Physique - dunod.com · • Un formulaire de mathématiques utiles à la physique est proposé àlaﬁndel’ouvrage. • Il en est de même pour les formules de trigonométrie et

Physiqueméthodes et exercices

MÉTHODES ET EXERCICES

Physiqueméthodes et exercices

PC | PC*

OLIVIER FIAT

© Dunod, Paris, 2017

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoffwww.dunod.com

ISBN 978-2-10-076558-4

Avec la collaboration scientifique de Pierre-Emmanuel Leroy

Conception et création de couverture : Atelier 3+

Table des matières

Avant-propos ix

I Optique 1

CHAPITRE 1 SUPERPOSITION D’ONDES LUMINEUSES 3

Les méthodes à retenir 4

Énoncés des exercices 16

Du mal à démarrer ? 26

Corrigés des exercices 27

CHAPITRE 2 DISPOSITIF DES TROUS D’YOUNG 37





CHAPITRE 3 INTERFÉROMÈTRE DE MICHELSON 77





CHAPITRE 4 DIFFRACTION 113



iii

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II Thermodynamique 147

CHAPITRE 5 TRANSFERTS THERMIQUES 149





CHAPITRE 6 DIFFUSION DE PARTICULES 183





III Mécanique 205

CHAPITRE 7 RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS 207





CHAPITRE 8 VÉHICULE À ROUES 249





iv

CHAPITRE 9 FLUIDES EN ÉCOULEMENT, ÉTUDE LOCALE 273





CHAPITRE 10 FLUIDES PARFAITS 307





CHAPITRE 11 BILANS MACROSCOPIQUES 331





IV Électromagnétisme 367

CHAPITRE 12 TRANSPORT DE CHARGES 369





CHAPITRE 13 CHAMP ÉLECTRIQUE EN RÉGIME STATIONNAIRE 389





v

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CHAPITRE 14 CHAMP MAGNÉTIQUE EN RÉGIME STATIONNAIRE 427





CHAPITRE 15 ÉQUATIONS DE MAXWELL 481





V Physique des ondes 501

CHAPITRE 16 ÉQUATION DE D’ALEMBERT 503





CHAPITRE 17 ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE 539





CHAPITRE 18PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION LINÉAIRES : ABSORPTION ET

DISPERSION 571




vi


CHAPITRE 19 INTERFACES ENTRE DEUX MILIEUX 603





CHAPITRE 20 PHYSIQUE DU LASER 631





CHAPITRE 21 PHYSIQUE QUANTIQUE 657





CHAPITRE 22 FORMULAIRE MATHÉMATIQUE 695

22.1 Équations différentielles 695

22.2 Fonctions de plusieurs variables, équations aux dérivées partielles 697

22.3 Analyse vectorielle 698

22.4 Intégrales de champs et grandeurs élémentaires 702

Index 705

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Avant-propos

Présentation générale. Cet ouvrage de la collection Méthodes et exercices traite de l’intégra-lité du programme de physique des filières PC et PC*. Chacun des 21chapitres est divisé en quatre parties (le chapitre 22 est un formulairede mathématiques).

Les méthodes à retenir : chaque chapitre commence par plusieursfiches structurées avec des rappels de cours synthétiques, desméthodes de raisonnement ou de calcul, un exemple completet un renvoi aux exercices concernés.

Énoncés des exercices : des énoncés d’exercices d’application ducours et de nombreux exercices inspirés d’écrits et d’oraux deconcours sont proposés. Ils sont affectés d’un niveau de diffi-culté, de 1 à 4.

Du mal à démarrer ? : des indications de méthode ou de calcul sontdonnées à l’image de celles qui seraient données en colle ou àl’oral des concours.

Corrigés des exercices : les solutions détaillées sont entièrement ré-digées.

Conseils de travail. Nous vous encourageons à adopter une discipline de travail rigou-reuse. Vous ne devez jamais oublier que c’est en faisant qu’onapprend. Lire un énoncé puis son corrigé est absolument contre-productif, et même si vous avez l’impression de « tout comprendre »(ce qui est flatteur pour le rédacteur de la solution !) vous n’appren-drez presque rien, et surtout vous ne retiendrez rien. Un exerciceest fait pour être cherché, longuement, avec application, puis rédigécomplètement, applications numériques, commentaires et conclu-sions compris. Si vous ne trouvez pas la réponse, cherchez encore.Si vous ne trouvez toujours pas, reportez-vous à la fiche méthode etréessayez en profitant des rappels et conseils qui y sont donnés. Sivous ne trouvez toujours pas, reportez-vous à l’aide donnée dans larubrique « Du mal à démarrer ? ». Si vous n’avez que partiellementtrouvé, laissez-vous un peu de temps encore, une nuit de repos, etcherchez encore le lendemain, c’est souvent profitable. Enfin, vouspouvez consulter le corrigé, sans oublier qu’avoir réellement com-pris une solution, c’est être capable une heure, une semaine ou unan après, de la restituer.

À propos du choix d’exercices. Les exercices ont été choisis pour couvrir tout le programme, ettous les styles : certains sont calculatoires, d’autres plus qualitatifs,d’autres encore à forte composante documentaire (c’est alors men-tionné dans le titre) avec une volonté dans cet ouvrage de proposerbeaucoup de lectures graphiques (schémas, diagrammes, cartes dechamp, de potentiel). Certains exercices qui demandent une initia-tive particulière de modélisation, de choix d’hypothèses, d’organisa-tion du raisonnement, sont estampillés « résolution de problème ».

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Quelques données plus techniques. • Les grandeurs complexes sont soulignées, les grandeurs vecto-rielles surmontées d’une flèche, les vecteurs unitaires notés �u.

• L’imaginaire pur est noté i en électromagnétisme et dans l’étudedes ondes, et j dans les chapitres d’électricité pour éviter la confu-sion avec l’intensité.

• Nous avons délibérément omis de fournir les lois d’analyse vecto-rielle dans le corps des exercices, afin d’éviter de donner ainsi uneindication trop précise. Nous avons ainsi respecté la convention del’écrit des concours, où la liste des formules utiles est toujours don-née avant ou après l’énoncé.

• Un formulaire de mathématiques utiles à la physique est proposéà la fin de l’ouvrage.

• Il en est de même pour les formules de trigonométrie et les élé-ments différentiels de longueur, de surface et de volume pour lesintégrales spatiales.

• Un index complet est proposé à la toute fin de ce livre.

En guise de conclusion. Nous espérons que cet ouvrage vous aidera à réussir le mieux possibleles épreuves de physique des concours et nous vous souhaitons boncourage pour votre travail.

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Première partie

Optique

CHAPITRE 11Superposition d’ondes lumineuses

Thèmes abordés dans les exercices

� Chemin optique.� Déphasage.� Surface d’onde.� Loi de Malus.� Temps de cohérence.� Largeur spectrale.� Intensité lumineuse.� Superposition d’ondes cohérentes et d’ondes incohérentes.� Formule de Fresnel.� Contraste.� Phases en progression arithmétique.

Points essentiels du cours pour la résolution des exercices

� Exprimer et utiliser la loi de Malus.� Établir et utiliser la formule de Fresnel dans le cas général.� Établir et utiliser la formue de Fresnel si I1 = I2.� Étudier la superposition de N ondes cohérentes.

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Chapitre 1 Superposition d’ondes lumineuses

Les méthodes à retenir

Exprimer et utiliser la loi de Malus. La loi de malus est indissociable du modèle des rayons lumineux :les surfaces d’onde sont orthogonales aux rayons issus d’une sourceponctuelle de lumière. La difficulté particulière de cette loi est le lienentre cet énoncé et son utilité principale : le calcul des différences demarche. Donnons trois exemples fondamentaux.• Un système d’optique géométrique (S.O.), ne comportant que desmilieux transparents séparés par des dioptres et des miroirs, donned’un objet AB une image A′B′. Le stigmatisme se traduit par « toutrayon issu de B converge vers B′ » après traversée du système.

A

A’

B’

B

S.O.

La forme des surfaces d’onde évolue de B vers B′. On distingue sur leschéma la surface d’onde sphérique issue de B et la surface d’ondesphérique convergeant vers B′. Une conséquence importante est quele délai de propagation de l’onde lumineuse de B à B′ est indépen-dante du rayon choisi.• Les rayons issus d’une source ponctuelle dans le plan focal objetd’une lentille mince convergente émergent tous parallèles au rayonpassant par le centre et non dévié. Les surfaces d’onde sont donc desplans orthogonaux à cette direction.

plan focal objet

O

surface d’onde

• La diffraction d’un faisceau lumineux est l’un des cas d’invaliditédu modèle de rayon lumineux. Un point de l’espace situé après unepupille diffractante peut ainsi être affecté par deux ondes lumineusesissues de la même source et pourtant déphasées.

4

Superposition d’ondes lumineuses Chapitre 1

S

Mrayon lumineux M

S

surface d’onde

pupilles diffractantes

surface d’onde

La loi de Malus permet de calculer non pas un chemin optique maisune différence de chemins optique par simplification de cheminségaux. Voici la démarche recommandée pour calculer la différencede marche

δ= [SM]1 − [SM]2

entre deux rayons issus de la même source ponctuelle S et conver-geant vers un point M en suivant des trajets distincts indexés 1 et 2.

a) On trace soigneusement (à la règle, sur la copie comme surle tableau) les marches des rayons issus de la source S et quiconvergent vers le point M d’étude. Voici les règles de tracé.

i) On respecte les lois de Descartes à la réflexion sur les miroirs.

ii) On respecte les lois de Descartes à la réfraction à la traverséed’un dioptre.

iii) On respecte les règles de construction des rayons à la traver-sée des lentilles minces.

iv) Lors de la diffraction sur une pupille, on choisit le rayon issud’un de ses points P en l’assimilant à une source ponctuellesecondaire.

1i

i2n 1 n 2

OF’

sin = sinnn i i1 1 2 2

ri

plan focalimage

MMMM

i = r

(i) (ii) (iii) (iv)

b) En partant de la source S, on identifie la surface d’onde, sphériqueou plane, la plus avancée possible, celle à partir de la quelle les deuxrayons considérés subissent des sorts différents.c) On nomme H1 et H2 (par exemple) les intersections de cette surfaceavec les rayons 1 et 2. D’après la loi de Malus,

[SH1]= [SH2]

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d) En partant dans le sens inverse de la lumière depuis M, on identifiela surface d’onde, sphérique ou plane, la plus avancée possible, celleà partir de la quelle les deux rayons considérés subissent des sortsdifférents.e) On nomme K1 et K2 (par exemple) les intersections de cette surfaceavec les rayons 1 et 2. D’après la loi de Malus,

[MK1]= [MK2]

f) En utilisant le principe de retour inverse de la lumière,

[K1M]= [K2M]

g) On en déduit la simplification

δ= ([SH1]+ [H1K1]+ [K1M])−([SH2]+ [H2K2]+ [K2M]) = [H1K1]−[H2K2]

Bien sûr, d’autres simplifications du même type peuvent être opéréesdans la différence restante.h) Cette méthode est bien adaptée aux situations dans lesquelles laprésence de lentilles entraîne l’existence de rayons parallèles. Par dé-faut, il est souvent plus facile de calculer directement les longueursde rayon grâce à la géométrie euclidienne.

Exemple :

Dans le dispositif suivant, un prisme de verre creusé d’unecavité de largeur a, est traversé par un faisceau de lumièreparallèle issu d’une source S au foyer objet d’une lentilleconvergente et le point M est au foyer image d’une autrelentille convergente.

(1)air

verre (n)S

M

K

H K22

1H 1

a

α

β

γ

λ

μ

νε ξ

La différence de marche entre le rayon 1 marqué d’uneflèche et le rayon 2 marqué de deux flèches, est calculéeselon la méthode décrite.

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(a) Les rayons sont tracés sur la figure. Notons que la me-sure des angles au rapporteur sur la figure permet de cal-culer la valeur numérique de l’indice n du verre :

1 ·sin 75◦ = n sin 45◦ donc n = sin 75◦

sin 45◦ = 1,37

(b) À partir de S, les surfaces d’onde successives sont desplans équiphasesα,β, puis par réfraction (voir exercice 1.1)γ et enfin ε au delà duquel la lumière traverse le verre pourle rayon 1 et l’air pour le rayon 2.(c) Les points H1 et H2 sont tracés sur la figure.(d) De même, les surfaces d’onde issues de M dans le sensinverse de la lumière sont succesivement λ, μ, ν et ξ.(e) Les points K1 et K2 sont tracés sur la figure.(f) et (g) On en déduit

δ= [H1K1]− [H2K2]= na −a = (n−1)a

�→ Exercice 1.1.

Établir et utiliser la formule de Fresneldans le cas général.

Deux ondes lumineuses ne peuvent interférer que si elles sont cohé-rentes :• elles sont issues d’une même source S• cette source émet une onde quasi monochromatique de pulsation

ω

• les deux ondes arrivant en M ont un décalage temporel inférieur autemps de cohérence assimilé à la durée caractéritique d’un traind’onde.

L’onde émise en S est caractérisée par la fonction d’onde complexe

a(t) = A0eiωt

L’onde issue de S arrivant en M par le chemin 1 est définie par la fonc-tion complexe du temps a1(t), celle arrivant par le chemin 2 est défi-nie par a2(t). Tout l’intérêt de la notion de chemin optique est résumédans la formule fondamentale suivante qui traduit le principe ondu-latoire : « ce qui se passe en M à la date t est ce qui s’est passé en S àla date t − [SM]

c », où c est la vitesse de la lumière dans le vide, avec unéventuel facteur d’atténuation β :

{a1(t) = β1a

(t − [SM]1

c

)a2(t) = β2a

(t − [SM]2

c

)

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En notantλ0 la longueur d’onde dans le vide, on aω = 2πcλ0

et en notant

A1,2 = β1,2A0 = A1,2eiϕ0 , il vient

⎧⎨⎩

a1(t)= A1ei(ωt− 2π[SM]1

λ0

)

a2(t)= A2ei(ωt− 2π[SM]2

λ0

)

ou en grandeurs réelles

⎧⎨⎩

a1(t)= A1 cos(ωt − 2π[SM]1

λ0+ϕ0

)a2(t)= A2 cos

(ωt − 2π[SM]2

λ0+ϕ0

)

La formule de Fresnel générale donne l’expression de l’intensité lumi-neuse I en M en fonction de celles I1 et I2 qui y seraient observées sil’onde 1 ou l’onde 2 était seule :

I = K < (a1(t)+a2(t))2 > et

{I1 = K < a2

1(t)>I2 = K < a2

2(t)>

En linéarisant les expressions et en utilisant le fait que la valeurmoyenne d’un cosinus carré dépendant du temps vaut 1

2 et que celled’un cosinus dépendant du temps vaut 0, on obtient

I= I1 + I2 +2√

I1I2 cos2πδ

λ0

où δ= [S1M]−[S2M] est la différence de marche et I1 = KA2

1

2 et I2 = KA2

2

2 .Voici le résumé de la démarche et quelques conseils de méthode.

a) Le préalable indispensable au calcul est la construction desrayons. Au concours, un calcul de différence de marche mal ajustéà partir d’une construction fausse, qui révèle des lacunes en op-tique géométrique, n’a aucune valeur.

b) La formule de Fresnel générale prouve que le problème des inter-férences à deux ondes se ramène à un problème de géométrie, ladétermination de la différence de marche δ.

c) À partir de l’expression de l’intensité lumineuse fonction, par δ, dela position de M sur un écran, on cherche

i) la position des franges brillantes où l’intensité lumineuse estmaximale, soit Imax

ii) la position des franges sombres où l’intensité lumineuse estminimale, soit Imin

iii) le cas échéant l’interfrange séparant deux franges de mêmenature consécutives

iv) et le contraste

C = Imax − Imin

Imax + Imin

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Exemple :

Dans le dispositif suivant, S est une source ponctuelle mo-nochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0. Onsuppose D � a et D � y . L’indice de l’air est pris égal à 1.

S

S’

O

M

y

D

H a

En M se superposent l’onde lumineuse arrivant en lignedroite de S et celle qui s’est réfléchie en H sur le miroir. Leslois de Descartes à la réflexion permettent de considérerque le rayon semble provenir de S′, symétrique orthogonalde S par rapport au miroir. À la réflexion, l’onde complexeest multipliée par −ρ = ρeiπ, ρ un peu inférieur à 1 est lecoefficient d’atténuation, et le signe - correspond à un dé-phasage de l’onde de π. Les distances sont obtenues grâceau théorème de Pythagore :

⎧⎨⎩

SM =√

D2 + (y −a)2 = D√

1+ (y−a)2

D2 � D[

1+ y2−2ay+a2

2D2

]

S′M =√

D2 + (y +a)2 = D√

1+ (y+a)2

D2 � D[

1+ y2+2ay+a2

2D2

]

En considérant que ces distances sont très proches, on endéduit en grandeurs complexes

⎧⎨⎩

a1(t)= βA0ei(ωt− 2π[SM]

λ0

)

a1(t)= ρeiπβA0ei(ωt− 2π[S′M]

λ0

)

et en grandeurs réelles

⎧⎨⎩

a1(t)= A1 cos(ωt − 2π[SM]

λ0+ϕ0

)a2(t)= ρA1 cos

(ωt − 2π[S′M]

λ0+ϕ0 +π

)

Par application de la formule de Fresnel générale :

I = I1 +ρ2I1 +2ρI1 cos

(2πδ

λ0−π

)

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avec I1 =KA2

1

2et δ= [SM]− [S′M] =−2ay

D

donc I = I1 +ρ2I1 −2ρI1 cos4πay

λ0D

L’intensité lumineuse sur l’axe y est une fonction pério-dique de y , les franges sont donc régulièrement espacées,et le contraste est

C =(I1 +ρ2I1 +2ρI1

)−

(I1 +ρ2I1 −2ρI1

)(I1 +ρ2I1 +2ρI1

)+

(I1 +ρ2I1 −2ρI1

) = 2ρ

1+ρ2

L’étude élémentaire de cette fonction prouve que lecontraste croît de 0 à 1 quand ρ croît de 0 à 1. Il est doncmaximal quand ρ= 1, donc que le miroir est parfait.

�→ Exercices 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7.

Établir et utiliser la formule de Fresnelsi I1 = I2.

Le contraste de la figure d’interférences vaut C = 1 lorsque les deuxondes qui se superposent en M donnent individuellement la mêmeintensité I1 = I2 = I0 (voir exercice 1.3). Dans ce cas (de loin le plus fré-quent dans les problèmes de concours), la formule de Fresnel s’écrit

I = 2I0

(1+cos

2πδ

λ0

)

Il est important de savoir redémontrer rapidement cette expression,sans faire le calcul complet de la valeur moyenne du carré de lasomme des deux ondes cosinusoïdales, car la méthode suivante engrandeurs complexes est généralisable à la superposition de deux,trois, N et même une infinité non dénombrable d’ondes cohérentes.En voici le détail à deux ondes.a) En effectuant le rapport des expressions complexes des ondes 1 et2 en M, on obtient la formule fondamentale de déphasage, que nousappellerons « formule clé » dans la suite de cet ouvrage :

⎧⎨⎩

a1(t)= βA0ei(ωt− 2π[SM]1

λ0

)

a2(t)= βA0ei(ωt− 2π[SM]2

λ0

) ⇒ a2(t)= a1(t)e−i 2πδλ0

qui se traduit en français ainsi : en M, à amplitudes égales, l’onde 2est égale à l’onde 1 à un terme de déphasage près dont l’argument estproportionnel à la différence de marche δ= [SM]2 − [SM]1.

10


b) On en déduit l’onde résultante (on omet le t pour alléger les nota-tions).

a = a1 +a2 = a1

(1+e−i 2πδ

λ0

)

c) En grandeurs complexes, l’intensité lumineuse est définie parI = Kaa∗ où l’étoile désigne le conjugué, et K une constante multipli-cative dont on ne cherche jamais à préciser la valeur ni la dimension.On en déduit

I1 = Ka1a∗1 = Ka2a∗

2 = I2

et on note I0 cette intensité commune.d) On a donc

I = Ka1a∗1

(1+e−i 2πδ

λ0

)(1+ei 2πδ

λ0

)

soit I = I1

(2+e−i 2πδ

λ0 +ei 2πδλ0

)= 2I0

(1+cos

2πδ

λ0

)

qui est bien la formule de Fresnel simple à intensités égales.e) Les franges brillantes sont d’intensité 4I0, elles correspondent à

cos2πδ

λ0= 1 soit p = δ

λ0= k ∈ Z

f) Les franges sombres sont des zonees d’extinction d’intensité nulle,elles correspondent à

cos2πδ

λ0=−1 soit p = δ

λ0= k + 1

2avec k ∈ Z

g) p = 2πλ0

est l’ordre d’interférences, il est entier sur les frangesbrillantes et demi-entier sur les franges sombres.h) Le lieu géométrique sur un écran des points M d’égal ordre d’inter-férences définit la forme des franges, on calcule le cas échéant l’inter-frange, distance entre deux franges pour une variation d’une unité dep.

Exemple :

Le dispositif des miroirs de Fresnel est un système de deuxmiroirs M1 et M2 faisant un angle α très faible entre eux.Une source ponctuelle monochromatique S de longueurd’onde dans le vide λ0 est placée sur un axe perpendicu-laire à l’arête et au miroir M1, à la distance h de celui-ci.Un écran est placé parallèlement à ce miroir, à la distance2h. Un point M de l’écran, dans le plan (O, x, y) de la figure,est repéré par son ordonnée y .

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S

M 1

S 1

α

M2

α

S 2

x

yM écran

2h

h

O

Les sources jumelles S1 et S2 sont les symétriques orthogo-nales de S par rapport aux deux miroirs. Compte-tenu dela petitesse de α, leurs coordonnées sont

S1

∣∣∣∣ 3h0

et S2

∣∣∣∣ 3h−2hα

On en déduit les distances⎧⎨⎩

S1M =√

9h2 + y2 = 3h√

1+ y2

9h2 � 3h(1+ y2

18h2

)S2M =

√9h2 + (y +2hα)2 � 3h

(1+ (y+2hα)2

18h2

)

donc δ= [S2M]− [S1M]= 2αh(y +αh)

3

Les franges brillantes sont définies par

δ= kλ0 soit yk =−αh+k · 3λ0

2αh,k ∈ Z

L’interfrange est donc

i = |yk+1 − yk | =3λ0

2αh

�→ Exercices 1.8, 1.9, 1.10, 1.11.

12


Étudier la superposition de N ondescohérentes.

Certains dispositifs, comme le réseau plan à une dimension, divisentune onde incidente quasi monochromatique de longueur d’one dansle vide λ0, en N ondes cohérentes dont les expressions au point d’ob-servation M sont a1(t), . . . , an(t), . . . , aN(t), avec une différence demarche entre deux ondes consécutives constante ; il en est donc demême du déphasage :

δn,n+1 = [SM]n+1 − [SM]n = δ et ϕn,n+1 =ϕ= 2πδ

λ0

On en déduit que• les phases sont en progression arithmétique :

ϕn =ϕ1 + (n−1)ϕ

• donc les différences de marche sont en progression arithmétique :

δn = [SM]n − [SM]1 = (n−1)δ

• donc par application de la formule clé, les ondes complexes sonten progression géométrique :

an(t) = a1(t)e−i (n−1)2πδλ0 = a1(t)

[e−iϕ]n−1

Ces propriétés facilitent le calcul de l’onde résultante et de l’intensitélumineuse associée pour cette superposition de N ondes. Voici la dé-marche du calcul.

a) Les ondes étant cohérentes, on somme les ondes complexes, etselon une formule classique de mathématiques

a(t)=N∑

n=1an(t) = a1(t)

1−[e−iϕ

]N

1−e−iϕ

b) On factorise le numérateur et le dénominateur par l’exponentiellede l’angle moitié :

a(t) = a1(t)e−i N

2 ϕ

e−iϕ·

sin Nϕ

2

sin ϕ

2

c) On en déduit l’intensité lumineuse

I = Ka(t)a∗(t)= I1

sin2 Nϕ

2

sin2 ϕ

2

d) Les propriétés de cette fonction de ϕ doivent être mémorisées. Onles obtient par utilisation d’un outil graphique.

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• Pour N = 2, on retrouve la formule de Fresnel, l’intensité lumineusevarie sinusoïdalement entre 0 et 4I1 avec une période de 2π.

0

1

2

3

4

2 4 6 8 10 12 14 16 18

phi

• Pour N variant de 3 à 10, la figure se déforme, il apparaît des picsd’intensité N2I1 pour ϕ = p ·2π, p entier relatif, leur largeur dimi-nue quand N augmente, et l’intensité est très petite devant la va-leur maximale en dehors des pics. Voici l’allure de la courbe pourN = 5.

0

5

10

15

20

25

2 4 6 8 10 12 14 16 18

phi

• Pour N supérieur à 10, la figure s’assimile à un peigne de Dirac,avec des pics d’intensité N2I1 pour ϕ = p · 2π de largeur extrê-mement faible, et l’intensité est négigeable devant N2I1 partoutailleurs. Voici l’allure de la courbe pour N = 40.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

2 4 6 8 10 12 14 16 18

phi

14


Exemple :

Il y a deux alternatives à l’utilisation du grapheur pour jus-tifier l’exsitence de pics et mesurer leur largeur. La pre-mière, détaillée dans l’exercice 1.13, est l’utilisation du dia-gramme de Fresnel. La seconde est plus analytique. No-

tons FN(ϕ)= sin2 Nϕ

2

sin2 ϕ

2la fonction de réseau.

• Elle est paire et périodique de période 2π. On peut doncse ramener à l’étude sur l’intervalle [0,π].• Pour ϕ→ 0, son équivalent est

FN(ϕ)�N2ϕ2

4ϕ2

4

= N2

ce qui prouve que l’intensité des pics est N2I1.• Sur l’intervalle d’étude, la première annulation de la fonc-tion de réseau est obtenue pour

Nϕ

2=π soit ϕ= 2π

N

• Pour ϕ = πN , en calculant la valeur exacte au numéra-

teur et en faisant le développement limité au dénomina-teur (c’est un petit angle pour pour N > 30), la fonction deréseau vaut

FN

( πN

)� 1

π2

4N2

= 0,4053N2 � 0,5N2

On est donc à peu près à mi-hauteur du pic.• En dehors du pic, pour ϕ ∈

[2πN ,π

], le sinus au numéra-

teur de la fonction de réseau est majoré par 1 et celui audénominateur est minoré par

sin2 π

N� π2

N2donc FN(ϕ)≤ N2

π2� N2

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En somme, le pic a une largeur totale 4πN et une largeur à

mi-hauteur 2πN , qui tendent vers 0 quand N tend vers l’in-

fini, une hauteur N2I0 et l’intensité en dehors des pics estinférieure à un dixième à celle des pics.

�→ Exercices 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16.

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.Tou

tere

prod

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nno

nau

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estu

ndé

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Énoncés des exercices

1.1Loi de Malus à la traversée d’un dioptre plan

Dans la figure suivante, un faisceau de lumière parallèle se réfracte en traversant undioptre plan séparant deux milieux d’indices n1 et n2. La droite (N1N2) est perpen-diculaire à la direction du faisceau incident, la droite (P1P2) est perpendiculaire à ladirection du rayon du faisceau réfracté.

2

ir

N

n n1

N

1

2

P

P

1

2

a) Montrer que [N1P1]= [N2P2].

b) Quel est le lien entre ce résultat et la loi de Malus ?

1.2Démonstration de la formule de Fresnel générale : calcul de l’intensité

On reprend les notations du cours. Les deux ondes lumineuses incidentes en Missues d’une source S ponctuelle, monochromatique, de pulsation ω s’écrivent engrandeurs réelles :

⎧⎨⎩

a1(t) = A1 cos(ωt − 2π[SM]1

λ0+ϕ0

)a2(t) = A2 cos

(ωt − 2π[SM]2

λ0+ϕ0

)

On donne2cos p cos q = cos(p +q)+cos(p −q)

a) Donner les expressions de

I1 = K < a21(t) > et I2 = K < a2

2(t) >

en fonction de K, A1 et A2.

b) Donner l’expression deI = K < (a1(t)+a2(t))2 >

en fonction de I1, I2 et la différence de marche δ.

c) La formule de Fresnel dépend-elle du choix de la différence calculée,[SM]2 − [SM]1 ou [SM]1 − [SM]2 ?

1.3Contraste maximal

Justifier que le contraste d’une figure d’interférences à deux ondes en lumière mo-nochromatique est maximal quand I1 = I2.

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1.4Anneaux de Newton

Une lentille plan-convexe L, fragment d’une bille de verre d’indice n, de rayon R etde centre C est posée sur un miroir plan, le contact ponctuel se trouvant en O. Onéclaire le dispositif sous incidence normale en lumière monochromatique de lon-gueur d’onde dans le vide λ0.

ε

R

x

ε

zoom

C

O

M

H P

P

M

On observe les interférences sur la face sphérique. En un point M de cette face, repérépar le rayon x, se rencontrent le rayon ayant traversé la lentille et celui qui, en plusde la traversée, s’est réfléchi sur le miroir en P.

a) Montrer que l’épaisseur de la couche d’air en x � R est

ε� x2

2R

b) À la réflexion sur le miroir, on observe un déphasage de π équivalent à l’ajout au

chemin optique de λ02 . Montrer que les franges sont des cercles concentriques,

préciser le rayon de la nième frange brillante et celui de la n-ième frange sombreen considérant qu’un point central est une frange et en numérotant du centrevers la périphérie.

c) Décrire qualitativement ce qu’on observe en lumière blanche.

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1.5Cristaux liquides

Le comportement optique d’un cristal liquide est assimilable à un système de deuxmiroirs parallèles distants de a plongés dans un liquide d’indice n. Ils sont éclairéspar un faisceau laser monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0, d’angled’incidence i avec la surface du liquide. On place un capteur d’intensité lumineuseau foyer image F′ d’une lentille convergente perpendiculaire à la direction des rayonsémergents.

a

F’

i

(1)(n)

a) Déterminer la différence de marche δ entre les deux rayons tracés sur la figure enfonction de a, i et n.

b) On suppose que le milieu liquide n’est pas parfaitement transparent et que l’in-tensité lumineuse d’un rayon seul est

I = I0e−L

�

où L est la distance parcourue dans le liquide et � une longueur caractéristiqued’absorption. Déterminer l’expression de l’intensité lumineuse détectée en F′. Onnégligera cette atténuation dans la fin de l’exercice, ce qui revient à prendre � trèsgrand devant a.

c) Quelle est la plus petite valeur de a pour laquelle on observe une intensité nulle ?

d) Expliquer qualitativement pourquoi l’observation d’une image sur un écran àcristaux liquides fait apparaître des couleurs très différentes quand on la regardeavec un angle d’incidence important.

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Documents

Physique - dunod.com · • Un formulaire de mathématiques utiles à la physique est proposé àlaﬁndel’ouvrage. • Il en est de même pour les formules de trigonométrie et