Physik A – VL30 (21.12.2012)VL30 (21.12.2012) · Elektrostatik III Kondensatoren • Ein Kondensator speichert Ladungen. • Die SpeicherkapazitätDie Speicherkapazität C eines

Physik A – VL30 (21.12.2012)Physik A VL30 (21.12.2012)

Elektrostatik III – Dielektrika und Dipole im elektr. Feldp

• Kondensatoren

◦ Dielektrika im Plattenkondensator

◦ Energie im Plattenkondensator

◦ typische Kondensatoren

• Der elektrische Dipol• Der elektrische Dipol

◦ permanente Dipole

◦ induziertes Dipolmoment

H2O◦ induziertes Dipolmoment

◦ Elektrisches Potential und Spannung eines Dipols

◦ Dielektrika im PlattenkondensatorDielektrika im Plattenkondensator

1

Elektrostatik IIIKondensatorenKondensatoren

• Ein Kondensator speichert Ladungen. • Die Speicherkapazität C eines Kondensators ist Die Speicherkapazität C eines Kondensators ist

ε0: Dielektrizitätszahl des VakuumsA: Fläche der KondensatorplattenD Ab d d K d ld

AUQC ⋅== 0ε

D: Abstand der KondensatorplattendU• Das “Verhalten“ eines Kondensators hängt davon ab, ob die Spannung oder

die Ladung konstant gehalten wird:die Ladung konstant gehalten wird:◦ 1. Fall: konstante Ladung, C = const.

dQQU ⋅== UdU 1

∝∝AC

U⋅

==0ε C

UdU , ∝∝

◦ 2. Fall: konstante Spannung, U = const.

UdAUCQ

UQC ⋅⋅=⋅=⇔= 0ε

B b h M i l i h d Pl ( B P i ) L d i

ACQd

Q ,,1∝∝

2

• Beobachtung: Material zwischen den Platten (z.B. Pertinax) ⇒ Ladung steigt

Elektrostatik IIIKondensatoren

◦ Die Kapazität eines Plattenkondensators kann durch Füllung mit einem

Kondensatoren• Dielektrika im Plattenkondensator

isolierenden Material (Dielektrikum) erhöht werden Kapazität des Plattenkondensators mit Dielektrikum:

A ε Di l kt i ität hl (P itti ität hl)0CC r ⋅= ε

dA

r ⋅⋅= 0εε

Kapazität ohne Dielektrikum

εr: Dielektrizitätszahl (Permittivitätszahl)

εr · ε0 : Dielektrizitätskonstante

Kapazität ohne Dielektrikum

• Dielektrizitätszahlen verschiedener Materialien

Material εMaterial εrVakuum 1Luft 1,00054Teflon Pertinax 2 1Teflon, Pertinax 2,1Papier 3,5Gummi 6,7Methanol 33 6

3

Methanol 33,6Wasser 80,4


• Anwendung: Computertastatur

◦ Zwei Platten bilden einen Kondensator

Kondensatoren

◦ Zwei Platten bilden einen Kondensator◦ Bei Druck: Abstand wird verringert ⇒ Kapazität steigt

◦ Plattenabstand: d = 2 mm, d‘ = 0,5 mm (Abstand bei gedrückter Taste)◦ Plattenfläche: 9 x 9 mm = 8,1 ·10-5 m2

◦ dielektrisches Material: εr = 3,5r ,

◦ Frage: Wie groß ist die Änderung der Kapazität bei Druck auf eine Taste ?

pFFmCAC 25110251101,81085853 12252

12 ⋅ −−

−εε pFFmNmd

C rungedrückt 25,11025,1102

1085,85,3 320 =⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅= −εε

pFFmNC

dAC rgedrückt 5105

1050101,81085,85,3 12

3

25

2

212

0 =⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅= −−

−−εε p

mNmdrgedrückt 105,0 320 ⋅ −

pFCCC ungedrücktgedrückt 75,3=−=Δ

4


= Energie, um eine Ladung von einer Seite einer

Kondensatoren• Energie im Plattenkondensator

g gLadungsverteilung auf die andere zu bewegen:

dQUdWel ⋅=

mit dUCdQUQC ⋅=⇒=

dUCUdW⇒ 21 CUdUUCW⇒ ∫dUCUdWel ⋅⋅=⇒2

CUdUUCWel =⋅⋅=⇒ ∫

CQCUWel

22

21

21

== Energie des Cel 22

…mit ⇒⋅⋅==dAC

dEU r 0, εε dAEW rel

202

1 εε=

Plattenkondensators

dd rel 02

⇒ Energiedichte des Plattenkondensators 202

1 EdA

WV

Ww relel

el εε===

5

02dAV rel ⋅Allgemeingültig! → = elektrische Energie


◦ Prinzip: zwei leitende,

Kondensatoren• Typische Kondensatoren

◦ Kapazitätserhöhung durch dielektrisches Material

Prinzip: zwei leitende, metallische Platten, getrennt durch eine Isolationsschicht

