Upload
vonhi
View
219
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i
PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM
PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA AIR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh
Julius Sigit Wicaksono
NIM : 993114015
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
MATHEMATICAL MODELLING OF
HYDROELECTRIC POWER GENERATION SYSTEM
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathemathics Study Program
By
Julius Sigit Wicaksono
Student Number : 993114015
STUDY PROGRAM OF MATHEMATHICS
DEPARTMENT OF MATHEMATHICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
Di Balik Setiap Batu Penghalang
Pasti Ada Hikmat Yang Tersembunyi
Dan Selalu Ada Pelajaran Yang Mematangkan Mental.
Hadapi Dengan Berani Setiap Batu Penghalang
(Wisdom to Success )
SKRIPSI INI KUPERSEMBAHKAN UNTUK KEDUA ORANG TUA KU
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Agustus 2007
Penulis
Julius Sigit Wicaksono
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air pada bendungan digerakkan oleh suatu generator. Agar generator dapat digerakkan maka diperlukan tinggi yang sesuai pada bendungan tersebut.
Dengan mengasumsikan dua bendungan seperti dua sistem bejana, maka model matematika pada dua sistem bejana tersebut adalah
)()(2)(2
222
22
thdt
tdhdt
thdnn ωωξ ++ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21
1
AAKλ
Dh , dengan )(2 th adalah tinggi air pada sistem bejana
yang terletak dibawahnya, ξ adalah rasio peredam yang baru, Dh adalah tinggi air yang sesuai pada sistem bejana, nω adalah frekwensi alami yang baru, dan
21 , AA adalah luas penampang sistem bejana. Penyelesaian pada dua bejana ini memiliki tiga kemungkinan nilai rasio
peredam baru yang terjadi, yaitu ,1,1 <= ξξ dan 10 <<ξ . Untuk menjamin waktu yang dibutuhkan untuk meredamkan gejolak air seperti kelebihan air tidak terlalu lama, maka nilai rasio peredam baru yang sesuai adalah 10 <<ξ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Hydroelectric Power Generation System of dam is generated by a generator. In order to generate a generator, it’s needed a desired demand of the water level of the dams.
By assuming two dams like two-vessel system, the mathematical model of two-vessel system is )()(2)(
222
22
2
thdt
tdhdt
thdnn ωωξ ++ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21
1
AAKλ
Dh , where )(2 th denotes the
water level of the lower vessel system, ξ denotes the new damping ratio, Dh denotes the desired demand of the water level, nω denotes the new natural frequency, and
21 , AA denotes the uniform cross-sectional of the two-vessel system. There are three cases of the solution of this two-vessel system, depending of the new damping ratio such as ,1,1 <= ξξ and 10 <<ξ . In order to ensure the settling-down time such as overshoot is not too large, then the appropriate value of the new damping ratio is 10 <<ξ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Dengan telah selesainya penulisan skripsi yang berjudul “Pemodelan
Matematika Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air ”, saya mengucapkapkan
puji dan syukur atas berkat dan rahmat yang Tuhan Yang Maha Esa.
Terutama juga saya mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing
saya, Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, yang dengan sabar dan penuh perhatian
membantu saya dalam penulisan ini.
Selain itu saya juga mengucapkan seluruh dosen dan staf sekretariat Fakultas
Sains Dan Teknologi dalam pelayanan membantu saya selama kuliah di Sanata
Dharma.
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memenuhi salah satu persyaratan
memperoleh gelar sarjana sains program studi matematika Fakultas Sains Dan
Teknologi Universitas Sanata Dharma.
Saya selaku penulis skripsi ini, menyadari masih jauh dari sempurna, oleh
sebab itu saya mengharapkan masukan dari semua pihak untuk lebih sempurnanya
tulisan skripsi ini.
Yogyakarta, Juli 2007
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL............................................................................................ i
HALAMAN JUDUL............................................................................................ ii
HALAMAN PERSETUJUAN............................................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN.............................................................................. iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. vi
ABSTRAK ........................................................................................................... vii
ABSTRACT......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ......................................................................................... ix
DAFTAR ISI........................................................................................................ x
DAFTAR TABEL................................................................................................ xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xv
BAB I PENDAHULUAN................................................................................... 1
A. Latar Belakang ......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................... 2
C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 2
D. Manfaat Penulisan.................................................................................... 3
E. Metode Penulisan..................................................................................... 3
F. Tujuan Penulisan...................................................................................... 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 4
BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERE
NTIAL DAN DERET BINOMIAL ....................................................... 6
A. Pemodelan Matematika............................................................................ 6
B. Persamaan Diferensial.............................................................................. 7
1. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan.................................. 11
2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ........................................... 12
3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua............................................ 13
4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua ..................................... 21
C. Deret Binomial Dan Penerapannya.......................................................... 29
1. Usaha Dan Energi .............................................................................. 30
2. Fluida ................................................................................................. 31
3. Persamaan Kontinuitas....................................................................... 33
4. Persamaan Bernoulli .......................................................................... 34
5. Teorema Torricelli ............................................................................. 35
BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJANA .. 39
A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air ....................................................... 44
1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana ......... ........ 49
2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana .............. 50
B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air ................................................... 51
1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana ................. 58
2. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana .................. 59
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana .............. 60
BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJANA .... 67
A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di
Atasnya..................................................................................................... 68
B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di
Atasnya..................................................................................................... 79
C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan ................................ 99
BAB V PENUTUP.............................................................................................. 109
A. Kesimpulan .............................................................................................. 109
B. Saran......................................................................................................... 110
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 111
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.3.1 Tabel Diferensial Metode Tak Tentu .................................... 20
Tabel 3.1.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Aliran Air yang Masuk Sema
kin Besar .............................................................................. 46
Tabel 3.1.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin
Besar...................................................................................... 47
Tabel 3.1.3 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar ............. 49
Tabel 3.1.4 Tinggi Air Untuk Luas ( )λ Semakin Besar.............................. 50
Tabel 3.2.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk )( 01 qq − Semakin Besar..... 53
Tabel 3.2.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin
Besar...................................................................................... 54
Tabel 3.2.3 Bertambahnya Tinggi Air Untuk )( 01 qq − Semakin Besar.... 55
Tabel 3.2.4 Bertambahnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin
Besar...................................................................................... 55
Tabel 3.2.5 Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air ................................... 57
Tabel 3.2.6 Tinggi Air Untuk ( )1q Semakin Besar.................................... 59
Tabel 3.2.7 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar Semakin
Besar...................................................................................... 60
Tabel 3.2.8 Bertambahnya Tinggi Air Untuk Kontanta Toricelli Semakin
Besar........................................................................................ 61
Tabel 4.1.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...................................... 73
Tabel 4.1.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Kritis................................................. 75
Tabel 4.1.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................ 78
Tabel 4.2.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...................................... 82
Tabel 4.2.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Kritis................................................. 85
Tabel 4.2.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................ 87
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.3.4.1 Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Teredam .................. 27
Gambar 2.3.4.2 Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Tak Teredam ........... 29
Gambar 2.3.2.1 Tekanan Hidrostatis di Titik A, B adalah sama ............. 33
Gambar 2.3.3.1 Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................ 33
Gambar 2.3.5.1 Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................ 35
Gambar 3.1 Fungsi Konstan............................................................... 40
Gambar 3.2 Fungsi Kecepatan ........................................................... 41
Gambar 3.3 Fungsi Percepatan .......................................................... 41
Gambar 3.4 Sistem Bendungan.......................................................... 42
Gambar 3.5 Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk............................. 43
Gambar 3.6 Bejana dengan Aliran Air yang Masuk.......................... 44
Gambar 3.1.1 Tinggi Air Bejana tanpa Aliran Air................................ 48
Gambar 3.1.2 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......... 50
Gambar 3.1.3 Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin
Besar............................................................................... 51
Gambar 3.2.1 Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air............................. 57
Gambar 3.2.2 Tinggi Air Bejana Untuk Aliran Air yang Keluar Sema
kin Besar ....................................................................... 59
Gambar 3.2.3 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar ...... 60
Gambar 3.2.4 Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin
Besar............................................................................... 61
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
Gambar 3.2.5 Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana ......... 62
Gambar 4.1 Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk ..................... 67
Gambar 4.2 Dua Bejana dengan Aliran air yang Masuk ................... 67
Gambar 4.1.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Berlebihan ............................... 74
Gambar 4.1.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Kritis.......................................... 76
Gambar 4.1.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Berkurang ................................. 78
Gambar 4.2.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Berlebihan .............................. 83
Gambar 4.2.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Kritis ........................................ 85
Gambar 4.2.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air
Untuk Kasus Diredam Kritis.......................................... 88
Gambar 4.2.4 Rasio Peredam 10 << ξ ............................................... 89
Gambar 4.2.5 Rasio Peredam 5,01,0 << ξ ........................................... 89
Gambar 4.2.6 Rasio Peredam 9,06,0 << ξ .......................................... 89
Gambar 4.2.7 Rasio Peredam 1>ξ .................................................... 90
Gambar 4.2.8 Rasio Peredam 1=ξ .................................................... 90
Gambar 4.2.9 Tinggi Air Pada Rasio Peredam.................................... 91
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
Gambar 4.2.10 Tinggi Air Untuk Kelebihan Dan Kekurangan Air Pada
Dua Sistem Bejana ........................................................ 93
Gambar 4.2.11 Tinggi Air Maksimum Dan Minimum........................... 96
Gambar 4.2.12 Daerah Tinggi Air Maksimum Dan Stabil .................... 98
Gambar 4.2.12 Perbandingan Persentase Tinggi Air Maksimum dengan
Rasio Peredam............................................................... 98
Gambar 4.3.1 Dua Bejana dengan Aliran Air yang Disesuaikan......... 100
Gambar 4.3.2 Cara Kerja Sensor Pada Dua Sistem Bejana ................. 101
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Bendungan mempunyai manfaat yang sangat berguna dalam kehidupan ini,
salah satu manfaat dari bendungan adalah untuk pembangkit tenaga listrik.
Faktor yang mempengaruhi besar atau kecilnya aliran air pada bendungan
adalah curah hujan dan besarnya aliran air sungai. Jika curah hujan tinggi dan aliran
air sungai besar, maka air pada bendungan akan besar, dan jika curah hujan rendah
dan aliran air sungai kecil, maka air pada bendungan akan kecil.
Pada umumnya bendungan yang digunakan untuk pembangkit listrik itu
terdiri dari satu bendungan, atau dua bendungan, dimana bendungan yang satu
terletak di atas bendungan yang lain.
Agar dapat menggerakkan generator pada satu bendungan, diperlukan tinggi
yang sesuai pada bendungan, sedangkan pada dua bendungan diperlukan tinggi yang
sesuai pada bendungan yang terletak di atasnya.
Dari sini muncul permasalahannya yakni bagaimana memperoleh ketinggian
yang sesuai pada satu bendungan dan dua bendungan tersebut.
Dalam penulisan ini akan dipaparkan model matematika pada Pembangkit
Listrik Tenaga Air pada satu bendungan dan dua bendungan. Untuk itu diperlukan
penyederhanaan masalah yaitu dianggap bahwa evaporasi dan faktor curah hujan
diabaikan, sehingga air yang ada pada bendungan berasal dari air sungai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada
sistem satu bejana ?
2. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada
sistem dua bejana ?
3. Bagaimana model matematika agar diperoleh tinggi air yang sesuai
pada sistem satu dan dua bejana ?
C. Pembatasan Masalah
Pembatasan masalah pada skripsi ini adalah:
1. Bendungan yang dibahas hanya bendungan yang digunakan untuk
Pembangkit Listrik Tenaga Air.
2. Analisa lebih dalam mengenai ketinggian air pada sistem bejana hanya
terbatas pada sistem dua bejana.
3. Sistem yang menyerupai sistem dua bejana seperti pegas hanya
dibahas seperlunya yaitu sistem satu pegas dengan input dianggap
konstan.
4. Penggunaan tentang teorema Torricelli hanya digunakan pada satu
bejana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
5. Sensor yang digunakan hanya terbatas untuk ketinggian air pada
bejana.
D. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan pada skripsi ini adalah untuk mengetahui bagaimana
tinggi air yang sesuai pada sistem bejana yang terletak di bawahnya agar dapat
membangkitkan tenaga listrik.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam makalah ini adalah metode studi
pustaka yaitu mempelajari buku-buku yang berkaitan Pemodelan Matematika Pada
Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air.
F. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami dan mempelajari bagaimana
sistem dua bendungan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Manfaat Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Tujuan Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN
DIFERENTIAL DAN DERET BINOMIAL
A. Pemodelan Matematika
B. Persamaan Diferensial
2. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan
3. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
4. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
5. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua
C. Deret Binomial Dan Penerapannya
1. Usaha Dan Energi
2. Fluida
3. Persamaan Kontinuitas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
4. Persamaan Bernoulli
5. Teorema Torricelli
BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJA
NA
A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air
1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana
2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana
B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air
1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana
2. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana
3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana
BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJA
NA
A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di
Atasnya
B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana
di Atasnya
C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN DERET BINOMIAL
A. Pemodelan Matematika
Model adalah gambaran suatu objek yang disusun berdasarkan tujuan
tertentu, dan objeknya dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, ataupun
suatu proses tertentu.
Sistem adalah suatu himpunan beserta relasi antara unsur-unsurnya yang
disusun berdasarkan tujuan tertentu. Misalnya rumah sakit, yang merupakan suatu
sistem yang bertujuan untuk merawat orang sakit, den bagian dari rumah sakit
tersebut harus mendukung tujuan merawat orang sakit.
Tujuan penyusunan model dibedakan tiga kategori yaitu :
a) Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara
mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model seperti ini adalah
model keterkaitan.
b) Guna mengadakan pendugaan (prediksi) untuk memperbaiki keadaan
objek, yang disebut model pendugaan.
c) Guna mengadakan optimisasi bagi objek. Modelnya disebut model
optimisasi.
Manfaat model adalah untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas
mengenai suatu objek tanpa merusak ataupun mengganggu objek yang aslinya,
yang dapat dilakukan dengan cara eksperimen pada model tersebut. Hal ini dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
dilihat jika dilakukan eksperimen langsung ke objeknya , maka mempunyai resiko
yang sangat merugikan.
Langkah–langkah Penyusunan Model Matematika
a) Identifikasi Masalah.
Sebelum menyusun model matematika adalah mengidentifikasi
masalahnya terlebih dahulu, yang mempunyai batasan-batasan tertentu
yang dikenal dengan penyederhanaan masalah..
b) Perumusan Masalah.
Model tersebut dirumuskan dengan simbol atau lambang yang dapat
dalam matematika baik peubahnya maupun relasi-relasinya.
c) Selesaikan Masalah.
Menyelesaikan perumusan masalah secara matematika.
d) Menafsirkan Masalah.
Model harus ditafsir lagi yakni apakah model tersebut sudah sesuai
dengan yang diharapkan atau tidak ? apakah model tersebut sudah baik
atau tidak? Jikalau tidak, kembali ke langkah semula, sehingga
diperoleh model yang sesuai atau baik seperti yang diinginkan.
e) Pelaksanaan Model.
