22
Physik A VL21 (27.11.2012) Physik A VL21 (27.11.2012) Schwingungen und Wellen II Wellen, Gedämpfte Schwingungen • Wellen • Gedämpfte Schwingungen schwache Dämpfung aperiodischer Grenzfall Kriechfall Kriechfall 1

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Physik A – VL21 (27.11.2012)Physik A VL21 (27.11.2012)

Schwingungen und Wellen II – Wellen, g g ,Gedämpfte Schwingungen

• Wellen

• Gedämpfte Schwingungen

◦ schwache Dämpfung

◦ aperiodischer Grenzfall

◦ KriechfallKriechfall

1

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Schwingungen und Wellen

E i B h ib S h iErinnerung: Beschreibung von Schwingungen

◦ Schwingungsdauer T◦ Amplitude x◦ Amplitude 0x◦ Phase 0ϕ◦ Kreisfrequenz

Tπω 2

0 =

)sin()( ϕω +⋅⋅= txtx

T0

)sin()( 000 ϕω += txtx

Diff i l l i h d h h S h• Differentialgleichung der harmonischen Schwingung

020 =⋅+ xx ω&&Federpendel

mD

=0ω

02 =+ ϕωϕ&&

020 =⋅+ αωα&&mathematisches Pendel

(kleine Auslenkungen)

physikalisches Pendel

lg

=0ω

mgd

2

00 =+ ϕωϕphysikalisches PendelJg

=0ω

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Schwingungen und Wellen

B h ib W llBeschreibung von Wellen• Schwingungen, die zusätzlich ihren Ort ändern, sind Wellen

• Wellen sind zeitlich und örtlich periodische Vorgänge

• Beschreibung von Wellen→ Bewegung: Wellenlänge λ, Bewegungsgeschwindigkeit c !

• Wellen sind zeitlich und örtlich periodische Vorgänge

→ Bewegung: Wellenlänge λ, Bewegungsgeschwindigkeit c !

◦ Periodendauer T

F1

◦ Wellengeschwindigkeit cc

◦ FrequenzT

◦ Wellenlängeν

λ c=

◦ Kreisfrequenzπω 2

=

◦ Amplitude 0u

◦ KreisfrequenzT

ω =

W ll hlπ2k

)sin()( 0 xkuxu ⋅⋅=

ktktctt ⋅π22

3

◦ Wellenzahlλ

=k xktckttt ⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅λ

νπω 2

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Schwingungen und Wellen

B h ib W ll

• Wellen in Raum und Zeit – Die Wellen-Differentialgleichung

Beschreibung von Wellen

O t bhä i W ll l i h Z it bhä i S h i l i h

)sin()( 0 xkuxu ⋅⋅=

Ortsabhängige Wellengleichung

)sin()( 0 tutu ⋅⋅= ωZeitabhängige Schwingungsgleichung

)sin(),( 0 xktutxu −⋅= ω

k ωνππ===

22it

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⇒

xtutxu ωsin),( 0

cck

λ===mit

⎭⎬

⎩⎨ ⎟

⎠⎜⎝ c

),( 0

⇒ Änderungen von x und t = Ableitungen in x und t: partielle Ableitungentu

xu

∂∂

∂∂ ,

eindimensionale Wellengleichung- für alle Wellen gültig -

tx ∂∂

2

2

22

2 1tu

cxu

∂∂

=∂∂

4

für alle Wellen gültig tcx ∂∂

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Schwingungen und Wellen

B h ib W llBeschreibung von Wellen

22

• Wellen in Raum und Zeit – Die Wellen-Differentialgleichung

eindimensionale Wellengleichung 2

2

22

2 1tu

cxu

∂∂

=∂∂ ?

⇒ Einsetzen und überprüfen:

⎫⎧⎟⎞

⎜⎛∂ xu ω ⎫⎧

⎟⎞

⎜⎛∂ xu

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−=

∂∂

cxtu

cxu ωω cos0

xu 22 ω ⎫⎧ ⎞⎛∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−=

∂∂

cxtu

tu ωω cos0

cxtu

cxu

2

022 sin

ω

ωω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−=

∂∂

cxtu

tu

2

02

2

2

sin ωω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−=

∂∂

uc2−= u2ω−=

i di i l W ll l i h22 1 uu ∂∂

5

eindimensionale Wellengleichung 222 tcx ∂=

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Schwingungen und Wellen

A b it W ll

• Frage: Wie kann sich eine Welle im Raum bewegen?

Ausbreitung von Wellen

1. Bewegung in Ausbreitungsrichtung: longitudinale Welle

Beispiel:Schallwellen

2. Bewegung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: transversale Welle

Beispiele:W llWasserwellen,

Seilwellen

6

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i

• in der Realität hört jede Schwingung irgendwann auf !

Gedämpfte Schwingungen

Eine ungedämpfte Schwingung hat eine konstante Schwingungsenergie und damit eine konstante Amplitude.

Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Schwingungsenergie und damit die Amplitude dauernd ab.g g g p

• Ursache für die Dämpfung sind Energieverluste durch Reibung

7

• Ursache für die Dämpfung sind Energieverluste durch Reibung

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i

• Beispiel: ein an einem Federpendel befestigter Kolben taucht in eine Flüssigkeit

Gedämpfte Schwingungen

⇒ Stokes‘sche Reibungskraft (~v) dämpftdie Schwingung des Pendels

xvFR &=∝

Vermutung:exponentieller Abfall der Schwingungsamplitude?

⇒ Aufstellung einer Bewegungsgleichung mit Reibungskraft proportional

der Schwingungsamplitude?

8

zur Geschwindigkeit

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i B l i h

• Aufstellung einer Bewegungsgleichung mit Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit:

Gedämpfte Schwingungen - Bewegungsgleichung

g

F &

xmxDFx &&⋅=⋅−=0=++→

⎭⎬⎫

xDxxm &&& βxvFR =∝ ⎭

mD

=20ωmit m2

βδ =undm m2

0220 =++→ xxx &&& δω

Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung

⇒ Lösungsansatz für die DGL: Benutzung komplexer Zahlen !

)()()( tyitxtz +=

9

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i B l i h

• Lösung der Bewegungsgleichung

Gedämpfte Schwingungen - Bewegungsgleichung

Lö tt λ)( λ k l Z hl

◦ Ableitungen:

◦ Lösungsansatz: teztz λ⋅= 0)( z, z0, λ: komplexe Zahlen

teztz λλ ⋅⋅= 0)(&teztz λλ ⋅⋅= 0

2)(&&◦ Einsetzen in die Differentialgleichung 022

0 =++ xxx &&& δωEinsetzen in die Differentialgleichung 020 ++ xxx δω

0)2( 020

2 =⋅⋅++⇒ tez λωλδλ

◦ Lösung der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

02 20

2 =++ ωλδλ 20

222 2 ωδδλδλ −=++→

20

2 ωδδλ −±−=⇒

◦ δ und ω0 sind reele Zahlen !

10

δ und ω0 sind reele Zahlen ! ⇒ λ ist komplex, wenn der Term unter der Wurzel negativ ist

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i B l i h

• Lösung der Bewegungsgleichung

Gedämpfte Schwingungen - Bewegungsgleichung

20

2 ωδδλ −±−= 0

◦ schwache Dämpfung ⇒ Radikant wird negativ: 20

2 ωδ <

2)1( eωδλ ⋅−±−=⇒ mit 220 δωω −±=e

12 −=i

h l h !Lö l i h titt ωδ ±−)(

Lösungsansatz: teztz λ⋅= 0)(

ωe ist nicht gleich ω0 !⇒ Lösungsgleichung: tit eeeztz ωδ ±⋅⋅= 0)(

◦ Realteil der Lösung (mit und ):ϕcos)Re( ⋅= rzϕ⋅⋅= ierz

)cos()Re())(Re( 0 teztz et ωδ ⋅⋅= −

Realteil der Lösung (mit und ):ϕcos)Re( rze

11

Lösung der gedämpften Schwingungsgleichung - Schwingfall

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung

)cos()Re())(Re( 0 teztz et ωδ ⋅⋅= −Lösung der gedämpften Schwingungsgleichung:

• Diskussion der Lösung

)cos()( 0 textx et ωδ ⋅⋅=⇒ −

• Diskussion der Lösung

◦ ωe und δ sind positive relle Zahlen !22 δωω ± 22 ωδ <mit und 022 =++ xxx &&& δω

◦ Überlagerung einer periodischen Funktion mit Kreisfrequenz ωe und einer abklingenden Exponentialfunktion mit Exponent δt

0 δωω −±=e 0ωδ <mit und 020 =++ xxx δω

einer abklingenden Exponentialfunktion mit Exponent –δt.

◦ ωe hängt wie bei der ungedämpften Schwingung nur von der Masse m und der Federkonstanten D ab, nicht von der Amplitude m

D=↔ 0ω

◦ System schwingt mit ωe < ω0, Schwingungsdauer ist T > T0.

◦ die periodische Schwingung wird durch die Exponentialfunktion gedämpft !

12

◦ nach der Zeit 1/δ hat die Amplitude auf den Wert x0/e abgenommen

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung

)cos()( 0 textx et ωδ ⋅⋅= −

-10 s10=ω

x(t)

)()( 0 e

1

-1s 3=δ0-1s 3,0=δ

t / s

-1s 10=δaperiodischer Grenzfall

-1s 1=δ

13

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung

• Betrachtung zweier aufeinanderfolgender Maxima: nx 1+nx)1( tn ⋅+⋅−δ

.0

)1(01 conste

exex

xx t

tn

tn

n

n ==⋅⋅

= ⋅−⋅⋅−

⋅+⋅+ δ

δ

δ

D f d l i h i h D k tδΛ

⇒ Verhältnis beliebiger, aufeinanderfolgender Amplituden:

• Definition des logarithmischen Dekrements: tδ=Λ

.constex

x kkn == Λ⋅−+

xn

• Bestimmung des Energieverlusts mit logarithmischem Dekrement:

21◦ Anfangsenergie 2

0 21 DxE =

◦ Die Schwingungsamplitude x nimmt mit der Zeit t ab1 11 11

→ Abnahme der Energie: 2

21

nn DxE = Λ−⋅== nnn eDxDxE 22

02

21

21 Λ−Λ− ⋅=⋅== nn

nn eEeDxDxE 20

220

2

21

21

Λ− nEE 20 1

14

⇒ Damit gilt für den relativen Energieverlust: Λ−−= n

n

n eE

EE 20 1

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung

• Es wirkt eine Reibungskraft

⇒ Die mechanische Energie Ekin + Epot beim gedämpften harmonischen Oszillator ist zeitlich nicht konstant

t / s

15

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i i di h G f llGedämpfte Schwingungen – aperiodischer Grenzfall

• Spezialfall: 20

2 ωδ =20

2 ωδδλ −±−=mit

⇒ Radikant wird Null ⇒ Lösung wird reell: δλ −=

Das System schwingt nicht !Es kehrt in Ausgangslage zurück !

textx δ−⋅=⇒ 0)(

• Beweis der Richtigkeit des Ansatzes

◦ Differentialgleichung: 0220 =++ xxx &&& δω

22 2 δδoder mit :20

2 ωδ = 022 =++ xxx &&& δδ

◦ Lösung: textx δ−⋅= 0)( → 1. Ableitung: textx δδ −⋅⋅−= 0)()(&tδδ 2)(&&→ 2. Ableitung: textx δδ −⋅⋅= 0

2)(&&

◦ Einsetzen der Funktion und der Ableitungen in die (reelle) Differentialgleichung:

0)(222 −−− ttt δδδ δδδδ

16

0)(2 002

02 =⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅ ttt exexex δδδ δδδδ

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i i di h G f llGedämpfte Schwingungen – aperiodischer Grenzfall

• Spezialfall: 20

2 ωδ = textx δ−⋅=⇒ 0)(

• Das System kehrt in kürzest möglicher Zeit in die Ausgangslage zurück !

Das System schwingt nicht !

-10 s10=ω

x(t)-1s 3,0=δ

-1s 3=δ

-11δ-1s10=δ tt δ−)(

t / s

-1s1=δ17

s 10δaperiodischer Grenzfall

textx δ⋅= 0)(

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i i di h G f ll

• Beispiel: Stoßdämpfer: Düsenberg 1930

Gedämpfte Schwingungen – aperiodischer Grenzfall

Feder

Stoß-dämpfer

M (R d)

18

Masse (Rad)

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i K i hf llGedämpfte Schwingungen – Kriechfall

• Fall: 20

2 ωδ >20

2 ωδδλ −±−=mit

⇒ Radikant wird positiv ⇒ Wurzel liefert reelle Zahl: 20

2 ωδδλ −−= m

20

2

0)( ωδδ −− ⋅⋅=⇒ meextx t

0

Das System schwingt nicht !Es bewegt sich exponentiell in die Ausgangslage Ruhelage urück !Es bewegt sich exponentiell in die Ausgangslage = Ruhelage zurück !

Dies geschieht langsamer als beim aperiodischen Grenzfall !!

19

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Schwingungen und Wellen

G dä ft S h i K i hf llGedämpfte Schwingungen – Kriechfall

• Fall: 20

2 ωδ >20

2

0)( ωδδ −− ⋅⋅=⇒ meextx t

1x(t) -110

Das System schwingt nicht !Es bewegt sich exponentiell in die Ausgangslage = Ruhelage zurück !

150sδ −=( ) 1

0 s10=ω

1100 sδ −=

-1s 10=δaperiodischer Grenzfall

textx δ−⋅= 0)(

115 sδ −=

20

t / sDies geschieht langsamer als beim aperiodischen Grenzfall !!

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Zusammenfassung

G dä ft S h i V l i h d Fäll

aperiodischer Grenzfallx(t)

Gedämpfte Schwingungen – Vergleich der Fälle

textx δωδ −⋅=⇒= 22 )(aperiodischer Grenzfall

Kriechfall

( )

20

2

020

2 )( ωδδωδ −− ⋅⋅=⇒> meextx t

extxωδ =⇒= 00 )(

Schwingfall )cos()( 020

2 textx et ωωδ δ ⋅⋅=⇒< −

t / s

21

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G dä ft S h i V l i h d Fäll

Zusammenfassung

x(t)

Gedämpfte Schwingungen – Vergleich der Fälle

Betrachtung der Grenzsituation (δ nahe ω)

0δ ω>

0δ ω=

0δ ω<

t / sÜberschwingen/Einschwingen des Systems

22

Einschwingen ist dann sinnvoll, wenn mit Haftreibung zu rechnen ist (verhindert blockieren!)