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1 Physik für Biologinnen und Biologen (Biologische Physik) W.W. Szymanski Vorlesungszeit: Di. 13:15 – 15:55 Vorlesungsort: HS C1, Uni Campus, Spittalgasse Für laufenden alle Informationen bez. LV: http://biologische-physik.univie.ac.at/ EINFÜHRUNG – WAS IST PHYSIK, PHYSIKALISCHE GRÖSSEN UND EINHEITEN GRUNDZÜGE DER MECHANIK ELASTIZITÄT UND FESTIGKEIT MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN UND GASE OBERFLÄCHENSPANNUNG GRÖSSENVERÄNDERUNG – CHARAKTERISTISCHE PARAMETER SCHWINGUNGEN UND WELLEN GRUNDBEGRIFFE DER AKUSTIK – SCHALL UND HÖREN WÄRMELEHRE – TEMPERATUR, AGGREGATZUSTÄNDE, HAUPTSÄTZE ELEKTRISCHE UND MAGNETISCHE PHÄNOMENE, ELEKTRISCHE STRÖME GEOMETRISCHE OPTIK, SEHEN, WELLENOPTIK UND STRAHLUNGSGESETZE ELEKTRONENSTRAHLEN, ELEKTRONENMIKROSKOP ATOMKERN, RADIOAKTIVITÄT UND WECHSELWIRKUNG MIT MATERIE VORLESUNGSINHALT:

Physik für Biologinnen und Biologen (Biologische Physik) W ...biologische-physik.univie.ac.at/lva/VO_folien/WS07_08/Phys_Bio_WS07_1.pdf7 Messung ⇔Objektive Aussage Mondgröße Der

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Physik für Biologinnen und Biologen (Biologische Physik)

W.W. Szymanski

Vorlesungszeit: Di. 13:15 – 15:55Vorlesungsort: HS C1, Uni Campus, Spittalgasse

Für laufenden alle Informationen bez. LV:

http://biologische-physik.univie.ac.at/

• EINFÜHRUNG – WAS IST PHYSIK, PHYSIKALISCHE GRÖSSEN UND EINHEITEN

• GRUNDZÜGE DER MECHANIK• ELASTIZITÄT UND FESTIGKEIT• MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN UND GASE • OBERFLÄCHENSPANNUNG• GRÖSSENVERÄNDERUNG – CHARAKTERISTISCHE PARAMETER• SCHWINGUNGEN UND WELLEN • GRUNDBEGRIFFE DER AKUSTIK – SCHALL UND HÖREN• WÄRMELEHRE – TEMPERATUR, AGGREGATZUSTÄNDE,

HAUPTSÄTZE• ELEKTRISCHE UND MAGNETISCHE PHÄNOMENE,

ELEKTRISCHE STRÖME• GEOMETRISCHE OPTIK, SEHEN, WELLENOPTIK UND

STRAHLUNGSGESETZE• ELEKTRONENSTRAHLEN, ELEKTRONENMIKROSKOP• ATOMKERN, RADIOAKTIVITÄT UND WECHSELWIRKUNG MIT

MATERIE

VORLESUNGSINHALT:

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Zwischen Belebtem und Unbelebtem„Immer wieder haben sich Physik und Biologie in der Vergangenheit getroffen, aber auch wieder voneinander entfernt.

Gerade in den letzten Jahrzehnten sind sie sich zunehmend näher gekommen, so dass eine enge und fruchtbare Zusammenarbeit entstanden ist“.

„Die Physik ist die Wissenschaft der unbelebten Materie. Doch führen physikalische Entdeckungen immer wieder zu Entwicklungsschüben in der Biologie und Medizin, den Wissenschaften vom Leben“.

(aus „Welt der Physik“, DPG, 2005)

Lotuseffekt

Mikro- und Nanostrukturierte hydrophobe Oberflächen sind selbstreinigend !

Die Ursache des Effekts liegt in der Oberflächenstruktur der Pflanzen.

Durch die Oberflächenstruktur der Pflanzen werden gegenüber Wasser riesige Kontaktwinkelerreicht (Superhydrophobie) - nur etwa 2 bis 3 % der Tropfenoberfläche haben Kontakt mit der Oberfläche der Pflanze, so dass das Wasser leicht abperlen kann. Aufliegende Schmutzpartikel werden dadurch mitgerissen und weggespült.

Wassertropfen haben wie alle Flüssigkeiten die Tendenz zur Minimierung ihrer Oberfläche → Oberflächenspannung.

Heute werden mittels Nanotechnologiesuperhydrophobe Beschichtungen etwa für Hochhäuser verwendet.

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Aus Protein erzeugt – elastischer „Biostahl“

Fadenstärke – ca. 1 – 3 Mikrometer

Besitzen größere Festigkeit uns sind elastischer als vergleichbare Objekte aus Edelstahl

Druckfestigkeit von Eichenholz – ca. 50N / mm2

Zugfestigkeit von Spinnenseide – ca. 150N / mm2

- Spinnennetz

Hier wirken Kräfte !

Als Schleuderfrüchte werden Früchte bezeichnet, die durch Schleudereinrichtungen ihre Samen in einem weiten Umkreis um dieMutterpflanze verbreiten. Die Samen werden von der reifen Fruchtfortgeschleudert. Der Sumpf-Storchschnabel liegt bei einer Wurfweite von rund 2,50 m. Gegen das Ende der Messlatte liegen Lupine (7,00 m), Stachelbärenklau (9,50 m), Zaubernuss (15,00 m).

-10-9

-8-7

-6-5

-4-3

-2-1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Wurfweite (m)

Höh

e (m

)

Horizontaler Wurf

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Weibel, D.B. et al. (2005): Microoxen: microorganisms to move microscaleloads. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102: 11963–11967

Flagellum Rotor: Access Research Network (Art Battson)

Die ersten Mikro- und Nanomotoren wurden von der Natur „gebaut“ - FlagellumRotationsgeschwindigkeiten –einige Hundert bis Tausend Umdrehungen / Minute

„Reise“-Geschwindigkeiten –etwa 20 Mikrometer / Sekunde

Physik und ihre AufgabePhysik ist die Wissenschaft von den Naturdingen (gr. - φυσικα), also eine Naturwissenschaft.

Physik beschäftigt sich mit der Beobachtung der unbelebten Natur, obwohl viele Erkenntnisse und Gesetzmäßigkeiten auch in der belebten Natur Anwendungen finden.

