Piastre_TeCoEA2010jk l i l

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  • 1

    LAUREA QUINQUENNALE IN ARCHITETTURA INGEGNERIA

    a.a. 2009-2010

    CORSO DI

    TECNICA DELLE COSTRUZIONI

    Prof. Roberto Capozucca

    APPUNTI DI CALCOLO ELASTICO DELLE

    PIASTRE SOTTILI

    Generalit

    E tradizione consolidata dei corsi di Tecnica delle Costruzione delle Facolt di

    Ingegneria riprendere lanalisi dei continui elastici bidimensionali piastre e lastre

    o quelli di a sviluppo spaziale gusci, per le numerose applicazioni che si

    riscontrano nella pratica tecnica delle strutture in cemento armato, in acciaio o nelle

    pi tradizionali strutture in muratura di edifici monumentali.

    In quanto segue lattenzione sar rivolta alla teoria delle piastre sottili in

    grado di mantenere un regime flessionale prevalente a quello membranale e costituite

    di materiale isotropo. Il problema dellequilibrio elastico della piastra sottile viene

    ricondotto alla soluzione di unequazione differenziale alle derivate parziali,

    associata a particolari condizioni al contorno, in cui la superficie elastica

    incognita. Soluzioni ancora efficaci per gli ingegneri strutturisti sono praticabili

    mediante uno sviluppo in serie di funzioni che, per la rapida convergenza delle serie

    adottate, permettono di determinare i valori degli spostamenti e sollecitazioni in

    modo semplice ed utile per il controllo di soluzioni spesso onerose ottenibili con

    codici di calcolo agli elementi finiti usualmente utilizzabili.

    Si discutono le soluzioni con lo sviluppo in serie semplici ed in serie doppie.

    Inoltre, come esempio applicativo, si controlla il comportamento di un modello

    sperimentale di piastra quadrata in conglomerato cementizio rinforzato appoggiata su

    tutti i lati sottoposta ad un carico distribuito su unarea quadrata limitata.

  • 2

    2 Propriet dei materiali e legge dellelasticit

    Nello studio del continuo si considera che i materiali posseggano alcune

    particolari propriet fisiche. In particolare, un materiale si definisce perfettamente

    elastico se a seguito della rimozione del carico riassume completamente la forma

    originaria. Matematicamente la propriet elastica descritta dalla legge di Hooke.

    Un corpo che mostra lo stesso comportamento elastico in tutte le direzioni

    chiamato isotropo.

    Nel caso in cui il corpo possieda differenti propriet elastiche nelle due

    direzioni ortogonali detto ortotropo. Lortotropia solo un caso particolare di

    anisotropia. Nellanalisi delle strutture impiegate nellingegneria si distinguono due

    tipologie di elementi ortotropi: lortotropia naturale, conseguente alle propriet

    fisiche del materiale che differiscono lungo le varie direzioni, lortotropia

    strutturale, che comprende gli elementi rinforzati per motivi di resistenza e stabilit,

    come le piastre nervate. Le propriet elastiche variabili in questi casi possono essere

    espresse dalle differenti rigidezze torsionali e flessionali nelle due direzioni. In

    campo elastico questo secondo gruppo pu essere trattato con la stessa teoria

    impiegata per le piastre ortotrope con qualche modifica.

    Per la soluzione del problema della distribuzione delle tensioni e delle

    deformazioni in un corpo isotropo, necessario utilizzare equazioni che tengano

    conto delle stesse propriet nelle varie direzioni.

    La relazione generale di elasticit esprimibile nel modo seguente

    klijklij C (1)

    Secondo la notazione di Voight:

    333331

    232221

    131211

    ;;

    ;;;

    ;;;

    zzyzx

    yzxyx

    xzxyx

    (2)

    Esplicitando una delle componenti di tensione (ad esempio x ), si ricava:

    31113123112322112221112113111312111211111111 CCCCCCCx

    331133321132 CC

  • 3

    In generale, ogni componente di tensione si scrive attraverso 9 costanti elastiche;

    essendo 9 il numero delle componenti di tensione ( ij per i,j=1,3) si ottengono 81

    costanti elastiche. Poich risulta jiij e jiij , le componenti di tensione

    indipendenti sono 6 e quindi le costanti della (3.1) diventano 36. L'equazione (3.1),

    per le condizioni di elasticit di Green, richiede che sia verificata anche la seguente

    condizione:

    ))(())(( ijklklij CC (3)

    Quindi le 36 costanti elastiche si riducono a 21. Se ci sono simmetrie del materiale,

    le 21 costanti presenti nei legami possono essere ancora ridotte.

