Planimetri untuk kursus Bl dan Bll ilmu pasti disadur dari vlakke

P. JWIJDENES

P L A N I ME T RI/ '

U N T U K K U RSU S BI DAN BII ILMU PASTI. 'D IS A D U R D a r i „v l a k k e m e e t k u n d e

VOOR VOORTGEZETTE STUDIE”

OLEH

Prof. Dr. L. K U I P E R S

DAN

W I R A S T O

N O O R D H O F F K O L F F N. V. D J A K A R T A

1 9 5 9

P. WIJDENES

P LAN I M E T RIUNTUK KURSUS BI DAN B II ILMU PASTI.

DISADUR DARI „VLAKKE MEETKUNDE VOOR VOORTGEZETTE STUDIE”

OLEH

Prof. Dr. L. K U I P E R S

DAN

W I R A S TO

C l - 6 0 0 1 / r 4

TJETAKAN KE - 3

' 'N O O R D H O F F - K O L F F N: Vi ' -D J A K A R T A

1 9 5 9

PENDAHULUAN.

Untuk mendidik tjalon guru ilmu pasti di Sekolah Menengah,

hingga kini pada umumnja dipergunakan buku2 : P. Molenbroek,

Leerboek der Vlakke Meetkunde dan P. Wijdenes, Vlakke Meetkunde

voor Voortgezette Studie. Buku karangan P. Molenbroek itu pada

aâsnja diuntukkan bagi mereka jang hendak menempuh udjian akte

M.O. K I. dinegeri Belanda. Karena itu maka isinja sangat mendalam.

Untuk mereka jang hendak menempuh udjian L.O. wiskunde, buku

karangan P. Wijdenes itu sudah lebih daripada mentjukupi.

Oleh karena rentjana peladjaran Kursus BI ilmu pasti lebih men

dekati rentjana untuk L.O. wiskunde, maka buku P. Wijdenes itulah

jang kami pilih untuk disadur dan diterdjemahkan kepada bahasa

Indonesia. Dengan menerbitkan saduran ini sudah kami langkahkanlah

djedjak jang pertama kearah melengkapi kursus BI ilmu pasti dengan

buku2 peladjaran dalam bahasa Indonesia. Sementara ini buku Aldjabar

Rendah, jakni saduran P. Wijdenes : Lagere Algebra I dan II jang

kami gabungkan dan sederhanakan sesuai dengan rentjana BI, telah

dimulai pentjetakannja.

Kemudian dari pada itu buku2 jang lain, berturut-turut akan

menjusul.

Pada tjctakan ke-2 ini kiranja sudah sepatutnjalah kami meng-

utjapkan terima kasih banjak2 kepada Tuan Salijo dari seksi anggaran

di Kementerian P.P. dan K. jang telah inenundjukkan kami akan

kesalahan2 jang terdapat pada tjetakan pertama, dan kepada Broeder

Goswin, Pemimpin Kursus B.I. „Bernardus” di Solo, jang sudi mem

perbaiki kesalahan2 tersebut dan kesalahan2 lain lagi.

Dengan demikian maka besarlah harapan, bahwa tjetakan ke-2

ini djauh lebih memuaskan lagi. Meskipun begitu tiap2 tegur sapa para

pemakai jang dapat memperbaiki mutu buku jn i, akan kami perhatikan

Pengarang.

TJETAKAN KE 2

sungguh-sungguh.

Djakarta, 1959. Penerbit.

TANDA DAN NOTASI.

J_ berarti : tcgaklurus pada.

// „ : sedjadjar dengan.

„ : sudut.

A „ : segitiga.

co „ ; sebangun.

^ „ : sama dan sebangun atau kongruen.

A B melambangkan sebuah garislurus.

A B melambangkan sebuah seginentgaris.

A B melambangkan pandjang sebuah seginentgaris A B.

[A B melambangkan sebuah garissetengah jang berpangkal pada A.

A B melambangkan sebuah segmentgaris jang berarah.

(A B P) melambangkan perbandingan - bagi P A : P B.

(A, B; C, D) melambangkan perbandingan - rangkap (A B C) : (A B D);

djadi C A D A

C B D B

T(A, B; C, D) melambangkan perbandingan-rangkap sinar-empat T (A,

B, C, D).

n(P, C) melambangkan kuasa P terhadap lingkaran C.

A BD JA D JU N AN I

a A alpha a V N nu n

0 B béta b ÇH xi X

Y r gamma g 0 0 omikron 0S A delta d 71 n Pi P£ E epsilon e Q p rho r

Z zêta z CT of c s sigma s

'n H éta e T T tau

& of 0 thêta th U Y upsilon u

1 / I iota i 9 O phi ph

X K kappa k X X chi ch

X A lambda l T psi ps

M- M mu m ™ co a oméga 00

AXIOM A2 DAN D A L IL2

Ax. I. Melalui dua titik dapat dibuat tepat satu1) garis.

l a . Djika dua sudut sama, tentu sudut-bersisian mereka djuga sama.

l b . Djika a > p, tentu sudut jang bersisian dengan a lebih

ketjil dari sudut jang bersisian dengan p.

2. Semua sudut siku-siku sama besarnja.

3. Dua sudut jang bertolak belakang sama besarnja.

4. Melalui suatu titik T pada garis g dapat dibuat tepat satu garis tegaklurus pada g.

Ax. II. Melalui sebuah titik T diluar garis g dapat dibuat tepat satugaris h II g. u

5. Djika g I/ k dan h // k, tentu g // h.

6. D jika sebuah garis memotong salah satu dari dua ea ■¡onrr coHioH tar fp n fn i s nrr IoIm 4- ---X____ 6 d*ISjang sedjadjar, tentu jang lain terpotong djuga olehnja

Ax. III. Pada suatu perpindahan, sebuah titik mendjad'i sebuah t v u lagi, sebuah garis mendjadi sebuah garis lagi, dst.

berlawanan arahnja, tentu kedua sudut tadi hPrrfin

Ax. IV. g dan gg ( = tergeser) tentu sedjadjar atau berimpit.

l ) „tetap satu” berarti „tidak kurang dan tidak j , ■ * >» isedikit dan paling banjak satu” . lebih dari satu , atau , , paling

13. Sudutluar suatu segitiga sama dengan djumlah kedua

sudut dalam jang tidak bersisian.

14. Djumlah ketiga sudut suatu segitiga saina dengan 180°.

15. Djika dalam A ABC terdapat b — c, maka p —- y.

16. Djika dalam A ABC terdapat p = y, maka b == c.

17. Djika a — av p = plf dan y = y1( maka A ABC

A Aj B, Cj.

18. Djika a = olt p = pj dan a = alt maka A ABC ^

A Aj Bt Ci .

19. Djika a — alt b = bt dan y = yp maka A ABC ^

A A, Bj C,.

20. Djika a — av b — bx dan c — cL, maka A ABC ^

A Aj Bj Cj.

21. Djika tentang dua segitiga ABC dan AjBjCj diketahui :

a — av b — bx dan a = alf tentu terdapat salah satu dari

kedua kemungkinan dibawah in i :

1° . kedua segitiga sama dan sebangun, sehingga p = p,

2 °. kedua segitiga tidak sama dan sebangun ; p + pt =

180°; djadi salah satu lantjip dan jang lain tumpul.

22. D jika dua sisi sebuah segitiga tidak sama pandjangnja,

maka sudut didepan sisi jang besar djuga lebih besar

daripada sudut didepan sisi jang ketjil.

23. Djika dua sudut sebuah segitiga tidak sama besarnja,

maka sisi didepan sudut jang besar djuga lebih besar dari

pada sisi didepan sudut jang ketjil.

24. Djumlah dua sisi sebuah segitiga lebih besar daripada

sisi jang ketiga ; selisih dua sisi lebih ketjil daripada sisi

j c i u g Ketiga.

25. Djumlah dua sisi sebuah segitiga Jcb'h besar dari djumlah

kedua segmentgaris, jang menghubungKa..- c^harang

titik dalam segitiga itu dengan kedua udjung sisi jang

ketiga.

26. Djika dua sisi.sebuah segitiga sama dengan dua sisi sebuah

segitiga jang lain, tetapi sudutapitnja dalam segitiga

jang pertama lebih besar dari sudutapit dalam segitiga

jang kedua, tentu sisi jang ketiga dalam segitiga jang

pertama djuga lebih besar daripada sisi jang ketiga dalam

segitiga jang kedua.

27. Djika dua sisi sebuah segitiga sama dengan dua sisi sebuah

segitiga jang lain, tetapi sisi ketiga dalam segitiga jang

pertama lebih besar dari sisi ketiga dalam segitiga jang

kedua, tentu sudut didepan sisi ketiga dalam segitiga

7

jang pertama lebih besar dari sudut didepan sisi ketiga

dalam segitiga jang- kedua.

28a. Garis berat zc dari titiksudut C sudut siku-siku suatu segi

tiga siku-siku, sama dengan setengah sisi-miring c.

b. Djika dalam sebuah segitiga, garisberat dari sebuah ti

tiksudut sama dengan setengah sisi dihadapannja, maka

sudut segitiga jang terletak pada titiksudut tadi siku-siku.

29a. Djika sebuah segitiga siku-siku mempunjai sudut sebesar

30°, tentu sisi-siku jang berhadapan dengan sudut itu sama

dengan setengah sisi miring,

b. Djika pada sebuah segitiga siku-siku salah satu sisi-siku

sama dengan setengah sisi miring, tentu sudut didepan sisi-siku ini 30° besarnja.

30. Dalam segitiga samakaki berimpitlah garisbagi, garis

berat beserta garistinggi dari puntjak dan sumbu alas

31. Djika dari titiksudut A sesuatu segitiga dibuat garis-garis

rfa (garisbagi), za (garisberat) dan /a (garistinggi), dan dita

diantara garis-garis itu berimpit, tentu b = c.

32. Djika P titik sebarang, dan A dan B dua titik pada suatu

garis g, sedangkan PA > PB, tentu djuga projeksi PA pada g lebih besar dari projeksi. PB pada g.

33a. Tiap-tiap titik pada sumbu seginentgaris AB te rlP t^ sama djauh dari A dan dari B.

b. Tiap-tiap titik jang terletak sama djauh dari dua titik A dan B, terletak pada sumbu AB.

34. Sumbu-sumbu ketiga sisi a ABC melalui satu titik

35. Ketiga garistinggi setiap segitiga melalui satu titik ’

36a. D jika g dan *«<■»* ¿„„'s jang p0;ons „ . t ,n o t a « 'ten,..

s P ' !tfK P ^ a «¡?rl!baei suatu sudut antara » d a n A terletak sama djauh dari g dan h.

b. Setiap titik jang terletak sama djauh dari dua garis . dan

h jang potong memotong, tentu terletak padf garisbag" salah satu sudut antara g dan h ^n snag i

3?‘ . Ketiga garisbagi-dalam pada setiap segitiga melalui satu

Dua im gumbagi-rnm, sudut jang ketigame/aiui satu titik. • j b &

38. Djumlah sudut-sudut sebuah segiempat sama dengan,360°.

39a. Dalam setiap djadjarangendjang setiap dua sudut jang berhadapan sama besarnja.

40a. Dalam setiap djadjarangendjang setiap dua sisi jang berhadapan sama besarnja.

41a. Dalam setiap djadjarangendjang kedua diagonalnja saling

membagi dua sama.

42a. Setiap djadjarangendjang berpusat.

39b, 40b, 41 b dan 42b adalah berturut-turut kebalikan

dari dalil-dalil 39g, 40a, 41 a dan 42a.

43. Djika dua sisi jang berhadapan sama besarnja dan sedja-

djar, maka 'segiempat itu adalah djadjaran gendjang.

44. Segmentgaris jang menghubungkan titikpertengahan dua

sisi sebuah segitiga, tentu sedjadjar dengan sisi jang ketiga

dan sama dengan setengah sisi jang ketiga.

45. a. Dalam sebuah belaliketupat kedua diagonal tegaklurus

sesamanja dan membagi dua sama sudut-sudut belah-

ketupat itu.

b. Djika dalam sebuah djadjaran gendjang kedua dia

gonal tegaklurus sesamanja atau salah satu diagonal

membagi dua sama salah satu sudut, ientu djadjaran

gendjang tadi adalah sebuah belaliketupat.

46. a. Dalam setiap persegipandjang kedua diagonalnja sama

pandjangnja.

b. Kebalikan dalil 46a.

47. a. Dalam setiap trapesium samakaki sudut-sudut jang

terletak pada udjung setiap sisi sedjadjar, sama,

b. Trapesium jang sudutalasnja sama, tentu samakaki.

48. a. Trapesium samakaki mempunjai sumbu symmetrie.

b. Djika salah satu bimedian sebuah segiempat mendjadi

sumbu symmetrie, tentu segiempat itu adalah sebuah

trapesium samakaki.

49. a. Dalam trapesium samakaki kedua diagonal sama

pandjangnja.

b. Kebalikan dalil 49a.

50. Dari satu titiksudut sebuah segi-/z dapat dibuat n— 3

diagonal, dari semua titiksudut \n(n— 3) diagonal.

51. a. Diagonal2 jang dibuat dari suatu titiksudut sebuah

segi-/?, membentuk n — 2 buah segitiga. Djumlah

semua sudut sebuah segi-zz sama dengan (n — 2) x

180°.

b. Djumlah semua sudutluar setiap segi-« sama dengan

360°.

52. Pada sebuah segi-/2 setiap sisi lebih ketjil dari djumlah

semua sisi Iainnja.

53. Dua segibanjak sama dan sebangun, djika mereka dapat

disusun dari segitiga-segitiga, jang sepasang-sepasang

9

sama dan sebangun, dan tersusun dengan tjara jang

sama.54. D jika n — 1 sisi beserta sudut-sudut antara mereka, atau

n — 2 sisi jang berturut-turut beserta semua sudut pada

sebuah segi-n sama dengan unsur-unsur jang bersesuaian

pada segi-n jang lain tentu kedua segi-n itu sama dan

sebangun.

55. Lingkaran jang sama tentu djuga sama dan sebangun.

Busur-busur jang sama dan terletak pada satu lingkaran

atau pada lingkaran-lingkaran jang sama, tentu sama dan

sebangun, dan talibusur-talibusur mereka sama pan-

djangnja.

56. Garis pemuat apothema sebuah talibusur membagi dua

sama talibusur itu dan djuga kedua busurnja.

57. a. D jika djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu

garis lebih besar dari djari-djari garis itu, tentu ling

karan dan garis tadi tidak bersekutu setitikpun.

b . D jika djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis

sama dengan djari-djari lingkaran itu, tentu lingkaran

dan garis tadi bersekutu tepat satu titik.

c. D jika djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis

lebih ketjil daripada djari-djari lingkaran tadi, tentu

lingkaran dan garis tadi bersekutu dua titik.

58. a. Garissinggung pada sebuah lingkaran tentu tegakluruspada djari-djari titiksinggungnja.

b. Garis jang melalui sebuah titik pada suatu lingkaran

dan tegaklurus pada djari-djari ketitik itu, tentu

menjinggung lingkaran tadi pada titik tadi.

59. Garissinggung dititik A pada suatu lingkaran, ialah letak-

limit suatu garispotong jang berputar pada A, djika

titik-potong jang kedua bergerak mendekati A.

60. Djarak terketjil dari sebuah titik T jang terletak sedjauh

d dari pusat lingkaran (P,r) kelingkaran itu ialah | d - r [ • djarak terbesar ialah d + r.

Ada satu titik pada lingkaran itu jang d jarakn ja ke T

paling ketjil, ada djuga satu t it ik jang d ja rakn ja palingbesar ; ada tepat dua titik pada lingkaran itu jang mem-

punjai djarak sebarang (djarak ini harus terletak antara

djarak jang -terketjil dan jang terbesar).

61. a. Djika djarak antara pusat dua lingkaran lebih besar

dari djumlah kedua djari-djari, tentu lingkaran jang

satu terletak seluruhnja diluar lingkaran jang lain.

b. Djika djarak antara pusat dua lingkaran sama dengan

djumlah kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran

bersekutu satu titik dan selain dari itu, lingkaran

jang satu terletak seluruhnja diluar lingkaran jang

lain.

c. Djika djarak antara pusat dua lingkaran lebih ketjil

dari djumlah kedua djari-djari, tetapi lebih besar dari

selisih kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran itu

bersekutu dua titik.

d. Kalau djarak antara pusat dua lingkaran jang tidak

sama, sama dengan selisih kedua djari-djari, tentu

kedua lingkaran itu bersekutu satu titik dan selain dari

itu lingkaran jang besar terletak seluruhnja diluar

lingkaran jang ketjil, dan lingkaran jang ketjil terletak

seluruhnja didalam lingkaran jang besar.

e. Djika djarak antara pusat dua lingkaran lebih ketjil

daripada selisih kedua djari-djari, tentu lingkaran jang

besar terletak seluruhnja diluar lingkaran jang ketjil

dan lingkaran jang ketjil terletak seluruhnja didalam

lingkaran jang besar.

62. Sentral dua lingkaran jang potong-memotong tentu men-

djadi sumbu talibusur persekutuan.

63. a. Djika dua lingkaran hanja bersekutu satu titik A sadja,

(singgung-menjinggung di A), tentu sentral mereka

melalui titik ini ; di A mereka mempunjai garissinggung

persekutuan jang tegaklurus pada sentral.

b. Djika sentral dua lingkaran melalui sebuah titik per

sekutuan, tentu kedua lingkaran-singgung itu menjing-

gung dititik ini.

c. Djika dua lingkaran bersekutu satu titik dan garis

singgung dititik itu, tentu kedua lingkaran tadi sing

gung-menjinggung dititik itu.

64. Melalui sebuah titik diluar sebuah lingkaran dapat dibuat

dua garissinggung pada lingkaran itu. Titik tadi terletak

sama djauh dari kedua titiksinggung. Garis jang menghu

bungkan titik tadi dengan pusat lingkaran tadi, membagi

dua sama sudut antara kedua garissinggung.

65. a. Dalam segiempat talibusur setiap pasang sudut jang

berhadapan berdjumlah 180°.

b. Djika dalam sebuah segiempat dua sudut jang berha

dapan berdjumlah 180°, tentu segiempat itu sebuah

segiempat talibusur.

11

66 . a. Setiap segiempat garissinggung adàlah convex; djumlah

kedua pasang sisi jang berhadapan adalah sama,

b. Djika pada sebuah segiempat jang convex djumlah

kedua pasang sisi jang berhadapan sama, tentu dalam

segiempat itu dapat dibuat sebuah lingkaran.

67. Sudut antara dua lingkaran jang potong memotong atau

singgung menjinggung tentu sama dengan sudut antara

kedua djari-djari jang bertemu pada suatu titikpotong

atau pada titiksinggung.

B A B I.

Lukisan.

§ 1.Melukis ialah membuat atau menjelesaikan suatu gambar, jang

harus memenuhi sjarat-sjarat, jang diterangkan dengan pengertian-

pengertian ilmu ukur.

Biasanja lukisan hanja boleh dikerdjakan dengan menggunakan

mistar, segitiga-gambar dan djangka ; alat-alat lain tidak diperkenan

kan.

Djika suatu gambar, karena sulitnja, tidak dapat dengan langsung

dilukis dari apa jang telah diketahui, maka terlebih dulu diselidiki

sifat-sifatnja jang memungkinkan lukisan itu. Penjelidikan ini disebut

analysa atau persiapan. Untuk keperluan ini dibuat gambar-sementara

(jang tidak perlu tepat sama dengan gambar jang dimaksud); dalam

gambar-sementara ini bagian-bagian jang diketahui diberi tanda, untuk

mempermudah mentjarinja sifat-sifat jang berguna.

Sesudah sifat-sifat ini terdapat, maka dikatakan djalannja untuk

menjusun gambar jang ditanjakan dari hal-hal jang telah diketahui ;

kemudian harus dibuktikan, bahwa gambar jang terdapat memenuhi

segala sjarat jang telah ditetapkan.

Achirnja perlu diselidiki, apakah hal-hal jang diketahui masih

harus memenuhi beberapa sjarat, supaja lukisan itu 'mungkin dilakukan.

Perlu diselidiki djuga, berapa banjaknja gambar jang dapa f dilukis.

Dalam penjelidikan terachir ini harus dipandang segala kemungkinan

mengenai hal-hal jang diketahui.

Djadi lukisan lengkap terdiri dari empat bagian jang selandjutnja

disebut persiapan, lukisan, bukti dan diskussi (pembitjaraan).

Dalam pembitjaraan biasanja telah dianggap tjukup, djika disebut

kan banjaknja gambar jang didapat pada umumnja, ja ’ni djika antara

hal-hal jang diketahui tidak terdapat hubungan-hubungan jang mem

pengaruhi banjaknja gambar jang dapat dilukis.

Ada beberapa lukisan jang sangat mudah, sehingga tidak perlulah

membuat lukisan lengkap jang terdiri dari keempat bagian, seperti

jang telah diuraikan diatas. Misalnja lukisan-lukisan jang tersebut

dibawah in i ; lukisan-lukisan hanja kita sebut sadja :

I. Melukis sebuah segitiga, jang ketiga sisinja diketahui.

II. Melukis sebuah sudut, jang sama dengan suatu sudut «, dan

jang salah satu kakinja telah diketahui.

III. Melukis sebuah segitiga, djika diketahui : dua sisi dan sudut

didepan salah satu sisi itu.

13

IV. Melukis sebuah garis h, jang harus sedjadjar dengan sebuah garis

g dan melalui sebuah titik T diluar garis g.

V. Membelah (membagi dua sama) tegaklurus sebuah segmentgaris.

VI. Melukis sebuah lingkaran melalui tiga titik jang diketahui.

V II. Membuat garis tegaklurus pada garis g, melalui titik T pada g.

V III. Membuat garis tegaklurus pada garis g .melalui titik T diluar g;

IX . Membagi dua sama sebuah sudut.

X . Membuat kedua garissinggung pada lingkaran (P, r) dari sebuah

titik T diluar lingkaran tadi.

X I. Membuat garissinggung2 persekutuan pada dua lingkaran.

X II. Membuat lingkaran jang menjinggung tiga garis jang diketahui.

§ 2.Salah satu tjara, jang banjak dipakai untuk menemukan suatu

lukisan, ialah menggunakan gambar pertolongan. Ditjari terlebih dulu

satu atau beberapa bagian dari bangun jang harus dilukis, jang — karena

mudah — dapat dilukis begitu sadja.

Dari bangun pertolongan ini, maka bangun jang harus dilukis dapat

disusun. Umumnja diperlukan satu atau beberapa garis pertolongan •

kesukarannja ialah mengetahui garispertolongan jang mana akan mem

beri hasil. Kerap kali dipergunakan pergeseran sedjadjar, sehingga

segmentgaris-segmentgaris atau sudut-sudut jang diketahui terkumpul

kedalam satu segitiga atau segiempat. Suatu tjontoh ;

Untuk melukis sebuah trapezium

(lihatlah gambar 1 ) kerap kali penje-

lesaian diketemukan dengan meng

geser salah satu sisitegak atau salah

satu diagonal (lihatlah C E # D A dan

B D F # C A ) . Djika dari trapezium tsb.

diketahui kedua sisi-sedjadjar dan

kedua diagonalnja, maka dapat

dilukis A BDF, dst. D jika jang

diketahui itu keempat, sisinja, maka dari A BCE ketiga sisinja terdapat

Tjara ini djuga seringkali dapat diper

gunakan untuk menjusun sebuah segiempat

biasa. Djika, untuk melukis segiempat ABCD

(lihatlah gb. 2) antara lain diketahui AB, DC'

beserta sudut antara mereka, maka dibuat

DE # AB, sehingga A CDE dapat dilukis.

Djika diketahui kedua diagonal beserta A

sudut antara mereka, maka ditarik CF # BD Gb. 2: Garis* pertolongan

(lihatlah gb. 3). dan a BCD dapat dilukis. pada sebuah segi-empat.

Gb. 1: Garis2 pertolongan pada

sebuah trapesium.

14

Boleh djuga kita menggeser seluruh A BCD (lihatlah gb. 4 ; DH #

.CA # BG), sehingga terdjadi A GAH ; djadjarangendjang BDHG

dapat dilukis.

Gb. 3: Garis2 pertolongan pada segiempat. Gb. 4: Garis2 pertolongan pada segiempat.

Kadang-kadang berguna djuga djadjarangendjang jang bertitik-

sudutkan titikpertengahan keempat sisi, atau titik pertengahan 'dua

sisi jang berhadapan dan kedua diagonal.

Kadang-kadang penjelesaian tertjapai dengan melipat suatu titik

atau suatu bangun sepandjang suatu garis.

Suatu tjara jang sangat penting, ja ’ni dengan menggunakan tempat

kedudukan, akan dibitjarakan dalam bab kedua.

Sebagai tjontoh kita berikan penjelesaian lengkap dari beberapa

soal lukisan.

Melukis sebuah segitiga djika diketahui alasnja, sudut puntjaknja

dan djumlah kedua sisitegak.

c

F

B

§ 3 .

TJONTOH 1.

D

Gb. 5: Persiapan. Gb. 6: Pelaksanaan.

15

P e r s i a p a n (lihatlah gb. 5). Dari A ABC diketahui : Alas AB — c, y

dan a + b.

'U ntuk mewudjudkan djumlah ini sebagai satu segmentgaris, maka

AC diperpandjang dengan CD = a ; karena CD = CB, maka /_ D =

£ y (dalil 15 dan dalil 13). Sekarang dari A ABD telah diketahui : AB,

AD dan /_ D, sehingga A ABD tsb. dapat dilukis menurut lukisan III,.

sehabis itu dapat dilukis ¿_ Bx = D, sehingga terdapatlah BC.

L u k i s a n (lihatlah gb. 6). Gambarlah AD = a + b, dan lukislah

pada D sudut sebesar £y ; buatlah lingkaran (A, AB); dengan demikian

terdapatlah titik B pada DF. Lukislah pada B sudut DBC = /_ D

(atau buatlah sumbu BD) ; A ABC ialah segitiga jang harus dilukis.

B u k t i . A ABC memuat ketiga hal jang diketahui ; sebab AB telah

dilingkarkan, Bx = /_ D = sehingga dalam A ABCy = 2 D =

sudut jang diketahui. Seterusnja A DBC menurut dalil 16 atau 33 ada

lah samakaki ; karena itu AC -f CB = AC + CD = AD == djumlah

jang diketahui.

Pem b iijaraan : D jika dibuat AF J_ BD, maka terdapat kemung

kinan-kemungkinan sbb : 1) c < AF, ta’ terdapat segitiga sebuahpun ;

2) c — AF, terdapat satu segitiga. 3) AF < c < AD, dua segitiga ; 4) c =

AD = b + a, ta' sebuahpun.

Sekarang masih akan diselidiki, apakah

kedua segitiga jang terdapat pada kemung

kinan 3) tadi sama dan sebangun atau tidak.

Untuk keperluan ini dalam gb. 7 telah ter

lukis kedua penjelesaian, ja ’ni A ABC dan

Z\ A B'C'. Kedua segitiga ini, menurut lu

kisan mempunjai sama alasnja (AB = AB ')

dan sudutpuntjaknja ! Z . A B 'B

= L d j adi AB 'C ' = B2 — /_ B /

— Bs — D = a. Djadi A ABC ^ a

B'AC' (perhatian: bukannja A AB 'C ')

karena mereka mempunjai sama satu sisi

dan dua sudut.Gb. 7: Kedua segitiga

‘ adalah kongruen.

TJONTOH 2.

Melukis sebuah budjursangkar dalam sebuah trapezium siku-siku

( /_A = 90°, A B < DC) sehingga pada setiap sisi trapezium itu terletak

sebuah titiksudut budjursangkar jang ditanjakan.

16

p e r s i a p a n . Seandainja XYZU adalah budjursangkar jang.ditanja-

kan, tentu X x + X 2 = 90°, ¿_ X 2 + Ux = 90°; djadi ¿_ X x =

/_V j. Demikian djuga Ux = /_ Zz ; begitu pula /_ X 2 — /_ U2 =

/_ Z , ; A A XU ^ A DUZ (dalil 17). Djika dibuat PQ melalui Y dan

tegaklurus pada sisi-sisi jang sedjadjar, maka masih terdapat A P Y X

dan A QZY, jang sama dan sebangun dengan kedua segitiga tersebut

diatas. Maka AP =- AD ; djadi P telah terdapat; selandjutnja djuga

didapat Y dan Q, dst.

L u k i s a n (lihatlah gb. 9). Letakkanlah pada AB segmentgaris AP =

AD, dan pada DC segmentgaris DQ = AD; tariklah PQ; PQ memotong

BC di Y ; letakkanlah AX, DU dan QZ, masing-masing sama dengan

PY ; achirnja tariklah segmentgaris-segmentgaris X Y , YZ, ZU dan UX.

B u k t i , (lihatlah gb. 9). Kedua segitiga siku-siku AXU dan DUZ

mempunjai sama sisitegak-sisitegak mereka ; djadi mereka sama dan

sebangun ; djadi XU = UZ dan Z. X 2 = / . U2. Maka : Ux + U2 =90° sehingga ¿_ XUZ = 90°. Bukti serupa ini dapat diberikan djuga

untuk ketiga titiksudut jang lain. Karena dalam segiempat X Y Z U

keempat sisinja sama dan keempat sudutnja siku-siku, maka segiempat

itu adalah sebuah budjursangkar.

P e m b i t j a r a a n : Pada kedua sisi sedjadjar dapat dipilih titik P dan

titik Q, sehingga AP = DQ = AD ; djika PQ memotong sisimiring BC,

maka terdapat titik Y. Lihatlah gb. 10.

c QGb. 10a: H al pertama. Gb. IOb: Hal kedua. Gb. 10c: H al ketiga.

Dalam keadaan a dan b tidak mungkin melukis budjursangkar dalam

trapezium jang diketahui. Dalam keadaan c lukisan djuga tidak mung-

17

Planimetri 2.

kin, djika PY = A X > AB ; djika PY < AB, maka lukisan mendjadi

mungkin. Diadi dapat diperoleh sebuah budjursangkar jang memenuhi

sjarat, djika A B < AD < DC, lagi pula PY < AB. D jika ketiga sjarat

ini dipenuhi, maka ada satu penjelesaian, oleh karena BC dan PQ hanja

bersekutu satu titik sadja.

TJONTOH 3.

Melukis sebuah budjursangkar X Y Z U sehingga sisi-sisi X Y , Z Y ,

Z U dan UX berturut-turut melalui empat titik A, B, C dan D.

P e r s i a p a n . Djika kita berhasil menentukan

satu titik lagi pada salah satu sisi budjursangkar

jang ditanjakan, maka pekerdjaan selandjutnja

mendjadi sangat mudah. D jika dibuat AC, ke

mudian ditarik dari D garis jang tegaklurus pada C

AC, jang memotong garissisi YZ di E, tentu DE =

AC, sehingga terdapatlah titik E. Gb. 11: Persiapan.

B

L u k i s a n (lihatlah gb. 12). Tariklah AC ; tariklah kemudian dari D

sebuah garis tegaklurus pada AC, dan

letakkanlah padanja DE = AC. Tariklah

BE, dan buatlah dari A dan C garis-garis

jang tegaklurus pada BE, dan memotong

BE berturut-turut di Y dan Z. Achirnja

tariklah melalui D sebuah garis jang se-

djadjar dengan BE, dan jang memotong

garis-garis tegaklurus tsb. diatas berturut-

turut dititik X dan U. Maka X YZU ada

lah budjursangkar, jang memenuhi sjarat.

B u k t i . Dari djalannja lukisan ternjata bahwa segiempat X Y Z U

adalah sebuah persegipandjang, jang sisi-sisinja melalui keempat titik

jang diketahui. Djadi hanja masih-perlu dibuktikan, bahwa dua sisi jang

Y/ltitt YZ, gama pandjangnja. Tariklah X F // DEiWMW,

dan YG // AC. Tentu segiempat-segiempat X FE D dan YGCA adalah

djadjarangendjang, maka, oleh karena AC = DE, tentu djuga YG =

XF . Djadi dari kedua segitiga siku-siku YZU dan X Y F sisimiringnja

dan djuga sudut-sudutnja jang seletak, sama besarnja, sebab sisi-sisi

jang seletak terletak tegaklurus sesamanja ; maka kedua segitiga ini

sama dan sebangun. Akibatnja : X Y = YZ, dan inilah jang masih harus

dibuktikan tadi.

18

P e m b i t j a r a a n . Dalam meletakkan segmentgaris DE = AC, kita

dapat memilih antara dua kemungkinan ; sebab dari titik D segment DE

dapat diletakkan kesalah satu dari dua arah. Sesudah itu kebebasan

untuk memilih sematjam itu, hingga lukisan selesai, tidak kita djum-

pai lagi. Djadi ada dua penjelesaian.

Akan tetapi ada pula beberapa keadaan istimewa.

Misalnja E mungkin berimpit dengan B. Ini terdjadi djika ACJ_ BD

dan AC = BD ; dalam keadaan ini terdapat penjelesaian jang ta' ter

batas banjaknja.

Mungkin djuga Y berimpit dengan Z, sehingga ta ' terdapat budjur-

sangkar sebuahpun ; ini terdjadi djika AC J_ BD, tetapi AC ^ BD (djuga

dalam keadaan diatas djika DE'diletakkan disebelah jang lain terhadap

D).

Djika dalam soal diatas, urutan titik-titik jang harus dilalui sisi-

sisi budjursangkar tidak ditetapkan, maka dengan tiga djalan keempat

titik tadi dapat dibagi mendjadi dua pasang, ja 'n i AB dan CD ; AC dan

BD ; AD dan B C ; sepasang titik akan dilalui oleh dua garissisi jang

berhadapan. Tiap-tiap perpasangan menghasilkan dua penjelesaian

djadi (pada umumnja) terdapat enam penjelesaian.

Penjelesaian-penjelesaian ini terdapat sbb .:

Buatlah garis melalui C tegaklurus pada AB, dan letakkanlah AB

pada garis itu disebelah-menjebelah C.

Buatlah garis melalui B tegaklurus pada AC, dan letakkanlah AC

pada garis itu disebelah-menjebelah B.

19

Buatlah garis melalui B tegaklurus pada AD dan letakkanlah AD

pada garis itu disebelah-menjebelah. B.

Dalam gb. 13 terlukislah ke-enam buah budjursangkar jang meme

nuhi sjarat.

§ 4.

Bab ini kita achiri dengan beberapa tindjauan umum. Pertama-

tama kita selidiki lebih landjut, apakah sifat-sifat dari hal-hal jang

diketahui (ketentuan). Ketentuan-ketentuan ini dapat dibagi mendjadi

dua matjam , ja ’ni :

1°. Ketentuan jang mengenai bentuk dan besarnja suatu bangun ; artinja

djika suatu bangun G memenuhi ketentuan-ketentuan itu, maka

tiap-tiap bangun lainnja jang sama-dan-sebangun dengan G,

memenuhi djuga ketentuan-ketentuan tadi.. M isalnja: besarnja

segmentgaris-segmentgaris atau sudut-sudut jang terdapat dalam

bangun jang harus d iluk is; perbandingan antara besarnja dua

segmentgaris atau dua sudut ; ketentuan, bahwa tiga titik harus

terletak pada satu garis atau pada satu lingkaran; atau, bahwa .

tiga garis harus melalui satu titik; bahwa dua garis harus sedjadjar-

bahwa suatu segmentgaris harus lebih besar dari sebuah segment

garis jang lain, dst.

2°. Ketentuan, jang djuga mengenai letaknja bangun jang harus dilukis

Artinja, djika suatu bangun G memenuhinja, maka dengan memin

dah G tadi dapat diperoleh bangun jang lain, jang tidak lagi meme

nuhinja. Misalnja : suatu titik dari bangun jang akan dilukis harus

terletak pada suatu garis #t,au padfi Slliltll lillgkaran ; suatu garis

8t3U SllSiU litlgkcirtltl pada bangun jang akan dilukis harus melalui

sebuah titik ; sa lah sa tu titik-sudut suatu segitiga jang harus dilukis

diketahui letaknja, dst. Maksudnja perkataan : „dari suatu bangun

diketahui sebuah segmentgaris atau sebuah sudut” , ialah, bahwa

besarnja segmentgaris atau sudut itu diketahui.

Djika suatu segmentgaris atau suatu sudut jang sudah tergambar

pada suatu tempat, harus mendjadi sebagian dari bangun jang harus

dilukis, maka dikatakan, bahwa segmentgaris atau sudut tadi telah

diketahui besar dan letaknja. Ketentuan jang pertama termasuk matjam

1°, jang kedua termasuk matjam 2°.

Sekarang kita bitjarakan banjaknja ketentuan, jang menetapkan

sebuah bangun ; artinja : jang membatasi banjaknja bangun jang meme

nuhi hingga suatu djumlah jang terbatas, misalnja satu, dua, empat

dsb. Djika ketentuan-ketentuannja hanja memungkinkan satu bangun

sadja, maka dikatakan bahwa ketentuan-ketentuan tadi menetapkan

20

bangun tadi dengan setundjuk. Djika ketentuan-ketentuannja sedemikian

sehingga, djika suatu bangun G memenuhi, diuga tiap-tiap bangun jang

sama-dan-sebangun dengan G memenuhi (djadi hanja mengenai bentuk

dan besarnja sadja), maka semua bangun jang sama-dan-sebangun

dianggap hanja merupakan satu penjelesaian sadja.

Kalau terdapat satu atau beberapa ketentuan jang mengenai letak-

nja bangun jang harus dilukis, maka bangun-bangun jang berlainan

tetapi sama-dan-sebangun, djika memenuhi ketentuan-ketentuan harus

dianggap penjelesaian-penjelesaian jang berlainan pula. Misalnja : djika

harus dilukis sebuah segitiga, jang sisi-sisinja a, b dan c bertutut-turut

sama dengan tiga segmentgaris p, q dan r, jang memenuhi p + q > r,

P + f > q dan q + r > p, maka segitiga itu telah tertentu oleh keten-

tuan-ketentuan itu.

Tetapi djika ketentuan-ketentuan tadi ditambah dengan ketentuan,

bahwa titiksudut A harus terletak pada suatu garis, maka terdapat

penjelesaian jang tidak terbatas banjaknja : sebab segitiga-segitiga jang

berlainan tetapi sama-dan-sebangun jang memenuhi, tidak lagi dianggap

hanja merupakan satu penjelesaian sadja. Djadi meskipun banjaknja

ketentuan telah ditambah dengan satu, tetapi bangun jang harus dilukis

'malahan tidak lagi tertentu. Sebabnja ialah : mengingat matjamnja

ketentuan-ketentuan pada lukisan jang semula (jang belum ditambah

ketentuannja), maka pada lukisan jang semula hanja besar dan bentuk-

nja segitiga sadjalah kita pandang; sebaliknja ketentuan jang kita

tambahkan tadi mengenai Ietaknja segitiga, tetapi tidak tjukup. untuk

menentukan letak segitiga itu.

Telah diketahui bahwa sebuah segitiga dapat dilukis dari keten

tuan-ketentuan sbb. : tiga sisi ; dua sisi beserta sudut-apit mereka ;

dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi itu ; satu sisi, satu sudut

pada sisi itu dan sudut didepan sisi itu.

D jika lukisan itu mungkin dilakukan, tentu terdapat satu bangun ;

ketjuali pada lukisan jang ketiga: disini terdapat satu atau dua penje

lesaian. Kumpulan tiga unsur, jang tidak kita sebutkan diatas, ialah

hanja ketiga sudut. D jika ketiga sudut diketahui, maka lukisan hanja

dapat dilakukan djika djumlah ketiga sudut itu sama dengan 180°;

tetapi dalam keadaan ini penjelesaian tidak terbatas banjaknja. Djika

suatu lukisan hanja mungkin dilakukan, djika antara ketentuan-keten

tuannja terdapat suatu hubungan kesamaan (disini a + ¡3 + y = 180°),

maka ketentuan-ketentuan tadi disebut berhubungan (ketentuan jang

berhubungan), djika mereka memenuhi hubungan tadi ; mereka disebut

bertentangan (ketentuan-ketentuan jang bertentangan) djika tidak memenuhi

hubungan itu. Djadi pada ketentuan jang bertentangan tidak terdapat

bangun sebuahpun, jang memenuhi sjarat.

21

Djika, untuk memungkinkan lukisan, ketentuan-ketentuannja ha

rus memenuhi satu atau beberapa hubungan ketidak-samaan (misalnja

a + b > c, a + c > b, b c > a untuk segitiga dengan sisi a, b dan c),

maka ketentuan-ketentuan tadi tidak disebut berhubungan djika

hubungan ketidaksamaan tadi dipenuhi; tetapi mereka disebut ber

tentangan djika hubungan ketidaksamaan itu tidak dipenuhi. Keten

tuan-ketentuan jang tidak berhubungan dan tidak bertentangan, disebut

„ tidak berhubungan" .

Jang diuraikan diatas tentang melukis sebuah segitiga dari beberapa

unsurnja, sekarang boleh dikatakan sbb.: sebuah segitiga tertentukan (dapat

ditetapkan) bentuk dan besarnja oleh tiga unsurnja jang tidak berhubungan.

Menentukan unsur-unsur jang menetapkan suatu bangun, dapat

diganti dengan menuliskan sebuah bilangan, jang menjebutkan besatnja

unsur itu dengan suatu satuan (misalnja «.m, deradjat). D jika pada

lukisan sebuah segitiga dari dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi

itu, ditetapkan pula djenisnja (tumpul atau lantjip) sudut didepan sisi

jang lain, maka penetapan djenis ini sama sadja artinja dengan suatu

hubungan ketidaksamaan, jang mengakibatkan berkurangnja penjelesai-

an dari dua mendjadi satu ; djadi segitiga jang tadinja sudah tertentu,

kemudian mendjadi tertentu dengan setundjuk.

Djadi suatu hubungan ketidaksamaan ternjata tidak mempengaruhi

tertentu atau tidaknja suatu segitiga, artin ja: karena suatu hubungan

ketidaksamaan, banjaknja penjelesaian tidak dapat berubah dari tidak

terbatas mendjadi terbatas, atau sebaliknja. Djika suatu hubungan

kesamaan dilepaskan dan diganti dengan hubungan ketidaksamaan,

tentu penjelesaian mendjadi ta ' terbatas banjaknja.

Djika sebuah segitiga harus dilukis dari ketentuan-ketentuan ian»

bukan unsur, maka berhubung dengan jang telah diuraikan di^tas*

dengan mudah timbullah persangkaan, bahwa pada iimumnja diperlukan

tiga buah ketentuan jang tidak berhubungan, untuk menetapkan bentuk dan

besarnja sebuah segitiga. Jang dihitung disini, hanja ketentuan-ketentuan

jang dapat diwudjudkan dengan hubungan kesamaan ; jang sesuai

dengan hubungan ketidaksamaan tidak turut dihitung. D jika suatu

ketentuan dapat diwudjudkan dengan dua hubungan kesamaan (misalnja

ketentuan, bahwa suatu segitiga harus samasisi), maka ketentuan ini

disebut ketentuan rangkap dua, dan dianggap dua ketentuan tunggal.

Demikian djuga ketentuan jang rangkap tiga dianggap tiga ketentuan

tunggal. Uraian mengenai banjaknja ketentuan jang menetapkan sebuah

segitiga ini, djanganlah hendaknja dipandang sebagai suatu dalil dengan

arti jang tepat, jang dapat dibuktikan dengan saksama. Lebih baik

uraian itu dipandang sebagai suatu petundjuk jang berguna djika kita

harus melukis sebuah segitiga. Sebelum lukisan dimulai, maka dengan

22

petundjuk ini, kami dapat mengetahui untuk sementara, apakah djum-

lahnja ketentuan-ketentuan tidak terlalu banjak ; apakah (djika lukisan

mungkin dilakukan) djumlahnja penjelesaian tidak mendjadi ta ' ter

batas banjaknja.

Mudah dapat dimengerti, bahwa sebuah segi-n dapat dilukis dari

(n— 1 ) sisi dan ke-(/z— 2 ) sudut jang diapit oleh sisi-sisi itu ; djuga dari

(n— 1 ) sudut dan (n— 2) sisi jang berturut-turut; djadi pada kedua

lukisan masing-masing diperlukan (2n— 3) unsur. Ini adalah alasan untuk

menjatakan, bahwa untuk menetapkan bentuk dan besarnja sebuah segi-n,

urnumnja diperlukan (2n— 3) ketentuan jang tidak berhubungan. Ini djuga

dapat didjelaskan dengan djalan membuat semua diagonal dari salah

satu titik-sudut sebuah segi-n, sehingga terdjadi (n— 2) segitiga. Segitiga

jang pertama dapat ditetapkan bentuk dan besarnja oleh tiga ketentuan.

Karena itu salah satu sisi dari segitiga jang kedua dapat diketahui,

sehingga masih diperlukan dua ketentuan lagi untuk menetapkan

bentuk dan besarnja segitiga jang kedua ini. Diuga semua segitiga jang

lain, masing-masing memerlukan dua ketentuan, djadi banjaknja

ketentuan jang diperlukan adalah 3 -j- (n — 3) x 2 — 2n — 3.

Untuk menetapkan bentuk, besar dan letaknja sebuah segitiga,

misalnja dapat dipakai ketentuan-ketentuan sbb .: tiga ketentuan untuk

menetapkan bentuk dan besarnja ; selandjutnja letaknja titiksudut A

(ini berarti dua ketentuan, misalnja djarak berarah dari dua garis jang

diketahui ke A ; bandingkanlah dengan sumbu-x dan sumbu-y pada

salib sumbu s ku-siku ; dan garis jang harus memuat titiksudut B,

(satu ketentuan, ja 'ni djarak dari B kegaris itu harus ,0). Untuk mene

tapkan bentuk, besar dan letaknja sebuah segitiga diperlukan enam buah

ketentuan jang tidak berhubungan. Tjontoh jang mudah ialah : ketiga

titik-sudutnja diketahui, djadi ditentukan djarak berarah dari (misalnja

sumbu x dan sumbu y) ketitiksudut-titiksudut ini. Djelas pula, bahwa

sebuah segi n dapat ditetapkan bentuk, besar dan letaknja oleh 2n keten

tuan jang tidak berhubungan, misalnja djarak berarah dari dua garis jang

potong memotong kesemua titiksudutnja. Ternjata, bahwa umumnja

diperlukan tiga ketentuan jang tidak berhubungan, untuk menetapkan

letaknja sebuah bangun, jang besar dan bentuknja sudah ditetapkan

dengan ketentuan-ketentuan jang tjukup banjaknja.

Achirnja kita kemukakan hubungan jang terdapat antara jang

telah diuraikan diatas dengan teori tentang bangun-bangun jang sama

dan-sebangun. Karena sebuah segi-n dapat ditetapkan bentuk dan

besarnja dengan (2n— 3) ketentuan, dan sesudah ditambah dengan bebe

rapa hubungan ketidaksamaan mendjadi tertentu dengan setundjuk,

maka dua segi-n jang mempunjai sama ke-(2rc— 3) ketentuan dan semua

hubungan ketidaksamaan, tentu sama dan sebangun.

23

Djika sebaliknja dua bangun sama-dan-sebangun, kalau beberapa

sudut dan segmentgaris dalam bangun jang satu sama dengan segment-

garis dan sudut dalam bangun jang lain, maka mungkin ini menimbulkan

soal lukisan, ja 'n i melukis bangun dari sudut-sudut dan segmentgaris- segmentgaris tadi.

S O A L - S O A L .

§ 5.

Soal jang harus dibuat dengan pembitjaraan jang lengkap, diberi tanda ( 1 ) dibelakangnja.

1. Lukislah sebuah segitiga samasisi, jang diketahui kelilingnja.

2. Lukislah segitiga samakaki, djika diketahui :

a ' sebuah sudutalas dan garisbagi sudutalas itu.

b. sudutpuntjaknja dan djumlah alas dan sebuah kaki

c. garistinggi dari puntjak dan garisberat dari titiksudut jang lain

3. Lukislah sebuah segitiga siku-siku ABC (y = 90°), djika diketahui ■a. garistinggi dan garisberat dari C ;

b. sisimiring dan djumlah kedua sisisiku.

c. garisberat dari B dan dari C.

4. Lukislah sebuah segitiga ABC, djika diketahui ;

a. sisi a, sisi b dan garisberat mc.

b. sisi a, garisberat mb dan garisberat mc.

c. ketiga garisberat. ( 1 ).

5. Lukislah A ABC, djika diketahui:

a. a, garistinggi ta dan garistinggi te; ( 1 ) ;b. a, garisbagi da dan garistinggi ta ;

c. a, garisbagi db dan garistinggi tb.

6. Lukislah A ABC, djika diketahui r

a. a, p dan b + c

b. a, y dan b — c (b > c)

c. a, a dan b — c (b > c)

7 . Lukislah A ABC dengan ketentuan-ketentuan sbb .:

a. a, p dan a + b ;

b. a, p dan b — c (b > c);

c. a, p dan a + b + c.

24

8 . Lukislah sebuah persegipandjang, djika diketahui :

a. sebuah diagonal dan kelilingnja;

b. selisih antara sebuah diagonal dan sebuah sisi, dan sudut lantjip

antara kedua diagonal.

9. Lukislah sebuah belahketupat, djika diketahui:

a. sebuah sudutlantjip dan djumlah kedua diagonal ;

b. diagonal jang terpandjang dan djarak antara dua sisi jang

sedjadjar.

10 . Lukislah sebuah djadjarangendjang, djika diketahui :

o. sisi-sisinja dan djarak antara dua sisi jang sedjadjar:

b. sebuah sisi, sudutlantjip antara kedua diagonal dan selisih


1 1 . Lukislah sebuah trapezium, djika diketahui:

a. keempat sisi ( 1 ) ;

b. kedua sisi jang sedjadjar dan kedua sudut pada salah satu

sisi itu ;

c. sebuah sudut sebuah diagonal selisih antara kedua sisi sedja

djar dan djumlah kedua sisi jang lain.

1 2 . Lukislah sebuah trapezium samakaki, djika diketahui:

a. alas kaki dan tingginja ;

b. sebuah kaki, sebuah diagonal dan djumlah kedua sisi jang

sedjadjar.

13. Lukislah sebuah garis, sehingga dua lingkaran jang diketahui, Ct dan C2, memotong dari garis itu talibusur-talibusur jang pandjang-

nja k-L dan k2.

14. Lukislah segitiga siku-siku, djika diketahui: djari-djari lingkaran-

dalamnja dan garistinggi pada sisimiring ( 1 ).

15,. Diketahui dua garis sedjadjar g dan h, dan sebuah titik T jang

tidak terletak antara g dan h. Lukislah sebuah garis melalui T,

jang momotong g di G dan h di H, sehingga :

a. GH sama dengan segmentgaris a ;

b. TG + TH sama dengan segmentgaris b.

Djika T terletak antara g dan h, tariklah GTH, sehingga :

c. | TG — TH | sama dengan segmentgaris c.

25

16. Lukislah dalam A ABC sebuah segmentgaris D E •// A B (D pada

AC, E pada BC), sehingga

a. DE = AD + BEb. DE = AD — BE (a < b)

17. Sebuah lingkaran C, sebuah garis g dan sebuah segmentgaris AB

diketahui besar dan letaknja. Tetapkanlah pada C sebuah titik P

dan pada g sebuah titik Q, sehingga PQ # AB.

18. Lukislah segiempat ABCD, djika diketahui:

a. keempat sisinja dan sudut antara dua sisi jang berhadapan ;

b. AB, AD, CD, /_ B dan C ;

c. dua sisi jang berhadapan dan tiga sudu t;

d. dua sisi jang berhadapan, kedua diagonal dan salah satu sudut


19. Dalam segiempat ABCD, M adalah titikpertengahan AB dan N

titikpertengahan CD. Lukislah segiempat ini, djika diketahui MN

dan selandjutnja djuga :

a. keempat sisi ;

b. AB, AD, BC dan /_ A ;

c. AB, BC, CD dan sudutlantjip antara DA dan BC.

20. Diketahui sebuah garis g dan dua titik A dan B. Tetapkanlah pada

garis g sebuah titik T, sehingga:

a. TA dan TB" membuat sudut jang sama dengan garis g.

b. TA* + TB mendjadi sependek-pendeknja.

c. | TA — TB | mendjadi sepandjang-pandjangnia.

21. Didalam sebuah sudut lantjip (g,h) terdapat sebuah titik A. Tja-

rilah pada g sebuah titik G dan pada h sebuah titik H, sehingga

keliling A AGH mendjadi seketjil-ketjilnja.

22. Diketahui titik A dan titik B, jang terletak disatu pihak terhadap

garis g. Dari A dan B dibuat garis-garis jang tegaklurus pada g

dan memotong g, berturut-turut di A ' dan B'. Pilihlah pada

segmentgaris A ' B' sebuah titik T, sehingga /_ ATA' — 2 /

BTB'.

23. Diketahui dua lingkaran C1 dan C2 jang terletak disebelah menje-

belah sebuah garis g. Pilihlah titik P pada Cx dan titik Q pada

C2, sehingga g mendjadi sumbu segmentgaris PQ.

26

24. Lukislah segiempat ABCD, djika keempat sisinja diketahui, sedang

kan diagonal AC membagi dua sama sudut A.

25. a. Diketahui dua lingkaran C, dan C2, jang potong memotong;

salah satu titikpotong mereka disebut S ; a ialah sebuah seg-

mentgaris.Lukislah talibusurrangkap pada kedua lingkaran itu,

jang melalui S dan pandjangnja sama dengan a.

b. Lukislah talibusurrangkap jang paling pandjang melalui S.

c. Lukis djuga talibusurrangkap melalui S, jang terbagi dua sama

oleh S.

26. Dari suatu segitiga siku-siku ABC (/_ C = 90°) diketahui garis-

berat /na dan garisberat tnb. Lukislah segitiga itu dan selidikilah,

sjarat-sjarat mana harus dipenuhi supaja lukisan itu mungkiri

dikerdjakan.

27. Selidikilah tertentu atau tidaknja A ABC oleh ketentuan-keten

tuan sbb. ;

1). a, b, dan ta ; 2). c, p dan /a ; 3). besar dan letaknja c ; besarnja

b dan ta.

28. a. Lukislah A segitiga A ^ A ^ djika letaknja titikpertengahan .

Mt, M2 dan M3 ketiga sisinja diketahui.

b. Lukislah sebuah segilima A Â zA Â ^, djika letaknja titik

pertengahan M„ M,, M3, M4 dan M5 kelima sisinja diketahui.

c. Dapatkah sebuah segiempat dilukis, djika letak titikpertengah

an keempat sisinja diketahui ?

d. Lukislah sebuah segiempat, djika titikpertengahan tiga sisi dan

titikpotong kedua diagonal diketahui letaknja.

e. Lukislah sebuah segiempat, djika diketahui letaknja titikper

tengahan tiga sisi dan pandjangnja dua sisi jang berdekatan.

/. Lukislah sebuah segiempat, djika diketahui letaknja titikper

tengahan tiga sisi dan pandjangnja dua sisi jang berhadapan.

g. Lukislah sebuah trapezium, djika diketahui titikpertengahan

tiga sisi dan pandjangnja salah satu sisi.

27

B A B II.

T E M P A T K E D U D U K A N .

Untuk mendjelaskan pengertian „tempat kedudukan” , kita mulai

dengan beberapa tjontoh, jang kemudian akan kita bitjarakan sekali

lagi.Melalui sebuah titik T dalam sebuah

lingkaran dengan pusat P, ditarik beberapa

talibusur dan kemudian ditetapkan titikper-

tengahan talibusur-talibusur ini. Titik-titik

pertengahan ini, dan djuga titikpertengahan

semua talibusur lainnja jang melalui T,

merupakan sebuah lingkaran.

Dikatakan sekarang, bahwa lingkaran

ini adalah tempat kedudukan dari titik-titik

pertengahan tadi,'gb. 14.

Gb. 14: Titik2 pertengahan Kita ambil dua garis Z dan m jang

tali busur. potong memotong, dan sebuah segment-

garis a ; kemudian kita tentukan titik-titik T, jang djumlah djaraknja

ke / dan ke m sama dengan a. Ternjata bahwa kumpulan semua titik

jang mempunjai sifat ini, terdiri dari 4 buah segmentgaris, jang mendjadi

sisi-sisi sebuah persegi pandiang, termasuk pula ke-empat titik-sudut-

nja ; gb. 15.

Persegi pandjang ini disebut lagi tempat ke

dudukan titik-titik T.

Sampailah kami sekarang pada pertegasan

in i : Jang dimaksud dengan tempat kedudukan ialah

kumpulan semua titik, jang mempunjai sifat jang

sama.

Dalam tjontoh jang kesatu misalnja, tiap-tiap

titik dari tempat kedudukan adalah titikperte

ngahan suatu talibusur jang melalui T. Dalam

tjontoh jang kedua, djumlah djarak tiap-tiap titik

dari tempat kedudukan ke / dan ke m sama Gb. ]5:dx + d2 = a.

dengan segmentgaris a. Suatu tempat kedudukan

mungkin terdiri dari satu atau beberapa t i t ik ; satu atau beberapa garis

atau (dan) garislengkung atau (dan) bagian-bagiannja, atau terdiri dari

sebagian dari bidangdatar. Djika misalnja diketahui sebuah lingkaran

(P,r ),maka tempat kedudukan titik-titik T jang memenuhi T P < r,

adalah bagian dari bidangdatar jang terletak didalam lingkaran (P,r).

§ 6.

28

D j adi perkataan „bangun” dan perkataan „tempat kedudukan”

menundjukkan hal jang sama, jakni : kumpulan satu atau beberapa

titik . Hanja perkataan „tempat kedudukan” kita pakai, djika kita

hendak menjatakan bahwa bangun itu dapat ditegaskan dengan suatu

sifattanda, jang dapat dipergunakan untuk menetapkan, apakah se

barang titik (jang mana sadja) pada bidang adalah sebagian dari ba

ngun itu atau tidak. Dalam tjontoh jang pertama sifattanda ini berupa

lukisan jang menghasilkan salah satu titik dari bangun. Semua titik

jang terdapat dengan lukisan ini, bersama-sama merupakan tempat

kedudukan. Pertegasan sematjam ini menimbulkan pada pikiran kita

gambaran suatu talibusur, jang berputar pada titik T jang tetap, titik-

pertengahan talibusur ini dikatakan membentuk (menghasilkan) atau

mendjalani {melalui) bangun termaksud. Untuk mendjelaskan ini lagi

te>mpat kedudukan kadang-kadang djuga disebut djalan jang dilalui

oleh titikpertengahan talibusur jang berputar pada T.

Sekarang kita bitjarakan pertanjaan, bangun jang manakah men-

djadi tempat kedudukan, djika sebuah titik harus memenuhi suatu atau

beberapa sjarat. Pertanjaan ini dalam ilmu ukur datar hanja dapat

didjawab, djika sjarat-sjarat itu tidak sulit. Jang fclibitjarakan dalam

ilmu ukur datar biasa, ialah hanja tempat kedudukan jang berupa

titik-titik tersendiri; garis-garis lurus atau bagian-bagiannja; ling

karan ; busur lingkaran ; atau bagian bidang jang dibatasi oleh lingkaran

atau bagian lingkaran. Sjarat-sjarat jang sangat sederhana, jang harus

dipenuhi oleh suatu titik, seringkali telah menghasilkan tempat kedu

dukan jang sangat sulit bentuknja.

Pembatja hendaklah menggambar tempat kedudukan titik-titik,

jang djumlah djaraknja ketitik-titik A dan B sama dengan segment-

garis a ; tempat kedudukan ini ternjata sebuah garislengkung, jang

disebut ellips. Tempat kedudukan titik-titik,- jang hasilperbanjakan

djaraknja ke A dan ke B sama dengan J /4 AB2, ialah lemniscat Bernoulli.

Tarik djuga dua garis l dan m jang tegaklurus sesamanja ; di dalam

tiap-tiap kwadrant dibuat segmentgaris-segmentgaris d, jang udjung-

udjungnja terletak di / dan m ; titik-kaki garis-garis jang dibuat dari

titikpotong / dan m, tegaklurus pada segmentgaris-segmentgaris d

merupakan sebuah roset jang berdaun empat buah. Tentu sadja sebuah

tempat kedudukan harus disebutkan dengan djelas ; tidak tjukup djika

misalnja hanja dikatakan: „tempat kedudukan titikpertengahan sekum

pulan talibusur sedjadjar sesuatu lingkaran adalah sebuah garistengah” ;

perlu djuga disebutkan arahnja garistengah itu. Begitu djuga pada

tjontoh gb. 14, tidak tjukup djika hanja dikatakan bahwa tempat

kedudukannja adalah sebuah lingkaran ; perlu djuga disebutkan titik-

pusat beserta djari-djarinja, atau tiga titik jang dilaluinja.

29

2.

3.

16

Sekarang kita uraikan tentang apa jang harus kita buktikan,

djika kita menjatakan, bahwa bangun G adalah tempat kedudukan

titik-titik jang mempunjai sifattanda k.

1. S ja ra t: sifattanda k\ dari penjelesaian ternjata bahwa tiap-tiap

titik T\ jang mempunjai sifattanda k, adalah sebagian dari sebuah

bangun G.

Ambillah sebarang titik T2 pada G ; buktikanlah, bahwa T2 mem

punjai sifattanda k.

Buktikanlah, bahwa sebuah titik T3 jang tidak niempunjai sifat

tanda k, tentu terletak diluar G.

Ambillah sebuah titik T4 diluar G dan buktikanlah, bahwa T4 tidak

mempunjai sifattanda k.

Suatu tjontoh ; lihatlah gambar

disini zL, z2, z3 dan z4 adalah garis-

sisi sebuah budjursangkar dengan sisi

a. Sifattanda, bahwa djumlah djarak

suatu titik A kegaris-garis z sama

dengan 3 a, menghasilkan : A adalah

titik dari sebuah segidelapan (buktinja

diserahkan kepada pembatja); segide

lapan ini adalah bangun G ; lihatlah

d juga titik B.

Sekarang keempat pernjataan

mendjadi :

1. Untuk sebuah titik sifattandanja

ialah: s = 3 a ; akibatnja: titik

itu terletak di G ; lihatlah A.

B adalah sebuah titik dari segidelapan G ; harus dibuktikan :

djumlah djarak B kegaris-garis z sama dengan 3 a.

Untuk C berlaku : s # 3 a ; ak iba t: C bukan titik dari G

D tidak terletak pada segidelapan ; akibat s ^ 3 a.

Pernjataan-pernjataan ini tidak perlu dibuktikan keempat-empat-

; kita mulai dengan 1 , lalu kami buktikan 2 .

Kemudian lihatlah 3, kalimat terachir; salah satu sadja benar:

C adalah sebuah titik dari G atau bukan titik dari G ; jang tersebut

dahulu tidak mungkin ; lihat sadja 2 ; menurut 2 tentu s = 3a, dan

ini bertentangan dengan kalimat pertama dari 3.

4 pun tidak kita perlukan, sebab djuga dapat dibuktikan setjara tidak

langsung.

Djadi untuk bukti jang diperlukan, tjukuplah kita pakai dua

pernjataan sadja, misalnja : 1 dan 2 ; 1 dan 3 ; 2 dan 4 atau 3 dan 4.

2.

3.

4.

nja

30

Kebanjakan kami pergunakan 1 dan 2 ; djika dikehendaki 3 dan 4

boleh djuga diselesaikan sebagai soal : untuk hal ini sebuah tjontoh lagi.

1) PA = PB ; akibat : P terletak pada sumbu

s dari AB ; 2) Q terletak di s ; akibat QA =

oR |p QB. Dapat diberikan sebagai soa l: untuk R

________j l_______ berlaku RA =£ RB ; harus dibuktikan : R

A° 5 °B tidak terletak pada s ; 3) S tidak terletak

,q °s pada s ; harus dibuktikan SA # SB.

1 dan 2 telah tjukup untuk membuktikan,

Gb. 17: Empat pernjataan. bahwa G adalah bangun jang memenuhi sifat-

tanda k.

§ 8.

Sekarang terlebih dulu kita berikan beberapa tjontoh untuk meng

gambarkan bagaimana tjaranja menjelesaikan sebuah soal tentang

tempat kedudukan. Berapa tempat kedudukan jang banjak terpakai,

kita berikan berupa dalil. Misalnja : dalil 33 a dan b dapat dikatakan

sbb. : tempat kedudukan titik-titik jang terletak sama djauh dari dua

titik A dan B adalah sumbu segmentgaris AB.

Dikemukakan disini, bahwa tempat kedudukan ini tidak saroa-

sekali sama dengan tempat kedudukan puntjak segitiga samakaki jang

beralaskan AB ; sebab titikpertengahan AB, jakni titik M, adalah

sebagian dari tempat kedudukan jang pertama, tetapi bukan sebagian

dari tempat kedudukan jang kedua, sebab AMB bukan segitiga. Djadi

sebagai tempat kedudukan jang kedua terdapat sumbu l dari AB,

ketjuali titik M. D jika pada Z diambil titik-titik C dan D disebelah

meniebelah M, sehingga MC = MD = \ AB, maka sebagai tempat

kedudukan puntjak segitiga samakaki lantjip dengan alas AB, terdapat

dua sinar (garisputus), jakni bangun jang terdapat dari garis Z, djika

dibuang segmentgaris CD beserta udjung-udjungnja. Segmentgaris CD

tanpa titik M, adalah tempat kedudukan puntjak segitiga samakaki

tumpul jang beralaskan AB ; sedangkan tempat kedudukan puntjak

segitiga samakaki siku-siku dengan alas AB terdiri dari kedua titik

C dan D.

Selandjutnja dalil 36 a dan b boleh dikatakan sbb .:

tempat kedudukan titik-iitik jang terletak sama djauhnja dari dua garis l

dan m jang potong-memotong, terdiri dari garisbagi sudut-sudut jang

terbentuk oleh l dan m.

Dari itu te rdapat:

tempat kedudukan titik-titik dalam sebuah sudut, jang. terletak sama

djauhnja dari kedua kaki, adalah sinar jang membagi dua sama sudut

itu.

31

Suatu tjontoh lagi :

tempat kedudukan titikpertengahan segmentgaris-segmentgaris jang udjung-

udjungnja terletak pada dua garis jang sedjadjar, ialah garis parallel-

tengah kedua garis ini.

Bahwa garis Z dan garis m mempunjai satu garis paralleltengah

ternjata djika dari sebarang titik pada l dibuat garis tegaklurus pada

m, sumbu dari garis-tegaklurus ini memenuhi definisi garis parallel

tengah. Sebaliknja menurut definisi, sebuah garis paralleltengah dari

Z dan m tentu membagi dua sama tegaklurus garis jang tegaklurus

tadi.

Sekarang kita buktikan :

a. Dari tiap-tiap segmentgaris A B, jang menghubungkan l dengan m,

titikpertengahannja P terletak di garis paralleltengah Z dan m.

Djika A B J_ /, maka ini telah djelas. Djika A B tidak J_ Z,

maka melalui P dibuat garis tegaklurus pada l dan m, jang memo

tong Z‘dan m di D dan E. Maka A P A D k / \ P B E , sehingga

P D = P E, djadi terdapat keadaan diatas lagi.

b. Tiap-tiap titik Q dari garis paralleltengah adalah titikpertengahan

sebuah segmentgaris jang menghubungkan Z dan m. Menurut

definisi garis paralleltengah, maka segment pada garis, jang mela

lui Q dan tegaklurus pada Z dan m dan jang udjung-udjungnja

terletak pada / dan m, terbagi dua sama oleh Q.

Sesudah tjontoh-tjontoh ini, dengan mudah pembatja dapat mem-

peladjari sendiri tempat kedudukan tempat kedudukan dibawah ini.

Tempat kedudukan titik-titik:

a. jang terletak sedjauh d dari sebuah titik T ialah lingkaran (T, d ) ;

b. jang terletak sedjauh d dari sebuah garis Z terdiri dari dua garis

m dan m' jang terletak disebelah-menjebelah Z, sedjadjar dengan Z

dan sedjauh d dari Z;

i', jang terletak sedjauh d dari lingkaran L dengan pusat P dan

djari-djari r terdiri da r i:

kedua lingkaran (P, r ± d), djika d < r,

lingkaran (P, r -f d) dan titik P, djika d = r,

lingkaran (P, r + d), djika d > r ;

d. jang terletak sama djauh dari dua garis Z dan m jang sedjadjar,

adalah garis paralleltengah Z dan m.

Tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran dengan djari-djari r, jang:

e. melalui sebuah titik T, ialah lingkaran (T, r ) ;

/. menjinggung sebuah garis Z, terdiri dari dua garis m dan m ’, jang

kedua-duanja sedjadjar dengan Z dan terletak sedjauh r dari Z.

32

g. menjinggung sebuah lingkaran (P, R) (r # R), terdiri dari dua

lingkaran jang sepusat, jakni (P, R + r) dan (P, 1 R — r I).

Tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran, jang

h. menjinggung sebuah garis l pada sebuah titik T, adalah garis jang.

dibuat melalui T tegakjurus pada /; titik T sendiri tidak termasuk,

sehingga tempat kedudukannja terdiri dari dua sinar (garisputus);

i. menjinggung lingkaran L dengan pusat P pada titik T adalah

garis PT tanpa titik T ;

/. menjinggung dua garis sedjadjar / dan m. adalah garis parallel tengah l dan m ;

k. menjinggung dua garis / dan m jang potong-memotong, terdiri

dari garisbagi-garisbagi sudut-sudut antara / dan m, tanpa titikpotong mereka.

Terkadang kadang sebuah titik P dianggap sebagai lingkaran

dengan pusat P dan djari-djari O. Lingkaran demikian ini djuga disebut

[ingkaran titik atau lingkaran nol. Lingkaran nol dianggap menjinggung

tiap-tiap garis atau tiap-tiap lingkaran jang melaluinja. Djika ling

karan-lingkaran nol ini turut kami perhatikan, maka pada tempat

kedudukan h, i dan k tidak perlu diadakan perketjualian, artinja :

garis-garis jang tersebut disitu seluruhnja mendjadi sebagian dari tempat

kedudukan.

§ 9.

Dalam tjontoh-tjontoh fatsal jang lalu setiap kali dikatakan bangun

jang manalah mendjadi tempat kedudukan ; tetapi soal-soal sematjam

itu seringkali diberi bentuk sbb. ; „tentukanlah tempat kedudukan

dari......... ” ; djadi tempat kedudukannja harus ditjari terlebih dahulu.

Seterusnja soal-soal tentang tempat kedudukan akan kita berikan

bentuk sematjam itu; memang lebih baik djika para pembatja mentjari

tempat kedudukan itu sendiri, daripada hanja membuktikan sadja

hal-hal jang telah diketemukan oleh orang lain.

T J O N T O H 4.

Tentukanlah tempat kedudukan titikpertengahan talibusur-talibusur

suatu lingkaran, jang terletak pada garis-garis jang melalui sebuah

titik T.

P e n j e l i d i k a n . Dianggap dulu bahwa T terletak didalam lingkaran dan

tidak berimpit dengan pusatnja. Untuk mendapat gambaran sedikit

33

Pianimetri — 3.

tentang tempat kedudukan jang ditjari,

kita t j ari terlebih dulu beberapa titik

istimewa dari tempat kedudukan itu ;

jakni pusat P dari lingkaran itu, dan

titik T sendiri. Selandjutnja titikperte-

ngahan M dari sebarang talibusur CD

jang melalui T tidak terletak pada garis

PT, sedangkan tempat kedudukannja

harus symmetris terhadap AB. Maka

timbullah persangkaan, bahwa setiap titik

dari tempat kedudukan harus terletak pada

lingkaran jang bergaristengahkan PT.

Ini dapat dibuktikan sbb. ;

D i k e t a h u i : lingkaran (P, P A) ; T terletak didalam lingkaran itu ;

AB ialah garistengah jang melalui T ; C D sebuah talibusur jang melalui

T ; M adalah pertengahan. C D dan Q pertengahan P T.

A k a n d i b u k t i k a n : M terletak pada lingkaran (Q, Q P).

B u k t i : Menurut dalil 20, maka a P M C ^ A P M D , djadi /_ P M T

= 90°, sehingga Q M = PQ (dalil 28 a).

Sekarang kita buktikan bagian kedua, jakni, bahwa setiap titik

pada lingkaran jang bergaristengahkan P T adalah sebagian dari tempat

kedudukan.

D i k e t a h u i : (lihatlah gambar 18). M ialah sebuah titik pada lingkaran

(Q, P Q).

A k a n d i b u k t i k a n : M adalah titikpertengahan sebuah talibusur ling

karan (P, P A) jang melalui T.

B u k t i : Ini adalah akibat dari dalil 28 b, 61 e dan dalil 56, djika M

tidak terletak pada AB, sedangkan dalam penjelidikan telah ternjata

bahwa titik-titik P dan T djuga mendjadi sebagian dari tempat kedu

dukan itu.

Perlu diterangkan, bahwa, djika T berimpit dengan P, maka tempat

kedudukannja mendjadi lingkaran nol P.

Djika T terletak pada lingkaran (P, P A), maka dengan djalan

seperti diatas terdapat lagi sebagai tempat kedudukan lingkaran jang

bergaristengahkan P T ; tetapi titik T harus diketjualikan, sebab dalam

keadaan ini T bukan lagi titikpertengahan sebuah talibusur.

Gb. 18: Tempat kedudukan titik2 pertengahan talibusur- jang melalui T.

34

Sekarang kita anggap bahwa T terletak diluar lingkaran (P, P A).

Pada penjelidikan tempat kedudukan ternjata, bahwa P mendjadi lagi

sebagian dari tempat kedudukan, tetapi T tidak. Ternjata pula bahwa

seluruh bagian pertama dari bukti diatas tetap berlaku, sehingga djelas

bahwa tempat kedudukan dalam keadaan ini terletak pada lingkaran

jang bergaristengahkan PT.

Bagian kedua dari bukti diatas, tentu sadja hanja berlaku untuk

titik-titik lingkaran (Q, P Q) jang terletak didalam lingkaran (P, P A).

Oleh karena itu tempat kedudukannja terdiri dari busur F P G dari ling

karan (Q, Q P), jang terletak didalam lingkaran (P, P A).

Djika suatu tempat kedudukan hanja

terdiri dari sebagian dari suatu garislurus

atau garislengkung sadja, maka udjung-

udjung bagian itu disebut titikbatas tempat

kedudukan ; titikbatas ini tidak selalu men

djadi sebagian dari tempat kedudukan.

Dalam gambar 19 misalnja, titik F dan G

mendjadi titikbatas dari tempat kedudukan, f e r t ^ a h m & u ^ ) 1 % * tetapi tidak termasuk tempat kedudukan itu. pandjangatmja melalui T

B

T J O N T O H 5a.

Diketahui dua garis l dan m jang potong-memotong, dan sepotong

garis a. Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik, jang djumlah djaraknja

ke l dan ke m sama dengan a.

P e n j e l i d i k a n (lihatlah gb. 20 a). Djika kedua garis jang berdjarak a

ke / disebut lx dan /2 (ini berarti bahwa // l // L dan / terletak antara

Gb. 20a: D jum lah djarak P — l dan djarak P — m adalah a.

35

/, dan /s), dan kedua garis jang berdjarak a dari m disebu^ w, dan m2,

m aka terdapatlah beberapa titik dari tempat kedudukan, jakni titik-

potong A dan C dari / dengan mt dan /n2, dan titikpotong B dan D

dari m dengan /a da /2. Titik-titik jang lain dari tempat kedudukan

harus mempunjai djarak antara O dan a ke / dan m. Djadi titik-titik

ini terletak antara l dan lx atau antara l dan /2, tetapi djuga antara tn

dan /??! atau m2, djadi terletak didalam salah satu dari keempat belah-

ketupat jang bertitiksudutkan S.

K ita selidiki sekarang titik-titik didalam belahketupat S A E B.

D jum lah djarak mereka ke / dan lL sama dengan a, sebab mereka terletak

diantara / dan lx ; sedangkan kedua garis ini sedjadjar dengan djarak o.

Djadi titik sematjam itu (misalnja P) akan mendjadi titik dari tempat

kedudukan, djika djumlah djarak P ke / dan m sama dengan djum lah

djarak ke / dan Zx, djadi djika P mempunjai djarak jang sama ke /x

dan mx, artinja djika P terletak pada diagonal A B dari belahketupat.

Dengan melakukan penjelidikan ini dalam ketiga belahketupat jang

lain didapat, bahwa tempat kedudukan jang ditjari adalah empat

persegipandjang A B C D.

B u k t i : Penjelidikan diatas telah disusun sedemikian, sehingga ternjata

semua titik pada empatpersegipandjang A B C D memenuhi pertanjaan,

sedangkan semua titik lainnja tidak memenuhi.

Pembatja dipersilahkan membuktikan sendiri sekali lagi, bahwa

setiap titik dari empatpersegipandjang memenuhi, dan djuga sebalik-

nja ; misalnja dengan membuktikan bahwa, djika untuk titik S dida

lam /_ A S B djumlah djaraknja ke l dan ke m sama dengan a, tentu

segitiga A Q S (Q pada /, sehingga SQ // /n) samakaki (garistinggi dari

A sama dengan garistinggi dari S) ; sehingga ¿ P A S = / . P A B ,

djadi S terletak pada A B.

T J O N T O H 5b.

Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik jang selisih djaraknja ke l

dan ke m sama dengan a. (Disini jang dimaksud dengan selisih ialah

harga mutlak dari selisih).

P e n j e l i d i k a n . Titik-titik A, B, C dan D djuga mendjadi sebagian dari

tempat kedudukan ini. Dari titik-titik jang lain: mereka jang djaraknja

ke / lebih besar a daripada djaraknja ke m, harus ditjari dalam sudut-

sudut E B M , M B F , G D N dan N D H, sedangkan, titik-titik jang

djaraknja ke m lebih besar a daripada djaraknja ke l, tentu terdapat

didalam sudut-sudut F C L, L C G, H A K dan K A E. Untuk sebuah

36

titik didalam E B M, djarak ke l lebih besar a daripada djarak ke /x.

Djadi supaja djarak ke l djuga lebih besar a daripada djarak ke m,

maka djarak ke lx harus sama dengan djarak ke m ; oleh karena itu titik

tadi harus terletak pada sinar jang membagi dua sama /_ E B M, djadi

pada perpandjangan C B. D jika daerah dalam dari ketudjuh sudut jang

lain diselidiki setjara ini, maka terdapat, bahwa tempat kedudukan

jang ditjari terdiri atas titik-titik A, B, C dan D dan kedelapan buah

perpandjangan sisi empat persegipandjang A B C D ; dengan lain per

kataan : terdiri atas keempat garissisi empatpersegipandjang tanpa

sisi-sisinja.

B u k t i : ini sudah terkandung dalam penjelidikan diatas.

§ 10.Djika tempat kedudukan jang ditjari, didjelaskan dengan lukisan,

jang menghasilkan sebuah titik dari tempat kedudukan itu, dengan lain

perkataan djika tempat kedudukan dianggap sebagai dialan jang

dilalui oleh sebuah titik dari suatu bangun jang berubah-ubah, maka

kita mentjoba mendapatkan hubungan-hubungan jang niudah antara

titik-titik (garis-garis, dst.) jang berubah-ubah dengan jang tetap.

Kerap kali nampak dari hubungan-hubungan tadi, bahwa titik-titik

jang dihasilkan dengan lukisan-lukisan tadi, semuanja terletak pada

sebuah garis atau sebuah lingkaran jang tetap. Sesudah ini masih perlu

diselidiki apakah semua titik dari garis atau lingkaran itu mendjadi

titik dari tempat kedudukan ; djika tidak, perlu diselidiki titik-titik

jang manakah termasuk pada tempat kedudukan.

Misalnja : dalam tjontoh 4 titik M jang berubah-ubah mempunjai

djarak jang tetap (jakni P Q) ketitikpertengahan Q dari PT. Djadi

37

semua titik M terletak pada lingkaran (Q, Q P). Setelah diselidiki lebih

landjut ternjata, bahwa :

1 . seluruh lingkaran (Q, Q P) mendjadi tempat kedudukan, djika T

terletak dalam lingkaran jang diketahui ;

2. Seluruh lingkaran itu ketjuali titik T mendjadi tempat kedudukan

djika T terletak pada lingkaran jang diketahui ;

3. busur P P G dari lingkaran ini jang terletak didalam lingkaran

jang diketahui, mendjadi tempat kedudukan, djika T terletak diluar

lingkaran jang diketahui.

Kesukaran jang masih kita alami ialah mengetahui titik-titik

atau garis-garis tetap jang mempunjai hubungan mudah dengan setiap

titik dari tempat kedudukan. Biasanja dimulai dengan (bandingkanlah

dengan tjontoh 4) mentjari tit'k-titik istimewa dari tempat kedudukan';

sehabis itu kerap kali telah nampak, bangun jang mana akan mendjadi

tempat kedudukan, seluruhnja atau hanja untuk sebagian sadja. Ini

terutama berlaku untuk ilmu ukur kita, sebab disini hanja dibitjarakan

tentang garislurus dan lingkaran, atau bagian-bagian mereka. D jika

tiga titik dari tempat kedudukan terletak pada satu garis, maka besar

kemungkinannja, bahwa garis itu, atau sebagian dari garis itu, mendjadi

sebagian dari tempat kedudukan jang ditjari. D jika tiga titik dari

tempat kedudukan tidak terletak pada satu garis, maka ada kemung

kinan, bahwa lingkaran jang melalui ketiga titik tadi, atau sebagian

daripadanja, mendjadi sebagian dari tempat kedudukan jang ditjari.

Jang sangat perlu kita perhatikan., ialah titikbatas-titikbatasnja tempat

kedudukan; meskipun mereka tidak selalu mendjadi sebagian dari

tempat kedudukan tetapi seringkali mereka dapat mendjadi petundjuk

dalam penjelidikan.

Selandjutnja perlu djuga diselidiki, apakah barangkali tempat

kedudukan jang ditjari symmetris terhadap suatu garis l ; dengan lain

perkataan: djika suatu titik T mendjadi salah satu titik dari tempat-

kedudukan apakah djuga bajangantjerminnja PS di / djuga mendjadi

sebagian dari tempat kedudukan. D jika tempat kedudukan itu terdiri

dari sebuah garis m jang berlainan dengan /, maka m harus berdiri

tegaklurus pada l, djika tempat kedudukan itu terdiri dari dua garis m,

dan m2, tentu / mendjadi garisbagi (ml5 m2) atau, djika tn^ dan mz

sedjadjar, / mendjadi garis paralleltengah antara dan m2 ; djika

tempat kedudukannja sebuah lingkaran, tentu pusatnja terletak pada

/ (bandingkanlah dengan tjontoh 4).

Achirnja diperingatkan, bahwa tempat kedudukan jang ditjari,

tidak tentu berupa sebuah bangun jang terdiri dari garis-garis jang

lurus atau lengkung, atau bagian-bagiannja, tetapi djuga mungkin

terdiri dari satu atau beberapa bagian bidang. Misalnja: tempat kedu

38

dukan titik-titik jang djaraknja ketitik A lebih besar daripada djaraknja

ketitik B, terdiri dari setengah bidang jang terletak'dengan B disatu

pihak terhadap sumbu A B, dan bergarisbataskan sumbu A B.

Uraian diatas ini akan kita djelaskan dengan beberapa tjontoh.

Pada tjontoh ke-enam dan ketudjuh hanja kita selidiki bangun apakah

kira-kira akan mendjadi tempat kedudukan. Penjelidikan selandjutnja

diserahkan kepada pembatja.

T J O N T O H 6 .

Diketahui sebuah sudut siku-siku XO V

dan sepotong garis c. Pada kaki O X diambil

titik A dan pada O Y titik B, sehingga

A B — c. Tentukanlah d jalan jang dilalui

titikperiengahan M dari A B, djika A

bergerak sepandjang O X .

P e n j e l i d i k a n : Djika pada O X dan OY

diletakkan segmentgaris O D = O E = c,

maka titikpertengahan K dan L dari O D

dan O E adalah titikbatas dari tempat

kedudukan titik M ; tetapi mereka bukan

sebagian dari tempat kedudukan itu. D jika seterusnja digambar A B =

Ax B, = A, Bj = c, dengan titikpertengahan mereka M, M, dan M2,

maka nampaklah, bahwa tilik-titik ini tidak terletak pada satu garis

dengan K dan L, sehingga besar kemungkinan bahwa djalan M adalah

busur K M L dari lingkaran (O, \ c).

T J O N T O H 7

Diketahui sebuah empatpersegipandjang A B C D ; pada sisi A B

diambil titik P dan pada sisi D C titik Q, sehingga P Q jf A D. Tentukan

lah djalan jang dilalui titikpotong S dari kedua diagonal empatpersegi

pandjang A P Q D, djika P bergerak sepandjang sisi A B.

_ A2 K A, A

Gb. 21: Seperempat lingkaran

K M L ialah djalan M .

P e n j e l i d i k a n : Titikpertengahan M dari

A D dan titikpotong N dari kedua dia

gonal empatpersegipandjang A B C D ada

lah titikbatas dari tempat kedudukan S,

tetapi bukan sebagian dari tempat

kedudukan itu. Karena M, S dan N

terletak pada satu garis, maka besar

39

kemungkinan bahwa segmentgaris M N adalah tempat kedudukan S.

Sekarang kita berikan penjelesaian lengkap dari beberapa tempat

kedudukan jang agak sulit.

T J O N T O H 8 .

■Pada kaki A C sudut B A C terletak sebuah titik tetap T. Pada A C

diambil sebuah titik Q antara A dan T. Kemudian pada kaki A B diambil

titik P, sehingga A P — T Q. Tentukanlah tempat kedudukan titikper-

tengahan P Q, djika Q bergerak sepandiang A T.

P e n j e l i d i k a n : (lihatlah gb. 23 a). Djika Q berada di A, tentu P berada

di T' (AT' = A T ); djika Q terletak di T, tentu P terletak di A. Djadi

titikpertengahan X 2 dan X;, dari AT' dan AT adalah titikbatas t. k.

titikpertengahan X dari P Q. Karena dalam gambar nampak, bahwa X

terletak pada segmentgaris X x X 2, maka akan kita buktikan bahwa

segmentgaris ini adalah tempat kedudukan jang ditjari.

a. Mudah dapat dimengerti, bahwa kita pindah salah satu dari

kedua segmentgaris jang sama, sehingga bersekutu satu udjung

dengan jang lain ; djadi A P digeser menurut vector A Q ; A P

mendjadi Q Pv ; dalam A T Q P„ berlaku /_ T = 90° — % a ; ini

berlaku dengan tidak tergantung pada pandjangnja T Q ; maka

Pv bergerak sepandjang segmentgaris TT' (AT' = AT).

A P Pv Q ialah sebuah djadjarangendjang (dalil 43). Djadi A X = i a Pv (dalil 41).

Diadi titik-titik X terletak pada garis paralleltengah X 1 X , // T' T.

A

Gb. 23b: X pada X 1X 2 dan X P =

XQ, maka A P = QT.

40

b. Diketahui pada gb. 23 b : X ialah sebuah titik pada garis parallel-

tengah X 5 X 2 ; P X = X Q ; harus dibuktikan, bahwa Q T = A P.

Perpandjanglah A X hingga memotong T T ' d i R ; A X = X R ;

P X = X Q ; djadi A P R Q adalah sebuah djadjarangendjang ; A P =

Q R dan Q R = Q T ; sebab A T' = A T dan Q R // A T', sehingga

dalam A Q R T berlaku /_ T = /_ R.

Dengan demikian telah dibuktikan dengan lengkap, bahwa X x X ,

adalah tempat kedudukan jang ditjari.

Diketahui segmentgaris A B dan garis l jang dibuat melalui titik C di

A B dan tegaklurus pada A B. Sebuah titik P pada l dihubungkan dengan

A dan B; kemudian di A dibuat garis tegaklurus pada A P dan di B garis

tegaklurus pada BP . Tentukanlah tempat kedudukan titikpotong Q dari

kedua garis tegaklurus ini. d jika P bergerak sepandjang garis L.

P e n j e l i d i k a n (lihatlah gb. 24). Dari apa jang diketahui nampak, bahwa

tempat kedudukan jang ditjari adalah harus symmetris terhadap A B.

Djika digambar beberapa titik dari tempat kedudukan itu, misalnja Q

dan Qj dan bajangantjermin mereka Q0 dan Q 10 pada A B, maka tim

bullah persangkaan, bahwa tempat kedudukan itu adalah garis m jang

tegaklurus pada AB. Disini Qs terdapat dari P ls jang terletak pada /,

sehingga /_ A Px B = 90°; djadi A Pj B Qt adalah sebuah einpatpersegi

pandjang, sehingga titikpertengahan M dari Pj Qj djuga inendjadi titik

pertengahan dari A B. Djadi M djuga terletak ditengah-tengah antara

l dan m.

T J O N T O H 9.

•A B

Gb. 24: Penjelidikan tempat kedudukan. Gb. 25: P pada l, maka Q pada m.

41

a. K ita mulai lagi dengan membuktikan bahwa setiap titik Q dari

tempat kedudukan terletak pada m (lihatlah gb. 25); m ini dibuat

sedemikian sehingga sumbu segmentgaris A B mendjadi garis pa-

ralleltengah l dan m. D jika O titikpertengahan P Q, maka O A =

O B = i PQ sehingga O terletak pada sumbu A B. Djika melalui

O dibuat segmentgaris E F // A B, maka A P O E ^ A Q O F

(dalil 17), djadi O F Q = 90° dan karena F terletak pada rn,

maka Q tentu terletak djuga di m. Disini P dianggap sebuah titik

dari 1, jang berlainan daripada C, sebab djika P berimpit dengan C.

maka tidak terdapat titik Q jang bersesuaian dengan P.

b. Sebaliknja sekarang kita harus menjelidiki, apakah setiap titik Q

dari m diuga mendjadi sebagian dari tempat kedudukan. Penjeli-

dikan ini djalannja sangat menjerupai penjelidikan diatas, sebab

tjara terdjadinja P dari Q, sama sadja dengan tjara terdapatnja Q

dari P. Hanja djika Q berimpit dengan titikpotong D antara m dan

AB, maka pada titik Q ini tidak terdapat sebuah titik P. Dari a

dan b ternjata, bahwa tempat kedudukan jang ditanjakan terdiri

dari garis m tanpa titik D.

§ 11.

Dalam mengerdjakan lukisan, tempat kedudukan sangat berguna

untuk menentukan sebuah titik jang harus memenuhi dua sjarat. Sebab

djika diketahui tempat kedudukan titik-titik jang memenuhi sjarat

jang pertama dan djuga tempat kedudukan titik-titik jang memenuhi

sjarat jang kedua, tentu titik-titik persekutuan kedua tempat kedudukan

tadi memenuhi kedua sjarat. Djika kedua tempat kedudukan itu ter

njata tidak bersekutu setitikpun*' maka lukisan itu tidak mungkin.

Disini kita berikan dua tjontoh lukisan jang menggunakan tempat ke

dudukan-, misalnja diketahui titik-titik A, B dan C dan segmentgaris a;

sebuah titik X jang mempunjai djarak sama ke A dan ke B, harus ter

letak pada sumbu m dari AB; djika X harus terletak sedjauh a dari C,

tentu X djuga terletak pada lingkaran (G, a); titikpotong-titikpotong m

dan lingkaran ini ialah titik-titik jang ditanjakan. Banjaknja titik jang

terdapat tergantung kepada letaknja garis m terhadap lingkaran itu.

T J O N T O H 10.

Melukis sebuah lingkaran dengan djari-djari a, jang memotong

lingkaran (P lf rx) tegaklurus dan membagi dua sama lingkaran (P 2, ra)

(artinja: melalui udjung-udjung sebuah garistengah lingkaran ini.)

42

P e n j e l e s a i a n (gb. 26). X, ialah sebuah lingkaran jang memotong

Lj di Si dengan sudut siku-siku. Untuk setiap lingkaran lain (N, a) jang

memotong tegaklurus di S, maka A Pi S N ^ A Pa S2 Nlt sehingga

N terletak pada lingkaran (PI; Px Nx). Sebaliknja lingkaran (N, a),

djika N terletak pada lingkaran K1; akan memotong tegaklurus lingkaran

(Pi> ri) dikedua titik S, jang menjebabkan A Pi S N A Pi Sx Nv D jadi

lingkaran Kj adalah tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran jang

berdjari-djari a dan memotong tegaklurus lingkaran (Plt r^.

Pada gb. 27 Ox ialah pusat sebuah lingkaran Yx dengan djari-djari

a jang membagi dua sama lingkaran L2 (P2. r2); didapat lingkaran K2 (P2. P2 Oj) sebagai tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran

dengan djari-djari a. jang membagi dua sama lingkaran L2. Djadi untuk

kedua titikpotong dan M2 dari kedua lingkaran Kx dan K2. dan hanja

untuk kedua titik ini sadja. berlaku bahwa lingkaran-lingkaran jang

berpusatkan titik itu dan berdjari-djari a memenuhi pertanjaan.

§12 . S O A L - S O A L .

1. Diketahui dua titik A dan B; melalui A dibuat sebuah garis / dan

melalui B sebuah garis m l l. Tentukanlah tempat kedudukan titik

potong S dari l dan m, djika / berputar pada A.

2. Dalam sebuah trapesium samakaki A B C D (AB // DC) dibuat

sebuah segmentgaris P Q (P pada AD, Q pada BC) sedjadjar

dengan AB. Tentukanlah tempat kedudukan titikpotong S dari

kedua diagonal trapesium A B Q P, djika P bergerak sepandjang

sisi A D.

43

3. Diketahui sebuah garis g, sebuah lingkaran (P, R) dan sebuah seg-

mentgaris r(R •> r). Tentukanlah tempat kedudukan pusat semua

lingkaran jang berdjari-djari r dan memotong g dan (P, R).

4. Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik T dalam segitiga ABC,

sehingga djarak T ke BC kurang daripada djarak T ke CA, sedang

kan djarak T ke CA lebih ketjil daripada djarak T ke AB.

5. Dua garis l dan m potong memotong di S, a ialah sebuah segment-

garis. Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik, jang d jaraknja

ke S kurang daripada a, dan terletak lebih dekat ke l dari

pada ke m.

6 . Tentukanlah tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran jang

memotong talibusur jang sama pandjangnja dari garissisi AB dan

AC dari A ABC dan menjinggung garissisi BC.

7. a. Diketahui sebuah budjursangkar ABCD dengan sisi a, pada per-

pandjangan DA terletak titik E, sehingga AE = a. Melalui E

dibuat garis g // AB.

Tentukanlah tempat kedudukan pusat lingkaran jang menjing

gung g dan paling sedikit salah satu sisi budjursangkar.

b. Seperti soal diatas, tetapi sekarang E diambil pada perpandjang-

an CA, sehingga AE = a dan g // B D.

8. Pada kaki AB dan kaki AC suatu sudut A diambil titik D dan E

jang berubah-ubah, sehingga AD + AE = a. Tentukanlah tempat

kedudukan titikpotong P dari garis tegaklurus dari D ke AB dan

dari E ke AC.

9. a. Dua lingkaran (M, R) dan (N, r) singgung-menjinggung dari

luar di A. Sebuah garis m jang melalui A memotong lingkaran

jang pertama sekali lagi di B; garis n jang dibuat di A tegaklurus

pada m, memotong lingkaran jang kedua sekali lagi di C. Ten

tukanlah tempat kedudukan titikpertengahan K dari BC, djika

m berputar pada A.

b. Seperti soal diatas, djika (M, R) dan (N, r) singgung-menjinggung

dari dalam di A.

10. a. Diketahui sebuah budjursangkar jang- bersisi a. Tentukanlah

tempat kedudukan titik-titik jang djum lah d jaraknja kepada

keempat garissisi sama dengan 4 a.

44

b. Seperti diatas, djika djumlah djaraknja Iiarus sama dengan 2 a.

c. Djuga, djika djum lah djaraknja sama dengan a.

1 1 . a. Diketahui dua garis l dan m dan sebuah lingkaran L. Tentu

kanlah sebuah titik jang terletak sama djauh dari / dan m,

sedangkan dilihat dari titik itu lingkaran L nampak sebesar

30°.

b. Lukislah djuga sebuah titik jang terletak sedjauh a dari ling

karan L, sedangkan djumlah djarak dari titik itu ke / dan ke m

sama dengan b.

12. Diketahui budjursangkar ABCD; E ialah titikpertengahan AB dan

F titikpertengahan CD. Lukislah sebuah lingkaran jang menjing-

gung EF dan paling sedikit salah satu sisi budjursangkar, lagi me

motong talibusur-talibusur jang sama dari AC dan DE.

13. Diketahui sebuah budjursangkar ABCD dengan sisi a; pada per-

pandjangan CA terletak titik E, sehingga AE = o. Melalui E dibuat

garis g j/ AB. Lukislah lingkaran jang menjinggung g dan salah satu

garissisi budjursangkar dan dari E nampak sebesar 60°.

14. Sebuah budjursangkar ABCD bersisi a; selandjutnja pada perpan-

djangan sisi BC diletakkan sebuah titik M sehingga C M — A C.

D ibuat lingkaran v dengan pusat M dan djari-djari M D. Lukislah

semua titik jang djumlah djaraknja kesemua garissisi sama dengan

5a dan jang terletak sedjauh a dari lingkaran y.

15. Diketahui dua garis / dan m, dua segmentgaris a dan r dan sebuah

sudut 9 . Lukislah sebuah lingkaran dengan djari-djari r, jang me

motong talibusur jang pandjangnja 2 a dari /, dan memotong

m dengan sudut 9 .

16. Diketahui sebuah titik M dan segmentgaris a, beserta sebuah

garis / jang terletak sedjauh 5a dari M. Lukislah semua lingkaran

jang menjinggung / dan kedua lingkaran concentris (M, 4a) dan

(M, 6a).

17. Diluar lingkaran L terletak sebuah titik T. Lukislah sebuah garis

melalui T, sehingga talibusur jang terpotong dari garis itu oleh

lingkaran L, dibagi dua sama oleh lingkaran K jang djuga di

ketahui.

45

18. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dan sebuah segmentgaris a < 2r

beserta tiga garis l. m dan n. Dari suatu djadjarangendjang ABCD

diketahui bahwa A terletak pada /, C pada m, dan B dan D pada

lingkaran (P, r); selandjutnja AC//n dan BD = a. Lukislah d ja

djarangendjang itu. Untuk buktinja boleh dipergunakan akibat

dari dalil 82.C

19. Lukislah garisbagi suatu sudut, jang titiksudutnja terletak diluar

kertas gambar.

46

§ 13.

U L A N G A N P E R T A M A .

1. Dalam ABC a — 15° dan y = 90°; CD ialah garistinggi pada AB.

Buktikanlah bahwa AB = 4 CD.

2. Diketahui dua pasang garis jang sedjadjar lx // L dan ml // nu, dan

sebuah titik T. Lukislah sebuah garis melalui T, sehingga dari garis

itu oleh kedua pasang garis jang sedjadjar tadi terpotong dua seg-

mentgaris jang sama pandjangnja.

3. Diketahui dua garis l dan rn jang potong memotong, dan

dua titik P dan Q jang terletak dalam salah satu sudut lantjip

antara Z dan m. Tentukanlah pada l sebuah titik X dan pada rn

sebuah titik Y sehingga P X + X Y -j- YQ mendjadi seketjil-

ketjilnja.

4. a. Melalui titik sudut A djadjarangendjang ABCD dibuat garis g.

Harus dibuktikan bahwa djarak dari C ke g sama dengan djum

lah atau selisih djarak dari B dan D ke g, ja ’ni djum lah djika g

(tanpa titik A) terletak seluruhnja diluar djadjarangendjang

tadi, dan selisih, djika tidak demikian halnja.

b. Lukislah melalui titiksudut A segitiga ABC sebuah garis, sehing

ga djumlah atau selisih garis-garis, jang dibuat dari B dan dari C

tegaklurus pada garis tadi, mendjadi sama dengan sebuah seg-

mentgaris jang diketahui.

5. Hubungkanlah kedua kaki sesuatu sudut dengan sebuah segment-

garis jang pandjangnja sama dengan a dan sedjadjar dengan sebuah

garis g.

6 . Diketahui sebuah sudut dan sebuah titik T didalam sudut itu. Me

lalui T harus dibuat sebuah garis, sehingga segmentgaris jang ter

potong dari garis itu oleh kedua kaki sudut tadi, terbagi dua sama

oleh titik T.

7. Lukislah lingkaran-lingkaran jang berpusatkan titiksudut-titik-

sudut suatu segitiga, dan jang sepasang sepasang singgung-menjing-

gung.

8 . Lukislah melalui dua titik A dan B dua garis sedjadjar, jang me

motong sebuah segmentgaris a dari sebuah garis g.

47

11 .

... a c am asi si ABC terletak sebuah titik T.9. Didalam sebuah segi i* dilukis sebuah segitiga jang sisi-

Buktikanlah, bahwa selalu dapat

sisinja sama dengan TA, T a

, 4. ABCD (AB // DC) djika diketahui: alas10. Lukislah seb“ a i rap CAB dan bjniedian A B dan CD ( = segment-

AB, diagona , f- titikpertengahan AB dengan titikper-garis jang menghubungkan & &

tengahan CD).

T ilkislah sebuah segitiga samakaki djika diketahui letak, puntjak-

nja dan paiidjang aâsnja, sedangkan udjung-udjung a.asnja harus

terletak pada dua garis jang sedjadjar.

,2. a. Diketahui sebuah sudut siku-siku X O Y dan segmentgaris

Pada O X diletakkan sebuah titik A dan pada OY sebuah titik

B sehingga OA + OB = a. D jika C titiksudut keempat dari

empat persegipandjang AOBC, tentukanlah tempat kedudukan

titik C.

b. Buktikanlah, bahwa garis jang dibuat dan C tegaklurus pada

AB melalui sebuah titik jang tetap.

13. Pada kaki AB suatu sudut BAC terletak sebuah titik P. Tentukan

lah pada kaki itu djuga sebuah titik Q, jang terletak sama djauh

dari P dan dari garis AC.

14. Diketahui sebuah lingkaran (P, i') dan dua titik A dan B. Buatlah

melalui A dan B dua garis sedjadjar, sehingga dari kedua garis ini

oleh lingkaran (P. r) terpotong dua talibusur jang sama pandjang-

nja.

15. Buktikanlah, bahwa pernjataan dibawah ini salah :

djika dalam sebuah segitiga salah satu sudut sama dengan

dua kali salah sebuah sudut jang lain, tentu sisi didepan sudut

jang pertama sama dengan dua kali sisi didepan sudut jang

kedua.

16. a. Diketahui sebuah lingkaran L dan dua garis l dan m jang potong

memotong. Tentukanlah pada L sebuah titik T, sehingga djumlah

d j arak dari T ke l dan ke m mendjadi seketjil-ketjilnja.

b. Tentukanlah pada L sebuah titik Q djuga, sehingga djumlah

djarak dari Q ke l dan ke m mendjadi sebesar-besarnja.

48

17. Dalam segitiga Iantjip ABC a > (3. Pada sisi AB diletakkan titik

T, sehingga CAT > /_ CTA. Kemudian pada TC diletakkan

segmentgaris TQ = AC, lalu ditetapkan titikpertengahan R dari

CQ. Buktikanlah, bahwa RB + RT > CA -f- CB.

18. Buktikanlah, bahwa djumlah ketiga garisberat suatu segitiga

lebih ketjil daripada kelilingnja dan lebih besar daripada 3/4 keli-

lingnja.

19. Tentukanlah tempat kedudukan titikpertengahan segmentgaris-

segmentgaris PQ, jang salah satu udjungnja, ja ’ni P, terletak pada

sisi AB, dan udjung jang lain, ja ’ni Q, terletak pada sisi CD suatu

segiempat ABCD jang diketahui.

20. Dalam budjursangkar ABCD garisbagi /_ BAC memotong sisi BC

di E. Buktikanlah, bahwa AB + BE = AC.

21. Dalam A ABC a > b > c dan 1 adalah pusat lingkaran dalam.

Buktikanlah, bahwa IA < IB < IC.

22. Diketahui dua lingkaran jang terletak diluar sesamanja dan jang

berpusatkan M dan N. Buktikanlah, bahwa titikpotong kedua garis-

singgung persekutuan-dalam mereka dengan kedua garissinggung

persekutuan-luar mereka terletak pada satu lingkaran, jang ber-

garis-tengahan MN.

23. Dalam suatu segitiga santakaki BAC dengan puntjak A terletak

sebuah titik T sehingga /_ TAB > /_ TAC; buktikanlah bahwa

¿_ TBA > /_ TCA.

24. Diketahui sebuah garis g beserta dua titik A dan B jang

terletak di satu pihak terhadap g. Sebuah segmentgaris CD

jang tetap pandjangnja, bergerak sepandjang g. Letakkanlah CD

sedemikian, sehingga AC + CD + DB mendjadi seketjil-ketjil-

nja.

25. Dari segitiga. ABC diketahui a dan b, sedangkan a = 2p. Lukislah

segitiga ini.

26. Diketahui titik-titik A, P dan Q; harus dilukis sebuah budjursang

kar ABCD jang garissisinja BC melalui P dan garissisinja CD me

lalui Q.

49

Planimetri 4.

27. Lukislah lingkaran dengan djari-djari r, jang menjinggung garis-

sisi AB dari A ABC dan memotong segmentgaris-segmentgaris iarig

sama pandjangnja dari kedua garissisi jang lain.

28. Dalarri segiempat ABCD berlaku AD = BC; buktikanlah, bahvva

bimedian AB dan CD sedjadjar dengan garisbagi salah satu sudut

jang terbentuk oleh garissisi AD dan BC.

29. Diketahui dua lingkaran Lx dan L2, suatu sudut a dan segment

garis r. Lukislah lingkaran dengan djari-djari r, jang memotong L,

dengan sudut a dan membagi dua sama L2

30. Diketahui dua titik P dan R dan sebuah lingkaran L. Lukislah

djadjarangendjang PQRS, sehingga Q dan S terletak di L.

31. P dan Q ialah titikkaki garis-garis jang dibuat dari A tegaklurus

pada garisbagi p dan v sesuatu A ABC. Buktikanlah, bahwa PQ //

CB.

32. Z ialah titikberat A ABC; buktikanlah, bahwa dapat dibuat sebuah

segitiga jang sisi-sisinja sama dengan ZA, ZB dan ZC.

33. Diketahui segmentgaris AB ; tentukanlah tempat kedudukan titik-

titik C dengan sifat, bahwa /_ C dalam A ABC tumpul dan C A >C B .

34. Dalam A ABC terletak sebuah titik T. Lukislah sebuah lingkaran

jang melalui T, dan nampak sama besar, djika dilihat dari A, B dan

C.

35. Dalam segiempat ABCD /_ A = /_ B dan C — D; buktikan

lah, bahwa segiempat itu adalah sebuah trapesium samakaki atau

sebuah empat persegipandjang.

36. Titik P terletak pada BC dalam A ABC; berturut-turut dibuat

PQ II BA {Q pada AC), QR // CB (R pada AB), RS ¡j AC (S pada

BC), ST ¡j BA (T pada AC), TU // CB (U pada AB). Buktikanlah,

bahwa UP // AC.

37. Diketahui sebuah segmentgaris AB dengan letak dan besarnja.

Tentukanlah tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran jang

menjinggung segmentgaris ini, sedangkan kedua garissinggung dari

A dan B jang lain harus sedjadjar. 1

50

38. Diketahui dua lingkaran Lj dan L,, dan pada Lj sebuah titik T.

Lukislah sebuah lingkaran jang menjinggung Lj di T dan djuga

menjinggung L2.

39. Pada sisi AC A ABC terletak titik T; tentukanlah pada sisi AB

sebuah titik X , sehingga /_ AXT = /_ CXT.

40. Diketahui lingkaran Lj, lingkaran L2 dan garis g. Lukislah garis x

¡j g, sehingga dari x oleh Lj dan L2 terpotong dua talibusur jang

saina pandjangnja.

41. Dalam segienam A1A2A3A4A5A 6, titik-titik Mx, M,, ..., M6 ialah

titikpertengahan dari sisi-sisi A1A„, A2A3, ....... , A , ^ dan M 7 ialah

titikpertengahan A2A5' Buktikanlah, bahwa segitiga-segitiga MjM3 M5, M2M4M g dan M3M 6M 7 bersekutu titikberatnja.

42. Dalam A ABC y = 90°; dari titikpertengahan D sisi BC dibuat

D E J_ AB. D iika garisbagi y disebut CF, buktikanlah bahwa

/_ ECF > i p.

43. Dalam A ABC a dan ¡3 lantjip; dibuat A P J_ AC dan BQ J_ BC,

sehingga AP = AC dan BQ = BC; A dan Q terletak disebelah me-

njebelah BC; B dan P disebelah menjebelah AC. Buktikanlah,

bahwa AQ, BP dan garistinggi dari C dalam A ABC melalui satu

titik.

Buktikanlah djuga dalil ini djika a tumpul.

44. a. Pada sisi-sisi AC dan BC dari A ABC dibuat kesebelah luar dua

budjursangkar ACDE dan BCFG; P ialah pusat budjursangkar

jang pertama, dan Q pusat budjursangkar jang kedua. D jika

titikpertengahan AB disebut M, buktikanlah bahwa MP = MQ

dan MP J_ MQ.

b. Pada sisi-sisi sebuah -segiempat dibuat kesebelah luar empat

buah budjursangkar; pusat-pusat mereka disebut P, Q, R dan

S. Buktikanlah bahwa PR = QS dan PR J_ QS.

45. Dalam budjursangkar ABCD terletak titik P, sehingga /_ PCD =

/_ PDC = 15°. Buktikanlah, bahwa A PAB samasisi.

51

B A B III.

P E R B A N D I N G A N S E G M E N T G A R I S .

L U A S .

§ 14-

k, a = kb dan b = ^ K

Dengan hasilbagi' atau perbandingan dua segmentgaris a dan b

dimaksudkan perbandingan k dari pandjang mereka. Kami tulis:

G

TDjika k bilangan terukur, maka a dan b disebut terukur relatif.

Djika k = ~ {m dan n bilangan asli), maka segmentgaris —= ~ disebut

ukuran persekutuan a dan b. D jika m dan n dalam k =-^Lprimus relatif

(artinja: tidak mempunjai pembagi persekutuan selain dari 1 ), maka

cl ^— (F=~ ) disebut ukuran persekutuan terbesar a dan b.

Djika perbandingan dua buah segmentgaris sama dengan sebuah

bilangan tidak terukur1), dengan lain perkataan: djika kedua segment

garis tadi tidak mempunjai ukuran persekutuan, maka mereka disebut

ta’ terukur relatif. Misalnja sisi dan diagonal sebuah budjursangkar. Ini

akan kita buktikan.

Seandainja kedua segmentgaris ini

mempunjai ukuran persekutuan a, tentu

AB = na dan AC = ma; disini m dan n

bilangan asli. D jika E terletak pada AC,

sehingga AE = AB = na dan EF _j_ AC,

maka BF = FE = EC = (m—n)a, djadi

FC = (2n— m)a. Djadi, setelah mulai dari

segitiga siku-siku samakaki ABC, didapat

segitiga siku-siku samakaki FEC, jang

sisi-sisinja lebih ketjil, tetapi djuga mem

punjai ukuran persekutuan a. D jika di-

landjutkan apa jang telah dikerdjakan

Gb. 28: A B dan AC tak terukur relatif.

*) Mereka jang belum paham akan theori tentang bilangan tidak terukur, hendaklah menganggap bilangan ta’ terukur sebagai bilangan, jang djika ditulis sebagai petjahan decimai, mempunjai angka dibelakang koma jang tidak terbatas banjaknja, tetapi tidak repetent, Bilangan jang terukur, tetapi tidak wutuh, dapat ditulis sebagai petjahan decimai jang putus, atau jang repetent.

52

diatas, maka didapat segitiga siku-siku samakaki HGC, jang sisi-

sisinja lebih ketjil lagi, dan djuga berukuran persekutuan a. Ini dapat

dilandjutkan dengan tidak terbatas, sehingga bilangan-bilangan jang

niewudjudkan pandjangnja AC, FC, HC dst. dengan a sebagai satuan,

merupakan suatu deret turun jang tidak terbatas dari bilangan-bilangan

asli. Hal ini tentu sadja tidak mungkin, sebab banjaknja bilangan asli

jang merupakan deret jang turun, tentu tidak dapat melebihi suku deret

jang pertama. Djadi anggapan diatas, bahwa AB dan AC mempunjai

ukuran persekutuan, ternjata tidak dapat dipertahankan.

§ 15.

Dengan segmentbidang segitiga dimaksud bangun jang terdiri dari

titik-titik didalain dan pada suatu segitiga, djadi terdiri atas sebuah

segitiga beserta daerah dalamnja. Djika ta ’ mungkin timbul salah faham,

maka untuk menjingkat dipakai perkataan segitiga sadja. Dengan seg

mentbidang segibanjak dimaksud bangun jang terdiri dari titik-titik dida-

lam dan pada beberapa segitiga jang berhubungan.Djika ta ’menjebabkan

salah faham,dipakai perkataan segibanjak sadja.Titik dari segmentbidang

jang dapat didjadikan pusat sebuah lingkaran jang didalainnja hanja

terdapat titik-titik dari segmentbidang itu sadja, disebut titikdalam.

Titik-titik jang lain dari segmentbidang itu disebut titik pada batas.

Segmentbidang S dikatakan terdiri dari dua atau lebih segment

bidang Si, Sa, Sn djika setiap titik dari S mendjadi sebagian dari

paling sedikit salah satu dari seginentbidang-segmentbidang tersebut

terachir, tetapi mendjadi titikdalam pada paling banjak satu dari seg-

mentbidang-segmentbidang itu, dan djika sebaliknja setiap titik dari

Sx, S2 . . . ., S„, mendjadi titik dari S djuga.

Kepada segmentbidang diberikan bilangan positif jarig disebut bi

langan ukuran, dengan mengingat sjarat-sjarat:

1°. segmentbidang jang sama dan sebangun mendapat bilangan ukur

an jang sama,

2°. bilangan ukuran jang diberikan kepada djuinlah dua atau lebih

segmentbidang, sama dengan djumlah bilangan ukuran untuk

segmentbidang-segmentbidang itu.

Dua segment bidang Sx dan S2 disebut samaluasnia, atau dengan

singkat sama (perhatikanlah perbedaan „sama” dengan „congruent”

atau ,,sama dan sebangun”), djika bilangan ukuran mereka sama. Djika

bilangan ukuran Sx lebih besar daripada bilangan ukuran S2, maka dika

takan, bahwa Sx lebih luas dari S2, atau luas lebih besar daripada luas

S2, atau dengan singkat Sx lebih besar dari S2. Dikata‘kan djuga bahwa

luas S2 kurang daripada luas Sv atau S2 kurang dari pada Sa.

53

Djika bilangan ukuran semua segmentbidang dikalikan dengan k

(k > 0), maka djelaslah bahwa kedua sjarat diatas tetap dipenuhi.

Karena itu dapat diberikan bilangan ukuran 1 kepada sebarang seg

mentbidang, jang kemudian disebut satuan luas. Jang kita pilih sebagai

satuan luas ialah sebuah budjursangkar, jang sisinja sama dengan

satuan pandjang. Bilangan ukuran suatu segmentbidang, disertai

dengan nama satuan jang dipakai, disebut luasnja segmentbidang itu.

Kedua ukuran suatu empatpersegipandjang biasanja disebut pan

djang dan lebar; dalam buku ini disingkat mendjadi p dan /. Dengan

„empatpersegipandjang pada p dan atau lebih singkat „em pat

persegipandjang (p, /)” dimaksudkan luasnja empatpersegipandjang

jang sisi-sisinja sama dengan p dan l. Biasanja tidak dikatakan „luasnja

segmentbidang segitiga ABC ", melainkan dengan singkat „luasnja A

ABC"; dan djika kita tulis „ A ABC — A ABD”, maka maksud kita

ialah bahwa kedua segmentbidangnja sama luasnja.

§ 16. D A L I L 68.

Luasnja dua empatpersegipandjang jang sama lebarnja (pandjangnja)

berbanding sebagai pandjangnja (lebarnja).

B u k t i : D jika perbandingan pandjang px

dan p2 sama dengan bilangan terukur t/n

(dalam gb. 29 t = 4 dan n = 7), maka

dan p2 mempunjai ukuran persekutuan

g, jang dapat diukurkan t kali pada p1

dan n kali pada p2. Djika melalui titik-

titik pembagi pada dan p2 dibuat garis-

garis jang sediadjar dengan lebarnja,

maka kedua empatpersegipandjang ter

bagi mendjadi t dan n empatpersegi pan

djang jang sama dan sebangun.

Karena itu perbandingan luasnja Gb. 29: ax = a2, Lx .• L, = : h- , dan L2 sama dengan tjn, djadi sama de

ngan perbandingan px dan p2.

Djika perbandingan px dan p2 sama dengan suatu bilangan k jang

tidak terukur, tentu dapat diapitkan antara dua bilangan positif ter

ukur p dan q (p < k < q), jang selisihnja dapat dibuat seketjil-

ketjilnja.

Sekarang pada A2D2 dan B2C2 terletak titik L dan titik K, se

hingga A2L = B2K = p. B ^ i dan pada perpandjangan A2D 2 dan B2D 2 terletak titik N dan titik M, sehingga A2N = B2M = q. B1C1. Maka

54

Nd 2

L

t,

A,

t2

B, B,

luasnja empatpersegipandjang A2B2C2D2 terletak antara luasnja empatpersegi

pandjang A2B2KL dan A2B2MN, djadi

antara p kali dan q kali luasnja empat

persegipandjang A1 B1C1D]. Djadi per

bandingan luasnja empatpersegipan-

djang A2B2C2D2 dan A]. B jC jD j’terletak

antara p dan q, djadi karena p dan q dapat

dipilih dengan sekehendak dekatnja

pada k sama dengan k djadi sama de

ngan perbandingan pandjang p/dan P 2.Gb. 30: Luas empat persegi pandjang / IuBjCjD, : luas empat persegi pandjang

A 2B2C2D 2 = B j C j : B 2C2.

A k i b a t k e 1. Luas dua empatpersegipandjang berbanding sebagai

hasil-perbanjakan pandjangnja dan lebarnja (alas dan tinggi).

Sebab djika L luasnja empatpersegipandjang jang alasnja b dan

tingginja t, dan Lx luasnja empatpersegipandjang dengan alas B dan

tinggi T (lihatlah gb. 31), maka dengan menggunakan dalil 68 kita

dapat membandingkan luas L dan Lx

dengan luas L2 dari sebuah empat

persegipandjang jang alasnja B dan

tingginja t. Kami dapat:

__ L ^2 _ & t ^ an tercjapat_/ = L; t = l :

Lj Z-2 B T

B B

Gb. 31: L j :L2 = bt: BT.

lah jang harus dibuktikan. ¡Akibat

dalil 68 ini djuga dapat kita utjap-

kan sbb. : Luasnja sebuah empatpersegipandjang adalah sebanding ma-

djemuk dengan pandjang dan lebarnja (alas dan tingginja). v

D jika dalam akibat dalil ini, sebagai empatpersegipandjang Lx dipakai

sebuah budjur sangkar jang sisinja sama dengan satuan pandjang, djadi

budjursangkar dengan bilangan ukuran 1 , maka terdapatlah:

A k i b a t k e 2. Bilangan ukuran jsuatu empatpersegipandjang sama dengan

hasilperbanjakan bilangan ukuran pandjang dan lebar (alas dan tinggi).

^ Dengan menggunakan theorie tentang berhitung dengan besaran

jang bersatuan, maka akibat kedua dalil 68 dapat diberi bentuk lain.

Besaran bersatuan c kita sebut hasilperbanjakan dua besaran ber

satuan a dan b dan kita tulis a b = c, .djika dengan satuan pokok jang

manapun (dan satuan tambahan jang terdapat dari satuan pokok tadi,

misalnja cm dan cm2), hasilperbanjakan bilangan ukuran a dan b sama

dengan bilangan ukuran c. Sekarang akibat ke 2 dalil 68 dapat diutjap-

kan sbb.:

55

D A L I L 69.

Luas sebuah empatpersegipandjang sama dengan hasilperbanjakan

pandjang dan lebar (alas dan tinggi).

§ 17.D A L I L 70.

Luas iia ija rm gm iiang sama dengan hasilperbanjakan alas dan

tinggin! a- B u k t i . Pada djadjarangendjang

ABCD alas AB = a; tinggi t ialah

garis jang dibuat dari B tegak-

lurus pada CD; AF = BE = t-

Segiempat ABEF adalah sebuah

empatpersegipandjang dengan li

kuran a dan t. A AD F ^ A

Gb 32- L = a x t. BCE; luas djadjarangendjang

ABCD + luas A ADF = luas empatpersegipandjang ABEF -¡- luas

A BCE; djadi luas djadjarangendjang ABCD sama dengan a x t.

D A L I L 71.

Luas sebuah segitiga sama dengan setengah hasilperbenjakan alas dan

tingginja.

B u k t i . Ini akibat dari dalil 70. Dalil 70 di

pergunakan pada djadjarangendjang ABEC,

jang oleh diagonal BC terbagi atas dua segitiga

jang sama dan sebangun.

A k i b a t k e 1. Luas sebuah segitiga siku-siku sama ^

dengan setengah hasilperbanjakan kedua sisitegak.

A ki ba t k e 2. Tempat kedudukan puntjak segitiga-segitiga jang diketahui

alas dan luasnja terdiri dari

dua garis jang sedjadjar de

ngan alasnja dan terletak sama

d jauh dari alasnja.

A k i b a t k e 3. Luas segitiga-

segitiga jang sama alasnja (ting

ginja) berbanding sebagai ting

ginja (alasnja).Gb. 34: Tempat kedudukan puntjak.

56

A k i b a t k e 4. L u a s segiemput jang diagonalnja tegaklurus sesamanja, sama

dengan setengah hasilperbanjakati kedua diagonal.

Lihatlah gb. 35; BD J_ AC; luasnja adalah i ptq + i P 2q =

i pq.Menurut dalil 45 a, akibat ke 4 ini d juga berlaku untuk belah-

ketupat dan lajang-lajang.

D A L I L 72.

Luas sebuah trapesium sama dengan setengah hasilperbanjakan ting-

ginja dan d jumlah kedua sisi jang sedjadjar.

B u k t i : Dalil 71 dipergunakan pada A ABC dan A ACD (lihatlah

gb. 36), jang terdjadi djika ditarik diagonal AC dalam trapesium

ABCD.

§ 1 8 . '

Dalil dibawah ini sangat penting untuk membandingkan luasnja

dua segitiga jang mempunjai satu sudut jang sama, atau mempunjai

dua sudut jang berdjumlah 180°.

D A L I L 73.

D jika suatu sudut sebuah segitiga sama dengan suatu sudut sebuah

segitiga jang lain, atau mendjadi pelurus sudut itu, maka luas kedua segi

tiga tadi berbanding sebagai hasilperbanjakan sisi-sisi jang mengapit ke

dua sudut tadi.

D i k e t a h u i : A ABC dan A PQR; ¿ A = / _ P atau /_ A + /_ P = 180°.

D i b u k t i k a n : Is A ABC : Is A PQR = bc:qr.

57

B ukti : Kita ambil dahulu keadaan jang pertama, ja ’ni /_ A = /_ P,

pada sinar AB dan sinar AC;

kita letakkan segmentgaris AD

= r dan AE = q, sehingga A

ADE ^ a PQR.

Menurut akibat ke 3 dalil 71,

maka ls A ABC : ls A ABE =

b: q dan ls A ABE : ls A ADE= c: r.

Djika ruas-ruas jang bersesu-

Gb. 37: Luas A ABC : luas A A D E aian dari kedua perbandingan

seharga ini diperbanjakkan, ma

ka terdapatlah perbandingan seharga jang harus dibuktikan.

Dua besaran jang berbanding sebagai bc dan qr, dapat diwudjud-

kan dengan fbc dan fqr; / disebut faktor perbandingan seharga. Djadi per

bandingan seharga, jang harus dibuktikan, boleh diganti dengan:

ls A ABC = fbc dan ls A PQ R = tV-

Djika Z A + Z P = 180°’ maka Pada sinar AC diletakkan A E =q, dan pada perpandjangan BA dile

takkan AD = r, sehingga terdapat lagi

A A D E ^ A PQR- Kelandjutan bukti

ini sama sadja dengan bukti untuk ke

adaan diatas.Bukti untuk kebalikan dalil 73

diserahkan kepada pembatja. r a- cGb. 38: Luas A ABC : Luas A A D E.

D A L I L 74.

Luas budjursangkar pada sisimiring sebuah segitiga siku-siku sama

dengan djumlah luas budjursangkar pada kedua sisi siku-siku (dalil'

Pythagoras).

D i k e t a h u i : Z C = 90°; ABDE, BCFG, CHIA ialah budjursangkar

jang dibuat padaîsi-sisi A ABC disebelah luar; luas mereka ialah c2,

a2 dan b2.

D i b u k t i k a n : c2 = a2 + b2-

B u k t i k e 1. Garis jang dibuat melalui E sedjadjar dengan BC, memotong

garissisi AC di K; sekarang Z K = 90° dan Z = Z Karena se-

landjutnja AE = AB, tentu A KEA ^ A CAB, djadi AK = . a dan KE

= b.

58

Djika garis jang melalui D dan sedjadjar AC memotong garissisi

BC di M dan KE di L, maka dapat dibuktikan seperti diatas, bahwa

A BMD dan A DLE kedua-duanja sama dan sebangun dengan A ACB;

djadi BM = DL = b dan MD = LE = a. Djadi CKLM adalah sebuah

budjursangkar dengan sisi a -f- b.

Gb. 39. Dalil Pythagoras.

Djika selandjutnja IA, GB, IH dan GF diperpandjang, maka ter

dapat segiempat INGO; dengan mudah dapat dibuktikan bahwa segi-

tiga-segitiga OHF, CFH dan NAB sama dan sebangun dengan A CBA;

djadi segiempat INGO adalah sebuah budjursangkar pula, dengan sisi

a + b. Djadi

Is. CKLM = c2 + 4 x Is. A ABC;

Is. INGO = fl2 + b- + 4 x Is A ABC ;

maka c2 = a2 + b2.

B u k t i k e 2. Sesudah - dibuktikan bahwa segitiga-segitiga disekitar c2 sama dan sebangun dengan segitiga ABC, djadi masing-masing luasnja

\ ab dan bahwa CKLM adalah sebuah budjursangkar dengan sisi a + b,

maka dari Is. CKLM = c2 + 4 x Is. ABC didapat

(fl + b)2 = c2 + 2 ab, sehingga c2 = a2 + b2.

Dalil Pythagoras ini dan beberapa dalil jang bersangkutan dengan

dalil itu akan dibitjarakan lagi dalam bab VIIL^--

Kebalikan dalil 74 ialah:& t

/t'

D A L I L 75.

D jika dalam sebuah segitiga kwadrat suatu sisi sama dengan d jum lah

kwadrat kedua sisi jang lain, maka sudut didepan sisi jang pertama tentu

siku-siku.

D i k e t a h u i : dalam A ABC c2 = a2 -f- b1

D i b u k t i k a n : /_ C = 90°.

B u k t i : Buat di A segmentgaris AD tegaklurus pada AC dan sama de

ngan a; hubungkan D dengan C. Menurut dalil 74, maka CD- = a- -\- b-

= c2, sehingga CD = c. Sekarang A ABC ^ A CDA (dalil 20), sehingga

Z BCA = DAC = 90°.

Dengan menggunakan dalil 75 dapat diben-

tuk sebuah sudut siku-siku pada suatu lapang

an. Untuk keperluan itu diambil sebuah tali

jang misalnja 24 m pandjangnja, dan dibentuk

sebuah segitiga dengan sisi 6 m, 8 m dan 10 m.

Sudut didepan sisi 10 m tentu siku-siku, sebab

102 = 62 + 82.

Gb. 40: Kebalikan dalil

Pythagaros.

T J O N T O H 11.

Djika pada sebuah segiempat djumlah dua sisi jang berhadapan sama

dengan djumlah kedua sisi jang lain, tentu didalam segiempat itu dapat dilu

kis sebuah lingkaran (dalil 66 b).

B ukti : Dilukis sebuah segiempat, sehingga a + c = b + d. Buatlah

dalam gb. 41 AP — AQ; AP = a + c dan AQ == d + b. Lukislah ling-

60

karan (B, b) dan lingkaran (D, c); titikpotong mereka ialah C. Garisbagi

sudut A dan garisbagi sudut B potong memotong di I; buatlah lingkaran

(I, /'); di K, BC membuat sudut siku-siku dengan IK; demikian djuga

AD di G dengan IG. Tariklah sekarang IH J_ CD; IH = m.

Sekarang kita buktikan, bahwa m = r.

m2 + x2 = /•2 + t2 ; kedua-duanja IC2 ............. ( 1 )m2 + y2 = r2 + s2 ; kedua-duanja ID 2 ------------------- ( _ )

x2 — y2 — t2 — s2 atau (x + y) (x — y) = (t+ s) (/— s)...(2)

Telah diketahui p + q + x + y = p + s + q + /; djadi

(x + y = t + s

(x — y = t — s

Perdjumlahan dan pengurangan menghasilkan x = t dan y = s.

Dari ( 1 ) terdapat m = djadi CD djuga garis-singgung (dalil 57 b).

T J O N T O H 12.

Bukti dalil Pythagoras dengan menggunakan dalil 73.

Pada gb. 42 nampak A ABC

dengan y = 90°; ini ditjermin-

kan dalam b; djuga dalam c. Su

dut-sudut jang mendapat tanda

busur sama besarnja; demikian

djuga jang mendapat tanda titik.

B Dalil 73 menghasilkan :

Is. A BCCS = fa2, Is. A ACCS —

fb2; Is. A A BBS = /c2; segitiga

pertama dan segitiga kedua mempunjai sudut jang supplementair

( = berdjumlah 180°); jang kedua dan ketiga mempunjai sudut jang

sama. Tetapi djumlah kedua segitiga jang pertama sama dengan segitiga

jang ketiga (masing-masing 2 x A ABC); djadi a2 + b2 = c2.

§ 1 9 . .

Dengan menggunakan dalil Pythagoras dapat diperoleh rumus

untuk luas sebuah segitiga, jang dinjatakan dengan ketiga sisi.

D A L I L 76.

Luasnja sebuah segitiga dengan sisi a, b dan c sama dengan

V s(s— a) (s— b) (s— c); disini 2s = a + b + c.

61

D ik e t a h u i : A ABC dengan sisi a, b dan c.

D i b u k t i k a n : L — V s(s— a) (s— b) (s— c)

B u k t i : D jika x sudut jang terbesar dalam A ABC, maka dari A dibuat

garistinggi ta. Garistinggi ini terletak dalam segitiga, dan titik-kakinja

terletak antara B dan C. Dengan dalil Pythagoras didapat:

V b2 — fa2 + ^ c2 — *a2 = a> djadi

V b'- — fa2 = a — V c2 — /a2.

Setelah dikwadratkan, didapat

b2 — fa2 = a2 + c2 — fa2 — 2 a V c2 — fa2, djadi

■ . 2 a a/ c2 - ^7^2 = a2 — 62 + C2.

Setelah dikwadratkan lagi didapat:

4 a2c2 — 4 a2 fa2 = (a2 — Z>2 + c2)2,

atau, karena 2 a /a = 4 L :

16 L2 = 4 a2c2 — (a2 — fe2 + c2)2.

Ruas kedua dapat diuraikan sbb.:

{(a+c)2— bz} {(b2— (a _c )2) } = (a+ft+c) (c— 6+c) (b— a+c) (b+ a— c).

Karena a+b+c = 2s, maka — a+b+ c = 2(s— a) dst., sehingga

I® L2 = 16 S(s— a) (s— b) (s— c) dan terdapatlah jang harus dibuktikan.

D jika ruas kanan dari ( 1 ) dihitung, terdapatlah:

16 L2 = 2 E a2b2 — S a\

Djuga bentuk ini berguna, misalnja djika sisi-sisi A ABC sama dengan

V 7, V 11 dan V 13. Oleh karena 2L = a fa, maka dari dalil 76 dapat diperoleh :

D A L I L 77.

2 - _____________________________________ ___

Dalam A ABC berlaku fa = — V s (s— a) (s— b) (s— c).

§ 20.

Sekarang akan ditjari rumus-rumus untuk djari-djari lingkaran-

luar, lingkarandalam dan lingkaransinggung sebuah segitiga.

62

D A L I L 78.

Djari-djari lingkaran luar sebuah segitiga sama dengan hasilperba-

njakan ketiga sisi, dibagi dengan empat kali luasnja.

D ik e t a h u i : A ABC dengan lingkaran luar (P, R).

n abcD i b u k t i k a n : R = ---4 L

B u k t i : D jika a lantjip, dan D titikpertengah-

an BC, maka Z DMC = a. Selandjutnja

dalam A MCD berlaku MC = R, CD = \a

dan Z D = 90°. Menurut dalil 73, maka

djika MD = p berlaku Is. A ABC: Is. A

MCD = bc : pR , djadi L : \ ap = bc : p R,

■ sehingga R =4 L

Bukti untuk a tumpul diserahkan kepada

pembatja.

T J O N T O H 13.»

t

D jika a, b dan c sisi-sisi sebuah segitiga, dan x, y dan z djarak-djarak

berarah dari sebuah titik P ke ketiga garissisi, maka luas segitiga tadi

sama dengan i (ax + by + cz); daerah dalam dianggap positif.

B u k t i : D jika P terletak didalam A ABC (lihatlah gb. 44 a) maka x, y

dan z positif.

pA z y

Gb. 44: ax + by + cz = 2L. by + cz^— a / x / = 2L. by — a f x f — c / z / = 2L.

Djika luas A ABC disebut L, maka: L = \{ax + by + cz).

Djika P terletak diluar A ABC, tetapi didalam salah satu sudutnja,

misalnja didalam /_ A (lihatlah gb. 44 b), maka x inendjadi negatif, se

dangkan y dan z tetap positif. Sekarang:

63

L = \(by + cz — a/xl) = £ (ox + by + cz). Djika P terletak didalam

sudut jang bertolak belakang dengan salah satu sudut A ABC, misalnja

Z. B (lihatlah gb. 44 c), maka y positif, sedangkan x dan z negatif. Se

karang L = \ (by— a/x / — c/z/) = i (ax + by + -cz). Bukti untuk ke

adaan jang belum dibitjarakan, ja ’ni djika P terletak pada salah satu

garissisi, diserahkan kepada pembatja.

D A L I L 79.

Djari-djari lingkarandalam sebuah segitiga sama dengan — •s

B ukti : Djika untuk titik P dalam gb. 44 a dipakai pusat I lingkaran

dalam A ABC, maka x, y dan z masing-masing sama dengan djari-djari

r lingkaran itu. Djika luas A ABC disebut L, maka ^ (ar + br + cr) — L,

Ldjadi r = —•

D A L I L 80.

Lingkaransinggung pada sisi BC suatu segitiga ABC berdjari-djari ra = L

—--- • #s — a

B u k t i : U n t u k t i t i k P d a l a m g b . 4 4 b, s e k a r a n g d i a m b i l p u s a t I a l i n g -

k a r a n s i n g g u n g p a d a s i s i B C ; s e k a r a n g x , y d a n z b e r t u r u t - t u r u t s a m a

d e n g a n — r a , r a d a n r a . T e r d a p a t

i(bra + cra — ara) = L, djadi ra = _ i l_ .s— a

§ 21.

Sekarang kita bitjarakan sebuah lukisan jang memungkinkan

membuat sebuah segitiga jang sama luasnja dengan sebuah segibanjak

jang diketahui.

L U K I S A N X IV .

Melukis sebuah segitiga jang sama luasnja dengan sebuah segiempat

jang diketahui.

P er s ia p a n : Soal ini tentu sadja tidak tertentu; sebab sebuah segitiga

tidak tertentu oleh ketentuan tersebut diatas itu sadja, ja ’ni bahwa

luasnja sama dengan luas segiempat ABCD.

64

Karena itu kita tetapkan sebagai ke

tentuan tambahan, bahwa segitiga jang

ditanjakan harus bersekutu sisi CD dan

sudut D dengan segiempat ABCD. De

ngan demikian soal ini boleh diganti

dengan soal: menetapkan sebuah titik E

D pada perpandjangan DA, sehingga ls

Gb. 45: Luas segiempat A B C D = A CDE = ls segiempat ABCD, djadi ls

luas segitiga E C D . ECA = /s A BCA. Supaja demikian,

harus BE // CA (dalil 71), akibat 2).

M e n g e r d j a k a n n j a . Buatlah BE // CA, tentu A CDE memenuhi per-

tanjaan.

B u k t i . Karena EB // AC, maka ls A EAC = ls A BAC, djadi djuga ls

A CDE = ls segi-4 ABCD.

P e r h a t i a n . Dengan djalan demikian dapat dikerdjakan lukisan: me

lukis sebuah segi-/? jang sama luasnja dengan sebuah segi(/? + 1 ) jang

diketahui.

Dengan mengerdjakan lukisan ini beberapa kali, dapat djuga dilukis

sebua.h segi-;/?, jang sama luasnja dengan sebuah segi-/? jang diketahui.

(3 < m < /?).

T J O N T O H 14.

a. Melalui titik S pada diagonal AC sebuah djadjarangendjang

A B C D dibuat dua garis sedjadjar dengan sisi-sisinja. Buktikanlah

bahwa kedua djadjarangendjang, jang tidak terpotong oleh AC, sama

luasnja.

P e n j e l e s a i a n : AC membagi djadjaran

gendjang jang diketahui mendjadi dua

segitiga jang sama dan sebangun; djuga

kedua segikedua tiga I sama dan se

bangun; demikian djuga kedua segitiga

II. D jadi segiempat jang digaris-garis

sama luasnja.

b. D jika sebaliknja melalui sebuah titik S didalam djadjarangendjang

dibuat dua garis jang sedjadjar dengan sisi-sisi, sedangkan ls dj. g. (SB)

= ls. dj. g. (SD), maka S terletak pada diagonal AC.

65

Gb. 46.

Planimetri — 5.

P e n je le s a ia n : Dengan dj. g. (SB) dimaksud djadjarangendjang, jang

salah satu diagonalnja berudjungkan S dan B.

Menurut jang diketahui, maka (DS) = (SB); AS dan SC ialah

diagonal dalam AESG dan SHCF, sehingga mereka membagi dua

sama luas kedua segiempat itu. Djadi ls segi-4 ADCS = £ ls dj. g-

ABCD — ls A ADC. Ini berarti, bahwa ls A ACS == O; djadi S terletak

pada AC.

c. T itik pertengahan diagonal-diagonal sebuah sisi-empat lengkap (lihat

lah halaman 146) terletak pada satu garis.

B u kti : Lihatlah segmentgaris-segmentgaris jang sedjadjar dengan AD

dan melalui B, C dan F; dan jang sedjadjar dengan DC dan melalui

B, A dan E. B terletak pada diagonal djadjarangendjang ADFK , djadi

(DB) = (BK). B djuga terletak pada diagonal CE djadjarangendjang

DCGE, djadi (BD) = (BG). Kurangkanlah (BL) dari kedua-duanja;

terdapat: (PG) = (LQ); djadi karena b, maka L terletak pada diagonal

BH; djadi B, L dan H terletak pada satu garis. Hubungkanlah ketiga

titik ini dengan D; tentu djuga titikpertengahan DB, DL dan DH ter

letak pada satu garis (lihat dalil 44).

pada satu garis. Qb 4?

d. Menggunakan a untuk melukis sebuah empatpersegipandjang, /tf^g

salah satu sisinja c diketahui dan jang harus sama luasnja dengan eW'

patpersegipandjang jang bersisi a dan b.

Empatpersegipandjang ABCD = empatpersegipandjang DPQR- Bukti diserahkan kepada pembatja.

Kalau c > b, lukisan dapat dikerdjakan dengan menggunakan dalil 70

buat lingkaran (B, c); (B, c) memotong perpandjangan DC di P. Tariklah

g /j BP; buatlah dari B dan P garis-garis BQ dan PR tegaklurus pada g-

BPRQ ialah empatpersegipandjang jang ditanjakan; empatpersegi

pandjang jang diketahui dan jang terlukis kedua-duanja sama dengan

djadjarangendjang ABPS.

Achirnja kita berikan tjontoh tentang menentukan tempat kedudukan

jang bersangkutan dengan luas.

Titik-titik pertengahan ini djuga titik

pertengahan dari diagonal-diagonal

DB ,A£ dan EF; djadi titikpertengahan

diagonal-diagonal ini djuga terletak

66

T J O N T O H 15.

Dua segmentgaris A B — a dan CD = b ditentukan letak dan be-

sarnja. Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik P , sehingga djumlah

luas segitiga P A B dan segitiga PC D sama dengan c2.

P e r s i a p a n . Seandai-

nja titik P memenuhi

sjarat, sehingga d jum

lah segitiga I dan segi

tiga II sama dengan

c-. AB digeser sepan-

djang / dan CD sepan-

djang m, sehingga B

dan D berimpit dengan

titikpotongS dari / dan

m; maksud pergeseran

ini ialah supaja segi

tiga I dan segitiga II

terletak . berdekatan ;

M 3 letaknja pada satu garis lurus.

lihatlah A PES dan A PFS.

I + II = ca = A PES + A PFS = A SEF + A PEF.

Dalam luas jang terachir ini luas A SFE diketahui, sebab 2 sisi a dan b,

dan sudutapit mereka diketahui. Djadi luas A PEF dapat diketahui

pula; sisi EF diketahui, djadi garistinggi x dapat dilukis. Tinggal meng

gunakan akibat kedua dalil 71.

Gb. 49: Luas empatpersegipandjang P Q R D = luas empatpersegipandjang A B C D.

Gb. 50: Luas empatpersegipandjang B P R Q — luas empatpersegi pandjang A B C D .

M e n g e r d j a k a n n j a : Luasnja segiempat PESF ialah $ h x EF + i x X

EF == c2; djadi (h + x) x EF = 2c2. Lihatlah sekarang gb. 52; disitu a

67

dan b telah diletakkan dari S;

tariklah EF; buatlah EFG = 2c

dan EK = c; sekarang kami buat

empatpersegipandjang EFMN =

empatpersegipandjang EGHK =

2c2. FM mendjadi h + x; ML =

h; djadi FL ialah garistinggi x

dalam A PEF dalam gb. 51.

Buat garis X Y sedjadjar dengan

EF dan melalui L. Bagian garis

X Y jang terletak didalam S

ialah tempat kedudukan jang

ditjari. Djelas, bahwa didalam

sudut bertolak belakang terdapat

Gb. 51: Persiapan.

segment jang garis X 'Y ',

sehingga SX ' = SX dan

SY ' = SY. Djuga segment-

garis X 'Y dan X Y ' meme

nuhi. Buktinja diserahkan

kepada pembatja.

Djadi tempat keduduk

an jang lengkap terdiri

dari djadjarangendjang

X Y X 'Y '.

S O A L - S O A L .

§ 22.

1 . Hitunglah luasnja:

a. sebuah segitiga samasisi dengan sisi a;

b. sebuah segitiga samakaki siku-siku dengan sisimiring c;

c. sebuah segitiga samakaki dengan alas b dan kaki a.

2. Dalam segiempat ABCD /_ A = /_ D = 90°, AB = (p -f- ¡7 BC

= 2(p2 + g2) dan CD = (p— q)2. Njatakanlah luas segiempat itu de

ngan p dan q (p > q).

3. Sebuah segitiga samakaki alasnja a dan kakinja b. H itunglah garis-

tinggi-garistinggi dan djari-djari lingkaran luar segitiga ini.

68

4.

5.

Diketahui lingkaran (M, R) dan lingkaran (N, r), sedangkan MN =

d (d > R + r). Hitunglah pandjangnja bagian garissinggung per

sekutuan luar dan dalam, jang terletak antara titiksinggung-titik-

singgung.

Dari sebuah segiempat garissinggung ABCD luasnja L, AB = a dan

CD = c. Njatakanlah djari-djari r Iingkarandalam segiempat itu

dengan ketentuan-ketentuan itu.

D jika sebuah titik T dihubungkan dengan keempat titiksudut se

buah djadjarangendjang ABCD maka luas A TAC sama dengan se

lisih atau djumlah luas A TAB dan A TAD, ja ’ni: selisih djika T

terletak didalam sudut BAD atau sudut jang bertolak belakang de

ngan /_ BAD, dan djumlah djika P terletak diluar kedua sudut tadi.

Buktikanlah.

a. D jika sebuah titik T, jang terletak diantara dua garissisisi jang

berhadapan dalam sebuah djadjarangendjang, dihubungkan de

ngan udjung-udjung sisi-sisi jang terletak pada kedua garissisi

tadi, maka djumlah luasnja kedua segitiga jang terdjadi dan

jang masing-masing bersisikan salah satu sisi tadi, sama dengan

setengah luas djadjarangendjang. Buktikanlah.

b. Bagaimanakah bunji dalil ini, djika T tidak terletak antara dua

garissisi?

p M F GGb 53: emp. pers. pdj. A R = par.

A P = budj. sk. KC.

Gb. 54: Vz emp. pers. pdj. A R = A AEQ

== A A E C 22 A A B K = A A CK

= i/2 budj. sk. AH .

8 . a. Gambarlah sebuah budjursangkar CDEF; perpandjanglah CD

dengan’segmentgaris DB; perpandjanglah BE sampai memotong

CF dititik A. Dikatakan bahwa budjursangkar ini terlukis dalam

segitiga ABC; sisisikunja ialah a dan b. Hitungjah x = CD dengan

menggunakan luas.

69

10

b. Dalam trapezium ABCD kaki AD dan kaki BC diperpandjang

hingga bertemu di E; AB = a; DC = b; a > b; garistinggi dari

E dalam A ECD ialah t2; garistinggi dari E dalam A EAB ialah

/x; buktikanlah: a : b = t2 '■ k dengan menggunakan luas.

9 . a. B u k t i k a n l a h d a l i l P y t h a g o r a s dengan m e n g g u n a k a n g b, 5 3 .

b. D juga dengan menggunakan g b. 5 4 .

i. Dalam gb. 55 budjursangkar ACHK dapat dibagi mendjadi empat

buah segiempat oleh dua

buah segmentgaris jang me

lalui t it ikpotong diagonal,

jang satu tegaklurus pada

AB, jang lain sedjadjar

AB. Sekarang b u d ju r s a n g

kar jang ketjil beserta keem

pat buah segiempat tadi da

pat tepat dimasukkan keda-

lam budjursangkar ABDE.

Buktikanlah dalil ini, dan

dapatkanlah dalil Pythagoras dari dalil ini.

1 1 . Dalam A ABC, AB diper

pandjang dengan BF = c ;

BC dengan CD = a dan CA dengan AE = b. Buktikanlah bahwa

Is A DEF = 7 X Is A ABC.

12. Melalui titiksudut-titiksudut A ABC dibuat tiga garis sedjadjar jang

memotong garissisi-garissisi jang berhadapan dititik-titik D, E dan

F. Buktikanlah bahwa luas A DEF sama dengan dua kali luas

A ABC. x

13. a. Pada sisi-sisi BC dan sisi CA sebuah segitiga ABC dibuat

d j adj arangendj ang BCDE dan CAFG. Djika ED dan FG

bertemu di H, dan pada AB dibuat djadjarangendjang A B IK

jang sisinja AK sama dan sedjadjar dengan HC, buktikanlah,

bahwa :Is. dj. g. AB IK = Is. dj. g. BCDE + ls. dj. g. CAFG (Dalil

Pappus)b. Buktikanlah, bahwa dalil Pythagoras adalah keadaan chusus

dari dalil Pappus.

70

14. a. Buktikanlah, bahwa garisbagi suatu sudut sebuah segitiga mem

bagi sisi jang didepannja atas dua bagian, jang berbanding sebagai kedua sisi jang berdekatan.

b. Sebutkan dan buktikanlah dalil jang bersesuaian untuk garis-

bagi luar.

15. Dalam A ABC, D ialah pertengahan BC, buktikanlah» bahwa djarak

sebarang titik P pada AD kegarissisi AB dan AC, sebanding ter

balik dengan c dan b.

16. a. Diketahui sebuah segmentgaris AB dan dua titik C dan D dise-

belah-menjebelah garis AB, sehingga ls A ABC = ls A ABD .

Buktikanlah, bahwa CD terbagi dua sama oleh AB.

b. Sebutkan dan buktikanlah kebalikan dalil diatas.

17. a. Diketahui dua segitiga ABC dan A B D ; C dan D terletak disatu

pihak terhadap AB. Titik-titik pertengahan K, L, M dan N

dari CA, CB, DA dan DB mendjadi titik sudut sebuah djadjaran-

gendjang, jang Iuasnja sama dengan setengah selisih luas kedua

segitiga jang diketahui. Buktikanlah.

b. Bagaimanakah dalil ini, djika C dan D terletak disebelah me-

njebelah AB?

18. Pada alas BC sebuah segitiga samakaki BAC terletak sebuah titik

T, sedangkan pada garissisi AB terletak segmentgaris K L , dan

pada garissisi AC terletak segmentgaris MN = KL. Buktikanlah,

bahwa djum lah luas A TKL dan A TM N .tidak berubah, djika T

bergerak sepandjang segmentgaris BC.

19. a. D iketahui sebuah budjursangkar dengan sisi a; tentukanlah tem

pat kedudukan titik-titik, jang djum lah djaraknja ke keempat

garissisi budjursangkar tadi sama dengan pa (p > 2 ).

b. N jatakanlah luas segibanjak jang terdapat dengan p dan a; se

lidikilah betul atau salahnja rumus ini dengan mengambil p — 2 .

c. Tentukanlah p, sehingga luas segibanjak tadi sama dengan 7 kali

luas budjursangkar tadi.

20. A ABC Iuasnja L; R dan r 'ialah djari-djari lingkaranluar dan ling-

karandalam; ra, rb dan rc ialah djari-djari lingkaransinggung.

Buktikanlah rumus-rumus dibawah ini:

i /----- 1 , 1 , 1 1L — ^ /7V t / c; — + — + — = - ; ra + r5 + rc = r + 4 tf.

' a 'b 'c r

71

21. Dalam A ABC a + b = 3c. Hitunglah perbandingan antara r, rc

dan fc.

22 Pada suatu segiempat garissinggung, titiksinggung dengan ling-

karandalam (djari-djari r) membagi sisi-sisinja atas bagian-bagian

jang pandjangnja a, b, c dan d. Djika a, b, c dan d diketahui, hitung

lah r dan luasnja segiempat itu.

23 Lukislah sebuah empatpersegipandjang, jang salah satu sisinja sama

dengan sebuah segmentgaris p, dan jang luasnja sama dengan luas:

sebuah segitiga ABC; b. sebuah segilima ABCDE.

24 Pada alas BC sebuah A ABC diletakkan dua titik P dan Q, sehingga

■ / BAp _ / PAQ = QAC. Buktikanlah, bahwa luas A BAP, A

PAQ dan A QAC tidak mungkin ketiga-tiganja sama.

25. Lukislah A ABC, djika diketahui: BC = a, setengah keliling s dan

garistinggi fa.

26. Dalam trapezium ABCD (AB « D Q kedua diagonal potong

motong di S. D jika diketahui, bahwa A bAts - a dan Is A SCD

= £ njatakanlah luas trapezmm dengan a dan t.

27 Lukislah sebuah belahketupat jang bersekutu diagonal AC dengan

segiempat ABCD dan jang sama luasnja dengan seg,empat m,.

• i Han m iang potong memotong, dua bilangan 28. Diketahui dua gar segmentgaris c. Suatu titik T, djaraknja

positif p dan „ dan s e b ^ «g m t ^ j

ke / disebut x dan djaraknja Ke m u

dudukan T, djika diketahui bahwa px + qy

29 Dua segmentgaris AB dan CD diketahui besar dan letaknja; selan-

' d ju tn ja&diketahui pula bilangan m dan n dan segmentgaris C. Ten

tukan lah tem pat kedudukan titlk-tit.k T, sehmgga m x Is. A TAB

+ n x Is. A TCD = c2.

Diketahui sebuah segitiga ABC, sebuah titik P didalam segitiga Itu ' dan sebuah titik Q pada sisi BC. Letakkanlah pada A ABC sebuah

titik R, sehingga garispatah QPR mcnbag, A ABC mendjad, dua

bagian jang sama luasnja.

30.

72

B A B IV.

PERBAND INGAN SEHARGA ANTARA SEGMENTGARIS2.

Dari dua buah garis l dan l' terpotong oleh dua garis sedjadjar a

dan b dua segmentgaris p dan p', oleh c dan d, jang kedua-duanja sedja

djar dengan a dan b, terpotong segmentgaris q dan q'\ tentu antara p' dan q'

terdapat relasi besar jang sama dengan relasi besar antara p dan q (mak-

sudnja: djika p > q, djuga p ’ > q'; djika p = q, djuga p' = q' ; djika

P < q, djuga p ’ < g').

B u k t i : D jika l // l ’, maka p' = p dan q' = q; dan terdapatlah jang

harus dibuktikan. Selandjutnja dianggap, bahwa Z dan l ’ tidak sedja

djar.

Gb. 56: Relasi besar antara p ' dan q’ sama dengan relasi besar antara p dan q.

Djika, seperti dalam gb. 56a, p — q, tariklah A 'E // l dan G'F // /;

A 'E = AB = CD = C'F; sekarang A A 'E B' ^ A C 'FD '; djadi djuga

p ' = q\ D jika p < q, seperti dalam gb. 56 b, tentu pada l terletak se

buah titik G sehingga CG — AB = p; garis g // d melalui G memotong

/' di G ', sehingga C 'G ' = p'; sekarang p ' < ?'. Dengan djalan demikian

dari p > q terdapat p ' > q ' .

Djelas bahwa Z dan Z' boleh potong memotong antara a dan d. Se

landjutn ja djelas pula, bahwa dalil 81 a tetap berlaku, djika diantara

garis-garis a, b, c dan d ada jang berimpit, dan djuga djika salah satu

dari garis-garis ini melalui titikpotong Z dan l', sehingga A dan A ' atau

B dan B ' dst. berimpit.

Dengan demikian, sebagai keadaan chusus dalil 81«, terdapat m i

sal nja: sebuah garis jang sedjadjar dengan alas sebuah segitiga (trapezium),

§ 23. D A L I L 81 a.

d -

73

dan membagi dua sama salah satu sisitegaknja, tentu membagi dua sama

d juga sisitegak jang lain; segmentgaris jang menghubungkan kedua

titikpertengahan, disebut garis paralleltengah.

Beberapa pasang garis-garis jang sedjadjar, memotong dari dua garis

jang terpotong oleh mereka, segmentgaris-segmentgaris jang merupakan

perbandingan seharga (dalil Thales).

B ukti : AB dan CD mempunjai ukuran persekutuan g, jang dapat

, -1 diukurkan t kali pada AB dan

D jika AB : CD sama dengan sebuah bilangan tidak terukur k,

maka k dapat diapit antara dua bilangan positif terukur p dan q

(p < k < q), jang selisihnja dapat dibuat seketjil-ketjilnja. Pada l dapat

dibuat dua segmentgaris sebesar p X CD dan q x CD. Garis-garis jang

dibuat melalui udjung-udjung segmentgaris-segmentgaris ini sedjadjar

dengan a, memotong dari l', dua segmentgaris, jang menurut jang telah

terbukti sama dengan p X C 'D ' dan q X C D . Menurut dalil 81 a maka,

berhubung dengan p X CD < k X CD ( = AB) < q x CD, djuga p

x C 'D ' < A 'B ' < q x C 'D ', sehingga perbandingan A 'B ' dan C 'D '

terletak antara p dan q. Karena p dan q dapat dipilih sedekat-dekatnja

pada k, maka perbandingan ini sama dengan k.

P e r h a t i a n : Sebagai keadaan chusus dalil 816 terdapat: tiap-tiap garis

jang sedjadjar dengan alas sebuah segitiga atau trapezium, membagi kedua

sisitegak atas bagian-bagian jang sebanding.

Pada gb. 58a ini berarti, bahwa p : q — p ' : q ' ; ada baiknja, djika

empat bilangan jang merupakan perbandingan seharga, disebut p, q,

kp dan kq; disini k disebut faktor perbandingan seharga.

D A L I L 816.

d

n kali pada CD (disini i = 3,

n = 5). Garis-garis jang se

djadjar dengan A A ' •mem

bentuk pada A 'B ' t buah seg

mentgaris g', dan pada C 'D ' n

buah segmentgaris g' (dalil

8 la), gb. 56a; D jadi A B :

CD = A 'B ': C 'D '; disini tiap-

tiap perbandingan sama dengan 3/5.

Gb. 57: D a lil Thales.

74

® ® ©Gb. 58: Segmentgaris2 jang sebanding.

Dalam bukti dalil 816, maka dalam gb. 57 segmentgaris-segment-

garis ini telah kita ambil jang satu diluar jang lain; maksudnja supaja

bukti mendjadi djelas. Dalam gambar itu, B dan C boleh berimpit;

djuga AB boleh menutup sebagian dari CD; tetapi keadaan demikian

tidak mengubah buktinja. Karena itu keadaan chusus dalil 816 dapat

diperluas sbb .:

D A L I L 81 c.

Sebuah garis jang sedjadjar dengan alas sebuah segitiga atau sebuah

trapezium, membagi kedua sisitegak atas bagian-bagian, jang sebanding

satu sama lain atau dengan seluruh sisitegaknja.

Tidak kita tulis: pada gb. 59a terdapat AD : AE = DB : EC (de

ngan delapan buah huruf besar!), melainkan: bagian-bagiannja disebut

p, q, kp dan kq, dan ini dituliskan pada gambarnja; lihat djuga gb. 59b

dan c.

D A L I L 81 d.

D jika dalam sebuah segitiga (dalam sebuah trapezium) sebuah garis g

membagi sisitegak-sisitegaknja atas bagian-bagian jang sebanding, maka

g sedjadjar dengan alasnja.

75

D i k e t a h u i : D E membagi AB atas

p dan q, AC atas kp dan kq.

D i b u k t i k a n : D E // BC .

B uk ti: Tariklah melalui D garis

D F j/ BC; menurut dalil 81, maka

AF dan FC boleh disebut gp dan gq.

Djadi terdapat kp + kq = gp + gq,

atau k(p + q) == g(p+q), djadi k =

g; ini berarti, bahwa D E berimpit

dengan D F jang dibuat sedjadjar dengan BC,

Gb' 6% £ D = P, D B = q; A E = kp, £■<- = kq maka D E /f BC .

D A L I L 82.

sisi-

Sebuah garis jang dibuat sedjadjar dengan salah satu garissisi sebuah

segitiga, menentukan dengan kedua garissisi jang lain sebuah seeitiea

jang sisi-sisinja merupakan perbandingan seharga beranting denean ’

sisi A A B C (dalil rangkap Thales).

Disini dan seterusnja kita selalu menggunakan faktor perband'

an seharga jang telah kita sebutkan pada halaman 74. 'n^

D i k e t a h u i : ED // AB; E terletak pada garissisi CA, D pada CB

D i b u k t i k a n : sisi-sisi A DCE adalah ka, kb dan kc.

E m c

Gb. 61: D a lil rangkap Thales.

B u k t i : Lihatlah gb. 61 a. Menurut dalil Thales, maka CD = ka dan CE =

kb. Segmentgaris D E .= x dipindah kegarissisi AB dengan membuat

DF // CA, sehingga pada sisi AB terdapat perbandingan jang sama de

ngan pada CB; ja ’ni FA = D E = kc. Pada gb. 61 b faktor perbandingan

seharga disebut /n; pada gb. 61 c disebut /.

76

Akibat dalil ini ialah : djika dua garis sedjadjar dipotong oleh tiga

garis jang melalui satu titik, maka perbandingan segmentgaris-segment-

garis pada garis jang satu sama dengan perbandingan segmentgaris-seg-

mentgaris jang bersesuaian pada garis jang lain.

Gb. 62: Segmentgaris- jang sebanding

Pada gambar-gatnbar diatas, keempat segmentgaris dan salah satu

garis jang concurrent telah diberi tanda. Perbandingan seharga tidak

perlu kita tulis. V

Salah satu pemakaian jang penting dari dalil 82 ialah:

ft A L 1 L 83.

Pandjang segmentgaris jang membagi sisitegak sebuah trapezium,

jang garis atasnja a dan garisalasnja b, dengan perbandingan p dan q, ter

hitung dari atas, sama denganp + q

D i k e t a h u i : AD // BC // E F .

AD — a, BC = b;

E pada sisi AB.

A E — kp; EB = kq

D i b u k t i k a n : E F — Pk-~^..? ap 4- q Gb. 63: Rumus Trapesium.

B u k t i : B E dan BA berbanding sebagai q dan q + p ; menurut dalil 82,

_ qX a.

DF dan DC berbanding sebagai p dan p + q; djadi y =

djumlahnja i a l a h . —P + ?

P + q

77

P e r h a t i a n . Rumus ini berlaku djuga djika E terletak pada salah satu

perpandjangan sisitegak AB, asal sadja p atau q diambil neeatif- pada

gb. 64 arah dari A ke B adalah arah positif; pada gb 64a AF - Vn oo-

sitif, EB = kq positif; pada gb. 64& AE = kp positif, £B jamr arahnja berlawanan, negatif; pada gb. 64c kp negatif, kq positif.

kp

E'

kq

kp k q

B

k p

kq"° B

©

©

Gb. 64: Positif dan negatif.

Pembatja hendaklah menjelidiki dengan sebuah trapezium beriak '

tidaknja dalil 83 untuk kedua keadaan jang terachir. Tjara ia

laskan pada gb. 65 selalu dapat dipergunakan. AE = kp dan b " ! - T "

p > q. Djadi tulislah AB = k(p q) dan pakailah rumus dalil 82

segmentgaris sedjadjar jang ditengah; rumus itu harus diapalkan D'adt

pada gb. 65 didapat: b = ( £ _ 1 E ± E , atau z = tampaklah

bahwa q dalam rumus dalil 83. telah terganti oleh — q.

§ 24.

Sekarang sampailah kita pada sebuah sifat jang penting tentang

garisbagi dalam dan garisbagi luar sebuah segitiga. g

D A L I L 84a. '

Garisbagi sebuah sudut suatu segitiga membagi sisi jang didepannia

atas bagian-bagian jang sebanding dengan sisitegak-sisitegak jane berdekatan.

78

D i k e t a h u i : Z A x = A 2

D i b u k t i k a n : CD = kb dan DB = kc

B u k t i : Mudah didapatkan, bahwa disini harus dipakai dalil Thales;

kami tarik CE // DA; Z E = Z. A 2 dan Z ^ = Z Aj (dalil 7);

djadi AE = b (dalil 16). Djadi dalil diatas menghasilkan: BD — kc dan

CD = kb.

Boleh djuga dipakai garis jang dibuat melalui C sedjadjar dengan

sisi c, seperti dalam gb. 67. Z F = Z- A 2 (dalil 7); djadi CF = b (dalil

16). Dengan dalil rangkap Thales (dalil 82) didapat CD = kb dan DB =

kc. Bukti jang menggunakan luas termuat dalam § 22 nr. 14; dapat d i

pergunakan dalil 73 dan akibat ketiga dalil 71; tetapi djuga sama pan-

djangnja kedua garis dari D tegaklurus pada AC dan AB dan akibat

ketiga tadi.

D jika diketahui sebuah segmentgaris AB, maka dikatakan,

bahwa sebuah titik P pada pemuat AB membagi segmentgaris tadi

dari dalam atas bagian-bagian PA dan PB, djika P terletak antara

A dan B; dan bahwa P membagi AB dari luar atas bagian-bagian

PA dan PB, djika P terletak pada salah satu perpandjangan segment

AB.

D A L I L 846.

Garisbagiluar sebuah sudut sebuah segitiga membagi dari luar sisi

jang berhadapan atas bagian-bagian jang sebanding dengan sisi-sisi jang

berdekatan, asal sadja kedua sisi ini tidak sama.

79

Pada gb. 68 AE ialah garisbagi sudut jang bersisihan dengan / A* EB dan EC ialah „bagian-

bagian” dari BC; dalil ini me-

njatakan bahwa EB = Ic dan

EC = Ib. Buktin ja diserahkan

kepada pembatja; djalannja

demikian : c

Tjara ke 1 : tariklah BF // EA;

ke 2: tariklah BG // CA; G

pada AE;

ke 3: tjerm inkanlah A EBA dalam AE; dengan demikian EA mendjadi

garisbagi suatu sudut, sehingga dapat dipergunakan dalil 84a.

M e n g h i t u n g b a g i a n - b a g i a n BC.

Pada gb. 66 kb + kc = a, djadi k = ~ ~ c,d jadi kedua bagian sama

ab acdengan 7— — dan -——

b + c b + c

Pada gb. 68 (<b > c) Ib — Ic = a, djadi / = —— darj _

ab acpat: EC = -----dan EB = 7 "•

b — c b — c

Djuga kebalikan dalil 84c dan 846 adalah betul, ja ’ni :

D A L I L 85 a.

D jika sebuah titik D membagi sisi BC suatu a ABC, sehingga D B : DC = c: b, maka A D adalah garisbagi /_ a . ^

D A L I L 856.

D jika sebuah titik E terletak pada salah satu perpandjangan sisi BC

suatu A A BC sehingga EC : E B = b : c (6 c), tentu A E adalah ga

risbagi sudut jang bersisihan dengan A.

Sekarang kami muat bukti jang menggunakan luas; bukti jane

menggunakan gb 66 dan 68 djuga mungkin. ' g

B u k t i : Menurut ketentuan bagian-bagian B C adalah kc dan kb. Luasn'

A ACD dan A ABC disebut Ot dan 0 2; p dan <7 ialah garis jang dibuat

dari D tegaklurus pada AC dan AB.

80

Oj : 0 2 = pb : qc (dalil 71);

Oi : 0 2 — kb : kc (dalil 71, akibat ke-3).

Djadi pb : qc = kb : kc, atau p = q.

A A E D ^ A AFD (dalil 21); djadi \ A2.

A

EC

kb o kc

Gb. 69: CD = kb dan DB = kc, maka At = /_ A3.

Gb. 70: EC = kb dan EB = kc, maka / _ A t = / _ A 3.

Untuk dalil 85b buktinja sama; lihatlah gb. 70.

Ls A AEC : ls EAB = pb : qc

Ls A ACE : ls A ABE = kb : kc

Dari sini didapat lagi p = q dan dengan congruensi dua segitiga di

dapat, bahwa AE adalah garisbagi suatu sudutluar.

P e rha tian : Keadaan b = c sebetulnja dalam dalil 846 dan 856 tidak

perlu diketjualikan, djika diadakan titikdjauh pada garis-garis, dan

dianggap bahwa pada dua garis jang sedjadjar kedua titikdjauh ber

impit. Garisbagi luar jang melalui A sedjadjar dengan BC dan bersekutu

titikdjauhnja E dengan BC; E dianggap membagi sisi BC dari luar atas

bagian-bagian jang perbandingannja sama dengan 1 ,» djadi atas bagian

bagian jang berbanding sebagai b dan c.

Berhubung dengan perdjandjian tadi, bahwa titikdjauh dua garis

jang sedjadjar harus dianggap berimpit, maka dikatakan djuga, bahwa

dua garis jang sedjadjar potong memotong ditempat jang ta ’ terbatas

djauhnja.

Sebagai pemakaian dalil-dalil 84 dan 85 akan kita selidiki tempat

kedudukan titik-titik X : jang perbandingan djaraknja ke dua titik tetap A

dan B sama dengan k. Bilangan k tentu sadja positif. D jika k — 1, maka

tempat kedudukan AB adalah sumbu AB.

D jika k ^ 1 (lihatlah gb. 71; disini dibuat k > 1), tentu pada AB

terletak dua titik C dan D dari tempat kedudukan; lain titik pada AB

tidak ada; BCt= a dan CA = ka\ DB = b dan DA — kb.

§ 25.

81

Planimetri — 6

Ambillah sekarang sebuah segment

garis d dan sebuah lagi kd, lingkar-

kanlah jang pertama dari B, jang

kedua dari A. D jika kd + d > ka +

a > kd — d, tentu terdapat 2 titik

X dan X s, disebelah-menjebelah garis

AB, jang mendjadi bagian dari tempat

kedudukan; tempat kedudukan ini -

symmetris terhadap AB; oleh karena itu titik jang satu telah diber

index s, ja ’ni singkatan dari symmetris. Djadi timbullah persangkaan»

bahwa tempat kedudukan jang ditjari adalah sebuah lingkaran jan£

bergaristengahkan CD.

Sesudah penjelidikan ini kita njatakan dalil dibawah ini :

Gb. 71: X A : X B = k.

D A L 1 L 86.

Tempat kedudukan titik-titik jang perbandingan djaraknja ke dua titik

tetap A dan B sama dengan k(k # 1), adalah lingkaran jang bergariste

ngahkan CD; C dan D ialah kedua titik jang membagi segmentgaris A B

dari dalam dan dari luar dengan perbandingan k (lingkaran Apollonias)-

B u k t i : Harus dibuktikan, bahwa tiap-tiap titik dari tempat k e d u d u k a n

terletak pada lingkaran itu dan sebaliknja djuga tiap-tiap titik

pada lingkaran itu m e n d ja d i

titik dari tempat kedudukan.

Telah dikemukakan, bahwa

diantara titik-titik garis AB,

hanja C dan D terletak pada

tempat kedudukan; djadi se-

landjutnja tinggal perlu dise

lidiki titik-titik jang tidak ter

letak pada AB.