Physik führt Konzepte wie etwa Länge, Masse, Zeit oder Temperatur ein und definiert diese über bestimmte Messvorschriften. Diese so genannten Grund- oder Basisgrößen sind von unseren Erfahrungen inspiriert.

Physik ist eine Erfahrungswissenschaft. Sie bezieht ihre Erkenntnisse aus Beobachtungen und einer Interaktion: Experiment – Modell – Simulation – Theorie.

Physik ist eine quantitative Wissenschaft – die Merkmale der beobachteten Vorgänge werden Größen genannt.

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Gründer der klassischen Physik

Isaac Newton (1642-1727)

Professor für Mathematik und Physik, Cambridge

Mechanik (Axiome)

Gravitationsgesetze

Optik

Infinitesimalrechnung

Galileo Galilei (1564- 1642)

Professor für Mathematik, Physiker

Fall-, Wurf- und Pandelgesetze, Zeitmessung

Astronomische Beobachtungen

Folgerung über die Bewegung der Erde

Messung ⇔ Objektive Aussage

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Messung ⇔ Objektive Aussage

Messung ⇔ Objektive AussageKonzentriere Dich auf das Kreuz in der Mitte. Was passiert mit den rosa Punkten ?

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Messung ⇔ Objektive Aussage

MondgrößeDer Mond (Sonne) scheint knapp über dem Horizont wesentlich größer zu sein als im Zenit.

Wesentlich für die korrekte Größen-wahrnehmung eines Gegenstandes ist die ebenso korrekte Information über dessen tatsächliche Entfernung zum Beobachter

Da zwischen Mond am Horizont und Betrachter viel mehr Gegenstände (Bäume, Häuser, etc.) liegen („Tiefeninformation“) als zwischen Mond oben am Himmel und Betrachter, wird die Entfernung fälschlicherweise als größer eingeschätzt, bei größerer Entfernung und gleich großer Abbildung auf der Netzhaut müsste der Gegenstand aber größer sein, und somit wird der Mond oder auch die Sonne am Horizont auch größer wahrgenommen (Größentäuschung).

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Messgrößen

Physikalische Größe → Zahl und (Maß)-Einheit

natürlich: Wellenlänge von Spektrallinien, ... gegeben durch Naturgesetze

Einheit

willkürlich: Armlänge, Äquatorlänge,... gegeben durch Normale

Maßsystem → Menge von Grundgrößen mit Einheiten

Reduzible Größen (Zurückführbar auf Basisgrößen)Grundgrößen

Basisgrößen (Definition willkürlich / natürlich)

Masse → 2 kg; Länge → 7 m

GRUNDGRÖSSEN (7 + 2)

RadiantDer Radiant (rad) - ebener Winkel zwischen zwei Radien eines Kreises, die aus dem Kreisumfang einen Bogen der Länge des Radius ausschneiden.SteradiantDer Steradiant (sr) - räumlicher Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt einer Kugel liegt und der aus der Kugeloberfläche eine Fläche gleich der eines Quadrats von der Seitenlänge des Kugelradius ausschneidet.

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Grundgrößen

1 s ist die Zeit für 9192631770 Perioden einer bestimmten Schwingung des Isotops von Cs-133

SekundesZeit

Ur-Kilogramm, aufbewahrt imBureau International des Poids et Mesures in Paris Sèvres

Kilo-grammkgMasse

1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit von 1/299792458 s zurücklegt

MetermLänge

DefinitionNameZeichen

Si-EinheitGröße

Lichtstärke, die mono-chrom. Strahlung mit der Frequenz 540 · 1012 Hz mit einer Leistung von 1/683 Watt pro Steradiantaussendet.

CandelacdLicht-stärke

Die Stromstärke in zwei parallelen Leitern im Abstand von 1m beträgt 1 A, wenn die Ströme, bezogen auf die Länge 1m, die Kraft 2 .10-7 N aufeinander ausüben

AmpereAStrom-stärke

DefinitionNameZeichen

Si-EinheitGröße

Grundgrößen

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1 mol eines Stoffes enthält so viele Teilchen, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoff C-12 enthalten sind.

Mol mol Stoff-menge

Zwischen dem Nullpunkt der thermodynamischen Temperaturskala (absoluter Nullpunkt) und dem Tripelpunkt des Wassers liegen 273,15 K

Kelvin K Tem-peratur

DefinitionNameZeichen

Si-EinheitGröße

Grundgrößen

NA = 6,022x1023

Die 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht hat zwei ergänzende SI-Einheiten festgelegt:

Bogenmaß: φ [ rad] = s / r1 rad = 1 Radiant

Gradmaß: 1 Grad = 1° = (2π /360) rad1 Minute = 1' = 1° /601 Sekunde = 1'' = 1' /60

φ

r

rs∝ r

Kreisumfang = 2π r ⇒ Vollkreis hat 2π rad bzw. 360°

Raumwinkel: Ω [Sterad] = A/r2

1 sr = 1 Steradiant

Kugelfläche = 4π r2 ⇒ Vollkugel hat 4π sr

Kugelfläche

r

A∝ r2Ω

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Abgeleitete Größen⇓

mathematische Kombination von Grundgrößen

Dimension: Maßeinheit der abgeleiteten Größe

Beispiel: Geschwindigkeit v = d(Länge)/d(Zeit) = dx/dt

Dimension: [ ] [ ][ ] sm

sm

ZeitDistanzv 1−===

⇒ Konsistenztests von Gleichungen:

Haben alle Summanden die gleiche Dimension ?

Haben beide Seiten der Gleichung die gleiche Dimension ?

Weitere Beispiele:

Aus Einheiten können Vielfache der Einheiten durch Multiplikation mit Faktoren gewonnen werden.

0.01 m = 10 cm = 10 mm = 10000 µm

0.000000001 m = 1 nm, oder 1 pm = 1.10-12m

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Messgenauigkeit und Messfehler(Genaueres wird vor dem Praktikum angeboten)

Eine Messung beruht auf einem quantitativen Vergleich der Messgröße mit einem Standard (Normal).

Dadurch erhält man einen Informationsgewinn über den Istwert eines Messobjekts.

Jede Messung ist mit einem Fehler behaftet.

Messung = Messwert x ± Fehler σ

statistisch systematischAuflösung der Apparatur

Statistische Fluktuation

Rauschen ...

Durch Wiederholung der Messung beliebig reduzierbar

Falscher Nullpunkt

Fehlkalibration der Skala

Unsicherheiten in Korrektur von Störeffekten ...

