6
l (l 1)n 2 +1 2n A l PI n (l 1)n 2 /4+1 A (n 1) A (l 2)(n 1) 2 A Ht Y (A) Y = {u 1 ,u 2 ,...} Ht Y (A) x A x = i α i u k (i,1) j (i,1) u k (i,2) j (i,2) ...u k (i,r i ) j (i,r i ) , {r i } Ht Y (A) Y A W n W = W 0 W 1 ...W n W 1 ,...,W n n H n Φ(l, n)=2 87 l · n 12 log 3 n+48 . n (n 1) n l 2 (2,l,n) (2,l,n)= (2l 1)(n 1)(n 2) 2 .

Piecewise periodicity structure estimates in Shirshovâs height theorem

  • Upload
    m-i

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

���� �������� �� ��� ������ ��� ���������� �������� ��� ���� ! ��� � ""� � #� � �© $������� %�� ���� ����&��'���� (� ��� )�*� �© ���� +��������� ��� "�,�� ��- �� �� ���. �� .�� .�'� ������ ����� ��������.�� ��.����.� ������� ! ��� � ""� ��#� �

��������� ��������� �� � �� ��������� ���������� ����� �������

�� �� �������

������ ���� �� ������ ������� �� �������� ��� �����������

������� ����� ������� ������ ������

�������� ������ � � ����

������������ ���������������� �������� �� l���������� ������� ������� �� ����� �� (l − 1)n2 + 1 !�� �� ��� "��#���$�����%& ������� ��� ����� ������ �� ��� �������& �� ���� ������ �� 2n ������ '�& ��� ��������� ������ �� A ���� �� l���������� PI������� �� ������ n ���� ����& ��� �� '���� ��������� ���� (l− 1)n2/4 + 1 (� ���� )�)�� '� )���� ���� �� A ��� � *���� ���������������� ������������� ��� ���� �� ��+������)������& ��)����� ��'���� '��� ��� )����� (n− 1) �� ���� ����� ��A �� ��� ������� ���� (l− 2)(n− 1) ��� ���� �� ��'���� '��� ��� )����� 2 ��� � ��������#�� �� ���)���� �� ,�������-� ������ ������

���� ������������������������

�� �� �������

� ���� �������� ������ ��� � !�"� ���#�$ $�����!� ��� %�� �&�������� �� ' () *#�+� A �� , **�� � *#�+� -�$� ������� ���� HtY (A) ���� �� �� �����

Y = {u1, u2, . . .} �� HtY (A) �� $�� !���! * �"!+�� �",� $� $ �. -��� x ���! A , � +� ��������$�� �� $�����!

x =∑

i

αiuk(i,1)

j(i,1)uk(i,2)

j(i,2). . . u

k(i,ri)

j(i,ri),

�� {ri} �� +�"���� �� ,�!!�� +. $�� � *"� HtY (A)� ��� ��$ Y �� �������� $� � ���������� � ��� ��� A�������� � ' -��� W �� � �� $� +� n�� ����� ��� �� �$ , � +� ��������$�� �� $�� ���! W =

W0W1 . . .Wn� -���� $�� �"+-���� W1, . . . ,Wn ��,�� �� *�/�,�#� ���, **.���������� ����� ������ %�� �&� ��� �� �� �� ��� n�� ����� ��� ����� �� ������ ���� ��

���� ��� � ��������� �������� � ������ � � ������� ���� H ���� �� �� �� ����� �� ����� ����� � n�

���� ���+*�! �$�** $$� ,$� $�� ��$����$� ��- ��* $�� 0"��$���� $�#�$��� -�$� $$�!�$� $� ��*�� $��! ��� �1���� ��#�� %�2�&3� $ - � ���-� �� %& $� $ "���� ,����$���� �� ��������4� $�����! $�� ���#�$ �� *��� $� �

Φ(l, n) = 287l · n12 log3 n+48.

� $��� � ��� $�� �����+�*�$��� $� �+$ �� � �/ ,$ ��$�! $� �� �$"����� ��� �����$�# $���� #� �� $����**�-��# $-� ����,$����5

�3 $�� �� �,� �� $�� *� �$ "���� ��$�! $�6�3 $�� �� �,� �� ���)n)� �$�$��� +*� -��� �� !��$ �����+*� ���#�$�� ����� $� ��7�� $�� ��$�! $�� �� ��������4� ���#�$ $�����! �+$ ���� ������"�*. �� %&� �$ �� ��,��� �. $�

��$�! $� $�� ��*�,$��� ���#�$ ���� $�� ��$� �� ,.,*�, -���� -�$� ����,��+�� *��#$�� 8� ,������� $�� , ��-��� $��� *��#$� �� �0" * $� (n− 1)� ��� ��**�-��# ������! - � ������ �� %��&�

������ �� ��� �� �� �������� ���� �� �� �� �� �� ������ n�� ����� ��� ����� ���� � ��� ����� l ����� ��� ������ � �� �� �� ������ ����� �� ���� 2 �� ��� �(2, l, n)� �����

�(2, l, n) =(2l− 1)(n− 1)(n− 2)

2.

