PIIRTE'I'TÄ ARITMETIIKAN OPETUKSEISTA<SUOMESSA V:EEN 1841 ASTI.

Olli L 0 'k k i.

Lähtiessämms tarkastamaan aritrnetiikan opetusta on mei-dän ensinnä ratkaistava, mitä laskemme kuuluvaksi aritmetiik-kaan. Jos pidämme koulukurssin nykyistä jakoa silmällä, olisimeidän lopetettava opetusaineksen tarkastelu päätöslaskuun javerranto-oppiin. Tämä ei ole asiallista, vaan on meidän syytälaskea aritmetiik'kaan kuuluvaksi kaikki se, mikä kuuluu lasku-taitoon. Näin joudumme aritmetiikkaan lukemaan kokonais-ja murtoluvuilla suoritettavien laskutoimitusten lisäksi potens-siinkorotuksen, juurtamisen ja logaritmiopin, jotka nykyisinopetetaan algebran yhteydessä. 'I'ämän käsityksen mukaan onmyös vanhat oppikirjat tehty.

Toinen kysymys on aiheen jako. Yksi tapa olisi jakaa esitysajanjaksoihin aritmetiikanopetuksen luonteen kehittymisen pe-rusteella, jolloin olisi kytkettävä esitys muualla maailmassa. ta-pahtuneeseen kehitykseen. Toinen tapa on esittää tehtävämaamme koululaitoksen kehityksen pohjalla.

Edellisen tavan perusteella tulisi jako seuraavanlaiseksi seu-raarnalla kehitystä Keski-Euroopassa:V:een 1700 asti oli opetus sääntöjen päähänpainamista ilman

varsinaisia sääntöjen perusteluja.1700-luvulla voimme kehitystä luonnehtia Clausbergin kir-

jasta "Demonstrative Rechenkunst" (v llta 1732) lainatullalauseella, jonka mukaisesti hän neuvoo kirjaansa, käyttämään:"Beginne mit den Exempeln, gehe dann zuriick zu den allge-

8

rneinen Regeln und willst du mehr als rechnen Iernen, so siehedie Beweise und Griinde an."1800-luvttZla on aritrnetiikan opetuksen kehitystä johtamassa

Pestalozzin 'havainncllisuuden periaa te.1900-luvulla on kehityksessä näkyvissä vihdoin nykyinen tek-

nillinen suuntaus. Graafinen esitys, jonkinlainen funktio-opinopetuksen propeudeuttinen osa on vallannut paikan aritrnetii-kassakiri.

Toinen tapa jakaa tehtävä oli maamme koululaitoksen kehi-tykseen kytkeytyvä. Tällöin on sopivaa valita merkkivuosiksivuodet 1724, jolloin uusi koulujärjestys annettiin, Isoviha päät-tyi ja alkoi vapaudenaika 1841, jolloin nykyisille koulumuo-doille laskettiin perusta. Tätä jakoa noudattaen seuraammearitmetiikan opetuksen kehitystä vuoteen 1841 asti.

Seuraavassa emme kuitenkaan puutu siihen laskutaitoon.joka oli tarpeen kirkollisten juhlien määräämisessä. 'Tämä ke-hitys on toisaalla selostettu. (Malmio I).")

A. KATOLINEN AIKA.

Katoliselta ajalta ei matematiikan opetuksesta maamme muu-tamassa luostarikoulussa ja Viipurin v. 1409 perustetussa kou-lussa sekä Turun katedralikoulussa ole tietoja säilynyt. Keski-ajan korkeimmissa oppilaitoksissa kuului qvadriviumin oppi-jaksoon aritrnetiikka oppiaineena, mutta maamme kouluissa eiqvadriviumia liene ainakaan aritmetiikan osalta luettu (Hastigs. 5). Luostarikouluissa kuitenkin mainitaan jo ensimmäisinäkouluvuosina opetetun laskutaidon aakkoset (Brandell I s, 87).Katolisen kirkon piirissä kyllä harrastettiin keskiajan alkupuo-lella teoreettista ar itmetiikkaa, mutta se liittyi läheisesti kirkontarpeisiin (Brandell I s. 95). Esimerkiksi oltiin tavattoman

') Vrt. Lähdekirjaldisuusluetteloa.

9

iloisia, kun todettiin, että Pietarin kalansaaliin kalojen luku-määrä 153 voitiin lausua kahdella tavaJla luvun 17 avulla (3.3.17 = 1+2+ ... + = 1;53) (Giinther s. 82). Tällaista luku-mystiikkaa harrastettiin meilläkin. Kaikenlaisia. lukusuhteitakäytettiin myös kirkollisia rakennuksia suunniteltaessa.

Käytännöllistä laskutaitoa tarvittiin kirkon piirissä myöskymmenysten laskemiseen sekä näiden jakamiseen niille, jotkaolivat oikeutetut saamaan niistä osansa. Tämänverran on kir-konmiesten täytynyt saada oppia myös laskutaidossa. 'Ruotsinkaupunkikouluissa opetettiinkiri laskutaidon aakkoset, muttatämä koulumuoto ei ehtinyt keskiajalla maahamme (LeinbergII).

Erikoisen ryhmän laskutaidon kehittymisessä ja leviamisoss.imuodostivat kauppiaat. Hehän tarvitsivat laskutaitoa kirjan-pidossaan, korkojen määrwämisessä ym. Keski-Euroopassa 01 ikauppamiesten laskennon opetus järjestetty erilleen kirkon an-tamastaopetuksesta. Opetus tapahtui pääasiassa yksityisken-luissa ja koulumestarina oli kaupungin "Rechenmeister"(Glinther s.294). Kauppiaston tarvitsema laskutaito oli saa-punut meidänkin maahamme jo keskiajalla.

Sensijaan keskiajan Ioppupuolella Keski-Euroopan Ja Ita-lian yliopistoissa kehittynyt varsinainen caritmetiikka (ennenmuuta Peurbach 1400-1uvulla) ei vielä keskiajalla ehtinyt maa-hamme. 'Tämä näkyi Ruotsi-Suomessa päässeen leviämäänvasta 1500-1600c,luvuilla. ja täällä se tietenkin aluksi oli pää;asiassa yliopiston oppiaineena.

Minkälainen laskutaito sitten maahamme oli levinnyt. keski-ajan lopulla.!

Ensimmäinen ja vanhin käytännöllinen laskeminen tapahtuisormilaskuna, Tästä luonnollisesta laskutavasta on rippeitäjäljellä vielä nytkin. (Kansan keskuudessahän yhteen- ja vä-hennyslasku tapahtuu vielä nytkin usein sormilla.) iSor.milasknon peräisin vanhan ajan roomalaisilta. 700-Juvulla esittää senBeda kirjoituksissaan. Näiden kirjoitusten mukaisesti on tämälaskutapa esitetty myös pohjoismaissa. Laskutapa on säilynyt

10

luostareissa polvesta polveen ja sieltä levinnyt. Luostarien vä-lityksellä se lienee tullut myös meidän maahamme. Sormilas-kun avulla voitiin laskut suorjttaa aina lukuun 1.000.000 asti.Eri luvut esitettiin erilaisilla sormien ja sen nivelien asennoil.a.Itse suoritus oli monimutkainen ja vaati suurta harjaannusta,jos halusi päästä virheettomiiän suoritukseen. Näin voitiin suo-rittaa yhteen-, vähennys- ja kertolaskua, mutta säännöt muo-dostuivat kovin monimutkaisiksi (Adam e. 31 ja Unger s. 64).Sormisääntöjä käytettiin myös paljon ajanlaskussa.

Toinen vaihe laskutaidon kehityksessä oli n.s, computuslasku8.0. laskeminen roomalaisilla luvuilla. Tätä laskutapaa käytti-vät kirkonmiehet kymmenyksiii laskiessaan ja myöskin kaup-piaat. Kuinka tämä oppi on maahamme tullut, on epätietoista.Kirkonmiehillä se epäilemättä on kuulunut ammattiopetukseen,mutta kauppiaiden oppi saattaa hyvin olla yksityistä tietä han-kittua Keski-Euroopan mallin mukaan.

Roomalaiseen lukujärjestelmään kuului paitsi tavanmukaisialukumerkkejä myös merkit eräille osaluvuille, joissa nimittäjäoli 2 tai 3 tai näistä kertomalla saatu luku. (Giinther s. 90).Siksi tällainen järjestelmä kyrnmenysten laskemisessa, joissacsim. heinäkuormien osat tulivat kysymykseen, oli sopiva. Nor-maalinen, nykyisin päiväyksissä esiintyvä, roomalainen numero-järjestelmä oli huomattavasti toisenlainen keskiajan lopussa.Mm. suomalaisissa asiakirjoissa olevien merkintöjen mukaan oliiije = 300, Vij = 8 (Dahlbo s. 13). Laskeminen tällaisilla nu-meroilla oli luonnollisesti hankalaa.

Arabialaiset numerot tulivat Espanjan kautta Eurooppaan1100-luvulla ja meidän maahamme ne ennättivät vasta keski-ajan lopulla ja esiintyivät silloin vielä harvinaisina. Ne olivatmuuallakin Euroopassa vielä 1400-luvulla varsinaisen la ku-toimen ulkopuolella harvinaisia (Unger s. 14).

Laskemisen helpottamiseksi kehitettiin sormilaskun lisäksi"laskukone", jota voidaan pitää nykyisten helmitaulujen mal-lina. Tämän avulla laskemista sanottiin abakus-laskuksi, jokasekin oli säilynyt Iuostareissa vanhan ajan roomalaisilta. 'I'ä-

n

män lasku tavan ajatus näkyy allaolevasta kuvasta, jossa on esi-tetty lukujen järjestely laskumerkein la kupöydälle. Viereenmerkitään toinen luku ja merkkejä yhdistäen saadaan summa.Vastaavasti voidaan määrä,tä erotus. Kertolasku suoritettiinperäkkäisenä yhteenlaskuria ja jakolasku peräkkäisenä vähen-nyslaskuna. 'Tästäabakustyypistäesiintyy useita muunnelmia.Tässä esitetty on nimeltään "Das deutscho Rechenbrett" ja sekuuluu kaikkein kehittvneirnpiin muotoihin '(Adam s. 34,Giinther s, 92).

100005000

1000500

10050

10

----- 0

o 0o

000o

5 - ---1 - - 0

o -- - --0---

Abakus-laskupöydän kaavakuva. johon on merkittv luku 7857.

r:eskiajan loppupuolella alkaa, aluksi vain akateemisena op-piaineena, arabialaisilta tullut kynälasku arabialaisin numeroinsyrjäyttää abakuslaskun. Ensimmäinen oppikirja tälitä ala ltaon Sacrobscon "De algorithmo". Meidän maahamme algorit-min alkeet saapuivat Rrgiomonl.anllksrn oppilaiden välityksellä1400-1uvun lopulla.

B. AIKA VUOTEE~ 17~-t ASTI.

1. Uskonpuhdistuksen aika.

Edellä olemme nähneet, miten laskutaidon ensimmäiset aak-koset vä:hitellen saapuivat maahamme. Tarkat tiedot näistäasioista ovat kuitenkin hämärän peitossa.

Vasta Kustaa Vaasan ajoilta alkaa näkyä joitakin tarkempia

12

tietoja matematiikan opetuksesta. Kustaa Vaa a pani erikoistapainoa aritrnetiikan opetukselle puhtaasti käytännöllisistäsyistä. Hän tarvitsi valtion talouden hoitoon taitavia miehiä,Tässä mielessä hän määräsi v. 1544 lähetettäväksi TukholmaanTurunkiri koulusta pari kolme teiniä vuosittain koulutettaviksi,jolloin kirjoitus- ja laskutaitoon pantiin pääpaino. Koulua var-ten hän yritti saada Saksasta taitavan miehen opettajaksi.(Saksassa han oli erikoisen "Rechenmeister" -tutkinnon suorit-taneita amma ttimiehiä ka IIpunginvirkamiehinä). 'I'ällainenkoulu perustettiinkin Tukholmaan v, 1538 Lars Organistan joh-dolla (Brandell 1 s. 316). Kuningas piti myös hyvin tärkeänävaltion virkamiesten koulutusta Turun katedralikoulussa.(Kirje Erik Härkäpäälle v. 1562. Vrt. Leinberg 1 s. 2-1:0).

1500-luvulla näkyy sekä papillisten että maallisten virka-miesten antarnissa kyrnmennys, ym, tilit yksissä laskuja, jotkaosoittavat, että tilitysten laatijoiden on täytynyt osata neljälaskutapaa ja yksinkertaista seuralaskua. Näissä asiakirjoissaesiintyy vielä 1540- ja 1550-luvuilla joskus roomalaisia nume-roita, mutta vuosisadan lopulla nehäviävä:t. Esiintyy myöstapauksia, joissa kokonaisluvut ovat roomalaisilla, murtoluvutarabialaisilla numeroilla ilmaistuja (Dahlbo),

Kustaa Vaasan jälkeen hänen kohotjaniansa laskutaidon ope-tus alkaa taas taantua. V. 1571 annetun koulujärjestyksen mu-kaan ei aritmetiikka kuulunut edes kouluaineisiin. Ainoastaanmusiikin teoriassa tuli aritmetiikka jossain määrin kysymyk-seen. Missä tätä varten tarvittavat pohjatiedot hankittiin, siitäei mainita mitään. Tämä on ymmärrettävissä siten, että v rn1571 koulujärjestys oli jokseenkin suora kopio humanismin jauskonpuhdistuksen yhteisvaikutuksesta syn tyneestä Melanehto-nin koulujärjestyksestä.

Aateliston kasvatuksessa kuitenkin tähän aikaan otettiin huo-mioon rcaalitiedon merkitys paljon suuremmassa määrin kuinpa piston kasvatuksessa. Nimenomaan ma initaan, että aa telis-miehellä tulee olla tietojaaritmctiikassa, geometriassa ja tähti-tieteessä. (Braridell s. 391).

13

2. Y:ien 1595 ja 1611 koulujärjestykset.

V:.n 1595 koulujärjestys toi kouluihin Ramuksen aatteet jamyös hänen oppikirjansa. Näitä pidettiin siihen aikaan par-haina niiden yksinkertaisuuden ja helppouden vuoksi. Aritme-tiikan oppikirjoista on huomattava Sehoneruksen toimittamaRamuksen aritmetiikka, joka pitkät ajat pysyi maassammesu untaa-anta vana,

V:n 1611 koulujärjestyksessä koulut jaettiin scholae provin-ciales (4 1.) ja seholae cathedrales (6 1.), joista jälkimmäisetolivat piispanistuinten yhteydessä. Tämä koulujärjestys oliyksinomaan pappiakasvatukseen tähtäävä. Aritmetiikalle eiollut annettu lainkaan sijaa koulujen varsinaisten opetusainei-den joukossa. Koulujärjestyksen katedraalikouluja koskevassaosassa mainitaan, että Buseeruksen aritmetiikkaa saa kouluissaopettaa joko julkisesti tai yksityisesti sillä edellytyksellä, ettäse ei mitenkään häiritse muuta opetusta. Sama koski myös pro-vinciaalikouluja. Aritmetiikan opetus oli järjestetty viimeistäedelliselle Iuokalle (Arcadius s. 14). On hyvin luultavaa, ettäusein ei ehditty aritrnetiikkaa opettaa ollenkaan. Ei liioin oletarkkaa tietoa siitä, olivatko maamme koulut tosiaan täsmälleentämän koulujärjestyksen määräysten mukaisia (Hastig s. 8).

3. V:n 1620 koulujä1·jestys.

Kustaa II Adolf ei kuitenkaan tyytynyt näin yksipuoliseenkoulujärjestykseen. vaan vaati myös reaaliaineille sijaa kou-luissa. Näin laadittiinkiri v. 1620 uusi koulujärjestys. joka huo-mattavalla tavalla edelliseen verrattuna tehosti reaaliaineidenmerkitystä. Tämäkin koulujärjestys oli kuitenkin papistonlaatima, eikä siinä toteutettu kaikkia kuninkaan uudistussuun-nitelrnia. Siinä jaettiin koulut kolmenttyyppisiin : Kimnaa-seihin (41.), triviaalikouluihin (41.) ja pedagogioihin (11.).

Kimnaaseissa oli koulujärjestyksen mukaan kolleega, jokaopetti matematiikkaa ja logiikkaa. Kimnaasissa siis siirryttiin

14

entisestä luokkaopettajajärjestelmästä aineopettajajärjestel-mään, mikä oli omiaan lisäämään opetuksen tehoa opettajienvoidessa paremmin antautua omia aineitaan tutkimaan.

'I'riviaalikouluissa säilytettiin edelleen luokkaopettajajärjes-telmä. Kuitenkin mainitaan, että varsinaisesti rehtori oli fy-siikan ja matematiikan opettaja. Tämä johtui siitä, että hänenluokallaan, siis ylimmällä, vasta näitä aineita opetettiin.

Pedagogin oli kouluna sellaisella paikkakunnalla, jolla ei ollutkorkeampia oppilaitoksia. Sen oppimäärä vastasi suunnilleentr iviaalikoulun ensimmäistä luokkaa. On huomattava, että pe-dagogioissa opetettiin kuitenkin hiukan laskemista.

'Suomessa oli nyt Turun katedralikoulu ja Viipurin triviaali-koulu sekä muutama pedagogio, Turun katedralikoulu(4 1.) jaettiin kuitenkin v. 1630 pedagogioksi ja kimnaa-siksi, ja näistä jälkimmäinen muutettiin v. 1640 yliopistoksi jasamalla edellinen triviaalikouluksi. Viipurin triviaalikoulustataas muodostettiin v. 1641 kimnaasi (Leinberg 1). Kun Turunkimnaasi perustettiin jäi katedralikouln 3-1uokkaiseksi pedago-gioksi ja kimnaasista tuli 2-luokkainen. Tämä oli pieni kouluverrattuna Ruotsin 4-1uokkaisiin kimnaaseihin. Niinpä oppien-nätystenkin täytyi jäädnl pienemmiksi kuin suurissa kimnaa-seissa. Ajan tavan mukaan oli piispalla melko suuret valtuu-det järjestellä koulujensa ohjelmia. Niinpä piispa Rothoviusmääräsi matematiikan lehtorin antamaan vain yhtenä vuotenaaritmetiikan, geometrian ja algebran opetusta, jonka tuli ta-pahtua Schoneruksen mukaan. Muualla saatiin tähän kurssiinkäyttää useampia vuosia (Dahlbo s. 67).

4. V:n 1649 koulujärjestys.

Tässä koulujärjestyksessä ensikerran otettiin huomioon val-tion virkamiesten koulutus. 'I'riviaalikouluihin, joissa oli 4varsinaista luokkaa (Iitterata-Iinja ), perustettiin nimittäin apo-logistiluokka, joka pohjautui rriviaalikoulun 1 luokkaan (illit-

1Gterata-linja). Käytännöllisistä syistä usein järjestettiin niin,että apologistiluokalle tultiin heti ensimmäisenä koulu vuotena.Tämän linjan kurssi oli järjestetty myös kauppiaille soveltu-vaksi, joten sen ohjelmaan kuului tärkeänä aineena laskento(Akiander s. 64). Oppiennätyksinä ainakin parhaissa kouluissamainitaan neljä laskutapaa. murtoluvut ja regulat regula fal-siin asti. Tämä oppimäärä voitiin oppia vain siten, että oppi-las oli luokalla 2-5 vuotta (Arcadius s. 31).

Koulujärjestystä laadittaessa oli papiston ja akateemisen kon-sistorin ehdotukset perustana. Näissä kummassakin oli ehdo-tettu myös 'triviaalikoulun litterata-linjalla enemmän matema-tiikkaa kuin mitä lopullisessa koulujärjestyksessä säädettiin.Ar itmetiikkaa tuli opetettavakai vain ylimmällä luokalla, jolloinehdittiin neljä laskutapaa kokonaisluvuilla, Apologisti toimiopettajana (Arcadius s. 29). Oppikirjoiksi ehdotettiin Busce-ruksen tai Schoneruksen kirjoja. Dahlbo (s. 185) mainitsee lo-pullisen koulujärjestyksen tuoneen sekä triviaalikouluihin ettäkimnaasiin oppikirjaksi Frisiuksen aritmetiikan,

Kimnaasi oli myös neliluokkainen koulu. Sen ensimmäisenluokan ohjelmaan kuului 6 t. matematiikkaa, joka ylemmilläluokilla vaihtui sovellutuksiin (tähtitieteeseen, fysiikkaan): Op-pimääränä tällöin oli aritmetiikkaa ja Euklideen 1 kirjan pää-kohdat (Brandell II).

Täytyy sanoa, että aritmetiikan tuntemus jäi tavattoman hei-koksi tällaisen tuntimäärän puitteissa. Niinpä olikin hyvintarpeen kurssin täydennys yliopistossa, josta myöhemmin tuleepuhe. Triviaalikoulun litterataosaston kohdalta tiesi siis tämäkoulujärjestys paluuta suunnilleen v:n 1611 kannalle.

Viipurin kimnaasilla oli ollut oma ohjelmansa, mutta se muo-kattiin nyt koulujärjestyksen mukaiseksi. Tällöin jäi matema-tiikan lehtorille edelleen hyvin laaja opetusohjelma : Aritme-tiikka, geometria (Euklideen 1 kirja), pallo-oppi, computuseeclesiasticus sekä maantiede. Näihin oli varattu kimnaasinkahdella ensimmäisellä luokalla vain 11 viikkotuntia yhteensä.

16

V;n 1654 jälkeen oli kimnaasissa yksi lehtori liian vähän, jol-loin matematiikan lehtorille tuli opetebtavaksi lisäksi Iatinanrunous (Hultin 1).

5. Juhana G&zelius vanhempi.

Ju'hana Gezeliuksen merkitys maamme opetusolojen kehityk-sessä yleensä ja myösaritmetiikassa on erittäin huomattava.Vuonna 1669 julkaisi Gezelius papeiksi pyrkiviä varten erikoi-set tutkintovaatimukset "Examen Ordinandorum". Tämäntutkinnon toiseen kohtaan "Examen Artium Jnstrumentaliumet Philosophiae" kuului mm. matematiikka (Tengström s. 37).

Gezeliuksen tärkeä kouluoloja käsittelevä julkaisu oli' 'Metho-dus Informandi". Alkeisopetus piti järjestää seurakunnittain.Jokaisessa seurakunnassa piti olla lastenopettaja. Jos vanhem-mat halusivat varsinaisen opetuksen lisäksi opetottavaksi lap-silleen kirjoitusta ja laskemista (4 laskutapaa), oli siitä mak-settava 6 markkaa. Hänen esityksensä poikkesivat vallitse-vasta koulujärjestyksestä huomattavasti rcaaliopetuksen suun-taan. Matematiikan opetukselle hän pani myös suuren painon.Esim. Hämeenlinnan koulussa jossa ei ollut lainkaan apologis-tia, hän määräsi collega primuksen antamaan aritmetiikan ope-tusta (Tengström s, 58~59). Näitä uudistuksia ei valitetta-vasti hyväksytty koko valtakunnassa käytettäviksi, muttaomassa hiippakunnassaan Gezelius sai luvan niiden kokeilemi-seen.

Sen, mitä kurssiin tri viaalikouluissa tällöin kuului, osoittaav. 1665 pidetty tarkastuskertomus Uudenkaupungin koulusta.Aritmetiikan osalta mainitaan 4 laskutapaa kokonaisluvuilla,murtoluvut sekä regula aurea. Apologistiluokalla mainitaan li-säksi regula dupli (Tengström s. 65-66).

Näemme, miten Gezelius säännöksiUään ja tarkastuksillaan onkohottanut opetusta maassamme noudattaen Comeniuksen aat-teita. Mutta vielä enemmän sitä on edistänyt Turun kirjapai-

1,non perustaminen. Gezelius itse kirjoitti "Encyclopedia sy-noptican", joka sisälsi myös aritmetiikan, sekä myös j ulkaisi"Arithmetiea Latina eontraotan ". Nämä kirjat olivat tarkoi-tetut nimenomaan koulukirjoiksi ja ne tulivat koko maassa huu-tavaa oppikirjapulaa tyydyttämään (Areadius s. 38).

6. V:n 1693 koulujärjestys.

Valitettavasti eivät Gezeliuksen realistiset aatteet tulleet ylei-sesti toteutetuiksi v:n 1693 koulujärjstyksessä. Kävi päinvas-toin. Apologistiluokka poistettiin kokonaan ja aritmctiikanopetus triviaalikouluissa jäi ainoastaan IV: He luokalle, jolla oliopetettava 4 laskutapaa kokonaisilla luvuilla (Akiander s. 74).V: n 1719 kon istorimietirrtöjen perusteella kuitenkin voi pää-tellä, että tämä opetus toisinaan jäi varsin heikoksi (HernlundI). Kimnaasissaioli edelleenkin matematiikan lehtori, jonkaopetusalaan kuului aritmetiikka, cornputus ecclesiasticus, primaelementa geometriaa ja maantiede, oppikirjoissa GezeliuksenEnsyclopedia (Akiander s. 76). Joissakin paikoissa meidänkinmaassamme koulujärjestyksestä huolimatta jäi apologistiluokkaolemaan samoinkuin Vexiön koulusta mainitaan (Arcadius s,31). Tämä koulujärjestys taas sisälsi taantumusta aritmetiikansamoinkuin yleensä rcaalitieteiden alalla, mutta se ei jäänytkäänkuin 3: ksi vuosikymmeneksi voimaan.

7. TUI'un Yliopisfu.

Turun Yliopisto perustettiin v. 1640 Turun kimnaasin jat-koksi. Kun aritmetiikan opetus kouluissa oli vähäistä, jäi sesuuressa määrin yliopiston huoleksi. Oli suuri onni, että yli-opistoon saatiin matematiikan opettajiksi yleensä pystyvia mie-hiä. Niinpä aikalaiset pitivätkin yliopiston matemaattista tasoaerittäin korkeana (Hultin II s, 45).

2 Koulu ja MennrisYYI

18Ensimmäisenä professorina oli Simon Kexlerus, jonka ope-

tusta erikoisesti kiitettiin hyväksi (Hultin II s, 41). Erikoi-sesti on mainittava hänen oppikirjansa, jotka hän julkaisi Pie-tari Brahen kehoituksesta. Nämä ilmestyivät aluksi osittainhänen johdollaan ja hänen luentojensa perusteella tehtyinä väi-töskirjoina, Aritmetiikan alalta hän julkaisi Arithmetica trip-lex 'in ja Arithmetica vulgariksen. Kexlerus on niitä harvojatämän ajan opettajia Suomessa, jotka elämänsä loppuun astipysyivät matematiikalla uskollisina, eivätkä siirtyneet papilli-siin tehtäviin.

Kexleruksenaikana lienee yliopiston matematiikan profes-sori antanut opetusta aritmetiikassa, geometriassa, tähtitieteessäja maantieteessä sekä näiden käytännöllisissä sovellutuksis a.Lisäksi statuuttien mukaan olisi hänen pitänyt opettaa mm.algebraa, taso- ja pallotrigonometriaa, geodesiaa, mekaniikkaa,musiikkia, optiikkaa, arkkitehtuuria, purjehdusta, pallo-oppiasekä näiden kaikkien aineiden soveltamista käytännölliseen elä-mään esim. kauppaan. Tästä jo saattaa arvata, että kurssit ei-vät voineet olla laajoiksi suunniteltuja. Tällaisen ainepaljon-den takia anottiin, että määrättäisiin ylimääräinen matematii-kan professori yliopistoon ja tällaiseksi tulikin parin vuodenajaksi Petrus Laurbecehius. Hän siirtyi kuitenkin runoudenprofessoriksi, mutta julkaisi myöhemmin aritrnetiikan oppi-kirjan.

Kexleruksen jälkeen tuli Johannes Flachsenius matematiikanprofessoriksi. Hän julkaisi pienen kirjasen, nimeltään "Algc-brae eompendium ", josta lähti maamme algebran opetus kehit-tymään (Lokki).

FIachseniuksen jälkeen tuli Sven Dimberg matematiikan pro-fessoriksi. Eräässä hänen aikanaan julkaistussa JohannesFalekin väitöskirjassa (v. 1690) esiintyy ensi kerran maassam-me logaritmejä. Aiheena väitöskirjassa oli koronkorkolaskut.(Dahlbo).

Näin olemme luoneet silmäyksen myös siihen, miten maas-samme on opetuksen piiriin tullut kaikki se, mitä laskimme arit-

19metiikkaan kuuluvaksi. Tosin kaikki ei kuulunut vielä koulu-opetukseen, vaan näiden asioiden siirtyminen yliopistosta kou-lun piiriin tapahtui vasta seuraavalla vuosisadalla.

Y'leislcdisau« ajanjaksoo?/.

Jos katsomme aritrnetiikan opetuksen kehitystä tarkastettunaajanjaksona, huomaamme runsaan sadan vuoden aikana selviinvoimakkaan kehityksen aivan ensimmäisistä laskutaidon aak-kosista, järjestelmälliseen kouluopetukseen. jota varten oli saa.uerinomaisesti ajan vaatimuksia vastaava Gezeliuksen Ensyelo-pediaan kuuluva kotimainen oppikirjakin. Tähän kehitykseenon erittäin suuresti vaikuttanut Turun Yliopiston matematii-kan professorien tuleville opettajille antama oivallinen opetus.

Tosin koulujärjestysten määräykset tänä aikana horjahteli-vat milloin mihinkin päin. Tämä osoittaa vain ettii kokeil [i ;11

ja haettiin sopivaa koulumuotoa. Niinpä saatiinkin v. I72-J.annettu koulujärjestys sellaiseksi, että se pysyi voimassa vuosi-sadan ajan.

Aateliston piirissä säilyi koko ajan aateliesivistykseen kuulu-va rcaaliaineiden opetus ja täällä pysyi ilman mitään vaihtelujamyös aritrnetiikka arvossaan opetusaineena.

Opettajavalmistukseen kuului korkeintaan sen tietomäärä"hankkiminen, mikä papeilta vaadittiin. Opettajan työtä pidet-tiin raskaana niin, että opettajille myönnettiin kaksinkertaisetvirkavuodet papinvirkoihin haettaessa. Tästä oli seurauksena,että puhumattakaan triviaalikoulun opettajista useimmat kim-naasinkin lehtorit heidän joukossaan rnaternaticukselkin van-hempina siirtyivät papillisiin tehtäviin. Samaa on havaitta-vissa vielä ISOO-Iuvun alussakin (Vrt. Alopaeus, opettajaluette-lot).

~o

1. Koulumuodot.

Koulumuodot pysyid.t ennallaan v :n 1nJ koulujiirjeslyk-sessii. 'I'riviaalikoulu, jolla isia maassamme oli useita, oli edel-leen -l-luokka inen, mutta siihen perustettiin uudelleen apolo-gistiluokka, Pedagogiot, joita oli pienemmillä paikkakunnilla,olivat koulujärjestyksen mukaan yksiluokkaisia, mutta käy-tärnnössä joskus uscarnpiluokkaisiakin. 1'\e vastasivat suunnil-leen triviaalikoulun 1 luokkaa. Kimnaasit jaettiin kahteen ryh-mään, suurempiin ja pienempiin. l\Iaamme ainoa kimnaasi,alunperin Viipurin itternmin Porvoon, kuului pikemminkinpienempiin, vaikka siinä olikin 6 lehtoria eli enemmän kuinnormaalisissa pienemmissä kirnnaaseissa. 'I'urun 'ka tcdraali-koulu oli kimnaasin ja triviaalikoulun välimuoto. Siitä samoin-kuin eräistä triviaalikouluistakin päästiin yliopstoon.

2. V:n 1724 koululaki ja sen synty.

Ymmärrettiin hyvin, että v:n 1693 koulujärjestys kaikkinepuu rteineen ei enää voinut tyydyttää ajan opetukselle asetta-mia vaatimuksia. Olihan kehitys kulkemassa vapauden ajanuusia virtauksia, talouselämän merkityksen tehostamista kohti.Kansliakolleegio määräsikin v: 1719 konsistoreja ja tuomiokapi-tuloja antamaan lausuntonsa entisestä koululaista. 1Täissä lau-sunnoissa on näkyvissä mielipiteitä aina entisen järjestyksensäilyttämisestä sellaisen komitean asettamiseen asti, jossa olisimyös maallisen alan edustajia mukana. Eräät ehdotukset me-nivät myös siihen suuntaan, että triviaalikoulun 1 Iuokallekintulisi aritmetiikkaa ja kirjanpitoa katkismuksen luvun kustan-n uksella. Kimnaasissa jäisi ari:tmetiikka ehdotusten mukaanennalleen kahden alimman luokan opetusaineeksi. Oppikirjoinaolisivat Agreliuksen, Spolen ja Laurenbergiuksen kirjat.

~l

Lopullinen koulujärjestys. joka oli tarkoitus aluksi saattaavoimaan vain kokeeksi, julkaistiin v. 1724. Se oli v. 1719 an-nettujen lausuntojen pohjalla laadittu ja jäi kaikesta huoli-matta. verraten yksipuolisesti pappiskasvaitusta palvelevaksi,Käytännön elämän vaatimukset otettiin huomioon vain apolo-gistiluokan perustamisen muodossa. Apologistille esitetyissäpätevyysvaatimusehdotuksissa näkyy myös ajalle ominainen jaluokan merkitystä kuvaava ehdotus: "Apologisten borde hafvaräknekonsten vid lands. eller kopmanskontor själv praktiserat".

Nyt ei ollut niinkään saatavissa apologisteja, vaan aluksi täv-tyi tyytyä muiden opettajien antamaan opetukseen, jolloinmäärättiin vaikeimmat asiat jätettäviksi kimnaasiin. Apologistiluokkaa lukuunottamatta eivät juuri opetusaineet muuttunee..Apologistin tehtiiviin tuli taas Kuulumaan kuten ennenkin ylim-män luokan aritmetiikan opetus, Myös kimnaasissa m-ilrnet.iikan opetus pysyi suunnilleen ennallaan. Oppikirjana ldiytei 0

tiin Gezeliuksen Ensyclopediaa. Kurssiin laskettiin kuuluvaksineljä laskutapaa. neliöjuuren otto ja arithmetica speciosa.

Koulujärjestys panee myös suuren painon opettajiksi tule-vien sopivaisuudelle. Heidän oli osoitettava pätevyytensäomassa opetusaineessaan väitöstilaisuuksissa ja muutenkin tut-kittiin heidän sopivaisuuttaan opettajantoimeen. Tästä vu l'maankin on koitunut paljon hyötyä opetuksen tehokkuuttaajateltaessa.

Tämä koulujärjestys takasi lopullisesti kouluissa aritmetii-kalle määrätyn aseman, mutta täytyy sanoa, että opetuslaajuusei mitenkään va tannut ajan tarpeita. Tämä näkyy paraiten,kun lähdemme seuraamaan uudistusehdotuksia, joita, pitkin1700-lukua tehtiin. Valitettavasti niitä ei ajan levottomien po-liittisten olojen vuoksi saatu ajetuiksi läpi ennenkuin Ruotsissav, 1807 ja meillä vasta v, 18-11. Kuitenkaan eivät uudistus-ehdotukset jääneet omana aikanaankaari merkityksettömiksi.vaan niiden sisältö an toi leimansa opetukselle.

3. 1700-luvun ulldistusesityksiä.

Uudistusesityksiä tehtiin paljon ja koulukomissiot istuivatvähäisiä keskeytyksia lukuunottamatta melkein koko ajan. Se-lostamme näistä esityksistä muutamia.

Kauppiaitten ja käsityöläisten piirissä oltiin tyytymättömiäopetusohjelmaan. Xiiripä v. 1739 heidän lähetystönsä esitti,että rcaaliaineita otettaisiin kouluihin hyödyttömien aineiden ti-lalle.

Kasvatusopillisten kysymysten pohdinta 1700-1uvulla oli erit-täin vilkasta. Ruotsissa ilmestyi yli 400 kirjoitusta tältä alalta.Ne olivat sisällöltään enimmäkseen köykäisiä, mutta muutamiaasiallisiakiri oli joukossa. Eräs tällainen oli Eric Ekelundin"Uppfostringslära", joka on ensimmäinen varsinainen peda-goginen 'teos Ruotsi-Suomessa. Tässä teoksessaan Ekelund esit-tää myös koulun uudistusehdotuksen, joka ajan hengen mu-kaan on rcaaliaineiden merkitystä tähdentävä. Myös koetetaansaada uudet kielet mukaan opetusohjelmaan entistä suurem-massa laajuudessa ja, mikä tärkeintä, vaaditaan, e-ttä reaali-aineet on opetettava ruotsin kielellä entisen latinaksi tapahtu-neen opetuksen sijaan. Myös matematiikkaa kuului näihin ai-neisiin. Tämä ajatus hyväksyttiin jo silloin yleisesti ainakinniiden kohdalta, jotka tarvitsivat oppia muita tarkoituksia. var-ten kuin jatkaakseen korkeammassa oppilaitoksessa. Tämä saiaikaan sen, että kouluissa ruvettiin käyttämään ruotsinkielisiäoppikirjoja ja sopivia kirjoja ilmestyikiri runsaasti 1700-luvullaesim. Celsiuksen, Palmquistin, Liedbeekin ja Sereveliuksen laa-timat. Oli jo 1600-alusta lähtien painettu aritmetiikan oppi.-kirjoja ruotsiksi (Hammarskjöld), mu lta niitä ei mainita tri-viaalikoulun litterata-linjalla ja kimnaasissa käytetyn ennen-kuin 1700-luvulla. Ne olivat laaditut ilmeisesti apologistiluo-kan ja mahdollisesti aateliston tarpeita varten.

Onnistunut on myös Ekelundin opetussuunnitelmaluonnos.jonka hän kirjassaan esittää. Siinä oli erittäin hyvin jaettumm. aritrnetirkan opetus eri luokille, jolloin oppilaille kävi

23mahdolliseksi sulattaa oppimansa asiat. Sama jako on pääpiir-teittäin vielä meidänkin päivinämme käytännössä. Siksipä tul-koon tämä ohjelma tässä yhteydessä mainituksi:

Triviaalikoulut: I 1. neljä laskutapaa kokonaisluvuin, II l.samat murtoluvuilla, III 1. yksi- ja kaksiehtoinen päätöslaskukokonais- ja murtoluvuilla sekä seuralasku, regula alligatiomsja korkolasku, IV 1. arithmetica vulgaris luetaan loppuun.Laskuluokalla piti arthmetica vulgariksen lisäksi lukea kamari-tehdas- ja kauppakirjanpitoa.

Kimnaasi : II: 11a palautetaan mieliin aikaisemmin opittu.Lisäksi opitaan neliö- ja kuutiojuurten otto, II 1.lla todistetaanaritrnetiikan säännöt ja kurssi päätetään. Vasta tällä luokallaesitetään siis aritmetiikan teoria.

Huomattava on myös se, että aritmetiikka mainitaan oppi-aineita Iueteltaessa ensimmäisenä tai toisena.

Vaikutuksiltaan suuret varsinkin Turun hiippakunnan kou-luissa olivat Ekelundin mielipiteiden kanssa samanaikaisetpiispa Browalliuksen aatteet. Nämä radikaaliset ajatukset tu-livat julkisuuteen useassakin yhteydessä, esim. Turun tuomiokapitulin mietinnössä 27. III. 1754 ja kirjoituksessa ' 'Oförgri-peliga tankar om undervisningsverket".

Lausunnon mukaan oli maassamme matematiikan kouluope-tus ollut niin heikkoa, että oppilaat tullessaan yliopistossa mate-matiikan luennoille, joutuivat ikäänkuin aivan oudon asiankanssa tekemisiin. Myös apologistiluokalla annettava laskutai-don opetus kaipasi uudistusta, sillä se perustui monimutkaistensääntöjen ulkoaoppimiseen. Esitettiin, että kun apologistiluo-kan oppilaat käyttävät 6-7 vuotta kurssin suorittamiseen,heille ensimmäisinä vuosina opetettaisiin käytännöllinen lasku-taito ja sitten myöhemmin arithmetica mathematica, esim. Ce1•

siuksen aritrnetiikan mukaan, Näin he oppisivat ymmärtämäänlaskemisen perusteet, varsinkin jos opettajat pystyivät anta-maan heille riittävää selvitystä tehtävien käsittelyssä, ja osaisi-vat soveltaa niitä sellaisiinkiri tapauksiin, joita ei voi suorittaakoneellisesti annettujen sääntöjen mukaan. Yleensä pitäisi

24

matematiikan samoinkuin muidenkin aineiden oppikirjojenolla niin laadittuja, että olisi eri kirjat alkcisopetust a ja myö-hempää opetusta varten (Leinberg 1 s. 115-176).

Browallius panee erikoista painoa reaaliaineiden mm. lasku-taidon oppimiseen. Yleensä opetuksessa oli noudatettava oppi-laiden käsityskyvyn mukaista esitystä ja opetuksen tuli tapah-tua äidinkielella. V. 1745 asetettu kasvatuskomissio kyllä aset-tui hyvin suuressa määrin Browalliuksen mielipiteiden kan-nalle, mutta konsistorit Turkua lukuunottamatta asettuivat vas-tustamaan. Näin jäivät Browalliuksen erinomaiset ajatuksettoistaiseksi odottamaan sitä, että ajan henki kypsyisi niitä vas-taanottarnaan (Lcinberg 1s. 115-176 ja Österbladh).

1700-Juvun puolivälissä tehosti Turun Yliopiston professoriKraftman myös sitä, että matematiikan opetus on järjcstettäviioppilaiden käsityskykyä vastaavaksi. Hän esitti algebraa rnyösotettavaksi koulukurssiin. Matematiikan tarpeellisuutta. hänperusteli ajan hengen mukaan siitä saatavana hyödyllä ja tah-toi tuoda myös tyttöjen opetukseen matematiikan.

Tuntimäärä ei tahtonut 1700-Juvulla riittää laajempien kirjo-jen läpikäymiseen. Tästä johtuen alettiin julkaista Iyhennet-tyjä oppikirjoja. Niitä ilmestyi useita (Hammarskjöld}, joistameillä ehkä tunnetuin oli Screveliuksen ",Genvägar".

Ajan levottomuuksien johdosta koulukomissioitten työ oli1760-luvulla taas jonkin aikaa sei auksissa. V. 1770 komissioasetettiin uudelleen ja se sai v. 1778 ehdotuksensa valmiiksi.Siinä ei matematiikan asema olisi paljoakaan tullut entisestäänmuuttumaan, mutta sehän ei koskaan astunutsaan voimaan(Hernlund 1 ja II) .

.i. Kouluolot v:11. 1800 jälkeen.

Näimme miten rcaaliopetus oli jäänvt hyvin lapsipuolen ase-maan, vaikkakin vapaudenajan uudistuspyrinnöt olivat yrittä-neet tehostaa sen merkitystä. Apologistiluokka oli ainoa, joka

25

edusti tätä puolta opetuksessa. Sehän oli aluksi perustettu val-tion virkamiesten ja kauppiaitten oppiahjoksi, mutta jo 1600-luvulla se muodostui hyvin suuressa määrin sellaisten oppilai-den kaatopaikaksi. jotka eivät pystyneet litterata-linjalla seu-raamaan opetusta. (Hastig s. 35). lS00-luvun alussa ei apo-logistiluokan käyneitä voitu hyväksyä muuta kuin alempiin val-tion virkoihin. Ei sitä pidetty enää riittävänä elinkeinon har-joittajilJekaan opetuksen alkeellisuuden ja puutteellisuudenvuO'ksi.

Varsinkin lS00-luvun alussa asiaan yritettiin saada paran-nusta. Silloin perustettiin eräisiin triviaalikouluihin kokeeksikollehtorin luokkia apologistiluokkien jatkoksi. Näiden luok-kien tarkoituksena oli rcaalitiedon Ievittäminen ja täydcnuå-minen. TäHä luokalta päästiin myös yliopistoon (Pär sinen s.102). Myös litterata-Iinjalta pääsi jo vuosisadan alussa matc-matiikka alemmillakiri luokilla opetusohjelmaan aluksi Porvoonhiippakunnan kouluissa v. lS37 (Pärsinen s. 15S). Tä<;säuudistuksessa on havaittavissa Pestalozzin vaikutusta. Ajanreaalitiedon ta.rvetta kuvaa sekin, että apologistiluokat olivattavattoman suuria.

Näihin aikoihin vallitsivat maamme koulumaailmassa uushu-manistiset aatteet. Eräänä todistuksena tästä on myös se, ettiiylioppilastutkinnossa annettiin matematiikalle suuri arvo lati-nan rinnalla aineiden välistä arvoasteikkoa laadittaessa.

Lähdemme nyt seuraavassa tarkastama.anhiukan, miten esi-tetyt uudistusvirtaukset ovat näkyneet maassamme ja milliikannalla yleensä aritmetiikan opetus on ollut eri kouluissa.

5. V:n 1724 koululain toteuttaminen Länsi-Suomen kouluissa.

Kauden alussa oli Suomi juuri ollut Isonvihan jaloissa. Tänäaikana olivat koulut lyhemmän tai pitemmän ajan olleet sei-sauksissa, Kesti muutamia vuosia ennenkuin koulut pääsivättäy.teen toimintaan. Tarkastamme nyt eri koulujen opetusta.

26

P e dag 0 g i 0 t.

Pedagogiöiden ohjelmaan oli 1600-luvun puolivälistä lähtienkuulunut numeroiden oppiminen. 1700-luvun puolivälissä mai-nitaan pedagogioiden ohjelmassa myös laskeminen. 1800-luvullausein lisättiin pedagogioihin toinenkin luokka ja sillä tuli ajanvaatimusten mukaan pääasiassa reaaliaineita opetettavaksi, mm.hiukan laskentoa (Svanljung s, 12-13).

'I' r i via ali k 0 U 1 u t.

'I'riviaalikouluja oli maassamme Porissa, Helsingissä, Kuo-piossa, Loviisassa, Uudessakaupungissa, Raumalla, Hämeenlin-nassa, Oulussa ja Vaasassa (Leinberg 1). Kaikki koulut eivätolleet täydellisiä. Esim. Kuopion koulusta puuttui vielä 1800-luvun alussa apologistiluokka, samoin Loviisan koulusta (Pärs-sinen s. 114). Näiden koulujen toiminta teho oli hyvin suuressamäärässä riippuvainen koulujen kulloisistakin opettajista(Esim. Cajander s. 46). Välistä saattoivat opettajavoimat ollatila päisiä ja heidän omat tai tonsakin heikot niin, että saattaahyvin arvata, mitä oppilaat silloin oppivat. Konsistorin kir-jeissä puhutaan mm. siitä, että tärkeätä aritmetiikan opetustaoli harjoitettava niin, että oppilaat pystyvät saavuttamaan siinäenistä paremman taidon. On kyllä ollut päinvastaisiakin ta-pauksia, jolloin opettajat aikaansa ja vaivojaan säästämättäovt 'antaneet oppilailleen laajempiakiri tietoja yksityisopetuk-sen muodossa siten helpottaakseen oppilaidn tulevia yliopisto-opintoja.

Lukeminen tapahtui määrätyissä piireissä (Coetus). Esim.rehtorin ja vararehtorin luokat lukivat samoja läksyjä. Näintuli aritmetiikkaa luettavaksi kahdella ylimmällä luokalla.

Tässä yhteydessä mainittakoon muutamia kuvaavia esimerk-kejä oppiennätyksistä eri aikoina. Tarkastamme aluksi Cajan-derin antamia tietoja Uudenkaupungin koulusta. V:n 1698tarkastuspöytäkirjassa mainitaan vanhimpien oppilaiden osan-neen neljä laskutapaa ja regula aurean (s.29). V. 1724 apolo-gistiluokan oppilaat osasivat laskea myös murtoluvuilla (s. 39).

27

V. 1755 Browalliuksen tarkastuksen yhteydessä todettiin oppi-laiden osanneen päätöslaskua myös murtoluvuilla ja v. 1759mainitaan opetetun myös laskemista logaritmeilla (8. 48-94).V. 1800 mainitaan, että oli ehditty lukea kokonaiset ja murto-luvut ja joskus päätöslaskua. Yksi oppilas oli laskenut kokolaskuopin (s. 68).

Yleensä mainitaan tänä aikakautena, että kouluissa ehdittiinkäsitellä laskutoimitukset kokonaisluvuilla, usein myös laatu- jamurtoluvut sekä päätöslasku. Verraten harvoin ehdittiin kor-ko-, seura- ja rabattolaskut ja hyvin harvat koko aritmetiikan.'I'arkastaessarnme Uudenkaupungin koulun yllämainittuja oppi-ennätyksiä huomaamme oppimäärissä selvän kehityksen, jokakuitenkin liittyy läheisesti käytettäviin oppikirjoihin. Turunhiippakunnan kouluis a mainitaan pääasiassa käytetyn Lied-beckin, Agreliuksen, Anderssonin, Beckmarckin, Bcrgmarckin,myöhemmin Zweibergin ja Forsellin oppikirjoja sekä Junkerinesimerkkitauluja. Vaasan koulussa käytettiin myös eräänävuonna Beckrnarckin algebraa (Svanljung s. 143-144). Tor-nion koulussa, joka oli laaja pedagogio, luettiin v. 1787 myösgeometriaa algebraa avulla. Myös Celsiuksen ja Palmqvistinkirjat ovat olleet hyvin suosittuja maassamme niiden sisällön jasuppeuden vuoksi (Lauren s. 263, Pärssincn s. 158). Eriko'-sesti Porvoon. hiippakunnan koulujen yhteydessä nämä useinmainitaan. Eräissä kouluissa olivat opettajat laatineet lyhen-nykset oppikirjoista, jotka olivat kurssiin verrattuina liianlaajat. Esimerkiksi Winter oli Uudessakaupungissa laatinuttällaisen Agreliuksen kirjasta (Cajander s. 51). Vuosisadanlopulla näyttää Bergmarckiri kirja olleen suosittu apologistiluo-kan oppikirjana (Lauren s. 267).

K a ted r a ali k 0 u 1 u.

Suomen ainoa katedraalikoulu oli Turussa. Se muutettiinkimnaasiksi Turun palon jälkeen v, 1830, kun yliopisto siirtyiHelsinkiin. Katedraalikoulu oli suunnilleen samanlainen kuintriviaalikoulut, mutta siihen kuului 5 luokkaa ja opetus oli tri-

28

viaalikoululle säädettya laajempi, jotta. se olisi soveliaarnpi yli-opiston pohjakouluksi. Myds oli koulu välittömästi piispan val-vonnan alaisena, joten opetusteho oli siellä parempi kuin muissatriviaalikouluissa. Tähän kouluun tuli yleensä: myös hyvätopettaja voimat. ISiitä huolimatta ei tuloksia edes täällä pidettyaina riittävinä. Esimerkiksi v, 1786 eivät oppilaat osanneetlainkaan korkolaskua ja v in 1805-06 tutkinnossa osottautu:apologistilnokan oppilaiden laskutaito olevan laadultaan ko-neellista vailla asioiden syvällisempää ymmärtiimistå (Hastig 1>.

229). Katedraalikoulu oli ensimmiiinen, joka sai kollehtor-iluo-kan, Se tapahtui v.1807 (Hastig s.186).

Paitsi tavanmukaisesti opetettiin aritmetiikkaa katedraali-koulussa 1700-luvun lopulla myös II:lla ja III:Jla luokalla.vaikka tämä lienee olut vähäistä. Kirjoina olivau Agreliuksen.Celsiuksen ja Screveliuksen oppikirjat. 1700 Juvun lopulla jn1800-Juvun alussa tulivat käytäntöön 'lisäksi ainakin jotkut triviaalikoulujen yhteydessä mainitut kirjat Ulastig s. 227).

Opettajavalmennus oli ollut pitkät ajat pohdinnan alaisena.Katedraalikoulusta tuli ensimmäinen opettajaharjoittelulaitos1800-luvun alussa. Siellä opettajiksi aikovat saivat kuunnellaopetusta ja itse sitä harjoitella.

P 0 r v 0 0 n k im n a a s i.

Porvoon kuunaasi perustettiin Isonvihan jälkeen jatkamaanViipurin kirnnaasin toimintaa. .se kuului pienempiin, joissamatematiikan lehtorin opetusvelvollisuuksiin kuului myös 10-giikän opetus. Oppilaat oli jaettu kahteen piiriin (eoet us)alempaan ja ylempään. Alemman piirin oppiainei iin kuuluiaritrnetiikka.

Samoinkuin muissa kouluissa, tuntui täälläkin vapauden ajanvirtaukset voimakkaina 1750-Iuvulla. Suunniteltiin mm. melkopitkälle menevää Iinjajakoa, jolloin ajateltiin erikoisen mate-maattisen Iinjan perustamista. Tä:tä ei kuitenkaan toteutettu(Hultin 1 s. 142).

Kimnaasrin saatiin yleensä erittäin hyvät matematiikan leh-

29

torit. Heistä useat olivat olleet ennen lehtoriksi .uloaan vli-opiston dosentteja. Erikoisesti on mainitta va Alcpacukset 1700-luvun viimeisinä vuosikymmeninä ja 1800-1uvun alussa.

Magnus Jakob Alopaeus tuli matematiikan lehtorikai Y. 1770.Hänen virkaaruastujaisesitelmänsä koski matematiikan merki-tystä kouluissa samoinkuin myöhemmin hänen poikansa :Jlag-nuksenkin esitelmä. Myös heidän välillään lehtorina olleen Tu-run Yliopiston entisen tähtitieteen dosentin Meinanderin esi-telmä kosketteli samoja asioita. Nämä miehet olivat paitsi ete-viä matemaatikoita myös erinomaisia pedagogeja, joilla sydä-menasianaan oli oppilaidensa edistyminen. Erikoisesti MagnusAlopaeuksesta kerrotaan, että hän koetti vielä ylimääriiiselläki.iajalla koronaan selvitellä kurssia niille, joille matematiikka dli

vaikeata.

Näiden miesten aikana yritettiin parantaa matematiikan ase-maa kimnaasissa. Olihan matemaaticuksella opetettavana vielälogiikkakin. M. Alopaeus ehdotti kahden tai kolmen maternaat-tieten aineiden opettajan viran perustamista. Tätä ei hyväk-sytty, mutta sellainen uudistus saatiin aikaan, että kimnaasiinperustettiin uusi Iehtorin virka, jonka hoitaja tuli luennoimaanlogiikkaa. Nyt jäi matematiikan lehtorilIevain matematiikkaja matemaattinen tähtitiede, mitä on pidettävä matematiikanopetukselle suurena voittona. Suunnitelmat kimnaasi-akate.mian perustamisesta, jossa matematiikan opetus olisi ulottunutaina. differentiaali- ja integraalilaskuun saakka raukesi va t tyh-jiin. Myös opettajapätevyyden lisäämiseksi Alopaeus suunnit-teli sellaista teologis-rnatemaattista seminaaria, jossa kunkin ai-neen opettaja olisi ohjannut kokelaita oman aineensa opetustai-dossa.

Oppiennatylrsistä mainittakoon seuraavaa: 1770-luyuUakimnaasin alaluokilla luettiin Celsiuksen aritmetiikan II .ta pai-nosta. Myös ylcrnrnillii luokilla luettiin tavallisestiaritmetiik-kaa ja 'hiukan algebraa jo 1750-iluvulta alkaen (Alopaeus s. 207).Varsinainen algcbran oppikirja saatiin vasta v. 1794, jolloinBeekmarckin kirja. ilmestyi. V:n 1808 syyslukukaudelta taas

30

mainitaan Magnus Alopaeuksen luennoineen ylemmällä luokaltakirjainlaskua ja käyneen läpi kokonais- ja murtoluvuilla suori-tettavat Iaskutoimitukset potenssiinkorotukset, juurenotot(myös muutkin kuin neliö- ja kuutiojuuret ) sekä: algebrasta L:nja II:n asteen yhtälöt. (Kokonais. ja murtoluvuilla suoritet-tavat laskut ovat olleet ilmeisesti vain kertausta, koskapa ne vaa-dittiin jo sisäänpääsykuulustelussa). Logaritmioppi kuuluimyös 1800-luvun alussa kimnaasin kurssiin, sillä siitä tehtiinkysymyksiä mm. v. 1812 vuosikuulustelussa.

D. ITÄ-SUOMEN KOULl1l0LOT.

Länsi-Suomen koululaitos pysyi monista ajan hengen mukai-sista uudistusyrityksistä huolimatta pääasiassa pappien valmis-tuelaitoksena. Koulujärjestykseen ei tehty mitään oleellisiauudistuksia, mutta erinomaiset koulumiehet saivat aikaan, ku-ten olemme nähneet, aika paljon uudistuksia reaaliopetuksenhyväksi.

Itä-Suomessa kehittyi kouluopetus kuitenkin hyvin voimak-kaasti kaikkien säätyjen kansalaiskasvatuksen ollessa päärnaä-rana, Koulut olivat Isonvihan jälkeen lamassa aina vuoteen1744 asti, jolloin annettiin ensimmäinen koulujärjestys. Tämänmukaan tuli koulumuodoiksi katedraalikoulu (Viipuriin). tri-viaalikoulu (Haminaan) ja pedagogio. Nämä koulut vielä vas-tasivat jokseenkin 'tarkkaan Länsi-Suomen vastaavia oppilai-toksia. Myöhemmin sai kuitenkin katedraalikoulussa valitateologisten ja matemaattisten aineiden välillä. Opetuskielenäoli (aina v reen 1841 asti) pääasiassa saksa. - Laskutaidon ope-tus tapahtui näissä kouluissa ensimmäisellä luokalla kaupunginkirjoitus- ja laskumestarin toimesta.

Seuraava vaihe oli koulujen muuttaminen v. 178'6 kansakou-luiksi, Näistä ylemmät olivat 4-luokkaisia, alemmat 2-luokkai-sia, Aritmetiikan opetus ylemmissä kansakouluissa oli järjes-tetty seuraavasti: 1 1. opetettiin vain numerot, II 1:11a arit-

D. ITX-SUOM:EN KOULfllOLOT.

30

mainitaan Magnus Alopaeuksen luennoineen ylemmällä luokaltakirjainlaskua ja käyneen läpi kokonais- ja murtoluvuilla suori-tettavat lasku toimitukset, potenssiinkorotukset, juurenotot(myös muutkin kuin neliö- ja kuutiojuuret ) sekä algebrasta I:nja II:n asteen yhtälöt. (Kokonais, ja murtoluvuilla suoritet-tavat laskut ovat olleet ilmeisesti vain kertausta, koskapa ne vaa-dittiin jo sisäänpääsykuulustelussa) . Logaritmioppi kuuluimyös 1800.Juvun alussa kimnaasin kurssiin, sillä siitä tehtiinkysymyksiä mm. v. 1812 vuosikuulustelussa.

Länsi-Suomen koululaitos pysyi monista ajan hengen mukai-sista uudistusyrityksistä huolimatta pääasiassa pappien valmis-tuslaitoksena. Koulujärjestykseen ei tehty mitään oleellisiauudistuksia, mutta erinomaiset koulumiehet saivat aikaan, ku-ten olemme nähneet, aika paljon uudistuksia reaaliopetuksenhyväksi.

Itä-Suomessa kehittyi kouluopetus kuitenkin hyvin voimak-kaasti kaikkien säätyjen kansalaiskasvatuksen ollessa päämää-ränä. Koulut olivat Isonvihan jälkeen lamassa aina vuoteen1744 asti, jolloin annettiin ensimmäinen koulujärjestys. Tämänmukaan tuli koulumuodoiksi katedraalikoulu (Viipuriin), triviaalikoulu (Haminaan) ja pedagogio. Nämä koulut vielä vas-tasivat jokseenkin tarkkaan Länsi-Suomen vastaavia oppilai-toksia. Myöhemmin sai kuitenkin katedraalikoulussa valitateologisten ja matemaattisten aineiden välillä. Opetuskielenä'oli (aina v reen 1841 asti) pääasiassa saksa. - Laskutaidon ope-tus tapahtui näissä kouluissa ensimmäisellä luokalla kaupunginki-rjoitus- ja laskumestarin toimesta.

Seuraava vaihe oli koulujen muuttaminen v. 178'6 kansakoti-luiksi. Näistä ylemmät olivat 4-luokkaisia, alemmat 2-luokkai-sia, Aritmetiikan opetus ylemmissä kansakouluissa oli järjes-tetty seuraavasti: 1 1. opetettiin vain numerot, II 1: lla arit-

31

metiikan ensimmäinen ja III l :lla toinen osa. Opetukseen käy-tettiin kullakin luokalla 3 t. viikossa. Käytettävästä oppikir-jasta ei ole mainintoja, Alemmissa kansakouluissa kuului IIluokan kurssiin aritmetiikan I ja II osa samoinkuin ylemmässäkansakoulussakin. vaikka muuten niiden kurssi oli ylemmänkansakoulun kahden alimman luokan kurssia vastaava.

Nämä koulumuodot osottautuivat pian kehnoiksi ja opetus-tulokset oliva:t tavattoman heikkoja (Takolander s. 33). Kou-lujärjestystä muutettiin jo v, 1804 ja näiden koulumuotojentilalle tulivat seurakuntakoulut. piirikoulut ja kimnaasit. Vä-hitellen muodostuivat myös alemmat ja ylemmät tyttökoulut.Tässä koulujärjestyksessä näkyi hyvin selvästi Saksan silloisenkoulujärjestyksen vaikutus.

Seurakuntakoulut (parochiaalikoulut) olivat yksiluokkaisiaja niissä annettiin vain alkeisopetus. Ohjelmaan kuului mm.Iaskutaidon opetus. Sieltä päästiin piirikouluun, jonka sisään-pääsytutkinnossa vaadittiin kokonaisluvuilla suoritettavat las-kutoimitukset.

Piirikoulut jaettiin laajempiin (3-luokkaisiin) ja suppearn-piin (2-luokkaisiin). Niiden opetusohjelmaa mukailtiin myö-,

jonkinverran senmukaan, oliko seurakuntakoulu paikkakun-nalla vai ei. Sekä laajemman etä suppeamman koulun ohjel-mien piti olla suunnilleen samat, mutta suppeammissa kouluissaei vain tarvinnut käydä kurssia läpi niin peerusteellisesti kuinlaajemmissa. Laajemmissa piirikouluissa oli Länsi-Suomen kou-luihin verrattuna varattu suuri määrä tunteja ar-itmetiikalle,nimittäin kahdella alimmalla luokalla kummallakin 4 t. 32 viik-leotunnista. Täällä ei saanut tyytyä pelkkään mekaaniseen las-kutaidon opettamiseen vaan piti myös esittää perusteet lasku-toimituksille, vaikka opetus ei saanutkaan muodostua täysin tie-teelliseksi. Oppikirjoina käytettiin Viethin Anfangsgriindeäsekä Lorenzin ja Snellin kirjoja, alemmissa kouluissa taasViethin "Erster Unterrichtiä" ja osittain myös opetuksen poh-jana lienee ollut Winterfeldtin kirja.

Piirikoulusta päästiin kimnaasiin, jollainen oli maassamme

32

vain Viipurissa. Sisaänpääsykuulustelussa vaadittiin aritme-tiikassa 4 laskutapaa sekä kokonais- että murtoluvuilla. Kim-naasin alimmadla luokalla opetettiin syyslukukaudelha ·1It. (jos-kus ympäri vuoden 2 t.) viikossaaritmetiikkaa, joka esitettiinteoreettisesti, ja toisena luokalla algebraa syyslukukaudella 4 t.viikossa, jolloin kurssiin kuului 4 JaSikutapaa sekä oppi suhteistaja sarjoista yleisin merkein. Matematiikan opettajan opetus-velvollisuuksiin kuului aritmetiikan, geometrian ja algebranlisäksi maantiede, mineralogia, kasvioppi, oläinoppi, fysiikka jakemia. Suurena onnena täytyy matematiikan opetukselle pitääsitä, että heti alussa saatiin etevä ja innostunut pedagogi E. G.iHelartin kimnaasiin matematiikan opettajaksi.

Alemmat tyttökoulut olivat yksiluokkaisia ja niissä opetet-tiin muun opetuksen rinnalla vain eri korvausta vastaan lasku-taitoa, joka rajoittui pääasiassa päässälaskuun. Maamme ai-noaan, Viipurin 2-Juokkaiseen ylempään tyttökouluun olialempi pohjakouluna ja pääsyvaatimuksiin kuului mm. lasku-taidon perusteet. Koulun opetusohjelmassa oli alemmalla luo-kalla 1 t, viikossa päässä- ja 1 t. taulullalaskeemista ja ylem-mällä luokalla 2 t. viikossa laskentoa, Mitäiin oppikirjoja eimainita.

Oppikirjojen saanti oli hyvin vaikeata. Niinpä määrättiin-kin, että oppikirjojen puutteessa oli opettajan laadit:tava esitysaineestaan ja oppilaiden kirjoitettava se itselleen muistiin.

Vanhan Suomen kouluissa oli oppisuunnitelmien mukaanpääpaino uusilla kielillä ja reaaliaineilla, joten ne pal velivaterinomaisesti valtion virkamiesten kasvatusta ja antoivat hy-vän kansalaiskasvatuksen niillekin, jotka eivät aikoneet jatkaayliopistossa (Akiander, Melartin).

Tyttöjen opetus oli myös päässyt hyvään vauhtiin Itä-Suo-messa, kun sitä vastoin Länsi-Suomessa ei ollut vielä oikeastaanmitään oppilaitoksia tyttöjä varten. Prof. Wallenius esim.lausui IS00-luvun alussa, että tyttöjen kotiopettajalla ei tarvitseolla paljoakaan tietoja; aritmetiikassakin riittää hyvin opetta-jan tiedoiksi 4 laskutapaa ja päätöslasku (Pärssinen s. 329).

33

E. YKSITYISKOULUT.

1800-luvun alussa perustettiin maahamme rcaalisivistyksentarpeita tyydyttämään muutamia yksityisiä oppilaitoksia. Nämäkoulut pyrkivät seuraamaan ulkomaiden kasvatusopilli ten aat-teiden suuntaviivoja, Pestalozzin viitoittamaa tietä. Niinpänäiden koulujen opetusohjelmassa saikin matematiikka uusienkielten ohella hyvin tärkeän sijan. Vasta näissä kouluissa tulialgebra huomattavalle sijalle. Käymme nyt tarkastamaannäistä kouluista kolmea tärkeintä Gripenbergin, Laurellin jaBergenheimin koulua.

Gripenberg, joka perusti ensimmäisen koulunsa v. 1812 Hä-meenlinnaan, otti muiden koulujen lukusuunnitelmiin verrat-tuna hyvin laajan ohjelman toteuttaakseen. Oppiennätyksiinkuului tarkastettavissamme aineissa Lacroixin aritrnetiikka jaalgebra. Koulunkäyntiin laskettiin kuluvan aikaa 6-8 vuotta,mikä oli tarkoitettu vastaamaan suunnilleen silloisen korkeim-man reaalioppilaitoksen, katedraalikoulun illitterata-linjan käy-miseen kuluvaa aikaa. Uusi koulu vain oli sisällöltään paljonrunsaampi ja monipuoisempi.

Toisena yksi:tyiskouluna oli Lauvantaiseuran perustama"Helsingfors Lyceum", johon Laurell tuli johtajaksi. Kou-luun järjestettiin triviaalikoulua vastaavaksi 4-luokkainen op-pijakso, josta oppilaat pääsivät yliopistoon, mutta koulussa olitämän lisäksi vielä kaksi korkeampaa luokkaa. Pääsyvaatimuk-set tänne olivat suuremmat kuin triviaalikouluun mm. oli osat-tava päässälaskua, jota meillä opetettiin vain Gripenbergin v.1834 Helsinkiin perustamassa yhteiskoulussa. Latina oli kou-lussa vahvasti edustettuna, mutta sen ohella oli matematiikkasen ankaran metoodisuuden vuoksi hyvin huomattavalla sijalla.I 1:lla opetettiin 4 laskutapaa kokonaisluvuilla ja myös päässä-laskua, II 1: lla murtolukuoppi, IV 1~lla laatuluvut, desimaali-luvut, päätös-, kuutio- ja pinta-alalaskut sekä Forssellin alge-brasta 4 laskutapaa. V: Uä 1:l1a Forssellin mukaan potenssit,3 Koulu ja Mtnneisyy.

34

juuret ja yhtälöoppi. sarja- ja logaritmioppi mkä probleema!ja VII: 11a kirja loppuun ja Iisäksi 1 asteen yhtälöt Eulerinalgebrasta. Lisäksi opetettiin jonkinverran kombinaatio-oppia,Koko opetus oli perusteellisempaa sekä uusien metoodien mu-kaan paremmin järjestettyä ja paljon laajempaa kuin julkisissaoppilaitoksissa. Tässä esitettyä oppijaksoa voimme pitää jomelko täydellisenä matematiikan koulukurssina,

Bergenheim perusti Turkuun v. 1840 rcaalikoulun ja -lyseon.Tämä koulu oli myöa pestalozzilainen oppilaitos, johon kuulu:3-4-1uokkainen koulu ja 2-3~luokkainen lyseo. Aritmetiiknnja algebran jako oli suoritettu niin, että 'koulussa luettiin ar il-metiikka ja Jvseossa algebra. 'Tämä oppilaitos tosin eli vaiikolmisen vuotta, mutta se oli tosiaan rcaalioppilaitos. jonka 311-

pisuunnitelma oli laadittu virkamiesten. kauppiaiden vm. ,,',d-mistarniseksi.

Näiden oppilaitosten metoodeja ja. niiden saavuitamia tulok-sia koulukornissiot seurasivat tarkasti ja ne 0\'a1 osaltaan vai-kuttaneet huomattavasti uuteen koulujärjestykseen.

F'. V:N 1841 KOULUJÄRJl,j'STYKSESTÄ.

Koulukysymysten johdossa olivat ISOO-luvulla Alopaeus jaMelartin. Heidän johdollaan taisteli kaksi erflaistaJcoulumuo-toa, Länsi- ja Itä-Suomessa vallitseva. Näitä yritettiin sovi-tella, mutta kompromissiratkaisua ei saatu syntymään ja niinasetettiin koulukomissio v. 1815. Kaikilta tahoilta tehostettiinreaaliopetuksen tärkeyttä ja nimenomaan sitä, että kouluope-tus ei saanut olla yksinomaan papillisellc 'alalle aikovien tarpei-siin suunniteltua. Nyt vasta tunnustettiin virallisestikin tämäjo sata vuotta aikaisemmin vaadittu uudistus välttämättömäksi.

Matematiikan opetuksen Iisäämisen välttämättömyydestä ol-tiin yksimielisiä. Laskutaito tahdottiin jo antaa ensimmiiisissäpitäjänkouluissa kaikille siinä. laajuudessa, että. se riitti käytän-

35nöllisessä elämässä, siis 4 laskutapaa kokonais- ja murtoluvuillasekä päätös- ja korkolaskut.

Moninaisten vaiheiden jälkeen saatiin vihdoin v. 18±1 aikaanuusi koulujärjestys. Se11 mukaan tuli aritrnetiikalle seuraavan-lainen asema oppisuunnitelmassa : Yläalkeiskoulussa I :11:;,II :11a ja III :11a luokalla kullakin oli 4 t, 36 viikkotunnista jatyttökoulussa I: llä ja II: 11a luokalla 2 t. kummallakin n. 20lukuaineiden viikkotunnista. Kimnaaseihin taas määrättiinmatematiikkaa 4: t. viikossa kummallekin luokalle, Tähän sis.il-tyi sekä algebran että geometrian opetus.

Jos katselemme muita, aineita lukusuunnitelmassa. on meidiintodettava, että uudet kielet, historia, maantiede ja fysiikka ovatvallanneet hyvin huomattavan sijan kouluohjclmassn, matema-tiikka jo melkein nykyistä vastaavan. Tässä on vihdoin sel ai-nen koulumuoto, jossa matematiikan arvo ja merkitys käytän-nöllisessä elämässä ja kansalaiskasva tuksessa julkisesti tunnus-tetaan ja jota tässä suhteessa voidaan pitää nykyisen koulumuo-don pohjana.

OPPIKIRJAT:

Voimme jakaa aritmetiikan oppikirjat, JOlta vanhan koulun, aikana maassamme on käytetty, neljään ryhmään: Teoreettista

suuntaa edustavat 1600-lu\'u11a, jotka olivat tarkoitetut oppi-koulu- ja korkeakouluopetuksessa käytettäviksi ja olivat poik-keuksetta latinaksi kirjoitettuja , 1700-luvun oppikoulukirjat.jotka olivat ruotsalaisia ja jotka seuraavat alussa mainittua1700.Juvulla vallinnutta aritmetiikan esitystapaa. Nämä ~L1-

lautuva.t 1700-1800-luvun vaihteessa yhdeksi kokonaisuudeksikolmannen ryhmän nimittäin apologistiluokan oppikirjojenkanssa, jotka olivat käytännöllisen elämän tarpeita varten Iaa-dittuja ja kauttaaltaan ruotsinkielisiä. Vihdoin omana rvhmä.nään ovat Viipurin läänin alueella käytetyt kirjat, jotka ~P\mH1-

vat Saksassa tapahtuneita virtauksia.

36

1. Litterata-linjalla ja Yliopistossa käytetyt kirjat.

Petri Rarni arithmetices libri duo et Algebra totrdem : aLazaro Schonero smendati & sxplicati. Eiusdem Sehoneri libriduo : alter, De Numeris f'iguratis ; alter, De logistiea sexagena-ria. Franeofurdi 1586. (Suomessa käytetty painos oli v:lta1599). 406 s,

Arithmeticae Vulgaris libri duo, primum ab HeizoneBuschero breviter collecti, nunc vero auetiores edidit studio etopera J ohannis Bofhvidi. Rostochii 1613.

Arithmetiea triplex generalis, geodetica, denaria et astrono-mica sexagenaria, ut & Geometria triplex Iundarnentalis trigo-nometriea & praotiea a Simone Kexlero. Aboae 1G58. 14-1 s.(Kirja on ilman sivunumeroita ja sisältää vain arithmetica ge-neraliksen) .

Arithmetiea vulgaris contracta , eum I..•ogistiea denaria &soxagenaria, nune denno editus S. Kexiero. Quibus accesitCanon sexagenarius Aboae (1666?) 61/2 ark + Canon, jonkaP. Laurbeeehius on kirjoittanut ja on 1 arkin laajuinen.

Arithmetiea generalis eum 1sagoge suceincta de Mathesi ingenere & Paedia l\Iathmatiea. P. Laurbecchius. Aboae 1673.231 s.

Eneyelopaedia synoptica ex Optimis & aeeuratissimis Philo-sophorurn seriptis collecta & in tres partes distributa. In UsumStudiosae juventutis, cui neque pretium prolixiores Authoresredimendi neq , tempus eosdern perlustrandi suppetit, evulgataCura & Sumptibus Johannis Gezelii ss. Theol. D. & Ep. Ab.Aboae 1672. II. Aboae 1672. 632 s.

J. Gezelii Arithmetica Latina Contraota. Aboae 1677. (IIpainos 1684). 32 s.(Ach1'elii Arithmetiea. Aboae 1689).Peto Laurenbergii Rostoehiensis Institutiones Arithmeticae,

In quibus aceurata methodo & f'acili compendio, non tantumvulgarium numerorum, & minutiarum Astronomiearum ratio,sed etia doctrina Proportionum, & subtilissima Algebra'e funda-

37

menta, perquam dilucide proponuntur, & ita explicantur, utiam a quovis intelligi sine difficultate possint. Accesit appen-dix de Arithmetica per Circinum Proportionalem cornpendiosedemonstranda, & usui aecomodanda. Jenae 1654. 216 s.Andreae Spoles Arithmetica vulgaris et speciosa per varios

aphorismos ad multorum desideria typis exseripta sumtu Auc-toris. Upsaliae 1692. 258 s. (Todellisuudessa on kirjassavain 158 sivua, sillä huolimattoman painoasnn vuoksi esitysja:tkuu sivulta 101 sivulle 202).

2. 1700-luvun littenäa-linjan oppikirjat:

Arithmetica eller Räkne-Konst grundelig demonstrad afAndreas Celsius. Upsala 1727. 112 s. III painosta on Fr.Palmquist laajentanut: Anmärkningar och exempel förkla-rad oeh utgifven av Er. Palmquisi, Stockholm 1754. 252 s.

Undervisnings i Räkne-Konsten. Fr. Polmquist, Stoekhorn1750. 312 s.

Arithmetik af Nils Petter Beckmarck: Stockholm 1795.196 s.

Arithmetik för Begynnare. Olof H. Forsse/.l. Stockholm1818. 336 s.

Lärobok i Räknekonstcn med talrika öfnings-exempel utgi f-ven af P. A. v. Zweigbergh. Stockholm 1843. (III painos).180 s.

'I'raite elementaire d 'arithmetique a 1'usage de 1'öcole cen-trale des quatre-nations , Par S. F. Lacroix. 14 painos. Paris1818. (1 painos n. v, 1798). 158 s.Junkeri« harjoitusmerkkejä sisältävät taulut.

3. Pääasiassa apologistiluokkaa varten tarkoitetut oppikirjat:

Arithmeticae practicae Methodus facilis. Per Gemmam Eri-sium, medicum et mathematicum. Wiltenbergae l\1DXCIlI.144 s.

38

Arithmetiea eiler Räkne-Bok, med ihele oeh brulne 'l'ahl, pånyo öfversed och medh lustige oeh sköne exempel förbättrad:'I'her tj,l ett konstigt Compendium Regulae Aureae, thet manPraxin Italicam kallar. Aegidio Aurelio. Upsala 1614. (1painos latinaksi ja II painos ruotsiksi. V. 1705 viimeinen pai-nos).

Nic. P. Agrelii Instructiones Arithmeticae : eller en kort UTI-

dervisning om the förnämsts oeh högnödigste Reglor, exempel,Italienske Praetiquer oeh Compendier, sam i daglig räkningmäst brukelige äro , Them konstälskadom til Nytta oeh Gagnsammanskrefrie. Stockholm 1633. V. 1738 V:nteen painok-sen uusittiin kirjaa huomattavasti. V. 1708 ilmestyi siitä vii-meinen eli VIII painos. 476+56 s.

Svensk Räkne-Bok eller ett sådant Räknesätt, hvarigenomalla till uträknande förefallande, både In. oeh Utrikes Hushåll-ningsmål, kunrra, enligt Algebraiska. Råknekonsten utom någraCossiska oeh flera andra förmörkande märken eller kännetec-ken, eHer en hvar Saks beskaffenhet för sig oeh theras rigtigaInledningar på theh koriaste och begripligaste sättet, som Räk-nekonsten i everdeliga tider medgifver, wederbörligcn utredasJoli. Berqmarck, Stockholm 1755.232 s.

En kort och Nyttig Arithmetica. L. Liedbeck. Stockholm1737. 124: s.

Karl lnledning till den algemene Råknekonsten för Ung-dornsbegrep oeh nytta. Lars Liedbeck. ,Stockholm 1738. 100 s.

Gen vägar till Borgerliga Bäkne-Konsten. Roloi] Schrecelius.1777. 79 s. IV painos v. 1804.

Arithmetica 'I'ironiea, eller kort och (trundelig Anvisning atpractice -läraa,]] nödvändig Hus- och llandelsräkning; eHerthen nu för tiden mäst brukelign och fördelaktigasto Laro-Methode. Roloj] Andersson. Stockholm 1779. 320 s. I;Y pai-no" v. 1814.

Ge.nväg ti.l Borgerliga Räkne-Konsten. Roloi] Andersson.Stockholm 179'8. 9R s.

39

4. Viipurin läänin lzouluisso häytetyl oppikirjat:

Vieth, G. U. A. Anfangsgriinde del" .:Uathematik 1. Arithme-tik und Geometrie. Leipzig. 165 s.Vieih, G. U. A.Erstel' Unterricht in derM'athematik fur

Biirgerschulen. III paino Leipzig 1805. 166 s.Lorene, Johann Friedrich. Grundriss der reinen und ange-

wandten Mathematik, Halmstadt 1791. 166 s,Snell, Fr . Wilhelm. Leichtes Lehrbueh der Arithmetik,

Geometrie undTrigonometrie I~II. 1805. 365 s.v. Winterfeldt, M. A. Anfangs Griinde der Mathernatik

zum Gebrauch fiir Sehulen und flir Selbstlehrlinge in sokra-tiseher LehrArt abgefasst I-III. Braunsehweig 1806-9. 1Iosa 594 s.Lorenz, Johann Friedrich, Die Elemente der Mathema tik

1. Leipzig 1785. '594 s,Christophori Clavii. Barnbergensis e societate Jesu Epitome

Arithmeticae Practicae. Homae 1583.Vollständige Anleitung zur Algebra 1. Leonlumi Euler. St.

Petersburg 1170.Tietoja vanhimmista oppikirjoista olen saanut myös kirjoi-

tuksesta:Il ultmom, Eroms, W.: Svenska aritmetikens historia. ('Tid-

skrift för matematik och fysik, 'tillegnad den svenska elemen-tar-undervisningen, 1868 Upsala. siv. 1. 53. 149.245).

LÄHDEKIRJAL1:"lSUL':S:

Adam, W. Geschichte des Rechnens und des Bechenunterrtchts, Quedlin·burg 1892.

Alciander, M. Skolverket inom fordna Wibords och nuvarande Borgå stift.Helsingfors 1866.

Alopacus, 1!1. J. Borgå gymnasii historia I-V. Åbo 1904-17.A?'cadVus,C. O. Anteckningar ur Vexiö allmänna läroverks häfder. Vexiö

1889.Brandell, G.. Svenska undervisningsväsendets historia I-II. Lund 1931.Cajander, K. A. Uudenkaupungin vanhin koulu. Uusikaupunki 1929.Dahlbo, J. Uppränning till Matematikens Historia i Finland från äldsta

tider till stora ofrcden, Nikolaistad 1897.Giinther, S. Geschichte des mathematischen Unterrichts im deutschen

Mittelalter. (Monumenta Germaniae Paedagogiga). Berlin 1887.Hammarskjöld, I. Förteckning på de i Sverige, från äldre, till närva-

rande tider, utkomna Schole- och Undervisningsböcker. Stockholm 1817.Hastig, J. Katedralskolan i Åbo 1722-1806. Helsingfors 1907.Hernlund, II. (1) Bidrag till den svenska skollagstiftningeus historia

1718-1809 1. Stockholm 1882.Hernluaul, H. (II) ,Bidrag till den sveneka elementarlag'stifcningcns histo-

ria 1. Skolordningsförslaget af den 28 november 1778_ (Aftryek urStockholms gymnasii program för 1880). Stockholm 1880.

Hultin, A. (1) Borgå gymnasii historia enligt uppdrag av f.d. Borgågymnasistcr. I. 1725-1840. Helsingfors 1920.

Hultin, A. (II) Bidrag till Litteratur- och Lärdomshistorien i Finland.(FörhandL och uppsatser. Sv. Litteratursällskapet i Finland. 23. 1913).Helsingfors 1920).

Lauren, L. L. Wasa trivialskola 1684-1884. Nykarleby 1884.Leinberg, K. G. (1) Handlingar rörande finska skolväsendets historia 1.

Jyväskylä 1884.LeinbeTg, K. G. (II) öfversigt av Finlands offentliga läroverk från äldre

till närvarande tid. (Tidskr. utg. af Pcdag. F'ören. i Finland XXI).Helsinki 1884.

Lokki, O. Piirteitä algebran opetuksesta maassamme v:een 1841. (Mate-maattisten aineiden Aikakauskirja 1945. 4. vihko),

Malmio, B. (1) Luonnonopin iopetuksen kehitys maamme oppikouluissa.Helsinki 1933.

Malmio, B. (II) Piirteitä matematiikan opetuksesta. (Matemaattistenaineiden aikakausklrj a 1937).

Melartin, E. G. Beskrifning öfver de publika läroanstalterna i ViborgsIän. 1812. (Käsikirjoitus Valtionarkistossa kokoelmassa : Viborgs länsorganisa.tionskomites handlingar).

Nykänen, Ä. Alkcisgeometrian opetuksesta Suomessa erityisesti oppikir-jojen kehitystä silmälläpitäen. Jyväskylä ]!H5.

Pärssinen, J. Ka.svatusopilliset virtaukset ja koululaitoksen kehitys Suo-rnessa vuosina 1801-1843. Helsingissä 1911.

Slotte, K. F. Matcmatikens och f'ysikens studium vid Åbo Universitet.(Åbo Universitcts lärdomshistoria 7). Helsingfors 1898.

41

Svanljung, K. österbottens pedagogicr och .trivialskolm. Helsingfors1895.

Tulcolanåer, A. Erik Gabriel Melartin, hans liv och verksnmhet. Ekenäs1926.

Tengström, J. J. 'Biskopen i Abo stift Johan Gezelii den äldres minne.Abo 1825.

Unger, F. Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischen Ent-wiekelung. Leipzig 1888.

nchmann, V. K. E. Suomen kasvatuksen ja opetuksen historia pääpiir-teissään. Helsingissä 1903.

(jsterbladh, K. Juhana Brovallius, ,tiedemies, valtiopäivämies ja piispa.Turku 1929.