cours de physique générale mécanique du point 15

approximation grossière peut nous donner des informations très impor-tantes. Parfois nous savons comment calculer une quantité, toutefois,nous devons deviner ou prédire les données pour e�ectuer le calcul. Ou,dans d’autres cas, les calculs sont tellement compliqués à e�ectuer cor-rectement qu’il est nécessaire de faire quelques approximations. Danstous ces cas, notre résultat est approximatif mais il peut nous être trèsutile même s’il est incertain d’un facteur quatre, dix ou plus. Ce genrede calculs s’appelle une estimation de l’ordre de grandeur.

Example 1.6.1 (L’infirmière).Un homme d’âge moyen est à l’hôpital pour un control de routine.

L’infirmière a écrit la quantité 200 sur son carnet médical, mais ellea oublié de mentionner l’unité. Quelles sont parmi ces quantités cellesqui peuvent représenter la quantité 200 ? (a) sa masse en kilogrammes ;(b) sa taille en mètres ; (c) sa taille en centimètre ; (d) sa taille enmillimètres ; (e) son âge en mois.

SolutionIdentification : Nous devons exprimer la quantité 200 dans les dif-férentes unités, puis voir si le résultat correspond aux caractéristiquesd’un homme ordinaire d’un âge moyen.Mise au point : 1 m = 100 cm = 1.000 mm ; 1 an = 12 mois.Execution :

(a) un poids de 200 kg est largement supérieur à celui d’un hommeordinaire.

(b) une taille de 200 m = 20.000 cm est largement supérieure à celled’un homme ordinaire.

(c) une taille de 200 cm = 2 m peut correspondre à celle d’unhomme de très grande taille, mais pas à celle d’un homme ordinaire.

(d) une taille de 200 mm = 20 cm = 0,2 m est beaucoup plus petiteque celle d’un homme.

(e) Un âge de 200 mois = (200 mois) ◊ (1 an)/(12 mois) = 17ans correspond à celui d’un adolescent et un homme d’âge moyen estbeaucoup plus vieux que ça.Evaluation : Aucune possibilité n’est plausible. Quand on note le ré-sultat d’une mesure, il est essentiel de spécifier l’unité correspondante,sans quoi, ce résultat n’a aucun sens.

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1.7 Vecteurs et Addition de Vecteurs

Quelques quantités physiques comme le temps, la masse, la tempéra-ture peuvent être entièrement exprimées en fonction d’un seul nombreet une unité. Ces quantités sont des scalaires. Toutefois, d’autres quan-tités aussi importantes ont, en plus, une direction associée à elles. Ellesne peuvent être exprimées par un seul nombre et une unité. Un exempleest le mouvement d’une automobile : nous ne pouvons pas décrire sonmouvement en spécifiant uniquement sa vitesse, il est impératif de spé-cifier aussi sa direction. Un autre exemple est la force, qui en physique,signifie tirer ou pousser un corps. Donner une description complète

16 sofiane aoudia

d’une force veut dire spécifier avec quelle intensité la force agit et dansexactement quelle direction. On parle alors dans ce cas de quantitésvectorielles. Un vecteur possède, à la fois, une norme et une directionspatiale.

Pour ce familiariser avec les vecteurs, nous allons considérer l’exempledu vecteur déplacement. Marcher 1 km vers le Nord depuis chez-soi lematin ne va pas nous emmener vers le même endroit que si nous déci-dons de marcher 1 km vers le Sud. Ces deux déplacements ont la mêmenorme mais des directions di�érentes.

Un vecteur est, en général, représenté par une lettre au-dessus de laquelle on met une flèche, pour se rappeler qu’un vecteur possède unedirection, exemple A. Si vous oubliez de mettre la flèche au-dessus devotre symbole représentant un vecteur, vous ne pouvez plus distinguerentre un vecteur et un scalaire dans vos notations, vos calculs ou votreraisonnement. Ce qui va vous conduire, sans doute, à une confusionqui va vous induire en erreur.

Graphiquement, un vecteur est représenté par un segment de droiteavec une flèche à son extrémité, Fig-1.10. Si deux vecteurs, A et B, ontla même direction, ils sont parallèles. S’ils ont la même direction et lamême norme, ils sont égaux indépendamment de leurs positions res-pectives dans l’espace Fig-1.11. Un vecteur B est dit le vecteur opposéde A s’ils ont la même norme mais deux directions opposées, Fig-1.12.On dit alors que A = ≠B. Dans ce cas, si par exemple A désigne undéplacement de 30 m vers le Nord, B = ≠A désigne un déplacementde 30 m vers le Sud. Quand deux vecteurs, A et B, ont deux directionsopposées, ils sont dits antiparallèles, quelque soit leurs normes respec-tives.

Figure 1.10: On représente un vec-teur, par exemple un déplacement, parune flèche qui pointe dans la directiondu déplacement considéré.

Figure 1.11: (a) Les deux vecteurs Aet B ont la même direction mais desmagnitudes di�érentes, ils sont paral-lèles (A // B). (b) Les deux vecteurs Aet B ont la même direction et la mêmemagnitudes, ils sont égaux (A = B).

Figure 1.12: (a) Les deux vecteurs Aet B ont la même magnitudes, maisdeux directions opposées. Les deuxvecteurs sont dits opposés (A = ≠B).

La magnitude, le module ou la norme, d’un vecteur est représentéepar la même lettre ou symbole qui décrit le vecteur, mais sans ajouterla flèche au-dessus, car la norme ou la magnitude est un scalaire, unnombre (et des unités). Il n’a pas de direction. Une notation alternativeest de mettre le symbole du vecteur entre deux barres verticales :

(la norme de A) = A = |A| (1.1)

Un vecteur ne peut jamais être égal à un scalaire, car ils sontde natures di�érentes. La notation A = 34 m n’a pas de sens.

Faites très attention

cours de physique générale mécanique du point 17

Finalement, quand on dessine un diagramme contenant des vec-teurs, il est usuel d’utiliser des échelles semblables à celles des cartesgéographiques. A titre d’exemple, un déplacement de 15 km peut êtrereprésenté sur un diagramme par un vecteur de 1 cm de longueur, etun déplacement de 30 km par un autre vecteur de 2 cm de longueur.De même, une vitesse de 32 m/s peut être représentée par un vecteurde 4 cm, alors qu’une autre vitesse de 8 m/s par un vecteur de 1 cmde longueur.

Addition et Soustraction de Vecteurs

Supposons qu’un mobile e�ectue un déplacement décrit par le vec-teur A, suivi d’un autre déplacement décrit par le vecteur B. Le résul-tat est exactement le même que si le mobile en question s’est déplacédu même point de départ le long d’un seul déplacement décrit par levecteur C, Fig-1.13. On appelle le déplacement C le vecteur sommeou la résultante des déplacement A et B. Symboliquement, nous re-présentons cette relation par

C = A + B (1.2)Figure 1.13: On peut additionnerdeux vecteurs en plaçant le point dedépart d’un vecteur contre la tête(flèche) du deuxième vecteur. C =A + B = B + A.

Lors de l’addition de vecteurs, on place, en général, le point dedépart du second vecteur sur la tête (la flèche) du premier vecteur. Sion e�ectue le déplacement A puis B ou à l’inverse en commençant parB puis A, le résultat est le même

C = A + B = B + A (1.3)

La Fig-1.14 montre une autre façon de représenter le vecteur somme :Si les deux vecteurs A et B sont dessinés avec leurs deux points dedépart respectifs au même endroit, le vecteur C est la diagonale duparallélogramme construit en considérant A et B comme deux côtésadjacents.

Figure 1.14: On peut additionner lesdeux vecteurs A et B en construisantun parallélogramme, la somme étantla diagonale.

C’est une erreur assez commune de considérer que si C =

A + B, alors la norme |C| doit être égale au module |A| plusla norme |B| : |C| = |A| + |B|. Ceci est, en général, une trèsgrave erreur. La norme de A+ B dépend à la fois des modulesde A et B mais aussi de l’angle entre ces deux vecteurs.

C’est uniquement dans le cas de deux vecteurs parallèles(et je dis bien parallèles) que |C| = |A| + |B|. Quand lesvecteurs, A et B, sont antiparallèles, la norme de C est égaleà la valeur absolue de la di�érence des deux modules de A et

Module du Vecteur Somme

18 sofiane aoudia

B : |C| =---|A| ≠ |B|

---

Quand on a besoin d’additionner plusieurs vecteurs, il est parfoisplus simple de trouver le vecteur somme de n’importe quels deux vec-teurs, puis d’additionner ce dernier au troisième et ainsi de suite :

R = (A + B) + C + D = (E + C) + D = F + D (1.4)

R = A + B + (C + D) = A + (B + G) = A + H (1.5)

En réalité, graphiquement, nous n’avons même pas besoin de des-siner les vecteurs E, F (ou G et H). On dessine tout simplement lesvecteurs A, B, C et D en mettant le point de départ de chacun d’euxsur la flèche du vecteur qui le précède. La résultante R est tiré dupoint de départ du preier vecteurs vers la flèche du dernier vecteur.L’ordre n’est pas important comme indiqué par l’éq.(1.3). On dit alorsque l’addition des vecteurs est associative.

Il est aussi possible de soustraire deux vecteurs, en se rappelantsimplement que le vecteur ≠A a le même module que A mais unedirection opposée. Ainsi la di�érence A ≠ B des deux vecteurs A et B

est égale à la somme des deux vecteurs A et ≠B :

A ≠ B = A + (≠B) (1.6)

La Fig-1.15 montre un exemple de la soustraction de deux vecteurs.Figure 1.15: On peut soustraire lesdeux vecteurs A et B en addition-nant les deux vecteurs A et ≠B. D =A ≠ B = A + (≠B).

Une quantité vectorielle, comme le déplacement A, peut être mul-tipliée par un scalaire, un nombre. Le déplacement 2A est un vecteurdéplacement ayant la même direction que A mais deux fois plus long.Ceci est équivalent à additionner A avec lui-même : 2A = A + A. Engénéral, quand un vecteur A est multiplié par un scalaire c, le résul-tat est un vecteur ayant comme module |c||A| (la valeur absolue de c

multipliée par la norme du vecteur A). Si c est positive, cA est dans lamême direction que A ; par contre si c est négatif, cA est dans la direc-tion opposée de A. Ainsi 3A est parallèle à A et ≠3A est antiparallèleà A, Fig-1.16.

Figure 1.16: Multiplication d’un vec-teur par un scalaire. Le vecteur 3A estdans la même direction que A maistrois fois plus long. Le vecteur ≠3A estaussi trois fois plus long que A maisdans la direction opposée.

Un scalaire utilisé pour multiplier un vecteur peut aussi représenterune quantité physique. A titre d’exemple, vous devez vous familiari-ser avec la relation F = ma, la force F qui agit sur un objet (unequantité vectorielle) est égale au produit de la masse de l’objet m (unequantité physique scalaire) et son accélération a (une autre quantitévectorielle). La direction de F est la même que celle de a, car m esttoujours positive, et la norme de F est égale à la masse m multipliéepar la norme de l’accélération a. L’unité de la force est égale à l’unitéde masse multipliée par l’unité de l’accélération.

Example 1.7.1 (Addition de Deux Vecteurs Orthogonaux).

cours de physique générale mécanique du point 19

Un nageur professionnel nage 1 km dans la direction du Nord puis2 km dans la direction de l’Est. A quelle distance se trouve le nageurpar rapport à sa position de départ ?

Figure 1.17: Le trajet suivi par un na-geur professionnel.

SolutionIdentification : Le problème nécessite la combinaison de deux dé-placements (des vecteurs) qui font un angle droit entre eux.Mise au point : L’addition de ces deux vecteurs peut se faire enutilisant le théorème de Pythagore. Le but étant de trouver la longueurde la ligne droite qui sépare le point de départ du point d’arrivée enconnaissant la distance des deux segments droits de la Fig-1.17Execution : La distance de la ligne droite qui sépare le point dedépart du point d’arrivée est égale à la longueur de l’hypoténuse

Ò(1 km)2 + (2 km)2 = 2, 24 km.

Evaluation : Le résultat semble en accord avec notre schéma de laFig-1.17, en utilisant une échelle adéquate.

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1.8 Composantes de Vecteurs

Dans la section précédente (section-1.7), nous avons montré com-ment il est possible d’additionner des vecteurs en utilisant des dia-grammes. Toutefois, cette technique est limitée en terme de précision.Il est donc plus utile d’introduire une nouvelle méthode plus généraleet plus simple pour e�ectuer l’addition de vecteurs. Cette méthode estcelle des composantes.

Pour définir c’est quoi une composante d’une vecteur A, il est néces-saire d’introduire d’abord un système de coordonnée cartésien Fig-1.18.On dessine alors le vecteur dont on veut connaitre les coordonnées enplaçant son point de départ sur le point O, l’origine de mon système decoordonnées. Nous pouvons alors représenter n’importe quel vecteur A

qui appartient au plan (Ox, Oy), comme étant la somme d’un vecteurparallèle à l’axe des x et un deuxième vecteur parallèle à l’axe des y.Ces deux vecteurs sont notés respectivement Ax et Ay. Ce sont lesvecteurs composantes du vecteur A et leur somme est égale au vecteurA

A = Ax + Ay (1.7)

Figure 1.18: Représentation du vec-teur A en fonction des vecteurs com-posantes A

x

et Ay

.

Vu que chaque vecteur composante se trouve le long de la directiond’un des axes de coordonnées, il est su�sant d’utiliser un seul nombrepour le décrire. Quand, par exemple, Ax pointe dans la même directionque l’axe Ox, on définit le nombre Ax comme étant égal au module deAx (Ax = |Ax|). Quand Ax pointe dans la direction opposée à l’axeOx, on définit le nombre Ax comme égal à moins la norme du vecteurAx (Ax = ≠|Ax|), la norme d’un vecteur étant toujours positive. Ondéfinit de la même manière le nombre Ay. Les deux nombres, Ax et

20 sofiane aoudia

Ay Fig-1.19, sont appelés les composantes du vecteur A.

Figure 1.19: Représentation du vec-teur A en fonction de ses composantesA

x

et Ay

.

Nous pouvons aussi calculer les composantes du vecteur A en connais-sant son module A = |A| ainsi que sa direction. La direction d’un vec-teur étant définie par l’angle qui se trouve entre la partie positive del’axe des x et le vecteur A. Cet angle est noté – sur la Fig-1.19. Si pouraller de la partie positive de l’axe des x vers le vecteur A, nous devonse�ectuer une rotation autour de O dans le sens inverse des aiguillesd’une montre, alors l’angle – est positif. Si, au contraire, la rotationse fait dans le même sens que celui des aiguilles d’une montre, l’angle– est négatif. En utilisant ces définitions ainsi que celles des fonctionstrigonométriques

cos – =Ax

Aet sin – =

Ay

A

les composantes du vecteurs A seront données par

Ax = A cos – et Ay = A sin – (1.8)

Les composantes Ax et Ay d’un vecteur A sont juste desnombres et non pas des vecteurs. De plus, l’éq.(1.8) n’est va-lable que si l’angle – est défini à partir de la direction positivede l’axe des x, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.Si cet angle est défini à partir d’une autre direction ou d’unautre sens de rotation, les relations de l’éq.(1.8) seront di�é-rentes. Faites très attention !

Composantes d’Un Vecteur

Utilisation des Composantes d’un Vecteur dans les Calculs

L’utilisation des composantes des vecteurs rend tout calcul, faisantintervenir des quantités vectorielles, très facile.

1. Recherche du module d’un vecteur et sa direction enutilisant ses composantes. Nous pouvons complètement décrire unvecteur en spécifiant son module ainsi que sa direction ou tout sim-plement ses composantes le long des axes Ox et Oy. L’éq.(1.8) montrecomment trouver les composantes, Ax et Ay, d’un vecteur A connais-sant son module A et sa direction, donnée par l’angle –. Nous pouvonsaussi inverser le processus et trouver la norme ainsi que la directionen utilisant les composantes. En appliquant le théorème de Pythagore,Fig-1.18, nous trouvons que la norme du vecteur A est

A =Ò

A2x + A2

y (1.9)

cours de physique générale mécanique du point 21

Cette dernière équation est valable tant que les deux axes Ox etOy sont perpendiculaires. L’expression de la direction du vecteur estdonnée par la définition de la tangente d’un angle. Si l’angle – estmesuré depuis la direction positive de l’axe des x dans le sens inversedes aiguilles d’une montre, comme montré sur la Fig-1.19, alors nousaurons

tan – =Ay

Axet – = arctan Ay

Ax(1.10)

Toute calculatrice scientifique a un bouton INV ou 2ND qui doit êtreutilisé avec le bouton TAN pour calculer ARCTAN, qui correspond àla fonction inverse de la tangente.

L’utilisantion de l’éq.(1.10) pour trouver l’angle – nécessitequelques précautions. En e�et, chaque deux angles qui dif-fèrent de 180° ont la même tangente. Supposons que Ax = 4m et Ay = ≠4 m, comme indiquée sur la Fig-1.20, de tellesorte que tan – = ≠1. Mais que ce soit 135° ou 315° ou même-45°, ils ont tous une tangente égale à -1. Qui alors de cesangles représente la direction du vecteur A ? Vu que Ax estpositif et Ay négatif, le vecteur A se trouve dans le quatrièmecadran, ce qui veut dire que seuls 315° et -45° peuvent êtrecorrects. Si on plus on décide de choisir un angle défini dansle sens inverse des aiguilles d’une montre, c’est 315° qui re-présente l’angle – du vecteur A. Il est conseillé de toujoursdessiner un croquis pour vérifier qui des deux possibilités estcorrecte.

Trouver la direction d’un vecteur depuis ses com-posantes

Figure 1.20: Dessiner un croquis d’unvecteur peut nous renseigner sur sescomposantes le long des axes x et y.

2. Multiplication d’un vecteur par un scalaire. Si nous mul-tiplions un vecteur A par un scalaire c, chaque composante du vecteurD = c A est le produit de c et de la composante correspondante duvecteur A

Dx = c Ax Dy = c Ay (1.11)

2. Utilisation des composantes des vecteurs pour le calculdu vecteur somme, de la résultante de deux vecteurs ou plus.La Fig. 1.21 montre les deux vecteurs A et B, leur somme R = A+ B

ainsi que les composantes de ces derniers le long des deux axes Ox

et Oy. Vous pouvez voir facilement que la composante Rx du vecteursomme est tout simplement donnée par Ax + Bx. De même, la com-posante Ry est donnée par Ay + By.

Figure 1.21: Addition de deux vec-teurs en utilisant leurs composantes.

22 sofiane aoudia

Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By (1.12)

Cette relation est valable quelque soit le signe des composantes Ax,Ay, Bx et By. Elle est aussi valable quelque soit le nombre de vecteursadditionnés R = A + B + C + D + . . .

Rx = Ax + Bx + Cx + Dx + . . .

Ry = Ay + By + Cy + Dy + . . . (1.13)

Une généralisation à un vecteur à trois dimensions est tout simple.La norme est donnée cette fois-ci par

A =Ò

A2x + A2

y + A2z (1.14)

et la composante selon l’axe z du vecteur somme est donnée par

Rz = Az + Bz + Cz + Dz + . . . (1.15)

1.9 Vecteurs Unitaires

Un vecteur unitaire est un vecteur ayant comme module la valeur1, sans aucune unité. Sa seule fonction est de montrer une directiondans l’espace. Les vecteurs unitaires o�rent une notation convenablepour les expressions faisant intervenir les composantes de vecteurs. Engénéral, on le note avec le symbole chapeau (ˆ) au-dessus du symboledu vecteur unitaire.

Dans un système de coordonnées à deux dimensions, nous pouvonsdéfinir le vecteur unitaire i qui pointe vers la direction positive de l’axedes x et un vecteur unitaire j qui pointe vers la direction positive del’axe des y. Ainsi, nous allons pouvoir exprimer la relation entre lescomposantes vectorielles, Ax et Ay, d’un vecteur A et ses composantes,Ax et Ay, introduites dans la section-1.8 par

Ax = Ax i

Ay = Ay j (1.16)

De la même manière, nous pouvons écrire A en fonction de sescomposantes

A = Ax i + Ay j (1.17)

Figure 1.22: Les vecteurs unitaires i,j et k.

Nous pouvons aussi exprimer le vecteur somme R de deux vecteursA et B comme suite :

A = Ax i + Ay j

B = Bx i + By j

cours de physique générale mécanique du point 23

R = A + B

=1

Ax i + Ay j2+

1Bx i + By j

2(1.18)

= (Ax + Bx) i + (Ay + By) j

= Rx i + Ry j

Si les vecteurs ne se trouvent pas sur le plan (Ox, Oy), alors nousaurons besoin d’une troisième composante. Nous introduisons donc untroisième vecteur unitaire k qui pointe dans la direction positive del’axe des z, Fig-1.22. Ainsi les éqs.(1.17, 1.18) vont s’écrire sous laforme

A = Ax i + Ay j + Az k (1.19)

R = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k

= Rx i + Ry j + Rz k (1.20)

Example 1.9.1 (Utilisation des vecteurs unitaires).

Soient les deux déplacements

A = (8.00 i ≠ 1.00 j + 3.00 k)m et

B = (3.00 i ≠ 5.00 j + 6.00 k)m

Trouvez la norme du déplacement 2A ≠ B.

SolutionIdentification : Nous devons multiplier le vecteur A par le facteur2 (un scalaire) et soustraire le vecteur B du résultat, pour obtenir levecteur C = 2A ≠ B.Mise au point : L’éq.(1.11) nous dit que pour multiplier le vecteur Apar 2, nous devons multiplier chacune de ses composantes par le facteur2. Nous pouvons aussi utiliser l’éq.(1.20) pour e�ectuer la soustraction,en se rappelant que la soustraction d’un vecteur est la même chose quel’addition de l’opposé de ce même vecteur. Finalement, l’éq.(1.14) vanous permettre de calculer la norme de C.Execution : Nous avons donc

C = 2(8.00 i ≠ 1.00 j + 3.00 k)m ≠ (3.00 i ≠ 5.00 j + 8.00 k)m

=Ë(16.00 ≠ 3.00) i + (≠2.00 + 5.00) j + (6.00 ≠ 8.00) k

Èm

= (13.00 i + 3.00 j ≠ 2.00 k)m

A partir de l’éq.(1.14), la norme de C est donnée par

24 sofiane aoudia

|C| = C =Ò

C2x + C2

y + C2z

=Ò(13.00 m)2 + (3.00 m)2 + (≠2.00 m)2

= 13, 5 m

Evaluation : Notre résultat est du même ordre de grandeur que lacomposante la plus grande de la somme. Nous ne pouvons espérertrouver une solution beaucoup plus grande que celle-ci.

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1.10 Produits de Vecteurs

Il est possible d’exprimer plusieurs quantité physiques en utilisant leproduit de vecteurs. Les vecteurs n’étant pas des nombres ordinaires,il n’est donc pas possible d’utiliser la multiplication ordinaire pour lesvecteurs. Pour cela, nous allons définir deux produits di�érents pourles vecteurs. Le premier est le produit scalaire dont le résultat est unscalaire, alors que le deuxième est le produit vectoriel dont le résultatest un autre vecteur.

Produit Scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs A et B est noté A . B. Malgréque A et B sont des vecteurs, leur produit scalaire A . B est unscalaire, un nombre.

Pour définir le produit scalaire A . B nous allons dessiner lesdeux vecteurs A et B avec leurs deux points de départ à la mêmeposition comme indiqué sur la Fig-1.23. L’angle – entre les directionsdes deux vecteurs peut aller de 0° à 180°. Nous pouvons définir leproduit scalaire A . B comme étant la norme du vecteur A multipliéepar la composante du vecteur B le long de la direction du vecteur A.C’est donc en réalité le produit de deux nombres (composantes)

Figure 1.23: Calcul du produit sca-laire A . B = A B cos –. (a) Le produitscalaire A . B est égal à A (B cos –),la norme de A multipliée par la com-posante de B dans la direction de A.(b) Le produit scalaire A . B est égalà B (A cos –), la norme de B multi-pliée par la composante de A dans ladirection de B.

A . B = A B cos – = |A| |B| cos – (1.21)

Alternativement, nous pouvons définir ce même produit commeétant la norme du vecteur B multipliée par la composante de A le longde la direction du vecteur B. Ainsi, A . B = B (A cos –) = A (B cos –

qui est la même chose que l’éq.(1.21).

Encore une fois, comme son nom l’indique, le produit scalaire estune quantité scalaire, ce n’est pas un vecteur, et il peut être positif,nul ou négatif. Quand l’angle – entre les deux vecteurs est comprisentre 0° et 90°, cos – > 0 et le produit scalaire est positif. Quand – estcompris entre 90° et 180°, de telle sorte que cos – < 0, la composantede B le long de la direction de A est négative, et le produit scalaire