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Physik A – VL21 (27.11.2012)Physik A VL21 (27.11.2012)
Schwingungen und Wellen II – Wellen, g g ,Gedämpfte Schwingungen
• Wellen
• Gedämpfte Schwingungen
◦ schwache Dämpfung
◦ aperiodischer Grenzfall
◦ KriechfallKriechfall
1
Schwingungen und Wellen
E i B h ib S h iErinnerung: Beschreibung von Schwingungen
◦ Schwingungsdauer T◦ Amplitude x◦ Amplitude 0x◦ Phase 0ϕ◦ Kreisfrequenz
Tπω 2
0 =
)sin()( ϕω +⋅⋅= txtx
T0
)sin()( 000 ϕω += txtx
Diff i l l i h d h h S h• Differentialgleichung der harmonischen Schwingung
020 =⋅+ xx ω&&Federpendel
mD
=0ω
02 =+ ϕωϕ&&
020 =⋅+ αωα&&mathematisches Pendel
(kleine Auslenkungen)
physikalisches Pendel
lg
=0ω
mgd
2
00 =+ ϕωϕphysikalisches PendelJg
=0ω
Schwingungen und Wellen
B h ib W llBeschreibung von Wellen• Schwingungen, die zusätzlich ihren Ort ändern, sind Wellen
• Wellen sind zeitlich und örtlich periodische Vorgänge
• Beschreibung von Wellen→ Bewegung: Wellenlänge λ, Bewegungsgeschwindigkeit c !
• Wellen sind zeitlich und örtlich periodische Vorgänge
→ Bewegung: Wellenlänge λ, Bewegungsgeschwindigkeit c !
◦ Periodendauer T
F1
◦ Wellengeschwindigkeit cc
◦ FrequenzT
=ν
◦ Wellenlängeν
λ c=
◦ Kreisfrequenzπω 2
=
◦ Amplitude 0u
◦ KreisfrequenzT
ω =
W ll hlπ2k
)sin()( 0 xkuxu ⋅⋅=
ktktctt ⋅π22
3
◦ Wellenzahlλ
=k xktckttt ⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅λ
νπω 2
Schwingungen und Wellen
B h ib W ll
• Wellen in Raum und Zeit – Die Wellen-Differentialgleichung
Beschreibung von Wellen
O t bhä i W ll l i h Z it bhä i S h i l i h
)sin()( 0 xkuxu ⋅⋅=
Ortsabhängige Wellengleichung
)sin()( 0 tutu ⋅⋅= ωZeitabhängige Schwingungsgleichung
)sin(),( 0 xktutxu −⋅= ω
k ωνππ===
22it
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=⇒
xtutxu ωsin),( 0
cck
λ===mit
⎭⎬
⎩⎨ ⎟
⎠⎜⎝ c
),( 0
⇒ Änderungen von x und t = Ableitungen in x und t: partielle Ableitungentu
xu
∂∂
∂∂ ,
eindimensionale Wellengleichung- für alle Wellen gültig -
tx ∂∂
2
2
22
2 1tu
cxu
∂∂
=∂∂
⇒
4
für alle Wellen gültig tcx ∂∂
Schwingungen und Wellen
B h ib W llBeschreibung von Wellen
22
• Wellen in Raum und Zeit – Die Wellen-Differentialgleichung
eindimensionale Wellengleichung 2
2
22
2 1tu
cxu
∂∂
=∂∂ ?
⇒ Einsetzen und überprüfen:
⎫⎧⎟⎞
⎜⎛∂ xu ω ⎫⎧
⎟⎞
⎜⎛∂ xu
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−=
∂∂
cxtu
cxu ωω cos0
xu 22 ω ⎫⎧ ⎞⎛∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−=
∂∂
cxtu
tu ωω cos0
cxtu
cxu
2
022 sin
ω
ωω⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−=
∂∂
cxtu
tu
2
02
2
2
sin ωω⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−=
∂∂
uc2−= u2ω−=
i di i l W ll l i h22 1 uu ∂∂
5
eindimensionale Wellengleichung 222 tcx ∂=
∂
Schwingungen und Wellen
A b it W ll
• Frage: Wie kann sich eine Welle im Raum bewegen?
Ausbreitung von Wellen
1. Bewegung in Ausbreitungsrichtung: longitudinale Welle
Beispiel:Schallwellen
2. Bewegung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: transversale Welle
Beispiele:W llWasserwellen,
Seilwellen
6
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i
• in der Realität hört jede Schwingung irgendwann auf !
Gedämpfte Schwingungen
Eine ungedämpfte Schwingung hat eine konstante Schwingungsenergie und damit eine konstante Amplitude.
Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Schwingungsenergie und damit die Amplitude dauernd ab.g g g p
• Ursache für die Dämpfung sind Energieverluste durch Reibung
7
• Ursache für die Dämpfung sind Energieverluste durch Reibung
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i
• Beispiel: ein an einem Federpendel befestigter Kolben taucht in eine Flüssigkeit
Gedämpfte Schwingungen
⇒ Stokes‘sche Reibungskraft (~v) dämpftdie Schwingung des Pendels
xvFR &=∝
Vermutung:exponentieller Abfall der Schwingungsamplitude?
⇒ Aufstellung einer Bewegungsgleichung mit Reibungskraft proportional
der Schwingungsamplitude?
8
zur Geschwindigkeit
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i B l i h
• Aufstellung einer Bewegungsgleichung mit Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit:
Gedämpfte Schwingungen - Bewegungsgleichung
g
F &
xmxDFx &&⋅=⋅−=0=++→
⎭⎬⎫
xDxxm &&& βxvFR =∝ ⎭
mD
=20ωmit m2
βδ =undm m2
0220 =++→ xxx &&& δω
Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung
⇒ Lösungsansatz für die DGL: Benutzung komplexer Zahlen !
)()()( tyitxtz +=
9
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i B l i h
• Lösung der Bewegungsgleichung
Gedämpfte Schwingungen - Bewegungsgleichung
Lö tt λ)( λ k l Z hl
◦ Ableitungen:
◦ Lösungsansatz: teztz λ⋅= 0)( z, z0, λ: komplexe Zahlen
teztz λλ ⋅⋅= 0)(&teztz λλ ⋅⋅= 0
2)(&&◦ Einsetzen in die Differentialgleichung 022
0 =++ xxx &&& δωEinsetzen in die Differentialgleichung 020 ++ xxx δω
0)2( 020
2 =⋅⋅++⇒ tez λωλδλ
◦ Lösung der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:
02 20
2 =++ ωλδλ 20
222 2 ωδδλδλ −=++→
20
2 ωδδλ −±−=⇒
◦ δ und ω0 sind reele Zahlen !
10
δ und ω0 sind reele Zahlen ! ⇒ λ ist komplex, wenn der Term unter der Wurzel negativ ist
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i B l i h
• Lösung der Bewegungsgleichung
Gedämpfte Schwingungen - Bewegungsgleichung
20
2 ωδδλ −±−= 0
◦ schwache Dämpfung ⇒ Radikant wird negativ: 20
2 ωδ <
2)1( eωδλ ⋅−±−=⇒ mit 220 δωω −±=e
12 −=i
h l h !Lö l i h titt ωδ ±−)(
Lösungsansatz: teztz λ⋅= 0)(
ωe ist nicht gleich ω0 !⇒ Lösungsgleichung: tit eeeztz ωδ ±⋅⋅= 0)(
◦ Realteil der Lösung (mit und ):ϕcos)Re( ⋅= rzϕ⋅⋅= ierz
)cos()Re())(Re( 0 teztz et ωδ ⋅⋅= −
Realteil der Lösung (mit und ):ϕcos)Re( rze
11
Lösung der gedämpften Schwingungsgleichung - Schwingfall
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung
)cos()Re())(Re( 0 teztz et ωδ ⋅⋅= −Lösung der gedämpften Schwingungsgleichung:
• Diskussion der Lösung
)cos()( 0 textx et ωδ ⋅⋅=⇒ −
• Diskussion der Lösung
◦ ωe und δ sind positive relle Zahlen !22 δωω ± 22 ωδ <mit und 022 =++ xxx &&& δω
◦ Überlagerung einer periodischen Funktion mit Kreisfrequenz ωe und einer abklingenden Exponentialfunktion mit Exponent δt
0 δωω −±=e 0ωδ <mit und 020 =++ xxx δω
einer abklingenden Exponentialfunktion mit Exponent –δt.
◦ ωe hängt wie bei der ungedämpften Schwingung nur von der Masse m und der Federkonstanten D ab, nicht von der Amplitude m
D=↔ 0ω
◦ System schwingt mit ωe < ω0, Schwingungsdauer ist T > T0.
◦ die periodische Schwingung wird durch die Exponentialfunktion gedämpft !