Durch Wiederholung der Messung nicht reduzierbar

GRUNDZÜGE DER MECHANIK

Grundbegriffe:

Skalar, Vektor, Bezugssystem

Bewegungen:

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Kraft und Masse:

Trägheitsprinzip

Kräfte

Gravitationskraft

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Skalare Größen (Skalare)• Sie sind durch Zahlenwert und Einheit vollständig definiert. Skalaresind z. B. Zeit (t = 0.8 s), Masse (m = 55 kg), Temperatur (T = 303 K).

• Zahlenwerte sind reelle Zahlen, Temperaturangaben in Kelvin sind Immer positiv

Vektorielle Größen (Vektoren – physikalische Größen mit Richtungssinn)• Sie sind durch Zahlenwert, Einheit und Richtung vollständig definiert. Vektoren sind z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft

• Variablen, die für Vektoren stehen, werden häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet

rr

222 zyxr ++=r ist der Betrag (Länge) eines Vektors

BezugssystemeGalilei formulierte die umstrittenen Frage, ob sich eine Kugel an Bord eines fahrenden Schiffes in Bewegung oder in Ruhe befinde. Seine Analyse lautete, dass die Beantwortung der Frage von der Position des jeweiligen Beobachters abhängt: ein Beobachter, der sich ebenfalls an Bord des Schiffes befindet, sieht die Kugel in Ruhe, während ein Beobachter am Ufer die Kugel sich zusammen mit dem Schiff bewegen sieht. Die Eigenschaft, in Bewegung zu sein, ist demnach keine, die der Kugel alleine zukommt, sondern hängt von der Wahl des Bezugssystems ab.

Für die Betrachtungen im Rahmen dieser Vorlesung werden wir meistens Erde als Bezugsystem benutzten und annehmen, dass die Erde ruht. Dies ist zwar nicht richtig, für die meisten Überlegungen hier ist es jedoch eine akzeptable Annahme.

3 D Kartesisches Koordinatensystem

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Geschwindigkeit

A.Gleichförmige geradlinige BewegungDiese Bewegung ist gegeben wenn in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden.

t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

X

Y

Z

)2( srr

)0( srr

1sr

2sr∆)1( srr

ts

tttrtrv

∆∆

=−−

=rrr

r

12

12 )()(

[ ] [ ]1−⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= sm

smvr

Weg-Zeit-Diagramm

tsv

∆∆

=r

r

Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm

Umrechnung zwischen den gebräuchlichen Geschwindigkeitseinheitenm/s und km/h :

1 km/h = 1000m : 3600s = (1 : 3,6) m/s = 0,277 m/s

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Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm

s [m]

t [s]

1

2

3

Fall 2: Gleichförmige Bewegung

Fall 1 und 3: Ungleichförmige Bewegung

A B

C

∆s

∆t

Mittlere Geschwindigkeit:

ABBC

tsvM =

∆∆

=r

r

α

Wir erkennen, dass wir die Geschw. bei ungleichförmiger Bewegung um so genauer angeben können je kleiner Zeiten und Wege gewählt werden. Mit

00 →∆→∆ tundsP

Erhalten wir im Punkt PMomentangeschwindigkeit:

dtsdvr

r=

Vergleich der mittleren Geschwindigkeiten (Näherung)Objekt GeschwindigkeitSchnecke 0,0008 m/s ≈ 0,003 km/hMaulwurf (Graben) 0,002 m/s ≈ 0,008 km/hMaulwurf (Laufen)1,1 m/s ≈ 4 km/hFußgänger 1,5 m/s = 5,4 km/hBiene 6,5 m/s ≈ 23 km/hBrieftaube 20 m/s = 72 km/hSchwalben 60 m/s ≈ 220 km/hErde (Umlaufbahn) 29.800 m/s ≈ 107.000 km/hLicht (Vakuum) 299.792.458 m/s ≈ 1.080.000.000 km/h

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BeschleunigungÄndert sich die Geschwindigkeit, so wirkt eine Beschleunigung (bzw. Abbremsung). Wenn z.B. ein Skispringer startet ist seine Anfangsgeschw. v1=0 m/s. Am Schanzentisch ist seine Geschwindigkeit v2=28 m/s. Wie groß war seine Beschleunigung ?

tv

tttvtva

∆∆

=−−

=rrr

r

12

12 )()(

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

2

1

sm

ssma

dtvd

dtva t

rrr

=∆

= →∆ 0lim

Momentanbeschleunigung

Geschw.-Zeit:Diagramm t

v

t1 t2 t3

a>0a<0

Freier Fall

Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Hier wird ein frei fallender Körper immer schneller. Warum ?

gatav rrrr=⋅= ;

g =

002

0 00

00

2

2

21)( stvatdtvatvdts

vatadtvadtdv

dtsd

dtdva

dtdsv

t t

t

++=+==

+==⇒=

===

∫ ∫

g

Fundamentalgleichungen der Kinematik

Freier Fall: 2

2tgsgtv ==

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Zusammensetzung von BewegungenFührt ein Körper mehrere Bewegungen aus, so ergibt sich die Gesamtbewegung durch die Addition der Einzelbewegungen und der Gesamtweg durch die vektorielle Addition der einzelnen Wege, die Gesamtgeschwindigkeit durch die Addition der einzelnen Geschwindigkeiten.

A

B

C = A + B

vB

vF

vB

vFResultierende Geschwindigkeit

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/index.htmlhttp://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/index.htm

Horizontaler Wurfhorizontal:

tvx 0=0vxt =⇒

vertikal:

2

2tgy = 2

0

2

2 vxg

=

y=1.5m, v0=3m/s: x=1.6m

22 1081.9sm

smg ≈=

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KRAFT und MASSE

Konzept einer Kraft:

Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken. Als physikalischer Begriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit die Bewegung eines Körpers zu ändern (Richtungsänderung, Beschleunigung, Abbremsung) oder auch einen Körper zu verformen.

Es gibt viele Arten von Kräften z.B: elastische Kraft, Reibungskraft, Federkraft, elektrische Kraft, Schwerkraft (Gravitation), .....

Auf G. Galilei Erkenntnissen basieren formulierte I. Newton 1668 in „Principia Mathematica“ das Trägheitsprinzip (1. Axiom):

Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist.Eine Änderung dieses Zustandes ist nur durch eine Kraft möglich.

