planarity of joined graphs

ความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม Planarity of joined graphs

นายวิกรานต ศรีสัจจะกุล นางสาวสุวิต ี ใจซื่อ

โครงงานนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต

สาขาวิชาคณิตศาสตรประยุกต ภาควิชาคณติศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ

ปการศึกษา 2554

ชื่อโครงงาน : ความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม

โดย : นายวิกรานต ศรีสัจจะกุล นางสาวสุวิตี ใจซื่อ สาขาวิชา : คณิตศาสตรประยุกต

ภาควิชา : คณิตศาสตร

คณะ : วิทยาศาสตรประยุกต

อาจารยท่ีปรึกษา : ดร.ศุภวัชร อัศวสัมฤทธิ์

ปการศึกษา : 2554 คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ อนุมัติใหโครงงาน เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิตสาขา คณิตศาสตรประยุกต

………………………………………..……อาจารยที่ปรึกษา ( ดร.ศุภวัชร อัศวสัมฤทธิ์ )

……………………………………………...กรรมการ ( อาจารยอนุชติ จิตพัฒนกุล )

………………………………………..…….กรรมการ ( ผูชวยศาสตราจารย ดร.เจษฎา ธารีบุญ )

ลิขสิทธิ์ของภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ

ปการศึกษา 2554

ก

บทคัดยอ

โครงงานนี้มีวัตถุประสงคเพื่อศึกษาความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม( Planarity of

joined graphs) ซึ่งประกอบดวยทฤษฎีบทของกราฟเบื้องตน นิยามของกราฟรวมและกราฟเชิงระนาบ โดยกราฟที่จะศึกษานี้จะเปนกราฟอยางงายรวมถึงกราฟทริเวียลดวย และกราฟที่ จะ ศึกษาจะตองเปนกราฟที่เซตของจุดไมเปนเซตวาง

ผลที่ไดจากโครงงานนี้จะไดรับความรูความเขาใจเกี่ยวกับเรื่องความเปนเชิงระนาบของ กราฟรวม และเปนพื้นฐานในการวิจัยในระดับที่สูงขึ้นตอไปอีก

ข

ABSTRACT

In this special project, the objective was to study the Planarity of joined

graphs. Which consists of the basic graphs theory definition of the joined graphs and

definition of the planar graphs. Graphs must be simple graphs which can be trivial

graphs but not empty graphs. Resulting from this project will have a better

understand about the planarity joined of graphs and basic research in the next higher

level.

ค

กิตติกรรมประกาศ

โครงงานเรื่อง ความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม สําเร็จลุลวงดวยดี ก็ดวยความอนุเคราะหชวยเหลือจากหลายฝาย ขอขอบพระคุณ ดร.ศุภวัชร อัศวสัมฤทธิ์ ซึ่งเปนอาจารยที่ปรึกษาในการทําโครงงานฉบับนี้และไดชวยเหลือแนะแนวทางในการทําโครงงานครั้งนี้ต้ังแตตน จนไดแนวคิดที่ชัดเจนและใหคําแนะนําพรอมทั้งแกไขขอบกพรองดวยดีตลอดมา ขอกราบขอบพระคุณ คณาจารยประจําภาควิชาคณิตศาสตรทุกทานที่ไดประสาทวิชาความรูตาง ๆ ใหแกคณะผูจัดทําไดมีความรูเพียงพอจนสามารถทําโครงงานนี้สําเร็จ

สุดทายนี้ขอขอบพระคุณ เจาหนาที่ภาควิชาคณิตศาสตร พี่บัณฑิตและเพื่อน ๆ ทุกคนรวมทั้งผูที่เกี่ยวของที่ไดใหความชวยเหลือในดานตาง ๆ พรอมเปนแรงใจ สนับสนุนใหแกคณะผูจัดทําไดจัดทําโครงงานนี้จนสําเร็จลุลวงไปดวยดี

นายวิกรานต ศรีสัจจะกุล

นางสาวสุวิตี ใจซื่อ

สารบัญ หนา

บทคัดยอภาษาไทย ก

บทคัดยอภาษาอังกฤษ ข

กิตติกรรมประกาศ ค

บทที่ 1 บทนํา 1.1 ความเปนมาและความสําคัญของปญหา 1

1.2 คําสําคัญ 1

1.3 วัตถุประสงคของโครงงาน 1

1.4 ขอบเขตของการดําเนินงาน 1

1.5 วิธีการดําเนินงาน 1 1.6 ประโยชนที่คาดวาจะไดรับ 2

บทที่ 2 บทนิยาม ทฤษฎี และเอกสารที่เกี่ยวของ 2.1 ทฤษฎีกราฟเบื้องตน 3

2.2 กราฟเดียวกันและกราฟถอดแบบกัน 7

2.3 ดีกรีของจุดยอด 8

2.4 แนวเดินและกราฟเชื่อมโยง 12

2.5 กราฟถวงน้ําหนัก 13

2.6 กราฟออยเลอร 15

2.7 ตนไม 18 2.8 ขั้นตอนวิธีของครูสกาวล 22

2.9 ขั้นตอนวิธีของพริม 24

2.10 กราฟสมบูรณหรือกราฟบริบรูณ 28

2.11 กราฟคูหรอืกราฟไบพารไทต 29

2.12 กราฟทริเวียล 29

บทที่ 3 วิธีการดําเนินงาน

3.1 กราฟรวม 30 3.2 ความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม 34

บทที่ 4 สรุปผลและขอเสนอแนะ 39

บรรณานุกรม 40

สารบัญภาพ

ภาพที่ หนา

2.1 : แสดงกราฟของตัวอยางที่ 2.1.1 3

2.2 : แสดงการเปนกราฟเดียวกัน 4

2.3 : แสดงกราฟที่มีเสนเชื่อมตัดกัน 5

2.4 : แสดงการเขียนกราฟใหมโดยไมมีเสนเชื่อมตัดกัน 5

2.5 : แสดงกราฟที่มีเสนเชื่อมระหวางจุดยอดคูเดียวกัน 6

2.6 : แสดงกราฟโจทยของตัวอยาง 2.1.3 7





2.11 : แสดงแนวเดินและกราฟเชื่อมโยง 12



2.14 : แสดงภาพปญหาสะพานเคอนิกสเบิรก 15

2.15 : แสดงภาพการแปลงปญหาสะพานเคอนิกสเบิรกใหอยูในรปูกราฟ 16

2.16 : แสดงแบบจําลองของกราฟของปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก 16






2.22 : แสดงกราฟขั้นตอนที่ 1 ของตัวอยาง 2.9.1 25




2.26 : แสดงกราฟขั้นตอนที่ 5 ของตัวอยาง 2.9.1 27 2.27 : แสดงกราฟขั้นตอนที่ 6 ของตัวอยาง 2.9.1 27

สารบัญภาพ (ตอ)

ภาพที่ หนา



2.30 : แสดงกราฟสมบูรณที่มีอันดับต้ังแต 1 ถึง 5 28

2.31 : แสดงกราฟคูปกติดีกรี 2 และกราฟคูสมบูรณ K3,3 29


3.2 : แสดงการแกปญหาของกราฟตัวอยาง 3.2.1 (ซึ่งไมสามารถแกได) 35

3.3 : แสดงกราฟคูสมบูรณ ของการแกปญหาตัวอยาง 3.2.1 36 3.4 : แสดงกราฟโจทยของตัวอยาง 3.2.2 36

3.5 : แสดงการแกปญหาของกราฟตัวอยาง 3.2.2 (ซึ่งสามารถแกได) 36


3.7 : แสดงการแกปญหาของกราฟตัวอยาง 3.2.3 (ซึ่งสามารถแกได) 37

3.8 : แสดงกราฟ 38

3.9 : แสดงกราฟรวม 38

K3,3

K3,3

1

บทที่ 1 บทนํา

ในบทน้ีจะกลาวถึงเน้ือหาโดยรวมของโครงงานที่ไดศึกษามา ซ่ึงประกอบดวยความเปนมาและปญหา คําสําคัญ วัตถุประสงค ขอบเขต วธิกีารดําเนินงาน และประโยชนที่ไดรับของโครงงานฉบับน้ี

1.1 ความเปนมาและปญหาในการทําโครงงาน

ในปจจุบัน ทฤษฎีกราฟมีบทบาทสําคัญในศาสตรสาขาตางๆมากมาย มีการนําทฤษฎีกราฟมาประยุกตใชในศาสตรหลายแขนงและสามารถนําทฤษฎีกราฟมาชวยแกปญหาในดานตาง ๆ ได ซ่ึงคณะผูดําเนินงานมีความสนใจที่จะนําทฤษฎีกราฟมาประยุกตใชในการศึกษาความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม ซ่ึงการศึกษาในทฤษฎีน้ี จะชวยทําใหเราเขาใจเน้ือหาความเปนมาอยางลึกซ้ึง และเปนพ้ืนฐานในการวิจัยขั้นสูงดวยเหตุน้ีคณะผูดําเนินงานมีความสนใจศึกษาความเปนเชิงระนาบของกราฟรวมในเชิงทฤษฎี เพ่ือนําไปประยุกตใชตอไป

1.2 คําสําคัญ

Joined graphs, Planarity of graphs

1.3 วัตถุประสงคของโครงงาน

1. เพ่ือศึกษานิยามและคุณสมบัติของกราฟรวม

2. เพ่ือศึกษานิยามและคุณสมบัติของกราฟเชิงระนาบ 3. เพ่ือศึกษาความสัมพันธของกราฟรวมและกราฟเชิงระนาบ 1.4 ขอบเขตของการดําเนนิงาน

ตองการศึกษาเกี่ยวกับกราฟอยางงาย (Simple graph) และกราฟทริเวียล (Trivial graph) เทาน้ัน

1.5 วิธีดําเนินงาน

1. ศึกษา นิยาม คุณสมบัติเบื้องตนและทฤษฎีบทของกราฟ

2. ศึกษานิยามและคุณสมบัติของกราฟรวม

3. ศึกษานิยามและคุณสมบัติของกราฟเชิงระนาบ

4. ศึกษาความสัมพันธของกราฟรวม (joined graphs) และกราฟเชิงระนาบ (planar

graphs)

5. พิสูจนความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม (planarity of joined graphs)

2

1.6 ประโยชนที่คาดวาจะไดรับ

ไดรับความรูความเขาใจเกี่ยวกับนิยามและคุณสมบัติของกราฟรวมและกราฟเชิงระนาบ และรูความสัมพันธของกราฟรวม และกราฟเชิงระนาบเพ่ือเปนพ้ืนฐานในการวิจัยในระดับที่สูงขึ้นและการประยุกตที่เกี่ยวของตอไป

3

บทที่ 2 นิยามและทฤษฎีที่เก่ียวของ

2.1 ทฤษฎีกราฟเบื้องตน

ในคณิตศาสตร นิยาม “กราฟ” ดังน้ี

บทนิยาม 2.1.1 กราฟ G ประกอบดวย เซตจํากัด 2 เซต คือ 1. เซตที่ไมเปนเซตวางของจุดยอด (Vertex) แทนดวยสัญลักษณ V(G)

2. เซตของเสนเชื่อม (Edge) ที่เชื่อมระหวางจุดยอด แทนดวยสัญลักษณ E(G)

ขอสังเกต V(G) ≠ φ แต E(G) อาจเปนเซตวางได

ตัวอยางท่ี 2.1.1 กําหนดกราฟ G ดังรูป

แสดงกราฟของตัวอยางที่ 2.1.1

จากกราฟ G ที่กําหนดให จะไดวา V(G) = {A, B, C, D}

E(G) = {e1, e2, e3, e4}

e3

C e4 D

e2 e1

A

B

ภาพที่ 2.1

4

ตัวอยางท่ี 2.1.2 จากกราฟของตัวอยางที ่2.1.1 จะเห็นวา จุดยอด A และจุดยอด B เปนจุดยอดประชิด

จุดยอด A และจุดยอด C เปนจุดยอดประชิด

จุดยอด B และจุดยอด C เปนจุดยอดประชิด จุดยอด C และจุดยอด D เปนจุดยอดประชิด

แต จุดยอด A และจุดยอด D ไมเปนจุดยอดประชิด

หมายเหต ุ

1. ในการเขียนแผนภาพของกราฟนั้น จะกําหนดตําแหนงของจุดยอด ณ ตําแหนงใดก็ได และจะลากเสนเชื่อมของกราฟเปนเสนตรงหรือเสนโคงมีความยาวเปนเทาใดก็ได โดยที่เสนท่ีลากจะไมตัดกับตัวมันเอง และไมลากผานจุดยอดที่ไมใชจุดยอดของเสนน้ัน เชน กราฟตอไปน้ี ถือวาเปนกราฟเดียวกัน

แสดงการเปนกราฟเดียวกัน

บทนิยาม 2.1.2 จุดยอด u และจุดยอด v ของกราฟ เปนจุดยอดประชิด (Adjacent Vertices)

ก็ตอเมื่อ มี เสนเชื่อมระหวางจุดทั้งสอง และเราเรียกจุดยอด u และ v วา จุดปลาย

(End Point) ของเสนเชื่อมน้ัน

เสนเชื่อม e ของกราฟ เกิดกับ (Incident) จุดยอด v ถาจุดยอด v เปนจุดปลายจุด หน่ึงของเสนเชื่อม จุดยอด B และจุดยอด D ไมเปนจุดยอดประชิด

B

A

C

D e2

e3

e4

e5

e1

D

B C

A

e5

e3 e4

e2 e1

ภาพที ่2.2

5

2. เสนเชื่อมสองเสนของกราฟ อาจลากตัดกันก็ได โดยที่จุดตัดของเสนทั้งสองไมถือวาเปน

จุดยอดของกราฟ เชน กราฟ สามารถเขียนใหมโดยไมมีเสนเชื่อมตัดกันไดดังน้ี

กําหนดกราฟ ดังรูป

แสดงกราฟที่มีเสนเชื่อมตัดกัน

สามารถเขียนใหมโดยไมมีเสนเชื่อมตัดกันไดดังน้ี

แสดงการเขียนกราฟใหมโดยไมมีเสนเชื่อมตัดกัน

C B

A D

A

B C

D



6

กําหนดกราฟ ดังรูป

แสดงกราฟที่มีเสนเชื่อมระหวางจุดยอดคูเดียวกัน

จากกราฟจะเห็นวา e1 และ e2

เปนเสนเชื่อมระหวางจุดยอดคูเดียวกัน คือ จุดยอด a และ จุดยอด c

เสนเชื่อม e5 เปนเสนเชื่อมที่เชื่อมจุดยอด b เพียงจุดเดียว

จากรูปขางตนจะเห็นวา e1 และ e2

เปนเสนเชื่อมขนาน เสนเชื่อม e5

เปนวงวน

ในกรณีที่กราฟไมมีเสนเชื่อมขนาน สามารถใชสัญลักษณ AB เพ่ือแทนเสนเชื่อมระหวางจุดยอด A และ B ได เชน กราฟในตัวอยางท่ี 2.1.1 สามารถเขียนเซตของเสนเชื่อม E(G) ไดใหมเปน E(G) = {AB,

BC, AC, CD}

บทนิยาม 2.1.4 เราเรียกกราฟที่ไมมีเสนเชื่อมขนาน และไมมีวงวน วา กราฟอยางงาย

(Simple Graph)

บทนิยาม 2.1.3 เสนเชื่อมตั้งแต 2 เสนท่ีเชื่อมระหวางจุดยอดคูเดียวกัน

เรียกวา เสนเชื่อมขนาน (Parallel Edges) เสนเชื่อมที่เชื่อมจุดยอดเพียงจุดเดียว เรียกวา วงวน (Loop)

a b

c d

e3

e5

e4

e2 e1


7

ตัวอยางท่ี 2.1.3 พิจารณากราฟ

แสดงกราฟโจทยของตัวอยาง 2.1.3

จะเห็นวา กราฟ G1 เปนกราฟที่มีวงวน กราฟ G2

เปนกราฟที่มีเสนเชื่อมขนาน และกราฟ G3

เปนกราฟที่มีวงวนและเสนเชื่อมขนาน ดังน้ันกราฟ G1 G2

และ G3

ไมเปนกราฟเชิงเดียว

2.2 กราฟเดียวกันและกราฟถอดแบบกัน (Identical graph and Isomorphic graph)

เราไดทราบแลววาในการเขียนกราฟ G จะกําหนดตําแหนงของจุดยอด ณ ตําแหนงใดก็ได จึงทําใหกราฟเดียวกันน้ันมีรูปที่แตกตางกันได

บทนิยาม 2.2.1 เรากลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟเดียวกัน(Identical) ก็ ตอเมื่อ V(G) = V(H) และ E(G) = E(H)

ตัวอยางท่ี 2.2.1 พิจารณากราฟ G และกราฟ H ดังรูป


G1 G2 G3

A

B

D

C C B

A D



8

จะเห็นวา V(G) = {A, B, C, D} = V(H)

E(G) = {AC, BC, BD} = E(H)

ดังน้ัน เราจะกลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟเดียวกัน

บทนิยาม 2.2.2 เรากลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟถอดแบบกัน (Isomorphic)

ก็ตอเมื่อ มีฟงกชัน φ ซ่ึงเปนฟงกชันหน่ึงตอหน่ึงจาก V(G) ไปทั่วถึง V(H)

โดยที ่uv ∈ E(G) ก็ตอเมื่อ φ(u) φ(v) E(H) สําหรับทุกๆ จุดยอด u

และจุดยอด v ใน G

2.3 ดีกรีของจุดยอด

ดีกรี ของจุดยอดในกราฟ คือจํานวนของเสนเชื่อมที่ติดกับจุดยอดนั้น

ตัวอยางท่ี 2.3.1 พิจารณากราฟตอไปน้ี


a

b

c

d


9

จุดยอด จํานวนคร้ังทั้งหมดที่เสนเชื่อมตกกระทบกับจุดยอด

a 2

b 4

c 4

d 2

จะเห็นวา เสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a ไดแก เสนเชื่อม ab และ ac ดังน้ัน จํานวนครั้งทั้งหมดที่เสนเชื่อมเกิดกับจุดยอด a คือ 2 สําหรับจุดยอด b มีเสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด b ไดแก เสนเชื่อม

ba, bc และ bb เปนวงวน เกิดกับจุดยอด b กรณีท่ีมีเสนเชื่อมเปนวงวนจะกําหนดใหนับจํานวนเสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดนั้นเพ่ิมขึ้น โดยใหนับเสนเชื่อมที่เปนวงวน 1 วง วงวนเปน 2 ดังน้ันจํานวนครั้งทั้งหมดที่เสนเชื่อมเกิดกับจุดยอด b จึงเปน 4

บทนิยาม 2.3.2 ดีกรี (degree) ของจุดยอด V ในกราฟ คือ จํานวนครั้งทั้งหมดท่ีเสนเชื่อมเกิดกับจุด ยอด V ใชสัญลักษณ deg v แทนดีกรีของจุดยอด v

ตอไปจะเรียกจํานวนคร้ังทั้งหมดที่เสนเชื่อมเกิดกับจุดยอดวา ดีกรี ใชสัญลักษณ deg v แทนดีกรีของจุดยอด v

ตัวอยางท่ี 2.3.2 กําหนดกราฟ ดังรูป


a

c d

b


10

จากรูปจะไดวา deg a = 2

deg b = 1

deg c = 3

deg d = 4

ความสัมพันธระหวางผลรวมของดีกรีของจดุยอดทุกจุดในกราฟกับจํานวนเสนเชื่อมของกราฟเปนไปตามทฤษฎีบทตอไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.3.3

ถา G เปนกราฟรูปหน่ึงที่มีจุดยอด v1 ,v2 ,…,vn จะไดวา ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุด d(v1) + d(v2) + … + d(vn) จะเปนเลขคู

พิสูจน เน่ืองจากแตละดานใหคา 1 กบัดีกรีของแตจุดยอดที่ดานตกกระทบ ถาเรามีดาน N ดานใน G

เราจะไดวา 2N = d(v1) + d(v2) + … + d(vn)

น่ันคือ ผลบวกของดีกรีของจดุยอดทุกจุดในกราฟใด ๆ ตองเปนเลขคู และจะเปนสองเทาของจํานวนดานในกราฟดวย

ขอสังเกต ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเปนจํานวนคูเสมอ

ตัวอยางท่ี 2.3.3 จงหาจํานวนเสนเชื่อมของกราฟที่มีผลรวมของดีกรีของจดุยอดทุกจุดในกราฟเทากับ 22

วิธีทํา กําหนดใหกราฟมีเสนเชื่อม n เสน

จากทฤษฎีบท 2.3.3 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุดจุดในกราฟเทากับสองเทาของจํานวน

เสนเชื่อมในกราฟ

ดังน้ัน 22 = 2n

น่ันคือ n = 11

สรุปไดวา กราฟมีเสนเชื่อม 11 เสน

บทนิยาม 2.3.4

จุดยอดที่มีดีกรีเปนจํานวนคู เรียกวา จุดยอดคู (Even Vertex)

จุดยอดที่มีดีกรีเปนจํานวนคี่ เรียกวา จุดยอดคี ่(Odd Vertex)

11

ตัวอยางท่ี 2.3.4 กําหนดกราฟ ดังรูป


จากรูปจะไดวา deg a = 2

deg b = 3

deg c = 0

deg d = 3

deg e = 2

ดังน้ัน จุดยอด a, c และ e เปนจุดยอดคู จุดยอด b และ d เปนจุดยอดคี ่

ทฤษฎีบท 2.3.5 ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เปนจํานวนคู

พิสูจน ให G เปนกราฟ

ถา G ไมมีจุดยอดคี ่น่ันคือ G มีจํานวนจุดยอดคี่เปนศูนย จึงไดวา G มีจํานวนจุดยอดคี่เปนจํานวนคู ตอไปสมมติวา กราฟ G มีจุดยอดคี ่k จุด คือ v1, v2, v3, …, vk

และมีจุดยอดคู n จุด คือ u1, u2, u3, …, un

จากทฤษฎีบท 2.3.3 จะไดวา (deg v1

+ deg v2

+ … + deg v3) + (deg u1

+ deg u2

+ … + deg un) = 2q

เมื่อ q คือ จํานวนเสนเชื่อมของ G

a

b

c

e d


12

ดังน้ัน deg v1 + deg v2

+ … + deg vk= 2q - (deg u1

+ deg u2+ … + deg un)

เน่ืองจาก deg u1 + deg u2

+ … + deg un

ตางก็เปนจํานวนคู

ดังน้ัน 2q - (deg u1 + deg u2

+ … + deg un) เปนจํานวนคู

น่ันคือ deg v1 + deg v2

+ … + deg vk

เปนจํานวนคู

แตเน่ืองจาก deg v1 + deg v2

+ … + deg vk

เปนจํานวนคี ่

เพราะฉะนั้น k จะตองเปนจํานวนคู จึงจะทําให deg v1

+ deg v2

+ … + deg vkเปนจํานวนคู

สรุปไดวา กราฟ G มีจุดยอดคี่เปนจํานวนคู

จากตัวอยางที่ 2.3.4 เราใหเหตุผลโดยอาศัยทฤษฎีบท 2.3.5 ดังน้ี

สมมติวา มีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอด คอื 1, 1, 2 และ 3

จะไดวา กราฟมีจุดยอดคี่เปนจํานวน 3 จุด ซ่ึงขัดแยงกับทฤษฎีบท 2.3.5

สรุปไดวา ไมมีกราฟที่มีสมบัติดังกลาว

2.4 แนวเดินและกราฟเชื่อมโยง สมมติวา แผนผังของเมืองหน่ึงแทนดวยกราฟดังรูป โดยใหจุดยอดแทนอําเภอ และเสนเชื่อมแทนถนนที่เชื่อมระหวางอําเภอสองอําเภอ

แสดงแนวเดินและกราฟเชื่อมโยง

ในการเดินทางจากอําเภอ A ไปยังอําเภอ D มีเสนทางการเดินทางหลายเสนทาง เสนทางตางๆ จะแทนดัวยลําดับของจุดยอดและเสนเชื่อม ดังน้ี

เสนทาง A, e1, E, e5, D

A

B

C D

E

F

e4

e5

e3

e7

e2

e1

e8

e6


13

บทนิยาม 2.4.1 ให u และ v เปนจุดยอดของกราฟ

แนวเดิน u - v (u - v walk) คือ ลําดับจํากัดของจุดยอดและเสนเชื่อมสลับกัน

u = u0, e1, u1, e2, u2, …, un-1, en, un = v

โดยเริ่มตนท่ีจุดยอด u และส้ินสุดที่จุดยอด v และแตละเสนเชื่อม ei จะเกิดกับ

จุดยอด ui-1 และ ui เมื่อ i ∈ {1, 2, …, n}

บทนิยาม 2.4.2 รอยเดิน (trail) คือ แนวเดินในกราฟที่เสนเชื่อมทั้งหมดแตกตางกัน ทางเดิน

(Path) คือ แนวเดินในกราฟที่จุดยอดทั้งหมดแตกตางกัน วงจร(Circuit) คือ แนว เดินที่เสน เชื่อมท้ังหมดแตกตางกัน โดยมีจุดเริ่มตนและจุดสุดทายเปนจุดยอด เดียวกัน วัฏจักร (Cycle)คือวงจรท่ีไมมีจุดยอดซ้ํากัน ยกเวนจุดเร่ิมตนและจุด สุดทาย

บทนิยาม 2.4.3 กราฟ G เปนกราฟเชื่อมโยง (connected graph) ถาจุดยอด 2 จุดใดๆ ใน G เชื่อมไดดวยวิถี

2.5 กราฟถวงน้ําหนัก (weight)

บทนิยาม 2.5.1 คานํ้าหนัก(weight) ของเสนเชื่อม e ในกราฟ คือ จํานวนที่ไมเปนลบที่กําหนดไว บน เสนเชื่อม e

กราฟถวงนํ้าหนัก(weighted graph) คือ กราฟที่เสนเชื่อมทุกเสนมีคานํ้าหนัก

ตัวอยาง 2.5.1 กราฟตอไปนี้เปนถวงนํ้าหนัก


5 1

2 4

3 2


14

ตัวอยาง 2.5.2 กราฟตอไปน้ีเปนกราฟถวงนํ้าหนัก ซ่ึงจําลองจากแผนที่เมืองในประเทศ ประเทศหนึ่ง โดยใหจุดยอดแทนเมือง เสนเชื่อมแทนถนน และคานํ้าหนักเสนเชื่อมแทนระยะทาง ระหวางเมืองสองเมือง


จะหาวิถีจากเมือง A ไปยังเมือง E ทั้งหมดที่ไมผานเมืองซํ้ากัน

เสนทางที่ 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 = 4 กิโลเมตร เสนทางที่ 2 A, B, D, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 2 + 2 = 7 กิโลเมตร เสนทางที่ 3 A, B, D, C, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 + 6 + 2 = 14 กิโลเมตร เสนทางที่ 4 A, C, F, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 = 13 กิโลเมตร เสนทางที่ 5 A, C, F, D, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 + 3 = 16 กิโลเมตร เสนทางที่ 6 A, C, D, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 3 = 11 กิโลเมตร เสนทางที่ 7 A, C, D, F, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 2 + 2 = 12 กิโลเมตร

จะเห็นวาเสนทางที่ 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 4 กิโลเมตรเปนระยะทางที่ส้ันที่สุด

A

B

C

E

F

D 1

2

2

2

3

3

5 6


15

บทนิยาม 2.5.2 วิถีที่ส้ันที่สุด จากจุด A ถึงจุดยอด Z ในกราฟถวงนํ้าหนัก คือวิถี A - Z ที่ผลรวม ของคานํ้าหนัก ของเสนเชื่อมทุกเสนในวิถ ีA-Z นอยที่สุด

ฉะน้ันในตัวอยางขางตน จะเห็นวา วิถ ีA, B, D, E เปนวิถีที่ส้ันที่สุด

2.6 กราฟออยเลอร ปญหาสะพานเคอนิกสเบิรก มีอยูวา ณ เมืองเคอนิกสเบิรกมีเกาะกลางแมนํ้าพรีเกล (Pregel) ในปรัสเซีย (ปจจุบันคือ Kaliningrad ในรัสเซีย)จํานวน 2 เกาะ และมีสะพานที่เชื่อมระหวางเกาะและเมืองดังรูปตอไปน้ี ชาวเมืองเคอนิกสเบิรกพยายามหาวิธีเดินขามสะพานใหครบทุกสะพาน โดยที่ขามสะพานแตละสะพานเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่จุดยอดเริ่มตน เลออนฮารด ออยเลอรไดแปลงปญหาน้ีใหอยูในรูปกราฟ โดยใหอาณาบริเวณ A, B, C, D แทนดวยจุดยอดของกราฟ และสะพานแตละพานแทนดวยเสนเชื่อมของกราฟ

แสดงภาพปญหาสะพานเคอนิกสเบิรก

ชาวเมืองเคอนิกสเบิรกพยายามหาวิธีเดินขามสะพานใหครบทุกสะพาน โดยที่ขามสะพานแตละสะพานเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่จุดยอดเริ่มตน เลออนฮารด ออยเลอรไดแปลงปญหาน้ีใหอยูในรูปกราฟ โดยใหอาณาบริเวณ A, B, C, D แทนดวยจุดยอดของกราฟ และสะพานแตละพานแทนดวยเสนเชื่อมของกราฟ


16

แสดงภาพการแปลงปญหาสะพานเคอนิกสเบิรกใหอยูในรูปกราฟ

ปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก เมื่อจําลองอยูในรูปกราฟจะได

แสดงแบบจําลองของกราฟของปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก

จากกราฟ สามารถแปลงไดเปนปญหาการลากผานเสนเชื่อมของกราฟดังรูปขางตนจนครบทุกเสนโดยไมตองยกปากกาและผานเสนแตละเสนเพียงครั้งเดียว โดยที่จุดเร่ิมตนและจุดส้ินสุดเปนจุดเดียวกัน



17

บทนิยาม 2.6.1

วงจรออยเลอร (Euler trail) คือ รอยเดินซ่ึงผานจุดยอดทุกจุดและเสนเชื่อมทุกเสนของกราฟ

ทฤษฎีบทตอไปน้ี ใหเงื่อนไขวา กราฟที่กําหนดใหเปนกราฟออยเลอรเมื่อไร

ทฤษฎีบท 2.6.2 ให G เปนกราฟเชื่อมโยง จะไดวา G เปนกราฟออยเลอร ก็ตอเมื่อ จุดยอดทุกจุดของ G มีดีกรีเปนจํานวนคู กราฟท่ีมีวงจรออยเลอร เรียกวา กราฟออยเลอร (Eulerian graph)

ตัวอยาง 2.6.1 จงหาวงจรออยเลอรจากกราฟตอไปน้ี


วิธีทํา เร่ิมจากเลือกจุดยอดใด ๆ ก็ไดมา 1 จุด แลวเดินไปท่ัวกราฟโดยไมใชดานซํ้า เมื่อเขาถึงจุดยอดหน่ึง ๆ เราเลือกดานใดก็ไดเพ่ือออกไป เราสามารถเดินออกจากจุดยอดไดเสมอหลังจากเขาถึงมัน เพราะกราฟนี้ทุกจุดยอดมีดีกรีเปนเลขคู เชน เราอาจเริ่มจาก v6 และไปตามทางเดิน (v6 ,v4 ,v7 ,v5 ,v1 ,v3 ,v6 ) จากทางเดินน้ีเราจะเห็นวาเราเดินทางโดยไมซํ้าเสนทางเดิมจากจุดเร่ิมตนและกลับมาที่เดิม แตวามันยังไมทั่วกราฟ ดังน้ัน เราจะลบดานและจุดท่ีผานมาแลว(ที่สามารถลบทิ้งได) จะไดกราฟดังภาพที่ 2.17

เน่ืองจากเราทิ้งดานไปเปนจํานวนคูจากแตละจุดยอด และดีกรีของทุกจุดยอดในกราฟเริ่มตนเปนเลขคู เราจะทําซํ้าวิธีการเดิมโดยใช subgraph ที่เหลืออยู ถาเราใช v3 และไปตามทางเดินที่เหลืออยูเราจะได (v3 ,v4 ,v1 ,v2 ,v5 ,v4 ,v2 ,v3) และเห็นวาเราไดเดินผานทุกดานของกราฟ (ถายังไมครบก็ใหทําซํ้าอีกครั้งจนครบ) จะเห็นวาทางเดิน คร้ังแรก และคร้ังที่ 2 จะมีจุด


•

•

••

• •

•

v1

v2

v3 v4 v5

v6 v7

•

•

• ••

v1

v2

v3 v4v5

18

ยอดรวมกันเพราะเกิดจากกราฟเดียวกันและเปนกราฟที่ติดตอกัน ดังน้ันถาเราเริ่มจาก ทางเดิน 1 และเมื่อถึงทางแยกเราเดินในรูปแบบของทางเดินที่ 2 เราจะไดวงจรออยเลอรดังน้ีคือ

(v6 ,v4 ,v7 ,v5 ,v1 ,v3 ,v4 ,v1 ,v2 ,v5 ,v4 ,v2 ,v3 ,v6 )

บทนิยาม 2.6.3 รอยเดินออยเลอร (Euler circuit) คือ วงจรที่ผานจุดยอดทุกจุดและเสนเชื่อมทุก เสนของกราฟ

ทฤษฎีบทตอไปน้ี ใหเงื่อนไขวา กราฟท่ีกําหนดใหมีรอยเดินออยเลอรเมื่อไร

ทฤษฎีบท 2.6.4 ให G เปนกราฟเชื่อมโยง จะไดวา G เปนกราฟที่มีรอยเดินออยเลอร ก็ตอเมื่อ G มี จุด ยอดที่เปนดีกรีเปนจํานวนคี่ไมเกิน 2 จุด ยิ่งไปกวาน้ันจุดยอดที่เปนจํานวนคี่ เหลาน้ันจะเปนจุดเร่ิมตนและจุดปลายของรอยเดินออยเลอร

ปญหาหน่ีงที่ดูคลายกับปญหาวงจรออยเลอร คือปญหาการหาวิถีในกราฟที่ไมใชจุดยอดซ้ํากันยกเวนจุดเร่ิมตนและจุดสิ้นสุดตองเปนจุดเดียวกัน ซ่ึงก็คือ วัฎจักรและวัฎจักรน้ีผานครบทุกจุดยอดในกราฟน้ี จะเรียกวัฎจักรน้ีวา วัฎจักรแฮมิลตัน

ถา G มีวัฎจักรแฮมิลตัน จะเรียก G วาเปนกราฟแฮมิลตัน (Hamiltonian graph)

2.7 ตนไม (Tree)

ตอไปเราจะศึกษากราฟที่มีลักษณะพิเศษชนิดหน่ึง เรียกวา ตนไม ซ่ึงมีบทบาทสําคัญในการศึกษาทฤษฎีกราฟ และในการประยุกตทางดานตางๆ เชน โครงสรางขอมูลในวิชาคอมพิวเตอร การศึกษาโครงสรางทางเคมีของสารประกอบไฮโดรคารบอน หรือในการออกแบบวงจรไฟฟาและอิเล็กทรอนิกส

บทนิยาม 2.7.1 ตนไม (tree) คือ กราฟเชื่อมโยงที่ไมมีวัฏจักร

19

ตัวอยาง 2.7.1 พิจารณากราฟตอไปน้ี


จะเห็นวา กราฟในรูป (A) และ (B) เปนตนไม กราฟในรูป (C) ไมเปนตนไม เพราะมีวัฏจักรปรากฏอยู กราฟในรูป (D) ไมเปนตนไม เพราะไมใชกราฟเชื่อมโยง

ลักษณะเฉพาะของตนไม ทฤษฎีบทตอไปน้ีเปนทฤษฎีบทที่บงบอกลักษณะเฉพาะ(characterization) ของตนไม

ทฤษฎีบท 2.7.2

1. ให T เปนกราฟที่ไมมีวงวน กราฟ T เปนตนไม ก็ตอเมื่อ จุดยอด 2 จุดใดๆ ใน T เชื่อมโยงกันไดดวยวิถีเพียงวิถีเดียว

2. ให T เปนกราฟที่มีจํานวนจุดยอดเปน n จุด กราฟ T เปนตนไม ก็ตอเมื่อ กราฟ T ไมมีวัฏจักรและมีเสนเชื่อม n – 1 เสน

3. ให T เปนกราฟที่มีจํานวนจุดยอดเปน n จุด กราฟ T เปนตนไม ก็ตอเมื่อ กราฟ T เปนกราฟเชื่อมโยง และมีเสนเชื่อม n – 1 เสน

4. ถา T เปนตนไมที่มีจํานวนจุดยอดอยางนอย 2 จุด แลว กราฟ T จะมีดีกรี 1 อยางนอย 2 จุด


20

ตนไมแผท่ัว (spanning tree)

กอนท่ีจะศึกษาตนไมแผท่ัว เราจะเริ่มตนศึกษากราฟยอยกอน

บทนิยาม 2.7.3 กราฟยอย (subgraph) ของกราฟ G คือกราฟที่ประกอบดวยจุดยอดและเสนเชื่อม ใน G กลาวคอื กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G ถา V(G) ⊆V(H) และ E(H)⊆ E(G)

ตัวอยาง 2.7.2 กําหนดกราฟ G และกราฟ H ดังรูป


V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D }

E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD}

จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G

A

B C

D

G

A

B C

D

H ภาพที่ 2.19

21

ตัวอยาง 2.7.3 พิจารณาวากราฟใดเปนกราฟยอยของกราฟ G


จะไดวา กราฟ G2 และ G6

ไมเปนกราฟยอยของ G

พิจารณากราฟยอยของกราฟ G จะเห็นวากราฟ G1 , G3

และ G5

เปนกราฟยอยของ G และเปน

ตนไมดวย

A

B

C

D G

A

B

C

D

G1

A

B

C

D

D

G2

A

B

C

D

G3

G4

D

B

A C A

B

C

G5

A

B

C

D

D

G6 ภาพที่ 2.20

22

บทนิยาม 2.7.4 ตนไมแผท่ัว (spanning tree) คือตนไมซ่ึงเปนกราฟยอยของกราฟเชื่อมโยง G ที่ บรรจุจุดยอดทุกจุดยอด

การประยุกตของทฤษฎีกราฟที่เก่ียวของกับตนไม สมมติวาเราตองการสรางถนนเชื่อมตอระหวางเมืองตางๆ โดยที่ทราบคาใชจายในการกอสรางถนนที่เชื่อมเมือง 2 เมืองใดๆ ปญหาที่เกิดขึ้นคือ เราควรสรางถนนเชื่อมระหวางเมืองใดบาง เพ่ือใหเมือง 2 เมืองใดๆ สามารถติดตอกันไดทางรถยนต และเสียคาใชจายในการกอสรางนอยที่สุด จากปญหาดังกลาว เราอาจสรางกราฟที่มีนํ้าหนักที่สมนัยกับปญหาน้ีได โดยใหเมืองแตละเมืองแทนดวยจุดยอด ถนนแทนดวยเสนเชื่อม และคาใชจายในการกอสรางถนนแทนคานํ้าหนักของเสนเชื่อม คําตอบของปญหาน้ีคือ การหาสับกราฟแผทั่วที่เปนกราฟเชื่อมโยงและมีคานํ้าหนักนอยที่สุด ขั้นตอนวิธีในการหากราฟแผทั่วที่เปนกราฟเชื่อมโยงและมีคานํ้าหนักนอยที่สุดมีอยูดวยกันหลายวิธี แตในที่น้ีเราจะกลาว 2 วิธีเทาน้ัน คือ วิธีของครูสกาวล (Kruskal) และขั้นตอนวิธีของพริม (Prim) ในบรรดาขั้นตอนวิธีเหลาน้ี

ขั้นตอนวิธีของครูสกาวล จัดวาเปนขั้นตอนวิธีที่มีชื่อเสียงมากที่สุด

2.8 ขั้นตอนวิธีของครูสกาวล (Kruskal’s algorithm)

แนวคิดของขั้นตอนวิธีของครูสกาวล คือการเลือกเสนที่มีนํ้าหนักรวมนอยที่สุดจากกราฟเชื่อมโยงถวงนํ้าหนัก ติดตอกันไปเพ่ือสรางกราฟเชื่อมถวงนํ้าหนัก และการเลือกเสนดังกลาวตองไมกอใหเกิดวัฏจักร การเลือกน้ีจะสิ้นสุดลงเมื่อไดตนไมแผทั่ว Algorithm :

เปนการหา minimum spanning tree จากกราฟ มี O(E log E) หรือ O(E log V) เมื่อ E คือจํานวน edge V คือจํานวน vertex มีวิธการหาคือ 1. หา edge ที่มีนํ้าหนักนอยที่สุดในกราฟ หากมีหลาย edge ที่มีนํ้าหนักนอยที่สุดใหสุมเลือกมาอันใดอันหน่ึง ทําเคร่ืองหมายวา vertex ที่ถูกเชื่อมโดย 2 edge น้ันถูกใชไปแลว 2. เลือก edge ตอไปเร่ือยๆ โดย edge ที่เลือกมานั้นจะตอง : • มีนํ้าหนักนอยที่สุดและยังไมถูกใช • ถาจะเลือก edge น้ัน edge น้ันจะตองไมทําใหเกิด cycle ของ vertex ทําซํ้าเร่ือยๆ จนครบทุก

vertex เขาดวยกัน

23

ตัวอยาง 2.8.1

24


หมายเหตุ กราฟแผทั่วที่เปนกราฟเชื่อมโยงและมีคานํ้าหนักนอยท่ีสุดของแตละกราฟอาจมีได มากกวา 1 แบบ

2.9 ขั้นตอนวิธีของพริม (Prim’s algorithm)

แนวคิดขั้นตอนของพริม คือการแทนตนไม T ที่มีอยูในการเชื่อมโยงที่มีนํ้าหนักดวยตนไมอันใหมท่ีเกิดจากการเพิ่มเสนที่มีนํ้าหนักนอยที่สุดลงไปใน T โดยที่เสนๆ น้ีเปนเสนเชื่อมจุดที่อยูใน T กับจุดที่ไมอยูใน T

Prim Algorithm เปนอัลกอริทึมที่ใชหาขนาดหรือนํ้าหนักของตนไมทอดขามที่นอย

โดยมวธิีการดังน้ี

1. นํ้ากราฟที่ถูกเชื่อมกันดวยเสน E เสนและจุดยอด V จุด

2. โดยให V new = {a} โดยที่ a เปนจุดเร่ิมตน และ Enew= { }

3. เลือกคูของจุดยอด (x,y) โดยที่ x เปนสมาชิกของ Vnew แต y ไมเปน และมีนํ้าหนัก Edge นอยที่สุด(หากมากกวา 1 อัน ใหเลือกมาหน่ึงอัน)

4. เก็บคา y ใส Vnew และ (x,y) ใส Enew

5. ทําซํ้าขั้นตอนที่ 3-4 ไปเร่ือยๆ จนกระทั่ง Vnew มีV ตัว 6. จะได Vnew และ Enew ซ่ึงเปนคาของตนไมทอดขามที่มีคานอยท่ีสุด


25

ตัวอยาง 2.9.1

1. กราฟเริ่มตนจะนํามาหาคาตนไมทอดขามนอยที่สุด


แสดงกราฟขั้นตอนที่ 1 ของตัวอยาง 2.9.1

2. เลือก Vertex D เปนจุดเร่ิมตนจะไดวา A , B , E , F เปนจุดที่เชื่อมกับ D และ A มีระยะหางนอยที่สุด ดังน้ันจึงเลือกขอบ AD



เราจะเห็นวาคานํ้าหนักของแผทั่วที่เปนกราฟเชื่อมโยงมีคาเทากับ 8

26

3. ตอไปใหเลือกจุดยอดที่เชื่อมกับ A หรือ D ในท่ีน้ีจะไดวา - B หาง A 7 - B หาง D 9 - E หาง D 15 - F หาง D 6 ดังน้ันเราจึงเลือก DF



4. ในทํานองเดียวกันจะพบวาตอๆ ไปจะมีจุดยอดเพิ่มขึ้น จากนั้นเราจะทําการจุดที่เชื่อมกับจุดยอด

ที่เลือกไปแลวและมีระยะหางจากกันนอยที่สุด จะไดดังน้ี



27

5.



6.



7.



28

8. จะไดตนไมทอดขามนอยที่สุด ซ่ึงในที่น้ีใชนํ้าหนัก 39



2.10 กราฟสมบูรณหรือกราฟบริบูรณ (Complete graph)

กราฟที่ทุกจุดในกราฟประชิดกับจุดอื่นทุกจุดในกราฟ

บทนิยาม 2.10.1 ถา G เปนกราฟอยางงาย จะเรียก G วากราฟสมบูรณหรือกราฟบริบูรณ เมื่อจุดสอง จุดใด ๆ ที่ตางกันของ G เปนจุดประชิดกัน เขียนแทนกราฟสมบูรณที่มีอันดับ p ดวย Kp

ขอสังเกต กราฟสมบูรณ คือ กราฟที่มีเสนเชื่อมระหวางจุดยอดทุกจุด

ทฤษฎีบท 2.10.1 จากนิยาม ถา Kp เปนกราฟสมบูรณที่มีดีกรี p−1 แลวจํานวนเสนในกราฟ Kp คือ

( 1)( ) 2 2

p p pE Kp

⎛ ⎞ −⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ตัวอยาง 2.10.1 จงแสดงกราฟสมบูรณที่มีอันดับต้ังแต 1 ถึง 5

แสดงกราฟสมบูรณท่ีมีอันดับต้ังแต 1 ถึง 5

K1 K2 K3 K4 K5


29

2.11 กราฟคูหรือกราฟไบพารไทต (Bipartile graph, Bigraph)

บทนิยาม 2.11.1 ถา G เปนกราฟอยางงายที่เซตของจุดยอดแบงเปน 2 เซต ที่แยกจากกัน

(partition) คือ V1 และ V2 น่ันคือ V = V1 ∪ V2 และ V1 ∩ V2 = φ โดยมีเสน เชื่อมจากจุดยอดใน V1 ไปยังจุดยอดใน V2 เทาน้ัน จะเรียก G วา กราฟคู

ของสังเกต ลักษณะของกราฟประกอบดวยจุดยอด 2 ชุด โดยมีเสนเชื่อมระหวางจุดยอดทั้ง 2 ชุด แต ไมมีเสนเชื่อมระหวางจุดยอดในชุดเดียวกัน อาจมีทิศทางหรือไมมีก็ได ซ่ึงจะนําไปใชใน ปญหาการจับคู ทฤษฎีบท 2.11.2 G เปนกราฟคูที่ประกอบดวย เสนทุกเสนเชื่อมจุดใน V1 ไปยังจุดในV2 จะเรียก G วาเปน กราฟคูสมบูรณ (Complete bigraph) เขียน แทนดวย Km,n เมื่อ V1 มีจุดยอด m จุด และ V2 มีจุดยอด n จุด และ V1 ∩ V2 = φ โดยจุดยอดทุกจุดใน V1 เชื่อมโยงกับจุดยอด

ทุก จุดใน V2 โดยไมมีดานขนาน

ตัวอยาง 2.11.1 ภาพแสดงกราฟคูปกติดีกรี 2 และกราฟคูสมบูรณ K3,3

แสดงกราฟคูปกติดีกรี 2 และกราฟคูสมบูรณ K3,3

2.12 กราฟทริเวียล (Trivial graph)

ทฤษฎีบท 2.12 กราฟที่ประกอบไปดวยจุดเพียง 1 จุด และไมมีเสนในกราฟเลย หรือ กราฟ ( 1 ,0 ) เรียกวา กราฟทริเวียล (Trivial graph)

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u1

u2

u3

u4

u5

u6

G = กราฟคูปกติดกีรี 2 G = กราฟคูสมบูรณ


30

บทที่ 3 วิธีการดําเนินงาน

3.1 กราฟรวม (Joined graphs) ในโครงงานวิจัยนี้ เราจะศึกษาเกี่ยวกับกราฟอยางงาย (Simple graph) รวมทั้งกราฟทริเวียล (Trivial graph) ดวย แตกราฟที่เราจะศึกษานี้จะตองเปนกราฟที่ไมเปนเซตวาง ตัวอยางเชน

Cn ( u1,u2,u3,…,un) , Kn ( u1,u2,u3,…,un) และ ( u1,u2,u3,…,un) จะเรียก {u1,u2,u3,…,un } วาเซตของจุดในกราฟ

จะเห็นไดอยางชัดเจนวา 1. n(G1∨G2) = n (G1) + n(G2) 2. e(G1∨G2)= e(G1) + e(G2) +n(G1)n(G2)

3. G1 และG2 เปนกราฟยอยของ G1 ∨ G2 ทฤษฎีบทตอไปนี้เราจะทําการพิสูจนใหเห็นวากราฟรวมจะมีการเชื่อมโยงเขาดวยกันเสมอ

ทฤษฎีบท 3.1.2 กราฟรวมใดๆ จะเปนกราฟเชื่อมโยง (Connected graph) เสมอ

พิสูจน กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟใดๆ และ u1, u2 เปนจุดใน G1 ∨ G2 กรณีที่ 1. ถา u1 ∈ V(G1) และ u2 ∈ V(G2) ดังนั้น u1 และ u2 จะเชื่อมโยงกัน นั่นคือ G1 ∨ G2 เชื่อมตอกนั

กรณีที่ 2. ถา u1, u2 ∈ V(G1) และ v เปนจุดยอดใน G2

ดังนั้น v จะเชื่อมโยงกับ u1 และ u2

ฉะนั้นจะมีทางเดินจาก u1 ถึง u2 นั่นคอื P(u1 ,v, u2) ใน G1 ∨ G2 ดังนั้น G1 ∨ G2 เชื่อมตอกนั

บทนิยาม 3.1.1 กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟใดๆ จะเรียก กราฟรวม (Joined graphs)

ของ G1 และ G2 ซึ่งเขียนแทนดวย G1 ∨ G2 ก็ตอเมื่อมีเงื่อนไขสอดคลองดังนี้ 1. V(G1∨G2)= V(G1)∪ V(G2)

2. E(G1∨G2)= E(G1)∪ E(G2) ∪ {uv : u ∈ V(G1), v ∈V(G2) }

31

จากกรณีที่ 1 และ กรณีที่ 2 เราจึงสรุปไดวา กราฟรวมใดๆ จะเปนกราฟเชื่อมโยงเสมอ

ทฤษฎีบท 3.1.3 กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟใดๆ จะไดวา ถา H เปนกราฟยอย (Subgraph) ของ G1 แลว H ∨ G2 เปนกราฟยอยของ G1 ∨ G2

พิสูจน กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ สมมติวา H เปนกราฟยอยของ G1

เราจะเห็นไดชดัวาV(H ∨ G2)= V(H) ∪ V(G2)⊆ V(G1)∪ V(G2) = V(G1 ∨ G2)

ให e เปนเสนที่มีปลายทั้งสองคือ u และ v ใน H ∨ G2

ถา e ∈ E(H) ∪ E(G2) แลว e E(G1 ∨ G2)

ฉะนั้น E(H) ∪ E(G2) ⊆ e E(G1 ∨ G2)

สมมติให u ∈ V(H) และ v ∈ V(G2) แลวจะไดวา u ∈ V(G1) และ e ∈ {uv | u ∈ V(G1)

และ v ∈ V(G2) }⊆ E(G1 ∨ G2)

ดังนั้น H ∨ G2 เปนกราฟยอยของ G1 ∨ G2

ตอไป เราจะพิจารณากราฟรวมของ กราฟสมบูรณ (Complete graph) กราฟตนไม (Tree) และ กราฟสองสวน (Bipartite graph)

ทฤษฎีบท 3.1.4 กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ จะไดวา (1) G1 ∨ G2 เปนกราฟสมบูรณ ก็ตอเมื่อ G1 และ G2 เปนกราฟสมบูรณ (2). G1 ∨ G2 เปนกราฟสองสวน ก็ตอเมื่อ G1 และ G2 เปน กราฟทริเวียล (3). G1 ∨ G2 เปนกราฟตนไม ก็ตอเมื่อ G1 และ G2 เปนกราฟทริเวียล โดยที่ n(G1) =1 และ n(G2) = 1

พิสูจน กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ

พิสูจนโดยวิธีแยงสลับ ( contrapositive )

(1) (⇒) กําหนดให G1 หรือ G2 ไมเปนกราฟสมบูรณ สมมติให G1 ไมเปนกราฟสมบูรณ แลวจะมี u, v ∈ V(G1) โดยที่ u และ v ไมเชื่อมโยงกันใน G1

จะเห็นไดอยางชัดเจนวา u และ v ไมเชื่อมโยงกันใน G2

และเสน uv ∉ {u1u2 | u1 ∈ V(G1), u2 ∈ V(G2) } ฉะนั้น u และv ไมเชื่อมโยงกนั ใน G1 ∨ G2

ดังนั้น G1 ∨ G2 ไมเปนกราฟสมบูรณ

32

(⇐) สมมติให G1 และ G2 เปนกราฟสมบูรณ ให u และ v เปนจุดที่อยูใน G1 ∨ G2 ถา u และ v เปนจุดในกราฟเดียวกัน แสดงวาจุด u และ v เชื่อมโยงกัน ถา u1 ∈ V(G1) และ u2 ∈V(G2) ดังนั้นโดยนิยามของกราฟรวมเราจะไดวา u จะเชื่อมโยงกบั v เพราะฉะนั้น G1 ∨ G2 เปนกราฟสมบูรณ

(2) เราจะพิสูจนโดยวิธีแยงสลับ (contrapositive)

(⇒) กําหนดให G1 หรือ G2 ไมเปนกราฟทริเวียล สมมติให G1 ไมเปนกราฟทรเิวียล และ e เปนเสนใน G1 โดยที่ e มีจุดปลายคือ u1 และ u2

ให v เปนจุดใน G2 แลวเราจะไดวา v เชื่อมโยงกับ u1 และ u2 ใน G1 ∨ G2 ฉะนั้น จะมี C3 (u1, u2, v) อยูใน G1 ∨ G2 ดังนั้น G1 ∨ G2 ไมเปนกราฟสองสวน

(⇐) สมมติให G1 และ G2 เปนกราฟทริเวียล ฉะนั้นสําหรับจดุ u และ v ใน G1 (หรือ G2 ) จะไดวา จุด u และ v จะไมเชื่อมโยงกัน ดังนั้น G1 และ G2 เปนกราฟสองสวนของ G1∨G2 เพราะฉะนั้น G1 ∨ G2 เปนกราฟสองสวน

(3) เราจะพิสูจนโดยวิธีแยงสลับ (contrapositive)

(⇒) กําหนดให G1 หรือ G2 ไมเปนกราฟทริเวียล โดยที่ n(G1) , n(G2) > 1 ในที่นี้ สมมติให G1 ไมเปนกราฟทริเวียล โดยที่ n(G1) , n(G2) > 1

ถา G1 ไมเปนกราฟทริเวียล แลว G1 ∨ G2 ไมเปนกราฟสองสวน แสดงวา G1 ∨ G2 ก็จะไมเปนกราฟตนไมดวย กําหนดให n(G1) , n(G2) > 1 และ u1, u2 เปนจุดใน G1

และ v1,v2 เปนจุด ใน G2 ฉะนั้นจะมี C4 (u1,u2 ,v1,v2 ) อยูใน G1∨G2

เพราะฉะนั้น G1 ∨ G2 ไมเปนกราฟตนไม

33

(⇐) สมมติให G1 และ G2 เปนกราฟทริเวียล โดยที่ n(G1) = 1

เนื่องจาก G1 ∨ G2 เปนกราฟเชื่อมโยงกนัเสมอ จะแสดงวา e(G1 ∨ G2) = n (G1 ∨ G2) – 1

พิจารณา e(G1 ∨ G2) = e(G1) + e(G2) +n(G1)n(G2)

= n(G2)

= 1+n(G2) – 1

= n(G1)+n(G2) – 1

= n (G1 ∨ G2) – 1

เพราะฉะนั้น G1 ∨ G2 เปนกราฟตนไม

เราจะจบบทยอยนี้โดยจะแสดงคุณลักษณะของกราฟรวมดังใน ทฤษฎีบท 3.1.5

ทฤษฎีบท 3.1.5 ถา G เปนกราฟรวม แลว G จะเปนกราฟสองสวน หรือ G จะบรรจุกราฟ สมบูรณ K3

พิสูจน สมมติให G เปนกราฟรวม โดยให G = G1 ∨ G2 เมื่อ G1 และ G2 เปนกราฟใด ๆ กรณีที่ 1. กําหนดให G1 ∨ G2 ไมเปนกราฟสองสวน

โดยทฤษฎีบท 3.1.4 เรามี G1 หรือ G2 จะมีเสนเปนสวนประกอบของกราฟ

สมมติให G1 มีเสน e เปนสวนประกอบของกราฟ โดยที่เสน e มจีุดปลายคือ u1 และ u2 ให v เปนจุดใน G2 แลว v จะเชื่อมโยงกับ u1 และ u2 ใน G1 ∨ G2 เพราะฉะนั้น G1 ∨ G2 อยูใน K3 (u1, u2 ,v)

กรณีที่ 2. กําหนดให G1 ∨ G2 ไมบรรจกุราฟ K3 สมมติขอขัดแยง โดยให G1 มีเสน e ซึ่งมีจดุปลายคือ u1 และ u2 และให v เปนจุดใน G2 แลว v จะเชื่อมโยงกับ u1 และu2 ใน G1 ∨ G2 และ G1 ∨ G2 จะบรรจุกราฟ K3 (u1, u2 ,v) ซึ่งเกิดขอขัดแยง เพราะฉะนั้น G1 และ G2 เปนกราฟทริเวียล โดยทฤษฎีบท 3.1.5 เราจึงสรุปไดวา G1 ∨ G2 เปนกราฟสองสวน

34

พิจารณา C2n+1 เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกท่ีมากกวา 1 ไมเปนกราฟสองสวน

โดยทฤษฎีบท 3.1.5 เราจะสรุปไดวา C2n+1 ไมเปนกราฟรวม นั่นคือสําหรับทุกกราฟ G1 และG2 เราจะพบวา G1 ∨ G2 ≠ C2n+1 เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก ที่มีคามากวา 1 กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวก แลว Kn เปนกราฟรวม โดยที่ Kn = Ka∨ Kb สําหรับทุก a, b เปนจํานวนเต็มบวก และ a + b = n โดยทฤษฎีบท 3.1.5

3.2. ความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม (Planarity of joined graphs)

เราจะเริ่มบทยอยนี้โดยใหคํานิยามและคุณสมบัติบางประการของ ความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม (Planarity of joined graphs )

บทนิยาม 3.2.1 เราจะเรียกวากราฟ G วา กราฟเชิงระนาบ (planar graph) ก็ตอเมื่อถา สามารถวาดรูปกราฟ G บนระนาบไดโดยไมมีเสนตัดกันและจะเรียกการวาดรูป ดังกลาววา planar embedding ของ G

ตัวอยาง 3.2.1 หากตองการวางระบบทอสาธารณูปโภค 3 อยาง คือ (น้ํา , ไฟ ,แกส) ใหแกบาน 3 หลัง ทานคดิวาเปนไปไดหรือไมที่จะสรางระบบของสาธารณูปโภคใหบานทุดหลังโดยแตละระบบจะไมชนกัน

แสดงกราฟโจทยของตัวอยาง 3.2.1 แสดงการแกปญหาของกราฟตัวอยาง 3.2.1

(ซึ่งไมสามารถแกได)

บาน ก บาน ข บาน ค

กาซ ไฟ นํ้า

V1 V2 V3

V4 V5 V6

บาน ก บาน ข บาน ค

กาซ

ไฟ

นํ้า

V1 V2 V3

V4

V5

V6

ภาพที่ 3.1 ภาพที่ 3.2

35

ปญหานี้อาจพจิารณาโดยใชตัวแปรกราฟคูสมบูรณ K3,3 จะเห็นวาไมมีทางที่จะสราง v6 โดยไมใหตัดกับ v3 ไดเลย

แสดงกราฟคูสมบูรณ K3,3 ของการแกปญหาตัวอยาง 3.2.1

ตัวอยาง 3.2.2 K4 เปนกราฟเชิงระนาบหรอืไม


(ซึ่งสามารถแกได)

สามารถสรางกราฟพองรูปที่ไมมีเสนตัดของ K4 ได ดังนั้น K4 เปนกราฟเชิงระนาบ

V1 V5

V4 V2

V3,V6



36

ตัวอยาง 3.2.3 Q3 เปนกราฟเชิงระนาบหรอืไม


(ซึ่งสามารถแกได)

สามารถสรางกราฟพองรูปที่ไมมีเสนตัดของ Q3 ได ดังนั้น Q3 เปนกราฟเชิงระนาบ

บทนิยาม 3.2.2 ถาเราวาดกราฟที่ติดกันและทําใหอยูบนระนาบเดียวกันได กราฟจะแบงระนาบออกเปนอาณาบริเวณที่ติดกัน เรียกวา เฟซ (face) \

บทนิยาม 3.2.3 จะเรียก เฟซ วา เฟซที่มีขอบเขต ก็ตอเมือ่ มีเสนที่ปดลอมเฟซนี ้

บทนิยาม 3.2.4 จะเรียกกราฟ G วา outer planar ก็ตอเมื่อ G เปนกราฟที่มีการฝงของทุกจุด บนขอบเขตของเฟซที่ไมมีขอบเขต และจะเรยีก เฟซ ซึ่งไมเปนเฟซที่ไมม ี ขอบเขต วา internal face

ขอสังเกต ถากราฟ G ม ีinternal face เพียงหนึง่เดียว แลว G เปน outer planar graph


37

ทฤษฎีตอไปเปนทฤษฎีที่สําคัญที่เกี่ยวกับลักษณะของกราฟเชิงระนาบ ซึ่ ง เ ร า จ ะเรียกวา Kuratowski’Theorem

โดยที่ กาซีมีแยช กูราตอฟสกี (Kazimierz Kuratowski) นักคณิตศาสตรชาวโปแลนด ไดศึกษากราฟเชิงระนาบและสามารถระบุลักษณะเฉพาะของกราฟเชิงระนาบ ในทฤษฎีที่รูจักกันในชื่อ ทฤษฎีบทของกูราตอฟสกีซึ่งกลาววา "กราฟจะเปนกราฟเชิงระนาบ ก็ตอเม่ือ กราฟนั้นไมประกอบดวยกราฟยอยซึ่งเปน การกระจาย ของ K5 (กราฟแบบบริบูรณที่มี 5 จุดยอด) หรือ K3,3

(กราฟแบบสองเชิงแบบบริบูรณ ที่มีจุดยอด 6 จุดโดย จุดยอด 3 จุดจะเชื่อมโยงกับจุดยอดอีก 3 จุด)"

ทฤษฎีบท 3.2.5 กราฟ G เปนกราฟเชิงระนาบ ก็ตอเมื่อ G ไมบรรจ ุsubdivision ของ K5 หรอื K3,3

ทฤษฎีบท 3.2.6 กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ จะไดวา ถา G1 ∨ G2 เปนกราฟเชิงระนาบ แลว G1 และ G2 เปนกราฟเชิงระนาบ

พิสูจน กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ และ G1 ไมเปนกราฟเชิงระนาบ เนื่องจาก G1 ⊆ G1 ∨ G2 ดังนั้น G1 จะบรรจุ subdivision ของ K5 หรือ K3,3

สรุปไดวา G1 ∨ G2 บรรจุ subdivision ของ K5 หรือ K3,3 ฉะนั้น G1 ∨ G2 ไมเปนกราฟเชิงระนาบ

ทฤษฎีบทตอไปเราจะกลาววาถึงการใหเงื่อนไขที่ทําใหกราฟรวมเปนกราฟเชิงระนาบ

ทฤษฎีบท 3.2.7 กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ จะไดวา ถา n(G1) และ n (G2) ≥ 3 แลว G1 ∨ G2 จะไมเปนกราฟเชิงระนาบ

พิสูจน กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ สมมติให n(G1) และ n (G2) ≥ 3

แสดงกราฟ แสดงกราฟรวม K3,3

K3,3

ภาพที ่3.8 ภาพที่ 3.9

38

แสดงวา จํานวนจุดในกราฟ G1 และ G2 มีคามากกวาหรือเทากับ 3 ให G1 และ G2 เปน กราฟทรเิวียล ที่มี 3 จุด

ฉะนั้นจะเหน็ไดชัดวา G1 ∨ G2 จะบรรจุ K3,3

จากทฤษฎีบท 3.2.5 เราจะสรุปไดวา G1 ∨ G2 ไมเปนกราฟเชิงระนาบ

บทแทรก กําหนดให G1 และ G2 เปนกราฟ จะไดวา ถา n(G1) หรอื n(G2) ≤ 2 แลว G1 ∨ G2 เปนกราฟเชิงระนาบ

จากทฤษฎี 3.2.7 เราจะสังเกตเห็นวายังมีอีก 7 กรณี ที่ควรพิจารณา นั่นคือ (n(G1), n(G2)) = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, n), (2, 2), (2, 3), (2, n) เมื่อ n ≥3

ในทั้ง 7 กรณี จะเห็นชัดวาเฉพาะกรณีที่ (1, 1), (1, 2), (1, 3) และ (2, 2) กราฟรวมจะไมบรรจุกราฟ K5 หรอื K3,3 จากทฤษฎีบท 3.2.5 เราจะสรุปไดวา G1 ∨ G2 เปนกราฟเชิงระนาบ

ทฤษฎีบท 3.2.8 ถา G เปนกราฟเชิงระนาบอยางงาย ที่มีอยางนอย 3 จุด แลว e(G) ≤ 3n(G) − 6 นอกจากนี้ ถา G ปราศจากสามเหลี่ยม (Triangle - free) แลว e(G) ≤ 2n(G) − 4

พิสูจน ดูใน [11]

ทฤษฎีบท 3.2.9 กําหนดให G เปนกราฟ ที่มีอยางนอย 3 จุด จะไดวา ถา G บรรจุวัฏจักร แลว G ∨ K2 ไมเปนกราฟเชิงระนาบ

พิสูจน กําหนดให G เปนกราฟ และ สมมติให G บรรจุวัฏจักร ที่มี n จุด จะเรียกวา C

พิจารณา C ∨ K2

เราจะได e(C ∨ K2) = e(K2) + e(C) + n(K2) + n(C)

= 1 + n + 2n

= 3n + 1

≥ 3(n+2 )−6

= 3(n(C) + n(K2)) − 6

= 3n(C ∨ K2) −6

เพราะฉะนั้น จากทฤษฎี 3.2.9 เราจะได C ∨ K2 ไมเปนกราฟเชิงระนาบ เนื่องจาก C ∨ K2 ⊆ G ∨K2 ดังนั้น G ∨ K2 ไมเปนกราฟระนาบ

บทที่ 4 สรุปผล อภิปรายผล และขอเสนอแนะ

4.1 สรุปผลและอภิปรายผล

จากการศึกษาเรื่อง ความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม (Planarity of joined graphs) ไดผลสรุปดังตอไปนี ้

4.1.1 ไดความรูความเขาใจเกี่ยวกับความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม (Planarity of

joined graphs) 4.1.2 ไดพื้นฐานความรูในเรื่อง ความเปนระนาบของกราฟรวม (Planarity of joined

graphs) เพื่อศึกษาการประยุกต และวิจัยในระดับที่สูงขึ้นตอไป

4.2 ขอเสนอแนะ

เมื่อไดศึกษาการความเปนเชิงระนาบของกราฟรวม (Planarity of joined graphs) แลว ตอไปเราอาจจะนําทฤษฏีบทและนิยายตางๆ ไปประยุกตใชหรือนําไปแกปญหาในศาสตรแขนงตางๆ

บรรณานุกรม

[1] Bradley, Stephen P., Hax, Arnoldo C., and Magnati, Thomas L., Applied

Mathematical Programming. MA: Addison-Wesley, 1977

[2] Carre’, Bernard, Graph and Networks. Oxford: Clarendon Press, 1979

[3] Chartrand, Gray, Lesniak, Linda, Graph and Digraphs., London: Chapman &

Hall, 1996.

[4] Chewynd, A., Diggle, P., Discrete Mathematics. London : Arnold, 1995.

[5] Price, W. L., Graph and Networks: An Introduction. London: Butterworths,

1991.

[6] Taha, Hamdy A., Operations Research : An Introductions. 2nd ed. NJ:

Prentices Hall, 1997.

[7] Wilson, Robin J., Introductions to Graph Theory. 4th ed. Essex[England]:

Longman, 1996.

[8] Winton, Wayne L., Operations Research: Applications and Algorithms.

London: Macmillan Press, 1982.

[9] T. Sitthiwiratham, C. Promsakon., Department of Mathematics, Faculty of

Applied Science., King Mongkut’s University of Technology North Bangkok,

10800., Thailand.

[10] B. W. Douglas, Introduction to Graph Theory, Prentice-Hall Inc., 2001.

Received April, 2008

[11] Kazimierz Kuratowski, Sur le problem des courbes gauches en topologie.,

Fund. Math.,15:271-283,1930

Documents

planarity of joined graphs