���� $�����! � � �$� �-� � *"� +�, "�� �� $��� � ��� $�� ����� �� ��������4� $�����! �� ���",�� $� �$ +.!� �� �� ��,����#�

�9

.(/0/1(,/ ./�(2!(0(�3 ,��40�4�/ /,�(5"�/, ��

�� :'� ;��<�� �= �>; ('(;

������ � ��� ������ � ���� �� � l����� �� PI� ���� ��� � ��������� �������� � ������ ������� n ���� �� �� �� ����� ����� ���� ���� �� ������ n− 1 �� ���� � � Υ(n, l)� �����

Υ(n, l) = 8(l+ 1)nn5(n− 1).

� %&� $�� ���#�$ �� ���� l)#���� $�� *#�+� A -�$� � ����$�$. �� ��#��� n - � ��$�! $�� +. $���"! �� Ψ(n, 4n, l) �� $�� �����$� * ���#�$ �� $�� *#�+� A� -���� Ψ(n, d, l) = 218l(nd)3 log3(nd)+13d2. ��"��������! � �!�*��� $�� ��**�-��#

������ �� ��� ���� �� � l����� �� PI� ���� ��� � ��������� �������� � ������ �� ����� n���� �� �� �� ����� ��� ����� �� �������� n− 1 �� ���� � � Φ(n, l)� �����

Φ(n, l) = 8(l + 1)nn6.

� ����� $� �$"�. $�� #���� * , ��� �$ �� "���"* $� ��$�! $� $�� *��#$� �� ���,�-��� �������, * -���� -�$����$��,$ *��#$�� �� ��������

������ �� ��� �� �� �������� ���� �� �� �� �� �� ������ n�� ����� ��� ����� ���� � ��� ���������� �� l ����� ��� ������ � �� �� �� ������ ����� �� ���� (n− 1) ���� �� ������ �(n− 1, l, n)������

�(n− 1, l, n) = (l − 2)(n− 1).

��� �! ** �� * �#� ��*�,$��� ���#�$� �� ,����,$�� � ��**�-�������� �� ��� � �� �������� ���� �� � l����� �� PI� ���� ��� � ��������� �������� � ������

�� ����� n ���� �� �� �� ������ ����� �� ���� k �� ���� � � 2(n− 1)�(k, l, n)���� ��$�! $� ���! ������! � �� ,$�, **. ���� $� $���� �+$ ���� �� %��& +. ?�*��� +"$ �"� ��$�! $��� ��

+ ��� �� �$��� !�$����� �� � �$�,"* �� �� $�� "�� �� "@. #� ���� � W �� -��� ���� � *�� +�$ A� $���

� ��� k�� �� �� ��7��� � ��**�-�� $� ���$�,�� ,��������� $� ���$��,$ �"+-���� �� *��#$� k �� $�� -��� W �'� ���- #��� ���! ���$�/ w1 $� ���$�/ w2 �� �� ��*. �� $�� ! /�! * �"A/ �� w1 ,���,���� -�$� $��! /�! * ���7/ �� w2� ����� w1 = a1u� w2 = ua2� -���� a1, a2 ∈ A�

��"�� $�� -��� W ,���������� $� ��!� ��"$� �� $�� "@. k)#� ��� =�/ ����$��� ��$�#�� k� ����������! � , � +� �����!"* $�� � ��**�-��

������ �� � A �� � ��� �� �������� �� l ������ !�� � ���� �� ������� ����� n� ���� ����

������� N = N(n) �� d = d(n) ���� � ���� �� �� ����n�� ����� ��� ���� W ���� �� ��� ��A �� �� � ��� k�� �� ��� ��� ���� � � Υ(n, l) ������ �� �� ���� ���� � � n �� ���� � �� ����

� ���� ��� ���� � � d(n) �����

�� <�8; ?�����

��!� �� $�� ���"*$� �+$ ���� -�$� $�� ���#�$ *�-�� +�"���� ��� ���#�$ �� � *#�+� A �� ��$ *��� $� � �$�B�*� ��2C���**�� ��!������ GK(A)� =�� $�� *#�+� �� l)#���� $�� ! $��,�� �� #���� * ����� n $��� ��!�������� �0" * $� (l − 1)n2 + 1 1��� %��� ��&3� '$ $�� � !� $�!�� $�� !���! * ��#��� �� ����$�$. �� $��� *#�+� ���0" * $� 2n �� ,,��� �,� $� $�� '!�$@"�2<���$�D. $�����!� ��� ��**�-��# ����$��� �� � *���

������� �� ��� ���� �� � l����� �� PI� ���� �� ����� m �� ��� �� �� �� �� ����m�� ����� ��� ����� ���� � ��� �� �������� �� l������ �� �� ���� � � (l − 1)m2/4 + 1�

���� ��$�! $� �� *��� � -�$� �����,$ $� $�� �"!+�� l �� #���� $����<�-�� ��$�! $�� ��� $�� ��*��$��,. ����/ -��� �+$ ���� �� %�E& +. C"@4!��� >� ������$�� � �/ !�*� ��

2)#���� $�� *#�+� -�$� $�� ����$�$. xn = 0 -���� ��*��$��,. ����/ �� �$��,$*. #�� $�� $� � (n2 + n− 2)/2�'$ $�� � !� $�!�� �� $�� , �� �� ,� � ,$����$�, @��� �� ,�"�$ +*� ��$ �� #���� $��� @!.�*�� %�& #�$ �"���� ��$�! $� ��� $�� ��*��$��,. ����/ �0" * $� n2�

