PIEDE PAGINA

COMPENIO I

CICLO NORMAL 2014-I

COMPENIO I

Razonamiento Matemático Aritmética Algebra

Geometría Trigonometría

Física Química

Razonamiento Verbal Lenguaje Anatomía Biología

Realidad Nacional Psicología Filosofía

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

INGRESA YA ………………………………..

VEN A LA ACADEMIA MILEMIUM E ¡INGRESA YA!...............................................

AUTORIDADES ACADEMIA PREUNIVERSITARIA MILEMIUN

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA MILEMIUN

MISION

Formar de manera integral a los niños y jóvenes que poseen aptitudes suficientes para un rendimiento exigente, dentro de un sistema de valores que resalte la creatividad, la autonomía, la solidaridad y la defensa del medio ambiente y que promueva su máximo desarrollo dentro del marco de la convivencia pacífica. Y lograr consolidar conocimientos para lograr su ingreso a la UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION (UNDAC) a sus distintas facultades.

VISION

Ser una Academia democrática en el que se respete la individualidad de las personas, que es única e irrepetible, en donde cada uno de sus miembros pueda desarrollarse dentro de los principios de cooperación, participación y autonomía y donde sus estudiantes se formen teniendo en cuenta el respeto a la convivencia pacífica y la defensa del medio ambiente. Y que nuestros ingresantes se puedan consolidar dentro de su vida universitaria.


PRESENTACION

La Academia MILEMIUN se enorgullece en presentar esta Primera Edición del compendio Preuniversitario actualizada en totalidad de los cursos de acuerdo al nuevo temario que pide la UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION.

El presente texto actualizado surge como el resultado de la experiencia, dedicación, investigación e innovación constante de nuestros profesores, así también la academia MILEMIUN, en favor de los estudiantes para lograr su ingreso a la universidad en el más breve tiempo.

Saludamos y agradecemos la confianza que los estudiantes, padres de familias y familiares depositan en nuestra institución; nosotros retribuyendo esta confianza, nos comprometemos a no defraudarlos poniendo todo de nuestra parte para lograr el éxito tan anhelado por cada uno de nuestros alumnos.

La Academia Milemiun


CONTENIDOS

LETRAS:COMUNICACIÓN

Semana 1: COMUNICACIÓNSemana 2: FONETICA, FONOLOGIASemana 3: NORMATIVA ESPAÑOLASemana 4: MORFOLOGÍASemana 5: GRAMÁTICASemana 6: SINTAXIS

PSICOLOGIA – FILOSOFIA

Semana 1: PSICOLOGIA COMO CIENCIASemana 2: BASES BIOLOGICAS DE LA CONDUCTASemana 3: EL APRENDIZAJESemana 4: LA INTELIGENCIASemana 5: LA PERSONALIDADSemana 6: DESARROLLO HUMANO

RAZONAMIENTO VERBAL

Semana 1: ETIMOLOGIASemana 2: SINONIMOSSemana 3: ANTONIMOSSemana 4: HIPERONIMOS, HIPONIMOS, COHIPONIMOS Y CAMPO SEMANTICOSemana 5: TERMINO EXCLUIDOSemana 6: COMPRESION DE TIPO DE TEXTOS I

REALIDAD NACIONAL

Semana 1: GEOGRAFÍA DEL TERRITORIO PERUANOSemana 2: ORIGEN Y EVOLUCION DEL HOMBRE ANDINOSemana 3: PERU PRE – INCA E INCASemana 4: PERU COLONIALSemana 5: EL ESTADO PERUANOSemana 6: LA DEUDA EXTERNA

ECONOMIA Y GESTION EMPRESARIAL

Semana 1: LA ECONOMIA Y LAS NECESIDADES, BIENES Y SERVICIOSSemana 2: EL PROCESO ECONOMICO Y LA PRODUCCIONSemana 3: LA CIRCULACION Y CICLO ECONOMICOSemana 4: EL MERCADO – SU ESTRUCTURA: EMPRESASemana 5: TEORIA DE LA OFERTA Y LA DEMANDASemana 6: LA DISTRIBUCION DEL INGRESO Y EL SALARIO


CIENCIAS:

RAZONAMIENTO MATEMATICO

Semana 1: RAZONAMIENTO LOGICOSemana 2: RAZONAMIENTO INDUCTIVO - DEDUCTIVOSemana 3: SUCESIONESSemana 4: SERIES Y SUMATORIASSemana 5: OPERACIONES MATEMATICASSemana 6: PLANTEO DE ECUACIONES

MATEMATICA I

Semana 1: LOGICA PROPOSICIONALSemana 2: TEORIA DE CONJUNTOSSemana 3: SISTEMA DE NUMERACIONSemana 4: DIVISIBILIDADSemana 5: NUMEROS RACIONALESSemana 6: MAGNITUDES PROPORCIONALES

MATEMATICA II

Semana 1: ANGULOS GEOMETRICOSSemana 2: TRIANGULOS ISemana 3: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZASemana 4: POLIGONOSSemana 5: CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIASemana 6: SOLIDOS GEOMETRICOS

FISICA

Semana 1: VECTORESSemana 2: DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE VECTORESSemana 3: LEYES DE NEWTON ISemana 4: LEYES DE NEWTON IISemana 5: LEYES DE NEWTON IIISemana 6: DIMENSIONES

QUIMICA

Semana 1: MATERIA Y ENERGIASemana 2: TEORIA ATOMICA MODERNASemana 3: ORGANIZACIÓN SISTEMATICA DE LOS ELEMENTOSSemana 4: COMPUESTOS QUIMICOS INORGANICOSSemana 5: REACCIONES QUIMICASSemana 6: UNIDADES QUIMICAS DE MASA

BIOLOGIA - ANATOMIA

Semana 1: TEORIA SOBRE EL ORIGEN DE LA VIDA Y EL UNIVERSOSemana 2: BIOQUIMICA, GLUCIDOSSemana 3: LIPIDOSSemana 4: PROTEINASSemana 5: CITOLOGIA – CELULAS PROCARIOTASSemana 6: CITOLOGIA I



RAZONAMIENTO LOGICO

INDICADORES DE LOGRO:

Identifica la relación de parentesco entre dos o más personas

Analiza problemas sobre relación de tiempo, cerillos certeza, etc. y relaciona la realidad con la matemática.

RELACION DE TIEMPO

Es la relación que se establece entre los días de la semana, teniendo en cuenta el pasado, presente y futuro.

El día que precede al pasado mañana de hoy, será mañana. Mañana del jueves es viernes Anteayer del sábado fue jueves. Si mañana será jueves, anteayer fue lunes. El posterior día del subsiguiente día del martes será viernes

Una técnica sencilla, es asignar en los datos en forma continua, números enteros según lo siguiente:

Ejemplo 1:

¿Qué día será el mañana del anteayer del mañana del pasado mañana del viernes?

Resolución Mañana - anteayer - mañana - pasado mañana – VIERNES +1 -2 +1 +2 +1-2+1+2= 2 Entonces: Viernes +2 = DOMINGO

Rpta. Domingo Ejemplo 2:

Si el ayer de pasado mañana fue sábado ¿Qué día será el mañana de anteayer?

EJEMPLO 1:¿Quién es el hijo del hermano de la esposa de mi padre?

MENTIRAS Y VERDADES

Ejemplo

Tania vive en un edificio de dos pisos, cuyos inquilinos tiende una característica muy especial, los que viven en el primer piso dicen siempre la verdad; y los que viven en el segundo piso, mienten siempre .Tania se encuentra con un vecino en la puerta del edificio y al llegar a su habitación le dice a su hermana, el vecino me dijo que vive en el segundo piso ¿En qué piso vive Tania?Resolución

POR TANTO: Los del primer piso dicen siempre la

VERDAD Los del segundo piso dicen siempre la

MENTIRALUEGO:

Si el vecino viviría en el primer piso, como siempre dice la VERDAD, diría VIVO EN EL PRIMER PISO

Si el vecino viviría en el segundo piso, como siempre MIENTE, diría VIVO EN EL PRIMER PISO

FINALMENTE En ambos casos, el vecino diría VIVO EN

EL PRIMER piso jamás diría; VIVO EN EL SEGUNDO PISO.

CONCLUSIÓN: Entonces, Tania miente al decir a su

hermana, que el vecino dijo que VIVE EN EL SEGUNDO PISO, por lo tanto ella vive en el segundo piso.

Rpta: SEGUNDO PISO

SEMANA 01SEMANA 01

CERTEZAS

El objetivo de estos problemas es la de escoger entre varias posibilidades la más óptima, es decir, la que con el mínimo esfuerzo estemos completamente seguros que va ocurrir la condición planteada. Veamos algunos ejemplos para obtener un marco teórico.Ejemplo:En una caja se tiene canicas todas de igual volumen; 7 de color blanco, 4 de color negro y 5 de color azul.

ORDENAMIENTO EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA En este caso vamos a referirnos a problemas con una diversidad de datos, que pueden ser absueltos mediante la construcción de tablas de doble entrada, en la cual se relacionen y ubiquen dichos datos, usualmente en la 1ra. Entrada se escriben los nombres de los sujetos y en la 2da. Entrada las cualidades; el proceso de solución se basa en reconocer los vínculos entre dichos datos y la

recomendación central consiste en tratar de obtener el mayor , número de deducciones , de cada información , a continuación se procede a marcar con una x o un ‘‘no’’ en cada casilla correspondiente a una imposibilidad definida y a colocar un ‘‘si’’ en la casilla que corresponda a un dato confirmado . Además se debe verificar tanto en cada fila Horizontal y Vertical la existencia de 1 solo ‘‘si’’, al menos que las condiciones del problema señalen características especiales.

EJEMPLO:

A, B y C se encuentra en la antigua parada y comenta sobre sus vicios.

A dice : A mí no me gusta fumar ni beber

C dice : Me hubiera gustado aprender a fumar

Considerando que solo hay 3 vicios: fumar beber y jugar; y que cada uno de ellos tiene uno de ellos tiene un solo vicio ¿Cuál es el vicio de B.

Solución:

Construyamos un cuadro de doble entrada para sí mostrar todas las posibilidades.

Características

FUMA BEBE JUEGAABC


Como a “A” no le gusta fumar ni beber entonces él juega , y el cuadro resultara así:

Características

FUMA BEBE JUEGAA NO NO SIBC

Como el juego le corresponde a ”A” entonces el juego no será para B

Considerando el segundo dato, se tendrá que “C” no fuma.

Características

FUMA BEBE JUEGAA NO NO SIB NOC NO NO

Se deduce que deber ser SI

Se deduce que deber ser SI

Rpta: Fuma “B”

ORDENAMIENTO LINEAL

A. Ordenamiento Creciente o Decreciente

En estos problemas encontraremos elementos relacionados de mayor a menor o de más o menos, para estos problemas se debe tener en cuenta lo siguiente:

Decir: “A no es mayor que B”. Equivalente a que A puede ser menor o igual que B

Decir “A no es menor que B”. Equivale a que A puede ser mayor o igual que B.

Ejemplo1:

Respecto a la edad de cuatro amigos se sabe que:

Daniel es mayor que Alberto Blanco es menor que Emilio Alberto es mayor que Emilio.

¿Quién es el mayor de todos?

Resolución:

Daniel es mayor que Alberto entonces Alberto < Daniel (1)

Blanco es menor que Emilio Blanco<Emilio (2)

Alberto es mayor que Emilio entonces Emilio <Alberto (3)

Relacionando (2),(3) y (1) en este orden tenemos:Blanco< (2) Emilio< (3) Alberto< (1) DanielEl mayor de todos es Daniel.


Si A es mayor que BEntonces B es menor que AA<B A<B

Recordemos

Rpta: SEGUNDO PISO

EJEMPLO:

Cuatro amigas Fiorella, Elizabeth, Marcela y Sofía se sientan alrededor de una mesa con cuatro sillas

Marcela esta frente a Fiorella

A la derecha de Fiorella esta Elizabeth

¿Quién está a la izquierda de Sofía?


SEMANA 02SEMANA 02

RAZONAMIENTO INDUCTIVO - DEDUCTIVO


Analiza , identifica y formula a través de situaciones particulares casos generales (razonamiento inductivo)

Interpreta, contrasta y valida las soluciones de un problema aplicando una ley general a algo en particular (razonamiento deductivo).

Relaciona los dos razonamientos más importantes deductivos e inductivos para generalizar de un problema.

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Consiste en analizar casos particulares para que a partir de loa resultados que se obtengan de ellos, nos permita establecer una conclusión general que luego será aplicado al problema propuesto.Se recomienda analizar los tres casos particulares más pequeños posibles y en caso fuese necesario un cuarto o hasta un quinto caso particular para obtener nuestras conclusiones generales.

ESQUEMA:

EJEMPLO 1:

Calcule la suma de cifras del resultado, luego efectuar


CASO

1 CASO

2 CASO

3 CASO PARTICULARINDUCCIONINDUCCION

LA FRASE DE LA SEMANA 02:

El secreto del éxito está en aprendernos a levarnos después de cada caída y aprender de nuestros errores para no volver a cometerlo otra vez.

Y ver una oportunidad donde otros no lo ven.





El que estudia triunfa…………….


Analiza e identifica la serie a aplicar en un problema planteado.

Calcula la eficientemente el valor de la serie.

Evalúa las series notables, mediante la aplicación de sumatorias.



SERIES Y SUMATORIAS

SEMANA 04SEMANA 04 OPERACIONES MATEMATICAS

SEMANA 05SEMANA 05

Identificar los elementos de una operación matemática.

Relaciona nuevas estructuras simbólicas matemáticas con las ya conocidas

Identifica las propiedades elementales de las operaciones matemáticas.

Determina estrategias que llevan al planteamiento correcto y la solución de un tipo de problema

OPERACIÓN MATEMATICA

Operación matemática es el proceso que consiste en la trasformación de una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas en la cual se define la operación: Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que lo identifica llamado “OPERADOR MATEMATICO”



INDICADORES DE LOGRO: Traduce el lenguaje literario(enunciado)

al lenguaje matemático (ecuación) Formula ecuaciones con los datos del

problema y resuelve aplicando las nociones básicas de las ecuaciones

Identifica valores que satisfacen ecuaciones diofanticas.

PLANTEO DE ECUACIONES


PLANTEO DE ECUACIONES

SEMANA 06SEMANA 06


Academia MilemiunIngreso seguro

EVOLUCIÓN HISTÓRICA

La lógica de proposiciones, como disciplina científica, se denomina Lógica Matemática, debido al uso de métodos y símbolos algebraicos que fueron usados por Aristóteles (384-322 A.C.) en su trabajo “El Organon” desarrollado en función a análisis, razonamientos y deducciones considerando su forma o estructura (Silogismo) que dio origen a una ciencia formal o estructural.

Sin embargo, fue George Boole (1815 – 1864) quién en sus obras utilizó el lenguaje del álgebra para resolver problemas lógicos, planteados por el silogismo aristotélico, a través de procedimientos mecánicos de cálculo, y fue conocido como “Álgebra de Boole ó álgebra de clases o de conjuntos. La continuidad de las investigaciones por diversos científicos ha conducido al desarrollo las lógicas polivalentes, la semántica lógica, la teoría de modelos, la lógica probabilística, entre otros, que condujeron a la revolución electrónica de hoy y crearon la Inteligencia artificial y los sistemas expertos.

CONCEPTO DE LÓGICA

La lógica es la ciencia que trata los métodos de razonamiento eliminando las ambigüedades propias del lenguaje ordinario. Es una disciplina que estudia las deducciones o inferencias a través de leyes y formas orientadas a la investigación científica y con criterios veritativos.

PROPOSICIÓN LÓGICA

Se llama proposición a toda expresión que nos anuncian o determinan algo, y que pueden ser verdaderas (V) o falsas (F), pero no ambas a la vez. Para nombrar a las proposiciones se utilizan letras minúsculas como: p, q, r, ….

Las proposiciones no lógicas se dan a través de preguntas, mandatos, deseos, dudas, y otros que no nos determinan si son (V) o (F).

Ejemplo de Proposición Lógica:“Lima es la capital del Perú”.

“La luna es un satélite de Marte”

Ejemplo de Proposición No Lógica:

“¡ Buenos días !”

“¿ Qué edad tiene Juan ?”

“ 0321285 3 xx ”

CONECTIVOS LÓGICOS

Permite relacionar proposiciones para formar enunciados compuestos y definir “operaciones” en la lógica formal para obtener nuevos conjuntos.

CONECTIVOS LÓGICOS

Conjunción

Disyunción Débil

∆ Disyunción Fuerte p ∆ q

→ Condicional

↔ Bicondicional

~ Negación ~ p

PROPOSICIÓN SIMPLE

Son proposiciones elementales, monádicos o atómicas, que tienen un sujeto y un predicado, pero no tiene enlace conectivo o término funcional. Pueden ser: Predicativas y relacionales. Ejemplos:

“Luis Alberto es muy inteligente”.

“Carola es más alta que Tula”

“50 es múltiplo de 500”

PROPOSICIÓN COMPUESTA

Son proposiciones coligativas o moleculares que operan entre por lo menos dos proposiciones simples (binarios o diádicos) para formar enunciados compuestos. Pueden ser: Conjuntivas, disyuntivas, implicatvas, equivalentes, etc.

PROPOSICIÓN CONJUNTIVA


LOGICA PROPOSICIONAL

SEMANA 01SEMANA 01

Están enlazadas por el conector lógico “ ”, término funcional: y, no obstante, a la vez, sin embargo, pero, aunque, dado que, etc. Su tabla de verdad es:

La Conjunción es Verdadera únicamente cuando ambas proposiciones componentes son verdaderas y es falsa cuando al menos una de sus componentes es falsa.

p q p ∧q V V V F F V F F

V F F F

DISYUNCION INCLUSIVA (∨)Une dos proposiciones mediante el termino “o” ejemplo.

DISYUNCION EXCLUSIVA( )

Une dos proposiciones mediante el término “o” pero exclusivo. Ejemplo:Raimondi nació en el Perú o en Italia.p: Raimondi nació en Perú.q: Raimondi nació en Italia.Simbología: p q

La Disyunción Exclusiva es verdadera cuando sus componentes tiene diferentes valor de verdad y es falsa cuando sus componentes tienen el mismo valor de verdad

p q p q

V V V F F V F F

F V V F

El CONDICIONAL es FALSO únicamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y es Verdadero cuando al menos el antecedente es falso o el consecuente es verdadero

p q p → q

V V V F F V F F

V F V V

BICONDICIONAL (↔)Es la combinación de dos proposiciones con:“…………………. Si solo si…………………..”Ejemplo:Serás un excelente ingeniero si y solo si te esfuerzas en tus estudios

p: Serás un excelente ingenieroq: Te esfuerzas en tus estudios

Simbología: p↔q

El BICONDICIONAL es Verdadero cuando ambos componentes tiene igual valor, de verdad y es Falso cuando sus componentes tienen valores de verdad diferentes.

p q p ↔ q

V V V F F V F F

V F F V

NEGACIÓN (--- )Cambia el valor de verdad de la proposición.Ejemplo:p: Luis es honesto-p: Luis no es honesto

Por tanto la simbolización y la tabla de

verdad de la proposición negativa es:

P -p

VF

FV

La frase “no es el caso que” generalmente se emplea para negar proposiciones compuestas.

Ejemplo:No es cierto que juan sea pintor y se levante tempranop: Juan es pintorq: Juan se levanta temprano Simbología: -(p ∧q)

OBSERVACIONES:1. La doble negación es lo mismo que una

afirmación


– (-p)” tiene la misma tabla de verdad que p.

2. p q y – (p↔q) tienen la misma tabla de verdad

3. Cuando una proposición compuesta tiene más de dos proposiciones, por tanto más de un conectivo lógico, entonces es necesario usar los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.) para distinguir el alcance de los operadores.

Ejemplo:

a) (p ∧q) v rb) P → [q v (r↔s)]

4. Las proposiciones compuestas toman el nombre de su operador principal: La fórmula del ejemplo A)

representa una proposición disyuntiva, pues es “v” el operador de mayor alcance.

La fórmula del ejemplo b) representa una proposición condicional, pues es “→” el operador de mayor jerarquía.

EVALUACION DE FORMULAS POR LA TABLA DE VALORES

Evaluar una formula por la tabla de verdad es obtener los valores del operador principal a partir de los valores de verdad de cada una de las variables proposicionales.

El número de valores que se asignan a cada variable es 2n, donde “n” es el número de proposiciones que hay en la formula.

Ejemplo:Hallar la tabla de Verdad de la siguiente proposición compuesta:

(p ∧q) → (p v q)

- Numero de proposiciones : 2 ( p y q)Luego: Números de valores para cada variable: 22 = 4

- Se procede a aplicar la tabla de valores de cada uno de los conectivos empezando por el menor jerarquía hasta llegar al mayor alcance.

p q p ∧q → p v q

V V V V V

V F F V F F

F F F

VVV

VVF

(1) (3) (2)

1) Con la ayuda de la tabla de valores de la conjunción y la disyunción completamos las columnas (1) y (2).

2) Con ayuda de la tabla de valores del condicional completamos las columna(3)

- El resultado de la tabla de Valores se formula pertenece al operador principal.

- - Dependiendo del resultado de la formula por Tabla de Valores , este puede ser:

Tautología: cuando los valores de su operador principal son todos verdaderos.

p q p → q v p ∧ -q

V V V F F V F F

V F V V

VVVV

FVFF

Contradicción: Cuando los valores de su operador principalmente son todos falsos:Por ejemplo:

p q p → q ∧ p ∧ -q

V V V F F V F F

V F V V

FFFF

FVFF

Contingencia: Cuando entre los valores de su operador principal hay por lo menos una verdad y una falsedad

Por ejemplo:

p q p → q ˄ p ∆ q

V V V F F V F F

V F V V

FFVF

FVVF

PROPOSICIONES EQUIVALENTES


TAUTOLOGIA

CONTRADICCION

CONTINGENCIA

Dos proposiciones son equivalentes cuando al unirlas bicondicionalmente, su resultado es una tautología.Notación:

Se dice que una proposición es una contingencia cuando su tabla de verdad tiene valores de verdadero (V) y de falso (F).

Ejemplo:

La siguiente proposición es una contingencia:

p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F F F

V V F

F V V

F F F


TEORÍA DE CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTO.

Es una palabra cuyo concepto no está definido, sus sinónimos son: reunión, colección, agrupación, agregado, clase, clan, familia, de integrantes denominados “elementos”. Estos son homogéneos o heterogéneos; reales o abstractos.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Se dice que un conjunto está determinado, cuando se puede establecer si un elemento dado es integrante o no de dicho conjunto. Todo conjunto se puede determinar de dos formas:

A. Por extensión: (forma tabular)Cuando se mencionan uno a uno a sus elementos.Ejemplo: A = 0; 1; 2; 3; 4; 5 …;18

B. Por comprensión (forma constructiva)Cuando se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad en común o ley de formación válida sólo a ellos.Ejemplo: A = x/x es un número natural x <

19Relación de pertenencia:

Los símbolos; se lee “pertenece a” y se lee “no pertenece a”.

Un elemento pertenece () a un conjunto, si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. Un elemento no pertenece a un

conjunto, si no cumple con la condición anterior. La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto.

(Elemento) (Conjunto)

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es un número, no negativo, que indica la cantidad de elementos diferentes de un conjunto. Se denota:

N(A)= Cardinal de A (número de elementos

A)

Ejemplo: A = 2; 4; 6; 8 ( ) 4n A

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.

Inclusión:


TEORIA DE CONJUNTOS

SEMANA 02SEMANA 02

Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, cuando todos los elementos de A pertenecen a B.Se denota: A B, y se define así:

A B x A x B

A B se lee: A está incluido en B; A está contenido en B, A es subconjunto de B; A es parte de B

B A se lee: B incluye A, B contiene a A,, B es superconjunto de A.En caso contrario, se dirá que A no está incluido en B y se denota: A B.

Ejemplo: Si A = 3; 5; 4; 2; 8

Entonces: 3;5 A

5; 4; 8 A

3; 2; 7 A

NOTA: Se dice que dos conjuntos son comparables, cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro.

Ejemplo: A y B son comparables en:

A = 2; 4; 7 B = 1; 2; 3; 4; 7

Igualdad:

Se dice que dos conjuntos son iguales, cuando ambos poseen los mismos elementos; se denota A = B y se define así:

A = B A B B A

Ejemplo:A = 2; 4; 6; 8; 10

B = 2x/x A = B

Disjuntos:

Se dice que dos conjuntos son disjuntos, cuando no poseen elementos comunes.A = 2; 4; 6; 8; 10B = 2; 4; 6; 8

Equivalente:

Se dice que dos conjuntos son equivalentes, cuando tienen la misma cantidad de elementos.

A<> B n(A) = n(B)CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto finito:

Es un conjunto con un limitado número de elementos.

Conjunto infinito:

Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos.

Conjunto nulo o vacío:

Es aquel conjunto que no posee elementos; y se le denota: ; . Convencionalmente al conjunto nulo se le considera incluido en cualquier otro conjunto A.

AConjunto unitario o singleton:

Es aquel que tiene un solo elementos diferente.

Conjunto universal.

Es aquel conjunto que sirve de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en él. Se le denota con “U”

Conjunto de conjuntos.

Es aquel cuyos elementos son todos conjuntos.

Ejemplo:

A = 1; 2,3 B = ; 2;4; 3

Conjunto potencia.

Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A al conjunto que está formado por todos los subconjuntos de A. Se le denota P(A)

Ejemplo:

Si A = 2; 3; 4

Los subconjuntos de A son:;2;3;4;2;3;2;4;3;4;2;3;4

Entonces el conjunto potencia de A es:

P(A)=;2;3;4;2;3;2;4;3;4;2;3;4Nota: Si n(A) es el cardinal del conjunto A,

se verifica que:

Número de subconjunto de A ó

Número de elementos P(A) = 2n(A)

Número de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DIAGRAMAS DE VENN-EULER:


Son regiones planas, limitadas por figuras geométricas cerradas, que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos.

DIAGRAMA DE CARROL:

Llamados así en homenaje a Lewis Carrol, seudónimo de Charles Lutwidge Dogson, escritor y matemático inglés (1832-1898) que fue el primero que los utilizó en su obra Alicia en el País de las Maravillas. Se usan generalmente para conjuntos disjuntos.

DIAGRAMA LINEAL:

Se usa para conjuntos comparables:

Significa B A

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión: A B = x/x A x B

Intersección: A B = x/x A x B

Diferencia: A – B = x/x A x B Complemento:

Se denota por: ; A’; AC; y se define:

A’ = x/x U x A = U – A

Diferencia simétrica:

A B = x/x (A-B) X (B-A)


SISTEMAS DE NUMERACIÓN

NUMERACIÓN

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de los numerales, su forma, representación y operaciones que con ellos se puede realizar.

Numeral: Es la representación del número mediante símbolos o signos convencionales.

Número: Se denomina así a la idea que se tiene de una cierta cantidad.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es el conjunto de reglas y principios que sirven para representar a los números en una base dada

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

DEL ORDEN:

Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se indica de derecha a izquierda.

DE LA BASE:

Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un


SISTEMA DE NUMERACION

SEMANA 03SEMANA 03

orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base. Así:

A mayor numeral aparente le corresponde menor base.

Si: 152(n) = 42(m) Como: 152 > 42 aparenteEntonces: n < m

Representación literal de los números.

NÚMERO CAPICÚA.

Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales.

868

34034

464(9)

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

BASE SISTEMA CIFRA

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Binario

Ternario

Cuaternario

Quinario

Senario

Heptal

Octal

Nonario

Decimal

Undecimal

Duodecimal

Tridecimal

0,1

0,1,2

0,1,2,3

0,1,2,3,4

0,1,2,3,4,5

0,1,2,3,4,5, 6

0,1,2,3,4,5, 6,7

0,1,2,3,4,5, 6,7,8

0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9

0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9, α

0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9, α, β

0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9, α, β,

Equivalencias: α =10; β = 11; = 12; =13; …

VALORES DE LAS CIFRAS.

Valor absoluto (V.A)

Es aquel que tiene la cifra teniendo en cuenta la posición que ocupe en el numeral.

Valor relativo (V.R.)

Es el valor que tiene la cifra teniendo en cuanta la posición que ocupe en el numeral.DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA.

(n) = a(n)1 + b

(n) = a(n)2 + b(n) + c

(n) = a(n)3 + b(n)2 +

c(n)1 + d

NOTA: (n) = an-1+bn-2+cn-3+dn-

4+en-3

DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES.

= .102 +

= .103 +

= .104 + . 102 +

(n) = (n).n2 + (n).

CAMBIOS DE BASE

De Base “n” a Base 10:

Se aplica la descomposición polinómica.

Ejemplos:

543(6) = 5(6)2 + 4(6) + 3 = 207

(13) = 7(13)3 + α(13)2 + β(13)1 + 8

De Base 10 a Base “n”:

Se efectúan por divisiones sucesivas. Ejemplo:Representar 298 en el sistema quinario.

529859(3) 5

11(4) 5

2(1)

298 = 2143(5)

De base “n” a base “m”


Al numeral de la base “n” se convierte a base 10 y luego por divisiones sucesivas a base “m”COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)

Es lo que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden.

Sea N un número de K cifras, se cumple.

CA(N) = 10K-N

Ejemplos:

CA(43) = 102-43 = 57

CA(

CA(

CA(

CA(

MÉTODO PRÁCTICO

A la primera cifra significativa de la derecha se le resta de 10 y a las cifras que están a su izquierda se les resta de 9.

Ejemplos: CA(432857) = 567143

CA(a3b8) = (9-a)6(9-b)2

CA(aba) = (9-a)(9-b)(10-a)

ALGUNAS PROPIEDADES EN LAS OPERACIONES CON NÚMEROS.

En una resta o diferencia, siendo el número

y (“a” mayor que “c”), si:

xyzcbaabc , se cumple que: y = 9, x

+ z = 9, a – c = x + 1

Ejemplo: 742 – 247 = 495

En una multiplicación, se cumple que:

6...

2....

0...

)1(

0...)5).(...º(

5...)5).(...º(

832...4.

86...7.

nn

parN

imparN

cócabc

cabc

En una división inexacta (residuo > 0) se tienen:

Por defecto: D = d q + r 0 < r < d

19 = 3(5) + 4

Por exceso: D = d qe - re

0 < re < d

19 = 4(5) - 1

qe : Cociente por exceso; re : Residuo por exceso

Además : qe = q + 1 rmin = 1 rmáx = d -1 r + re= d


DIVISIBILIDAD

SEMANA 04SEMANA 04


DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS

Un número es divisible entre otro cuando lo contiene exactamente un número entero de veces; es decir el cociente es entero y el residuo es cero.

MULTIPLIPLO DE UN NÚMERO.

Un entero es múltiplo de otro entero positivo, cuando es el resultado de multiplicar este entero por cualquier otro entero,

A = B x K; B es el modulo Z+ ; K Z.

A = K x B = mB = 0

B .

Ejemplo: 0

1484 , pues 84= 14 (6).

Nota:

1. El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo (múltiplo universal).

2. Todo número entero es múltiplo de la unidad (divisor universal).

3. Todo número entero positivo es divisible por si mismo.

Si A no es múltiplo de B. se tiene:

Por defecto: A = 0

B + rd.

Por exceso: A = 0

B - re .

PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD

1. Adición: 000

nnn

2. Sustracción: 000

nnn

3. Multiplicación: 000

. nnn

4. Potenciación: 00

nnk

5. 0

.... cbaNcbaN

6.

.........)......)()((0000

cbancnbnan

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Existen criterios prácticos que permiten conocer la condición para que un número sea divisible por otro.

Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2, si la última cifra es 0 o par.

Ejemplo: 80, 36 son divisibles por 2.

NOTA: Si: abcdeN ; se cumple :

00

22 eN

00

44 deN

00

88 cdeN

Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

Ejemplo:

873; la suma de sus cifras es 18 y este es múltiplo de 3.


Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4, también si el doble de la penúltima cifra mas la última resultan múltiplo de 4

Si: 00

424 cbabc

Ejemplo: 00, 04, 08, , 96bc

Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5, cuando la última cifra es múltiplo de 5, es decir termina en 5 ó en 0.

Ejemplo: 120, 95.

Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7, cuando se le aplica la siguiente regla:

De derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplica por los siguientes factores: 1, 3, 2, -1, -2, -3; 1, 3, 2, -1, -2, -3, … después de realizar estos productos se efectúa la suma algebraica, si este resultado es 0 ó múltiplo de 7, entonces el número será múltiplo de 7.

Ejemplo: 137242, es múltiplo de 7, pues:

1(2) + 3 (4) + 2 (2) – 1 (7) – 3 (3) – 2 (1) = 0

Divisibilidad por 9: Un número es divisible entre 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplo: 111222; 603.

Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de las cifras del lugar impar y la suma de las cifras del lugar par dan 0 ó múltiplo de 11.

Ejemplo:

333333; es múltiplo de 11 pues:

3 +3 +3 – (3 + 3 + 3) = 0.

Divisibilidad por 13: Regla practica.

0

- -

13

3 1 4 3 1 4 3 1

a b c d e f g h

h – ( 3g + 4f + e ) + ( 3d + 4c + b ) – 3a = 0

13

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Dado 2 números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo.

Ejemplos: 5 N = 0

8 N = 0

8

8n = 0

9 n = 0

9

(5 y 8 no tienen divisores comunes excepto el 1)

(8 y 9 no tienen divisores comunes excepto el 1)

3.5.7. N = 0

11 N = 0

11


NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.

NÚMEROS SIMPLES: Son aquellos números que tienen a lo más dos divisores.

La unidad: Es el único entero positivo que tiene un solo divisor.

Primos absolutos: Son aquellos números que poseen exactamente dos divisores, usualmente se dice “Numero Primo”. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…}

NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos números que tienen más de dos divisores.

{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,…}

Nota:

Los Z+ son clasificados en dos conjuntos de números: simples y compuestos.

Todo número compuesto tiene por lo menos un divisor primo.

Números Primos Entre Si (PESI): Se les denomina también primos relativos o coprimos y son aquellos que tienen como divisor común a la unidad.

Ejemplo: ¿8; 12 y 25 son PESI?

Solución:

Número. Divisores.

8 1, 2, 4, 8.

12 1, 2, 3, 4, 6, 12.

25 1, 5, 25.

Podemos observar que el único divisor común es 1

8, 12 y 25 son PESI.

a) Números Primos Entre Si 2 a 2: Son aquellos grupos de números que al ser, tomados de 2 en 2, estos pares de números son PESI.

Ejemplo:

¿8, 9 y 25 son PESI 2 a 2?

Solución:

Número. Divisores,

8 1, 2, 4, 8.PESI

9 1, 3, 9.

8 1, 2, 4, 8.PESI

25 1, 5, 25.

9 1, PESI

3, 9.

25 1, 5, 25.

8, 9 y 25 son PESI 2 a 2.Nota:

Si varios números son PESI dos a dos entonces son PESI, lo contrario no siempre se cumple.

Dos o más números consecutivos siempre son PESI.

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

(Teorema fundamental de la Aritmética.)


“Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos.

Ejemplo:

Descomponer canónicamente el número 1400.

Solución:

1400 2

700 2

350 2

175 5

35 5

7 7

1 1

1 400 =

Descomposic ion Canonica ( D.C.)

. . .3 22 5 7

Nota:

Sea “N” el numero compuesto:

N = A . B . C

Donde:

A, B, C: Factores Primos.

, , Son exponentes ( Z+)

DIVISORES DE UN NÚMERO.

Tabla de Divisores.

Elaborar una tabla de los divisores de 200.

200 = 23. 52 .

Para el numero: N = A . B . C

Cantidad de Divisores (C.D.).

CD (N) = ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ).

Suma de Divisores (SD).

SD (N) = 11 11 1 1

1 1 1

A B C

A B C

Suma de las Inversas de los Divisores (SID):

SID (N) = N

(N)SD

Producto de los Divisores de un número (PD).

PD(N) = ( )CD

NN

Ejemplo:

Dado el número 72 descomponemos canónicamente para hallar la cantidad de divisores:


* 72 = 23. 32 CD72 = (3 + 1) (2 + 1) = 12.

* Los divisores son:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Simples Compuestos

primos

Propios

Luego:

CD(72) = 12 CD(simples) = 3

CD(primos) = 2 CD(compuestos) = 9

CD(propios) = 11.

D72 = Dp + Dc + 1 = 2 + 9 + 1 = 12

M.C.D Y M.C.M. DE UN NÚMERO.

Dado un conjunto de cantidades se define al MCD de éstas como aquel número que cumple las siguientes condiciones:

Es un divisor común de las cantidades. Es el mayor de los divisores comunes.

NOTAS:

1. Los divisores comunes de un conjunto de cantidades son los divisores de su MCD

2. Si: A, B y C son PESI MCD (A, B, C) = 1

3. Si A = B C = B MCD (A, B, C) = B

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Dado un conjunto de cantidades se define el MCM de éstas como aquel número que cumple lo siguiente:

Es un múltiplo común de las cantidades.

Es el menor de estos múltiplos comunes.

NOTAS:

1. Los múltiplos comunes de un conjunto de cantidades son los múltiplos de su MCM.

2. Si dos números A y B son PESI MCM(A,B) = A.B

3. Si los números A, B y C son PESI dos a dos, entonces: MCM(A,B,C) = A.B.C

MÉTODOS DE CÁLCULO: MCD Y MCM

Descomposición simultánea

Hallar el MCD de 80; 120 y 200

NOTA:

Sean los números: A, B y C

MCD(A, B, C) = k, luego:

A = k.p; B = k.q; C = k.r

Donde: p, q, r son PESI

NOTA:

Sean los números A, B, C donde MCM(A, B, C) = m, luego: m = A.p; m = B.q; m = C.r

Para dos números A y B

Si MCD(A,B) = k

p y q son PESI

MCM(A,B) = m

1) m = k . p . q

2) A . B = k . m

Si: MCD(A,B,C) = k

MCD(An,Bn,Cn) = k.n

Donde: n +

Propiedades:


D(N) = Dp + Dc + 1

1) Sean A y B dos números donde: MCD (A,B) = d

= A = d

= A = d

y son PESI

2) Para dos números A y B, con: MCD(A,B) = d MCM(A,B) = m m = d . .

A . B = m . dDESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Ejemplo:

Hallar el MCD y MCM de los números A, B y C donde:

A = 25 . 32 . 53

B = 23 . 34 . 52 . 72

C = 24 . 35 . 9 . 11

DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES.

Teorema: “En toda división entera inexacta el MCD del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y el residuo”

dDqr

MCD(D;d) = MCD(d,r)

Sean los números A y B, donde A > B

q1 q2 q3 q4 cocientes

A B r1 r2 r3 MCD

r1 r2 r3 0 residuos


NÚMEROS RACIONALES

NÚMERO RACIONAL

Un número es racional, cuando puede ser representado como una división indicada de dos enteros, donde el divisor es distinto de cero.

Todos los números racionales conforman el conjunto de los números racionales que se designa por Q y se define por:

0,/ nZmn

n

mQ

FRACCIÓN ORDINARIA

Una fracción ordinaria (numérica) es un par de números enteros (a, b) con b0, denotado por:

b

ab

a o

* Donde a y b son enteros positivos ( Z+

)

* a b , es decir al dividir “ a ” entre “b” el

resultado no es exacto.

- Las siguientes expresiones son fracciones:

3

5;

8

2;

3

7 ;

5594

222

- Las siguientes expresiones no son fracciones:


NUMEROS RACIONALES

SEMANA 05SEMANA 05

5

3;

7

1

;

4

3;

4

12;

6

6

CLASES DE FRACCIONES:

Fracción Propia:

1 a

a bb

Ejemplo: ;......20

1;

9

8;

7

3

Fracción Impropia:

1 a

a bb

Ejemplo : ;......10

16;

18

23;

5

6

Fracción Irreductible:

a

b es irreductible si “a” es PESI con “b”

IGUALDAD DE FRACCIONES:

. .a c

a d b cb d

OPERACIONES CON FRACCIONES:

Adición: Si: , a c

b d Q

a c ad bc

b d bd

Multiplicación: Si: Q , d

c

b

a

.

. a c a c

b d bd

NOTACIÓN DECIMAL:

Se llama fracción decimal a toda fracción decimal que admite la siguiente escritura:

n

a

10, con “a ” Z , n Z+

Ejemplos:

La representación decimal se clasifica como:

Fracción Decimal Exacta: Si posee un determinado numero de dígitos, el ultimo de los cuales es necesariamente diferente de cero, tal como: 2,45; 0,48; -6,125.

Fracción Decimal Inexacta Periódica Pura: Si esta formado por bloques de dígitos (periodos) que se repiten indefinidamente a partir del punto decimal. Tal como:

0,333…=

0,3 (el periodo es 3)

0,4848… = 48,0 (El periodo es 48)

Fracción Decimal Inexacta Periódica Mixta: Si a partir de cierto numero de dígitos a la derecha del punto decimal se presentan bloques o periodos que se repiten indefinidamente.

La fracción que da origen a un numero decimal es la GENERATRIZ o PRIMITIVA de dicho numero decimal.

Así: 10

7 es la generatriz de 0,7.


INTERPRETACIÓN DE UNA FRACCIÓN

Relación Parte Todo.- Se denomina así a la comparación de una cantidad asumida como parte respecto de otra cantidad asumida como todo.

Ejemplos:

- ¿Qué parte de 15 es 5? 15

5f

- David tenía S/. 60 y sólo gastó S/. 20, ¿Qué parte del total gastó?

3

1

60

20

todo

gastóf

Fracción de Fracción.- Es la fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad.

Ejemplo: Determine la tercera de la mitad de la cuarta de “x”:

)(24

1)(

4

1

2

1

3

1xx


PROPORCIONALIDADRAZONES Y PROPORCIONES.

RAZÓN.- Es la comparación matemática de dos cantidades, que se establece por sustracción o división.

Ejemplo: Comparar las edades de Luisa y Nino que son 48 y 16 años respectivamente.

Por sustracción :

Luisa Nino

48 – 16 = 32

La edad de Luisa excede a la de Nino en 32 años.

Por división :

Luisa

316

48

Nino

Luisa tiene 3 veces la edad de Nino.


MAGNITUDES PROPORCIONALES

SEMANA 06SEMANA 06

En general :

RAZÓN ARITMÉTICA RAZÓN GEOMÉTRICA

a – b = r ak

b

Donde : a : Antecedente

b : Consecuente

r : Valor de la razón aritmética

k : Valor de la razón geométrica

PROPIEDADES DE RAZONES GEOMÉTRICAS

Si: kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n .........3

3

2

2

1

1

Se cumple:

I) kbbbb

aaaa

n

n

........

........

321

321

II) n

n

n kbbbb

aaaa

..........

.........

321

321

III) nnn

nnn

nn

nnn

kbbbb

aaaa

........

........

321

321

RAZONES EQUIVALENTES CONTINUAS

3.kda

Sea : kd

c

c

b

b

a 2.kdb

kdc .

En general:

kb

a

b

a

b

a

n

n ..........2

2

1

1

nn kba .1

PROPORCIÓN.- Es la igualdad de dos razones del mismo tipo.

Ejemplos: (12 – 7 = 20 – 15); (4

12

8

24 )

En general:

a y c → Antecedentes b y d → Consecuentes

a y d → Términos extremos b y c → Términos medios

TIPOS:

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN

Proporción Aritmética Discreta:

a b c d

cuarta diferencial de a, b y c

Proporción Aritmética Continua:


tercia o tercera

diferencial de a y b

a – b = b – c

media aritmética de “a y c”

o media diferencial

Proporción Geométrica Discreta:

d

c

b

a

cuarta proporcional de a, b y c

Proporción Geométrica Continua:

d

b

b

a

tercia o tercera

proporcional de a y b

media geométrica de a y c

o media proporcional

PROPIEDADES:

Sea : d

c

b

a ; se cumple:

I) d

c

b

a

db

ca

II)

d

dc

b

ba

III) c

dc

a

ba

IV)

dc

dc

ba

ba

V) db

db

ca

ca

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Magnitud.

Se entiende por magnitud, como todo aquello que puede ser medido y cuya intensidad puede variar (aumentar o disminuir) , el resultado que se obtiene al medir o contar, se llama cantidad (medida de la intensidad de la magnitud).

Magnitudes Proporcionales.- Dos magnitudes son proporcionales, si al variar el valor de una de ellas, entonces el valor correspondiente a la otra magnitud también varía en la misma proporción, ya sea en razón directa o inversa.

Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)

Dos magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción.

Ejemplo ilustrativo :


En una librería el precio de cada cuaderno es S/.2, si analizamos como varía el costo, cuando el número de cuadernos varía, se tendrá:

.28

16

24

48

4

8

1

2

#

coscte

cuadernos

to

Si dos magnitudes son directamente proporcionales, entonces el cociente entre sus valores numéricos correspondientes es constante.

Si A DP B .cteB

A

Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)

Dos magnitudes “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar el valor de A el valor de B diminuye, y si A disminuye el valor de B aumenta en la misma proporción.

Ejemplo ilustrativo:

4 obreros pueden hacer una obra en 80 días, entonces analicemos el siguiente cuadro:

Observamos que:

(# obreros)(# de días) = 4x40 = 8x20 = 32x5 =

160x1 = cte.

Si dos magnitudes son 8inversamente proporcionales, entonces el producto

entre sus valores numéricos correspondientes es constante.

Si : A IP B A x B = cte.

Comparación simple

Cuando en el problema interviene sólo dos magnitudes.

Comparación múltiple.

Cuando en el problema intervienen más de dos magnitudes ya sea DP y/o IP.

REGLA DE TRES SIMPLE

Es un procedimiento de cálculo que permite hallar un cuarto valor cuando se conocen tres valores correspondientes a dos magnitudes. Esta regla puede ser directa o inversa, según las magnitudes sean directa o inversamente proporcionales respectivamente.

Regla de tres simple directa

Cuando se comparan solo dos magnitudes directamente proporcionales. D. P.

Como A DP B x

a

b

a 2

1

1

Método práctico (método del aspa)

Del cuadro anterior: 1a . x = 2a . 1b


Despejando :

1

12 .

a

bax

Ejemplo :

Un soldador metálico hace 72 ventanas en 24 días. ¿Cuántas ventanas realizará en una semana?

Resolución:

24

772x x = 21

Regla de tres simple inversa

Cuando se comparan solo dos magnitudes inversamente proporcionales. I. P.

Sabemos que: A IP B c1. d1 = c2 .x

Despejando (Método práctico)

2

11. c

cdx

Ejemplo :

6 caballos tienen ración para 15 días si se aumenta 3 caballos más. ¿Para cuántos días alcanzará la ración anterior?

Resolución:

9

615x x = 10

REGLA DE TRES COMPUESTA

Se caracteriza por que participan más de dos magnitudes (múltiples).

Es el procedimiento que permite hallar un valor cuando se conoce un conjunto de valores correspondientes a varias magnitudes.

Una de las formas de resolución es la siguiente : “Se toma como referencia una de las magnitudes (el de la variable), ésta se compara con cada una de las demás indicando si son DP ó IP”.

Forma práctica:

A.- La magnitud incógnita se compara con cada

una de las otras.

B.- Si al comparar son DP , el cociente se invierte.

C.- Si al comparar son IP, el cociente se mantiene.

1

2

2

1

2

11 ...

d

d

c

c

a

abx

Ejemplo:

Se contratan a 5 costureras que hacen 12 vestidos en 15 días, se pretende tener 60


vestidos en 25 días. ¿Cuántas costureras de igual rapidez se deberán contratar para reforzar a las ya contratadas?.

Resolución:


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