Pitagora i

PitagorejciS. M. 8.A

PODATCI I ŽIVOTOPIS

Pitagora je bio vrlo značajan grčki matematičar, filozof, naučnik i astronom. Poznat je i kao „otac brojeva”. Imao je veliki utjecaj u grčkoj filozofiji i religijskom učenju.

Pitagora je rođen na otoku Samosu (grčki otok u sjevernom Egejskom moru) blizu Male Azije oko 580. godine prije nove ere. Majka mu se zvala Pythais. Bila je grčki biolog i embriolog. S ocem Mnesarhom (koji je bio bogati trgovac) često je putovao. Na tim putovanjima susretao je mnogo učitelja i mislioca koji su ga poučavali filozofiji i znanosti. Jedan od učitelja bio je Tales iz Mileta (grad u Maloj Aziji). Kaže se da je Pitagora posjetio Talesa u Miletu kad mu je bilo 18 i 20 godina. Bio je star te su njegova otkrića utjecala na Pitagoru. Savjetovao mu je da ode u Egipat gdje će učiti o područjima astronomije i matematike koja ga zanimaju. Otprilike 535. godine pr.Kr. Pitagora je otputovao u Egipat. Tamo je sudjelovao u mnogim raspravama sa svećenicima i učenjacima te je i sam postao svećenik u Diospolisu. Nakon 10 godina boravka u Egiptu, Perzijsko carstvo je napalo Egipat te otišao u grad Kroton u Italiji.

Ne zna se točan datum i okolnosti Pitagorine smrti. Legenda kaže da je Pitagorejsku školu napao zao i okrutan grof iz Krotona koji je želio ući među Pitagorejce, ali mu je zahtjev odbijen zbog njegove zle naravi te su Pitagorejci morali potražiti utočište u bijegu. Pitagora je također pobjegao iz Krotona u Metapontium i mnogi autori se slažu da je vjerojatno tamo i umro. Umro je oko 497. godine pr.Kr.

I nakon Pitagorine smrti Pitagorejska škola je još dugo bila na okupu. Godine 460. pr. Kr. škola je zatvorena, a od Pitagorejaca nam je ostao do danas bogat plod njihovog izučavanja astronomije, aritmetike i geometrije.

Fotografije Pitagore:

PITAGOREJSKA ŠKOLA

U Italiji je Pitagora osnovao matematičku školu u kojoj je poučavao

Pitagorejce. Ta škola naziva se Pitagorejska škola. Učenici su držali

stroga pravila družbe. Škola se sastojala od dva kruga: unutrašnji su

činili učitelji i matematičari, a vanjski učenici. Članovi unutarnjeg

kruga u kojem je bio Pitagora nisu smjeli imati privatno vlasništvo,

morali su biti vegetarijanci i živjeti u zajednici. Članovi vanjskog kruga

nisu morali biti vegetarijanci, mogli su imati privatno vlasništvo i

stanovali su u vlastitim kućama. I muškarci i žene mogli su postati

članovi škole. Pitagorejci su prvi u grčkom svijetu ženama priznali

ravnopravnost, pa su i one primane u društvo (nekoliko sljedbenica

Pitagorejki kasnije su postale poznati filozofi). U školi je naglasak bio na

tajnosti i zajedništvu. Pitagorejce su zanimale osnove matematike,

pojam broja, trokuta i ostalih matematičkih likova te apstraktna ideja

dokaza. Osim matematike proučavali su i filozofiju, astronomiju,

glazbu i umjetnost.

Broj članova pitagorejske zajednice rastao je u mnogim gradovima južne Italije, a mjestimično i Sicilije, pa su oni u nekima od tih gradova počeli igrati i značajnu

političku ulogu. Politička misao Pitagorejaca bila je konzertvativna i aristokratska, i zato su ih tokom 5. stoljeća pr.Kr. demokrati više puta proganjali, spaljivali im kuće i nastojali uništiti njihov savez. Već su Pitagoru takvi politički sukobi natjerali da se oko 509. godine pt.Kr. iz Krotona preseli u Metapont. Pitagorino učenje bilo je tajnog karaktera i prenosilo se samo usmeno na neposredne učenike.

Pitagora je vjerovao da se sve relacije i odnosi mogu svesti na operacije s brojevima te da se sve oko nas i cijeli svemir može objasniti brojevima. Do toga su došli mnogim opažanjima u astronomiji, matematici i glazbi. Poznato je i Pitagorino opažanje da žice glazbala proizvode tonove u harmoniji kada su koeficijenti duljina tih žica cijeli brojevi. Pitagora je bio izvrstan glazbenik, svirao je liru i koristio je glazbu kao sredstvo liječenja. Pitagora je proučavao svojstva prirodnih brojeva koja su i dan danas poznata (npr. parni i neparni brojevi, savršeni brojevi itd.). Tvrdio je da svaki broj ima svoje osobine: muški i ženski, savršen ili nepotpun, lijep ili ružan. Postojao je i najbolji broj 10, kojeg su prepoznavali kao zbroj prva 4 prirodna broja.

U skladu s njegovim vjerovanjima o brojevima, geometriji i astronomiji, imao je filozofske nazore da je cijeli svijet sastavljen od suprotnosti, tj. suprotnih parova; zatim da su sve postojeće stvari sastavljene od oblika, a ne od materijalne tvari, a da je duša broj koji se samostalno pokreće i reinkarnira dok ne dođe do potpunog očišćenja (do kojeg se dolazi kroz intelektualne i obredne vježbe strogih Pitagorejaca).

DOSTIGNUĆA PITAGORINE ŠKOLE:

Zbroj kuteva u trokutu jednak je kao dva prava kuta.

Pitagorejci su čvrsto vjerovali da se sve može prikazati u obliku broja, pri čemu je svaki broj kvocijent dva cijela broja. Međutim, kada su pokušali izmjeriti hipotenuzu jednakokračnog pravokutnog trokuta, došli su do

zaključka da se ona ne može prikazati kao kvocijent dva cijela broja i to ih je užasnulo. Zapravo, činjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja toliko ih je osupnula da su tu tvrdnju čuvali u dubokoj tajnosti kako ne bi izašla na vidjelo.

Pet pravilnih geometrijskih tijela (Platonova tijela). Smatra se da je sam

Pitagora znao kako konstruirati prva tri pravilna tijela, ali ne i posljednja

dva.

U astronomiji je Pitagora poučavao da je Zemlja kugla u središtu

Svemira. On je također prepoznao da se Mjesečeva putanja nalazi

pod kutom u odnosu na ekvator. On je također bio jedan od prvih koji

je primijetio da je Venera kao večernja zvijezda bila isti planet kao

Venera kao jutarnja zvijezda.

Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbroju kvadrata na ostale dvije

stranice u pravokutnom trokutu(Pitagorin poučak). Pitagorejcima

"kvadrat" nije označavao množenje duljine stranice sa samom sobom,

već je označavao jednostavno geometrijski lik kvadrat konstruiran na

stranici. Činjenica da je zbroj dva kvadrata jednak trećemu, značila je

da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti

jedan kvadrat koji je sukladan kvadratu nad hipotenuzom.

PITAGORIN POUČAK

Poučak glasi: „Zbroj površina kvadrata nad katetama

jednak je površini kvadrata nad hipotenuzom.”

Formula: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

(a i b su duljine kateta, c je duljina hipotenuze)

Mi danas pamtimo Pitagoru po poznatom Pitagorinom

poučku. Iako je taj poučak nazvan po Pitagori, on je

bio poznat još i starim Babiloncima 1000 godina prije

nego što se Pitagora rodio. Pitagora nije prvi otkrio

teoriju, već je Pitagora bio prvi koji je dokazao tu teoriju

i zato se on naziva Pitagorin poučak.

OBRAT PITAGORINA POUČKA

Ako za trokut ABC vrijedi formula 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 , tada je trokut ABC pravokutan pri čemu je c duljina hipotenuze

Svaka trojka brojeva za koju vrijedi Pitagorin poučak naziva se Pitagorina trojka.

2.1, 2.9, 2

2.12 + 22 = 2.92

4.41+4 = 8.41

8.41 = 8.41

PRAVOKUTNI TROKUT Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan unutarnji trokut pravi (90*), a preostala

dva su mu šiljasta (zajedno iznose 90*).

Katete su stranice koje zatvaraju pravi kut. Označavaju se malim tiskanim

slovima a i b.

Hipotenuza je najdulja stranica pravokutnog trokuta i nalazi se nasuprot pravog

kuta. Označava se malim tiskanim slovom c.

Središte pravokutnog trokuta opisane kružnice jest polovište hipotenuze.

PRIMJENA PITAGORINA POUČKA NA KVADRAT

Formule:

𝑎 =ⅆ 2

2= duljina stranice kvadrata s dijagonalom duljine d

𝑑 = 𝑎 2 = duljina dijagonale kvadrata s duljinom stranice a

o = 4 * a

P = 𝑎2

𝑎2 + 𝑎2 = 𝑑2

Stranice kvadrata jednakih su duljina i susjedne zatvaraju pravi

kut. Dužina koja spaja dva nasuprotna vrha naziva se

dijagonala (d).

d

a

a

Zadatak 1, kvadrat:

Travnati vrt kvadratnog oblika ima duljinu stranice 7 m. Ljubica želi

posaditi ljubice kroz sredinu vrta. Kolika je duljina reda s ljubicama?

Ljubica također želi pokositi vrt. Koliku površinu vrta prekriva trava?

a

a

d

a = 7 cm

d= 𝑎 2

d= 7 2 m

d ≈ 9.87m

Duljina reda s ljubicama

iznosi približno 9.87 m. Trava prekriva 49𝑚2

𝑃 = 𝑎2

𝑃 = 72

𝑃 = 49𝑚2

a

a=7cm

PRIMJENA PITAGORINA POUČKA NA PRAVOKUTNIK

Formule:

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑑2

o = 2*a + 2*b

P = a*b

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑑2

Nasuprotne stranice jednakih su duljina i paralelne su. Susjedne zatvaraju pravi kut.

db

a

Zadatak 2, pravokutnik:

Petra želi kupiti novi televizor. Petra će tv staviti u okvir dimenzija 9 dm x 12dm.

Koliko inča treba imati televizor da bi popunio cijeli okvir?

Jedan inč = 2.54 cm

a

a

bbd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑑2

122 + 92 = 𝑑2

144 + 81 = 𝑑2

𝑑2 = Τ225d = 15 dm = 150 cm

Ekran televizora mora imati

približno 59 inča.

150 : 2.54 ≈ 59 inča

a=12dm

b=9dm

PRIMJENA PITAGORINA POUČKA NA

JEDNAKOSTRANIČNI TROKUT

Formule:

o = 3*a

𝑃 =𝑎23

4= površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine a

𝑣 =𝑎 3

2= visina jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine a

𝑎 =2 3

2∗ 𝑣 = duljina stranice jednakostraničnog trokuta s visinom duljine v

𝑣2 +𝑎

2

2= 𝑎2

Jednakostranični trokut je trokut koji ima sve tri stranice jednake duljine i

sve kutove jednakih veličina. Visina na stranicu a dijeli trokut na dva

jednaka pravokutna trokuta.𝑎

2

𝑎

2

Zadatak 3, jednakostranični trokut:

Prometni znak trokutastog oblika ima jednake stranice. Visina znaka

isnosi 60 cm. Kolika je duljina stranica znaka?

V = 60 cm

aa

a

𝑎2 = 𝑣2 +𝑎

2

2

𝑎2 = 602 +𝑎

2

2

𝑎2

1−𝑎2

4= 3600

4 − 1

4𝑎2 = 3600

3

4𝑎2 = Τ3600 :

3

4

𝑎2 = 3600 ∗4

3

𝑎2 =14400

3

𝑎2 = Τ4800𝑎 ≈ 69.3 cm

Duljinastranica znaka

iznosi približno 69.3 cm.

v=60cm

PRIMJENA PITAGORINA POUČKA NA

JEDNAKOKRAČNI TROKUT

Formule:

o = a + 2*b

𝑃 =1

2∗ 𝑎 ∗ 𝑉𝑎

𝑎2 +𝑎

2

2= 𝑏2

Jednakokračni trokut ima dvije stranice jednake duljine i zovu se

krakovi (b) a treća stranica naziva se osnovica (a).

𝑎

2

b

v

𝑎

2

Zadatak 4, jednakokračni trokut:

U nacrtu za kuću visina krova trebala bi biti 4 m, a širina kuće na kojoj se gradi

krov iznosi 6 m. Kolika je duljina jedne grede? Prednji dio kuće obojat će se u

plavo. Koliko je potrebno kantica s bojom, ako je za svaki metar kvadratni

potrebna jedna?

a=6m

v=4m𝑏2 = 𝑣2 +

𝑎

2

2

𝑏2 = 42 +6

2

2

𝑏2 = 4 + 32

𝑏2 = 4 + 9

𝑏2 = Τ13𝑏 ≈ 3.6 m

Duljina grede iznosi približno 3.6

metara. Potrebno je 12 kantica

boje.

𝑃 =1

2⋅ 𝑎 ⋅ 𝑉𝑎

𝑃 =1

2⋅ 6 ⋅ 4

𝑃 = 3 ⋅ 4𝑃 = 12 𝑚2

b b

v=4m

a=6m

PRIMJENA PITAGORINA POUČKA NA ROMB

Formule:

o = 4*a

𝑃 =1

2⋅ ⅇ ⋅ 𝑓

𝑃 = 𝑎 ∗ 𝑣

𝑓

2

2+

ⅇ

2

2= 𝑎2

Romb je paralelogram koji ima sve četiri

stranice jednake duljine i dijagonale (e i f) mu

se raspolavljaju pod pravim kutem. 𝑓

2

ⅇ

2

a

Zadatak 5, romb:

Radnici postavljaju kuhinjske pločice romboidnog oblika. Dijagonale

pločica iznose e = 30mm, f = 40mm. Koliko iznosi duljina stranice pločica?

𝑎2 =𝑓

2

2+

ⅇ

2

2

𝑎2 =40

2

2+

30

2

2

𝑎2 = 202 + 152

𝑎2 = 400 + 225

𝑎2 = Τ625𝑎 = 25 mm

Duljina stranice pločica iznosi

25mm.

f=40mm

e=30mm

e=30mm

f=40mm

PRIMJENA PITAGORINA POUČKA NA

JEDNAKOKRAČNI TRAPEZ

Formule:

o = a+b+c+d

𝑃 =1

2∗ 𝑎 + 𝑐 ∗ 𝑣

𝑃 = s ⋅ 𝑣

𝑣2 +𝑎−𝑐

2= 𝑏2

Jednakokračni trapez je trapez čiji su

krakovi jednakih duljina.

Zadatak 6, jednakokračni trapez :

Treba ogradom ograditi polje. Polje ima oblik jednakokračnog

trapeza. Nasuprotne stranice duge su 13,2 metara i 10.8 metara, a

visina je 3.5 metara. Koliko metara ograde treba da se ogradi polje.

v=3.5m

a=13.2m

c= 10.8m

b=db=d

𝑏2 =𝑎 − 𝑐

2 +𝑣2

2

𝑏2 =13.2−10.8

2

2+ 3.52

𝑏2 =2.4

2

2+ 12.25

𝑏2 = 1.22 + 12.25𝑏2 = 1.44 + 12.25

𝑏2 = Τ13.69b = 3.7m

o = a+b+c+d

o = 13.2 + 3.7 + 10.8 + 3.7

o = 31.4 m

Za ograditi polje potrebno je

31.4 m ograde.

a=13.2m

b=10.8m