Model dapat digunakan untuk memperoleh atau mencapai tujuan
semula.
B. Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial Orde atau Tingkat n adalah persamaan yang biasa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
nya ditulis dalam bentuk
0),...,,,,( )(''' =nyyyyxF
dimana )(ny , menyatakan turunan y terhadap x yang sebanyak n kali, dan F
adalah suatu fungsi dengan peubah–peubah )(''' ,...,,,, nyyyyx .
Orde Persamaan Diferensial adalah orde derivatif tertinggi yang muncul
dalam persamaan.
Contoh 2.2.1
Bentuk persamaan diferensial orde satu adalah 0),,( ' =yyxF .
Persamaan Diferensial Biasa Orde n disebut linear dalam y jika
persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk
)()()(...)()( 01
1)1(
1)( xfyxayxayxayxa n
nn
n =++++ −−
Dengan naaa ,...,, 10 dan f adalah fungsi yang kontinu pada suatu interval
x dan 0)( ≠xan pada interval tersebut.
.
Contoh 2.2.2
Persamaan 2''' xyyy =++ adalah persamaan diferensial orde dua yang linear.
Untuk membuktikan suatu fungsi merupakan suatu penyelesaian
diferensial tersebut, harus dibuktikan apakah fungsi tersebut bila diturunkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
sebanyak n kali merupakan persamaan diferensial itu sendiri atau ruas kanan dan
ruas kiri dari persamaan diferensial tersebut adalah sama.
Contoh 2.2.3
Buktikan bahwa 922 =+ yx adalah penyelesaian persamaan diferensial
0' =+ yyx ?
Penyelesaian
Jika 922 =+ yx diturunkan terhadap x, maka diperoleh 022 ' =+ yyx .
022 ' =+ yyx dapat ditulis menjadi 0' =+ yyx . Sehingga terbukti bahwa
922 =+ yx adalah penyelesaian dari persamaan diferensial 0' =+ yyx .
Definisi 2.2.1
a) Suatu keluarga berparameter n dari penyelesaian persamaan diferensial
orde n disebut penyelesaian umum dari persamaan diferensial jika semua
penyelesaian persamaan diferensial dapat diperoleh dari keluarga
berparameter n.
b) Suatu penyelesaian persamaan diferensial orde n yang diperoleh dari
penyelesaian umum dengan menentukan nilai parameter n disebut dengan
penyelesaian khusus.
Contoh 2.2.4
Misalkan xeCeCy xx ++= 221 adalah penyelesaian umum dari persamaan diferen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
sial 3223 ''' −=++ xyyy . Untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari
persamaan dferensial tersebut dapat dicari dengan cara memilih nilai konstanta
1C dan 2C , yaitu dengan mengambil 101 =C dan 32 =C , maka
xeey xx ++= 2310
Masalah nilai awal terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan
diferensial yang juga memenuhi persyaratan
( ) 00 yxy = ( ) '00
' yxy =
Masalah nilai batas terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan
diferensial yang juga memenuhi persyaratan
( ) 00 yxy = ( ) '01
' yxy =
Contoh 2.2.5
Jika persamaan diferensial 3223 ''' −=++ xyyy dengan menggunakan masalah
nilai awal di atas dan masalah nilai batas dari persamaan 3223 ''' −=++ xyyy
mempunyai penyelesaian khusus yaitu 0)0( =y dan 0)1( =y . Untuk
0,0 == yx , maka 021 =+CC , dan untuk 0,1 == yx maka 1221 −=+ eCeC .
Sehingga diperoleh
ee
CC−
=−= 2211 .
Maka penyelesaian khususnya adalah
ee
xy−
+= 2
1 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
1. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan
Persamaan diferensial terpisahkan dari persamaan diferensial orde
satu adalah suatu persamaan diferensial orde satu dimana bentuk
dxdy dapat difaktorkan sebagai fungsi x kali fungsi y. Dengan
perkataan lain bahwa persamaan diferensial orde satu tersebut
dapat ditulis dalam bentuk
)()( yhxgdxdy
= (2.2.1.1)
Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial orde tersebut,
haruslah dipisahkan sebagai antara fungsi x dan fungsi y secara
terpisah, sehingga persamaan (2.2.1.1) dapat ditulis sebagai
dxxgyh
dy )()(= (2.2.1.2)
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
Cdxxgyh
dy+= ∫∫ )(
)( (2.2.1.3)
Persamaan (2.2.1.3) adalah penyelesaian persamaan diferensial
orde satu yang dapat dipisahkan. Dengan menggunakan teknik
pengintergralan maka persamaan (2.2.1.3) ini dapat diselesaikan
asalkan fungsi dari )(),( yhxg diketahui.
Contoh 2.2.1
Selesaikan yx
dxdy
= ?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Penyelesaian
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial
dan mengintegralkan kedua ruas , maka diperoleh
dxxdyy =
Cxy += 22
21
21
12 Cxy +±= , CC 2
11 =
2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Persamaan diferensial linear orde satu adalah persamaan yang
dapat ditulis dalam bentuk
)()( xQyxPdxdy
=+ (2.2.2.1)
Dengan P dan Q adalah fungsi yang kontinu pada selang yang
diberikan. Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial
linear orde satu tersebut kedua ruas dikalikan )(xI yang sering
disebut sebagai faktor pengintergralan.
dxxP
exI ∫=)(
)( (2.2.2.2)
Bentuk umum penyelesaian dari persamaan diferensial linear orde
satu yang linear, yaitu
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∫∫=
−CexQey
dxxPdxxP )()()( (2.2.2.3)
Persamaan (2.2.2.3) adalah bentuk umum penyelesaian persamaan
diferensial linear orde satu yang homogen, yang dapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
diselesaikan dengan teknik pengintergralan asalkan fungsi dari
)(),( xQxP diketahui.
Contoh 2.2.2.1
Selesaikan ?31 xyxdx
dy=+
Penyelesaian
Faktor pengintegralan x
xI 1)( = , sehingga
xeexI xdxx ==∫= ln1
)(
Dikalikan kedua ruas dengan x, maka
23xydxdyx =+
( ) 23xxydxd
=
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
Cxxy 12 −+=
Sehingga penyelesaian xyxdx
dy 31=+ adalah
Cxxy 12 −+= .
3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Persamaan Diferensial Linear Orde Dua adalah persamaan yang
dapat ditulis dalam bentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
)()()(2
xRyxQdxdyxP
dxyd
=++ (2.2.3.1)
atau
)()(')('' xRyxQyxPy =++ (2.2.3.2)
dimana )(),(),( xRxQxP adalah suatu fungsi
)(xR terbagi atas dua yaitu 0)( =xR dan 0)( ≠xR , seperti yang
diuraikan berikut ini.
Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen adalah
persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
0)()()(2
==++ xRyxQdxdyxP
dxyd (2.2.3.3)
Persamaan diferensial linear orde dua yang nonhomogen adalah
persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
0)()()(2
≠=++ xRyxQdxdyxP
dxyd (2.2.3.4)
Di dalam penerapan fungsi )(xR sering disebut sebagai input
(masukan). Jika 0)( =xR berarti tidak ada input dan 0)( ≠xR
berarti ada input.
Contoh 2.2.3.1
xyxyxxy 42''' 32 =++ adalah persamaan diferensial linear orde dua,
karena dapat ditulis 42''' 2 =++ yxxyy , dan diketahui bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
4)( =xR , maka persamaan tersebut adalah persamaan diferensial
yang nonhomogen.
Teorema 2.2.3.1
Jika diketahui persamaan nonhomogen )()(')('' xRyxQyxPy =++
dengan )(),(),( xRxQxP adalah fungsi yang kontinu pada interval
],[ ba . Jika 0x adalah sembarang titik pada interval ],[ ba , dan jika
00 ', yy adalah sembarang bilangan , maka persamaan homogen
mempunyai penyelesaian tunggal )(xy pada interval ],[ ba
sedemikian hingga 00 )( yxy = dan 00 ')(' yxy = .
Untuk membuktikan teorema ini sangatlah sukar, akan tetapi
pembuktian ini banyak dijumpai dalam buku yang lebih lanjut,
salah satunya diferential equation karangannya Shepley Ross dibab
10, yang dibuktikan dengan teorema lipschit. Didalam teorema ini
menjamin keberadaan dan keunikan suatu solusi masalah nilai
awal.
Contoh 2.2.3.2
Carilah solusi dari 0'' =+ yy 0)0( =y dan 1)0(' =y ?
Penyelesaian
Solusi dari 0'' =+ yy adalah xy sin= , xy cos= dan
1cy = xcos xc sin2+ dimana 1c , 2c adalah sembarang konstanta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Dari ketiga penyelesaian tersebut hanya xy sin= yang memenuhi
0)0( =y dan 1)0(' =y . Sehingga menurut teorema 1 ,
penyelesaian dari 0'' =+ yy , jika diketahui 0)0( =y dan
1)0(' =y adalah xy sin=
Teorema 2.2.3.2
Jika gy adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari persamaan
homogen, dan py penyelesaian khusus yang diperoleh dari
persamaan nonhomogen, maka +gy py adalah penyelesaian
umum persamaan nonhomogen yang diperoleh dari persamaan
yang homogen.
Bukti
Misalkan y adalah penyelesaian umum persamaan diferensial orde
dua yang homogen, maka )()(')('' xRyxQyxPy =++ . Diketahui
bahwa gy adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari
persamaan diferensial orde dua yang homogen, sehingga
0)(')('' =++ ggg yxQyxPy dan py penyelesaian khusus yang
diperoleh dari persamaan diferensial orde dua yang nonhomogen,
sehingga )()(')('' xRyxQyxPy ppp =++ .
Akan dibuktikan y += gy py , yaitu akan dibuktikan bahwa ruas
kanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
y ))(()')((')'( pgpgpg yyxQyyxPyy +++++=
+++= ))(')(''( ggg yxQyxPy ))(')(''( ppp yxQyxPy ++
)()(0 xRxR =+= .
Teorema 2.2.3.3
Jika )(1 xy dan )(2 xy adalah penyelesaian dari persamaan yang
homogen, maka 1c )(1 xy 2c+ )(2 xy juga merupakan penyelesaian
persamaan yang homogen untuk sembarang konstanta 1c dan 2c .
Bukti
)(1 xy dan )(2 xy adalah penyelesaian dari persamaan yang
homogen , maka 0)(')('' 111 =++ yxQyxPy dan
0)(')('' 222 =++ yxQyxPy .
Akan dibuktikan bahwa 1c )(1 xy 2c+ )(2 xy juga merupakan
penyelesaian persamaan yang homogen , maka
0))(()')((')'( 221122112211 =+++++ ycycxQycycxPycyc
0)()(')(')('''' 221122112211 =+++++ ycxQycxQycxPycxPycyc
+++ ))(')(''( 1111 yxQyxPyc 0))(')(''( 2222 =++ yxQyxPyc
+)0(1c 0)0(2 =c .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Persamaan 1c )(1 xy 2c+ )(2 xy pada teorema 2.2.3.3 disebut
sebagai kombinasi linear dari persamaan )(1 xy dan )(2 xy .
Sehingga teorema 2.2.3.3 menyatakan setiap kombinasi linear dari
penyelesaian )(1 xy dan )(2 xy pada persamaan yang homogen
juga merupakan penyelesaian.
Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen yaitu
0)(')('' =++ yxQyxPy
misalkan )(),( xQxP adalah qp,
maka
0''' =++ qypyy
Persamaan karakteristiknya adalah mxey = maka mxmey =' , dan
mxemy 2'' = , sehingga
0)( 2 =++ mxeqpmm
Karena 0≠mxe , maka 0)( 2 =++ qpmm . Dengan rumus kuadrat
diperoleh
2
4,
2
21
qppmm
−±−=
dimana 2
42
1qpp
m−+−
= dan 2
42
2qpp
m−−−
=
Ada tiga kasus untuk 21, mm yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
a) Akar-akar persamaan karakteristiknya 21 ,mm real dan
berbeda ( )042 >− qp . Penyelesaian umum dari persamaan
diferensial yang homogen adalah 1cy =xm
e 1 xmec 2
2+ .
b) Akar-akar persamaan karakteristiknya 21 ,mm real yang
berulang ( )042 =− qp . Penyelesaian umum dari persamaan
diferensial yang homogen ini adalah 1cy =xm
e 1 xmxec 2
2+ .
c) Akar–akar persamaan karakteristiknya 21, mm bilangan
komplek ( ).042 <− qp . Sehingga
=−−±−
=2
)4(,
2
21qpp
mm2
)1)(4( 2 −−±− qpp
12
)4( 2
−−±−
=qpp
=−±−
= iqpp
2)4( 2
βα iiqpP
±=−
±−=2
)4(2
2
maka
=1m βα i+ dan =2m βα i−
dimana 2P
−=α dan 2
42 qpp −−−=β .
Sehingga penyelesaian umumnya adalah
1cy = xexm
βcos1 xecxm
βsin2
2+ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua
yang non homogen, langkah pertama yang harus dilakukan adalah
dengan mencari penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua
yang homogen yaitu 0)(')('' =++ yxQyxPy .
Setelah mendapatkan penyelesaian umum tersebut, karena menurut
teorema diatas bahwa penyelesaian persamaan diferensial linear
orde dua yang nonhomogen terdiri dar I penjumlahan penyelesaian
umum dan penyelesaian khusus (y += gy py ) , sehingga harus
dicari penyelesaian khusus yang sesuai.
Perhatikan ruas kanan dari persamaan )()(')('' xRyxQyxPy =++ ,
dimana )(xR dapat berupa beberapa fungsi yaitu eksponensial,
logaritma, trigonometri, dan lain-lain, yang kadang juga
mengalami pegolahan secara aljabar, baik perkalian, penambahan,
pengurangan, pembagian dari beberapa fungsi tersebut.
Berikut ini adalah tabel yang dapat digunakan untuk penyelesaian
khusus ( py ) berdasarkan bentuk )(xR .
Tabel 2.3.1 Tabel Diferensial Metode Koefisien Tak Tentu.
)(xR py
1 nn cttP =)(
( ),...2,1,0=n 0
11 ...)( CCttCtCtP n
nn
nn +++++= −−
2 xc αsin1
xc αcos2 xCxC αα cossin 21 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
3 xceα xCeα
4 )(tPnxceα )(tPn
xCeα=
5 =)(tPn
xc αsin1
)(tQnxc αcos2
=)(tPn xCxC αα cossin 21 +
)(tQn
Contoh 2.3.3
Selesaikan xeyy x sin'2'' =− ?
Penyelesaian.
Penyelesaian umumnya adalah
xg eccxy 2
21)( += .
Penyelesaian khusus ( py ) .
xey xp sin2
1−= .