- Papierkondensator (Ölpapier, Metallpapier)- Kunststoffkondensatoren

◦ Maximierung der Fläche- Wickelkondensatoren- Elektrolytkondensatoren

◦ Variante: Einstellbare Kondensatoren- Drehkondensatoren, Folientrimmkondensator

6

Elektrostatik IIIDer elektrische Dipol

+• zwei unterschiedliche Ladungen in einem Abstand d zueinander angeordnet sind

ein „elektrischer Dipol“

Der elektrische Dipol

+qdr

• Definition des Dipolmoments

dqprr

⋅=−q

• Das Dipolmoment ist ein Vektor, der entlang der Verbindungslinie der Ladungen zeigt

dqp

Verbindungslinie der Ladungen zeigt

• Unterscheidung zweier Arten von Dipolmomenten:

◦ permanentes Dipolmoment:◦ permanentes Dipolmoment: nur in Molekülen (Beispiel: Wassermolekül)

◦ induziertes Dipolmoment: äußeres Feld verschiebt Ladungs-

h kt (B i i l X At )

7

schwerpunkt (Beispiel Xe-Atom)


• Beispiele für permantente molekulare Dipolmomente

C H


CO2 H2O C2H6

SO2 CH3ClHCl

Grundlage:Elektronegativität der Atome (hier: Pauling-Skala)

Element χ Element χC 2,6 S 2,6H 2 2 Cl 3 2

8

le t o egativität de tome (hie auli g S ala)= Maß dafür, Elektronen (neg. Ladungen) anzuziehen:

H 2,2 Cl 3,2O 3,4


◦ Induzierung eines Dipolmoments im elektrischen Feld des Plattenkondensators• Beispiel für induziertes Dipolmoment


Induzierung eines Dipolmoments im elektrischen Feld des Plattenkondensators

⇒ Verschiebungs-Polarisation von Materialien im Plattenkondensator:tritt bei Atomen und Molekülen auf

hier: Verschiebung der Elektronenhülle (-) gegen den Atomkern (+)

⇒ Ladungsschwerpunkte nicht mehr identisch

9

g p

⇒ induziertes Dipolmoment

Elektrostatik IIIDer elektrische Dipol Dipolmoment

◦ Superpositionsprinzip ergibt aus dem Potential der Einzelladungen das Potential• Elektrisches Potential und Spannung eines Dipols

Der elektrische Dipolqdp =

p

Superpositionsprinzip ergibt aus dem Potential der Einzelladungen das Potential des Dipols

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=+= −+

21041)(

rq

rqUUrU qq πε 21

12

04)(

rrrrqrU −

⋅=⇔πε⎠⎝ 2104 rrπε

◦ Großer Abstand: Fernfeld2

2121, rrrdrr ≈⋅→>> αcos12 ⋅=− drr

2104 rrπε

→ Potential in Abhängigkeit von Dipolmoment

cos)( dqrU α⋅⋅=⇒

cos1 rp α⋅⋅⋅=2

04)(

rrU

πε⋅=⇒ 3

04 rπε⋅=

◦ mit folgt für dasrprprr⋅=⋅⋅ αcos

)( rpqUrr⋅P i l i Di l i F f ld3

04)(

rpqrU ⋅=

πεPotential eines Dipols im Fernfeld:

⇒ Das Dipol-Potential und somit das Feld fallen schneller

10

mit dem Abstand ab als das Feld einer Punktladung!rQrU ⋅=

041)(πε

r

Elektrostatik IIIDer elektrische Dipol im Plattenkondensator• Ein Dipol wird in einen Plattenkondensator gebracht

⇒ Es entsteht ein Drehmoment, welches eine Ausrichtung in Feldrichtung erzeugt:

Der elektrische Dipol - im Plattenkondensator

⇒ Es entsteht ein Drehmoment, welches eine Ausrichtung in Feldrichtung erzeugt:

Orientierungspolarisation

rEr

Fr

∑ 0

Fr

F+E Fi

rr

=∑ 0

⇒ Dipol ist „Sensor“ für Feldrichtung

F− EpTr×=

⇒ Wird der Plattenkondensator mit Dipolen „gefüllt“ (=Dielektrikum),entstehen auf den Oberflächen Ladungsverteilungen:

11

Elektrostatik IIIDer elektrische Dipol im Plattenkondensator• Ein symmetrisches Atom wird im elektrischen Feld ausgerichtet, da der Ladungs-

schwerpunkt verschoben wird


⇒ es ensteht ein induziertes Dipolmoment durch Kraftwirkung: Verschiebungspolarisation

• Verschiebungspolarisation tritt zusätzlich zur Orientierungspolarisation auch bei Molekülen mit permanentem Dipolmoment auf

12

p p f

Elektrostatik IIIDer elektrische Dipol im Plattenkondensator

• polarisierbares Dielektrikum in einen Plattenkondensator

⇒ Polarisation erzeugt ein dem äußeren Feld entgegen gerichtetes Feld


⇒ Polarisation erzeugt ein dem äußeren Feld entgegen gerichtetes Feld⇒ die Feldstärke und damit die Spannung nimmt ab (Q = const.)⇒ Polarisation schwächt das elektrische Feld in Isolatoren