E� :'� ����;(��

52,021 4�(6/�,(�3 5"�7/5"�(0, 84$$/�(� 6�� 9: �� � ���;

�� �7"�(�2�26

������� �� ' -��� u �� � �� $� +� ������ �� u , ���$ +� ��������$�� �� $�� ���! vk� -���� k > 1�k ∈ N� 8���� u �� v �� � �� $� +� �������� � ��� �� ��� �� $��! �� ���7/ �� ��$���� 8���� u �� v �� , **�� ������ ���� � ��� �� �. $���� ,.,*�, * ����$� �� ,�!� � +*��

���� �� <�$ a1, a2, . . . , al +� *�$$��� �� � *�� +�$� ��� � ��� �� $�� *�$$�� ai �� �0" * $� i +.��7��$���6 ai �� *�/�,�#� ���, **. #�� $�� $� � aj �� �� ��*. �� i > j�

��$� $� $ $�� ,��,��$ �� ���� ���� ������ � �$�$���� $�� -���� ��$� �0"�� *��,� ,* ������������ �� ' ���������� �� ��!� -��� u $�#�$��� -�$� ** �$� ,.,*�, ����$��������� �� 8� � . $� $ � *#�+� A � � $�� ������ � ���� h = HEss(A) ���� 7��$� ��$ Y -��,� ��

�������� $� � � s�� ��� �� �� ���� A �� �$ �� �����+*� $� ,����� 7��$� ��$ D ⊂ A �",� $� $ A �� *��� �*.��������$�� +. �*�!��$� �� $�� ���! t1 · . . . · tl� -���� l ≤ 2h+ 1� �� $�� ��* $��� (ti∈D ∨ ti = yki

i ; yi ∈ Y )�� � *�� ��� �. i� �� $�� ��$ �� ����,�� i �",� $� $ ti �∈ D ,��$ ��� $ !��$ h �*�!��$�� ��� ������ � ������ ��$ �� -���� �� ��7��� ��!�* �*.�

������� �� 1 3 ��� �"!+�� h �� , **�� $�� �� �� �������� ���� -�$� $�� +�"�� �. k �� -��� W���� ��$ Z �� -���� �� h �� $�� ! /�! * �"!+�� �",� $� $ W ,��$ ��� h � ��-��� ���)��$����,$��# �"+-������ $�� ���! zm� -���� z ∈ Z �� m > k�

1+3 ��� �"!+�� h �� , **�� $�� � �� �������� ���� -�$� $�� +�"�� �. k �� -��� W ���� ��$ Z ��-���� �� h �� $�� ! /�! * �"!+�� �",� $� $ $�� -��� W ,��$ ��� h � ��-��� ���)��$����,$��# �"+-���� ��$�� ���! zm� -���� z ∈ Z� m > k� �� $�� ���#�+����# �"+-���� �� $��� ��*�,$��� �� ���),�!� � +*��

1,3 ��� -���W �� � �� $� +� ������ n�� ����� ��� �� �$ , � +� ��������$�� �� $�� ���!W = W0W1 . . .Wn

-���� $�� �"+-���� W1, . . . ,Wn ��,�� �� *�/�,�#� ���, **. �� � ,� -��� Wi� i = 1, 2, . . . , n� +�#��� -�$���!� -��� zki ∈ Z� -���� ** zi �� ��F����$�

1�3 ��� �! ** 1* �#�3 ��*�,$��� ���#�$ �� ��$ V �� -���� ���� ��!� ��$ �� -���� Z �� �0" * $� h �� h ��$�� *� �$ "���� +�"�� �� $�� �! ** 1�����,$���*.� * �#�3 ��*�,$��� ���#�$� �� $�� �*�!��$� �� V ���� Z�

>��� �� +�*�- k = 2n�����! **. ��� D��#� �. *��# -��� �� ����",$ �� �������, * � �$� �� ��!� G7**���H �� +�"���� *��#$��

��� ������ � ���� �� $�� �"!+�� �� $���� �������, * ���,�� �� $�� �������� � ���� $ D�� ��$� ,,�"�$��*. $�� ���,�� �� ���,� * ���!�

'� s)+ ��� �� ��������4� + ��� �� �� ��*. �� �$ #���� $�� A � � *#�+� � �* $���� +�$-��� $�� �����$� *���#�$ �� $�� B�*� ��2C���**�� ��!������ - � ,��������� �� %E&�

��� ������ �� n�� ����� ����� �� "�������� ������� ��� �!���$ �,� �� $�� n�� ����� ����� ,��,��$#��� +�.��� $�� �,��� �� ?"������ $.�� ���+*�!�� $ -��D� �� $�� �$"�. �� ��*.*��� � -����� ��$�! $��� ��$�� �"!+�� �� �",� -����� -���� -��� �� , **�� �������� � �� � ,� *�$$�� ��� �� �� �$ $ !��$ ��,�� < $.����"��� ��*-��$�4� $�����! $� �+$ �� � ��$�! $� ��� $�� �"!+�� �� ���)m)� �$�$��� +*� ��*.*��� � -���� ����#��� n ���� � *�� +�$ {a1, . . . , an}� ���� ��$�! $� �� �0" * $� (m− 1)

2n �� �$ �� ,*��� $� �� *�$.� �, **

$��� $�����!��� !���� ������ � n �� �� �� �� ������ �� ������� �� � ���� �� �� ���� ���� � �� ���

