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Formulas for planetary gearbox
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Rotismi EpicicloidaliRotismi Epicicloidali
Concetti generali, rendimento, giochi, rigidezzeConcetti generali, rendimento, giochi, rigidezze
Carlo GorlaCarlo Gorla
2Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Rotismi epicicloidali
3Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Premesse
Consideriamo il pi semplice rotismo ordinario:
ha un grado di libert (rotazione assi)
2
1
1
2
z
z==
!
!"
Il telaio fisso (vincolo a terra attraverso la cassa).
4Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Premesse
Supponiamo ora di realizzare il telaio di modo che possa
ruotare attorno ad un asse (3) parallelo agli altri (1 e 2).
Abbiamo realizzato un rotismo epicicloidale.
Il telaio viene detto portatreno.
Ha due gradi di libert.
Continua a valere le definizione generica del
rapporto di trasmissione.
5Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Premesse
Le velocit relative al portatreno delle ruote 1 e 2 valgono:
322
311
'
'
!!!
!!!
"=
"=
mentre il rapporto di trasmissione del rotismo
ordinario iniziale diviene:
2
1
0
z
z!="
poich le velocit angolari hanno versi opposti.
6Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Premesse
Con riferimento al portatreno:
nota come Formula di Willis.
31
32
1
2
0
'
'
!!
!!
!
!"
#
#==
In essa sono due i parametri indipendenti.
Per utilizzare un rotismo epicicloidale in unatrasmissione necessario eliminare un gradodi libert.
7Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo del rapporto di trasmissione
Per esaminare tutte le configurazioni bloccheremo di
volta in volta uno dei tre assi.
Distingueremo per ogni caso due sotto-casi, in relazione
alle funzioni di motore e condotto.
Vedremo come sar sempre possibile esprimere il
rapporto di trasmissione complessivo ( ) in funzione del
rapporto di trasmissione caratteristico (0 ).
8Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo del rapporto di trasmissionePortatreno bloccato
Otteniamo nuovamente il rotismo di partenza.
2
1
1
2
1
2
0
0
0
z
z!==
!
!=
"
"
"
"#
03=!
Albero 1 motore Albero 2 motore
0
1
2 !"
"! ==
02
11
!"
"! ==
9Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo del rapporto di trasmissioneAlbero 1 bloccato
0
3
2
3
2
3
23
3
32
011
0!
"
"
"
"
"
""
"
""! #=$#=
#=
#
#=
01=!
Albero 2 motore Albero 3 motore
02
3
1
1
!"
"!
#==
0
3
21 !
"
"! #==
10
Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo del rapporto di trasmissioneAlbero 2 bloccato
03
1
3113
3
31
3
0
11
1
10
!"
"
""""
"
""
"! #=$
#=
#=
#
#=
02=!
Albero 1 motore Albero 3 motore
10
0
1
3
!=="
"
#
#"
03
11
1!"
"! #==
11
Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Esempi di rotismi epicicloidali piani
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Schemi di soluzioni costruttivePortatreno bloccato
13
Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Schemi di soluzioni costruttiveAlbero 2 bloccato
14
Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Schemi di soluzioni costruttiveAlbero 1 bloccato
15
Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo dei momenti
Possiamo scrivere due equazioni:
1. Equilibrio globale del rotismo
(assumendo un unico verso positivo)
2. Rapporto di conversione dei momenti (trascurando le perdite)
0321=++ MMM
01
21
!"=
M
M
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo approssimato dei rendimenti
necessario scomporre il moto assoluto in
moto di trascinamento: in questo moto tutti gli organi ruotanocon la stessa velocit del portatreno ( 3 );
moto relativo: il moto rispetto al portatreno.
Le perdite sono dovute agli ingranamenti e quindi hanno luogonel moto relativo.
necessario calcolare la potenza motrice nel moto relativo.
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo approssimato dei rendimenti
Nellipotesi che lalbero 1 sia motore:
la potenza perduta nel moto relativo vale:
dove 0 il rendimento caratteristico, ossia il rendimento del
rotismo ordinario.
0''11>= !MW
m
( ) mp WW '1 0 !"= #
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo approssimato dei rendimenti
Poich il rendimento del rotismo epicicloidale si pu scriverecome:
si ricava:
da cui si vede che il rendimento pu essere maggiore o minoredel rendimento caratteristico a seconda che la potenza motricenel moto relativo sia maggiore o minore di quella del motoassoluto.
m
p
W
W!=1"
( )m
m
W
W '11
0!""= ##
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Calcolo approssimato dei rendimenti
Per semplificare il calcolo calcoliamo la potenza motrice nelmoto relativo come se non vi fossero perdite, ossia come sefosse:
(In realt differiscono della potenza persa Wp)
per cui possibile utilizzare la potenza trasmessa nel motorelativo (Wt):
2211'' !! MM =
( )m
t
W
W '11
0!""= ##
essendo: ( ) tp WW '1 0 !"= #
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Esempio 1
Rotismo con rapporto di trasmissione molto piccolo
2212
2111
0
zz
zz
!
!="
31
32
0
!!
!!"
#
#=
Albero 1: bloccatoAlbero 2: condottoAlbero 3: motore
!
" = 1# "0
= 1#z11$ z
21
z12$ z
22100
99
100
101
22
21
12
11
=
=
=
=
z
z
z
z
!!"
!!#
$
==
%==
%
%
4
4
0
1010000
1
10110000
9999
&
&
21
Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Esempio 2
Riduttore con disposizione a planetario
2
1
0
z
z!="
31
32
0
!!
!!"
#
#=
Albero 1: motoreAlbero 2: bloccatoAlbero 3: condotto
21
1
zz
z
+=!
Richiede dentature con spostamento, oppure,affinch siano uguali gli interassi degli ingranaggi1-3 e 2-3:
z1 + 2 z3 = z2 Maggiore riduzione del rotismo ordinario. Rotazioni equi-verse di alberi motore e condotto.
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Esempio 3
Differenziale automobilistico
1
31
32
0!=
!
!=
""
""#
Il vincolo aggiuntivo la strada(i tre alberi sono liberi)
2
21
3
!!!
+=
10
!="Viene realizzato con z1 = z2, per cui:
che posto nella Formula di Willis:
fornisce:
La velocit dellalbero3 (motore) sempre lamedia delle velocitsugli alberi 1 e 2(ruote).
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Riduttore a due stadi coassiali
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Gioco
concettualmente, rotazione di un albero, con laltro bloccato, a coppianulla. In realt la coppia non nulla perch ho sempre delle perdite.Necessit di definire una soglia della coppia.
Possibilit di definirlo per lalbero lento e per lalbero veloce
La relazione, se non fosse per il problema della soglia, sarebbe ilrapporto di trasmissione del rotismo
Misura sperimentale: necessario vincolare la cassa ed uno dei due alberi e ruotare laltro.
Opportuno misurare anche la coppia per potere considerare la sogliasopra indicata
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Rigidezza
Con la cassa vincolata e uno dei due alberi bloccati, si traccia il diagrammaCoppia-Rotazione dellaltro albero
Definizione semplice: rapporto coppia/rotazione nel tratto lineare
Approfondendo:- Tratto iniziale di recupero del gioco- Non linearit della curva: rigidezza tangente, secante, etc.
Definibile nei due versi di utilizzo (riduttore/moltiplicatore): non facile passareda una allaltra perch interviene, oltre al rapporto di trasmissione, il rapportodi conversione dei momenti, influenzato dalle perdite
Misura Sperimentale: set-up simile a quello per il gioco. I risultati, tenuto contodellentit dei carichi applicati, dipendono anche dalle modalit di vincolo edalla rigidezza dello stesso.
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Misura sperimentale
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Misura Sperimentale: equilibrio
Equilibrio di un riduttore
Equilibrio di un cambio
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Diagramma Coppia-Rotazione
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Commenti sulla forma della curva
Un po di incertezza, anche ragionando in termini di soglia della coppia,nellindividuare la parte di gioco
Curva coppia/rotazione non proprio lineare
Tipica forma della curva, dovuta ai fenomeni di dissipazione. Lareacompresa tra la curva di carico e quella di scarico e la posizionerelativa delle due curve, si spiegano tenendo conto che le dissipazionisi oppongono sempre al moto relativo: pertanto, rispetto alla curvaideale senza perdite, il tratto di carico pi in alto e lo scarico pibasso.
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
Ulteriori commenti e attivit in programma
Dall'osservazione delle prove sono scaturite le seguenti considerazioni :
Necessit di differenziare le verifiche di gioco angolare da quelle dirigidezza torsionale caratterizzando le prime con una coppia nonsuperiore al 2% della nominale e con la presenza di un grano dibloccaggio, mentre le seconde con una coppia pari alla Ma2 (250N*m sul lento e pertanto 8 N*m sul veloce) senza la presenza delgrano.
Fare la prova bloccando rispettivamente i due alberi al fine di verificare ilreale rapporto dei valori rilevati sia di gioco che di rigidezza torsionalenei due versi
Opportunit di calcolare la rigidezza torsionale e il gioco angolare in piposizioni angolari (a 90) dellalbero lento
Prove a temperature diverse
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Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali
G. Niemann, H. Winter, Elementi di macchine, vol. I, II, III, Edizioni di
Scienza e Tecnica, Milano, 1983, 1986
AA. VV., Manuale dellIngegnere Meccanico, Hoepli, Milano, 1994
MAAG Gear Company, MAAG Gear Book, Schellenberg Druck AG,
Pfaffikon ZH (CH), 1990
D. W. Dudley, D. Townsend, Manuale degli Ingranaggi,
Tecniche Nuove, Milano, 1996
Bibliografia