Jadi penyelesaian dari xeyy x sin'2'' =− adalah
=+ )()( xyxy pg xeecc xx sin212
21 −+
4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua
Setiap gerak yang berulang dalam waktu yang sama disebut dengan
gerak periodik. Dan setiap partikel yang bergerak secara periodik
selalu dinyatakan dalam fungsi sinus dan cosinus.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Jika suatu partikel dalam gerak periodik bergerak bolak-balik
melalui lintasan yang sama, maka geraknya disebut dengan gerak
osilasi atau getaran.
Karena suatu partikel yang bergerak osilasi mengalami gesekan,
maka gerakan suatu partikel tersebut akan berhenti berosilasi,
dimana gerakannya disebut dengan gerakan teredam.
Salah satu partikel yang mengalami gerak osilasi dan teredam
antara lain adalah pegas, seperti yang akan dijelaskan berikut ini.
1) Getaran Tak Teredam Dan Teredam
Pada pegas terdapat dua getaran yang terjadi yakni getaran
teredam dan getaran tak teredam, seperti yang akan
diuraikan di bawah ini
Pegas menggunakan hukum hooke yakni jika pegas
demikian ditarik (diperpanjang) sejauh x, gaya pemulih
yang dilakukan pegas (juga disebut gaya pegas) adalah
kxF −= (2.2.4.1)
dimana
k : konstanta pegas (tetapan pegas) yang diukur dalam
satuan Newton meter ( )Nm yang harganya bernilai positif
bila ditarik dan negatif bila ditekan.
Frekuensi alami pada pegas bila tidak terjadi gesekan dapat
dirumuskan sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
mkv == .2πω (2 2.4.2)
Frekuensi alami yang mengalami gesekan pada pegas
dapat dirumuskan sebagai berikut
2
2.2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==
mb
mkvπω bila
mb
mk
2> (2.2.4.3)
atau
imb
mkv
2
2.2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+−== πω bila
mb
mk
2< (2.2.4.4)
dengan
k : konstanta pegas (Newton meter).
m : massa pegas (kilogram).
b : gaya gesek pegas (Newton ).
Percepatan yang dialami massa pada pegas yang bergetar
diperoleh dari hukum Newton II, yaitu
mFa = (2.2.4.5)
dengan m : massa pegas (kilogram)
F : gaya pegas (Newton ).
Diandaikan bahwa gaya gesekan yang terjadi pada pegas
(gaya peredam) sebanding dengan kecepatan massa dan
bekerja dalam arah berlawanan dengan arah gerak dengan
gaya gesekan lainnya diabaikan seperti yang diilustrasikan
pada gambar berikut ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Gambar 2.2.4.1 Pegas
Sehingga gaya peredamnya adalah
cvF −= (2.2.4.6)
dimana
c : konstanta positif, yang disebut dengan konstanta
peredam
Dari persamaan (2.2.4.5) dan (2.2.4.6), diperoleh
mFa =
dtdxckx
dtxdm −−=2
2
.
02
2
=++ kxdtdxc
dtxdm (2.2.4.7)
Persamaan (2.2.4.7) merupakan persamaan diferensial
linear orde dua linear yang homogen, hal ini disebabkan
gaya gesekan yang lain diabaikan yang mempunyai
penyelesaian akar-akar penyelesaian sebagai berikut
m
mkcmcx
242
2,1−
±−=
c
km
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±−=
mk
mc
mc 2
2 (2.2.4.8)
Penyelesaian dari akar-akar pada persamaan (2.2.4.8)
tergantung dari besarnya konstanta peredam pada frekuensi
alami yang mengalami gesekan, dimana nilainya dapat
positif, negatif, dan nol. Untuk jelasnya perhatikan berikut
ini.
mk
mc
=2
2
4
mkc 2=
misalkan
cc =1
maka
mkc 21 = (2.2.4.9)
sehingga
mkc
cc
21
==ξ
dimana ξ sering disebut sebagai rasio peredam.
Dengan menggunakan istilah rasio peredam dan frekuensi
alami tanpa adanya gesekan, persamaan (2.2.4.7) dapat
ditulis
02
2
=++ kxdtdxc
dtxdm
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
02
2
=++ xmk
dtdx
mc
dtxd
02 22
2
=++ xdtdx
dtxd ωωξ
Sehingga m
mkcmcx
242
2,1−
±−= dapat ditulis sebagai
berikut
122,1 −±−= ξωωξx (2.2.4.10)
Persamaan di atas hanya berlaku untuk 1≥ξ , akan tetapi
jika 10 << ξ , persamaan di atas menjadi
ix 22,1 1 ξωωξ −±−= (2.2.4.11)
Penyelesaian persamaan (2.2.1.4.7) terdiri dari tiga kasus
seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya.
Contoh 2.2.4.1
Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625,
konstanta redaman sebesar 40 ,massa sebesar 1, diketahui
pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang
terjadi pada pegas sebesar 100, maka
)15sin320()( 20 tetx t−=
Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan
setimbang apabila 0)( =tx , yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
015sin =t
diperoleh 2,0=t detik dan 4,0=t detik
Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila 0)(' =tx , yaitu
+−= − )15sin3
400()( 20' tetx t 0)15cos100(20 =− te t
diperoleh 42,0=t detik
Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas
sejauh 1,69 meter.
Gambar 2.2.4.1 Jarak Pegas
Pada gambar 2.2.4.1 di atas, terlihat bahwa pegas
mengalami dua kali dalam keadaan stabil yaitu saat 0,2 dan
0,4 detik, dan jarak maksimum yang dilakukan oleh pegas
tersebut sejauh 1,69 meter.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Contoh 2.2.4.2
Misalkan diketahui bahwa konstanta pegas sebesar 625,
tidak ada konstanta redaman ,massa sebesar 1, diketahui
pegas pada keadaan setimbang dan kecepatan awal yang
terjadi pada pegas sebesar 100, maka
ttx 25sin4)( =
Waktu yang dibutuhkan agar pegas tersebut pada keadaan
setimbang apabila 0)( =tx , yaitu
025sin =t
diperoleh 125,0=t detik dan
Jarak maksimumnya pegas terjadi apabila 0)(' =tx , yaitu
ttx 25cos100)(' =
diperoleh 0628,0=t detik
Sehingga jarak maksimum yang ditempuh oleh pegas
sejauh 3,99 meter. Pada kasus tanpa adanya rasio peredam
pada pegas adalah hal yang unik, sebab pegas tidak akan
pernah berhenti bergetar, dan akan selalu bergetar sehingga
mencapai jarak maksimum sejauh 3,99 meter dan jarak
minimum sejauh 3,99 m dari keadaan setimbang, seperti
yang diilustrasikan pada gambar di berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Gambar 2.2.4.2 Jarak Pegas
C. Deret Binomial Dan Penerapannya
Teorema 2.3.1 ( Deret Binomial ) Untuk bilangan real p, fungsi 21
)1()( pxf +=
dapat dinyatakan sebagai deret Mac Laurin pada selang (-1,1) yang berbentuk
( ) ...21
11 2
0+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+ ∑
∞
=x
px
px
np
xn
np , 1<x
dengan !
)1)...(2)(1(n
nppppnp +−−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ...2,1,0=n
dimana simbol ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛np
berlaku untuk bilangan real p , dan n bilangan bulat positif.
Dalam penulisan skripsi ini tidak diberikan bukti tentang teorema 2.3.1,
akan tetapi bukti untuk teorema 2.3.1 dapat di temukan dalam buku kalkulus lebih
lanjut.
Contoh 2.3.1
Hitung x+1 dengan menggunakan deret binomial
Penyelesaian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Dengan 21
=p dan n bilangan bulat positif., maka
( ) ....!2
2211
210
21
!1
1210
21
!0
021
11 21
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=+ p
( )( ) ( )( )( ) 323
21
21
221
21
!3!2211 xxx
−−+
−++= ....+
...161
81
211 32 ++−+= xxx
Berikut ini akan dibahas bagaimana penerapan dengan deret binomial pada
bidang fisika, yaitu pada teorema Torricelli, seperti yang akan dijelaskan berikut
ini
1. Usaha Dan Energi
Usaha adalah hasil gaya dan dengan perpindahan benda, yang
biasa dirumuskan sebagai berikut
sFW .=
dimana
W : Usaha (Joule)
F : Gaya. (Newton)
s : Perpindahan Benda (meter ) .
Energi Potensial dapat dirumuskan sebagai berikut
mghEP =
dimana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
PE : Energi Potensial (Joule)
g : Gravitasi ( 2−ms )
m : Massa Benda (kg)
Energi Kinetik dapat dirumuskan sebagai berikut
221 mvEk =
dimana
:kE Energi Kinetik (Joule),
v : Kecepatan Benda ( 1−ms )
m : Massa Benda (kg)
Energi Mekanik dapat dirumuskan sebagai berikut
=ME PE kE+
2. Fluida
Fluida adalah zat yang dapat mengalir. Tekanan adalah besarnya
gaya yang bekerja pada permukaan benda setiap satuan, yang
dirumuskan sebagai berikut
AFP =
dimana
P : Tekanan ( )papascalNm ==−2
F : Gaya ( )Newton
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
:A Luas Permukaan ( )2m
Tekanan Hidrostatis adalah tekanan di dalam zat cair yang
disebabkan oleh zat cair itu sendiri, yang dirumuskan sebagai
berikut
hgPH ..ρ=
dimana
:HP Tekanan Hidostatis ( )papascalNm ==−2
:ρ Massa Jenis Zat Cair ( )3−kgm
:h Kedalaman Zat Cair ( )m
:g Gravitasi ( 2−ms )
Massa zat cair dapat dirumuskan sebagai berikut.
hAVm ... ρρ ==
dimana
:ρ Massa Jenis Zat Cair ( )3−kgm
:h Kedalaman Zat Cair ( )m
:A Luas Permukaan ( )2m
:V Volume
Hukum Hidrostatis adalah tekanan hidrostatis semua titik pada
suatu bidang datar memiliki kedalaman yang sama adalah sama,
untuk jelasnya perhatikan gambar berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 2.3.2.1 Tekanan Hidrostatis di titik A, B adalah sama
Pada gambar 2.3.2.1 di atas, titik A dan B terletak pada satu bidang
datar yang memiliki kedalaman yang sama, maka tekanan
hidrostatis di A dan B adalah sama, yang dapat dirumuskan sebagai
berikut
HBHA PP =
3. Persamaan Kontinuitas
Jika kecepatan fluida di penampang 1A dan di penampang 2A
sebesar 1v dan 2v , maka volume fluida yang mengalir melalui
penampang 1A sama dengan yang mengalir melalui penampang 2A
pada saat t., seperti diilustrasikan gambar berikut ini.
Gambar 2.3.3.1 Fluida Yang Mengalir Pada Luas Penampang
A B
b h
1h
2h
→1v
→2v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
1A Dan 2A Yang Memiliki Ketinggian 1h Dan 2h
Banyaknya fluida yang mengalir melalui penampang tertentu tiap
satuan waktu disebut dengan debit ( )Q .
Karena diketahui volume fluida yang mengalir melalui penampang
1A = yang mengalir melalui penampang 2A , maka
21 VV =
11. sA ∆ 22.. sA ∆=
tvA ∆∆ .. 11 tvA ∆∆= ... 22
21 QQ =
Sehingga dapat dikatakan bahwa debit fluida di penampang 1A
adalah
VAQ .=
Persamaan di atas merupakan Persamaan Kontinuitas.
4. Persamaan Bernoulli
Perhatikan gambar 2.3.3.1 di atas, maka usaha total yang dilakukan
untuk mengalirkan fluida dari titik 1 ke titik 2 sama dengan
perubahan energi mekanik fluida. Sehingga dapat dirumuskan
totalW = mE
21 WW − = PE∆ kE∆+
sAPsAP ∆−∆ .... 2211 = )( 212
1222
1 mvmv − + )( 12 mghmgh −
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
+∆sAP .. 11 +212
1 mv 1mgh +∆= sAP .. 222
221 mv 2mgh+
+VP .1 +212
1 mv 1mgh ..2 VP= + 222
1 mv 2mgh+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρmP .1 +2
121 mv 1mgh ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ρmP .2
222
1 mv 2mgh+
+.1P +212
1 .vρ 1.ghρ .2P= 222
1 .. vρ+ 2.. hgρ+
Persamaan di atas dikenal dengan Persamaan Bernoulli
Berikut ini adalah salah satu kasus khusus dari Bernoulli, dimana
kecepatan awal pada pipa diabaikan dan pipa diletakkan pada
posisi mendatar seperti yang akan diuraikan berikut ini.
5. Teorema Torricelli
Teorema Torricelli adalah hubungan antara laju fluida dengan
tinggi fluida yang terdapat pada sistem bejana, seperti yang
diilustrasikan pada gambar berikut ini.
Gambar 2.3.5.1 Fluida Yang Mengalir Pada Luas Penampang Bejana
dimana
↓
↑H
↓
↑
h
1P
3P2P
1A 2A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
:h Tinggi Air ( )m :1P Tekanan Udara
:H Tinggi Air Ke Pipa. :2P Tekanan Air Di Bawah
:3P Tekanan Udara.
:1A Luas Penampang Air yang Masuk Pada Pipa
:2A Luas Penampang Air Yang Keluar Dari Pipa.
Dengan menggunakan persamaan Bernoulli
=++ 12
11 21 hvP ρρ 2
222 2
1 hvP ρρ ++
Karena pipa bejana dalam keadaan mendatar maka 21 hh = , dan
kecepatan awal pada pipa diabaikan diperoleh
P∆ )(21 2
2vρ= (2.3.5.1)
dimana
P∆ : Selisih Tekanan Pada Bejana..
Karena =1P 3P dan =2P hgP ..1 ρ+ maka hgP ..ρ=∆ , sehingga
diperoleh
hg..ρ )(21 2
2vρ=
ghv 22 = (2.3.5.2)
Persamaan (2.3.5.2) menyatakan kecepatan air pada saat h. Dengan
cara yang analog, kecepatan air pada saat H yakni
gHv 22 = (2.3.5.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Misalkan A adalah luas penampang dari pipa bejana, maka laju
rata-rata air saat h adalah
( ) hchq =0 (2.3.5.4)
dimana c adalah konstan 125
−−sm
Dengan cara yang analog diperoleh laju rata-rata air saat H yaitu:
( ) HcHq =0 (2.3.5.5)
dimana c adalah konstan 125
−−sm
Dari persamaan (2.3.5.4), yaitu
( ) hchq =0 ( )[ ]21
HhHc −+=
21
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
HHhHc
21
21
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
HHhHc (2.3.5.6)
Dengan memisalkan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=HHhx
2 diperoleh
( )hq0 ( )[ ]21
21
1 xHc −= (2.3.5.7)
Maka dengan menggunakan contoh 2.3.1, persamaan (2.3.5.7)
menjadi
( )hq021
21
211 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += xHc (2.3.5.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Karena ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=HHhx
2, maka dari persamaan (2.3.5.8) diperoleh
( )hq0 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
HHhHc
212
1
( ) HHh <−
( ) ( )HhH
cHq −+=20
( ) ( )HhHq −+= λ0 (2.3.5.9)
dimana H
c2
=λ .
