PIANO 1. - people.unica.itpeople.unica.it/carlomei/files/2014/03/sol_piano.pdf · AB=|5−0|=5 2. Calcolare le ... Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante

PIANO

1. Calcolare la distanza tra i punti delle seguenti coppie:

Distanza tra due punti A( xA , y A) e B( xB , yB)

AB=√( x B−x A)2+( y B− y A)

2

a. A(1 , 2) B(2 , 1)

AB=√(1−2)2+(2−1)2=√1+1=√2

b. A(2 ,3) B(2 ,6)

AB=√(2−2)2+(3−6)

2=3

oppure:AB=|3−6|=3

c. A(5 ,11) B(3 ,7)

AB=√(5−3)2+(11−7)2

=√4+16=√20=2√5

d. A(5 ,0) B(3 ,7)

AB=√(5−3)2+(0−7)

2=√4+49=√53

e. A(5 ,7) B(0 ,7)

AB=√(5−0)2+(7−7)

2=5

oppure:AB=|5−0|=5

2. Calcolare le coordinate del punto medio del segmento determinato dalle seguenti coppiedi punti:

Coordinate del punto medio di un segmento di estremi A( xA , y A) e B( xB , yB)

M ( x A+x B

2,

yA+ y B

2 )a. A(1 , 2) B(2 ,1)

x M=1+2

2=

32

y M=2+1

2=

32 M (3

2,32 )

b. A(2 ,3) B(2 ,6)

x M=2+2

2=

42=2 y M=

3+62

=92 M (2 ,

92 )

c. A(5 ,11) B(3 ,7)

x M=5+3

2=

82=4 y M=

11+72

=182

=9 M (4 , 9)

d. A(5 ,0) B(3 ,7)

x M=5+3

2=

82=4 y M=

0+72

=72

M (4 ,72 )

3. Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante per il punto P eparallela al vettore u⃗ .

Equazione di una retta passante per un punto A( xA , y A) e parallela alla direzioner⃗=( l , m):

equazione cartesiana:la retta ha direzione ortogonale n⃗=(m ,−l ) :

r : m (x−x A)− l ( y− y A)=0

oppure:

r :|x−x A y− y A

l m |=0

oppure:

r :x−x A

l=

y− y A

mm≠0 l≠0

equazione parametrica:

r :{ x=x A+ l ty= y A+m t

a. P (1 , 2) u⃗(2 ,1)equazione cartesiana:la retta ha direzione ortogonale n⃗=(1 ,−2):

r : 1(x−1)−2 (y−2)=0 r : x−2 y+3=0


r : {x=1+2 ty=2+t

b. P (−1 , 2) u⃗(2 ,−1)equazione cartesiana:

r :|x+1 y−22 −1 |=0

r :−1(x+1)−2( y−2)=0 x+2 y−3=0


r :{x=−1+2 ty=2−t

c. P (2 ,−3) u⃗(−4 ,−3)equazione cartesiana:

x−2−4

=y+3−3

r : 3(x−2)=4 ( y+3) 3 x−4 y−18=0


r :{ x=2−4 ty=−3−3 t

d. P (−4 ,−3) u⃗(1 ,1)equazione cartesiana:

|x+4 y+31 1 |=0

r :(x+4)−( y+3)=0 x− y+1=0


r :{x=−4+ty=−3+ t

e. P (1 ,−3) u⃗ (0 ,3)equazione cartesiana:

|x−1 y+30 3 |=0

r : 3(x−1)−0 (y+3)=0 x=1equazione parametrica:

r :{ x=1y=−3+3 t

f. P (−3 ,−2) u⃗(4 , 0)equazione cartesiana:la retta ha direzione ortogonale n⃗=(0,1):

r : 0 (x+3)+1 ( y+2)=0 y=−2


r :{x=−3+4 ty=−2

4. Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante per i punti A e B.

Equazione di una retta, passante per i punti A( xo , y A) e B( xo , yB) ( parallela all'asse y ) :

r : x=xo

equazione asse y: x=0

Equazione di una retta, passante per i punti A( xA , y o)e B(x B , yo) ( parallela all'asse x ) :

r : y= yo

equazione asse x: y=0

Equazione di una retta, non parallela ad alcun asse, passante per i punti A( xA , y A) eB( xB , yB):

r :x−xA

xB−xA

=y−y A

y B−y Adirezione r⃗= A⃗B=B−A=(x B−x A , y B− y A)