12
◦ nach der Zeit 1/δ hat die Amplitude auf den Wert x0/e abgenommen
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung
)cos()( 0 textx et ωδ ⋅⋅= −
-10 s10=ω
x(t)
)()( 0 e
1
-1s 3=δ0-1s 3,0=δ
t / s
-1s 10=δaperiodischer Grenzfall
-1s 1=δ
13
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung
• Betrachtung zweier aufeinanderfolgender Maxima: nx 1+nx)1( tn ⋅+⋅−δ
.0
)1(01 conste
exex
xx t
tn
tn
n
n ==⋅⋅
= ⋅−⋅⋅−
⋅+⋅+ δ
δ
δ
D f d l i h i h D k tδΛ
⇒ Verhältnis beliebiger, aufeinanderfolgender Amplituden:
• Definition des logarithmischen Dekrements: tδ=Λ
.constex
x kkn == Λ⋅−+
xn
• Bestimmung des Energieverlusts mit logarithmischem Dekrement:
21◦ Anfangsenergie 2
0 21 DxE =
◦ Die Schwingungsamplitude x nimmt mit der Zeit t ab1 11 11
→ Abnahme der Energie: 2
21
nn DxE = Λ−⋅== nnn eDxDxE 22
02
21
21 Λ−Λ− ⋅=⋅== nn
nn eEeDxDxE 20
220
2
21
21
Λ− nEE 20 1
14
⇒ Damit gilt für den relativen Energieverlust: Λ−−= n
n
n eE
EE 20 1
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i h h Dä fGedämpfte Schwingungen – schwache Dämpfung
• Es wirkt eine Reibungskraft
⇒ Die mechanische Energie Ekin + Epot beim gedämpften harmonischen Oszillator ist zeitlich nicht konstant
t / s
15
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i i di h G f llGedämpfte Schwingungen – aperiodischer Grenzfall
• Spezialfall: 20
2 ωδ =20
2 ωδδλ −±−=mit
⇒ Radikant wird Null ⇒ Lösung wird reell: δλ −=
Das System schwingt nicht !Es kehrt in Ausgangslage zurück !
textx δ−⋅=⇒ 0)(
• Beweis der Richtigkeit des Ansatzes
◦ Differentialgleichung: 0220 =++ xxx &&& δω
22 2 δδoder mit :20
2 ωδ = 022 =++ xxx &&& δδ
◦ Lösung: textx δ−⋅= 0)( → 1. Ableitung: textx δδ −⋅⋅−= 0)()(&tδδ 2)(&&→ 2. Ableitung: textx δδ −⋅⋅= 0
2)(&&
◦ Einsetzen der Funktion und der Ableitungen in die (reelle) Differentialgleichung:
0)(222 −−− ttt δδδ δδδδ
16
0)(2 002
02 =⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅ ttt exexex δδδ δδδδ
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i i di h G f llGedämpfte Schwingungen – aperiodischer Grenzfall
• Spezialfall: 20
2 ωδ = textx δ−⋅=⇒ 0)(
• Das System kehrt in kürzest möglicher Zeit in die Ausgangslage zurück !
Das System schwingt nicht !
-10 s10=ω
x(t)-1s 3,0=δ
-1s 3=δ
-11δ-1s10=δ tt δ−)(
t / s
-1s1=δ17
s 10δaperiodischer Grenzfall
textx δ⋅= 0)(
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i i di h G f ll
• Beispiel: Stoßdämpfer: Düsenberg 1930
Gedämpfte Schwingungen – aperiodischer Grenzfall
Feder
Stoß-dämpfer
M (R d)
18
Masse (Rad)
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i K i hf llGedämpfte Schwingungen – Kriechfall
• Fall: 20
2 ωδ >20
2 ωδδλ −±−=mit
⇒ Radikant wird positiv ⇒ Wurzel liefert reelle Zahl: 20
2 ωδδλ −−= m
20
2
0)( ωδδ −− ⋅⋅=⇒ meextx t
0
Das System schwingt nicht !Es bewegt sich exponentiell in die Ausgangslage Ruhelage urück !Es bewegt sich exponentiell in die Ausgangslage = Ruhelage zurück !
Dies geschieht langsamer als beim aperiodischen Grenzfall !!
19
Schwingungen und Wellen
G dä ft S h i K i hf llGedämpfte Schwingungen – Kriechfall
• Fall: 20
2 ωδ >20
2
0)( ωδδ −− ⋅⋅=⇒ meextx t
1x(t) -110
Das System schwingt nicht !Es bewegt sich exponentiell in die Ausgangslage = Ruhelage zurück !
150sδ −=( ) 1
0 s10=ω
1100 sδ −=
-1s 10=δaperiodischer Grenzfall
textx δ−⋅= 0)(
115 sδ −=
20
t / sDies geschieht langsamer als beim aperiodischen Grenzfall !!
Zusammenfassung
G dä ft S h i V l i h d Fäll
aperiodischer Grenzfallx(t)
Gedämpfte Schwingungen – Vergleich der Fälle
textx δωδ −⋅=⇒= 22 )(aperiodischer Grenzfall
Kriechfall
( )
20
2
020
2 )( ωδδωδ −− ⋅⋅=⇒> meextx t
extxωδ =⇒= 00 )(
Schwingfall )cos()( 020
2 textx et ωωδ δ ⋅⋅=⇒< −
t / s
21
G dä ft S h i V l i h d Fäll
Zusammenfassung
x(t)
Gedämpfte Schwingungen – Vergleich der Fälle
Betrachtung der Grenzsituation (δ nahe ω)
0δ ω>
0δ ω=
0δ ω<
t / sÜberschwingen/Einschwingen des Systems
22
Einschwingen ist dann sinnvoll, wenn mit Haftreibung zu rechnen ist (verhindert blockieren!)