PLANILHA ELETRÔNICA DE CÁLCULO - FERRAMENTA DE APOIO À

CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO:

TRABALHANDO COM A MULTIPLICAÇÃO NO ENSINO FUNDAMENTAL

Danilo Ribeiro1

João Cândido Bracarense Costa2

RESUMO

O Brasil está vivenciando um paradoxo, de um lado o crescimento da economia re-fletida em uma maior qualidade de vida para sua população, por outro, o sistema da Educação se mostra frágil, dado os índices de avaliação alcançados a cada verifica-ção. Parecem grandezas inversamente proporcionais, mas deixa dúvidas se em um futuro não distante, a ausência de uma Educação mais sólida não refletirá no de-sempenho dos seus representantes legais, ou seja, do homem. A pesquisa presente teve como meta a construção de uma metodologia de apoio ao professor, numa perspectiva de alterar o quadro atual, possibilitando maior aprendizagem, menor evasão e o real desenvolvimento intelectual dos agentes da educação. Os resulta-dos mostram que esta dinâmica surtiu o efeito desejado, obtendo aceitação plena tanto no corpo discente quanto docente da Escola Estadual Cielito Lindo, situada na cidade de Lindoeste, região oestina do Paraná.

Palavras chave: Processo de Ensino-Aprendizagem; Construtivismo; Ensino

Fundamental e Médio.

1 Professor de Matemática da Rede Pública do Paraná. E-mail: daniloribeiro@seed.pr.gov.br.

2 Professor Associado – UNIOESTE. E.mail: bracarensecosta@gmail.com

.

1. Introdução

O Brasil está vivenciando um paradoxo, de um lado o crescimento da econo-

mia refletida em uma maior qualidade de vida para sua população, por outro, o siste-

ma da Educação se mostra órfão, dado os índices de avaliação atingidos a cada ve-

rificação. Parecem grandezas inversamente proporcionais, mas deixa dúvidas se em

um futuro não distante, a ausência de uma Educação mais sólida não refletirá no de-

sempenho dos seus representantes legais, ou seja, do homem.

O Indicador de Alfabetismo Funcional (Inaf)3 reflete o expressivo crescimento

de universidades de baixa qualidade. É considerada analfabeta funcional a pessoa

que, mesmo sabendo ler e escrever, não tem as habilidades de leitura, de escrita e

de cálculo necessárias para viabilizar seu desenvolvimento pessoal e profissional.

O conceito adquire crescente relevância no Brasil, uma vez que a tendência

à universalização do acesso das crianças à escola leva à concreta redução do nú-

mero de analfabetos absolutos. Além disso, outras iniciativas nas diferentes instânci-

as de governo estimulam a permanência dos alunos de baixa renda na sala de aula,

combatem a evasão escolar e promovem o retorno às salas de aula dos jovens e

adultos, contribuindo assim para que o nível nominal de escolaridade da população

avance. A questão que se põe é se o acesso e a frequência à escola são suficientes

para garantir a aquisição de habilidades necessárias à vida cotidiana dessas pesso-

as, de forma a torná-las aptas a realizarem suas atividades e se desenvolverem

como cidadãos conscientes de seus direitos e deveres.

De acordo com as informações do Indicador de Alfabetismo Funcional (Inaf),

no período de 2001 a 2005, o aumento da escolaridade da população brasileira não

se reflete na mesma proporção em termos de aprendizado.

Um dos índices nacional bastante difundido é o Sistema de Avaliação da

Educação Básica (Saeb) realizado pelo Inep/MEC, abrange estudantes da rede pú-

blica e privada do País, de alunos matriculados na 4ª e 8ª séries (ou 5º e 9º anos) do

Ensino Fundamental e também no 3º ano do Ensino Médio. São aplicadas provas de

Língua Portuguesa e Matemática. A mais recente foi aplicada em 2009.

3 http://www.ipm.org.br/download/inaf_5anos_completo.pdf

.

O índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb), baseado em

dados de 2009, mostram que a primeira etapa do ensino fundamental (1ª à 4ª série)

ficou com nota média de 4,6. A segunda etapa (5ª a 8ª série), ficou com 4,0; o ensino

médio, por sua vez, teve média 3,6. As médias estão "vermelhas", a nota é medida

numa escala que vai de 0 a 10.

O presente trabalho tem como meta apoiar a prática docente, possibilitando

a aprendizagem discente por meio de utilização da informática educativa, numa

perspectiva de mudar o quadro acima descrito.

Ensinar matemática tem sido frequentemente uma tarefa difícil, as dificulda-

des intrínsecas somam-se as decorrentes de uma visão distorcida da matéria, esta-

belecida muitas vezes desde os primeiros contatos. Um dos componentes funda-

mentais de tal visão é a concepção muito difundida entre leigos e especialistas, de

que o conhecimento de matemática possui características gerais de objetividade, de

precisão, rigor, de mentalidade do ponto de vista ideológico que universalizam a ma-

temática dos números, da adição, subtração, multiplicação e divisão.

O conteúdo foi trabalhado com a 5ª série/ 6º ano terá uma nova forma de en-

sinar as quatro operações básicas, tendo como enfoque principal a multiplicação. As

atividades objetivam despertar a sensibilidade dos professores e alunos para um

novo emergir do ensino das quatro operações, visando a construção de uma unida-

de didática. O trabalho apresenta uma sequência de atividades relacionadas com a

multiplicação, tendo como apoio principal o raciocínio computacional. Tendo como

meta incentivar os alunos a formular e resolver operações de uma maneira a que se

apeguem naturalmente ao conteúdo, de maneira mais agradável. Mesmo aos pro-

fessores que, por um motivo ou outro, não estejam propensos a maiores mudanças,

esta será uma forma para o professor ensinar diferente, despertando a criatividade

no processo ensino-aprendizagem da matemática.

Um grande percentual de nossos alunos tem um verdadeiro pavor da mate-

mática, porque encaram essa disciplina como difícil e complicada, de certa forma

muitos alunos acabam reprovando por não compreender a metodologia que os pro-

fessores aplicam em sala de aula, devido ao fato das atividades serem distantes da

realidade de nossos alunos. Diante desta realidade, é preciso desenvolver ações

que tornem o ensino de matemática mais atrativo aos alunos.

E em relação ao processo que envolvem as operações matemáticas, de for-

ma mais específica a multiplicação, que foi elaborada uma unidade didática que traz

atividades para se trabalhar com recursos computacionais como meio de sanar as

dificuldades apresentadas pelos alunos nas operações básicas, tornando o ensino

da disciplina de matemática mais interessante para os alunos.

Muitos alunos possuem verdadeiro pavor da matemática escolar justamente

porque encaram esta disciplina como difícil e complicada. Muitos alunos acabam

reprovando por não compreender a metodologia aplicada pelos professores em sala

de aula e devido ao fato de que as operações trabalhadas são abstratas e distantes

da realidade dos mesmos.

A falta de entendimento e a pouca compreensão dos processos que envolvem

as operações matemáticas, e de forma mais especifica, a multiplicação, justifica a

necessidade de realização deste estudo acadêmico sobre o trabalho com a

multiplicação no Ensino Fundamental.

Nota-se facilmente nas escolas práticas nas quais alguns professores

trabalham a matemática apenas de forma expositiva, oral e se utilizam muito pouco

de materiais concretos visando com isso estimular a construção do conhecimento, a

criatividade, tendo como consequência a ampliação de situações de aprendizagem.

Outra justificativa que vem apoiar a pesquisa das dificuldades de

aprendizagem envolvendo principalmente a operação multiplicação é a dificuldade

de compreensão que os alunos encontram ao utilizar a matemática escolar em

situações reais da vida, ou seja, os conteúdos ensinados na escola nem sempre são

aplicados de forma correta na vida cotidiana.

De que maneira deve ser conduzida e planejada uma aula da disciplina de

Matemática? Como ensinar os conteúdos matemáticos em sala de aula? De que

maneira o aluno aprende matemática e como avaliar a sua aprendizagem?

Possivelmente questões como estas já tenham permeado as reflexões a respeito da

atividade de docência em matemática. Este questionamento e outros tantos que se

repetem diariamente fazem o educador refletir sobre como o aluno aprende ou não,

por que os alunos do Ensino Fundamental possuem dificuldades em compreender e

entender o processo matemático que envolve as operações básicas.

Os questionamentos, em especial a respeito do processo de ensino e de

aprendizagem nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, levam o professor a

perceber a necessidade de trabalhar melhor os conhecimentos matemáticos, de

forma mais concreta durante este período de escolarização. Entretanto, é

indispensável ao educador conhecer as especificidades e as particularidades que

envolvem os conhecimentos desta disciplina, que articulados com a matéria a ser

ensinada e as estruturas conceituais da disciplina, promovem a aproximação da

aprendizagem do aluno com o modo de ensinar a matemática.

Apresentar alternativas para que a aprendizagem das operações

fundamentais ocorra com mais facilidade é um dos objetivos propostos neste estudo

e nesta pesquisa acadêmica. Também é proposto através deste estudo a promoção

da aprendizagem autônoma das quatro operações fundamentais básicas, de forma

especifica a multiplicação, visando à superação das dificuldades de aprendizagem

com o uso do computador com atividades diversificadas, aprimorando o raciocínio

lógico matemático.

Dentre os objetivos específicos deste trabalho podem ser destacadas os

seguintes: o despertar nas crianças das noções matemáticas, o aprimoramento do

raciocínio lógico e matemático através de situações problemas, a compreensão das

contribuições da matemática na sociedade e suas contribuições para a vida real,

sendo que ainda são propostas atividades na disciplina de matemática que

promovam a curiosidade e espontaneidade, estimulando novas descobertas

relacionando com os conteúdos que já conhece.

Também são objetivos deste artigo o estimulo pelo gosto pela matemática e

pela aprendizagem das operações básicas, o repasse de conhecimentos

matemáticos aplicados nas operações de multiplicações e o trabalho com a

multiplicação envolvendo números concretos e reais, próximos da realidade dos

alunos.

2. Desenvolvimento

A matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o

homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A

matemática foi usada pelos egípcios nas construções de pirâmides, diques, canais

de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram

vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias

áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física,

química etc. Podemos dizer que em tudo que olhamos existe matemática.

Neste aspecto, parte-se do principio de que a historia do conhecimento

matemático se desenvolve juntamente com a história da própria humanidade, visto

que, segundo D’Ambrósio (1999) “as ideias matemáticas comparecem em toda a

evolução da humanidade, definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente,

criando e desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os

fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência”.

Isto permite compreender a Matemática como um produto cultural e social,

que assume diferentes visões conforme a época e o contexto. Deste modo, indícios

matemáticos são encontrados desde a Antiguidade, os quais mostram como esse

conhecimento foi se constituindo de uma época para a outra, de um povo para o

outro.

Historiadores revelam que da Antiguidade até meados da Idade Media, uma

parte do conhecimento produzido era resultado das necessidades praticas da vida

diária e a outra parte era consequência da valorização do caráter teórico e racional

da Matemática. Por exemplo, segundo D’Ambrósio (1999) para os gregos a

Matemática era vista como uma rica fonte de conhecimento que ajudava os

pensadores e filósofos da época no desenvolvimento da inteligência. Era uma visão

que não se relacionava com as questões praticas e sim à contemplação divina do

conhecimento, pois se acreditava em uma matemática teórica, abstrata, a qual

servia para formar os bem-dotados, aqueles que tinham maior facilidade de

aprender, ou seja, de memorizar.

D’Ambrósio (1999) afirma ainda que para os demais restava a Matemática

pratica, utilitária, ensinada por mestres de ofícios em suas próprias oficinas e que

resultava em uma aprendizagem mecânica a respeito dos elementos técnicos

necessários às varias profissões. Isto ainda se observa atualmente no processo de

ensino e de aprendizagem da matemática onde segundo Miorim (1998) “o processo

de aquisição matemática parece ter as suas raízes em ações adotadas na

Antiguidade, tal como ocorria no Egito antigo, cujo ensino era baseado no treino da

repetição de procedimentos, consequentemente, propiciando o predomínio do tipo

de aprendizagem memoristica ou repetitiva”.

Em plena Idade Média, o conhecimento matemático considerado inadequado

aos princípios cristãos, praticamente não se propagou devido ao poder que a Igreja

Católica exercia sobre a sociedade da época. Tal situação não favoreceu para que

houvesse, na Europa, uma evolução significativa do conhecimento produzido na

Antiguidade. As grandes navegações, o estudo da astronomia e a lógica foram fatos

importantes para que, no século XV, o conhecimento começasse a ser organizado

por especialidades, ou seja, em aritmética, em álgebra e em geometria. É nesse

período que a Matemática começa a ser estruturada nos termos como hoje é

conhecida, ou seja, em uma área de conhecimento especifica.

Segundo Boyer (2002) no século XVI, as ideias a respeito da Matemática são

variadas e conflitantes devido a confrontações entre os conceitos estabelecidos na

Antiguidade e os novos conhecimentos da Idade Media e também, entre a visão

teórica e a exigência de problemas práticos.

No século XVII, surge uma nova visão de ciência que admitia além das

reflexões a respeito do homem e da sua natureza intelectual, também a necessidade

de criação de instrumentos próprios para a observação dos fenômenos da natureza.

Nesta época os avanços técnicos, intelectuais e tecnológicos foram denominados de

Ciência Moderna. O ensino da Matemática começa a se desenvolver e a se

modificar. Surgem escolas práticas para atender uma nova classe emergente, nas

quais se desenvolvia novos ramos do conhecimento matemático por meio de cursos

práticos de aritmética prática, álgebra, contabilidade, navegação e trigonometria.

Nos séculos seguintes, os conhecimentos matemáticos passaram a ser

desenvolvidos nas universidades, ganhando grande impulso e desenvolvimento.

Com o resultado deste avanço da ciência moderna, a matemática passou a ter

importância na escola básica.

No Brasil, em relação ao ensino da matemática, pode-se dizer que nos

períodos da Colônia e do Império, muito pouco se registrou a respeito. Segundo

Valente (1999) no ensino jesuítico nada se encontrou sobre as origens da

matemática escolar que pudessem servir de referência, pois nas escolas da

Companhia de Jesus legavam à matemática um caráter secundário. Ela era apenas

usada para o desenvolvimento do raciocínio para a Física e outras ciências.

Somente a partir da metade do século XIX, a matemática escolar extrapola o

ambiente (cursos) militar para o ensino nos colégios, com ênfase em aritmética,

geometria e álgebra.

A interpretação e a compreensão das operações matemáticas é um processo

lento que vai ocorrendo de acordo com o amadurecimento intelectual das pessoas. A

atualidade tem mostrado que proporcionar oportunidades para que os alunos

pensem, troquem ideias e façam descobertas, discutem os problemas têm sido um

bom caminho para minorar as dificuldades de compreensão e motivar o alunado a

estudar matemática.

Algumas operações básicas, como a adição e a subtração já fazem parte da

vida das crianças desde muito cedo, quando questionam os seus pais: Quem tem

mais? Quem tem menos? Quantos faltam? Cabe a escola preparar e aproveitar os

momentos vivenciados pelas crianças no seu dia a dia, com sugestões de atividades

que proporcionam a ideia de juntar, acrescentar, de retirar, de completar, de

comparar, etc. Para que isso aconteça, o ambiente de trabalho deve proporcionar

todos os recursos para dirimir tais desafios.

A educação computacional é uma ferramenta poderosa para desenvolver as

características necessárias para o bom desempenho do estudante, como auxilia na

maneira do pensar, debater e concluir aspectos relacionados com a abstração

matemática.

A contribuição da escola para o desenvolvimento do raciocínio lógico deve ser

o fator primordial no combate ao analfabetismo matemático. É preciso que as

crianças tenham clareza das ideias matemáticas que darão sustentáculo aos

processos mentais nas séries posteriores. São muitas as críticas levantadas pelos

professores de 5° a 8° séries e do Ensino Médio, quando dizem que falta a base

matemática dos alunos para a compreensão de determinados problemas.

Os métodos, recursos didáticos e estratégias devem ser os mais eficazes

possíveis para que o Processo de Aprendizagem se efetue e possa ser útil na vida

dos seres. O fortalecimento da tecnologia deveria oportunizar um melhor

aprimoramento nos costumes da sociedade, inclusive no trato de aquisição de

conhecimentos. Observa-se, no entanto, que a apreensão dos conceitos

matemáticos têm se mostrado bastante frágil. No intuito de cooperação atenta-se a

três debates que podem convergir para uma prática diferenciada, tema a ser

dissertado nos próximos parágrafos.

2.1 O computador como recurso na Matemática

As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos

principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem

nos meios de produção e por suas consequências no cotidiano das pessoas.

Gladcheff, Zuffi e Silva (2001, apud Gomes et al, 2002, p. 4) afirmam que

A utilização de softwares em aulas de Matemática no ensino fundamental pode atender objetivos diversos: ser fonte de informação, auxiliar o processo de construção de conhecimentos, desenvolver a autonomia do raciocínio, da reflexão e da criação, de soluções [...] os softwares mais proveitosos seriam aqueles que permitem uma grande interação do aluno com os conceitos ou ideias matemáticas, proporcionando a descoberta, inferir resultados, levantar e testar hipóteses.

Assim, quando disponível em sala de aula, o computador pode facilitar o

trabalho com atividades onde o aluno teste, experimente e consiga enfim chegar a

uma conclusão. O professor deve atentar especialmente para a escolha dos

programas a serem utilizados e a metodologia empregada em aulas de matemática

em ambientes computacionais, visando melhor qualidade no ensino (BRANDÃO,

ISOTANI, MOURA, 2005). Com esta fascinante ferramenta, tem-se a oportunidade

de trabalhar tabelas, gráficos, planilhas, desenhos geométricos e outros aspectos

ligados a ideias matemáticas.

2.2 O erro no processo de ensino-aprendizagem

Até bem pouco tempo atrás, o erro era visto como algo negativo, que

dificultava o processo de ensino-aprendizagem. Era considerado como uma falta

cometida pelo aluno por sua incapacidade ou por insuficiência de conhecimentos. E

ainda hoje, é assim encarado por muitos professores, em muitas escolas. Mas

atualmente, várias pesquisas vêm contribuindo para a mudança dessa concepção

de erro. Uma das contribuições do construtivismo de Piaget deu-se na mudança da

concepção do erro na aprendizagem.

Para Piaget (1978), a aprendizagem se dá através da invenção e da

descoberta. As estruturas, os esquemas, os conceitos, as ideias são criados,

construídos por um processo de autorregulação, ou seja, alguns aspectos serão

mantidos e outros corrigidos de acordo com o objetivo que se pretende alcançar.

Nesse processo, erros e acertos são inevitáveis, fazem parte do processo e,

portanto não devem ser negados e nem evitados com punições, mas sim

problematizados e transformados em situações de aprendizagem.

2.3 Fontes de dificuldade ou erro na aprendizagem de Matemática

As fontes de dificuldades apresentadas pelos alunos não podem ser atribuídas

a um único fator. É possível que muitos obstáculos geradores dos erros em

matemática nem mesmo estejam localizados no campo matemático. A leitura de

diferentes pesquisas que tratam dessa problemática e a prática pedagógica em sala

de aula permitem que reflexões sobre os diferentes fatores que podem contribuir

para a dificuldade dos alunos sejam aqui lembradas.

Diferença entre o saber vivenciado e o escolar: A criança, quando entra na

escola, traz consigo noções e conhecimentos adquiridos no seu habitat pelas

conversas, brincadeiras, trocas, situações da vida cotidiana. No entanto, na escola,

depara com um conhecimento sistematizado, repleto de símbolos e isso pode

provocar um conflito, gerando dificuldades na adaptação desses conhecimentos.

Escola: A desatualização de um projeto e/ou a falta de materiais adequados pode

gerar certa desorganização no ambiente escolar e provocar dificuldades de

aprendizagem em seus alunos.

Alunos: Geralmente, as dificuldades, que podem ter como fonte o aluno, são

geradas por falta de interesse destes nos estudos, dificuldades de leitura e

interpretação, auto-imagem debilitada quanto ao seu potencial de aprendizagem,

etc.

Concepções negativas de Matemática: A concepção de matemática como uma

matéria difícil, que só é aprendida por alunos inteligentes, como uma matéria exata,

pronta e acabada, que precisa apenas ser transmitida, cabendo ao aluno apenas

recebê-la e reproduzi-la, acaba fazendo com que algumas pessoas passem a

considerar as dificuldades apresentadas pelos alunos como normais. Essa

concepção é transmitida aos alunos, tornando-se um dificultador da aprendizagem e,

portanto gerando alguns traumas para os estudantes.

Obstáculos epistemológicos: O processo de evolução da matemática apresentou

vários momentos de conflitos aos estudiosos e às pessoas em geral.

Programas/Conteúdos: Os programas e conteúdos demandam de

amadurecimento para serem reconduzidos e assim, podem apresentar

desatualização em determinados momentos, exigindo dos alunos saltos mentais e a

utilização de conceitos que ainda não assimilados, podendo gerar dificuldades

importantes.

Família: A participação consciente da família pode ser fundamental para o sucesso

dos seus filhos.

Avaliação: A avaliação deve minimizar distorções apresentadas pelo estudante.

Metodologia: Talvez seja esta característica que melhor possa aprimorar a ideia de

construção do conhecimento do alunado, uma vez tendo o completo entendimento

da importância dos materiais e métodos a escola, o professor e o aluno conseguirão

respostas mais contundentes a prática acadêmica.

Professor: Embora o papel do professor seja facilitar a aprendizagem, algumas

vezes, ele pode ser um fator que gera dificuldades, pela própria abstração do

conteúdo matemático. Professores que possuem uma má formação nos conceitos

matemáticos e/ou na formação didática e pedagógica podem causar prejuízo, na

medida, que podem apresentar os conteúdos de maneira confusa.

2.4 Atividades Desenvolvidas No Laboratório De Informática

As atividades foram trabalhadas com os alunos da 5ª série/ 6º ano do ensino

Fundamental do Colégio Estadual Cielito Lindo em Lindoeste. As atividades foram

elaboradas no Calc e colocadas no domínio público do laboratório de informática do

Colégio. Os alunos foram orientados a copiarem as atividades para a pasta

individual, resolviam o que era proposto e salvavam para o professor corrigir

posteriormente. As atividades foram bem aceitas por eles e comentaram que era

mais bom trabalhar a multiplicação desta maneira. Segue abaixo as atividades que

foram resolvidas por eles utilizando a planilha Calc.

ATIVIDADE 01 – Complete a tabela de Pitágoras.

ATIVIDADE 02 – Montar o quebra-cabeça organizando o resultado correto da

tabuada do 2.

QUEBRA-CABEÇA – TABUADA DO 2

ATIVIDADE 03 – Um quadrado é mágico quando a soma ou o produto dos

números em cada linha horizontal, vertical e nas suas diagonais é o mesmo.

Observe o produto que deve ser constante em cada um deles.

Completar os quadrados mágicos de acordo com o produto em cada um e não

repetir números nas linhas, nas colunas e nas diagonais.

PRODUTO 1000 DESCUBRA O PRODUTO

ATIVIDADE 04 – Resolver os problemas propostos.

3. Considerações Finais

O desenvolvimento deste trabalho foi de verificar como a matemática aliada

as mídias tecnológicas pode contribuir para o aprendizado do aluno. Percebeu-se

que as dificuldades de utilização do software são superadas facilmente quando as

atividades são bem elaboradas.

O Software Calc é sem dúvida uma poderosa ferramenta de apoio ao ensino

da Matemática, melhorando a compreensão e contribuindo para um aprendizado

significativo do aluno, sem contar que a utilização das novas tecnologias motiva a

participação, diminuindo a evasão escolar e a repetência.

O projeto atingiu seus objetivos de forma plena, conforme as orientações

determinadas pelas Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica

do Estado do Paraná, segundo os fundamentos teóricos metodológicos.

REFERÊNCIAS

BOYER, C. B. História da Matemática. Elza F Gomide (tradução). 2.ed. São Paulo:Edgar Blucher LTDA, 2002.

D´AMBROSIO, U. A história da matemática: questões historiográficas e políticas e reflexos na Educação Matemática. In: Pesquisa em Matemática: Concepções e Perspectivas. Maria Aparecida Viggiani Bicudo (Organizadora). São Paulo: Ed. UNESP, 1999.

Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Secretaria de Estado de Educação do Paraná. Departamento de Educação Básica. Paraná, 2008.

GLADCHEFF, A. P.; OLIVEIRA, V. B. & SILVA, D. M. da. O software educacional e a psicopedagogia no ensino de matemática direcionado ao ensino fundamental. Disponível em: http://gmc.ucpel.tche.br/rbie-artigos/nr8-2001/gladcheff-oliveirasilva.htm. Acesso em 11/02/2011.

MIORIM, M. A. Introdução a história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998.

OLIVEIRA, S. A. de. O lúdico como motivação nas aulas de matemática. Mundo Jovem. Junho de 2007. p.5.

PIAGET, J. A tomada de consciência. Tradução Christina Larronde de Paula Leite. São Paulo: Melhoramentos/EDUSP, 1978.

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. Vol. 3. Brasília: MEC/SEF, 1997.

VALENTE, W. R. Uma Historia da matemática escolar no Brasil, 1730 – 1930. São Paulo: Annablume: FAPESP, 1999.

VIGOTSKY, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. 6ª edição. São Paulo: Martins Fontes, 1999.