Equazione parametrica di una retta, passante per i punti A( xA , y A) e B( xB , yB):

r⃗= A⃗B=B− A=( x B−x A , y B−y A) r : {x=x A+( xB−x A) ty=y A+( y B− y A) t

a. A(1 ,2) B(1 ,3)equazione cartesiana:retta parallela all'asse y:

r : x=1r ha direzione j⃗ (0,1)


r :{ x=1y=2+t

b. A(11 ,4) B(27 ,4)equazione cartesiana:retta parallela all'asse x:

r : y=4r ha direzione i⃗ (1,0)equazione parametrica:

r :{x=11+ ty=4

c. A(5 ,3) B(−1,5)

direzione della retta: r⃗= A⃗B=B−A=(−6,2)

equazione cartesiana:

r : x−5−1−5

=y−35−3

x−5−6

=y−3

2

r : x−5=−3( y−3)=0 x+3 y−14=0equazione parametrica:

r : {x=5−6 ty=3+2 t

d. A(0 ,0) B (3,7)

direzione della retta: r⃗= A⃗B=B−A=(3,7)


|x y3 7|=0 r : 7 x−3 y=0


r :{x=0+3 ty=0+7 t

e. A(0 ,0) B (3,3)

direzione della retta: r⃗= A⃗B=B−A=(3,3)


|x y3 3|=0 r : x− y=0


r :{x=0+3 ty=0+3 t

5. Trovare per ciascuna retta un vettore direzione e un vettore ortogonale.

Vettore direzione e vettore ortogonale a una rettaUna retta di equazione r : a x+b y+c=0, ha direzione ortogonale il vettore n⃗=(a ,b) e ha giacitura (direzione) il vettore r⃗=(b ,−a) .

a. r : x+2 y+3=0

vettore normale: n⃗=(1 , 2)

vettore direzione: r⃗=(2 ,−1).

b. r : x+3=0

vettore normale: n⃗=(1,0)

vettore direzione: r⃗=(0 ,1).

c. r :3 x+2 y+3=0

vettore normale: n⃗=(3,2)

vettore direzione: r⃗=(2 ,−3).

d. r : 2 y+3=0

vettore normale: n⃗=(0 ,1)


e. r :−22 x+31 y+3=0

vettore normale: n⃗=(−22 ,31)

vettore direzione: r⃗=(31 , 22) .

f. r :13 x−24 y+3=0

vettore normale: n⃗=(13 ,−24)


6. Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante per il punto P eperpendicolare al vettore n⃗ .

Equazione di una retta passante per un punto A( xA , y A) e perpendicolare alladirezione n⃗=(a , b):

r : a( x− xA)+b ( y− y A)=0

Equazione parametrica di una retta, passante per il punto A( xA , y A) e perpendicolarealla direzione n⃗=(a , b):

direzione r⃗ (b ,−a) r : { x=x A+b ty=y A−a t

a. P (1 ,2) n⃗(2 ,1)equazione cartesiana:

r : 2 (x−1)+1 (y−2)=0 2 x+ y−4=0


direzione r⃗ (1 ,−2) r :{ x=1+ ty=2−2 t

b. P (−1 , 2) n⃗(2 ,−1)equazione cartesiana:

r : 2 (x+1)−1 (y−2)=0 2 x− y+4=0


direzione r⃗ (1 , 2) r :{x=−1+ ty=2+2 t

c. P (2 ,−3) n⃗(−4 ,−3)equazione cartesiana:

r :−4 (x−2)−3( y+3)=0 4 x+3 y+1=0


direzione r⃗ (3 ,−4) r : { x=2+3 ty=−3−4 t

d. P (−4 ,−3) n⃗(1 ,1)equazione cartesiana:

r : 1(x+4)+1( y+3)=0 x+ y+7=0equazione parametrica:

direzione r⃗ (1 ,−1) r : {x=−4+ ty=−3−t

e. P (1 ,−3) n⃗(0 , 3)equazione cartesiana:

r : 0 (x−1)+3 (y+3)=0 y+3=0


direzione r⃗ (1,0) r :{x=1+ ty=−3

f. P (−3 ,−2) n⃗(4 , 0)equazione cartesiana:

r : 4 (x+3)+0( y+2)=0 x+3=0


direzione r⃗ (0 , 1) r :{ x=−3y=−2+ t

7. Determinare le coordinate del punto di intersezione delle rette r e s :

a. r : x+ y−2=0 s : x+2 y−3=0

Per determinare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il seguentesistema:

{ x+ y−2=0x+2 y−3=0

{x=1y=1

b. r : x− y+2=0 s :3 x−5 y=0


{x− y+2=03 x−5 y=0

{x=−5y=−3

c. r : 2 x− y+3=0 s : x− y+2=0


{2 x− y+3=0x− y+2=0

{x=−1y=1

d. r :{x=−4+2 ty=−2−3 t

s :{x=−4+7ky=−2−3k


{x=−4+2 ty=−2−3 tx=−4+7ky=−2−3k

{−4+2 t=−4+7k−2−3 t=−2−3 k

{t=0k=0

{x=−4y=−2

e. r : 2 x− y+3=0 s :{x=−4+ ty=−2−t


{x=−4+ ty=−2− t

2 x− y+3=0

{x=−4+ ty=−2−t

2(−4+ t )−(−2− t )+3=0

{x=−3y=−3t=1

8. Scrivere l'equazione della retta parallela alla retta di equazione data e passante per ilpunto indicato:Due rette di equazione r : a x+b y+c=0, s : a ' x+b ' y+c '=0 sono parallele quando s⃗∥r⃗