Jadi untuk h semakin membesar, maka
( )hq0 ( ) ( )HhHq −+= λ0
( ) ( )Hhhc λλ −+=
( )( ) ( )hcHc λ+−= 211
( )hλ≈ (2.3.5.10)
Persamaan (2.3.5.10) dikenal dengan konstanta Torricelli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
BAB III
PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJANA
Pada bab dua telah dipaparkan definisi tentang sistem. Kesalahan (error)
pada sistem adalah perbedaan antara output dan input yaitu
[ ]inputoutputE −= (3.1)
Pada sistem sering sekali menggunakan sebuah alat yang disebut dengan
sensor. Sensor adalah adalah alat untuk mendeteksi sesuatu, yang bertujuan
sebagai alat perbandingan kesalahan. Berikut ini akan dibahas mengenai sensor
yang terdapat pada sistem
a) Sensor Jarak (Perpindahan).
Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi posisi suatu
sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan pada
sistem tersebut.
b) Sensor Kecepatan (Laju).
Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi kecepatan
atau laju suatu sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan
kesalahan pada sistem tersebut.
c) Sensor Percepatan.
Sensor posisi ini biasanya digunakan untuk mendeteksi kecepatan
suatu sistem, yang bertujuan sebagai alat perbandingan kesalahan
pada sistem tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Persamaan diferensial orde satu dan dua yaitu
)()( xQyxPdxdy
=+ (3.2)
)()()(2
2xQyxB
dxdyxP
dxyd
=++ (3.3)
Pada persamaan (3.2) dan (3.3) di atas inputnya adalah ( )xQ , dimana
input tersebut dapat berupa fungsi konstan, fungsi periodik, fungsi ekponensial,
dan lain-lain. Berikut ini akan dijelaskan input yang terdapat pada ketiga sensor di
atas, yakni
a) Fungsi Konstan.
Misalkan K adalah konstanta, maka
( ) KxQ =
Gambar 3.1 Fungsi Konstan
b) Fungsi Kecepatan (Laju).
Misalkan K adalah konstanta, maka
Kdx
xdQ=
)( atau KxxQ =)(
)(xQ
K
x
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
00
0)(
x
xKxQ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Gambar 3.2 Fungsi Kecepatan
c) Fungsi Percepatan.
Misalkan K adalah konstanta, maka
Kdx
xQd=2
2 )( atau 221)( KxxQ =
Gambar 3.3 Fungsi Percepatan
Kesalahan pada saat stabil adalah perbedaan antara input dan output
dikalikan dengan sebuah input yang baru atau dengan kata lain
[ ] )(trinputoutputE −= (3.4)
dimana )(tr adalah sebuah input yang baru adalah input
Sebelum membahas tentang Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air, yang
terjadi pada sistem bendungan khususnya sistem bendungan yang terdiri dari dua
bendungan, dimana bendungan yang satu terletak di bawah bendungan yang lain.
)(xQ
x
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
00
0)(
x
xKxxQ
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
00
0)(
221
x
xKxxQ
)(xQ
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Akan dibahas terlebih dahulu bagaimana memodelkan secara matematis untuk
Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air
Sistem bendungan dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 3.4 Sistem Bendungan
Aliran sungai dengan debit yang sangat besar ditampung dalam waduk (1)
yang ditunjang dengan sebuah bendungan (3). Air tersebut dialirkan melalui
Power Intake (2) kemudian masuk ke Pipa Pesat (Penstock) (4) untuk merubah
energi potensial menjadi energi kinetik. Pada ujung pipa pesat dipasang Katup
Utama (Main Inlet Valve) (5) untuk mengalirkan air ke turbin. Katup utama akan
ditutup otomatis apabila terjadi gangguan atau di stop atau dilakukan perbaikan /
pemeliharaan turbin.
Air yang telah mempunyai tekanan dan kecepatan tinggi (energi kinetik)
dirubah menjadi energi mekanik dengan dialirkan melalui sirip-sirip pengarah
akan mendorong sudu jalan (runner) yang terpasang pada turbin (6). Energi putar
yang diterima oleh turbin selanjutnya digunakan untuk menggerakkan generator
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
(7) yang kemudian menghasilkan tenaga listrik yang keluar dari turbin melalui
Tail Race (8) selanjutnya kembali ke sungai (9).
Untuk memperoleh model ini, diasumsikan bahwa bendungan sebagai
bejana. Hal ini dikarenakan, tidak mudah untuk mendapatkan model matematika
untuk ketinggian air pada bendungan, jika dilakukan percobaan langsung terhadap
bendungan tersebut, karena mengandung resiko yang terlalu berbahaya, dan
disamping itu pula mungkin dapat mengganggu objek aslinya. Bentuk bejana
dipilih karena mempunyai kesamaan dalam bentuk fisisnya dengan bendungan,
walaupun pada kenyataannya bentuk bendungan tidak teratur.
Berikut merupakan ilustrasi sistem bejana, yakni bejana tanpa adanya
aliran yang masuk (gambar 3.5) dan bejana dengan aliran air yang masuk (gambar
3.6) Sehingga gambar 3.4 dapat dikembangkan lagi menjadi dua gambar, seperti
gambar berikut ini
Gambar 3.5 Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk
h
A1q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Gambar 3.6 Bejana dengan Aliran Air yang Masuk
dengan
h : Tinggi air pada sistem bejana ( )m
0q : Aliran air yang keluar dari sistem bejana ( )13 −sm
A : Luas penampang pada sistem bejana ( )m
1q : Aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana ( )13 −sm
Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa pada bagian bawah masing-
masing sistem bejana tersebut diberi saluran air yang berupa pipa, yang berfungsi
sebagai jalan air untuk keluar.
A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air
Masalah yang muncul pada sistem bejana pada gambar 3.5 adalah
bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada sistem
bejana. Untuk itu perlu diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi
sebagai berikut
a) Tidak adanya aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana.
b) Tinggi dan volume air pada keadaan awal adalah tertentu, 0h dan 0V .
0q
1q
h
A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
c) Tidak ada pengaturan untuk aliran air yang keluar dari pipa bejana.
d) Tidak ada kebocoran pada pipa bejana.
Misalkan )(tV adalah volume air pada sistem bejana pada saat t, maka
dttdV )( adalah laju pertambahan volume air pada sistem bejana pada saat t, yakni
aliran air yang masuk kedalam sistem bejana pada saat t dikurangi dengan aliran
air yang keluar dari sistem pada saat t, dengan kata lain
dt
tdV )(= 1q )(t )(0 tq− (3.1.1)
Karena diasumsikan tidak ada aliran yang masuk pada sistem bejana, maka
1q )(t 0= , sehingga diperoleh
dt
tdV )(= )(0 tq− (3.1.2)
Diketahui
)()( tAhtV = (3.1.3)
maka
dt
tdV )( = [ ]dt
tdhAtAhdtd )()( = (3.1.4)
Sehingga dari persamaan (3.1.2) dan (3.1.4) diperoleh
dt
tdhA )( = )(0 tq− (3.1.5)
Untuk mencari aliran air yang keluar )( 0q pada pipa bejana saat t,
digunakan teorema Torricelli yaitu
)()(0 thtq λ= (3.1.6)
dengan λ adalah sebuah konstanta positif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Sehingga dari persamaan (3.1.5) dan (3.1.6) diperoleh
dt
tdhA )( = )(thλ− (3.1.7)
Persamaan (3.1.7) dapat ditulis dalam bentuk
−=dt
tdh )(A
tqth
A)(
)( 0−=λ (3.1.8)
Persamaan (3.1.8) menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada bejana,
yakni aliran air yang keluar bejana saat t dibagi dengan luas penampang pada
sistem bejana. Jika luas penampang bejana pada bejana semakin besar dari aliran
air yang keluar pada bejana saat t.
Contoh 3.1.1
Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter, dengan aliran
air yang keluar dari bejana membesar dari 4 13 −sm sampai 6 13 −sm , maka laju
berkurangya tinggi air pada bejana dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Tabel 3.1.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Aliran Air yang Masuk Semakin Besar
A 0q dt
tdh )(
3 meter 4 13 −sm -1,3333 12 −sm
3 meter 5 13 −sm -1,6667 12 −sm
3 meter 6 13 −sm -2 12 −sm
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Pada tabel 3.1.1, jika aliran air yang masuk pada bejana semakin besar dari luas
penampang bejana maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin
kecil, yang berarti berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin cepat.
Contoh 3.1.2
Misalkan diketahui tiga bejana dengan masing-masing luas penampang berturut-
turut adalah 2 m, 3 m, dan 4 m bahwa aliran air yang keluar dari bejana adalah 1
13 −sm , maka laju berkurangya tinggi air pada tiga bejana dapat dilihat pada tabel
berikut ini
Tabel 3.1.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar
A 0q dt
tdh )(
2 meter 1 13 −sm -0,5 12 −sm
3 meter 1 13 −sm -0,333 12 −sm
4 meter 1 13 −sm -0,250 12 −sm
Pada tabel 3.1.2, jika luas penampang bejana semakin besar dari pada aliran yang
masuk pada bejana, maka laju berkurangnya tinggi air pada bejana akan semakin
besar, yang berarti bahwa berkurangnya tinggi air akan semakin lama.
Persamaan (3.1.8) dapat diselesaikan dengan cara
−=)()(
thtdh dt
Aλ (3.1.9)
CtA
th +−=λ)(ln
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=Ct
Aethλ
)(
Ketht
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=λ
)( (3.1.10)
dengan CeK =
Nilai konstanta K dapat dicari dengan menggunakan masalah nilai awal yaitu,
kondisi awal 0)0( hh = , maka
Ketht
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=λ
)(
( )
Keh A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=0
)0(λ
Khh == 0)0( (3.1.11)
Persamaan (3.1.11) disubsitusikan kedalam persamaan (4.10), diperoleh
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=t
Aehthλ
)0()( (3.1.12)
Persamaan (3.1.12) menyatakan ketinggian air pada bejana pada saat (t)
tanpa ada aliran air yang masuk ke dalam bejana yang diilustrasikan pada gambar
berikut ini
Gambar 3.1.1 Tinggi Air Bejana.
Pada gambar 3.1.1, diketahui bahwa tinggi awal air bejana adalah 4 meter,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
luas penampang bejana adalah 5 meter, dan kontanta Torricelli adalah sebesar 1,
maka ketinggian air selama 5 detik adalah 1,457 meter. Sehingga ketinggian air
air pada bejana semakin lama semakin berkurang.
Karena )(tAhV = , maka
AtV =)(t
Aehλ
−)0( (3.1.13)
Persamaan (3.1.13) menyatakan volume air pada saat (t) yang terdapat
pada bejana tanpa adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana tersebut.
Dari persamaan (3.1.12), besar kecilnya ketinggian air pada bejana
dipengaruhi dua hal yaitu luas penampang bejana dan konstanta Torricelli
1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana
Misalkan diketahui bahwa tiga buah bejana dengan masing-masing
luas penampang sebesar 2 m, 5 m, dan 9 m, dan ketinggian air mula-
mula pada bejana sebesar 3 meter dan konstanta Torricelli sebesar 5,
maka ketinggian air pada bejana saat 5=t detik dapat dilihat pada
tabel berikut ini.
Tabel 3.1.3 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin Besar
( )0h λ A )5(h
3 m 5 2 m 0,000011 m
3 m 5 5 m 0,02021 m
3 m 5 9 m 0,1865 m
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Pada tabel 3.1.3, jika luas penampang bejana semakin besar selama
5 detik, maka tinggi air pada bejana pada saat selama 5 detik akan
semakin besar, dan waktu yang dibutuhkan agar tinggi air
mendekati nol akan semakin lama seperti tampak pada gambar.
Gambar 3.1.2 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin
Besar
2. Pengaruh Konstanta Torricelli Pada Ketinggian Air Bejana .
Misalkan diketahui bahwa ketinggian air mula-mula pada bejana
sebesar 3 meter dan luas penampang bejana sebesar 5 m, dengan
konstanta torricelli berturut-turut adalah 2, 5, dan 9, maka ketinggian
air pada bejana saat 5=t detik dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Tabel 3.1.4 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar
( )0h A λ )5(h
3 m 5 m 2 0,40600 m
3 m 5 m 5 0,02021 m
3 m 5 m 9 0,00037 m
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Pada tabel 3.1.4, jika konstanta Torricelli semakin besar selama 5
detik, maka tinggi air pada bejana selama 5 detik akan semakin kecil,
dan waktu yang dibutuhkan agar mendekati nol semakin cepat seperti
tampak pada gambar
Gambar 3.1.3 Tinggi Air Bejana Selama Untuk Konstanta Torriceli
Semakin Besar
Dari kedua hal yang mempengaruhi ketinggian air pada bejana yang
telah diuraikan di atas, maka untuk jangka waktu yang lama ketinggian
air akan mendekati nol, yakni
0)0(lim)(lim =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
∞→∞→
tA
ttehth
λ
Karena )(tAhV = , maka
( ))(lim)(lim tAhtVtt ∞→∞→
= 0= (3.1.14)
Ketinggian dan volume air yang terdapat pada bejana untuk waktu
yang lama akan mendekati nol yang berarti untuk jangka waktu yang
lama bejana akan kosong.
B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air
Model matematika yang didapatkan di atas perlu dikembangkan lagi
dengan cara memberikan aliran air yang masuk ke dalam bejana seperti pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
gambar 3.6. Sehingga masalah yang muncul pada bejana pada gambar 3.6 adalah
bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada bejana. Perlu
diberikan tambahan penyederhanaan atau asumsi-asumsi, yaitu
a) Adanya aliran air yang masuk kedalam bejana, dimana aliran yang ma-
suk adalah konstan.
b) Ukuran pipa aliran air yang masuk dan keluar pada bejana tidak sama
c) Tidak ada pengaturan untuk aliran air yang masuk pada sistem bejana.
Karena adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana, maka dari
persamaan (3.1.1) diperoleh
dt
tdV )(= 1q )(t )(0 tq− (3.2.1)
Persamaan (3.1.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2.1) diperoleh
dt
tdhA )( = 1q )(t )(0 tq− (3.2.2)
Persamaan (3.1.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2.2) diperoleh
dt
tdhA )( = 1q )(t )(thλ−
dt
tdh )( ( ))()(101 tqtq
A−= (3.2.3)
Persamaan (3.2.3) terdapat dua kasus yaitu :
1) Untuk 1q )(t )(0 tq− 0< , maka
dt
tdh )( ( ) 0)()(101 <−= tqtq
A (3.2.4)
Persamaan (3.2.4) menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada beja-
na.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Contoh 3.2.1
Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter,
dengan aliran air yang masuk dan keluar dari bejana berturut-turut
adalah 1 13 −sm , dan 1,5 13 −sm , maka dt
tdh )( ( ) 1666,05,1131
−=−=
12 −sm , yang artinya berkurangya tinggi air pada bejana sebesar 0.1667
12 −sm .
