Physik A – VL33 (11.01.2013)Physik A VL33 (11.01.2013)

Magnetostatik III – Hall-Effekt und Kräfte auf Leiterg

• Der Hall-Effekt

• Kräfte auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld

• Kräfte paralleler Leiter

• Das magnetische Moment

• Die Magnetisierung

1

Magnetostatik IIIErinnerung: Lorentzkraft auf bewegte Ladung im B FeldErinnerung: Lorentzkraft auf bewegte Ladung im B-Feld

⇒ Bewegung der Ladung auf Kreisbahn, Radius abhängig von Geschwindigkeit

• Eine Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit v im Magnetfeld B

g g g f , g g g

⇒ Die wirkende Kraft heißt Lorentz-Kraft:

BFrrrBvqFL

r×=

Rechte-Hand-Regel

I: Richtung der technischenStromrichtung, d.h. entgegender Bewegungsrichtung derElektronen (siehe Formel, neg.Vorzeichen für Elektronen→ Kraftwirkung in Gegenrichtung!

• Sind sowohl magnetisches als auch elektrisches Feld vorhanden, wirkt die Gesamtkraft:

( )BvEqFrrrr

×+

2

( )BvEqF ×+=

Magnetostatik IIIDer Hall EffektDer Hall-Effekt• Durch einen rechteckigen Leiter (Breite a, Dicke d) fließt eine Strom I• Frage: Wie wirkt die Lorentzkraft, wenn senkrecht zu dem Leiter

d Edwin HerbertHall (1855-1938)

ein Magnetfeld B wirkt?

BvqFLrrr

×=

a IBr

BvqFL ×=Fr

Br

FL

B B

r

UH

⇒ die bewegten Ladungen im Leiter werden senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Richtung des Stroms abgelenkt

I

⇒ Rechte-Hand-Regel: Elektronen (-q) erfahren Kraftwirkung nach unten⇒ positiver Ladungsüberschuss an oberer Seite, negativer Überschuss an unterer

Seite des Leiters

3

⇒ eine Spannung (Potentialdifferenz) entsteht im Material: Hall-Spannung UH

Magnetostatik IIIDer Hall Effekt• die Potentialdifferenz UH steigt so lange an, bis die ablenkende Wirkung des Magnetfeldes durch das entstehende elektrische Feld an den Leiterseiten

Der Hall-Effekt

HEr

entstehende elektrische Feld an den Leiterseiten kompensiert wird – Gleichgewichtszustand !

0)( =×+⋅= BvEeF Hrrrr

durch Hall-Effekt → Ladungstrennunghervorgerufenes elektrischen (Hall)-Feld

0BErrr

0=×+⇒ BvEHr

• Für die Geschwindigkeit der Elektronen im Leiter gilt:da

IA

Iv⋅⋅

=⋅

=ρρ

r

Ladungsträgerdichte im Leiter(Beispiele: ◦ in Metallen “gibt” jedes Atom

1-2 Valenzelektronen an das

• Hallfeld und Hallspannung stehen über die Breite a des Leiters zueinander in Beziehung:

U Hr 1-2 Valenzelektronen an das

Elektronengas ab◦ in Halbleitern: Dichte der

Dotierungsatome

aUE H

H =

• Einsetzen ergibt: 0=×+⇒ BIU Hr

rr

4

g 0×+⇒ Bdaa ρ

Magnetostatik IIIDer Hall EffektDer Hall-Effekt

0=×+ Bda

Ia

U Hr

rr

ρ

• Stehen I und B senkrecht aufeinander, ist die Hall-Spannung

BIBIdBIR

dBIU HH

⋅⋅−=

⋅−=ρ

r

Hall-KonstanteRH11

== Hall Konstante(Hall-Widerstand)ne

RH ρ

• Eine Hall-Sonde misst nur die Magnetfeldanteile senkrecht zur Stromrichtung!

• Die Hallspannung ist umgekehrt proportional zur Ladungsträgerdichte⇒ Hall-Sonden aus Halbleitermaterialien liefern höhere Spannungen als

metallische Hall-Sonden!metallische Hall-Sonden!