13


• Verallgemeinerung - Verhalten an Grenzflächen zu Dieelektrika◦ bei konstanter Ladung sinkt die Spannung durch Einbringen eines


bei konstanter Ladung sinkt die Spannung durch Einbringen eines Dielektrikums in den Kondensator, die Kapazität erhöht sich

CU 1 EEEdEU 1

b i l i h bl ib d L d i di F ld ä k i Di l k ik kl i

rCε=

0rU ε0=

rr E

EEdEUε

ε0

0 =⇔⋅=→⋅=

⇒ bei gleich bleibender Ladung ist die Feldstärke im Dielektrikum kleinerals die Vakuum-Feldstärke, um den Faktor εr

⇒ die Schwächung wird durch das Gegenfeld, das durch Polarisation

E rrr

r0

g g f ,aufgebaut wird, erzeugt

Pr

EEE

E +== 00

ε

14


• Verallgemeinerung - Verhalten an Grenzflächen zu Dieelektrika


◦ Erinnerung: Gauß‘scher Satz (Durchflutungsgesetz) ∫∫ =⋅qAdE

rr◦ Erinnerung: Gauß scher Satz (Durchflutungsgesetz) ∫∫ =⋅

Flächegeschl

AdE. 0ε

∫∫ =⋅⇔

Flä hgeschl

qAdD.

rr

it d V hi b di ht EDrr

ε◦ bei gleich bleibender Spannung im Kondensator:

Feldstärke im Kondensator wird konstant gehalten, Strom bei Entladung steigt

Fläche mit der Verschiebungsdichte ED ⋅= 0ε

Feldstärke im Kondensator wird konstant gehalten, Strom bei Entladung steigt

⇒ Verschiebungsdichte wächst um den Faktor εr:

Verschiebungsdichte im DielektrikumED rrr

⋅⋅= 0εε gED r 0εε

◦ die Verschiebungsdichte hat sich also um folgende Differenz vergrößert:

PEEEDrrrrr

≡⋅−⋅⋅=⋅− εεεε = elektrische PolarisationPr

PEEED r ≡⋅−⋅⋅=⋅− 000 εεεε = elektrische PolarisationP

◦ Polarisation und elektrisches Feld

EEPrrr

)1(15

EEP er ⋅⋅≡⋅⋅−= 00)1( εχεε = elektrische Suszeptibilitäteχ


◦ Frage: Wie verlaufen die Feldlinien einer Punktladung von einer Grenzfläche ?• Verallgemeinerung - Verhalten an Grenzflächen zu Dieelektrika


Frage: Wie verlaufen die Feldlinien einer Punktladung von einer Grenzfläche ?

⇒ Feldlinien verlaufen nicht stetig von einem zum anderen Medium

(1)(2) εε > (1)(2) εε <rr εε > rr εε <

qq

◦ Aufteilung in Feldkomponenten parallel und senkrecht zur Einfallsrichtung→ Normalkomponente der Verschiebungsdichte tritt stetig über

16

→ Tangentialkomponente des elektrischen Feldes tritt stetig über

Zusammenfassung• Die Kapazität eines Plattenkondensators wird durch ein Dielektrikum erhöhtDie Kapazität eines Plattenkondensators wird durch ein Dielektrikum erhöht

rCC ε=

0 dAC r ⋅⋅= 0εε

ε0: Dielektrizitätszahl des Vakuumsεr: Dielektrizitätszahl (Permittivitätszahl)εr · ε0 : Dielektrizitätskonstante

• Die Energie eines Plattenkondensators ist dAEW rel2

021 εε=

1• Allgemein gilt für die elektrische Energiedichte 202

1 Ew rel εε=

• Ein Dipol besteht aus zwei entgegengesetzten Ladungen. Dipolmoment: dqprr

⋅=◦ Ein permanenter Dipol richtet sich im elektrischen Feld aus: Orientierungspolarisation◦ Im symmetrischen Atom verschieben sich die Ladungen im Feld: Verschiebungspolarisation

rpqrr⋅

• Das Potential eines Dipols im Fernfeld (großer Abstand): 304

)(r

rpqrU ⋅=πε

• Feld im Dielektrikum: bei gleich bleibender Ladung ist die Feldstärke im Dielektrikum d F kt kl i l di V k F ld tä kum den Faktor εr kleiner als die Vakuum-Feldstärke:

◦ die Schwächung wird durch das Gegenfeld (durch Polarisation) erzeugtumDielektrikr EE ⋅= ε0

• Die Verschiebungsdichte wächst um Faktor ε = die Verschiebungsdichte hat sich um

17

• Die Verschiebungsdichte wächst um Faktor εr, die Verschiebungsdichte hat sich um die Polarisation vergrößert: ED r

rr⋅⋅= 0εε EEP er

rrr⋅⋅≡⋅⋅−= 00)1( εχεε

Documents

Physik A – VL30 (21.12.2012)VL30 (21.12.2012) · Elektrostatik III Kondensatoren • Ein Kondensator speichert Ladungen. • Die SpeicherkapazitätDie Speicherkapazität C eines