Jika ( )01 qq − semakin kecil, maka laju berkurangnya tinggi air pada
bejana akan semakin kecil, yang berarti berkurangnya tinggi air akan
semakin besar, seperti tampak pada tabel 3.2.1 diberikut ini
Tabel 3.2.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk ( )01 qq − Semakin Kecil.
A ( )01 qq − dt
tdh )(
3 meter - 4 13 −sm -1,3333 12 −sm
3 meter - 5 13 −sm -1,6667 12 −sm
3 meter - 6 13 −sm -2 12 −sm
Jika A semakin besar, maka laju berkurangnya tinggi air pada
bejana akan semakin besar, yang berarti berkurangnya tinggi air
akan semakin kecil, seperti tampak pada tabel 3.2.2 berikut ini
Tabel 3.2.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin
Besar
A ( )01 qq − dt
tdh )(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
2 meter -1 13 −sm -0,5 12 −sm
3 meter -1 13 −sm -0,333 12 −sm
4 meter -1 13 −sm -0,250 12 −sm
2) Untuk 1q )(t 0)(0 >− tq , maka
dt
tdh )( ( ) 0)()(101 >−= tqtq
A (3.2.5)
Persamaan (3.2.5) menyatakan laju bertambahnya tinggi air pada beja-
na.
Contoh 3.2.2
Misalkan diketahui bahwa luas penampang bejana adalah 3 meter,
dengan aliran air yang masuk dan keluar dari bejana berturut-turut
adalah 2 13 −sm , dan 1 13 −sm , maka dt
tdh )( ( ) 3333,01231
=−= 12 −sm ,
yang artinya bertambahnya tinggi air pada bejana sebesar 0.1667
12 −sm .
Jika ( )01 qq − semakin besar, maka laju bertambahnya tinggi air pada
bejana akan semakin besar, yang berati bertambahnya tinggi air pada
bejana akan semakin cepat. Untuk jelasnya perhatikan dua tabel
berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Tabel 3.2.3 Bertambahnya Tinggi Air Untuk ( )01 qq − Semakin Besar
A ( )01 qq − dt
tdh )(
3 meter 4 13 −sm 1,3333 12 −sm
3 meter 5 13 −sm 1,6667 12 −sm
3 meter 6 13 −sm 2 12 −sm
Jika A semakin besar, maka laju bertambahnya tinggi air pada bejana
akan semakin kecil, yang berati bertambahnya tinggi air pada bejana
akan semakin lama.
Tabel 3.2.4 Bertambahnya Tinggi Air Untuk A Semakin Besar
A ( )01 qq − dt
tdh )(
2 meter 1 13 −sm 0,5 12 −sm
3 meter 1 13 −sm 0,333 12 −sm
4 meter 1 13 −sm 0,2 12 −sm
Persamaan (3.2.3) dapat ditulis lagi dalam bentuk
dt
tdh )(=+ )(th
Aλ
Atq )(1 (3.2.6)
dengan λ adalah sebuah konstanta positif.
Karena aliran yang masuk ke dalam sistem bejana dianggap konstan
maka persamaan (3.2.6) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
dt
tdh )(=+ )(th
Aλ
Aq1 (3.2.7)
Sehingga persamaan (3.2.7) dapat diselesaikan dengan menggunakan
faktor pengintegralan
=∫=∫ dtA
dtA ee
λλ tAeλ
(3.2.8)
Persamaan (4.2.8) dikalikan ke persamaan (4.2.7) diperoleh
t
Aeλ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + )()( th
Adttdh λ
Aq1=
tAeλ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ tAeth
dtd λ
)(Aq1=
tAeλ
(3.2.9)
Karena A, 1q , dan λ adalah konstan, sehingga dengan mengintegralkan
kedua ruas pada persamaan (3.2.9) diperoleh
t
Aeλ
=)(th Aq1 CeA t
A +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ λ
λ
=)(tht
ACeq λ
λ−
+1 (3.2.10)
Nilai konstanta C dapat dicari dengan menggunakan masalah nilai awal
yaitu, dengan kondisi awal 0)0( hh = , maka
λ
1)0(q
hC −= (3.2.11)
Persamaan (3.2.11) disubsitusikan ke dalam persamaan (3.2.10) diperoleh
=)(tht
Aeq λ
λ−
+1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
λ1)0(
qh (3.2.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Jadi persamaan (3.2.12) menyatakan ketinggian air pada bejana pada saat
t pada bejana dengan aliran air yang masuk ke dalam bejana.
Gambar 3.2.1 Tinggi Air Bejana
Pada gambar 3.2.1 dapat dilihat bahwa tinggi air awal pada bejana dapat
bertambah, berkurang, maupun tidak kedua-duanya. Jika ( )λ
10 qh < , maka tinggi
air bejana akan bertambah, jika ( )λ
10 qh > , maka tinggi air pada bejana akan
berkurang, dan jika ( )λ
10 qh = , maka tinggi air pada bejana tidak bertambah
maupun berkurang. Untuk jelasnya perhatikan tabel berikut ini.
Tabel 3.2.5 Tinggi Air Pada Bejana
)0(h λ A 1q ( )5h
3 m 2 5 m 2 13 −sm 1,27 m
3 m 2 5 m 6 13 −sm 3 m
3 m 2 5 m 7 13 −sm 3,432 m
( ) λ10 qh =
( ) λ10 qh >
( ) λ10 qh <
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Pada tabel 3.2.5, untuk ( )λ
10 qh = , maka ketinggian air pada bejana selama
5 detik akan sama dengan tinggi awal air pada bejana, untuk ( )λ
10 qh > , maka
tinggi air bejana salama 5 detik akan berkurang, dan untuk ( )λ
10 qh < , maka tinggi
air selama 5 detik akan bertambah.
Karena )(. thAV = maka
AtV =)( Aeq tAλ
λ−
+1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)0(
1
hqλ (3.2.13)
Persamaan (3.2.13) menyatakan volume air pada saat t yang terdapat pada
sistem bejana dengan adanya aliran air yang masuk ke dalam bejana.
Besar kecinya perubahan ketinggian air pada bejana pada persamaan
(3.27) dipengaruhi oleh 3 hal yaitu luas penampang, aliran yang masuk, dan
konstanta Torricelli.
1. Pengaruh Aliran Air Yang Masuk Pada Ketinggian Air Bejana
Misalkan sebuah bejana diketahui bahwa 3)0( =h m, 2=λ , 5=A
m,. dengan 1q berturut-turut sebesar 1 13 −sm , 2 13 −sm , 7 13 −sm maka
ketinggian air pada bejana saat 5=t detik dapat dilihat pada tabel
berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Tabel 3.2.6 Tinggi Air Bejana Untuk 1q Semakin Besar
)0(h λ A 1q ( )5h
3 m 2 5 m 2 13 −sm 1,270 m
3 m 2 5 m 5 13 −sm 2,567 m
3 m 2 5 m 7 13 −sm 3,432 m
3 m 2 5 m 9 13 −sm 4,296 m
Pada tabel 3.2.6, jika aliran air yang masuk pada bejana tersebut
semakin besar maka ketinggian air pada bejana semakin meningkat,
dan ketinggian air yang meningkat tersebut bisa melebihi kapasitas
ketinggian awal dari bejana, seperti tampak pada gambar berikut ini.
Gambar 3.2.2 Tinggi Air Bejana Untuk Aliran Air Yang Keluar
Semakin Besar
2. Pengaruh luas penampang Pada Ketinggian Air Bejana
Misalkan diketehui empat bejana dengan A berturut-turut sebesar 9
m,12 m, 15 m, dan 20 m,sebuah bejana diketahui bahwa 3)0( =h m,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
5=λ , 1q =1 13 −sm , maka ketinggian air pada bejana saat 5=t dapat
dilihat pada tabel berikut ini
Tabel 3.2.7 Tinggi Air Bejana Untuk Luas Penampang Semakin Besar
)0(h λ A 1q ( )5h
3 m 5 9 m 1 13 −sm 0,374 m
3 m 5 12 m 1 13 −sm 0,548 m
3 m 5 15 m 1 13 −sm 0,728 m
3 m 5 20 m 1 13 −sm 1,002 m
Pada tabel 3.2.7, jika luas penampang bejana semakin lama semakin
besar maka ketinggian air pada bejana semakin lama semakin besar.
Sehingga ketinggian air pada bejana untuk mendekati nol akan
semakin lama, seperti tampak pada gambar berikut
Gambar 3.2.3 Tinggi Air Bejana Untuk A Semakin Besar
3. Pengaruh Konstanta Torricelli Pada Ketinggian Air Bejana
Misalkan sebuah bejana diketahui bahwa 3)0( =h m, 5=A m, 1q =1
dengan λ berturut-turut sebesar 9,12,15,20, , maka ketinggian air pada
saat 5=t dapat dilihat pada tabel berikut ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Tabel 3.2.8 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar
)0(h λ A 1q ( )5h
3 m 9 5 m 1 13 −sm 0,111 m
3 m 12 5 m 1 13 −sm 0,083 m
3 m 15 5 m 1 13 −sm 0,666 m
3 m 20 5 m 1 13 −sm 0,05 m
Pada tabel 3.2.8, jika konstanta Torricelli semakin lama semakin besar
maka ketinggian air pada bejana semakin lama semakin kecil.
Sehingga waktu yang dibutuhkan untuk mendekati nol semakin cepat
seperti pada gambar berikut ini.
Gambar 3.2.4 Tinggi Air Bejana Untuk λ Semakin Besar
Dari ketiga hal yang mempengaruhi ketinggian air pada bejana yang telah
diuraikan di atas, maka untuk jangka waktu yang lama ketinggian air adalah
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
−
∞→∞→ λλ
λ11 )0(lim)(lim
qhe
qth
tA
tt⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=λ
1q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Ketinggian air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛λ
1q .
Karena )(tAhV = , maka
( ))(lim)(lim tAhtVtt ∞→∞→
= = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛λ
1qA (3.2.14)
Volume air pada sistem bejana untuk jangka waktu yang lama adalah
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛λ
1qA
Ketinggian dan volume air pada sistem bejana bergantung dari banyaknya
aliran air yang masuk ke dalam sistem bejana dan aliran yang air yang keluar dari
sistem bejana.
Untuk memperoleh ketinggian yang sesuai yakni ( )Dh . Maka pada sistem
bejana diberikan sensor dan katup seperti gambar berikut
Gambar 3.2.5 Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana
dengan
1v : Katup pada pipa pertama.
2v : Katup pada pipa kedua
1q
0q sensor
h
A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Agar dapat menggerakkan suatu generator dimisalkan tinggi air yang
diperlukan adalah ( )Dh . Sehingga masalah yang muncul adalah bagaimana model
matematika agar diperoleh tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air ( )Dh yang
sesuai pada sistem bejana.
Sehingga untuk menyelesaikan masalah yang muncul diatas perlu
diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut
a) Kedua pipa diberi sebuah katup.
b) Ukuran kedua pipa dianggap sama.
c) Tinggi air yang sesuai ( )Dh pada sistem bejana dianggap konstan.
d) Aliran air yang masuk pada 1B dianggap konstan.
e) Diberikan sebuah sensor pada bejana.
Karena akan dicari agar diperoleh tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air
( )Dh yang sesuai pada sistem bejana, maka sensor yang digunakan adalah sensor
posisi.
Kerja dari katup pada kedua sistem bejana sebagai berikut
a) Jika hhD = , maka pengaturan pada katup 1v tidak berubah sehingga
aliran air yang keluar pada 2B akan mengalir keluar diatur oleh katup
2v .
b) Jika hhD ≠ , maka pengaturan pada katup 1v diubah kembali agar
tinggi air ( )h sama dengan tinggi air ( )Dh yang sesuai pada sistem
bejana. Jika sudah diperoleh hhD = , maka pengaturan pada katup 1v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
yang diatur tidak berubah sehingga aliran air yang keluar pada bejana
diatur oleh katup 2v .
Tujuan sensor posisi ini yaitu agar tinggi air ( )h disamakan dengan tinggi
air ( )Dh yang sesuai pada sistem bejana, dan jika sudah diperoleh 2hhD = , maka
aliran air yang keluar pada bejana keluar melalui katup 2v . Dan jika diperoleh
hhD ≠ , terjadi dua kasus yaitu :
a) Jika hhD > , maka terdapat kekurangan tinggi air pada sistem bejana
sehingga katup 1v dikontrol kembali agar dapat diperoleh hhD = .
b) Jika hhD < , maka terdapat kelebihan tinggi air pada sistem bejana,
sehingga katup 1v dikontrol kembali
Karena pada untuk memperoleh hhD = , maka diasumsikan )(1 tq menjadi
kesalahan sensor posisi yaitu
Ktq =)(1 [ ])()( ththD − (3.2.15)
dimana K : Konstanta ( 12 −sm )
Persamaan (3.2.7) dan (3.2.15) diperoleh
dt
tdh )( ( )A
K λ++ )(th =
AK )(thD (3.2.16)
Faktor pengintergralan
=∫=∫++ dtA
KdtA
K
ee)()( λλ t
AK
e)( +λ
maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Ch
K
th D +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=λ1
1)(t
AK
e)( +
−λ
(3.2.17)
dimana C : konstanta. Dengan menggunakan masalah nilai awal, yaitu 0)0( hh = ,
diperoleh
Dh
K
hC⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−= λ1
1)0( (3.2.18)
Sehingga dari persamaan (3.2.17) dan (3.2.18) diperoleh
=)(tht
AK
e)( +
−λ
D
AK
h
K
eh⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−+
+−
λ
λ
1
1)0(
)(
(3.2.19)
Karena )(.)( thAtV = , maka
=)(tVt
AK
e)( +
−λ
D
AK
h
K
eAAh⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−+
+−
λ
λ
1
1)0(
)(
(3.2.20)
Ketinggian dan volume air pada bejana, untuk waktu jangka waktu yang
lama adalah
( )
( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+−
+−
∞→∞→ D
K
AK
tth
K
eehthλ
λλ
1
1)0((lim)(lim
K
hDλ
+=
1 (3.2.21)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Untuk nilai ∞→K maka 0→K
λ, sehingga ( )[ ] 111 →+ Kλ .,
Sedangkan untuk nilai ∞→λ maka ∞→Kλ , sehingga ( )[ ] 011 →+ Kλ .
Sehingga untuk mendapatkan tinggi air sama dengan tinggi air ( )Dh yang
sesuai pada sistem bejana, dipilih nilai K sebesar mungkin dan nilai λ sekecil
mungkin.
Karena )(tAhV = , maka
( ))(lim)(lim tAhtVtt ∞→∞→
=
At ∞→
= lim )(lim tht ∞→
A= Dh (3.2.22)
Berikut ini akan dibahas mengenai bagaimana memperoleh ketinggian
yang sesuai pada sistem dua bejana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
BAB IV
PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM
DUA BEJANA
Untuk dapat memodelkan matematika pada Sistem Pembangkit Listrik
Tenaga Air pada sistem bendungan khususnya sistem bendungan yang terdiri dua
bendungan, dimana bendungan yang satu terletak dari bendungan yang lain, maka
gambar (3.2) dan gambar (3.3) di atas dikembangkan menjadi
Gambar 4.1 Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk
Gambar 4.2 Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk
2h
1h
1A
1A
1h
2A
2h
2A
1q
12q
0q
0q
12q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
dengan
1B : Sistem Bejana yang terletak diatas.
2B : Sistem Bejana yang terletak dibawah.
1h : Tinggi air pada 1B (m)
2h : Tinggi air pada 2B (m)
1q : Aliran air yang masuk pada 1B ( )13 −sm
12q : Aliran air yang keluar dari 1B dan masuk pada 2B
( )13 −sm .
0q : Aliran air yang masuk pada 2B ( )13 −sm
1A : Luas penampang pada 1B ( )2m .
2A : Luas penampang pada 2B ( )2m .
Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa pada bagian bawah masing-
masing sistem bejana tersebut diberi saluran air yang berupa pipa, yang berfungsi
sebagai jalan keluarnya air.
A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk Pada Sistem Bejana
di Atasnya
Masalah yang muncul pada dua sistem bejana seperti pada gambar 4.1
adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada 2B .
Untuk itu beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi, yaitu :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
a) Tinggi dan volume air 1B pada keadaan awal adalah tertentu, 0h dan
0V .
b) Keadaan awal 2B adalah kosong.
c) Ukuran pipa aliran air yang keluar dari 1B lebih besar dari pipa aliran
air yang keluar dari 2B .
d) Tidak ada aliran yang masuk pada 1B .
e) Tidak ada pengaturan pada pipa dari kedua sistem bejana.
f) Tidak ada kebocoran pada kedua pipa sistem bejana.
g) Besarnya kedua bejana di anggap sama.
Misalkan )(1 tV adalah volume air pada 1B saat t, maka dt
tdV )(1 adalah laju
perubahan volume air pada 1B saat t, yakni aliran air yang masuk pada saat t
dikurangi dengan aliran air yang keluar pada saat t, dengan kata lain
dt
tdV )(1 = 1q )(t )(12 tq− (4.1.1)
Diketahui
)()( 111 thAtV = (4.1.2)
maka
dt
tdV )(1 = [ ]dt
tdhAthAdtd )()( 1
111 = (4.1.3)
Dari persamaan (4.1.1) dan persamaan (4.1.3) diperoleh
=dt
tdhA )(11 1q )(t )(12 tq− (4.1.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Untuk mencari aliran air yang keluar )(12 tq pada pipa 1B pada saat t,
digunakan teorema Torricelli yaitu
)()( 1112 thtq λ= (4.1.5)
dengan λ adalah sebuah konstanta positif.
Sehingga dari persamaan (4.1.4) dan persamaan (4.1.5) diperoleh
+dt
tdhA )(11 =)(11 thλ 1q )(t
Karena tidak ada aliran air yang masuk pada 1B , maka
+dt
tdhA )(11 =)(11 thλ 0 (4.1.6)
−=dt
tdh )(1 1
12 )(A
tq (4.1.7)
Persamaan (4.1.7), yakni menyatakan laju berkurangnya tinggi air pada
bejana. Misalkan dtdD ≡ , persamaan (4.1.6) dapat ditulis
( ) 0)(111 =+ thDA λ (4.1.8)
Dengan cara yang sama, maka untuk 2B diperoleh
dt
tdh )(1
2
1A
= 12(q −)(t 0q ))(t (4.1.9)
Karena diasumsikan di atas, maka persamaan (4.1.9) dinyatakan sebagai
laju bertambahnya tinggi air pada 2B . Misalkan dtdD ≡ , persamaan (4.1.9) dapat
ditulis
dt
tdhA )(12 )(22 thλ+ = 12q )(t (4.1.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Misalkan dtdD ≡ , maka persamaan (4.1.10) dapat ditulis
( ) )()( 12222 tqthDA =+ λ (4.1.11)
Dari persamaan (4.1.5), diperoleh
( ) =+ )(222 thDA λ )(11 thλ (4.1.12)
Bila kedua ruas pada persamaan (4.1.12) dikalikan dengan ( )11 λ+DA ,
diperoleh
( ) ( )=++ 11222 )( λλ DAthDA )(11 thλ ( )11 λ+DA (4.1.13)
Karena ( ) 0)(111 =+ thDA λ , maka
( ) ( ) 0)( 11222 =++ λλ DAthDA .
( ) 0)()( 22112122
12 =+++ thDAADAA λλλλ
Karena dtdD ≡ maka 2
22
dtdD ≡ , maka
0)()( 22112122
2
12 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛th
dtdAA
dtdAA λλλλ
0)()(
2)(
222
22
2
=++ thdt
tdhdt
thdnn ωωξ (4.1.14)
dengan
2121
1221
2 λλλλ
ξAA
AA += dan
21
212
AAnλλω =
dimana
ξ : Rasio Peredam dan nω : Frekuensi Alami.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Penyelesaian persamaan (4.1.14) terda pat tiga kasus yaitu :
a) Kasus Diredam Berlebihan bila 1>ξ , mempunyai penyelesaian yaitu :
tt nnnn ececth
)1(2
)1(12
22
)(−+−−−− +=
ξωωξξωωξ (4.1.15)
Persamaan (4.1.15) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV )()1(
2)1(
12
22 tt nnnn ececA−+−−−− +=
ξωωξξωωξ (4.1.16)
Persamaan (4.1.16) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t .
Dengan 1c , 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
tt nnnn ececth
)1(2
)1(12
22
)(−+−−−− +=
ξωωξξωωξ Ah =)0(2 ,
Bdt
dh=
)0(2 maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut.
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=12
1
2
2
2ξ
ξξω
AB
c n dan ( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=12
1
2
2
1ξ
ξξω
AB
Ac n
Sehingga untuk ∞→t maka 0)(2 →th dan 0)(2 →tV , yang berarti
untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana 2B .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Contoh 4.1.1
Misalkan diketahui bahwa bahwa 62
5=ξ , 6=nω , keadaan mula-
mula air pada 2B adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada
2B adalah 1 dan 2, maka dapat ditulis sebagai berikut
0)(6)(5)(2
22
22
=++ thdt
tdhdt
thd , 0)0(2 =h , 2,1)0(2 =dt
dh ,3
Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.1 dibawah
Tabel 4.1.1 Tinggi Air
)0(2h dt
dh )0(2 )(2 th 2h max Waktu 2h max
0 1 tt eeth 322 )( −− −= 0,148 m 0,405 detik
0 2 tt eeth 322 22)( −− −= 0,296 m 0,405 detik
0 3 tt eeth 322 33)( −− −= 0,444 m 0,405 detik
Pada tabel 4.1.1 di atas, walaupun waktu peningkatan air yang terjadi
pada 2B adalah sama akan tetapi peningkatan air yang terjadi pada 2B
berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air
pada 2B , sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin
tinggi peningkatan air 2B . Akibatnya semakin lama untuk mendekati
nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Gambar 4.1.1 Tinggi Air
b) Kasus Diredam Kritis bila 1=ξ , mempunyai penyelesaian yaitu :
=)(2 th ( )21).( tcce t
n +− ωξ (4.1.17)
Persamaan (4.1.17) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV 2A= ( )21).( tcce t
n +− ωξ (4.1.18)
Persamaan (4.1.18) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t.
Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
=)(2 th ( )21)( tcce tn += − ω , Ah =)0(2 , B
dtdh
=)0(2
maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut
( )( )nABc ω−−= 12 dan Ac =1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Sehingga untuk ∞→t maka 0)(2 →th dan 0)(2 →tV , yang berarti
untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana 2B .
Contoh 4.1.2
Misalkan diketahui bahwa bahwa 1=ξ , 3=nω , keadaan awal 2B
adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada 2B adalah 1,2,3
maka dapat ditulis sebagai berikut
0)(9)(6)( 22
22
=++ thdt
tdhdt
thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt
dh ,2 ,3
Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.1.2 dibawah
Tabel 4.1.2 Tinggi Air
)0(2h dt
dh )0(2 )(2 th 2h max Waktu 2h max
0 1 teth t32 )( −= 0,12 m 0,333 detik
0 2 teth t32 2)( −= 0,24 m 0,333 detik
0 3 teth t32 3)( −= 0,36 m 0,333 detik
Pada tabel 4.1.2 di atas, walaupun peningkatan air yang terjadi pada
2B adalah sama akan tetapi peningkatan yang terjadi pada 2B berbeda-
beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2B ,
sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin tinggi
peningkatan air 2B . Akibatnya semakin lama untuk mendekati nol,
seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Gambar 4.1.2 Tinggi Air
c) Kasus Diredam Berkurang bila 10 << ξ , mempunyai penyelesaian
yaitu :
=)(2 th ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −− tctce nn
n 22
21 1sin1cos ξωξωξω (4.1.19)
Persamaan (4.1.19) menyatakan tinggi air bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV 2A= ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −− tctce nn
n 22
21 1sin1cos ξωξωξω (4.1.20)
Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
)(2 th ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= − tctce nn
n 22
21 1sin1cos ξωξωξω ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Ah =)0(2 , Bdt
dh=
)0(2
maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut
22
1 ξωξω
−
+=
n
nABc , dan Ac =1
Sehingga untuk ∞→t maka 0)(2 →th dan 0)(2 →tV , yang berarti
untuk jangka waktu yang lama maka tidak ada air pada bejana 2B .
Dengan menggunakan identitas trigonometri, maka persamaan
(4.1.19) dapat ditulis lagi menjadi
)(2 th ( ) ( )( )( )tSctSce tn sin)(cos 21).( += − ωξ
( )( )γωξ −= − tSCe tn )(cos).( (4.1.21)
dengan
21 ξω −= nS , 22
21 ccC += ,
Cc2sin =γ ,
Cc1cos =γ ,
1
2tancc
=γ
Jadi tinggi air 2B dapat juga ditulis pada persamaan (4.1.21).
Contoh 4.1.3
Misalkan diketahui bahwa 132
4=ξ , 13=nω , keadaan mula-mula
pada 2B adalah kosong, dan laju bertambahnya air 2B pada mulanya
adalah 1,2,3 maka dapat ditulis sebagai berikut
0)(13)(4)( 22
22
=++ thdt
tdhdt
thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt
dh ,2,3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.4.3 dibawah ini.
Tabel 4.1.3 Tinggi Air
)0(2h dt
dh )0(2 )(2 th 2h max Waktu 2h max
Waktu 2B
kosong 1 1
( )teth t 3sin31)( 2
2−=
0,144 m 0,327 3π
2 2 ( )teth t 3sin
32)( 2
2−=
0,288 m 0,327 3π
3 3 ( )teth t 3sin)( 22
−= 0,432 m 0,327 3π
dimana π : 3,14
Pada tabel 4.1.3 di atas, air pada 2B dapat menjadi kosong saat 3π , dan
peningkatan air yang terjadi pada 2B sesuai dengan laju awal
bertambahnya tinggi air pada 2B , jadi semakin besar laju awal pada
2B maka semakin tinggi peningkatan air 2B . Akibatnya semakin
besar laju awal bertambahnya air pada 2B semakin lama untuk
mendekati nol, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.
Gambar 4.1.3 Tinggi Air .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Dari ketiga kasus yang telah dipaparkan di atas untuk ketinggian dan
volume air yang terdapat pada sistem bejana yang terletak di bawah untuk waktu
yang lama akan mendekati nol yang berarti untuk jangka waktu yang lama sistem
bejana yang terletak dibawah akan kosong, hal ini disebabkan karena pada sistem
bejana yang terletak di atas tidak ada aliran yang masuk kedalam sistem tersebut.
Sehingga hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa selalu ada air yang
terdapat pada bendungan, baik bendungan yang terletak di atas maupun
bendungan yang terletak dibawahnya. Akibatnya model matematika pada dua
bejana yang telah dipaparkan di atas dikatakan belum baik. Sehingga model
matematika pada dua bejana yang telah diuraikan di atas perlu dikembangkan lagi
seperti yang dipaparkan berikut ini.
B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air yang Masuk Pada Sistem
Bejana di Atasnya
Model matematika pada dua bejana di atas dikembangkan lagi dengan
memberikan aliran yang masuk pada sistem bejana yang terletak diatasnya seperti
pada gambar 4.2, sehingga masalah yang muncul pada sistem bejana pada gambar
4.2 adalah bagaimana menentukan ketinggian dan volume air yang sesuai pada
2B . Untuk itu penyedehanaan atau asumsi-asumsi di atas perlu diberikan lagi
yaitu
a) Tidak ada pengaturan pada pipa untuk aliran air yang masuk pada 1B .
b) Aliran yang masuk pada 1B dianggap konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Karena adanya aliran yang masuk pada 1B , maka dari persamaan (4.1.12)
diperoleh
( ) iqthDAADAA 122112122
12 )()(( λλλλλ =+++
Karena dtdD ≡ maka 2
22
dtdD ≡ , sehingga diperoleh
121
12
21
212
21
21122
22
)()()(
qAA
thAAdt
tdhAA
AAdt
thd⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
λλλλλ
=++ )()(2)(2
222
22
thdt
tdhdt
thdnn ωωξ 1
21
1 qAA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ λ (4.2.1)
Penyelesaian pada persamaan (4.2.1) terdiri dari dua, yaitu penyelesaian
ruas kiri dan penyelesaian ruas kanan, dimana penyelesaian ruas kiri telah
diuraikan di atas, maka dicari penyelesaian ruas kanan, yakni dengan cara
misalkan
bth =)(2 (4.2.2)
maka
0)(2 =dt
tdh dan 0)(22
2
=tdthd (4.2.3)
Dari persamaan (4.2.2) dan (4.2.3), maka persamaan (4.2.1) diperoleh
1221
1 qAA
bn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ωα (4.2.4)
Sehingga
in
qAA
th ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
21
12 )(
ωα
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
21
11 1
nAAq
ωα
2n
Rω
(4.2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
dengan R ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21
11 )(AA
tqα .
a) Kasus Diredam Berlebihan bila 1>ξ , mempunyai penyelesaian, yaitu
. tt nnnn ececth
)1(2
)1(12
22
)(−+−−−− +=
ξωωξξωωξ + 2n
Rω
(4.2.6)
dimana
tt nnnn ecec )1(2
)1(1
22 −+−−−− + ξωωξξωωξ : Tinggi Air 2B Sementara.
2n
Rω
: Tinggi Air 2B Stabil.
