Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I

1. Kruta poluga ABC opterećena je silom P = 1.5 kN kao naslici desno i pričvršćena je užadima BD i CE, iste dužine,modula elastičnosti E1 i E2 te poprečnih presjeka A1 i A2,respektivno. Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine štapova,

b) ugao rotacije krute poluge u stepenima.

Podaci: E1 = 210 MPa, E2 = 150 MPa, A1 = 1 cm2,A2 = 1.5 cm2.

C

3 m

ED

2 m

4 m

P

BA

2 m

(25%)

2. Za gredu pravougaonog poprečnog presjeka, opterećenukao na slici desno, odredi dimenzije grede (poprečni pres-jek), ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 100 MPa,a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 50 MPa. Odnosvisine i širine grede je 1:4.Ostali podaci: LAB = 2 m, LAC = 5 m, LAD = 8 m,LAE = 10 m, FC = 3kN, MB = 4kNm, FE = 5kN.

LAC

LAD

FC

LAB

BA C D

FE

E

LAE

MB

FBL

FC ME

(25%)

3. Za dio na slici desno naći normalne i tangencijalne naponeu tačkama A i B usljed djelovanja sile od 20 kN, koja svertikalnom osom pravi ugao tg(α) = 4 : 3.

5

75mm

75mm4

20kN

30mm30mm

350mm

B

A

3

(25%)

4. Element od aluminijuma kružnog poprečnog presjeka, prečnika 25 mm, opterećen je silom pritiska od 10kN i silom smicanja od 5 kN. Za najugroženiji dio poprečnog presjeka odrediti:

a) glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon,

b) stepen sigurnosti koristeći von Mises hipotezu,

c) najveću silu smicanja koja se može primijeniti uz konstantnu silu pritiska, a da ne dođe do otkazamaterijala. Stepen sigurnosti protiv plastičnih defromacija je 2. Koristiti Tresca kriterij.

Granica tečenja materijala je ReH = 150 MPa.

(10+5+10=25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2019-Jan-23

Zadatak A - 1

LAB 3m LAP 5m LAC 7m

EBD 210GPa ABD 1cm2

LBD 4m

ECE 150GPa ACE 1.5cm2

LCE 4m

P 1.5kN

Rješenje

a)

Uslov ravnoteže: MA 0= FBD LAB P LAP FCE LAC 0= (1)

Uslov kompatibilnosti:δBD

δCE

LAB

LAC= (2)

Iz (2)

FBD LBD

EBD ABD

FCE LCE

ECE ACE

LAB

LAC=

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACE0.4

FBD

FCE

2

5=

Iz (1) FCE

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACE LAB P LAP FCE LAC 0=

FCE

LAP P

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACELAB LAC

914.634N

FBD FCE

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACE 365.854N

σBD

FBD

ABD3.659 MPa εBD

σBD

EBD1.742 10

5 δBD εBD LBD 0.07 mm

σCE

FCE

ACE6.098 MPa εCE

σCE

ECE4.065 10

5 δCE εCE LCE 0.163 mm

b)

φ atanδBD

LAB

1.331 103

° u smjeru kretanja kazaljke na satu

Zadatak A - 2

LAB 2m LAC 5m LAD 8m LAE 10m

MB 4kN m FC 3kN FE 5kN

σdoz 100MPa τdoz 50MPa

h

b

1

4=

A b h= 4h2

=

Ib h

3

12=

1

3h

4=

Rješenje

Skicirajmo dijagrame transferzalnih sila i momenata pod pretpostavkom da je

i

Fi 0= FA FC FD FE 0= (1)

i

MA 0= MB FC LAC FD LAD FE LAE 0= (2)

(pogrešno pretpostavljensmijer)

Iz (2) sijedi: FD

FE LAE MB FC LAC

LAD3.875 kN

Iz (1) slijedi: FA FE FC FD 1.875 kN

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 2.5 5 7.5 1010

5

0

5

10

x, m

F, k

N

0 2.5 5 7.5 10

0

10

20

x, m

M, k

Nm

Maksimalni moment savijanja je na mjestu C

Mmax M LAC 13.375 kN m

i vrijedi

Mmaxh

2

I

3 128 Mmax

h3

σdoz=

h

33Mmax

2σdoz58.541 mm b 4 h 234.165 mm A b h 1.371 10

4 mm

2

Maksimalna transferzalna sila je u dijelu E

Fmax FE 5 kN

τmax3

2

Fmax

A 0.547 MPa < τdoz

*******************************************************************************************************************

Zadatak A - 3

h 150mm b 60mm L 350mm

F 20kN α atan4

3

53.13 °

Ib h

3

121.687 10

5 m

4 A b h 9 10

3 m

2

Rješenje

Sila F se razloži na aksijalnu i transferzalnu komponentu intenziteta

Fx F sin α( ) 16 kN

Fy F cos α( ) 12 kN

Aksijalna komponenta izaziva normalne napone u traženom presjeku (zatezanje) i za obje tačkenaponi iznose

σAB

Fx

A1.778 MPa

Transferzalna komponenta u traženom presjeku reducira se na smicajnu silu (smicanje, tangencijalnaponi) i momenat savijanja (savijanje, normalni naponi).

Tačka A je na neutralnoj osi, pa u njoj postoje samo tangencijalni naponi usljed transferzalnekomponente:

τA3

2

Fy

A 2 MPa

Tačka B je na donjoj površini, pa u njoj djeluju samo normalni naponi (pritisak) usljed momentasavijanja koji izaziva transferzalna komponenta:

σB

Fy L

I

h

2 18.667 MPa

Zadatak A - 4

D 25mm ψ 0.

AD

2π

41 ψ

2 490.874 mm

2

F 10kN Fs 5kN ReH 150MPa

Rješenje

a) σF

A 20.372 MPa

τ4Fs

3 A13.581 MPa

σ1σ

2

σ

2

2

τ2

6.791 MPa

σ2σ

2

σ

2

2

τ2

27.162 MPa

τmax

σ1 σ2

216.977 MPa

b)S

ReH

σ12

σ1 σ2 σ22

4.82

c) S obzirom da su glavni naponi uvijek različitog predznaka, vrijedi

σ1 σ2ReH

S S 2

σ

2

σ

2

2

τ2

σ

2

σ

2

2

τ2

ReH

S

2σ

2

2

τ2

ReH

S

τReH

2S

2σ

2

2

36.09 MPa

τ4F

3A= Fmax

3

4τ A 13.287 kN

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I

1. Kruta poluga ABC opterećena je kontinuiranimopterećenjem w = 250 N/m kao na slici desno ipričvršćena je užadima BD i CE, modula elastičnosti E1

i E2 te poprečnih presjeka A1 i A2, respektivno. Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine štapova,

b) ugao rotacije krute poluge u stepenima.

Podaci: E1 = 150 MPa, E2 = 200 MPa, A1 = 1 cm2,A2 = 1 cm2.

is small compared to the length of member

C

2 m

E

D

2 m

1.5 m

BA

3 m

w

(20+5=25%)

2. Za gredu pravougaonog poprečnog presjeka, opterećenukao na slici desno, odredi dimenzije grede (poprečni pres-jek), ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 100 MPa,a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 50 MPa. Širinagrede je 0.5 m.Ostali podaci: LAB = 3 m, LAC = 5 m, LAD = 7 m,LAE = 10 m, FB = 3kN, FC = 4kN, ME = 5kNm.

LAC

LAD

FBLAB

BA C D

FC

E

LAE

ME

(25%)

3. Za dio na slici desno naći normalne i tangencijalne naponeu tačkama A i B usljed djelovanja sile od 10 kN, koja svertikalnom osom pravi ugao tg(α) = 4 : 3.

5

50mm

50mm4

10kN

20mm20mm

300mm

B

A

3

(25%)

4. Element od čelika kvadratnog poprečnog presjeka, stranice 20 mm, opterećen je zateznom silom od 15kN i silom smicanja od 20 kN. Za najugroženiji dio poprečnog presjeka odrediti:

a) glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon,

b) stepen sigurnosti koristeći von Mises hipotezu,

c) najveću silu smicanja koja se može primijeniti uz konstantnu silu pritiska, a da ne dođe do otkazamaterijala. Stepen sigurnosti protiv plastičnih defromacija je 2. Koristiti Tresca kriterij.

Granica tečenja materijala je ReH = 150 MPa.

(10+5+10=25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2019-Jan-23

Zadatak A - 1

LAB 2m LAC 5m

EBD 150GPa ABD 1cm2

LBD 1.5m

ECE 200GPa ACE 1cm2

LCE 2m

w 250N

m Q w LAC 1.25 kN

Rješenje

a)

Uslov ravnoteže: MA 0= FBD LAB QLAC

2 FCE LAC 0= (1)

Uslov kompatibilnosti:δBD

δCE

LAB

LAC= (2)

Iz (2)

FBD LBD

EBD ABD

FCE LCE

ECE ACE

LAB

LAC=

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACE0.4

FBD

FCE

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACE=

2

5=

Iz (1) FCE

LAB

LAC

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACE LAB Q

LAC

2 FCE LAC 0=

FCE

LAC Q

2LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACELAB LAC

0.539 kN

FBD FCE

LAB LCE EBD ABD

LAC LBD ECE ACE 0.216 kN

σBD

FBD

ABD2.155 MPa εBD

σBD

EBD1.437 10

5 δBD εBD LBD 0.022 mm

σCE

FCE

ABD5.388 MPa εCE

σCE

EBD3.592 10

5 δCE εCE LCE 0.072 mm

b)

φ atanδBD

LAB

6.174 104

° u smjeru kretanja kazaljke na satu

Zadatak B - 2

LAB 3m LAC 5m LAD 7m LAE 10m

FB 3kN FC 4kN ME 5kN m

σdoz 100MPa τdoz 50MPa

b 0.5m

A b h=

Ib h

3

12=

Rješenje

Skicirajmo dijagrame transferzalnih sila i momenata pod pretpostavkom da je

i

Fi 0= FA FB FC FD 0= (1)

i

MA 0= FB LAB FC LAC FD LAD ME 0= (2)

(pogrešno pretpostavljensmijer)

Iz (2) sijedi: FD

FB LAB FC LAC ME

LAD3.429 kN

Iz (1) slijedi: FA FB FC FD 3.571 kN

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 2.5 5 7.5 105

3

1

1

3

5

x, m

F, k

N

0 2.5 5 7.5 10

0

15

10

5

0

x, m

M, k

Nm

Maksimalni moment savijanja je u C

Mmax M LAC 11.857 kN m

i vrijedi

Mmaxh

2

I

6Mmax

b h2

σdoz=

h6 Mmax

b σdoz37.721 mm A b h 1.886 10

4 mm

2

Maksimalna transferzalna sila je u AB

Fmax FA 3.571 kN

τmax3

2

Fmax

A 0.284 MPa < τdoz

*******************************************************************************************************************

Zadatak B - 3

h 100mm b 40mm L 300mm

F 10kN α atan4

3

53.13 °

Ib h

3

123.333 10

6 m

4 A b h 4 10

3 m

2

Rješenje

Sila F se razloži na aksijalnu i transferzalnu komponentu intenziteta

Fx F sin α( ) 8 kN

Fy F cos α( ) 6 kN

Aksijalna komponenta izaziva normalne napone u traženom presjeku (zatezanje) i za obje tačkenaponi iznose

σAB

Fx

A2 MPa

Transferzalna komponenta u traženom presjeku reducira se na smicajnu silu (smicanje, tangencijalnaponi) i momenat savijanja (savijanje, normalni naponi).

Tačka B je na neutralnoj osi, pa u njoj postoje samo tangencijalni naponi usljed transferzalnekomponente:

τA3

2

Fy

A 2.25 MPa

Tačka A je na gornjoj površini, pa u njoj djeluju samo normalni naponi (zatezanje) usljed momentasavijanja koji izaziva transferzalna komponenta:

σB

Fy L

I

h

2 27 MPa

Zadatak B - 4

b 20mm

A b2

400 mm2

F 15kN Fs 20kN ReH 150MPa

Rješenje

a) σF

A37.5 MPa

τ3Fs

2A75 MPa

σ1σ

2

σ

2

2

τ2

96.058MPa

σ2σ

2

σ

2

2

τ2

58.558 MPa

τmax

σ1 σ2

277.308MPa

b)S

ReH

σ12

σ1 σ2 σ22

1.109

c) S obzirom da su glavni naponi uvijek različitog predznaka, vrijedi

σ1 σ2ReH

S S 3

σ

2

σ

2

2

τ2

σ

2

σ

2

2

τ2

ReH

S

2σ

2

2

τ2

ReH

S

τReH

2S

2σ

2

2

16.536 MPa

τ3Fc

2A= Fmax

2

3τ A 4.41 kN