MATEMATIČKI FAKULTETUNIVREZITET U BEOGRADU

SEMINARSKI RADtema: Piramida i kupa

Predmet:METODIKA NASTAVE Student:Tomislav Nikolić MATEMATIKE 2 Broj indeksa:501/06Profesor:ZORAN LUČIĆ

Piramida i kupa

I PIRAMIDA

Neka je n≥3, poliedar sa n+1 strana od kojih je jedna n-tougao a sve ostale su trouglovi naziva se n-tostrana piramida (sl.1).

Površ piramide se sastoji od površi n-tougla A1,A2 ... An i dela površi roglja koju sačinavaju površi trouglova A1A2O, A2A3O,... An-1AnO. Ova površ i deo prostora ograničen njome je piramida. Površ presečenog mnogougla je osnova ili baza piramide, deo površi roglja sastavljen iz površi trouglova je bočna površ ili omotač piramide, površ svakog trougla je bočna strana piramide. Stranice mnogougla su ivice osnove, stranice trouglova po kojima se seku bočne strane su bočne ivice piramide. Vrh rogljaste površi u kojoj se sustiču bočne ivice je vrh piramide.

Postoje prave i kose piramide. Ako su sve bočne ivice jednakih dužina, piramida je prava, inače je kosa. Visina piramide je odstojanje vrha

od osnove ako je piramida prava, oko njene osnove može da se opiše krug; podnožje visine nalazi se u centru tog kruga.

Ako je osnova piramide pravilan mnogougao, piramida je pravilna. Na primer, ako je u bazi jednakostraničan trougao piramida je pravilna trostrana, ako je u bazi kvadrat, pravilna četvorostrana, šetougao pravilna šestostrana.

Visina bočne strane koja polazi iz vrha pravilne piramide naziva se apotema i odgovara bočno strani.

Piramide čije su osnove i bočne strane međusobom podudarni jednakostranični trouglovi naziva se pravilan tetraedar.

II ZARUBLJENA PIRAMIDA

1

Piramida i kupa

Ako se n-tostrana piramida preseče sa ravni koja je paralelna ravni osnove dobija se mnogougao homotetičan sa osnovom. Deo piramide između tih homotetičkih površi jeste n-trostrana zarubljena piramida (sl. 3a).

Homotetički mnogouglovi jesu osnove zarubljene piramide, dok njen omotač sačinjavaju trapezi (sl. 3b). Normala S1 S2 na ravni osnove naziva se visina zarubljena piramide.

Zarubljana piramida je prava ako je nastala od prave piramide a pravilna ako je nastala od pravilne piramide. Budući da su obe osnove pravilne piramide, pravilni mnogouglovi, zaključujemo da omotač takve piramide čine jednakokraki trapezi. Visine odgovarajućih trapeza nazivaju se apoteme zarubljene piramide.

III POVRŠINA PIRAMIDE

Površinu piramide obrazuju površina njene osnove i površina bočnih strana koje obrazuju omotač piramide.

Ako sa B označimo površinu baze (osnove) piramide a sa M površinu njenog omotača onda je površina piramide:

Primer 1. Izračunati površinu jednakoivične trostrane piramide (pravilnog tetraedra) ako je poznata ivica a

Rešenje: biće

i

2

Piramida i kupa

gde je prema tome imamo

Primer 2. Prava pravilna četvorostrana piramida ima dužinu 4cm, a visinu 10 cm. Izračunati njenu površinu.

Rešenje: a=4 cm, B=a2 i M=

Gde je

sledi

POVRŠINA ZARUBLJENE PIRAMIDE

Ako površine baze, zarubljene piramide, označimo sa B1 i B2, a površinu omotača sa M, njena površina biće:

Da bi smo izračunali omotač zarubljene piramide moramo izračunati pojedinačnu površinu svih bočnih strana, odnosno moramo izračunati površine trapeza koji čine njen omotač.

Primer 1: Data je prava zarubljena piramida čije su osnove kvadrati (sl.4). Neka je a merni broj ivice donje osnove, b merni broj ivice gornje osnove i h merni broj visine bočne strane. Izračunati površinu piramide.

Rešenje površine piramide biće:

dalje je

pa je dakle

Primer 2. Pravilna šestostrana zarubljena piramida (sl.5) ima apotemu h=5 cm, dužinu donje ivice a=8 cm i dužinu gornje ivice osnove b=2 cm. Izračunati njenu površinu.

Rešenje: Pošto je

3

Piramida i kupa

Biće:

pa je, dakle

IV KAVALIJERIJEV PRINCIP

Bonaventura Kavalijeri (1598-1647) bio je italijanski matematičar, profesor Bolonjskog univerziteta i Galilejev učenik. U delu "Geometrija nedeljivih" izložio je tadašnje saznanje matematičke analize, geometrijski zasnovane.

Odigrao je značajnu ulogu u izračunavanju zapremine geometrijskih tela pomoću svog stava koji je u elementarnoj geometriji poznat kao Kavalijerijev princip i glasi:

Ako se dva tela nalaze između paralelnih ravni i ako su jednake površine preseka ovih tela s ma kojom ravni koja je paralelna dvema ravnima, tada su zapremine tih tela jednake(sl. 6).

V ZAPREMINA PIRAMIDE

Ako pravu trostranu piramidu (sl.7) presecima MN,Q i MN, Q1, razložimo na tri trostrane piramide , i dobićemo tri jednake piramide.

4

Piramida i kupa

Piramide i su jednake, tj. V()=V(), jer imaju jednake osnove (trogao MM1Q, je jednak trouglu MQQ1) i jednake visine (duž spuštena normalno na ravan MQQ1M iz temena N1) jednake su takođe i piramide i jer imaju jednake osnove (trouglovi N1Q1Q i NQN1 su jednaki) i zajedničku visinu (duž spuštenu normalno na ravana NQQ1 N1 iz temena M) tako da su i njihove zapremine jednake. Prema tome, sve tri piramide su međusobno jednake:

V()=V()=V()

Očigledno je, dakle, da svaku trostranu piramidu možemo, dvema njoj jednakim trostranim piramidama dopuniti do trostrane prizme koa će sa datom piramidom imati jednaku osnovu B i visinu H. Pošto je zapremina prizme BH biće:

tako da možemo reći da je zapremina trostrane piramide jednaka trećini proizvoda osnove i visine.

Neka je piramida n-trostrana. Njena osnova je poligon koji se može razložiti na n trouglova 1,2,3...n, a piramida se može razložiti na n trostranih piramida 1,2,3...n sa zajedničkom visinom H. Kako je

i

,

k=1,2,3...n

to je

ili

iz čega zaključujemo da je zapremina svake piramide jednaka trećini proizvoda osnove i visine.

Primer 1. Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra ako je data njegova ivica a (sl.8).

Rešenje: Pošto je trougao MNQ jednakostraničan biće :

tačka T je težište tog trougla, pa koristeći poznatu osobinu težišta i Pitagorinu teoremu za visinu tetraedra dobijamo

5

Piramida i kupa

tj.

prema tome zapremina tetraedra će biti

Primer 2. Površina osnove prave pravilne četvorostrane piramide je 16cm2, a površina njenog omotača 40 cm2. Izračunati njenu zapreminu.Rešenje:Pošto je biće odakle sledi da je

Da bismo izračunali H koristimo Pitagorinu

teoremu i dobijamo

Prama tome zapremina će biti

ZAPREMINA ZARUBLJENE PIRAMIDE

Neka je data zarubljena piramida (a) (sl.9), sa osnovama B1 i B2 , visinom H i x odstojanjem vrha O odgovarajuće piramide MNQSO od gornje osnove zarubljene piramide. Pošto je zapremina zarubljene piramide jednaka razlici zapremina dveju "punih" piramida, jedne sa površinom osnove B1 i visinom H+X, a druge sa površinom osnove B2 i visinom X tada je:

imamo

ili

odatle je Kada ovu vrednost sa X stavimo u obrazac

za , imaćemo

odnosno

6

Piramida i kupa

i konačno

Iz toga možemo zaključiti da je zapremina zarubljene piramide jednaka zbiru zapremina triju piramida kojima je visina jednaka visini zarubljene piramide, a njihove osnove su: gornja i donja osnova zarubljene piramide i geometrijska sredine tih osnova.

Primer 1. Pravilna četvorostrana zarubljene piramida ima visinu H i apotemu h. Dužine osnovnih ivica su i c, a bočne b. Izračunaj zapreminu zarubljene piramide ako je ,

Rešenje.

Ako je

sledi:

V=?

Da bismo dobili visinu piramide koristimo trapez (osni) presek čija je visina jednaka visini piramide, osnovne ivice su dijagonale osnova piramide, a bočne ivice su bočne ivice piramide.

sa slike se vidi da je:

7

Piramida i kupa

Iz osenčenog trougla sledi

Zapremina zarubljene piramide je

VI KUPA

Geometrijsko telo ograničeno pravom konusnom površi i jednom ravni koja ne prolazi kroz vrh površi, a normalna je na njenu osu, naziva se prava kupa (sl. 10a)

Kupa je prava ako je osa normalna na ravan osnove; inače je kosa (sl.10b)

Deo presečene ravni ograničen konusnom površi (krug) je osnova kupe, a deo konusne površi između vrha i osnove je omotač kupe. Izvodnice konusne površi koje pripadaju omotaču kupe nazivaju se izvodnice kupe. Rastojanje između vrha i ravni osnove kupe je visina kupa, a duž koja spaja vrh sa središtem osnove osa kupe.

Osa prave kupe je ujedno i njena visina.

VII ZARUBLJENA KUPA

Telo koje nastaje presecanjem kupaste površi sa dve ravni naziva se zarubljena kupa (sl. 11)

Ona je ograničena dvema kružnim površima, tzv. osnovama i delom konusne površi između njih koja čini omotač zarubljene kupe.

Zarubljena kupa je prava ako je nastala od prave kupe.

8

Piramida i kupa

Prava koja spaja središta osnova i koja je ujedno i visina prave zarubljene kupe naziva se osa zarubljene kupe.

Kao obrtna tela, kupa se dobija obrtanjem pravouglog trougla oko jedne njegove katete (sl. 12a), a zarubljena kupa obrtanjem pravouglog trapeza oko stranice na koju naležu pravi uglovi (sl.12b).

VIII POVRŠINA KUPE

Neka je r poluprečnik osnove kupe, H visina, a s izvodnica (sl.13a), površina kupe je zbir površine njene osnove i površine njenog omotača. Ako je B površina baze (osnove), a M površina omotača, tada je:

Jasno je . Može se pokazati da se omotač kupe može uvek razviti u deo ravne površi koja ima oblik kružnog isečka, poluprečnika s, a kome je odgovarajući luk jednak obimu osnove kupe (sl.13b), tako da je

prema tome

odnosno površina kupe je

U slučaju da je izvodnica s jednaka prečniku osnove onda je i , tako da je osni presek kupe jednakostranični trougao (sl.14) i obično se takva kupa zove jednakostranična kupa.

9

Piramida i kupa

POVRŠINA ZARUBLJENA KUPE

Neka je R poluprečnik donje osnove, r poluprečnik gornje osnove, h visina i s izvodnica zarubljene kupe (sl.15a) površina zarubljene kupe ja zbir površina njenih osnova i površine njenog omotača. Ako je B1 površina donje osnove, B2 površina gornje osnove i M površina omotača onda je:

Jasno je i . Može se pokazati da se omotač zarubljene kupe uvek može razviti u deo ravne površi koji je jednak razlici površina dvaju kružnih isečaka, kao što pokazuje (sl.15b).

prema tome

Odnosno površina zarubljene piramide je:

Primer 1. Visina jednakostranične kupe je H. Odrediti njenu površinu.

Rešenje: Koda jednakostranične kupe

Po Pitagorinoj teoremi

odatle je

pošto je s=2r biće

10

Piramida i kupa

Primer 2. Izračunati površinu prave zarubljene kupe visine H=3cm i sa poluprečnicima osnove R=6 i r=2.

Rešenje: Dužina izvodnice je. tj.

po formuli za površinu

IX ZAPREMINA KUPE

Ako kupu i piramidu sa osnovama jednakih površina koje leže u istoj ravni i sa jednakim visinama H presečemo sa ravni koja je paralelna ravni prema Kavalirijevom principu uvidećemo da kupa i piramida imaju jednake zapremine (sl.16).

Iz toga zaključujemo da je zapremina kupe jednaka trećini proizvoda površine osnove i visine.

tj.

U slučaju da imamo jednakostraničnu kupu (sl.14) s=2r pa je odakle je

ZAPREMINA ZARUBLJENE KUPE

Ako zarubljenu kupu dopunimo do kupe sa vrhom V (sl.17) zapremina zarubljene kupe biće jednaka razlici zapremina dve kupe – jedne sa poluprečnikom osnove R i visinom (0V)=H+X i druge sa poluprečnikom osnove Vr i visinom (01V)=X, tako da je zapremina

i konačno

Primer 1. Odrediti zapreminu prave kupe poluprečnika osnove r=12 cm i visine H=18 cm.

Rešenje: Po formuli za zapreminu

11

Piramida i kupa

biće

Primer 2. Odrediti zapreminu prave kupe sa površinom osnove B=9cm2 i površinom omotača M=24cm2.

Rešenje: B=9cm2

prema formuli B=r2 sledi 9= r2, r=3M=24cm2

prema formuli M= rs sledi 24=3s, s=8prema Pitagorinoj teoremi visina će biti

zapremina će biti

Primer 3. Data je kocka sa ivicom dužine . Oko donje osnovice kocke opisana je kružnica, a u gornju osnovu upisana je kružnica. Te kružnice određuju donju i gornju osnovu jedne zarubljene kupe. Odredi njenu zapreminu.

Rešenje: Visina kupe je H= poluprečnik donje osnove ,

a poluprečnik gornje osnove . Prema formuli za zapreminu

Primer 4. Odredi zapreminu prave zarubljene kupe ako su poluprečnici njenih osnova R=7cm i r=2cm, a površina P=170cm2.

Rešenje: Iz formule sledi

prema Pitagorinoj teoremi

zapremina će biti

12

Piramida i kupa

X UZAJAMNI ODNOS KUPE I PIRAMIDE

Ako je osnova piramide mnogougao upisan u osnovu kupe, a vrh piramide je istovremeno i vrh kupe, kažemo da je piramida upisana u kupu (sl.17).

Ako temena pravouglog mnogougla ABCDE, koji je upisan u osnovu prave kupe, spojimo sa vrhom kupe V dobićemo pravilnu piramidu upisanu u kupu. Kada se broj n stranica upisanog pravilnog mnogougla neograničeno udvostručava njegov obim Pn teži granici koja je jednaka obimu kružnice u koju je mnogougao upisan. Apotema piramide hn teži pri tome granici koja je jednaka dužini izvodnice s=(VB) kupe. Prema tome, kad n neograničeno raste an teži nuli, a razlika s=hn takođe

teži nuli pri tome, hn teži svojoj graničnoj vrednosti s. Površina

omotača piramide teži granici koja je jednaka poluproizvodu obima osnove i apoteme kupe. Tu granicu uzimamo za površinu omotača kupe.

XI PRIMENA KUPE I PIRAMIDE

Kombinacija geometrijskih tela obrađena u ovom radu, ima praktičnu primenu u arhitekturi, građevinarstvu i dr. graditeljskim delatnostima. Iz mnoštva takvih kombinacija izdvajam tri koje ću ilustrovati sa tri primera.

Zarubljena kupa i kupa imaju iste osnove kojima se dodiruju. Ako se visina kupe i zarubljene kupe odnose kao 3:2 i ako su poluprečnici osnova zarubljene kupe R=10cm i r=4cm, a izvodnica s=10cm izračunati zapreminu tako nastalog tela.

13

Piramida i kupa

Izvodnica prave zarubljene kupe je s=5 cm, a poluprečnici osnova su r=5 cm i r1=2 cm. U kupu je upisana pravilna zarubljena četvorostrana piramida tako da je donja osnova piramide upisana u donju osnovu kupe, a gornja osnova u gornju osnovu kupe. Izračunati zapreminu piramide.

Pravougli trougao sa katetama dužine , , obrće se oko hipotenuze. Odrediti površinu dobijenog tela.

14

Piramida i kupa

15

Piramida i kupa

XII ZADACI

1. Izračunaj površinu pravilne trostrane piramide kod koje osnovna ivica ima dužinu 3m, a bočna 5m

2. Osnovna ivica pravilne četvorostrane piramide ima dužinu . Površina dijagonalnog preseka te piramide jednaka je površini baze. Odrediti površinu omotače piramide.

3. Centar gornje osnove kocke je vrh, a temena donje osnove su osnova temena četvorostrane piramide upisane u koku. Dužina ivice kocke . Izračunaj površinu omotača piramide.

16

Piramida i kupa

?M

aH

aa

4. Izračunaj dužinu osnovne ivice i apotemu pravilne trostrane piramide ako je dužina bočne ivice 10 cm, i površina omotača 144 cm2.

5. Visina pravilne četvorosrtane piramide je H=12 cm, a dijagonala njene osnove ima dužinu 8 cm. Odredi zapreminu piramide.

17

Piramida i kupa

6. Osnova piramide je pravougaonik, a podnožje visine je u preseku dijagonale osnove. Izračunaj zapreminu piramide: ako osnovne ivice imaju dužine 6 cm i 8 cm, a dužina bočne ivice je 13 cm.

7. Izračunaj površinu i zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako je , i

8. Osnovne ivice pravilne četvorostrane zarubljene piramide imaju dužine i . Apotema piramide je h=6 cm. Odrediti površinu piramide.

18

Piramida i kupa

9. Rezervoar dubine 3m ima obli zarubljene piramide čije su osnove pravougaonici. Ivice gornje osnove imaju dužinu 30m i 15m, a donja osnove 20m i 10m. Koliko litara vode može da stane u rezervoar.

10. Zapremina prave kupe je V=145 dm3, a izvodnica je četiri puta veća od poluprečnika osnove. Izračunaj površinu kupe.

11. Osni presek prave kupe je jednakokraki trougao sa osnovicom dužine 12 cm i krakom dužine 10 cm. Nađi zapreminu kupe.

12. Odredi zapreminu prave kupe sa površinom osnove B=9cm2 i površinom omotača M=24cm2.

19

Piramida i kupa

13. Odrediti dužinu izvodnice prave zarubljene kupe sa visinom H=15 cm i poluprečnicima osnove R=13 cm i r=5 cm.

14. Poluprečnici osnove prave zarubljene kupe su 3 cm i 7 cm, a dužina izvodnice je 7cm. Odrediti površinu osnog preseka.

15. Izvodniva prave zarubljene kupe zaklapa sa osnovom ugao =600. Poluprečnici osnove su R=9 cm i r=3 cm. Odredi zapreminu i površinu kupe.

20

Piramida i kupa

16. Odredi zapreminu prave zarubljene kupe ako su poluprečnici njenih osnova R=7 cm i r=2 cm, a površina P=170cm3.

21

Piramida i kupa

SADRŽAJ

I Piramida 1II Zarubljena piramida 2III Površina piramide 2 Površina zarubljene piramide 3IV Kavalijerijev princip 4 V Zapremina piramide 5 Zapremina zarubljene piramide 6VI Kupa 8VII Zarubljena kupa 9VIII Površina kupe 9 Površina zarubljene kupe 10 IX Zapremina kupe 11 Zapremina zarubljene kupe 12X Uzajamni odnos kupe i piramide 13 XI Primena kupe i piramide 14XII Zadaci 16

LITERATURA

22

Piramida i kupa

1. Dr E. Stipanić,Matematika (za III i IV razred gimnazije društveno-jezičkog smera),Beograd 1969. godine 2. G.Vojvodić,Đ.Paunić,R.Tošić, Matematika (za III razred

srednje škole),Beograd 1999. godine

23