    MATERIALE ANISOTROPO

    L'equazione (3.3) pu essere scritta in forma matriciale esplicitando le 21 costanti:

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    =

    666564636261

    565554535251

    464544434241

    363534333231

    262524232221

    161514131211

    cccccc

    cccccc

    cccccc

    cccccc

    cccccc

    cccccc

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    (4)

    essendo le costanti ijc (i,j=1,6) legate alle costanti ijklC (i,j,k,l=1,3) dell'equazione

    (1). Per esempio :

    111111 Cc ;

    112315 Cc ;

    121244 Cc ;

    .

    MATERIALE ORTOTROPO

    Un materiale ortotropo possiede una simmetria elastica rispetto a 3 assi

    perpendicolari. Considerando le coordinate dei tre assi x,y,z perpendicolari a tre

    piani di simmetria, si possono determinare alcune relazioni tra le costanti

    dell'equazione (3.4). Si hanno quindi solo 9 costanti elastiche:

  • 4

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    =

    66

    55

    44

    33

    2322

    131211

    00000

    00000

    00000

    00000

    0000

    000

    c

    c

    c

    c

    cc

    ccc

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    (5)

    Se si utilizzano le notazioni dei moduli elastici definiti ingegneristicamente si

    perviene alla seguente forma dei legami elastici:

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    =

    zx

    yz

    xy

    zy

    yz

    x

    yz

    z

    zy

    yx

    xy

    z

    zx

    y

    yx

    x

    G

    G

    G

    EEE

    EEE

    EEE

    100000

    01

    0000

    001

    000

    0001

    0001

    0001

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    (6)

    Sono inoltre presenti ulteriori legami:

    ;)21(

    ;)21(

    ;)21(

    xzxz

    xzzx

    zyzy

    zy

    yz

    yxyx

    yx

    xy

    EE

    EEG

    EE

    EEG

    EE

    EEG

    (7)

    in cui

    zyx EEE ,, = moduli di Young nelle direzioni x,y,z;

    zxyzxy GGG ,, = moduli di taglio per piani paralleli, rispettivamente, alle

    coordinate x-y,y-z e z-x. (per esempio, il modulo di xyG caratterizza la deformazione

    xy prodotta dalla tensione tangenziale xy );

  • 5

    ij (i,j=x,y,z) = coefficienti di Poisson che caratterizzano la deformazione di

    compressione nella direzione j (direzione dell'effetto) prodotta dalla tensione di

    trazione nella direzione i ( direzione dello sforzo).

    Per le condizioni di simmetria espresse dalle relazioni di Green, si ha inoltre:

    zxxxzz

    yzzzyy

    xyyyxx

    EE

    EE

    EE

    (8)

    L'equazione (6) contiene 12 costanti, ma soltanto 9 sono indipendenti essendo

    valide le relazioni (8).

    MATERIALE ISOTROPO

    Lisotropia rappresenta la pi completa simmetria di comportamento e riconduce il

    legame elastico lineare a 2 sole costanti indipendenti, per cui i legami costitutivi per

    un materiale elastico lineare ed isotropo risultano in definitiva:

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    =

    G

    G

    G

    EEE

    EEE

    EEE

    100000

    01

    0000

    001

    000

    0001

    0001

    0001

    zx

    yz

    xy

    z

    y

    x

    (9)

  • 6

    3 Legami costitutivi per piastre isotrope

    Nel caso delle piastre isotrope, in cui il continuo elastico costituito da un

    solido bidimensionale con riferimento xoy, le relazioni elastiche sono espresse nel

    modo seguente:

    G

    EE

    EE

    xy

    xy

    yxy

    yxx

    (10)

    essendo G il modulo di taglio esprimibile con

    )1(2

    E

    G (11)

    Le deformazioni x e y sono state ottenute utilizzando il principio di

    sovrapposizione degli effetti. Infatti, se si considera un elemento di piastra isotropa,

    rappresentato in Fig. 3.1, con i lati paralleli agli assi coordinati e soggetta allazione

    della tensione normale s x uniformemente distribuita sui due lati opposti, lampiezza

    dellelongazione in direzione x data dallespressione:

    E

    xx

    (12)

    in cui E il modulo elastico per la piastra ortotropa in direzione x.

    Lestensione dellelemento in direzione x accompagnata dalla contrazione

    laterale in direzione y data dallespressione:

    E

    x (13)

    in cui il rapporto di Poisson che rappresenta il coefficiente di contrazione in

    direzione normale allasse delle x per sollecitazione in dir