Persamaan (4.2.6) menyatakan tinggi air bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV )()1(
2)1(
12
22 tt nnnn ececA−+−−−− +=
ξωωξξωωξ + 22
n
RAω
(4.2.7)
Persamaan (4.2.7) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t
dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
tt nnnn ececth
)1(2
)1(12
22
)(−+−−−− +=
ξωωξξωωξ + 2n
Rω
, Ah =)0(2 ,
Bdt
dh=
)0(2 maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=12
1
2
2
2ξ
ξξωω nn
RAB
c
−−=n
RAcω1
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
12
1
2
2
ξ
ξξωω nn
RAB
Untuk ∞→t maka dan =)(2 th 2n
Rω
dan =)(2 tV 2n
Rω
Contoh 4.2.1
Misalkan diketahui bahwa bahwa 62
5=ξ , 6=nω , tinggi mula-
mula air pada 2B adalah kosong, dan laju awal bertambahnya air pada
2B adalah 1, 2,3 dengan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai
berikut
1)(6)(5)(2
22
22
=++ thdt
tdhdt
thd , 0)0(2 =h , 2,1)0(2 =dt
dh ,3.
Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.2.1 berikut ini
Tabel 4.2.1 Tinggi Air
)0(2h
dtdh )0(2
)(2 th 2h max Waktu 2h max
0 1 61
32
21)( 32
2 +−= −− tt eeth 0,208 m
0,693 dtk
0 2 61
35
23)( 32
2 +−= −− tt eeth0,346 m
0,510 detik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
0 3 61
38
25)( 32
2 +−= −− tt eeth 0,492 m
0,470 deitk
Pada tabel 4.2.1 diatas, peningkatan air yang terjadi pada 2B adalah
berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2B
sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin tinggi
peningkatan air 2B . Akibatnya semakin besar laju awal
bertambahnya air pada 2B semakin lama untuk mendekati 0,66 m.
Cepat atau lamanya air pada 2B akan stabil bergantung dari besar
kecilnya laju awal bertambahnya air pada 2B yang diberikan, seperti
yang diilustrasikan pada gambar berikut ini.
Gambar 4.2.1 Tinggi Air
b) Kasus Diredam Kritis bila 1=ξ , yang mempunyai penyelesaian, yaitu
=)(2 th ( )21).( tcce t
n +− ωξ + 2n
Rω
(4.2.8)
dimana
( )21).( tcce t
n +− ωξ : Tinggi Air 2B Sementara
2n
Rω
: Tinggi Air 2B Stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Persamaan (4.2.8) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV 2A= ( )21).( tcce t
n +− ωξ + 22
n
RAω
(4.2.9)
Persamaan (4.2.9) menyatakan volume air bejana 2B saat t.
Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
=)(2 th ( )21)( tcce tn += − ω + 2
n
Rω
, Ah =)0(2 , Bdt
dh=
)0(2
maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= 22
n
RABcω
dan 21n
RAcω
−=
Untuk ∞→t maka dan =)(2 th 2n
Rω
dan =)(2 tV 2n
Rω
Contoh 4.2.2
Misalkan diketahui bahwa bahwa 1=ξ , 3=nω , tinggi mula-mula air
pada 2B kosong, dan laju awal bertambahnya air pada 2B adalah 1,2,3
dan dengan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai berikut
1)(9)(6)( 22
22
=++ thdt
tdhdt
thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt
dh ,2,3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada tabel 4.2.2 dibawah ini.
Tabel 4.2.2 Tinggi Air
)0(2h dt
dh )0(2 )(2 th 2h max Waktu 2h max
0 1 91
32
91)( 33
2 ++−= −− teeth tt 0,16 m 0,5 dtk
0 2 91
35
91)( 33
2 ++−= −− teeth tt 0,27 m 0,4 dtk
0 3 91
35
91)( 33
2 ++−= −− teeth tt 0,39 m 0,375 dtk
Pada tabel 4.2.2 di atas, peningkatan air yang terjadi pada 2B adalah
berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2B
sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin tinggi peni-
ngkatan air 2B .. Akibatnya semakin besar laju awal bertambahnya a-
ir pada 2B semakin lama untuk mendekati 0,11 m Cepat atau lamanya
air pada 2B akan stabil bergantung dari besar kecilnya laju awal
bertambahnya air pada 2B yang diberikan, seperti yang diilustrasikan
pada gambar berikut ini.
Gambar 4.2.2 Tinggi Air
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
c) Kasus Diredam Berkurang bila 10 << ξ , mempunyai penyelesaian,
ya itu :
)(2 th ( )( )γω −= − tSCe tn )(cos)( + 2n
Rω
(4.2.10)
dengan
21 ξω −= nS , 22
21 ccC += ,
Cc2sin =γ ,
Cc1cos =γ ,
1
2tancc
=γ
dimana
( )( )γω −− tSCe tn )(cos)( : Tinggi Air 2B Sementara
2n
Rω
: Tinggi Air 2B Stabil.
Persamaan (4.2.10) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV 2A= ( )( )γω −− tSCe tn )(cos)( + 22
n
RAω
(4.2.11)
Persamaan (4.2.11) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t
Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
)(2 th ( ) ( )( )tctce nntn 2
22
1)( 1sin1cos ξωξωω −+−= − + 2
n
Rω
Ah =)0(2 , Bdt
dh=
)0(2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut
( )
2
2
21 ξω
ξωω
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=n
nn
RABc dan −= Ac1 2
n
Rω
Sehingga untuk ∞→t maka =)(2 th 2n
Rω
dan =)(2 tV 2n
Rω
.
Contoh 4.2.3
Misalkan diketahui bahwa bahwa 132
4=ξ , 13=nω , pada
awalnya tidak ada air pada 2B , dan laju awal bertambahnya tinggi air
2B adalah 1,2,3 dan R sebesar 1, maka dapat ditulis sebagai berikut
1)(13)(4)( 22
22
=++ thdt
tdhdt
thd , 0)0(2 =h , 1)0(2 =dt
dh ,2,3
Sehingga penyelesaiannya dapat dilihat pada Tabel 4.2.3 berikut ini
Tabel 4.2.3 Tinggi Air
)0(2h dt
dh )0(2
)(2 th 2h max
Wktu 2h max
0 1 131)3sin(3
11)3cos(131)( 2
2 +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−= − tteth t
0,18 m 0.486
0 2 ( )131)3sin(8)3cos(
131)( 2
2 ++−= − tteth t 0,32 m 0,369
0 3 131)3sin(3
37)3cos(131)( 2
2 +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−= − tteth t
0,35 m 0,466
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Pada tabel 4.2.3 di atas, peningkatan air yang terjadi pada 2B adalah
berbeda-beda sesuai dengan laju awal bertambahnya tinggi air pada 2B
sehingga semakin besar laju awal pada 2B maka semakin tinggi
peningkatan air 2B . Akibatnya semakin besar laju awal bertam
bahnya air pada 2B semakin lama untuk mendekati 0,076 m.. Cepat
atau lamanya air pada 2B akan stabil bergantung dari besar kecilnya
laju awal bertambahnya air pada 2B yang diberikan, seperti yang
diilustrasikan pada gambar dibawah ini.
Gambar 4.2.3 Tinggi Air
Dari ketiga kasus tersebut, maka ketinggian air pada 2B dalam jangka
waktu yang lama mendekati 2n
Rω
, yang berarti dalam jangka waktu yang lama 2B
akan stabil sebesar 2n
Rω
.
Untuk dapat mengetahui pengaruh rasio peredam pada bejana 2B pada
keadaan stabil diasumsikan bahwa bejana 2B dalam keadaan kosong dan tanpa
laju bertambahnya ketinggian air pada bejana 2B , seperti yang diilustrasikan pada
gambar berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Gambar 4.2.4. Rasio Peredam 10 << ξ
Gambar 4.2.4 di atas dapat dipisahkan menjadi dua bagian seperti berikut.
Gambar 4.2.5 Rasio Peredam 5,01,0 << ξ
Gambar 4.2.6 Rasio Peredam 9,07,0 << ξ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Pada gambar (4.2.5) dan (4.2.6 ) di atas, dapat dilihat bahwa semakin kecil
rasio peredam semakin besar kelebihan air dan kekurangan air yang terjadi pada
bejana 2B . Sehingga untuk mencapai tinggi air yang stabil semakin lama.
Sedangkan untuk rasio peredam lebih besar dari 1, tinggi air pada bejana 2B akan
semakin mengecil, semakin lama untuk mencapai tinggi air yang stabil semakin
lama, seperti yang pada gambar berikut.
Gambar 4.2.7 Rasio Peredam 1>ξ Sedangkan untuk rasio peredam sama dengan 1 tinggi air pada bejana 2B
akan semakin mengecil, semakin lama untuk mencapai tinggi air yang stabil
semakin lama, seperti yang pada gambar berikut.
Gambar 4.2.8 Rasio Peredam 1=ξ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Pada ketiga gambar di atas, terlihat bahwa rasio peredam kurang dari satu
yang mengalami beberapa gejolak, yakni kelebihan air dan kekurangan air,
sehingga keadaan air pada bejana 2B tidak menentu.
Semakin kecil rasio peredamnya semakin besar kelebihan dan kekurangan
air yang terjadi, sehingga semakin lama tinggi air akan stabil. Untuk itu perlu
dicari rasio peredam yang sesuai agar waktu yang diperlukan untuk stabil tidak
terlalu lama.
Agar memudahkan perhitungan, misalkan bahwa 2nR ω= , sehingga dapat
dicari waktu bejana 2B kelebihan dan kekurangan air untuk jelasnya perhatikan
contoh di bawah ini.
Contoh 4.2.4
Misalkan diketahui bahwa rasio peredam sebesar 0,03, 0,1, 0,3, frekuensi
alaminya sebesar 1, tidak adanya tinggi dan laju tinggi air pada 2B , dan 1=R ,
maka tinggi air pada bejana 2B saat t seperti diilustrasikan pada gambar berikut
ini.
Gambar 4.2.9 Tinggi Air
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Pada gambar 4.2.9 di atas, dapat dilihat bahwa semakin kecil rasio
peredam, maka semakin besar kelebihan dan kekurangan air pada 2B .
Kelebihan air pada bejana 2B dirumuskan sebagai berikut
( )B
BCth −=2 (4.2.12)
Kekurangan air pada bejana 2B dirumuskan sebagai berikut
( )B
DBth −=2 (4.2.13)
dimana B : Ketinggian Air Pada Bejana 2B Saat Stabil.
C : Ketinggian Air Pada Bejana 2B Saat Maksimum.
D : Ketinggian Air Pada Bejana 2B Saat Manimum.
Contoh 4.2.5
Misalkan diketahui bahwa rasio peredam sebesar 0,02, frekuensi alaminya sebesar
100, tidak adanya tinggi dan laju tinggi air pada 2B , dan 1=WhD 00, maka tinggi
air pada bejana 2B saat t adalah
( ) ( ) ( ) 164cos64sin12
622 +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= − tteth t
Tinggi air pada bejana 2B akan maksimum dan minimum bila
( ) ( ) 064sin6
625' 22 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= − teth t
diperoleh 2
1 ξω
π
−=
n
nt untuk 3,2,1=n …
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Tinggi maksimum terjadi pada saat 1=n , yaitu
314,09979,914,3
02,0110 2==
−=
πt
Sehingga untuk 314,0=t diperoleh
( ) 53,1314,02 =h meter
Jadi tinggi maksimum air adalah
( ) 53,01
153,12 =
−=th meter
Tinggi maksimum terjadi pada saat 2=n , yaitu
628,09979,9
28,6
02,0110
22
==−
=πt meter
Sehingga untuk 314,0=t diperoleh
( ) 725,0628,02 =h meter
Jadi tinggi minimum air adalah
( ) 275,01
725,012 =
−=th
Sehingga tinggi maksimum air pada bejana 2B sekitar 54 % dan tinggi minimum
air pada bejana 2B sekitar 27,5 % , untuk jelasnya perhatikan gambar dibawah ini.
Gambar 4.2.10 Tinggi Air
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Perbandingan (rasio) untuk tinggi air maksimumnya yang pertama dengan
yang kedua, yaitu
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛23
1
1
2lnξ
πξxx
dimana 1x : Tinggi Maksimum Pertama. :3x Tinggi Maksimum Kedua.
Dengan cara yang sama dapat dibuat perbandingan (rasio) untuk tinggi air
minimumnya yang pertama dengan yang kedua, yaitu
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛24
2
1
2lnξ
πξxx
dimana 2x : Tinggi Maksimum Pertama. :4x Tinggi Maksimum Kedua.
Jadi interval waktu kelebihan dan kekurangan air yang pertama dan kedua
sebesar
2
1
2
ξω
π
−=
n
t
Agar lebih mudah dibuat perumusan umum untuk mencari saat terjadinya
tinggi maksimum dan tinggi minimumnya dengan menganggap 2nR ω= ,
diperoleh
)(2 th ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −= − tctce nn
tn ωξωξξω 2
22
1 1sin1cos +1
Untuk ,0)0(2 =h dan ( )
002 =dt
dh , maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
)(2 th⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−
−= −
−
ξ
ξξω
ξ
ξω 212
2
. 1tan1sin
1te
n
tn
+1
Jadi
( )
=dt
tdh2⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−
−
te
n
tn
n
2
2
.
1sin1
ξωξ
ω ξω
Untuk ( )
02 =dt
tdh, diperoleh
2
1 ξω
π
−=
n
nt untuk 3,2,1=n … (4.2.14)
Bila n adalah ganjil maka terjadi kelebihan air pada bejana 2B dan untuk
n genap maka terjadi kekurangan air pada bejana 2B
1Amplitudo yang terjadi pada tinggi air di bejana 2B adalah
11 2
.
2
±−
=−
ξ
ξω t
B
neAmplitudo (4.2.15)
05,111 2
.
2
=+−
=−
ξ
ξω t
B
neAmplitudo , maka dengan menyelesaikan dalam
bentuk ntω diperoleh
ntω ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−= 2105,0ln1 ξ
ξ
t ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−= 2105,0ln1 ξ
ξωn (4.2.16)
Untuk rasio peredam yang sangat kecil dapat ditulis
1 Amplitudo adalah besar simpangan maksimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
tξω n
3≅ (4.2.17)
95,01
12
.