������� �� M � ���� M � � �� � ������� ��� n � ������ ������������� �� ����

� ���9� ���*��D�� 7��$ �"##��$�� $� ��*. $��� ��� $� $�� ���)��*.*��� � , ���

� ( ��= �= �>;� ;: E

� -� $ ��**�-� -� ��"!� $� $ $�� -���� �� ,���$�",$�� ���� � *�� +�$ A ,�����$��# �� *�$$���

{a1, a2, . . . , al} �� $� $ $�� *�/�,�#� ���, * ����� �� 7/�� ���� �$ �� $� $ ai < aj ��� i < j� =�� ������ +�*�--� ����$��. $�� *�$$��� ai -�$� $���� ����,�� i 1����� -� -��$� $�� -��� ij ���$� � �� $�� -��� aiaj3�

<�$ -��� W +� ���)n)� �$�$��� +*�� '� +���� ,������� ��!� ��$ �� � ��-��� ���)��$����,$��# ���),�!� � +*� �"+-���� �� $�� -��� W � ���# $�� ���! zm� -���� m > 2n �� z �� � ,.,*�, -��� ,�����$��#�� (n− 1) *�$$���� ;*�!��$� �� $��� ��$ �� �������� $� � �������� ���� D�����# �� !��� $� $ $���� �*�!��$� �� ��������$ $���� �� ���$��,$ �0"�� *��,� ,* ���� -�$� �����,$ $� $�� �$���# ,�!� � +�*�$.� <�$ -� � �� t�",� ��������$ $����� ;�"!�� $� $��! ** �� ,,��� �,� $� $���� *�, $��� �� $�� -��� W +. $�� �"!+������! 1 $� t 1$�� 7��$ ��� �� $�� ,*����$ $� $�� +�#�����# �� $�� -���3� ; ,� ,����� ��������$ $��� ,��$ ����/ ,$*. (n− 1) ���$��,$ -���� ,�����$��# �� (n− 1) *�$$��� � �"+-���� �

��7�� � ����� �� $�� ��$ �� $���� -���� � ��**�-�5 u ≺ v ���3 u �� *��� $� � v *�/�,�#� ���, **.6�3 $�� ��������$ $��� ,��$ ����# u �� *�, $�� $� $�� *��$ �� $� $ ,��$ ����# v���� ���)n)� �$�$��� +�*�$. �!�*��� $� $ $�� ! /�! * �����+*� �"!+�� �� � ��-��� ���),�!� � +*� �*�!��$�

�� �0" * $� n − 1� �"� $� ��*-��$�4� $�����!� $���� �/��$� � �$�$��� �� $�� (n − 1))*�$$�� -���� "����

52,021 4�(6/�,(�3 5"�7/5"�(0, 84$$/�(� 6�� 9: �� � ���;

.(/0/1(,/ ./�(2!(0(�3 ,��40�4�/ /,�(5"�/, ��

,������� $��� ��$� (n− 1) ,� ���� ��*�� $�� -���� ��$� (n− 1) ,�*��� �� ,,��� �,� -�$� $���� +�*��#��# $�$�� ,� ���� ��*�� $�� �* ,�� -���� $�� -���� �$ �$ +. $�� ,�*��� �� $�� ,�����������# -�����

�������� � �����$�� #� �� G -�$� ���$�,�� �� $�� ���! (k, i)� -���� 0 < k < n, 0 < i ≤ l� ��� 7��$,������ $� �$ ��� ��� $�� ,�*��� $�� ��,��� ��� �$ ��� ��� $�� *�$$���

'� ��#� -�$� ��!� -��#�$ j #��� �"$ �� (k1, i1) �� ,�!�� $� (k2, i2) ���3 $�� j$� ��������$ $��� ,��$ ��� -���),.,*� i1i2 . . . in−1 ��� ��!� i3, i4, . . . , in−16�3 $�� �* ,�� �� $�� *�$$��� i1, i2 � �� $�� ,�*��� k1, k2� �����,$���*.���"�� $�� #� �� G ,�����$� �� �����$�� ,.,*�� �� *��#$� (n− 1) ,�����$��# �� ��#�� -�$� $�� � !� -��#�$�

��- -� � �� $� 7�� ��!� ,� � ,$����$�, -��,� ��,�� ��� !���$���, **. � � ,� ��- ��������$ $��� ��� ��"���� � ����# ���! $�� +�#�����# $� $�� ��� �� $�� -��� W � � $�� ����� �� ������! E -� ,������� $�� �"!�� $�� ��,��� ,������ $�� �� ���)���* $�� ���$�,�� �� $�� #� �� G� 8� ���� $�� ��**�-��# ���"*$�

"���� � 1: �� <�!! 3� � A1, A2, . . . , An−1 �� ������� �� �� � �� G �� A1 → A2 → . . . →An−1 → A1 �� � ������� ����� �� ���� (n − 1) �������� �� ���� ��� ���� ���� j� ���� ���� �� ������ ����� ��� ����� ���� ��� �� ������� A1, A2, . . . , An−1�

#����� '� +�"��"!� �������� $�� *� �$ �"!+�� j �",� $� $ $���� �/��$� ��$��� ���#*� ,�*���� ,.,*� !��#$�� ���$�,�� �� $�� ,.,*� -�$� $�� ,�*�� j� �"� $� $�� !���! *�$. �� j� -� , � ��"!� $� $ $�� ,�*�� �� $���,.,*� �� k > j� <�$ $�� ,.,*� �� ,�*�� k � �� $�� ���! Aj1 , Aj2 , . . . , Ajn−1 � -���� {jp}n−1

p=1 = {1, 2, . . . , n− 1}�<�$ (kj , ij) +� $�� ,������ $�� �� $�� ���$�/ Aj � �������� $�� *� �$ �"!+�� q ∈ N �",� $� $ $�� -���ijr ijr+1 . . . ijr+q−1 �� *�/�,�#� ���, **. #�� $�� $� � $�� -��� ijr ijr+1 . . . ijr+q−1 ��� ��!� r 1���� �� +�*�-$�� ���$��� �� �"+����,�� �� ���,����� !��"*� (n−1)3� ���� q ���� �/��$ +�, "�� $�� -���� i1i2 . . . in−1 ��

ij1 ij2 . . . ijn−1 �� �$���#*. ,�!� � +*�� ?������� ���,� $�� ��$� {jp}n−1p=1 �� {1, 2, . . . , n − 1} ,���,��� -�$�

� ,� �$���� -� #�$ q ≥ 2� ���,� q �� $�� *� �$ ���� $��� ��� �. s < q �� �. r -� � �� ijr ijr+1 . . . ijr+s−1 =ijr ijr+1 . . . ijr+s−1� ��"�� ��� �. s < q �� �. r -� #�$ ijr+s−1 = ijr+s−1� ��� !���$���,�$. �� $�� -������ � ,� ,�*�� �!�*��� $� $ $�� -��� ijr ijr+1 . . . ijr+q−1 �� *��� $� � �� �0" * $� ijr ijr+1 . . . ijr+q−1 ��� �.r� >��,�� ��� �. r $�� ���0" *�$. ijr+q−1 ≥ ijr+q−1 �� � *��� �"� $� $�� ��"!�$����� $���� �/��$� r �",�

$� $ ijr+q−1 > ijr+q−1� ���,� +�$� $�� ��0"��,�� {jr+q−1}n−1k=1 �� {jr + q − 1}n−1

k=1 � �� $�� �*�!��$� �� $��

�"!+�� ��$ {1, 2, . . . , n− 1} ��*. ��,�� $���n−1∑r=1

jr+q−1 =n−1∑r=1

(jr + q − 1) 1�� $�� , *,"* $��� �� $�� �"!+��

jr + q− 1 $�� ���$��� �� *�� ,��������� !��"*� (n− 1)3� >�-����� -� �+$ ��n−1∑r=1

jr+q−1 >n−1∑r=1

(jr + q− 1)�

��� ,��$� ��,$��� �+$ ���� ������ $�� *�!! ����$��"� $�� ����� �� ������! E� =�� �+�$� �. j� ,������� ,.,*�� �� *��#$� (n− 1) -�$� $�� ,�*��� j ��

j +1� �"� $� <�!! �� $���� �/��$ $�� �"!+��� k, i �",� $� $ $�� ���$�/ (k, i) +�*��#� $� $�� ,.,*� -�$� $��,�*�� (j+1)� +"$ ���� ��$ +�*��# $� $�� ,.,*� -�$� $�� ,�*�� j� <�$ $�� ,.,*� �� $�� ,�*�� j ,�����$� �� ���$�,��

�� $�� ���! (k, i(j,k))� -���� k = 1, 2, . . . , n − 1� ��7�� $�� � *"� π(j) =n−1∑k=1

i(j,k)� ���� <�!! � �� $��

!���$���,�$. �� $�� -���� -�$� �����,$ $� ,�*��� �!�*. $� $ π(j + 1) ≥ π(j) + 1� ���,� $�� ������� "����,������� $��� �� ,.,*�,� $��� $���� �/��$� �"!+�� k �",� $� $ i(1,k) > 1� ��"�� π(1) > n − 1� =�� �. j-� � �� i(j,k) ≤ l − 1� $��������� π(j) ≤ (l − 1)(n− 1) �� �� j ≤ (l − 2)(n− 1)� >��,�� t ≤ (l − 2)(n− 1)���� $�����! �� �������

9� ;��:'��� �= �>; ;��;��'< >;B>� ?I :;'�� �= �>;� ;: �

����# *�$$�� ,���7, $��� �� ,���������# $�� , �� -��� $�� *��#$� �� ������� �� �0" * $� 2� ��� , � �+$ �� � ��$�! $� �� $�� �����$� * ���#�$ -���� #��-$� �� ��*.��!� * �� $�� �"!+�� �� #���� $��� �� �/�����$� *�� $�� ��#��� �� $�� ����$�$.� �� �� $� $� -� � �� $� #���� *�@� ��!� ,��,��$� ��$���",�� +����

#���$%��� �������� � *�� +�$ A -�$� $�� *�$$��� {a1, a2, . . . , al}� �$���",� *�/�,�#� ���, * ������� $�� *�$$��� � ��**�-�5 ai > aj ��� i > j� =�� ��!� t ,������� � �+�$� �. ��$ �� ,.,*�, � ��-��� �$���#*.,�!� � +*� -���),.,*�� �� $�� � !� *��#$� t� ;�"!�� $� $�� �*�!��$� ���! $��� ��$ +. ����$��� ��$�#����$ �$��# ���! 1� ��7�� � ����� �� $�� -���� ,��$ ���� �� $�� -���),.,*� � ��**�-�5 u ≺ v ��

�3 $�� -��� u �� *�/�,�#� ���, **. *��� $� � $�� -��� v6�3 $�� -���),.,*� ,��$ ����# $�� -��� u � � $�� *����� �"!+�� $� � $�� -���),.,*� ,��$ ����# $�� -��� v���- ��"!�� $� $�� ����$���� �� *�$$��� �� $�� -����),.,*�� +. $�� �"!+��� ���! 1 $� t ���! $�� +�#�����#

$� $�� ��� �� ��!� -��� ,��$ ���� �� $�� -���),.,*������ � �� <�$ w(i, j) +� $�� -��� �� *��#$� t �$ �$��# ���! $�� j$� *�$$�� �� $�� i$� -���),.,*��

52,021 4�(6/�,(�3 5"�7/5"�(0, 84$$/�(� 6�� 9: �� � ���;

�� �7"�(�2�26

�� �* �� X(t, l) �� $�� ��$ �� -���),.,*�� ,��������� ���� $�#�$��� -�$� $�� ����� ≺ ��7��� �� $���� -������������ &� ' ,* �� X ��$ ,��$ ����# � �$�,� �� �� *��#$� n �� , **�� n���� �� $� $ ,��$ ����#

�",� �$�,� �� �� , **�� n�� ����*-��$�4� $�����! �!�*��� $� $ $�� -���� ���! n)#��� ,* ���� X , � +� ,�*���� �� (n− 1) ,�*��� �� $� $

$�� -���� � ���# $�� � !� ,�*�� ���! ,� ��� ��- -� � �� $� ��$�! $� $�� �"!+�� �� �*�!��$� �� n)#���,* ���� X �

������� '� <�$ �(t, l, n) +� $�� #�� $��$ �����+*� �"!+�� �� �*�!��$� �� � n)#��� ,* �� X(t, l)�(����) �� 8� �"����� $� $ $�� 7��$ �#"!��$ �� $�� �"�,$��� �(·, ·, ·) �� *��� $� � $�� $���� ������� ��**�-��# *�!! #���� "� � �����$"��$. $� ��$�! $� �(t, l, n) +. !� �� �� $�� , ��� �� �! ** ��������"���� � ��� ���$� ��� �(t, l2, n) ≥ �(2t, l, n) �� � ����#����� �������� � n)#��� ,* �� X(2t, l)� � ** �$� -���),.,*��� � �$�$��� $�� ����$���� ��$� �J ,��$ � ���

�� $� $ � ,� ����$��� +�*��#� $� �/ ,$*. ��� � ��� '�$�� $� $� ,������� $�� *�� +�$ B -�$� *�$$��� {bi,j}li,j=1�

-���� bi1,j1 > bi2,j2 ��� i1 · l+j1 > i2 · l+j2� ��� *�� +�$ B ,�����$� �� l2 *�$$���� ; ,� � �� �� ����$���� ���!

$�� � �$�$��� ,�����$� �� ��!� *�$$��� ai, aj � �� �#� $�� � �� ai, aj +. $�� *�$$�� bi,j� (��,�����# �� $��� - .��� � ,� � ��� -� �+$ �� ��- ,* �� X(t, l2)� $ �� n)#���� ������ �� $�� ,* �� X(t, l2) ,��$ ��� � �$�,� �� ��*��#$� n ���!�� +. $�� -���� w(i1, j1), w(i2, j2), . . . , w(in, jn)� $��� -� ,������� $�� ����! #�� �� $�� -����w(i1, j1), w(i2, j2), . . . , w(in, jn) �� $�� ���$� * ,* �� X(2t, l)� <�$ $�� -���� w(i1, j

′1), w(i2, j

′2), . . . , w(in, j

′n)

+� $���� ����! #��� ���� $�� -���� w(i1, j′1), w(i2, j

′2), . . . , w(in, j

′n) ���! � �$�,� �� �� *��#$� n �� $��

,* �� X(2t, l)� 8� � �� #�$ ,��$� ��,$��� -�$� $�� ��"!�$��� $� $ $�� ,* �� X(2t, l) �� n)#���� ��"�� $��*�!! �� �������

��- ��$�! $� �(t, l, n) +. !� �� �� $�� , ��� �� �! ** *�� +�$��"���� �� ��� ���$� ��� �(t, l2, n) ≤ �(2t, l, 2n− 1) �� � ����#����� �������� (2n− 1))+ � ,* �� X(2t, l)� 8� , � ��"!� $� $ n -���� ���! $�� �$�,� ��� � !�*.�

$�� -���� w(i1, j1), w(i2, j2), . . . , w(in, jn) +�#�� $ ��� ����$���� �� -���),.,*��� � ** -���),.,*��� � �$�$���$�� ����$���� ��$� � ��� �� �J ,��$ ���� �� $� $ � ,� ����$��� +�*��#� $� �/ ,$*. ��� � �� �� $�� 7��$����$��� �� � ,� � �� �� ���� '�$�� $� $� ,������� $�� *�� +�$ B -�$� $�� *�$$��� {bi,j}li,j=1� -���� bi1,j1 >

bi2,j2 ��� i1 · l + j1 > i2 · l + j2� ��� *�� +�$ B ,�����$� �� l2 *�$$���� ; ,� � �� �� ����$���� ,�����$�

�� ��!� *�$$��� ai, aj � �� �#� $�� � �� �� *�$$��� ai, aj +. $�� *�$$�� bi,j � (��,�����# �� $��� - .� ��� � ,�� �� -� #�$ ��- ,* �� X(t, l2)� <�$ $�� -���� w(i1, j1), w(i2, j2), . . . , w(in, jn) ,��������� $� $�� -����w(i1, j

′1), w(i2, j

′2), . . . , w(in, j

′n)� ����� -���� ���! � �$�,� �� �� *��#$� n �� $�� ,* �� X(t, l2)� ��"�� -�

�+$ �� � n)+ � ,* �� X(t, l2) -�$� $�� � !� �"!+�� �� �*�!��$� � $�� (2n − 1))+ � ,* �� X(2t, l)� ��"��$�� *�!! �� �������

=�� �"�$��� �� �����#� -� ���� $� *��D $�� � *"�� �� �(t, l, n) ��� � �+�$� �. 7��$ �#"!��$ �� ��� $��7��$ �#"!��$ �0" * $� ��-�� �� 2�

"���� �� ��� ���$� ��� �(t, l, n) ≤ �(2s, l + 1, 2s(n− 1) + 1) �� � ���� ����� s = �log2(t)��#����� �������� � n)#��� ,* �� X(t, l)� '�� $� $�� *�� +�$ A ��- *�$$�� a0 $� $ �� *�/�,�#� ���, **.

*��� $� � �. �$��� *�$$�� ���! $�� *�� +�$ A� 8� #�$ $�� *�� +�$ A′˜� '�� $�� (t+1)$�� (t+2)$�� . . .� 2s$�

����$���� $� � ,� -���),.,*� ���! $�� ,* ��X(t, l) �� �"$ $�� *�$$��� a0 $����� 8� �+$ �� $�� ,* ��X(2s, l+1)�$ �� (2s(n − 1) + 1))#��� +�, "�� �$���-��� $��� ,* �� ,��$ ��� $�� -���� w(i1, j), w(i2, j), . . . , w(in, j) �����!� j� -��,� ���! � �$�,� �� �� $�� ,* �� X(2s, l+ 1)� ����

�3 �� j > t� $��� $�� -���� w(i1, 1), w(i2, 1), . . . , w(in, 1) ���! � �$� ,� �� �� $�� ,* �� X(t, l)6�3 �� j ≤ t� $��� $�� -���� w(i1, j), w(i2, j), . . . , w(in, j) ���! � �$�,� �� �� $�� ,* �� X(t, l).8� � �� #�$ ,��$� ��,$��� -�$� $�� ��"!�$��� $� $ $�� ,* �� X(t, l) �� n)#���� ��"�� $�� *�!! ��

�������������� � ��� ���$� ��� �(t, l, n) ≤ �(t, l, n+ 1) �� � �����"� $� <�!! E -� � ��5 �(t, l, n) ≤ �(2s, l + 1, 2s(n− 1) + 1)� -���� s = �log2(t)�� �"� $� �! �D ��

-� � �� t < n� ��"�� 2s < 2n� ���������� �(2s, l + 1, 2s(n− 1) + 1) ≤ �(2s, l+ 1, 2n2)��"� $� <�!! �� -� � ��

�(2s, l + 1, 2n2) ≤ �(2s−1, (l + 1)2, 2n2) ≤ �(2s−2, (l + 1)22

, 2n2) ≤ �(2s−3, (l + 1)23

, 2n2) ≤

≤ . . . ≤ �(2, (l + 1)2s−1

, 2n2).

� ,,��� �,� -�$� ������! �� �(2, (l + 1)2s−1

, 2n2) < (l + 1)2s−1 · 4n4 < 4(l + 1)nn4�

��"�� $�� ��**�-��# ���"*$ �� �������

52,021 4�(6/�,(�3 5"�7/5"�(0, 84$$/�(� 6�� 9: �� � ���;

.(/0/1(,/ ./�(2!(0(�3 ,��40�4�/ /,�(5"�/, ��

"���� �� ��� ���$� ��� �(t, l, n) < 4(l+ 1)nn4 �� � ����

� ����� $� ��*. <�!! $� ����� ������! �� -� � �� $� ��$�! $� $�� �"!+�� �� �"+-���� �� ���)n)� �$�$��� +*� -��� � ���# $�� � !� ��������

"���� �� %� ���� ���� W ��� ��� (2n− 1) �������� ����� ������ �� ���� �� ���� � � n ���� ��������� �� �������� �� � ������ �� ������ ���� � ���� ��� W �� n�� ����� ����

#����� <�$ ��!� -��� W ,��$ �� (2n − 1) �"+-���� -���� $�� ������ ���� $� !��� $� � n $�!�� ���",� $� $ $���� ������� �� � ��-��� ��$ �$���#*. ,�!� � +*�� <�$ x +� $�� ������ �� ��� �� $���� �"+-��������� $�� -��� W ,��$ ��� ���)��$����,$��# �"+-���� xp1v′1, . . . , x

p2n−1v′2n−1� -���� p1, . . . , p2n−1 �� ��!�����$��� ��$�#��� -��,� �� #�� $�� $� � n� �� v′1, . . . , v

′2n−1 �� ��!� -���� �� *��#$� |x| ,�!� � +*� -�$� x�

'!��# $�� -���� v′1, . . . , v′2n−1� ��� , � ��$��� 7�� n -���� +���# #�� $�� $� � x *�/�,�#� ���, **.� �� 7�� n

-���� +���# *��� $� � x *�/�,�#� ���, **.� 8� , � ��"!� $� $ v′1, . . . , v′n �� #�� $�� $� � x *�/�,�#� ���, **.�

���� $�� -��� W ,��$ ��� �"+-���� v′1, xv′2, . . . , x

n−1v′n ��,�� ���# *�/�,�#� ���, **. ���! *��$ $� ��#�$�<�!! 9 �!�*��� ������! ��������� ���)n)� �$�$��� +*� -��� W � � �$ ,��$ ��� �"+-��� -���� $�� ,.,*�, ������ x �� *��#$�

≥ n �� ���� $�� !��� $� � 2n $�!��� $��� $�� �"+-���� �� $�� -��� x2 �$ �$��# $ $�� 7��$� ��,��� , . . . , n$�����$���� �� � ��-��� ,�!� � +*�� ��"�� $�� -��� x2n �� n)� �$�$��� +*�� -��,� ,��$� ��,$� $�� ���)n)� �$�$��� +�*�$. �� $�� -��� W � <�!! � �� 9 �!�*. $� $ $�� �����$� * ���#�$ �� $�� -��� W �� *��� $� �

(2n − 1)n−1∑t=1

�(t, l, n) < 8(l + 1)nn5(n − 1)� ���������� Υ(n, l) < 8(l + 1)nn5(n − 1)� ��"�� ������! � ��

�������

'�C��8<;�B:;���

��� "$��� �� #� $��"* $� K��� < $.����� '�K� :�D� *��� � �$�,�� �$� �� $�� ��!�� � G ��# $����.�H ��� �$�,�� �$� �� $�� ��!�� � �� '�:� �#�����D�� �� :(� ��� $$��$��� $� $�� -��D� �� *�� $� '�I � ?�*����� �/$��!�*. "���"* ���,"�������

;=; ;��;�

� " ( ,�������� <2� ,�� ����"���������� ���������� ��� "������� "�������= 5��� ,��� >;?� ;:� >�@AB?

� " ( ,�������� <2� ����� '��� (������& ����������= 5��� ,��� � >�?� �BB >�@AB?

; " 3� 8����� <8���������&)� .������ ������� �� 7����� ��� (���)��������= C������� � .��%���� 5��� � >A?� �@ >���B? DE 5��� ,�� >�3? � >�?� ��@ >���@?F

" 3� 8����� 6 6 8������%�� ��� 6 � $��&����� <5������ "������=� �� ��� �� ! " >(���� ���%� � ��%���%� � � 6(�(�(� 5����'� ����?� )) ;A��� DE 5��� ,�� >�3? �� >;?� ; 9; >�@@B?F

A " 3� 8����� ��� 5 ( ����������� <,���+)�������� /������� �� ,�������-� ������ �� 7������= 5��� ,���� ��� > ?� :� >����? D,����%G 5��� ��� > ?� A; >����?F

9 " � ����� <0����� �� ��� ,�������-� 7����� �������= �� ����� #�$�� �� �% &% ������� >8��%�H����6����� "�� 8����� ���@?� )) �� :

B / , 0����%��� <"��� 7����� �� ,������� C������& ��������� "���������� "����� ,�����&��� � 5����������(������& �� !����� C����= (#���� "���� ,���� 4��� � �� �� A� >����?

: E 8������ ��� ! .������ <��� 2������ �� 0���������� �� 1�����= /�� E 0����������� �� �:� @@9 >���B?

@ 5 $�������� '�� ��������� �� (���� >0������ 5��� $����&� 0������� �@:;?

�� 5 ( ����������� <�'��,���� /������� ��� ��� /�������� 7����� �� ,�������-� 7����� �������= 6���� 5��% 4��� � 5��� 5�%��� � �� �� � >����? D5����' 4��� 5��� 8������� � >�?� 9 >����?F

�� " 3� 8����� <,�� /��������� ��� ���)�����& �� ����"������ ���� � C���� �� �� "������& 0������������� ���7����� �������= 0���� "����� �� ��� �@�@ >�@@�?

�� 0 .������� ����� ���� #��������� &������� >5����� !�%%�� (�� � � 3 � �@B;?

�; " 3� 8����� <��� ���-������������� !������� �� ���������& C��� "���������� "�������= 5��� ,��� ��>��?� ; >��� ? D,����%G 5��� �� >��?� �B�; >��� ?F

� / � ��#-��� <2� ��� �������7���� �������= �� ����������� ��������� ) '��$��������� ����������) ����������� ������� >.��� !�������� �� ,�+����� 8������& �� "��� $ (����� ,�*�� �@BA?� )) ������B

�A 3� . ��#&����� &������� �� ��� ��� ��� ���� �$���������� >���%�� 5����'� �@:@I "�� 5��� ,�� �

.���������� �(� �@@ ?

�� ��� �� �� &� %� ���

52,021 4�(6/�,(�3 5"�7/5"�(0, 84$$/�(� 6�� 9: �� � ���;