r⃗= A⃗P=P−A=(x−x A , y− y A)

condizione di perpendicolaritàDue vettori u⃗ , v⃗ sono ortogonali sse u⃗⋅⃗v=0

n⃗⋅⃗AP=0 r : a (x− x A)+b( y− y A)=0

a. r :7 x+5 y+3=0 A(1 , 2)

retta parallela7( x−1)+5( y−2)=0 7 x+5 y−17=0

b. r : x+3=0 A(5 ,−1)

retta parallela1(x−5)+0( y+1)=0 x−5=0

c. r :3 x+2 y+201=0 A(0 ,2)

retta parallela3(x−0)+2( y−2)=0 3 x+2 y−4=0

d. r : 2 y+3=0 A(10 ,−2)

retta parallela0( x−10)+2 ( y+2)=0 y+2=0

e. r : x−5 y+3=0 A(−3 ,−2)

retta parallela1(x+3)−5 ( y+2)=0 x−5 y−7=0

f. r :9 x−2 y+3=0 A(1 ,−1)

retta parallela9( x−1)−2 ( y+1)=0 9 x−2 y−11=0

9. Scrivere l'equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione data e passante peril punto indicato:

Due rette di equazione r : a x+b y+c=0, s : a ' x+b ' y+c ' =0 sono perpendicolari quandor⃗⋅⃗s=0


r⃗= A⃗P=P− A=( x− x A , y−y A)

condizione di perpendicolaritàDue vettori u⃗ , v⃗ sono ortogonali sse u⃗⋅⃗v=0

n⃗⋅⃗AP=0 r : a( x− xA)+b ( y− y A)=0

a. r :7 x+5 y+3=0 A(1 ,2) r⃗ (5 ,−7)

retta perpendicolare5(x−1)−7( y−2)=0 5 x−7 y+9=0

b. r : x+3=0 A(5 ,−1) r⃗ (0 ,1)

retta perpendicolare0( x−5)+1( y+1)=0 y+1=0

c. r :3 x+2 y+201=0 A(0 ,2) r⃗ (2 ,−3)

retta perpendicolare2( x−0)−3( y−2)=0 2 x−3 y+6=0

d. r : 2 y+3=0 A(10 ,−2) r⃗ (2 ,0)

retta perpendicolare2( x−10)+0( y+2)=0 x−10=0

e. r : x−5 y+3=0 A(−3 ,−2) r⃗ (5,1)

retta perpendicolare5(x+3)+1( y+2)=0 5 x+ y+17=0

f. r :9 x−2 y+3=0 A(1 ,−1) r⃗ (2 ,9)

retta perpendicolare2( x−1)+9( y+1)=0 2 x+9 y+7=0

10. Calcolare la distanza dei seguenti punti dalle rette a fianco indicate:

Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta r : a x+b y+c=0

d (P , r)=|a xo+b yo+c|

√a2+b2

a. A(1 ,2) dalla retta r :7 x+5 y+3=0

d (A , r)=|7+10+3|

√ 49+25=

20√74

b. A(3 ,3) dalla retta r : x+3=0

d (A , r)=|3+3|

√1=6

c. A(−1 , 2) dalla retta r :3 x−2 y−1=0

d (A , r)=|−3−4−1|

√9+4=

8√13

d. A(−3 ,2) dalla retta r : 2 y+3=0

d (A , r)=|4+3|

√4=

72

e. A(−5 ,2) dalla retta r : x−5 y+3=0

d (A , r)=|−5−10+3|

√1+25=

12√ 26

f. A(0 ,0) dalla retta r :9 x−2 y+3=0

d ( A , r )=|3|

√81+4=

3

√85

g. A(−1 , 2) dalla retta s :{ x=−4+ty=−2− t

Scriviamo la retta s in forma cartesiana:

s :{ x=−4+ty=−2− t

{ t=x+4y=−2−x−4

{ t= x+4x+ y+6=0

d ( A , r )=|−1+2+6|

√1+1=

7

√2

11. Calcolare l'area del triangolo ABC, sapendo che:

Area di un triangolo di vertici A( xA , y A) , B( xB , yB)eC (xC , yC )

Area=12|det( x B−x A yB− y A

xC−x A y C− y A)|

a. A(1 ,1) B (4 ,5) C (13 ,−4)

Area=12|det ( 3 4

12 −5)|=12|−15−48|=

632

.

b. A(1 ,1) B (4 ,2) C (2 ,3)

Area=12 |det (3 1

1 2)|= 12|6−1|=

52

.

c. AB : x+5 y−7=0 BC :7 x+ y+19=0 AC :3 x−2 y−4=0

Determiniamo i vertici A,B, C del triangolo:

A :{ x+5 y−7=03 x−2 y−4=0

{x=2y=1

B :{ x+5 y−7=07 x+ y+19=0

{x=−3y=2

C :{3 x−2 y−4=07 x+ y+19=0

{x=−2y=−5

d. A(2 ,1) B(−3 , 2) C (−2 ,−5)

Area=12 |det (−5 1

−4 −6)|=12|30+4|=17 .