• Anwendungen: ◦ Vermessung von Magnetfeldern!◦ Als Stromsensor (potentialfreie Messung von Strömen

in Leitern oder Spulen)

5

in Leitern oder Spulen)◦ Berührungs- und kontaktlose Signalgeber

Magnetostatik IIIKraft auf einen Leiter im Magnetfeld• Experiment: “Ladungsschaukel”◦ ein stromdurchflossener Leiter (Länge l) wird in einem

Kraft auf einen Leiter im Magnetfeld

◦ Beobachtung:Der stromdurchflossene Leiter wird je nach Richtung

Magnetfeld positioniert.

Der stromdurchflossene Leiter wird je nach Richtung des Stromflusses in den Magneten hineingezogen oder herausgedrückt:

→ es wirkt eine Kraft.

Kraft auf ein stromdurchflossenes

◦ die Kraft ist senkrecht zu B und zu l

BlIFrrr

×⋅= Leiterstück im MagnetfeldBlIF ×⋅=

◦ Richtung der Kraft: Rechte-Hand-Regel

6

Magnetostatik IIIKraft auf einen Leiter im MagnetfeldKraft auf einen Leiter im Magnetfeld• Experiment: “Ladungsschaukel” – Qualitative Erklärung

Ä M f ld d d h d◦ Äusseres Magnetfeld und durch denstromdurchlfossenen Leiter hervor-gerufenes Magnetfeld überlagern sich!überlagern sich!

◦ Der Leiter weicht im entstehendeninhomogenen Magnetfeld in die g g fRichtung mit dem kleineren Feld aus

⇒ Hier: Die Kraft weist nach rechts.

Die wirkende Kraft ist dieLorentz-Kraft !

Felder addieren sich⇒ stärkeres B-Feld

Felder kompensieren sich⇒ schwächeres B-Feld

7

Magnetostatik IIIKraft zwischen zwei parallelen Leitern

⇒ Definition der Stromstärke: Ampere

1 A i di S ä k i S d d h i d ll l d

Kraft zwischen zwei parallelen Leitern

1 A ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei gerade, parallele und unendlich lange Leiter im Abstand von 1 m fließt und dabei pro Meter

Leiterlänge die Kraft F = 2·10-7 N erzeugt

• Experiment: zwei parallele stromdurchflossene Leiter◦ jeder Leiter erzeugt sein eigenes Magnetfeld, b id F ld h l i k it i d i k K äft i h d L it

Fr

beide Felder wechselwirken miteinander → es wirken Kräfte zwischen den Leitern

I2

Fr

–I2

I1F+I1Gleiche Stromrichtung

in beiden LeiternGegensinnige Strom-richtung in den Leitern

8

⇒ Anziehende Kräfte ⇒ Abstossende Kräfte

Magnetostatik IIIKraft zwischen zwei parallelen LeiternKraft zwischen zwei parallelen Leitern• Experiment: zwei parallele stromdurchflossene Leiter – Quantitative Betrachtung

◦ Magnetfeld von Leitung 1:Magnetfeld von Leitung 1:

rIB 10

1 2⋅=

πμ

◦ Kraft auf Leitung 2: 122 BlIFrrr

×⋅=

I10μr0 l⋅μ

◦ nach dem 3. Newton‘schen Axiom ist die Kraft von Leiter 2 auf Leiter 1 genau so groß!

rIlIF 10

22 2⋅⋅⋅=⇒

πμ

210

2II

rl⋅

⋅=

πμ

21II∝

f f g g ß

210 II

lF

μ=

Kraft zwischen zwei parallelen Stromleitern

212 rπ

9

p

Kompensation Addition

Magnetostatik IIIDas magnetische Moment und die LeiterschleifeDas magnetische Moment und die Leiterschleife• Eine von einem Strom I durchflossene rechteckige Leiterschleife mit den Kantenlängen a und l befindet sich um die x-Achse drehbar in einem homogenen

f ld

zMagnetfeld B

Br

Fr

◦ Kräfte parallel zur x-Achse (Fa) heben sich gegenseitig auf

y

◦ Kräfte F auf die Seiten erzeugen ein Drehmoment um die x-Achse

Ar B

I

Fg g g f

a

y

ϕaFr

−ϕsin2

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=

aFTr

lϕsin⋅⋅= Fa

r

i d K f f di L i ixaF

r

Fr◦ mit der Kraft auf die Leiterseiten

BlIFrrr

×⋅=

10

Magnetostatik IIIDas magnetische Moment und die Leiterschleife• Drehmoment einer vom Strom durchflossenen Leiterschleife im Magnetfeld

Das magnetische Moment und die Leiterschleife

ϕsin= FaTr

BlIFrrr

×=und BlIF =⇒r

ϕsin⋅⋅= FaT BlIF ×⋅=und BlIF ⋅⋅=⇒

ϕsin⋅⋅=⇒ BlIaT ϕsin⋅=⇒=⋅

BAITAla

ϕ ϕ

BAITrrr

×⋅=⇒

◦ mit Definition eines magnetischen Moments m erhält man

AImrrr

⋅== μ BmTrrr

×=⇒

Drehmoment auf eine stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld (gilt für beliebig geformte Leiterschleifen)

⇒ Das magnetische Moment ist äquivalent zum

• Analogie zum Drehmoment auf einen elektrischen Dipol:

EpTDipolrrr

×=

11

elektrischen Dipolmoment pDipol

Magnetostatik IIIMagnetisches Moment und Leiterschleife

◦ Eine Leiterschleife wird durch das Drehmoment

• Anwendung 1: Amperemeter

Magnetisches Moment und Leiterschleife

Eine Leiterschleife wird durch das Drehmoment im Magnetfeld ausgerichtet

◦ Leiterschleife gekoppelt mit einem Zeiger

⇒ analoges Anzeigegerät

• Anwendung 2: Lautsprecher• Anwendung 2: Lautsprecher◦ Ein stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld erfährt eine Kraft, die die Lautsprecher-

membran antreibt

12

Magnetostatik IIIMagnetisches Moment und Leiterschleife• Anwendung 3: Elektromotoren◦ statischer Magnet (Stator)

Magnetisches Moment und Leiterschleife

◦ bewegter Magnet richtet sich im Statorfeld aus

◦ bei Ausrichtung: kurzzeitig keine Kraft◦ Trägheitsmoment: weitere Bewegung◦ Dipol wird um 180 Grad gedrehtDipol wird um 180 Grad gedreht

◦ Stromzuführung über segmentierten“Kommutator” und SchleifkontakteKommutator und Schleifkontakte⇒ Stromrichtung wird

nach 180°-Drehungumgeschaltetg

⇒ kontinuierliche Drehbewegung

13

Magnetostatik IIIDas magnetische Moment• Ströme in einer Leiterschleife oder Spule (Kreisströme) erzeugen magnetisches Moment

Das magnetische Moment

AIrrr rrr

⇒ makroskopisch: ein Drehmoment wirkt auf die Spule

AImrr

⋅== μ BmTr×=

⇒ mikroskopisch: Drehmoment wirkt auf die einzelnen magnetischen Dipole,Stärke des Drehmomentes hängt vom magnetischen Moment des Materials ab

• Experiment: Magnetisierung und Entmagnetisierung eines Drahtes◦ nichtmagnetischer Draht wird in ein

Magnetfeld gebracht (siehe rechts)Magnetfeld gebracht (siehe rechts)⇒ Draht wird und bleibt magnetisch

◦ bei schnellem Magnetfeldwechsel: ⇒ Magnetwirkung wird entfernt

14

Magnetostatik IIIDas magnetische Moment• Kleinster möglicher Strom: Ein Elektron umkreist einen Atomkern

Das magnetische Moment

eIdQI − −eLorb

ArTeI

dtdQI =⇒= ω

π⋅=

2e

ωπ2

=Tω⋅−e Kreisstrom

v- e

I ‐πω

2=

eI Kreisstrom eines Elektrons

2rIAIm πμ ⋅=⋅==mit (Kreisstrom) vmorb

μ ( )

2

2re⋅

⋅−=

ωμ⇒magnetisches Moment der Elektronenbahn

• Das Elektron erzeugt auch einen mechanischen Drehimpuls bei Umlauf auf seiner Bahn

2rmrvmL ⋅⋅=⋅⋅= ω L∝⇒ μ

L⋅= γμ⇒ gyromagnetisches Verhältnis

mitme

2−=γ

15⇒ das magnetische Moment ist ein Drehimpuls: Bahndrehimpuls des Elektrons

Magnetostatik IIIDas magnetische Moment• Das Elektron erzeugt durch den induzierten Kreisstrom ein magnetisches Moment m

und durch die Bewegung einen Bahn-Drehimpuls L

Das magnetische Moment

• zusätzlich hat das Elektron auch noch einen Eigen-Drehimpuls S und eigenes Moment µs

2S 2eee rmrvmS ⋅⋅=⋅⋅= ω

◦ allgemein: Eigendrehimpuls eines Teilchens h⋅= nS

„reduziertes“ Planck‘schesWirkungsquantum

Spin 2ermS ⋅⋅== ωh

g q(= h/2π = 1,05457·10-34 Js)= Drehimpuls des Elektrons

SS ⋅⋅= γμ 2Magnetisches Moment des Elektrons

SS = γμ 2

16

Magnetostatik IIIDas magnetische Moment e

Drehimpuls / magnetisches Moment durch Bahn des Elektrons

Das magnetische Moment gyromagnetisches Verhältnis m

e2

−=γ

γ L

Drehimpuls / magnetisches Moment durch Bahn des Elektrons

ev

Iµm

v

D hi l / i h M d h D h d El k

L⋅= γμ

2 γS

Drehimpuls / magnetisches Moment durch Drehung des Elektrons

µSpin

S

17

SS ⋅⋅= γμ 2

Magnetostatik IIIDie Magnetisierung• Die makroskopische Magnetisierung ändert das magnetische Feld durch die

Ausrichtung der magnetischen Momente des Materials

Die Magnetisierung

r

• Die Magnetisierung kann gesamtes magnetisches Feld B stärken oder schwächen,je nachdem, ob Material und Feld entgegengesetzt oder gleichgerichtet sind

mNNMrr

⋅=⋅= μ

j , g g g g g⇒ das Feld ändert sich, sobald ein Material in ein Magnetfeld eingesetzt wird

µ = magnetische Permeabilitätμμμμ ≡→ r00χm = magnetische Suszeptibilität1−= rm μχ

• Die Magnetisierung spielt die gleiche Rolle wie die Polarisation im elektrischen Feldχ D fi itiBHM m

mrrr

⋅=⋅=0μ

χχ EP e

rr⋅⋅= 0εχ

1−= rm μχ 1−= re εχrr

MJrr

0μ≡

Definition: Magnetisierung J

HB rrr

μμ0= ED rrr

εε 0=

MHBrrr

00 μμ += PEDrrr

+= 0ε

HJ mrr

0μχ=

JHBrrr

+= 0μ

18

• unterschiedliches magnetische Verhalten der Materialien macht sich bemerkbar durch verschiedene Werte von µ und χ: Klassifizierung nach diesen Werten

Magnetostatik IIIDie Magnetisierung• µr < 1, χm < 0: Magnetfeld wird geschwächt: Diamagnetismus◦ diamagnetische Stoffe haben kein magnetisches Moment: nichtmagnetische Stoffe

ll St ff i d di ti h

g g

→ alle Stoffe sind diamagnetisch◦ Diamagnetismus: ein äußeres Magnetfeld induziert

einen Strom, der so gerichtet ist, dass er der Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt

◦ diamagnetische Materialien: Au, Ag, Cu, Bi, H2, N2

des magnetischen Flusses entgegenwirkt⇒ Material wird vom Magnetfeld abgestoßen

• mr > 1, cm > 0: Magnetfeld wird gestärkt: Paramagnetismus

◦ Paramagetische Stoffe haben ein magnetisches Moment, im Material sind siejedoch zufällig ausgerichtet = keine Magnetisierung◦ im magnetischen Feld richten sich die magnetischen Momente teilweise aus:Magnetisierung ist möglich ! ⇒ Material wird vom Magnetfeld angezogen→ Orientierungsmagnetismus

◦ paramagnetische Materialien:

19

paramagnetisches Material ohne (links) und mit Feld

◦ paramagnetische Materialien: Sn, Mn, Pt, W, Al, O2

Magnetostatik IIIDie Magnetisierung

◦ Ferromagnetische Stoffe haben ein magnetisches Moment, das durch Ordnung im Material zu einer Magnetisierung führt

• µr >> 1, χm >> 0: Magnetfeld wird sehr gestärkt: Ferromagnetismusg g

im Material zu einer Magnetisierung führt◦ Unterschied zum Paramagneten:

es gibt zwischen benachbarten Atomen eine so große Wechselwirkung, dass sich auch ohne

ferromagnetisches Material ohne

große Wechselwirkung, dass sich auch ohne äußeres Feld Spins auf benachbarten Gitter-plätzen parallel oder antiparallel einstellen.⇒ mit Feld entsteht hohe Magnetisierung

(links) und mit Feld: Weiß‘sche Bezirke→ kollektive Magnetisierung

• Diese Ordnung kann verschieden sein: ferro-, ferrimagnetisch, antiferrimagnetischFerromagnetismusalle Spins gleich ausgerichtet (Fe, Co, Gd, Ni)

Antiferromagnetismuszwei ferromagnetische Untergitter mit unterschiedlicher Orientierung(FeO CoO NiO CrF FeF )

Ferrimagnetismuszwei ferromagnetische Untergitter mit verschiedener Spinstärke und unterschiedlicher Orientierung(FeO, CoO, NiO, CrF3, FeF3) unterschiedlicher Orientierung (Fe2O3 – MeO, Me: Fe, Ni,Co )

20

Magnetostatik IIITemperaturabhängigkeit der Magnetisierung• Frage: Wie ändert sich das Verhalten der Magnete mit der Temperatur ?→ Änderung der Suszeptibilität mit der Temperatur

Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung

• Diamagnetismus: Material ist nicht magnetisch → nicht temperaturabhängig• Paramagnetismus: nächste Nachbarn “spüren“ nichts voneinander, sie richten

sich zufällig mit thermischer Energie kT ausf g g

◦ Real: geringe Wechselwirkung! → bei geringer Temperatur bleibt

eine Restmagnetisierung,eine Restmagnetisierung, das Material wird ferro, antiferro- oder ferrimagnetisch

• Ferromagnetismus: unterhalb einer gewissen Temperatur geht die Magnetisierung in die Sättigung, alle Domänen sind ausgerichtet. Oberhalb der Curie-Temperatur wird ein Ferromagnet paramagnetisch

21

Magnetostatik IIITemperaturabhängigkeit der Magnetisierung - Supraleitung• unterhalb einer kritischen Temperatur werden manche Materialien supraleitend:der Widerstand geht gegen NullEl k hli ß i h C P h b d lb

Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung - Supraleitung

• Elektronen schließen sich zu Cooper-Paaren zusammen, haben denselben Quantenzustand

⇒ keine Streuung an Defekten, kein Widerstand

• Veränderung der magnetischen Eigenschaften: Magnetfeldlinien werden aus dem Material herausgedrängt

⇒ perfekte Diamagnete

• bei leicht defektem Material: Magnetfeld-feldlinien dringen leicht ein, sie sind „ein-gefroren“: Pinning

R

⇒ Magnet gleitet über metallische Platten kann sich aber nicht ablösen

→ ermöglicht supraleitende T→ ermöglicht supraleitendeMagnetführung

• Weitere Anwendung der Supraleitung: Messung kleinster Magnetfelder über

TCT

22

• Weitere Anwendung der Supraleitung: Messung kleinster Magnetfelder über Tunnel-Verbindungen: SQUID