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 Rotismi Epicicloidali Rotismi Epicicloidali Concetti generali, rendimento, giochi, rigidezze Concetti generali, rendimento, giochi, rigidezze Carlo Gorla Carlo Gorla

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  • Rotismi EpicicloidaliRotismi Epicicloidali

    Concetti generali, rendimento, giochi, rigidezzeConcetti generali, rendimento, giochi, rigidezze

    Carlo GorlaCarlo Gorla

  • 2Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Rotismi epicicloidali

  • 3Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Premesse

    Consideriamo il pi semplice rotismo ordinario:

    ha un grado di libert (rotazione assi)

    2

    1

    1

    2

    z

    z==

    !

    !"

    Il telaio fisso (vincolo a terra attraverso la cassa).

  • 4Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Premesse

    Supponiamo ora di realizzare il telaio di modo che possa

    ruotare attorno ad un asse (3) parallelo agli altri (1 e 2).

    Abbiamo realizzato un rotismo epicicloidale.

    Il telaio viene detto portatreno.

    Ha due gradi di libert.

    Continua a valere le definizione generica del

    rapporto di trasmissione.

  • 5Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Premesse

    Le velocit relative al portatreno delle ruote 1 e 2 valgono:

    322

    311

    '

    '

    !!!

    !!!

    "=

    "=

    mentre il rapporto di trasmissione del rotismo

    ordinario iniziale diviene:

    2

    1

    0

    z

    z!="

    poich le velocit angolari hanno versi opposti.

  • 6Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Premesse

    Con riferimento al portatreno:

    nota come Formula di Willis.

    31

    32

    1

    2

    0

    '

    '

    !!

    !!

    !

    !"

    #

    #==

    In essa sono due i parametri indipendenti.

    Per utilizzare un rotismo epicicloidale in unatrasmissione necessario eliminare un gradodi libert.

  • 7Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo del rapporto di trasmissione

    Per esaminare tutte le configurazioni bloccheremo di

    volta in volta uno dei tre assi.

    Distingueremo per ogni caso due sotto-casi, in relazione

    alle funzioni di motore e condotto.

    Vedremo come sar sempre possibile esprimere il

    rapporto di trasmissione complessivo ( ) in funzione del

    rapporto di trasmissione caratteristico (0 ).

  • 8Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo del rapporto di trasmissionePortatreno bloccato

    Otteniamo nuovamente il rotismo di partenza.

    2

    1

    1

    2

    1

    2

    0

    0

    0

    z

    z!==

    !

    !=

    "

    "

    "

    "#

    03=!

    Albero 1 motore Albero 2 motore

    0

    1

    2 !"

    "! ==

    02

    11

    !"

    "! ==

  • 9Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo del rapporto di trasmissioneAlbero 1 bloccato

    0

    3

    2

    3

    2

    3

    23

    3

    32

    011

    0!

    "

    "

    "

    "

    "

    ""

    "

    ""! #=$#=

    #=

    #

    #=

    01=!

    Albero 2 motore Albero 3 motore

    02

    3

    1

    1

    !"

    "!

    #==

    0

    3

    21 !

    "

    "! #==

  • 10

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo del rapporto di trasmissioneAlbero 2 bloccato

    03

    1

    3113

    3

    31

    3

    0

    11

    1

    10

    !"

    "

    """"

    "

    ""

    "! #=$

    #=

    #=

    #

    #=

    02=!

    Albero 1 motore Albero 3 motore

    10

    0

    1

    3

    !=="

    "

    #

    #"

    03

    11

    1!"

    "! #==

  • 11

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Esempi di rotismi epicicloidali piani

  • 12

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Schemi di soluzioni costruttivePortatreno bloccato

  • 13

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Schemi di soluzioni costruttiveAlbero 2 bloccato

  • 14

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Schemi di soluzioni costruttiveAlbero 1 bloccato

  • 15

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo dei momenti

    Possiamo scrivere due equazioni:

    1. Equilibrio globale del rotismo

    (assumendo un unico verso positivo)

    2. Rapporto di conversione dei momenti (trascurando le perdite)

    0321=++ MMM

    01

    21

    !"=

    M

    M

  • 16

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo approssimato dei rendimenti

    necessario scomporre il moto assoluto in

    moto di trascinamento: in questo moto tutti gli organi ruotanocon la stessa velocit del portatreno ( 3 );

    moto relativo: il moto rispetto al portatreno.

    Le perdite sono dovute agli ingranamenti e quindi hanno luogonel moto relativo.

    necessario calcolare la potenza motrice nel moto relativo.

  • 17

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo approssimato dei rendimenti

    Nellipotesi che lalbero 1 sia motore:

    la potenza perduta nel moto relativo vale:

    dove 0 il rendimento caratteristico, ossia il rendimento del

    rotismo ordinario.

    0''11>= !MW

    m

    ( ) mp WW '1 0 !"= #

  • 18

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo approssimato dei rendimenti

    Poich il rendimento del rotismo epicicloidale si pu scriverecome:

    si ricava:

    da cui si vede che il rendimento pu essere maggiore o minoredel rendimento caratteristico a seconda che la potenza motricenel moto relativo sia maggiore o minore di quella del motoassoluto.

    m

    p

    W

    W!=1"

    ( )m

    m

    W

    W '11

    0!""= ##

  • 19

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Calcolo approssimato dei rendimenti

    Per semplificare il calcolo calcoliamo la potenza motrice nelmoto relativo come se non vi fossero perdite, ossia come sefosse:

    (In realt differiscono della potenza persa Wp)

    per cui possibile utilizzare la potenza trasmessa nel motorelativo (Wt):

    2211'' !! MM =

    ( )m

    t

    W

    W '11

    0!""= ##

    essendo: ( ) tp WW '1 0 !"= #

  • 20

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Esempio 1

    Rotismo con rapporto di trasmissione molto piccolo

    2212

    2111

    0

    zz

    zz

    !

    !="

    31

    32

    0

    !!

    !!"

    #

    #=

    Albero 1: bloccatoAlbero 2: condottoAlbero 3: motore

    !

    " = 1# "0

    = 1#z11$ z

    21

    z12$ z

    22100

    99

    100

    101

    22

    21

    12

    11

    =

    =

    =

    =

    z

    z

    z

    z

    !!"

    !!#

    $

    ==

    %==

    %

    %

    4

    4

    0

    1010000

    1

    10110000

    9999

    &

    &

  • 21

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Esempio 2

    Riduttore con disposizione a planetario

    2

    1

    0

    z

    z!="

    31

    32

    0

    !!

    !!"

    #

    #=

    Albero 1: motoreAlbero 2: bloccatoAlbero 3: condotto

    21

    1

    zz

    z

    +=!

    Richiede dentature con spostamento, oppure,affinch siano uguali gli interassi degli ingranaggi1-3 e 2-3:

    z1 + 2 z3 = z2 Maggiore riduzione del rotismo ordinario. Rotazioni equi-verse di alberi motore e condotto.

  • 22

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Esempio 3

    Differenziale automobilistico

    1

    31

    32

    0!=

    !

    !=

    ""

    ""#

    Il vincolo aggiuntivo la strada(i tre alberi sono liberi)

    2

    21

    3

    !!!

    +=

    10

    !="Viene realizzato con z1 = z2, per cui:

    che posto nella Formula di Willis:

    fornisce:

    La velocit dellalbero3 (motore) sempre lamedia delle velocitsugli alberi 1 e 2(ruote).

  • 23

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Riduttore a due stadi coassiali

  • 24

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Gioco

    concettualmente, rotazione di un albero, con laltro bloccato, a coppianulla. In realt la coppia non nulla perch ho sempre delle perdite.Necessit di definire una soglia della coppia.

    Possibilit di definirlo per lalbero lento e per lalbero veloce

    La relazione, se non fosse per il problema della soglia, sarebbe ilrapporto di trasmissione del rotismo

    Misura sperimentale: necessario vincolare la cassa ed uno dei due alberi e ruotare laltro.

    Opportuno misurare anche la coppia per potere considerare la sogliasopra indicata

  • 25

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    Rigidezza

    Con la cassa vincolata e uno dei due alberi bloccati, si traccia il diagrammaCoppia-Rotazione dellaltro albero

    Definizione semplice: rapporto coppia/rotazione nel tratto lineare

    Approfondendo:- Tratto iniziale di recupero del gioco- Non linearit della curva: rigidezza tangente, secante, etc.

    Definibile nei due versi di utilizzo (riduttore/moltiplicatore): non facile passareda una allaltra perch interviene, oltre al rapporto di trasmissione, il rapportodi conversione dei momenti, influenzato dalle perdite

    Misura Sperimentale: set-up simile a quello per il gioco. I risultati, tenuto contodellentit dei carichi applicati, dipendono anche dalle modalit di vincolo edalla rigidezza dello stesso.

  • 26

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    Misura sperimentale

  • 27

    Carlo Gorla - EpicicloidaliCarlo Gorla - Epicicloidali

    Misura Sperimentale: equilibrio

    Equilibrio di un riduttore

    Equilibrio di un cambio

  • 28

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    Diagramma Coppia-Rotazione

  • 29

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    Commenti sulla forma della curva

    Un po di incertezza, anche ragionando in termini di soglia della coppia,nellindividuare la parte di gioco

    Curva coppia/rotazione non proprio lineare

    Tipica forma della curva, dovuta ai fenomeni di dissipazione. Lareacompresa tra la curva di carico e quella di scarico e la posizionerelativa delle due curve, si spiegano tenendo conto che le dissipazionisi oppongono sempre al moto relativo: pertanto, rispetto alla curvaideale senza perdite, il tratto di carico pi in alto e lo scarico pibasso.

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    Ulteriori commenti e attivit in programma

    Dall'osservazione delle prove sono scaturite le seguenti considerazioni :

    Necessit di differenziare le verifiche di gioco angolare da quelle dirigidezza torsionale caratterizzando le prime con una coppia nonsuperiore al 2% della nominale e con la presenza di un grano dibloccaggio, mentre le seconde con una coppia pari alla Ma2 (250N*m sul lento e pertanto 8 N*m sul veloce) senza la presenza delgrano.

    Fare la prova bloccando rispettivamente i due alberi al fine di verificare ilreale rapporto dei valori rilevati sia di gioco che di rigidezza torsionalenei due versi

    Opportunit di calcolare la rigidezza torsionale e il gioco angolare in piposizioni angolari (a 90) dellalbero lento

    Prove a temperature diverse

  • 31

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    G. Niemann, H. Winter, Elementi di macchine, vol. I, II, III, Edizioni di

    Scienza e Tecnica, Milano, 1983, 1986

    AA. VV., Manuale dellIngegnere Meccanico, Hoepli, Milano, 1994

    MAAG Gear Company, MAAG Gear Book, Schellenberg Druck AG,

    Pfaffikon ZH (CH), 1990

    D. W. Dudley, D. Townsend, Manuale degli Ingranaggi,

    Tecniche Nuove, Milano, 1996

    Bibliografia