Einige Beispiele und Überlegungen:Eishockeypuck erreicht Geschwindigkeiten von über 45 m/s. Reibungsfreie Eisfläche würde eine nie endende Fortbewegung mit sich bringen.

Ein Körper der keiner Wechselwirkung wie Reibung (oder Gravitation) unterliegt, ist etwa im Weltraum vorstellbar - einmal in Bewegung, setzt ein Körper diese geradlinig, mit konstanter Geschwindigkeit fort.

Eine Kraft könnte in solchen Fall die Objekt-geschwindigkeit beeinflussen, z.B. beschleunigen.

Es zeigt sich aber, dass auch wenn externe Einflüsse (z.B. Reibung) fehlten, eine Initiierung der Bewegung eines Körpers von einer internen Eigenschaft des Körpers, von seiner Trägheit, abhängt. Bei großer Trägheit ist diese Initiierung der Bewegung schwieriger, so aber auch die Abbremsung.

Offensichtilich: Die Trägheit eines Körpers proportional zur Masse.

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Kraft FKraft ist also die Ursache einer Beschleunigung, sie ist auch proportional zu der Beschleunigung. Auf Galilei Experimenten aufbauend formulierte I. Newton sein 2. Axiom – das Aktionsprinzip:

Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

[ ] )(11

;;

2 NewtonNsmkgF

gmFamFaF G

=⋅=

⋅=⋅=∝r

rrrrrr

Es gibt eine große Zahl von div. Kräften, sie lassen sich aber in 2 Gruppen einteilen: Kontaktkräfte mit Reichweite von etwa 10-10m (Reibungs-, Stoßkräfte,..) und Fernwirkung (Gravitations-, elektrische und magn. Kräfte)

Die Beobachtung, dass Kräfte immer bei Wechselwirkungen auftreten, bedeutet auch dass zu jeder Kraft eine Gegenkraft existieren muss. Die hat Sir Isaac Newton folgendermaßen formuliert:

Das ReaktionsprinzipKräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).

ABBA FF →→ −=rr

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Beobachtung von G. Galilei:Eisen- und Holzkugel mit dem gleichen Durchmesser geworfen von Turm in Pisa erreichen den Boden gleichzeitig. Warum ?

Schwerkraft• Bekannteste Kraft auf unserem Planeten

• Frei fallender Körper führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus mit der konstanten Beschleunigung g=9.81 m/s2.

• Die Beschleunigung ist durch die Schwerkraft hervorgerufen.

• Die Schwerkraft steht normal auf die Erdoberfläche

• Eine Masse von 1 kg wird von der Erde mit der Kraft von 9.81 N angezogen.

• Diese Kraft wird auch Gewicht genannt.

gmFGrr

⋅=

50 m

Newton‘sche Erklärung:Schwerere Gegenstände haben auch größere Trägheit. Die Eisenkugel wird von der Erde mit etwa 10-facher Kraft im Vergleich zu der Holzkugel angezogen, aber ihre Trägheit ist auch 10 mal so groß.Also Trägheit und Gewicht sind beide proportional zu Masse.Wodurch unterscheiden sich dann diese beiden Eigenschaften der Masse ?

Die Trägheit ist eine inhärente Eigenschaft der Masse, das Gewicht ist von der Gravitationskraft (Schwerkraft) abhängig. Ein Mensch mit 100 kg (Erde) würde auf dem Mond nur etwa 17 kg wiegen.

100 kg ?? 17 kg !!

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GRAVITATIONSGESETZDas Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich die Gravitationskraft F, mit der sich zwei Massen m und M anziehen, proportional zu den Massen beider Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes rder Massenschwerpunkte verhält:

Die Gravitationskonstante, meist durch das Formelzeichen G dargestellt, isteine von Isaac Newton eingeführte Universalkonstante, die bei bekanntemAbstand zweier, massiver Objekte deren gegenseitigeMassenanziehungskraft bestimmt.

Danach ist die Gravitationskraft eine Wechselwirkung - nach dem dritten Newtonschen Axiom wirkt die Kraft sowohl auf die erste als auch auf die zweite Masse, aber jeweils in der entgegengesetzter Richtung.

2rMmGF ⋅

⋅=

2

3111067.6

skgmG

⋅⋅≈ −

↓↑⇒ Fr

Die Gravitationskonstante G führt über das Gravitationsgesetz zurMasse M und zur mittleren Dichte ρ des jeweiligen Körpers (z. B. derErde ), sofern der mittlere Radius und die Oberflächenbeschleunigung g bekannt sind:

E

E

RGg

VMmg

RMmG

⋅⋅=

==

πρ

ρ

43

;2

33105.5

mkg

E ⋅≈ρ

RE

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Kräftezerlegung auf der schiefen Ebene

FNFG

FH

Eine schiefe Ebene ist eine ebeneFläche, die gegen die Horizontalegeneigt ist. Sie wird z.B. verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern.Die Gewichtskraft FG einer Masse, die sich auf einer Schiefen Ebene befindet, wird in zwei Komponenten zerlegt, die FTparallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die FN normal zur Oberfläche. Da die Normalkraft bereits von der schiefen Ebene selbst getragen wird, muss, um die Masse im Gleichgewicht zu halten, lediglich die treibende Kraft FHausgeglichen werden.

αα

cossin

⋅=⋅=

GN

GH

FFFF

α

ARBEIT, ENERGIE UND LEISTUNGBegriff „Arbeit“ ist im allgemeinen für körperliche oder Geistige Aktivität benutzt. Wir sehen uns zunächst den einfachsten Fall der mechanischen Arbeit.

Mechanische Arbeit W wird verrichtet wenn ein Körper entgegengesetzt zu einer wirkenden Kraft bewegt wird.

Also in diesem Fall gilt:

).(...

cos

hundFzwWinkel

hFhFWrr

rrrr

α

α⋅⋅=⋅=ARBEIT = KRAFT * WEG

[ ] [ ] [ ] [ ]JmNmsmkgW 112 =⋅=⋅⋅⋅= −

Welche Fähigkeit hat nun ein auf die Höhe h gehobener Körper ?

gmFG ⋅=

gmFG ⋅=

FFG =

h

m

m

[ ] JouleJ 11 ⇒

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hgmhFW G ⋅⋅=⋅=

Der Körper hat nun das Potenzial Arbeit zu verrichten, er besitzt eine potenzielle Energie:

Da in Ruhe keine Arbeit geleistet werden kann, kann der Körper beim Runterfallen von der Höhe h die aufgewendete Arbeit abgeben. Jetzt wird aber die potenzielle Energie in Bewegungsenergie, kinetische Energie, umgewandelt:

tgvweiltggmW

tgshundhgmhFW G

⋅=⋅⋅⋅=

⋅==⋅⋅=⋅=

2

2

)(21

2

2

21 vmW ⋅=

Die kinetische Energie wird beim Auftreffen wieder Umgewandelt in andere Energieformen, z.B. Wärme, Deformation. Die Einheit [J] bleibt gleich.

Die Arbeit kann in einem Kraft – Weg Diagrammdargestellt werden. Sie ergibt die Fläche eines Rechtecks mit den Seiten: mg und h.

Zur Überwindung der Höhe h kann auch eine schiefe Ebene verwendet werden. Die Hubarbeit ist nun entlang eines längeren Weges s=h / cosϕzu leisten. Weg [m]

F [N]

W = F • h

Arbeit = Skalarprodukt des Kraftvektors mit dem Vektor der Verschiebung

α

ϕ

s

h

FG

FF

S=F •cos ϕ

sFsFW rr⋅=⋅⋅= ϕcos

Fr

sr

Beispiel:Heben einer Masse von 10 kg um 3 m erfordert eine Arbeit von 10 kg⋅10 m/s2 ⋅3 m = 300 J.

Verschieben einer Masse von 10 kg um 3 m auf der schiefen Ebene mit einer Neigung von 30° erfordert eine Arbeit von mg⋅s⋅cos60° = 150 J.

Höhengewinn = 3m⋅ cos60° = 1.5 m

∫∫ ⋅==⋅=hh

hFdsFdsFW00

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24

Beispiel:

Arbeit zur Beschleunigung eines Wales von 100 t von Ruhe auf 8 m / s:

kJJsmkgmvW 320032000002

81000002

2222

==⋅

==−

Täglich vom Menschen aufgenommene Energie (Nahrung) ~ 10000 kJ. Bei einem Wirkungsgrad von 32% (d.h. 32% der Nahrungsenergie stehen für diese Arbeit zur Verfügung) könnte der Wal einmal pro Tag auf 8 m / s beschleunigt werden.

Bei Körperlicher Tätigkeit merkt man, dass bei gleicher Arbeit die Ermüdung umso schneller eintritt, je kürzer die Zeit in der die Arbeit verrichtet wurde. Man hat unterschiedliche Leistungen vollbracht.

Dies hilft uns die Leistung zu definieren:Zeit

ArbeiteverrichtetLeistung =

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

sJP

tWP 1; Aus dieser Definition kann der bekannte

Begriff der Kilowattstunde (kWh) ermittelt werden. Leistung mal Zeit = Energie.

MJJsWkWh 6,3106,3360010001 6 =⋅=⋅=

ERHALTUNGSSÄTZEUnter einer Erhaltungsgröße versteht man eine Größe, die für die an einer Wechselwirkung beteiligten Teilchen vor und nach der Reaktion gleich ist (also erhalten bleibt). Eine der bekanntesten Erhaltungsgrößen der Physik ist die Energie. Zu jeder Erhaltungsgröße gehört ein Erhaltungssatz, in dem formuliert wird, welche Größe unter welchen Bedingungen erhalten bleibt.

Beispiel:

Fadenpendel – periodische Umwandlung von potenzieller in kinetische Energie und umgekehrt, bei gleichzeitiger Erhaltung der Gesamtenergie

kinges WW =

potges WW =h

1

2

3

..

2

:32

:2

:1

EndzusttAnfangszus

potges

kinges

potges

WW

mghWW

mvWW

mghWW

=

==

==

==

v

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25

Einige Beispiele:

Für viele physikalische Größen gelten Erhaltungssätze. Ein Erhaltungssatz für eine Größe X bezieht sich stets auf ein System, welches für diese Größe nach außen bgeschlossen ist. Für eine andere Größe kann das System offen sein.

IMPULS (Physik)

Bewegt sich ein Körper der Masse m mit einer Geschwindigkeit v, so kann dies durch eine Größe, den Impuls, beschrieben werden. Jeder bewegte Körper trägt einen Impuls, den er bei Stößen oder durch Kraftwirkungen ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen kann.

Der Impuls ist definiert als Produkt der Masse m eines Körpers und dessen Geschwindigkeit. Impuls und Geschwindigkeit sind Vektoren:

In der Umgangssprache bedeutet der Impuls einen Antrieb etwas zu tun, in Angriff zu nehmen oder zu unternehmen.

IMPULS

tavamFdtsdmvmp ⋅=⋅=⋅=⋅=

rrrr

rr

tmFtav

1

111 == t

mFtav

2

222 ==

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26

IMPULSÜBERTRAGUNG

[ ]

0

:

1

21

21

21

22

11

1

=+−=

−=

⋅=⋅⋅=⋅

⋅⋅=

⋅=−

ppoderpp

FFgiltes

tFvmundtFvmsmkgp

vmp

rr

rr

rr

r

r

r

rr

Impuls, Kraft und Geschwindigkeit sind Vektoren und weisen in die gleiche Richtung.

Impulserhaltungssatz:

Für jedes abgeschlossene System bleibt der Gesamtimpuls konstant

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27

Wenn sich ein Körper (Massenpunkt) mit der Masse m translatorischmit der Geschwindigkeit v bewegt, so beschreibt man den Impuls als:

vmp rr⋅= Dim [p] = 1N · s oder 1kg · m · s-1

Durch eine Umformulierung des II. Newton´schen Axioms erhalten wir:

tp

tvm

tvmamF

dd

d)(d

dd rrr

rr=

⋅=⋅=⋅=

Die Kraft F, die auf die Masse m wirkt, ist gleich der Impulsänderungpro Zeiteinheit. Die Größe: nennt man Kraftstoß.pddtF rr

=⋅

Kraftstoß kennzeichnet die Einwirkung einer Kraft auf einen Körper in einer bestimmten Zeit.Der Kraftstoß wird grafisch durch den Flächeninhalt einer Kraft-Zeit-Kurve dargestellt.

Energieumsatz im menschlichen KörperUm den Energieumsatz für ein ganzes Lebewesen zu analysieren, also die Energie, die z. B. ein Mensch oder ein Tier benötigt, müssen einzelnen Individuen einer Population bezüglich ihres Energiebedarfs je nach Alter, Geschlecht, Gesundheitszustand, körperlicher Leistung oder umgebendem Klima bewertet werden.

Biologische Organismen sind keine geschlossenen Systeme. Es findet ständiger Stoff und Energieaustausch mit der Umgebung statt. Es stellt sich dabei ein sog. Fließgleichgewicht ein. Dieses Gleichgewicht ist nur bei ausreichender Energiezufuhr von Außen, je nach abgegebener Arbeit, oder Leistung möglich.

Im Mittel nimmt der Mensch 9630 kJ /Tag = 2300 kcal /Tag auf. Das entspricht einer Leistung von 110 W. Die Energie wird als potenzielle Energie auf der molekularen Ebene zur Verfügung gestellt.

Bei der Umsetzung der Energie können bis etwa 30% als mechanische Arbeit freigesetzt werden.

34Alkohol42Fett19Kohlehydrate

Energie kJ / g Nahrung

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28

DREHBEWEGUNG

Fr

Fr

Fr

Fr

−Keine Drehung Drehung gegen Uhrzeigersinn

Fr

rr Das DrehmomentDrehung wird stärker mit zunehmender Kraft F.

Drehung wird stärker wenn der Hebelarm rvergrößert wird.

Wir definieren: Drehmoment M = Hebelarm r • Kraft F

1Fr

rr

2Fr

Fr

α

α

Die wirkende Kraft F kann in 2 Komponenten zerlegt werden. Nur die F1 Komponente erzeugt ein Drehmoment M !!

αsin1 ⋅⋅=⋅= FrFrMHebelarm r und Kraft F sind offenbar Vektoren. Auch das Drehmoment M ist ein Vektor. M hängt nicht nur vom Betrag , sondern auch von der Richtung der Kraft F ab. So müssen r und F als Vektorprodukt ausgedrückt werden !!!

[ ] )!(1 JoulenichtNmMFrM =×=rrr

VEKTORPRODUKT:* Das Ergebnis ist ein Vektor, mit Richtung senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren • Der Betrag des Ergebnis-Vektors entspricht der von den Ausgangsvektoren aufgespannten Fläche• Betrag: „Produkt der Beträge beider Vektoren und des Sinus des Winkels zwischen den Vektoren“

Fr

rr

Mr

α

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29

Beispiel:

Mit welcher Kraft muss der Muskel ziehen um eine Masse von 2 kg halten zu können ?

L1=3 cm und L2=30 cm.Ann.1.: Muskelkraft normal auf d. Unterarm.Ann.2.:Muskelkraft unter α=60° auf d. UnterarmDie Masse m erzeugt ein Drehmoment:

NmskgmgF 20102 2 =⋅== −

Nm

NmF

NmmNM

23160sin03.0

663.020

1 =°⋅

=

=⋅=

Nm

NmF

NmmNM

20003.0

663.020

1 ==

=⋅=1

2

αsin1 ⋅⋅=⋅= FrFrM

Hebelgesetz

Hebelgesetz

Obiges gilt nur, wenn die Kräfte im Winkel von 90° angreifen. Ist der Winkel verschieden von 90°, so müssen die Kräfte in die einzelnen Komponenten zerlegt werden, und nur die Komponente, die rechtwinklig vom jeweiligen Arm wegzeigt, geht in die Rechnung ein.

Ein Hebel ist einer der wichtigsten Kraftwandler. Er dient, wie alle mechanischen Maschinen dazu, Arbeit zu erleichtern, nicht zu sparen. Denn die zu leistende Arbeit bleibt nach der Formel: Arbeit = Kraft . Weg

Das heißt, eingesparte Kraft geht auf Kosten des Weges, die zu leistendeArbeit wird keineswegs weniger.

2211 FrFr ⋅=⋅

22 Fr ⋅11 Fr ⋅ =

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30

Unter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die zeitliche Änderung des Drehwinkels bei einer Rotation:

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell etwas rotiert. Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig von der Entfernung von der Drehachse.

Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s bzw. 1/s.

dtdtfür

tϕωϕω =→∆

∆∆

= 0

ω

ϕTvr

ϕ

b=∆s=r. ∆ϕ

b vT

ωϕ⋅=

∆∆

⋅=∆∆

= rt

rtsvT

Drehung um eine Achse – Winkelgeschwindigkeit

KreisbewegungBei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt für Zeitintervalle ∆t: t∆⋅=∆ ωϕ

T sei die Zeitdauer für einen vollen Umlauf des Massenpunktes P auf einer Kreisbahn, d.h. Vektor r durchläuft einen Winkel 360o (bzw. 2π im Bogenmaß), dann gilt: T

t∆=

∆πϕ

2

Damit ergibt sich für die Winkelgeschwindigeit: [ ]12 −= sTπω

Winkelgeschwindigkeit ω auch als Kreisfrequenz bezeichnet: νπω ⋅= 2

Ändert sich ω in der Zeiteinheit ∆t (ungleichförmige Rotationsbewegung) Winkelbeschleunigung α = ∆ω /∆t [rad.s-2]

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31

Beispiel:

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger Rotation von 3000 Upm ?

110060

23000 −=⋅

= ss

ππω

Eine Schiebe mit dem Durchmesser von 23 cm rotiert mit 7000 Upm. Wie groß ist die Tangentialgeschwindigkeit am Rande ?

11

1

3,84733115.0

73360

27000

−−

=⋅=

⋅=

=⋅

=

mssmvrv

ss

ω

πω v =?

Beispiel: Gleichförmige Rotationsbewegung

Winkelgeschwindigkeit der Erde um ihre Achse. Periode T = 24 h

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde ?

Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Äquator ?

Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Nordpol ?

Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit in Wien ?

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32

Beschleunigung bei Drehbewegungen

v1

v0vx

Bewegung auf einer Kreisbahn, auch mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist eine beschleunigte Bewegung. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist zwar konstant, aber ihre Richtung ändert sich. Jede Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors ist mit einer Beschleunigung verbunden.

∆ϕ

v0

v1∆v∆ϕ

Richtung der Bahngeschwindigkeit v ist in jedem Punkt P tangential zum Kreis.

P

tr

tr

tsv

tt ∆∆

⋅=∆∆⋅

=∆∆

=→∆→∆→∆

ϕϕ000t

limlimlim ω⋅=⇒ rvVerantwortlich für die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung ist die Beschleunigung aZ = const. Sie wirkt senkrecht zur Bahngeschwindigkeit Zentripetalbeschleunigung, deren Betrag lautet:

22

Z ωω ⋅==⋅= rrvva

Für die Beschreibung als Auftrieb wird Schwerkraft durch Zentrifugalkraft ersetzt.

Beschleunigung g

Dichteschichtung oder Sedimentation

ρ

9,81 m/s2

rω2

Beispiel: 100 Umdrehungen pro smit 0,1 m Radius

(2π⋅100)2 ⋅ 0,1 m/s2 = 40.000m/s2

ρ

r

F

ω = 2πf

z

Beispiel: Zentrifuge

2ω⋅⋅=⋅= rmamF ZZ

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33

TRÄGHEITSMOMENTZwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinderlangsamer als der Vollzylinder. Warum ?

Bei einem rotierenden Körper hat jeder Teil eine bestimmte Momentan-geschwindigkeit. Jede bewegte Masse hat eine kin. Energie, daher besitzt ein rotierender Körper die Rotationsenergie. Um diese Energie bestimmen zu können, denken wir den Körper in Massen-elemente dmi zerlegt. Im Abstand ri von der Rotationsachse hat jedes dmi eine Geschwindigkeit:

Rotationachse

dd ω⋅= ii rv

Seine kinetische Energie beträgt:

22

222 ω⋅⋅∆=

⋅∆=∆ iiii

krmvmE

Die gesamte Energie der Rotation ergibt sich durch die Summation(Integration) aller Beiträge:

222

22

222 IrmrmE ii

ii

iir

⋅=⋅⋅=

⋅⋅∆= ∑∑ ωωω

Trägheitsmoment

2mRIHZ =

2

21 mRIVZ =

2

32 mRIHK =

2

52 mRIVK =

Beispiele für div. Trägheitsmomente:

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34

Drehimpuls

Definition des Drehimpulses:

ωrr

⋅= ILDer Drehimpuls ist in einem abgeschlossenem System konstant (Drehimpulserhaltung)

kleinωr

großωr

großIkleinI

Analogie zwischen Translationsbewegung und Rotation

TranslationWeg

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Masse

Impuls

Kraft

Kin. Energie

RotationWinkel

Winkelgeschw.

Winkelbeschl.

Trägheitsmoment

Drehimpuls

Dremoment

Kin. Energie 2

2mvE

pamF

vmpm

va

sv

s

KIN =

==

=

=

=

&rrr

rr

&rr

&rr

r

2

2

ω

ωωϕ

IE

FrM

IL

I

RKIN =

×=

=rrr

rr

&

r

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35

Reibungskräfte

Verschiebt man Körper gegeneinander, so werden, unabhängig vom vorliegenden Aggregatzustand, Reibungskräfte wirksam.Äußere und innere Reibungäußere: Reibung zwischen den Außenflächen fester Körperinnere: Fluidreibung, d.h. Reibung zwischen Fluidteilchen

(Zähigkeit / Viskosität)

Bis jetzt haben wir stets Reibungskräfte vernachlässigt. Bei der Betrachtung der Kräfte spielt aber die Reibung eine wichtige Rolle.

Zwischen den Berührungsflächenzweier Körper treten Reibungskräfte auf. Sie sind der Bewegungsrichtung stets entgegengesetzt.

vFR

FFN

-FN

Mikrostruktur der Oberflächen

Haftreibung

reale, rauhe OberflächeFr

GN FFrr

=

Experimenteller Test von FR = µR·FN

RFF >

NFr

RFF >

NFr

NF2r

NF2F >

NrR FF ⋅= µ

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36

Messung von µR (z.B. Rutschen vonm Baumstamm auf einem schrägen Hang)

Gleitreibung

reale, rauhe Oberflächevr

GN FFrr

=

GFr

αR

m

gmr

RFr

NFr

αR

αR = Winkel beim Losrutschen

RG FFrr

<

NG FF ⋅= µ

N

R

FF

=αtan

Vergleich der Reibungskräfte

v = 0

FR

F

FN = FG

FG

F

FN = FG

v

Gleitreibungskraft (FR)

FG = µ • FN

Gleitreibungszahl

Haftreibungskraft (FR)

FR = µr • FN

Haftreibungszahl

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Reibungskoeffizienten einiger StoffpaareMaterial Haftreibungszahl Gleitreibungszahl

trocken geschmiert trocken geschmiert

Gummi- Beton 0.65 0.3 0.25 0.1

Stahl- Stahl 0.18 0.10 0.05 0.009

Stahl- Holz 0.5 0.1 0.3 0.02

Knochen- Knochen 0.3 0.003*

*geschmiert durch die Synovialflüssigkeit

Elastizität und Festigkeit• Elastische und nichtelastische Deformation• Festigkeit von Stoffen• Tragfähigkeit von Strukturen• Dynamische Effekte

Bis jetzt haben wir vorausgesetzt, dass ein Festkörper bei Einwirkung der Kräfte unveränderbar ist. Es zeigt sich, dass alle Materialien bei der Einwirkung von Kräften Deformationen erleiden, die auch zu einer dauerhaften Veränderung, oder Bruch führen können.

ALF

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38

Elastische und nicht elastische DeformationJede Krafteinwirkung führt zu einer Deformation des Körpers. Die Verformungen eines Körpers lassen sich in 3 Gruppen einteilen:

Dehnung Kompression Scherung

Torsion Biegung

Aus den 3 Grundverformungen lassen sich weitere, wie etwa Torsion oder Biegung zusammensetzten

l + ∆l

l

DF

[ ]

[ ]2

2

11

NmllE

Ell

mN

AF

∆⋅

=

⋅=∆

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

σ

σ

σ Spannung

Relative Dehnung

Elastizitäts-modul

Wir definieren:

Hooke‘sches GesetzDas Hooke‘sche Gesetz beschreibt das elastischeVerhalten von Festkörpern, deren elastische Verformunglinear proportional zur anliegenden Spannung σ ist.

Das H.G. gilt nur für lineare elastische Deformationen. Diese Bedingung ist für kleine Deformationen erfüllt. Bei Deformationen oberhalb der Proportionalitätsgrenze werden die Verformungen nicht-linear, d.h. die Verzerrung ist nicht mehr proportional zur Spannung σ, die Verformung kann aber dennoch reversibel sein. Erst für noch größere Deformationen wird die Verformung irreversibel (plastische Deformation), und es findet keine vollständige Rückformung beim Nachlassen der Spannung statt.

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39

F

Proportionalitätsbereich (Hookesches Gesetz)

Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)

Nicht-elastischer Bereich (Fließen)

Bruch

∆l

Verhalten eines Festkörpers bei Dehnung

BESTIMMUNG DES ELASTIZITÄTSMODULS AUS DEM SPANNUNGS-DEHNUNGS-DIAGRAMM

[N/m2] = [Pa]

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Festigkeit von StoffenStoffe können so beansprucht werden, dass sie unter dem Einfluss der Kräfte zerstört werden. Spannungs-Dehnungs-Diagramme erlauben die Unterscheidung in spröde, zähe und plastische Stoffe.

σ [N/m] = [Pa]

∆l/l [-]

spröde zäh

plastisch

Bei Knochen ist eine max. Dehnung von etwa 2.5% bei 200.106 N /m2 möglich. Haare können bis 30% verlängert werden bevor sie reißen, Resilin widersteht einer Dehnung um das Doppelte der ursprünglichen Länge.

Die elastischen Eigenschaften bei vielen Stoffen unterscheiden sich in vielen Richtungen. Fichtenholz parallel zur Faser: 90.106 N/m2; quer zur Faser: 3.106 N/m2

Elastizitätsmodul [N /m2 ] von einigen MaterialienStahl 2E11

Aluminium 6E10

Eichenholz 1E11

Knochen (Dehnung) 2E10

Knochen (Stauchung) 1E10

Spinnweben 3E9

Collagen (Dehnung) 2E6

Gummi (Dehnung) 3E6

Resilin (Insekten) 1E6

Die üblicherweise als kaum verformbar gesehenen Medien haben sehr große Werte für E-Modul. Zwar haben Spinnwegen hohes E-Modul, doch sind sie bereits durch kleine Kräfte wegen des geringen Durchmessers dehnbar. Die leicht dehnbaren Stoffe haben kleinere E-Moduln.

Bei allseitiger Kompression gibt es analoge Beschreibung für relative Volumsverkleinerung:

AFpp

MVV

=⋅=∆ 1

Kompressionsmodul

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Scherung

Für Knochenmaterial ist das Schubmodul G = 9E10 Nm2.rad-1

FrFläche A

ασα ⋅=

G1

AF

σ /10 7

∆l / l

Stauchung Dehnung

12

-17

-0.018

0.014

Spannungs-Dehnungs-Diagramm eines Knochens

Bis heute ist es ein Geheimnis, wie die Natur harte und sehr feste Materialien, wie Knochen, Zähne oder Holz, aus einer Mischung aus Proteinen, weich wie menschliche Haut, und Mineralien, spröde wie Schulkreide, erzeugen kann.

Moderne Forschung zeigt, dass die Nanostruktur von Biomaterialien vermutlich der Schlüssel ist.

Knochen, die aus Partikeln von nur einigen Nanometern Größe bestehen, sind wesentlich fester sind als Muschelschalen, deren Teilchen einige hundert Nanometer groß sind. Die Nano-Komposit-Materialien sind unempfindlich gegenüber Materialfehlern.

H. Gao et al. PNAS Vol.100, pp. 5597-5600 (2003)

Hartes biologisches Gewebe: (a) Knochen (b) Wirbelsäule-knochen (c) Perlmut sind Nano-Komposite aus harten Mineralkristallen eingebettet in weiche Proteinmatrix (d, e, f).

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Tragfähigkeit von StrukturenBei Belastung einer Struktur wird diese so lange elastisch verformt, bis durch die Verformung im Inneren des Körpers aufgrund der Elastizität entgegengesetzte Kräfte entstehen.

gedehnt

gestaucht

Neutrale Faser

F-r

Zugkraft

Fr

Druckkraft

Bäume, die sich im Wind biegen, sind im Prinzip vertikale Ausleger, die Druckbelastungen in praktisch allen Richtungen standhalten müssen.

Biologische Materialien haben aus ihre Festigkeit bezogen eine Geringe Masse. Knochen und Aluminium haben ähnliche Zugfestigkeit, Aluminium hat aber etwa die doppelte Dichte.

Das von jungen Bäumen gebildete Holz („juveniles Holz“), zeigt einen relativ großen Spiralwinkel.

Der Stamm eines alten Baumes hingegen muss dem Wind widerstehen. Demzufolge findet sich in dem so genannten „adulten“ Holz ein kleiner Spiralwinkel (~5-15°).

Mechanische Eigenschaften von Geweben der Fichte

(Reiterer et al 1999)

Mit der Anordnung der sog. Zellulosefibrillen in der Wandschicht können Pflanzen ihre mechanischen Eigenschaften steuern. Junge Bäume verfolgen sie die Strategie, dem Wind durch hohe Flexibilität wenig Angriffsfläche zu bieten.

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Speicherung von Energie durch elastische Verformung

llAEF

AEF

Ell

∆⋅⋅

=⇒⋅

=⋅=∆ σ1Durch eine Umformung des

Hookschen Gesetztes erhalten wir:

Der Wert des Bruches ( E.A. / l )hängt nur von der Körperform und Materialab, daher können wir schreiben: F = k . s, k ist eine Konstante.

Die Kraft ist also proportional der Verlängerung (Stauchung). Dies gilt im elastischen Bereich. Insbesondere würde es für eine Feder gelten, daher nennt man k auch eine Federkonstante.

e

s

EskdsskW

dsFdWundskF

=⋅=⋅=

⋅=⋅=

∫ 2

20

0

0

Speichrung von Energie in elastischer Form: Uhrenfeder, elastische Schwingung, Insekten (Flügelschlag wird mittels Resilin abgebremst und beschleunigt)

s=∆l

F

F

sds s0

Ee=F0.s0 / 2=ks0 / 2

Beispiel (Ann. Das Hookesche Gesetz gilt)

Der Aufzug eines Hochhauses steht im Erdgeschoß. Er hängt an 3 je 20 m langen Stahlseilen mit 10 mm Durchmesser. Messe der leeren Kabine = 150 kg. 4 Personen je 75 kg sind im Aufzug. Es steigen weitere 5 Personen zu. Um wie viel cm verlängert sich das Seil ? Seile sind doppelt geflochten, dh. E-Modul von Vollmaterial muss mit 0.36 multipliziert werden.

Querschnittsfläche von 3 Seilen A = 2,4E-4m2

E-Modul von Seil: E = 2E11.(0.36) N / m2.

Belastung durch Zusteigen von 5 Pers.: 5.(75kg).10m/s2 = 3750 N

cmm

mN

NmE

ll 44.0104.2102,7

37502024

211

=⋅⋅⋅

⋅=⋅=∆

σ