2
=−
−=−
ξ
ξω t
B
neAmplitudo , maka dengan analog dapat dituli
t ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −= 2105,0ln1 ξ
ξω n (4.2.18)
Untuk rasio peredam yang sangat kecil dapat ditulis
tξωn
3≅ (4.2.19)
Persamaan (4.2.16) sampai dengan (4.2.19) dikenal dengan Settling Time
yakni waktu yang diperlukan untuk dapat memberikan respon terhadap tinggi air
bejana 2B dan sisanya sekurang-kurangnya 5 % dari ketinggian air pada bejana
2B saat t. Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 4.2.11 Tinggi Air
Pemilihan rasio peredam yang baru dapat dicari dengan beberapa cara,
akan tetapi yang dibahas pada skripsi ini hanya tiga cara yaitu
95,0
05,1
21
)exp(1
ξ
ωξ
−
−+
tn
21
)exp(1
ξ
ωξ
−
−−
tn
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
a) Dengan nilai maksimum dari ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 21tan
ξ
ξ , yakni
02
451
tan =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−ξ
ξ . (4.2.20)
diperoleh 707,0=ξ
b) Dengan membandingkan saat tinggi air pada bejana maksimum yaitu
21 ξω
π
−=
n
t dengan settling timenya untuk rasio peredam yang
sangat kecil yaitu tξωn
3≅ , maka di peroleh
2.13 ξπξ −=
).1(9.8,9 22 ξξ −= (4.2.21)
Dari persamaan (4.2.21) diperoleh 6,0=ξ
c) Dengan cara menggunakan kesalahan pada sistem, yaitu :
[ ]inputoutputE −=
maka
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−
−= −
−
ξ
ξξω
ξ
ξω 212
2
. 1tan1sin
1teE n
tn
(4.2.22)
Perhatikan gambar berikut ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Gambar 4.2.12 Daerah Tinggi Air Maksimum Dan Stabil.
dimana 2
1
5,0
ξω
π
−=
n
a dan 2
1 ξω
π
−=
n
b
Pada gambar 4.2.12 di atas, titik a adalah saat ketinggian air pada
bejana 2B mencapai stabil sedangkan titik b adalah saat ketinggian air
pada bejana 2B mencapai maksimum. Sehingga luas daerah antara
titik a dan b terjadi yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan
(4.2.22) dengan batas kedua titik tersebut, yang hasilnya diturunkan
sekali terhadap rasio peredam sehingga diperoleh rasio peredam sekitar
0,8
Rasio peredam yang sesuai diperoleh di atas berada 8,06,0 << ξ yang
dipilih untuk menenangkan redaman yang terjadi pada bejana tidak terlalu lama,
untuk jelasnya perhatikan gambar berikut.
maksh2
stabilh2 a b
)(2 th
t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Gambar 4.2.13 Perbandingan Persentase Tinggi Air Maksimum
dengan Rasio Peredam
Dari gambar 4.2.13 di atas terlihat bahwa semakin rasio peredam
mendekati satu maka persentase tinggi air maksimum pada bejana 2B akan
semakin mendekati nol..
Setelah mendapatkan rasio peredam yang sesuai pada bejana 2B , berikut
ini akan dijelaskan bagaimana memperoleh ketinggian yang sesuai pada bejana
2B seperti yang dijelaskan berikut ini.
C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan
Model matematika dua bejana yang didapatkan di atas perlu
dikembangkan lagi dengan cara setiap pipa pada kedua sistem bejana diberi
sebuah katup, dimana fungsi dari katup tersebut telah dipaparkan diatas.
perhatikan gambar 4.3.1 berikut ini
100
1ξ
%
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Gambar 4.3.1 Sistem Dua Bejana dengan Aliran yang Disesuaikan
dengan
1v : Katup pada pipa pertama.
2v : Katup pada pipa kedua.
3v : Katup pada pipa ketiga.
Agar dapat menggerakkan suatu generator dimisalkan tinggi air yang
sesuai adalah ( )Dh . Sehingga masalah yang muncul adalah bagaimana model
matematika agar diperoleh tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air ( )Dh yang
sesuai pada sistem bejana.
Sehingga untuk menyelesaikan masalah yang muncul diatas perlu
diberikan beberapa penyederhanaan atau asumsi-asumsi sebagai berikut
a) Ketiga pipa diberi sebuah katup, dan ketiga pipa dianggap sama.
b) Tinggi air yang sesuai ( )Dh pada sistem bejana dianggap konstan.
c) Diberikan sebuah sensor pada 2B .
1h
2h
1v
2v
3v 1A
2A 0q
1q
12q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
d) Aliran air yang masuk pada 1B dianggap tidak konstan.
Kerja dari katup pada kedua sistem bejana sebagai berikut
a) Jika 2hhD = , maka pengaturan pada katup 1v tidak berubah
sehingga aliran air yang keluar pada 2B akan mengalir keluar
diatur oleh katup 3v .
b) Jika 2hhD ≠ , maka pengaturan pada katup 1v diubah kembali
agar tinggi air ( )2h sama dengan tinggi air ( )Dh yang sesuai pada
sistem bejana. Jika sudah diperoleh 2hhD = , maka pengaturan pada
katup 1v yang diatur tidak berubah sehingga aliran air yang keluar
pada 2B diatur oleh katup 3v .
Untuk menjawab permasalahan yang muncul tersebut, pada gambar 4.6.1
diberikan suatu alat yang disebut dengan sensor posisi, seperti di berikut ini.
Gambar 4.3.2 Cara Kerja Sensor
KesalahaneksiPendet
anPengendali
sensor 1h
2h
1v
3v
2v
0q
1q
12q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Tujuan sensor ini yaitu agar tinggi air ( )2h disamakan dengan tinggi air
( )Dh yang sesuai pada sistem bejana, dan jika sudah diperoleh 2hhD = , maka
aliran air yang keluar pada 2B keluar melalui katup 3v . Dan jika diperoleh
hhD ≠ , terjadi dua kasus yaitu
a) Jika 2hhD > , maka terdapat kekurangan tinggi air pada sistem
bejana sehingga katup 1v dikontrol kembali agar dapat diperoleh
2hhD = .
b) Jika 2hhD < , maka terdapat kelebihan tinggi air pada sistem
bejana, sehingga katup 1v dikontrol kembali agar dapat diperoleh
2hhD = .
Dengan cara yang analog pada sistem satu bejana, diperoleh
Ktq =)(1 [ ])()( 2 ththD − (4.3.1)
dimana
K : Konstanta ( 12 −sm )
Dari persamaan (4.2.1) dan persamaan (4.3.1) dengan 1q tidak konstan
diperoleh
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
21
12
21
212
21
21122
22
)()()(
AAK
thAAdt
tdhAA
AAdt
thd λλλλλ [ ])()( 2 ththD −
)()(2)(2
222
22
thdt
tdhdt
thdnn ωωξ ++ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21
1
AAKλ
Dh (4.3.2)
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
12121
1221
2 λλλ
λλξ
KAA
AA
+
+= dan
21
212 )(AA
Kn
+=
λλω
dengan
ξ : Rasio Peredam yang Baru. nω : Frekuensi Alami yang Baru..
Penyelesaian pada persamaan (4.3.2) terdiri dari dua, yaitu penyelesaian
ruas kiri dan penyelesaian ruas kanan, dimana penyelesaian ruas kiri telah
diuraikan diatas, maka dicari penyelesaian ruas kanan, yakni dengan cara
misalkan
bth h =)(2 (4.3.3)
maka
0)(2 =dt
tdh h dan 0)(2
22
=td
thd h (4.3.4)
Dari persamaan (4.3.3) dan persamaan (4.3.4) maka persamaan (4.3.2)
diperoleh :
)(22 th hnω ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21
1
AAKλ
Dh
b = Dh ( )⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛+ KK
21
1
λλλ (4.3.5)
Dari persamaan (4.3.5) maka persamaan (4.3.3) diperoleh
=)(2 th h Dh ( )⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛+ KK
21
1
λλλ
=)(2 th h WhD (4.3.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Dengan W
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
K21
1λ
, sehingga penyelesaian (4.3.2) diperoleh.
a) Kasus Diredam Berlebihan bila 1>ξ , mempunyai penyelesaian
yaitu
. tt nnnn ececth
)1(2
)1(12
22
)(−+−−−− +=
ξωωξξωωξ + WhD (4.3.7)
dimana
tt nnnn ecec )1(2
)1(1
22 −+−−−− + ξωωξξωωξ : Tinggi Air 2B Sementara.
WhD : Tinggi Air 2B Stabil.
Persamaan (4.3.7) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t .
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV )()1(
2)1(
12
22 tt nnnn ececA−+−−−− +=
ξωωξξωωξ + 2A WhD (4.3.8)
Persamaan (4.3.8) menyatakan volume air pada bejana 2B saat t
Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
tt nnnn ececth
)1(2
)1(12
22
)(−+−−−− +=
ξωωξξωωξ + WhD Ah =)0(2 ,
Bdt
dh=
)0(2 maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
( )( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=12
1
2
2
2ξ
ξξω
WhAB
cD
n
−−= WhAc D1
( )( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
12
1
2
2
ξ
ξξω
WhABD
n
Untuk ∞→t maka dan =)(2 th WhD dan =)(2 tV WhD
b) Kasus Diredam Kritis bila 1=ξ , mempunyai penyelesaian, yaitu
=)(2 th ( )21).( tcce t
n +− ωξ + WhD (4.3.9)
dimana
( )21).( tcce t
n +− ωξ : Tinggi Air 2B Sementara
WhD : Tinggi Air 2B Pada Stabil.
Persamaan (4.3.9) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV 2A= ( )21).( tcce t
n +− ωξ + 2A WhD (4.3.10)
Persamaan (4.3.10) menyatakan volume air 2B saat t.
Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Misalkan
)(2 th ( )21).( tcce t
n += − ωξ + WhD , Ah =)0(2 , Bdt
dh=
)0(2
maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut
( ) nDWhABc ω−+=2 dan −= Ac1 WhD
Untuk ∞→t maka dan =)(2 th WhD dan =)(2 tV WhD
c) Kasus Diredam Berkurang bila 10 << ξ , mempunyai
penyelesaian yaitu
)(2 th ( )( )γωξ −= − tSCe tn )(cos).( + WhD (4.3.11)
dengan
21 ξω −= nS , 22
21 ccC += ,
Cc2sin =γ ,
Cc1cos =γ ,
1
2tancc
=γ
dimana
( )( )γωξ −− tSCe tn )(cos).( : Tinggi Air 2B Sementara
WhD : Tinggi Air 2B Stabil.
Persamaan (4.3.11) menyatakan tinggi air pada bejana 2B saat t.
Karena )(2 tV = 2A 2h (t), maka
)(2 tV 2A= ( )( )γωξ −− tSCe tn )(cos).( + 2A WhD (4.3.12)
Persamaan (4.3.12) menyatakan volume air 2B saat t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
Dengan 1c dan 2c adalah konstanta, yang nilainya kedua konstanta
tersebut bergantung dari )0(2h dan dt
dh )0(2 , seperti yang diuraikan
dibawah ini.
Misalkan
)(2 th ( ) ( )( )tctce nnt
n 22
21
).( 1sin1cos ξωξωωξ −+−= − + WhD ,
Ah =)0(2 , Bdt
dh=
)0(2
maka diperoleh 1c dan 2c adalah sebagai berikut
( )( )22
1 ξωξω
−
−+=
n
nDWhABc dan −= Ac1 WhD
Sehingga untuk ∞→t maka =)(2 th WhD dan =)(2 tV WhD
Untuk contoh pada ketiga kasus di atas analog dengan contoh yang sudah
dipaparkan sebelumnya, akan tetapi untuk kasus pada bagian ini tidak ada laju
ketinggian pada bejana 2B .
Pada contoh sebelumnya untuk jangka lama tinggi stabil akan mendekati
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2
n
Rω
, sedangkan pada kasus yang terdapat pada bagian ini, untuk jangka lama
tinggi stabil akan mendekati ( WhD ).
Untuk nilai ∞→K maka 02→
K
λ, sehingga ( )[ ] 111 2 →+ Kλ , dan
untuk nilai 0→K maka ∞→K
2λ, sehingga ( )[ ] 011 2 →+ Kλ . Sedangkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
untuk nilai ∞→2λ maka ∞→K
2λ, sehingga ( )[ ] 011 2 →+ Kλ , dan untuk
nilai 02 →λ maka 02 →Kλ
, sehingga ( )[ ] 111 2 →+ Kλ .
Jadi agar diperoleh )(2 th sama dengan Dh , dipilih nilai K sebesar mungkin
dan nilai 2λ sekecil mungkin. Akibatnya rasio peredam yang baru akan menjadi
kecil dan frekuensi alami yang baru akan menjadi besar seperti yang dijelaskan
berikut ini.
Untuk ∞→K dan 02 →λ maka ( ) ∞→+ K2λ , sehingga ∞→2nω
yang mengakibatkan ∞→nω . Sedangkan untuk ∞→K dan 02 →λ maka
∞→+ 121 λλλ K dan 01221 →+ AA λλ , yang mengakibatkan 0→ξ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Untuk dapat memodelkan dua bendungan secara metematika, diasumsikan
bahwa sistem dua bendungan berbentuk seperti sistem dua bejana, dimana sistem
bejana yang satu terletak di atas sistem bejana yang lain. Akan tetapi pada
kenyataannya bentuk bendungan tersebut tidak teratur.
Pemodelan matematika pada satu dan dua sistem bejana merupakan salah
satu penerapan dari persamaan diferensial orde. Dimana untuk sistem dua bejana
mempunyai tiga penyelesaian berdasarkan rasio peredamnya, yakni =ξ 1, 1>ξ ,
dan 10 << ξ
Untuk =ξ 1 tinggi air akan lebih cepat stabil dibandingkan 1>ξ ,
10 << ξ . Sedangkan untuk 1>ξ , dan 10 << ξ membutuhkan waktu yang lebih
lama, akan tetapi untuk rasio peredam 10 << ξ terjadi beberapa gejolak pada air,
di mana gejolak air tersebut menunjukkan kelebihan dan kekurangan air pada
bejana.
Kelebihan dan kekurangan air yang terjadi pada bejana, akan semakin
besar jika rasio peredamnya mendekati nol. Sehingga perlu dilakukan pemilihan
rasio peredam yang sesuai agar dapat meredamkan gejolak pada air tersebut tidak
terlalu lama.
Ada beberapa cara untuk pemilihan rasio peredam akan tetapi yang
dibahas pada penulisan skripsi ini yakni dengan mencari besarnya sudut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
maksmum pada ketinggian air bejana saat t, membandingkan tinggi air bejana saat
maksimum dengan saat settling time, menggunakan fungsi sinyal kesalahan.
B. Saran
Pemodelan matematika mengenai Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air
yang dibahas pada skripsi ini hanya terbatas pada bagaimana menganalisa input
yang dianggap konstan pada sistem dua bendungan.
Sering sekali dijumpai pada bahwa bendungan terjadi kekurangan air, dan
juga input yang terjadi pada dua bendungan tidak selalu konstan
Oleh sebab itu saya sebagai penulis skripsi tentang Pemodelan Matematika
Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air perlu saran untuk melengkapi lebih
jauh bagaimana menganalisa input yang tidak konstan, dan juga menggunakan
sensor kecepatan dan percepatan pada sistem satu dan dua bendungan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
Daftar Pustaka
Borroli, R.L and Coleman, C.S. 2004. Differential A Modeling Perspective Equation. 2nd
edition. New York.
D’azzo J.J and Houpis, C.H.. 1964. Feedback Control And Synthesis. 2nd edition. New
York.
Ellis, R. and Gullick, D. 1982. Calculus With Analytic Geometry. 2nd edition. San Diego
Giordano, Weir, and Fox. 1997. A First Course in Mathematical Modeling. 2nd edition
New York .
Halliday, D dan Resnick, Robert.. 1995. Fisika. Erlangga. Jakarta,
Ogata, K, 1997, Modern Control Engineering. 2nd edition. New Jersey Prentice Hall
Rice and Strange. 1994. Ordinary Differential Equation With Application. 3rd edition
California.
Ross, S.L., 1997, Differential Equation, 2nd edition, New York
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI