PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · Panas Jenis Zat Padat 2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik 2.3. Panas Jenis Me nurut Teori Einstein

PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK

MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

Margareta Inke Mayasari

NIM : 023214002

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

" Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh

kepercayaan, kamu akan menerimanya " ( Matius 21:22)

PERSEMBAHAN :

"Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah dan Ibuku

serta kakakku mas Robert yang selalu memberikan

dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang

hidupku"

iv


PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK

MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan secara numerik terhadap batas terendah nilai perbandingan antara suhu Debye dan suhu kristal yang digunakan dalam perhitungan panas jenis Debye satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0. Hasil perhitungan secara numerik menunjukkan

bahwa untuk kD x

T<

θ nilai integral I bergantung pada suhu T , sedangkan untuk

kD x

T≥

θ nilai integral I konstan. Nilai untuk satu dimensi adalah , untuk

dua dimensi , dan untuk tiga dimensi adalah . kx 19≥kx

22≥kx 25≥kx

v


CALCULATION OF THE RATIO VALUE LOWER LIMIT BETWEEN DEBYE AND CRYSTAL TEMPERATURES NUMERICALLY FOR

DETERMINING THE TEMPERATURE EFFECT ON THE CRYSTAL SPECIFIC HEAT

ABSTRACT

The calculations of the ratio value lower limit between Debye temperature and crystal temperature which is used on the calculation of the Debye heat specific for one, two, and three dimension(s) have been performed numerically by using Mathematica 5.0 package program. The numerical results show that the values of the

integral I for kD x

T<

θ are depend on the temperature (T), meanwhile for kD x

T≥

θ the

values of the I are constants. The values of the are , , and corresponding to one, two, and three dimension (s) respectively.

kx 19≥kx 22≥kx 25≥kx

vi


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Yesus Kristus atas segala kasih dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi

ini berjudul : ”PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI

PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA

NUMERIK UNTUK MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP

PANAS JENIS KRISTAL”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata

Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang

penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing

yang telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing,

mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan

tugas akhir ini.

2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan,

dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini.

vii


3. Kakakku tercinta mas Robert yang selalu memberikan semangat dan

doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

4. Erig yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan,

semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini.

5. Adik sepupuku Wahyu dan Angga yang senantiasa memberikan

dukungannya.

6. Mbak Asti dan mas Anto yang selama ini telah memberikan

dukungannya.

7. Temen-teman kosku terutama Chika, Jule dan Anis yang selalu

memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku serta

menemaniku mengerjakan skripsi.

8. Temen-teman fisika yang selama bertahun-tahun selalu berjuang

bersamaku.

9. Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah

banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

10. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan

pengajaran dan pendampingan.

11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih

atas segala bantuannya.

viii


Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh

karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun

dari berbagai pihak.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia

pendidikan dan khususnya pembaca.

Yogyakarta, Juni 2007

Penulis

ix


x


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………..............................................

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………….....

HALAMAN PENGESAHAN .…………………………………………..

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......………………….

ABSTRAK ……………………………………………………………….

ABSTRACT ……………………………………………………………..

KATA PENGANTAR …………………………………………………...

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………….

DAFTAR ISI …………………………………………………………….

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………

BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….

1.1. Latar Belakang ………………………………………………….

1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….

1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………

1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...

1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….

1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...

BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...

i

ii

iii

iv

v

vi

vii

x

xi

xiv

1

1

4

5

5

5

6

6

7

xi


2.1. Panas Jenis Zat Padat ……………………………………………

2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik ………………………………

2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein …………………………….

2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye……………………………….

2.4.1. Panas Jenis Zat Padat Dalam Satu Dimensi ……………...

2.4.2. Panas Jenis Zat Padat Dalam Dua Dimensi ......................

2.4.3. Panas Jenis Zat Padat Dalam Tiga Dimensi ….………….

2.5. Integrasi Numerik Dengan Menggunakan Mathemetica 5.0…….

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………….

3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….

3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..

3.3. Langkah-Langkah Penelitian ……………………………………

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………….

4.1. Hasil Integrasi Numerik …………………………………………

4.1.1. Panas Jenis Zat Padat Satu dimensi ……………………...

4.1.2. Panas Jenis Zat Padat Dua Dimensi ...................................

4.1.3. Panas Jenis Zat Padat Tiga Dimensi ……………………..

4.2. Pembahasan ……………………………………………………..

BAB V. PENUTUP ……………………………………………………...

5.1. Kesimpulan ……………………………………………………...

5.2. Saran …………………………………………………………….

7

9

13

16

17

18

20

23

24

24

24

24

26

26

26

27

28

29

33

33

34

xii


DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………

LAMPIRAN A

LAMPIRAN B

LAMPIRAN C

35

xiii


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1

Gambar 1.2

Gambar 4.1

Gambar 4.2

Gambar 4.3

Gambar 4.4

Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T

Panas Jenis Cu pada volume tetap dengan

KE 240=θ

Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal satu dimensi

Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal dua dimensi

Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal tiga dimensi

Gabungan grafik satu dimensi, dua dimensi dan

tiga dimensi

1

3

27

28

29

32

xiv


BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam fisika diketahui ada tiga model atau teori mengenai panas jenis

suatu zat padat, yaitu teori Klasik, teori Einstein dan teori Debye. Menurut teori

Klasik nilai panas jenis suatu zat padat pada volume tetap ( )vc tidak bergantung

pada suhu ( . Dengan kata lain, panas jenis suatu zat pada volume tetap menurut

teori Klasik adalah

)T

Rcv 3= (1.1)

dengan R tetapan gas umum ( J / kmol K = 1.99 kcal / kmol K). 31031.8 ×=R

Berdasarkan hasil eksperimen, nilai panas jenis suatu zat pada volume

tetap bergantung pada suhu atau secara matematis dapat dituliskan

( )Tcc vv ≡ . (1.2)

Sebagai contoh, panas jenis Cu berdasarkan hasil eksperimen (Omar, 1975)

diperlihatkan pada Gambar 1.1

6

5

4

2

1

100 300

3

200

Cu: E =240 K

Cv c

al/

g m

ol, K

T, K

Gambar 1.1 Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T

1


Dari gambar 1.1 terlihat bahwa nilai pada suhu tinggi mendekati

(sesuai dengan teori Klasik), tetapi pada suhu rendah nilai sangat bergantung

pada

vc R3

vc

T .

Untuk mengatasi kelemahan teori Klasik tersebut, Einstein merumuskan

teori panas jenis pada volume tetap dengan menganggap (mengandaikan) bahwa

zat padat tersusun dari atom-atom yang bergetar secara bebas (independen)

disekitar titik kesetimbangannya satu dengan yang lainnya. Dengan asumsi

tersebut, Einstein memperoleh energi rata-rata sebesar (Omar, 1975) :

∑

∑∞

=

−

∞

=

−

=

0

/

0

/

n

kTE

n

kTEn

n

n

e

eEE (1.3)

dengan En nE ωh⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21 (h tetapan Planck tereduksi,

π2h

=h dan Eω frekuensi

getar), sehingga (Sears dan Salinger, 1975)

( )2/

/2

13

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∂∂

=T

TE

vE

E

e

eT

RTEc

θ

θθ. (1.4)

Pada suhu tinggi nilai menurut teori Einstein mendekati nilai (sesuai teori

Klasik) dan pada suhu rendah (Omar, 1975)

vc R3

TEv

EeT

Rc /2

3 θθ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= (1.5)

dengan Eθ suhu Einstein.

2


6

5

4

2

1

100 300

3

200

Cu: E =240 KC

v c

al/

g m

ol, K

T, K

Gambar 1.2 Panas jenis Cu pada volume tetap dengan 240=Eθ K

Jika dibandingkan nilai menurut teori Einstein terhadap hasil

eksperimen untuk Cu dengan

vc

240=Eθ K maka terlihat bahwa nilai

berdasarkan perhitungannya teori Einstein untuk

vc

200<<T K kurang sesuai

dengan hasil eksperimen (Gambar 1.2).

Kelemahan teori Einstein tersebut diperbaiki oleh Debye, yang

mengasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan

volume V (Suwitra, 1989). Suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi

frekuensi yang kontinu pada interval frekuensi ω sampai ωω d+ . Tenaga

kontinum elastis Debye diberikan oleh (Omar, 1975)

( ) ( ) ωωω dgEE ∫= , (1.6)

dengan ( )ωg adalah rapat modus, dan 1/ −

= kTeE ω

ωh

h adalah energi rata-rata atom

kristal. Rapat modus ( )ωg untuk kontinum elastik volume V diberikan oleh

3


( ) 3

2

2

3

2 svLg ωπ

ω = (1.7)

dengan L panjang rusuk volume V, ω frekuensi kontinum elastik, dan

kecepatan gelombang. Sehingga persamaan (1.6) dapat dituliskan menjadi

sv

∫ −=

D

dev

VE kTs

ω

ω ωωπ 0

/

3

32 123

h

h . (1.8)

Jika didefenisikan kT

x ωh= ,

kTx D

Dωh

= , dan DDk ωθ h= atau h

DD

kθω = ( Dθ

adalah suhu Debye), maka panas jenis pada volume tetap diberikan oleh

TEcv ∂∂

=

( )

dxe

exTRDx

xx

x

D∫= −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

02

43

19

θ. (1.9)

1.2. Perumusan Masalah

Dari persamaan (1.9) terlihat bahwa nilai integral

( )∫= −

=Dx

xx

x

dxe

exI

02

4

1 (1.10)

untuk suhu rendah ( DT )θ<< adalah 15

4 4π (suatu konstanta). Secara umum hasil

integral persamaan (1.10) masih merupakan fungsi Dθ dan T atau

( )TII D ,θ≡ . (1.11)

Yang menjadi permasalahan adalah berapa batas terendah nilai T

Dθ agar hasil

integral persamaan (1.10) untuk suhu rendah ( )DT θ<< terpenuhi.

4


1.3. Batasan Masalah

Masalah yang diteliti dalam penelitian ini dibatasi pada masalah

1. Penentuan batas terendah nilai T

Dθ agar hasil integral persamaan (1.9)

untuk suhu rendah terpenuhi.

2. Implikasi batas terendah nilai T

Dθ terhadap panas jenis Debye pada

panjang tetap, luas tetap dan volume tetap.

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian

1.4.1. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk:

1. Menentukan batas terendah nilai T

Dθ agar hasil integral pada

persamaan (1.10) untuk suhu rendah terpenuhi.

2. Mengetahui implikasi batas terendah nilai T

Dθ terhadap panas jenis

suatu zat pada panjang tetap, luas tetap dan volume tetap ( ) . vc

1.4.2. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan

khususnya pengetahuan terhadap panas jenis pada panjang tetap, luas tetap dan

volume tetap dan kaitannya dengan suhu Debye Dθ dan .T

5


1.5. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut:

BAB I. PENDAHULUAN

Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II. DASAR TEORI

Dalam Bab II dijabarkan teori panas jenis zat padat menurut teori Klasik,

Einstein, dan Debye.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan

langkah-langkah penelitian.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian secara numerik serta

pembahasannya

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN

Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.

6


BAB II DASAR TEORI

2.1. Panas Jenis Zat Padat

Zat padat terbentuk dari atom-atom (berupa ion atau atom netral) atau

molekul yang sangat tersusun dengan posisi sangat berdekatan. Energi zat padat

dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu energi termal dan energi lain.

Energi lain dapat berasal dari energi kinetik, energi potensial listrik, energi

potensial magnetik energi rotasi, energi potensial gravitasi, dll. Perubahan energi

termal tiap satu satuan perubahan suhu disebut kapasitas panas C (Suwitra, 1989)

TEC∂∂

= . (2.1)

Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis yang

didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat

untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis, panas jenis dituliskan

sebagai

TE

mc

∂∂

=1 (2.2)

dengan c panas jenis ( satuan J / kmol atau kcal / kmol K) dan m adalah besarnya

massa satu mol zat. Jika suatu sistem bekerja pada volume tetap, maka panas jenis

itu disebut panas jenis pada volume tetap ( ), secara matematis dituliskan vc

vv T

Em

c ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1 (2.3)

Menurut hukum I termodinamika, jika sejumlah kalor dQ diberikan

kepada suatu sistem, maka kalor/energi tersebut dapat digunakan oleh sistem

7


untuk mengubah energi dalamnya ( )dU dan untuk melakukan sejumlah kerja

. Hukum termodinamika tersebut dapat dituliskan sebagai (Nainggolan,

1978)

(dW )

dWdUdQ += (2.4)

Energi dalam sistem ditentukan oleh volume ( )V dan suhu sistem sehingga

(Sears dan Salinger, 1975)

( )T

dVVUdT

TUdU

Tv⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.5)

Jika persamaan (2.5) disubstitusikan ke persamaan (2.4) maka diperoleh

dWdVVUdT

TUdQ

Tv

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

(2.6) Mengingat , persamaan (2.6) dapat dituliskan kembali dalam

bentuk

dVpdW =

.dVpVUdT

TUdQ

Tv ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.7)

Maka kapasitas panas ( pada volume tetap)C ( )0=dV diberikan oleh

.vv

v TU

TQC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.8)

Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis ( yang

didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat

untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis panas jenis ( pada

volume tetap dituliskan

)vc

)vc

8


vv T

UmT

Qm

c ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

=11 (2.9)

Selanjutnya panas jenis zat padat ditinjau menurut tiga teori, yaitu teori Klasik,

teori Einstein, dan teori Debye.

2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik

Menurut teori klasik dengan menggunakan teori kinetik gas, jika suatu

kotak yang mempunyai volume V diisi N molekul gas dengan masing-masing

molekul memiliki massa m dan bergerak dengan kecepatan (searah sumbu x),

maka akan terjadi tumbukan antara molekul dengan luasan (A) dinding kotak

sehingga perubahan momentum sebelum dan sesudah terjadinya tumbukan adalah

.

xv

xvm2

Besarnya perubahan momentum dalam interval sampai

diberikan oleh (Bradbury, 1984)

xv xx dvv +

xxx vvdnxAmp )(2=Δ (2.10)

dengan x adalah panjang lintasan, dan adalah jumlah molekul tiap satu

satuan volume sebagai fungsi . Perubahan momentum tersebut terjadi dalam

interval waktu

)( xvdn

xv

xvxt =Δ . (2.11)

Perubahan gaya yang dihasilkan dalam luasan A akibat terjadinya tumbukan

adalah

9


( xxx

x vdnvmAt

pdF 22=

Δ)Δ

= . (2.12)

sehingga

(∫∞

=0

22 xxx vdnvmAF ). (2.13)

Nilai 2xv diberikan oleh (Bradbury, 1984)

( )

( )

( )

VN

vdnv

vdn

vdnvv

xx

x

xx

x /

20

22

2∫

∫

∫∞

∞+

∞−

+∞

∞− == . (2.14)

Jika persamaan (2.13) dan (2.14) digabungkan, maka akan diperoleh

VvNm

AF

P xx2

== (2.15)

dengan P adalah tekanan. Persamaan (2.15) dapat dituliskan dalam bentuk

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

21

32 vmNPV , (2.16)

sebab 222zyx vvv == dan 2222

zyx vvvv ++= . Dengan demikian energi kinetik

molekul gas dapat dituliskan menjadi

Tkvm23

21 2 = . (2.17)

Pada persamaan (2.17) digunakan relasi TkNVP = (Martin, 1986)

Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga

memiliki energi potensial. Dari persamaan (2.11) dan (2.12) diperoleh relasi

10


xpv

dF xxx

Δ=

atau

xxx pvdFx ΔΔ= (2.18)

Besarnya gaya dalam luasan A adalah

( )txxdnxAmdFt x Δ=Δ )(2 (2.19)

Persamaan (2.19) dapat dituliskan menjadi

( )xdnt

xAmdFt x 2

2

)(2

Δ=Δ . (2.20)

Meningat nilai 2x adalah

∫

∫∞

∞−

∞

∞−=)(

)(2

2

xdn

xdnxx (2.21)

sehingga dari persamaan (2.20) diperoleh

VN

tdFtAm

VN

xdnxx

x Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

==∫∫∞∞

00

2

2

1)(2. (2.22)

Dari persamaan (2.15) diperoleh

AdF

dP x= . (2.23)

Jika ruas kiri dan kanan persamaan (2.23) dikalikan xΔ , maka diperoleh

xdFdPxA x Δ=Δ

xx vtdFdPxA Δ=Δ

11


atau

xx dFtvdPV ∫ Δ= (2.24)

Jika persamaan (2.24) diintegralkan, maka dihasilkan

∫∞

Δ=0

xx dFtvVP

Jika dimasukkan ke dalam persamaan (2.22)

VN

tdFtAmx

x Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

=∫∞

02

1

tVNvPV

mAx Δ=

//1

2x

VtvNAm

PV x

Δ=

2x

VtvNAm

kTN xA Δ

=

2x

VNtvNAm

kTA

x

Δ=

atau

2

21

21 x

tNVvNAm

TkA

x

Δ= (2.25)

Jika ctNV

vNAm

A

x =Δ

, maka persamaan (2.25) menjadi

12


2

21

21 xcTk = (2.26)

sehingga besarnya energi potensial adalah adalah Tk21 .

Dengan demikian besarnya panas jenis (satu dimensi) menurut teori klasik

ditinjau dari teori kinetik gas adalah sebesar (Omar, 1975)

vc

kNc Av =

Rcv = . (2.27)

Untuk panas jenis ( ) tiga dimensi vc Rcv 3=

Berdasarkan hasil eksperimen (Gambar 1.1) panas jenis zat padat

bergantung pada suhu T khususnya pada suhu rendah. Pada suhu tinggi

mendekati 3R. Oleh sebab itu teori panas jenis klasik masih memiliki kelemahan

karena tidak dapat menjelaskan kebergantungan terhadap T.

vc

vc

2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein

Menurut teori panas jenis Einstein osilasi zat padat mengikuti statistik

Bose-Einstein (Suwitra, 1989). Einstein juga mengajukan asumsi bahwa semua

fonon (osilator) memiliki frekuensi yang sama. Tiap atom berprilaku sebagai tiga

osilator harmonis yang independen. Menurut mekanika kuantum, tenaga osilator

harmonik diberikan oleh (Alonso dan Finn, 1968)

ω 21 h⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += nEn , ,...3 ,2 ,1 ,0=n (2.28)

13


dengan ω frekuensi osilator harmonik, π2h

=h . Tenaga rata-rata osilator harmonik

diberikan oleh (Omar, 1975)

∑

∑∞

=

−

∞

=

−

=

0

/

0

/

n

kTE

n

kTEn

n

n

e

eEE (2.29)

Jika dituliskan kT1

=β , maka persamaan (2.29) dapat dituliskan

∑

∑∞

=

−

∞

=

−

=

0

0

n

E

n

En

n

n

e

eEE

β

β

(2.30)

Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.30) digunakan substitusi

∑∞

=

−=0n

EneZ β (2.31)

yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, maka tenaga

rata-rata pada persamaan (2.30) menjadi

( ZZZ

E ln1ββ ∂

)∂−=

∂∂

−= (2.32)

Jika persamaan (2.28) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.30) maka diperoleh

∑∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=0

21

n

neZ

ωβh

∑∞

=

−−=0

2/

n

nee ωβωβ hh

( )......1 322/ ++++= −−−− ωβωβωβωβ hhhh eeee (2.33)

14


Jika 0>ωβh , maka , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.32)

dapat dituliskan menjadi

1<<− ωβhe

ωβωβωβωβ

h

hhh

−−−−

−=++++

eeee

11...1 32

Dengan demikian fungsi partisi dapat dituliskan menjadi

ωβ

ωβ

h

h

−

−

−=

eeZ

1

2/

(2.34)

Dengan substitusi persamaan (2.34) ke dalam persamaan (2.32)

diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar

( )ZE lnβ∂∂

−=

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

∂∂

−= ωβωββ

hh e1ln21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=

11

21

ωβωh

he

(2.35)

Jika ditinjau osilator tiga dimensi dan ada sejumlah N osilator, maka tenaga total

osilator harmonik sebesar

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+==

1 1

21 3 3 / kTe

NENE ωωh

h (2.36)

Kalau ada satu mol zat (kristal), maka ANN = (bilangan Avogadro). Dengan

demikian panas jenis diberikan oleh vc

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=TEcv

15


( )2/

/2

1 3

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kT

kT

Ae

ekT

kNω

ωωh

hh

( )2/

/ 2

1 3

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kT

kTE

E

E

ee

TR

θ

θθ (2.37)

dengan dankNR A = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kEωθ h yang dikenal sebagai suhu Einstein.

Untuk mengetahui daya prediksi panas jenis Einstein tersebut, ditinjau

dua keadaan ekstrim yaitu pada suhu rendah dan suhu tinggi. Pada suhu tinggi

ET θ>> atau 1<<T

Eθ sehingga T

e ETEθθ +≈1/ . Jadi panas jenis Einstain pada

suhu tinggi dapat dituliskan

232

32

2

...

...13

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

TTT

TTTT

RcEEE

EEE

Ev

θθθ

θθθθ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +≈ TR Eθ13

(2.38)

Pada suhu rendah

Rcv 3≈

ET θ<< atau 1>>T

Eθ , sehingga . Jika ,

maka faktor . Jadi panas jenis Einstein pada suhu rendah dapat

dituliskan

1/ >>TEeθ 1/ >>TEeθ

TT EE ee // 1 θθ ≈−

TEv

EeT

Rc /2

3 θθ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= (2.39)

16


Model panas jenis Einstein hanya cocok untuk suhu tinggi, sedangkan

pada suhu rendah kurang sesuai.

2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye

Debye mengembangkan suatu model dengan mengasumsikan bahwa kisi

kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan volume V (Suwitra, 1989). Pada

model Debye, suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi frekuensi yang

kontinu pada interval frekuensi ω sampai ωω d+ , dan tenaga total diberikan oleh

( ) ( ) ωωωω

dEgED

∫=0

(2.40)

dengan )(ωg adalah rapat modus dan Dω adalah frekuensi Debye. Rapat modus

didefenisikan

( )ω

ωddNg = (2.41)

dengan N adalah jumlah modus.

2.4.1. Panas jenis zat padat dalam satu dimensi

Jumlah modus fonon untuk satu dimensi adalah

λLN = (2.42)

dengan λ adalah panjang gelombang. Mengingat λ

πλk2

= , persamaan (2.42)

dapat dituliskan menjadi

17


λπkLN ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2. (2.43)

Sebab k dapat juga dituliskan sebagai sv

k ωλ = , maka

svLN ωπ2

= . (2.44)

Jadi rapat modus untuk satu dimensi adalah

( )sv

Lgπ

ω2

= (2.45)

Dengan menggunakan persamaan (2.44), frekuensi ω untuk gelombang satu

dimensi diberikan oleh

LNvsπ

ω2

= (2.46)

Dengan demikian tenaga kontinum elastis satu dimensi diberikan oleh

( ) ωωω ω

ωd

egE kT

D

1/0 −= ∫ h

h

ωωπ

ω

ω dev

LED

kTs∫ −

=0

/ 12 h

h (2.47)

Jika didefenisikan kT

x ωh= ,

kTx D

Dωh

= , dan DDk ωθ h= atau

hD

Dkθ

ω = ( Dθ adalah suhu Debye), maka panas jenis zat padat satu dimensi

diberikan oleh

Lc

TEcL ∂∂

=

18


∫ −=

Dx

x

x

s

dxe

exTk

vL

02

22

)1(hπ (2.48)

atau

TcL ≈ (2.49)

2.4.2. Panas jenis zat padat dalam dua dimensi

Jumlah modus fonon dua dimensi

22

2 λπkLN ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

22

2 svL ωπ

= (2.50)

Sehingga rapat modus diberikan oleh

( ) 22

2

2 svLg ωπ

ω = , (2.51)

dan frekuensi ω untuk gelombang dua dimensi diberikan oleh

21

2

222⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

LNvsπ

ω (2.52)

Jadi tenaga kontinum elastis dua dimensi diberikan oleh

( ) ωωω ω

ωd

egE kT

D

12 /0 −

= ∫ h

h

ωωπ

ω

ω dev

LED

kTs∫ −

=0

/

2

22

2

122

h

h (2.53)

19


Mengingat kT

x ωh= ,

kTx D

Dωh

= , dan DDk ωθ h= atau h

DD

kθω = ( Dθ adalah suhu

Debye), maka panas jenis zat padat untuk dua dimensi diberikan oleh

TEcA ∂∂

=

dxe

exTk

vL Dx

x

x

s∫ −

=0

2

32

2

3

22

2

)1(hπ (2.54)

atau

2TcA ≈ (2.55)

2.4.3. Panas jenis zat padat dalam tiga dimensi

Jumlah modus fonon tiga dimensi

33

34

2 λπ

πkLN ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

3

3

2

3

6 svL ωπ

= (2.56)

sehingga rapat modus diberikan oleh

( ) 3

2

2

3

2 svLg ωπ

ω = , (2.57)

dan frekuensi ω untuk gelombang tiga dimensi diberikan oleh

31

3

326⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

LNvsπ

ω (2.58)

20


Jadi tenaga kontinum elastis tiga dimensi dapat dituliskan sebagai

atau

Mengingat

21

( ) ωωω ω

ωd

egE kT

D

13 /0 −

= ∫ h

h

ωωπ

ω

ω dev

LE

D

kTs∫ −

=0

/

3

32

3

123

h

h (2.59)

kTx ωh= ,

kTx D

Dωh

= DDk, dan ωθ h= atau h

DD

kθω = D(θ adalah suhu

Debye), maka panas jenis untuk zat padat tiga dimensi adalah

Bentuk integrasi numerik yang terdapat dalam panas jenis Debye satu

dimensi (persamaan (2.48)), dua dimensi (persamaan (2.54)), dan tiga dimensi

(persamaan (2.60)) akan diselesaikan dengan menggunakan paket program

Mathematica 5.0

3Tcv ≈

vc

TEcv = ∂∂

dxe

exTk

vL Dx

x

x

s∫ −

=0

2

43

3

4

32

3

)1(23

hπ

(2.61)

(2.60)


Unsur / Senyawa

Li Na K Cu Ag Au Al Ga Pb Ge Si C NaCl KCl CaF2 LiF SiO2

Dθ (K) 335 156 91.1 343 226 162 428 325 102 378 647 1860 280 230 470 680 255

Tabel 2.1 Temperatur Debye ( )Dθ untuk beberapa unsur dan senyawa (Omar, 1975)

22


2.5. Integrasi Numerik Menggunakan Mathematica 5.0

Bentuk- bentuk integrasi numerik yang ada di dalam persamaan (2.48),

(2.54) dan (2.60) akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan paket

program Mathematica 5.0. Secara umum penyelesaian integrasi numerik untuk

dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0 adalah ( )∫=max

min

x

x

dxxfI

NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}], dengan f adalah fungsi yang akan diintegralkan ,

xmin adalah batas bawah, xmaks adalah batas atas, dan NIntegrate adalah perintah

yang digunakan untuk mengevaluasi integrasi numeriknya.

Selain itu ada juga penyelesaian integrasi numerik dengan

Table[NIntegrate[f, {x, xmin, y}],{y,ymin,ymaks}], dimana {y,ymin,ymaks}

dihitung dahulu nilai integralnya kemudian hasilnya akan digunakan sebagai batas

dalam {x, xmin, y}.

Contoh 1: In[1]:= NIntegrate[Exp[-x^3], {x, 0, Infinity}]

Out[1]= 0.89298

Hasil penyelesaian contoh diatas tersebut hanya untuk satu nilai dalam suatu

daerah integral.

Contoh 2 : In[2]:= Table[NIntegrate[(x^3)/(Exp[x]-1),{x,0,y}],{y,0,8}]

Out[2]=

{0.,0.224805,1.17634,2.55222,3.87705,4.89989,5.58586,6.00317,6.23962}

Hasil penyelesaian contoh 2 tidak seperti hasil penyelesaian contoh 1.

Hasil penyelesaian contoh 2 berupa nilai-nilai hasil integrasi numerik sekaligus

dalam interval tertentu untuk nilai x tertentu.

23


BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah

penelitian studi pustaka dan paket program Mathematica 5.0.

3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku

yang berhubungan dengan panas jenis zat padat yang terdapat di UPT

Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3. Langkah – langkah penelitian

Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Menelusuri bahan – bahan mengenai teori panas jenis Klasik,

Einstein dan Debye serta integrasi numerik dengan menggunakan

paket program Mathematica 5.0.

2. Mengelaborasi teori-teori panas jenis Klasik, Einstein dan Debye

secara analitik.

3. Menyelesaikan teori panas jenis Debye secara numerik dengan

menggunakan paket program Mathematica 5.0.

4. Batasan angka desimal numerik yang akan diambil untuk panas

jenis satu dimensi dan dua dimensi adalah lima digit sedangkan

24


untuk panas jenis tiga dimensi adalah empat digit. Batasan angka

desimal numerik yang akan diambil mengikuti paket program

Mathematica 5.0.

5. Menentukan batas terendah nilai T

Dθ agar hasil integral pada

persamaan (1.10) untuk suhu rendah terpenuhi.

6. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah

dilakukan.

25


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil Integrasi Numerik

Sebagaimana diketahui dari persamaan (2.48), (2.54) dan (2.60) bahwa

panas jenis kristal pada panjang tetap ( )Lc , luas tetap ( )Ac dan volume tetap

tergantung pada nilai integrasi

( )vc

( )∫=Dx

dxxfI0

Dengan adalah fungsi yang bentuknya bersesuaian dengan dimensi kristal.

Dari berbagai studi literatur (Omar, 1975 ; Sears, 1975 ; Mandl, 1988) nilai

integral I konstan.

( )xf

4.1.1. Panas Jenis Zat Padat Satu Dimensi

Untuk panas jenis satu dimensi hasil integrasi numerik dari

dxe

exDx

x

x

∫ −02

2

)1( dapat dilihat pada Lampiran A dan jika hasil integrasi numerik

(Lampiran A) digambar maka hasilnya terlihat pada Gambar 4.1. Dari gambar 4.1

terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah . Sedangkan untuk daerah

nilai I bergantung pada x.

19≥x 19<x

26


Gambar 4.1 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal satu dimensi

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 10 20 30 40

x

I

4.1.2. Panas Jenis Zat Padat Dua Dimensi

Seperti halnya panas jenis satu dimensi, untuk panas jenis dua dimensi

hasil integrasi numerik dari dxe

exDx

x

x

∫ −02

3

)1( dapat dilihat pada Lampiran B. Jika

hasil integrasi numerik (Lampiran B) digambar maka hasilnya terlihat pada

Gambar 4.2. Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah .

Sedangkan untuk daerah nilai I bergantung pada x.

22≥x

22<x

27


Gambar 4.2 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal dua dimensi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40x

I

4.1.3. Panas Jenis Zat Padat Tiga Dimensi

Untuk panas jenis satu dimensi hasil integrasi numerik dari

dxe

exDx

x

x

∫ −02

4

)1( dapat dilihat pada Lampiran C dan jika hasil integrasi numerik

(Lampiran C) digambar maka hasilnya terlihat pada Gambar 4.3. Dari Gambar 4.3

terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah . Sedangkan untuk daerah

nilai I bergantung pada x.

25≥x 25<x

28


4.2. Pembahasan

Gambar 4.3 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal tiga dimensi

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40x

I

Berdasarkan hasil integrasi numerik yang telah dilakukan terhadap

persamaa

nilai I bergantung pada x seperti terlihat pada Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3.

n (2.48), (2.54), dan (2.60) (Lampiran A, B dan C ) terlihat bahwa panas

jenis kristal satu dimensi nilai I tetap pada daerah 19≥x , untuk kristal dua

dimensi nilai I tetap pada daerah 22≥x , dan untuk kristal tiga dimensi nilai I

tetap pada daerah .25≥x Jika nila bih kecil dari nilai-nilai tersebut, maka i x le

29


Berdasark ai-nilai kx yang telah diperoleh, dapat dihitung suhu

kristal (satu, dua, dan tiga dimensi) dengan menggunakan relasi berikut:

an nil

kTx D

Dωh

=

hD

Dkθ

ω =

Tx D

Dθ

=

Jika nila dan i Dx Dθ diketahui, maka nilai T dapat diperoleh. Contohnya unsur Li

(pada Tabel 2.1) untuk tiga dimensi, 335=Dθ , 25=Dx , nilai T dapat dihitung

ng andengan me gunak persamaan diatas, yaitu

Tx D

Dθ

=

T33525=

KT 4.13=

Nilai T yang telah dihitung untuk beberapa unsur dan senyawa berdasarkan relasi

Tx DD

θ= dan data Tabel 2.1 disajikan pada Tabel 3.1.

Unsur / senyawa T (K) Dθ

Na 156 6.24

Cu 343 13.72

Ag 226 9.04

N aCl 280 11.2

30


D

D

xT

θ<Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, jika nilai maka

nilai panas jenis bergantung pada suhu. Tetapi jika nilai Dx

T Dθ≥ mak i panas

Sears, 1975 ; Mandl, 19

a nila

jenis mendekati klasik.

Sebagaimana yang telah diketahui dari buku-buku teks (Omar, 1975 ;

88) yang memuat panas jenis Debye bahwa nilai integrasi

pada persamaan (1.9) adalah sebesar 15

4 4π untuk kristal tiga dimensi (suatu

pada persamaan (1.9) untuk daerah 2≥x alah sama dengan yang ada di buku-

konstanta). Dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0 nilai integrasi

ad

buku teks yaitu

5

154 4π

. Tetapi untuk 25<x nilai integral persamaan (1.9)

bergantung pada nilai x.

I ters

jenisnya adalah sebesar (untuk kristal tiga dimensi),

sedangka

Nilai-nilai ebut akan mempengaruhi panas jenis Debye, dimana jika

pada daerah 25≥x panas R3

n jika pada daerah 25<x nilainya tertentu atau dengan kata lain panas

jenisnya buka . Demikian juga dengan panas nis kristal satu dimensi, dua

dimensi dan tiga dimensi, yang masing-masing memiliki batas daerah dimana

nilai integrasinya ulai konstan.

Jika ketiga grafik pada Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3 digabungkan, maka

diperoleh gambar grafik seperti te

n R3 je

m

rlihat pada Gambar 4.4.

31


Gambar 4.4 Gabungan grafik satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40x

I

I (satu dimensi)I (dua dimensi)I (tiga dimensi)

Seperti yang telah diketahui bahwa pada panas jenis satu dimensi , dua

dimensi dan tiga dimensi . Dari Gambar 4.4 diatas perbandingan

(batas mulainya nilai I yang konstan) antara panas jenis satu dimensi, dua dimensi

dan tiga dimensi adalah 19 : 22 : 25. Jadi nilai semakin besar jika dimensi

kristal yang ditinjau semakin besar.

19≥x

22≥x 25≥x kx

kx

32


BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian

ini dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut

1. Pada panas jenis zat padat satu dimensi nilai I tetap ( konstan )

pada daerah , dua dimensi pada daerah dan tiga

dimensi pada daerah .

19≥x 22≥x

25≥x

2. Nilai I tetap ( konstan ) jika kD x

T≥

θ ( adalah batas mulainya

nilai I yang konstan ). Sedangkan untuk

kx

kD x

T<

θ nilai I

bergantung pada x.

3. Untuk suhu yang sangat rendah khususnya pada daerah ,

, dan

19<x

22<x 25<x nilai I sangat bergantung suhu (T), pengaruh

suhu terhadap panas jenis zat padat satu dimensi , dua

dimensi , dan tiga dimensi menyebabkan

besarnya panas jenis satu dimensi , dua dimensi

, dan tiga dimensi

TcL ~

2~TcA3~Tcv

( )TITcL ~

( )TITcA2~ ( )TITcv

3~ .

33


5.2. Saran

Saran yang dapat diberikan untuk penyempurnaan dan pengembangan

tulisan ini adalah

1. Perlu dilakukan penelitian lanjutan tentang perbandingan hasil integrasi

numerik menggunakan paket program Mathematica 5.0 dengan paket

program lainnya.

2. Untuk suhu yang sangat rendah khususnya pada daerah , ,

dan

19<x 22<x

25<x nilai I sangat bergantung suhu (T), oleh karena itu nilai I

haruslah diperhitungkan karena akan mempengaruhi besarnya panas jenis

zat padat satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi.

34


DAFTAR PUSTAKA

Alonso, M., dan Finn, E.J., 1986, Quantum and Statistical Physics, United States

of America: Addison-Wesley Publishing Company.

Bradbury, T. C., 1984, Mathematical Methods with Applications to Problem in

the Physical Sciences, Canada: Addison–Wesley Publishing

Company.

Mandl, F., 1988, Statistical Physics, Manchester : John Wiley & Sons.

Martin, M. C., 1986, Elements of Thermodynamics, New Jersey : Prentice – Hall.

Nainggolan, W.S., 1978, Thermodinamika, Bandung: Penerbit Armico.

Omar, M. A., 1975, Elementary Solid State Physics, Massachussets : Addison–

Wesley Publishing Company.

Sears, F. W., dan Salinger, G. L., 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and

Statistical Thermodynamics, Massachusetts : Addison-Wesley

Publishing Company.

Suwitra, N., 1989, Pengantar Fisika Zat Padat, Jakarta : Depertemen Pendidikan

dan Kebudayaan.

Zeemansky, M. W., dan Dittman, R. H., 1981, Heat and Thermodynamics, New

York : McGraw-Hill Book Company.

Wolfram, S., 2007, Mathematica6.0, http://reference.wolfram.com/mathematica/

tutorial/NumericalIntegration.html.

35


LAMPIRAN A

Tabel hasil integrasi numerik dxe

exI

Dx

x

x

∫ −=

02

2

)1( untuk kristal satu dimensi

xD I

0 0

1 0.973033

2 1.80172

3 2.41105

4 2.80667

5 3.03917

6 3.16567

7 3.23055

8 3.26235

9 3.2774

10 3.28433

11 3.28745

12 3.28882

13 3.28942

14 3.28968

15 3.28979

16 3.28984

17 3.28985

18 3.28986

19 3.28987

20 3.28987

21 3.28987

22 3.28987

23 3.28987

24 3.28987

25 3.28987

26 3.28987

27 3.28987

28 3.28987

29 3.28987

30 3.28987


LAMPIRAN B


exI

Dx

x

x

∫ −=

02

3

)1( untuk kristal dua dimensi

xD I

0 0

1 0.479841

2 1.70635

3 3.2106

4 4.57922

5 5.61439

6 6.3034

7 6.72139

8 6.95799

9 7.08497

10 7.15032

11 7.18285

12 7.19859

13 7.20604

14 7.2095

15 7.21107

16 7.21178

17 7.2121

18 7.21224

19 7.2123

20 7.21232

21 7.21233

22 7.21234

23 7.21234

24 7.21234

25 7.21234

26 7.21234

27 7.21234

28 7.21234

29 7.21234

30 7.21234


LAMPIRAN C


exI

Dx

x

x

∫ −=

02

4

)1( untuk kristal tiga dimensi

xD I

0 0

1 0.317244

2 2.20109

3 5.96482

4 10.7319

5 15.3598

6 19.123

7 21.8212

8 23.584

9 24.6565

10 25.2737

11 25.6132

12 25.7933

13 25.886

14 25.9324

15 25.9552

16 25.9661

17 25.9713

18 25.9737

19 25.9748

20 25.9754

21 25.9756

22 25.9757

23 25.9757

24 25.9757

25 25.9858

26 25.9858

27 25.9858

28 25.9858

29 25.9858

30 25.9858


BIOGRAFI

Nama lengkap penulis Margareta Inke Mayasari, lahir di

Margodadi, 9 mei 1985, merupakan anak kedua dari pasangan

Bapak Hadi Suprapto dan Ibu Maria Sumiyati. Pada waktu SD

(tahun 1990) bersekolah di SDN I Margodadi, SMP (1996)

bersekolah di SMP Xaverius Pringsewu, SMU (tahun 1999)

bersekolah di SMU Xaverius Pringsewu, kemudian pada tahun

2002 melanjutkan jenjang pendidikannya di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Fisika.


Documents

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI … · Panas Jenis Zat Padat 2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik 2.3. Panas Jenis Me nurut Teori Einstein