BÀI TẬP

1 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp vò töï taâm I , tæ soá k 0 :

a) A(1;2) , I(3; 1) , k = 2 .

A ( 1;5)

b) B(2; 3),I( 1; 2),k 3 . B ( 10;1)

1 c) C(8;3), I(2;1) , k = .

2

C (5;2)

2 1 1 d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ 3 P (1; ),Q ( ; )

3 3 3

(I;2)

2 4,R ( ; )

3 3

Vx 3 4

HD : a) Goïi : A(1;2) A (x ;y ) IA 2IA (x 3;y 1) 2( 2;3)

y 1 6

x 1 A ( 1;5) .

y 5

I

2 Cho ba ñieåm A(0;3),B(2; 1),C( 1;5) . Toàn taïi hay khoâng toàn taïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán

B thaønh C ?

HD : Gæa söû toàn taïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán B thaø

(A;k)

nh C .

V 11 k(2) Khi ñoù : B C AC kAB k

2 k( 4) 2

Vaäy : Toàn taïi pheùp vò töï V : B C .1

(A; )

2

3 Cho ba ñieåm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) . Toàn taïi hay khoâng toàn ta

I

I

(A;k)

ïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán

B thaønh C ?

HD : Gæa söû toàn taïi moät pheùp vò töï taâm A , tæ soá k bieán B thaønh C .

V

Khi ñoù : B C AC kAB (1) .I

4 Cho OMN . Döïng aûnh cuûa M,N qua pheùp vò töï taâm O , tæ soá k trong moãi tröôøng hôïp sau :

1 3 a) k = 3 b) k = c) k =

2 4

Giaûi

3a) Pheùp vò töï V : M M , N

OI I

N thì ta coù OM 3OM,ON 3ON

1/2b) Pheùp vò töï V : M H , N K thì HK laø ñöôøng trung bình cuûa OMN .

O

33/4c) Pheùp vò töï V : M P , N Q thì ta coù OP OM,OQ

O4

I I

I I 3

ON

4

5 Cho hình bình haønh ABCD (theo chieàu kim ñoàng hoà) coù taâm O . Döïng :

a) AÛnh cuûa hình bình haønh ABCD qua pheùp vò töï taâm O , tæ soá k = 2 .

b) AÛnh cuûa hình bình haønh ABCD qua pheùp vò t

1öï taâm O , tæ soá k = .

2

Giaûi

2 a) Goïi V : A A thì OA 2OA

O

B B thì OB 2OB

C C thì OC 2OC

D D thì O

I

I

I

I

D 2OC

2 V : ABCDM A B C D .

O

Ta veõ : AB// A B ,BC// B C ,CD // C D ,DA // D A

11/2b) Goïi V : A P thì OP OA

O2

1 B Q thì OQ OB

2

I

I

I

1 C R thì OR OC

2

1 D S thì OS OD

2

1/2 V : ABCDM PQRS .

O

Ta veõ : AB// PQ,BC// QR,CD // RS,DA // SP .

I

I

6 Cho ABC coù AB = 4, AC = 6 , AD laø phaân giaùc trong cuûa A cuûa ABC (D BC) . Vôùi giaù trò naøo

cuûa k thì pheùp vò töï taâm D , tæ soá k bieán B thaønh C .

HD :

Theo tính chaát cuûa phaân gi

( D; 3/2 )

aùc trong cuûa A , ta coù :

VDB AB 4 2 3

DC DB B C .

AC 6 3 2DC

Do DB vaø DC ngöôïc höôùng .

I

7 Cho ABC vuoâng ôû A vaø AB = 6, AC = 8 . Pheùp vò töï V bieán B thaønh B ,C thaønh C .3

(A; )

2

Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ?

9A) BB C C laø hình thang . B) B C = 12 . C) S S . D) Chu v

AB C ABC4

(A;3/2)

2i ( ABC) = Chu vi( AB C ) .

3

HD :

V

A) ñuùng vì B C BC .

3 3 2 2 B) sai vì : B C = BC AB AC 15

2 2

1 3 3.AB .AC .AB. .AC

S 9AB C 2 2 2 C) ñuùng vì : .

1S AB.AC 4ABC .AB.AC

2

Chu vi AB C 3 D) ñuùng vì :

Chu vi ABC 2

8 Cho ABC coù hai ñænh laø B vaø C coá ñònh , coøn ñænh A di ñoäng treân ñöôøng troøn (O) cho tröôùc .

Tìm taäp hôïp caùc troïng taâm cuûa ABC .

1

HD : Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC . Ta coù I coá ñònh . Neáu G laø troïng taâm cuûa ABC thì IG IA .

3

1/3 Vaäy G laø aûnh cuûa A qua pheùp vò töï V .

I

Taäp hôïp ñieåm A laø ñöôøng troøn (O) neân taäp hôïp G laø ñöôøng troøn (O ) , ñoù chính laø aûnh cuûa ñöôøng troøn

1/3 (O) qua pheùp vò töï V .

I

9 Trong mpOxy , cho ñieåm A( 1;2) vaø ñöôøng thaúng d

ñi qua A coù heä soá goùc baèng 1 . Goïi B laø ñöôøng

thaúng di ñoäng treân d . Goïi C laø ñieåm sao cho töù giaùc OABC laø hình bình haønh .Tìm phöông trình taäp

hôïp :

a) Caùc taâm ñoái xöùng I cuûa hình bình haønh .

b) Caùc troïng taâm G caùc tam giaùc ABC .

HD :

a)

Qua A( 1;2) (AB): (AB) : y 2 1(x 1) y x 3

Hsg : k = 1

1 Vaäy B chaïy treân d thì I chaïy treân d // d vaø ñi qua trung ñieåm M( ;1) cuûa ñoaïn OA .

2

3 Vaäy d : x y = 0 .

2

b) Ta

2 2 42/3 2/3 coù : OG OB G V (B) . Vaäy G chaïy treân ñt d // d vaø qua ñieåm N( ; ) V (A).

O O3 3 3

d : x y 2 = 0 .

10 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng d qua pheùp vò töï taâm I , tæ soá k :

2 a) d : 3x y 5 = 0 ,V(O; ) d : 9x 3y 1

3

0 0

b) d : 2x y 4 = 0 ,V(O;3) d : 2x y 12 0

c) d : 2x y 4 = 0 ,V(I; 2) vôùi I( 1;2)

d : 2x y 8 0

d) d : x 2y 4 = 0 ,V(I;2) vôùi I(2; 1) d : x 2y 8 0

11 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn (C) qua pheùp vò töï taâm I , tæ soá k : (Coù 2 caùch giaûi )

2 2 a) (C) : (x 1) (y 2) = 5 ,V(O; 2) (C) : (x 2) 2 2

(y 4) = 20

2 2 2 2 b) (C) : (x 1) (y 1) = 4 ,V(O; 2) (C) : (x 2) (y 2) = 16

2 2 c) (C) : (x 3) (y 1) = 5 ,V(I; 2) vôùi I(1;2)

2 2 (C) : (x 3) (y 8) = 20

12 Tìm pheùp vò töï bieán d thaønh d :

x y a) d : 1,d : 2x y 6 0,V(O;k)

2 4

2

k = .

3

HD : d : 2x y 4 0 // d : 2x y 6 0 . Laáy A(2;0) d,B(3;0) d .

3 Vì : pheùp vò töï V(O;k) : A B OB kOA . Vì : OA= (2;0),OB (3;0) OB OA

2

I

3 3V(O; ) V(O; )

2 2 Vaäy : A B d d

Löu yù : Vì O,A,B thaúng haøng neân ta choïn chuùng cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng . Ñeå ñôn giaûn ta choïn

chuùng cuøng naèm treân Ox hoaëc Oy

I I

.

2 2 2 2 b) (C ) : (x 4) y 2 ; (C ) : (x 2) (y 3) 8 V(I; 2),I( 2;1)

1 2

HD :

(C ) coù taâm I ( 4;0),R 2 , (C ) coù taâm I (2;3),R 2 21 1 1 2 2 2

V(I;k) Gæa söû :(C )

1I (C ) thì :

2

R2

R | k | R | k | 2 k 22 1

R1

II kII thì 2 1

k = 2 . Goïi I(x ;y ) thì (2 x ;3 y ) 2( 4 x ; y ) I( 2;1)o o o o o o

k = 2 . Goïi I(x ;y ) thì (2 x ;3 y ) 2( 4 x ; y ) I( 10; 3)o o o o o o

Vaäy coù 2 pheùp vò töï bieán (C ) (C ) laø V(I; 2) vôùi I( 2;1) hoaëc V(I;2) vôùi I( 10; 3)1 2

2 2 2 213 Trong mpOxy , cho 2 ñöôøng troøn (C ) : (x 1) (y 3) = 1 vaø (C ) : (x 4) (y 3) = 4 .

1 2

a) Xaùc ñònh toaï ñoä taâm vò töï ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn ñoù .

b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán c

hung ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn ñoù .

HD : (C ) coù taâm I (1;3) , bk : R 1 ; (C ) coù taâm I (4;3) , bk : R 2 .1 1 1 2 2 2

a) Goïi I laø taâm vò töï ngoaøi cuûa (C ) vaø (C ) , ta coù : II kII vôùi1 2 2 1

R 22

k = 2 I( 2;3)

R 11

b) Tieáp tuyeán chung ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn laø tieáp tuyeán töø I ñeán (C ).1

Goïi ñt ñi qua I vaø coù heä soá goùc k :y 3 = k(x+2) ky y 3 2k 0 .

1 tieáp xuùc (C ) d(I ; ) R k

1 1 12 2

: 2.x 4y 12 3 2 01

: 2.x 4y 12 3 2 02

14 Cho ñöôøng troøn (O,R) ñöôøng kính AB . Moät ñöôøng troøn (O ) tieáp xuùc vôùi (O,R) vaø ñoaïn AB taïi

C, D , ñöôøng thaúng CD caét (O,R) taïi I . Chöùng minh raèng : AI BI .

HD :

C laø taâm v

ò töï cuûa 2 ñöôøng troøn (O) vaø (O ) .

D (O ), I (O) vaø ba ñieåm C,D,I thaúng haøng .

Goïi R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (O ) , khi ñoù :

R

R V : O O ,I D

C

OI // O D OI AB (V

I I

ì O D AB)

I laø trung ñieåm cuûa AB AI BI .

15 Cho hai ñöôøng troøn (O,R) vaø (O , R ) tieáp xuùc trong taïi A (R > R ) .

Ñöôøng kính qua A caét (O,R) taïi B vaø caét (O , R ) taïi C . Moät ñöôøng

thaúng di ñoäng qua A caét (O, R) taïi M vaø ca

ét (O , R ) taïi N . Tìm quyõ tích cuûa I = BN CM .

HD :

IC CNTa coù : BM // CN . Hai BMI NCI . Do ñoù :

IM BM

AC CNHai ACN ABM . Do ñoù :

AB BM

IC AC 2R R IC R

IM AB 2R R IM IC R R

RV(C;k )

CI R RR R

CI CM M : I

CM R R R R

Vaäy : Taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn ( ) vò töï cuûa ñöôøng

I

R troøn (O,R) trong pheùp vò töï V(C ;k ) .

R R

16 Cho ABC . Goïi I , J . M theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AB, AC vaø IJ . Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp taâm O

cuûa AIJ , caét AO taïi A . Goïi M laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø A xuoáng BC

. Chöùng minh raèng : A ,

M , M thaúng haøng .

HD :

Goïi M laø trung ñieåm BC .Ta coù : AB 2AI vaø AC 2AJ1

V(A;2)Töø ñoù : AIJ ABC . Khi ñoù :

V : O A ,M M OM IJ A M BC .(A;2) 1 1

Nhö theá : M M A,M,M thaúng haøng ( vì A,M1

I I,M thaúng haøng )

1

17 Cho ABC . Goïi A ,B ,C töông öùng laø trung ñieåm cuûa BC,CA,1 1 1

AB. Keû A x,B y,C z laàn löôït song song vôùi caùc ñöôøng phaân giaùc trong1 1 1

cuûa caùc goùc A,B,C cuûa ABC . Chöùng minh : A x,B y,C z1 1 1

ñoàng quy.

HD :

1Xeùt pheùp vò töï taâm G , tæ soá . G laø troïng taâm ABC ,

2

I laø taâm ñöôøng troøn noâïi tieáp ABC .

Ta coù : AJ A x , BI B y , CI C z ,1 1 1

GI 1 I J ( ) A x,B y,C z ñoàng quy taï

1 1 1GJ 2

I I I

I i J .

18 Cho hai ñöôøng troøn (O ,R ) vaø (O ,R ) ngoaøi nhau1 1 2 2

R R . Moät ñöôøng troøn (O) thay ñoåi tieáp xuùc ngoaøi 1 2

vôùi (O ) taïi A vaø tieáp xuùc ngoaøi vôùi (O ) taïi B . Chöùng1 2

minh raèng : Ñöôøng thaúng AB luoân luoân ñi qua moät ñieåm

coá ñònh .

HD :

A laø taâm vò töï bieán (O ) thaønh (O) : AO vaø AO ngöôïc höôùng .1 1

B laø taâm vò töï bieán (O) thaønh (O ) : AO vaø AO ngöôïc höôùng .2 1

Keùo daøi AB caét (O ) taïi C : AO vaø2

CO ngöôïc höôùng .2

Vaäy : AO vaø CO ngöôïc höôùng . Nhö vaäy AC hay cuõng laø1 2

AB phaûi ñi qua taâm I aø taâm vò töï ngoaøi cuûa (O ) vaø (O ) .1 2

19 Cho ABC . Ngöôøi ta muoán ñònh ba ñieåm A ,B ,C laàn löôït treân caùc caïnh BC,CA,AB sao cho A B C

ñeàu vaø A B CA , B C AB vaø C A BC .

1. Goïi E,F,K laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng cao

phaùt xuaát töø A,B,C .

2/3 2/3 2/3 Ñaët : C = V (A),A = V (E),B = V (F).

B B B

22/3 a) Nghieäm laïi raèng : A = V (E) vaø B C CK .

B3

b) Suy ra raèng : A B C ñeàu .

2. Chöùng minh raèng tröïc

taâm H cuûa ABC cuõng laø troïng taâm cuûa A B C .

HD :

a 3Trong ABC ñeàu caùc ñöôùng cao : AE = BF = CK = .(a laø caïnh cuûa ABC)

2

vaø E,F,K laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh .

1. a) Vì A = V

2 2 1 22/3 2/3(E) BA BE BC CA ( BC) CA CB . Vaäy : A = V (E) .

B B3 3 2 3

2 2 1 22/3 2/3 Vì C = V (A) BC BA BA AC BA AC BA AK B = V (C).

B A3 3 3 3

2/3 2/3

A AV V 2

Vaäy : C B , K C B C CK .

3

I I

B C // CK cuøng AB2

b) Ta coù : B C CK 2 a 33 B C = CK =

3 3

2 2

Töông töï : C A AE vaø A B BF .

3 3

a 3

Vaäy : B C AB,C A BC,A B AC vaø B C =C A =A B = A B C ñeàu .

3

2. Tröïc taâm H cuûa ABC cuõng laø troïng taâm cuûa tam giaùc ñoù , neân :

2 2 2 2 BH BF. Maø : BC BA BH BC (BF BA) C H AF .

3 3 3 3

Vaäy : C H // AF . Suy ra : C

H A B

Lyù luaän töông töï : A H B C .

Vấn đề 8 : PHÉP ĐỒNG DẠNG

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ÑN : Pheùp bieán hình F goïi laø pheùp ñoàng daïng tæ soá k (k > 0) neáu vôùi hai ñieåm baát kì M , N vaø aûnh M ,

N laø aûnh cuûa chuùng , ta coù M N = k.MN .

2 ÑL : Moïi pheùp ñoàng daïng F tæ soá k (k> 0) ñeàu laø hôïp thaønh cuûa moät pheùp vò töï tæ soá k vaø moät pheùp

dôøi hình D.

3 Heä quaû : (Tính chaát ) Pheùp ñoàng daïng :

1. Bieán 3 ñieåm thaúng haøng thaønh 3 ñieåm thaúng haøng (vaø baûo toaøn thöù töï ) .

2. Bieán ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng .

3. Bieán tia thaønh tia .

4. Bieán ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng maø ñoä daøi ñöôïc nhaân leân k ( k laø tæ soá ñoàn

g daïng ) .

5. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc ñoàng daïng vôùi noù ( tæ soá k).

6. Bieán ñöôøng troøn coù baùn kính R thaønh ñöôøng troøn coù baùn kính R = k.R .

7. Bieán goùc thaønh goùc baèng noù .

4

Hai hình ñoàng daïng :

ÑN : Hai hình goïi laø ñoàng daïng vôùi nhau neáu coù pheùp ñoàng bieán hình naøy thaønh hình kia .

F H ñoàng daïng G F ñoàng daïng : H GI

B.BÀI TẬP

1 Cho ñieåm M

a) Döïng aûnh cuûa pheùp ñoàng daïng F laø hôïp thaønh cuûa pheùp ñoái xöùng truïc Ñ vaø pheùp vò töï V taâm O ,a

vôùi O a , tæ soá k = 2 .

b) Döïng aûnh cuûa pheùp ñoàng daïng F laø

2

a O

hôïp thaønh cuûa pheùp vò töï V taâm O , tæ soá k = 3 vaø pheùp quay

taâm I vôùi goùc quay = 90 .

Giaûi

Ñ V

a) Goïi : M M M1 2

M (a) thì M M vaø M laø trung ñieåm OM1 2

M (a) v

I I

aø O M thì :1

a laø trung tröïc ñoaïn MM1

M laø trung ñieåm ñoaïn OM 1 2

M (a) vaø O M thì :1

a laø trung tröïc ñoaïn MM1

M laø trung ñieåm ñoaïn OM 1 2

b) Goï

3 90

O IV Q

i M M M . Khi ñoù : 1 2

OM 3OM , IM = IM vaø (IM ;IM) 901 1 1

I I

2 Cho ABC coù ñöôøng cao AH . H ôû treân ñoaïn BC . Bieát AH = 4 , HB = 2 , HC = 8 . Pheùp ñoàng daïng F

bieán HBA thaønh HAC . F ñöôïc hôïp thaønh bôûi hai pheùp bieán hình naøo döôùi ñaây ?

A) P1

heùp ñoái xöùng taâm H vaø pheùp vò töï taâm H tæ soá k = .

2

B) Pheùp tònh tieán theo BA vaø pheùp vò töï taâm H tæ soá k = 2 .

C) Pheùp vò töï taâm H tæ soá k = 2 vaø pheùp quay taâm H , goùc (H

B;HA) .

D) Pheùp vò töï taâm H tæ soá k = 2 vaø pheùp ñoái xöùng truïc .

HD :

2 Pheùp V vaø Q(H; ) vôùi = (HB;HA) : B A, A C

H

Vaäy : F laø pheùp ñoàng daïng hôïp thaønh bôûi V vaø Q bieán HB

I IA thaønh HAC .

3 Cho hình bình haønh ABCD coù taâm O . Treân caïnh AB laáy ñieåm I sao cho IA 2IB 0 vaø goïi G laø

troïng taâm cuûa ABD . F laø pheùp ñoàng daïng bieán AGI thaønh COD . F ñöôïc hôïp thaønh

bôûi hai pheùp

bieán hình naøo sau ñaây ?

A) Pheùp tònh tieán theo GO vaø pheùp vò töï V(B; 1) .

1 B) Pheùp ñoái xöùng taâm G vaø pheùp vò töï V(B; ).

2

3 C) Pheùp vò töï V(A; ) vaø pheùp ñoái xöùng

2

taâm O .

2 D) Pheùp vò töï V(A; ) vaø pheùp ñoái xöùng taâm G .

3

2/3

OA

HD :

3 Vì G laø troïng taâm ABD neân AO AG

2

3 Theo giaû thieát , ta coù : AB AJ .

2

Pheùp ñoái xöùng taâm O , bieán A thaønh C vaø B thaønh D ( O laø baát bieán )

ÑV

A AI I

2/3 2/3

O OA AÑ ÑV V

C . G O O . I B D .I I I I

O

3V(A; )

Ñ2

AGI AOB COD

Pheùp ñoàng daïng F

. . . .. . . . . . HẾT . . . . . . ..