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POSTECH PHYSICS104 2015. 2nd semesterDepartment of Physics Design & Build Lab.

2-4. 직렬 및 병렬 RLC 회로의 공진 특성 조사

1. 실험목적

RLC 회로의 공진주파수 및 공진특성 그리고 감쇄진동모드에 대해 알아보자.

2. 이론 및 원리아래 그림은 단진자와 주기적 운동에 따른 역학적 에너지의 변화를 나타낸다. 단진자의 경우 위치에너지와 운동에너지는 서로 반대의 위상을 가지고 상호 전환되지만 총 역학적 에너지는 언제나 일정하게 유지된다.

그림 1. 단진자와 역학적 에너지 (위치에너지와 운동에너지)의 진동.<공진회로 및 감쇄진동 특성>그림 2는 LC 공진회로를 나타낸다. 단진자의 역학적 진동과 마찬가지로 LC 공진회로 내에서는 전자기적 진동이 일어나며, 축전기의 전기에너지와 인덕터의 자기에너지가 180°의 위상차로 진동하지만 계의 총에너지 역시 언제나 보존된다.

그림 2. LC 공진회로와 전자기적 에너지 (전기에너지와 자기에너지)의 진동.


만약 LC 회로에 저항과 같은 에너지 손실원이 존재할 경우에는 매 주기마다 저항을 통해 줄열에 의한 전력손실이 발생하기 때문에 진동이 지속될수록 에너지의 크기가 지수 함수적으로 줄어드는 감쇄진동을 하게 된다. 대표적인 감쇄진동 형태를 그림 3에 나타내었다. (Young & Freedman p500, Fig. 13.25; p1169, Fig. 30.16 참조)

(I) 과도감쇄 (overdamped): 평형상태에 도달하는 시간이 아주 긴 형태 (II) 임계감쇄 (critical damping): 진동없이 평형상태에 도달하는 형태 (III) 저감쇄 (underdamped): 임계감쇄보다 평형상태에 빨리 도달하지만 진동이 지속되면서 불안정한 형태

그림 3. RLC 회로와 감쇄진동.

그림 3의 전압이 인가되지 않는 직렬 RLC회로의 경우 다음과 같은 전류방정식을 얻을 수 있다.

이 이차 미분방정식을 풀면 해는 같은 꼴로 주어진다. 이를 대입하여 풀어보자.

준식 ,

실수와 허수부분을 분리하자.

허수 :

실수 : , 위에서 얻은 를 대입하면


즉

이러한 감쇄진동의 형태는 감쇄인자 (damping factor)인 저항의 크기에 의존하기 때문에 저항이 만족하는 조건에 따라 진동의 특성은 다음과 같이 세 경우로 구분된다.

(I) 과도감쇄 (II)

임계감쇄 (Ⅲ)

저감쇄

(Ⅲ)과 같은 저감쇄의 경우 RLC 회로의 진동수는 다음과 같이 주어진다.

만약 이

에 비해 매우 적을 경우 감쇄진동은 LC 회로의 자연유진동수 (natural

frequency)와 근사적으로 같아진다.

≈

≪

<RLC 직렬 및 병렬 회로의 특성>이러한 RLC 회로의 감쇄진동은 외부구동력(external driving force)을 이용하여 지속적으로 진동을 유지할 수 있으며, 그 특성에 따라 크게 직렬과 병렬 RLC 회로로 구분할 수 있다. 그림 4는 간단한 직렬/병렬 RLC 회로를 나타낸다. 교류회로에서는 저항의 크기가 주파수에 따라 달라지는 소자들이 존재하는데 바로 축전기, C와 인덕터, L이다. 이와 같이 주파수에 종속적인 저항을 리액턴스 (reactance)라 한다. 따라서 교류회로에서의 저항 성분은 주파수에 독립인 R이 가진 부하저항과 L과 C가 가진 리액턴스로 구성되어 있다.

그림 4. (a) 직렬 RLC 회로 및 (b) 병렬 RLC 회로

교류회로에서 R, L, C의 전기적 특성과 임피던스는 다음과 같다.

▶ , 부하저항: 줄열에 의한 전력손실원


▶ , 유도성 리액턴스 (inductive reactance) - L에 의한 저항

: 전류의 변화를 방해하는 성질로 전력손실원은 아니다.

( pf. 교류 전원에서 이므로,

에 대입 하면,

이므로 유도성 리액턴스 임을 알 수 있다.)

▶ , 용량성 리액턴스 (capacitive reactance) - C에 의한 저항

: 축전기의 충/방전 특성 때문에 나타난 저항성분으로 전력손실원은 아니다.

(pf. 마찬가지로

에서 유도할 수 있다.)

▶ , 임피던스 (impedance) : 교류회로의 저항을 의미하며 “부하저항과 리액턴스의 합으로 정의된다.

일반적으로 교류회로에서는 전압과 전류사이에 위상차가 발생하게 되는데, 이것은 L과 C 때문에 나타나는 효과이다. L에서는 자체유도현상 때문에 전류가 전압보다 90° 뒤지며, C에서는 충/방전특성 때문에 전류가 전압보다 90° 앞서게 된다. L과 C에 의한 이러한 위상차가 교류회로의 전력효율을 나쁘게 하는 주된 원인이 된다. 그림 5는 각 소자들에 인가되는 전위차 사이의 관계와 위상차 (phase difference) 를 나타낸다.

그림 5. 교류회로에서 R, L, C 에 인가되는 단자전압 사이의 위상차

그런데 이 되는 특정 조건하에서 전류와 전압의 위상이 같아질 때가 있는데, 이 경우 교류회로는 순수하게 저항, R만을 가진 회로와 같이 행동한다. 이 조건이 만족될 때를 공진 (resonance)이라한다. 공진을 만족하는 교류전원의 주파수를 공진주파수 (resonance frequency), 라 하며, 이 주파수에서 L과 C에 의한 리액턴스는 서로 상쇄되어 RLC 회로


는 R만 존재하는 단순한 회로로 동작하게 되며 전력효율도 최대가 된다. 이때의 공진주파수는 다음과 같이 주어진다.

→

⇒ ∴

1) 직렬 RLC 회로

직렬 RLC 회로의 임피던스와 위상차는 다음과 같이 주어진다. (그림 5 참조)

→ ∴

tan tan

위에서 언급한 것과 같이 이면, 위상차 는 0이 되고, 임피던스 Z는 R이 된다. 이 조건하에서 회로의 전류는 최대가 되며, 역시 최대가 된다. 그리고 과 사이의 위상차도 사라지게 된다. 직렬 RLC 회로의 주파수에 따른 전류특성은 그림 6(a)와 같다.

min ≠

∴

max → ∴

max


그림 6. 주파수에 따른 (a) 직렬 RLC 회로와 (b) 병렬 RLC 회로의 전류특성.

그림 6(a)의 과 는 공진주파수를 중심으로 전력이 절반이 되는 주파수를 각각 나타낸다.

그림에서 볼 수 있듯이 직렬 RLC 회로의 경우 공진주파수, 에서 최대 전력효율을 얻을 수

있으며, 이 적을수록 공진주파수에서의 반응성이 좋아진다. RLC 회로의 주파수

특성은 Q-인자(quality factor) = 로 결정되며, 이 값이 클수록 좋은 주파수 특성을 가

지게 된다.

2) 병렬 RLC 회로

R을 제외한 병렬 LC 회로의 임피던스와 공진조건은 다음과 같다.

∴

⇒ ∴


위에서 언급한 것과 같이 공진주파수에서 위상차 는 0이 되고, 임피던스 Z는 R이 된다. 공진조건하에서 병렬 LC에 의한 임피던스 Z는 무한대 [(1/Z)=0]가 되기 때문에 회로를 통해 흐르는 전류는 최소값을 가지게 된다. [그림 6(b)] 그러나 공진조건 하에서 축전기와 인덕터 양단에 인가되는 전압은 최대가 된다. 이는 직렬회로의 특성으로 저항이 클수록 저항에 인가되는 전압강하도 커지는 것과 같다.

∴ min ∴ max

저항 R 까지 포함한 전체 임피던스는 다음과 같다.


3. 실험장치 및 방법

1) 실험장치RLC 회로, 코일 (1200회), 신호발생기, 오실로스코프, T-형 BNC 커넥터 (1개), BNC-BNC 커넥터 (1개), BNC-악어클립 (2개), 디지털 멀티미터, LCR미터, 악어클립 (4개)

2) 실험방법

<을 이용한 직렬 RLC 회로의 공진주파수 측정>

① 직렬 RLC 회로와 주변장치를 구성한 후 오실로스코프 전원을 켠다. (단, )

② 신호발생기를 켠 다음, sine 파를 RLC 회로와 오실로스코프 CH1에 입력한다.


③ 오실로스코프의 CH2는 위 그림과 같이 저항 양단에 연결한다. (극성에 주의)

④ 신호발생기의 주파수를 변화시켜 가며 의 변화를 조사한다.

⑤ 위 결과를 표 2-1에 기록하고, max일 때의 공진주파수를 측정한다.

<리사쥬 도형을 이용한 공진주파수 측정> ① 오실로스코프의 “Horiz"를 누른 다음 ”Time mode"를 “XY"로 설정한다.

② 신호발생기의 주파수를 변화시켜 가며 리사쥬 도형을 표 2-2에 그리고 이를 이용하여 공진주파수를 측정한다.

<전류를 이용한 공진주파수 측정> ① 아래 그림과 같이 회로를 구성한다. (저항 R은 임의 값으로 설정한다.)

② 신호발생기의 주파수를 변화시켜가며 멀티미터의 전류변화를 표 2-3에 기록한다.

③ 위의 자료를 이용하여 공진주파수를 결정한다.

<를 이용한 병렬 RLC 회로의 공진주파수 측정>

① 병렬 RLC 회로를 구성한 후 오실로스코프의 전원을 켠다. (단, ) ② 신호발생기를 켠 다음, sine 파를 RLC 회로와 오실로스코프 CH1에 입력한다.


③ 오실로스코프의 CH2는 위 그림과 같이 축전기 양단에 연결한다. (극성에 주의)

④ 신호발생기의 주파수를 변화시켜 가며 의 변화를 조사한다.

⑤ 위 결과를 표 3-1에 기록하고, max일 때의 공진주파수를 측정한다.

<리사쥬 도형을 이용한 공진주파수 측정> ① 오실로스코프의 “Horiz"를 누른 다음 ”Time mode"를 “XY"로 설정한다.

② 신호발생기의 주파수를 변화시켜 가며 리사쥬 도형을 표 3-2에 그리고 이를 이용하여 공진주파수를 결정한다.

<전류를 이용한 공진주파수 측정> ① 아래 그림과 같이 회로를 구성한다. (저항 R은 임의 값으로 설정한다.)

② 신호발생기의 주파수를 변화시켜가며 멀티미터의 전류변화를 표 3-3에 기록한다.

③ 위의 자료를 이용하여 공진주파수를 결정한다.


<RLC 회로의 감쇄진동 특성 조사> ① 아래 그림과 같이 회로를 구성한다. (저항 R은 임의 값으로 설정한다.)

② 신호발생기를 켜고 "Pulse"를 선택한 다음 입력전압에 대한 파라미터를 설정한다. ( )

③ 오실로스코프는 위 그림과 같이 축전기 양단에 연결한다. (극성에 주의)

④ 가변저항의 R 값을 변화시켜 가며 오실로스코프 상의 파형 변화를 관찰한다. ※) 멀티미터를 이용하여 가변저항을 임계감쇄 조건에 대응되는 으로 맞춘다.※) 멀티미터를 이용하여 가변저항을 과 로 바꿔가며 진동모양을 관찰한다.

<참고: RLC 회로 기판의 세부 배선도>


(a) 측정 시 전극의 위치 (b) 측정 시 전극의 위치


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성 명:

학 번:

분반/조:

조 원:

담당교수:

담당조교:

실험일시: 년 월 일 요일 시

제출일시: 년 월 일 요일 시


- 44 -

참값

측정값

오차의 크기

4. 실험결과 및 분석

1. RLC 회로 기판에 주어진 소자들의 참값과 측정값을 이용하여 공진주파수를 계산하라.


- 43 -

공진주파수,

공진주파수,

2. 위 1-(a)의 직렬 RLC 회로에 대한 공진주파수를 결정하라. ① 오실로스코프를 이용하여 주파수 변화에 따른 의 변화를 아래 표 2-1에 기록하고, 이

자료로부터 공진주파수, 을 결정하라.

표 2-1. 주파수에 따른 의 변화

② 와 을 이용하여 표 2-2의 주파수들에 대한 리사쥬 곡선을 아래 표에 첨부하고, 이로

부터 공진주파수, 을 결정하라. (각 주파수에서의 위상차도 평가하라.)

표 2-2. 주파수에 따른 리사쥬 곡선과 와 사이의 위상차의 변화


- 44 -

공진주파수,

③ 전류계를 이용하여 주파수 변화에 따른 의 변화를 아래 표 2-3에 기록하고, 이 자료로부터 공진주파수, 을 결정하라.


④ 표 2-3의 자료를 이용하여 주파수에 따른 의 변화에 대한 그래프를 그리고, 이 그래프로부터 “Q-인자”를 평가하라. (엑셀을 이용하여 얻은 그래프를 아래 첨부하라.)

▶ -그래프


- 45 -

공진주파수, 평균 공진주파수

이론값 ① ② ③

상대오차 계산 (percent error %)

▶ ∴

⑤ 위 ①, ②, ③에서 얻은 공진주파수를 이론적으로 계산한 결과와 비교한 뒤, 상대오차를 평가하라.

▶ 공진주파수와 상대오차

⑥ 위 ⑤에서 평가한 상대오차의 원인을 오차전파(error propagation) 원리를 이용하여 해석해 보라. ( L과 C의 불확정도, 이론적으로 계산한 참값)

※참고)

→ ∴ ∙∙


- 46 -

공진주파수,

공진주파수,

3. 위 1-(b)의 병렬 RLC 회로에 대한 공진주파수를 결정하라. ① 오실로스코프를 이용하여 주파수 변화에 따른 의 변화를 아래 표 3-1에 기록하고, 이

자료로부터 공진주파수, 을 결정하라.


② 와 을 이용하여 아래 주파수에 대한 리사쥬 곡선을 그리고, 이로부터 공진주파수,

을 결정하라. (각 주파수에서의 위상차도 평가하라.)

표 3-2. 주파수에 따른 리사쥬 곡선과 와 사이의 위상차의 변화


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공진주파수,

공진주파수, 평균 공진주파수

이론값 ① ② ③

상대오차 계산 (percent error %)

③ 전류계를 이용하여 주파수 변화에 따른 의 변화를 아래 표 3-3에 기록하고, 이 자료로부터 공진주파수, 을 결정하라.


④ 위 ①, ②, ③에서 얻은 공진주파수를 이론적으로 계산한 결과와 비교한 뒤, 상대오차를 평가하라.

▶ 공진주파수와 상대오차


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∴

(임계감쇄 조건)

4. 실험과정 <RLC 회로의 감쇄진동 특성 조사>에서와 같이 회로를 구성한 뒤 오실로스코프를 이용하여 저항의 변화에 따른 RLC회로의 감쇄진동특성을 조사하라.

① R-값들에 따른 감쇄진동 모양을 표 4-1에 그려보라. (가능하면 세밀하게) 표 4-1. R에 따른 의 변화

② 에서 감쇄진동의 주파수를 측정하고

와 비

교해 보고, R의 역할을 설명하라.


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5. 결론 (본 실험을 통해 얻은 결과를 간단히 기술하라.)

6. 본 실험과정동안 발생한 문제점 및 보완점들을 간단히 정리하라.

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