Physics 2211: Lecture 17, Pg 1 Agenda di oggi Lavoro e energia Review Lavoro fatto da una forza variabile Molla Potenza

Physics 2211: Lecture 17, Pg 1

Agenda di oggi Agenda di oggi

Lavoro e energia

*Review

*Lavoro fatto da una forza variabile

*Molla

*Potenza


Review: Forza CostanteReview: Forza Costante

Il lavoro, W, di una forza costante FF

Che agisce attraverso uno

spostamento rr è è :

W = FF r r = F r cos() = Fr rr

FF

rr

displace

ment

Fr


Lavoro fatto da una forza variabile : (1D)Lavoro fatto da una forza variabile : (1D)

Quando la forza era costante

scrivevamo W = F x

Che è l’area sotto F :

Per una forza variabile, calcoliamo l’area integrando

dW = F(x) dx. F

x

Wg

x

2

1

x

x

dx)x(FW

F(x)

x1 x2 dx


Teorema lavoro/energia cinetica per una forza Teorema lavoro/energia cinetica per una forza variabilevariabile

2

1

x

x

W dtmma

ΔKEm21

m21

)(21

m

FF dx

dx2

1

x

x dtm dv

dxdv

2

1

v

v

m v dv

v22 v1

2 v22 v1

2

dv

dxv

dxdxdv dv dv

dxv

2

1

v

v

m

dt=

dt=


The graph F (in N) vs x (in m) is shown for the net force F acting on a 0.25 kg object that moves only along the x axis. If the object has a velocity of +7 m/s at x=0, what is the maximum kinetic energy between x=0 m and x=9 m?

(1) 6.1 J (2) 14 J

(3) 9.1 J (4) 10 J

(5) 8.1 J

F+2

-2

1133111331

4X

1 2 3 5 6 7 8 9


Un piano inclinato sta accelerando con velocità costante a. Una scatola ferma sul piano è tenuta sul posto dall’attrito statico. Quante forze stanno facendo lavoro sul blocco?

aa

(1)(1) 1 (2)(2) 2(3) (3) 33


Tracciamo prima tutte le forze agenti sul sistema:

aa

mgmg NN

FFSS


aa

mgmg NN

Ricordiamo che W = FF r r così soltanto le forze che hanno una componente lungo la direzione dello spostamento stanno compiendo lavoro.

FFSS

La risposta è (b) 2.


MollaMolla

Legge di Hooke: Legge di Hooke: La forza esercitata da una molla è proporzionale alla distanza a cui la molla è stirata o compressa rispetto alla posizione di riposo.

FX = -k x Dove x è lo spostamento dalla posizione di riposo e k è la

costante di proporzionalità.

Posizione di riposo

FX = 0

x


Molla...Molla...



costante di proporzionalità

Posizione di riposo

FX = -kx > 0

xx 0


Molla...Molla...



costante di proporzionalità

FX = - kx < 0

xx > 0

Posizione di riposo


Scale:Scale:

Le molle possono essere calibrate per farci conoscere la forza applicata. Possiamo calibrare le scale e leggere Newtons,

02468


Esempio di forza variabile 1-D : MollaEsempio di forza variabile 1-D : Molla

Per una molla sappiamo che Fx = -kx.

F(x) x2

x

x1

-kxrelaxed position

F = - k x1

F = - k x2


Molla...Molla...

Il lavoro fatto dalla molla Ws durante uno spostamento da x1 a x2 è l’area sotto F(x) fra

x1 e x2.

Ws

F(x) x2

x

x1

-kxrelaxed position


Molla...Molla...

2

1

2

2s

x

x

2

x

x

x

xs

xxk2

1W

kx2

1

dxkx

dxxFW

2

1

2

1

2

1

)(

)(F(x) x2

Ws

x

x1

-kx

Il lavoro fatto dalla molla Ws durante uno spostamento da x1 a x2 è l’area sotto F(x) fra x1 e x2.


Una scatola che scivola su di una superficie orizzontale in assenza di attrito corre verso una molla comprimendola ad una distanza x1 dalla sua posizione di riposo mentre momentaneamente si arresta.

Se la velocità iniziale della scatola viene raddoppiata e la sua massa viene dimezzata, quanto lontano è il punto x2 a cui viene compressa la molla ?

x

(a)(a) (b) (b) (c)(c)12

xx 12

x2x 12

x2x


Nuovamente, usiamo il fatto che WNET = K.

x1v1

così kx2 = mv2

k

mvx 1

11

m1

m1

In questo caso, WNET = WSPRING = -1/2 kx2

e K = -1/2 mv2

Nel caso di x1


x2v2

k

mvx

m2

m2

Così se v2 = 2v1 e m2 = m1/2

k

2mv

k

2mv2x 1

11

12

12x2x


Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Una molla di costante elastica K è stirata ad una distanza d, e una massa m è posta al suo

estremo. La massa è rilasciata dalla sua posizionecon velocità nulla. Qual’è la velocità della massa quando essa ritorna alla posizione di riposo se il piano di scivolamento è senza attrito?

Posizione di riposo

Posizione stirata (ferma)

dafter release

Ritorno alla posizione di riposo

vr

v

m

m

m

m


Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Trovare prima ill lavoro netto fatto sulla massa durante il moto da x = d a x = 0 (dovuto soltanto alla molla):


d

posizione a riposo

vr

m

m

ii

2222

1

2

2skd

2

1d0k

2

1xxk

2

1W


Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.

Troviamo ora la variazione nell’energia cinetica della massa :


d

Posizione a riposo

vr

m

m

ii

2r

21

22 mv

21

mv21

mv21

ΔK


Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.

Usiamo il Teorema del Lavoro ed dell’energia cinetica : Wnet = WS = K.


d

Posizione a riposo

vr

m

m

ii

1

22kd 2

rmv21

mk

dv r


Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Supponiamo che ci sia un coefficiente di attrito fra il blocco e il pavimento. Il lavoro totale fatto sul blocco è ora la somma del lavoro fatto dalla molla WS (lo stesso di prima) e il lavoro fatto dall’attrito Wf.

Wf = ff.ΔrΔr = - mg d


d

Posizione a riposo

vr

m

m

ii

f = mg

rr


Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Usiamo di nuovo Wnet = WS + Wf = K

Wf = -mg d


d

Posizione a riposo

vr

m

m

ii

f = mg

rr

W kdS 1

22 2

rmv21

K

2r

2 mv21

mgdkd21 gd2d

mk

v 2r μ


PotenzaPotenza

Abbiamo visto che W = FF.rr

NON DIPENDE DAL TEMPO!

FF

rr

vv

PdW

dt

La potenza è la

“variazione del lavoro

fatto nel tempo”:

Se la forza non dipende dal tempo

: dW/dt = FF.drr/dt = FF.v v P =

FF.vv Unità di misura: J/sec = N-m/sec = Watts


PotenzaPotenzaUn carrello di 2000 kg è spinto su una

a 30 gradi con una velocità di

20 mi/hr fino alla sommità.

Quanta potenza è necessaria ?

La potenza è P = FF.v v = TT.v v

Poichè il carrello non sta accelerando, la forza netta deve essere nulla. Nella direzione x :

T - mg sin = 0

T = mg sin

vv

mg

TT

winch

xy


PotenzaPotenza

P = TT.vv = Tv poichè TT è parallela a vv

Così P = mgv sin

v = 20 mi/hr = 8.94 m/sg = 9.81 m/s2

m = 2000 kgsin = sin(30o) = 0.5

e P = (2000 kg)(9.81 m/s2)(8.94 m/s)(0.5) = 87,700 W

vv

mg

TT

winch

xy


Riassunto della lezione di oggiRiassunto della lezione di oggi

Lavoro fatto dalla molla

Potenza

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