12. Determinare l'angolo tra le due rette r ed s, nei seguenti casi:

Si definisce angolo tra due rette r :a x+b y+c=0, s : a ' x+b ' y+c '=0 l'angolo formato dai vettori direzione r⃗ , s⃗ ossia:

cos(ϑ)=|⃗r⋅⃗s|

‖⃗r‖‖s⃗‖, dove |cos (ϑ)|≤1 ; ϑ∈[0,π]

a. r : y=2 x+5 s :3 x+ y−3=0

r⃗ (1,2) s⃗ (1 ,−3)

cos(ϑ)=|1−6|

√5√10=

1

√2,

b. r :3 x−2 y−1=0 s :2 x+5 y−3=0

r⃗ (2 ,3) s⃗ (5 ,−2)

cos(ϑ)=|10−6|

√13 √29=

4

√13√29,

c. r :3 x−5 y+7=0 s :10 x+6 y−4=0

r⃗ (5,3) s⃗ (6 ,−10)

cos(ϑ)=|30−30|

√34 √136=0,

d. r :{ x=−4+ ty=−2−t

s :{x=−4+√3ky=−2+k

r⃗ (1 ,−1) s⃗ (√3,1)

cos(ϑ)=|√3−1|

2√2=

√3−12√2

,

e. r : x−√3 y+3=0 s :{ x=−4+ty=−2− t

r⃗ (√3 ,1) s⃗ (1 ,−1)

cos(ϑ)=|√3−1|

2√2=

√3−12√2

,

13. Scrivere l'equazione del fascio proprio di rette di centro C (3,5) .

Poiché le rette x−3=0 e y−5=0 sono due rette del fascio di centro C (3,5)possiamo scrivere:

F :a ( x−3)+b( y−5)=0che rappresenta il fascio richiesto.

14. Scrivere l'equazione del fascio improprio individuato dalla retta x+5 y−7=0.

Poiché tutte le rette del fascio hanno stessa direzione possiamo scrivere:

F : x+5 y+k=0che rappresenta il fascio richiesto.

15. Scrivere l'equazione del fascio improprio individuato dalla retta y=2 x+3.

Poiché tutte le rette del fascio hanno stessa direzione possiamo scrivere:

F :2 x− y+k=0che rappresenta il fascio richiesto.

16. Scrivere l'equazione della retta passante per A(2,−1) e per il punto comune alle rette :

r : 2 x+ y−1=0 s : x+3 y+2=0

La retta appartiene al fascio proprio generato da r e s:

F : a (2 x+ y−1)+b( x+3 y+2)=0

imponiamo il passaggio per il punto A:

a (4−1−1)+b(2−3+2)=0 2 a+b=0 b=−2a

per b=−2 a ricaviamo la retta:

a (2 x+ y−1)−2 a (x+3 y+2)=0 2 x+ y−1−2( x+3 y+2)=0

y+1=0

17. Determinare il centro del fascio proprio di rette :

(3 a+b) x−(a−b) y−5 a−3b=0

Il centro del fascio si può ottenere come intersezione di due rette qualsiasi del fascio, adesempio:

retta con a=b=1 4 x−8=0 retta con b=−3a −4 y+4=0

dalle quali si ricava il centro C (2,1)

18. Nel fascio individuato dalle rette

r : 2 x+ y−3=0 s : x+5 y−1=0determinare :

a. il centro del fascio.Il centro del fascio si può ottenere come intersezione di r e s

{2 x+ y−3=0x+5 y−1=0

{x=149

y=−19

C (149

,−19 )

b. la retta parallela all'asse x

y=−19

c. la retta parallela all'asse y

x= 149

d. la retta parallela alla retta r : 2 x+5 y−3=0

2 ( x−149 )+5( y+ 1

9 )=0 2 x+5 y−239

=0

e. la retta perpendicolare alla retta r : 2 x+5 y−3=0

5(x− 149 )−2( y+

19 )=0 5 x−2 y−8=0

f. la retta passante per il punto comune alle rette:

4 x+7 y−3=0 2 x+5 y−5=0

La retta cercata appartiene al fascio proprio generato dalle due rette:

F : a (4 x+7 y−3)+b(2 x+5 y−5)=0

affinché la retta passi per il centro C (149

,−19 ), si deve avere:

a (4 149

−7 19−3)+b(2 14

9−5 1

9−5)=0 a (4 14

9−7 1

9−3)+b(2 14

9−5 1

9−5)=0

229

a−229

b=0 b=a

si ottiene così la retta:3 x+6 y−4=0

19. Scrivere l'equazione della retta s appartenente al fascio improprio individuato dalla rettadi equazione 3 x+5 y−9=0 e passante per il punto A(2,2).

retta cercata:3(x−2)+5( y−2)=0 3 x+5 y−16=0

20. Determinare l'equazione della retta del fascio di equazione

a (2 x+ y−5)+b(3 x−2 y+1)=0e:a. passante per il punto A(3,−1)

affinché la retta passi per A(3,−1) si deve avere:

a (6−1−5)+b (9+2+1)=0 b=0

e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:

2 x+ y−5=0b. passante per l'origine

affinché la retta passi per O(0,0) si deve avere:

a (−5)+b(+1)=0 b=5a


17 x−9 y=0c. parallela all'asse y

a (2 x+ y−5)+b(3 x−2 y+1)=0 (2 a+3 b) x+(a−2 b) y−5 a+b=0

direzione del fascio u⃗(a−2b ,−2a−3 b)direzione dell'asse y j⃗ (0,1)

u⃗∥ j⃗ sse:

|a−2 b −2a−3b0 1 |=0 a−2 b=0 a=2 b


7 x−9=0d. perpendicolare all'asse y

direzione del fascio u⃗(a−2b ,−2a−3 b)direzione dell'asse y j⃗ (0,1)

u⃗⊥ j⃗ sse u⃗⋅⃗j=0

−2a−3b=0 a=−3 b2


7 y−17=0

e. parallela alla retta r : 4 x+3 y−5=0

direzione del fascio u⃗(a−2 b ,−2 a−3 b)direzione della retta r r⃗ (3,−4)

u⃗∥r⃗ sse:

|a−2 b −2 a−3 b3 −4 |=0 2a+17b=0 a=−

17 b2

sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:

28 x+21 y−87=0

f. perpendicolare alla retta s :2 x+3 y+7=0

direzione del fascio u⃗(a−2b ,−2a−3 b)direzione della retta r r⃗ (3,−2)

u⃗⊥ r⃗ sse u⃗⋅⃗r=03a−6b+4 a+6 b=0 a=0

sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:

3 x−2 y+1=0

21. Dato il fascio di equazione a (3 x−4 y−3)+b (2 x+3 y−1)=0 scrivere l'equazionedella retta del fascio che passa per il baricentro del triangolo di vertici

A(−1,2) , B(4,−4) e C (6,−1) .

Coordinate del baricentro di un triangolo di vertici A( xA , y A) , B( xB , yB)eC (xC , yC )

G ( x A+x B+ xC

3,

y A+ y B+ yC

3 ) G (3 ,−1 )

affinché la retta passi per A(3,−1) si deve avere:

a (9+4−3)+b(6−3−1)=0 b=−5a


7 x+19 y−2=0

22. Scrivere le equazioni delle rette passanti per il punto A(4,1) e formanti un angolo diπ4 con la retta di equazione 2 x+ y−4=0.

Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro A:

F :a ( x−4)+b( y−1)=0direzione del fascio u⃗(b ,−a)

2 x+ y−4=0 direzione della retta v⃗ (1,−2)

angolo formato da due rette:

cos (ϑ )=|⃗u⋅⃗v|

‖u⃗‖‖v⃗‖

1

√2=

|b+2 a|

√5√a2+b2

12=

(b+2a)2

5(a2+b2

)

12=

4a2+4a b+b2

5 (a2+b2

)

5 a2+5 b2

=8 a2+2 b2

+8 a b 3a2−3b2

+8ab=0 ⟨a=−3bb=3a

per a=−3b , otteniamo la retta 3 x− y−11=0

per b=3a , otteniamo la retta x+3 y−7=0

23. Dato il fascio di rette (2 a+b)x+(b−a) y+3 a+3 b=0

a. Determinare il sostegno del fascio.

Il fascio è generato dalle rette:

r : 2 x− y+3=0 s : x+ y+3=0

la loro intersezione ci fornisce il centro del fascio:

{2 x− y+3=0x+ y+3=0

{x=−2y=−1

C (−2,−1)

b. Trovare le rette del fascio parallele agli assi cartesiani.

direzione del fascio u⃗(b−a ,−2a−b)direzione dell'asse x i⃗ (1,0)

u⃗∥ i⃗ sse:

|b−a −2 a−b1 0 |=0 2a+b=0 b=−2a


y+1=0

direzione del fascio u⃗(b−a ,−2a−b)direzione dell'asse y j⃗ (0,1)

u⃗∥ j⃗ sse:

|b−a −2 a−b0 1 |=0 b−a=0 b=a


x+2=0

c. Trovare le rette del fascio che formano con l'asse delle x un angolo di π4

.

Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro C:

F :a ( x+2)+b( y+1)=0direzione del fascio u⃗(b ,−a)

direzione asse x i⃗ (1,0)

angolo formato dalle due rette:

cos(ϑ)=|u⃗⋅⃗i|

‖⃗u‖‖ i⃗‖

1

√2=

|b|

√a2+b2

12=

b2

a2+b2

a2+b2

=2b2 a2=b2 a=±b

per a=−b , otteniamo la retta x+ y+3=0

per a=−b , otteniamo la retta x− y+1=0

d. Trovare la retta t del fascio parallela alla retta s passante per A(−2,4) e B(1,1) .

direzione della retta s: A⃗B=B−A=(3,−3)

quindi, la retta cercata avrà equazione:

3(x+2)+3( y+1)=0 x+ y+3=0

24. Nel fascio individuato dalle rette r :3 x−2 y−4=0, s : x+6 y−3=0 si determinino:

a. le rette parallele ai due assi coordinatiIl fascio è generato dalle rette:

r :3 x−2 y−4=0, s : x+6 y−3=0

la loro intersezione ci fornisce il centro del fascio:

{3 x−2 y−4=0x+6 y−3=0

{x= 32

y=14

C ( 32

,14 )

rette parallele ai due assi coordinati:

x=32

; y=14

b. la retta appartenente al fascio a (x− y−2)+b(2 y−1)=0

affinché la retta passi per il centro C ( 32

,14 ) si deve avere:

a ( 32−

14−2)+b(2

14−1)=0 3a+2b=0 b=−

32

a

si ottiene così la retta:2 x−8 y+1=0

25. Dato il punto C (−3,2) si determinino:

a. l'equazione del fascio F di centro C;

Equazione del fascio di rette di centro C:

F :a ( x+3)+b( y−2)=0

b. le rette del fascio F con distanza 2 dall'origine;

Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta s : a x+b y+c=0

d (P , s)=|a xo+b yo+c|

√a2+b2

d (F ,C )=|3a−2 b|

√a2+b2

|3a−2b|

√a2+b2

=2 9 a2+4 b2

−12 ab=4 a2+4 b2

5a2−12a b=0 a (5a−12 b)=0 ⟨

a=0

b=5

12a

per a=0, otteniamo la retta y−2=0

per b=5

12a , otteniamo la retta 12 x+5 y+26=0

c. le rette del fascio che formano un angolo di π4 con l'asse delle x.

direzione del fascio u⃗(b ,−a)

direzione dell'asse x i⃗ (1,0)


cos(ϑ)=|u⃗⋅⃗i|

‖⃗u‖‖ i⃗‖

1

√2=

|b|

√ a2+b2

12=

b2

a2+b2 a2

+b2=2b2 a2

=b2 a=±b

per a=b , otteniamo la retta x+ y+1=0

per a=−b , otteniamo la retta x− y+5=0

26. Dato il punto C (1,2) si scrivano:

a. l'equazione del fascio F di centro CEquazione del fascio di rette di centro C:

F :a ( x−1)+b( y−2)=0 b. la retta del fascio F di direzione u⃗(3,2)

2( x−1)−3( y−2)=0 2 x−3 y+4=0

c. le rette del fascio F che formano un angolo di π4 con l'asse delle y.

direzione del fascio u⃗(b ,−a)

direzione dell'asse x j⃗ (0,1)


cos (ϑ)=|⃗u⋅⃗ j|

‖u⃗‖‖⃗ j‖1

√2=

|−a|

√ a2+b2

12=

a2

a2+b2 a2

+b2=2 a2 b2

=a2 b=±a

per a=b , otteniamo la retta x+ y−3=0

per b=−a , otteniamo la retta x− y+1=0

d. le rette del fascio F con distanza 3 dall'origine.

Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta s :a x+b y+c=0


√a2+b2

d (F ,C )=|−a−2 b|

√a2+b2

|−a−2b|

√a2+b2

=3 a2+4 b2

+4a b=9a2+9 b2

8 a2−4 a b+5 b2

=0 nessuna soluzione

e. la retta del fascio F ortogonale alla retta r :8 x−5 y−5=0

direzione della retta r r⃗ (5,8)

5(x−1)+8( y−2)=0 5 x+8 y−21=0

27. Date le rette r : k x− y−5=0, s :{ x=2+ ty=−3 k+t

, si determini la loro posizione al variare

di k∈ℝ .

Risolviamo il sistema:

{x=2+ t

y=−3 k+tk x− y−5=0

k (2+ t)−(−3 k+ t)−5=0.

2 k+k t+3 k−t−5=0 (k−1) t+5 k−5=0 (k−1) t=5−5 k

Studiamo l'equazione al variare di k:

k≠1, t=5−5kk−1

=−5 il sistema ammette una e una sola soluzione, le rette sono

incidenti.

k=1, L'equazione assume la forma 0=0, il sistema ammette ∞ soluzioni, le rettesono parallele e coincidenti.

28. Date le rette r : k x− y−5=0, s : x+k y−1=0 si determini la loro posizione alvariare di k∈ℝ .

Studiamo al variare di k il seguente sistema:

{k x− y=5x+k y=1

Un sistema di equazioni lineari Ax=b (m-equazioni in n-incognite) ammette soluzionisse il r (A)=r ( A∣b) .

A=(k −11 k ) (A∣b)=(k −1

1 k | 51)

det ( A)=|k −11 k |=k2+1≠0 ∀ k∈ℝ

det ( A)≠0, quindi r (A)=2=r (A∣b) , per il Teorema di Rouché Capelli il sistemaammette una e una sola soluzione, le due rette sono incidenti.

29. Tra le rette a distanza 2 dall'origine determinare quelle che contengono il puntoQ(1,−2) .

Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro Q:

F :a ( x−1)+b( y+2)=0

Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta s : a x+b y+c=0


√a2+b2

d (F ,C )=|−a+2 b|

√a2+b2

|−a+2b|

√a2+b2

=2 a2+4 b2

−4a b=4 a2+4 b2

3a2+4a b=0 a (3a+4 b)=0 ⟨

a=0

b=−34

a

per a=0, otteniamo la retta y+2=0

per b=−34

a , otteniamo la retta 4 x−3 y−10=0

30. Dopo aver studiato il fascio F generato dalle rette r : 2 x+ y−3=0 ed s : x+3 y+1=0

(proprio o improprio, centro o direzione) trovare gli eventuali valori che devonoassumere i parametri a e b affinché la retta t :a x+b y+a+b=0 appartenga al fascio F.

Il fascio è generato dalle rette:

r : 2 x+ y−3=0, con direzione r⃗ (1,−2)s : x+3 y+1=0 con direzione s⃗ (3,−1)

r⃗ , s⃗ non sono paralleli, il fascio è un fascio proprio.

Determiniamo il centro del fascio:

{2 x+ y−3=0x+3 y+1=0

{ x=2y=−1

C (2 ,−1 )

affinché la retta t :a x+b y+a+b=0 appartenga al fascio F si deve avere :

2 a−b+a+b=0 3 a=0 a=0

31. Sia B la proiezione ortogonale del punto A(4,−2) sulla retta r : 2 x−3 y+12=0rappresentare graficamente il triangolo AOB e trovarne area e perimetro.

Scriviamo l'equazione della retta s passante per A e perpendicolare alla retta r:

{ x=4+2 ty=−2−3 t

B=s∩r

{x=4+2 t

y=−2−3 t2 x−3 y+12=0

{x=0y=4

B(0,4)

Area=12|det (4 2

0 4)|= 12|16|=8.

p=OA+ AB+BC =2√20+4

32. Determinare l’equazione cartesiana del luogo geometrico dei punti equidistanti dallerette di equazione :

2 x− y+1=0 e x−2 y+3=0.

Equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due retteSiano date le rette

r : a x+b y+c=0 e s : a1 x+b1 y+c1=0è noto che:

Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da due rette incidenti è costituito dalle rette chesono le bisettrici degli angoli da esse formati.Indicato con P ( x , y) un generico punto del piano equidistante dalle due rette, per la formuladella distanza tra un punto e una retta, otteniamo:

|a x+b y+c|

√a2+b2=

|a1 x+b1 y+c1|

√a12+b1

2

ossia:

a x+b y+c

√a2+b2=±

a1 x+b1 y+c 1

√a12+b1

2

che sono le equazioni delle bisettrici.

Nel nostro caso:|2 x−y+1|

√5=

|x−2 y+3|

√5 |2 x− y+1|=|x−2 y+3|

2 x− y+1=±(x−2 y+3)bisettrici:

1. 2 x− y+1=x−2 y+3 x+ y−2=0

2. 2 x− y+1=−(x−2 y+3) 3 x−3 y+4=0

33. Fissato un sistema di riferimento ortogonale, si considerino i due punti A(2,−1) eB(−3,2) . Trovare l’equazione cartesiana del luogo geometrico dei punti equidistanti

da A e B.

L'asse del segmento AB è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagliestremi A e B.Determiniamo la direzione A⃗B e il punto medio M del segmento AB .

A⃗B=B−A=(−5, 3) direzione ortogonale all'asse del segmento AB .

y=6 retta passante per A e B

Punto medio M ( x A+ xB

2,

yA+ y B

2 ): M (−12

,12 )

L'asse del segmento AB è la retta che passa per M ed è ortogonale alla direzione A⃗B :

s :−5 ( x+12 )+3( y− 1

2 )=0 5 x−3 y+4=0

34. Dati i punti O(0,0) , A(3,0) e B(2,3) , determinare le coordinate del puntod'incontro delle altezze del triangolo OAB.

Le tre altezze di triangolo si incontrano in un unico punto detto ortocentro.Determiniamo le direzioni O⃗A ,O⃗B e A⃗B

O⃗A=A−O=(3,0) , O⃗B=B−O=(2,3) e A⃗B=B−A=(−1,3) .

altezza lato OA : 3(x−2)+0( y−3)=0 x−2=0

altezza lato OB : 2 ( x−3 )+3 ( y−0 )=0 2 x+3 y−6=0

altezza lato AB : −1 ( x−0 )+3( y−0)=0 x−3 y=0

L'intersezione tra due altezze ci fornisce l'ortocentro:

{ x−2=0x−3 y=0

{x=2

y=23

35. Dati i punti O(0,0) , A(4,0) e B(2,4) , determinare le coordinate del puntod'incontro degli assi del triangolo OAB.

Gli assi dei tre lati del triangolo si incontrano in un unico punto detto circocentro.Determiniamo le direzioni O⃗A ,O⃗B e A⃗B e i punti medi dei segmenti OA ,OB e AB .

O⃗A=A−O=(4,0) , O⃗B=B−O=(2,4) e A⃗B=B−A=(−2,4) .

M (2,0) punto medio del segmento OA .

N (1 , 2 ) punto medio del segmento OB .

R (3 , 2 ) punto medio del segmento AB .asse del segmento OA : 4 (x−2)+0( y−0)=0 x−2=0

asse del segmento OB : 2 ( x−1 )+4 ( y−2 )=0 x+2 y−5=0

asse del segmento AB : −2 ( x−3 )+4( y−2)=0 x−2 y+1=0

L'intersezione tra due degli assi ci fornisce il circoncentro

{ x−2=0x−2 y+1=0

{x=2

y=32

36. Date le rette r : x+ y+2=0 , s :{ x=5+3 ty=−1−t

dopo aver verificato che appartengono ad

uno stesso fascio proprio F , determinare le rette di F :

r ha direzione r⃗ (1,−2)s ha direzione s⃗ (3,−1)

r⃗ , s⃗ non sono paralleli, il fascio è un fascio proprio.

Determiniamo il centro del fascio:

{x=5+3 ty=−1−t

x+ y+2=0

(5+3 t )+(−1−t )+2=0.

2 t +6=0 t=−3 {x=−4y=2

C (−4 ,2 )

Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro C:

F :a ( x+4)+b ( y−2)=0

a. parallele alla retta x −3 y4=0 ;

1(x+4)−3( y−2)=0 x−3 y+10=0

b. perpendicolari alla retta 2 x3 y4=0 ;

3(x+4)−2 ( y−2)=0 3 x−2 y+16=0

c. formanti un angolo di 45° con la bisettrice del 2° Quadrante.

Bisettrice del 2° quadrante:x+ y=0 con direzione v⃗ (1,−1)

direzione del fascio u⃗(b ,−a)angolo formato dalle due rette:

cos(ϑ)=| u⃗⋅⃗v |

‖⃗u‖‖v⃗‖

1

√2=

|b+a|

√2√a2+b2 1=

|b+a|

√a2+b2 1=

a2+b2+2a b

a2+b2 a2

+b2=a2

+b2+2 ab

2 a b=0 ⟨a=0b=0

per a=0, otteniamo la retta y−2=0

per b=0, otteniamo la retta x+4=0

37. Trovare la direzione r della retta r : 2 x− y−1=0 e le coordinate del punto A ,centro del fascio di rette di equazione (3a+2b) x+(a− b) y+6a− b=0 . Determinare,inoltre, l’equazione della retta passante per A ed avente direzione normale parallela allaretta r .

Il centro del fascio si può ottenere come intersezione di due rette qualsiasi del fascio, adesempio:

retta con a=b=1, 5 x+5=0

retta con b=−32

a52

y+152

=0

dalle quali si ricava il centro C (−1,−3)

direzione della retta r: r⃗ (1,2)

retta cercata:1(x+1)+2( y+3)=0 x+2 y+7=0

38. Studiare, al variare del parametro t∈ℝ , il sistema {(4−t ) x+(t−1) y= tt x+ y=t e dare

un'interpretazione geometrica in ℝ2 dei risultanti ottenuti.

{(4−t ) x+(t−1) y= tt x+ y=t

Un sistema di equazioni lineari Ax=b (m-equazioni in n-incognite) ammette soluzionisse il r (A)=r ( A∣b) .

A=(4−t t−1t 1 ) (A∣b)=(4−t t−1

t 1 | tt )

det (A)=|4−t t−1t 1 |=4− t− t2

+ t=4−t 2

Studiamo i vari casi:

per t≠±2, det ( A)≠0, quindi r (A)=2=r (A∣b) , per il Teorema di Rouché Capelliil sistema ammette una e una sola soluzione, le due rette sono incidenti.

per t=−2, la matrice assume la seguente forma:

(A∣b)=( 6 −3−2 1 | −2

−2)si vede facilmente che r (A)≠r ( A∣b) , per il Teorema di Rouché Capelli il sistema nonammette soluzione, le due rette sono parallele e distinte.

per t=2, la matrice assume la seguente forma:

( A∣b)=(2 12 1 | 2

2)si vede facilmente che r (A)=r ( A∣b)=1, per il Teorema di Rouché Capelli il sistemaammette ∞

1 soluzioni, le due rette sono parallele e coincidenti.

Documents

PIANO 1. - people.unica.itpeople.unica.it/carlomei/files/2014/03/sol_piano.pdf · AB=|5−0|=5 2. Calcolare le ... Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante