UNIDAD 6 PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS

6.1 Trayectorias paramétricas

Esta técnica se fundamenta en conceptos de control y planificación geométrica. Se denominan trayectorias paramétricas a aquellas generadas por un vector de control que permite asegurar que el sistema recorre una trayectoria en la que se mantiene una curvatura constante. Resulta claro que las trayectorias paramétricas en tipos de sistemas son líneas rectas y arcos de circunferencia. En este caso, dichas trayectorias están determinadas por la configuración inicial del sistema. Por tanto, cada configuración posible presenta una trayectoria paramétrica. Para el modelo presentado en el vector de control estará dado por un valor genérico para la velocidad y un valor de curvatura definido por:

Donde (teta 0) y (beta 0) representan, respectivamente, los valores iniciales de la orientación del robot. El método de planificación se basa en la generación de una trayectoria que es combinación convexa de las trayectorias paramétricas asociadas a la configuración inicial y final en la forma:

Donde y son las trayectorias paramétricas asociadas a la configuración inicial y

final, y es una función que aplica [0,1] en [0,1] y que cumple:

Ejemplo:

Se considera el sistema dinámico lineal en tiempo continuo descrito por:

Éste modelo permite tomar en cuenta las variaciones paramétricas de un sistema dinámico.

Aplicando la programación dinámica mediante la ecuación de Hamilton- Jacobi-Bellamn se tiene que este control es:

La ecuación diferencial matricial de Riccati se convierte en una ecuación algebraica matricial, ya que el lado izquierdo es idéntico a cero. Por lo que el control óptimo para un sistema lineal invariante en el tiempo es:

4.1.1 Simulación para una línea recta

El algoritmo fue implementado en el software MATLAB, se utiliza la instrucción care para obtener solución de estabilización �I de la ecuación algebraica de Riccati, y la instrucción ode45 para la solución de la ecuación de control en lazo cerrado mediante una integración numérica por el método

Runge-Kutta de 5 orden.

Así entonces, el control óptimo para que el robot móvil realice la trayectoria recta deseada está dado por:

6.2 Perfil Trapezoidal

El controlador de movimiento típico calcula los segmentos de la trayectoria del perfil de movimiento en base a los valores de parámetros que usted programe. El controlador de movimiento utiliza los valores de la posición especificada deseada, la velocidad máxima que se desea alcanzar y la aceleración que usted proporciona para determinar cuánto tiempo empleará en los tres segmentos de movimiento principales (los cuales incluyen aceleración, velocidad constante y desaceleración).

Para el segmento de aceleración de un perfil típico trapezoidal, el movimiento comienza desde una posición de detenimiento o desde un movimiento previo y sigue una rampa de aceleración indicada hasta que la velocidad alcanza la velocidad deseada para el movimiento.

La aceleración/desaceleración de curva S es una mejora de la trayectoria trapezoidal y en la cual las rampas de aceleración y desaceleración se modifican hacia un perfil no linear y curveado. Este preciso control de la figura de rampa es muy útil para ajustar el rendimiento de trayectoria de movimiento en base a las limitantes del sistema de movimiento, incluyendo inercia, fricción y dinámica del motor, entre otras.

6.3 Restricción de Trayectorias

Colisiones

La generación de un camino libre de colisiones se consigue mediante la combinación de esta técnica con un planificador que utiliza métodos geométricos. La idea consiste en encontrar una ruta de configuraciones libre de colisiones, sin preocuparse de las características cinemáticas del robot. Posteriormente se generan caminos que conecten los distintos puntos de la ruta. Los caminos resultantes entre dos configuraciones son evaluados, de forma que se comprueba que en el camino generado no aparecen colisiones ni se violan las restricciones de curvatura máxima. Si se detecta alguna colisión, se escogen otros dos nuevos puntos de la ruta. El proceso es repetido hasta ir encontrando caminos libres de colisiones a lo largo de la ruta previamente obtenida.

-Planificación basada en maniobra restringida-

Una maniobra restringida es una trayectoria al final de la cual sólo cambian los valores de ciertas variables de configuración; en el resto de variables, los valores finales son iguales a los valores iniciales. Este concepto puede considerarse aplicable de forma genérica a todos los sistemas no holónomos.

La generación de maniobras restringidas está vinculada a la aplicación de una sucesión de vectores campo que satisfacen las restricciones cinemáticas; además, cada uno de estos vectores están asociados a un vector de control determinado. Por tanto, puede considerarse que esta técnica se basa en el diseño de una ley de control en bucle abierto, discontinua en el tiempo, que permite llevar el sistema desde cualquier configuración inicial a una configuración final.

La planificación basada en esta técnica genera una sucesión de maniobras restringidas, que permiten alcanzar cualquier configuración final desde una configuración inicial arbitraria.

Con el objetivo de que el movimiento del robot sea suave y esté de acuerdo con las restricciones de los actuadores se divide cada trayectoria articular en tres segmentos, correspondientes a la aceleración del motor, el periodo de velocidad máxima y la deceleración o frenado del motor. La gráfica siguiente muestra esta división en la que se puede observar como los periodos de

aceleración y frenado ofrecen un movimiento suave del rob Con el objetivo de que el movimiento del robot sea suave y esté de acuerdo con las restricciones de los actuadores se divide cada trayectoria articular en tres segmentos, correspondientes a la aceleración del motor, el periodo de velocidad máxima y la deceleración o frenado del motor. La gráfica siguiente muestra esta división en la que se puede observar como los periodos de aceleración y frenado ofrecen un movimiento suave del robot. ot.