Programação Linear Prof°. Moretti

Aula 14 - Problema da dieta Forma canônica da dualidade Forma padrão da dualidade O problema da dieta versus o Problema do fabricante de pílulas. - Problema da Dieta Fazer uma dieta com custo mínimo usando 6 ingredientes, de tal maneira que a dieta contenha no mínimo 9 unidades de vitamina A e 19 unidades de vitamina C. Número de unidades de Número mínimo nutrientes por Kg de unidades do nutriente

Nutrientes 1 2 3 4 5 6 Vitamina A 1 0 2 2 1 2 9 Vitamina C 0 1 3 1 3 2 19

Custo un/Kg 35 30 60 50 27 22 Modelo Matemático: Seja xj = quantidade ( em Kg ) do ingrediente j na dieta. Minimizar zp = 35x1 + 30x2 + 60 x3 + 50 x4 + 27x5 + 22x6 Sujeito a 1x1 + 0x2 + 2x3 + 2x4 + 1x5 + 2x6 ≥ 9 0x1 + 1x2 + 3x3 + 1x4 + 3x5 + 2x6 ≥ 19 x1, x2, ... , x6 ≥ 0

- Problema do Fabricante de Pílulas O fabricante quer colocar no mercado pílulas de vitaminas A e C. Ele quer saber com que preços colocar no mercado de tal maneira a competir com os preços dos ingredientes. Sejam w1 = preço da pílula ( unidades ) de vitamina A. w2 = preço da pílula ( unidades ) de vitamina C. Modelo Matemático: Restrições: Para o ingrediente 1: w1 + 0w2 ≤ 35 Para o ingrediente 2: 0w1 + w2 ≤ 30 Para o ingrediente 3: 2w1 + 3w2 ≤ 60 Para o ingrediente 4: 2w1 + w2 ≤ 50 Para o ingrediente 5: w1 + 3w2 ≤ 27 Para o ingrediente 6: 2w1 + 2w2 ≤ 22 Como os preços são não-negativos: w1,w2 ≥ 0 O cliente só vai comprar as quantias que são necessárias de vitaminas A e C. Logo , o fabricante quer Max zd = 9w1 + 19w2

Fatos:

1) A matriz de restrições do problema 2 é a transposta da matriz de restrições do problema 1.

2) O vetor b de P1 é o vetor c de P2 e vice-versa.

3) Cada coluna de P1 é uma linha de P2 e vice-versa. 4) zd ≤ zp , caso contrário ningém compraria as pílulas.

5) O problema P1 é chamado de Primal e P2 é o Dual de P1.

Forma Canônica da Dualidade

Primal: Min zp = ct x sa

Ax ≥ b x ≥ 0 Dual: Max zd = bt w sa At w≤ c w ≥ 0 Forma Padrão da Dualidade

Primal: Min zp = ct x sa

≥≥

≥−≥−

≥

≥=

0xbxA

0xbAx

bAx

0xbxA

onde

−

=

−

=bb

beAA

A

Logo, o problema primal é:

Min zp = ct x sa

0xbxA

≥≥

cujo dual é dado por :

Max zd = bt w sa

0w

ct

≥wA ≤

( ).''w,'wwonde =

E rescrevendo o problema acima, temos:

( )( )

0''w,'wc''w'wAsa''w'wbzMax

0''w,'wc''wA'wAsa

''wb'wbzMaxt

td

tt

ttd

≥≤−

−=

≥≤−

−=

Seja w = w' – w''. O dual pode ser escrito:

sinalemirrestritow

cwAsa

wbzMaxt

td

≤

=

Lema: O dual do dual é o primal.