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Physik
Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2016 / 2017
HSDHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 27. Oktober 2016
VektorenBewegung in drei Dimensionen
HSDHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences
Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2016 / 2017
27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
~x
Spiele-Copyright: http://www.andreasilliger.com/index.php
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
~x
a
b
Koordinatensystem
Betrag
Pythagoras|~x| =p
a
2 + b
2
Richtung
a Einheiten in Richtung x, b Einheiten in Richtung y~x =
✓a
b
◆
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
~x
Spiele-Copyright: http://www.andreasilliger.com/index.php
a = 92b = 543
a
b
Richtung
92 Einheiten in Richtung x, 543 Einheiten in Richtung y
Betrag
~x =
✓92543
◆
|~x| =p922 + 5432
= 550.7
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
~x
Spiele-Copyright: http://www.andreasilliger.com/index.php
Spezialfall Ortsvektor
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
Allgemein: Ohne Ort
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27. Oktober 2016
Rechenregeln
• Addition• Subtraktion• Multiplikation mit Skalar
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27. Oktober 2016
~a~b
~b
~c = ~a+~b~a
~c
Addition
• Addition zweier Vektoren gibt wieder einen Vektor.
• Anschaulich: Die beiden Vektoren werden aneinander ,gehängt‘.
• Der Summenvektor zeigt von der Basis von zur Spitze von .
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27. Oktober 2016
~a
~b
~c = ~a+~b
ax
ay
by
bx
Addition
• Addition zweier Vektoren gibt wieder einen Vektor.
• Formal: die Komponenten der Vektoren werden addiert.
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27. Oktober 2016
~a
~b
~c = ~a+~b
ax
ay
by
bx
cx
= ax
+ bx
cy = ay + by
Addition
• Addition zweier Vektoren gibt wieder einen Vektor.
• Formal: die Komponenten der Vektoren werden addiert.
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27. Oktober 2016
~b
~a
�~b
~c = ~a�~b
~c
cx
= ax
� bx
cy
= ay
� by
Subtraktion
• Anschaulich: b wird umgedreht, dann werden die beiden Vektoren aneinander ,gehängt‘
• Formal: die Komponenten werden subtrahiert.
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27. Oktober 2016
~b
~a
~c = ~a�~b
~c
cx
= ax
� bx
cy
= ay
� by
~b~a
~c
�~b
Subtraktion• Alternativ: a und b werden
am gleichen Startpunkt abgetragen.
• Der Differenzvektor zeigt dann von der Spitze von zur Spitze von .
• Diese Darstellung spielt bei Bewegungen eine Rolle.
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27. Oktober 2016
~a ~a ~a ~a
~c = 4 · ~a
cx
= s · ax
cy
= s · ay
~c = s · ~a
Multiplikation mit einem Skalar
• Ein Vektor multipliziert mit einem Skalar ist wieder ein Vektor.
• Anschaulich: ein Vektor wird mehrfach an sich selber gehängt.
• Formal: die Komponenten werden mit dem Skalar multipliziert.
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27. Oktober 2016
~a = c1 · ~x1 + c2 · ~x2 + c3 · ~x3 + . . .
Linearkombination
• Eine Linearkombination ist die Summe mehrere Vektoren• Die einzelnen Vektoren können durch skalare Multiplikation
verlängert oder verkürzt sein.
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~ez
Kartesische Koordinaten
René Descartes1596 - 1650
~ex
~ey
Einheitsvektoren• Für jede Raumrichtung gibt
es einen Einheitsvektor.• Er hat die Richtung der
jeweiligen Achse.• Sein Betrag ist Eins.
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Kartesische Koordinaten
~ex
~ey
~ey =
✓01
◆~ex
=
✓10
◆
Einheitsvektoren
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~a =
✓ax
ay
◆
~a = ax
· ~ex
+ ay
· ~ey
Einheitsvektoren
• Jeder Vektor kann als Linearkombination der Einheitsvektoren dargestellt werden.
• Die skalaren Vorfaktoren entsprechend grade den Komponenten des Vektors.
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~b =
✓bx
by
◆
~a =
✓ax
ay
◆
~c =
✓cx
cy
◆
~c = ~a+~b
=
✓ax
ay
◆+
✓bx
by
◆
=
✓ax
+ bx
ay
+ by
◆=
✓cx
cy
◆
~c = ~a�~b =
✓ax
� bx
ay
� by
◆=
✓cx
cy
◆
~c = s · ~a = s ·✓
ax
ay
◆=
✓s · a
x
s · ay
◆
Addition
Subtraktion
Multiplikationmit Skalar
Vektoren
Rechenregeln - Zusammenfassung
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27. Oktober 2016
~a = c1 · ~x1 + c2 · ~x2 + c3 · ~x3 + . . .
Linearkombination
Einheitsvektoren
~a = ax
· ~ex
+ ay
· ~ey
~ey =
✓01
◆~ex
=
✓10
◆
Rechenregeln - Zusammenfassung
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v(t) =�x
�t
= x(t)
a(t) =�v
�t
= v(t) = x
x(t)Teilchenbahn
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Experimente: beschleunigte Luftkissenbahn, fallende Kugel
Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung
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x (px)
y (p
x)
Quelle: http://www.andreasilliger.com/index.php
~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)~x(t4)
~x(t5)
~x(t6)~x(t7)
~x(t8)
~x(t9)
~x(t)
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x (px)
y (p
x)
Quelle: http://www.andreasilliger.com/index.php
~x(t1) ~x(t2)
�~x = ~x(t2)� ~x(t1)�t = t2 � t1
~v(t)
~v =�~x
�t
= ~x
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
Quelle: http://www.andreasilliger.com/index.php
~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)~x(t4)
~x(t5)
~x(t6)~x(t7)
~x(t8)
~x(t9)
~a(t)
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
Quelle: http://www.andreasilliger.com/index.php
~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)
~a(t)
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
Quelle: http://www.andreasilliger.com/index.php
~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)
~a(t)
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27. Oktober 2016
x (px)
y (p
x)
Quelle: http://www.andreasilliger.com/index.php
~x(t1) ~x(t2) ~x(t3)
~a(t)
�~v = ~v(t2)� ~v(t1)�t = t2 � t1
~a =�~v
�t= ~v
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27. Oktober 2016
~v =�~x
�t
=~x(t2)� ~x(t1)
t2 � t1
=1
t2 � t1·✓
x(t2)� x(t1)y(t2)� y(t1)
◆
~x(t) =
✓x(t)y(t)
◆
~v(t) = ~x(t) =
✓x(t)y(t)
◆
Geschwindigkeit
• Die Komponenten können unabhängig voneinander betrachtet werden.
• Der Vektor stellt zwei Bewegungsgleichungen gleichzeitig dar: eine für die x-Richtung, eine für die y-Richtung.
• Die Gleichungen sind die selben wir für den eindimensionalen Fall.
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s. Skript S. 3-8
~vB
~vA
Relativgeschwindigkeit Addition von Geschwindigkeits-Vektoren
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Relativgeschwindigkeit Addition von Geschwindigkeits-Vektoren
~vB
~vA
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27. Oktober 2016
Relativgeschwindigkeit Addition von Geschwindigkeits-Vektoren
~vB ~vA
~v = ~vA + ~vB
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27. Oktober 2016
http://www.fotocommunity.de/pc/pc/display/29289223
Funken
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Turmwurf
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27. Oktober 2016
Turmwurf
~x =
✓x(t)y(t)
◆
=
✓12a
x
0t2 + v
x
0 t+ x012a
y
0t2 + v
y
0 t+ y0
◆
x0 = 0
v
x
0 = 10m/s
a
x
0 = 0
y0 = 30m
v
y
0 = 0
a
y
0 = g = �9.81m/s2.
~x =
✓v
x
0 t12gt
2 + y0
◆
Allgemeine Lösung:
Konkrete Lösung: