Physique Et Chimie Mpsi

Programme de physique et chimie - MPSI

Alexandre Janniaux

23 janvier 2014

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Table des matières

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4 TABLE DES MATIÈRES

Première partie

Chimie

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Chapitre 1

Évolution temporelle d’unsystème chimique de compositionuniforme en réacteur fermé

1.1 Position du problème

1.1.1 Cinétique chimique

On étudie l’évolution temporelle du système physico-chimique.Intérêt :

Échelle macroscopique : On étudie la durée d’une réaction pour optimiser les conditions expé-rimentales de formation d’un produit donné

Échelle microscopique : On étudie le mécanisme réactionnel, c’est-à-dire les différentes étapesqui ont lieu à l’échelle moléculaire pour conduire les réactifs aux produits.

1.1.2 Caractérisation du système étudié— On envisage des transformations chimiques spontanées (thermodynamique favorisées).

Exemple : A ECRIRE— On considère un système chimique fermé : il n’y a pas d’échange de matière avec l’extérieur.— On considère un système homogène : il n’y a qu’une seule phase (liquide ou gazeuse).— On suppose la composition du système uniforme (en pratique, on agite).— On suppose que la température est fixée au cours de l’expérience (en pratique, on utilise

un bain thermostaté).

1.2 Vitesses en cinétique chimique

En Terminale S, on parlait de ”durée de réaction”. Ici on va définir la vitesse d’une réactionque l’on reliera au temps de demi-réaction.

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8CHAPITRE 1. ÉVOLUTION TEMPORELLE D’UN SYSTÈME CHIMIQUE DE COMPOSITION UNIFORME EN RÉACTEUR FERMÉ

1.2.1 Vitesse de formation et de disparition d’un constituantSoit un milieu réactionnel contenant un constituant Ai, sa quantité de matière à l’instant t

vaut ni.

Définition

On définit la vitesse de formation du constituant Ai par :

VfAi = +dni

dt

De même, on définit sa vitesse de disparition par :

VdAi = −dni

dt

Les grandeurs sont alors des grandeurs extensives, d’unité mol.s−1. De plus elles sont indé-pendantes de la transformation chimique qui a lieu dans le réacteur.

— Si Ai est un réactif, on a dni

dt < 0, VfAi < 0 et VdAi > 0, Ai est consommé.— Si Ai est un produit, on a dni

dt > 0, VfAi > 0 et VdAi < 0, Ai est créé.

Définition d’une vitesse volumique

On définit de la même manière les vitesse volumiques de formation et de Ai :

VfAi= 1V

dni

dt

VdAi = − 1V

dni

dt

Les grandeurs deviennent alors des grandeurs intensives, d’unité mol.m−3.s−1. Mais il y aautant de vitesses que de constituant.

Cas particulier : réacteur isochore

On suppose que le volume V reste constant pendant toute la durée de l’expérience. On a alorsVfAi = d

dt ( ni

V ). Si de plus le système est de composition uniforme, on a ni

V = [Ai], la concentrationmolaire du réactif Ai.

On a donc finalement :

VfAi = +d[Ai]dt

VdAi = −d[Ai]dt

1.3 Vitesse de réactionOn modélise la transformation chimique par une réaction unique d’équation :

(E) : α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn = α′1A

′1 + α′

2A′2 + · · ·+ α′

nA′n

A l’instant t, on a ni(t) = ni,0 + νiξ(t), avec νi le coefficient stœchiométrique algébriqueassocié à Ai et ξ(t) l’avancement à t en mol.

1.3. VITESSE DE RÉACTION 9

Définition

On définit la vitesse de réaction par la relation :

V = +dξ

dten mol.s−1

On a alors une seule vitesse par réacteur : V = + dξdt = 1

νi

dni

dt = 1νiVfAi .

Exemple

A REMPLIR

Cas particulier : réacteur isochore

On définit la vitesse de la réaction comme la variation volumique de l’avancement au coursdu temps.

v = 1VV = 1

V

dξ

dt= d

dt( ξV

)

Avec ξV l’avancement volumique de la réaction.

Comme ni(t) = ni,0 + νiξ(t), on a [Ai](t) = [Ai]0 + νiξV .

10CHAPITRE 1. ÉVOLUTION TEMPORELLE D’UN SYSTÈME CHIMIQUE DE COMPOSITION UNIFORME EN RÉACTEUR FERMÉ

Deuxième partie

Mécanique

11

Chapitre 2

L’oscillateur amorti

13

14 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR AMORTI

Troisième partie

Signaux physiques

15

Chapitre 3

Circuits électriques dans l’ARQS

ARQS : Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires

3.1 Notion d’intensité du courantOn provoque un déplacement de porteurs de charges sous l’effet d’un champ électromagné-

tique.

3.1.1 Phénomènes de condutionLa charge électrique

— Grandeur quantifiée, q = ±ne, n ∈ N.— e est la charge élémentaire, e = 1, 6.10−19C.— Exemple : dans l’atome, 1 électron e− équivaut à une charge e−, et un proton équivaut à

une charge e+, et un ion Ca2+ équivaut à deux charges e+.— Elle est extensive : (+q1) + (+q2) = q1 + q2.— Elle est conservatrice, pour un système isolé, la charge se conserve.— En mécanique classique, la charge est invariante par changement de référentiel.

Porteurs de charges

Milieux solides : Ce sont des milieux conducteurs comme les métaux, le modèle adopté dansun fil conducteur de cuivre est alors que chaque atome de Cu(s) libère un électron, qui sedéplace. Les porteurs de charge sont donc les électrons (cf cours de cristallo).

Milieux semi-conducteurs : On trouve des porteurs de charge sous forme d’électron et des”trous” qui se déplacent.

Milieux isolants : L’action d’un champ électromagnétique ne provoque pas (ou presque pas)de déplacement de charges.

Milieux gazeux : En général, les gaz sont peu conducteurs de l’électricité. À hautes tempé-ratures et sous l’action d’un champ électrique intense, on provoque l’ionisation du gaz(plasma). Les porteurs de charge sont les électrons.

Milieux liquides : Les solutions électrolytiques conduisent l’électricité, ce sont alors les ionsqui assurent la conduction des charges (voir cours d’oxydo-réduction).

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18 CHAPITRE 3. CIRCUITS ÉLECTRIQUES DANS L’ARQS

3.1.2 Courant dans un circuitDéfinition Le courant est un mouvement d’ensemble ordonné de porteurs de charge. Parconvention, le sens du courant est le sens de déplacement des charges positives.

3.1.3 Intensité du courantDéfinition [Schéma fil]

On compte le nombre de charges qui traversent la section S du fil dans le sens (+) par unitéde temps. On définit i, l’intensité du courant, comme le débit de charges, ou la charge qui traversela section S du fil par unité de temps.

i = dq

dt

Unité : A, Ampère, avec 1A = 1C.s−1On mesure i>0, i va dans le sens (+) i<0, i va dans le sens (-) i est donc une grandeur

algébrique.

Mesure i se mesure avec un ampèremètre qui se branche en série. Il possède deux bornes (+)et (COM).

EXEMPLE : A RAJOUTER

Ordres de grandeurEn TP : de quelques mA à quelques 100mAAOP : i = 10−12 A (1 pA)Secteur : 16A (prise usuelle) ou 32A (four, machine à laver ...).Industrie : 105 A (électrolyse, fabrication du zinc)

3.1.4 Conservation de la charge, ARQSDnas un circuit, le générateur ne crée pas de charges, mais les met en mouvement en leur

fournissant de l’énergie.

En régime continu, ou stationnaire Les grandeurs électriques sont indépendantes du temps.Dans un fil conducteur donné, on a dq1 = dq2, d’où i1 = dq1

dt = i2 = dq2dt . i est donc la même en

tout point du conducteur.

En régime variable Les grandeurs électriques dépendent du temps. On veut que les grandeursélectriques prennent la même valeur à un instant donné en tout point du circuit. Or l’intensitédu courant (par exemple) se propage dans le circuit. On a i(p, t) = i(M, t − P M

C ) = i(M, t − τ)avec τ = P M

C le retard de propagation de l’onde du point M au point P.SCHEMA FIL A RAJOUTER TODOOn pourra considérer que i prend la même valeur en tout point si τ << T où T est la durée

caractéristique de variation de i (période où durée du régime transitoire). Si la condition estremplie, on est dans l’ARQS.

3.2. NOTION DE TENSION - DIFFÉRENCE DE POTENTIEL 19

Ordre de grandeur

τ = L

C

Avec L la longueur du circuit C la vitesse de propagation de l’ondeDans le conducteur, l’onde se propage à une vitesse proche de C = 3, 00.108 m.s−1 .

TP circuit L = 1 m τ = 13,00.108 = 3, 00.10−9 s On cherche à avoir τ << T , il nous faut donc

T >> 3.10−9 s, d’où :

f = 1T<<

13.10−9 Hz

Donc on doit finalement avoir f << 300 MHz, or avec un GBF, on a fmax ≃ 1 MHz,donc on est bien dans l’ARQS.

3.2 Notion de tension - différence de potentiel

3.2.1 Différence de potentielDéfinition

La tension électrique entre deux points A et B d’un circuit est la différence de potentiel entreles deux points A et B (différence de niveaux électriques).

Notation : FAIRE SCHEMA TENSION

Signe

UBA = VB − VA = −UAB

Mesures

On mesure les tensions avec un voltmètre, qui est un appareil polarisé (borne (+) et borne(COM)). On le branche alors en dérivation aux bornes du dipôle.

SCHEMA BRANCHEMENT VOLTMETREIci (V) mesure UV A = VB − VA

Remarque : en TP, un voltmètre se branche une fois le circuit cablé.

Ordres de grandeur

EDF ”Secteur” : Tension alternative avec Ueff = 230 VAppareils usuels : Portables, lampes, etc, transformateurs qui délivrent une tension continue

de quelques Volt.Transport de l’énergie : Tension (alternatives) de 10kVNerfs (bio) : U ∼ 70 mV


3.2.2 Référence de potentielOn ne sait mesurer que des différences de potentiel, donc le potentiel électrique V est défini

à une constante près. En conséquance, dans un circuit, on choisit un point qui sert de référencede potentiel commune, que l’on appelle ”masse”.

SCHEMA MASSERemarque : La terre se représente par [SCHEMA TERRE], en particulier, la carcasse des

dispositifs est relié à la TerreOn mesure UAB = VA − VB , on choisit VB = 0 (la masse), et on a donc UAB = VA. On peut

donc exprimer le potentiel en tout point du circuit.

3.3 Lois de Kirchoff3.3.1 Caractéristiques d’un circuit électrique

Un circuit électrique doit être fermé pour que les porteurs de charge circulent.SCHEMA NOEUD, MAILLE, DIPOLES

Dipôles : composant à deux bornes relié au circuit par deux fils connectés à chacune des bornes.Noeud : point de jonction d’au moins trois fils de connexion.Fil de connexion : fil conducteur modélisé par un fil idéal ”sans résistance”, donc en consé-

quence, la tension aux bornes d’un fil est nulle.Branche : Portion de circuit entre deux noeuds. Dans une branche, les dipôles sont en série, ils

sont parcourus par la même intensité du courant. exemple : brancheN1N3 (par la gauche) :D1, D2, D3 sont en série et sont donc parcourus par la même intensité du courant.

Maille : Ensemble de branches formant un circuit fermé, comprenant des noeuds qu’on ne par-court qu’une seule fois quand on fait le tour de la maille. exemple : N1N4N2 qui contientD7, D6 et D4 est une maille.

Réseau électrique - circuit électrique : ensemble de dipôles et de fils connectés, que l’on peutanalyser en terme de noeuds, de branches et de mailles. En électrocinétique, ons’intéresseà l’étude des circuits électroniques.

NotationRégime continu : Les grandeurs sont indépendantes du temps, elles sont écrites en majuscule

(car elles sont constantes).Régime variable : Les grandeurs dépendent du temps, donc elles sont écrites en minuscule (car

elles sont variables).

3.3.2 Lois des noeudsEn régime continu ou variable (ARQS), la loi des noeuds est une conséquence de la conser-

vation de la charge.SCHEMA LOI DES NOEUDSIl n’y a pas d’accumulation des charges au niveau de N, donc les charges qui arrivet sont

égales aux charges qui repartent (par unité de temps), donc i1 = i2 + i3. On peut généraliser laloi à p branches parcoures chacune par un courant ik.

p∑k=1

ϵk · ik = 0

Il y a plusieurs formulations possibles :

3.4. DIPÔLES 21

1. La somme algébrique des intensités des courants qui arrivent à un noeud est nulle.2. La somme des intensités des courants qui arrivent à un noeud est égale à celle qui repart.

3.3.3 Lois des maillesLa loi des mailles est une conséquence de la propriété d’additivité des tensions (la tension est

une grandeur extensive). On se place dans une maille d’un circuit.SCHEMA LOI DES MAILLESAux bornes de D1, :

U1 = UAD = VA − VB

= VA − VD + VD − VB

= UAD + UDC + UCB

= U2 − U3 + U4

Ici on a donc U1 = +U2−U3+U4 avec le choix du sens plus dans le sens anti horaire SCHEMASENS. On compte (+) si la flèche de Uk est dans le même sens que celui du circuit, (-) sinon.Soit ici :

U1 − U2 + U3 − U4 = 0

On peut généraliser la loi des mailles dans une maille avec q dipôles :

q∑k=1

ϵk · Uk = 0

Choix d’un sens (+) ϵk = +1 si flèche de Uk dans le même sens que celui du circuit, sinonϵk = −1.

3.3.4 Étude d’un circuit électriqueMéthode :

1. On écrit la loi des noeuds en chaque noeud.2. On écrit la loi des mailles en chaque maille (les équations ne sont pas toutes indépen-

dantes).3. On obtient un système d’équations qui, par résolution mathématique, permet de détermi-

ner les grandeurs électriques du circuit.

Application : SCHEMA CIRCUIT APPLICATIONAPPLICATION A FAIRE.

3.4 Dipôles3.4.1 Convention d’orientation

Soit le dipôle D :


Di

u

Grandeurs électriques associées à D :— Intensité du courant qui le traverse i = iAB (choix du sens).— Tension à ses bornes (ou différence de potentiel), une fois le sens de i choisi, on a deux

possibilités pour le sens de u.

Convention récepteur On place la flèche de tension opposée au courant. Plus judicieux pourdes dipôles passifs qui ont un comportement récepteur (i.e qui utilise l’énergie). Dans la suite,on écrira convention (R) pour une convention récepteur.

Di

u

Convention générateur On place la flèche dans le sens du courant, plus judicieux pour desdipôles actifs, qui ont des comportements générateur (i.e qui génèrent une force électromotrice).Dans la suite, on écrira convention (G) pour une convention générateur.

Di

u

Remarque Il s’agit d’une convention d’orientation, cela ne signifie pas que tout dipôle orientéen convention (G) se comporte comme un générateur ou inversement.

3.4.2 Caractéristiques courant-tension d’un dipôleDéfinition

On choisit une orientation, c’est-à-dire qu’on branche un voltmètre et un ampèremètre auxbornes d’un dipôle, soit pour avoir une convention (G), soit une convention (R) ). On traceensuite i = f(u), c’est alors la courbe représentative de l’intensité du courant traversant le dipôleen fonction de la tension à ses bornes.

Il existe deux types de caractéristiques :

3.4. DIPÔLES 23

- statique : En régime continu, on trace (I,U). <== (U, I) ?- dynamique : En régime dynamique, on trace (i(t), u(t))

Exemple de la résistance

Ri

u

En appliquant la loi d’Ohm, on a u = Ri. Une résistance idéale n’a qu’un comportementrésistif, donc les caractéristiques statiques et dynamiques sont confondues.

SCHEMA CARACTERISTIQUE I/U RESISTANCEPour la suite, on suppose que l’on se place en régime continu. Un point M(U,I) sur la courbe

est dit point de fonctionnement du dipôle.

Propriétés

1. Un dipôle est dit linéaire lorsque I = f(U) est affine ou lorsqu’il existe une équationdifférentielle linéaire à coefficients constant reliant i(t) à u(t) (en régime variable). Parexemple, une résistance est linéaire, mais une diode ne l’est pas.SCHEMA CARACTS DIODEUn composant non linéaire peut parfois être utilisé dans une zone (U,I) où il est linéaire.

2. Un dipôle est dit symétrique si :— Si le point M(U,I) existe, alors M’(-U,-I) existe aussi.— La caractéristique est symétrique par rapport à l’origine. Un dipôle symétrique n’est

pas polarisé, il n’a pas de borne (+) et (-).3. Si un dipôle n’est pas symétrique, il est par conséquent polarisé. Exemple : une source

idéale de tension SCHEMA SOURCE IDEALE DE TENSION4. Un dipôle est dit passif si :

— La caractéristique (I,U) passe par l’origine.— Le dipôle ne met pas en mouvement des charges.Exemple : résistance, condensateur, bobine. Si un dipôle n’est pas passif, il est dit actif.

3.4.3 Aspects énergétiquesPuissance algébriquement reçue par un dipôle

Soit un dipôle D orienté en convention (R).

Di

u


On peut montrer que la puissance algébriquement reçue par D est :

P(t) = u(t) · i(t) = dEdt

avecP en WattE en Joule

Caractère récepteur ou générateur d’un dipôle

On regarde le signe de P à un instant donné :— Si mathcalP > 0, alors le dipôle reçoit de l’énergie électrique du circuit et la convertit en

une autre forme d’énergie. Le dipôle a un caractère récepteur.— Si P < 0, alors le dipôle cède de l’énergie électrique au reste du circuit. Le dipôle a alors

un caractère générateur.

Remarque Le caractère récepteur ou générateur d’un dipôle est indépendant de la conventiond’orientation, il est intrinsèque au dipôle.

3.5 Modélisation linéaire des dipôles3.5.1 Conducteur ohmique ou résistor (passif)Définition

Un résistor est un dipôle pour lequel la loi d’Ohm s’applique en convention récepteur, on aalors U = RI.

Ri

u

Ri

u

En convention générateur, les résultats sont inversés.R est la résistance en ohm (Ω), sa valeur dépend du matériau utilisé et de sa géométrie, et

est toujours positif.SCHEMA FIL :

R = ρl

S

ρ résistivité du milieu, qui dépend de la température. Pour un conducteur, ex : Cu(s), on aρ ≃ 10−7 Ω.m. Pour un isolant, on a ρ ≃ 105 Ω.m.

3.5. MODÉLISATION LINÉAIRE DES DIPÔLES 25

De plus, on définit G = 1R

la conductivité en Siemens (S).

Aspect énergétique

Ri

u

P (t) = u(t) · i(t) = R(i(t))2 = (U(t))2

R≥ 0

Un cnducteur ohmique a toujours un comportement récepteur. Il convertit l’énergie électriqueen énergie thermique.

Association de résistors

Association en série SCHEMA ASSOS SERIE RESISTOROn a un morceau de circuit avec R1 et R2 deux résistors branchés en série, ils sont donc

parcourus par la même intensité du courant. Mais U = UAC = VA−VC est la tenssion appliquéesaux bornes des résistors, elle est différente de celles aux bornes de chacun.

On cherche donc à donner une relation entre R1, R2 et U .SCHEMA REQPar le principe d’additivité des tensions :

U = UAB + UBC

= R1 · i+R2 · i= i(R1 +R2) ← on a alors par identification R1 +R2 = Req

= Req · i

Si deux résistors sont en série, la résistance équivalente est la somme des résistances.

Association en parallèle SCHEMA ASSOS RESISTANCE PARALLELEOn a deux résistors branchés en parallèle, la même tension s’applique donc entre les bornes

de chacun, mais ils ne sont pas parcourus par le même courant.Par la loi des noeuds : i = i1 + i2Par la loi d’Ohm : U = R1 · i1 = R2 · i2Donc i1 = U

R1et i2 = U

R2.

On a donc finalement :

i = U

R1+ U

R2= (G1 +G2) · U Avec G1 = 1

R1et G2 = 1

R2

U = i

G1 +G2= i

1R1

+ 1R2


Par identification, on trouve Req = 11

R1+ 1

R2que l’on note communément 1

Req = 1R1

+ 1R2

ouGeq = G1 +G2.

Lorsque les résistors sont en parallèle, l’inverse de la résistance équivalent est égale à la sommedes inverses des résistances, ou à la somme des conductances.

3.5.2 Condensateur (passif)Définition

Un condensateur est constitué dedeuxplaques conductrices ”en regard” séparés par un isolant.Les conducteurs sont appelésarmatures ducondensateur.

Géométrie Plusieurs formes de condensateurs existent :A COMPLETER.Un condensateur est caractérisé par sa capacité qui dépend de la nature de l’isolant et de la

géométrie du condensateur (voir cours électrostatique et électromagnétisme).

SchématisationC

Ordre de grandeur En TP, on utilise pF = 10−12 F et µF = 10−6 F .

Relation tension-intensité

On se met en convention (R) :SCHEMA CONDENSATEURLes armatures portent des charges opposées, et on a avec le schema précédent.On a i = + dq

dt et u = + qc , d’où i = C du

dt .En effet, q = CU avec C constante, donc i = dq

dt = C dudt .

Remarque En régime continu, u est indépendante du temps donc dudt = 0 donc i = 0. Le

condensateur se comporte alors comme un interrupteur ouvertSCHEMA INTERRUPTEUR

Aspects énergétiques

En convention (R) : SCHEMA CONDENSATEUR

P (t) = u(t) · i(t)

= u(t) · C dudt

= C · u(t) · dudt

= C · du2

2dt

= d

dt(12Cu2)

3.5. MODÉLISATION LINÉAIRE DES DIPÔLES 27

Or P (t) = dE(t)dt donc pour un condensateur, l’énergie (électrique) stockée à un instant t est :

Ee = 12Cu2 > O

P (t) = dEe(t)dt peut être positive ou négative, donc le condensateur se comporte en générateur

ou en récepteur.

Remarque importante : Comme Ee est dérivable, elle est continue, donc u(t) est une fonctioncontinue du temps. Donc la tension aux bornes d’un condensateur est toujours continue.

3.5.3 Bobine, ou induction (passif)Définition

Une bobine est obtenue par enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. Elle estcaractérisée par :

— Son inductance L > 0 exprimée en Henri(H), qui dépend de sa géométrie. (ODG : enTP,de quelques mH à 1H)

— Sa résistance interne r>0

Schématisation SCHEMA INDUCTIONSDans une bobine idéale, on a r=0 (impossible en pratique). Ordre de grandeur de la résistance

interne : pour une bobine de 1H, r = 12 Ω. Souvent, r << R du circuit (≈ kΩ).

Relation tension-intensité

En convention récepteur, on considère une bobine LSCHEMA BOBINEOn a alors U = L di

dt . (voir cours électromagnétique).Si la bobine est réelle, elle est modélisée par le circuit suivant :SCHEMA BOBINE + RESISTANCEOn a alors par la loi des mailles : U = L di

dt + riEn régime continu, les grandeurs électriques sont constantes, donc en particulier l’intensité

est constante.SCHEMA BOBINEu = di

dt et i est constant ⇒ didt = 0 donc u = 0

La bobine idéale se comporte comme un fil de connexion, on peut donc la remplacer par unfil.

SCHEMA EQUIV BOBINE FILSi la bobine est réelle, on remplace la bobine par sa résistance interne r :SCHEM EQUIV BOBINE RINTERN

Aspects énergétiques

On considère une bobine idéale d’inductance LSCHEMA CIRCUITOn a alors :

P (t) = u · i = Ldi

dt· i


Or, mathématiquement, i · didt = d

dt ( 12 i

2)

P = Ld

dt(12i2)

= d

dt(12Li2)

= dEm

dt← Avec Em l’énergie électromagnétique emmagasinée par la bobine

Em = 12Li2 J

La puissance peut être positive ou négative, donc une bobine à un caractère générateur etrécepteur.

Remarque Dans le cas d’une bobine réelle, on a :

P =

Énergie électromagnétique︷︸︸︷d

dt(12Li2) + ri2︸︷︷︸

Dégradée par effet Joule

Conséquence On a la relation P = dEm

dt pour une bobine idéale, or Em est est cp,to,ie cardérivable par rapport au temps, donc 1

2Li2 est continue, donc l’intensité du courant dans une

bobine est une grandeur continue par rapport au temps.

3.5.4 Source de tension (actif)Définition Une source de tension idéale est un dipôle actif qui délivre une tension constanteE quelque soit l’intensité du courant qui la parcourt.

SCHEMA SOURCE DETENSION IDEALESi on trace la caractéristique tension-intensité d’une source réelle, on observe que la tension

délivrée par le générateur dépend de l’intensité du courant qui le traverse :SCHEMA CARAC SOURCE REELLEOn peut modéliser une source réelle avec le modèle de ThéveninSCHEMA THEVENINOn a u = E − ri

Démonstration.

u = UBA

= VB − VA

= VB − VC + VC − VA

= −ri+ E

On a donc i = E

r− u

rSCHEMA CARAC GENERATEUR PENTE

3.6. DIVISEURS DE TENSION ET DE COURANT 29

3.5.5 Conséquence : point de fonctionnement d’un circuitEn régime continu

Le circuit peut être modélisé par :SCHEMA MODELISATION CIRCUITOn a u = E − ri aux bornes du générateur et aux bornes du dipôle. Si D est une résistance

R, alors U = RiSCHEMA CARAC PT FONCTIONNEMENTL’intérêt est que le point de fonctionnement est facile à trouver, même lorsque le dipôle D

n’est pas linéaire.

3.6 Diviseurs de tension et de courantBut En utilisant des associations de résistances dans un circuit, on peut récupérer une fractionde la tension ou de l’intensité du courant.

3.6.1 Diviseur de tensionSCHEMA DIVISEUR

But Exprimer U1 et U2 en fonction de U .R1 et R2 sont en série donc Req = R1 +R2 et U = Req · iOn applique la loi d’Ohm :

U1 = R1 · iU2 = R2 · i

i = U

Req= U

R1 +R2

⇔ U1 = R1

R1 +R2U et U2 = R2

R1 +R2U

Application Mesure de la résistance d’entrée d’un dipôle (ou quadripôle).SCHEMAR et re sont en série, on a U0 = re

re+RU , voir suite pour TP.On prend R = 0, U0 = U , puis on monte R jusqu’à ce que U0 = U

2 , alors R = re.

3.6.2 Diviseur de courantMise en place du problème

SCHEMA CIRCUITR1 et R2 sont soumises à la même tension U = VN − VM , mais parcourues par des courants

i1 et i2 qui sont généralement différents,

But Exprimer i1 et i2 en fonction de i.

Rappel On a 1Req = 1

R1+ 1

R2, c’est-à-dire Req = R1·R2

R1+R2


Avec les résistances

On a d’après la loi d’Ohm U = R1 · i1 = R2 · i2, d’oùi1 = U

R1= Req

R1i

i2 = U

R2= Req

R2i

⇔

i1 = R2

R1 +R2

i2 = R1

R1 +R2

Avec les conductances

On pose G1 = 1R1

et G2 = 1R2. On a alors Geq = G1 +G2 et

i1 = G1

G1 +G2i

i2 = G2

G1 +G2i

Application : le shunt

SCHEMA SHUNTR = résistance équivalent d’un appareil électrique s = shunt, résistance s≪ R

Qualitativement Le courant circule préférentiellement dans la branche où la résistance est laplus faible.

Quantitativement

i1 = s

R+ si, avec s≪ R

≃ s

Ri≪ i

On limite ainsi l’intensité du courant qui passe dans la résistance, cela permet donc de protégerdes appareils.

3.6.3 ExercicesA REMPLIR

3.7 Résistance d’entrée et de sortie3.7.1 Résistance d’entrée

Soit un dipôle, ou un quadripôle, D inséré dans un circuit. Si D se comporte comme un dipôlepassif dans le circuit, on assimile D comme équivalent à une résistance d’entrée re

SCHEMAOn a Ue = re · ie (mesures cf TP).

3.7.2 Résistance de sortieSi le dipôle se comporte en dipôle actif en sortie, on le modélise selon Thévenin.FINIR DE COMPL2TER ICI

3.7. RÉSISTANCE D’ENTRÉE ET DE SORTIE 31

3.7.3 Application à l’adaptation d’impédenceFINIR DE REMPLIR ICI


Chapitre 4

Circuit linéaire du premier ordre

4.1 Position du problème4.1.1 Circuits linéaires du 1er ordre

On considère des associations de dipôles passifs (RC série ou RL série) modélisée de façonlinéaire. On les appelle circuits du 1er ordre car l’équation différentielle vérifiée par les grandeursélectriques du circuit lors de l’allumage ou l’extinction de la source qui les alimente est uneéquation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficient constants avec ou sans second membreconstant.

Echelon de tension

Hypothèse : On alimente le circuit par un échelon de tension.

Modélisation : SCHEMA ECHELON DE TENSIONe(t) = e0 ∗ ϵ(t) avec ϵ(t) la fonction d’Heavyside.SCHEMA CIRCUITOn suppose que la source de tension pase de manière instantanée de 0 à U0.En pratique :SCHEMA CIRCUIT AVEC INTERRUPTEURà t=0, on ferme l’interrupteur K.On peut faire mieux en utilisant un hacheur (cf TP) :SCHEMA TENSION GBFAvec un GBF (générateur basse fréquence), on délivre une tension créneau de période T sur

le circuit. Nous verrons plus tard comment adapter la période T au signal.

4.1.2 Méthode de résolution1. Le circuit est donné. On choisit les orientations de i et des tensions aux bornes des dipôles.

Conventions (G) pour le générateur et (R) pour les dipôles passifs.2. On utilise la loi des mailles (éventuellement noeuds) et les relations tension/intensité aux

bornes des différents dipôles.3. On combine les équations pour obtenir l’équation différentielle linéaire à laquelle obéit la

grandeur cherchée.

33

34 CHAPITRE 4. CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE

4. Résolution : voir cours de math.

4.2 Etude du circuit RC série4.2.1 Observations expérimentales

SCHEMA CIRCUIT ET TENSION RC SERIEPhase 1 : charge du condensateur à travers R. Phase 2 : décharge du condensateur à travers

la résistance.Pour chacune des phrases on a :— un régime transitoire, durant lequel la tension varie avec le temps.— un régime établi, lorsque uC(t) ≃ constante.SCHEMA TENSION RC SERIE PHASE UN

4.2.2 Montage et conditions initialessimplification de montage :SCHEMA CIRCUIT— Position (1) de K, le condensateur est en charge. On suppose qu’à t = 0, on ferme (K) en

position (1) avec le condensateur déchargé, c’est-à-dire UC(t < 0) = 0.— Position (2) de K une fois la charge réalisée. Décharge du condensateur à travers la

résistance. Dans ce cas, on pose une nouvelle origine du temps avec UC(t < 0) = EV .

4.2.3 Etude de la phase 1 : charge du condensateur à travers la résis-tance

Analyse qualitative

SCHEMA CIRCUIT I)3)A)A t=0, on sait que UC est continue, donc UC(0) = 0V , le circuit est donc équivalent au

suivant :SCHEMA CIRCUIT I)3)A)2On trouve alors E = R.i(0).D’où i(o) = E

R = C[

dUcdt

]t=0

(Uc(0) = 0[dUc

dt

]t=0

= E

RC

Si E > 0, dUcdt > 0. UC augmente alors avec le temps.

En régime établi ou régime permanent :Les grandeurs sont constantes, elles ne dépendent plus du temps, donc on a UC constante.

Alors dUcdt = 0⇔ i = 0.

(rappel : I = C dUcdt en convention récepteur. )

Schéma équivalent :METTRE SCHEMA.En régime établi :METTRE SCHEMAOn a Uc = E dUc

dt = 0

4.2. ETUDE DU CIRCUIT RC SÉRIE 35

Analyse quantitative

Choix : Orientation du condensateur et de la résistance en convention récepteur, orientationdu générateur en convention générateur.

SCHEMASchéma indispensable

Loi des mailles+Ur + Uc− E = 0(∗) (4.1)

Relations tensions/intensité aux bornes des dipôles TODO : numéroter les équations— Loi d’Ohm : UR = +Ri— Aux bornes du condensateur : i = +C dUC

dt

Dans (*), Ri+ UC − E = 0 Avec (2), RC dUC

dt + UC − E = 0 <=> dUC

dt + UC

RC = ERC

On pose alors τ = RC, la constante de temps du circuit ( [τ ] = T ).

dUC

dt+ UC

τ= E

τ(4.2)

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et avec unseconde membre constant.

4.2.4 Expressions de UC et de i

Résolution de (E) φE = φH + φP

L’équation homogène associée à (E) est :

(H) : dUC

dt+ UC

τ= 0 (4.3)

On peut alors calculer la forme générale des solutions de (H) :

UCH : t 7→ λ exp−tτ

λ est la constante d’intégration qu’il faut déterminer avec les conditions initiales.On cherche ensuite une solution particulière de (E), sous la forme UCP = constante, c’est-à-

dire que dUCP

dt = 0. et UCP

τ = Eτ .

Donc une solution particulière de l’équation (E) est UCP = E.La solution générale de (E) s’exprime alors par : UC : t 7→ λ exp( −t

τ ) + EIl faut maintenant déterminer λConditions initiales : à t = 0, UC(0) = 0 par continuité de UC . On a donc UC(0) = λ+ E =

0, doncλ = −E.On arrive donc à l’expression finale de UC : UC : t 7→ E − E exp( −t

τ ), c’est-à-dire UC : t 7→E(1− exp( −t

τ ).

Représentation de UC sur un graphique SCHEMA COURBE

Propriété (à montrer) : La tangent à l’origine à la courbe représentative de UC en fonctiondu temps coupe l’asymptote UC = E au point d’abscisse t = τ .

Mathématiquement :lim t→ +∞UC = E


Physiquement :

UC(t = τ) = E(1− e−1) = E(1− 1e

)

A t = τ , le condensateur est chargé à 63% (UC = 63% ∗ E). A t = 5τ , le condensateur estchargé à 99% (UC = 99% ∗ E).

AUTRE FEUILLE :

Loi des mailles : UR + UC − E = 0R.i+ UC .i = E.i

R.i2 + UC .i = E.i

Or i = cdUC

dt

UC .i = UC ∗ C.dUC

dt ∗, donc en multipliant par C,UC .i = d

dt ( 12 .C.U

2C)

UC .i = ddt (Ee) avec Ee l’énergie électrique.

R.i2 + ddt (Ee) = E.i

avec R.i2 = PT , puissance dissipée par effet joule dans la résistanced

dt(Ee) = Pe, puissance électrique

E.i = PG, puisance cédée par le générateur

Bilan énergétique On multiplie par dt et on intègre entre 0 et t→ +∞ ou t = kτ (les valeursasymptotiques sont supposés être atteintes) :

Avec l’équation *dt∫ +∞

0Ri2dt︸︷︷︸

Dissipée par la résistance

+∫ +∞

0

d

dt(Ee)dt︸︷︷︸

emmagasinée par le condensateur

=∫ +∞

0E · idt︸︷︷︸

cédée par le générateur

On pose WJ =∫ +∞

0 Ri2dt, qui peut se calculer directement.

∫ +∞

0

dEe

dtdt =

∫ Ee= 12 C

Ee=0dEe

= [Ee]t= 12 CE2

t=0

= 12CE2

On a donc∫ +∞

0dEe

dt dt = 12CE

2, l’énergie stockée par le condensateur pendant la charge.

∫ +∞

0E.idt =

∫ +∞

0E.E

R. exp(−t

τdt

i(t) = E

R. exp(−t

τ

4.2. ETUDE DU CIRCUIT RC SÉRIE 37

∫ +∞

0E.idt = E2

R

∫ +∞

0exp(−t

τ)

= E2

R

[−τ exp(−t

τ)]+∞

0

= E2

R

(lim

t→+∞(−τ exp(−t

τ)− (−τ · 1)

)= E2

R· τ

= CE2

Conclusion

WJ : énergie dissipée par effet Joule dans la résistance pendant la charge.

WE = 12CE

2 : énergie stockée par le condensateur pendant la charge.

WG = CE2 : énergie cédée par le générateur pendant la charge

Donc WJ = WG −WE = CE2 − 12CE

2 = 12CE

2 = WE

Au cours de la charge, le condensateur stocke 12CE

2 J, et la résistance dissipe la même quantitéd’énergie. Il y a équipartition de l’énergie du générateur entre le condensateur et la résistance.

4.2.5 Étude de la déchargeAnalyse qualitative

On impose une nouvelle origine des temps t=0 lorsque le condensateur est chargé et onbascule K sur (2). Pour t < 0, UC = E, donc par continuité de la tension, à t=0, on a toujoursUC(0) = E.

SCHEMA SITUATION K = (2)

Loi des mailles : UR +E = 0, d’où i(0) = −ER De plus, UC(0) = E et

[dUC

dt

]t=0 = i(0)

C = − ERC

SCHEMA DECHARGE TENSION EN FONCTION DU TEMPSSi t→ +∞, on passe en régime établi, donc UC est constante et i=0.t→ +∞⇔

UC = 0 dUC

dt = iC = 0

SCHEMA REGIME ETABLI


On veut montrer que UC(t) = E exp( −tτ )

Circuit : SCHEMA CIRCUIT


Loi des mailles : UR + UC = 0 avecUR = Ri

i = C dUC

dt

.

D’oùRi+ UC = 0⇔ RC

dUC

dt+ UC = 0

On pose alors τ = RC pour mettre l’équation sous forme canonique :

dUC

dt+ UC

τ= 0

C’est l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre et à coefficients constantsqui caractérise le régime libre du circuit RC série (c’est-à-dire lorsqu’il n’y a plus de générateur).

Solutions de l’équation : est solution de l’équation homogène (cf maths) avec λ à détermineravec les conditions initiales.

UC : t 7−→ λ exp(−tτ

)

On a UC(t = 0) = E = λ ∗ 1, donc λ = E La solution de l’équation homogène adaptée auproblème est donc :

UC(t) = E exp(−tτ

)

SCHEMA SOLUTION

Chapitre 5

Oscillateurs amortis

5.1 Régime transitoire d’un oscillateur amorti5.1.1 Régime libre d’un oscillateur amortiOscillateur amorti - vision électrocinétique

Analyse qualitative On laisse évoluer librement un circuit RLC série avec des conditionsinitiales données (par exemple, on a un condensateur chargé à t=0 sous la tension E, et l’intensitédu courant est nulle).

SCHEMAA t = 0 :

UC = E

i = 0

donc UL = −E car UR = Ri = 0.Remarque : On peut avoir d’autres conditions initiales.En régime établi :On aura l’intensité i constante, donc UL = 0 (la bobine équivaut à un fil). La tension UC est

constante donc i = 0 (le condensateur équivaut à un interrupteur ouvert).SCHEMA EQUIV.On prévoit que l’énergie stockée dans le condensateur à t = 0 sera dissipé par effet Joule dans

la résistance.

Analyse quantitative On oriente les dipôles en convention générateur.SCHEMALoi des mailles :

UR + UL + UC = 0 avec

UR = Ri

UL = Ldi

dt

i = CdUC

dt

Équation différentielle en UC :

39

40 CHAPITRE 5. OSCILLATEURS AMORTIS

Ri+ Ldi

dt+ UC = 0 avec i = C

dUC

dt

⇔RC dUC

dt+ LC

d2UC

dt2+ UC = 0

Donc sous forme canonique, on trouve :

d2UC

dt2+ R

L

dUC

dt+ 1LC

UC = 0

On remarque que [ 1LC ] = T−2, on pose alors w2

0 = 1LC avec w0 en rad.s−1. On a alors

[w0] = T−1. w0 est appelé pulsation propre du circuit LC série.Remarque : Lorsque R = 0 dans le circuit (possible en théorie, impossible en pratique), on a

d2UC

dt2+ 1LC

UC = 0 ou bien d2UC

dt2+ w2

0UC = 0

On a déjà vu ce type d’équation dans le chapitre sur l’oscillateur harmonique.ANALOGIE OSCILLATEUR MECANIQUE A FAIREFIN REMARQUEDans l’équation différentielle, on s’intéresse au terme en R

LdUC

dt . On pose W0Q = R

L , d’oùQ = LWO

R . Q est appelé facteur de qualité du circuit et est sans dimension ( [Q] = 1 ).L’équation différentielle du RLC devient finalement, sous forme canonique :

d2UC

dt2+ w0

Q

dUC

dt+ w2

0UC = 0

Oscillateur mécanique amorti

Position du problème SCHEMA avec ∆l = l − l0 = xRéférentiel : Terreste supposé galiléenSystème : Masse m accrochée au ressortBilan des forces : — Poids P

— Réaction R normale au support (on n’a pas de frottement sur le support).— Force de rappel du ressort F = −k|l − l0|Ul = −kxUx

— On prend en compte une force de frottement fluide due à l’air, de la forme f =−hv = −hdx

dt Ux, h étant le coefficient de frottement fluide (voir cours de mécanique).[h] = [f ]

[v] = ma[v] = MT 1, donc h est en kg.s−1.

— On considère un mouvement unidimensionnel selon Ux

Mise en équation D’après la loi de la quantité de mouvement :

—ma = R+ P + F + f

= R+ P − kxUx − hv— Sur l’axe vertical, P et R se compensent, donc l’accélération verticale est nulle.— Sur l’axe horizontal, en projetant l’équation sur Ux :

P roj

Ux= m

d2x

dt2+ h

m

dx

dt+ k

mx = 0

5.1. RÉGIME TRANSITOIRE D’UN OSCILLATEUR AMORTI 41

On peut donc écrire l’équation différentielle en x :

d2x

dt2+ h

m

dx

dt+ k

mx = 0

On pose alors w0 = km , la pulsation de l’oscillateur harmonique (sans frottement) en rad.s−1

([w0] = T−1), ainsi que w0Q = h

m , soit Q = w0mQ , avec Q le facteur de qualité de l’oscillateur. On

a [Q] =[mw0

h

]= MT−1

MT−1 = 1.L’équation différentielle en x s’écrit alors sous forme canonique :

d2x

dt2+ w0

Q

dx

dt+ w2

0x = 0

Forme canonique et analogie électromécanique

Voir p.3, polycopié.Remarque sur le RLC série.L’équation différentielle s’écrit en UC sous la forme :

d2UC

dt2+ w0

Q

dUC

dt+ w2

0UC = 0

Avec UC = qC , on a donc

d2q

dt2+ w0

Q

dq

dt+ w2

0q = 0

On souhaite maintenant faire apparaitre l’intensité i dans l’équation différentielle, donc aveci = dq

dt , on dérive notre équation différentielle, et on a :

d2i

dt2+ w0

Q

di

dt+ w2

0i = 0

On observe alors que toutes les grandeurs électriques vérifient la même équation différentielle,mais les solutions sont différentes car les conditions initiales sont différentes.

cf Tableau.

Régimes d’évolutions

p.2 polycopié.On observe différents régimes en faisant varier la valeur du facteur de qualité Q :Résolution de l’équation différentielle, avec X la grandeur étudiée (selon le domaine d’appli-

cation) :

d2X

dt2+ w0

Q

dX

dt+ w2

0X = 0

C’est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et sans secondmembre. On associe à cette équation son équation caractéristique :

(EC) : r2 + w0

Qr + w2

0 = 0


On a alors :

Somme des racines − w0

Q< 0

Produit des racines w20 > 0

Donc les deux racines sont négatives, on a une décroissance exponentielle. On calcule ensuitele discriminant :

∆ = w20

Q2 − 4w20

Si ∆ > 0, alors√

∆ = w0

√1Q2 − 4 = 2w0

√1

4Q2 − 1

On a 14Q2 > 1, donc Q < 1

2 . Les solutions de (EC) sont alors :

r = −w0

2Q±√

∆2

= −w0

2Q± w0

√1

4Q2 − 1

Les solutions de l’équation différentielle s’écrivent alors :

X(t) = A exp(r + t) +B exp(r − t) = exp(−w0t

2Q

) [A exp

(+w0t

√1

4Q2 − 1)

+B exp(−w0t

√1

4Q2 − 1)]

A et B sont alors les constantes d’intégrations, qui dépendent de deux conditions initiales.Exemple : En électrocinétique, si X = UC , X(t = 0) = E, et i = cdUC

dt , donc i(0) = 0. On adonc bien deux conditions initiales dues à la continuité de UC et de i donc deux équations en Aet B. On peut alors déterminer A et B.

Remarque : grâce à la solution de l’équation différentielle X(t), on peut lire qu’il y a amor-tissement avec un facteur exp

(−w0t

2Q

).

COURBE REGIME APERIODIQUE DELTA POSITIF

Si ∆ = 0, alors On a une racine double r = −w02Q , alors Q = 1

2 . Ce régime est expérimentale-ment très dur, voire impossible à obtenir et observer, il est appelé régime critique.

FINIR PARAGRAPHESCHEMA COURBELe régime critique est celui pour lequel le régime transitoire est le plus court. Dans cet

exemple, on a une décroissance la plus rapide de UC .

Si ∆ < 0, alors Ce régime est appelé régime pseudo-périodique. On a deux racines complexesconjuguées, et Q > 1

2 . On a alors :

∆ =(

2ȷw0

√1− 1

4Q2

)2

Les solutions de l’équation caractéristique sont alors :

r = −w0

2Q± ȷw0

√1− 1

4Q2


Donc, en posant w = w0

√1− 1

4Q2 , les solutions de l’équation différentielle s’écrivent sous laforme :

UC(t) = A exp(−w0t

2Q

)cos(wt) +B exp

(−w0t

2Q

)sin(wt)

= C exp(−w0t

2Q

)cos(wt+ φ)

(A,B) ou (C,φ) sont les constantes d’intégration, déterminées avec les conditions initiales.

Par exemple, on a toujours

UC(0) = E

i(0) =[CdUC

dt

]t=0

= 0

Ce qui change par rapport à l’oscillateur harmonique :— Terme de décroissance de l’amplitude en exp

(−w0t

2Q

)— On a w à la place de w0 dans le cos et le sin.On trace les courbes enveloppes correspondant à |cos(wt + φ)| = 1, c’est-à-dire les courbes

d’équations : UC(t)lim1 = +C exp

(−w0t

2Q

)UC(t)lim2 = −C exp

(−w0t

2Q

)SCHEMA COURBES

Conclusion La courbe représentative de UC en fonction du temps présente des oscillations àla pulsation w (et de période T = 2π

w ) avec une amplitude qui décroît de façon exponentielle,d’où le nom de régime pseudo-périodique.

T = 2πw = 2π

w01√

1− 14Q2

est appelé la pseudo-période.

Le facteur de qualité de l’oscillateur harmonique non amorti joue alors le rôle de cas limite.En mécanique : Dispositif masse+ressort sans frottements (h = 0).En électrocinétique : Circuit LC série sans résistance, R = 0.Dans ce cas, Q→ +∞, donc exp

(−w0

2Q

)→ 1, donc w → w0. En conclusion :

— Plus les frottements sont importants— Plus Q diminue— Plus l’amortissement de l’amplitude est rapide— Plus l’oscillation est lenteDans le cas de l’oscillateur harmonique non amorti, on a toujours une décroissance de UC en

exp(−w0

2Q

), donc on introduit τ = 2Q

w0, [τ ] = T . τ représente le temps d’amortissement, ou la

constante de temps d’amortissement : au bout de quelques τ , on a atteint le régime établi. Dansle cas d’un régime libre, cela correspond au retour à l’équilibre du système (exemple : la masses’immobilise pour l = l0 si le ressort est horizontal). En électrocinétique, cela correspond à lasituation où toutes les grandeurs électriques sont nulles dans le circuit.

Bilan énergétique

On fait le bilan énergétique dans un circuit RLC série en régime libre :


Avec la loi des mailles, on a Ri+UC +L didt = 0, donc en multipliant l’équation par i, on a le

bilan en puissance PJ + ddt (Em +Ee) = 0. Pour trouver le bilan en énergie, il ne reste plus qu’à

intégrer l’équation sur quelques τ .

WJ + [Em + Ee]t=kτt=0 = 0

Hypothèses :

Ee(t = 0) = 12CE2 (le condensateur est chargé)

Em(t = 0) = 0

De plus, au bout de quelques τ , on a :

Ee(t = 0) = 0Em(t = 0) = 0

D’où WJ = Ee(t = 0) = 12CE

2, toute l’énergie initialement stockée dans le condensateur estdissipée dans la résistance.

5.1.2 Réponse à un échelon de tensionMontage

SCHEMA MONTAGE

À t = 0, on aUC = 0i = 0

On ferme l’interrupteur (K), on soumet alors le circuit à la tension E. VOIR COURBES

Analyse qualitative

SCHEMA

En t = 0+, par continuité de UC et de i dans le circuit :

i = 0 donc UR = 0UC = 0UL = E

Si on attend ”longtemps” (à préciser), on est en régime établi ou permanent, donc UC estconstante, d’où i = 0, le condensateur équivaut à un interrupteur fermé. De plus, i est constantedonc UL = 0, la bobine équivaut à un fil.

(SCHEMA)

Donc

UR = Ri

UL = 0UC = E

Le condensateur s’est chargé.


SCHEMALoi des mailles avec les dipôles en convention générateur :

UR + UL + UC = E avec

UR = Ri

UL = Ldi

dt

i = CdUC

dt


On cherche alors l’équation différentielle en faisant apparaitre UC dans tous les termes del’équation :

RCdUC

dt+ LC

d2UC

dt2+ UC = E

D’où le résultat :

d2UC

dt2+ R

L

dUC

dt+ 1LC

UC = E

LC

On passe ensuite l’équation sous forme canonique, on a :

(E) : d2UC

dt2+ w0

Q

dUC

dt+ w2

0UC = Ew20

Établissement

(E :) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant et avecun second membre constant. On trouve les solutions en ajoutant aux solutions de son équationhomogène une solution particulière de son équation.

Équation homogène associée :

(H) : d2UC

dt+ w0

Q

dUC

dt+ w2

0UC = 0

Il s’agit de l’équation différentielle de l’évolution du régime libre d’un oscillateur harmoniquenon amorti.

Solutions :UC,libre(t) (φH) Elle varie en exp

(−w0

2Q

), sa forme dépend donc de la valeur de Q. On cherche

φP une solution particulière constante de l’équation différentielle. On a donc w20UC = Ew2

0, d’oùUC,P = E. Finalement, la solution de l’équation différentielle s’écrit :

UC(t) = UC,libre(t) + E

Conclusion : On a un régime transitoire tant que UC,libre(t) = 0, c’est-à-dire pendant quelquesτ = 2Q

w0. La forme de UC pendant le régime transitoire dépend de la valeur de Q :

Q <12

: Régime apériodique

Q = 12

: Régime critique

Q >12

: Régime pseudo-périodiqueDe même, on détermine les constantes d’intégrations à l’aide des conditions initiales.ATTENTION : Conditions initiales appliquées sur UC(t) et non sur UC,libre.Au bout de quelques τ , on est en régime établi ou permanent et UC = E. VOIR COURS

POLYCOPIE.


Bilan énergétique

On a :

WJ + [Em + Ee]t≃5τt=0 = w0

avec

Em(0) = 0

Em(kτ) = 12CE2

Ee(0) = 0

Ee(kτ) = 12CE2

D’où WJ + 12CE

2 = WG.Remarque : La bobine n’intervient pas dans le calcul d’énergie. Ce qui est cédé par le géné-

rateur est stocké par le condensateur et dissipé dans la résistance.

5.1.3 Lecture de portraits de phaseDéfinition

En mécanique, on considère un mouvement unidimensionnel (selon (Ox)). On appelle plande phase le plan

(x, dx

dt

).

SCHEMA PLAN DE PHASEEn mécanique, on a :— Des conditions initiales données (exemple : à t = 0, on a x = x0 et dx

dt = 0).

— La loi de la quantité de mouvement, avec

mdv

dt= f(x, v)

v = dx

dtPour des conditions initiales données, on pose x = φ(t) et dx

dt = ψ(t). Au cours du temps,le point (φ,ψ) parcourt une trajectoire de phase. Pour un jeu de conditions initiales donnéesdifférentes, on obtient un jeu de trajectoires de phase associées appelé portrait de phase.

En électrocinétique, on peut tracer plusieurs plans de phase :— (q, dq

dt )— ( q

C , i) en utilisant la relation i = C dUC

dt (UC = qC ) aux bornes d’un condensateur.

— ( qC , UR) en utilisant UR = Ri = R dq

dt .Le dernier plan présente l’avantage d’être directement lisible à l’oscilloscope en mode XY.

Propriétés

— Sens de parcours En mécanique on considère un déplacement selon x, le plan de phase estalors : Si dx

dt > 0, alors dx > 0 quand le temps s’écoule. Si dxdt < 0, alors dx < 0 quand le

temps s’écoule. Conclusion : une trajectoire de phase est toujours parcourue dans le senshoraire.

— Cas d’un mouvement périodique Au bout d’une période T, on revient à la même positionavec la même vitesse, donc les trajectoires associées sont des courbes fermées.

— Réversibilité : Dans le cas d’une évolution réversible (pas de dissipation d’énergie), lestrajectoires de phase sont symétriques par rapport à l’axe (Ox). S’il existe une source dedissipation d’énergie, les trajectoires de phases ne sont plus symétriques par rapport àl’axe (Ox).


Dans l’équation différentielle, c’est le terme devant la dérivée première de la grandeur quel’on observe qui est la cause de l’irréversibilité. En effet, si on change t en −t, dx

dt devient−dx

dt , alors que le signe ne change pas pour les autres grandeurs.— Déterminisme : deux trajectoires de phases ne se coupent pas. La propriété dérive de la

résolution de l’équation différentielle linéaire, dont il existe une unique solution pour desconditions initiales données (problème de Cauchy).

Exemple : Oscillateur non amorti en mécanique.

d2

dt2+ w2

0 = 0

D’où

x = A cos(w0t+ φ)dx

dt= −Aw0 sin(w0t+ φ)

Equation de la trajectoire de phase :On fait la somme des carrés des deux équation pour supprimer les fonctions trigonométriques

et le temps. On a donc :

( xA

)2+

(dx

dt

1Aw

)2

= 1

Si on trace 1w0

dxdt = f(x), on a :

(1w0

dx

dt

)2

+ x2 = A2

Les trajectoires de phase s’enroulent ou tournent autour des positions d’équilibres stables(en mécanique) ou des solutions en régime permanent (en électrocinétique). Ces positions sontappelées points attracteurs.


Chapitre 6

Régime sinusoïdal forcé

6.1 Observations expérimentalesOn soumet le circuit à une tension délivrée par le GBF de la forme e = em cos(wt + φ), où

w est la pulsation choisie. On visualise UC à l’oscilloscope et on constate que UC varie avec lamême période T = 2π

wque la tension e. On constate également que si UC s’écrit sous la forme

UC(t) = UC,m cos(wt+φ), alors UC,m et φ varient en fonction de w. On parle de régime sinusoïdalforcé car on force les grandeurs électriques du circuit à osciller à la pulsation w du générateur.

Intérêt :Tout signal T-périodique de pulsation w = 2π

Tpeut être décomposé en une somme de sinu-

soïdes de pulsation nw, n ∈ N. On peut donc réaliser une analyse spectrale du signal avec latransformée de Fourier et traiter chaque fréquence indépendamment.

Conséquence :Si on connaît la réponse du circuit lorsqu’on le soumet à un signal sinusoïdal de pulsation w,

on connait la réponse du circuit à n’importe quel signal périodique (les circuits étant linéaires,on peut superposer les réponses).

6.2 Signaux sinusoïdaux6.2.1 Rappels

Un signal sinusoïdal est un signal de la forme suivante :

s(t) = sm cos(wt+ φ) avec

sm > 0, est l’amplitude du signal s.w, pulsation en rad.s−1 avec w = 2πff , fréquence du générateur en Hertz, que l’on peut ajuster

6.2.2 DéfinitionÀ tout signal s(t) = sm cos(wt+ φ), on associe la représentation dans C :

s = smej(wt+φ) ∈ C

49

50 CHAPITRE 6. RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

On a alors s(t) = ℜ(s)De plus, on note sm = sme

jφ, l’amplitude complexe de s. Elle contient l’information surl’amplitude et la phase de s(t).

Remarque : Parfois on travaille avec e−jwt avec φ′ = −φ. On a alors s(t) = sm cos(wt+φ′) =ℜ(sme

−j(wt+φ′)).

6.2.3 Représentation de FresnelDans le plan complexe, on représente le pointM d’affixe s.

0 1 2 3 40

1

2

3

4

Pour revenir à s (le signal physique), on projette OM sur l’axe des réels (on récupère lapartie imaginaire du signal complexe). Tous les signaux étant synchrones, car tous sont régit parla pulsation w, les vecteurs les représentant tournent dans le plan complexe simultanément. Il enrésulte que la figure ne se déforme pas. On peut donc faire une représentation de Fresnel à t = 0.(voir cours sur la propagation de signaux).

6.2.4 Opérations en notations complexeSeules les opérations linéaires sont utilisables en notation complexe, c’est-à-dire l’addition,

la multiplication par une constante, l’intégration et la dérivation. Mais la multiplication et ladivision ne sont pas possibles.

6.2.5 Opération de dérivationDans les réels, on a :

s(t) = sm cos(wt+ φ)

ds(t)dt

= −wsm sin(wt+ϖ) = wsm cos(wt+ φ+ π

2)

En notation complexe, on a :s(t) = sme

j(wt+φ)

ds(t)dt

= sm(jw)ej(wt+φ) = jw · s(t)

On en déduit qu’une dérivation dans les réel équivaut à une multiplication par jw en notationcomplexe.

6.3. DIPÔLES LINÉAIRES PASSIFS EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ 51

6.2.6 Opération d’intégrationDans les réels, on a :

s(t) = sm cos(wt+ φ)∫s(t)dt = sm

wcos(wt+ φ− π

2)

En notation complexe, on a :s(t) = sme

j(wt+φ)∫s(t) = sm

jwej(wt+φ)

On en déduit donc qu’une intégration dans les réel équivaut à une multiplication par 1jw

ennotation complexe.

6.3 Dipôles linéaires passifs en régime sinusoïdal forcé6.3.1 Impédances et admittances complexes

En notation réelle, pour un dipôle linéaire, il existe une relation affine ou une équation dif-férentielle linéaire reliant i à u. En notation complexe, u et i sont proportionnelles. On définitZ, l’impédance complexe du dipôle, comme le coefficient de proportionnalité entre i et u. Alors[Z] = [Ω] d’après la loi d’Ohm complexe.

De même, on définit Y = 1Z, l’admittance complexe du dipôle exprimée en Siemens.

6.3.2 Application aux dipôles linéaires passifs usuelsRésistor de résistance R

En notation réelle, la relation tension-intensité du résistor est caractérisée par la loi d’Ohm

u(t) = Ri(t)

En notation complexe, la loi d’Ohm, qui est une relation affine, reste valable avec ZR = R :

u(t) = ZRi(t)

Il n’y a alors aucun déphasage entre la tension et l’intensité, le diagramme de Fresnel carac-térisant la tension et l’intensité aux bornes d’un résistor est le suivant :

Condensateur de capacité C

En notation réelle, on caractérise le condensateur par la relation :

i = CdUC

dt

En notation complexe, on obtient alors i = C(jw)UC , d’où la relation :

UC = 1jCw

i

52 CHAPITRE 6. RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

On obtient alors l’impédance du condensateur

ZC = 1jCw

Comportement du condensateur On s’intéresse au comportement du condensateur à trèshaute fréquence (THF) et à très basse fréquence (TBF).

Représentation de Fresnel

6.3.3 Bobine d’inductance LEn notation réelle, on caractérise la bobine par la relation :

uL = Ldi

dt

En notation complexe, on obtient alors :

uL = L(jw)i

D’où l’impédance complexe de la bobine :

Z = Ljw

Comportement de la bobine

Représentation de Fresnel

6.3.4 Associations de dipôles passifsEn notation complexe, les règles d’associations d’impédances sont les mêmes que les résis-

tances en notation réelles.

Association série

Z1 Z2

On cherche à exprimer l’impédance équivalente entre A et B

Quatrième partie

Mécanique quantique

53

Chapitre 7

Introduction à la mécaniquequantique

55

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Physique Et Chimie Mpsi