D jika X salah satu titik

dari tempat kedudukan, maka

d ike tahu i: BC = a, CA = ka, X B = d, X A = kd, sehingga menurut

dalil 85a XC adalah garisbagi ¿_ AXB . Demikian djuga dari DB = b,

D A = kb, X B = d dan XA = kd (dalil 856), bahwa X D adalah garisbagi

luar A X B . Djadi CXD siku-siku menurut dalil 28a, maka,

d jika titikpertengahan CD disebut M, XM = \ CD, sehingga X terletak

pada lingkaran (M, \ CD).

Sekarang bukti untuk kebalikannja. Pada gb. 73 C dan D membagi

segmentgaris AB dari dalam dan dari luar dengan perbandingan k; ini di

82

(njatakan dengan BC = kp, CA = p, BD = kq, AD = q. Sekarang di

buat melalui C garis ECF / / DP; garis pertolongan ini m udah didapat

sebab garis jang sedjadjar mudah dipakai untuk mem indahkan perban

dingan seharga. FC: PD = BC: BD = p : q; djadi boleh ditulis FC = Ip;

PD = lq. Lihatlah sekarang

CE / / PD; CA = p dan AD =

q; P D = lq ; djadi CE = lp.

Dalam A PEF PC J_ EF,

sebab PD / / EF; sekarang

CE = CF, djadi PC adalah B

garisbagi /_ P. D jadi menu

rut dalil 84 terdapat PB :

PA = kp : p — k. Gb. 73: Lingkaran Apollonius.

Dalil ini djuga dapat dibuktikan dengan menggunakan dalil 93

halaman 117, sbb. :

P ialah sebuah

titik pada lingkaran

jang bergaristengah-

kan CD; selandjutnja

BC = p dan CA = kp;

DB = q dan DA =

kq. Sekarang harus di

buktikan, bahwa AP:

Gb. 74: Lingkaran Apollonius. BP = k.

/_ CPD = 90° (dalil 28 b); garis-garis jang dibuat dari A dan B te-

gaklurus pada D P tentu sedjadjar dengan CP, sehingga dalil Thales

boleh dipergunakan. Dalam A D AA ' berlaku B B ' / / AA '; DB dan DA

berbanding sebagai 1: k; djadi djuga BB ' dan AA '; djadi B B ' = b dan

A A ' = kb. PC / / A A ' / / BB ', sehingga B 'P dan A 'P berbanding sebagai

1: k; djadi B 'P = c dan A 'P = kc. A A PA ' oo a BPB ', dua sisi se

banding dan sudutapitnja sama; djadi AP dan BP berbanding sebagai

sisi-sisi A A ' dan B B ' jang bersesuaian letaknja; djadi AP : BP = k.

Lingkaran (M, i CD) pada gb. 72 disebut lingkaran Apollonius pada

segmentgaris AB dan untuk perbandingan k.

Djadi pada sebuah segitiga ABC, tempat kedudukan titik-titik jang

djaraknja ke A dan ke B berbanding sebagai b dan a (b =£ a) adalah se

buah lingkaran, jang pusatnja terletak pada garissisi AB; ia melalui

C dan titikpotong-titikpotong garissisi AB dengan kedua garisbagi C.

Pada tiap-tiap segitiga ABC, jang tidak samakaki, terdapat 3 buah se

gitiga sematjam ini; mereka disebut lingkaran2 Apollonius A A B C .

83

Pembatja telah melihat, bahwa penjelesaian mendjadi sangat mudah

dan singkat, djika tidak dipergunakan perbandingan seharga, melainkan

faktor perbandingan seharga; sepasang segmentgaris, jang berbanding

sebagai a dan b, diwudjudkan dengan ka dan kb ; sepasang jang lain

dengan la dan Ib dst. Disini dimuat lagi beberapa tjontoh tentang tjara

mempergunakannja, berupa beberapa penjelesaian jang pandjangnja

hanja sepertiga penjelesaian jang memakai perbandingan seharga, jang

tiap-tiap sukunja ditulis dengan dua huruf besar.

T J O N T O H 16.

ABCD ialah sebuah segiempat; AC membagi dua sama Z A ; kedua

diagonal potong-memotong di S; melalui sebuah titik E pada AC antara

B D dan A dibuat sebuah garis sedjadjar dengan DB. Pada garis in i

terletaklah lima buah t it ik : K pada perpandjangan CD, F pada A D , E

pada AC, G, pada A B dan H pada perpandjangan C B. Buktikanlah

perbandingan seharga E H : E K — AG . A F.

§ 26.

c

B u k t « : Sebutkan AG = P dan AF — q ; EG — kp dan EF = kq (dalil

84a). SB = Ip dan SD = lq (akibat dalil 82); demikian djuga E h = mp

dan EK = m q ; djadi mereka berbanding sebagai p dan q.

T J O N T O H 17.

Garisbagi-garisbagi sudut A dan sudut C suatu segiempat A B C D

potong memotong pada B D', buktikanlah bahwa garisbagi-garisbagi sudut

B dan sudut D potong memotong di AC.

84

Mulailah dengan sebuah segiempat ABCD, jang garisbaginja sudut A

dan sudut C potong-memotong di BD : A ABD ; garisbagi A E ; buatlah

misalnja BC = 1£ x AB dan DC =

H X AD; tariklah CE. Sudah barang

tentu BC = ka dan DC = kd.

B u k t i : AB = a dan AD = d ; karena

AE garisbagi dalam A A BD dan CE

garisbagi dalam A CBD, maka BC

dan DC berbanding sebagai a dan d ;

djadi BC = ka dan DC = kd. Garis

bagi / _ B membagi AC atas bagian-

bagian jang berbanding sebagai a dan

ka, djadi sebagai 1 dan k ; garisbagi

/_ D demikian djuga. Djadi mereka

bertemu di AC.

T J O N T O H 18.

A B C D ialah sebuah trapezium ; A B = a sedjadjar dengan DC = b;

a > b. E H ¡j A B ; E terletak pada A D , H pada BC ; dimana harus kita

buat E H , agar E H terbagi oleh kedua diagonal atas 3 bagian jang sama

pandjangnja ?

P e n j e l e s a i a n : AB = a, AD = 1, D E — k dan EP = ka, sebab EP //

AB. Kaki CB terbagi atas perbandingan jang sama dengan kaki DA ;

djadi djuga QH = ka. Selandjutnja AE = 1 — k dan EQ 'jang sedjadjar

dengan DC = b, adalah (1— k) b ; dari 2ka = (1 — k) b terdapat (1— *): k

= 2a : b. D jika EQPH terletak disebelah atas S, maka terdapat a : 2b.

Dapat dikemukakan, bahwa AD tidak sama dengan 1 ; sebutkanlah AD

= d ; djadi terdapat kd dan (1 — k) d ; ini tidak mengubah djalannja

penjelesaian.

85

T J 0 N T 0 H 19.

D jika 3 garis memotong pada dua garis jang sedjadjar, empat buah

segmentgaris AB , BC, A 'B ' dan B ’C’ (A 'B ' ^ AB), jang dalam urutan

ini merupakan perbandingan seharga, tentu ketiga garis tadi melalui satu

titik. Buktikanlah.

D i k e t a h u i : AB : BC = A 'B ' : B C ; AB ^ A 'B ' ; A 'B 'C ' // ABC-

D i b u k t i k a n : AA', BB ' dan CC' concurrent.

B u k t i : Dari perbandingan sehar

ga jang diketahui terdapat: A B =

p, BC = q, A 'B ' = kp, B 'C ' = kq;

dalam gambar ini k < 1. Lihat

lah A ABE dengan A 'B ' // AB,

disitu BE = r dan B 'E = kr ;

dalam A BCF berlaku BF = s

dan B 'F = ks ; B E dan BF ber

sekutu segmentgaris B B ' ; djadt

r — kr — s — ks atau (1 — k)r =

(1 — k)s ; diketahui bahwa AB ^

A 'B ', djadi 1 — k ^ O ; karena

itu maka r — s atau BE = BF.

T J O N T O H 20.

Dari suatu titik G pada sisi BC A ABC dibuat GH // B A dan G K //

C A Buktikanlah, bahwa GH X AC + G K x A B adalah tetap.

B u k t i : C G =ka; GH=A:c (dalil 82); G B = (1— k)a. djadi GK = (1— k)b,

menurut dalil tadi djuga; jang harus dibuktikan ialah: kc x b + (1 —■ k)

b x c adalah tetap; bangun tersebut sama dengan bc; djadi benar.

86

T J 0 N T 0 H 21.

Dalam A A BC b > c; da dan ea (garisbagi dalam dan luar sudut

/A), memotong garissisi BC dalam titik-titik D dan E. Njatakanlah pan-

djangnja D E dengan a, b dan c.

P e n j e l e s a i a n : BD = kc dan DC = kb (dalil 84); k(c + b) = a, djadi

nrBD = — — ; EC — EB = lb — Ic — l (b — c) = a; djadi EB = - ----;

b + c 0 — c

D E = ' ( D j a n g a n m e n g g u n a k a n p e r b a n d i n g a n s e h a r g a ) .

T J 0 N T 0 H 22./

Dari suatu djadjarangendjang jang berubah-ubah, keempat garissisinja

memotong sebuah garis pada empat titik jang tetap. Buktikanlah, bahwa

djuga d i agonal-d i agon ain j a melalui titik-titik jang tetap.

P e n j e l e s a i a n : D i g a m b a r d u l u g a r i s d e n g a n k e e m p a t t i t i k P , Q, R d a n

S; s e s u d a h i t u g a r i s s i s i - g a r i s s i s i j a n g s e d j a d j a r AB d a n CD; AD d a n BC.

Harus dibuktikan, bahwa X ada

lah titik jang tetap dari AC; semua

titik jang tetap, harus terletak pada

garis PQRS. PAD // BCS; A X =

x, XC = y; menurut dalil 81 b, maka

X P dan XS boleh disebut kx dan

ky (tulislah ini dalam gambarnja),

dan karena AB // DC. maka X Q =

lx dan X R = /y; djuga menurut da

lil 816; PQ = (k — l)x dan RS =

(k — l)y; kedua segmentgaris ini te

tap letak dan besarnja, dan berban

ding sebagai x dan y; djadi Q X :

X R = A X : XC = PQ : RS.

T J O N T O H 23.

( Sebuah garis memotong gerissisi-garissisi A B , BC, C D dan D A

sebuah djadjarangendjang berturut-turut di K , L, M dan N . Buktikanlah,

bahwa luas A C K N sama dengan luas A A LM .

B u k t i : O ialah luas A CLM; sisi-sisi segitiga ini disebut a, b dan c; me

nurut dalil Thales, maka keempat segmentgaris jang lain jang terdapat

87

dalam gambar, sama dengan kb, kc, la dan /c; sisi-sisi ABCD sama de

ngan (1 + k)b dan (1 + l)a.

Ls A CKN = (1 + k + /) 0 (dalil 71, akibat 3).

Ls A ALM = Ls dj. g. ABCD dikurangi dengan djumlah luas 3 segi-

tiga, djadi sama dengan 2(1 + k) (1 + 1)0 — 0 — k(l -f 1)0 — /(i _|_ /ô

(semua menurut dalil 73) = (1 + k + 1)0; djadi kedua luas sama.

D A L I L 87.

Tempat kedudukan titik-titik jang djaraknja terhadap kedua garis l

dan m jang potong memotong berbanding sebagai dua segmyitgaris a dan b

terdiri dari dua garis jang melalui titikpotong l dan m.

B u k t i : Titik jang tentu memenuhi sjarat, ialah titik Px jang terletak

pada l' sedjauh a dari l, dan pada m' sedjauh b dari m; lihatlah AC dan

l' ± AC; B D dan m' X BD-

Djarak dari tiap-tiap titik Q pada sinar SPj, ke l dan m berbanding

sebagai a dan b; inilah jang harus dibuktikan terlebih dulu. Lihatlah

c dan d dalam gambar; menurut dalil 82 terdapat: S P i: SQ = a : c;

S P j: SQ = b : d; dengan mempersamakan kedua r.uas kanan terdapat

a : c = b : d, atau c: d = a : b, jang harus dibuktikan.

Sekarang masih harus dibuktikan kebalikannja; lihatlah gb. 84.

Sekarang ditentukan bahwa garis-garis jang dibuat dari P tegaklurus

ke / dan m sama dengan a dan b; dan jang dari R sama dengan ka dan

kb. Harus dibuktikan bahwa RP melalui S.'Seandainja RP memotong

/ dan m di X dan Y.

P X = c, djadi R X — kc (dalil 82); PY = d, djadi R Y = kd. D e n g a n

mengurangkan didapat d — c = k(d — c) atau (1 — k) (d — c) = O.

Sekarang k ^ 1, djadi d = c; ja ’ni X .dan Y berimpit di S.

D jika pada gb. 83 i dibuat dipihak jang lain terhadap l atau (dan)

m ’ dipihak jang lain dari m, maka terdapat pula sinar-sinar SP2, SP3 dan

88

SP4. Tempat kedudukannja terdiri dari dua garis. Titik S bukan bagian

dari tempat kedudukan, sebab untuk S kedua djarak mendjadi nol.

m

Gb. 83: D jarak Q — l dan djarak Q — m berbanding sebagai a dan b.

§ 27.

Dua sinar nx dan n2 disebut berrelasi isogonal terhadap suatu sudut

(¿1» k)> djika mereka terletak symmetris terhadap garisbagi d sudut itu

dan berpangkal dititiksudutnja. Ternjata, bahwa djuga /x dan /2 berrelasi

isogonal terhadap /_ (nlt n2).

Dua garis nx dan n2 (gb. 85b) disebut berrelasi isogonal thd. sebuah sudut,

djika mereka melalui titiksudut dan terletak symmetris thd. garisbagi

sudut itu; garis-garis ini djuga berrelasi isogonal thd. sudut-sudut jang

bertolak belakang dan jang bersisian.

89

Dua garis nt dan n2 disebut berrelasi isogonal thd. dua garis lx dan L,

djika mereka berrelasi isogonal thd. salah satu dari keempat sudut jang

terbentuk oleh dan /2.

D A L I L 88a.

D jika n1 dan n2 berrelasi isogonal thd. ly dan /2, A terletak pada rit

dan B pada n2, maka hasilperbanjakan garis-garis jang dibuat dari A dan B

tegaklurus pada l± sama dengan hasilperbanjakan garis2 tegaklurus pada L.

D i k e t a h u i : Z Si = ¿_ S2; dari A dan B dibuat garis-garis tegaklurus

pada lt dan /2.

D i b u k t i k a n : h a s i l p e r b a n j a k a n k e d u a g a r i s t e g a k l u r u s p a d a s a m a

d e n g a n h a s i l p e r b a n j a k a n g a r i s 2 t e g a k l u r u s p a d a /2.

B u k t i : n ialah sebuah garis jang melalui S; untuk setiap titik pada nt

perbandingan garis-garis tegaklurus pada dan /2 tetap (dalil 87), misal-

nja sama dengan k : /. D jika SA disebut a, maka kedua garis tegaklurus

melalui A boleh disebut ka dan la. Djika SB disebut b, maka kedua

garis tegaklurus dari B boleh disebut kb dan lb\ sebab /_ S2 = S*.

Hasilperbanjakan kedua garis tegaklurus pada /x ialah ka x Ib; jang

pada l2 ialah la x kb; djadi kedua hasilperbanjakan sama.

D A L I L 88b.

D jika hasilperbanjakan djarak dari A dan B ke /x sama dengan ha

silperbanjakan djarak dari A dan B ke /2, tentu S A dan SB berrelasi iso

gonal thd. ly dan /2. Jang disebut S ialah titikpotong l± dan l2; A dan B tidak

berimpit dengan S.

B u k t i : Pada gb. 87 diketahui: a1b1 = a2b2. D jika dibuat garis n jang

berrelasi isogonal dengan SA thd. h dan l2, dan pada n diletakkan sebuah

90

titik P, tentu dengan dalil 880 terdapat: 0 . = a2p2; djika kedua ruas

dibagi dengan ruas-ruas jang bersesuaian dari kesamaan jang telah

diketahui, maka terdapatlah b : = b2 : p2. Menurut dalil 87 maka P

dan B terletak pada satu garis jang melalui S; ja ’ni B terletak pada n,

sehingga SA dan SB berrelasi isogonal thd /x dan /2.

Dari dalil 88a, b masih dapat dipe'roleh sebuah dalil jang penting,’

sebelumnja kita pertegaskan beberapa pengertian.

Transversal sebuah bangun F ialah sebuah garis, jang memotong F,

ja ’ni jang bersekutu satu atau beberapa titik dengan F. D jika F sebuah

segibanjak dan transversal itu melalui salah satu titiksudut, maka trans

versal. itu disebut transversal sudut.

D A L I L 89.

Djika melalui titiksudut-titiksudut A, B dan C suatu segitiga di

buat 3 buah transversal sudut jang concurrent, tentu garis-garis jang berre

lasi isogonal dengan mereka thd. sudut-sudut a, ¡3 dan y, djuga concurrent

atau sedjadjar.

D i k e t a h u i : transversal sudut av bl dan dari A ABC melalui P. Garis

at dan garis a2 berrelasi isogonal thd a, demikian djuga b± dan b2 thd.

p dan c1 dan c2 thd. y. Garis-garis a2, b2 dan c2 tidak ketiga-tiganja se

djadjar; pun ta ’ ada dua buah jang berimpit.

D i b u k t i k a n : a2, b2 dan c2 melalui satu titik Q.

concurrent djuga.

B ukti: D jika titikpotong b2 dan c2 disebut Q, maka menurut dalil 88a

hasilperbanjakan djarak garissisi BC ke P dan ke Q sama dengan hasil-

perbanjakan sematjam itu untuk garissisi AB, dan djuga untuk garissisi

AC, ja ’ni ltnx = /3n3 dan l{nx = lîz.

91

D jad i kedua hasilperbanjakan jang terachir ini djuga sama jang satu

dengan jang lain, sehingga menurut dalil 886 garis QA berrelasi isogonal

dengan ax thd a, artin ja a2 melalui Q; djadi garis o2, b2 dan c, adalah

concurrent. Dalam keadaan ini titik P dan titik Q disebut berrelasi iso

gonal thd. A A BC . Ternjata bahwa Q berimpit dengan P, d jika P pusat

lingkarandalam atau lingkaransinggung pada A ABC.

Garis jang berrelasi isogonal dengan sebuah garisberat (median)

dari titiksudut A A ABC thd a disebut symmedian dari A. Berhubung

dengan akibat dalil 4 4 , terdapatlah sekarang sebagai akibat dalil 89 :

Akibati Ketiga symmedian sebuah segitiga melalui satu titik. T itik ini di

sebut titik Lemoine (atau titik symmedian) A ABC.

D isamping pengertian relasi isogonal” masih ada lagi pengertian

jang lebih luas, ja ’ni : dua garis „antiparallel” thd. dua garis jang lain.

D ua garis / dan m disebut antiparallel thd. dua garis a dan b djika l dan m

sedjadjar atau berimpit dengan dua garis Z' dan m' jang berrelasi isogonal

thd. a dan b. Hubungan antara l dan m ini djuga dapat dinjatakan sbb.:

m sedjadjar atau berimpit dengan bajangan tjermin l didalam garisbagi

d dari salah satu sudut antara a dan b. Dapat dikatakan djuga bahwa

l dan a m embuat sudut jang sama dengan m dan b, tetapi arahnja kedua

sudut ini berlawanan.D jika / dan m antiparallel thd. a dan b, tentu djuga a dan b an ti

parallel thd. I dan m. D jika A salah satu sudut antara a dan b, maka

dikatakan djuga bahwa l dan m antiparallel thd. /_ A.

§ 28.

Dengan dalil 82 kami dapat melakukan lukisan-lukisan dibawah

ini; hanja lukisannja sadjalah kami muat.

L U K I S A N XV.

Membagi sebuah segmentgaris atas, beberapa bagian jang sebanding dengan

segmentgaris-segmentgaris jang diketahui; lihatlah gb. 90.

92

L U K I S A N XVI.

Melukis pembanding keempat pada 3 segmentgaris ; lihatlah gb. 91.

Perhatian. 1°. D jika dalam gb. 90 p = q = r, maka terdapat lukisan

untuk membagi sebuah segmentgaris atas 3 bagian jang sama besarnja.

2°. Lukisan untuk x jang berlainan daripada jang terlihat dalam

gb. 91 telah termuat dalam tjontoh 14d.

Sekarang akan kita bitjarakan beberapa lukisan jang berhubungan

dengan membandingkan dan membagi luas. • .

L U K I S A N X V II.

Membagi sebuah segitiga atas dua bagian jang luasnja berbanding sebagai

dua segmentgaris m dan n, dengan membuat sebuah segmentgaris melalui

titik-sudut A.\

Tjukuplah djika sisi a dibagi atas dua bagian BD dan DC, jang

berbanding sebagai m : n atau n : m.

L U K I S A N X V III. i

Membagi sebuah segitiga atas dua bagian jang luasnja berbanding sebagai

dua segmentgaris m dan n, dengan membuat sebuah segmentgaris melalui

P e r s i a p a n : Djika A ABC segitiga ja n g ,

diketahui, dengan titik P pada sisi BC,

dan PQ segmentgaris jang d itan jakan ,

(misalnja Q pada AB), sehingga Is A

BPQ : Is. segi-4 ACPQ = m : n. D jika

BP = p dan BQ = x, maka Is A PBQ :

Is A BCA - px : ac = m : (m + n),

mcDjadi x : a = ------ : p.

m + n

Djadi djika pada sisi AB ditetapkan titik D, sehingga BD : DA =

TTLCm : n, maka BD = ----- , djadi x : a = BD : p, sehingga CQ // PD.

m + n

Penjelesaian kita dapat djuga dengan djalan pikiran sbb. D jika

titik D telah dipilih sehingga BD : DA = m : n, tentu Is A BDC dan Is A

DAC berbanding sebagai luas bagian-bagian A ABC jang harus diper

oleh dengan menarik garis PQ. Djadi luas A BDC harus sama dengan

luas A BQP. Djadi Is A PDC = Is A DQP, CQ // PD.

suatu titik pada BC.

Gb. 92: Luas A B P Q : luas sg. emp. A C P Q — m : n.

93

M e n g e r d j a k a n n j a . Bagilah sisi BA atas dua bagian BD dan DA, jang

berbanding sebagai m dan n (lihatlah lukisan XV). Tariklah PD dan

kemudian CQ// PD. PQ ialah segmentgaris jang ditanjakan.

P e r h a t i a n : Penjelidikan ter

lebih dulu tentang letaknja Q,

ja 'n i pada sisi BA atau pada

sisi AC, tidak perlu dilakukan.

Sebab djika lukisan dikerdja-

kan seperti diuraikan diatas,

dan ternjata garis jang melalui

C sedjadjar dengan PD memo

tong perpandjangan BA di Q',

maka djelaslah bahwa Q harus

terletak pada sisi AC. Maka

Is A B P Q 'h a ru s= /s segiempat

BPQA, d jadi Is A APQ = Is A APQ. Maka Q dapat diketemukan sebagai

titikpotong AC dengan garis melalui Q ' sedjadjar dengan AP. Lihatlah

gb. 93; m :n — 5 : 3; Is A BCD = f /s A BCA; A PDC kita ganti dengan

A PDQ '; djadi djuga Is A BPQ ' = f Is A BCA; dari segitiga ini A

PAQ ' kita ganti'dengan A PA Q ; PQ ialah segmentgaris, jang membagi

A ABC atas segi-4 A BPQ = | A ABC dan A PQC = 3/ 8 A ABC.

§ 2 9 . S O A L - S O A L .

1. Suatu trapezium sisi-sisinja jang sedjadjar ialah a dan b (a > b),

sisitegaknja c dan d. H itunglah sisitegak segitiga jang terdjadi djika

kedua sisitegak trapezium diperpandjang, dan jang beralasan sisi b.

2. Dalam A A B C garisbagi AD dan garisbagi BE potong-memotong

di I. N jatakanlah perbandingan A l : ID dengan sisi-sisi a, b dan c

dari A ABC.

3. a. Garisbagi dy dari /_ C memotong AB di F dan eR, garisbagi

sudut luar ¡3 di Ic. P

N jatakanlah ICF : IcC dengan a, b dan c.

IC I Cb. H itunglah djuga — : djika I titikpotong garis2 bagi sudut

A ABC.

4. Dalam A ABC D adalah titikpertengahan BC; eQ dan dy memo

tong AD di P dan di Q. ^

N jatakanlah — : dengan sisi-sisi a, b San c.PA QA

c

94

5. Diketahui sebuah- segiempat ABCD; garis jang dibuat melalui A

sedjadjar dengan BC memotong BD di P; garis jang melalui B dan

sedjadjar dengan AD memotong AC di Q. Buktikanlah, bahwa PQ

II DC.

6 . a. Pada segmentgaris AjA2 dibuat garis AjBj = lx dan A2B2 == /2, ke-

dua-duanja tegaklurus pada AtA2 dan terletak disatu pihak thd.

A iA ,. Pada segmentgaris BaB2 terletak titik P, sehingga BjP :

PB 2 = m : n; hitunglah pandjangnja garis PQ jang dibuat dari

P tegaklurus pada A 1A2.

b. Hitunglah PQ djuga, djika A2B2 diletakkan dipihak lain thd. A,A2.

7. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titikberatnja Z, beserta se

buah garis / diluarnja. Titik-titik A, B, C dan Z diprojeksikan ke-

arah jang sama pada /. Djika projeksinja disebut A ' B', C' dan Z',

buktikanlah bahwa ZZ' = J S AA'.

8 . Dalam A ABC alas AB = c dan garistinggi CD = tc. Dari budjur-

sangkar PQRS jang terlukis didalam A ABC, titiksudut-titiksudut

P dan Q terletak pada AB, R pada BC dan S pada AC. Njatakanlah

sisi budjursangkar itu dengan c dan tc.

9. Dalam segitiga siku-siku ABC terlukis dua budjursangkar; dari

budjursangkar jang satu, 2 sisinja terletak pada kedua sisi-siku CA

dan CB; dari budjursangkar jang lain salah satu sisinja terletak

pada sisimiring AB. Budjursangkar jang manakah lebih besar?

Selidikilah.

10. Dalam A ABC terletak titik P; melalui P dibuat tiga segmentgaris,

masing-masing sedjadjar dengan salah satu sisi, sedangkan udjung-

udjungnja terletak dikedua sisi jang lain. Djika pandjangnja sisi

disebut a, b dan c dan segmentgaris-segmentgaris jang sedjadjar

x y 2dengan mereka disebut x, ydanz, buktikanlah, bahwa: — + — + ~ = 2 -

11. Dalam A ABC diletakkan titik D pada BC dan titik E pada AC,

sehingga BD : DC = m : n dan AE : EC = p : q. D jika AD dan

BE potong-memotong di S, njatakanlah perbandingan AS : SD

dan BS : SE dengan m, n, p dan q.

12. D jika a b dan c segmentgaris-segmentgaris jang diketahui, lukislah

segmentgaris-segmentgaris x, y dan u, dengan sjarat:

95

a : x = c : b; a : b '= y : c; u : x = y : a.

Selidikilah (kontrollah) benar atau salahnja lukisan itu.

13. Diketahui dua garis / dan m, jang potong-memotong di S dan sebuah

t itik P jang tidak terletak di / atau di m. Hendaklali d ibuat sebuah

garis melalui P, jang memotong / di L dan m di M, sehingga:

a. SL : SM = a : b,

b. PL : PM = c : d.

a, b, c dan d adalah segmentgaris.

14. Bagilah sebuah djadjarangendjang ABCD atas 3 bagian jang sama

luasnja dengan membuat dua segmentgaris dari A.

15. a. Bagilah sebuah trapezium ABCD (AD // BC, AD > BC) atas dua

bagian jang sama luasnja dengan membuat sebuah segmentgaris dari B. b 8

16.

b. D juga dengan membuat segmentgaris dari A.

Sebuah segitiga ABC ditentukan letak dan besarnja. Lukislah se

buah tit ik P, sehingga luas segitiga-segitiga PBC, PCA dan PAB berbanding sebagai 3 segmentgaris k, / dan m

17. Tiga segmentgaris AB, CD dan f p A , • , , ,

Lukislah sebuah titik P, s e h in L 1 '* tahU' letak da" besar"Ja' PCF sama luasnja. gg3 PAB , PCD dan

18, LuWslah sebuah segitiga ABC, djika diketahui b, c dan segm ent-

R r J : J * g r nghUbUngka" A d™gan titik D, jang membagi

m dan n Ua a^ lan’ berbanding sebagai dua segmentgaris

b . Lukislah sebuah segitiga ABC djika diketahui b , c dan garisbagi

m o to n ^ d f ^ d™ t r —f ^ DC ’ kedua diagonal potong-me- “ " g d\ l dHan S:S!te§ak di T; M dan N adalah titikper-

n h ^ T alui S dibuat segmentgaris PQ // AB (Ppada AD, Q pada BC). Buktikanlah-

PS = SQ ; b. TS melalui'm dan N.

20. a. Sebuah garis /, jang sedjadjar dengan sisi-sisi AB dan DC jang

sedjadjar pada sebuah trapezium, memotong AD, AC, BD dan BC berturut-turut di P, Q, R dan g

96

Buktikanlah, bahwa PQ = r s .

b. Lukislah garis / // AB, sehingga PQ = QR = RS.

2 1 . Bagilah sebuah segiempat ABDC mendjadi dua bagian jang sama

Iuasnja dengan membuat sebuah segmentgaris dari A.

2 2 . Lukislah sebuah segitiga, djika diketahui sebuah sisi dan salah satu

sudut pada sisi itu, sedangkan Iuasnja harus sama dengan luas

sebuah djadjarangendjang ABCD jang diketahui pula.

23. Dalam sebuah segiempat ABCD dibuat segmentgaris-segmentgaris

PQ I/ AB, sehingga P dan Q terletak pada garispatah BCDA. Tentu

kanlah tempat kedudukan' titik-titik jang membagi PQ dengan

perbandingan jang diketahui.*

24. D iketahui dua sinar l dan m jang bersekutu pangkalnja S. Sebuah

garis jang berubah-ubah memotong l di P dan m di Q ; M ialah titik-

pertengahan PQ. Tjarilah tempat kedudukan M, djika :

a. SP = k. SQ (k bilangan positif)

b. SP + SQ = a (a sebuah segmentgaris)c. SP + k. SQ = a.

25. Sebuah titik P bergerak sepandjang sisimiring AB segitiga siku-siku

ABC. Projeksi P pada BC dan AC disebut Q dan R. Pada segment-

garis Q R dipilih titik S, sehingga QS : SR = m : n ; m dan n adalah

segmentgaris. Tjarilah tempat kedudukan titik S.

26. Tjarilah tempat kedudukan titik-titik jang djarak berarahnja dari

ganssisi AB a ABC sama dengan djumlah djarak berarahnja dari

AC dan BC. Jang dimaksud dengan daerah positif suatu garissisi

ialah daerah jang memuat titiksudut didepan garissisi itu.

27. Diketahui sebuah trapezium ABCD (AB // D C ); bagilah trapezium

ini dengan membuat sebuah segmentgaris PQ (P pada AB dan Q

pada DC) atas dua bagian jang perbandingannja diketahui, djika

o. PQ sedjadjar dengan sebuah garis /.

b. PQ sama dengan segmentgaris p.

28 Dalam segiempat convex ABCD dibuat segmentgaris PQ // AB,

sehingga P dan Q terletak pada garispatah BCDA. Djika PQ ber

ubah-ubah, tjarilah tempat kedudukan titikpotong S kedua dia

gonal trapezium dengan AB dan PQ sebagai sisi-sisi sedjadjar.

97

Planimetri — 7

"29. Tjarilah titik, jang berrelasi isogonal thd. sebuah segitiga ABC

dengan titik tinggi segitiga itu.

30. a. Dalam A.ABC AE ialah symmedian dari A (E pada BC). Bukti

kanlah, bahwa B E : EC = c2 : b2,

b. Djika P sebuah titik symmedian AE dalam A ABC, tentu djarak

P ke AB dan ke AC berbanding sebagai c dan b. Buktikanlah.

31. Memilih sebuah titik pada sebuah garis (lingkaran) sehingga djarak

dari titik itu ke dua titik A dan B berbanding sebagai dua segment-

garis m dan n.

32. Mentjari sebuah titik X dalam sebuah segitiga ABC, jang djaraknja

ke- A, B dan C berbanding sebagai tiga segmentgaris p, q dan r.

33. Diketahui dua garis / dan m jang sedjadjar dan dua titik A dan B.

Lukislah sebuah segmentgaris X Y tegaklurus pada l, sehingga AX :

BY = p : q (X pada /, Y pada m ; p dan q ialah dua segmentgaris).

34. Dari A ABC garisbagi AD diketahui letak dan besarnja, beserta

pusat I lingkarandalam jang terletak pada AD, dan djarak BI.

Lukislah segitiga itu.

35. Lukislah sebuah A ABC, djika diketahui alasnja AB, djari-djari

lingkarandalam dan perbandingan djarak dari pusat lingkaran itu

ke- A dan ke B.

36. Pada garis / terletak titik-titik A, B dan C dengan urutan ini.

Tjarilah tempat kedudukan titik-titik P, sehingga segmentgaris AB

dan BC terlihat dari P pada sudut jang sama besarnja.

37. a. Dalam A ABC b ^ c; (Pa, Ra) ialah lingkaran Apollonius segitiga

itu, jang melalui A.

Njatakanlah Ra dengan sisi-sisi A ABC.

1 1 1b. Djika a > b > c, maka — — —— f- 77-; buktikanlah.

*vb Ka Kc

c. Buktikanlah, bahwa ketiga lingkaran Apollonius suatu segitiga

jang tidak samakaki, bersekutu 2 titik.

38. Diketahui 6 buah segmentgaris a, b, c, d, e dan /, beserta sudut <p.

Lukislah sebuah segiempat ABCD, djika diketahui AB : CD = a : c ,

BC : AD = b : d, AC == e dan BD = /, sedangkan sudut antara

kedua diagonal sama dengan <p.

98

39. Pada alas AB A ABC terletak sebuah titik D. Garisbagi a memotong

CD di P garisbagi p memotong CD di Q; P lebih dekat kepada C

daripada Q. Lukislah sebuah segitiga ABC, sehingga CP = PQ =*

QD; CD dan tc djuga diketahui.

40. D. E dan F adalah titikkaki dari garistinggi, garisbagi dan garis-

berat dari titiksudut C A ABC. Lukislah segitiga itu, djika AD =

DE — EF.

99

B A B V.

H A L M E M P E R B A N J A K B A N G U N .

D jika O sebuah titik dan m sebuah bilangan jang positif atau

negatif, maka dengan perbanjakan (O, m) kami maksudkan sebuah

operasi jang memperpasangkar pada sebuah titik A sebuah titik Au,

sehingga OAh = m. OA. O disebut pusat (centrum) perbanjakan, m

faktor perbanjakan. D ikatakan djuga, bahwa A dipindah atau ditrans

formasikan ke Ah (perpasangan demikian djuga disebut transformasi),

atau A mendjelma mendjadi Ah. Ah disebut titikhasil A ; A disebut

titi'k asli.

Menentukan titik Ah, jang diperpasangkan dengan'A pada per

banjakan (O m), djuga disebut memperbanjak A terhadap pusat O

dengan faktor m. Dari definisi ternjata bahwa O mendjelma mendjadi

O sendiri. Sebuah titik A jang berlainan dengan O, djika m positif

(gb. 94 a) mendjelma mendjadi titik Ah a

pada sinar OA, sehingga OAh = m. OA. Cf9 * ~ ’“°- *-°Ah

D jika m negatif (gb. 94 b), maka Ah ter- (V) a ,0 * —*~°a

letak diperpandjangan AO, sehingga OAh Qb g4; Memperb sebuah m k

= | m |. AO. Perbanjakan (O, -1) sama

sadja dengan perputaran (O, 180°) dan djuga disebut pentjerminan

dalam tit ik O.

Seperti pem indahan, perbanjakan adalah pCipdStingan satu-satu,

artmja*. t\ap-t\ap t it ik dari bidang mendjelma mendjadi tepat satu titik

dalam bidang itu, dan sebaliknja tiap-tiap titikhasil adalah pendjel-

maan dari tepat satu titik asli.

Suatu bangun Gh disebut bangunhasil dari G pada perbanjakan

(O, m), d jika titik-titik G pada perbanjakan ini mendjelma mendjadi

titik-titik Gh (lihatlah gb. 95 a dan 95 b). Dengan ini kami maksudkan,

bahwa titikhasil tiap-tiap titik dari G terletak pada Gh, dan sebaliknja

setiap titik pada Gh adalah titikhasil sebuah titik pada G; dengan lain

perkataan : Gh ialah tempat kedudukan titikhasil-titikhasil dari titik-

titikn ja G. G disebut bangun asli dari Gh; dikatakan bahwa G karena di-

perbanjak mendjelma mendjadi Gh, Menentukan Gh, djika G,O dan m dike

tahui, disebut memperbanjak G terhadap O dengan m. Kam i tulis djuga

Gh = m G (O), djadi djuga G = Gh (O). D jika pada dua bangun

m ungkin dilakukan suatu perbanjakan, sehingga bangun jang satu

mendjelma mendjadi jang lain, maka kedua bangun tadi disebut

homothetis (index h ialah huruf pertama dari kata homothetis). T itik

§ 30.

100

jang dapat dipakai sebagai pusat perbanjakan itu, disebut pusat (cen

trum) homotheti, atau pusat kesebangunan. Djika faktor perbanjakannja

positif, maka pusat kesebangunan tadi disebut pusat kesebangunan luar

(gb. 95a); djika negatif pusat kesebangunan dalam (gb. 95b).

§ 31.Sekarang akan kita selidiki, apakah bangunhasil dari bangun-

bangun jang mudah, ja k n i: garis segmentgaris sudut dan lingkaran,

djika diperbanjak.

D A L I L 90 ff.

D jika sebuah oaris l diperbanjak dengan (O, m), maka bangunhasilnja

ialah garis l sendiri, djika O terletak pada /; bangunhasilnja adalah

sebuah garis jang sedjadjar dengan l, djika O terletak diluar l (m * 1).

Bukti ■ D jika O terletak pada /, maka menurut definisi perbanjakan,

tiap-tiap titik pada / menghasilkan, titik pada / lagi, dan sebaliknja se

tiap titik pada / djuga mendjadi titikliasil suatu titik pada pula.

Sekarang kita anggap, bahwa O tidak O

terletak pada l (gb. 96). Djika OA = a dan

OP = p, maka menurut ketentuan OAn ==

ma dan OPh — mp. Sekarang menurut dalil

81 d, ja ’ni kebalikan dalil Thales, Au Ph II

AP ; djuga Ph Bh II PB; djadi AhPhBh =

l sedjadjar dengan l. Djika faktornja nega

tif, maka l dan lb terletak disebelah-menje-

belah O; buktinja sama sadja.

D A L I L 90 b.

Ah Ph Bh hGb. 96: Memperbanjak

sebuah garislurus.

Sebuah segmentgaris, djika diperbanjak dengan (O, m) menghasilkan

sebuah segmentgaris jang pandjangnja \ m | kali segmentgaris jang asli,

101

dan terletak pada satu garis atau pada dua garis sedjadjar dengan segment-

garis jang asli. Sebuah sinar menghasilkan sebuah sinar jang sama arahnja

djika m positif dan berlawanan arahnja djika m negatif. Sebuah segment

garis berarah menghasilkan sebuah segmentgaris berarah sama dengan

m. AB .

Bukti: K ita buktikan lebih dahulu bagian jang terachir. D jika 0 ,A

dan B terletak pada satu garis, maka djuga Ah dan Bh terletak dalam

garis ini; maka AhBh — AhO + OBh = m. AO + m. OB. = m. AB. D jika O

tidak terletak pada satu garis dengan A dan B, maka AhBh // AB (dalil

90 a). D jika m positif (gb. 96), maka B dan Bh terletak pada satu pihak

thd. OA, sehingga AB dan AhBh sama arahnja. Selandjutnja menurut dalil

82 AhBh = ] m |. AB djadi AhBh = m. AB. Dengan djalan ini bukti

dapat diberikan djuga untuk m negatif. Bagian pertama dalil 90 b ter

kandung dalam jang telah dibuktikan. Djuga bagian kedua bisa didapat

daripadanja dengan mudah. Sebab titik-titik sinar AB (gb. 96) adalah

titik-titik P dari garis AB dengan sifat, bahwa PA : BA positif. D jadi

bangunhasil sinar ini terdiri dari titik-titik Ph dari garis Ah Bh, jang

bersifat, bahwa PhAh : BhAh positif, djadi sinar AhBh. Dan sinar ini

sama arahnja dengan segmentgaris berarah Ah Bh, djadi dengan A B

dan dengan sinar AB, djika m positif. Arahnja berlawanan djika m

negatif.

Akibat ke-I. Urutan titik-titik jang segaris sama dengan urutan titik-

titik hasil mereka.

Akibat ke-2. Sebuah sudut, djika diperbanjak, menghasilkan sebuah

sudut jang sama besarnja.

Akibat ke-3. Perbandingan segmentgaris atau segmentgaris berarah

jang terdapat dalam suatu bangun, sama dengan perbandingan-perbanding

an jang bersesuaian dalam bangun hasil.

Dalam jang dikatakan diatas ini terkandung, bahwa sebuah segi-n,

djika diperbanjak dengan (O, m), menghasilkan sebuah segi-n lagi,

jang sudut-sudutnja sama dengan sudut-sudut jang bersesuaian

dalam bangun jang asli, sedangkan sisi-sisinja sama dengan \m\ -kali

sisi-sisi jang bersesuaian dalam bangun asli. Selandjutnja, bahwa

m isalnja garistinggi, garis-berat, garisbagi dsb. dalam sebuah segitiga

menghasilkan garistinggi, garisberat, garisbagi dsb. lagi dalam bangunhasil.

102

D A L I L 90 c.

Lingkaran (P , r), d jika diperbanjak dengan (O, m) menghasilkan

sebuah lingkaran jang berpusatkan titikhasil P h dari P sedangkan djari-

djarinja sama dengan | m | r.

B u k t i : D jika Ah titikhasil dari sebuah titik A pada lingkaran (P, r)

maka menurut dalil 90 b Ph Ah = | m |. PA = | tn | r; djadi Ah terletak

pada lingkaran (Ph, | m | r). D jika sebaliknja Bh sebuah titik dari ling

karan terachir ini, maka tentang titik B jang menghasilkan Bh diketahui

PB = J L . P h B h = r ; djadi B terletak pada lingkaran (P, r).

Akibat. Dua lingkaran jang tidak sama, mempunjai sebuah titik kese-

bangunan luar dan titik kesebangunan dalam ; dua lingkaran jang sama

(tetapi tidak berimpit) lianja mempunjai sebuah titik kesebangunan dalam.

Diketahui lingkaran (P^ rx) dan (P2, r2); Px # P2 dan # r 2. (Peni-

batja hendaklah membuat ganibarnja sendiri). Pada salah satu per-

pandjangan P ^ ; , terletak sebuah titik O, sehingga OP2 : OP1 = r2 : rx;

103

djika lingkaran (Pj, r2) diperbanjak dengan 0 sebagai pusat perbanjakan

dan dengan faktor r2 : rlf maka lingkaran ini menghasilkan bangunhasil

jang berimpit dengan lingkaran jang kedua. Hal ini terdjadi pula, djika

sebagai pusat perbanjakan diambil titik O , jang membagi Px P2 dari

dalam dengan perbandingan r, : r2.D jika rx sama dengan r2, maka tidak terdapatlah titik O jang

membagi Pj P2 dari luar dengan perbandingan jang sama dengan per

bandingan kedua djari-djari.

Untuk lingkaran jang sepusat dan tidak sama, O dan O ' kedua-

duanja terletak di Px = P2. Lingkaran jang berimpit mempunjai titik

kesebangunan dalam jang terletak di P. Titik kesebangunan luar tidak

ada. Atau setiap titik dalam bidang dapat dianggap titik kesebangunan

luar.

Sebuah garissinggung pada sebuah lingkaran djika diperbanjak,

menghasilkan garissinggung pada bangunhasil (dalil 90 b, akibat 2 ber

hubung dengan dalil 58).

Akibatnja ialah bahwa sudut antara dua lingkaran jang potong-

memotong sama besarnja dengan sudut antara kedua lingkaran jang

mendjadi bangunhasil mereka djika mereka diperbanjak. Ini berarti

pula, bahwa dua lingkaran jang singgung-menjinggung menghasilkan

lagi dua lingkaran jang singgung-menjinggung, sedang m atjam per

singgungan itu (ja'ni luar atau dalam) sama pula. Berhubung dengan

ini, perbanjakan djuga disebut transformasi sudutsama (isogonal, equi-

angulair). Djika sudut berarah menghasilkan sudut jang sama besar

dan arahnja, maka transformasi demikian disebut transformasi sama-

sudut samaarah (lihatlah gb. 98). Ada djuga transformasi jang memper-

pasangkan pada sebuah sudut, sebuah sudut lain jang sama besarnja

tetapi berlawanan arahnja (lihatlah bab XIV).

§ 32.

Kerapkali perbanjakan bangun dapat dipergunakan untuk mentjari

tempat kedudukan. Soalnja biasanja berupa: mentjari tempat kedudukan

sebuah titik T, jang membagi sebuah segment-

garis AB jang berubah-ubah, dari dalam afau

dari luar, dengan perbandingan jang diketahui,

salah satu udjung AB, misalnja A, harus tetap,

sedangkan B mendjalani sebuah garis K (disini

dengan garis dimaksud garis lurus, lengkung atau

patah; djadi K djuga boleh berupa segmentgaris,

sinar, segi banjak atau busur lingkaran). Djika

misalnja AT : TB = 2, djadi AT : AB = 2 : 3, Gb. 99: Kh iaM' djalan

jang ditempuh oleh T.

104

maka tempat kedudukan T ialah garis Kh jang mendjadi bangunhasil

K djika K diperbanjak dengan (A, $); faktor negatif tentu mungkin

d juga.

T J 0 N T 0 H 24.

Dari A ABC titiksudut A dan B tetap, sedangkan C bergerak sepan

ti jang sebuah garis l. T jarilah d jalan jang dilalui oleh titikberat Z segitiga

itu.

P e n j e l e s a i a n : Oleh karena A dan

B tetap, maka djuga titikpertengah-

an M dari AB tetap. Selandjutnja

MZ = ■§• MC; djadi djalan jang di

lalui Z ialah garis lu, jang mendjadi

bangunhasil /, djika / diperbanjak

dengan (M, £) Tetapi Z tidak mung

kin mendjadi titikpotong lb dengan Gb. ¡00 : lh ialah djalan jang

AB ; sebab djika Z terletak pada ditempuh oleh z.

titik itu, maka ABC bukan lagi sebuah segi tiga.

Sekarang perbanjakan akan kita pergunakan untuk melakukan

lukisan. Djika sebuah bangun G harus dilukis dalam sebuah bangun H,

maka terlebih dulu dapat dibuat sebuah bangun Gh jang homothetis

dengan jang ditanjakan, dan jang satu atau beberapa buah titik sudutnja

telah terletak pada H. Dengan perbanjakan dari pusat jang tepat me-

milihnja, maka Gh dapat didjadikan bangun jang semua titiksudutnja

terletak pada H ,v biWgunhasi] ini tak lain ialah bangun G jang harus di

lukis. Tentu sadja pusatnja harus dipilih, sehingga titiksudut-titiksudut

Gh jang- terletak pada H, sesudah diperbanjak, masih tetap terletak

pada H.

T J O N T O H 25.

Diketahui sebuah A ABC dengan sudutiantjip B dan C, dan dua seg-

mentgaris p dan q.

Lukislah dalam segitiga itu sebuah empatpersegipandjang, jang sisi-

sisinja berbanding sebagai p dan q, sedangkan dua titiksudutnja terletak

pada alas segitiga jang diketahui dan kedua titiksudut jang lain terletak

pada sisitegak segitiga jang diketahui.

P e r s i a p a n , (lihatlah gb. 101 a). Djika X Y Z U suatu empatpersegi

pandjang jang memenuhi sjarat, maka djika diperbanjak dengan C se

105

bagai pusat dan p : X Y sebagai faktor, akan didapat sebagai bangun-

hasil XhYhZhUh, jang X h Y h = p dan Y hZh = q, sedangkan Uh terletak

pada sinar AC dan Y h dan Zb pada sinar CB. Dengan ketentuan-ketentu

an ini empatpersegipandjang XhY hZhUh dapat dilukis dengan mudah ;

sehabis ini X dapat diketemukan, dan empatpersegipandjang X Y Z U

dapat diselesaikan.

Gb. IQ l: Persiapan.Pelaksanaan.

M e n g e r d j a k a n n j a (lihatlah gb. 101 b). Ambillah sebarang titik D

pada BC, dan buatlah garis DE = q tegaklurus pada B C. Buatlah

melalui E garis jang sedjadjar dengan B C; garis ini memotong CA di Uh.

Letakkanlah pada garis ini segmentgaris UhXh = p jang sama arahnja

dengan CB. Potonglah CXh dengan AB ; titikpotongnja ialah titik X .

Tariklah XU // B C ; buatlah dari U dan X garis-garis jang tegaklurus pada BC.

B u k t i : Ini diserahkan kepada pembatja.

D is k u s s i . Dari persiapan ternjata, bahwa djika harus X Y : Y Z = p : q

(gb. 101 a), maka letak X pada AB tertentu. Dari lukisan ternjata,

bahwa lukisan itu dapat dilakukan untuk tiap-tiap p dan q. D jadi ada

tepat satu penjelesaian dengan X Y : YZ = p : q dan djuga tepat satu

penjelesaian dengan X Y : YZ = q : p (lihatlah gb. 101 b.) D jadi untuk

p q terdapat dua penjelesaian.

Suatu pemakaian lagi terdapat pada lukisan dibawah ini :

L U K I S A N X IX .

Membuat garis melalui sebuah titik T, jang memotong sebuah

garislengkung K di A dan sebuah garislengkung L di B, sehingga T A'.

TB = m.

106

P e r s i a p a n . TA = m. TB, sehingga A dapat diperoleh dari B dengan

perbanjakan (T, m). Kita tahu,

bahwa B harus terletak di L.

Djika "k ita perbanjak selu-

ruk garislengkung L thd. T se

bagai pusat perbanjakan dengan

faktor m, maka titikhasil Bh dari

B, jakni A, tentu terletak pada

bangunhasil Lh dari L. Karena

A djuga terletak di K, maka A " L^

adalah sebuah titikpotong antara _. ,r ° Gb. 102: A titik potong K dan Lh.

K dan Lh.

M e n g e r d j a k a n n j a . Perbanjaklah L thd. T sebagai pusat dengan faktor

rn, sehingga terdapat Lh- Hubungkanlah sebuah titikpotong A antara

K dan Lh dengan T ; titikpotong TA dengan L ialah titik B

D is k u s s i : Banjaknja penjelesaian sama dengan banjaknja titikpotong

antara K dan Lh ; djika K dan L kedua-duanja garislurus, maka urrtum-

n ja terdapat satu penjelesaian ; djika K sebuah lingkaran dan L sebuah

segitiga, maka paling banjak terdapat 6 penjelesaian.

T J O N T O H 26.

Dari A ABC alas A B diketahui besar dan letaknja ; selandjutnja puti-

tjak C harus terletak pada suatu garis l dan titikberat Z harus terletak

pada suatu lingkaran y. Lukislah segitiga itu.

Gb. 103: Z titik potong Ifi dan y.

P e r s i a p a n : D jika M titikpertengahan AB, maka MZ = £ MC, se

hingga Z dapat diperoleh dari C, dengan perbanjakan (M, J ) ; djadi

kita tinggal melakukan lukisan X IX . Mengerdjakannja sekarang

mudah.

107

T J 0 N T 0 H 27.

Diketahui sebuah lingkaran (P , r)-dan sebuah titik T dalam lingkar

an ini, lukislah melalui T sebuah talibusur X Y , sehingga X T : T Y =

3 : 5 .

P e r s ia p a n : Temjata bahwa Y dapat diper

oleh dengan memperbanjak X thd. T sebagai

pusat dengan faktor — f; djadi dapat lagi

kita pergunakan lukisan X IX .

M e n g e r d j a k a n n j a (lihatlah gb. 105). Per-

banjaklah titik P thd. T dengan — f , dan

buatlah lingkaran (Ph, § r ) ; lingkaran ini

memotong lingkaran (P, r) pada titik-titik Yj

dan Y 2 Tariklah YjT dan Y 2T hingga memo

tong lingkaran (P, r) sekalilagi di X x dan X 2.

H

B u k t i : Karena Yx terletak pada lingkaran ( P h , f r), dan lingkaran

ini, djika diperbanjak dengan (T, — 1 ) menghasilkan lingkaran ( P , r),

maka Yx menghasilkan titikpotong antara Y XT dan lingkaran ( P , r), jang

berlainan dengan Ylf jakni X t ; djadi X J : TY'1 = 3 : 5.

Dengan tjara itu dibuktikan bahwa djuga X 2Y 2 memenuhi.

D is k u s s i . Karena lingkaran ( P , r) dan ( P h , f/") paling banjak bersekutu

dua titik, maka paling banjak terdapat dua talibusur jang memenuhi

sjarat; letak mereka symmetris thd. P P h . Dalam gb. 106 TE ialah seg-

mentgaris jang terpendek, dan TF jang terpandjang, dari T sampai

suatu titik pada lingkaran Sekarang harga jang sebesar-besarnja bagi

108

perbandingan — — sama dengan —— = -jL, dan jang seketjil-ketjil-

nja — ; untuk kedua harga ini hanja ada satu penjelesaian, untukq

semua harga perbandingan itu antara — dan — ( ^ 1 ) terdapat duaq P

penjelesaian.

§ 33.

Tentu sadja tidak semua lukisan jang mempergunakan perbanjakan,

sematjam dengan jang sudah dibitjarakan diatas. Karena itu kami muat

tiga tjontoh lagi, jang agak berlainan matjamnja.

T J O N T O H 28.

Melukis sebuah lingkaran jang melalui sebuah titik T dan menjinggung

sebuah garis l, sedangkan titikpusatnja harus terletak pada sebuah garis m.

P e r s i a p a n : Dengan mudah dapat dilukis sebuah lingkaran jang meme

nuhi kedua sjarat jang terachir ; untuk keperluan ini, tjukuplah pada

m diambil sebarang titik P sebagai pusat dan djarak r dari P ke / sebagai

djari-djari. D jika l dan m potong-memotong di S maka sebuah lingkaran

jang memenuhi sjarat, dapat didjelmakan mendjadi lingkaran (P, r)

dengan memperbanjaknja thd. S sebagai pusat perbanjakan. Djadi

tjukuplah djika lingkaran (P, r) diperbanjak thd. S dengan suatu faktor,

sehingga bangunhasilnja melalui T. Sebagai faktor ini harus dipakai ST :

SQ ; Q ialah titikpotong SP dengan (P, r).

Gb. ¡07: Lingkaran2 melalui T, jang menjinggung l dan berpusat pada m.

M e l a k u k a n n j a : Ambillah pada m sebuah titik P ; buat PR = r l

dan buat lingkaran (P, r). Tariklah ST, jang memotong lingkaran di-

titik Qj dan Q2. Perbanjaklah lingkaran (P, r) thd. S sebagai pusat dengan

faktor ST : SQ . Ini dilakukan dengan membuat TPX // Qx P dan mem

109

buat lingkaran (Pj, PXT ) ; dengan djalan jang sama, dari Q2 terdapat

lingkaran (P2, P2T ) ; TP2 // Q, P.

B u k t i : Kedua lingkaran jang terdapat, melalui T dan menjinggung /,

sedangkan pusat mereka terletak di m ; djadi mereka memenuhi sjarat.

D is k u s s i : Karena ST memotong lingkaran (P, r) sebanjak-banjaknja

pada 2 titik, maka paling banjak terdapat dua penjelesaian.

Pada sisi-sisi A X Y Z terletak titik-titik P, Q dan R, sehingga X P :

P Y = 1 : 2, YQ : QZ — 5 : 3 dan Z R : R X = 1 : 1 . Lukislah segitiga

itu, djika P, Q dan R diketahui.

P e r s i a p a n . Titik X terdjadi dari Y dengan perbanjakan (P , — £) dan

dari Z dengan perbanjakan (R, — l). Karena perbanjakan jang pertama,

Q mendjadi Q1 dan karena jang kedua mendjadi Q2. Oleh karena, pada

kedua perbanjakan. tad\ garis Y Z menghasilkan garis jang melalui X

dan sed\ad\,a\: Y 'L, maka Qi dan Q2 harus terletak pada garis

ini. Djadi garis ini terdapat; sehabis ini YZ dibuat melalui Q sedjadjar

dengan Q x Q 2. Dengan djalan jang sama terdapat djuga garis X Y ,

sehingga titik Y terdapat, dan kemudian terdapat djuga X dan Z.

Mengerdjakannja bukti dan diskussi diserahkan kepada pembatja.

Diketahui 2 garis l dan m, jang potong memotong di S beserta sebuah,

lingkaran a. Lukislah sebuah lingkaran p, jang menjinggung l, m dan a.

Lihatlah gb 109.

P e r s ia p a n . Djika R titiksinggung antara lingkaran a dan lingkaran p,

jang memenuhi sjarat, perbanjakan dengan pusat R , jang mendjelma-

T J O N T O H 29.

m

Gb. 109: Persiapan.Gb. 108: Persiapan.

T J O N T O H 30.

kan (3 mendjadi a, mendjelmakan Z dan m mendjadi dua garissinggung

lb dan mu pada lingkaran jang sedjadjar dengan Z dan m. T itik S men

djadi titikpotong Sh antara Zh dan /nh. Djadi djika pada a dibuat garis

Ih I I Z dan nih II m, jang potong memotong di Sh, maka garis Sh S akan

menentukan titik R pada lingkaran a. Garis jang menghubungkan

R dengan pusat M dari a memotong garisbagi sudut (Z, m), jang memuat

R, pada pusat N dan lingkaran [3 jang harus dilukis.

M e n g e r d j a k a n n j a . Ini sudah djelas dari persiapan diatas. Lihatlah

gb. 1 1 0 .

B u k t i : Masih harus dibuktikan, bahwa lingkaran p jang terdapat,

jakn i lingkaran dengan pusat N dan djari-djari NR, menjinggung Z

dan m.

D jika RS : RSh = k, maka Zh dan mh, djika diperbanjak dengan (R, k),

menghasilkan Z dan m, sehingga masih harus dibuktikan bahwa, karena

perbanjakan itu, <x menghasilkan p ; djadi, bahwa RN : RM = k.

Ini terbukti demikian : karena perbanjakan tadi, garisbagi sudut (Zh,

mh), jang memuat R, menghasilkan garisbagi sudut (l, m) jang memuat

R , sehingga M menghasilkan N, sebab mereka terletak pada satu garis

jang melalui R.

111

D is k u s s i (lihatlah gb. 110). Djika a tidak menjinggung l atau m, maka

pada a dapat dibuat dua garissinggung sedjadjar dengan l dan dua

garissinggung sedjadjar dengan m. Keempat garissinggung ini men-

djadi garissisi belahketupat luar lingkaran a. Sekarang untuk R dapat

dipakai setiap titikpotong antara garis-garis SSh, SB, SS'h dan SD

dengan a. Paling banjak terdapat 8 t it ik ; dalam gb. 110 hanja ter

dapat 4 buah titik R. Djadi banjaknja lingkaran p jang memenuhi

sjarat. adalah 8 , djika S terletak dalam belahketupat, dan 4 (pada

umumnja), djika S terletak diluarnja, sebab dalam keadaan terachir

ini 2 titiksudut belahketupat terletak antara kedua garissinggung dari

S pada lingkaran a.

§ 34. S O A L - S O A L .

1. Diketahui sebuah segitiga A B C dengan titiktinggi T dan titik-

berat Z, dan 2 segmentgaris/ dan R.

a. Perbanjaklah A A B C dengan T sebagai pusat, sehingga keli-

lingnja mendjadi sama dengan /.

b. Perbanjaklah A A B C dengan Z sebagai pusat, sehingga djari-

djari lingkaran luarnja mendjadi sama dengan R.

• 2. a. Dua lingkaran dan L2 singgung-menjinggung dari dalam di T.

Dari T dibuat garis jang memotong di Ax dan L2 di A2, dan

sebuah garis lagi jang memotong Lx di Bj dan L2 di B2. Bukti

kanlah, bahwa AjBj // A2B2.

b. Bagaimanakah dalil ini, djika Lx dan Lz singgung-menjinggung

dari luar ?

c. Buktikanlah, bahwa dalam kedua matjam keadaan, garissing

gung di Ax pada Lx sedjadjar dengan garissinggung di A2 pada L2.

3. a. Diluar lingkaran (P, r) terletak sebuah titik A ; sebuah sinar /

dari A memotong lingkaran itu di T dan di Q. Pada l diletakkan

segmentgaris AS = AT + AQ. Tjarilah tempat kedudukan S,

djika / berputar pada A.

b. Tjarilah djuga tempat kedudukan titikberat Z A PTQ.

4. Dari A A B C diketahui letak dan besar alasnja AB. Tentang

titikberatnja Z diketahui, ZA : ZB = p ■ q • p ¿ ari q segment

garis. Tjarilah tempat kedudukan puntjak C.

112

5. Diketahui lingkaran (P, r) dengan garistengah A B jang tetap.

Sebuah titik T pada lingkaran itu dihubungkan dengan A dan

pada perpandjangan AT diletakkan segmentgaris TQ = AT.

Djika T bergerak sepandjang lingkaran tadi, tjarilah tempat kedu

dukan titikpotong S dari TB dan Q P.

6. Dari trapezium A B C D, (A B // D C), AB = a diketahui besar

dan letaknja. CD = c hanja diketahui besarnja (a > c) ; seterusnja

BC : AD = b\d\b dan d ialah segmentgaris. Djika S titikpotong AC

dan BD, T titik potong AD dan BC, dan N titikpertengahan CD,

tentukanlah tempat kedudukan T, N dan S.

7. Diketahui sebuah A A B C ; pada perpandjangan AB diletakkan

sebuah titik R, dan sesudah itu pada perpandjangan B C sebuah

titik S, sehingga R A : R B = S B : S C . Djika R bergerak sepan

djang perpandjangan AB, tentukanlah djalan jang dilalui oleh

titikberat Z A BRS.

8 . Diketahui letak dan besarnja dua segmentgaris AB dan CD, dan

besarnja dua segmentgaris m dan n. Sebuah titik P bergerak sepan

djang segmentgaris AB dan sebuah titik Q sepandjang segmentgaris

C D ; tentukanlah tempatkedudukan titik S, jang terletak pada

PQ , sehingga PS : SQ = m : n.

9. Diketahui sebuah lingkaran (P, r), sebuah titik T diluar lingkaran

itu dan dua segmentgaris a dan b (a< b ). Lukislah sebuah garis

melalui T, jang memotong lingkaran tadi di A dan B, sehingga TA:

T B = a : b. Dimana harus diletakkan titik T, agar terdapat dua

penjelesaian ?

10. Diketahui dua lingkaran dan L2 jang potong memotong dan dua

segmentgaris p dan g. Salah satu titikpotong Lx dan L2 disebut S.

Lukislah melalui S sebuah garislurus. jang memotong Ly di P dan L2 di Q sehingga

a. S P : S Q = p : q b. S P : S Q = — p : q

11. Diketahui letaknja titik-titik .A dan Z dan lingkaran-lingkaran ß

dan y. Lukislah sebuah segitiga A B C , sehingga B terletak pada ß

dan C pada y, sedangkan Z harus mendjadi titikberat segitiga itu.

12. Lukislah didalam sebuah segiempat A B C D sebuah djadjaran-

gendjang, jang titikpotong diagonalnja. titik S, diketahui.

113

Planimetri - 8.

13. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dan dua titik G dan H (G pada

PH). Lukislah lingkaran jang dengan lingkaran (P, r) bertitik ke-

sebangunan titik G dan titik H.

14. Diketahui dua garis l dan m dan sebuah titik T. Lukislah lingkaran

jang melalui T dan menjinggung l dan m.

15. Diketahui dua titik P dan Q dan sebuah garis /. Lukislah lingkaran

jang melalui P dan Q dan menjinggung /.

16. Diketahui sebuah segitiga A B C ; tentukanlah pada B C sebuah

titik X , pada AC sebuah titik Y , sehingga B X = X Y = YA.

17. Gambarlah sebuah lingkaran L; ambillah didalamnja sebuah titik S

dan buatlah melalui S garis l dan garis m. Lukislah kedelapan buah

lingkaran jang menjinggung L, l dan m. Lihatlah diskussi tjontoh 30.

*

114

B A B VI.

HAL SEBANGUN.

§ 35.

Bangun Gx disebut sebangun dengan bangun G, djika dengan per-

banjakan G menghasilkan sebuah bangun Gn, jang congruert (sama dan

sebangun) dengar Gx; lihatlah gb. 111; djadi G dan Gx disebut sebangun,

djika Gh 3 ^ Gx ; Gis bajangan tjermin Gx dan 'sebaliknja ; menurut

difinisi congruensi maka G dan Gis congruent; djadi djuga Gis sebangun

dengan G. Dua bangun jang sebangun. djuga boleh kami sebut G dan

Gg. Tanda untuk sebangun ialah co, hurufbesar S jang rebah, huruf

pertama perkataan „similis” . Djadi tanda ^ untuk congruent berarti

„sama dan sebangun” . Definisi untuk sebangun dapat dinjatakan setjara

singkat sbb. : Gx w G, djika Gx ^ m. G.

Perbanjakan jang diikuti oleh perpindahan disebut transformasi

kesebangunan (jang dimaksud dengan perpindahan ialah pergeseran per

putaran dan lipatan atau symmetrie); faktor perbanjakan adalah faktor

kesebangunan. Dari dalil 90 dengan akibat-akibatnja dan dalil-dalil

tentang perpindahan d idapat:

D A L I L 91a.

D jika dua bangun G dan Gg sebangun, maka pada tiap-tiap garis,

sinar, segmentgaris dan lingkaran pada Gg terdapat ■djuga sebuah garis,

sinar dst. pada Gg. Titik-titik jang segaris (collineair) dalam G berse

suaian dengan titik-titik pada Gg jang djuga segaris dengan urutan jang

sama.

115

t

D jika dua bangun sebangun, maka semua pasangan segmentgaris jang

bersesuaian mempunjai perbandingan jang sama. D jadi antara segment-

garis-segmentgaris dalam bangun jang satu terdapat perbandingan jang

sama ‘ dengan perbandingan segmentgaris-segmentgaris jang bersesuaian

dalam bangun jang lain.

D A L I L 91c.

Dalam bangun-bangun jang sebangun, sudut-sudut jang bersesuaian

sama besarnja.D jika dua segitiga sebangun, sisi-sisi jang satu a, b dan c, dan bebe

rapa segmentgaris didalamnja za, tb dan dy, maka segmentgaris-segment

garis jang bersesuaian dalam segitiga jang lain ialah ka, kb, kc, kza, ktb dan

kdy, faktor k ini disebut faktor perbandingan seharga; tentu sadja faktor

ini boleh diwudjudkan dengan sebarang huruf jang lain dari pada k.

Kita lebih suka menggunakan apa jang telah dikatakan diatas ;

perbandingan seharga kita pergunakan sedikit mungkin.

§ 36.

Sekarang kita bitjarakan beberapa dalil tentang dua bangun jang

sebangun. Dalil-dalil ini dapat diperoleh dari dalil-dalil congruensi

setjara demikian :

Djika congruensi dua bangun dapat ditetapkan dari kesemaan segment

garis-segmentgaris dan sudut-sudut jang bersesuaian, maka dapat ditetapkan

bahwa kedua bangun itu sebangun, djika kesamaan segmentgaris-segment

garis jang bersesuaian diganti dengan perbandingan seharga antara mereka.

Djika hanja terdapat kesamaan satu pasang segmentgaris jang bersesuaian

sadja, maka ketentuan ini dihapuskan (dengan tidak diganti oleh sesuatu)

untuk menetapkan kesebangunan.

Benarnja tjara diatas dapat dibuktikan sbb.

D jika dalam bangun jang satu (G) setiap segmentgaris termasksud

sama dengan k kali segmentgaris jang bersesuaian dalam bangun jang

lain (Gj), maka Glf djika diperbanjak dengan k, akan menghasilkan

bangun Gh ; dalam bangun Gh, segmentgaris-segmentgaris jang ber

sesuaian dengan jang termaksud dalam bangun G sama p a n d j a n g n j a

dengan segmertgaris-segmentgaris termaksud itu. Selandjutnja antara

G dan Gh terdapat pula kesamaan-kesamaan antara sudut-sudut ter-

D A L I L 91 b.

116

maksud diatas, djadi G ^ G h, dan berhubung dengan definisi kese-

bangunan, terdapat pula G w Oj.

Sebaliknja nampak pula, bahwa ketentuan-ketentuan jang mene

tapkan kesebangunan dapat ditambah hirgga menetapkan congruensi;

ja ’ni dengan menambahkan kesamaan satu pasang segmentgaris

jang bersesuaian atau dengan mengganti perbandingan seharga antara

segmentgaris-segmentgaris jang bersesuaian dengan kesamaan antara

mereka.

Dengan menggunakan tjara diatas, peristiwa-peristiwa keseba

ngunan dua segitiga dapat diperoleh dari peristiwa-peristiwa cong

ruensi. Meskipun bukti untuk peristiwa-peristiwa kesebangunan telah

terkandung dalam tjara diatas, akan tetapi dari keempat dalil di-

bawah ini, kedua dalil jang pertama akan kita buktikan setjara lang

sung dengan menggunakan gambar.

Dari dalil 17 atau 18 didapat:

D A L I L 92

Dua segitiga S dan Sx sebangun, djika sudut-sudutnja sama.

D i k e t a h u i : a = a1(

P = Pi-

D i b u k t i k a n : A ABC c>

A A1BJC1; ja ’ni ada sebu

ah segitiga jang homothetis

dengan A ABC, dan con-

gruent dengan A A1B1C1.

B u k t i : Perbanjaklah S de

ngan faktor c1\c = k (pada A

gb. 112 k = i); bangunha-

silnja ialah Sh. Menurut Gb. 112: Hal pertama.

dalil 90 dan jang diketahui,

maka AhBh = k c = cv ah = a = ax dan ph = P = px. Sekarang A Sh

dan A Sx mempunjai sama satu sisi dengan kedua sudut pada sisi itu;

menurut dalil 17 A A Sx. Karena Sh S, maka djuga Sx oo S.

D A L I L 93.

Dua segitiga S dan S1 sebangun, djika dua sisi S sebanding dengan

dua sisi Sj dan sudutapit sisi-sisi itu sama.

117

D i k e t a h u i : A ABC ( = S) dengan a, b dan y

A A ^ iC i ( = Si) dengan ka, kb dan y.

D i b u k t i k a n : A ABC co a A1B1Ci .

B u k t i : Perbanjaklah Sa thd. sebuah titik 0 sebagai pusat dengan faktor

1 : k (dalam gb 113 k — 3/5); terdapat Sh dengan sisi a dan b dan sudut-

apit y Menurut dalil 19 Sh ^ S; karena Sh <*> Si, maka djuga S co Sx.

Dari dalil 20 dan 21, terdapat dengan djalan jang sama:v

D A L I L 94.

Dua segitiga sebangun, djika sisi-sisi segitiga jang satu merupakan per

bandingan seharga dengan sisi-sisi segitiga jang lairi.

D A L I L 95.

Djika pada dua segitiga dua pasang sisi jang bersesuaian sebanding dan

sudut-sudut didepan sepasang sisi jang pertama sama, tentu terdapat satu

dari kedua kemungkinan dibawah ini:

1°. kedua segitiga sebangun, djadi sudut-sudut didepan sepasang sisi

jang lain sama;

2°. kedua segitiga tidak sebangun; sudut-sudut didepan sepasang

sisi jang lain berdjumlah 180°; jang satu lantjip dan jang lain

tumpul.

Djika telah diketahui, bahwa sudut-sudut didepan sepasang sisi

jang kedua sedjenis; atau bahwa sisi-sisi jang pertama adalah sisi jang

terbesar dalam segitiganja masing-masing, maka dapat ditetapkan bahwa

kedua segitiga itu sebangun.

Dari dalil 54 didapat:

118

D A L I L 96

Dua segi-n sebangun

a) djika n— 1 sisi segi-n jang pertama sebanding dengan sisi-sisi jang ber

sesuaian dalam segi-n jang kedua dan ke n-2 buah sudut jang terapit

oleh sisi-sisi tadi dalam segi-n jang pertama, sama dengan sudut-sudut

jang bersesuaian dalam segi-n jang kedua.

b) djika sudut-sudut segi-n jang pertama sama dengan sudut-sudut segi-n

jang kedua dan (n— 2) buah sisi jang berturut-turut dalam segi-n jang

pertama sebanding dengan sisi-sisi jang bersesuaian dalam segi-n jang

kedua.

F a t s a l i n i k i t a a c h i r i d e n g a n s e b u a h d a l i l j a n g p e n t i n g t e n t a n g l u a s -

n j a s e g m e n t - b i d a n g j a n g s e b a n g u n .

D A L I L 97.

Luasnja dua segmentbidang jang sebangun berbanding sebagai kwadrat

dua segmentgaris jang bersesuaian.

D a l i l i n i k i t a b u k t i k a n t e r l e b i h d u l u u n t u k d u a s e g i t i g a j a n g s e

b a n g u n .

D i k e t a h u i : A A j B ^ co A A B C .

D i b u k t i k a n : Is A A ^ C ^ : Is A A B C = cx2 : c 2

B u k t i : M e n u r u t d a l i l 916 d a n 91c

/ _ A x = ¿ _ A , = kb d a n — kc;

m e n u r u t d a l i l 73, m a k a Is Sx : l§ S

= kb kc:bc = /c2= ( 6 i : b f = b * : 6 2.

D a r i Is S1 : Is S = k2 d i d a p a t Is Sx

= k2. Is S; d i s i n i k a d a l a h f a k t o r k e -

s e b a n g u n a n .

B u k t i j a n g l a i n a d a l a h s b b . A c F B A i c,=kc F i B t

D j i k a s e b u a h s e g i t i g a S d i p e r b a n j a k Gb. 114: Luas A B C : luas

d e n g a n f a k t o r k, m a k a b e s a r s i s i- A iBic i = c2 •' ci 2-

s i s i n j a d a n g a r i s t i n g g i n j a , m e n d j a d i A :- k a l i b e s a r n j a s e m u l a . L u a s S s a m a

d e n g a n %a. ta ; l u a s b a n g u n h a s i l Sx s a m a d e n g a n \ ka. k ta — k 2. \ ata ;

a t a u Is = k2. Is S.

D j i k a s u a t u s e g m e n t b i d a n g G d a p a t d i b a g i a t a s s e g i t i g a - s e g i t i g a Sv

S 2 , .............. .. m a k a Is G = Is + Is S2 + .............

119

a d ip e rb an jak d e n g a n k. m a k a s e g i t j g a - s e g i t i g a ini m e n g h a s i l

k a n s e g i t i g a - s e g i t i g a l a g i , j a n g ' u a s n j a k* ls S, k2 ls S 2 /<2 ls S 3......................... ;

ternjata bahwa dalil 97 benar.Dalil ini dapat diberi bentuk rumus sbb.: Djika Gh S t x G maka

ls Gh = k2. Is G.

§ 37.

Sekarang kita m u a t beberapa tjontoh tentang mempergunakan

kesebangunan.

D A L I L 98.

Garistinggi-garistinggi sebuah segitiga sebanding terbalik dengan sisi-

sisi jang tegaklurus pada mereka.

c

D i k e t a h u i : fa _L a; / b l b

D i b u k t i k a n : fa : /u = b ■ a

B u k t i : D j i k a Z c l a n t j i p ( s e p e r t i p a d a

g b . 115) a t a u t u m p u l , m a k a A BEC co a

ADC ( d a l i l 92); i n i m e n g h a s i l k a n a p a j a n g G 6 . I I5 : , fl .. = b a.

h a r u s d i b u k t i k a n ( d a l i l 91).

Djika /_ C siku-siku, maka benarnja

jang harus dibuktikan terlihat demikian

sadja.

P e r h a t i a n . Dalil 98 djuga dapat diperoleh dari dalil 71.

Djika dari sebuah titik P dibuat garis-garis jang tegaklurus pada

garissisi-garissisi sebuah segitiga ABC, maka segitiga jang bertitik-

sudutkan titikkaki garis-garis tegaklurus tadi, disebut segitiga titikkaki

P thd. A ABC. Misalnja: segitiga titikkaki pusat lingkaran luar thd.

A ABC ialah segitiga jang bertitiksudutkan titikpertengahan ketiga

sisi. j

Jang terpenting ialah segitiga titikkaki dari titiktinggi H thd. A

ABC, d jadi jang bertitiksudutkan titikkaki ketiga garistinggi dan jang

biasanja disebut segitiga titikkaki A ABC (lihatlah gb. 116a dan b). Pada

sebuah segitiga siku-siku, titikkaki dua garistinggi berimpit; djadi se

buah segitiga siku-siku tidak punja segitiga titikkaki dan karena itu se-

landjutnja tidak dibitjarakan.

120

D A L I L 99.

Sebuah segitiga sebangun dengan segitiga jang titiksudutnja: sebuah

titiksudut segitiga jang pertama dan titikkaki garistinggi dari kedua titik-

sudut jang lain. Dalam kesebangunan ini, udjung-udjung satu garistinggi

mendjadi sepasang titik jang bersesuaian.

B uk ti: Djika sudut y A ABC misalnja Iantjip (lihatlah gb. 116g) atau

tumpul (lihatlah gb. 1166), maka titikkaki D dan E garistinggi dari A

dan B, tentu kedua-duanja terletak pada kaki-kaki y atau kedua-dua-

nja pada perpandjangan kaki-kaki y. Sekarang A ACD (A C '= b) co A

BCE (BC = a) (dalil 92). djadi CD dan CE boleh disebut kb dan ka. Me

nurut dalil 93 A ABC co A DEC; sudut y berimpit (gb. 116a) atau ber

tolak belakang (gb. 1166).

Gb. 116: Segitiga titikkaki H pada segitiga Iantjip ABC.Segitiga titikkaki H pada segitiga tumpul ABC.

Setjara demikian dapat dibuktikan djuga, bahwa djika F titikkaki

garistinggi dari C, maka A ABC <*> A AEF co A DBF; AE = Ic, AF

= /6, BF = ma dan B D = mc.

Dari kesamaan-kesamaan ini terdapat pula, bahwa AF. BD. CE. =

FB. DC. EA, ja ’ni masing-masing k l m a b c .

Karena / _ C D E = /_ CAB, maka DE dan AB antiparallel thd y. Djadi:

Akibat ke-l. Titikkaki dua garistinggi suatu segitiga t e r le ta k pada

sebuah garis jang antiparallel thd. kedua garissisi jang tegaklurus pada

kedua garistinggi ini, dengan sisi jang ketiga.

Dengan mempergunakan ini, dapat diperoleh dengan mudah (lihat

lah gb. 116o dan 6)

Akibat ke-2. Pada sebuah segitiga Iantjip, garistinggi-garistinggi men

djadi garisbagidalam segitiga titikkaki; sisi-sisinja mendjadi garisbagiluar

segitiga titikkaki-, titiktingginja mendjadi pusat lingkaran dalam segitiga

titikkaki-, titiksudut-titiksudutnja mendjadi pusat lingkaran singgung segi

tiga titikkaki.

121

Untuk segitiga tumpul, akibat ini berlaku djuga, asal sadja:

titiktinggi diganti dengan titiksudut sudut tumpul; dan garissisi-garis-

sisi jang melalui titiksudut ini diganti dengan kedua garistinggi jang

tegaklurus pada mereka.Akibat ke-3. D jika B E dan C F dua

garistinggi dalam A ABC, maka sisi E F

dari segitiga titikkaki tegaklurus pada

djari-djari A M lingkaran luar.

Telah didapat, bahwa /_ F E A = P ;

djadi /_ E = 9 0 ° — ¡3; djuga /_ M —

¡3 dan \ — 90° — P- Dari kedua

sudut jang sama itu, ja ’ni Z Ex dan

/_ Av kaki EB J_ kaki EA; djadi djuga

EF _L AM.

D A L I L 100.

Djika pada dua bangun jang sebangun terdapat, bahwa dua segment-

garis jang bersesuaian sedjadjar, maka kedua bangun tadi homothetis, djika

unsur-unsur dalam bangun jang pertama semua mempunjai arah jang sama

atau semua mempunjai arah jang berlawanan dengan unsur-unsur jang

bersesuaian dalam bangun jang lain.

D i k e t a h u i : a ABC oo a A ^ A ; AB ¡j AjB*

D i b u k t i k a n : Kedua bangun mempunjai pusat homotheti.

B u k t i : Lihatlah gb. 118a. Ketentuan pertama menjatakan, bahwa

AB : A jB j — BC : B ^ dan p = p^ selandjutnja AB // A ^ , djadi

djuga BC /I B1C1 (sebab p = p j. Karena adanja perbandingan seharga

diatas, maka AB, A ^ , BC dan B ^ berturut-turut boleh disebut a, ka,

b dan kb.

122

Djika BP = p, maka B ^ = kp (dalil 82); seandainja CCX memotong

garis BB, di Q, maka menurut dalil 82 lagi, djika BQ = q, tentu BXQ =

kq. Segmentgaris-segmentgaris BP dan BQ bersekutu BBj; BB! = p —

kp = (1 — k)p; djuga BBX = q — kq — (1 — k)q; djadi (1 — k)p -

(1 — k)q; karena k 1, maka p = q; P dan Q berimpit dan terletak pada

BBj.

Dalam gb. 1186 sisi-sisi jang sedjadjar berlawanan arahnja, djadi k

negatif; BBX = (1 + | k |) p, djuga (1 -f | k |) q; djadi p = q\ ini berarti

A A 1 dan CCt memotong BB, pada satu titik.

Akibat ke 1. Djika dari dua segitiga, setiap pasang sisi jang bersesu

aian sedjadjar, tentu kedua segitiga itu homothetis.

Pertama-tama, sisi-sisi jang bersesuaian arahnja semua sama atau

semua berlawanan. D jika tidak, tentu akan terdapat dua pasang sudut

bersesuaian jang berdjumlah 180°; ini ta’ mungkin, sebab djumlah ke

enam sudut kedua segitiga adalah 360°. Djadi sudut-sudut jang ber

sesuaian sama, sehingga boleh dipergunakan dalil 100.

Akibat ke-2. Djika dua garis jang potong memotong dan tidak tegak-

lurus sesamanja. dalam suatu bangun, sedjadjar (atau berimpit) dengan

garis-garis jang bersesuaian dalam bangun lain jang sebangun dengan

bangun pertama, maka kedua bangun in i homothetis.

Garis-garis jang termaksud ini tidak perlu mendjadi sebagian dari

bangun-bangun itu; boleh djuga mereica garis penghubung titik-titik

jang bersesuaian. Dari jang diketahui ternjata, bahwa sudut-sudut jang

bersesuaian sama, sehingga boleh dipergunakan dalil 100.

§ 38.

Jang telah diuraikan diatas, dapat dipergunakan sekarang djuga;

d jika Ah, Bh, Ch titikpertengahan sisi-sisi A ABC, maka menurut dalil

44 AhBh = i c, BhCii = i a dan CuAn = i b. Menurut akibat ke-1 dalil

100, maka A ABC dan A AhB^Ch homothetis dengan — i sebagai fak

tor. D jadi segmentgaris-segmentgaris AAh. BBh dan CCh melalui satu

titik Z, sehingga A^Z = \ AZ, artinja AZ = 2 ZA&. Ternjata bahwa Z

adalah titik kesebangunan dalam dari kedua segitiga jang sebangun.

Djadi garis penghubung semua pasang titik jang bersesuaian dalam ke

dua segitiga ini melalui Z djuga.D jika dibuat AD J_ BC dan A^Dh J_ BhCh, maka mereka adalah

dua garis tinggi jang bersesuaian; djika titiktinggi kedua segitiga disebut

T dan Th, tentu TTh melalui Z, sehingga TZ = 2 ZT&. Akan tetapi

A hD h ialah sumbu BC, dan BuTu sumbu AC; djadi Th berimpit dengan

pusat P dari lingkaran luar A ABC. Selandjutnja N adalah pusat ling

karan luar A AhBhCh (djadi N ialah pusat lingkaran titik sembilan); P

123

dan N adalah dua titik jang bersesuaian, sehingga djuga PN melalui

Z dan PZ = 2 ZN. Djadi P dan N terletak dengan T dan Z pada satu

Gb. 119: Garis Euler.

garis dan PN = NT; lihatlah pada gb. 119 atas kanan segmentgaris

T N Z P.

Jang diuraikan diatas dapat diringkas mendjadi:

Titiktinggi T, pusat N lingkarantitiksembilan, titikberat Z dan pusat

P lingkaranluar sebuah segitiga terletak dengan urutan ini pada satu garis,

sehingga TZ = 2 Z P dan TN = N P .

Garis ini disebut garis Euler segitiga tadi. Pada gb. 119 nampak

djuga, bahwa A T = 2 P Ah, sedangkan homothesi diatas masih mengaki

batkan, bahwa djari-djari lingkarantitiksembilan sama dengan setengah

djari-djari lingkaran luar.

D jika selandjutnja G titikpertengahan AT, maka Ah G # PA, se

dangkan N titikpertengahan Ah G.

Dari dalil 101 masih kami muat sebuah pemakaian lagi. Ialblc ialah

pusat-pusat lingkaransinggung A ABC; sekarang A, B dan C adalah

titikkaki dari garistinggi-garistinggi A Ialblc, sehingga A ABC men

djadi segitiga titikkaki A Iah>Ic- Pusat I lingkarandalam A ABC ialah

titiktinggi A IahJc dan lingkaranluar A ABC ialah lingkaran titik

sembilan A Ialblc. Djadi lingkaran ini melalui titikpertengahan K, L

dan Q dari sisi-sisi A Ialblc, dan djuga melalui titikpertengahan N,

O dan U dari IIa, Ilb dan IIC.

A

D A L I L 101

124

Karena / K A N = 90°, maka titikpertengahan P dari K N adalah

pusat lingkaran luar A A K N, jang berimpit dengan lingkaran luar A

ABC. Selandjutnja KN

J_ BC (lihatlah gb. 119 ;

disini AhG // PA ; lihat

djuga dalil 99, akibat

ke-3). D jika ra, rb dan rc

djari-djari ketiga lingkar-

ansinggung, r djari-djari

lingkarandalam, dan R

djari-djari lingkaranluar

A ABC, maka 2 KF = rb

+ rc dan 2 FN = ra — r.

Karena 2(KF + FN) =

4 R, maka terdapat:

4 R + r = ra + rb + rc.

Relasi ini (djuga dapat

dibuktikan dengan mu

dah dengan mengguna

kan rumus-rumus untuk 'a

R, r, ra, rb dan rc (lihatlah Gb. 120: Beberapa hubungan.

§ 22 nr 20).

D jika (seperti dalam gb. 120) A ABC lantjip maka terdapat:

PF = R — FN = R — H ra — r) = R + — i r & '>

demikian djuga garis-garis dari P tegaklurus pada CA dan AB, ber

turut-turut sama dengan :

R + i r — i r b dan R + $r — i r c.

Djum lah ketiga garis tegaklurus sama dengan :

3R + | r — i ( r a + rb + rc) == 3R + f r — ¿(4R + r) = R + r ,

dengan lain perkataan :

djumlah djarak pusat lingkaranluar segitiga lantjip ke ketiga sisi sama

dengan djumlah djari-djari lingkaranluar dan lingkarandalam.

§ 39. *

D jika suatu bangun G harus dilukis dari beberapa ketentuan, maka

kadang-kadang mungkin dan baik, melukis terlebih dulu bangun Gg jang

sebangun dengan G, ja ’ni dengan menggantikan dua segmentgaris jang

ditentukan dengan dua segmentgaris jang sebanding, atau djika hanja

ditentukan satu segmentgaris sadja dengan menghilangkan ketentuan

i n i ; dengan demikian banjaknja ketentuan berkurang dengan satu.

Bangun G jang ditanjakan, kemudian didapat dari Gg dengan djalan

125

memperbanjak Gg dengan suatu faktor, sehingga segmentgaris jang ber

sesuaian dengan segmentgaris jang dihilangkan, atau kedua segmentgaris

jang telah diganti dengan perbandingan mereka, mendapat pandjangnja

jang ditentukan. Ini akan kami djelaskan dengan beberapa tjontoh.

T J 0 N T 0 H 31.

Dari A ABC diketahui a, Zb dan b : c = p : q ; p dan q segmentgaris.

Lukislah segitiga itu.

P e r s i a p a n . Dengan ketentuan jang kesa

tu dan ketiga dapat dilukis A A 'B 'C ', jang

sebangun dengan segitiga jang harus dilu

kis (dalil 93); segitiga ini kita perbanjak,

sehingga garisberat dari B mendapat pan

djangnja jang ditentukan.

, , . , . , , , . Gb. ¡21: Tentang A A BC dike-M e n g e r d j a k a n n j a . Lukislah sebuah. tahui a., z b dan b : c.

sudut a ' = a ; letakkanlah pada kaki-

kakinja segmentgaris A 'C ' = p dan A 'B = q. Lukislah titikpertengahan

D ' dari A 'C ' dan letakkanlah pada sinar BD' segmentgaris BD = Zb.

Buatlah melalui D sebuah garis AC sedjadjar dengan A'C'; tentu A ABC

memenuhi sjarat.

B u k t i . Dari lukisan ternjata bahwa A ABC memenuhi sjarat.

D i s k u s s i . Selalu terdapat satu segitiga.

T J O N T O H 32.

Lukislah sebuah budjursangkar, djika diketahui djumlah setengah

diagonal dan sebuah sisi.

P e r s i a p a n . Kita gambar sebuah budjursangkar ABCD dan tetapkan

djumlah CF dari setengah diagonal dan sebuah sisi, gambar ini kita

perbanjak, sehingga C 'F ' mendjadi sama dengan segmentgaris jang diketahui.

M e n g e r d j a k a n n j a . Dengan sebarang segmentgaris AB sebagai sisi

kita lukis budjursangkar ABCD. Buatlah kedua diagonalnja, jang

potong memotong di E : letakkanlah pada perpandjangan CD segment

garis DF = DE. Lukislah sebuah garis sedjadjar dengan CF dan

letakkanlah padanja segmentgaris C 'F' jang diketahui ; tentukanlah

titikpotong O dari C'C dan F'F. Selesaikanlah budjursangkar A 'B 'C 'D ',

126

jang mendjadi bangunhasil ABCD. djika ABCD diperbanjak dengan

pusat O dan faktor OC' : OC = OF' : OF.

B u k t i : segiempat A 'B 'C 'D ' adalah sebuah budjursangkar, sebab ABCD

sebuah budjursangkar. Selandjutrja \ A 'C ' -f C 'D ' — ^ - ( i AC + CD)CF

= C 'F '.

D i s k u s s i : Selalu terdapat satu budjursangkar jang memenuhi sjarat.

satu sisi dan setengah diagonal.

Disini dimuat lagi beberapa tjontoh, untuk memperlihatkan betapa

besar faedahnja faktor perbandingan seharga.

\ T J O N T O H 33.

Diketahui segitiga ABC ; dipihak jang sama thd. AB, dibuat segitiga

B D A dan segitiga E A B jang sebangun dengan A ABC ; dalam ketiga

segitiga, urutan sudut-sudutnja sama. AB — c, BC = a dan C A = b.

Hitunglah A D , B D, B F dan AE. Buktikanlah selandjutnja, bahwa

A A C D co a B E D ; isilah A A D E w A --- dan A A EC co A- • • •

P e n j e l e s a i a n . Kita tidak menulis perbandingan seharga, melainkan

kita pergunakan faktor perbandingan seharga. Sisi-sisi A DAB boleh

disebut ka, kb dan kc ; sisi-sisi A A B E disebut la, Ib dan Ic. Dari c =

kb = la te rdapat: k = — dan l = — , djadi AD , BD = — , BE =b a b b

bc c2— dan AE = — hasil-hasil ini dituliskan dalam gambar. a a '

127

A ACD dan A BED mempunjai sama \ A = Z B = y — a ; sisi-sisi

ocjang mengapit Z A dalam segitiga jang pertama ialah b dan— ; sisi-sisi

bc c2jang mengapit /_ B dalam segitiga jang kedua ialah— dan — ; sisi-

c2 ac bcsisi ini merupakan perbandingan seharga ; sebab b. — = — • —

djadi kedua segitiga sebangun menurut dalil 93.

Dalam A ADE : /_ A = y — p dan sisi-sisi jang mengapit sudut

ac citu pand jangnja— dan — . Dalam A BCE : /_ B = y — p dan sisi-

b a

bcsisi jang mengapit sudut itu besarnja a dan— ; djadi kedua segitiga

a

sebangun, menurut dalil 93 djuga.

Dalam A AEC : /_ A = p — a, sama dengan B dalam A BDC ;

c2sisi-sisi jang mengapit A ialah b dan — .dan jang mengapit Z B

c2 aialah a dan — , djuga sisi-sisi ini merupakan perbandingan seharga ;

menurut dalil 93 kedua segitiga sebangun.

T J 0 N T 0 H 34.

ABC adalah sebuah segiempat; sisi-sisinja ialah a, b, c dan d ; E

pada A B membagi A B atas dua bagian jang berbanding sebagai d dan b ;

demikian djuga kedudukan F pada DC\ buktikanlah, bahwa E F membuat

sudut jang sama dengan A D dan BC.

D i k e t a h u i : B C = b, A D = d.

AE : EB = DF : FC = d : b.

D i b u k t i k a n : EF membaut sudut jang

sama dengan AD dan BC.

B u k t i . AE = kd, EB — kb ; gambarlah

djadjarangendjang A EH D dan EBCG ;

DH = kd dan CG = kb.

Sekarang (lihatlah jang diketahui)

D F = Id dan FC = Ib ; A D H F «>

A CGF ; /_ D disini sama dengan /_ C

(dalil 7 ); djadi kedua segitiga sebangun

128

(dalil 93); karena itu /_ Fx = F2 (djadi G, F dan H 'terletak pada

satu garis) dan HF = md, FG = mb. Lihatlah sekarang A EG H ;

bagian-bagian HG berbanding sebagai H E dan GE ; djadi EF membagi

dua sama /_ E (dalil 85), maka EF membuat sudut jang sama dengan

AD dan BC.

T J 0 N T 0 H 35.

Alas sebuah trapezium disebut A B ; garisatasnja disebut CD ; E ialah

titikpotong per p atidjangan kedua kaki, F titikpotong kedua diagonal. E F

memotong CD di G dan A B di H. Buktikanlah bahwa FG x E H = EG x

FH . ■

B u k t i . EH = p, FH = q. A EDC = k' A EAB ; djadi EG = kp dan

DC = ka. A FCD = k A FAB ; sebab CD = ka dan AB = a ; FG = kq.

Sekarang jang harus dibuktikan ialah kq p = kp q, djadi selesailah bukti

ini.

Tentu sadja dapat dipergunakan djuga perbandingan seharga

antara segmentgaris-segmentgaris jang ditulis dengan dua huruf besar;

tjara ini memakan banjak pekerdjaan dan tidak semudah dan sedjelas

tjara diatas.

■ ¡ I . "

T J O N T O H 36.

Diketahui sebuah segitiga ABC ; X ialah sebuah titik pada AC ;

buatlah X Y j j A B danX Z // C B ; dimana harus diletakkan sebuah titik X ,

supaja luas djadjarangendjang X Y B Z mendjadi sebesar-besarnja?

129

PIanimetri-9

D i k e t a h u i : X Z // CB; X Y // AB. a

D i t a n j a k a n : letak X , sehingga

Is X Y B Z mendjadi sebesar-besar-

nja.

P e n j e l e s a i a n . X Z = ka ; AZ =

kc ; ZB = c — kc — (1 — k)c.

/_ Z tetap besarnja ; djadi hasil-

perbanjakan sisi-sisi jang menga

pit /_-Z harus sebesar-besarnja;

djadi harus ditjari harga máximum /c(l — k), ac, atau harga máxi

mum k( 1 — k).

Hasilperbanjakan ini mentjapai maximumnja djika k — \ ; sebab

djumlah faktor /c(l — k) adalah tetap ; djadi harga máximum tertjapai

djika k = 1 — k, atau k =

§ 40. S O A L - S O A L . x

1. Buktikanlah, bahwa dua segitiga sebangun, djika mempunjai sama

sebuah sudut dan perbandingan .bagian-bagian sisi didepannja

jang terdjadi karena terpotong oleh garisbagi sudut itu.

2. Buktikanlah, bahwa dua segitiga samakaki sebangun :

a. djika alas-alasnja sebanding dengan garistinggi-garistinggi pada

alas.

b. djika alas-alasnja sebanding dengan garistinggi-garistinggi pada

sepasang kaki.

3. Buktikanlah, bahwa dua belahketu-pat sebangun, djika diagonal-

diagonal belahketupat jang satu sebanding dengan diagonal-dia-

gonal belahketupat jang lain.

4. Buktikanlah, bahwa dua segi-n jang beraturan tentu sebangun.

5. Dua segiempat convex sebangun, djika sisi-sisi segiempat jang satu

sebanding dengan sisi-sisi segiempat jang lain, dan ketjuali itu

kedua segiempat mempunjai sama satu sudut. Buktikanlah.

6. Selidikilafh sebangun atau tidaknja dua trapezium, djika :

a. sisi-sisi trapezium jang satu sebanding dengan sisi-sisi trapezium

jang lain.

130

b. kedua sudutalas sama dan alasnja sebanding dengan sepasang

sisi-tegak jang bersesuaian.

c. kedua sudutalas sama dan sisitegak-sisitegak trapezium jang

satu sebanding dengan sisitegak-sisitegak trapezium jang lain.

7. Buktikanlah, bahwa dua segi-n jang convex sebangun, djika sisi-sisi

segi-/? jang satu sebanding dengan sisi-sisi segi-/? jang lain dan n — 3

sudut segi-/? jang satu sama dengan /? — 3 sudut jang bersesuaian

dalam segi-/? jang lain.

8. Buktikanlah:

a. semua lingkaran sebangun;

b. busur jang sama besarnja tentu sebangun.

9. AB ialah alas segitiga samakaki ACB. Pada sinar AB diletakkan

segmentgaris AD = AC dan pada BA segmentgaris BE = BC; buk

tikanlah, bahwa CE adalah pembanding tengah antara EB dan ED.

10. Dari titiksudut A sebuah djadjarangendjang ABCD dibuat sebuah

garis jang memotong garis-garis BC, BD dan CD berturut-turut

dititik E, F dan G Buktikanlah, bahwa AF mendjadi pembanding

tengah antara FE dan FG.

11. Dalam A ABC d<x memotong sisi BC di D; lingkaran (D, DB) me

motong AC di E dan F. Salah satu dari kedua segitiga DEC dan

DFC tentu sebangun dengan A ABC; buktikanlah ini, dan dengan

demikian dalil 84 a.

12. Buktikanlah, bahwa pada gb. 120 A IBD co A B ICE, dan susun

lah, dengan mempergunakan itu dan dalil 79, sebuah bukti jang

mudah untuk 76.

13. Buktikanlah dalil 72 dengan memandang trapezium sebagai selisih

dua segitiga.

14. Dalam trapezium ABCD (AB // DC) dibuat garis PQ // AB (P pada

AD, Q pada BC) sehingga trapezium tadi terbagi atas dua bagian

jang sama Iuasnja. Djika AB = a dan DC = b, njatakanlah pan-

djangnja PQ dengan a dan b.

15. Pada sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku dibuat tiga buah segibanjak

jang sebangun (sisi-sisi segitiga tadi mendjadi 3 sisi jang bersesuaian

131

dalam ketiga segibanjak) ; buktikanlah bahwa luas segibanjak

pada sisimiring sama dengan djumlah luas kedua segibanjak jang

lain.

16. Dari A ABC BC = a dan luasnja L. Dalam segitiga itu dilukis

budjursangkar Pi Qx Rx S2; ja 'ni P! dan Qx pada BC, pada AC dan

• Sj pada AB.

Demikian djuga dilukis budjursangkar P2Q2R2S2 dalam A A R1S1

(P2 dan Q2 pada R ^ .R a pada AC dan S2 pada AB), dalam A A R 2S2

budjursangkar P3Q3R3S3 dst. Njatakanlah djumlah luas semua bu

djursangkar ini dengan a dan L.

‘ t'

17. Lukislah sebuah segitiga, djika diketahui: x

a. dua sisi dan djumlah atau selisih kedua garistinggi pada sisi-sisi

itu.

b. dua garistinggi dan djumlah atau selisih kedua sisi jang tegak-

lurus pada garistinggi-garistinggi tadi.

18. Lukislah sebuah djadjarangendjang, djika diketahui kedua djarak

antara sisi-sisi jang sedjadjar dan kelilingnja.

19. Lukislah sebuah segitiga djika diketahui dua sudut, dan djarak

antara pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran luar.

20. Diketahui sebuah sektor lingkaran, jang djari-djarinja PA dan PB.

Lukislah dalam sektor itu budjursangkar QRST, dengan T terletak

pada PA, Q pada PB dan R dan S pada busur AB.

21. a. Lukislah dalam segitiga siku-siku ABC (y = 90°) dua budjur

sangkar CDEF dan PQRS, sehingga titik-titik E, Q dan R ter

letak pada AB; D dan P pada BC; dan F dan S pada CA.

b. Buktikanlah, bahwa pusat M dan pusat N kedua budjursangkar

tadi berrelasi isogonal thd. A ABC.

22. Diketahui dua garis / dan m jang titikpotongnja S, terletak diluar

kertas gambar, dan sebuah titik T, jang tidak terletak pada / atau

pada m. Lukislah garis TS dengan beberapa djalan (dengan atau

tanpa perbanjakan).

23. Pada segiempat ABCD A 'B ' ialah projeksi sisi AB pada garissisi

CD, dan C 'D ' projeksi sisi CD pada garissisi AB. Buktikanlah bahwa

segiempat ABCD sebangun dengan segiempat A 'B 'C 'D '.

132

24. Diketahui sebuah segitiga ABC dan sebuah titik T. Pada sinar TA,

TB dan TC diletakkan titik-titik Av Bx dan Cx sehingga TAt =

k. TA, TBj = k. TB dan TCX = k. TC (k > 0). D jika titik-titik per

tengahan BC, CA dan AB disebut D ,E dan F, buktikanlah bahwa

garis-garis AXD, B1E dan CjF melalui satu titik.

25. D jika D, E dan F titiksinggung lingkaran dalam A ABC dengan

sisi-sisi BC, CA dan AB, dan Ia, Ib dan Ic pusat-pusat lingkaran

singgung, maka garis-garis laD, IbE dan ICF melalui satu titik.

Buktikanlah.

26. a. Sisi CA dan sisi CB sebuah segitiga ABC diperpandjang dengan

segmentgaris AD dan BE, jang masing-masing sama dengan

AB; kemudian ditetapkan titikpotong S dari AE dan BD. Se-

Iandjutnja I adalah pusat lingkaran dalam A ABC, F titikpotong

Al dan BC, dan G titikpotong BI dan CA. Buktikanlah bahwa A

IFG w A SDE.

b. Buktikanlah, bahwa garis-garis DF, EG dan SI melalui satu

titik T.

c. D jika DCEK sebuah djadjarangendjang, tentu djuga CK me

lalui titik T. Buktikanlah.

27. Buktikanlah, bahwa titikpertengahan garistinggi pada sisi-miring

sebuah segitiga siku-siku, mendjadi titik Lemoine segitiga tadi.

133

B A B VII.

Meskipun perkataan „segmentgaris AB” dan „segmentgaris BA”

sama sadja artinja, tetapi dalam ilmu ukur terkadang-kadang berfaedah

pula mengadakan perbedaan arti antara kedua perkataan tadi.

Selandjutnja akan kita pakai perkataan ,,segmentgaris berarah

A B , atau tanda AB, djika kita bermaksud mengadakan urutan untuk

kedua udjungnja. Segmentgaris berarah AB djuga disebut vector AB;

vector ini tertentu dengan pandjangnja AB dan arah dari A ke B; AB diutjapkan: vector AB.

Biasanja titik pertama (A) disebut pangkal-, titik kedua d is e b u t

u jung. er u diperhatikan bahwa panah bukannja berarti: dari kiri kekanan, melainkan: dari A ke B.

PaCla SU3tU garis terletak titik-titik A, B, C dan D dengan

amhnin a 1 ^ dlkatakan’ bahwa AB> AC, AD, BC, BD dan CD sama

arahnia d?1™ < 'Uga ^ tetapi jang terachir ini berlawanan

dulu tad' nf l keenam segmentgaris berarah jang tersebut terlebih

te rle f^ arang pada se§rnentgaris-segmentgaris berarah, jang

tiaD-tian 3 a s u a *u £ f r's t , dapat diberikan tanda plus atau min, artin ja

katakan t ep nen*£ar‘s berarah disebut positif atau negatif, maka di-

disebut aar- W-a Pada gar'S 1 telah (ditetapkan) arah positif; t

dari X ke1 311 ^ erara^' ^ a*am garnbar 127. arah positif ialah arah

nia J m f disebut bilangan pengenal AB ialah bilangan jang harga mutlak-

J ma denganjDilangan ukuran segmentgaris AB, dan tandanja sama

g— tandaÂB, lihatlah^gb. 127 dengan bilangan-bilangan pengenal

ini: AB = 5, BA = 5, BC = 3, BD = i0; CA = - 8; DA = - 15.

D A L I L M E N E L A O S D A N C E V A§ 41.

X -B D

A -f

Gb. 127: Segmentgaris berarah.

Djika pada suatu garis terdapat tiga titik A, B dan C, maka berlakulah relasi Chasles (Michles Chasles 1793 __ 1880):

AB + BC = AC,

dengan tidak tergantung kepada urutan titik-titik ini. D jika B terletak

134

antara Ä dan C (gb. 128 a), maka relasi tersebut sudah djelas, sebab AB,

BC dan AC sama tandanja dan AB + BC = AC. D jika A terletak an

tara B dan C (gb. 1286), maka terdapat BC = BA + AC; djika BA di

pindah keruas kiri dan diganti dengan AB, maka terdapat AB + B C =

AC. D jika C terletak antara A dan B (gb. 128c), maka AB = AC + CB,

sehingga terdapat lagi AB + BC = AC.

©

®©

G b . ¡ 2 8 : A B + B C — A C .

D jad i relasi ini berlaku untuk setiap urutan ketiga titik.

D jika relasi Chasles dipergunakan dua kali, maka terdapat:

AB + BC + CA = AA, djadi

A B BC -f- CA = 0

Relasi Möbius ini (A.F. Möbius 1780 — 1868) dapat diperluas sampai

lebih dari tiga segmentgaris berarah, misalnja:

A B C D

A B C

B A C

A C B

G b. ¡ 2 9 : R e la s i M ö b iu s

AB + BC + CD + DA = O, atau

(_j- 5) + ( + 3) + _H- 7) + { — 15)

DB + BA + AC + CD = 0

( — 10) + ( — 5) + ( + 8) + ( + 7) = 0A

O Tanda + jang tebal diutjapkan „d itam bah dengan” , jang didalam k u .

rung „m in” atau „plus” .

O A B

— ►

B A O

O'

■ <■ B

B Oh— 1---- 1 0 1— i---- 1— — *■

G b . ¡ 3 0 : A B — XB

X A'

D jika pada suatu garis Z (gb. 130) diambil sebuah titik O, maka se

sudah satuan pandjang dan arah positif dipilih, setiap titik P pada l

135

dapat ditundjuk dengan sebuah bilangan pengenal OP. Bilangan penge

nal ini disebut abscis titik P ; titik O disebut pangkal.

AB = AO + OB = OB — OA = xB — xA ;

xB dan xA ialah abscis B dan abscis A. Djadi djarak berarah dari A

ke B sama dengan selisih abscis B dan abscis A. Pada garis ke-2, ke-3,

ke-4 dan ke-5 dalam gb. 130 berturut-turut terdapat untuk AB : 8 — 2 =

6 ; — 5 — ( — 2) = — 3 ; 6 — (— 1) = 7 dan — 4 — 5 = — 9.

D jika AB sebuah segmentgaris dan P sebuah titik antara A dan B,

maka dikatakan bahwa P membagi segmentgaris dari dalam atas bagi

an-bagian PA dan PB ; djika P terletak pada salah satu perpandjangan

AB, maka AB terbagi dari luar oleh P, atas PA dan PB. Pada kedua

keadaan ini hasilbagi PA : PB disebut perbandingan pembagian AB,

jang terdjadi karena titik P. Hasilbagi PA : PB dari segmentgaris-seg-

mentgaris berarah PA dan PB disebut perbandingan bagian, artinja per

bandingan dari bagian-bagiannja, ini ditulis setjara singkat (ABP);

djadi jang disebut terlebih dulu ialah udjung-udjung segmentgaris jang

dibagi, kemudian titik pembagi P.

Perbandingan bagian (ABP) negatif, djika P terletak antara A dan

B; positif, djika P terletak pada salah satu perpandjangan AB. Sebaik-

nja pembatja membuat gerapik untuk harga-harga (ABP); ambillah

AB = 8 (satuan 5 mm); untuk beberapa titik P pada garis dihitung

harga (ABP) = PA : PB; gerapik ini mempunjai asymptoot vertikal

melalui B; djuga sebuah asymptoot Horizontal, ja'ni y = 1. Ini berarti,

bahwa perbandingan PA : PB mempunjai limit 1, djika PA, djadi djuga

PB, terus bertambah.

Dikatakan bahwa PA : PB — 1 menentukan pada garis AB sebuah titik

jang ta ' terbatas djauhnja; titik ini disebut titikdjauh garis AB; titik-

titik lainnja disebut titikdekat.

D A L I L 102.

Tiap-tiap perbandingan bagian (A B P ) ^ l menentukan tepat satu

titik pada pemuat segmentgaris AB.

D ik e t a h u i: (ABP) = k =£ L

D ib u k t ik a n : ada tepat satu titik P jang memenuhi kesamaan diatas.

B u k t i: (ABP) == k berarti: PA : P B = k. Menurut relasi Chasles PA +

136

AB = pb ; djadi k. PB + AB = PB atau (k — 1) PB = BA. Karena

— BAk =£ 1, maka kedua ruas boleh dibagi dengan k — 1; djadi PB __ j .

djadi letaknja P tertentu.

Sebagai telah dikatakan diatas, untuk k — 1 terdapat titikdjauh

garis AB.

§ 42.

Sebuah garis g, jang memotong sebuah bangun, disebut transversal.

Transversal sebuah segitiga memotong dua sisi dan salah satu perpan

djangan sisi ketiga atau ia memotong ketiga perpandjangan; lihatlah

gb. 131 o, b dan c; titik-titik P, Q dan R terletak pada garissisi-ganssisi

AB, BC dan CA.Transversal jang melalui titiksudut, disebut transversalsudut. iga

buah transversal sudut jang melalui satu titik, ketiga-tiganja memo ong

sisi jang berhadapan, atau satu diantaranja memotong sisi dan jang ke

dua lainnja memotong perpandjangan sisi; lihatlah gb. 132a, b dan c.

137

D A L I L 103a.

D jika sebuah transversal A ABC memotong garissisi A B, BC dan

C A berturut-turut di titik P, Q dan R, maka (A B P ) X (BCQ) x (C A R )

= 1. (Dalil Menelaos; kira-kira 100 A. D .1 )

B u k t i , Djika a, b dan c djarak-djarak jang berarah dari transversal dari 1

ke A, B dan C, maka dengan

menggunakan segitiga-segitiga

jang sebangun terdapat:

(ABP) = PA : PB = a : b

(BCQ) = QB : QC = b : c (CAR) = RC : RA — c : a

Tanda dari segmentgaris-seg-

mentgaris dan djarak-djarak

jang berarah telah diperhatikan, pada gb. 133 PA dan PB berlawanan

arahnja, djuga a dan b; demikian djuga halnja dengan RC dan RA

dan c dan a; QB dan QC, demikian djuga b dan c sama arahnja.

Dengan memperbanjak semua ruas ke-1 dan semua ruas ke-3, ter

dapatlah jang harus dibuktikan. Pembatja hendaklah menjelidiki bukti

ini untuk gb. 131 b dan gb. 131 c.

Lebih penting daripada dalil Mene

laos sendiri ialah kebalikannja, ja 'ni:

D A L I L 1036.

Djika pada garissisi-garissisi AB,

BC dan C A terletak titik-titik P,Q

dan R, dan terdapat (A B P ) x

(BCQ) x (CAR) = 1, tentu ketiga

titik ini terletak pada satu garis.

P Q Q

Gb. 134: Kebalikan dalil Menelaos.

x) Hasil perbanjakan ketiga perbandingan bagian dapat ditulis dengan mudah sbb.: terlebih dahulu ditulis dalam kurung ketiga garissisi dengan urutan cyclis; dem ikian ; (AB.) (BC.) (CA.); kemudian ditempat titik-titik ditulis huruf nama tit ik potong transversal dengan garissisi. Dapat djuga perbandingan bagian di-

. . . . -A .B .C . , , .tulis terus sebagai petjahan; demikian -g- x — X — 'al u dalam tiap-tjap pe-

tjahan d item pat tiap-tiap titik ditulis titikpotong dengan G. Ketjua li itu dapat dipergunakan anak panah untuk menjatakan, bahwa jang dimaksud adalah segmentgaris berarah. D isini tidak dipergunakan anak p a n a h ; dalam seluruh bab ini hanja d ib itjarakan segmentgaris berarah sadja. Dari urutan huruf-huruf telah nam pak bahwa dimaksudkan segmentgaris berarah. Pem batja hendaklah membiasakan diri pada notasi (ABP).

138

B u k t i : Djika Q ' titikpotong PR dengan garissisi BC, maka menurut

dalil 103a terdapat : (ABP). (BCQ'). (CAR) = L

Djadi : berhubung dengan jang diketahui, (BCQ') = (BCQ), sehingga,

menurut dalil 102, Q dan Q ' berimpit, artinja Q terletak pada PR.

Dalil tentang tiga transversalsudut jang concurrent ini, djuga sa

ngat penting.

Dalam A ABC dibuat tiga transversalsudut jang memotong AB\ BC

dan C A berturut-turut di P, Q dan R; djika ketiga transversalsudut tadi

concurrent (melalui satu titik), tentu (A B P ) x (BCQ) x (CAR) = — 1

(D a lil Ceva, 1648 — 1734).

B u k t i k e -1. Pada A ABQ dengan transversal CP dan pada A ACQ

dengan transversal BR dipergunakan dalil 103a; terdapat:

(ABP). (BQC). (QAO) - 1 (gb. 135a).

(CAR). (AQO). (QCB) = 1 (gb. 1356).

D jika kedua ruas kiri dan kedua ruas kanan diperbanjak, maka dalam

ruas kiri terdapat: (AQO). (QAO) = 1; selandjutnja (BQC). (QCB) = —

(BCQ), sehingga sebuah tanda min dipindah, terdapat apa jang harus

dibuktikan./

B u k t i k e -2. Buatlah melalui A garis

g ¡1 BC; B R memotong g di D, CP d p A q E /

memotong g di E. P, O dan R adalah V . > , A \ c

pusat homothesi, masing-masing da- 1

ri sepasang segitiga, jang dapat di-

tund juk dengan mudah oleh pem- b J

batja . D jika hanja kita perhatikan p r * i

harga-harga mutlak sadja, maka a2 Q ai

terdapatlah perbandingan-perban- Gb. 136: c e v a _

dingan seharga ini:

§ 4 3 .

D A L I L 104a.

G b . l3 5 : D a l i l Ceva.

139

cx : c2 .= q : a

fli : a2 = p : <7 .

bx : b2 = a : p

Djika diambil hasilperbanjakan suku-suku jang bersesuaian, maka

terdapatlah = a2b2c2. Djika O terletak didalam segitiga, maka

semua perbandingan bagian mendjadi negatif, djika O terletak diluar

segitiga, maka salah satu perbandingan negatif. Djadi terdapat (ABP)

x (BCQ) x (CAR) = — 1.

Djuga kebalikan dalil Ceva sangat penting, ja'ni:

D jika titik-titik P,Q,.R terletak pada garissisi-garissisi A B, BC dan

CA sehingga terdapat (ABP) X (BCQ) X (CAR) = — 1, tentu ketiga

transversalsudut AQ, B R dan CP melalui satu titik.

B u k t i: Tidak mungkin, bahwa salah satu perbandingan bagian sama

dengan 0, sebab Hasilperbanjakan mereka ialah — 1. Djadi tidak mung

kin salah satu titik P, Q atau R berimpit dengan salah satu titiksudut

A ABC; sehingga AQ, BR dan CP sungguh-sunguh transversalsudut.

Kita anggap ,bahwa tidak semua transversalsudut sedjadjar; mi-

salnja AQ dan BR bertemu di O.

Djika P ' titikpotong CO dengan AB, maka menurut dalil 104a:

(ABP'). (BCQ). (CAR) = — 1, djadi, berhubung dengan jang diketahui

terdapat (ABP') = (ABP); djadi menurut dalil 102 titik P' dan titik P

berimpit; artinja CP melalui O.

Kebalikan dalil Menelaos dipakai untuk membuktikan, bahwa tiga

titik jang terletak pada garissisi-garissisi sebuah segitiga, terletak pada

satu garis. Kebalikan dalil Ceva dipakai untuk membuktikan, bahwa

tiga buah transversalsudut concurrent. Dalil-dalilnja sendiri dapat

djuga dipakaj untuk menghitung perbandingan pembagian sebuah seg-

mentgaris oleh sebuah titik.

D A L I L 1046.

§ 44.

A A

RP

G b . 137 T ig a segm entgaris ja n g t id a k

bersekutu sebuah u d ju n g .

G b . ¡38: T ig a segm entgaris ja n g t id a k

bersekutu sebuah u d ju n g .

140

Djika dalam gb. 137 (138) diketahui (ABP) dan (BCQ), maka dengan

menggunakan dalil Menelaos (Ceva) dapat dihitung perbandingan ba

gian (CAR).

P e r h a t ia n . Baik dalam dalil 103« maupun dalam dalil 104a, ruas kiri

adalah (ABP) x (BCQ) x (CAR), harga mutlaknja ialah 1; untuk -f 1

terdapat tiga titik P, Q dan R jang collineair; untuk — 1 terdapat tiga

transversalsudut AQ, BR dan CP jang concurrent.

Sebelumnja sudah diketahui hal jang mana sedang diselidiki,

sehingga tidak perlu menentukan tanda ruas kiri dari tanda-tanda

faktor-faktornja. Penjelidikan tanda ini tentu tidak perlu, djika harus

dibuat soal: buktikanlah, bahwa tiga titik terletak pada satu garis;

atau : buktikanlah, bahwa tiga garis melalui satu titik.

Lihatlah sekarang gb. 137; djika harus dibuktikan, bahwa P,

Q dan R terletak pada satu garis, maka, dengan mengelilingi A ABC,

ditjari tiga buah segmentgaris jang tidak bersekutu sebuah udjung ;

disini AP, BQ dan CR (BQ dan CR bersekutuse buah titik, tetapi

bukan ud jung ); ketiga segmentgaris jang lain ialah PB, CB dan RA,;

hanja perlu dibuktikan, bahwa harga mutlaknja sama. Beberapa

tjontoh.

D A L I L 44, akibat.

Ketiga garisberat sebuah segitiga melalui satu t it ik ; mereka membagi

satu sama lain atas dua bagian jang berbanding sebagai 2 dan 1, djika

dimulai dari titiksudutnja.

Buktinja mudah sadja :

£c x i a x \b = ic x %a x \b ;

menurut dalil 1046, ketiga garisberat

melalui satu titik Z.

Pandanglah AZ sebagai transversal

A BEC, dan tu lis lah :

\a x b x EZ = \a x £6 x BZ ;

terdapat 2 ■ EZ = BZ.

D A L I L 37a.

Ketiga garisbagi sudut suat'u segitiga melalui satu titik.

B u k t i . Menurut dalil 84 doc membagi sisi atas dua bagian jang

berbanding sebagai c dan b ; djadi bagian-bagian ini boleh disebut kc

141

dan kb ; lihatlah djuga la dan Ic, mb dan

m a ; berapakah harga k, l dan m, ini

tidak perlu kita indahkan. Djika kita

mengelilingi segitiga, mulai dari A, maka

terdapat mb X kc x la, dan untuk ketiga

segmentgaris jang lain ma x kb X Ic.

Kedua hasil-perbanjakan ini sama ; djadi

ketiga garisbagi melalui satu titik.

D A L I L 35.

Ketiga garistinggi sebuah segitiga melalui satu titik.

B u k t i . Dalam dalil 99 telah dikatakan, bahwa AF : b = AE : c; djadi

AF dan AE dapat disebut kb dan kc;

selanSjutnja BF = la dan BD = Ic;

DC = mb dan CE = ma; kb x Ic x

ma — la x mb + kc; dua garistinggi

melalui satu titik, djadi garistinggi jang

ketiga melalui titik itu djuga. Pembatja

dapat melihat, bahwa disini dibuktikan

bahwa kedua harga mutlak sama ; ke

mudian, karena dua garistinggi potong

memotong, dapat ditarik kesimpulan Gb. 141: Garistinggi melalui satu titik-

bahwa dalil 1046 boleh dipergunakan.

Djika orang lebih suka menggunakan tanda-tanda, maka bukti-

nja untuk segitiga lantjip mendjadi sbb. : perbandingan pada AB, ialah

^6 ic ' ma---;— , pada B C ---- dan pada C A ------ ; djadi hasilperbanjak-

la mb kc

annja — l ; djadi boleh dipergunakan dalil 1046. Pada segitiga jang

tumpul terdapat satu perbandingan negatif.

D A L I L 89.

Djika melalui titiksudut-titiksudut A, B dan C sebuah segitiga d i

buat tiga transversalsudut jang concurrent, maka djuga garis-garis jang ber-

relasi isogonal dengan mereka terhadap sudut-sudut A, B, dan C concurrent.

B u k t i : Hanja dibuat kedua garis jang berrelasi isogonal melalui titik A

setelah relasi antara segmentgaris-segmentgaris pada BC = a dikete-

mukan, dapat diperoleh pula relasi antara segmentgaris-segmentgaris

pada sisi-sisi jang lain, ja ’ni dengan pergantian huruf.

A

A

142

Tentu sadja kami pergunakan dalil 73 dan akibat ketiga dalil 71.

Is A ABD : Is A ACDt == ax : p2 == c X AD : b X ADX ;

Is A ABDX: Is A ACD = pl : a2 = c x AD2 : b X AD.

AHasilperbanjakan suku-suku jang

bersesuaian dalam ruas ke-2 dan

ke-3 menghasilkan :

OiPi '■ azP* = c2 : b-] dengan djalan jang sama terdapat

djuga :

b t f i: b2q.2 = a2 : c2

ci ri ■ c2r2 b . a g;,. 142: Berrelasi isogonal.

Dengan memperbanjak didapat a J j ^ p ^ r j = a2b2c2p2q2r2 ; AD, BE dan

CF melalui satu titik, maka menurut dalil 104a a-J)^ = a2b2c2 ; djadi

PiQiri = P2?2r2 ! menurut dalil 1046 djuga AD1; BEj^ dan CFX melalui

satu titik.

D A L I L 105.

St2

a. Ketiga titik kesebangunan

luar S12, S23 dan S31 dari

tiga bangun jang homothe-

tis Gv G2 dan G3 terletak

pada satu garis-.

b. D jika dua bangun G1 dan

G2 jang homothetis masing-

masing bertitikpusat, tentu

mereka mempunjai t it ik '

kesebangunan luar dan

dalam, jang terletak pada

satu garis dengan kedua

pusat tadi.

c. Pada tiga bangun jang

homothetis, titik keseba

ngunan dalam dua pasang

bangun terletak pada satu

garis dengan titik keseba

ngunan luar pasang jang

Gb: ¡43: Titik2 S terletak pada satu garisturus. ketiga.

143

B u k t i , a. Lihatlah gb. 143; nampak 3 segmentgaris P ^ , P2Q2 da:i

P3Q3 jang homothetis.

Px, P2 dan P3, demikian djuga C , Q2 dan Q3 adalah titik-titik jang

bersesuaian dalam bangun-bangun Gv G2 dan G3; pandjangnja seg-

mentgaris-segmentgaris tersebut ialah av a2 dan a3.

dt do(Pi P2 S12) = ^ ; ( P ? P, S

do Uo) = ^ ; (P3 Px S31) = ~

fla ' ' * 3 as ' “ * aiKarena titik-titik S adalah pusat kesebangunan luar, maka tiap-tiap

perbandingan diatas positif ; untuk mengetahui ini tidak perlu melihat

gambarnja. Hasilperbanjakan ketiga perbandingan bagian ini ialah 1 ;

djadi ketiga titik S terletak pada satu garis (dalil 103b).

b. Djika G mempunjai titikpusat M, maka djika diperbanjak

dengan (M, — 1), bangunhasilnja adalah G sendiri. Dua titik pada G

jang bersesuaian, ialah titik-titik jang terletak diametral pada G. Sebagai

bangun homothetis dan G2 kami pakai dua segmentgaris jang se-

djadjar ; pusat mereka ialah Mx dan M2 .Pada bangun jang homothetis,

pusat homothesi dan dua titik jang bersesuaian terletak pada satu garis

(lihatlah definisi), djadi U12, Mx dan M2 terletak pada satu garis; demi

kian djuga I12, Mx dan M2 collineair. Djadi keempat titik tadi terletak

pada satu garis. Gambar 144 memperingatkan pembatja kepada suatu

dalil jang terkenal.

Q „k ---------------------------S ---------------------------y Q.

Q2

Gb. 144: U ,12, 12 Gb. 145: U12, /23 dan /31 collineair.

U(2

dan M 2 collineair.

c. Menurut b, maka rombongan-rombongan titik ini collineair : Mx

M2 U12, M2 I23 M3 dan M3 131 Mx. Djadi ketiga pusat homothesi terletak

pada garissisi-garissisi A M1M2M3. Kita pergunakan dalil 103 b; Mx Qx,

M2Q2 dan M3Q3 berbanding sebagai av a2 dan a3.

144

Sekarang: (Mj^MgUia) = — , (M2M3I23) = — dan (M3M1I31) = — .a2 “ “ ■ 1

Hasilperbanjakan ketiga perbandingan bagian ini ialah 1 ; djadi U12, I23

dan I31 terletak pada satu garis.

Djika bangun-bangun jang homothetis ini lingkaran, maka berlaku

lah seluruh dalil 105 tanpa perubahan ; ini dapat diinsafi dengan segera,

djika P2Q2 dan P3Q3 dianggap sebagai garistengah sedjadjar dalam

tiga lingkaran, jang berpusatkan Mlf M2 dan M3 ; lingkaran ini lebih

baik tidak turut digambar, sebab ini akan mempersulit gambar sadja.

Garis jang melalui pusat dua bangun disebut sentral. Garis jang

melalui tiga titik kesebangunan pada tiga bangun jang homothetis

disebut sumbu kesebangunan. Tiga bangun jang homothetis dan masing-

masing mempunjai pusat, misalnja tiga lingkaran Lv L2 dan L3, menu

rut dalil 105 a dan c mempunjai empat buah sumbu kesebangunan.

Karena titiksinggung dua lingkaran jang bersinggungan dari luar

(dalam) adalah 'titik kesebangunan dalam (luar) kedua lingkaran ini,

maka dalam dalil 105 c telah terkandung:

Akibat ke-1. Djika sebuah lingkaran menjinggung dua lingkaran la'in-

nja kedua-duanja dari luar atau kedua-duanja dari dalam, maka garis jang

menghubungkan kedua titiksinggung, melalui titik kesebangunan luar kedua

lingkaran tersebut terachir ini. (lihatlah gb. 146a, b).

145

Planimetri - 10

Akibat ke-2. Djika sebuah lingkaran menjinggung dua lingkaran jang

lain, jang satu dari dalam, dan jang satu lagi dari luar, tentu garis jang

menghubungkan kedua titiksinggung, melalui titik kesebangunan dalam

kedua lingkaran ini (lihatlah gb. 146c).

§ 45.

Bab ini kita achiri dengan beberapa tjontoh tentang pemakaian

dalil Menelaos dan Ceva. Pertama-tama kami bitjarakan sisi-empat

lengkap ; lihatlah gb. 147. Sisi-sisinja ialah zv z2, z3 dan z4 (pembatja

hendaklah menggambar empat garis, dan melandjutkan gambarnja sambil

mengikuti uraiannja). Titikpotong zx dan z2 disebut H12 dst.; titik-titik

H ini disebut titiksudut; banjaknja sama dengan banjaknja kombinasi

dua-dua dari bilangan 1, 2, 3 dan 4 ; djadi 6. Titiksudut jang bilangan-

bilangan penundjuknja berlainan, disebut berhadapan; djadi H12 dan HM;

Hj3 dan Hm; H14dan H23. Garis jang melalui dua titiksudut jang berhadap

an disebut d iagonal; ada 3 buah diagonal, ja ’ni dx, d2 dan d3 ; segitiga

jang bergarissisikan dv d2 dan d3 disebut sisitigadiagonal; titiksudut-titik-

sudutnja ialah D12, D23 dan D31.

Sekarang kami bitjarakan djuga segiempat lengkap (lihatlah gb. 148);

dimulai dengan 4 titik A1( A2, A3 dan A4 ; garis jang menghubungkan Ax

dan A2 ialah z12, d s t .; garis-garis ini disebut s is i; banjaknja sama dengan

banjaknja kombinasi dua-dua dari bilangan-bilangan 1, 2, 3 dan 4 ;

djadi 6 buah. Dua sisi jang bilangan-bilangan penundjuknja berlainan,

disebut sisi jang berhadapan: z12 dan 234, z13 dan zM, z14 dan z23.

Titikpotong dua sisi jang berhadapan disebut titikdiagonal; ada 3 buah;

146

lihatlah 'Dplf Dpa dan Dp3. Segitiga j ang bertitiksudutkan titik-titik

diagonal, disebut segihgadiagonal; garis-sisinja ialah Z12, /13 dan /23.

Gb. 148: Segiempat lengkap; 6 sisi, 3 titik diagonal.

Jang mendjadi pokok pada sisiempat lengkap ialah s is i; selandjutnja

terdapat pula : diagonal, jang membentuk sisitigadiagonal; djadi jang

dikemukakan dismi ialah garis. Jang didjadikan pokok pada segiempat

lengkap ialah titiksudut; seterusnja titik-titikdiagonal mendjadi iitik-

sudut segitigadiagonah Djadi disini jang terkemuka ialah titik.

T J O N T O H 37.

Buktikanlah, bahwa titikpertengahan diagonal-diagonal sebuah sisiempat lengkap terletak pada satu garis.

P e n j e l e s a j a n r Sisiempat ini terdiri dari ketiga garissisi A ABC beserta

transversal DEF . Sekarang P adalah titikpertengahan AD, Q titik—

A

pertengahan BF dan R titikpertengahan C E ; djadi P terletak pada

garis pemuat paralleltengah BmCm, Q pada CmAm dan R pada AmBm-

147

Djelas, bahwa sekarang ditjoba membuktikan, bahwa P, Q dan R ter

letak pada garissisi-garissisi A AmBmCm, sehingga dalil 103b dipenuhi,

djadi sehingga j AmR x BmP x CmQ | = | BmR x CmP X AmQ |.

Dan ini memang demikian, sebab segmentgaris-segmentgaris tersebut

disitu berturut-turut sama dengan setengah segmentgaris-segmentgaris

tersebut dalam | BE x CD x AF | dan | AE x BD x CF | ; kedua

hasilperbanjakan ini sama, sebab DEF adalah transversal A ABC.

Djadi P, Q dan R terletak pada satu garis.

§ 4 6 . S O A L - S O A L

1. Pada suatu garis terletak titik-titik A, B, C dan D. Buktikanlah

relasi-relasi ini:

a. (ABC) x (BAC) = 1

b. (ABC) + (ACB) = 1

c. (ABD) x (BCD) = (ACD).

2. Pada suatu garis terletak titik-titik A, B dan C; (ABC) = d.

a. dengan pertukaran huruf dapat diperoleh lima perbandingan

bagian sbb.: (BAC), (ACB), (CAB), (BCA) dan (CBA).

Pembatja diperingatkan, bahwa pertukaran kedua huruf jang

pertama suatu perbandingan bagian, mengubah perbandingan

ini mendjadi kebalikannja ; sebab (PQS) = SP : SQ dan (QPS)

= SQ : S P ;

b. Selidikilah, apakah dua diantara keenam perbandingan bagian

ini mungkin sama, dan hitunglah untuk keadaan itu harga

keenam perbandingan bagi.

3. Sebuah transversal memotong garissisi-garissisi AB, BC dan CA

suatu a ABC berturut-turut di D, E dan F. Garis jang meng

hubungkan B dengan titikpotong S antara AE dan CD, memotong

AC di G. Buktikanlah, bahwa (CAF) == — (CAG).

4. Dalam A ABC do. memotong sisi BC di D, sedangkan M adalah

titikpertengahan CA. D jika DM memotong garissisi AB di E, njata-

kanlah B E dengan sisi b dan sisi c (b c) A ABC.

5. Dalam A ABC diletakkan sebuah titik P pada perpandjangan BC,

sehingga CP = p, pada CA titik Q sehingga CQ = q.

D jika titikpotong PQ dan AB disebut R, njatakanlah perbandingan

luas bagian-bagian A ABC, jang terdjadi karena QR , dengan a, b, p dan q.

148

6. Diketahui sebuah segmentgaris AB dengan letak dan besarnja, dan

besarnja segmentgaris-segmentgaris p, q, r dan 5. Lukislah titik P

pada AB, sehingga AP : PB = pq : rs.

7. a. Buktikanlah, bahwa ketiga garisbagiluar sebuah segitiga

memotong garissisi-garissisi jang berhadapan pada tiga titik

terletak pada satu garis.

b. Buktikanlah, bahwa dalam sebuah segitiga garisbagi dua sudut

dan garisbagiluar sudut jang ketiga memotong garissisi-garissisi

jang didepannja pada tiga titik jang terletak pada satu garis.

8. a. Lingkaran dalam (I, r) menjinggung sisi-sisi BC, CA dan AB

sebuah A ABC berturut-turut di D, E dan F. Buktikanlah,

bahwa garis-garis AD, BE dan CF melalui satu titik G (G ialah

titik Gergonne A ABC).

b. Djika garissisi-garissisi BC, CA dan AB sebuah A ABC ter

singgung oleh lingkaran singgung (Ia, ra) di D, E dan F,, tentu

garis-garis AD, BE dan CF melalui satu titik K. Buktikanlah.

9. Sebuah transversal memotong garisissi-garisisi BC, CA dan AB

A ABC berturut-turut dititik-titik a, b dan c ; sebuah transversal

lagi, ja ’ni t2, memotong garissisi-garissisi tadi di a', b' dan e'. Tariklah

garis-garis bc', ca' dan a b ' ; garis-garis ini memotong garissisi-

garissisi BC, CA dan AB berturut-turut di a, 0 dan y. Buktikanlah,

bahwa ketiga titik ini terletak pada satu garis.

10. Pada sebuah garis diketahui sebuah segmentgaris dan sebuah titik T.

Ditetapkan bajangan tjermin Ps, dari P thd. titikpertengahan M dari

AB. Titik P dan titik Ps dikatakan berrelasi isotomis thd. segment

garis AB.

a. Titik-titik AB jang mana berrelasi isotomis dengan titik itu

sendiri?

b. Sebuah transversal memotong garissisi-garissisi BC, CA dan AB

A ABC berturut-turut di D, E dan F. Pada garissisi-garissisi

tadi ditetapkan titik-titik Ds, Es dan Fs jang berrelasi isotomis

dengan D, E dan F thd. sisi-sisi pada garissisi-garissisi itu.

Buktikanlah, bahwa titik-titik Ds, Es dan Fs terletak pada satu

garis.

c. Pada garissisi-garissisi BC, CA dan AB A ABC diletakkan

titik-titik P, Q dan R, sehingga AP, BQ dan CR melalui satu

titik O. Pada garissisi-garissisi itu ditetapkan titik-titik Ps, Qs

dan R s, jang berrelasi isotomis dengan P. Q dan R thd. sisi-sisi

149

pada garissisi-garissisi itu. Buktikanlah bahwa garis-garis

APS, BQa dan CRS melalui satu titik Os (titik O dan titik Os

disebut berrelasi isotomis thd. A ABC).

11. Dalam A ABC, AD adalah garisbagi a dan Ds ialah titik jang ber

relasi isotomis dengan D thd. sisi BC. Selandjutnja pada sinar AB

dan AC diletakkan titik-titik E dan F, sehingga AE = AF. D jika

EF dan ADS potong-memotong di S, njatakanlah SE : SF dengan

b dan c.

12. Dalam A ABC C = 90°. Pada AB, pada BC dan pada CA dibuat

kesebelah luar budjursangkar-budjursangkar ABDE, BCFG dan

ACHK. Buktikanlah, bahwa CR (jang dibuat tegaklurus pada AB).

BK dan AG melalui satu titik.

13. Diketahui 3 lingkaran (Px, rx), (P2, r2) dan (P3, r3), dengan titik-titik

kesebangunan luar U12, U23 dan U13, dan titik-titik kesebangunan

dalam I12, I23 dan I13. Buktikanlah, bahwa garis-garis dibawah ini

melalui satu titik:

Pi 23> P2 13 dan P3 I12 b• Px Ia* P2 U13 dan P3 U12 ‘c. Rombongan-rombongan (terdiri dari 3 garis) jang mana lagi

melalui satu titik ?

14. Melalui sebuah titik T pada perpandjangan diagonal AC sebuah

segiempat ABCD dibuat sebuah garis jang memotong garissisi AB

dan BC di K dan di L ; dan sebuah garis lagi jang memotong garis

sisi CD dan DA di M dan di N. Sisi-sisi terbagi atas bagian2 jang

* disebut (mulai dari A dan mengelilingi segi-4) av a2, bv b2, cx, ca, dt

dan d2 ; buktikanlah, bahwa f lA c A = a<P c2d2.

15- a. Dalam A ABC, D ialah projeksi A pada BC, E projeksi D pada

AB daq F projeksi D pada AC; P ialah titikpotong EF dan BC.

dengan tjara demikian ditetapkan titik Q pada garissisi CA

dan titik R pada AB. Buktikanlah, bahwa P, Q dan R terletak

pada satu garis.

b■ Djika dibuat DK // CA dan DL // BA (K pada AB, L pada AC),

maka KL melalui P. Buktikanlah.

150

H A L M EN GH IT U N G SEGM ENTGARIS.

LU K ISAN

b a b V III.

§4 7 .

D jika diketahui sebuah titik P dan sebuah garis g dan dari P dibuat

garis PP ' tegaklurus pada g, atau sebuah garis m iring PP\ jang arahnja

diketahui, ke g, maka garis PP ' disebut projektor dan P ' projeksi dari P

pada g.

Menetapkan titik P ' djuga disebut memprojeksikan P pada g.

Pada gb. 150a P ' disebut projeksi tegaklurus, siku-siku, atau ortho

gonal dari P pada g ; pada gb. 150 b, P ' adalah projeksi miring dari P

pada g.

D jika AB sebuah segmentgaris dan g sebuah garis, maka segment-

garis pada g jang dibatasi oleh projeksi A ' dan B ' dari titik-titik A dan B,

disebut projeksi AB pada g. Segmentgaris jang diprojeksikan, disebut

projektum.

A ABC (gb. 152) siku-siku di C; CD J_ AB; BCD = <*,/_ ACD = p.

D jad i ketiga segitiga ABC, ACD dan CBD adalah sebangun (dalil 92).

Sisi-sisi A ABC ialah AB = c, BC = a dan CA = b ; sisi-sisi jang berse

suaian pada A ACD, ja 'n i AC, CD dan D A ialah kc, ka dan kb.

Sisi-sisi jang bersesuaian dalam A CDB ialah CB, BD dan DC;

k ita pakai faktor /; djadi sisi-sisi tadi adalah : Ic, la dan Ib ; lihatlah AC

= n — kc ; djadi k — bjc ; lihatlah BC = a = /c.djadi l — a/c. Gb. 152

P

Gb. 150a: Projeksi*. Gb. i5Qb: Projeksis.

Gb. 151a: Projeksi*. Gb. 151b: Projeksi*.

151

kita buat sekali lagi, sesudah k diganti dengan bjc dan l dengan ajc.

L ihatlah gb. 153 ; nampak djelas benarnja dalil-dalil dibawah ini.

/ Pc N

b // k c ,

/ k alb

/ t\

/ k b L la

Gb.152.

B

D A L I L 106a.

a2a2 — — x c; j a k n i : kwadrat sebuah sisi-siku adalah sama dengan hasil-

perbanjakan projeksinja pada sisimiring dan sisimiring; boleh djuga d i

etnjatakan demikian : c : a = a : — ;

dengan perkataan :

sebuah sisi siku-siku mendjadi pembandingtengah antara sisimiring dan

projeksinja pada sisimiring jlihatlah djuga gb. 153 bagian kiri.

D A L I L 106b.

b2 o2 a2b2 abr X ~ = ( — )2 = kwadrat CD.C C c 2- c

Kwadrat gaistinggi pada sisimiring sama dengan hasilperbanjakan

bagian-bagian sisimiring jang terdjadi karena garistinggi itu.

D A L I L 106c.

ab rab = c x — ; hasilperbanjakan kedua sisi siku-siku sama dengan hasil

perbanjakan sisimiring dan garistinggi.

Menurut dalil 106a berlaku a2 = c x BD dan b2 = c x AD ;

djadi a2 + b2 = c x (BD + DA) = c2 ; dengan ini terdapat lagi dalil

Pythagoras (lihatlah dalil 74). Bukti mudah jang lain lagi, didapat dari

dalil 97 ; menurut dalil ini (lihatlah gb. 153):

Is A ABC Is A CBD ls A ACD

¿i = = ¿8

Karena ls A ABC = ls A CBD + ls A ACD, maka c2 = a2 + b2.

152

Dengan menggunakan dalil 74 dan dalil 106,‘ maka dari keenam

segmentgaris a, b, c, h = CD, p = BD dan p = AD, djika dua buah

diantaranja diketahui, tentu keempat jang lain dapat dihitung.

Djika dalil Pythagoras dipergunakan pada segitiga siku-siku sama-

kaki dengan sisi siku-siku a (lihat

lah gb. 154 a), maka sisimiringnja

ay/ 2 ; sebaliknja djika sisimiring

nja d (lihatlah gb. 154 b), maka sisi-

sikunja masing-masing \dy/ 2.

Untuk segitiga siku-siku dengan

sudut 30° dan 60°, lihatlah gb. 155c.

b dan c.© ©

Gb. 154a: Segitiga samakaki siku-siku. Gb. 154b: Segitiga samakaki siku-siku.

Gb. 155. Segitiga siku-siku dengan sudut 30° dan 60°

o° , fM '3/60" o

^ 3 ( f i ^ —30° i ^ 3 0 ^ J-¿aV3 bV3 h

© ©

ihV3

Gb. 155 Segitiga siku2 dengan sudut 30° dan 60°.

Achirnja kita bitjarakan tjaranja mentjari segitiga siku-siku, jang

pandjangnja sisi-sisinja dapat diwudjudkan dengan bilangan asli.

Rumus c2 = a2 + b2, diubah mendjadi a2 = c2 —

b2 = (c — b) (c + b ) ; ini ditulis sebagai perban

dingan seharga : (c + b ) : a = a : (c — b). Tiap-

tiap ruas disamakan dengan m : n', m dan n ialah

bilangan asli, dan m > n, sebab c + b > a

> c — b.

D ja d i: n(c + b) = ma dan m(c — b) — na, atau

ma — nb — nc = O Inj adalah dua persamaan

na + mb — mc — O

homogen dengan tiga bilangan jang tidak dike

tahui, jakni a,b dan c ; d idapa t:

(lihatlah gb. 156).

2mnGb. 156: Segitiga

Pythagoras.

n2 m2 + n'

Segitiga-segitiga sematjam ini, ja'ni jang sisi-sisinja terukur relatif,

disebut segitiga Pythagoras. Lihatlah daftar dibawah i n i :

153

m | « 1 a 1 b ! c m n a b c

2 1i

4 3 5 6 5 60 11 61

3 1 6 8 10 7 1 14 48 50

3 2 12 5 13 7 2 28 45 53

4 1 8 15 17 7 4 56 33 65

5 2 20 21 29 7 6 84 13 85

5 4 40 9 41 8 1 16 63 65

6 1 12 35 37

§ 48.

Sekarang kita bitjarakan segitiga miring.

D A L I L 1 0 7.

Dalam sebuah segitiga miring kwadrat sebuah sisi didepan sudut

lantjip (tumpul) sama dengan djumlah kwadrat kedua sisi jang lain, d i

kurangi (ditambah) dengan dua kali hasilperbanjakan salah satu sisi itu

dan projeksi sisi jang kedua pada pemuat sisi jang pertama (dalil projeksi).

Dalil ini hanja kita buktikan untuk sisi didepan sudut tum pul.

D i k e t a h u i : p >90°, C D J_ A B , B D = a'.

D i b u k t i k a n : b2 — a2 + c2 + 2 ca'.

B u k t i : Karena p > ,90°, maka D ter

letak diperpandjangan AB. D jika CD = t ,

maka : b2 = (c + a ’)2 + t2 — c2 + 2 ca'

+ a '2 -f t2 = c2 -f a2 + 2 ca'

Dari dalil 107 terdapat: dalam sebuah segitiga lantjip (tumpul)

kwadrat sisi jang terbesar lebih ketjil (besar) daripada djum lah kwadrat

kedua sisi jang lain.

Sebaliknja dapat dengan mudah dibuktikan setjara tidak langsung:

Sebuah segitiga tumpul (lantjip), djika kwadrat sisi jang terbesar

lebih besar (ketjil) daripada djumlah kwadrat kedua sisi jang lain.

Dalil ini, bersama-sama dengan dalil 75 dipergunakan untuk me

netapkan tumpul, siku-siku atau lantjipnja sebuah segitiga, dari besar-

n ja ketiga sisinja.

Selandjutnja, dalil 107 djuga dipergunakan untuk menghitung

projeksi sebuah sisi pada pemuat sebuah sisi jang lain, djika ketiga

sisinja diketahui. Misalnja, dalam gb. 157 terdapat untuk BD :

c B a ' DGb. 157: D a lil Projeksi.

154

b2 = a2 + c2 + 2 ca', djadi a'b2

2 cProjeksi, jang tadi kita sebut projeksi sebuah sisi pada pemuat sisi

kedua, selandjutnja akan kita sebut projeksi sebuah sisi pada sisi

kedua. Projeksi ini dianggap positif, djika seluruhnja atau untuk seba

gian terletak pada sisi kedua itu; dan negatif djika terletak seluruhnja

diperpandjangan sisi itu. Dengan perdjandjian ini, maka dalil 74 dan 107

dapat didjadikan satu sbb .:

kwadrat sebuah sisi sebuah segitiga sama dengan djumlah kwadrat kedua sisi jang lain, dikurangi dengan dua kali hasilperbanjakan salah satu dari kedua sisi ini dan projeksi sisi jang kedua pada jang pertama.

D jika projeksinja dinjatakan dengan cosinus, maka dalil projeksi

mendjadi dalil cosinus : a2 = b2 + c2 — 2 bc cos a ; dengan perkataan:

kwadrat sebuah sisi sama dengan djumlah kwadrat kedua sisi jang lain,

dikurangi dengan dua kali hasilperbanjakan kedua sisi itu dan cosinus

sudutapit mereka. Dalil cosinus berlaku djuga djika sudutapit ini tum

pul. Dalil projeksi dapat djuga dipakai untuk

membuktikan dalil 77. D jika c' projeksi c pada a, tentu

c' ==c2 + a2 b2

2a ’

/a 2 = > — c'2 = c2 — (

djadi

(c2 + a2— £>2)2x 2

2 a O '

Penjelesaian selandjutnja diserahkan kepada pembatja; lihatlah

halaman 61 dan 62.

§ 49.

D jika dalam sebuah segitiga, sebuah titiksudut dihubungkan de

ngan sebuah titik pada sisi jang didepaunja, maka pandjangnja seg-

mentgaris penghubung tadi dapat dihitung dengan dalil dibawah mi.

D A L I L 108.

D jika D sebuah titik pada sisi BC sebuah A ABC, sehingga CD

flj dan BD = az, maka :

a. A D 2 = a2b2 + axc2 — ata2a (dalil Stewart, 1717 — 1785).

B u k t i . Djika dibuat AE BC, BE disebut p, dan p lantjip, maka

menurut dalil projeksi

155

dalam A ABD: AD2= c2 + a22 — 2a2p

dan

dalam A A B C : b2 = c2 + a- — 2 ap.

Djika p dieliminasikan dari kedua ke

samaan irii, maka terdapat:

a. AD2— a2b2 = ac2— a2c2 + aa22— a2a2,

atau

a. AD2 x= a2b2 + a2c2— aLa2a.

P e r h a t i a n . Dalil ini berlaku djuga, djika D terletak pada perpan-

djangan BC atau perpandjangan CB, asal atau a2 dianggap negatif,

Ini sama sadja djika urituk a, dan a2 dalam dalil diatas dipakai BC,— —► yDC dan DB. Tetapi dalam keadaan ini, biasanja dalil diatas diperguna

kan pada segmentgaris AC dalam A BAD atau pada AB dalam A ACD,

_ D A L I L 109.

D jika za garisberat dari A dalam A ABC, maka :

Za2 = i (b2 + c2) — \a2,

atau b2 + c2 = 2 za2 + \a2.

Bentuk terachir ini seringkali dipakai djika dibitjarakan djumlah

kwadrat dua segmentgaris jang bersekutu salah satu udjungnja;

D A L I L 110 a.

Kwadrat garisbagi sebuah sudut A ABC sama dengan hasilperbanjak-

an kedua sisi jang mengapit sudut itu, dikurangi dengan hasilperbanjakan

kedua bagian sisi didepan sudut itu, jang terdjadi karena garisbagi itu.

Gb. 160: Menghitung garisbagi.

B u k t i . Djika AD = d^, CD = a% dan DB = a2, maka menurut dalil

Stewart :

156

ada 2 = a2b2 + axc2 — axa2a

Disini ax \ a2 = b : c (dalil 84 a), djadi axc = ajb, sehingga aab2 + =

axbc + a2bc = abc.

Djadi da 2 = bc —

Bukti jang lain terdapat dalam § 60.

D A L I L 110 b.

Kwadrat garisbagiluar suatu sudut A ABC, jang tidak terapit oleh

dua sisi jang sama, sama dengan hasilperbanjakan kedua bagian sisidepan,

jang terdjadi karena sisidepan ini terbagi dari luar oleh garisbagiluar tadi,

dikurangi dengan hasilperbanjakan kedua sisi jang lain.

Bukti . Untuk menghitung garis bagi luar AD, maka A ACD ditjermin-

kan pada sisi AD ; lihatlah A ADCS ; sekarang DA mendjadi garisbagi

Z BDCS, djadi DA2 = ata2 — bc. Dapat djuga dipergunakan dalil Ste-

wart pada AC dalam A ABD.

Buktinja serupa sadja, djika b > c; djika b = c, maka garisbagiluar

sedjadjar dengan BC.

Dari dalil 110 dapat diperoleh dengan mudah rumus-rumus untuk

garisbagi-garisbagi A ABC, dinjatakan dengan sisi-sisinja.

Dalam gb. 160a misalnja ax : a2 = b : c ;

ab ac

dj adi <h = dan °2 = F T ~ c ’ djadia2bc bc ( • )

a d * r * « - = v + v l V + V - * ] =

bc(b + c + a) b + c — a) 4 bcs (s — a

(b + c)2 = (b + c)2

Dengan djalan jang sama terdapat dalam gb. 160 b (djadi untuk

b < c):

ab acflj = — dan a2 = j — p sehingga

4 bc(s — b) (s — ciA D 2 = — ^ -----(c — b)2

Demikian terdapat: 1

157

D A L I L 110 c.

D jika garisbagidalam dan garisbagiluar sudut-sudut a A ABC disebut

da dan ea, maka

2 __________ 2 ________________

da = b~+~c ~~ d3n *a = ( b — "c) ^ bcs(s~ b) (s~ c)> asal

sadja b ^ c.

Sekarang masih perlu diselidiki betul atau tidakkah kebalikan dalil

110 a, dengan kata lain : Djika titik D membagi sisi BC A ABC atas

bagian-bagian CD = a1 dan D B = a2, dan terdapat A D 2 = bc — axa2,

apakah A D ini garisbagi a ?

Menurut dalil Stewart (lihatlah gb. 160a).

a. A D 2 = a2b2 + axc2— axa2a ; tetapi menurut jang diketahui:

a. AD2 = abc — a& a . Dengan pengurangan didapat, a2b2 + axc2— abc

— O, atau a2b2 + axc2 — axbc — a2bc = O, d ja d i: (b — c)(a2b — axc) = O.

Djadi salah satu:

1°. atau b = c, artinja A ABC samakaki; dalam keadaan ini untuk

tiap-tiap titik D pada BC berlaku : AD2 = b2 — a^ ;

2°. atau a2b — a±c ; ini, menurut dalil 85 a, berarti bahwa AD adalah

garisbagi a.

D jadi kebalikan dalil 110 a benar, djika jang diketahui ditambah

dengan ke-tidak-samaan b =£ c.

Dengan djalan jang sama dapat dibuktikan, bahwa djuga kebalik

an dalil 110 b adalah benar ; dalam bukti itu akan te rdapat:

(b + c) (a2b — CiO = O, dst.

Sebagai telah diketahui, dalam sebuah segitiga samakaki terdapat

dua garisberat jang sama pandjangnja, djuga dua garistinggi dan dua

garisbagi. Sebaliknja dapat dibuktikan dengan mudah, bahwa suatu

segitiga tentu samakaki, djika dua garisberatnja atau dua garistinggi-

nja sama pandjangnja. Bukti ini agak sukar djika terdapat dua garisbagi

jang sama; karena itu soal ini kita bitjarakan disini.

G b . 161: G a r is 2b a g i s a m a , m a k a s am a- k a k i. G b . 162: dp = dy, m a k a b = c.

158

Djika dalam A ABC garisbagi a dan p sama, maka menurut dalil 110 a :

bc — axa2 = ca — b1b2,

atau (bx + b2)c — ax az = c(ax + c2) — bxb2

atau bxc + b,c — axa, = cax + ca2 — b1b2

Djika disini (menurut dalil 84 a) bzc diganti dengan abx dan ca3

dengan axb, maka terdapatlah :

bxc + abx — axa2 = cax + axb2 — b1b2

atau bxc + a1bl + a2bx — axa2 = cax + axbx + axb2 — bxbz

atau bx(c + a2 + b2) = ax(c + a2 + b2)

djadi b,x = ax; A ABD ^ A BAE, djadi a = p dan a = b.

Kita muat djuga bukti setjara ilmu ukur.

D ik e t a h u i : d = dy.

D ib u k t ik a n : b = c.

B u k t i : Dalam gb. 162 dengan sengadja titik E kita letakkan lebih

rendah daripada titik F. Akan kami buktikan bahwa A BCE ^ A C B F ;

sudah djelas .bahwa dua pasang sisi sama; tinggal membuktikan kesa

maan sepasang sisi lagi atau sepasang sudut.

A BCE kita letakkan disamping A CBF, sehingga kedua segitiga ini

membentuk sebuah segiempat; buatlah FG = BC dan CG = CE ; lihat

lah busur-busur lingkaran dalam gam bar; A BCE ^ A FGC (s, s, s) ;

lihatlah sudut-sudut kedua segitiga in i : £ p, y, a + i P = 9-

Apakah BCGF sebuah djadjarangendjang?

BC = FG; /_ GCB = <p + ¿ y = a + ¿ p + ¿ y = 90° +

/_ F1, sebagai sudutluar A AFC, sama dengan a + J y; djadi

GFB dalam segiempat sama dengan a + | y + i P (Z . G F C =£ P) =

90° -f £a. Djadi kedua sudut jang berhadapan, C dan F, ternjata sama,

dan kedua-duanja tumpul. Sekarang sebuah segiempat jang dua sisinja

jang berhadapan sama dan 2 sudutnja jang berhadapan tumpul dan

sama, tentu sebuah djadjarangendjang (s,s,sd). Djadi CG = FB ; CG

dibuat sama dengan CE; djadi CE = F B ; A BCF ^ A CBE (s,s,s);

djadi /_ B = /_ C dan AC = AB.

§ 5 0 .

Dengan mempergunakan dalil-dalil 106 a, b, c tentang segitiga

siku-siku, kita dapat melukis segmentgaris, jang ditentukan sebagai

funksi segmentgaris-segmentgaris jang lain. Soal jang sematjam ini telah

159

pernah kita buat, jakni lukisan X V I : pembanding keempat x pada a,

b dan c didapat dari a : b = c : x. D jika b dan c sama, maka terdapat

lah lukisan x dari = ¿>2/a.

L U K I S A N X X .

Melukis sebuah segmentgaris jang mendjadi pembandingtengah dua seg-

mentgaris jang diketahui.

M e n g e r d ja k a n n ja . Lihatlah gb. 163. Letakkanlah pada sebuah garis

segmentgaris AB = a, ¡kemudian BC = b. Buatlah lingkaran jang ber-

garistengahkan AC, dan buatlah di B garis tegaklurus pada AC. D jika

salah satu titikpotong garistegaklurus ini dengan lingkaran tadi di

sebut D, maka BD = x ialah pembandingtengah jang ditjari.

Buktinja diserahkan kepada pem batja ; demikian djuga bukti

untuk lukisan i jang nampak dalam gb. 164.

Ci-------------- -

P e r h a t ia n . Sekarang dapat djuga dilukis segmentgaris x dari x2 =

maz ; sebab x adalah pembandingtengah pada a dan ma.

L U K I S A N X X I.

Lukislah segmentgaris x — V a2 + b2 dan y = V a2 — b2 (a > b).

Tjara mengerdjakannja diserahkan kepada, pembatja.

P e r h a t ia n . D jika diambil a = b, a = 2b atau a = 3b, maka terdapat

lah lukisan-lukisan jang mudah untuk segmentgaris b-\/2, b\/3,

bV $ , &V10, dst. (lihat djuga „perhatian” pada lukisan X X ).

D jika n sebuah bilangan asli dan a sebuah segmentgaris, maka

dapat dilukis x = a V2n + 1, dengan mengingat, bahwa:

x2 = (2n + 1 )a2 = { (n + 1 )a }2 — (na f.

160

Misalnja : x = a 11 didapat dari x2 = (6c)2 — (5a)2; umumnja lebih

baik dipergunakan lukisan X X .

Dengan menggunakan lukisan-lukisan XV I, X X dan X X I kita

dapat melukis segmentgaris x dari bangun-bangun seperti :

ba b- ________ _______x — ~T> x , x = slab, x = o V 5, x = Va2 + b'1, x = V a- — b2

^ C

dan hubungan-hubungan mereka, misalnja :

ab -f- c2 4/---- --------x — ---, x == v abc2, x = V2a2 + 3b2, dst.

Dalam tjontoh-tjontoh ini semua ruas kanan homogen pangkat satu

thd. a, b, c dan d. Ini berarti, bahwa, djika a, b, c dan d diganti dengan

kelipatan k mereka, tentu ruas kanan djuga mendjadi kelipatan /c-nja.

Akibatnja ialah, djika untuk suatu satuan pandjang, relasi jang dite

tapkan diatas dipenuhi, tentu relasi itu tetap dipenuhi djika satuan

pandjang tadi diganti dengan satuan jang lain. D jika relasi untuk x di

atas tidak homogen pangkat satu, maka relasi itu hanja boleh dianggap

relasi antara bilangan-bilangan ukuran. Dalam keadaan ini, soal hanja

tertentu djika satuan pandjangnja djuga diketahui.

Sekarang masih akan kita berikan beberapa tjontoh tentang lukis

an sematjam itu ; dalam melakukan lukisan-lukisan ini sedikit mungkin

menggunakan segmentgaris atau lingkaran jang telah dilukis ; dengan

demikian hasil jang diperoleh tentu lebih tepat. Lukisan jang termudah

tidak kita muat, supaja gambar-gambarnja tidak mendjadi terlalu

penuh; djuga karena kebanjakan lukisan-lukisan itu lebih mudah dilaku

kan dengan segitiga penggambar.

T J O N T O H 38.

Lukislah x = Va2 + 62 — ab.

e n J E l e s a i a n ke-1. Djika a > b, maka kita tulis x2 = a (a— b) + b2;

umpamanja a(a — b) = p2, maka p adalah pembandingtengah a dan

a b. Maka x2 = p2 + 62. Djadi mengerdjakannja sbb. : letakkanlah

Planimetri - i !

161

pada suatu garis segmentgaris AB = a, kemudian BC = b pada BA.

Buatlah lingkaran dengan AB sebagai garistengah. Djika salah satu

titikpotong lingkaran ini dengan garis jang dibuat di C tegaklurus pada

AB disebut D, maka AD = p. Letakkanlah sekarang pada sinar CD

segmentgaris CE = p, maka BE = x.

P e n je le s a ia n ke-2. Dapat djuga dipergunakan dalil projeksi sbb.:

x2 = a2 + b2 — 2a X \b ; ternjata bahwa x dapat dilukis sebagai sisi

ketiga suatu segitiga, jang sisi-sisinja jang lain a dan b, sedangkan

projeksi b pada a adalah \ b. Sudut jang terapit oleh a dan b harus

lantjip, djadi besarnja 60°. Lukisan ini mudah dilakukan.

P e r h a t ia n . Djika x harus dilukis dari x = V a2 + b2 — mab, (m sebuah

bilangan), maka, djika a > mb, diumpamakan a(a — mb) = p2, sehing

ga x = V p2 + b2. Djika a < mb, maka diumpamakan a (mb — a) = q2,

dan terdapat x — V62 — q2; lukisan ini hanja mungkin, djika q < b.

Djika hendak menggunakan penjelesaian jang kedua, maka di- *

tulis x2 = a2 + b2— 2a X \mb.x dilukis seperti dalam gb. 166, dengan

s perbedaan ini: projeksi b pada a harus sama dengan £ mb. Karena

projeksi ini paling besar sama dengan b, maka tjara ini hanja mungkin

dipergunakan djika m < 2.

Dengan djalan jang sama dapat dilukis x = V a2 + b2 + mab ;

pada penjelesaian tjara kedua sudutapit a dan b harus tumpul ; djuga

harus dipenuhi m < 2.

T J O N T O H 39.

P e n je le s a ia n ke-I. x* = a4 +

¿>4¿>4 — a2 (a2 + djika dium-

b2pamakan — = c, dan kemudian

a2 + c2 = d2, maka terdapatlah

X4 = a2d2,. djadi x — ad. Djalannja lukisan adalah sbb.:

buatlah dua garis jang tegak- f

lurus sesamanja ; titikpotong

mereka disebut A ; pada garis

jang satu diletakkan AB = a, dan pada jang satu lagi AC= b .

Lukislah x = v a* + b*

162

Titikpotong BA dengan garis di C tegaklurus pada BC disebut D;

maka AD = c (dalil 106 b). Letakkanlah pada A C segmentgaris AE =

AB = a, tentu DE = d. Buatlah lingkaran jang bergaristengahkan

DE (djadi lingkaran ini melalui A); djika salah satu titikpotong ling

karan ini dengan garis di F tegaklurus pada D E disebut G, maka

EG = x. Buktinja diserahkan kepada pembatja.

P e n je le s a ia n ke-2. Boleh djuga ditempuh dialan in i :

X* = c4 + b* = (a2 + b2)2 —

2 a2b2 = (a2 + b2 — ab V2)

(,a2 + b2 + ab 'V2)

U m pam anja:

a2 + b2 — ab V' 2 = p2 dan a2 + b2 + ab y/ 2 = q2,

maka x = V p^.Mengerdjakannja

sbb.: Ambillah pada suatu garis

sebarang titik A, dan letakkanlah

kekiri dan kekanan pada garis itu

AB = AB ' — a. Lukislah melalui A sinar AK jang membuat sudut

45° dengan AB, dan letakkanlah padanja AC = b ; tentu BC = p dan

B'C = q. Letakkanlah kemudian pada CB' segmentgaris CD = p dan

lukislah garis di D tegaklurus pada B 'C ; djika garis ini memotong ling

karan jang bergaristengahkan B'C di E, maka CE = x. Buktinja di

serahkan lagi kepada pembatja.

T J O N f O H 40.

Lukislah x =o5

V

P e n je le s a ia n . Kita gambar dua garis O X dan O Y jang tegaklurus

sesamanja, kemudian kita le

takkan padanja segmentgaris

OB = a dan OA = b. D jika se

karang dibuat BC _|_ AB, maka

a2menurut dalil 106b OC —

Buatlah sekarang CD J_ BC,

maka ODb2 ’

kemudian

DE J_ CD, maka O E =b3

163

dan achirnja EF J_ D E, niaka OF = x. Lukisan ini sangat mudah

karena dapat dipergunakan segitiga penggambar.

P e r h a t ia n . Djika dalam gb. 169 /_ OAB disebut 9 , maka tg 9 djadi x=a tg4 9 . Djika a sebuah segmentgaris dan 9 sebuah sudutlantjip,

maka dengan djalan ini dapat dilukis z = a tgn 9 .

Banjak soal tentang melukis sebuah bangun dapat diselesaikan,

dengan menjatakan salah satu segmentgaris dalam bangun itu dengan

segmentgaris-segmentgaris jang diketahui, lalu melukis segmentgaris itu.

Dibawah ini terdapat beberapa tjontoh tentang „penjelesaian setjara

aldjabar” ini.

T J O N T O H 4 1 .

Membagi sebuah segitiga dengan sebuah garis jang sedjadjar dengan

suatu garis t, atas dua bagian jang luasnja berbanding sebagai dua segmentgaris m dan n.

P e rs iap an . Lihatlah gb. 170. Garis l kami tetapkan tidak sedjadjar

dengan salah satu sisi. Letakkanlah D pada BC, sehingga BD : DC =

m: n ; djadi CD adalah sebuah segmentgaris jang diketahui, dan dapat

disebut d ; A ABD : A ADC = m : n. Sekarang A ADC harus diganti

dengan A CXY, dengan XY // l.

Misalkan CX = x, CY = y ; perbandingan x dan y diketahui, ja ’ni

sama dengan CE : b ; AE // /. Djadi j = c |^ (dahl 73)

s e h i n g g a x 2 = d X CE.

M e n g e r d ja k a n n ja . CK = n, KL = m; KD // LB, AE // l. Sekarang

dilukis pembandingtengah CD dan CE. Buatlah setengah lingkaran

dengan CE sebagai garistengah ; DF J_ CE; sekarang CF = x ; Ling

karan (C, CF) menghasilkan titik X pada CB; tariklah XY // /.

164

B u k t i . Ini sudah djelas dari persiapan dan tjara mengerdjakannja.

D iskuss i. Djika djuga ditetapkan bagian sebelah mana dari X Y harus

V Imempunjai luas n ' ls A ABC, maka terdapat tepat satu garis X Y

jang memenuhi sjarat. Djika tidak, dan m ^ n, maka terdapat dua

penjelesaian.

T J 0 N T 0 H 42.

Diketahui lingkaran (P, r) dan segmentgaris a. Lukislah dalam ling

karan itu sebuah segitiga sama- A

kaki, jang d jumlah kwadrat sisi-

sisinja sama dengan a2.

P e rs iap an . Dalam A ABC di

buat garistinggi AE; APED ialah

garis tengah lingkaran (P, r) ;

dimisalkan AE = t dan BC = b.

, J&2 = t (2r — t)

I 2(t2 + %b2) +b2 = a2

Gb. 172: Persiapan. Gb. 173: pelaksanaan.

Sesudah b dieliminasikan, maka terdapat persamaan kwadrat dengan t:

4t2— l2r t+ a2 — 0 atau

t2 — 3rt + l a2 = 0

M e n g e rd ja k a n n ja . 2t — 3r ± V 9r2 — a2, AF — 3r; buatlah sebuah

lingkaran dengan AF sebagai garistengah ; buatlah AS — a; maka

FS = V '9r2 — a2-, 3r + FS = AG; 3r — FS = AGt; bagi dua samalah

dan AGt ; lihatlah H dan K ; buatlah di kedua titik ini garis-garis tegak-

lurus pada AD. Terdapat A ABC dan A A1B1C1. <

165

D is k u s s i . Djika 3r < a, maka ta’ ada penjelesaian ; sebab 9r2 — a2

negatif; djika 3r = a, maka ada satu penjelesaian. Terdapat satu pe

njelesaian djuga, djika %(3r + V 9r2 — a2) > 2r, sebab H terletak di-

Iuar lingkaran atau pada lingkaran ; ke-tidak-samaan ini dapat diubah

mendjadi 2ri/2;> a . Terdapat dua penjelesaian, djika 2r V 2 < a < 3r;

pada gb. 173 berlaku 59 < 60 < 62.

§ 51.

Dengan menggunakan dalil Pythagoras dan dalil Stewart dapat

diketemukan beberapa tempat kedudukan jang penting, jang kita

butuhkan untuk bab-bab jang akan datang.

D A L I L l i la .

Tempat kedudukan titik-titik, jang selisih kwadrat djaraknja ke dua titik

A dan B mempunjai suatu harga jang ditentukan, adalah sebuah garis

tegak-lurus pada AB.

B u k t i . Djika P salah satu titik dari tempat kedudukan, sehingga

misalnja PA2— PB2 = c2; c ialah sebuah segmentgaris. Diumpamakan

P

_ •/ _l

A M B Q *

G b . I 7 4 : P A * — PBs = c2.

AB = d. Dibuat PQ J_ AB ; PA2 — PB2 = AQ2 — BQ2 = (AQ — BQ)

(AQ + BQ) = (AQ + QB) (AQ + BA + AQ) = AB (2 AQ — AB) = >. ——* ¿2

d (2 AQ — d) = c2. Ini mengakibatkan AQ = — —— ; djadi Q adalah

sebuah titik jang tetap. Djika arah AB dianggap arah jang positif pada•-------->

garis AB, maka AQ ternjata positif; djadi Q adalah sebuah titik jang

tetap pada sinar A B .J). Ini berarti, bahwa titik-titik P semua terletak

a) Pembatja hendaknja membuktikannja sendiri dengan pertolongan gb. 174 a dan b, tanpa mempergunakan segmentgaris berarah.Bukti jang diatas berlaku untuk kedua gambar, baik untuk PA > PB maupun untuk PA < PB ; karena itu bukti diatas lebih baik.

166

r

pada garis jang dibuat di Q tegaklurus pada AB. Karena sebaliknja

untuk tiap-tiap titik P' pada PQ berlaku : P' A2 — P 'B2 = AQ2 — BQ2 =

c2, maka garis ini ialah tempat kedudukan

jang ditjari. Djika diketahui titik-titik A

dan B dan segmentgaris c, maka tempat

kedudukan / dapat dilukis dengan mudah

sbb. Djika M titikpertengahan AB, maka —► C2 —MQ = — ; d j adi \d : = \c : MQ.

Ini menghasilkan lukisan jang berikut :

Tetapkanlah titikpertengahan M dari AB ;

buatlah di M garis tegaklurus pada AB dan

letakkanlah padanja segmentgaris MC = ic. Di C dibuat garistegaklurus

pada AC, jang memotong AB di Q ; / ialah garis jang dibuat di Q

tegaklurus pada AB. Djika jang diketahui bukannja PA2 — PB2 = c2,

melainkan PB2 — PA2 = c2 ; maka terdapat sebagai tempat kedudukan

P garis /s ; jang didapat djika / ditjerminkan dalam sumbu AB ; kedua

garis didapat, djika ditetapkan sjarat: | PA2 — PB2 | = c2.

D A L I L l l lb .

Djika A dan B dua titik jang diketahui dan c sebuah segmentgaris

maka tempat kedudukan titik-titik Q jang memenuhi sjarat QA2 + QB2 =

c2 (c2 > XA A B2)> adalah sebuah lingkaran jang berpusatkan titikper

tengahan AB.

B u k t i . Karena terdapat bangun Q A 2 + Q B 2, maka sebaliknja Q dihu

bungkan dengan titikpertengahan P dari AB. Sebab, menurut rumus

garisberat terdapat: QP2 = £(QA2 + QB2) —

i AB2 = \c2— \d2] disini AB = d. Ini djuga

berlaku djika Q terletak pada AB. Djadi untuk

tiap-tiap titik dari tempat kedudukan berlaku:

QP = V|c2 — \d2 = i V2c2 — d2; djadi tempat

kedudukan ini ialah lingkaran dengan djari-

djari \ 4 2c2 —d2 dan pusat P ; sebab djelas,

bahwa sebaliknja untuk tiap-tiap titik Q lingkaran ini berlaku QA2 +

QB2 = c2.

Djika c < \ d v ' 2, maka tidak terdapat sebuah titikpun jang

memenuhi sjarat. Djika c = \d-\/2, maka tempat kedudukannja hanja

terdiri dari titik P sadja, sehingga boleh dikatakan bahwa tempat kedu

dukannja berupa lingkaran nol. Djika diketahui A, B dan segmentgaris

167

c, maka tempat kedudukannja dapat dilukis sbb. Tetapkanlah titik-

pertengahan P dari AB, dan lukislah di P sebuah sinar jang membuat

sudut 45° dengan AB; letakkanlah

padanja segmentgaris PC = \c;

buatlah CD _|_ AB dan buatlah

lingkaran (D, PD), jang memo

tong sinar PD di E. Djika salah

satu titikpotong lingkaran ini de

ngan lingkaran (E, \d) disebut Q,

maka PQ = r, djadi (P, r) adalah

tempat kedudukan jang ditjari.

Buktinja diserahkan kepada pem- Gb 177: Melukis lingkaran (P,r).

batja.

D A L I L l l lc .

Djika A dan B dua titik jang diketahui, m dan n dua bilangan, dan c sebuah

segmentgaris, maka tempat kedudukan titik-titik P, jang memenuhi sjarat:

m. P A 2 + n. PB 2 = c2

adalah sebuah lingkaran jang titikpusatnja terletak pada AB, djika m + n

^ O dan (m + n)cz > mn. AB2; tempat kedudukannja adalah sebuah garis

tegaklurus pada AB, djika m + n = O.

B u k t i . Dalil ini mengandung kedua dalil diatas sebagai keadaan chusus

(ja'ni m ± n — 0); djadi bagian kedua dari

dalil telah dibuktikan, sehingga seterusnja

boleh kita anggap m + n ^ 0. Untuk

menggunakan dalil Stewart, segmentgaris

AB( = d) kita bagi dengan titik O, sehingga

AO dan OB berbanding sebagai n dan m.

Gb. i78 :m .PA *+ n .PB 2==c2. Djika P salah satu titik dari tempat kedu

dukan jang ditjari, maka :

P Q 2 _ m. PA2 + n. PB2 mnd2 c2 mnd2

m + n (m + n )2 m + n (m + n)2

Djika bangun terachir ini positif, misalnja = r2, maka lingkaran (O, r)

adalah tempat kedudukan jang ditjari. Sjaratnja ialah (m + n)c2 > mnd2.

Djika (m + n) c2 = mnd2, maka tempat kedudukannja berupa

lingkaran nol O, achirnja, djika (m + n) c2 < mnd2, maka tempat kedu

dukan itu ta' mempunjai satu titikpun.

168

B

Sekarang kami selidiki tjara melukis tempat kedudukan ini dalam

keadaan pertama; m dan n kami anggap positif, sehingga 0 terletak pada

segmentgaris AB.n m

Maka AO = — ;— d dan OB = ----— d: diadi djika dimisalkanm + n m + n J J

c2----- = p2 dan AO.OB = q~, maka r2 = p2 — q2. Demikian sampailahm + n r ^

kita pada lukisan sbb. (lihatlah gb. 179). Tariklah dari A sebuah sinar

dan letakkanlah padanja AD = k, AE = nk dan EF == mk.

Tariklah sekarang EO // FB,

maka O pusat lingkaran jang

ditjari. Tariklah sekarang dari A

sebuahsinar lagi dan letakkanlah

padanja AC=c. Sesudahnja kita

tarik DG // FC dan kita buat

lingkaran jang bergaristengah-

an AC. Garis di G tegaklurus

pada AC memotong lingkaran inic

di H ; karena AG = ----- , main + n

ka AH = p. Djika achirnja Q

salah satu titikpotong garis di O

tegaklurus pada AB dengan ling

karan jang bergaristengahkan Gb. 179: Melukis lingkaran (O ,r). AB) maka OQ = q. Djika kita

tetapkan sekarang sebuah titikpotong K antara AB dengan lingkaran

(Q, p), maka OK = r, dan lingkaran (O, r) adalah tempat kedudukan

jang ditjari. Buktinja sudah djelas dari djalannja lukisan.

Bab ini kita achiri dengan satu pemakaian dalil l i l a , jang disam-

ping dalil Ceva, dapat kita pergunakan untuk membuktikan, bahwa,

3 garis melalui satu titik.

T J O N T O H 43.

D, E dan F adalah titikkaki garis-

garis jang dibuat dari P tegaklurus pada

garis-sisi-garissisi BC, C A dan A B se

buah A A B C ; bagian-bagian a, b dan

c, djika dimulai dari B dan berkeliling

kearah kanan, ialah : av a2, bv b2, cv

dan c2 ; tentu terdapat: ax2 + V +

ci = «22 + b22 + c22.

169

B u k t i . a 2 + PD2 = c22 + PF2

b 2 + PE2 = a2z + PD2

q 2 + PF2 = 622 + PE2

Pendjumlahan menghasilkan apa jang harus dibuktikan.

Kebalikan dalil ini berbunji: djika pada garissisi-garissisi BC, C A dan

A B suatu A ABC terletak titik-titik D, E dan F, sedangkan bagian-bagian

sisi-sisi ini alt a2, blt b2, clf c2 memenuhi hubungan a±2 + bj2 + q 2 = a22 + b22

+ c 2, maka garis-garis jang dibuat melalui D, E dan F tegaklurus pada

garissisi masing-masing melalui satu titik.

Bukti. S ialah titikpotong garis tegaklurus di D pada BC dan di E pada CA ;

SB2 — SC2 = a 2 — a 2

SC2 — SA2 = b 2 — b 2

. S B2 - SA2 = a 2 + V - ( a 2 + b 2).

Menurut jang diketahui, ruas kanan ini sama dengan c22 — cx2; SB2 —

SA2 = c22 — cx2 mengakibatkan (dalil l i la ) bahwa SF J_ AB.

Dari jang diuraikan diatas ini djelaslah bahwa sumbu-sumbu ketiga

sisi sebuah segitiga melalui satu titik (dalil 34); djuga, bahwa ketiga

garistinggi suatu segitiga' melalui satu titik.

§ 52- ’ S O A L - S O A L .

L Buktikanlah, bahwa sebuah segitiga samakaki, mempunjai dua

garis-berat jang sama pandjangnja.

2. Dari trapezium ABCD AB // DC; AB = 11, BC = 4, CD = 6 dan

DA = 3. Hitunglah luasnja dan diagonal-diagonalnja.

3. Buktikanlah, bahwa djumlah kwadrat kedua diagonal sebuah dja-

djarangendjang sama dengan djumlah kwadrat keempat sisinja.

4. Buktikanlah, bahwa djumlah kwadrat ketiga garisberat sebuah

segitiga sama dengan f djumlah kwadrat sisi-sisinja.

5. Dalam suatu segitiga samakaki, garistinggi pada alas sama dengan

setengah garisberat dari udjung alas. Njatakanlah kaki segitiga itu

dengan alasnja ( = a).

6. a. Djika a, b dan c segmentgaris, tentu selalu mungkin melukis

sebuah segitiga dengan sisi V b2 + c2, V c2 + a2 dan V a2 + b2.

Buktikanlah.

b. Buktikanlah, bahwa segitiga ini lantjip.

170

7. Dalam A ABC garistinggi AD mendjadi pembandingtengah antara

bagian-bagian BC jang terdjadi karena D. Selidikilah relasi jang mana terdapat antara sudut-sudut A ABC, djika ’

a. D terletak pada sisi BC.

b. D terletak diperpandjangan BC. J

8. Diperpandjangan alas BC sebuah segitiga samakaki ABC terletak sebuah titik D; buktikanlah : AD2 = AB2 + BD.CD.

9. P ialah sebuah titik dalam bidang pemuat ABC- buktikanlah,

bahwa PA2 + PB2 +PC2 = J (a2 + b* + c2) + 3 p z 2.

i

10. Buktikanlah, bahwa djumlah kwadrat sisi-sisi sebuah segiempat

sama dengan djumlah kwadrat diagonal-diagonalnja ditambah de

ngan empat kali kwadrat bimedian kedua diagonal.

1 1 . Dalam lingkaran (P, r) dibuat dua djari-djari PA dan PB, jang

mengapit sudut sebesar 60°. Hitunglah djari-djari lingkaran-ling

karan, jang menjinggung lingkaran (P, r) dari dalam dan lingkaran

jang bergaristengahkan PA dari luar, sedangkan pusatnja terletak

pada garis PB.

12. Diketahui sebuah segitiga samasisi ABC dengan sisi a. Pada sisi-sisi

AB, BC dan CA diletakkan titik-titik P, Q dan R, sehingga AP =

x, BQ = 2x dan CR = 3x. Pilihlah x, sehingga :

a. A PQR samakaki;

b. A PQR siku-siku ;

c. luasnja A PQR mendjadi seketjil-ketjilnja.

13. Djikalau A', B', C' dan D ' projeksi-projeksi titiksudut-titiksudut

sebuah budjursangkar ABCD dengan sisi z, pada sebuah garis /, maka

A 'C '2 + B' D '2 = 2 z2. Buktikanlah.

14. D ialah sebuah titik pada sisi AB sebuah segitiga siku-siku ABC

(Y = 90°). Antara CD = d, AD — p dan DB = q terdapat relasi

d2 = pq; selidikilah letaknja D pada AB.

15. a . D a l a m t r a p e z i u m s ik u - s ik u ABCD, M i a l a h t i t i k p e r t e n g a h a n s is i-

miring BC. Buktikanlah, bahwa: MA2 == MD2 = J BC2 + AB.CD.

b. Tx danTa adalah dua titik jang berrelasi isogonal thd. A ABC.

Buktikanlah, bahwa segitiga titikkaki mereka thd. A ABC ber

sekutu lingkaranluarnja.

171

c. Apakah jang didapat djika untuk Tx dan Ta dipakai titiktinggi

dan pusat lingkaranluar A ABC.

16. A ABC, sisi-sisinja a, b dan c ; AD ialah garisbagi a dan I ialah pusat

lingkarandalam.

Hitunglah : a) Al dan 1D; b) A IC ; c) IbIc

d) Buktikanlah, bahwa Al x A Ia = bc

dan hitunglah A Ia dengan rumus itu.

17. a. Dari A ABC diketahui sisi-sisi a dan b dan garisbagi CD = d;

hitunglah sisi c.

b. Hitung djuga projeksi CA' dan CB' dari sisi-sisi CA dan CB

pada CD.

18. a. Dalam A ABC titik B diperbanjak thd. A sebagai pusat dengan

faktor k, sehingga terdjadi titik B^. Njatakanlah sekarang CBh

dengan k dan sisi-sisi a, b dan c dari A ABC.

b. Buktikanlah, dengan menggunakan ini rumus-rumus untuk

garisberat dan kedua garisbagi dari C.

19. Djika dalam A ABC t&, db dan zc melalui satu titik, relasi jang

mana terdapat antara sisi-sisinja?

20. Buktikanlah setjara aldjabar, bahwa dalam sebuah segitiga

sebuah garisberat kurang daripada djumlah kedua garisberat jang lain.

21. Pada segitiga lantjip ABC, D, E dan F adalah titikkaki garistinggi

dari A, B dan C; T adalah titiktinggi. Njatakanlah dengan sisi-sisi

a. b dan c A A B C :

a■ perbandingan AT : TD ;

b. sisi EF segitiga titikkaki T ;

c. setengah keliling S„ segitiga titikkaki DEF ;

d. Buktikanlah, bahwa R x Sv = L ; (P, R) ialah lingkaranluar

dan L luas A ABC.

e. Bagaimanakah hasil-hasil pada a dan b harus diubah, djika a

tumpul.

22. Diketahui dua lingkaran (M, R) dan (N, r), jang singgung-menjing-

gung dari luar, dan garissinggung persekutuan luar g (R > r).

Hitunglah djari-djari kedua lingkaran jang menjinggung kedua

lingkaran jang diketahui dan garis g.

172

23. a. Njatakanlah symmedian-symmedian sebuah segitiga ABC de

ngan sisi-sisinja a, b dan c.

b. Buktikanlah bahwa sebuah symmedian suatu segitiga tidak

mungkin lebih besar daripada garisberat dari titiksudut sym- ^ median itu.

o a i , i oi u a 2 b + c2 a 3 + b z + c 324. Lukislah a. x = ------- dan b. y — ---- —-----

bc 7 d2

25. Lukislah a.x= V~5p2 + 6q2 + 7r2 dan b. y = V p 2 + 2q2 + ip q V 3

26. Lukislah

a. x = V ^ 2 + a2 V o32 + a4a5

b- y — V a* V y ’ o4c5

27. 3) Hitunglah sisi-sisi A ABC; lalu lukislah segitiga itu, djikadiketahui :

a. a. = 60°, a + b = p, a + c = q

b. a. = 120°, a + b = r, b + c = 5

28. J) a. Pada sisi CD sebuah budjursangkar ABCD terletak titik

P 5 PA = a dan P B = b (a > b). Njatakanlah sisi budjur

sangkar itu dengan a dan b, lalu lukislah budjursangkar itu.

b. Lukislah djuga budjursangkar itu, dengan tidak menghitung

terlebih dulu sisinja.

29. Dalam segitiga siku-siku ABC, CD adalah garisbagi sudutnja

jang siku-siku. Dari sebuah titik P pada segmentgaris CD dibuat

PE ¡j BC dan PF // AC. Tetapkanlah letaknja P pada CD,

sehingga budjursangkar PECF dan segitiga PAB sama luasnja.

30. *) Membagi sebuah segitiga ABC dengan sebuah segmentgaris jang

sedjadjar dengan AB atas dua bagian, jang luasnja berbanding

sebagai dua segmentgaris m dan n.

31. Diketahui segiempat ABCD ; tjarilah tempat kedudukan titik-

titik P, jang mempunjai s ifa t: PA2 + PB2 = PC2 + PD2.

) Soal soal ini haius disertai discussi jang lengkap.

173

32. Diluar sebuah lingkaran (P, r) terletak titik A. Tjarilah tempat kedu

dukan pusat lingkaran-lingkaran jang melalui A dan memotong

tegaklurus lingkaran (P, r).

33. a. Diketahui lingkaran (P, r) dan sebuah titik Q didalam lingkaran

itu ; Q adalah titiksudut sebuah sudut siku-siku, jang kaki-

kakinja memotong lingkaran tadi di A dan B. Tjarilah tempat

kedudukan titikpertengahan M dari AB, djika sudut itu ber

putar pada Q.

b. Tjarilah djuga tempat kedudukan projeksi R dari titik Q pada

AB.

l

34. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b dan c dan seg-

mentgaris d. Tjarilah tempat kedudukan titik-titik P jang memenuhi sjarat:

a. PA2 + PB2 + PCZ = d2b. PB2 4 PC2 == 2 PA2c. a. PA2 + b. PB2 + c. PC2 = d2.

35. Diketahui sebuah segiempat ABCD dan bilangan-bilangan k, l, m dan n. Tjarilah tempat kedudukan titik-titik T, jang memenuhi:

k. TA2 4 l. TB2 = m. TC2 4 n. TD2.

Apakah sjaratnja supaja tempat kedudukan ini berupa garis ?

36. Titiksudut-titiksudut A ABC ditjerminkan thd. sebuah garis g,

sehingga terdjadi A A8BBCS. Kemudian dibuat ASA 'J_ BC, B8B 'J_

CA dan C3C1 J_ A B.

Buktikanlah, bahwa A8A', B8B' dan CSC' melalui satu titik.

37. Titiksudut-titiksudut A ABC diprojeksikan pada garis g di A', B'

dan C'. Kemudian dibuat A 'A ” J_ BC, B 'B " J_ CA dan C'C" J_ AB.

Buktikanlah, bahwa A 'A ", B 'B " dan C 'C " melalui satu titik.

38. a. A DEF ialah segitiga titikkaki suatu titik P thd. A ABC (D pada

BC, E pada CA dan F pada AB); buktikanlah, bahwa garis-garis

jang dibuat dari A, B dan C tegaklurus pada EF, FD dan DE

melalui satu titik Q.

b. Djika P titiktinggi A ABC, apakah titik Q ?

c. Mungkinkah P dan Q berimpit ?

174

U L A N G A N K E D U A .

§ 53.

BP ’ BQ= ^ * BuktikanIah dJ‘uga kebalikan dalil ini.

2. Lukislah sebuah segitiga, djika titikkaki-titikkaki ketiga garistinggi diketahui. Berapa segitiga terdapat ?

3. Pada sisi-sisi BC, CA dan AB sebuah A ABC diletakkan berturut-

turut titik-titik P, Q dan R, sehingga = ^

(k bilangan positif). Djika titikpotong AP dan QR disebut S buktikanlah, bahwa RS = k2. SQ.

4. Segitiga ABC dan segitiga ABD sama Iuasnja, sedangkan C dan

D terletak disatu pihak thd. AB. Sebuah garis g // AB memotong CA,

CB, DA dan DB berturut-turut dititik-titik P, Q, R dan S. Buktikanlah, bahwa PQ = RS.

5. Lukislah segmentgaris-segmentgaris dibawah in i :

6. Dua garis l dan m potong-memotong di O ; pada Z diletakkan

dua titik tetap A dan B ; pada m diletakkan dua titik P dan Q

jang tidak tetap dan terletak symmetris thd. O. Tariklah PA

dan QB dan tjarilah tempat kedudukan titikpotong mereka, ja ’ni

titik S.

7. Pada udjung-udjung sebuah segmentgaris AB dibuat dua sinar l

dan m jang kedua-duanja tegaklurus pada AB dan terletak disatu

pihak thd. AB. Sebuah garis jang tidak tetap, memotong l di P dan

m di Q, sehingga luas trapezium APQB sama dengan luas sebuah

budjursangkar jang diketahui. Buktikanlah, bahwa PQ berputar

pada suatu titik tetap.

8. Lukislah sebuah segitiga, djika ketiga garistingginja diketahui.

175

9. Dua lingkaran a dan p jang tidak sama besarnja, singgung-menjing-

gung dari luar di R. Djika talibusur RA dan talibusur RB (A di a,

B di ¡3) tegaklurus sesamanja, buktikanlah, bahwa AB melalui titik

kesebangunan luar U dari a dan p.

10. Diketahui : titik-titik A, B, C dan D. Dari sebuah persegipandjang

jang tidak tetap, garissisi a melalui A, b melalui B, c melalui C dan

d melalui D (a // c). Tjarilah tempat kedudukan pusat P persegi

pandjang itu. Dalam keadaan chusus jang mana P adalah sebuah

titik tetap ?

11. Dalam sebuah segitiga siku-siku ABC dibuat garis tinggi AD = /

pada sisimiring BC = a. D jika luas segitiga itu disebut L; bukti

kanlah, bahwa

1 1 2L a2

l5D + CD = l r ' = 4L2‘

12. Lukislah A ABC, djika diketahui: a, garistinggi /a dan setengah

keliling s..

13. Diketahui dua garis sedjadjar l dan m, dua segmentgaris a dan b

dan titik-titik P dan Q. Lukislah melalui P dan Q dua garis sedja

djar, jang bersama-sama dengan l dan m membentuk sebuah dja-

djarangendjang, jang sisi-sisinja berbanding sebagai a dan b.

14. a. Pada sisi-sisi BC, CA dan AB sebuah A ABC diletakkan titik-

titik A1( Bx dan Cj, sehingga B A i: AXC = CBjl : BXA = ACX:

CXB — m : n. Njatakanlah luas Ox dari A AJB1C1 dengan*

kedua bilangan positif m dan n dan luas O dari A ABC.

b. Djika titik-titik A2, B2 dan C2 diletakkan pada sisi-sisi A A jB ^

sehingga B1A2 : A2CX = CjBg: B2AX = AXC2 : C ^ = m : n, dst.,

njatakanlah djumlah luas C»! + 0 2 + 0 3 + ............ dari segi-

tiga-segitiga A ^ C * , A^B2C2, A3B3C3 dst., dengan m, n dan O.

15. Dari segienam A ^ A g A ^ A e , titik-titik Mx, M2, M3, M4, Ms dan

M6 adalah titikpertengahan sisi-sisi A2A3, A3A4, A4AS, A5A6

dan AeAj. Buktikanlah dengan 2 djalan, bahwa A MjMgMg dan

A M.M4M6 berimpit titikberatnja, ja ’ni:

a. dengan membuktikan, bahwa masing-masing bersekutu titik

beratnja dengan, misalnja, A M2 N M5 (N ialah titikpertengahan

AiAJ ;

176

b. dengan membuktikan, bahwa titikberat mereka terletak sama

djauh dari sebarang garis.

c. Dari segilima A ^ A ^ A g , t'uk-titik Mj, M2, M3, M4 dan M5

adalah titikpertengahan sisi A1A2, A2A3, A3A4, A4A5 dan ASAX;

buktikanlah, bahwa A MXM3M5 dan A A ^ A * bersekutu

titikberatnja (djuga 2 djalan).

16. a. Dalam A ABC garisbagi AD dan garisbagi BE potong-memotong

di I. Njatakanlah perbandingan luaisnja A CDE dan A ABC

dengan sisi-sisi a, b dan c A ABC.

b. Djuga perbandingan luas A DEI dan A ABC.

c. Djika garisbagi jang ketiga disebut CF, hitunglah luasnja

A DEF.

17. Dari A ABC, alas BC diketahui letak dan besarnja; D adalah titik

pertengahan BC. Djika selandjutnja diketahui, bahwa AC. AD =

AB. BD, tjarilah tempat kedudukan puntjak A.

18. Diketahui garis l dan garis m, jang potong-memotong di S, dan

segmentgaris a. Pada l dan m diletakkan titik A dan titik B. sehingga

SA + SB = a, dan selesaikanlah djadjarangendjang SACB. Tjarilah

tempat kedudukan titik C, djika A bergerak.

19. Lukislah pada sebuah segitiga ABC sebuah titik P, sehingga Is

A PBC = Is A PCA = i s A PAB.

20. Pada A ABC, diletakkan titik D diperpandjangan AB., dan titik E

pada sinar CA, sehingga BD = CE. Djika titikpotong BC da.i D E

disebut S, maka DS : SE = AC : AB ; buktikanlah.

21. Lukislah trapezium ABCD (AB // DC), djika diketahui : bimedian

MN dari AB dan DC, sudut MNC dan bagian-bagian AC jang ter-

djadi karena MN.

22. a. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b dan c, sebuah

segmentgaris d dan tiga bilangan p, q dan r.

Tjarilah tempat kedudukan titik-titik P, sehingga

pM PA2 + q. P B2 + r. PC2 = d2

b. Apakah tempat kedudukan itu djika p + q + r = 0?

c. Lukislah tempat kedudukan ini untuk p = 2, q — 3 dan

r = — 1.

d. Djuga untuk p = 1, q = 2 dan r = — 3.

Planimetrl — 12 177

23. Dalam segitiga samakaki ACB dengan alas AB = a dibuat garisting-

gi AD dan garistinggi BE. Djika DE membagi segitiga tadi atas

dua bagian jang sama Iuasnja, njatakanlah luas A ACB dengan a.

24. Diketahui sudut tumpul XO Y dan segmentgaris a. Pada kaki 0X

dan kaki OY diletakkan dua titik A dan B jang tidak tetap, sehingga

OA + OB = a. Garis jang dibuat di A tegaklurus pada OX memo

tong garis jang dibuat di B tegaklurus pada OY di Q.

a. Buktikanlah, bahwa QA + QB tetap.

b. Tjarilah tempat kedudukan Q.

’ c. Tjarilah tempat kedudukan pusat P dari lingkaranluar A OAB.

25. Diketahui dua garis / dan m jang sedjadjar, dan titik P jang dengan

m terletak disebelah menjebelah garis l.

Lukislah melalui P dua garis, jang bersama-sama dengan l dan m,

mendjadi garissisi sebuah trapezium samakaki, jang Iuasnja sama

dengan luas sebuah segitiga samasisi dengan sisi a.

26. Diketahui dua lingkaran concentris, Lx dan L2 dengan pusat P dan

djari-djari dan rz. Sebuah garis gx jang tidak tetap menjinggung

Lij garis tidak tetap g2 menjinggung L2, dan membuat sudut sebesar

a dengan ga. Tjarilah tempat kedudukan titikpotong S antara gj dan g2.

27. Diketahui sebuah segitiga ABC dan sebuah titik O ; OA, OB dan

OC memotong garissisi BC, CA dan AB dititik A', B' dan C'. Djika

OA : OA' = OB : OB' = y dan OC : OC' = z, maka x + y + z =

*yz -f 2. Buktikanlah.

28. Diketahui lingkaran (M, R) dan lingkaran (N, r), jang satu terletak *

sama sekali diluar jang lain. Dari M dibuat garissinggung MA pada

lingkaran (N, r), dan dari N garissinggung NB pada lingkaran

(M, R), sehingga kedua titiksinggung A dan B terletak disatu pihak

thd. MN. Garis MA memotong lingkaran (M, R) di F dan G ; NB

memotong lingkaran (N, r) di H dan K ; F pada segmentgaris MA

dan H pada segmentgaris NB. Buktikanlah, bahwa FH // GK.

29. a. Diketahui sebuah budjursangkar ABCD dengan sisi z dan sebuah

garis g diluar budjursangkar itu. Keempat titiksudut budjur

sangkar tadi diprojeksikan di A', B', C' dan D ' pada g. Djika

AA ' = a, BB' = b, CC' = c dan DD' = d, buktikanlah, bahwa :

Z2 = a2 + c2 — 2 bd = 62 + d2 — 2 ac.

178

b. Rumus jang mana terdapat, djika g memotong budjursangkar

tadi ?

c. Buktikanlah, bahwa a2 + b" + c2 + d3 tidak berubah, djika

budjursangkarnja berputar pada pusatnja (P).

30. Garis jang menghubungkan titiksudut A A ABC dengan titikper-

tengahan D dari garisbagi CF, memotong BC di E. Njatakanlah

perbandingan luas segiempat BDEF dan A ABC dengan sisi B C = a

dan CA = b.

31. Pada sisi-sisi sebuah segitiga lantjip ABC dilukis kesebelah luar

budjursangkar-budjursangkar B C C ^^ CAA2C2 dan ABB3A3. Garis-

tinggi dari A memotong BC di A' dan B ^ di A ^ garistinggi dari B

memotong CA di B ' dan C2A2 di B2 dan garistinggi dari C memo

tong AB di C' da A3B3 di C3.

a. Buktikanlah, bahwa persegipandjang AA2B2B' dan persegipan-

djang A A 3 C3 C' sama luasnja.

b. Persegipandjang-persegipandjang jang mana lagi sama luasnja?

c. Buktikanlah dalil 107 dengan menggunakan luas.

32. Titik 0 terletak dalam A ABC; OA = p, OB = q dan OC = r

dua-dua membuat sudut sebesar 120°. Buktikanlah, bahwa djumlah

dua sisi A ABC kurang dari p + q + r.

33. a. Lukislah sebuah segitiga samasisi, jang titiksudut-titiksudutnja

terletak pada tiga garis l, m dan n jang sedjadjar.

b. Djika djarak antara / dan m, antara m dan n dan antara l dan n

berturut-turut sama dengan p, q dan p + q, njatakanlah sisi

segitiga samasisi tadi dengan p dan q.

34. Melalui titiksudut-titiksudut A, B dan C sebuah segitiga berturut-

turut dibuat garis-garis /, m dan n, jang melalui satu titik P ; ke

mudian melalui titikpertengahan A ',B ' dan C' sisi-sisi jang berhadap

an dibuat /' II l, m' // m dan n' // n. Buktikanlah, bahwa

1°. l', m ’ dan n ’ melalui satu titik Q

2°. P, Q dan titikberat Z A ABC terletak pada satu garis

3°. PZ = 2 ZQ.

35. Lukislah sebuah budjursangkar jang berpusatkan titiksudut C

A ABC, sedangkan dua sisinja jang berdekatan melalui A dan B.

36. Lukislah sebuah segiempat ABCD, djika diketahui : /_ ACB,

/_ CAD, kedua diagonal dan sudut antara kedua diagonal.

179

37. r,.ra, rb, dan rc ialah djari-djari lingkarandalam dan lingkaran-

singgung A ABC; buktikanlah:

a2 2S ------r---- - -

(ra — r) rbrc r

38. Lukislah A ABC, djika diketahui garistinggi /a, garistinggi. tb dan

garisberat za.

39. Dari segiempat co vex ABCD diagonal-diagonalnja tegaklurus

sesamanja dan sama pandjangnja.

a. Buktikanlah, bahwa dapat dibuat budjursangkar ta' terbatas

banjaknja. jarrg garissisi-garksisinja dengan urutan tetap me

lalui A, B, C dan D.

b. Tjarilah tempat kedudukan pusat budjursangkar-budjursangkar

tadi.

40. Lukislah A ABC, djika diketahui ketiga bagian garistinggi dari A,

jang terdjadi karena perpotongan dengan lingkarandalam.

41. Dua lingkaran a dan ¡3 singgung-menjinggung dari luar di C; melalui

C dibuat sebuah garis g, jang memotong a sekali lagi di A, sedang

kan garis jang dibuat di C tegaklurus pada g, memotong (3 sekali

lagi di B. Pada AB diletakkan titik T, sehingga AT : TB = m : n;

m dan n segmentgaris. Tjarilah tempat kedudukan T, djika g ber

putar pada C.

42. AD, BE dan CF ialah garisbagidalam A ABC. Sumbu AD memo

tong garissisi BC di P, sumbu BE memotong garissisi CA di Q dan

sumbu CF memotong garissisi AB di R. Buktikanlah, bahwa P,

Q dan R collineair.

43. a. Pada sebuah garis g terletak dua titik A dan B, AB = c. Lukis

lah dua lingkaran a dan p jang singgung-menjinggung; ketjuali

itu a dan p harus menjinggung g di A dan di B, sedangkan

djari-djari a dan (3 berbanding sebagai dua segmentgaris p dan q.

b. Njatakanlah djari-djari a dan ¡3 dengan c, p dan q.

44. Pada segmentgaris AC terletak titik B; AB = 2a, BC = 2b. Pada

satu pihak thd. AC dibuat belahan lingkaran a, dan y. jang ber-

garistengahkan segmentgaris BC AC dan AB. Hitunglah djari-djari

lingkaran jang menjinggung a, p .dan y, dan lukislah kemudian

lingkaran itu.

180

45. Diketahui sebuah A ABC dengan garistinggi AD, BE dan CF; K,

L dan M ialah titikpertengahan EF, FD dan DE. Dibuat KK '_L

BC, LL' J_ CA dan MM' _|_ AB; buktikanlah, bahwa ketiga garis

tegaklurus ini melalui satu titik.

181

B A B IX.

M E N G U K U R S U D U T D E N G A N B U S U R

L I N G K A R A N .

Jang disebut besarnja sebuah busur lingkaran ialah besarnja sudut-

pusat pada busur itu. Dikatakan, bahwa sebuah sudutpusat sama dengan

busurnja ( = busur tempat ia berdiri). Jang disebut sudutkeliling ialah

sudut antara dua talibusur jang bersekutu salah satu udjungnja.

Dikatakan, bahwa sudutkeliling BAC berdiri pada busur BC; dikatakan

djuga, bahwa segment BAC. jang terdiri atas talibusur BC dan busur

BAC dari lingkaran jang melalui titik-titik A, B dan C memuat sudut

keliling BAC. Sudut jang titiksudutnja terletak didalam sebuah ling

karan, disebut sudutdalamkeliling lingkaran ini. Djika titiksudutnja

terletak diluar sebuah lingkaran, sedangkan tiap-tiap kakinja bersekutu

paling sedikit satu titik dengan lingkaran itu, maka sudut itu disebut

sudutdiluarkeliling lingkaran itu.

■ D A L I L 112 a.

Sebuah sudutkeliling sama dengan setengah busurnja (= busur tempat ia berdiri.)'

B u k t i . Dalam gb. 181 a ditarik dua segment talibusur jang sedjadjar

dan sebuah garistengah tegaklurus pada mereka; garistengah ini ada

lah sumbu symmetri bangun jang terdapat; djadi kedua busur antara

kedua talibusur tadi tentu sama.

§ 54.

Pada gb. 181 /_ A = a ; tariklah A' PB' // AB dan A'C' // AC ; maka

z_ A ' = a (dalil 11); bs BB' = bs AA' = bs CC', djadi bs B'C' = bs BC.

Tetapi bs B'C' = Px = 2 a (dalil 13); djadi A = a = \ bs BC.

182

a telah kita buat lantjip; sebuah sudut a jang tumpul dibagi atas dua

sudut jang lantjip.

Akibat ke-1. Sebuah sudut keliling lantjip, djika busurnja kurang

dari setengah lingkaran, siku-siku, djika busurnja sama dengan setengah

lingkaran dan tumpul, djika busurnja lebih dari setengah lingkaran.

Akibat ke-2. Sudut jang kakinja jang satu mendjadi talibusur sebuah

lingkaran, dan kakinja jang lain mendjadi garissinggung pada lingkaran

tadi, sama dengan setengah busur jang terletak didalam sudut itu ;

lihatlah gb. 182.

Akibat ke-3. Sudut jang bersisian dengan sebuah sudutkeliling suatu

lingkaran, sama dengan setengah djumlah kedua busur jang terletak diluar

sudutkeliling itu.

TA ialah garissinggung di T.

/_ ATC = 90° = y2 bs TBC cp

z BTC = y2 bs BC

y2 bs TB ( '

a + p (dalil 13)

y2 bs TB + y2 bs TA

a =

Akibat ke-4. Dua sudut jang berha:dapan dalam sebuah segiempat

talibusur berdjumlah 180°; lihat gb. 184.

Akibat ke-5. Sudut sebuah segiempat

talibusur sama dengan sudutluar jang

berhadapan-, lihatlah gb. 184.

Sudut a pada A sama dengan se

tengah bs BCD (dalil 112 a); sudut a pada

C djuga sama dengan setengah bs B C D ;

lihatlah akibat ke-3, gb. 183.

183

D A L I L 112 b.

Sebuah sudutdalamkeliling sama dengan setengah djumlah kedua

busur didalam sudut itu dan sudut jang bertolak belakang; lihat gb. 185.

D A L I L 112 c.

Sebuah sudut lqar keliling sama dengan setengah selisih kedua busur didalam sudut itu ; lihatlah gb. 186.

G b .185:

a = Y i (bs A C + bs B D )

B ukti da lil 112 b.

a == p + y, djadi menurut dalil 112 a.

a = y2 (bs AC + bs BD).

§ 55.

Gb. 186:« = Vz(bs CD — bs B E)

B u k t i d a l il 112 c.

a = p — y, djadi menurut dalil

112 a : a = y2 (bs CD— bs BE)

Dalil ini berlaku djuga, djjka salah

satu atau kedua kakinja menjing-

gung; lingkaran.

Dengan menggunakan apa jang telah diuraikan diatas, dapat ditetapkan sebuah tempat kedudukan penting. Lihatlah gb. 187,

D A L I L 113.

Djika diketahui sebuah segitiga ABC, maka tempat kedudukan titik-

'titik T, jang terletak dengan C disatu pihak thd..garis AB sehingga /_A T B = y, adalah busur ABC dari lingkaranluar a ABC.

Bu k t i. Dalam dalil telah dikatakan, bangun jang mana m endjadt

tempat kedudukan. Djadi ada dua hal jang harus kita kerdjakan, jakni membuktikan :

184

t '

1) djika P sebuah titik-jang berlainan

dengan C dan terletak pada bs ACB, maka

/_ APB = y; ini benar menurut dalil 112 a.

2) djika /_ A Q B = y, dan Q dan C ter

letak disatu pihak thd. garis AB, tentu Q

terletak pada bs. ACB.

Letak sebuah titik thd. sebuah lingkar

an ada tiga matjam ; ja ’n i : didalamnja,

padanja dan diluarnja. Akan kita buktikan,

bahwa untuk Q matjam kesatu dan ketiga

“ tidak mungkin, sehingga tinggallah matjam kedua sadja. /_ AQ1B;

menurut dalil 112 b, sama dengan setengah djumlah dua busur, ja ’ni

bs ADB dan sebuah busur lagi ; djadi /_ AQjB > y. /_ AQ3B sama

dengan setengah selisih dua busur (dalil 112 c), jakni bs ADB dan

sebuah busur lagi; djadi /_ AQaB < y.

Djadi Q harus terletak pada bs ACB ; lihatlah Q2.

Djelaslah, bahwa udjung-udjung A dan B busur ACB tidak men-

djadi sebagian daripada tempat kedudukan, sebab djika P berimpit

dengan A atau B, maka tidak ada lagi sudut ATB.

Djika P tidak diharuskan terletak disatu pihak thd. garis AB de

ngan titik Q maka bajangan tjermin bs ACB dalam garis AB djuga

memenuhi sjarat.

Akibat (dalil 65 b). Djika djumlah dua sudut jang berhadapan dalam

sebuah segiempat sama dengan 180°, tentu segiempat itu sebuah segiempat

talibusur.

Dalam segiempat ABCD terdapat <x -}- y = (3 + & = 180°. Kesim

pulan jang pertama ialah bahwa tiap-tiap sudut kurang dari 180°, djadi

Gb. 188: segiempat talibusur

bahwa segiempat tadi convex; djadi B dan D terletak disebelah me-

njebelah AC.

185

Djika P sebuah titik pada lingkaranluar A ACD, jang terletak

disatu pihak thd. AC dengan B, maka /_ P -f- S = 180° = ¡3 -f- S ; djadi

Z . P = P ; menurut dalil 113 titik B harus terletak pada busur APC*

djadi ABCD adalah sebuah segiempat talibusur.

Sesudah terbukti bahwa ABCD sebuah segiempat talibusur, maka

menurut dalil 112 a dapat ditetapkan bahwa

Z A, = Z D1( Z A2 = Z A ,

Z D 2 = z Cx, Z b 2 = Z c 2, Z b 3 = Z Du

Dalam dalil 113 dengan akibatnja dan dalil 112 a telah terkan

dung sifattanda untuk 4 titik jang concyclis ( = terletak pada satu

lingkaran):

empat titik-A, B, C dan D tentu dan hanja terletak pada satu ling

karan, djika terdapat salah satu hal dibawah in i : 1°. C dan D terletak

disatu pihak thd. AB dan /_ ACB — ADB; 2°. C dan D terletak dise-

belah AB dan Z ACB + Z A D B = 180°-Sekarang akan kita lukis tempat kedudukan jang terdapat dalam

dalil 113.

L U K I S A N X X II.

Melukis sebuah segmentlingkaran, jang memuat sudut y jang dike

tahui dan bertalibusurkan sebuah segmentgaris A B, jang ditentukan besar

dan letaknja.

M e n g e r d ja k a n n ja . Dapat kita lukis sebuah segitiga ABC dengan

Z C = y Djika kemudian dilukis lingkaran luar A ABC, maka busur

ACB dan AB akan merupakan segmentlingkaran jang memenuhi sjarat.

Lukisan jang lebih mudah didapat de

ngan menggunakan dalil 112 a, akibat

ke-2. Lihatlah gb. 190. Dibuat garis AD

melalui titik A, sehingga Z BAD = y ;

kemudian dibuat garis di A tegaklurus

pada AD, lalu ditetapkan titikpotong P

antara garis ini dengan sumbu AB ; se

sudah ini dibuat lingkaran (P, PA). Busur

ACB lingkaran ini, jang terletak dipihak

jang lain daripada D thd. AB, merupakan

G6 190: Segmentlingkaran SCbUf segmentlingkaran jangdengan sudut jang diketahui. memenuhi sjarat.

186

B u k t i . Lingkaran jang terdapat menjinggung AD di A. Menurut dalil

112a dan akibatnja jang ke-2, maka sudut-sudut y sama dengan setengah

busur AB, jang tidak memuat C.

D is k u s s i . Lukisan ini selalu dapat dilakukan. Dari dalil 113 ternjata,

bahwa hanja segment jang sudah dilukis dan bajangan tjerminnja' di

AB memenuhi sjarat.

Penjelidikan, djika y diketahui besar dan letaknja, dan AB hanja dike

tahui besarnja sadja, diserahkan kepada pembatja.

Dengan jang diuraikan diatas dapat disusun bukti baru untuk beberapa

dalil jang sudah dibuktikan.

D A L I L 78.

abc

R = 4 L

B u k t i . Segitiganja disebut ABC; a dianggap lantjip; titikkaki garis-

tinggi k disebut D, dan titikdiametral B thd. lingkaran ABC disebut Bt.

Maka A ABD oo a BtBC, sebab /_ D = 90° = / BCBt dan / A =

\ bs Bt.

Akibatnja 2R : a = c : tb, djadi

ac abc abc

R = = '2bth = AL

Djuga dalil 99 dapat dibuktikan dengan

mudah dengan menggunakan segiempat

talibusur; lihatlah terutama akibat ke-5

dalil 112a. Achirnja kami muat bukti baru

untuk sifat-sifat lingkaran titik sembilan

dan garis Euler; lihatlah dalil 101.

(P, R) ialah lingkaranluar dan T titiktinggi A ABC, jang dianggap

lantjip. Ditetapkan titikpotong-titikpotong G, K dan L dari garistinggi-

garistinggi AD, BE dan CF dengan lingkaranluar, dan titik-titik dia

metral At, Bt dan Ct. Sekarang Cx = /_ At (dalil 12) = \ bs BG = C2,

sehingga A CDT ^ A CDG; djadi TD = DG. Demikian djuga

TE = EK dan TF = FL. Djadi terbukti, bahwa bajangan tjermin titik

tinggi A ' ABC thd. ketiga garissisinja terletak pada lingkaranluarnja.

Karena /_ AGAt = 90°, maka GAt // CB, djadi BAt = CG = CT ;

lagi pula BAt // CT (masing-masing tegaklurus pada AB), sehingga

CTBAt, adalah sebuah djadjarangendjang. Djadi titikpertengahan Am

dari BC djuga mendjadi titikpertengahan dari TAt; demikian pula

titikpertengahan Bm dari CA djuga mendjadi titikpertengahan TBt,

187

dan titikpertengahan Cm dari AB berimpit dengan titikpertengahan

TCt. Djika sekarang lingkaran (P, R) diperbanjak thd. T dengan faktor

£, maka terdjadilah lingkaran (N, £ R); N ialah titikpertengahan TP.

Titik-titik (9 buah) A, B, C, G, K, L dan At, Bt, Ct menghasilkan A', B',

C ; D, E, F; dan Am, Bm, Cm. Djadi ternjata lagi, bahwa titikpertengah

an ketiga sisi, titikkaki ketiga garistinggi dan titikpertengahan bagian

atas ketiga garistinggi terletak pada satu lingkaran jang disebut ling

karan titik sembilan atau lingkaran Feurbach. Karena AAt melalui

P’ maâ A 'Am melalui N ; PAm ialah garisparallel tengah dalam A

ATAt, djadi PAm = AA' = \ AT ; begitu djuga B 'Bm dan C'Cm melalui

N, dan PBm = \ BTP dan PCm = \ CT. Djika titikpotong AAm dan

TP disebut Z, maka TZ : ZP = AT ; PAm = 2 :1 = AZ : ZAm ; djadi Z

adalah titikberat a ABC.

Djadi titik-titik T, N, Z dan P terletak pada satu garis, ja ’ni jang

disebut garis Euler ; ketjuali itu, antara keempat titik tadi masih terdapat relasi : TN = NP = 3 NZ.

Dikemukakan bahwa T adalah titikkesebangunan luar, dan Z titik-

kesebangunan dalam dari lingkaran luar dan lingkaran titik sembilan A ABC.

188

§ 56.

Sekarang kita muat beberapa tjontoh pemakaian theori diatas.

- T J O N T O H 44.

Tetapkanlah tempat kedudukan titiktinggi segitiga-segitiga ABC, d jika

BC ditentukan letak dan besarnja. a ditentukan besarnja, sedangkan A ter

letak disalah satu pihak thd. BC.

P e n j e l e s a i a n . (lihatlah gb. 193). Djika A ABC salah satu segitiga

jang dimaksud itu, dan lingkaran luarnja disebut (P, R), maka bs BAC

adalah tempat kedudukan A (menurut dalil 113). Dalam A ABC dibuat

garistinggi-garistinggi AD, BE dan CF; selandjutnja ditetapkan titik-

pertengahan Am dan Bm dari BC dan CA. Diatas sudah terdapat, bahwa

AT = 2 PAm. Ini kita buktikan sekali lagi dengan mengemukakan,

bahwa A ABT co A Am Bm P dan AB = 2 AmBm; maka AT = 2 PAm.

Djadi tempat kedudukan T dapat diperoleh dengan djalan meng

geser tempat kedudukan A (ja’ni bs BAC) menurut vector 2 PAm; dengan

demikian terdjadi bs BVTCV, jang tentu sadja congruent dengan bs BAC.

Lingkaran BVTCV bertitikpu-

satkan Pv, jang terletak pada

perpandjangan PAm, sehingga

ppv = 2 PAra; djadi Pv adalah

bajangan tjermin P thd. BC.

Djadi tempat kedudukan jang di-

tjari ialah bs BVTCV dari lingkar

an (Pv, R ) ; lingkaran ini ialah

bajangan tjermin lingkaranluar

thd. BC, djadi djuga melalui B

dan C; batas-batasnja Bv dan Cv

bukan sebagian dari tempat ke

dudukan. Djika a lantjip, maka B

dan C terletak pada bs Bv TCV;

djelas-, bahwa dalam keadaan itu

B dan C mendjadi sebagian dari

tempat kedudukan, sebab mereka

adalah titiktinggi dari kedua segi

tiga siku-siku ABC, jang terdjadi

djika A diperimpitkan dengan Bt atau dengan Ct- Tjara memperoleh

tempat kedudukan tadi (ja’ni dengan menggeser sebuah tempat kedu

dukan jang sudah dikenal) mengakibatkan, bahwa sebaliknja djuga tiap-

tiap titik dari bs BVTCV mendjadi sebagian dari tempat kedudukan.

189

Tempat kedudukan T djuga dapat diperoleh dengan mengemuka

kan, bahwa bajangan tjermin Ts dari titik T thd. BC terletak pada

lingkaran (P, R). Karena ATS J_ BC, maka, djika A bergerak sepan-

djang bs BAC, tentu Ts melalui bs CtTsBt, djadi T melalui bajangan

tjermin bs CtTsBt thd. BC, ja ’ni bs BVTCV.

Achirnja dapat djuga dikemukakan, bahwa /_ BTC = 180° — a,

djika A terletak pada lingkaran (P, R) diantara kedua garis sedjadjar

BvCt dan CvBt, dan /_ BTC = a djika A terletak pada lingkaran (P, R),

tetapi diluar kedua garis sedjadjar tadi. Djuga dengan demikian ternjata,

bahwa tempat kedudukan T adalah bajangan tjermin bs CtTsBt thd.

garis BC (lihatlah dalil 113).

T J O N T O H 45.t

T jarilah tempat kedudukan pusat-pusat lingkar andalam dan lingkar-

ansinggung semua segitiga ABC, 'jang alasnja BC diketahui letak dan

besarnja dan a diketahui besarnja, sedangkan titik-titik A terletak disatu

pihak thd. BC.

P e n j e l e s a i a n . (lihatlah gb.

194). Djika (M,R) lingkaran-

luar salah satu A ABC jang

memenuhi sjarat, maka bs

BAC adalah tempat kedu

dukan titik A (dalil 113).

Ditetapkan sekarang pusat-

pusat I, Ia, Ib dan Ic dari ling

karan-lingkaran dalam dan

singgung. Maka /_ BIC =

180° — — ¿y = 9 0 " + *a;

ini tetap, djadi menurut

dalil 113 tempat kedudukan

I adalah lingkaranluar A

BIC. Nampak dengan mu

dah, bahwa, djika A men

dekati sedekat - sedekatnja

titik B, tentu I demikian

pula. Djadi B adalah titik-

batas tempat kedudukan,

tetapi bukan sebagian dari

tempat kedudukan. Apa

jang dikatakan tentang B,

190

berlaku djuga untuk C. Djadi tempat kedudukan I adalah bs BIC. Kita

lukis titikpusat lingkaran BIC seperti lukisan X X II.

Dari B dibuat sinar BD (D dan A dipihak jang berlainan thd BC).

sehingga CBD = 90° + £ a.

Garis di B tegaklurus pada BD membuat sudut £<x dengan BC,

djadi melalui titikpertengahan K bs BC lingkaran (M. R). jang dengan

A terletak dipihak jang berlainan thd. BC. Karena K djuga terletak pada

sumbu BC, tentu K adalah titikpusat jang ditjari.

Bahwa KB = KI, terdapat djuga karena /_ KBI = /_ K IB (masing-

masing £a+£|3). Djika-sebaliknja I* sebuah titik pada bs BIC dan K I*

memotong lingkaran (M, R) di A*, maka dapat dibuktikan dengan mudah,

bahwa I* adalah pusat lingkaran dalam A A*BC.

Selandjutnja /_ B Ia C = 90°— = 180° — /_ BIC; sehingga Ia

djuga terletak pada lingkaran BIC. Ini djelas djuga dari segitiga siku-

siku IB Ia : disini KB = KI, sehingga K adalah titikpertengahan IIa.

Djadi titik I dan titik Ia terletak diametral pada lingkaran BIC ; djika

B' dan C' titik-titik pada lingkaran itu jang terletak diametral dengan

B dan C, tentu bs B 'IaC' adalah tempat kedudukan dari Ia, titikbatas B'

dan titikbatas C' bukan sebagian dari tempat kedudukan itu.

Karena /_ BIbC = /_ B IcC = |a, maka Ib dan Ic terletak djuga

pada sebuah lingkaran, jang melalui B dan C. Untuk mendapatkan pusat

lingkaran ini, melalui B dibuat sinar, jang membuat sudut £a dengan

BC dan dengan A terletak dipihak jang berlainan thd BC, djadi garis

BK. Garis di B tegaklurus pada BK ialah DB, jang memotong lingkaran

(M, R), dititik L, jang terletak diametral dengan K ; L ini adalah titik

pusat jang ditjari. Pada lingkaran CIbIcB ditetapkan titik-titik B " dan

C", jang terletak diametral dengan B dan C. Karena Ib terletak pada BI,

maka bs CIbB " adalah tempat kedudukan Ib; demikian pula bs B IcC "

adalah tempat kedudukan Ic. Titikbatas-titikbatas B, C, B '' dan C "

bukan sebagian dari tempat kedudukan.

T J O N T O H 46/

Dari sebuah titik M pada lingkaranluar A ABC dibuat garis-garis

jang tegaklurus pada garissisi-garissisinfa.

a. Buktikanlah, bahwa ketiga titikkaki terletak pada satu garis (garis

titikkaki atau garis Wallace titik M thd. A ABC).

b. Buktikanlah djuga, bahwa sebaliknja tempat kedudukan titik-titik P,

jang projeksi-projeksinja pada ketiga garissisi suatu A ABC colli-

neair, adalah lingkaranluar A ABC.

191

c. D jika T titiktinggi A ABC, tentu garis titikkaki M thd. A

melalui titikpertengahan M T ; buktikanlah.

P e n j e l e s a i a n . a. A ABC kita buat lantjip; dan titik M diletakkan

pada busur, jang dibatasi oleh C

/ dan titik B jang terletak diame-

= 90° — Z A = Z. M2 = Z. Ez> dan terdapatlah apa jang harus di

buktikan. Bukti ini hanja berlaku untuk segitiga lantjip. Bukti untuk

segitiga jang siku-siku atau tumpul diserahkan kepada pembatja.

b. Djika D, E dan F terletak pada satu garis, tentu M2 = /_ E2

= Z. Ej = ¿_ Mj, sehingga ¿_ MAB = MCD; ini berarti, bahwa AMCB

adalah sebuah segiempat talibusur, djadi bahwa M - terletak pada

lingkaranluar A ABC.

c. Sebagai telah diketahui (lihatlah gb. 193), bajangan tjermin Tg

dari T thd. AB terletak pada lingkaranluar. Djika titikpotong MTS dan

AB disebut Q, maka Fi - Z. Ai = Z Ta = /_ T V sehingga DF // TQ.

Djika K dan R berturut-turut titikpotong DF dengan MT dan dengan MQ,

maka hanja perlu dibuktikan, bahwa R adalah titikpertengahan MQ ;

djika demikian, tentu K djuga titikpertengahan MT. Ini adalah akibat

dari : = /_ T a = /_ M3. Karena lingkaran titiksembilan dapat

diperoleh dengan djalan memperbanjak lingkaranluar thd. T dengan

faktor maka masih dapat dikemukakan, bahwa K terletak pada

lingkaran titiksembilan A ABC.

tral dengan B, D tentu terletak

diperpandjangan sisi BC, dan E

dan F pada sisi CA dan sisi AB.

E kita hubungkan dengan D

dan F, lalu akan kita buktikan,

bahwa garis DE dan garis EF

berimpit. Karena D dan F ter

letak disebelah menjebelah AC ;

maka untuk keperluan itu tju-

kuplah djika kita buktikan,

bahwa /_ Ex = /_ E2 Ini ternjata

dari segiempat talibusur MDCE,

MCBA dan MEFA (jang ke-1

dan ke-3 masing-masing mempu-

njai dua sudut siku-siku), sbb :

Z E i = - Z . M, = 90° - Z C,Gb. ¡95: Garis Wallace.

192

Diketahui dua sinar l dan m dengan pangkal persekutuan A, sebuah

titik M dan sebuah segmentgaris c. Lukislah melalui M sebuah garis,

jang memotong l di X dan m di Y, sehingga A A X Y sama luasnja dengan

sebuah budjursangkar jang bersisi c.

P e r s ia p a n . Kita anggap, bahwa M terletak didalam sudut jang ter

bentuk oleh l dan perpandjangan m Pada m kita letakkan segment

garis AB — c, dan kita lukis budjursangkar ABCD, jang terletak disatu

pihak dengan l thd. m. Djika titikpotong DC dengan / disebut F, maka

djadjarangendjang ABEF sama luasnja dengan ABCD. Sekarang garis

M XY harus dilukis sedemikian, sehingga AX . AY = 2AB. A F ; A X =

x, AY = y, AB - c dan AF = d ;

djadi x y — 2 cd. Letak M diketa

hui, sehingga sudut antara l dan

AM diketahui p u la ; dalam A

AMX terdapat segmentgaris AM

jang sudah dikenal, /_ Kx jang

sudah dikenal dan segmentgaris x

jang belum dikenal. Sudut A2

kita pindah hingga berkakikan

m, lalu kita sebut Z Aa, dengan

perkataan lain, melalui A kita

buat garis jang berrelasi isogonal

dengan AM thd. sudut (/, m ) ;

maka akan terdapat sebuah segitiga jang sebangun dengan A AMX,

djika dilukis AR sedemikian, sehingga AM : x = y : AR ; djadi AM x

AR = 2 cd. Dari persamaan ini didapat AR ; kemudian didapat Y sbb .:

A AM X co A AYR , djadi Z x i = Z .R i J ini berarti, bahwa A X Y R

adalah sebuah segiempat talibusur, djadi Z X Y R -¡_ /_ X A R = 180°.

Y terletak pada segmentlingkara jang bertalibusurkan MR dar memuat

sudut-sudut jang besarnja sama dengan supplement Z FAR.

M e n g e r d j a k a n n j a . Lukislah djadjarangendjang ABEF dan letak

kanlah pada Z segmentgaris AK = AM. Tariklah KB dan FL // KB

(L pada m), maka AM : d = c: AL, sehingga AR = 2 AL harus dile

takkan pada sinar n ; sinar n berrelasi isogonal dengan AM thd. Z (¿>

m). Dengan MR sebagai talibusur, dan dipihak jang lain dari pada

A thd. MR dibuat busur segmentlingkaran jang memuat sudut-sudut

sebesar 180° — Z FAR ; tentu Y titik-potong busur itu dengan m ;

MY memotong / di X .

Planimetri — 13,1Q3

B u k t i . Karena A R Y X sebuah segiempat talibusur, maka /_ A RY =

Z AXM, dan /_ Y A R = /_ MAX, sehingga A YA R co A MAX, djadi

A X .A Y = AM.AR = AK. 2 AL = 2 cd. Akibatnja ialah : Is A A X Y

= 2 Is A ABF = Is ABEF = c2.

D is k u s s i . Djika M terletak

dalam sudut jang berkaki-

kan l dan perpandjangan

m (sebagai dalam gb. 197).

maka busur segmentling-

karan jang bertalibusurkan

M R mempunjai tepat satu

titikpotong dengan m, dan

terdapat tepat satu penjele-

saian ; demikian djuga hal-

nja. djika M terletak disu-

dut jang lain jang djuga

bersisikan dengan /_ (l, m).

Djika M terletak dalam /_

(l,m), tentu djuga R terletak

didalamnja, ja'ni dipihak

jang lain thd. X Y daripada

A (sebab /_ A YR = /_

AMX > A YXy Sekarang

A X R Y adalah segiempat

talibusur, djadi ¿_ RYM = ¿_ RA X harus didapat sebagai titikpotong

m dengan sebuah busur jang bertitikbataskan M dan R, sehingga ter

dapat 0, 1 atau 2 penjelesaian. Djika M terletak pada l atau m, tentu

terdapat satu penjelesaian ; djika M terletak pada atau didalam sudut

jang bertolak belakang dengan /_ (/, m), maka ta ' terdapat penjelesaian

sebuahpun.

Gb. 197: Pelaksanaan.

§ 5 7 . S O A L - S O A L .

1. Dari sebuah titik T dibuat kedua garissinggung pada sebuah ling

karan (P. R). Busur jang terketjil jang dibatasi oleh kedua titik-

singgung sama dengan a. Hitunglah sudut antara kedua garis

singgung itu.

2. Dari sebuah segitiga samakaki ACB sudut puntjaknja y. Hitunglah

busur-busur jang terpotong oleh kaki-kaki segitiga ini dari ling

karan jang bergaristengahkan A B.

194

3.- Djika pacia tiap-tiap sisi sebuah segitiga dibuat kearah kedalam

sebuah segmentlingkaran, sehingga djumlah ketiga sudut jang dimuat

oleh segment-segment itu, sama dengan 360°, tentu ketiga lingkaran

pemuat segment-segment itu melalui satu titik.

Buktikanlah.

4. Diketahui sebuah segitiga samakaki ABC dan sebuah titik P jang

terletak dengan B disatu pihak thd. alas AC, sehingga Z APC

= \ ¡3. Buktikanlah, bahwa B adalah pusat lingkaran-luar

A APC.'

5. a. Djika dua lingkaran Lj dan L2, dengan djari-djari R dan r (R > / ‘)

singgung-menjinggung dari dalam di S, dan sebuah garis g

memotong Lx di Ax dan Bt dan Ls di A2 dan B2; tentu Z AjSA, =

Z B ,S B 2.

Buktikanlah.

b. Tjarilah sifat sematjam ini djika Lj dan L2 singgung-menjing

gung dari luar.

c. Bagaimanakah bunjinja a dan b, djika g menjinggung L, di D ?

6. Dalam segiempat talibusur ABCD, Tc dan Td adalah titiktinggi

segitiga-segitiga ABD dan ABC. Buktikanlah, bahwa djuga ATcTdB

sebuah segiempat talibusur.

7. Dalam A ABC A? adalah bajangan tjermin A thd. BC. Bs bajangan

tjermin B thd. CA dan Cs bajangan tjermin C thd. Ab. Buktikan

lah, bahwa lingkaranluar segitiga-segitiga ASBC, BSCA dan CSAB

melalui titiktinggi T A ABC.

8. Diketahui dua garis Z dan m jang potong-memotong, sebuah ling

karan L dan sebuah titik S diluar lingkaran itu. Lukislah didalam

lingkaran L sebuah segitiga DEF, dengan sjarat: DE // /, DF // m

dan EF melalui S.

9. Pada sebuah segmentgaris AB sebagai garistengah dilukis setengah

lingkaran a (titikpusat P). Pada djari-djari AP dan PB terletak

titik-titik C dan D, sehingga CP = PD. Dari C dan D dibuat dua

garis sedjadjar; jang memotong a di E dan di F. Garissinggung

di E pada a memotong garis di C tegaklurus pada AB di G ; dan

garissinggung di F pada a memotong garis di D tegaklurus pada

AB di H. Buktikanlah, bahwa CG = DH.

195

10. Dari a ABC diketahui alas AB dengan letak dan besarnja, dan

sudut -f, sedangkan C tertet&k disatah satu pitiak (jang ditetapkan')

thd. AB. TjarWah tempat kedudukan

a. titikberat Z A ABC.b. pusat lingkaran titiksembilan A ABC.

c. Tetapkanlah tempat kedudukan titiktinggi T A ABC dari tem

pat kedudukan Z.

11. Dari udjung-udjung alas AB segitiga samakaki ACB dibuat garis-

singgung-garissinggung pada lingkaran (C, r). Tjarilah tempat kedu

dukan titikpotong-titikpotong garissi ggung-garissinggung itu, djika

r berubah-ubah.

12. Melalui sebuah titik R pada garissisi BC sebuah A ABC dibuat

sebuah lingkaran [3, jang menjinggung AB di B, dan sebuah ling

karan y, jang menjinggung AC di C. Ketjuali di R, lingkaran ¡3 dan

lingkaran y potong-memotong djuga di S ; tjarilah tempat kedu

dukan S, djika R bergerak sepandjang garis BC.

13. Diketahui lingkaran (P, r) dengan garistengah AB tetap. Sebuah titik

Vu\ &WovmgV;an dengan A dan B, kemudian pada

MA diletakkan segmentgaris MQ = MB, dan pada perpandjangan

AM segmentgaris MR = MB. Tjarilah tempat kedudukan Q dan

tempat kedudukan R, djika M bergerak sepandjang lingkaran tadi.

14. Dua lingkaran (3 dan y potong-memotong dititik A dan titik A ' ;

BAC adalah sebuah talibusur jang tetap, dan QAR sebuah talibusur

jang tidak tetap dalam kedua lingkaran tadi (B dan Q pada p, C

dan R pada y). Tjarilah tempat kedudukan titikpotong S dari BQ

dan CR, djika QR berputar pada A.

15. Diketahui dua garis / dan m jang . potong-memotong dan sebuah

lingkaran (P, r). Didalam lingkaran itu dilukis segitiga-segitiga ABC

dengan AB / / 1 dan AC // m. Tjarilah tempat kedudukan pusat

lingkaran dalam segitiga-segitiga itu.

16. AB ialah talibusur jang tetap dalam lingkaran (P, r). Dilukis sebuah

lingkaran y, jang pusatnja, N, terletak pada lingkaran (P, r) dan

menjinggung garis AB. Dari A dan B dibuat garissinggung-garis-

singgung (jang berlainan dengan AB) pada y, jang potong-memo

tong di S. Tjarilah tempat kedudukan S, djika N mengelilingi

lingkaran (P, r).

196

17. Pada lingkaran (P, r) diketahui dua titik tetap,A dan B, Dari A

dibuat talibusur AC dan dari B talibusur BD, sehingga AC = BD.

Tjarilah tempat kedudukan titikpotong garis-garis AC dan BD,

djika C mengelilingi lingkaran (P, r).

18. Lukislah segiempat ABCD, djika diketahui : AD, AC, BD, a + p

dan salah satu sudut antara kedua diagonal.

19. Lukislah sebuah segiempat talibusur ABCD, djika diketahui :

a. diagonal AC, diagonal BD, salah satu sudut antara kedua diago

nal tadi, dan /_ ACB ;

b. AB, /_ ACB, salah satu sudut antara kedua diagonal dan per

bandingan kedua bagian AC jang terdjadi karena BD.

20. D jika Q terletak dilingkaran luar A ABC, tentu garis-garis jang

berrelasi isogonal dengan QA, QB dan QC thd. /_ A, /_ B dan /_ C

A ABC sedjadjar. Buktikanlah.

21. Q dan S ialah dua titik jang berrelasi isogonal thd. A ABC. Bukti

kanlah, bahwa sisi-sisi segitiga titikkaki Q thd. A ABC tegaklurus

pada garis-garis penghubung S dengan titiksudut-titiksudut A ABC.

22. Djika Q mengelilingi sebuah lingkaran, jang melalui titiksudut A

dan titiksudut B sebuah A ABC, sehingga Z APB tetap, tentu titik

S, jang berrelasi isogonal dengan Q thd. A ABC, mengelilingi sebuah

lingkaran jang lain, jang djuga melalui A dan B. Buktikanlah.

23. a. Q terletak pada lingkaranluar A ABC. Buktikanlah, bahwa ba-

jangan tjermin Qa, Qb dan Qc dari Q thd. garissisi-garissisi BC,

CA dan AB terletak pada satu garis.

b. T ialah titiktinggi A ABC. Djika AA' berrelasi isogonal dengan

QA thd. /_ A, buktikanlah, bahwa Qa T J_ AA'. »

24. a. Buktikanlah, bahwa djuga garis Wallace tegaklurus pada AA '

dan melalui titikpertengahan QT (lihatlah nr. 23b).

b. Pada lingkaranluar (P, R) A ’ABC diletakkan titik Q dan titik

S ; buktikanlah, bahwa salah satu sudut garistitikkaki q dan s

dari Q dan S thd. A ABC sama dengan £ /_ QPS.

c. Djika Q dan S (lihatlah b) terletak diametral thd. lingkaran

(P, R), tentu garistitikkaki mereka q dan s potong-memotong

tegaklurus disuatu titik pada lingkaran titiksembilan A ABC.

Buktikanlah.

197

» 25. a. Pada lingkaran luar (P, R) A ABC diletakkan titik Q, sehingga

QA ¡I BC (¡3 # y). Buktikanlah, bahwa, garis titikkaki Q thd.

A ABC sedjadjar dengan PA.

b. D jika garistinggi dari A memotong lingkaranluar (P, R) A ABC

sekali lagi di S, tentu garistitikkaki S thd. A ABC sedjadjar

dengan garissinggung di A pada lingkaran (P, R). Buktikanlah.

26. a. Pada segiempat talibusur ABCD, Ta, Tb, Tc dan Td adalah titik-

tinggi segitiga-segitiga BCD, CDA, DAB dan ABC. Buktikanlah,

bahwa segiempat Ta Tb Tc Td sama dan sebangun dengan

segiempat ABCD.

b. Buktikanlah, bahwa garistitikkaki tiap-tiap titiksudut segiempat

talibusur tadi thd. segitiga jang bertitiksudutkan ketiga titik

sudut jang lain, melalui satu titik O.

c. Buktikanlah, bahwa djuga lingkaran titiksembilan keempat segi

tiga tersebut di a melalui titik O.

27. Pada lingkaran luar A ABC diletakkan titik-titik Q, R dan S.

Buktikanlah, bahwa segitiga jang bergarissisikan garistitikkaki titik-

titik tadi, sebangun dengan A QRS.

28. Pada lingkaran (P, R) terletak titik-titik tetap A, B, M dan N,

sedangkan titik C, jang tidak tetap, mengelilingi lingkaran, itu.

Tj aril ah tempat kedudukan titikpotong S garistitikkaki m dan n

dari M dan N thd. A ABC.

29. Lukislah pada sebuah segitiga ABC jang telah diketahui sebuah

titik K, sehingga projeksi-projeksi L, M dan N dari K pada garis-

sisi-garissisi BC, CA dan AB collineair dan LM = MN.

30. a. «Dengan sisi-sisi BC, CA dan AB A ABC sebagai talibusur dan

arah kedalam dibuat segment-segment lingkaran jang berturut-

turut memuat sudut sebesar 180° — y, 180° — a dan 180° — ¡3. Buktikanlah, bahwa ketiga lingkaran jang memuat segment-

segment tadi melalui satu titik M (titik ini disebut titik Brocard

pertama A ABC).b. Buktikanlah, bahwa lingkaran-lingkaran tadi menjinggung CA

di C, AB di A dan BC di B.

c. Buktikanlah, bahwa sudut-sudut MAB, MBC dan MCA sama

besarnja sudut-sudut ini dinjatakan dengan tanda <0 dan disebut

sudut Brocard A ABC.

198

d. Buktikanlah, bahwa didalam tiap-tiap segitiga ABC terdapat

paling sedikit dan paling banjak satu titik M, sehingga /_ MAB

= MBC = Z MCA.

31. Titik Brocard pertama A ACB disebut titik Brocard kedua A ABC.

Buktikanlah, bahwa kedua titik Brocard A ABC berrelasi isogonal

thd. A ABC.

32. a. Djika dalam gambar soal nr. 30a perpandjangan BM memotong

lingkaran jang bertalibusurkan CA dititik N, maka AN // BC.

Buktikanlah ini dan pergunakanlah untuk mendapatkan lukisan

jang mudah bagi titik M dan sudut <o.

b. Buktikanlah, bahwa A NCA oo A ABC, kemudian njatakanlah

NC dengan sisi-sisi a, b dan c A ABC.

c. Djika A ' dan N' projeksi A dan N pada garissisi BC, dan AA' =

NN' = h, maka BN' = h cotg co. Buktikanlah ini dan perguna

kanlah ini untuk mendapatkan rumus

cotg co = cotg <x + cotg ¡3 + cotg y.

33. a. Pada sisi-sisi A ABC dibuat arah keluar segitiga-segitiga sama-

sisi BCA', CAB' dan ABC'. Buktikanlah, bahwa AA' = BB' ==

CC'.

b. Buktikanlah, bahwa lingkaranluar segitiga-segitiga samasisi tadi

melalui satu titik S. (S disebut titik■ Torricelli A ABC).

c. Buktikanlah, bahwa djuga garis-garis AA', BB' dan CC' melalui S.

34. Diketahui sebuah segiempat talibusur ABCD. Lingkaran dalam segi-

tiga-segitiga ABC, BCD, CDA dan DAB berturut-turut disebut

(pi> ri)> (P2> rz), (Ps> r3) dan (P4, r4). Buktikanlah, bahwa pusat-pusat

mereka mendjadi titiksudut sebuah empatpersegipandjang; selan-

djutnja buktikanlah, bahwa rx + r3 = r2 + r4.

35. Dari segiempat talibusur ABCD diketahui djari-djari R lingkaran-

luarnja, a, b + d dan q> = BSC. S ialah titikpotong kedua diago

nal. Lukislah segiempat itu.

§ 58.

Seringkali perbanjakan disertai dengan perputaran (rotasi) dengan

pusat jang sama ; transformasi jang terdiri dari perbanjakan dan per

putaran dengan pusat jang sama, disebut torsi. Torsi dengan pusat O,

faktor positif k dan sudut berarah <p, disebut torsi (O, k <p). Lihatlah

199

gb. 198; disini k ^ 9/16 dan q> 63°. Djelas, bahwa perputarannja djuga

boleh didahulukan. Index h menundjukkan, bahwa A Ah Ph Ch homo-

thetis dengan A ABC ; tambahan d menundjukkan, bahwa bangun jang

terdapat kemudian diputar, Djadi index rangkap menundjukkan tjara

terdjadinja bangun ketiga G' dari G. Lihatlah sekarang gb. 199 ; OP dan

busur G sebuah lingkaran jang berpusatkan P ; pada OP telah dilakukan

torsi ; torsi ini menghasilkan Phd ; faktor perbanjakannja ialah \\ ; sudut

berarahnja <p = 90°. Titik A mendjalani busur G dengan arah djarum

djam; (O, 1$, 90°) memindahkan A ke B. Dengan transformasi itu djuga

• O

Ax pindah ke dan A2 ke B2 ; titik-titik B mendjalani bangun Ghd;

bangun ini tentu sadja sebangun dengan G. Djika G diperbanjak, tentu

terdjadilah bangun Gh (tidak tergambar) jang sebangun dengan G ;

djika Gh diputar, terdjadilah Gha; tetapi perputaran ini tidak mengu

bah besar dan arah-keliling suatu bangun.

T J O N T O H 48.

Diketahui dua lingkaran (3 dan y dan sebuah titik A. Lukislah A ABC,

sehingga B terletak pada (3 dan C pada y; /_B dan / _ C A ABC diketahui.

200

AP e r s ia p a n (lihatlah gb. 200a). Djika

dilukis A A 'B 'C ' dengan sudut-sudut

jang diketahui (misalnja /_ B' = 30°,

C' = 45°, d jadi ¿_ A ' = 105°), maka

AC : AB = A'C ' : A 'B ' = k. Titik C

diperoleh dari titik B dengan torsi

(A, k, + 105° atau — 105°). Karena

torsi ini lingkaran p mendjelma men-

djadi lingkaran fW; djadi C harus

terletak pada Pm dan pada y.

M e n g e r d j a k a n n j a . Kita ambil B = 30°, ¿ C = 45°, djadi A

= 105°; perbandingan AC : AB = k telah tertulis diatas lingkaran-ling

karan. Perbanjaklah sekarang lingkaran p dengan k ; lihatlah pada

segitiga diatas A 'P ' = A P ; A'P'h dipindah dengan nama APh ke-

gambar jang memuat lingkaran-lingkaran. Dengan djalan jang sama

201

djari-djari lingkaran p diperbanjak dengan k; sesudah itu dapat dilukis

lingkaran p&. Lingkaran P& ini diputar, dengan A sebagai pusat per

putaran, kekiri dan kekanan sepandjang sudut = 105°; lihatlah pusat-

pusat PM dan P'hd; lingkaran-lingkaran jang telah diputar ini memo

tong y di Clr C2, C3 dan C4. Djika ACj diputar kembali sedjauh 105°,

terdapatlah Clh pada lingkaran ph; dengan memperpandjang AC^ ter

dapatlah titik Bj pada p ; tarik sekarang C ^ , maka terdapat salah

satu segitiga jang memenuhi sjarat; A AC2B2, A AC3B3 dan A AC4B4 terdapat dengan djalan jang sama.

D isk u ss i. Paling banjak terdapat 4 lingkaran, sebab Phd dan y paling

banjak bersekutu 2 titik, padahal ada dua lingkaran pbd, jang terdjadi

dari p dengan transformasi (A, k, 105°) dan (A, k, — 105°).

P e r h a t i a n . Djika diketahui dua lingkaran (P , R) dan (Q, r), R > r,

maka terdapat torsi (O, k, <p) ta ’ terbatas banjaknja, jang mendjelmakan

rlingkaran jang satu mendjadi lingkaran jang lain ; k = — ; <p tergantung

H

kepada letaknja O. Dan letak O ini harus memenuhi OQ = k. OP ;

OP Rdjadi-QQ-=— (dalam gb. 201 k — \ dan cp = — 40°). Djadi tempat

kedudukan O adalah sebuah lingkaran Apollonius; pada lingkaran ini

kedua titik kesebangunan I dan U mendjadi dua titik diametral. Ling

karan ini disebut lingkaran kesebangunan lingkaran (P, R) dan lingkaran

(Q, r).

O

Djika kedua lingkaran ini potong-memotong, tentu sadja lingkaran

kesebangunan mereka melalui kedua titikpotong.

202

T J O N T O H 49

Diketahui dua lingkaran y dan 8, dengan pusat P dan Q, jang potong-

memotong dititik-titik A dan B. Garis pemuat talibusur-rangkap CD (C

pada y, D pada S) berputar pada A.

Ditanjakan tempat kedudukan :

a. pusat I lingkaran-dalam A BCD.

b. titikpotong S antara CP dan DQ.

P e n j e l e s a i a n k e -1. (lihatlah gb. 202a). Karena sudut-sudut C dan D

A BCD tidak berubah, djika CD berputar pada A, maka semua segitiga

BCD sebangun jang satu dengan jang lain, dan djuga dengan A BPQ;

sebab / _ C = \bs AB lingkaran y = /_ Px dan / _ D — \bs AB lingkaran

S = /_ Qr Dari tiap2 dua segitiga BDC, tentu jang satu dapat mendjelma

mendjadi jang lain djika ditorsikan dengan B sebagai pusat torsi. Pusat I

lingkaran-dalam ialah titikpotong CE dan DF; E ialah titikpertengahan

bs AB lingkaran y, F titikpertengahan bs AB lingkaran S. Sudut berarah

B(C, I) = cp te tap ; demikian djuga BI : BC = k (dalam gb. 202a <p = 43°

dan k = 2/5); I dapat diperoleh dari C dengan torsi (B, k, cp). BI, djika

dipindah ke BC, mendjadi BId ; sekarang terlebih dulu P kita perba-

njak dengan k; terdapat Ph,- lihatlah CP dan Id P^ // CP; sekarang Ph

diputar kekanan sepandjang sudut 9 ; terdapat pusat Phd- Lingkaran y

mendjelma mendjadi lingkaran yhd jang melalui I, karena C mendjalani

seluruh lingkaran; ketjuali titik B, maka djalan jang dilalui I terdiri dari

seluruh lingkaran yhd; djuga zonder titik B.

Ternjata bahwa lingkaran ini melalui E dan F; ja ’ni pertengahan kedua

2 0 3

busur AB; lukislah dalam gambar A C^BDj; untuk segitiga ini I = E;

untuk A C2B2D I = F.

Djika ini telah diketahui, maka mengerdjakannja mendjadi sangat

mudah; dibuat lingkaran melalui B, E dan F. Tentu sadja harus di

buktikan terlebih dulu, bahwa akan didapat sebuah lingkaran; sesudah

ini tidak perlu dilakukan lukisan gb. 202a jang agak sulit itu.

P e n j e l e s a i a n k e -2. Penjelesaian jang sukar diatas telah kita muat ter

lebih dulu, karena merupakan suatu tjontoh jang bagus mengenai torsi.

Penjelesaian jang berikut lebih mudah; BC dan BD tidak perlu kita

tarik. CE ialah garisbagi jang satu, DF garisbagi jang lain; djika bs A E =

bs EB disamakan 2a; dan bs AF = bs FB disamakan 2 ¡3, maka £ /_ C =

«; J D = p dan /_ CIF = a + p. Ini berlaku untuk setiap tali-

busur rangkap CD, asal sadja C dan D terletak disebelah-menjebelah A.

2 0 4

Pandanglah sekarang talibusur AC'D'; garisbagi D ' A BC 'D '

melalui F; garisbagi /_ C' melalui E (sebab garisbagi luar C' melalui

titikpertengahan Et bs AEtB); /_ ^C 'D ' = AC'E = a ; djadi

/_ FIjC' = a + p (dalil 13). Ternjata bahwa IE IXF adalah sebuah

segiempat talibusur (dalil 113, akibat); B adalah sebuah titikbatas dari

tempat kedudukan; djadi lingkaran jang melalui B, E dan F adalah

tempat kedudukan jang ditanjakan.

b. Lihatlah gb. 203. Karena A BCD, djika ditorsikan dengan B sebagai

pusat torsi, dapat menghasilkan A BPQ, maka /_ B(CP) = /_

B(DQ); sehingga djuga /_ SPB = 2 /_ B(CP) (dalil 13) = 2 /_

B(DQ) = BQS; ini berarti bahwa S terletak pada lingkaranluar

e A BPQ

§ 5 9 . S O A L - S O A L

1. Dari segitiga ABC diketahui sudut-sudutnja, dan titik A. Tjarilah

tempat kedudukan C, djika B bergerak sepandjang sebuah garis g.

2. Diketahui sebuah segitiga PQR, sebuah titik A, sebuah garis g dan

sebuah lingkaran y. Lukislah A ABC, jang sebangun dengan A

PQR; sedangkan B terletak di g dan C terletak pada y.

3. Lukislah dalam djadjarangendjang ABCD sebuah belahketupat, jang

diagonal-diagonalnja berbanding sebagai dua segmentgaris p dan q.

Pada tiap-tiap sisi djadjarangendjang tadi harus terletak sebuah

titiksudut belahketupat itu.

4. Diketahui sebuah titik A, sebuah lingkaran 8 dan sebuah bilangan

positif k. Pada S diletakkan titik D dan kemudian pada sinar AD

sebuah titik P, sehingga AP = k. AD. Seterusnja dengan AP se

bagai sisi, dibuat segitiga samasisi APQ, jang bertitikberatkan Z.

Tjarilah tempat kedudukan Z, djika D mendjâlani lingkaran S.

5. Diketahui tiga garis sedjadjar a, b dan c dan A PQR- Lukislah

A ABC, jang sebangun dengan A PQR> sehingga A terletak di a, B

di b dan C di c.

6. Diketahui tiga garis a, b dan c jang melalui satu titik O, dan A PQR.

Lukislah A ABC jang congruent dengan A PQR> sehingga A terletak

di a, B di ^ dan C di c.-

205

B A B X .

RELASI ANTARA SEGMENTGARIS-SEGMENTGARIS BERHU

BUNG DENGAN LINGKARAN.

§ 60.

Dengan menggunakan hubungan antara sudut dan talibusur dan

theorie tentang kesebangun'an dapat kita peroleh relasi-relasi penting

antara segmentgaris-segmentgaris jang berhubungan dengan lingkaran.

D A L I L 114a.

D jik a dua garis l dan m jang melalui sebuah titik O, memotong sebuah

lingkaran tentu hasilperbanjakan djarak dari O ketitikpotong-titikpotong

pada garis l sama dengan hasi!ptrbanjakan djarak O ketitikpotong-titik

potong pada garis m.

G b. 2 0 4 : O A .O B = O C .O D .

B u k t i . Djika O terletak didalam atau diluar lingkaran, titikpotong-

titikpotong pada Z disebut A dan B, titikpotong-titikpotong pada m dise

but C dan D, maka A OAD co A OCB. Djika OA, OB, OC dan QD

berturut-turut disebut p, q, r dan s, maka pq = rs.

Djika O terletak pada lingkaran, maka kedua hasilperbanjakan itu

sama dengan nol.

Bukti diatas berlaku djuga. djika kedua garis, atau salah satu dari

kedua garis, menjinggung lingkaran tadi.

P e r h a t ia n 1. Dalil 114a dapat djuga dikatakan sbb. : hasilperba

njakan djarak-djarak dari O ke-titikpotong-titikpotong A dan B dari

suatu garis jang berputar pada O dengan sebuah lingkaran, mempunjai

harga jang tetap.

2 0 6

P e r h a t ia n 2. Ada baiknja, djika hasilperbanjakan OA x OB diberi

tanda positif atau negatif; maka selandjutnja hasilperbanjakan ini kita

anggap positif, djika O terletak diluar lingkaran, dan negatif, djika O terletak

didalam lingkaran. Hasilperbanjakan tadi dapat ditulis OA. OB.

Jang disebut kuasa n (O, C) dari suatu titik'O thd. lingkaran C ialah --► --►

hasilperbanjakan OA. OB ; A dan B ialah titikpotong lingkaran itu

dengan sebuah garis jang melalui O. Kuasa ini positif, djika O terletak

diluar lingkaran, nol djika O terletak pada lingkaran dan negatif, djika

O terletak didalam lingkaran; dari dalil 114a ternjata, bahwa kuasa ini

untuk semua garispotong jang melalui O sama harganja. Djika O

terletak diluar lingkaran, maka kuasanja sama dengan pangkat dua dari

pandjangnja garissinggung dari O pada lingkaran itu. Djika O terletak

didalam lingkaran, maka kuasanja berlawanan dengan pangkat dua se

tengah talibusur jang bertitiktengahkan O.

D A L I L 114b.

Kuasa sebuah titik O thd. sebuah lingkaran (P, r) sama dengan O P 2—r2.

B u k t i , (bukti ini djuga merupakan bukti

baru untuk dalil 114 a). Djika sebuah ga

ris Z jang melalui O, memotong lingkaran

termaksud di A dan B, dan projeksi P

pada Z disebut C, maka :

OA x OB = (OC + CA) (OC + CB) =

(OC + CA) X (OC — CA) = OC2 — CA2

= OP2 — PC2 — CA2 = OP2 — r2. Gb. 205: OA.OB =

D A L I L 114c.

Djika garis-garis AB dan CD potong-memotong di O dan O A. OB =

OC. OD, tentu A, B, C dan D concyclis (= 'terletak pada satu lingkaran).

Djika O A2 = OC.OD =£ O, tentu lingkaran ACD menjinggung OA di A.

B u k t i . Menurut dalil 114a, lingkaran ABC memotong garis OC, ketjuali

dititik C, djuga dititi k D', sehingga

OA. OB = OC. OD'.

Djadi OD = OD', sehingga D dan D' berimpit; djadi A, B, C dan D

concyclis.

207

Dalam keadaan jang kedua didapat dari dalil 114a, bahwa titik-

potong-titikpotong A dan A ' antara OA dan lingkaran ACD berimpit;

sebab

OA. OA' = OC. OD = OA2

Sebagai pemakaian dalil 114a kita buktikan sekali lagi setjara lain

dalil 106a dan b, dan dalil llOa.

D A L I L 106a.

D jika sebuah talibusur dan sebuah gar ist engah sesuatu lingkaran ber

sekutu satu udjung, tentu talibusur itu mendjadi pembanding tengah anta

ra projeksinja pada garistengah t-adi dan garistengah tadi.

B u k t i . Djika talibusur disebut AB, garistengahnja AD dan projeksi

B pada AD B', maka, karena AB J_ BD, lingkaran dengan BD sebagai

garistengah menjinggung AB. Karena lingkaran ini melalui B', maka

AB2 = AB'. AD.

A k ib a t . Kwadrat talibusur-talibusur suatu lingkaran jang bersekutu satu

udjung dengan sebuah garistengah, sebanding dengan projeksi talibusur-

talibusur itu pada garistengah itu.

D A L I L 106b.

Garis jang dibuat dari sebuah titik pada sebuah lingkaran tegaklurus

pada sebuah garistengah, tentu mendjadi pembanding tengah antara kedua

bagian garistengah, jang terdjadi karena perpotongan dengan garis tegak

lurus tadi.

B u k t i . Ini akibat dari dalil 114a.

208

D A L I L 1 lOa.

doc2 — bc — fljflo.

Bukti. Lukislah lingkaran-luar A ABC ;

garisbagi /_ A memotong busur BC, jang

tidak memuat A, di D. ED disebut p;

A ADB co a ACE; lihatlah sudut-sudut

jang sama; maka:

(d« + p ) : c — b : da, maka

da2 + p doc = bc

p do,— ata2 (dalil 114a)

da2 = bc — a-fli

§ 6 1 . T J O N T O H 50.

T ialah titiktinggi dan (P, R) lingkaran-luar A ABC; buktikanlah,

bahwa T P 2 — 9 R2 — (a2 + b2 + c2).

P e n j e l e s a ia n . Kita Hitung kuasa titik- ___

berat Z A ABC thd lingkaran (P, R); sebab

disitu terdapat ZP = J TP dan R. Kuasa Z

adalah ZP2 — R2, tetapi djuga Z A X Z E =

— 1' (& 2* + D E) : g' za2 — |- za x

DE ; suku keduanja sama dengan — f x

i a x i a = — \ a2\ djadi terdapat:

ZA x ZE = — | za2 — J a2 =

- # {\b2 + \c2 ~ i a 2) ~ ^ a 2 = m 2m

— i (a2 + b2 + c2), sehingga Tpi = 9R*-{a*'+ 62 + c*).

ZP2 = R 2 _ i. (a2 + b2 + c2) dan TP2 = 9 R2 — (c2 + b2 + c2).

T J O N T O H 51

a. D jika (P, R) dan (/, r) berturut-turut lingkaran-luar dan lingkar an

ti alam A ABC, tentu P l2 = R2 — 2 R r.

b. D jika (P, R) dan (/a, ra) berturut-turut lingkaran-luar dan lingkar an-

singgung A ABC, jang menjinggung sisi a, tentu P U 2 — R 2 + 2 Rr^.

B u k t i a. I terletak didalam A ABC, djadi didalam lingkaran-luarnja;

djadi kuasa I thd. lingkaran-luar tentu negatif, ja'ni P I2 —■ R2; menurut

jang harus dibuktikan kuasa ini sama dengan — 2 Rr; kuasa I djuga

209

Gb. 208: d*a — bc — atat .

Planimetri - 14

sama dengan — IA x IF = — IA X FC.

D jad i jang harus dibuktikan boleh diubah

mendjadi IA x FC = 2Rr atau mendjadi

IA :r — 2R : FC. Suku-suku perbandingan

jang kiri terdapat dalam A AIG, suku-

suku perbandingan jang kanan terdapat

dalam A KFC (K F _]_ BC); kedua segi-

tiga ini sebangun (dalil 92); djadi perban

dingan seharga diatas betul.

Ruas kiri P I2 = /?2 — 2 Rr adalah

positif; djadi ruas kanan djuga positif;

ini berarti R > 2r. Tanda sama berlaku

djika A ABC samasisi.

B u k t i u n t u k b. Seperti pada a terdapat

A A IaL co a KFC; maka: A Ia : 2R = Ob. 210: pi* dan p iq\

ra : CF ; CF = I» F; Ia F x Ia A adalah kuasa Ia thd. lingkaran M ;

P Ia2 — R 2 djuga kuasa Ia thd.. lingkaran P, djadi P Ia2— R 2 = 2 Rra.

Dari jang telah terdapat, masih dapat diperoleh :

P I2 + P Ia2 + Plb2 + PIc2 = 12 R 2.

Ruas kiri sama dengan 4 R 2 -1 2 R (ra + rb + rc — r),

disini sukuempat jang diantara kurung sama dengan :

/ 1 1 1 __ i I _ r \ c c \

^ x (s — C + S — b s — c x i (s — a) (s — b)+ s (s— c)'

ab abc , j- , , ,Lc x u = -j- = 4R. D jadi untuk djumlah keempat kwadrat terdapat

4R 2 + 2R. 4R = 12R 2. Dari R 2 — d2 = 2Rr (disini d = PI) terdapat

R¡hp = YRr dan keraudian -RT~d + ñ=¡=T-

T J O N T O H 52.

P ialah pusat lingkaran luar A ABC; T ialah titiktinggi.

a. djika A A BC lantjip, tentu PT 2 = R 2 — 4R p ;

p adalah djari-djari lingkaran-dalam segitiga titikkaki T ;

b. djika a tumpul, tentu P T 2 = R 2 + 4 R pa; disini poc adalah pusat

lingkaran-singgung-segitiga titikkaki, dalam sudut jang bertolak bela

kang dengan a.

B u k t i a. Dalam tjontoh 51 telah kami peroleh rumus-rumus untuk

P I dan P Ia. Rumus-rumus ini kita pergunakan pada segitiga-titikkaki

210

DEF ; pusat Iingkaran-luarnja ialah N ; 1 bersesuaian dengan T dalam

gb. 211 ; djadi NT2 = (¿Z?)2 — 2(£/?) p ; sekarang PT = 2 N T ; djadi

terdapat : PT2 = R2 — 4 Rp.

A

B u k t i b. Pada gb. 212 T ialah pusat lingkaran-singgung pada EF,

didalam sudut jang bertolak belakang dengan a.

Menurut tjontoh 51 lagi terdapat: NT2 = (£/?)2 + 2 (£ R)pa; karena

TP = 2TN, .maka PN2 = R 2 + 4 R ^ .

T J O N T O H 53.

Lingkaran-dalam dan lingkaran-titik-sembilan singgung menjinggung dari

dalam (dalil Feuerbach).

B u k t i . A ABC lantjip ; M, I dan N berturut-turut pusat lingkaran-luar,

lingkaran-dalam dan lingkaran-titik-sembilan. AHD J_ BC ; A IF adalah

> garis-bagi sudut oc; MA'F J_ B C ; A ' ialah titikpertengahan sisi BC.

N Q K_L BC; IP = r J_ BC. Kita hitung N I ; djika NI ternjata sama

dengan selisih djari-djari £ R dan r dari lingkaran-titiksembilan dan

lingkaran-dalam, tentu mereka ini singgung-menjinggung, \ R > r ;

lihatlah bagian terachir bukti tjontoh 51a.

N IPQ ialah sebuah trapezium siku-siku; djadi :

N12 = {r ~ (*/? - P)}2 + <72 = {(i/? — r) — p}* + djadi N I2 = — r)2 — p{ R — 2 r) + p2 + q*.

Tetapi menurut dalil ini haruslah NI = \R — t \ djadi haruslah

cp(R — 2 r) = /?2 + q\

(p2 + kz = pR ; sebab tiap-tiap ruas sama dengan s2 (dalil 106a)

+ —--------------------

211

Perdjumlahan menghasilkan k2 — q2 = 2p r ; k, q dan r dapat dengan

agak mudah dinjatakan dengan sisi-sisinja, tetapi p tidak.

Djadi lebih baik kita tidak menggunakan perhitungan, melainkan

tjara ilmu ukur.

k + q dan k — q diperoleh, djika melalui 1 dibuat garis sedjadjar

dengan BC; A ' MG dan D H D ' tegaklurus pada BC.

A IFG oo a IAD'; ini mudah dilihat. 9 ialah sudut antara garis-

tinggi AD dan garisbagi AF, djadi sama dengan £((3 — y). Sudut <p

ini terdapat djuga di A A 'KQ; lihatlah gambar ketjil dikiri atas; A

A 'B 'C ' sebangun dengan segitiga jang bertitiksudutkan titik-titik-per-

tengahan A ABC ; bs A 'KA 'sC ' = 2p; bs A 'SC = 2y; djadi bs A' K A 'S =

2 p — 2y; bs K A 'B = P — y dan 9 = i(p — y).

+ Q) ■ IF = P • sj _ A l X 1F = 2 Rr menurut tjontoh 51 a.(k — q) : A l = p : s)

___ ____ ___________(tc2 _ q2) : 2 Rr = p2 : s2 = p2 : pR = P : Rj

Djika perbandingan ke-1 dan ke-4 dipersamakan, maka terdapat k-

— q2 = 2pr. Dengan ini terbukti, bahwa N I2 = (|R — r)2, djadi N I =

£R — r, sehingga-kedua lingkaran singgung-menjinggung; titiksinggung

T terletak pada garis NI.

212

Dalam gambar ketjil dikanan atas nampak Ietaknja titik-titik pen

ting dalam gambar jang besar.

MI = V R 2 — 2Rr (tjontoh 51); MH = V R 2 — 4Rp (tjontoh 52);

NI = |R — r (tjontoh 53). IH dihitung dengan rumus garisberat'.

4(¿7? — r)2 = 2{R% — 2Rr) + 2 IH 2 — R2 + 4R p; kita dapat:

IH = V 2r2 — 2R?. Sekarang djuga IZ dapat dihitung, ja 'ni dengan

rumus Stewart, didapat: 9 IZ2 = 4R2 — 12 Rr + 6r2 + 2Rp.

Menurut tjontoh 52 maka pada sebuah segitiga dengan sudut

tumpul a berlaku MH2 = R2 + AR pa ; poc ialah djari-djari lingkaran-

singgung A DEF dalam sudut jang bertolak belakang dengan a. D i

dapat :

IH = V/2r2 + 2tfpa

§62 .

Sebelum melandjutkan tjontoh-tjontoh tentang pemakaian, kita

muat terlebih dulu beberapa definisi.

Pada gb. 214 G adalah titik-kesebangunan-luar lingkaran Cx dan C2;

GAB memotong kedua lingkaran; Cx di A dan B, C2 dititik-titik Ah dan

B* jang homothetis-luar thd. A dan B.

A dan Bh disebut titik-titik jang invers: demikian djuga B dan A± ;

relasi invers ini kita njatakan dengan index i; djadi Bh = At; demikian

djuga Ah = Bi; A dan At B dan Bi disebut titik invers-luar.

Kita buat djuga garispotong melalui H, titik-kesebangunan-dalam;

Cj dipotong di D dan E, C2 dalam titik-titik Dh dan Eh jang homothetis-

dalam dengan D dan E; selandjutnja Di dan Et adalah titik-titik jang

inversdalam dengan D dan E.

Dari dalil 114 dengan mudah didapat:

213

D A L I L 115.

G adalah titik-kesebangunan-luar lingkaran Lx dan lingkaran L2; se

buah garis jang melalui G memotong Lx di T, L2 di Ti; untuk semua garis

jang melalui G hasilperbanjakan GT x GTi sama.

B u k t i . S ialah titikpotong kedua dari GT dengan L x; S dan Tt homothe-

tis. D jika GT = a dan GS = b, maka GTt = kb; k adalah faktor kese-

bangunan. GT x GTt = k. ab, ja 'ni k kali kuasa G thd. lingkaran Lx.

Untuk titik-kesebangunan-dalam tentu sadja terdapat — k.

§63 .

Sekarang theorie jang diuraikan diatas kita pergunakan pada be

berapa lukisan.

L U K I S A N X X II I .

Lukislah segmentgaris-segmentgaris x dan y dari x ± y = a dap.

xy = b2.

P e rs ia p a n d a n m e n g e rd ja k a n n ja . Djika x dan y memenuhi x + y =

a dan xy b2 (a > 2b), maka pada segmentgaris AB = a terletak titik

T, sehingga AT = x dan TB = y. Djika garis di T tegaklurus pada AB,

memotong lingkaran jang bergaristengahkan AB di D dan E, tentu

D E2 = 4DT. TE == 4xy = 4bz

Djika sebaliknja dibuat lingkaran dengan djari-djari %a, dan di-

dalamnja dibuat talibusur DE jang pandjangnja 2b, tentu garistengah

AB terbagi oleh titikpertengahan T dari D E atas dua bagian x dan y,

jang memenuhi sjarat.

214

Pada keadaan jang kedua, ja'ni x — y = a, xy = b2, T terletak pada

perpandjangan AB ( = a), sehingga AT = x dan BT = y.

D

7

E

Gb. 216:: x + y = a, xy = ba. Gb. 217: x — y = a,xy =. 6*.

Djika titiksinggung pada salah satu garissinggung dari T kepada

lingkaran jang bergaristengahkan AB disebut titik D, tentu TD2 = x y = b *.

Djika sebaliknja dibuat sebuah lingkaran dengan djari-djari \a, di-

titik D pada lingkaran itu dibuat sebuah garissinggung, dan pada garis

singgung itu diletakkan titik T, sehingga DT = b, tentu T membagi dari

luar garistengah, jang perpandjangannja melalui T. atas dua bagian x

dan y jang memenuhi sjarat.

D is k u s s i . Dalam keadaan pertama x dan y boleh ditukar. Djadi terda

pat dua penjelesaian, djika 2b < a . Djika 2b = a, maka DE adalah garis

tengah; terdapat satu penjelesaian ja'ni x = y = \a — b, Untuk 2b >

a ta ' terdapat penjelesaian. Hasil-hasil ini djuga dapat diperoleh djika

dipergunakan tjara aldjabar : x == \a ± £ V a2 — 4b2, y =

$ V a2 — 4bz. Dalam keadaan kedua ada satu penjelesaian.

P e r h a t ia n : Lukisan X X II I djuga dapat dikatakan sbb.: lukislah akar-

akar persamaan x2 — ax ± 62 = 0.

Jang dimaksud dengan: membagi sebuah segmentgaris atas pemban

ding tengah dan pembanding terketjil, ialah membagi segmentgaris itu atas

dua bagian, sehingga bagian jang besar mendjadi pembanding tengah

antara bagian jang ketjil dan seluruh segmentgaris itu. Pembagian de

mikian ini djuga disebut „irisan mas".

Membagi sebuah segmentgaris atas pembanding tengah dan pembanding

terketjil.

P e r s ia p a n . Seluruh segmentgaris disebut a, bagian jang besar disebut x;

djadi bagian jang ketjil a — x; menurut definisi berlakulah (a — x) : x =

L U K I S A N X X IV .

215

x : a; djadi x2 + ax — a2 atau x(x +a) = a2. Djadi dari segmentgaris-

segmentgaris x + a dan x diketahui selisihnja = a dan hasilperbanjakan-

n ja = c2 ;soal ini telah dibitjarakan dalam lukisan X X II I .

M e n g e r d j a k a n n j a . Lingkaran (D, \a) bergaristengahkan a. D ititik A

dibuat garissinggung AB = a; kemudian ditarik BD, jang memotong

lingkaran tadi di E dan F. BE = BC; tentu C membagi BA atas pem

banding tengah dan pembanding terketjil.

Sebetulnja sudah tjukup djika dilukis A ABD; A — 90°; AB =

a dan AD = \a\ buatlah busurling-

karan AE; buatlah busurlingkaran

EC.

B u k t i . BC = BE; BE (BE + d) =

a2, djadi x2 + o.x = a2 atau x2 =

a(a — x) atau (a — x): x — x : a.

Dari persamaan kwadrat x2 + ax =

a2 terdapat untuk bagian jang besar

x = £a(— 1 + -y/5) ; aâr jang ne

gatif tidak berarti. Bagian jang ketjil

ialah y — a — x = \a (3 — s/5).

Dalam perbandingan seharga a : x = x : y, dimisalkan x = fa ;

maka y — f2a; djadi seluruh segmentgaris, bagian jang besar dan bagian

jang ketjil berturut-turut sama dengan a, fa dan f2a. Dari /2a + fa — a

terdapat /2 + / = i : relasi ini harus diapalkan. Persamaan ini dapat di

selesaikan sbb .:

216

§ 64. S O A L - S O A L .

1. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dan sebuah titik T; sebuah garis

jang melalui T memotong lingkaran ini di A dan B; TA = a dan

TP = d. Njatakanlah AB dengan a, d dan r.

2. Dari titik A pada lingkaran (P, r) dibuat garistengah AB dan se

buah talibusur AC : C' adalah projeksi dari C pada AB dan CC' =

p. Njatakanlah AC dengan p dan r.

3. Dalam lingkaran (P, r) dibuat talibusur AB pada djarak = d dari

P. Pada perpandjangan AB diletakkan titik T, sehingga pandjang

garissinggung dari T kepada lingkaran itu sama dengan t. N jata

kanlah TA dan TB dengan d, r dan t.

4. Buktikanlah dalil projeksi dengan djalan menjatakan dengan dua

tjara kuasa titiksudut A A ABC thd. lingkaran (C, a).

5. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dari sebuah garis g; T ialah udjung

garistengah, jang tegaklurus pada g (T tidak pada g). Garis jang

menghubungkan T dengan sebuah titik A pada g, memotong ling

karan tadi sekali lagi di B. Buktikanlah, bahwa hasilperbanjakan

TA. TB tidak berubah, djika A mendjalani garis g.

6. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dan dua titik M dan N. Sebuah

garis g jang berubah-ubah dan melalui M, memotong lingkaran

tadi dititik A dan B. Buktikanlah, bahwa semua lingkaran ABN

melalui sebuah titik tetap lagi.

7. Didalam lingkaran (O, r) terletak dua titik A dan B symmetris thd. O

dan pada lingkaran itu terletak titik P. Garis di P tegaklurus pada

AP memotong lingkaran itu sekali lagi di Q. Buktikanlah:

a. bahwa BQ _|_ PQ

b bahwa hasilperbanjakan AP. BQ tetap, djika P mengelilingi

lingkaran tadi.

8. Pada sebuah lingkaran L terletak dua titik tetap A dan B. Melalui

sebuah titik M dibuat MA dan MB, jang memotong L sekali lagi di

A ' dan B ' dan sebuah garissinggung, jang menjinggung L di N.

D jika a dan b dua segmentgaris jang diketahui, tjarilah tempat

kedudukan titik M:

a. djika M A ': MB' = a :b ;

b. djika MA : MN — a: b.

217

9. Pada perpandjangan sebuah seginentgaris AB terletak sebuah titik

tetap C. Melalui A dan B dibuat lingkaran y jang tidak tetap, dan

dari C dibuat kedua garissinggung pada lingkaran itu (titiksinggung-

nja M dan N).

a. Buktikanlah, bahwa MN berputar pada sebuah titik tetap.

b. Tjarilah tempat kedudukan titikpertengahan P dari MN.

10. Dalam lingkaran (O, R) terlukis sebuah segiempat ABCD; garissisi

AB dan garissis' CD potong-memotong di E, AD dan BC di F.

Buktikanlah, bahwa EF2 sama dengan djumlah kuasa E dan F tlid.

lingkaran (O, R) dan bahwa lingkaran ini terpotong tegaklurus

oleh lingkaran jang bergaristengahkan EF.

11. M dan I adalah ber-turut2 titik2pusat lingkaranluar dan lingkaran-

dalam A ABC; tariklah garis M I; garis ini memotong lingkaranluar

pada E dan F dan memotong lingkarandalam pada P dan Q; dalam

urutan : E, P, Q dan F. Buktikanlah, bahwa EP x QF = r2.

12. (M, R), (I, r) dan (N, y2 R) adalah ber-turut2 lingkaranluar, ling

karandalam dan lingkaran-titik-sembilan A ABC; H ialah titik

tinggi.

Buktikan :

a. NH2 + NA2 + NB2 + NC2 = 3 R2;

b. djumlah kuasa2 A, B dan C terhadap lingkaran-titik-sembilan

adalah J (a2 + b2 + c2).

c. Berilah dengan mempergunakan a dan b bukti jang lain dari

pada bukti pada tjontoh 50 untuk relasi.

HM2 = 9 R2 — (a2 + b2 + c2).

13. Diketahui: dua buah lingkaran (M, R) dan (N, r): Lukiskanlah

sebuah lingkaran jang menjinggung kedua lingkaran itu serta me-

njinggung pula garislurus MN; periksalah, berapa buah lingkaran

memenuhinja.

14a. Diketahui: dua buah lingkaran a dan p jang singgung-menjinggung

pada K. Pada p terletak titik2 P dan Q; garislurus PK memotong

pada L. Garissinggung Z di L pada a memotong PQ pada S. Bukti

kan, bahwa titik2 K, L, Q dan S adalah concyclis.

b. Diketahui dua titik M dan N dan sebuah lingkaran a. Lukislah

li gkaran, jang melalui M dan N dan menjinggung <x.

c. Diketahui dua lingkaran a dan p dan sebuah titik T. Lukislah

lingkaran jang melalui T dan menjinggung a dan (3.

2 1 8

15. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dengan garistengah AB. Tjarilah

tempat kedudukan titik-titik M dengan sifat, bahwa luas A MAB

sama dengan luas budjursangkar jang bersisikan garissinggung dari

M pada lingkaran itu.

16. Diketahui lingkaran (P, r) dan garis g; pada g terletak titik-titik

A, B dan C. Kuasa A, B dan C thd. lingkaran adalah berturut-turut

a, p dan y. Buktikanlah, bahwa:

a . BC + p. CA + y. AB* + BC. CA. AB = 0

17. Garisberat dari A memotong sisi BC A ABC di D dan lingkaran

dalam (I, r) di E dan F (AE < AF). Lukislah A ABC, djika di ke

tahui segmentgaris-segmentgaris AE = d, EF = e dan FD = /.

18. Pada lingkaran (P, r) terletak dua titik tetap A dan B. Tjarilah

tempat kedudukan titik-titik T, sehingga TA. TB sama dengan

kwadrat garissinggung dari T kepada lingkaran itu.

19. (P, R) dan (I, r) ialah Iingkaranluar dan lingkarandalam A ABC.

a. Lukislah sebuah lingkaran y, jang menjinggung PI di I dan dju-

ga menjinggung (P, R).

b. Buktikanlah, bahwa djari-djari lingkaran y sama dengan r.

20 . a dan b ialah segmentgaris (a < b ); lukislah x dan y, jang

memenuhi:

,x2 + y2 = a2 (X3 + y3 = a3 (X4 + y* = o4

a' lx + y = b lx + y = b • \x + y = b

21. Segmentgaris AB terbagi oleh titik X atas pembanding tengah dan

terketjil; A X > XB.

Buktikanlah :a. djumlah budjursangkar pada AB dan X B sama dengan tiga kali

budjursangkar pada AX.

b. djika AB diperpandjang dengan BY = BX, tentu budjursangkar

pada A Y sama dengan lima kali budjursangkar pada AX.

c. persegipandjang A X X XB (ja’ni jang bersisikan A X dan XB)

sama dengan selisih budjursangkar pada A X dan XB.

d. djika Z djuga membagi AB atas pembanding tengah dan pem

banding terketjil, tetapi AZ < ZB, tentu persegipandjang-per-

segipandjang AB x XZ, A X x X B dan AZ x ZB sama

luasnja.

219

Sekarang dibitjarakan beberapa dalil tentang segiempat talibusur.

D A L I L 115a.

Dalam sebuah segiempat-talibusur hasilperbanjakan kedua diagonal

sama dengan djumlah hasilperbanjakan sisi-sisi jang berhadapan (dalil

Ptolemaeus, abad kedua A. D.)

§ 65.

B u k t i. Sisi-sisinja disebut a, b, c dan d;

sudut-sudutnja a, p, y dan 8. Karena

a dan y, begitu djuga p dan S ber-

djumlah 180°, maka cosinus-cosinus

mereka berlawanan.

Menurut dalil projeksi, maka:

= a2 -f b2 — 2 ab cos p ........ ( 1 )p2 = c2 -j* d2 -j- 2 cd cos p

q* = a2 + d2 — 2 ad cos a .......... (3)

q2 = b2 + c2 + 2 bc cos a

■ d2 a2 + d2 — b2dan cos a =-

Ini menghasilkan

/ a2 + b2 — c2cos p =

2 (ab + cd) 2 (ad + bc)

Djika ini dimasukkan kedalam (1) dan (3), terdapatlah:

a2 + b2 — c2 —d2 (ac+ bd) (ad+ bc)p* = az + b2 — ab x

q2 = a2 + b2 — ad x

ab + cd ab + cd

a2 + d2 — b2 — c2 (ab + ca) (ac + bd)

ad -f bc ad + bc

. . . . p ad + bcdjadi pq == ac + bd dan — = —----- r-.

q ab + cd

Dengan ini telah turut terbukti:

D A L I L 1156.

Kedua diagonal sebuah segiempat-talibusur berbanding sebagai djumlah

hasilperbanjakan sisi-sisi, jang bersekutu satu udjung dengan diagonal-

diagonal itu.

220

B uk t i k e d u a untuk dalil 115a. Jang harus dibuktikan ialah pq — ac +bd. atau '

ac ba _ . . . ac , db , ,p = --- 1--- Seandainja— = x dan— = y, maka x dan y harus

acberdjumlah p. Karena— = x, maka q : a — c :x ; q dan a terdapat dalam

i <7A DBA; q dan a membentuk /_ B1( c dan x /_ Cx; kedua sudut ini sama ;

djika sekarang dibuat /_ EDC = /_ ADB, maka A DCE oo a DBA.

Ini menghasilkan perbandingan seharga diatas. Dalam gb. 221 nampak

bdy ; dengan mudah dapat dibuktikan, bahwa y = — .

c

Gb. 220: pq = ac + bd. Gb. 221: pq = ac + bd.

B uk t i k e d u a untuk dalil 115Ö. Kita pergunakan dalil 78, jang menja-

takan : 4 R x luas A ABC = abc; lihatlah gb. 219

adp = 4 R x Is A ABC

cdp = 4 R x Is A ADC+ -

adq — 4 R x Is A Ä.BD

bcq — 4 R X Is A BCD

(ab + cd)p = 4 R x Is segiempat (ad + bc)q = 4R x Is segiempat

Dengan menjamakan kedua ruas kiri didapat

+ bc menurut u 5a berlaku:

q ab + cd

pq = ac + bd(ac + bd) (ad + bc)

ab + cd; pembagian meng-Perbanjakan menghasilkan p2

hasilkan rumus untuk qz.

D A L I L 115c.

Pada sebuah segiempat jang titiksudut-titiksudutnja tidak concyclis,

hasilperbanjakan kedua diagonal lebih ketjil dari djumlah hasilperbanjakan

sisi-sisi jang berhadapan.

221

B u k t i:. Kita ikuti bukti kedua dalil 115a.

A B D A ; /_ D2 dibuat sama dengan

dan /_Cx = Z Bj; sisi-sisi A CDE boleh di

sebut kd, ka dan kq. Djuga sepasang segitiga

jang satu lagi sebangun :

A B CD co A AED (dalil 93); dalam A BCD

q dan kq mengapit sudut /_ D2 + 9 , dalam

A AED d dan kd mengapit sudut ¿_ Dx + 9 .

Ini berakibat AE : d = b : q; djadi :

bd c acA E = — , c — kq, djadi k —— dan CE ==— ;

Pada gb. 222 A CDE co

CE + EA =ac + bd

c = k qGb. 222: pq < ac + bd.

Hingga sekarang belum dikatakan kata sepatahpun tentang sudut-

sudutnja; ketentuan, bahwa keempat titiksudut terletak concyclis, be

lum disebut-sebut sama sekali. Dari sebangunnja kedua pasang segitiga

tadi, terdapat /_ Ex = a dan /_ E2 = y. Djika a + y = 180°. maka C,

E dan A terletak pada satu garis; ini terdapat pada sebuah segiempat

talibusur dan dalam keadaan ini pq = ac + bd. Djika a + y 7^ 180°,

tentu (dalil 24) CE + EA =ac bd

> p; djadi pq < ac + bd.H

Sekarang djuga akan kita tjari rumus untuk luas segiempat-talibusur

dan untuk djari-djari lingkaran luarnja.

D A L I L I I 60.

Luas segiempat-talibusur dengan sisi a, b, c dan d adalah:

L = V (s— a) (s — b) (s — c) (s — 'd); disini 2 s = a + b + c-\-d.

1 1 6 6 p _ ^\ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)

4 L

a. Perpandjanglah dua sisi jang berhadapan hingga bertemu di E ;

222

A EBC <*> A EDA; sisi-sisi mereka jang bersesuaian berbanding se

bagai b dan d. Djadi sisi-sisi disebut sebagai nampak dalam gb. 223.

K ita hitung terlebih dulu luas Lx dari A EBC; kemudian luas ini

d2kita perbanjak dengan — , sehingga terdapat luas L2 dari A DEA;

kemudian L2 kita kurangi dengan Lr

b2(A' + 1 + ! ) ( * + / — 1) (* — / + O (— /c + / + 1)

c — akb— ld—— a; perdjumlahan menghasilkan k—/ =

Sekarang

kb— ld—— a; perdjumlahan menghasilkan k—/ = ^

Q Ckd — Ib = c; pengurangan menghasilkan k + l = ^

Dengan substitutie terdapat

/2 o(s-o(ô(-^+oLi V (s — a)(s— b) (s— c) (s— d),

d2 / d2 \L 2 X Lj; ls ABCD = — 1J Lx ; djadi

ls ABCD = V (s — a)(s — b) (s — c) (s — d).

b. Menurut dalil 78 4RL sama dengan hasilperbanjakan sisi-sisi

sebuah segitiga; tariklah diagonal AC = p, maka

¡4R x ls AABC = abp

(4R x ls A ADC = cdp

Perdjumlahan menghasilkan :

4R x ls segiempat = p(ab -f- cd)

Lihatlah sekarang halaman 220; disitu terdapat

(ad + bc) (ac + bd)

ab + cd

Djadi: 4R x L — ■ V (ad + bc) (ac + bd) (ab + cd).

223

T J 0 N T 0 H 54.

§ 66.

Lukislah sebuah segiempat-talibusur, jang keempat sisinja a, b, c dan d

diketahui.

Gb. 224: Persiapan; a, b, c dan d diketahui.

P e r s i a p a n . L i h a t l a h gb . 224;ABCD ialah sebuah segiempat-

talibusur; djadi Z B adalah sup-

plement Z D; djadi /_ B kami

pindah kedekatnja ¿_ D, sehing

ga sepasang dari kaki-kaki me

reka berimpit; sepasang kaki

jang lain tentu sedjadjar; lihat

lah D E dan BdCd. Ini tertjapai

dengan memutar A ABC pada

A sebagai pusat perputaran, hingga B, dengan nama Bd, terletak pada

sinar AD; C mendjadi Cd; Bd Cd// D E; ABd = a, ACd = p dan B ^ = b.

Menurut dalil Thales berlaku a : d — b : DE, sehingga DE dapat diper

oleh dari sisi-sisinja. Selandjutnja p : AE — a : d, tetapi AC = p dan AE

adalah sisi-sisi A ACE, sedangkan dari segitiga ini diketahui CE = c -f-

n c bdDE = c-f — . Sesudah A CDE terlukis, maka A terdapat sebagai

titikpotong dua lingkaran, ja ’ni lingkaran '(D, d) dan lingkaran Apol-

Ionius pada segmentgaris CE dengan perbandingan p : AE — a : d.

M e n g e r d j a k a n n j a . Lukislah CD = c; perpandjanglah CD dengan D X

= bd : a; lihatlah dikanan bawah a : b = d : DX . Bagilah CX dari dalam

dan luar atas dua bagian, jang berbanding sebagai a dan d; letakkanlah

d pada X keatas; buatlah di C, sebelah-menjebelah C, a // XE ; EF

menghasilkan M, EG menghasilkan N; lukislah lingkaran jang bergaris-

tengahkan MN. Lingkaran ini memotong lingkaran (D, d); titikpotong

mereka disebut A; titikpotong lingkaran (A, a) dan (C, b) disebut B.

Ambillah titikpotong dengan /_ B < 180°.

B u k t i . Lingkaran (P, PM) adalah lingkaran Apollonius untuk segment-

. bd ac + bdgaris CX — c + — — ------- dengan perbandingan a : d. Djadi

untuk titik A pada lingkaran itu berlaku, (berhubung dengan DA = d)

AC = ka dan A X = kd.

224

FGb. 225. L A + C = 180° a, b, c, dan d diketahui.

Lihatlah gb. 226. Dalil Stewart, dipergunakan pada AD dalam A ACX,

menghasilkan :

ac + bd bd bd ac + bdd2.------ = k2a2— + k2d2c — c. — .------ .

a a a a

Perbanjaklah kedua ruas dengan a2 dan pindahlah suku jang terachir

keruas pertama. Segera didapat:

(ka)2 = AC2 =(ac + bd) (ad + bc)

ab + cd

Rumus untuk diagonal p ini sudah dimuat pada halaman 221: djadi buk-,

tin ja selesai, djika dapat diperlihatkan, bahwa /_ D dalam A ACD de

ngan sisi c, d dan AC (jang baru sadja kami hitung) dan B dalam A

ABC (dengan sisi a, b dan AC) berdjumlah 180°. Lihatlah bukti dalil 115a.

ip 2 = c2 + d2 — 2 cd cos D

1 p2 = a2 + b2 — 2 ab cos B

(ac + bd) (ad + bc)2 cd cos D = c2 + d2 — -

cos D

cos B

ab + cd

c2 + d2 — a2 — b2

2 (ab + cd)

a2 + b2 — c2 — d2

2 (ab + cd)

di sudut-sudutnja berdjumlah 180°.

; dengan djalan jang sama didapat

; harga cosinusnja berlawanan, dja-

225Planimetri— 15.

Lingkaran-titiksembilan sebuah segitiga menjinggung pada lingkaran-

dalam dan lingkaran-lingkaran-singgung segitiga itu.

B u k t i k e d u a , ( u n t u k b u k t i p e r t a m a , l i h a t l a h gb . 212) . S e b e l u m m e m u l a i b u k t i ini , k i t a p a n d a n g t e r l e b i h d u l u gb . 227 d a n gb . 228 .

A

T J 0 N T 0 H 55.

Dalam gb. 227 telah dibuat garissinggung kedua dari K (ja’ni ti-

tikpotong garisbagi a dengan sisi BC) kepada lingkaran-dalam. Seka-

rang /_ Kx = \ a -f y, karena sudutluar A ACK; /_ Ki3 = a + 2y, dja-

di /_ K3 = p — y.

PT ialah garissinggung di P (titikpertengahan BC) pada lingkaran-

titiksembilan; /_ P12 = p; Px = \ bs PQ = Rx = y, djadi /_ P2 =

P — y.Djadi kedua garissinggung sedjadjar. . '

Lihatlah sekarang gb. 228; telah

diketahui bahwa:

GB = GI, A GBK go A GAB

(sudut-sudutnja sama.)

Karena itu, maka

GB2 = GK X GA = G i2

Ketiga segmentgaris GK, GA dan GI

kami projeksikan pada BC; djadi :

PK X PD = P li2.

Sekarang kita mulai buktinja; lihat

lah gb. 229. PIj menjinggung lingka

ran-dalam, KL djuga; PLS adalah ab. 228. PK x PD = p if .

226

sebuah garispotong. Sekarang PIX2 = PL. PS (perhatikanlah bahwa S

terletak pada lingkaran-dalam).

Telah dibuktikan, bahwa P ^2 = PK. PD; djadi PK. PD = PL. PS.

Djadi titik-titik K, D, L dan S terletak concyclis, dan ¿ S x = _/ K3 =

/_P2 = Z. P 3 = i'b s PFD, dari lingkaran-titik-sembilan; sebab PT

menjinggung lingkaran ini. Djadi S terletak pada lingkaran-titik-sem-

bilan; djadi lingkaran ini bersekutu titik S dengan lingkaran-dalam. Se

karang masih harus dibuktikan, bahwa kedua lingkaran ini singgung-

menjinggung di S; SL ialah talibusur dalam lingkaran jang satu, SLP

talibusur dalam lingkaran jang lain. Kedua garissinggung di P dan di L

sedjadjar; djadi jang di S sedjadjar djuga, artinja: kedua lingkaran ber

sekutu garissinggungnja di S.

Bukti, bahwa lingkaran-titik-sembilan djuga menjinggung tiap-tiap

lingkaran-singgung, serupa dengan bukti diatas.

H

Dalam gb. 230 BIX = s — b =*C )2; P ialah titik pertengahan BC, djuga

titikpertengahan ; djadi PI32 = PK. PD. Sekarang KL, jang menjing

gung lingkaran-dalam, djuga menjinggung lingkaran-singgung; sebab

LK L ' dan BKC adalah garissinggung persekutuan dalam pada lingkaran-

, ' 227

/

dalam dan lingkaran-singgung; K L2 = K L '. Tetapi PL ' djuga memotong

lingkaran-singgung di S; djadi P I22 = PL'. PS; tetapi P I22 = P Ij2= P K .

PD ; K D L 'S adalah segiempattalibusur; /_ Si = /_ K , = /_ K3 = Z P2

= /_ P3 = % bs PFD lingkaran-titik-sembilan: djadi titik S pada ling-'

karan Ia terletak djuga pada lingkaran jang berpusatkan N, ja ’ni ling

karan-titik-sembilan.

menjinggung d i S.

Garissinggung di L' dan garissinggung di P pada kedua lingkaran ini

sedjadjar, djadi demikian djuga kedua garissinggung dititikpersekutuan

S; artinja jang tersebut terachir ini berimpit.n

I

§ 6 7 . S O A L - S O A L .

1. Buktikanlah, bahwa dalam trapezium samakaki ABCD (AB // DC)

AC2 — AD2 = AB. DC.

2. Perlihatkanlah, bahwa dalil Pythagoras adalah kechususan dari

dalil Ptolemaeus.

3. Diketahui segitiga samasisi ABC. Tjarilah tempat kedudukan titik-

titik M, sehingga MA = MB + MC.

228

4. Diketahui sebuah persegipandjang ABCD; AB = a, BC = b. D jika

T sebuah titik pada busur ketjil BC lingkaran luar persegipandjang

itu, maka terdapatlah :

TA fl.TD + ft.TB.

TC — a.TtT— fr.TB.Buktikanlah.

Luas segiempat bicyclis sama dengan V abcd. Buktikanlah.

4a. (P, R) ialah lingkaran luar segitiga lantjip ABC; k, l dan m ialah

djarak dari P bersisi-sisi A ABC. Buktikanlah relasi-relasi :

bm + cl = Ra, ck + a m = Rb, al -j- bk = Rc.

b. Bagaimanakah relasi-relasi ini, djika C siku-siku atau tumpul?

7. Dalam djadjarangendjang ABCD terletak titik T sehingga /_ ATB

+ Z CTD = 180°.

Buktikanlah : AT. CT + BT. DT = AB.BC

8. a. Pada sebuah lingkaran terletak titik-titik A, B dan T; P ialah

titikpertengahan busur ATB. Buktikanlah relasi:

PA2 = PT2 + TA.TB

b. Bagaimanakah relasi ini djika T diganti dengan titik diametral-

nja (titik Tt)?

c. Dalam A ABC, garisbagi y memotong lingkaranluarnja, ketjuali

dititik C, djuga dititik K. Djika CK = x dan AK = y, bukti-

' kanlah relasi :

cx — (a + b)y dan x2 — y2 = ab

d. Njatakanlah x dan y dengan sisi-sisi A ABC.

9. Sebuah lingkaran jang melalui titiksudut A djadjarangendjang

ABCD, memotong AB, AC dan AD sekali lagi berturut-turut di-

titik-titik P, Q dan R.

Buktikanlah: AQ.AC = AP.AB + AR.AD

10. Buktikanlah dalil Ptolemaeus dengan menggunakan dalil Stewart.

11. Djika sisi-sisi a, b, c dan d sebuah segiempat-talibusur berdjarak

berturut-turut a, p, y dan S dari pusat P lingkaran-luarnja, tentu

a p + b a= c 8 + dy ; a 8 + d cc = fty + c p ;c y + c a = 68 +

d ¡3. Buktikanlah.

12. Dari suatu segitiga samakaki diketahui letaknja titik-titik T, I dan

Z. Lukislah segitiga itu.

229

5.

6.

13. Pada kaki-kaki / dan m sebuah sudut A diletakkan dua titik B dan

C, sehingga b. AC + c. AB = a2; a, b dan c ialah segmentgaris. Djika

kedua titik B dan C berubah-ubah, buktikanlah, bahwa lingkaran-

Iuar segitiga segitiga ABC melalui suatu titik tetap.

14. Buktikanlah rumus-rumus :

a. TI2 = 4R2 -j- 2r2 — |E fl2

b. Zl> = *l3r * - * /3 Rr + i/lS 2 «2

ir15. Dalam sebuah lingkaran terlukis sebuah segiempat-talibusur ABCD;

sisi-sisinja ialah a, b, c dan d; AC = p dan BD = q. Kemudian tali-

busur-talibusurnja diberi urutan sbb.: a, c, b dan d; diagonal jang

menghubungkan udjung-udjung a dan c disebut r. Kemudian sisi-

sisi diberi urutan baru lagi sbb.: a, b, d dan c.

Buktikanlah: Is ABCD = ~z.4 R

16. Bagian-bagian suatu diagonal segiempat-talibusur, jang terdjadi

karena perpotongan dengan diagonal jang lain, berbanding sebagai

hasilperbanjakan sisi-sisi, jang bersekutu sebuah udjung dengan

bagian-bagian ini. Buktikanlah.

230

B A B X I

S E G I B A N J A K - B E R A T U R A N

Suatu segibanjak, jang titik2 sudutnja terletak pada suatu lingkar

an, din aniakan segibanjak-talibusur atau segibanjakdalam ; Iingkarannja

disebut lingkaranluar segibanjak itu.

Suatu segibanjak, jang sisi2nja menjinggung suatu lingkaran, dina

makan suatu segibanjak-garissinggung atau segibanjakluar ; Iingkarannja

disebut litigkarandalam segibanjak tadi.

§ 68.

D A L I L 117a dan b.

D jika n buah titik2 membagi suatu lingkaran dalam n busur2 jang

sama, maka terbentuklah suatu segibanjak-beraturan oleh :

a. talibusur-, jang menghubungkan titikbagi2 jang berurutan-,

b. garissinggung2 dititik-titik bagi.

B

B u k t i d a l il 117a.

Karena busur2 AB, B C ,.......... .

sama, maka sudut2 pusat a, p ,. . . ,

semuanja sama, jaitu 360°: n.

Pemutaran gambar itu dengan

sudut a kekanan, menjebabkan

PAB berimpit dengan PBC, PBC

dengan PCD, dst-nja. Semua sisi2-

nja sama, djuga semua sudut2nja;

djadi segibanjak tsb. beraturanlah.

’-»i'« v' • 4 t K L garissinggung.

B ukti DALIL 117b.

Kita putarkan segi-empat PAKB

dengan sudut 360°: n kekanan.

A d jatuh di B, karena PA dan

P B d j ari2, B di C, dst-nja. /_AV ber

impit dengan Blf B3 dengan

¿_ C2, sebab sudut2 itu siku*. Djadi

segi-empat PAKB berimpit dengan

PBLC, dst-nja ; K = Z L,

dst-nja sebab sisi2 segibanjak tadi

adalah sama. Djadi segibanjak-

garissinggung tsb. beraturanlah.

D A L I L 117c.

Diluar dan didalam tiap segibanjak beraturan dapat dilukis ling

karan2; ini bertitikpusat sama.

231

D ik e t a h u i : AB - BC = CD = ¡ ¿ B = ^ C = ^ D =

B u k t ik a n : Ada suatu lingkaran,

jang melalui A, B, C, D ,.......... ; dan

lingkaran lain, jang menjinggung

AB, BC, C D ,...............

B u k t i : Ada lingkaran jang melalui 3

buah titik2 sudut jang berurutan :

A, B dan C, ja itu lingkaranluar A

ABC; PA = PB = PC = R; kita

buktikan sekarang, bahwa PD = R. A PAB ^ a PBC(s,s;s); segi-

tiga2 ini samakaki, sehingga semua sudut a sama besar. /_ B = 2a;

/1 C = a + ¿_ Cj ; karena segibanjaknja beraturan, maka B = /_C ;

d j adi Z Ci = «» A PCD ^ A PBC (s, sd, s), djadi PD = PC = R.

Dalam segitiga2 jang sama dan sebangun PAB, PBC,........ , garis2

tinggi dari P sama; djadi P djuga titikpusat lingkaran-dalam. Bukti

tentang adanja lingkaran-dalam dan -luar dapat pula diberikan dengan

mudah, dengan pertolongan pemutaran terhadap P, sehingga A pindah

ke B, B ke C, C ke D (karena B = C dan BC = CD), D ke E, dst-nja.

Dari pemutaran ini dapat ditarik kesimpulan, bahwa P titikpusat segi-

banjak tsb.

Suatu segi-tiga samakaki, jang beralas sebuah sisi segi banjak-

beraturan dan berpuntjak di titikpusatnja, dinamakan segitiga-titikpusat

segibanjak-beraturan itu. Sudutpuntjak segitiga samakaki tadi, disebut

suduttitikpusat segibanjak ; djadi ini besarnja 360° : n. Garistinggi dari

puntjak segitiga-titikpusat disebut sebuah apotema segibanjak. Pan-

djangnja, djadi djari2 lingkaran-dalam, dinamakan apotema segibanjak.

§69 .

Sisi suatu segi-/z beraturan, jang dilukiskan didalam maupun diluar

lingkaran (P, R,) sudah biasa dinjatakan berturut-turut dengan sn dan Sn

Akan kita njatakan sn dengan R untuk sedjumlah harga2 n. Dengan •

pertolongan hubungan jang mudah, antara sn ,Sn dan R, jang akan kita

turunkan (lihat dalil 120), dapatlah pula Sn untuk harga2 n ini, dinjata

kan dengan R.

Karena pada suatu segi-enam-beratur'an ABCDEF sudut-titikpu-

satnja 60°, maka segitiga-sudutpusatnja samasisi, sehingga s6 = R.

AC, sisi segitiga beraturan ACE sama dengan lipat-dua dari garis

tinggi A APB, segitiga-titikpusat segi-enam, djadi :

s3 = R a/ 3

Gb. 232: Lingkaran-singgung dalam dan lingkaran-luar.

2 3 2

Kita hitung s12 dengan pertolongan dalil projeksi. Djika G dan H,

berturut-turut, titik2 tengah2 busur CD dan talibusur CD, maka s22 =

2 R 2 — 2R V R2 — IR°- = ' (2 — y ' 3) R2, sehingga :

S» = \ R W 6 — V2).

Dari suatu segi-empat-dalam beraturan (djadi suatu budjursangkar)

sudut-titikpusatnja 90°, sehingga dengan langsung didapatlah :

s4 = R V H T

Dari sini kita djabarkan dengan tjara seperti pada waktu kita

menentukan s12

s8 = R V 2 — V 2.

Gb. 234: S. dan S3.

B

Segi-sepuluh beraturan bersudut-titikpusat 36°, djadi sudut2 alas

sebuah segitiga-titikpusat, keduanja

72°. D jika A APB (lihatlah gb. 235)

suatu segitiga-titikpusat sematjam itu

dan AD garisbagi Z A, maka A DAB

samakaki, seperti djuga A ADP. Djika

dimisalkan AB = x, maka AD = PD =

x pula; menurut dalil 84a, diperoleh

lah sekarang : Gb. 235: S10.

(R — x) : x = x : R, sehingga x merupakan bagian terbesar dari djari2 jang dibagi mendjadi

irisan mas. Djadi kita peroleh :

s10 = i/? ( - 1 + V5)

Sisi segi-lima beraturan dapat kita hitung dengan pertolongan s10.

Djika APB dan BPC (lihat gb. 236) segitiga2 titikpusat suatu segi-sepuluh

beraturan, maka s6 = AC.

23 3

Karena Z APC = 12° = ¿_ PAB, maka PD dan AE, jaitu bertu-

rut-turut projeksi PA pada PC dan pada AB, sama. Kita peroleh seka

rang :

s52 = 2R2 — 2R. AE = 2R2 — Rsl0 = %R2 (5 — y/ 5),

sehingga :

s5 = $R V lO — 2 y ' 5.

Rumus untuk s10 dan s5 menjebabkan lukisan segi-sepuluh dan

segi-lima beraturan dengan lingkaran-luar jang diketahui (lihat gb. 237),

sebagai berikut ini. PC dan PB ialah djari2 lingkaran jang tegaklurus

satu terhadap jang lain, dan D titik pertengahan PB.

Pasangkan sekarang pada perpandjangan BD suatu bagian DE =

D C, maka PE = DC — DP = | R V 5 — } R — s10 dan CE =;

V R 2 + V = \ R V 10 — 2 -y/ 5 = ss, sehingga dengan ini s5 dan

510 terdapatlah. Ternjata ada nasabah jang istimewa: s52 = s102 + sg2

Sekarang kita buktikan :

D A L I L 118.

Tiap2 dua diagonal suatu segilima beraturan, jang tiada bersekutu titik-

udjungnja, jang satu membagi jang lain mendjadi irisan m as ; bagian jang

terbesar tiap diagonal itu sama dengan sisi segilima-nja.

Bagian2 BE = d5 kita namakan k dan g (gb. 238). Sudut2 dengan

sebuah titik, semuanja 36°, dan sudut2 jang bertitik dua, 72°. A APB co

A BEA, karena mempunjai sudut2 jang sam a; dan s6 pada segitiga

jang pertama sesuai dengan s5 dan d5 = BE pada segitiga jang kedua ;

djadi k : s5 = s5 : dB. Sekarang, g = s5 ; lihatlah sudut2 dengan dua

titik ; djadi, k : g = g : d5.

234

Sekarang, mudah pula untuk menjatakan d5 dengan R, djari2 ling-

karan-luar, karena :

d5 x j ( - i + V 5 ) = i R V 10 — 2 V 5 ;

maka :

B

d5 = $R V 10 + 2V5-

Dengan tjara jang sama, ternjata, bah

wa BP = AP, ialah bagian terbesar s5, djika

s5 ini dibagi mendjadi irisan mas maka :

BP = k = R V 5 — 2 y '5-

D jika pada segiempat-talibusur ABCE di

pergunakan dalil Ptolemaeus, maka: d5- =

s5 ds + s52; pada gb. 238 : cf52 = gds + g2atau d5 (d5 — g) = g2, sehingga k : g = g : d5; djuga disini dapat dilihat

irisan mas.

§ 7 0 .

Sekarang akan diturunkan beberapa rumus, jang dapat diper

gunakan untuk perhitungan Sn dan sn

D A L I L 119

Djika sn dan s ^ berturut-turut sisi2 segi-n dan segi-2n beraturan, di

lukiskan didalam lingkaran (P, R), maka berlakulah:

s2n =• a / 2 R2 — R V 4Rz — Sn2 =

V R (R + is n) — V R ( R — *Sn).

(rumus lipat-dua)

s,2

S a — R V ' — ^2n

(rumus bagi-dua)

B u k t i . A B = sn dan AC = CB s2n;

D ialah titikpotong antara PC dan AB.

Menurut dalil-projeksi:

s2n2 = AC2 = 2RZ — 2R\/ djadi s2n = V2R* — R V 4 R * — sn2

D jika dari nasabah ini ditjari sn, maka'kita dapat rumus kedua. Ini

dapat pula kita peroleh dengan mudah, dengan djalan ini. Djika Ct titik-

diametral C, maka /_ Ctl = Z .Bi; sehingga segitiga2 samakaki CtPA

235

sebangun dengan BCA. Sehingga sn : s?n = V 4R2 — s2n2 : R, djadi

SnR = snV 4R 2— 52n2, dst-nja.

Kesamaan jang terachir ini kita peroleh djuga, djika dalil Ptolemaeus

digunakan pada segiempat-talibusur CtACB. Dapat pula diperoleh

dengan mudah sekali dari: luas PACB = 2 x luas PAC.

D A L I L 120.

Djika sn dan 5n berturut-turut sisi2 segibanjak-n-dalam dan -luar bera

turan, maka berlakulah :

2 SnR 2 SnRSn =

V 4 R2 — Sn2dan sn

V 4 R 2 + Sa2

B u kti : AB = sn; C ialah titiktengah busur AB jang terketjil dari ling

karan (P, R); E dan F ialah titik2

potong antara PA dan PB dengan

garissinggung pada lingkaran di C.

A EPF A APB, djadi

SQ : sn = R : V R 2 — Jsn2.

Dari inilah terdapat rumusnja, se

dangkan rumus kedua didapat dari

AB : EF = PA : PE atauGb. 240 Sn dari Sn dan sebaliknja.

sn : S n = R : V R 2 + J S n 2 .

P e r in g a t a n , Dengan menggunakan dalil ini diperolehlah harga2 sn

jang telah dihitung dahulu (hal.233 dan 234).

S3 = 2Ry/ 3; S4 = 2R; Sb = 2 R V 5 — 2^/5.

Sb = 2/3 K V 3 ; S8 = 2 R W 2 - 1);S « = 2/s R V~25 — 1 0 y ' 5 ; S ia - 2R (2— ^3 ) .

D A L I L 121.

D jika Sn dan S2n berturut-turut sisi2 segi-n dan segi-2n-luar beraturan., maka berlakulah :

25 R

8S2nR2 / . _n = 4^2 __ 5 ” 2 (rumus-bagi-dua)

236

B u k t i : Djika EF sebuah sisi segi-n beraturan, jang menjinggung

lingkaran-dalam (P, R) di C, dan PH garisbagi Z P dalam A PCE,

maka CH = | S,n, sedangkan CH : HE = PC : PE atau: S2n : (Sn —

S2n) = R : V~ R2 + £ Sn2 djadi : S2n V 4R2 + 5n2 = 2R (Sn — S2Ti). Djika dari sini S2n diselesaikan, diperolehlah rumus ke-1. Djika hendak

diselesaikan Sn haruslah dikwadratkan dahulu, maka:

4tf2S ,n2 + S2n S2n2 = 4R2Sn2 — 8R2SnS2n + 4/?2S2n2 djadi 5n S2„2 =

4R 2Sn — 8/?2S2n; dan dari sini penjelesaian Sn menghasilkan rumus ke-2.

Dêngan pertolongan dalil2 jang lalu dan harga2 sn jang telah dihitung,

dapatlah sekarang sn dan Sn dihitung untuk tiap n jang berbentuk

2k +.1, 3.2k — 1 dan 5.2k~ d i s i n i k ialah bilangan asli. Karena pada

pendapatan2nja tiada ada akar2 selain ^

akar2 pangkat dua, maka untuk harga E^--------------- jL-^~ ? —-_/ n— -^f

n ini, dengan R jang ditentukan, dapat-

lah sn dan Sn dilukis dengan djangka /\ . \ R

dan mistar. Dapat djuga dilukis sebuah / \.\ / \

segi-15 beraturan : AÂ.;........ A15. / / \

Sebab djika didalam suatu lingkaran ' '

(P, R) dilukis segitiga samasisi A ^ A u Gf) 24l; s dari s dan sebaliknja_

dan segilima beraturan A1A4A7A10 A13 -n n

dengan titik persekutuan Av maka A6 dan.A7 djuga, A10 dan Au me

rupakan titik2 sudut segi-15 beraturan AXA2 ...... A15 jang berturut-

turut. Untuk menghitung s15 (dan dari sini dapat diperoleh s30, s60

dan S15 dst, S30 dst), kita perhatikan, bahwa selisih sudutpusat segilima

dan segitiga beraturan sama dengan dua kali sudutpusat segi-15

At maka dengan pertolongan

dalil Ptolemaeus didapatlah:

beraturan. Djadi jang ter-

achir ini ialah BPC, selisih

sudut2 pusat APC dan APB

pada segi-enam dan segi-

sepuluh beraturan. Djika At

titik diametral A, djadi

Z_ ABAt = Z. ACAt = 90°’

P

G b. 2 4 2 : M e n g h itu n g Si5.

djadi :Sg. BAt — Sjq. CAt -(- s1B. 2R,

s6 V 4 R2 — s102 — Sj0 V 4 R2 — s /,

2 Rsehingga

s15 = I R (V lO + 2 V 5 + v'3 — V 15).

Fasal ini kita tutup dengan penentuan luas segi-n beraturan.

237

D A L I L 122.

Luas suatu segi-n beraturan sama dengan £ n kali hasil perbanjakan

djari2 lingkaran-luarnja dan diagonal segi-n jang terketjil; djuga sama

dengan setengah hasil perbanjakan apotema dengan kelilingnja.

B u k t i . D jika misalnja ABCDEFG ........ suatu segi-n beraturan dan

AC = d diagonal jang terketjil, maka diagonal ini dibagi dua oleh BP

di M. Sekarang, luas A ABP = -\Rd, djadi luas segi-n \nRd. D jika n

genap, ini dapat ditulis 'sebagai

\nR s£n, jaitu \ R kali keliling

segi-\n beraturan, jang dilukis

dalam lingkaran itu djuga. Segi-

banjak ini terdiri dari £n lajang2.

Djika selandjutnja p apotema

suatu segi-n beraturan, maka

mis. : luas A PEF = £psn, djadi

luas segi-n = \npsn, jaitu \p kali

keliling segi-n.

Pada prakteknja lebih banjak dipakai rumus jang pertama untuk

mentjari luas.

§ 7 1 . S O A L - S O A L .

1. Buktikanlah, bahwa dua segi-n beraturan sebangun.

2. Didalam lingkaran (P,R) terlukislah segi-n beraturan A ^ A g ---An.

Buktikanlah, bahwa garissinggung, jang ditarik pada lingkaran

tsb. ditengah-tengah busur2 A ^ , A2A3, ........ . AnAx, djuga merupa-

-kan garis2 sisi suatu segi-n beraturan.

3. D jika pada segi-n beraturan AXA2........ An diletakkan segmentgaris

jang sama, jaitu A ^ , AaB2, ---- AnBn pada sinar2 A1A2, A2A3, . . . . ,

AnAj, maka B1; B2, ........ , Bn pun merupakan segi-n beraturan, jang

sepusat dengan segi-n jang pertama. Buktikanlah.

4. a. Buktikan, bahwa suatu segi-(2n+l)-l uar beraturan, djika sisi2-

nja sama.

b. Berlakukah dalil ini untuk suatu segi-2n-Iuar ?

5. a. Buktikan, bahwa suatu segi-(2n+l)-dalam beraturan, djika

sudut2nja sama.

b. Berlaku djugakah dalil ini untuk suatu segi-2n-dalam ?

Gb. 243: Luas segi-n beraturan.

238

6. Didalam lingkaran (M, R) terlukislah suatu segi-lima beraturan.

a. Hitunglah pandjang garistegaklurus pada sebuah diagonar

segilima tsb. dari M.

b. Buktikan, bahwa pemuat2 diagonal2 segilima tsb. ialah garis2

sisi sebuah segi-lima beraturan kedua.

c. Hitunglah sisi segi-lima kedua ini.

7. a. Didalam lingkaran (P, R) terlukis segi-sepuluh beraturan.

Hitunglah semua diagonal2 segi-sep uluh tsb.

b. Hitunglah djuga diagonal2 segi-enambelas-dalam-beraturannja.

8. H itunglah pada segi-delapan beraturan A ^ . , ........A8 dengan sisi ar

a. projeksi2 AXA2 dan A2A3 pada A A ,

b. d j arak2 dari A2 dan A3 ke A ^ ,

c. diagonal AjA4.

9. N jatakanlah luas sebuah segi-enambelas beraturan dengan :

a. djari2 lingkaran-luarnja, jaitu R,b. sisinja, jaitu a.

10. Sisi segi-sepuluh beraturan A ^ ........A10 ialah a. Hitunglah luas r

a. empat persegi-pandjang AjAÂgA,;

b. segitiga A3A4A5; c. trapesium A2A3A5A8.

11. a. Lukislah sebuah segi-lima beraturan dengan sisi jang diketahui.

b. Lukislah sebuah segi-sepuluh beraturan dengan apotema jang

diketahui.i

12. Diketahui : titik A, garis /, dan lingkaran y- Lukislah segilima ber

aturan ABCDE ; B terletak pada l dan E pada y-

13. Buktikanlah, bahwa suatu segilima beraturan, djika semua sisi-

sisinja dan tiga buah sudutnja sama.

14. Pada busur terketjil CD dari lingkaran-luar segilima beraturan

ABCDE terletaklah titik M, Buktikan nasabah2 berikut:

15. Dari titik M didalam sebuah segi -n beraturan ditarik garis2 tegak-

lurus pada garis2 sisi segi-/z tsb. Buktikanlah, bahwa djumlah garis2

tegaklurus itu sama dengan n kali apotema segi-n tadi.

2 3 9

16. Buktikan, bahwa djumlah djarak2 berarah garis / ke titiksudut2

suatu segi-n beraturan sama dengan n kali djarak berarah l ke

titik P, titikpusat segi-rz tsb.

17. a. D jika AB sebuah talibusur dalam lingkaran (P, R) dan C ialah

projeksi B pada garissinggung pada lingkaran di A, maka

AB2 = 2R. BC; buktikanlah ini.

b. Buktikan, bahwa djumlah kwadrat2 djarak2 titik M dari ling

karan (P, R) ke-titiksudut2 suatu segi-n beraturan-dalam sama

dengan 2nR2.

c. D jika sn sisi segi-n tsb., djumlah kwadrat2 djarak2 ke titik M

tengah2 sisi2 segi-n itu sama dengan \ n(8R2 — sn2). Buktikanlah.

d. Achirnja, buktikanlah, bahwa djumlah kwadrat2 semua segment-

garis (sisi2 dan diagonal2), jang tiap kali menghubungkan dua

titiksudut segi-n beraturan, sama dengan n2R 2.

18. a. Didalam lingkaran (P, R) terlukis suatu segi-n beraturan. Bukti

kan, bahwa cn, busur supplementer sisi segi-n sn, sama dengan

dua kali apotema.

Selandjutnja buktikanlah rumus2 berikut:

-------- - saRb. Cn — v AR2 Sn2') C. C2n = “ , d. S2n (2R -j- Cn) = Sn C2n-

ozn

19. Buktikan, rumus berikut (lihat no. 18).

a. c2n — V R (2R + cn) rumus iipat dua Von Ceulen).

b. s2n - V R (2 R — cn).

20. Penggunaan berulang rumus nr. 19a, diikuti dengan penggunaan

rumus nr. 19b, menghasilkan suatu tjara jang lebih mudah untuk

memperoleh sisi segibanjak-dalam beraturan dengan banjaknja

sisi jang besar, daripada menggunakan rumus-lipat-dua dalil 119.

Tentukanlah s64 dan s96 dengan pertolongan rumus2 ini.

21. Sedjumlah n titik2 membagi suatu lingkaran mendjadi n busur jang

sama; ditariklah talibusur2 jang merupakan rangkaian tertutup,

jang menegang k busur (k < n, dan k dan n satu terhadap jang lain

tak habis d ibag i); dengan begitu, terbentuklah suatu segi-n bera

turan berbentuk bintang. Hitunglah sisi segilima berbentuk bintang;

djuga sisi segi-delapan berbentuk bintang.

240

L I N G K A R A N , L U A S D A N P A N D J A N G

Lingkaran ialah garislengkung tertutup,semua titik2-nja sama djauh

dari suatu titik jang sama, jang terletak pada bidang lingkaran dan dise

but pusat. Lingkaran membatasi sebahagian dari bidang rata dan luas

bidang ini disebut luas lingkaran. Pada perhitungan2 hanjalah dapat di

pergunakan gambar2 jang bergarislurus sadja dan inilah halnja djuga

dengan apa jang akan menjusul. Ini djuga berlaku untuk menentukan

keliling atau pandjang lingkaran. Djadi haruslah dikatakan dahulu,

apa jang dimaksudkan dengan keliling lingkaran, dan pandjang garis

lengkung pada umumnja.

Dimisalkan, bahwa didalam garislengkung AE terlukis garis-patah

ABCDE ; ambillah selandjutnja pada tiap2 busur ketjil beberapa titik

dan ditariklah talibusur2; maka terdjadilah garis patah jang lebih pan

djang daripada garis patah pertama; ini diteruskan. Limitnja, jaitu

lim it garis patah inilah dinamakan pandjang garis lengkung-nja. Penen

tuan lim it pada lingkaran tjukup mudah, karena disini segibanjak2 ber

aturan jang baru dibitjarakan, amat berguna.

Untuk menghindarkan pemakaian perkataan jang terlalu pandjang,

dipakailah notasi2 berikut.

Ln = luas segi-// beraturan-luar lingkaran.

K n = keliling segi-« tsb.

/n = luas segi-// beraturan-dalam lingkaran.

kn = keliling segi-// tsb.

Dalil2 123a dan b dengan mudah dapat dibuktikan oleh pembatja sendiri.

D A L I L 123.

a~ Lign < I_ n • < /Cn* ^ la > K n ^

b- [‘¿n ln j k%n k n .

Untuk bukti2 dalil2 124a dan b dibutuhkan beberapa dalil pertolongan.

D a l il p e r t o l o n g a n , k e -1. Banjak sisi suatu segibanjak-dalam ber

aturan selalu dapat dipilih demikian rupa, sehingga sisinja mendjadi lebih

ketjil dan untuk n jang lebih besar, tetap lebih ketjil daripada suatu segment-

garis sebarang jang ketjil, jakni d.

B u k t i : Djika r djari2-nja, maka ada bilangan n, sehingga nd > 8r

(8r — keliling budjursangkar luar), tetapi untuk tiap2 segi-rz-dalam

rPlammetrr — 16

B A B XII.*

§ 72.

241

beraturan dengan sisi an, berlakulah nan < 8r (lihatlah c diatas in i ) ;

dengan menghubungkan ketidak-samaan2, jaitu :n an < 8r < n d , maka

an < d.

D a l i l p e r t o l o n g a n k e -2. Banjak sisi segi-n-dalam beraturan selalu

dapat dipiliti demikian, sehingga r — mn, mn ialah apotema segitiga-

pusat, lebih ketjil daripada suatu segment

garis ketjil jang sebarang e.

B u k t i : Lihatlah pada gb. 244. CD =

PD — "PC = r — mn = PA— PC ; tetapi

selisih dua sisi segitiga lebih ketjil dari

pada sisi ketiga, djadi: PA — PC < AC =

io n, karena an < 2e, djika n tjukup besar,

(lihat dalil pertolongan 1), maka djuga

r — mn < e. Gb. 244: CD < e.

D A L I L 124a.

Luas segibanjak-luar beraturan dengan banjak sisi n, 2n, 4n, ...... , 2kn

merupakan suatu barisan bilangan jang turun; pada segibanjak-dalam :

barisan bilangan naik, Barisan2 ini limitnja sama untuk k --- > CO .

B u k t i : Dalil 97 menghasilkan Ln : /n = r2 : mn2 (mn = apotema).

djadi : (Ln — ln) : (r2 — mn2) = Ln : r2.

(Ln — /n) • = • ^2-

(Ln — /n) : an2 = Ln : 4r2.

Suku jang terachir ialah luas budjursangkar-luar, sehingga Ln < 4r2

(sebab n ditingkatkan, djadi bolehlah dimisalkan, bahwa n > 4), djadi,

pada perbandingannja suku pertama lebih ketjil dari pada suku kedua,

jaitu Ln — /n < an2. Dengan melipat-dua n berulang-ulang, Ln mendjadi

makin ketjil dan /n makin besar, sedangkan (lihat dalil pertolongan 1),

selisihnja lama-kelamaan mendjadi lebih ketjil dari pada luas suatu

budjursangkar dengan sisi d; berapa djuga ketjil dipilihnja d. Maka dari

itu dengan meningkatkan k, L2ka dan L2/cn mendekati limit L jang sama.

Lim it L, jaitu limit persekutuan luas2 segibanjak2-dalam beraturan dan

segibanjakz-luar beraturan dinamakan luas lingkaran.

Djika r dan r' djari2 dua buah lingkaran, Ln dan L 'n luas segi-rz-luar-

nja, maka karena dalil 97 Ln : L 'n = r2 : r '2-, pada peralihan ke lim it2

L dan L ' ; perbandingan ini tetap. Djadi L : L ' = r2 : r'2, djadi L : r2 = L ' : r '2 ~ L " : r"2 —

242

Artinja : perbandingan luas lingkaran dan kwadrat djari2~nja sama

untuk tiap" lingkaran.

D A L I L 124b.

Keliling segibanjak-luar-beraluran dengan n, 2n, 4n, . . . . . . 2 n sisi-,

merupakan suatu barisan bilangan jang turun, keliling segibanjak-da am-

beraturan dengan n, 2n, 4n,........ . 2kn sisi2 merupakan suatu barisan bi

langan jang naik. Barisan2 ini limitnja sama untuk k ►0/0•

B u k t i : K n ' k n = r : mn, djadi

(Kn — kn) : (r — mn) = Kn : r dan

(Kn — kn) : 8(r — mn) = K n : 8r.

8r ia lah ke liling budjursangkar-luar; djadi K n < 8r, m aka K n — *n

< 8(r — mn); r — mn, d jad i d juga 8(r — ma) menurut a i Per

longan ke-2, lam a-kelam aan m endjadi lebih ketjil daripa a iaP

tongan garis e, berapa ke tjil d juga e dip ilih. Karena se arang e i

seg iban jak2 luar m erupakan barisan turun , keliling2 segi

lam m erupakan barisan na ik dan selisihnja lama-kelamaan e i

dari t ia p b ilangan ke tjil jang sebarang, m aka keliling ini

lim it sam a. Lim it ini dinamakan pandjang lingkaran { ei i ng i g

sesuai dengan keliling segibanjak). .Teranglah, bahwa keliling dua buah segibanja - uar^ . . 2

dengan ban jakn ja sisi jang sama, berbanding sebagai jari i

da lam nja, ja itu r dan r' djadi djuga lim it2-nja: K dan

“ u T . r - K ' : r; - K " : r - ........ ; jaitu: p e r b a npandjang lingkaran dan djari2-nja, tetap.

Luas2 segi2-2n-dalam beratur

an dapat dinjatakan dengan :

n. \anr dan lim itnja ialah L.

Keliling2 segi2-/i-dalam beraturan

dapat dinjatakan dengan nan, dan

limitnja ialah K; n. $anr = L, dja

di menghasilkan : \Kr = L-

Telah kita lihat, bahwa L = f r2 dan K - f'n f dan / ialah‘ Pe

bandingan2 tetap jang telah dibitjarakan diatas, su s i usi djang

L menghasilkan ¿ ' r r = / f , djadi f' = 2/. Djad, dj.ka pandang

lingkaran dinjatakan dengan garistengahnja d, maka er apa

luas = fr2, dan K = keliling — fd.Menurut pembitjaraan (lihat dalil 124 b), bilangan / a

didekati, djika keliling2 segibanjak2-daiam dan -luar, dinja a an

garistengahnja;

243

Luar Dalam

segi-6 3,464 102 3

segi-12 3,215 390 3,105 828

segi-24 3,159 659 3,132 629

segi-48 3,146 086 3,139 349

segi-96 3,142 714 3,141031

segi-192 3,141 873 3,141452

segi-384 3,141 663 3,141 558

segi-768 3,141610 3,141584

Pada pengerdjaan landjut, kedua barisan mengapit bilangan /.

Biasanja perbandingan pandjang dan garistengah suatu lingkaran

(jang sementara telah dinjatakan dengan /) dinjatakan dengan huruf

Junani tc.

Bilangan tt, ia lah: 3,1415926535........ ; dibulatkan: 3,1416;

1- = 0,31831.7T

D A L I L 125 a, b

Luas lingkaran dengan djari2 r sama dengan k r2; pandjang lingkaran

sama dengan 2 n r .

Sudah kurang lebih 250 tahun sebelum Masehi, Archimedes. me-

nundjukkan dengan pertolongan segi-96-dalam dan -luar beraturan

bahwa tc harus terletak antara 3 y- dan 3yj• Biasanja 3 y disebut per

bandingan Archimedes; djadi perbandingan ini ketelitiannja sampai

2 desimal. Dalam th. 1585, Metius memberi pendekatan fff untuk tc ,

jang mempunjai ketelitian sampai 6 desimal; tetapi dalam th-1579

Vieta dengan pertolongan segi-3.217 = 393216-dalam dan -luar ber

aturan, mendapat pendekatan jang mempunjai ketelitian sampai 9

desimal.

Dalam abad2 ke 17, ke 18 dan ke 19, beberapa ahli2 berhitung telah

menghitung tc dengan lebih banjak desimal ¡ sebagai hasil jang gemilang

dalam 1949 di Amerika, sebuah mesin telah menghitung dalam 96 djam

sampai dengan 2040 desimal (lihat madjallah Euclides Jg. XXV , hal.

159; disitu terdapat tc dalam 808 desimal).

Tentu sadja hasil2 terachir ini tiada kepentingannja sedikitpun jang

praktis; mereka hanja menundjukkan untungnja pemakaian tjara mo

dern dari pada tjara2 jang lama. •

244

Jang dinamakan pandjang busurlingkaran ialah pandjang, jang

berbanding dengan pandjang lingkaran sebagai sudut pusat jang beserta

busur tsb. dengan sudut-penuhnja.

Dari ketentuan in i :

§ 73.

D A L I L 126«

Pandjang busur a° dari lingkaran

adengan djari2 r, sama dengan 2tcr.

Rumus untuk pandjang mendja-

di mudah djika dipilih sebagai satu

an sudut: rad ial; suatu radial atau

sudut-djari- ialah sudut pusat pada

busur, jang pandjangnja sama de

ngan djari2 lingkaran, lihat gb. 245.

Djadi, pandjang busur sematjam itu ialah r, sehingga :

D A L I L 126&

Pandjang busur dari p radial dari lingkaran dengan djari2 r, sama

dengan pr.

Karena pandjang busur dari 360° sama dengan 2nr, maka 360° =

radial.1 OA

Djadi : 1 radial = --- deradjat = 57°17'45".7t

Tidaklah mungkin melukis sudut sebesar 1 radial dengan djangka

dan mistar; lukisan-pendekatan terdapat pada § 75, nr. 3.

Menghitung atau melukis suatu potongan garis, jang pandjangnja

sama dengan pandjang busur jang diketahui, dinamakan rektifikasi

(penentuan pandjang) busur tsb. Pada busur lingkaran, perhitungan

pandjang mudah sadja, djika diketahui sudut pusatnja dan djari2 ling

karan tempat asalnja ; lukisan suatu segmentgaris jang sama pandjang

dengan pandjang busur tsb. tidak dapat dikerdjakan dengan djangka

dan mistar. Djadi haruslah kita puas dengan lukisan-pendekatan, jang

harus memenuhi dua sjarat, jaitu :

1. Lukisan harus sederhana, jang berarti: terdiri dari sed ik it peket-

djaan dengan djangka dan (atau) mistar.

245

2. Kesalahan pendekatan tidak boleh lebih besar dari kesalahan jang

rata-rata diperbuat pada lukisannja sendiri, jang disebabkan

ketidak-telitian alat2 gambar dan pengamatan pantja-indera.

Suatu lukisan pendekatan segmentgaris jang pandjangnja tcr de

ngan diketahuinja r, jang sederhana dan djuga tjukup teliti, ialah lukisan

Kochansky jang berikut:

AB = 2r ialah garis-tengah sete

ngah lingkaran dan P pusatnja. Ta

riklah garis2 tegaklurus pada AB di

A dan di B, dan tentukanlah pada

sebelah AB titik2 C dan D, sehingga

AC = 3r dan ¿_ P = 30°. Tariklah

selandjutnja D E // BA, maka D E =

2r dan AE = BD = \r \A37sehing-

ga CD2 = 4r2 + (3 — |V3)2r2 =

(13 5/3 — 2 V 3) r2, m aka:

Gb. 246: CD = 7C r.

CD = r V 131/3 r V 9’869 232 T 3,14153 r-71 = 3,14159, sehingga selisihnja hanja 0,00006 r, jang berarti,

bahwa pada lingkaran dengan djari2 1 m, kesalahannja kurang lebih hanja

0,06 mm; ini sudah pasti lebih ketjil dari pada kesalahan jang diperbuat

pada lukisannja sendiri.Untuk melukis suatu segmentgaris, jang dengan pendekatan sama

pandjang dengan busur sebarang dari suatu lingkaran, maka kita be-

kerdja sebagai berikut; lihat gb. 247; pada gb. ini AB busur jang tidak

terlalu besar dari lingkaran (P,r). Tentukan pada perpandjangan AP

titik M, sehingga PM = 2r dan tariklah garissinggung pada lingkaran

di A. D jika C titikpotong garissinggung itu dengan MB, maka dengan

cm.i c m i j j c u i u j d i i g o a i n o . u v i ^ u » 1 - ‘- ' i r

kesalahannja kurang dari 0,1 mm.

§ 7 4 .

Jang dimaksud dengan luas suatu sektor lingkaran , ialah luas, jang

berbanding dengan luas lingkaran sebagai sudutpusat sektor dengan

sudut penuh.

246

Dari definisi ini didapatlah dengan mudah :

D A L I L 127 a.

Luas sektor lingkaran sama dengan setengah hasil perbanjakan djari2

dengan pandjang busur. B

B u k t i . D jika sudut pusat sektor-lingkaran

(M, f) ialah a° dan b pandjang busur, maka

menurut ketentuan jang diketahui:

luas sektor

- r2

a.

360Gb. 248: Luas sektor = */2 rt>-

a aDjadi : luas sektor = . -r r2 = br.-^z. 2 tt r = irb.

J 360 “ 360

Djadi, kalau sektornja bersudutpusat a radial, maka :

luas sektor asehingga:

Tir- 7Z

D A L I L 1276.

Pada sebuah lingkaran dengan djari2 R, luas suatu sektor dengan

sudut pusat sebesar a radial, sama-dengan laR'1.

Luas suatu segmentlingkaran didapat djika busur segment tsb. lebih

ketjil dari 180° (lihat gb. 249 a), sebagai selisih luas sektor-lingkaran dan

segitiga. D jika busur segment jaitu a, lebih besar dari 180°, maka luas

sektor harus didjum lahkan dengan luas segitiga. Djika r djari2 lingkaran,

A \ /B

Gb. 249a: Luas segment. Gb. 249b: Luas segment.

maka luas segment dalam kedua hal ternjata sama dengan :

360' nrZ ~ ^r2sin a'

D jika busur segment sebesar a radial, maka rumus ini mendjadi

\r2(a — sin a).

247

Menghitung sisi atau melukis budjursangkar, jang luasnja sama

dengan luas lingkaran jang diketahui, dinamakan kwadratur lingkaran

tsb. Perhitungannja tjukup mudah; tetapi lukisannja tidak dapat dilak

sanakan dengan pertolongan djangka dan mistar, sehingga seperti pada

rektifikasi lingkaran, lagi kita harus puas dengan lukisan pendekatan.

Sudah barang tentu ini dapat dirangkaikan kepada lukisan gb. 246.

Sebab, djika L luasnja dan k pandjang lingkaran (P, r). karena z / = nr2

dan k = 2 tz r, maka L = \rk. Djadi djika sisi budjursangkar jang

ditjari ialah x, maka ini dapat langsung diperoleh dari : x = V \rk.

Sebagai tjontoh kita berikan lukisan jang berikut.

Tariklah pada lingkaran (P, r) (lihat gb. 250) garistengah MQ ;

pasanglah pada garis tegaklurus pada MQ di P potongan PA = -f r.

Pasanglah selandjutnja pada sinar PQ potongan P B = ~ r, maka keliling

A PAB sama dengan: y r (3 + V'5) = 6,283 282 r, djadi kurang lebih

2nr, dengan kesalahan 0,000 10 r (terlalu besar).

Djadi djika pada perpandjangan BP diambil potongan PC = PA

dan pada perpandjangan PB potongan BD == BA, maka CD = l = 2-kR.

Tentukanlah titik pertengahan CD, jaitu S; pasanglah SE = r pada SD

dan buatlah setengah lingkaran dengan CE sebagai garistengah. D jika

setengah lingkaran ini memotong garis tegaklurus pada MQ, di F, maka

SF = x = V \rky sehingga luas budjursangkar dengan SF sebagai sisi

dengan pendekatan sama dengan luas lingkaran (P, r).

Karena disini x2 = \rk = 3,141 64 r2, budjursangkarnja kurang

lebih terlalu besar 0,000 05 r2. ~

248

1. Lukislah lingkaran, jang kelilingnja sama dengan djumlah keliling2 tiga buah lingkaran jang diketahui.

2 . Hitunglah djari2 lingkaran, jang pandjang busurnja, pada sebuah sisi

segi-sepuluh-dalam beraturan sama dengan keliling suatu segi-lima

beraturan, jang terlukis didalam lingkaran (P, R).

Pada soal2 3, 4, 5 dan 6 diberikan pendekatan2, hitunglah kesalahan- -

nja; „kesalahan” berarti simpangan terbesar.

3. Pada garissinggung dititik A pada lingkaran (P, R) dipasanglah

berturut-turut AB = 3R dan BC = 2R. Pada garis tegaklurus

pada AC di B diambillah BD = AB, setelah itu pada AP potongan

AE = AD dan achirnja pada CA potongan CF = CE. Buktikanlah,

bahwa sekarang Z APF kurang lebih sama dengan 1 radial. Hi

tunglah tg Z APF.

4. Tariklah garistengah AB dan djari2 PC, jang membentuk sudut 30°

dengan PA. Tentukanlah projeksi C pada AB, jaitu D; tariklah

garissinggung di B pada lingkaran dan pasanglah padanja: BE =

6r; maka D E kurang lebih sama dengan 2-rzr.

5. Tariklah garistengah AB dan pasanglah pada garissinggung di B

potongan BC = BA. CP memotong lingkaran untuk pertama kali

di D; pasanglah CE = CD pada CB dan perpandjangkanlah BC

dengan CF = j- BC. Tariklah FG // EA (G pada BA), maka BG =2 n r (Vieta).

6 . Tariklah garistengah AB dan tariklah garis tegaklurus di A : AC =

4 r. Tentukanlah pada BC sebuah titik D, sehingga BD = r dan

projeksi-kan D pada AB; E projeksi D pada AB. Tariklah DF // CE

(F pada AB) dan perpandjangkanlah AB dengan BG = 4r dan GH =

FB; maka AH ~ 2tc r (Jacob de Gelder).

7. Lukislah suatu lingkaran, jang luasnja sama dengan djumlah luas

3 buah lingkaran jang diketahui.

8 . H itunglah djari2 suatu lingkaran, jang luasnja sama dengan luas

segi-delapan beraturan, jang dilukis didalam lingkaran (P, R).

S O A L - S O A L§ 75.

249

9. Hitunglah luas sektor-lingkaran jang bersudut-titikpusat 45°, dan

jang kelilingnja sama dengan keliling suatu budjursangkar, jang

dilukis didalaiu lingkaran (P, R).

10. Hitunglah luas suatu segment-lingkaran lingkaran (P, R), djika

sudut-titikpusatnja: a. 60°; b. 90°; c. 45°; d. 36°; e. 72°.

11. Bagilah suatu lingkaran (P, R) dengan dua buah lingkaran jang

konsentris dengan (P, R) mendjadi tiga bagian jang sama luasnja.

12. Didalam lingkaran (P, R) dilukis suatu segi-delapan beraturan, dan

didalam .segi-delapan ini suatu lingkaran (P, R J lagi, didalam (P, Rx)

suatu segi-delapan beraturan lagi, dan didalam segi-delapan jang

terachir ini suatu lingkaran (P, R2) dst. Tentukanlah djumlah luas

semua lingkaran2 itu djika dimisalkan, bahwa pekerdjaan itu di

langsungkan sampai tak terhingga.

13. Dua buah lingkaran berpotongan di titik2 A dan B ; pusat2nja ter

letak disebelah menjebelah AB; AB = a. Djika AB didalam ling

karan jang satu ialah sisi segitiga-dalam beraturan, dan didalam

lingkaran jang lain ialah sisi segi-sepuluh-dalam beraturan, maka

tentukanlah luas bangun persekutuan kedua buah lingkaran tsb.

14. Diketahui dua buah titik M dan N; MN = R. Lingkaran2 (M, R)

dan (N, R) berpotongan di A dan B. Dari tiap lingkaran2 (A, 2R)

dan (B, 2R) digambarlah busur sebesar 60°, jang titik2 udjungnja

terletak pada kedua buah lingkaran jang pertama. Hitunglah luas

bangun jang berbentuk bulat pandjang, jang terbentuk dengan

djalan itu.

15. Lingkaran2 (M, R) dan (N, R) bersinggungan-luar, sedangkan ling

karan2 (M, 2R) dan (N, 2R) berpotongan di A dan B. Dari tiap

lingkaran2 (A, 3R) dan (B, 3R) digambarlah suatu busur sebesar 60°,

jang titik2 udjungnja terletak pada dua lingkaran jang pertama.

Hitunglah luas bangun jang berbentuk bulat pandjang, jang ter

bentuk dengan djalan itu.

16. M ialah titik pertengahan segmentgaris* AB, C terletak pada MA

dan D pada MB, sehingga CM = MD. Pada satu fihak AB dilukislah

setengah-Ungkaran2 a, p dan y, jang berturut-turut bergaristengah

AB, AC dan DB, dan pada fihak jang lain setengah-lingkaran S

dengan garistengah CD. Garis tegaklurus pada AB di M memotong

250

a di E dan S di F. Buktikanlah sekarang, bahwa luas bagian bidang

jang dibatasi oleh keempat setengah-lingkaran2 tsb. sama dengan

luas lingkaran dengan EF sebagai garis-tengah.

17. Buktikan, bahwa luas bagian bidang, jang dibatasi oleh dua buah

lingkaran jang konsentris, sama dengan luas lingkaran, jang ber-

garistengah talibusur lingkaran jang terbesar, jang menjinggung

lingkaran jang terketjil.

18. a. Dengan BC, CA dan AB, jaitu sisi2 suatu segitiga siku2 (Z. C —

90°) sebagai garistengah, dilukislah lingkaran2 a, p.dan y. Buk

tikanlah, bahwa djumlah luas bagian2 lingkaran2 a dan p, jg.

terletak diluar lingkaran y, sama dengan luas A ABC (bulan2

Hippocrates).b. Buktikanlah pula, bahwa luas bagian y, jang terletak diluar a

dan p, dikurangi dengan luas bagian persekutuan a dan p,

sama dengan luas A ABC.

19. a. Didalam lingkaran a = (P, R) ditariklah garistengah AB dan

suatu talibusur KL // AB dan sama dengan sisi budjursangkar-

dalam lingkaran a. Selan-

djutnja, dilukislah lingkaran

p, jang berg;aris-tengah KL.

Buktikanlah, bahwa luas ba

gian p, jang terletak diluar

a, sama dengan luas KLP.

b. Buktikan pula, bahwa djum

lah luas bagian2 a, jang ter

letak sefihak dengan p te.r-

hadap AB, tetapi selandjut-

nja terletak diluar p, sama

dengan luas A KLP.

20. o. t titiktinggi suatu segitiga lantjip ABC; (P, r) lingkaran-luar-

nja. Lingkaran2 (A, r), (B, r) dan (C, r) potong-memotong, ke-

tjuali di P, masih lagi di titik2 D, E dan F. Buktikan, bahwa D,

E dan F terletak pada lingkaran (T, r).

b. Buktikanlah, bahwa luas bagian jang ber-garis2 pada gb. 251

sama dengan dua-kali luas A ABC.

251

U L A N G A N K E T I G A

1. APB ialah garistengah tetap didalam lingkaran (P, r) dan CPD

garistengah berubah-ubah. D dihubungkan dengan M, titiktengah

AC, dan ditariklah garis AN tegaklurus pada DM. Diminta: tempat

kedudukan titiktengah2 DM dan djuga tempat kedudukan N.

2. AD, BE dan CF ialah garistinggi2 A ABC, M dan N ialah projeksi2

F pada BC dan AC. Buktikanlah, bahwa titiktinggi T terletak pada

satu garis dengan K, jaitu titikpotong AB dan MN, dan L, titik-

potong DE dengan garis jang melalui C dan sedjadjar dengan AB.

3. Lukislah suatu segitiga, djika diketahui alas AB, sudutpuntjak y,

dan CD, jaitu garisbagi sudutpuntjak.

4. T ialah titiktinggi didalam segitiga Iantjip ABC. Di M, tengah2 AB,

ditariklah garis tegaklurus MC', jang pandjangnja sama dengan

CT; T dan C' terletak pada fihak jang berlainan terhadap AB.

Dengan tjara jang sesuai, ditariklah ditengah-tengah BC dan AC,

jaitu N dan O, garis2 tegaklurus NA' dan OB', berturut-turut dengan

pandjang AT dan BT. Buktikanlah, bahwa AA', BB' dan CC'

melalui satu titik S. Djika A dan B titik2 tetap, dan /_ C tetap,

tentukanlah tempat kedudukan S.

5. Djika pada suatu segi-enam-talibusur dengan diagonal2 AD, BE dan

CF melalui satu titik, maka AB. CD. EF = BC. DE. FA. Buktikanlah.

6. Hitunglah sisi segi-40 beraturan, dilukis didalam lingkaran (P, R).

7. Dua buah transversal, jaitu t dan t', memotong garis2 sisi A ABC,

jaitu BC, CA dan AB, berturut-turut di K dan K', M dan M', N dan

N'. Garis2 MN', NK ' dan KM' memotong garis2 sisi BC, CA dan AB

berturut-turut di D, E dan F. Buktikanlah, bahwa titik2 jang ter-

achir ini kolineair.

8. Dari D, tengah2 BC, alas segitiga samakaki ABC, ditariklah garis

DE tegaklurus pada AB; AC memotong garis tegaklurus ini di F.

Dari F ditariklah garissinggung pada lingkaran-luar A ABC. Djika

K titiksinggung garissinggung itu, maka buktikanlah, bahwa

A D FK samakaki.

§ 76.

252

9. a. Pada sisi2 suatu parallelogram ABCD dilukislah keluar: segitiga2

siku2 samakaki APB, BQC, CRD dan DSA. Buktikanlah,

bahwa P, Q, R dan S merupakan titik2 sudut suatu budjursang-

kar.

b. Dilukislah pula kedalam segitiga2 siku2 samakaki AP'B, BQ'C,

CR'D dan DS'A. Buktikan, bahwa djuga P 'Q 'R 'S ' suatu

budjursangkar.

c. Buktikan, bahwa djumlah luas kedua buah budjursangkar itu

sama dengan djumlah luas kedelapan buah segitiga2 samakaki.

10. Z ialah titikberat A ABC, Z' titikberat A AZC; CZ' memotong

AB di D.

a. Tentukanlah perbandingan AD : BD.

b. D jika titiksudut C bergerak sepandjang busur ACB dari ling-

karan-luar A ABC, maka tentukanlah tempat kedudukan Z'.

11. Dari A ABC, (P, R) ialah lingkaran-luarnja, sedang (I, r) lingkaran-

dalamnja. Djika kuasa I terhadap kepada lingkaran (P, R), a

kuasa A terhadap kepada lingkaran BIC, ¡B kuasa B terhadap

kepada lingkaran CIA dan y kuasa C terhadap kepada lingkaran AIB,

maka buktikanlah nasabah :

12. Njatakanlah kuasa Z, jaitu titikberat A ABC, terhadap kepada

lingkaran-dalam (I, r), dengan sisi2 segitiga itu, jaitu a, b dan c.

13. I, Ia, lb dan Ic ialah pusat2 lingkaran2-dalain dan -singgung ABC.

Buktikan :

a. bahwa lingkaran2-luar segitiga2 Ialblc, Iblcl> Iah>I dan IcIaI

berdjari-djari sama ;b. bahwa P, Pa, Pb dan Pc, pusat2 keempat buah lingkaranMuar

ini berturut-turut titik2-bajangan-tjermin titik2 I, Ia, Ib dan Ic

terhadap kepada O, pusat lingkaran-luar A ABC.

14. Pada suatu segitiga samakaki ABC, AB = BC = a dan AC = b;

selandjutnja T titiktinggi, Z titikberat dan I dan O berturut-turut

pusat2 lingkaran-dalam dan lingkaran-luar.

a. Njatakanlah 01 : IT dengan a dan b ;

b. D jika a = 2b, maka buktikanlah, bahwa OZ = ZI = IT dan

njatakanlah OZ dengan b.

253

15. a. Didalam lingkaran (P, r) diketahui sebuah titik S. Melalui S

ditariklah talibusur2 AB dan CD, jang sama pandjang dan tegak-

lurus satu terhadap jang lain. Lukislah suatu budjursangkar

EFGH, sehingga E terletak pada AS, F pada CS dan G dan H

pada busur jang terketjil dari kedua busur AC.

b. D jika luas budjursangkar tadi 2/5 luas suatu budjursangkar jang

dilukis didalam lingkaran (P, r), maka njatakanlah AD dengan r.

16. a. . Pada A ABC a > b > c; tentukanlah tempat kedudukan titik2,

jang djaraknja sampai garissisi BC sama dengan djumlah dja-

rak2nja sampai garis2-sisi CA dan AB.

b. Tentukan djuga tempat kedudukan titik2, jang djaraknja sam

pai garissisi CA sama dengan djumlah djarak2-nja sampai garis2

sisi AB dan BC.

c. Achirnja, tentukanlah tempat kedudukan titik2, jang djarak

nja sampai garissisi AB sama dengan djumlah djarak2-nja sam

pai garis2-sisi BC dan CA.

17. Dari A ABC, (1, r) ialah lingkaran-dalainnja, dan (Ia, ra), (Ib, rb)

dan (Ic, rc) ketiga buah lingkaran-singgungnja; P titiktengah AB.

Garis2 PI, P ia> p ib dan P IC memotong garistinggi CD (D pada AB)

berturut-turut di titik2 E, Ea, E„ dan Ec. Buktikanlah, bahwa

CE == r, CEa = ra, CEb = rb dan CEc = rc.

18. AB ialah garistengah lingkaran (P, r); M sebuah titik didalam lin g

karan. Diminta : menentukan pada AB sebuah titik X dan pada

lingkaran itu sebuah titik Y, sehingga X Y _|_ AB dan M X = X Y .

19. Dari tiga buah lingkaran (Mj), (M J dan (M3), (Mx) dan (M2) ber

potongan di A dan B, sedangkan (M2) dan (M3) berpotongan di C

dan D. Garis AD memotong (Mx) lagi di A ' dan (M3) di D ', sedangkan

garis BC masih memotong lingkaran (Mx) di B' dan (M3) di C'.

Diminta membuktikan :

a. A', B', C', D ' terletak pada sebuah lingkaran (M4);

b. keempat buah pusat lingkaran2 itu ialah titiksudut2 suatu

djadjarangendjang.

20. Lukislah pada lingkaran-luar suatu A ABC jang diketahui suatu

titik M, jang untuknja berlaku : MA2 + 2MB2 = 3MC2.

21. AD, DE dan CF ialah garis2 tinggi dalam A ABC. Sekarang djika

M itu projeksi B pada DE dan N projeksi F pada BC, maka bukti

kanlah, bahwa MN sedjadjar dengan AC.

254

l

22. Dari A ABC, (P, R) ialah lingkaran-luar, (1, r) lingkaran-dalam

dan T titiktinggi. Djika y == 60°, maka buktikanlah, bahwa:]

a. titik2 A, B, P, I dan T terletak pada sebuah lingkaran ;

b. PT = | a — b |.

23. Dalam lingkaran (M, r) dilukiskan suatu segi-empat ABCD, jang

diagonal-diagonalnja berpotongan tegaklurus disuatu titik O.

Garis tegaklurus dari O pada AB memotong AB di E dan CD di R,

dan garis tegaklurus dari O pada BC memotong BC di F dan DA di

S, dan garis tegaklurus dari O pada CD memotong CD di G dan AB

di P, sedangkan garis tegaklurus dari O pada DA di H dan BC di Q.

Buktikanlah hal2 berikut in i :

a. P, Q, R dan S ialah titik2 pertengahan AB, BC, CD dan DA ;

b. PQRS suatu empat-persegi-pandjang ;

c. tengah2 OM ialah pusat lingkaran-luar PQRS, jaitu y.

d. lingkaran y djuga merupakan lingkaran-luar segi-empat EFGH;

e. segi-empat EFGH bisiklis.

(Suatu segi-empat disebut bisiklis, djika segi-empat itu berlingkaran-

luar dan berlingkaran-dalam).

24. Pada lingkaran (P, r) diketahui titik2 A dan B dan pada perpan-

d j angan AB, titik D. Dari D ditariklah garissinggung (titiksinggung-

nja C) pada lingkaran tadi; projeksi2 D pada garis AC dan BC,

ialah E dan F. Djika PC dipotong oleh DE di M dan oleh DF di N,

maka diminta membuktikan, bahwa:

a. AN J_ AB dan BM_|_ AB ; b. MP = PN.

25. Diketahui dua buah titik A dan B dan garis m, jang memotong

tegaklurus AB disuatu titik O, jang terletak pada perpandjangan

BA. Melalui suatu titik P pada m dan titik2 A dan B. dilukislah ling

karan, dan kemudian ditentukan suatu titik Q pada y, sehingga

PB = PQ. Tentukanlah tempat kedudukan Q, djika P bergerak

sepandjang garis m.

26. Lukislah A ABC, djika daripadanja diketahui R, r dan ra, jaitu

djari2 lingkaran-luar dan lingkaran-dalam dan lingkaran-singgung

jang menjinggung BC = a.

27. Pada BC, CA dan AB, sisi2 A ABC, dipilihlah bertu ru t- tu ru t t it ik 2

D, E dan F, sehingga (BCD) = (CAE) =» (ABF) = n (n < 0).

a. Buktikanlah, bahwa segitiga2 ABC dan DEF titikberatnja sama •

b. Tentukanlah tempat kedudukan titik2 tengah2 DF, djika n

berubah, tetapi tetap negatip.

255

28. Dalam A ABC, Z ialah titikberat, (I, r) lingkaran-dalam dan (Ia, ra)

lingkaran-singgung pada sisi BC.

a. Nasabah apakah jang terdapat antara sisi2-nja, djika IZ // BC?

b. Buktikan, bahwa IaZ tidak mungkin sedjadjar dengan AB.

29. Didalam segitiga siku2 ABC (a = 90°), I ialah pusat lingkaran-

dalam. Buktikan, bahwa Al. BI. Cl = a (a—b) (a — c).

30. Diketahui suatu empat-persegi-pandjang ABCD jang bentuk dan

besarnja tetap, dan selandjutnja tiga buah lingkaran kesentris a,

p dan y (pusat : P). Djika sekarang A berpindah sepandjang a,

B sepandjang ¡3 dan C sepandjang y, maka buktikanlah, bahwa

lintasan D ialah suatu lingkaran S, jang d juga berpusat P.

31. Dalam A ABC, d a dan d p ialah garisbagi sudut2 a dan p. Djika

diketahui, bahwa d a : d [3 = b : a, maka buktikanlah dengan dua

djalan, bahwa A ABC samakaki, atau, bahwa y = 60°.

32. Melalui P, jaitu salah satu dari titikpotong2 antara lingkaran2 M

dan N, ditariklah dua buah garis jang tegaklurus satu terhadap

jang lain, jang memotong MN berturut-turut dititik A dan B,

memotong lingkaran M di C dan D, dan memotong lingkaran N di E

dan F. Buktikanlah, bahwa AC : AE = BD : BF.

33. Pada A ABC, D, E dan F ialah titik2 tengah sisi2 BC, CA dan AB.

T ialah titiktinggi dan K,_L dan M berturut-turut titiktengah2 TD,

TE dan TF. Buktikanlah, bahwa garis2 AK, BL dan CM melalui satu titik.

34. Suatu segi-empat-garissinggung ABCD menjinggung lingkaran-

dalamnja dititik-titik E, F, G dan H berturut-turut pada AB, BC,

CD dan DA. Buktikanlah, bahwa :

a. diagonal2 AC dan BD dan garis EG dan FH melalui satu titik;

b. diagonal BD dan garis2 AF dan CE melalui satu titik.

35. Diketahui dua buah lingkaran (M, R) dan (N, r), jang bersinggungan

di A. Melalui A ditariklah dua buah garis jang tegaklurus sesamanja,

jaitu BC dan DE; B dan D pada lingkaran jang pertama, sedang

C dan E pada lingkaran jang kedua. Buktikanlah, bahwa BC2 + DE2

= 4MN2.

•6. Tentukanlah titik M didalam suatu segitiga lantjip, sehingga garis2

bagi sudut2 BMC, CMA dan AMB berturut-turut sedjadjar dengan

garis2 bagi sudut2 segitiga tsb. jaitu a, p dan y-

56

37. Dari suatu titik P ditariklah 3 buah sinar a, b dan c ; pada a terletak

titik2 A dan B, pada c titik2 C dan D; dari titik2 ini, A', B', C' dan D '

ialah projeksi2nja pada b; Q ialah titikpotong AD ' dan BC', R titik-

potong CB' dan DA'. Buktikanlah, bahwa QR J_ b.

38. Didalam trapesium ABCD, perpandjangan sisi2 tegak AD dan BC

berpotongan di E. Melalui E tariklah suatu garis, jang memotong

CD di F dan AB di G, sehingga trapesium AGFD dan GBCF mem-

punjai keliling jang sama.

39. Diketahui lingkaran2 (M, R) dan (N, r) dengan MN = d > R -f r.

Kedua buah garissinggung-dalam persekutuannja dan salah satu

dari garissinggung-luar persekutuannja membentuk suatu segitiga.

Njatakanlah luas segitiga itu dengan R, r dan d, dan periksalah

pendapatannja untuk hal, bahwa garis2 singgung-dalamnja tegak-

lurus satu terhadap jang lain.

40. D im inta melukis suatu trapesium ABCD (AD // BC), dengan dike-

tahui diagonal2 AC dan BD dan sudut2 A dan D.

41. Diketahui dua buah lingkaran konsentris (P, R) dan (P, r), (R > r)

dan sebuah titik tetap O didalam lingkaran jang terketjil. Suatu

sudut siku2 dengan O sebagai titiksudut, kakinja jang satu memo

tong lingkaran jang terbesar di A dan kaki jang lain memotong

lingkaran jang terketjil di B. Tentukanlah tempat kedudukan

titik pertengahan AB, jaitu N, djika sudut siku2 itu berputar ter

hadap O.

42. Lukislah diluar lingkaran (P, R) suatu segi-enam, jang sudut2nja

berganti-ganti : 90° dan 150°.

a. Buktikanlah, bahwa sisi2 segi-enam tsb. sama semuanja.

b. Hitunglah sisi2 dan luas segi-enam tadi.

c. Hitunglah diagonal2 segi-enam tsb.

43. Pada A ABC, a = 90°; D ialah projeksi A pada BC. Lingkaran2

(I, r), (Ix, r j dan (Is, r2) ialah berturut-turut lingkaran2-dalam segi

tiga ABC, ACD dan ABD. Nasabah apakah jang terdapat antara r,

rx dan r2? Buktikanlah, bahwa Al J_ IXI2 dan A l — I ^ .

44. Didalam A ABC, K ialah titik Lemoine. Buktikanlah, bahwa garis*

sisi segitiga-titikkaki K terhadap kepada A ABC tegaklurus kepada

garis2-berat ABC. Kemudian buktikan, bahwa K ialah titikberat

segitiga-titikkakinja.

Planimetri — 17. 257

45. D im inta melukis suatu segitiga, djika diketahui djari2 lingkaran2-

singgungnja.

46. Diketahui sebuah segi-empat ABCD, beserta garis21 dan m jang ber

potongan. Lukiskan didalam segi-empat itu djadjarangendjang

PQRS (P pada AB, Q pada BC, dst.), sehingga PQ // l dan QR // m.

47. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dan titik tetap A. Pada lingkaran

itu sekarang diambil titik2 B dan C, sehingga Z BAC = 90°, kemu

dian disempurnakanlah empat-persegi-pandjang BACD. Tentukan

lah tempat kedudukan D, djika B bergerak sepandjang lingkaran

tadi.

48. Pada sebuah 'segitiga BAC, jang samakaki dan siku2 AB == AC = c

dan D titik pertengahan BC.

a. Hitunglah djari2 lingkaran y, jang menjinggung sisi AB dan

menjinggung lingkaran2 ABD dan ACD.

b. Djika M dan N titiksinggung2 y dengan lingkaran2 ABD dan

ACD, maka buktikanlah, bahwa MN melalui titik pertengahan

AD, jaitu O.

49. Diketahui sebuah lingkaran (O), dan titik C padanja dan pada

garissinggung di C sebuah titik M. Melalui titik M ditariklah suatu

garispotong, jang memotong lingkaran di A dan B. Diminta : tem

pat kedudukan:

o. titikberat A ABC, jaitu Z;

b. titiktinggi A ABC, jaitu T ;

c. pusat lingkaran-titiksembilan, jaitu N.

50. Pada segitiga siku2 ABC, sisimiring AB = c, tetap. Hitunglah kedua

sisi tegaknja, untuk hal, bahwa hasilperbanjakan bagian2 AC, jang

dibagi oleh garisbagi sudut B, suatu maksimum.

51. Pada BC, dan CA, jaitu sisi2 A ABC, dilukiskan keluar segitiga2

samasisi BCA' dan CAB'. Djika D tangah2 CA', E tengah2 CB' dan

F tengah2 AB, maka buktikanlah, bahwa A DEF samasisi.

52. Didalam lingkaran (P, R) diketahui sebuah titik Z; selandjutnja,

diketahui djuga sudut y. Lukiskan didalam lingkaran itu suatu segi

tiga ABC, jang bertitikberat titik Z dan /_ C = y.

53. Pada AB, BC dan CA, sisi2 suatu segitiga, dilukiskan keluar budjur-

sangkar2 ABPP1; BCQQ!, dan CARRX; D ialah tengah2 AC. Bukti

kanlah, bahwa :

258

a. PQX = 2BD; b. PQX 1 BD; c. P i^2 + Q R * + RP,2 = 3(a2 +

¿>2 + c2).

54. Diketahui sebuah lingkaran y, sebuah segmentgaris AB diluar y

dan CD, sebuah talibusur y, jang sedjadjar dengan AB. Garis AC

memotong lingkaran untuk kedua kalinja di E, dan garis BE me

motong y sekali lagi di F, sedangkan DF dan AB berpotongan di

P. Buktikanlah, bahwa djika CD berpindah sedjadjar, maka titik

P letaknja tetap.

55. Pada suatu segi-empat-talibusur ABCD, S ialah titikpotong diago-

nal2nja. Buktikanlah, bahwa titik2 tinggi segitiga2 ABS, BCS, CDS

dan DAS ialah titiksudut2 suatu paralelogram, jang diagonal2nja

melalui titik2 potong'garis2 sisi segi-empat-talibusur jang berhadap-

hadapan.

56. Sebuah transversal Z memotong AB dan AC, sisi2 A ABC di D dan

E, dan memotong lingkaran luar A ABC di M dan N. Buktikanlah,

bahwa lingkaran2 MBD dan MCE bersinggungan di M.

57. Pada (P, R), jaitu lingkaran-luar A ABC, terletak sebuah titik tetap

M, jang bukan A. Didalam lingkaran itu dilukiskanlah suatu segitiga

A B ^ jang kedua, dengan B ^ // BC. Buktikanlah, bahwa garis2

titikkaki M terhadap kepada kedua segitiga itu masing2, sedjadjar.

58. Didalam segi-empat ABCD diagonal2 AC dan BD berpotongan di

S. DB diperpandjang dengan suatu bagian B F = D S dan CA dengan

bagian AE = CS. Sisi AB memotong DC di G dan EF di H. Bukti-

' kan, bahwa G dan H simetris letaknja terhadap kepada titik perte

ngahan AB. •

59. Diketahui sebuah segitiga ABC dan sebuah potongan garis d; ten

tukanlah titik Bx pada garissisi AB dan titik Cx pada garissisi AC,

sehingga titik2 B, C, Bx dan Cx konsiklis dan B1C1 = d.

60. Sebuah potongan garis AB dibagi-bagi oleh tiga buah garis tegak-

lurus padanja, jaitu Z, m dan n, mendjadi empat bagian. Selandjutnja

diketahui sebuah titik Q, jang tidak terletak pada garis2 ini. Diminta

menentukan suatu titik X pada m, jaitu garis tegaklurus jang di-

' tengah, sehingga P, titikpotong antara AX dan Z, R, titikpotong

BX dengan n dan titik Q, kolineair.

259

B A B X I I I

GARISKUASA DUA BUAH LINGKARAN.

BERKASLIN GKARAN .

Pada dua buah lingkaran, tempat kedudukan titik2 jang berkuasa

sama terhadap kepada lingkaran2 tsb., penting sekali artinja.

D A L I L 128

Tempat kedudukan titik2, jang berkuasa sama terhadap kepada dua

lingkaran, ialah suatu garis jang tegaklurus pada sentral.

Garis ini disebut gariskuasa lingkaran2 tsb.

B u k t i . Pada dalil 61 telah disebut hal2 letak dua lingkaran satu terha

dap jang lain; pada tiap2 hal ini kita selidiki tempat gariskuasa itu. Djika

lingkaran2 ini saling bersinggungan, maka tiap2 titik garissinggung per

sekutuan dititiksinggungnja, berkuasa sama terhadap kedua lingkaran

itu; djadi garissinggung tadi ialah gariskuasa. Djika lingkaran2 tadi ber

potongan di A dan B, maka tiap2 titik garis AB berkuasa sama terhadap

kepada kedua lingkaran itu; djadi AB ialah gariskuasa. Djadi, tinggallah

sekarang 2 hal jaitu, djika satu dari kedua lingkaran itu terletak diluar

jang lain, dan bila lingkaran jang ketjil sama sekali terletak didalam

lingkaran jang besar: *) lingkaran2 (M, R) dan (N, r) jang satu sama

sekali terletak diluar jang lain; 2) lingkaran jang ketjil terletak sama

sekali didalam jang besar.

K ita selidiki sekarang, apakah pada sentralnja, jaitu garis MN, ada

sebuah titik X jang berkuasa sama terhadap kepada kedua lingkaran

itu; ambillah R > r. *

H a l p e r t a m a . Sentralnja memotong lingkaran jang besar di A dan B,-

dan lingkaran jang ketjil di C dan D. X tidak mungkin terletak pada

§ 7 7 .

perpandjangan MA, dan djuga tidak pada perpandjangan ND, karena

PA.PB < PC.PD dan QD.QC < QB.QA. Demikian pula X tak mungkin

260

terletak digaristengah AB atau CD; tiap titik padanja berkuasa positif

terhadap lingkaran jang satu dan negatif terhadap lingkaran jang lain.

Djadi titik X hanja dapat terletak pada segmentgaris BC, B dan C

sendiri diketjualikan; lihatlah sekarang gb. 253; MN = d, M X = p dan

XN = q. Kuasa X terhadap kepada lingkaran t2 — p2 — R2, terha

dap kepada C2 q2 — r2; X berkuasa sama terhadap kepada kedua ling

karan itu, djika p2 — R2 = q2 — r2;

djadi < ^ - r=;J i p + q = d ;

Susunan persamaan ini mempunjai sepasang akar p dan q\ djadi

ada sebuah titik X . Tiap titik pada garis tegaklurus m di X pada sentral,

misalnja Y, berkuasa sama terhadap kepada kedua lingkaran itu, karena

YM2 — R2 = Y X 2 + p2 — R2.

YN2 — r2 = Y X 2 + q2— r2.

Kuasa ini sama, karena p2 — R2 = q2 — r2.

P e r in g a t a n . Perhitungan p dan q menghasilkan :¿2 _|_ R 2 _ r2 ¿2 _ _ R 2 + r2

P = 2d dan q = 2d “

R2 — r2p— q = --- — ; ruas kedua positif, djadi p > q\ titiktengah MN, ja-

itu 0, terletak pada MX.

p = \d 4- 0X ; pengurangan menghasilkan : p — 'q = 2 0X ;

\ R2 — r2 R2 — r2< q = ld — 0X ; p—q= ---^— ; djadi kita dapat 0 X = — ^ — •

H al k e d u a . Lihat gb. 254. Kita tjari lagi titik X pada garis MN, jang

berkuasa sama terhadap kepada lingkaran2 itu.

Pembatja dapat menentukan sendiri, bahwa X tidak terletak pada

segmentgaris AB, dan djuga ti'dak pada titik2batasnja. Djadi X terletak\

261

pada perpandjangan AB atau pada perpandjangan BA. Untuk jang

pertama: t2 = p2 — R 2 = q2 — r2, djadi p2 — q2 = R 2 — r2. Ruas kedua

positif; djuga p + q dan p — q; djadi p dan q dapat kita hitung.

Garis âng tegaklurus di X pada garis MN ialah gariskuasanja.

Pada perpandjangan AB tidak terdapat suatu titik S, jang berkuasa

sama terhadap kedua lingkaran tsb.; ini dapat kita fahami, demikian.

Umpamakan SM = m dan SN = n; n (S,CX) = m2— R 2, n (S,C2) = n2— r-;

m2— R 2 ^ n2 — r2; sebab dari m2 — n2 =£ R2— r2 ruas pertama negatif,

sedang jang kedua positif.

Perhitungan selandjutnja berlangsung dengan tjara jang sama se

perti pada hal pertama.

Menurut definisi pada halaman 207, maka PN2 ialah kuasa titik P terhadap

kepada lingkaran-titik (N,0); djadi dalil 1146 berlaku pula untuk ling-

karan-titik. Karena ini

dapatlah ditarik kesim

pulan, bahwa dalil 128

tetap berlaku, djika sa

lah satu lingkaran tadi

merupakan suatu ling

karan-titik, atau djika

keduanja lingkaran2 titik.

Djadi, boleh pula kita

memperkatakan tentang

gariskuasa suatu lingkar

an dan lingkaran-titik

atau gariskuasa dua ling

karan-titik.

Djika suatu titik 'terletak diluar lingkaran, maka kuasa titik ini

terhadap kepada lingkaran tsb. sama dengan kwadrat garissinggung

dari titik itu pada lingkaran ; karena itu, maka untuk tiap2 titik pada

gariskuasa dua lingkaran, dan jang terletak diluar lingkaran2, garis-

singgung2nja pada kedua lingkaran tsb., sama.

Karena ini kita putuskan :

D A L I L 129a

Tempat kedudukan titik2-pusat lingkaran2 jang memotong tegaklurus

dua buah lingkaran, terdiri dari bagian gariskuasa jang terletak diluar

lingkaran2 itu.

B u k t i . Djika (P,/) suatu lingkaran jang memotong tegaklurus ling

karan a dan ¡3, maka P terletak diluar lingkaran2 tadi; garis2singgung

262

dari P pada lingkaran itu sama pandjang, djadi djuga kuasa2 P ter

hadap kepada lingkaran2. Djadi P terletak pada gariskuasa a dan ß,

ja itu m, tetapi tidak didalam lingkaran2 tsb.

D jika sebaliknja P' sua-

tu titik pada m, jang tidak

terletak didalam lingkaran

a dan ß, maka garissing

gung2 dari P' pada a dan ß,

sama; lingkaran jang berti-

tikpusat di P' dan berdjari-

djari garissinggung sema--

tjam itu, akan memotong

tegaklurus a dan ß.

P e r in g a t a n . Titik2 potong

a dan ß, sebagai lingkaran2-

titik, termasuk baik dalam

tempat kedudukan jang

telah disebut pada dalil

129a, maupun dalam tempat kedudukan jang disebut pada dalil ber

ikut ini :

D A L I L 1296.

Tempat kedudukan titik2pusat lingkaran2, jang dibagi dua oleh 2

buah lingkaran, terdiri dari bagian gariskuasa jang terletak didalam ling

karan2 itu.

B u k t i , (lihat gb. 255). Djika y (Q,p) suatu lingkaran, jang dibagi dua

oleh'lingkaran2 a dan ß, maka Q tak mungkin terletak diluar lingkaran2

itu.

T itik2potong antara y dan a, jaitu titik2 A dan At, ialah titik2dia-

metral pada lingkaran (Q,p), demikian pula titik2potong antara y dan ß,

ja itu B dan Bt. Karena itu kuasa Q terhadap kepada a dan ß sama de

ngan — p2; djadi Q terletak pada m.

Djika sebaliknja, Q' suatu titik pada m, jang terletak didalam

lingkaran2 itu, maka kuasa Q' terhadap kepada tiap lingkaran tadi

sama dengan lawan kwadrat setengah talibusur jang bertitik tengah

di Q'.

D jadi, setengah-talibusur-setengah-talibusur itu sama, sehingga

lingkaran jang bertitikpusat Q' dan berdjari-djari setengah talibusur

itu, akan terbagi dua oleh kedua lingkaran itu.

Gb. 255: (T,t) memotong a dan ß tegaklurus;

y dibagi sama besar oleh a. dan ß-

ir

Selisih kuasa2 M terhadap kepada lingkaran2 jang tidak konsentris Cx

(p i>ri) dan C2(P 2,r2), soma dengan perbanjakan rangkap PXP2 dengan

djarak berarah gariskuasa Cx dan C2 hingga M.

D A L I L 130

Gb. 256: Selisih kuasa M terhadap C, dan C2.

B u k t i , m gariskuasa C1 dan C2, M' projeksi M pada PaP2, S projeksi M

pada m.

(¿(M.CJ— ¡¿(M,C2) = MPj2 — rj2 — MP22 +r22 = M 'P^ — M 'P22 — rx* +

r22 = (W Q + OP,)2 — (JVTQ + QR>)2 - r,2 + r22 = QPZ2 — r,2 — QP22 +

r22 + 2. M'Q (QPX — QP2) = ^ . C , ) — i*(Q,C2) + 2. M V . P2PV

Djumlah kedua suku jang pertama sama dengan nol, karena Q suatu

titik garis kuasa; selandjutnja kita ambil M'Q berlawanan, djika kita

ganti dengan SM; djuga P ^ kita ambil berlawanan, djika kita pasang

PxP2;djadi terdapatlah 2. P ^ . SM; besar harga mutlaknja ialah 2d SM.

Djika kita ambil sebuah titik A pada lingkaran C2, maka n(A,C2) = 0;

dari [¿(A^) — (¿(AjCa) tinggallah suku pertamanja sadja; dari ruas

kedua: 2. P ^ . SM, faktor 2. PXP2 untuk tiap tempat A, sama; terdapat

lah sekarang: y.(A,C1) — 2d. SM. Akibat2 penting dari dalil 130, ialah:

A k ib a t k e -1. Djika suatu titik A berdjalan sepandjang satu dari kedua

lingkaran jang diketahui, maka kuasa A terhadap kepada lingkaran jang

lain, sebanding dengan djarak gariskuasanja sampai ke A.

264

Lihat pada gb. 256a; djarak m sampai titik2 dan A2, berbanding se

bagai 2 dan — 1; kuasa terhadap kepada Cj ialah t2, kuasa A, terhadap

kepada Cx ialah — k2; inipun berbanding sebagai 2 dan — 1 (diukur lagi:

sebagai 242 dan 17“, djadi sebagai 576 dan — 289).

Selandjutnja, dengan mudah dapat pula difahamkan :

A k ib a t k e -2. D jika Cx dan C2 tidak konsentris dan k suatu bilangan-

tetap, maka tempat kedudukan titik2 M, sehingga (¿(M.Cj) — (¿(M,C2) = kr

ialah suatu garis tegaklurus pada sentral.

Sebab, dengan begitu SM tetap (lihat gb. 256a).

D A L I L 131 a

Ketiga gariskuasa tiap dua dari tiga buah lingkaran, jang titik-titik-

pusatnja tidak kolineair, melalui satu titik.

B u k t i . Djika m12 gariskuasa lingkaran C± dan C2, m23 gariskuasa ling

karan2 C2 dan C3, maka keduanja akan berpotongan, karena PXP2 dan

P2P3 tidak berimpit. Titikpotongnja K berkuasa sama terhadap kepada

Cx dan C2 dan C3, djadi djuga harus terletak pada m13, jaitu gariskuasa

Cx dan C3.

Titik K ini dinamakan titikkuasa ketiga lingkaran itu. Rupa-rupa-

nja titik ini, djika tidak terletak didalam lingkaran2 tadi, ialah titikpusat

suatu lingkaran a (lihat gb. 257a), jang memotong tegaklurus lingkaran2

Clt C2 dan C3; lingkaran ini dinamakan lingkaran-ortogonal ketiga ling

karan tadi. Djika K terletak didalam ketiga lingkaran itu (gb. 2576),

maka K titikpusat lingkaran p, jang dibagi dua oleh Clt C2 dan C3.

Djika ketiga lingkaran itu melalui satu titik, maka titik inilah titikkuasa-

nja; dalam hal ini, lingkaran2 a dan p ialah lingkaran2 titik, jang ber

265

im pit dengan titikkuasa. Djika lingkaran2 Cv C2 dan C3 tidak melalui

satu titik dan titik2pusatnja tidak kolineair, maka hanja ada satu ling

karan sadja dari a dan p.

D jika titik2pusat Mlf M2 dan M3 kolineair, maka garis2kuasa Cv C2

dan C3 sedjadjar dan lebih2, dalam hal istimewa mungkin berimpit; hal

terachir ini terdjadi misalnja, djika ketiga buah lingkaran itu melalui

2 buah titik jang sama.

Sekarang dapat kita perluas dalil 131 a hingga:

D A L I L 1316.

Tiga buah lingkaran jang berlainan, bertitikkuasa satu, atau tak ter-

hingga banjaknja. Dalam hal pertama, ketiga gariskuasanja berpotongan

dititikkuasa, dalam hal kedua, garis2kuasanja berimpit.

Djika garis2kuasa tiap dua dari tiga lingkaran atau lebih berimpit,

maka kita sebut lingkaran2 itu koaksal. Teristimewa, semua lingkaran,

jang melalui dua titik Sx dan S2, koaksal.

Dengan pertolongan dalil 131«, dapatlah kita berikan penjelesaian

jang mudah u n tu k :

L U K I S A N XXV .

Melukis gariskuasa dua lingkaran jang tidak konsentris.

P e r s e d ia a n da n p e l a k s a n a a n . Djika dua buah lingkaran Cx dan C2

berpotongan, maka m, pemuat talibusur persekutuannja, ialah garis

kuasanja. Djika mereka itu bersinggungan, maka garissinggung perse

kutuan dititik-singgungnja itulah gariskuasanja.

Djika Cx dan C2 tiada titik persekutuan (lihat gb. 258«), maka kita lukis

suatu lingkaran pertolongan H, jang bertitikpusat tidak pada sentral

Cj dan C2 dan jang memotong Cx dan C2; nij, gariskuasa Cx dan H, me

motong m2, gariskuasa C2 dan H, di P; maka inilah titikkuasa ketiga

buah lingkaran Cv C2 dan H. Djadi P terletak pada m, gariskuasa C1

dan C2; m diketemukan sebagai garistegaklurus pada sentral Cx dan C2

jang melalui P. Dapat pula ditentukan sebuah titik pada m dengan ling

karan pertolongan kedua.

B u k t i. Ini langsung didapat dari dalil 131(7.

P e m b it ja r a a n . Karena Cx dan C2 tidak konsentris, maka ada gariskuasa-

nja. Lukisannjapun akan berlangsung, djika salah satu dari lingkaran2

itu suatu lingkaran-titik; djika misalnja C2 suatu lingkaran-titik, maka

(gb. 2586) A2 dan B2 berimpit, dan gariskuasa C2 dan H mendjadi

garis-singgung di A2 pada H (harus diingat, bahwa H dibuat melalui A2,

ialah B2).

P e r in g a t a n . Djika C1 dan C2 jang satu terletak sama sekali diluar jang

lain, dapatlah gariskuasa itu diperoleh pula dengan mengingat, bahwa

ia harus melalui titik2tengah garissinggung2 persekutuannja.

§ 78.

Djika suatu lingkaran a membagi dua lingkaran C, djadi, djika titik2

potongnja A dan At terletak diametral pada C, maka a disebut lingkaran-

diametral C. Djika (P, r) lingkaran C dan M titikpusat a, maka kwadrat

djari2 a sama dengan PM2 + r2. Sebagai la

wan PM2 — r2, jaitu pangkat M terhadap

kepada lingkaran C, kita sebut sekarang

PM2 + r2 anti-kuasa M terhadap kepada C.

Anti-kuasa ini positif, sehingga dengan 'tiap

titik sebagai titikpusat, mur\gkin ada suatu

lingkaran diametral C.

Selandjutnja kita lihat, bahwa djika a

suatu lingkaran diametral C, maka u. (P, a)

= — r2, dan sebaliknja.

D A L I L 132

Tempat kedudukan titik2, jang ber-anti-kuasa sama terhadap kepada 2

lingkaran, ialah suatu garis tegaklurus pada sentral.

B u k t i. Cx (P1( rx) dan C2 (P2, r2) ialah lingkaran2nja. M sebuah titik tem

pat kedudukan jang ditjari, djika :

MP]2 + r^ = M P / + r22 , djadi

MP,2,' — PM22 = r * — r * ........ ( ')

Karena itu, maka berhubung dengan dalil l l lf l, tempat kedudukan

M ialah suatu garis n J_ PjP,.

Gb. 260: Lingkaran2 diametral dan garis antikuasa Cy dan C2.

Karena (1 ) : MP22 — rx2 = MPj2 — r22, maka M berkuasa sama ter

hadap kepada lingkaran2 (P2, rx) dan (Pu^), sehingga tempat kedudukan

M ialah n, gariskuasa lingkaran2 itu. Karena lingkaran2 ini terdjadi ber

turut-turut karena pentjerminan Cx dan C2 terhadap sumbu PjPa, maka

n terdjadi dari pentjerminan m, gariskuasa Cr dan C2, n disebut garis-

anti-kuasa C1 dan C2. Q dan S, titik2potong m dan n dengan PjP2 terletak

simetris terhadap 0, titikpertengahan P ^ .

Disinipun tiada keberatan, djika salah satu atau kedua lingkaran C±

dan C2 itu lingkaran-titik; pada dua buah lingkaran-titik, dan umumnja,

pada dua lingkaran jang sama, gariskuasa dan garis-anti-kuasa berimpit.

Karena anti-kuasa M terhadap kepada suatu lingkaran C sama

dengan kwadrat djari2 lingkaran-diametral C, jang berpusat di M, dapat

lah kita putuskan sekarang:

D A L I L 133

Tempat kedudukan iitik2pusat lingkar an2diametral dua■ lingkaran

ialah garis-anti-kuasanja.

B u k t i , (lihat gb. 260). Dari pembitjaraan diatas, ternjata, bahwa M,

titikpusat lingkaran diametral Cx dan C2 beranti-kuasa sama terhadap

kepada Cx dan C2, djadi menurut dalil 132, harus terletak pada n, garis-

anti-kuasanja. Sebaliknja, antikuasa2 suatu titik M pada n terhadap

268

kepada Cx dan C2, sama, sehingga M titikpusat suatu lingkaran dia

metral Cx dan C2 jang bersekutu.

D A L I L 134

Ketiga garis-anti-kuasa tiap dua dari tiga buah lingkaran, jang titik

pusatnja tidak kolineair, melalui satu titik.

B u k t i . Djika n12 garis-anti-kuasa lingkaran2 Cx dan C2, dan n23 garis-

anti-kuasa C2 dan C3, maka mereka berpotongan, karena PXP2 dan P2P3

berpotongan. Titikpotongnja L beranti-kuasa sama terhadap Cv C2 dan

C3, djadi djuga harus terletak pada«31, garis-anti-kuasa Cx dan C3. Titik

L ini bernama titik-anti-

kuasa ketiga lingkaran

itu; titik itu ialah titik

pusat lingkaran diame

tral persekutuannja.

Lihat gb. 261, pada-

nja dapat diikuti lukis

an titik-anti-kuasa L

dan Iingkaran-diame-

tral a (L, r) lingkaran2

Cv C2 dan C3. Suatu

lingkaran H memotong

Cv C2 dan C3; pemuat

talibusur persekutuan

nja berpotongan di M,

Q dan R. Garis2kuasa

m12, m23 dan m31 bertu

rut-turut ditarik mela

lui M tegaklurus pada PXP2, melalui Q tegaklurus PaP3, melalui R

tegaklurus pada P ^ . Kemudian, ditentukanlah garis2 antikuasanja;

P2E disamakan dengan P3F; demikian pula dua jang lain; garis2 anti-

kuasa niz, n23 dan n31 berpotongan pada titik anti-kuasa L. Tanklah LP3

dan kemudian SP3T J_ LP3; LT = r, ialah djari2 a, lingkaran pembagi

dua.

§ 7 9 .

Sebagai penggunaan teori garis2kuasa, kita buktikan dulu dalil 135.

Ini mempunjai hubungan dengan gambar, jang terdjadi oleh suatu segi-

tiga tidak samakaki dengan ketiga buah lingkaran Apollonius-nja.

269

D A L I L 135

Ketiga buah lingkaran Apollonius suatu segitiga jang tidak samakaki

bersekutu dua buah titik.

B u k t i. Kita umpamakan a > b > c . D jika (Pa, Ra), (Pt>, Rt>) dan (Pc, R c)

ketiga buah lingkaran Apollonius A ABC, maka dengan mudah kita

mengerti, bahwa lingkaran2 (Pa, Ra) dan (Pb, Rb) berpotongan, karena

titik A pada lingkaran pertama terletak didalam lingkaran kedua dan

titik B pada lingkaran kedua terletak didalam lingkaran pertama. Djika

M suatu titikpotong lingkaran2 itu, maka MB : MC = c: b dan MC : MA

= a : c, karena ini, maka MB : MA = a : b, sehingga M harus djuga ter-

270

letak pada lingkaran ketiga (Pc, R c)- Hal ini berlaku djuga untuk Q, titik

potong jang lain dari kedua lingkaran jang pertama tadi.

Titik2 Pa, Pb dan Pc kolineair; sebab lingkaran2 itu bertalibusur sa

ma, ja itu MQ; sentral tiap dua lingkaran ini membagi dua tegaklurus

talibusur MQ ini. Garis PaPbPc bernama garis Lemoine.

Pada gb. 263 kita lihat djuga lingkaran-luar A ABC, jaitu (O, R);

kita buktikan, bahwa lingkaran ini memotong tegaklurus ketiga lingkaran

Apollonius. DAE = 90°, sebab AD membagi dua a dan AE memb'agi

dua suplementnja; dengan perhitungan sedikit ternjata, bahwa kedua

sudut jang dinjatakan dengan panah2 ketjil itu : £ ((3 — y); djadi /_ OAPa

djuga 90°. Ini berarti, bahwa APa menjinggung lingkaran-luar di A dan

AO menjinggung lingkaran Apollonius di A. Kuasa O terhadap kepada

ketiga lingkaran Apollonius itu R2, djadi O terletak pada gariskuasa MQ;

lihat gb. 262.

Karena PaA menjinggung lingkaran-luar di A, maka PaA2 = PaB.

PaC; djadi djuga PaD2 = PaB. PaC.

§ 80. .

Sekarang, kita berikan tiga buah tjontoh penggunaan teori garis

kuasa dan garis-anti-kuasa.

T J O N T O H 56

Diketahui lingkaran K dan titik A. C± dan C2, dua lingkaran berubah-

ubah, bertitikpusat di P1 dan P 2, keduanja melalui A dan menjinggung K;

titiksinggung M x dan M 2 tidak merupakan titik2 diametral pada K. Ten

tukan tempat-kedudukan S, jaitu titikpotang M ±M 2 dengan Pi_P2-

P e n je l e s a ia n . Lihat gb. 264a. Titik S suatu titikkesebangunan Cx dan

C2 (bandingkan gb. 146), jaitu titikkesebangunan-Iuar, djika Ct dan C2

menjinggung sedjenis K dan bila tidak, maka S titikkesebangunan-

dalam. Djadi titik-titik Mj dan M2 ialah titik2 invers-Iuar atau dalam

Ci dan C2 (lihat dalil 115), sehingga SMX. SM2 = SA2.

Ini berarti, bahwa titik S berkuasa sama terhadap kepada lingkar

an K dan lingkarantitik A, sehingga S harus terletak pada gariskuasa m.

D jika sebaliknja S suatu titik pada m, maka ditariklah suatu garis

melalui S, jang memotong K di Mx dan M2, tetapi tidak melalui O, titik-

pusat K. Maka-ada satu lingkaran Clt jang menjinggung K di dan

djuga melalui A, dan satu lingkaran C2, jang menjinggung K di M2 dan

djuga melalui A. Djika Px- dan P2 titik2 pusat Cx dan C2, dan S' titikpotong

MiMg dengan PXP2, maka S' ialah suatu titikkesebangunan Cx dan C2,

djadi : S'A^. S'M2 = S'A2, sehingga S' terletak pada m, seperti halnja

271

/

dengan S; keduanja itu djuga terletak pada MjM-j, djadi mereka itu ber

impit. Djadi memang garis m itulah tempat kedudukan jang dit j ari.

TJONTOH 57

Tentukan tempat kedudukan titik2pusat lingkaran2, jang memotong

tegaklurus lingkaran (Pj, rx) dan membagi dua lingkaran (P 2, r2).

P e n je l e s a ia n . Djika (X,x) suatu lingkaran, jang memotong tegaklurus

(Pi>ri) dan membagi dua lingkaran (P2,ra,) maka XPx2 — X P 22 = (/'i2 +

x2) — (x2 — r22) = rx2 + r22. Karena ini, maka tempat kedudukan X

ialah suatu garis l, tegaklurus pada P ^ (dalil l i la ) .■Djika sebaliknja X '

suatu titik pada garis

tegaklurus tadi, maka

ada suatu lingkaran

(X'x'), jang membagi

dua lingkaran (P2,r2).

Maka : (lihat atas) :

X '? !2 — X 'P 22= r 12 +

r22, sedangkan x'2 =

X 'P 22 + r 2. Karena

itu, maka X 'P 12 = /'i2

+ x'2, sehingga ling

karan (X ', x'), djuga

memotong tegaklurus

lingkaran (P i/i). Dja-Gb. 265: (X ,x ) memotong ( Plt r j tegaklurus dan memanplah temoat

membagi dua sama besar (P ¡¡, rJ . C11 memangian tempa

/ Gb. 264a: m tempat kedudukan S. Gb. 264b.

272

kedudukan X terdjadi dari garis tegaklurus l tersebut diatas, jang

tidak memotong lingkaran (Px, Tj). Sebab, djika U titikpotong Z dengan

PjP,, maka untuk titik ini berlaku : UPX2 — UP22 = rx2 + r22, djadi

UP," > rx.

Untuk melukiskan garis ini, kita tentukan dulu tempat kedudukan

titik2 pusat lingkaran2 jang ber-djari2 x, jang memotong tegaklurus ling

karan (Pj, rx) dan kemudian, tempat kedudukan titik2pusat lingkaran2

jang ber-djari2 x ( x > r2), jang membagi dua lingkaran (P2, r2). Tempat

kedudukan tempat kedudukan ini, ialah lingkaran2 jang berpotong-

potongan, asal x dipilih baik2. Pemuat talibusur persekutuannja itulah

garis jang ditjari.

T J O N T O H 58

Buktikan, bahwa pada suatu sisi-empat lengkap :

a. titik2 tinggi keempat buah segitiga, jang dibentuk oleh tiap 3 dari 4 buah

garissisinja, kolineair;

b. ketiga lingkaran, jang bergaristengah diagonal, koaksal.

Sebelumnja, suatu sifat segitiga jang terkenal:

T titiktinggi; AD, BE dan CF garis2tinggi. Maka TA.TD = TB.TE =

TC.TF; sebab T titikkuasa ketiga lingkaran, jang dilukis dengan sisi2

segitiga ABC.sebagai garistengahnja.

B u k t i, a. Kita pandang sisi-empat leng

kap dengan garis2sisi AB, BD, DE dan EA;

C ialah titikpotong AB dan DE, F titik

potong AE dan BD.

Segitiga2 jang dimaksud: ABF, ACE,

BCD dan DEF dengan titik2tinggi Tlf T2,

T3 dan T4; dari empat itu hanja Tx dan T2

jang digambar. Dalam segitiga ABF .garis2

tingginja: AA1( BBX dan FFX; djadi TXA.

TjAi = TXB. TjBj. A dan Ax terletak pada

lingkaran Kx dengan AD sebagai garis-

tengah, B dan Bx pada lingkaran K2 dengan BE sebagai garistengah,

sehingga Tx berkuasa sama terhadap kepada kedua lingkaran tsb.,

djadi terletak pada gariskuasanja. Dengan djalan jang sesuai, ternjata-

lah, bahwa T3 berkuasa sama terhadap kepada lingkaran2 Kx dan K2)

djadi djuga terletak pada gariskuasanja: MQ; sebab: T3BB2 J_ CD;

sehingga B2 terletak pada lingkaran K2; T3GD J_ CBA; lingkaran Kx

melalui G. Menurut gb. 266, maka T3B. T3B2 = TSG. T3D; ruas per-

273

Gb. 266: TA.TD = TB.TE = TC.TF.

Planimetri—18

tam a ialah kuasa T3 terhadap kepada lingkaran K2, dan ruas kedua

terhadap kepada lingkaran Kx.

Djadi T3 berkuasa sama terhadap kepada kedua-duanja; d ja d iT 3 terle

tak pada MQ, gariskuasa lingkaran2 Kx dan K2, demi lan pu a 2 an 4.

b. Karena TXF. TXFX = TXA. TXAX, kuasa T, terhadap kepada

lingkaran K3 sama dengan kuasa Tx terhadap kepa a x an 2)U , • • , , , + i t x Han T Diadi ketiga lingkaran ituHal ini djuga berlaku untuk T2, T3 dan i 4. «-'j

koaksal, dan bergariskuasa persekutuan TXT2T3T4.

§ 81. S O A L - S O A L

1. Diketahui: dua lingkaran Cx dan C2 dan dua titik Mx dan M2. Lukis

lah titikkuasa :

a. Cx, C2 dan lingkaran-titik Mx;

b. Cx dan lingkaran-titik Mx dan M2.

2. Diketahui : dua titik M dan Q dan sebuah lingkaran C. Lukislah

suatu lingkaran jang melalui M dan Q, dan .

a. memotong tegaklurus lingkaran C;

b. membagi dua lingkaran C.

3. Buktikan, bahwa gariskuasa dua lingkaran jang berlainan, jang

tidak konsentris dan sonder titik persekutuan, terletak lebih dekat

ke-lingkaran jang terbesar daripada ke-lingkaran jang terketjil.

274

4. Pada sisi2 A ABC BC, CA dan AB berturut-turut diambil titik2 M

Q dan R. Tentukan titikkuasa lingkaran2 jang berturut-turut ber-

garistengah AM, BQ dan CR. Titik istimewa apakah titik ini dalam

A ABC?

t5. Buktikan, bahwa 6 buah gariskuasa tiap 2 dari Iingkaran-dalam dan

lingkaran2-singgung A ABC, merupakan garisbagi2 dalam dan luar

segitiga jang bertitiksudut pada tengah2 sisi.

6. Melalui G, titikkesebangunan Cx dan C2 ditarik suatu garis, jang

memotong Cj di Ax dan B^ dan memotong C2 di A2 dan B2, Di A1

dan Bx ditarik garis2singgung pada Cx dan di A2 dan B2 ditarik

pula garissinggung pada C2. Buktikan, bahwa keempat garissinggung

ini merupakan sisi-sisi suatu djadjarangendjang, jang sebuah dia-

gonalnja melalui G, sedangkan diagonal jang lain merupakan

gariskuasa Cx dan C2.

7. Melalui K, suatu titik pada gariskuasa dua lingkaran « dan (3, di

tarik suatu garis, jang memotong kedua lingkaran tsb. jaitu me

motong a di M dan M', dan (3 di Q dan Q'. Buktikan, bahwa

|x(M,p): KQ>«) = KM : QK.

8. Diketahui 3 buah lingkaran Clf C2 dan C3 dengan pusat2 Px, P2 dan

P3. Djika m23, gariskuasa C2 dan C3, melalui Plf dan m13 melalui

P2, maka m12 melalui P3; buktikan itu.

9. D iketahui: lingkaran C, garis l dan titik A pada l. Lukislah suatu

lingkaran jang menjinggung / di A dan :

a. memotong tegaklurus C; b. membagi dua C./

10. Diketahui 4 buah lingkaran Cx = (P i/i) (* = 1» 2, 3, 4) dan sebuah

segmentgaris a. Tentukan tempat kedudukan titik2 M, sehingga:

a. KM.Cj) + (M,C2) = a2;

b. - KM,C2) = a2;

c. KM jCj) -f- |a(M,C2) 'i" = fl2> ■*d. ^ M ,^ ) + !x(M,C2) = KM,C3) + KM,C4).

11. Gambarlah suatu segitiga beserta lingkaran-dalam dan lingkaran-

singgungnja pada sisi BC. Garisberat dari A memotong talibusur-

singgung lingkaran-dalam di G; perpandjangan garisberat ini

• memotong talibusursinggung lingkaran-singgung di G'; talibusursing-

gung2 jang dimaksud tegaklurus pada da. Buktikan, bahwa BG'CG

suatu djadjarangendjang.

275

12. Diketahui 2 buah lingkaran Cx = (Pi>ri) dan C2 s (P2,r2) (rx T\

Tentukan tempatkedudukan titik2pusat lingkaran2, jang* menit»3»*

dua Cx dan dibagi dua oleh C2.

13. Diketahui titik2 A, B dan P. Dengan A dan B sebagai titik2p'jsat'

dilukis lingkaran2 a dan p, jang memotong tegaklurus l i n g k a r a n

(P, r). Tentukan tempat kedudukan titik2potong a dengan S, d jika r berubah.

14. Diketahui sebuah lingkaran C dan titik M. Suatu lingkaran ber

ubah-ubah K melalui M dan menjinggung C. Tentukan tempat

kedudukan S, titikpotong garissinggung di M pada K dengan garis-

singgung persekutuan C dan K dititiksinggungnja. ’

15. Diketahui lingkaran C = (P, r) dan titik A. Dengan M, sebuah titik

pada C, sebagai titikpusat, dilukis lingkaran K, jang melalui A.

Buktikan, bahwa m, gariskuasa C dan K, menjinggung suatu ling

karan tetap, djika M berdjalan sepandjang lingkaran C

16. E ialah titikpotong diagonal2 trapesium ABCD (AB // DC) B u k t i

kanlah, bahwa lingkaran2 dengan garistengah AD dan BC bergaris-

kuasa garis tegaklurus dari E pada AB.

17. a. Diketahui lingkaran C dan 2 buah titik A dan B. B u k tik a n ,

bahwa m, gariskuasa C dan suatu lingkaran K jang melalui A dan

B, berputar terhadap suatu titik tetap, djika K berubah-ubah.

b. Lukislah suatu lingkaran, jang melalui A dan B dan m e n jin g

gung C.

18. Melalui titiksudut A ABC dilukis kedua lingkaran jang berturut-

turut menjinggung AB di A dan di B. Buktikan, bahwa lingkaran2

ini dengan lingkaran Apollonius A ABC jang melalui C, masih

bersekutu sebuah titik lagi, selain C.

§ 82. BERKAS-BERKAS LINGKARAN

Djika sebuah lingkaran C dan sebuah garis l diketahui, maka mu

dah difahamkan bahwa ada lingkaran2 tak terhingga banjaknja, jang

bergariskuasa garis l dengan lingkaran C itu.

1). Djika l memotong lingkaran C di A dan B, maka tiap lingkaran lain

jang melalui A dan B, bergariskuasa l dengan C. 2). Djika Z menjing-

276

w

gung lingkaran C di A, maka tiap lingkaran lain, jang menjinggung l

di A, bergariskuasa garis / dengan C. 3). Djika C dengan Z tiada titik

persekutuan (gb. 268), maka kita ambil titik M, jang tidak terletak

pada C dan djuga tidak pada Z, dan pada Z kita ambil titik2 A dan B. Kita

tentukan, pada AM titik Q, sehingga AM.AQ = ¡¿(A,C) dan titik R pada

BM, sehingga BP. BR = ¡¿(B,C). Bagaimana hal itu dilaksanakan pada

gb. 268, tentulah pembatja mengetahuinja.

Lingkaran Cx jang melalui M, Q dan R, dengan C bergariskuasa

garis /. Teranglah, bahwa dengan djalan ini kita dapat menemukan ling

karan tak terhingga banjaknja, jang bergariskuasa garis Z dengan C.

K u m p u l a n s e m u a l i n g k a r a n , j a n g b e r g a r i s k u a s a g a r i s Z d e n g a n l i n g

k a r a n C, d i s e b u t berkaslingkaran. G a r i s Z b e r n a m a gariskuasa berkas

t s b . , d a n , l i h a t l a h d a l i l 1 5 1 6 , g a r i s k u a s a t i a p p a s a n g l i n g k a r a n -11 b e r k a s

i t u .

Djika P pusat C, maka teranglah, bahwa pusat2 semua lingkaran2

berkas itu terletak pada garis c, tegaklurus dari P pada Z; garis c ini ber

nama sentral berkas.

Djika gariskuasa suatu berkaslingkaran, jaitu Z, memotong suatu

eksemplar C dititik-titik A dan B, maka semua lingkaran berkas itu-me-

lalui A dan B; A dan B disebut titikdasar berkas itu. Lingkaran jang

bergaristengah AB ialah lingkaran terketjil! dari berkas itu; berkas ini

tidak mengandung suatu lingkaran-titik. Djika Z menjinggung C, maka

A dan B berimpit dan (A,O) satu-salunja Ungkarantitik berkas itu. Ber

kas ini disebut berkassinggung.

Djika l dan C tiada titik persekutuan, maka berkas itu tiada ber-

titikdasar. Djika c ditarik dari P, titikpusat lingkaran C, tegaklurus pada

/, dan O titikpotong l dengan c, maka kuasa O terhadap C positif. Djika

diumpamakan n(0,C) = m2, maka lingkaran (O,m) akan memotong

277

tegaklurus tiap lingkaran berkas tadi. Djika garissinggung disuatu titik

Mx, pada lingkaran (0 ,m) memotong sentral c di Px; maka lingkaran Cx

Gb. 269 : T i i ik 3 Poncelet.

jang berpusat Px dan berdjari-djari PiMj, ialah suatu eksemplar dari

berkas tsb., karena 0 berkuasa sama terhadap Cx dan C, djadi l garis-

kuasanja. Djika Gi dan G2 titik2potong c dengan lingkaran (0 ,m), maka

(GÔ) (G2,0), keduanja merupakan lingkaran-titik dari berkas itu, se

dangkan pada segmentgaris G ^ tidak mungkin ada titikpusat suatu

eksemplar berkas satupun. Titik2 Gj dan G2 disebut titik2batas atau

titik2 Poncelet berkas. Djika titik2 ini berimpit, maka m — 0 dan semua

lingkaran berkas bersinggungan dititik 0 pada l; djuga titik2dasarnja

berimpit di O.

Suatu berkas dengan dua titikbatas, tidak mempunjai titikdasar; suatu

berkas dengan dua titikdasar, tidak mempunjai titikbatas.

Sudah kita ketahui, bahwa suatu berkaslingkaran ditentukan oleh

gariskuasa dan sebuah eksemplar berkas jang diketahui; tetapi djelas

pula, bahwa berkas itu ditentukan djuga oleh dua eksemplarnja, karena

kedua eksemplar itu menentukan gariskuasa. Ternjata pula, bahwa

(lihat gb. 268), melalui tiap titik, jang tidak terletak pada gariskuasanja,

ada satu dan hanja satu eksemplar berkas tsb. Djika titiknja terle

tak pada gariskuasanja, maka gariskuasanja, bersama-sama dengan

garis taksebenarnja, dianggap sebagai eksemplar berkas'jang berubah

tjoraknja.

Kita sekarang berpindah kepada pembitjaraan beberapa dalil jang

penting mengenai berkas2 lingkaran.

D A L I L 136

Lingkaran2, jang terhadap kepadanja A berkuasa a dan B berkuasa

b, membentuk suatu berkas dengan A B sebagai gariskuasa.

278

f

Lukislah suatu lingkaran C dan tariklah dari A dua buah garispotong

AQM dan AQ1M1. Buatlah suatu lingkaran Cx melalui M dan Qx; tariklah

BRM, djuga B R ^ ; kuasa A terhadap C dan pangkat B terhadap C1

dapat kita misalkan berturut-turut a dan b. Lukislah lingkaran MQR(K)

dan MlQ1R1(K1); mereka bergariskuasa AB.

Sekarang, buktinja mudah, sebagai berikut in i :

djika /C2 suatu lingkaran lain dari berkas (K,m), maka ¡x(A,/C2) = n(A,K)

= a dan ^(B.Ko) = = b, sedangkan sebaliknja, djika per

samaan2 ini berlaku untuk /C2, maka AB gariskuasa K dan /C2, djadi

haruslah K 2 lingkaran dari berkas itu. Dari inilah didapat apa jang

harus dibuktikan.Djika C = (P,r) suatu lingkaran, maka terhadap tiap lingkaran

jang memotong tegaklurus C, kuasa P sama dengan r2 dan terhadap

tiap lingkaran jang membagi dua C, kuasa P sama dengan r-, sedang

kan dalam kedua hal tadi, kebalikannja djuga berlaku.

Sebagai akibat2 penting dari dalil 136:

A k ib a t p e rtam a . Lingkaran2, jang memotong tegaklurus 2 buah lingkaran

(P lf r,) dan (P2, r2) membentuk suatu berkas dengan gariskuasa PXP2.

A k ib a t k e d u a . Lingkaran2, jang membagi dua 2 buah lingkaran (Pv rx)

dan (P 2,r2) membentuk suatu berkas dengan gariskuasa P1 P 2.

A k ib a t k e t ig a . Lingkaran2, jang memotong tegaklurus lingkaran (P lf rx)

dan membagi dua lingkaran (P2, r2), membentuk suatu berkas dengan

gariskuasa P 1P 2.

279

f

Tentukan tempat kedudukan titik2 M, jang kuasanja terhadap kepada

— lingkaran2 C^P ltr^ dan C2(P2,r2) berlawanan.

P e n je le s a ia n . Menurut sifatnja, M tidak terletak diluar tiap lingkaran

tsb., dan djuga tidak didalam keduanja, tetapi, seperti dalam gb. 271,

didalam lingkaran jang satu dan diluar jang lain. ¡¿(M,^) = px2 — rx2

dan |x(M,C2) = Pi — r22; disini px = MPX dan p2 — MP2. Djadi, menurut

soalnja : px2 — r 2 + pa* _ r % = o atau p,2 + p22 = r 2 + r 2. Djika

pandjang garisberat MO dalam A MPXP2 kita sebut z, maka p 2 + p 2 =

2z2 + \d2 (d = PXP2). D jad i: 2z2 -f %d2 = rx2 + r22, sehingga z =

i V2 r 2 + 2 r 2 — d2.

T JO N T O H 59

Djadi, tempat kedudukannja ialah suatu lingkaran C3, jang berpusat

di O, titiktengah PXP2; itupun, djika 2r±2 + 2r22 > d2. Tandasama tentu

sadja memberikan lingkaran-titik O. Dalam hal lingkaran2 jang berpo

tongan atau bersinggungan, titik2 A dan B, termasuk tempat kedudukan

tsb.; disekitar A, dan djuga disekitar B, kuasa terhadap tiap dari'ling

karan2 tadi ketjil sebarang; harga mutlaknja dan jang satu positif,

jang lain negatif; keduanja berbatas O. Dalam hal2 ini, tinggallah dilu

kis lingkaran (O, OA). Hendaknja pembatja menggambar hal2, djika

lingkaran itu bersinggungan-dalam atau bersinggungan-luar. Tinggallah

sekarang dua kemungkinan, jaitu djika kedua lingkaran tsb. jang satu

sama sekali diluar jang lain atau jang ketjil sama sekali didalam jang

besar; kita harus melukis lagi z, da r i: z — 2rx2 + 2r22 — d2; ada

Sl?a*U ^ arSa z’ dj'ka 2r2 -f- 2r22 > d2, atau (rx + r2)2 + (rx — r22) > d2 ; djika lingkaran jang ketjil sama sekali terletak didalam jang besar, ma

ka: rx + r2 > d, sehingga ada suatu lingkaran C3 jang memenuhi sebagai

280

tempat kedudukan. Djika lingkaran2 itu jang satu terletak sama sekali

diluar jang lain, maka ada kemungkinan, bahwa C3 ada, tetapi djuga

ada kemungkinan, bahwa lingkaran itu tidak ada.

Dan C3 dapat disebut lingkar an-anti-kuasa Cx dan C2; ini berarti,

bahwa suatu titik M pada C3 kuasa2nja: ti(MA ) dan n(M*C2) berlawanan.

§ 8 3 .

Djika 2 buah lingkaran Cx dan C2 diketahui, maka menurut dalil

129a tiap titik M pada gariskuasanja /, jang tidak terletak didalam ling

karan2 itu, merupakan titikpusat suatu lingkaran K = (M,p), jang me

motong tegaklurus kedua lingkaran Cx dan C2. Karena kuasa M, terhadap

C2 dan C2, p2, maka M berkuasa

p2 terhadap tiap eksemplar ber

kas B jang ditentukan oleh Cx

dan C2, sehingga K memotong

tegaklurus semua lingkaran dari

berkas tsb. Karenanja maka K

disebut lingkar anortogonal ber

kas tsb.Djika B bertitik-batas Gi dan

G2, maka haruslah K djuga me

motong tegaklurus lingkaran2 ti

tik (Gx, 0) dan (G2, 0) dari berkas

B, djadi K melalui Gx dan G2.Gb. 272: Lingkaran ortogonal. Menurut dalil 136, akibat per

tama, maka lingkaran2-ortogonal Cj dan C2, djadi, lingkaran2-ortogonal

berkas B, djuga membentuk suatu berkas Bx, jang bergaris-kuasa c, jaitu

sentral B, dan sentralnja ialah l, gariskuasa B. Lagi pula, titik2batas B

ialah titik2dasar Bt atau sebaliknja. Berkas2 B dan Blt jang masing2

terdiri dari lingkaran2 ortogonal berkas jang lain, disebut berkas-berkas-

lingkaran ortogonal.

Djadi (bandingkan dengan gb. 273a dan b ):

D A L I L 137

Pada tiap berkaslingkaran B terdapat satu dan hanja satu berkas

ortogonal Bt; gariskuasa B ialah sentral Blt dan sebaliknja; titik2dasar B

ialah titik2batas Blt atau sebaliknja.

Djika B suatu berkaslingkaran konsentris, maka eksemplar2 Bx ber

ubah tjoraknja mendjadi garis jang melalui P, titikpusat B; maka dikata-

281

n

G b. 27 3 : B e rk a s lin g k a ra n orthogonal.

kanlah, bahwa berkaslingkaran Bj dalam hal ini berubah tjoraknja

mendjadi berkassinar dengari puntjak P.

§ 84- SOA L-SO AL .

1. Diketahui lingkaran Cx dan C2 dan titik2 A dan B; tentukanlah tem

pat kedudukan titikpusat lingkaran K jang berubah-ubah, djika

diketahui, bahwa gariskuasa Cx dan K melalui A dan gariskuasa C2

dan K melalui B.

2. Diketahui sebuah lingkaran C dan garis m, dan djuga titik M, garis

Z dan lingkaran K. Lukislah suatu lingkaran dari berkas, jang

bergariskuasa rn dan C, salah satu eksemplarnja, jang :

a. melalui M; b. menjinggung l; c. menjinggung K.

Tiap kali bedakanlah hal2, djika m memotong lingkaran C, dan

djika m tiada titik persekutuan dengan C, dan djika m menjing

gung C.

3. Buktikan, bahwa lingkaran-anti-kuasa dua lingkaran Cj dan C2

ialah tempat kedudukan pusat2 lingkaran, jang memotong tegak-

lurus lingkaran jang satu dan dibagi dua oleh lingkaran jang lain,

atau sebaliknja.

282

4. Sebuah berkaslingkaran B ditentukan oleh suatu lingkaran C dan

gariskuasa m, jang tiada bertitik persekutuan dengan C; c, sentral-

nja, dan G, sebuah titikbatas B. Garis l memotong C di A dan B

dan memotong m di S; Z tidak berimpit dengan c.

a. Buktikan, bahwa ada dua buah lingkaran Cx dan C2 pada B, jang

menjinggung / (titik2-singgungnja : R, dan R,).

b. Buktikan, bahwa ^ R, G R2 = 90°.

5. Suatu berkaslingkaran ditentukan oleh sebuah lingkaran (M,R) dan

gariskuasanja m, jang dengan (M, R) tiada bertitik persekutuan;

selandjutnja diketahui pula lingkaran (N,r). Lukislah suatu ling

karan dari berkas itu, jang membagi dua (N,r).

6. Diketahui lingkaran (M,/'j) dan titik2 A, B dan C. Diminta melukis

lingkaran (N,r2) jang melalui A dan B dan lingkaran (0,r3) jang me

lalui C, sehingga lingkaran2 (M,r2), (N,r2) dan (0,r3) dua-berdua ber

potongan tegaklurus.

7. D im inta melukis lingkaran, jang menjinggung lingkaran (P,r) jang

telah diketahui dan jang’gariskuasanja dengan suatu lingkaran C

jang diketahui, sama dengan gariskuasa lingkaran C dengan sebuah

titik M jang diketahui, jang terletak didalam lingkaran itu.

8. Diketahui lingkaran (M,R) dan berkaslingkaran B, jang ditentukan

oleh lingkaran (N,r) dan gariskuasa: m. Lukislah suatu lingkaran

dari B, jang dibagi dua oleh (M, R).

9. Djika titik2 A dan B terletak pada lingkaran, jang memotong tegak

lurus semua lingkaran jang melalui titik2 C dan D, maka ada pula

suatu lingkaran melalui C dan D, jang memotong tegaklurus semua

lingkaran jang melalui A dan B. Buktikanlah.

10. (P,R) ialah lingkaran-luar segi-empattalibusur ABCD. Djika a

suatu lingkaran berubah-ubah dari berkas dengan titik2batas A

dan B, dan p suatu lingkaran berubah-ubah dari berkas dengan

titik2batas C dan D, maka buktikanlah, bahwa gariskuasa lingkaran

a dan p, jaitu m, melalui suatu titik tetap.

28 3

B A B XIV .

I N V E R S I

§ 85.

Pada bab ini dibitjarakan suatu transformasi jang sangat penting,

jaitu inversi. Jang dimaksudkan, ialah sbb .: kita pilih suatu titik O,

dan dari O ditariklah sinar, jang melalui titik A ; pada sinar ini, kita

tentukan titik Ai, sehingga OA.OAi = m; m dapat positip dan negatip,

dan j m | dapat dinjatakan dengan kz (k sedjumlah satuan pandjang).

O dinamakan pusa t dan m kuasa in v e rs i; inversi {O ,m ).

Dikatakan, bahwa pada inversi ______________ m_______

ini titik A beralih atau di-in- A Aj

versi-kan ke titik At; At dina- __►___►

makan titik invers A. Pada A Gb■ 274: OA O A i = m •

dan Ai dapat pula dikatakan tentang titik-dasar dan titik-hasil-inversi,

selandjutnja titik-titik ini dinamakan djuga titik-titik serangkai. Me

nentukan titik Ai dinamakan menginversikan A terhadap sentrum O

dengan pangkat m.

Lingkaran jang berpusat di O, dengan kwadrat djari-djarinja sama

dengan harga mutlak kuasa inversi, djadi lingkaran (O, y/ \ m | ), dina

makan lingkaran-dasar inversi. Djadi inversi ditentukan oleh lingkaran-

dasar dan tanda pangkatnja. Pada gambar, lingkaran-dasar digambar

dengan garis putus-putus.

Karena OAi = m/OA, maka OAi sebanding terbalik dengan OA

(„inversi” berarti perbalikan); djika m positip, maka A dan Ai terletak

pada satu fihak terhadap O, dan djika m negatip, maka A dan At ter

letak pada fihak2 jang berlainan terhadap O. Karena inversi (O, — m )

achirnja sama dengan inversi (O, m) diikuti oleh perbanjakan (O, — 1),

maka djika jang dipandang hanja bentuk dan besar gambar invers,

tjukup kita memperbintjangkan inversi2 dengan pangkat positip sadja.

Dalam hal ini pangkat inversi biasanja ditentukan sebagai kwadrat

suatu segmentgaris k, djadi kita katakan inversi (O, /c2). Tiap titik M,

dengan OM = k, berimpit dengan titik inversnja; titik sematjam ini

namanja t it ik- im p it inversi. Banjak titik2-impit ini tak terhingga, jaitu

semua titik lingkaran (O, k). Tiap titik jang terletak diluar lingkaran

ini, titik-inversnja didalam lingkaran dan sebaliknja, asal titik O

tidak turut dibitjarakan.

Karena titik-invers O, jaitu Oi tidak mungkin merupakan titik

sebenarnja, (sebab OO.OOi = 0), maka pada tiap2 garis jang melalu1

284

O, titik djauh garis ini dipandang sebagai titik invers 0. Djika suatu

titik jang berubah-ubah, jaitu P, bergerak sepandjang garis lengkung

K, jang melalui 0 (lihat Px, P2> P3) . . . . pada gambar 275), maka titik

invers P mendjauhi 0, djika P mendekati 0. Dalam hal ini, djika P

djatuh di 0 , maka L, titik tak sebenarnja pada l (jaitu garissinggung

pada K di 0), dipandang sebagai titik invers 0. Dalam hal seperti ini,

titik invers 0 tertentu oleh hubungan jang mengikat 0.

Sebaliknja tiap titik tak sebenarnja tentu sadja titik invers-nja

ialah pusat 0.

D jika kuasa inversi negatip, um pam a:— k2, maka inversi-nja

tidak memiliki titik2 impit. Lingkaran (0, k) tetap, tetapi titik2 ling

karan ini tidak tetap pada tempatnja; tiap titik lingkaran ini beralih

ketitik diametralnja.

Gambar Fi dinamakan gambar invers gambar F pada inversi (0 ,m),

djika pada inversi tsb. titik2 F beralih ke-titik2 Fi (pada gb. 275 garis

lengkung Ki ialah invers garis lengkung K). Dapat djuga dikatakan,

bahwa Ft ialah tempat kedudukan titik2 invers dari titik F. F dinama

kan bangundasar F t ; F dan Fi djuga disebut gambar2 serangkai.

Menentukan Fj, djika F, 0 dan m diketahui, dinamakan meng-inversi-

kan F terhadap kepada 0 sebagai sentrum dan dengan m sebagai kuasa.

Dari definisi inversi ini, njatalah : djika Pi titik-invers P, maka

djuga P invers Pj djadi djuga umumnja, djika Fi gambar invers F, seba

liknja F gambar invers Fj.

Titik-invers P, pada inversi (0, /c2), jaitu Pi mudah dilukis. Djika

P terletak pada lingkaran dasar (0 ,k) maka Pi berimpit dengan P.

D jika P terletak didalam lingkaran-dasar (lihatlah gb. 276 a) dan

D titikpotong antara lingkaran-dasar dengan garis tegaklurus pada OP

di P, maka Pj ialah titik potong OP dengan garissinggung di D pada

lingkaran-dasar, oleh karena OP.OPi = /c2. Karena pada gb. 276a se

baliknja P djuga titik-invers P i ; maka untuk suatu titik P diluar ling

285

karan-dasar, tjukuplah lukisan titik-invers Pi jang diuraikan di atas

dibalikkan. Ini berarti, bahwa kita melukis lingkaran jang bergaris-

Gb. 276: Melukis P ..

tengah OP, dan menarik talibusur persekutuan lingkaran ini dengan

lingkaran-dasar. Talibusur ini memotong OP di Pi.

Djika kuasa inversi negatip (gb. 276 b), dan OE djari2 lingkaran-

dasar jang tegaklurus pada OP, maka garis tegaklurus di E pada PE

memotong garis OP di Pt.

D jika 'harus dilukis beberapa titik-invers pada inversi dengan

kuasa positip atau negatip, ada faedahnja melukis lingkaran perto

longan, sehingga kuasa O terhadap lingkaran ini sama dengan pangkat

inversi (gb. 277). Untuk mendapat titik-invers P, lebih dulu pada ling-

karan-pertolongan ditentukan titik Q, jang sama djauhnja dengan P

dari O. Titik-invers Q, jaitu Qi, ialah titikpotong kedua antara OQ

®Gb. 277b: Kuasa - /c*.

dengan lingkaran pertolongan ; selandjutnja Pi terdapat, karena OPi

= OQi. Untuk melukis semua titik-invers jang diperlukan dengan

tjara ini, djari2 lingkaran-dasar harus dipilih tjukup pandjang. Ling

karan pertolongan pada gb. 211a tentu sadja boleh digunakan pada

kuasa positip, dan pada gb. 277b pada pangkat negatip.

Pada pangkat positip k2, lukisan Pi dapat djuga dikerdjakan de

ngan pertolongan beberapa segitiga sebangun ; jang sebuah sisi2nja

286

OP dan k, sisi* jang sesuai pada segitiga lainnja, jaitu k dan OPi; lihat

gb. 278 a, segitiga samakaki OPS dan OSPi sebangun. Lukisan Pi sebagai berikut (lihat gb. 278b).

Gb. 278: Melukis. P..i

Buatlah lingkaran2 (P, PO) dan (O,k); djika S titikpotong lingkaran2

tsb. lingkaran (S, k) memotong garis OP, selain di O, masih lagi dititik

jang ditjari, jaitu Pj. Tetapi lukisan ini tidak selamanja mungkin diker-

djakan. Sebab, supaja ada titik persekutuan antara lingkaran2 (P, PO)

dan (O, k), perlu dan tjukup, bahwa j OP — k I < OP < OP + k,

djadi OP > \k. Djika OP < i k, lukisan dengan tjara ini gagal; djadi

tjara pada gb. 277a lebih baik untuk digunakan.

P e r h a t ia n . Djika diselidiki gambar2 dalam bab ini, biasanja lukisan2

jang dibitjarakan diatas tidak dimuat, supaja tidak memenuhi gam-

barnja. Dalam praktek dikerdjakan seperti berikut: sebagai pangkat

inversi dipilih umpamanja 2400 mm2 ; djika OP = 30 mm, OP, =

80 mm, djika OQ = 57 mm, OQ, kurang lebih 42 mm, dsb.

Pangkat inversi selalu d ip ilih positip, ketjuali d jika d ikatakan

dengan tegas sebaliknja, dan d in ja takan dengan A?; k ia lah d jari2 lingkaran-dasar.

D A L I L 138.

Djika Ai dan B\ titik2-invers A dan B pada inversi (O, k2), maka:

a. Titik2 A, B, A\ dan B\ konsiklis;

kKAB

b A 'B' = OAjOB

B u k t i, a. Karena OA.OAi = OB.OBj = k2, maka (lihatlah dalil 114c),

A, B, Ai dan Bj, terletak pada satu lingkaran, ketjuali, djika A dan B

terletak pada garis jang melalui O ; dalam keadaan terachir ini keempat titik tadi kolineair.

287

b. A OAB oo A OBjAj (dalil 93); OA = a ; OB = b ; OAj

k2 k-— ; AB = d ; AiB i :d = - : b ; a a

k2dd j adi AiB, =

D jik a t it ik 2 O, A dan B terle

tak pada satu garis dengan urutan

ini, m aka ten tu sadja diperoleh

d jaw ab jang sama un tuk A ^ ;

sebab kurangilah sadja O terus-menerus, sehingga; ach irn ja OAAi ber

im p it dengan OBBj.

Djika titik2 A dan B tidak terletak pada fihak jang sama thd. O,/c2 /c2 k2 k2 k2(a + b) . . :

maka OA, = —, OB: = — , djadi A.Bj = — + — = ----r--•; disin1 a 1 b 3 1 a b ab

k2da -f b = AB = d ; djadi djuga dalam hal ini AjBj = — .

Kita peringatkan dengan sangat, bahwa pada gb. 279 sebenarnja

Aj dan Bi titik2-invers A dan B, tetapi bahwa gambar invers segment-

garis AB bukanlah segmentgaris AjBi.

P er h a t ia n . AB dan AjBj pada gb. 279 satu sama lain anti-paralel

terhadap OA dan OB.

§ 86.

Sekarang akan kita selidiki bangun-bangun apakah didapat djika

suatu garis dan sesuatu lingkaran diinversikan.

D A L I L 139.

a. Suatu garis lurus l, karena inversi (O, k2) beralih kepada garis

itu sendiri, djika O terletak pada l.

b. Djika O tidak terletak pada l, dan M ialah projeksi O pada l,

maka pada inversi (O, k2), l beralih kelingkaran dengan O sebagai

garistengah.

B u k t i , a. Karena definisi inversi, maka tiap titik pada l, jang bukan O

beralih ketitik pada l pula. Njatalah pula, bahwa sebaliknja, tiap titik

l ialah titik-invers titik l, djadi gambar invers l terdiri dari seluruh

garis l.

b. Djika T titik / jang bukan M, dan Tj titik-invers T, maka M,

T, ^ dan Mi menurut dalil ,138a konsiklis, djadi /_ OTiMi = 90°, se

288

hingga Tj terletak pada lingkaran k dengan 0 M X sebagai garistengah.

D jika sebaliknja Si titik lingkaran ini dan bukan 0 atau Mi, dan S

titik inverse maka lagi M, S, Si dan konsiklis, djadi /_ MiMS =

90°, sehingga S terletak pada Z.

Karena titik O pada lingkaran,

adalah titikinvers titik-djauh Z, ling

karan seluruhnja dengan OM sebagai

garistengah ialah gambar invers Z.

Dari gambar 280 djelaslah pula

lukisan ‘gambar invers garis Z, jang

tidak melalui O. Tjukuplah ditarik

OM _|_ Z (M pada Z) dan ditentukan

titik invers M, jaitu Mj, dan selan-

d ju tn ja ’ lingkaran dengan OMi sebagai

garistengah, ialah gambar invers Z.

D jika pangkat inversi positip, dan Z

memotong lingkaran dasar (0,ft) di Q dan R, maka M1( ialah titik-

potong antara OM dengan garis tegaklurus di R pada OR.

Gb. 280: Gambar invers l.

D A L I L 140 a.

D jika O terletak pada lingkaran C dan P\ titikinvers P terhadap O,

maka lingkaran ini pada inversi (O, ± k2) beralih ke garis tegaklurus

di P i pada OM, djadi kegaris melalui P x sedjadjar dengan garis-sing-

gung t di O p ada. lingkaran C.

B u k t i . Menurut dalil 139 b, lingkarannja ialah gambar invers garis

tegaklurus jang tsb. diatas; djadi garis jang terachir ini ialah gambar

invers lingkarannja.

289

Planimetri — 19.

Lukisan gambar invers lingkaran (M, r) mudah djuga, lebih2 djika

(M, r) memotong lingkaran-dasar. Sebab, djika Q dan R titikpotong2nja,

maka garis QR( = Ci) ialah gambar invers lingkaran (M, r), djika ku-

asanja positif (gb. 281 a); djika kuasanja negatif (gb. 281 b), invers C,

jaitu Ci, melalui titiklawan2 Qt dan Rt-

P e r in g a t a n . Berkenaan dengan dalil 140a dan peringatan pada dalil

138, maka lingkaran-luar segitiga ABC pada inversi dengan A sebagai

pusat beralih kegaris lurus, jang anti-paralel dengan BC terhadap A.

Karena garis ini menurut dalil 140a sedjadjar dengan garissinggung

di A, pada lingkaran tadi, maka djuga garissinggung ini anti-paralel

dengan BC terhadap /_ A. Jang terachir ini tentu sadja dapat djuga

dibuktikan dengan langsung dengan dalil 112, akibat 2.

D A L I L 140 b.

Djika O tidak terletak pada lingkaran C dan kuasa O terhadap C, dise

but (i, maka lingkaran ini pada inversi (O, ± k2) beralih ke lingkaran C\,

4-k2jang terdjadi dari C karena perbanjakan (O,---).

t*B u k t i. Djika P suatu titik lingkaran (M, r), Pt titikinvers P dan Q

titikpotong kedua antara OP dengan lingkaran tadi, maka pada gb. 282 a dan b :

OP.OPi = /c2 dan OP.OQ = n ;

diadi: O P j= ^ ! o q .t*

Gb. 282: Lingkaran (N,s) ialah gambar invers lingkaran (M ,r) .

sehingga Pt terletak pada lingkaran (N., s) (awas : N, dan bukannja Mi)

jaitu hasil peralihan lingkaran C (M, r) djika diperbanjakkan dengan

Njatalah djuga, bahwa sebaliknja, tiap titik lingkaran (N, s)

ialah invers suatu titik lingkaran (M, r).

290

Pada gb. 282 c kuasa inversi negatif; djuga n negatif; djadi C

diperbanjakkan dengan faktor positif.

P e r in g a t a n k e -I. Oleh pembitjaraan diatas telah didjelaskan per-

njataan : ,,titik2-invers dua buah lingkaran” , (halaman 213).

P e r in g a t a n Ke-II. Djika sebuah titik mendjalani lingkaran C dengan

arah kekanan (lihatlah pada gb. 283 titik2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1);

titik2-inversnja bergerak pada lingkaran Ci dengan arah kekiri; lihat

h, 2i, 3j, 4i........8i, li. Djelaslah, djika kita bergerak dari 1 ke 2, djarak

dari O, jaitu d, mendjadi lebih besar; dan karena bertambahnja d,

maka akan berkuranglah hasilbagi k2 : d.

P e r in g a t a n Ke-III. Djika lingkaran (M, r) dengan lingkaran dasar

tidak bertitik persekutuan, gambar invers dapat diperoleh dengan tjara

jang semudah-mudahnja dengan menginversikan titik2 potong antara

OM dan lingkaran (M, r), jaitu A dan B. Djika At dan Bt titik2-invers-

nja, A iB i ialah sebuah garistengah lingkaran (N, 5).

Gb. 284: Melukis gambar invers lingkaran ( M ,r) dengan lingkaran dasar.

Djika lingkaran (M, r) memotong lingkaran-dasar (O, k) di titik2

C dan D (lihat gb. 284 a dan b), maka titik2 ini pada inversi (O,k2) beralih

291

kediri sendiri. D jika E titikpotong kedua antara OD dengan lingkaran

(M, r) maka DN // EM, karena O titik kesebangtinan lingkaran2 (M,r)

dan (N,s). Djadi lingkaran (N,s) dapat dilukis dengan mudah. Djika

lingkaran (M,r) menjinggung lingkaran-dasar di R dan S titikpotong

kedua antara M R dan lingkaran (M,r), tentukanlah titikinvers S, jaitu

S i ; dan lingkaran (N, s) ialah lingkaran jang bergaristengah RSi.

Djikalau M berimpit dengan O, tjukuplah di-inversi-kan satu titik

lingkaran (M,r) sadja; maka lingkaran (O, OAi) ialah gambar inversnja.

Hendaklah diperhatikan akibat2 berikut ini, jaitu dari dalil 140 b,

jang sangat penting.

A k ib a t k e -1. Djika ¡i kuasa O terhadap lingkaran C jang tidak mela

lui O, maka pada inversi (O, n), C beralih C sendiri.

k2Sebab, pada dalil 140 b __ = 1 . Djika n positif, dari akibat ini

v-dapat ditarik kesimpulan lagi:

A k ib a t k e -2 (lihat gb. 285 a). Pada suatu inversi dengan kuasa positif,

tiap lingkaran, jang memotong tegaklurus lingkaran-dasar, beralih kediri

sendiri. S = S it P = Qu Q = P h

Gb. 285: C = C/.

Sebaliknja, tiap lingkaran jang bukan lingkaran-dasar dan jang

beralih kedirinja sendiri pada inversi, memotong tegaklurus lingkaran dasar.

Pada inversi dengan kuasa negatif (gb. 285b), tiap lingkaran jang

membagi dua lingkaran-dasar, beralih kediri-sendiri; S dan Si ialah

titik2 diametral pada lingkaran-dasar; P = Qu dan Q ^ P i .

Hendaknja diperhatikan, bahwa pada gb. 285 a, djika P bergerak

kearah kanan sepandjang C, titikinversnja Pt bergerak sepandjang C

kearah kiri ; pada.gb. 285 b kedua titik tsb. bergerak searah.

A k ib a t k e -3. Djika lingkaran (M , r) bukan lingkarantitik dan {N, s)

gambar invers-nja pada inversi (O, k2), maka M dan N pada inversi ini

■ bukanlah titik2-invers.

292

OAMB ialah pemuat AB, garistengah lingkaran dengan titik

pertengahan M ; djuga pembawa BiAj dengan titikpertengahan N;

OA = a dan OB = b ; OM = i(a -f- b) ; ON = -J n akan

l a M

d j adi Mi, djika a—^ ~ X $ ( — + — ) = k2, atau (a — b)2 = 0: hal2 \ a b '

ini hanja terdjadi, djika a = b, djadi djika r = 0.

Dengan pertolongan dalil2 140 a dan 138 b dapatlah sekarang di

berikan bukti jang mudah untuk dalil Ptolemaeus (dalil 115 a), dan

untuk dalil 115 c. Sebab djika ABCD sebuah segi-empat talibusur,

dengan AB = a, AC = p, BC = b, CD = c, DA = d, dan BD = q,

tentu pada inversi (A, k2) lingkaran-luarnja beralih kegaris lurus, se

hingga titik2 inversinja B, C dan D, jaitu Bj, Ci dan D t kolineair. Karena

Ci terletak diantara Bi dan Di, maka

BiCi + CiDi = B iD j.................. (1)

fc b k2c k2aMenurut dalil 138 b : BiCi = — , CiDi = ——, dan BiDi — ——, se-

ap dp ad

hingga (1) mendjadi:

atau : bd + ac = pq ............ (2)ap dp ad

Djika A, B', C dan D tidak konsiklis, pada inversi (A, k2), Ct tidak

djatuh pada BjDi, djadi BiCi + CiDi > BiD^ sehingga dengan tjara

jang sama diperolehlah :bd + ac > pq ;

dengan ini djuga telah terbukti dalil 115 c. Sebaliknja, djika pada segi-

empat ABCD diketahui rumus (2), maka karena inversi (A, k2) harus-

293

lah ada rumus (1), djadi bahwa Ci terletak pada B1D 1. Djadi B, C, D

dan A terletak pada satu lingkaran, sedangkan pasangan2 titik A, C dan

B, D jang satu memisahkan jang lain.

§ 87.

Pada gb. 288 /_ (Z, m) = 30°; sudut ini dibajangkan kepada m;

bajangan-tjermin ialah /_ (Zs, m); panah

pada sudut pertama pada bajangan-tjer-

min mendapat arah berlawanan ; /_ (l,m)

= 30°, dan /_ (Zs, m) = — 30°. Djika

pada suatu gambar telah dipilih suatu

arah untuk bergerak, umpama kekiri, dan

ini disebut positif seperti di ilmu-ukur

sudut, gerak kekanan dinamakan nega

tif. Kita beri sebuah tjontoh. Pada gam

bar 289 a, telah dipilih arah EB pada

talibusurnja; lingkarannja didjalani kekiri. Sudut di A antara kedua

gambar berarah ialah sudut dengan kaki ke-1 AB dan kaki ke-2 AD ;

di E : /_ E (B, G); sudut2 ini harga mutlaknja sama, tetapi arahnja

berlawanan ; jang pertama kekiri jang kedua kekanan.

Pada gb. 289 b, di P : /_ (C , C2) = /_ P(H, K), djadi kekanan ; di Q :

Z. (Clt Q (L, N), djadi kekiri; djuga sudut2 ini berlawanan.

Gb. 288: Sudut1 berarah.

Gb. 289: Sudut2 jang bertentangan arahnja.

Akan diselidiki sekarang, apakah inversi bersifat samasudut

searah atau berlawanan. Untuk ini kita pandang sebuah garis lengkung

K, jang berpangkal di suatu titik P, jang tidak berimpit dengan pusat

inversi, jang mengubah P dan K mendjadi Pi dan Ki; melalui titik P

itu djuga ada garis lengkung kedua, jaitu L ; Li melalui Pj. Garis lurus

OP dinamakan Z; transversal garis2 lengkung ialah m ; m memotong K

dan Ki berturut-turut di Q dan Qi, L dan L\ berturut-turut di R dan Rj.

294

%

Sekarang m diputar kekanan, sehingga bergerak disudut a kekanan,

sampai berimpit dengan /; titik2 Q dan R berimpit dengan P, Qi dan Ri

berimpit dengan Pi. PQ beralih ke garissinggung PA, PR ke PB ; pada

gambar2 invers: PiQt ke PtC (awas, ini bukan invers PA), P iR i ke Pt D.

Sekarang kami njatakan ialah, sudut2 dengan arah panah2 leng

kung, berlawanan. Buktinja sebagai berikut:

Menurut dalil 138 a PQQiOrdan P R R 1P1 ialah segiempat2 talibusur,

,. ( Z p (°> Q) + Z Pi (O, Qi) + a = 180°, (kalau perlu, lihat-

Ja < ¿P (0 , R) + Z Pi (O. Ri) + a = 180°. lah gb. 290 kiri atas)

Kurangilah jang atas dengan jang bawah dan gantilah — Z p (°* Q)

dengan Z P(Q.O); djuga jang lainnja. Maka:

ZP (Q » ° ) + Z P ( 0 , R) + Z Pi(Qi. O) + Z P i(0 , R i) = 0, djadi:

ZP(Q> R) + Z Pi(Qi. Ri) = 0 (Pada § b- 290 : 62° dan — 62°)-Ini berlaku untuk kedudukan m, seperti pada gb. 290; pada waktu

m dan l berimpit, PQ dan PR beralih ke PA dan PB, PiQi ke PC dan

PD ; hubungan ini tetap berlaku, djadi (lihat sudut2 jang ada panahnja):

Z P (A , B) + Z Pi (C, D) = 0 (Pada gb. 290 34° dan — 34°).

Kita perhatikan djuga, bahwa pada inversi dengan kuasa positif, se

perti pada gb. 290, garissinggung serangkai di P dan Pi jang satu ialah

bajangan tjermin jang lain terhadap a, sumbu segmentgaris PPt ; arti-

nja : AP dan CPX memotong a dititik jang sama, djuga PB dan PiD.

Hasil penjelidikan ini dapat dinjatakan dengan bentuk in i :

D A L I L 141.

Inversi bersifat sama sudut berlawanan-arah.

Djadi djika misalnja dua lingkaran saling berpotongan tegaklurus,

295

gambar inversnja djuga saling berpotongan tegaklurus ; ini berlaku

djuga untuk garis dengan lingkaran atau dua garis; dalam hal ini tanda

sudut tidak penting ; jang utama ialah, bahwa pemotongan tegaklurus

sesudah inversi tetap pemotongan tegaklurus.

Karena dua garis lengkung itu singgung-menjinggung disuatu

t itik P, djika garis2 singgungnja di P berimpit, djadi djika garis2 sing

gung tsb. (djadi djuga garis2 lengkungnja) membentuk sudut 0° atau

180° di P, maka menurut dalil 141 ini akan berlaku pula untuk garis2

lengkung invers. Akibatnja jang penting ialah :

Akibat ke 1. D jika dua garislengkung bersinggungan di P, djuga

garis lengkung2 invers-nja akan bersinggungan di Pi, jaitu titikinvers P.

Akibat ke 2. Lingkaran jang bersinggungan, pada inversi dengan pusat

didalam atau diluar kedua lingkaran tsb., beralih ke lingkaran2 jang ber

singgungan sedjenis; pada inversi dengan pusat didalam lingkaran jang

satu, dan diluar lingkaran jang lain, akan beralih ke lingkaran2 jang ber

singgungan tidak sedjenis.

Dalil 141 dan kedua akibat ini sangat penting untuk penggunaan

inversi. Sebab pada bermatjam-matjam soal tentang sudut dan ling

karan dan persinggungan lingkaran, dapat digunakan inversi dan dalam

pada itu tidak usah disangsikan, bahwa sudut2 itu tetap dan persing

gungan beralih mendjadi persinggungan lagi, sedangkan satu lingkaran

atau lebih dapat didjadikan garis lurus, jaitu dengan memilih pusatnja

dengan sebaik-baiknja (lihatlah dalil 140 a), sehingga soalnja biasanja

mendjadi sangat dipermudah oleh karenanja. Djadi, diandjurkan pada

umumnja, untuk memilih titik jang paling banjak dilalui oleh lingkaran2,

sebagai pusat ; kuasa inversi lalu dipilih sedemikian, hingga salah satu

dari lingkaran2 tsb. beralih kediri-sendiri.

T J O'N T O H 60.

Diketahui lingkaran C — (M,r), garis l dan titik P. Diminta melukis

lingkaran X , jang melalui P, menjinggung

C " X l dan memotong C dengan sudut 60°.

P e rs ia p a n . Djika P dipilih sebagai pusat

inversi; lingkaran X jang diminta akan ber

alih mendjadi garislurus X x. Djika selandjut-

nja kuasa P terhadap lingkaran C dipilih

sebagai kuasa inversi, C akan beralih kepada

diri-sendiri, sedangkan / mendjadi lingkaran

Gb. 291 a.

296

lx. Djadi soalnja telah diubah oleh inversi mendjadi : melukis garis

X i, jang menjinggung h, dan memotong Cj dengan sudut 60°. Karena

semua garis jang memotong C dengan sudut 60° menjinggung Cx =

(M,£ r), tinggallah dilukis garissinggung persekutuan lingkaran2 k dan

Cj. Ini harus di-inversi-kan kembali untuk mendapat lingkaran jang

diminta.

L u k is a n . Djika P terletak (seperti pada gb. 291 b) diluar lingkaran

Gb. 291b: Lingkaran X melalui P, menjinggung l dan memotong C dengan

sudut 60°.

C, dan k pandjang garissinggung dari P kepada C, maka (P, k) ialah

lingkaran-dasar inversi (P, k2). Djika A projeksi P pada /, kita tentukan

dulu titik inversnja : A i ; seterusnja h ialah lingkaran jang bergaris-

tengah PAj. Selandjutnja dibuatlah lingkaran Ct = (M,£ r), dan dilukis-

lah garissinggung persekutuan kepada Cx dan ¡¡, jaitu X i.

X i menjinggung /i di R i ; PRi memotong / di R ; R ini ialah

titiksinggung l dan X . Pusat X , jaitu N, ialah titikpotong antara

garis tegaklurus di R pada / dengan garis tegaklurus dari P pada X i ;

sebab, X i invers X dan pusatnja P. Djika X i memotong lingkaran-

dasar di D dan E, masih dapat diperiksa, bahwa X djuga melalui D

dan, E.

B u k t i . Karena X i menjinggung h dan Cv djadi memotong C dengan

sudut 60°, maka X akan menjinggung / dan memotong C dengan sudut

60° (lihat umpamanja pada S), lagipula X melalui pusat, sehingga me

menuhi permintaan.

297

M

P e m b it ja r a a n . Kepada lingkaran2 C, dan U sebanjak-banjaknja ada

4 buah garissinggung persekutuan (pada gb. 291 b hanja digambar

sebuah sadja), sehingga sebanjak-banjaknja 4 buah lingkaran memenuhi

permintaan.

Sekarang akan diberikan bukti dalil Feuerbach dengan pertolong

an inversi ; lihatlah halaman 212 gb. 213.

Gb. 292: Dalil Feuerbach.

Pada gb. 292 (I, r) lingkaran-dalam, (Ia, O lingkaran-singgung

pada sisi BC dan e (pusat N) lingkaran-titik-sembilan a ABC; ling

karan ini a.l. melalui titik pertengahan sisi2, jaitu D, E, F. Titikpotong

A l dengan BC, jaitu S, ialah titik-kesebangunan-dalam lingkaran2

(I, r) dan (Ia, ra) ; djadi, garissinggung-dalam persekutuan jang bukan

BC, jaitu B'C', melalui S. Garissinggung pada e di D, jaitu DH, sedja-

djar dengan garissinggung pada lingkaran luar A ABC di A, karena

lingkaran ini djika diperbanjakkan dengan faktor — | dan titikberat

A ABC sebagai pusat, mendjadi s, sedangkan D titikperbanjakan A.

Djadi D H antiparalel dengan BC terhadap /_ A, djadi sedjadjar dengan

B 'C '. Cl ialah garisbagi y, CIa garisbagi sudutluarnja; djadi A l : IS

= A Ia : S Ia ; projeksi2 A, I, S dan Ia pada garis sisi BC ialah G (titik

ini terletak pada lingkaran N), l', S dan I 'a. Djadi djuga G l' : r s = G I a':

SU '.

298

Karena B Ia' = C l' ( = s — c), maka D I' = D Ia' ; pada halaman 271

telah didapat D I '2 = D I 'a2 = DS.DG. Djika sekarang dimisalkan DS .

DG = k2, lingkaran2 a (I, r) dan ¡3 (Ia, ra) pada inversi (D, k2) beralih

kediri-sendiri, sedangkan s beralih mendjadi garis lurus melalui S

sedjadjar dengan DH, djadi mendjadi B'C'. Karena B'C' menjinggung

lingkaran2 a dan (3, djadi, berhubung dengan akibat ke-1 dalil 141, djuga

e harus menjinggung lingkaran2 tadi. Dengan menginversikan K dan L,

ja itu titiksinggung2 B'C' dengan lingkaran2 itu, didapatlah titiksing-

gung2 antara e dengan (I, r) jaitu Ki dan Li. Ki diperoleh sebagai

titikpotong kedua antara D K dan lingkaran (I, r) djuga Li sebagai

titik-potong kedua antara DL dan lingkaran (Ia, ra).

§ 8 8 . -T J O N T O H 61.

Buktikan, bahwa gambar invers suatu berkaslingkaran merupakan ,

berkaslingkaran lagi.

Gb. 293: Gambar invers sebuah berkaslingkaran adalah sebuah berkaslingkaran lagi.

B u k t i . D jik a B berkaslingkaran jang d iketahui, dan dan K 2 ialah

299

fi

I

dua lingkaran dari berkas ortogonal, maka B ialah kumpulan lingkaran2

jang memotong tegaklurus Kx dan K 2 (lihatlah dalil 137). Menurut dalil

141 gambar inversi B, jaitu Bi, ialah kumpulan lingkaran2 jang memo

tong tegaklurus lingkaran2 invers: K xi dan /C2i. Menurut dalil 136,

akibat ke-1, Bi djuga berkaslingkaran.

Pada gb. 293 B ditentukan dengan lingkaran2 Cx dan C2, garispang-

katnja ialah m, dan c sentralnja. Pada inversi dengan pusat O dan ling

karan dasar G, beralihlah Cx dan C2 mendjadi lingkaran2 Cxi dan C2i.

Lingkaran C jang melalui O beralih mendjadi garis lurus n = C i; djadi

n haruslah gariskuasa B\ (lihatlah gb). Lingkaran K dari berkas-

ortogonal B, jang melalui O, beralih mendjadi garis lurus Ki = K,

jang harus memotong tegaklurus semua lingkaran dari Bi, djadi sen

tralnja B i. Selandjutnja m, gariskuasa B beralih mendjadi lingkaran

dari B h jang melalui O ; invers m tidak ada pada gambar. Dalam hal,

bahwa B mempunjai titik2 dasar D dan E, buktinja mudah sekali,

karena kumpulan semua lingkaran jang melalui D dan E beralih men

djadi lingkaran2 jang melalui titik invers D dan E, jaitu Dt dan Et ;

ini masih berlaku djuga, djika D dan E berimpit.

Karena inilah, maka pada gb. 293 telah diambil berkas B dengan

dua titik2 batas Gx dan G2 ; pada inversi titik2 ini (sebagai lingkaran2-

titik) beralih mendjadi titik2 batas Bi, jaitu Gji dan G2i.

Dalam hal2, djika B berkaslingkaran konsentris, atau djika pusat-

nja ialah sebuah titik dasar atau titik batas berkaslingkaran jang tidak

konsentris, kita persilahkan melihat soal-soalnja (lihat § 89 no. 23 dan

24); dalilnja tetap berlaku,

asal 'sadja berkassinar di

anggap sebagai berkasling

karan istimewa.

TJONTOH 62.

Buktikan, bahwa titiksu-

dut2 A ABC pada inversi

(P, k2) beralih mendjadi ti-

tiksudut2 A AiBiCi, jang

sebangun dengan A D EF , jaitu segitiga titikkaki P terhadap A ABC.

B u k t i. disebabkan karena inversi, AiBi antiparalel dengan

AB ; Bj = /_ Dx, sebab BDPF segi-empat talibusur, karena sudut2

PDB dan PFB keduanja 90°. /_A i2 = /_ C2 = Z D2 karena alasan jang

sama. Djadi' Aj dari A A iB ^ i sama dengan D dari A DEF,

Z Bi = E dan Ct = /_ F. Djadi segitiga-segitiganja sebangun.

300

S 0 A L-S 0 A L

1. Djika gambar G pada inversi (0, m) beralih mendjadi Gm dan

pada inversi (0, n) mendjadi Gn, maka Gm Gn. Buktikanlah.

2. Diketahui dua lingkaran Cj dan C2 dan titik M. Diminta melukis

lingkaran jang melalui M dan :

a. memotong tegaklurus Cx dan C2;

b. memotong Cx dan C2 dengan sudut2 jang diketahui.

3. Diketahui 3 buah lingkaran Cv C2, C3, jang melalui satu titik O ;

lukislah lingkaran, jang menjinggung ketiga lingkaran tsb.

4. Diketahui titik M, garis lurus l dan lingkaran C ; lukislah lingkaran

jang melalui M dan menjinggung l dan C.\

5. Diketahui titik 0, garis /, lingkaran C.dan segmentgaris k. Lukislah

garis lurus melalui 0, jang memotong l di M dan memotong C di Q,

sehingga OP. Q0 = — k2.

6. Diketahui dua lingkaran Cx dan C2; pada C, diambil titik2 Ax dan

Bj dan pada C2 titik2 A2 dan B2, sehingga Ax dan A2 dan djuga

Bx dan B2 merupakan titik2 inversluar (-dalam) Cx dan C2. Bukti

kan, bahwa titikp.otong A1B1 dengan A2B2 terletak pada garis-

kuasa Cx dan C2.

7. Dua lingkaran Cx dan £ 2 keduanja memotong tegaklurus (P, k).

Buktikan, bahwa titikpotng S dan Sx dari Cx dan C2, merupakan

titik2 invers pada inversi (P, k2).

8. Djika titik2 A dan Ai titik2 invers pada inversi (P, /c2), buktikan,

bahwa MA : MAi tidak berubah, djika M berdjalan sepandjang

lingkarandasar (P, k).

9. Lingkaran2 Q dan C2 memotong C3 dengan sudut siku2; Cx dan C2

mempunjai titik2 persekutuan A dan B ; C2 dan C3 titik2 E dan F,

dan C3 dan. Cx titik2 G dan H. Buktikan, bahwa lingkaran2 AFG

dan AHE bersinggungan di A.

10. AB ialah garistengah lingkaran e; selandjutnja titik2 C dan D ter

letak pada £ ; AC dan BD potong-memotong di S. Buktikan,

bahwa lingkaran SCD memotong tegaklurus lingkaran e.

301

11. Diketahui titik2 A, B, C, D. Djika lingkaran2 ABC dan ABD ber

potongan tegaklurus, hal ini berlaku djuga bagi lingkaran2 ACD

dan BCD.

12. Dua lingkaran Cx dan C2 berpotongan di A dan B. Garissinggung

di A pada C2 memotong Cx lagi di Dx dan garissinggung di A pada

Cj memotong C2 lagi di D 2. Djika lingkaran ADX D2 selain di A,

masih memptong garis AB lagi di E, maka AE = 2AB.

Buktikanlah.

13. Diketahui sebuah titik A, lingkaran a, jang tidak melalui A dan

pada a titik2 B dan C. Djika M suatu titik a jang berubah-ubah,

buktikan, bahwa lingkaran ABM dan ACM berpotongan dengan

sudut jang tetap.

14. Tiga buah lingkaran ialah, Cv C2 dan C3, melalui satu titik M, titik-

potong2 lainnja ialah S12, S23 dan S13 (S12 pada Cx dan C2, dst.). D i

buatlah lingkaran jang melalui P dan S23 dan memotong tegak

lurus Clf ; begitu djuga /C2 jang melalui P dan S13 dan memotong

tegaklurus C2, dan K 3 jang melalui M dan S12 dan memotong

tegaklurus C3. Buktikan, bahwa selain M, masih ada lagi sebuah

titikpersekutuan: Klt K 2 dan K 3.

15. Diketahui tiga buah lingkaran a, ¡3 dan y ; P dan y berpotongan di A

dan A', y dan a di B dan B' dan a dan ¡3 di C dan C'. Melalui suatu

titik P dibuatlah lingkaran2 PAA', PBB', dan PCC' ; buktikanlah,

bahwa lingkaran2 ini masih harus mempunjai sebuah titik per

sekutuan lagi selain P.

16. Dua buah lingkaran Cx dan C2 berpotongan tegaklurus di O ; ling

karan C3 menjinggung Cx di Q dan C2 di R ; P suatu titik pada C3

jang bukan Q dan R. Buktikan, bahwa lingkaran2 POQ dan OPR

berpotongan dengan sudut 45°.

17. A, B dan C dengan urut-urutan ini terletak^pada sebuah garis lurus.

Suatu lingkaran e jang berubah-ubah melalui A dan B. C dihubung

kan dengan K dan L, jaitu titiktengah2 kedua busur AB dari e.

Djika CK dan CL berturut-turut masih memotong lagi lingkaran e

di M dan Q, tentukanlah tempat kedudukan M dan Q.

18. Diketahui 2 lingkaran berpotongan ,a dan p, dan lingkaran ketiga y.

Lukislah lingkaran jang memotong tegaklurus « dan (3, dan memo

tong y dengan sudut 60°.

302

19. Diketahui garis l dan titik M, diluar l. Melalui M ditarik dua buah

garis a dan b, jang membuat sudut lantjip <p dan memotong l di A

dan B. Djika pasangan garis a, b berputar terhadap M, maka ling

karan luar MAB menjinggung suatu lingkaran tetap. Buktikanlah.

20. Tentukanlah pusat inversi 0, sehingga titik A, B dan C jang di

ketahui mendjadi tiga titik Ai, Bi dan Ci jang kolineair, sedemikian,

hingga Bi titiktengah AiCi.

21. Diketahui lingkaran (M, R) dan (N, r); MN = d. Tentukan pusat

dan kuasa inversi, jang mengubah lingkaran jang satu mendjadi

lingkaran jang lainnja.

22 Empat buah titik A, B, C dan D karena inversi (0, m) beralih ke

pada Ai, Bi, Ci dan Di. Tentukanlah O, sehingga :

a. A 1B 1C1D 1 merupakan djadjarangendjang ;

b. Di mendjadi pusat lingkaran-luar A A 1B1C1.

23. a. Diketahui berkaslingkaran B dengan titikdasar2 P dan Q. Beralih

kemanakah B pada inversi (P, m) ?

b. Beralih kemanakah B ' , berkas-ortogonal B, pada inversi (P, m)?

c. Selidikilah pada a) dan b), djika P dan Q berimpit.

24. a. Diketahui berkaslingkaran konsentris B, dengan pusat P. Ber

alih kemanakah B pada inversi (P, m) ?

b. Djika 0 suatu titik jang bukan P, selidikilah kemana B (lihat

a) beralih pada inversi (0, m).

25. Tentukan gambar inversi berkassinar dengan puntjak T pada in

versi (0, m) dalam kedua hal, jaitu djika:

a. O berimpit dengan T ;

b. O tidak berimpit dengan T.

26. Diketahui dua lingkaran tak-konsentris Cx dan C2, jang tidak mem-

punjai titik persekutuan. Lukislah 0, pusat inversi, jang meng

ubah Cx dan C2 mendjadi lingkaran2 konsentris.

27. a. Tentukanlah tempat kedudukan titik2 P, jang segitiga-titik-

kaki-nja terhadap A ABC samakaki. *

b. Lukislah titik2 jang segitiga-titikkakinja terhadap A ABC

samasisi.

28. Buktikan, bahwa ketiga lingkaran Apollonius A ABC berpotong

an dua-berdua dengan sudut 60°.

303

B A B XV.

SOAL PERSINGGUNGAN APOLLONIUS

Soal persinggungan Apollonius berisi lukisan lingkaran2, jang meme

nuhi tiga ketentuan; tiap ketentuan mengharuskannja: melalui suatu

titik atau menjinggung pada suatu garis atau pada suatu lingkaran.

Hubungan antara sjarat2 tsb. ialah seperti berikut in i :

Melalui titik2; menjinggung garis2 ; menjinggung lingkaran2

1............ 3 ..................................— .......................................— ......................

§ 90.

I I 2 .............................. 1........................................— .

I I I............. 2 ............................... — ....................................... 1.

I V ........ 1.............................. 2 ........................................— .

V ....... 1.............................. — ..................................... .. 2.

VI. '........ 1............................... 1....................................... 1.

V II.........— .............................. 3 ........................................— .

V III — .............................. 2 ...................... ................ 1.

IX ............. — .............................. 1 . . . ; ............................... 2.

X .............— ...............................— ....................................... 3.

Beberapa daripadanja dapat dikerdjakan dengan djalan jang mudah,

sehingga untuk ini tjukuplah kita beri petundjuk jang singkat.

I. Lihat dalil 34; VII. dalil 37.

II. Melalui M dan Q dan menjinggung l.

Garis jang melalui M dan Q memotong l di S; garissinggung dari S

pandjangnja sama dengan V SM. SQ; garissinggung ini dapat kita pa

sang pada kedua belah fihak S di l, dan dengan djalan ini terdapat dua

buah titik singgung Tx dan T2; sumbu segmentgaris MQ memotong garis

tegaklurus pada l di T, dititik P; maka PT itulah djari2nja. Ada dua

buah lingkaran jang memenuhi permintaan itu, karena ada dua titik T;

ketjuali, djika MQ / / 1, maka hanja ada satu lingkaran sadja.

III. Melalui M dan Q dan menjinggung lingkaran K.*

P e r s e d ia a n da n p e l a k s a n a a n . Pada gambar 295, ialah suatu ling

karan jang menjinggung lingkaran K. Karena lingkaran2 itu bersinggung

an, maka dapatlah ditarik garissinggung-persekutuan dititiksinggung-

persekutuan. Titikpotongnja dengan MQ, ialah S. S suatu titik pada

304

r

gariskuasa kedua lingkaran tsb. Titik ini ditentukan dengan memakai

lingkaranpertolongan H, jang memotong K di C dan D, dan melalui M

dan Q. Dengan ini, tjukuplah sudah persediaan untuk pelaksanaannja.

Buatlah lingkaran H melalui M

dan Q; lingkaran ini memotong

K di C dan D. Tariklah MQ dan

CD; tariklah dari titikpotong-

nja : S, garissinggung2 STX dan

ST2 pada K', PTX dan sumbu MQ

berpotongan di Ojj T2P dan sum

bu ini berpotongan di O,.

P e n je l e s a ia n k e d u a . Perse

diaan dan pelaksanaan. Karena

inversi dengan M (atau Q) seba

gai pusat, maka lingkaran2 jang

diminta itu berubah mendjadi

garis2. Kita pilih M sebagai pusat

inversi, dan kwadrat garissing

gung dari M pada K sebagai kuasa; K mendjadi K lagi dan Q mendjadi

suatu titik Qi pada MQ. Invers lingkaran2 jang diminta ialah garissing

gung2 jang ditarik dari Qi pada Ki = K. Pada gambar 296 kita berikan

pelaksanaannja. M dan Q ialah titik2 jang diketahui, dan K lingkaran

305

Gb. 295: ^ dan X 2 melalui M dan Q dan menjiiiggung K-

planimetri-20

jang harus disinggung oleh X x dan X z. Berturut-turut (untuk pusat

inversi M dan kuasanja: MA2): tentukanlah Qi,- K\ = K; tariklah garis-

singgung OiTji dan QiT2i kepada K; tariklah MTl( dan MT2l; pada K

diperolehlah titik2singgung Tj dan T2. Titikpotong TjP dengan sumbu

MQ menghasilkan Oj, pusat lingkaran tarik pula T2P; titikpotcng-

nja dengan sumbu MQ ialah 0 2. Lingkaran2 X x dan X 2 dengan ini telah

tertentu oleh titikpusat dan titiksinggungnja dengan lingkaran K jang

telah diketahui.

Hal, djika M dan Q terletak didalam lingkaran K, kita serahkan

kepada pembatja.

IV. Melalui M dan menjinggung l± dan l2.

Teranglah bahwa kedua lingkaran jang diminta terletak didalam

sudut /x dan /2 jang didalamnja terletak titik M. Tjerminkan M terhadap

garisbagi sudut itu; lingkaran2 itu harus melalui M dan Ms, dan menjing

gung l-y (atau /2); dengan demikian, maka hal ke-IV ini telah dikemba

likan kepada hal ke-II. Penjelesaian kedua didapat dengan djalan mem-

perbanjakkan : lukislah suatu lingkaran jang menjinggung lx dan /2 dan

perbanjakkanlah lingkaran ini terhadap pusat S, jaitu titikpotong /j

dan l2, hingga bangun-perbanjakannja melalui titik M.

V. Melalui M dan menjinggung lingkaran2 Kx dan K2.

P e n j e l e s a i a n p e r t a m a . Lihatlah gb. 297a. X ialah suatu lingkaran

jang menjinggung di T dan menjinggung K 2 di S; T titikkesebangun-

an-dalam X dan K lt S titikkesebangunan-dalam X dan K 2; T, S dan titik-

kesebangunan-Iuar Kx dan K 2, jaitu titik G, ketiganja terletak pada

satu garis. Pada gb. 297 b, T, S dan H, jaitu titikkesebangunan-dalam

/Cj dan K 2, ketiganja kolineair (lihatlah untuk keduanja itu gb. 146).

fM

Gb. 291 Lingkaran X melalui M dan menjinggung K x dan K 2.

Pada gb. 297 a : GM . GM' = GS . GT — GD . GA == GC . GB; pada

306 '

gb. 297 b : HM . HM' = HS . HT — HA . HC = HB . HD; keduanja

menurut dalil 114. Titik M' pada gb. 297 a ditentukan dengan lingkaran

M AD atau MBC, pada gb. 297 b dengan lingkaran MAC atau MBD.

Dengan demikian lukisan ini telah dikembalikan kepada hal ke-III.

P e l a k s a n a a n . Lihat gb. 298; diketahui lingkaran2 /<x dan K2 dan titik

M. Tentukan titikkesebangunan-luar lingkaran2 /Cx dan /C2, jaitu G; lu

kislah lingkaran MAD; lingkaran ini dipotong oleh GM di M'; kita lu

kiskan sekarang lingkaran2 jang melalui M dan M' dan menjinggung /<x.

Untuk itu, haruslah dilukis lingkaran-pertolongan melalui M dan M',

jang memotong lingkaran /<x; dan lingkaran itu sudah ada, jaitu ling

karan jang melalui M, A dan D, jang masih memotong /Cx lagi di Ex;

MM' dan AEX berpotongan di Sx; garissinggung2 dari Sx pada K± ialah

SXTX dan SXT2; garis TXP memotong sumbu MM' di Ox. Lingkaran

(Ox, OxTx) ialah X x; OxN menghasilkan titiksinggung F pada K 2; PT2

menghasilkan titik 0 2 pada sumbu MM ; lingkaran JC2 = 02^ 2)merupakan lingkaran kedua jang memenuhi permintaan. Daripada

307

lingkaran jang melalui M, A dan D dapat pula diambil lingkaran jang

melalui M dan titik2 invers B dan C.

Selandjutnja, masih ada lagi dua buah lingkaran jang menjinggung

lingkaran-tidak-sedjenis Kx dan K z. H titikkesebangunan-dalam Kx dan

/C2- Kita lukis lingkaran melalui M, A dan C (djuga dengan garis putus2)

dan didapatlah pada lingkaran tsb. M " pada garis MH. Sekarang harus

dilukis lingkaran jang melalui M dan M ", jang menjinggung Kx, untuk

itu ditariklah lingkaran-pertolongan melalui M dan M ", jang memotong

Kx; untuk itu, dapat dipergunakan lingkaran jang melalui M, A dan C;

lingkaran ini bersekutu talibusur AE2 dengan lingkaran Kx. MM" memo

tong AE2 di S2; S2T3 dan S2T4 garissinggung2 dari S2 pada /Cx; PT3 dan T4P

memotong sumbu MM” berturut-turut di 03 dan 04; 03 titikpusat ling

karan menjinggung X 3 = (03, 0 3T3), sedang 04 titikpusat lingkaran

menjinggung jang keempat jaitu: X 4 = (0404T4). Daripada lingkaran

melalui M, A dan C, dapat pula dipilih lingkaran melalui M, B dan D.

P e n je le s a ia n k e d u a . Lingkaran2 jang diminta, ']aitu:Xx, X 2, X 3 dan X t

melalui M; djika mereka itu kita inversikan dengan M sebagai pusat,

308

I

akan didapat garis2; lingkaran2 jang diketahui tetap lingkaran2, jang

harus disinggung oleh keempat garis X ll; X 2i, X 3l dan X 4l. Untuk kuasa

inversi kita ambil kuasa M terhadap lingkaran Ki, dan ini mendjadi i

= Ki, K 2 mendjadi /<2i; titiksinggung2 pada X ti ialah Alt dan Blt di

dapat dengan menarik MAxi dan MB^. Karena titik2singgung Ax pada

K x dan Bx pada K2 sudah diketahui sekarang, dan pada lingkaran2 jang

bersinggungan, pusat2 dan titiksinggungnja terletak pada satu garis,

maka 0^ titikpusat lingkaran X lt didapat dengan menarik A ^ dan

BiPo. Dengan tjara jang sama diperoleh pula lingkaran2 X 2, X 3, dan X A.

Kepada pembatja diandjurkan dengan sangat, supaja djangan hanja

mengikuti pelaksanaan ini pada gambar sadja, tetapi melukis dan djugay.

membangun sendiri hal ini dengan sangat teliti.

V I. Melalui M , menjinggung garis l dan menjinggung lingkaran K2.

309

I

P e n j e l e s a i a n p e r t a m a . Lukisan ini dapat dipandang sebagai hal isti

mewa daripada hal diatas; l dipandang sebagai lingkaran /C2 jang ber

ubah tjoraknja; djadi harus dilukis suatu lingkaran, jang menjinggung

K 2 dan menjinggung lingkaran l. Titikkesebangunan-luar /C2 dan l,

jang pada gb. 298 G, disini ialah D; titikkesebangunan H, disini : C; se

bab, pada gb. 298, GD : GB = r2 : rx atau (GB — G D ): (rx — r2) = GD :

BD . r,r2, djadi DB : (rx — r2) = GD : r2 dan GD = ------; pada gb. 300 DB

ri r2dan r2 terhingga, tetapi rx besar tak terhingga, sehingga sekarang GD =

0 dan G berimpit dengan D; dengn tjara jang sama dapat ditundjukkan,

bahwa C = H. Djika dengan tjara jang sama seperti pada gb. 298 telah

didapat titik M', maka lukisan ini kita kembalikan kepada hal ke II.

Pelaksanaannja dapat dilihat pada gb. 300; diketahui l, M dan /C2;

tariklah m X h titik2potongnja dengan lingkaran K2 ialah : D ( = G),

C (— H), dan dengan garis /: B. Lukislah lingkaran jang melalui B, C

dan M ; MD menghasilkan M' sebagai titikpotong kedua; kita lukis

3 1 0

lingkaran2, jang menjinggung Z dan melalui M dan M', sebagai berikut:

titikpotong MM' dengan Z ialah Ex, pembanding-tengah antara EXM

dan EXM' ialah ax: lingkaran (Ex, ax) menghasilkan titik2singgung Tj

dan T2; 0x didapatlah pada garis tegaklurus di Tx pada l dan pada sumbu

PP ' ; dengan djalan jang sama didapatlah 0 2; dengan demikian kita

peroleh kedua lingkaran2 bersinggungan-luar X x dan X 2.

Kita pergunakan untuk kedua lingkaran jang menjinggung-dalam

K 2, titikkesebangunan-dalam H, disini C. Lingkaran jang melalui M,

B dan D dipotong oleh MH di M ". M "M memotong Z di E2; sekarang

haruslah dilukis a2, pembanding-tengah antara E2M dan E2M''. Ling

karan (Eo, a2) menghasilkan pada Z titik2singgungT3 dan T4; titik-potong

garis tegaklurus di T3 pada Z dengan sumbu MM'' menghasilkan 0 3;

dengan tjara jang sama didapatlah 04.

Titik-singgung didapat dengan menarik PO^ P02, P03 dan P04.

P e n je le s a ia n kedua . Lihat gb. 301; M titik jang diketahui, K ling

karan dan Z garisnja. Ambillah M sebagai sentrum inversi dan kuasa M

terhadap kepada K sebagai kuasa inversi; lingkaran K tetap dan Z men-

djadi lingkaran Zx jang melalui M. Pada lingkaran2 Ki dan Zi ditariklah

garissinggung2 persekutuannja X 1i, X 2\, X 3i dan X i i; lihatlah X li; titik-

singgungnja dengan Zi ialah T2i dengan Ki: titik Sx]. MTxi menghasil

kan titiksinggung Ti pada Z; MSxi menghasilkan titiksinggung Sx pada K.

Lingkaran jang menjinggung Z dititik Tlt menjinggung K di Sx dan me

lalui M, berpusat di Ox; T A J_ Z; tariklah PSX. Lihatlah selandjutnja

pada gb. 301, bagaimana diperolehnja pusat2 0 2, 0 3, dan 04. Sebanjak-

banjaknja ada 4 lingkaran jang memenuhi sjarat2 jang diadjukan.

V III. Menjinggung l, dan /2 dan menjinggung lingkaran K.

D j ik a sua tu lingkaran X harus m e n jingg ung /x dan Z2 dan m en jing

g u n g lin g k a ra n K dengan d ja r i2 r, m ak a ada suatu lin g ka ran konsentris

ja n g m e la lu i pusat K, ja n g m en jingg ung p ada ZV1 dan ZV2, ja itu garis2 ^

d an Z2 ja n g digeserkan sed jauh p a n d jan g d ja r i2; k e d u an ja ada d id a lam

a ta u k e d u an ja itu p u la ada d ilu a r sudu t ja n g d id a lam n ja terle tak

p u sa t l in g k a ra n n ja . D engan dem ik ian , m ak a soal in i d ikem ba lik an

k epad a ha l ke IV; seban jak-ban jakn ja 8 lin g ka ran d ap a t m em enuh i per

m in ta a n . P e lak sanaan n ja d iserahkan kepada pem batfa .

Penjelesaian lain sudah terdapat pada tjon toh 30, halaman 110.v

IX Menjinggung l dan menjinggung lingkaran* (Kv r J dan (K 2.r2); rx > r2.

Ada sebuah garis Z dan dua lingkaran Kx (Px, rx) dan K2 (P2, r2); kita

ambil rx> r 2. Sekarang kita kembalikan lukisan ini kepada hal ke VI,

311

k

dengan djalan sebagai berikut. Suatu lingkaran X jang menjinggung /,

dan djuga Kx dan /C2, konsentris dengan suatu lingkaran C jang menjing

gung iv atau i'v menjinggung (Pv rx + r2) atau (P2, rx r2) dan jang

melalui P2; disini lv ialah garis l jang digeserkan sedjauh r2kesatu arah,

dan /'v kearah jang berlawanan.

Djadi:

1 ) Cx dan C2 menjinggung /v dan (P1( rx + r2), melalui P2; gb. 302 1.

2) C3 dan C4 menjinggung /v dan (P^ rx — r2), melalui P2; gb. 302 II.

3) C6 dan C6 menjinggung /'v dan (Plf rx + r2), melalui P2; gb. 302 III.

4) C7 dan C8 menjinggung Z'v dan (P1( rx — r2), melalui P2; gb. 302 IV.

Perbesarkanlah djari2 Cx — C4 dengan r2, usahakanlah supaja titik2-

pusatnja tetap; maka terdapatlah lingkaran2 X x X 4, jang memenuhi

sjarat2 jang diminta.

Perketjilkanlah djari2 C5— C8 dengan r2; usahakan, supaja pusat2-

nja tetap; maka didapatlah lingkaran2 X s — X s.

Gb. 302: Lingkaran2, jang menjiggung l, K l dan K„.

Penjelesaian kedua merupakan hal istimewa dari soal persing

gungan ke-10, jaitu : garis itu dipandang sebagai suatu lingkaran jang

berubah tjoraknja.

312

§ 91.

Untuk lukisan jang ke-10 (melukis lingkaran2 jang menjinggung

tiga lingkaran jang diketahui), haruslah sebelumnja diberikan beberapa

teori tentang lingkaran"-isogonal dan lingkaranz-suplementer.

Dua buah lingkaran jang bersinggungan-Iuar, membentuk sudut

sebesar 180° dititik-singgungnja; pada persinggungan-dalam, sudut an

tara lingkaran2 itu 0°. Suatu lingkaran X v jang bersinggungan-luar

dengan ketiga lingkaran2 Kv K2, K3, membentuk sudut2 sama dengan

ketiga lingkaran tsb; X lf ialah lingkaran-isogonal Kv K2 dan /C3. Suatu

lingkaran X 2, jang memotong dua buah lingkaran dan K 2 berturut-

turut dengan sudut a dan 180° — a, dinamakan lingkaran-suplementer

Kx dan /<„; sebagai hal istimewa, ialah apabila sudut2 itu 0° dan 180°;

inilah halnja, djika X 2 menjinggung-dalam lingkaran Kx dan menjing-

gung-luar K 2.

Berpotongan dengan sudut 180° identik dengan bersinggungan-

luar; begitu djuga, berpotongan dengan sudut 0° dan bersinggungan-

dalam. Sebanjak-banjaknja ada 23 lingkaran2 jang menjinggung 3 buah

lingkaran jang diketahui, sebab banjaknja sama dengan banjak variasi

3 ber-3, dengan perulangan 2 buah unsur; (persinggungan).-luar dan

(persinggungan)- dalam.

/<1 l<2 k 3 k 2 k 3

*1 luar

luar

luar luar *5 dalam luar luar

x 2 luar dalam dalam luar dalam

*3 luar dalam luar X? dalam dalam luar

* 4 luar dalam dalam i *8 dalam dalam dalam

Gb. 303 menundjukkan 2 lingkaran Cx dan C2 dengan titikkeseba-

ngunan-luarnja : G12; suatu garis melalui G12 memotong lingkaran2 itu

dititik-titik invers : A dan Ai; pada tiap garis jang melalui G12,maka

G12A. G12A i tetap. Dilukislah sekarang lingkaran K12 dengan djari2 r dan

dengan G12 sebagai pusat, sehingga r2 = G12Ai. G ^ ; lingkaran itu

disebut Iingkaran-kuasa G12.

Jang dimaksud dengan lingkaran-lingkaran-kuasa dua buah lingkaran

ialah lingkaran2 dasar inversi2, jang menjebabkan kedua lingkaran itu men-

djadi serangkai satu terhadap jang lain; titik2 pusatnja merupakan titik2 kesebangunan-luar dan dalam. Djika G12 dipakai sebagai pusat inversi dan

313

r2 sebagai kuasa, maka Cj diubah mendjadi C2, C2 mendjadi Cv dan Kn

tetap. D jika sekarang C3 lingkaran sebarang jang melalui A dan Av

maka lingkaran ini membentuk sudut2 jang berlawanan dengan Cx dan

C2 (dalil 141). D jika kita berdjalan sepandjang lingkaran Cv C2 dan C3 semuanja menurut arah jang sama (pada gb. 303 : kekanan) dan djika

tidak diperhatikan tanda2nja, maka sudut2 itu sama; pada gb. itu =

103°; C3 disebut lingkaran isogonal Cx dan C2, karena ia membentuk

sudut2 sama dengan Cx dan C2. Djika P titikpotong C3 dengan Ki2,

maka G12P 2 = GA. GAi; djadi P titiksinggung garis G12P pada

lingkaran C3; dengan perkataan lain C3 memotong tegaklurus K12;

tiap2 lingkaran isogonal Cx dan C2 memotong tegaklurus lingkarankuasa

K12. Sebaliknja, tiap2 lingkaran, jang memotong tegaklurus K1Z,

seperti C4, ialah lingkaran isogonal Cx dan C2, karena pada inversinja,

C4 tetap.

Gb. 304 menundjukkan 3 lingkaran Cx, C2 dan C3 dengan 3 ling

karan2 kuasanja : K12, K 23 dan K 3l; tiap lingkaran jang memotong orto

gonal K12 dan /C31 (lihat lingkaran dengan titikpusat N), memotong

ketiga lingkaran Clt C2 dan C3 dengan sudut2 jang sama; disini 50°; K12

dan /C31 berpotongan di M dan Q, semua lingkaran2 ortogonal jang di

maksud membentuk suatu berkas, jang bergariskuasa garis G12G31 (dalii

317). Djadi sudah kita peroleh :

Gb. 303: C3 lingkaranisogonal Cx dan C2 ; C8 j_ K lt .

3 1 4

D A L I L 142

Lingkaran2, jang memotong dengan sudut jang samabesar 3 buah ling

karan jang diketahui, jang satu terletak, diluar jang lain, membentuk suatu

berkas dan bergariskuasa sumbukesebangunan jang melalui ketiga buah

titikkesebangunan-luarnja.

GI2

Gb. 304: 0 12 G23 ialah garis kuasa lingkaran2 jang memotong isogonal Clt C2 dan C 3.

Gb. 304 menggambarkan hal, bahwa K12 dan K31 berpotongan di-

titik P dan Q; /C23 djuga melalui P dan Q; sebab, semua lingkaran ber

kas Iingkaran2isogonal memotong tegaklurus lingkaran2kuasa K12, K 23

dan I<31; lihat sekarang dalil 137; jang dimaksud dengan B disini ialah

berkas lingkaran2isogonal; dengan Bj dimaksud ketiga buah lingkaran2-

kuasa dan dengan / dimaksudkan sumbukesebangunan. Djadi ketiga

buah Iingkaran-kuasa itu harus melalui titik2batas berkas B, dua dari-

padanja melalui M dan Q; djadi inilah titik2batasnja, jang djuga dilalui

oleh K 23. Semua lingkaran, jang memotong isogonal Cv C2 dan C3, ber

pusat N pada MQ; sebagai djari2 diambil garissinggung dari N pada

salah satu dari lingkaran2 K. Diantara lingkaran2 N ada pula sebuah

jang memotong tegaklurus ketiga lingkaran Clt C, dan C3; lingkaran ini

berpusat di O, titikkuasa ketiga lingkaran tsb., dan berdjari-djari akar

3 15

dari kuasa d2. Pada inversi, maka Cv C2 dan C3 tidak berubah, djika 0

dipilih sebagai pusat, dan d2 sebagai kuasa.

Apa jang dibitjarakan disini, dipergunakan pada soal ke-10 pada

lingkaran2 X x dan X 8, jang disebut pada halaman 312. Dalam ke-enam

hal2 jang lainnja, haruslah dilukis lingkaran, jang menjinggung sedjenis

dua dari tiga buah lingkaran2 dan menjinggung jang ketiga tidak se-

djenis dengan jang dua lainnja.

Sekarang kita selidiki hal dua buah lingkaran Cx dan C2 dengan ti-

tikkesebangunan-dalamnja H12; lihat gb. 305. Suatu garis melalui H l2

memotong lingkaran2 itu dititik-titik invers A dan Ai, dengan H21A.H 12Ai

tetap, misalnja: — r2; lukislah sekarang lingkaran dengan H12 sebagai

pusat dan r sebagai djari2; lihatlah L12. Pada inversi dengan H12 sebagai

sentrum dan — r2 sebagai kuasa, maka C, diubah mendjadi C2 dan C2 mendjadi Cx dan lingkarankuasa L12 tetap. Buatlah lingkaran sebarang

C3 melalui A dan Ax; pada inversi tsb., C3 tetap. Karena H12 terletak

didalam C3, maka C3 di A dan di Ax didjalani dengan arah jang sama;

djadi sudut2 antara C3 dan Cx dan antara C3 dan C2, sama dititik-titik

tersebut; djika semua lingkaran itu didjalani dengan arah kekanan,

maka sudut2 itu mendjadi suplementer; C3 disebut lingkaran suplemen

ter Cx dan C2, karena ia membentuk sudut2 dengan C± dan C2 jang djum-

lahnja 180° (dalam gb. 305: 123° dan 57°). Titikpotong antara C3 dan

L12, jaitu pada inversi berubah mendjadi Q, karena H12M2 = r2 ;

djadi, P3H 12 ialah sumbu segmentgaris MQ; tiap lingkaran-suplementer

membagi dua lingkarankuasa L12; sebaliknja, setiap lingkaran jang

Gb. 305: C, lingkaran supplementair C, dan C2.

316

membagi dua lingkaran L12 seperti halnja dengan C4, ialah suatu ling-

karan-suplementer Cx dan C2, karena pada inversi, kedua titik jang

terletak diametral, berubahlah jang satu mendjadi jang lain, dan ling

karan itu seluruhnja tetap.

Pada gb. 306 kita dapati tiga buah lingkaran C2 dan C3 dengan

lingkaran2kuasanja : L12, L23 dan K31, dengan pusat2nja pada titik2se- bangun H10, H23 dan G3I. Lingkaran2, jang membagi dua L12 dan L23,

gariskuasanja ialah sentral Ha2H23; semuanja memotong sentral tsb.;

titikpotongnja diperoleh dengan melukis salah satu lingkaran-suplemen-

ter; untuk ini, teristimewa lingkaran O-lah jang patut dikemukakan,

karena lingkaran ini memotong ortogonal ketiga buah lingkaran C, djadi:

suatu lingkaran-suplementer. Lingkaran2, jang memotong suplementer

lingkaran2 Cx dan C2, melalui dua titik tetap pada sumbukesebangunan

H 12H 23, jaitu titik2 M dan Q, titik-potong antara lingkaran-ortogonal

Clt C2 dan C3 dengan garis H12H23.Suatu lingkaran, jang memotong C2 dengan sudut a (pada gb. 306 :

65°) dan memotong Cx dan C3 dengan sudut 180° — a, memotong Cj

dan C3 dengan sudut jang sama; semua lingkaran2 ini memotong tegak-

lurus Kg!,- semua lingkaran, jang membagi-dua L 23 dan djuga memotong

tegaklurus /C31, semuanja bergariskuasa H 23G13; karena lingkaran2 itu

317

semuanja memotong garis ini, maka mereka itu akan melalui titik2 jang sama, jaitu M dan Q, titik2potong lingkaran O dengan H23GI3.

Jang telah kita peroleh, ialah :

D A L I L 143

Lingkaran2, jang memotong-suplementer Cx dan C2, dan djuga C2 dan

C3, djadi jang memotong-isogonal Ca dan C3, melalui M dan Q, dua buah

titik pada sumbukesebangunan H12H12G13; M dan Q ialah titik2potong ling

kar anlingkaran-ortogonal Clt C2 dan C3 dengan sumbukesebangunan.

§92.

Lingkaran2 jang menjinggung 3 buah lingkaran jang diketahui.

P e n je l e s a ia n per t a m a . Pj, P2 dan P3 titik2pusat lingkaran2 dengan

djari2 rx > r2 > r3, lukislah lingkaran2 jang melalui titik P3, menjinggung

lingkaran2 jang dilukis dengan Px dan P2 sebagai pusat dan dengan djari2 rx ± r3 dan r2 ± r3; maka hal ini mendjadi hal ke-V.

P e n je l e s a ia n k e d u a .

a. Lingkaran2 jang menjinggung-dalam atau menjinggung-luar Kv K 2

dan K 3 semuanja.

3 1 8

Pada gb. 307, Z ialah sumbukesebangunan jang melalui ketiga titik-

kesebangunan-luar. O titikpusat lingkaran-ortogonal C; C ialah salah

satu lingkaran dari lingkaran2isogonal, sehingga ia termasuk dalam

berkas, jang bergariskuasa Z. Ini berarti, bahwa titik2pusat lingkaran2 jang diminta, jang sudah tentu lingkaran2 isogonal (180° atau 0 °), ter

letak pada garis n, jang ditarik melalui O dan tegaklurus pada Z. Garis-

singgung-dalam persekutuan kepada dan X x (Xx ialah lingkaran,

jang menjinggung-luar Kv /<2 dan /C3) memotong gariskuasa di A; titik

ini djuga terletak pada k, pemuat talibusur persekutuan K± dan C, se

hingga dapat ditentukan dengan segera.

Djadi, pelaksanaannja sebagai berikut (gb. 307) : tariklah garis Z

melalui titik2 G12 G23> dan G31; tentukan 0, titikkuasa Ku K 2 dan K 3;

tariklah dari O suatu garissinggung pada salah satu dari ketiga ling

karan2 tadi; pandjangnja r; tariklah lingkaran-ortogonal C — (0, r);

pemuat k, talibusur persekutuan dan C (dapat pula diambil tali

busur persekutuan /C2 dan C atau K3 dan C) memotong Z di A; tariklah

garis2singgung AB dan AD pada K±; PXB menghasilkan Ox, titik pusat

X x pada n; DP* menghasilkan 0 8, titikpusat X 8, pada n.

b. Lingkaran X 2, jang menjinggung-luar dan /<2, menjinggung-dalam

lingkaran K 3 danlingkaran X lt jang menjinggung-dalam dan K 2, dan menjinggung-

luar lingkaran K3.

Gb. 309: Lingkaran2 X x — X 8 dengan pusat2 Ot — 0 8, jang menjinggung lingkaran K Jr K 2 dan K 3 dengan Pusat Pu P» dan P 3.OiOOsA~ ^12 O2OO1. 1 G)'¿H22H 31! 0^00 _L GG'^Vl'¿¿HH0400b JL G^H s1H12;.

Lingkaran X 2 menjinggung-isogonal Kx dan K 2 (keduanja 180°),

tetapi menjinggung-suplementer Kx dan K3 dan djuga K2 dan K3 (180°

dan 0°). Lingkaran X 7 djuga menjinggung isogonal Kx dan K 2 (keduanja

0°), tetapi menjinggung suplementer Kx dan K3 dan djuga K2 dan /C3 (0° dan 180°). Djadi sudah semestinja kita pergunakan dalil 143; lihat

lah selandjutnja pada gambar, sumbukesebangunan H31H23G12 dan

titikkuasa O titikpusat lingkaran-ortogonal C. Lingkaran2 suplemen

ter melalui M dan Q, jaitu titik-titikpotong dengan lingkaran C.

Soal ini djadi sudah dikembalikan kepada: melukis lingkaran2 melalui M dan Q, dan menjinggung Kx.

Sekarang, pelaksanaannja sebagai berikut in i : diketahui lingkaran2 Kx, K 2 dan K 3 dengan titik2pusat P1( P2 dan P3. Tariklah garis / mela

lui H31, H 23 dan G12; tentukan O, titikkuasa lingkaran2 jang diketahui;

tariklah dari O suatu garissinggung pada salah satu dari ketiga lingkaran

itu; disini OB = r ; tariklah lingkaran-ortogonal C == (0 , r). Lingkaran

ini memotong K x dan A dan B; AB memotong sumbukesebangunan

H 31H 23G12 di S; lukislah garis2singgung dari S pada Kx; garis2singgung

tadi ialah : STX dan ST2. Titik2pusat lingkaran2 jang ditjari terletak pada

garis n, jang melalui o" dan tegaklurus pada sumbukesebangunan; MjTj

memotong n di 0 2, titikpusat lingkaran X 2, jang menjinggung-luar Kx

dan K 2 dan menjinggimg-dalam K z. Pada dan n terletak 0 7, titik

pusat lingkaran X 7, jang menjinggung-dalam Kx dan Kz dan menjing-gung-luar /C3.

Dengan ini selesailah sudah pembitjaraan mengenai soal persing

gungan ke-10 . Hal2 3, 4 , 5 dan 6 pada halaman 304, 306 dan 309 sama

dengan hal 2 dan 7; hal 2 bersjarat persinggungan-luar Kx dan K 2, hal 3

bersjarat persinggungan luar Kx dan Kz, sedang hal ke-5 bersjarat persing

gungan-luar K z dan /C3; djadi, pelaksanaannja sama. Hal ke-4 bersjarat

persinggungan-dalam dua dari ketiga lingkaran tsb., dan djuga hal ke-6;

djadi, sama dengan hal ke-7 .

Pelaksanaan j ang lengkap kedelapan buah lingkaran pada satu

gambar, terlihat pada gambar 309.

§ 93. v S O A L - S O A L .

Soal2 persinggUngan Apollonius dengan ketentuan2 jang tertentu;

M' projeksi M pada garjs / Ukuran2 diberikan dalam mm.

1 . H. I; MM' ^ , 0. QQ, = 40; m 'Q ' = 40.

2 n i. o k x (Pt 35); PM = 50. pQ = 60

321

pVanin,etri * 21 •

3 . IV. Z (*> ™) = 45°; MM' = 10; MM' 1 Z; MM" = 30; MM" _L ni.

4. V. o (Plf 20); o (P2, 35); P2M = 30; P2M = 55.

5. VI. MM 'J_ /; PP' J_ /; MM' = 10; P'M' = 30; PP' = 70; r = 40.

6. V III. Z (l>m) = 30°; PP'_[_ /; PP' = 25; PP " = 35;PP"J_ m\r — 20.

7. IX . O (Plf 30); o (P2, 10); PjP, = 70; P jP / = 50; P2P2' = 35.

*

8. X. PXP2 = 120; P2P3 = 43; P3P! =110;/-, = 80; r2 = 28; r3 = 10.

9. D iketahui: dua buah lingkaran Cx dan C2, jang berpotongan dititik-

titik A dan B; selandjutnja, sebuah titik M dan garis l. Lukislah

dengan pertolongan inversi dengan A (atau B) sebagai pusat, suatu

lingkaran jang menjinggung Cx dan C2, d an :

a. melalui M; b. menjinggung Z.

10. Berilah suatu penjelesaian soal persinggungan ke-10 dengan per

tolongan inversi, jaitu:

a. untuk hal, bahwa sedikit-sedikitnja dua dari tiga buah lingkaran

jang diketahui tadi berpotongan, atau bersinggungan;

b. untuk hal, bahwa dua dari tiga buah lingkaran jang diketahui,

tidak ada titik persekutuan.

322

B A B XVI

LETAK HARMONIS

Pada garis / terletak titik A dan B ; C suatu titik pada /, D titik lain;

djarak2 jang diarahkan dari C ke A dan B kita tulis demikian : CA dan

— ► — * — * CA DACB ; sedangkan dari D ke A dan B, demikian : DA dan DB. ~ : —

CB DB

a____________ ________________ B_______________________

O l D

Gb. 310: (A , B ; C, D ).

ialah hasilbagi, perbandingan dua buah perbandingan ; hasil-bagi ini

disebut perbandinganrangkap A, B, C, D. Daripada menulis hasilbagi

dua buah hasilbagi, kita tuliskan sadja dengan singkat (A, B; C, D).

A dan B ialah titik2udjung suatu segmentgaris; C dan D titik2 pada pemuat segmentgaris itu. Kita berikan beberapa gambar dengan

satuan pandjang cm. Arah positip ditundjukkan dengan anak panah.

§ 94.

C D

A .............................................. , ‘ B° c D :

Gb. 311: (A , B ; C, D ).

Pada ketiga garis itu :

CA DA — 3 —9 2(A, B ; C, D) = = -5 - : — = —

CB DB 3

CA DA 3 — 5 1(A, B ; C, D) — ► • — »• g' • ^ = ~z ;

CB DB b 5

D

CA DA — 2. — 6 I

CB DB

323

rf\

Tidak perlu kiranja diberi tjontoh lebih ban jak; hendaknja diingat-

ingat sadja oleh pembatja, bahwa misalnja (P, Q ; D, E) ialah tjara me-

DP EPnulis dengan singkat untuk : — : — ‘

DQ EQHal jang istimewa pentingnja, ialah djika (A, B ; C, D) sama de

ngan — 1. Maka kita katakan, bahwa titik A, B ; C, D terletak harmonis

atau membentuk suatu keempatan-titik harmonis-, dalam hal in i :

CA DA(1)

CB DB

Pandjang ke-empat segment2-garis dapat kita misalkan sebagai a, b, ka

dan kb.

Pada gb. 312 segment-garis

AB berturut-turut dibagi-da-

lam dan dibagi-luar oleh C dan

D, dalam perbandingan p : q.

Titik2 A, B; C, D membentuk

suatu ke-empatan harmonis.

Demikian pula, letak pusat2 2 buah lingkaran dan kedua

_ „ titik-kesebangunannja. DjugaGb. 312: (A B C ) = ~ - . ; (A B D ) = _ • sudut suatu segitiga, A

dan B, membentuk suatu keempatan harmonis dengan titik2 potong

antara dy dan ey dengan sisi AB; djadi, pada gb. 313 (A, B ; D, E) =

— 1. Djuga keempat ti-

tik-istimewa pada garis

Euler membentuk ke

empatan harmonis; lihat

gb. 192, disitu (H, Z ;

N, M) = — 1.

Dari (1) dapat dili

hat dengan segera, bahwa

A dan B dapat ditukar-

tukarkan satu sama lain dan djuga C dan D; dengan menulis (1) sebagai:

AC BC

AD BD

njatalah, bahwa pasangan titik A, B dan C, D dapat ditukar-tukarkan.

D jadi, segmentgaris CD dibagi-dalam oleh salah satu dari A dan B,

dan dibagi-luar oleh jang lain dalam perbandingan jang sama. Djadi,

324

samalah artinja, djika kita katakan, bahwa A, B, C dan D ; A, B, D

dan C ; B, A, C dan D ; B, A, D dan C ; C, D, A dan B ; C, D, B

dan A ; D, C, A dan B atau D, C, B dan A membentuk suatu keem-

patan harmonis. Tak lain, ialah, bahwa a :b = ka: kb dapat dituliskan

dengan delapan tjara sebagai perbandingan, dan a: b = ka: kb ter

hitung sebagai jang pertama. Untuk menundjukkan sifat-dapat-di-

tukar-tukarkannja A dan B, C dan D dan pasangan A, B dan C, D

dengan lebih njata, kita katakan pula, bahwa pasangan2 titik A, B

dan C, D saling memisah harmonis, serangkai harmonis atau terletak

harmonis.

Titik2 tiap pasang kita sebut serangkai harmonis terhadap pasang

jang lain. Titik D dari keempatan harmonis A, B; C, D dinamakan

titik harmonis ke-empat pada A, B dan C.

D 05

Pada gambar2, sepasang huruf jang satu biasa dituliskan diatas

garisnja, dan sepasang jang lain dibawahnja; sepasang jang satu kita

njatakan dengan oreilon2 terbuka dan sepasang jang lain dengan orei-

lon2 tertutup.

D jika pada (1) C ialah titiktengah AB, maka ruas kiri sama dengan

— 1, djadi haruslah (ABD) = 1, jang berarti, bahwa D ialah titik AB

jang tidak-sebenarnja (lihat gb. 314). D jad i:

D A L I L 144

Titik-titik udjung suatu segmentgaris dipisahkan harmonis oleh

titiktengah segmentgaris tsb. dan titik-takterhingga pemuat segmentgaris tsb.

Sebagai g an ti: titik-takterhingga sesuatu garis, kita katakan pula:

titik tak-sebenarnja suatu garis; titik2 jang biasa sebaliknja, kita

sebut titik2 sebenarnja.

D jika C berim pit dengan A, maka djuga D berimpit dengan A ;

CA DAkarena rrr; = — dan CA = 0, maka djuga DA = 0. Hal tiga titik

CB DB

berimpit ini, selandjutnja, dengan tidak usah dikatakan lagi, dianggap diluar pembitjaraan.

c

Gb. 314: Keempatan-titik harmonis istimewa.

325

D A L I L 145.

Pada tiap tiga titik pada suatu garis ada suatu dan hanja satu titik

harmonis keempat.

Gb. 315: D ialah titik harmonis ke-empat

B u k t i . Misalkan : AC = a dan CB = b (a > b) ; misalkan BD = x ;

djika A, B; C, D terletak harmonis, maka berlakulah - = --+ a + b .b x ’

setelah didjabarkan : (a — b) x = ab + b2.

H a l I . a ^ b , maka x itu suatu bilangan tertentu, sehingga ada

titik keempat, jaitu D, titik sebenarnja pada pemuat segmentgaris AB.

H a l II., a = b ; dalam hal ini dikatakan, bahwa x = co ialah akarnja ;

artinja : titik D ialah titik-takterhingga pada garis AB.

Kita lihat, bahwa: djika (A, B; C, D) = _ i dan C titiktengah

AB, maka D ialah titik-taksebenarnja pada garis AB, dan sebaliknja:

djika dalam suatu ke-empatan-titik2 harmonis A, B ; C D titik D itu

titik-tak-sebenarnja pada AB, maka C ialah titiktengah ’ segmentga-

§ 95.

Diantara bilangan2 20, 8 dan 5 ada nasabah ■ (20—8) • (8— 5) =

20 : 5 ; selisih bilangan pertama dan kedua berbanding dengan selisih bi

langan kedua dan ketiga, sebagai bilangan pertama dan ketiga

Dikatakan, bahwa 20, 8 dan 5 membentuk suatu deret harmonis dan

8 ialah rata2-harmonis (pembanding-tengah harmonis) dari 20 dan 5

p, q dan r membentuk suatu ke-tiga-an harmonis diika (n

( q - r ) = p : r ; djadi, djika pr~rq = pq _ pr atau qr L Z 1 % ~ f a \

\ i j , ~

pembagian oleh pqr menghasilkan----- ------ _LP <1 q r ’

Djadi, kebalikan2nja merupakan suatu deret hitung •

1 i i— pembanding-ditengah setjara deret hitung — dan— • q P r ’q pembanding tengah harmonis p dan r.

Pada pemuat keempat titik A, B ; C dan D kita pilih suatu titik-

asal O dan kita pilih suatu arah positif. Absis2 keempat titik tsb

berturut-turut a, b, c dan d ; djarak2 berarah diperoleh, misalnja untuk

326

AC, demikian : OA + AC - O C ^ d ja d U + AC _ c, ata[I « = c _ „

Djadi nasabah harmonis CA : CB -J- DA • HR — n a-. • A' ,

¡nt * (: * c): % r i +j ° - « “ - • “ • “ 8a"(a + b) (c + d) = 2(ab + cd).

O « --------- i _______________________L_________________________B

— _ 0 ' DGb. 316: O A — a, O B = b, C)C = C, 0 0 = d.

Nasabah antara absis2 keempat buah titik harmonis itu disebut • nasabah harmonis.

D jika A dipilih sebagai titikasal, maka nasabah ini mendiadi

1 1 2 1 1 1 b(c + d) = 2a/, djadi y + y = y , sehingga — , — dan y memben

tuk deret hitung. Dengan ini telah dibuktikan :

D A L I L 146. '

D jika titik1 kolineair A, B ; C, D terletak harmonis, maka A B ialah

rcia2 harmonis dari AC dan AD, dan sebaliknja.

Disini kita mempunjai suatu alat mudah untuk menggambarkan

suatu keempatan titik harmonis. Untuk itu dapatlah, misalnja 36

dibagi oleh 5, 4 dan 3 ; hasilnja berturut-turut: 7%, 9 dan 12. Ambillah

A«------------- ------------------- 8c

B

Ao------------ —------------ J °

Gb. 317' Kebalikannja merupakan deret hitung

sekarang (gb. 317) AD = 12 cm dan padanja AB = 9 cm dan AC =

7V cm maka A, B ; C, D suatu keempatan harmonis. Djika 24 di

bagi oleh 4, 3, dan 2 maka terdapatlah : 6, 8 dan 12 dst. (lihat gb. 317).* Suatu pengenal lain jang

M B ______ penting untuk mengetahui

£------- ““-0 c D letak harmonis empat buah

Gb. 318: MC. M D = MA2 = m b \ titik A, B ; C, D diperolehdengan djalan mengambil

titiktengah AB, jaitu M, sebagai titikasal. Maka b = — a, dan nasabah

harmonis mendjadi a2 = cd. Djadi, kita peroleh :

327

\

D A L I L 147 a.

Djika A dan B terpisah harmonis oleh C dan D, dan M titiktengah

AB, maka MC . M D = M A 2, dan sebaliknja.

T it ik te n g a h M d in am ak a n tengah2 pasangan- titik A, B. D jik a M,

C dan D kolineair, maka hasil perbanjakan M C . MD dinamakan ku

asa M terhadap pasangan-titik C, D. Djadi hasil perbanjakan itu tadi

sama dengan kuasa M terhadap kepada suatu lingkaran sebarang

jang melalui C dan D.

Sekarang, kita ubah pengenal pada dalil 147 a diatas kepada bentuk

D A L I L 147 b.

Djika dari dua pasang titik2kolineair, sepasang terletak diametral pada

suatu lingkaran dan jang lain dilalui oleh suatu lingkaran kedua, maka

pasangan2-titik itu saling memisahkan harmonis, djikalau kedua lingkaran

itu berpotongari tegaklurus, dan sebaliknja.

B u k t i . Djika lingkaran2 Cx dan C2

dengan pusat2 M dan N berpotongan

tegaklurus, dan djika sebuah garis jang

melalui M memotong Cj di A dan B dan

memotong C2 di C dan D, maka haruslah

dibuktikan, bahwa A, B dan C, D saling

memisahkan harmonis. Djika S titik-

potong antara C, dan C, maka MS 1 0b 3,9

potongan tegaklurus.NS, djadi MS menjinggung C2 di S.

Akibat: MA2 = MS2 = M D . mc,

djadi, menurut dalil 147 a, A, B; C, D suatu keempatan harmonis.

Djika sebaliknja, jang terachir ini jang diketahui sebagai ganti perpotongan tegaklurus antara

CidanCj, maka MS2= MA2

= MD. MC jang berakibat,

bahwa MS menjinggung C2

di S, djadi MS NS, arti-

nja Cx dan C2 saling berpo

tongan tegaklurus.

Akibat. Lihat gb. 320; AB

suatu segmentgaris ; Cx dan

D, membagi-dalam dan luar

garis AB dalam perbanding

D ,-

328

Qb 320: dan K t memotong K tegak lurus.

an vx; titiktengah CXDX, jaitu Nx, ialah pusat lingkaran Apollonius Kx

pada segmentgaris AB dan perbandingan vx. Djika diambil perban

dingan v2, maka diperolehlah titik2 harmonis C2 dan D2 dengan pusat-

nja N2 dan lingkaran K2. Tiap lingkaran, seperti Kx dan K2, memotong

tiap lingkaran jang melalui A dan B dengan siku2 ; N ^ 2 = NXA . NXB

(dalil 147a) = NXSX2 ; djadi NXS, ialah garissinggung pada lingkaran K.

Teristimewa : lingkaran2 Apollonius suatu segitiga memotong te-

gaklurus lingkaran luar segitiga tsb. (lihat djuga halaman 271).

§ 96.

Kumpulan garis2 jang melalui suatu titik T disebut: berkassinar

atau kipassinar. Titik T disebut puntjak, garis2nja dinamakan sinar*

berkas itu (kipas). Berkas ditundjukkan dengan menjebut puntjaknja.

Empat buah sinar suatu berkas T kita sebut: sinar-empat. Djuga seka

rang, T dinamakan puntjak sinar-empat a, b ; c, d atau T(A, B; C, D),

djika A, B, C dan D titik2 sinar2 a, b, c dan d.

Baik pada suatu berkassinar maupun pada sinar-empat, suatu garis

j a n g t i d a k m e l a l u i p u n

t j a k n j a d i n a m a k a n s u a t u

transversal b e r k a s s i n a r a t a u

transversal s i n a r - e m p a t t s b .

Dengan perbandingan-

rangkap (a, b; c, d) a t a u

_ T(A, B ; C, D) dimaksudkan

D perbandingan-rangkap titik2

Gb. 321 Sinar empat harmonis. p o t o n g s i n a r 2 a, b, c, d d e

n g a n s u a t u t r a n s v e r s a l .

Suatu sinar-empat, jang, perbandingan-rangkapnja — 1, kita sebut

sinar-empat harmonis.Suatu sinar-empat harmonis, djika titik2potong sinar2-nja dengan

suatu transversal, terletak harmonis; dan sebaliknja.

Istilah2 jang dipakai untuk ke-empatan2 titik harmonis, kita pakai

djuga untuk sinar-empat harmonis. K ita katakan misalnja, bahwa

2 pasang garis jang satu memisahkan harmonis jang lain ; kita katakan

djuga sinar harmonis keempat dst.-nja.

K r i t e r i u m p e n t i n g b e r i k u t i n i u n t u k s i n a r - e m p a t h a r m o n i s , l a n g s u n g

d i p e r o l e h d a r i d e f i n i s i :

D A L I L 148.

T(A, B ', C, D) suatu sinar-empat harmonis ; melalui B ditariklah ga

ris n sedjadjar dengan garis jang serangkai; garis ini memotong dua sinar

329

lainnja di P dan Q ; maka PB = BQ. Sebaliknja, djika hal ini terdjadi

pada suatu sinar-empat, maka sinar-empat itu harmonis.

T

B u k t i . A, B ; C, D membentuk suatu keempatan harmonis; ketentuan

ini berarti,, bahwa, djika AC = a, CB = b, maka AD dan BD berturut-

turut dapat dinjatakan dengan ka dan kb. PBQ // TA, d ja d i:

|PB : TA = b : a

<BQ : TA = kb : ka = b : a ; akibat : PB = BQ.

Bukti tentang hal sebaliknja kita serahkan kepada pembatja. Da

lam PB = BQ kita kenal kembali gb. 312 pada halaman 324.

Suatu hal istimewa tentang sinar-empat kita dapat pada :

D A L I L 149.

Dua garis, terpisah harmonis oleh garis2 bagi sudut2 jatig diapitnja.

Ini ternjata dari perpotongan dengan suatu garis jang sedjadjar

dengan salah satu dari garis2 bagi dan penggunaan dalil 148.

Kebalikan dalil 149 jang berikut ini dengan segera dapat dilihat:

D jika sinar2 c dan d dari suatu sinar-empat harmonis a, b ; c, d tegaklurus

suatu terhadap jang lain, maka kedua sudut jang dibentuk oleh a dan b,

dibagi dua olehnja.

D A L I L 150.

Dua buah diagonal suatu sisi-empat lengkap memisahkan harmonis

titik2 sudut pada diagonal jang ketiga.

Ini berarti, bahwa dua buah diagonal, dipandang sebagai garis2,

membagi-dalam dan -luar diagonal jang ketiga, jang dipandang sebagai

segmentgaris, dalam perbandingan jang sama.

330

B u k t i . AB, BC, CD dan DA sisi2 empat-sisi itu ; E titikpotong BA dan CD, F titikpotong CB dan DA.

c

Gb. 323: Segiempat lengkap (E ,F ; P Q ) = _ / .

Diagonal CA dan DB memotong diagonal jang ketiga berturut-

turut di P dan Q ; harus kita buktikan, bahwa E dan F terpisah harmonis

oleh P dan Q.

M e n u ru t dalil Menelaos, digunakan pada A CEF dengan transver

sal DBQ, maka :DC QE BF

DE' QF' BC = 1

Melalui A ada tiga buah transversalsudut dalam satu segitiga jang sama;

dalil Ceva menghasilkan :

DC PE BF

D E ‘ PF' BC = ~ 1

o • . PE QE Hasilbagi ruas2 pertama kesamaan2 mi ialah — : — dan hasilbagi

ruas2-kedua kesamaan2 ta d i: — 1; d ja d i: (E, F ; P, Q) = _ i ; artinja :

E dan F terpisah harmonis oleh P dan Q.

Pada gb. 323 djuga A, C , R, P terletak harmonis ; diagonal ke-2

dan ke-3 menentukan suatu keempatan-harmonis pada diagonal ke-1 ;

djuga (D, B ; R, Q) = — 1-

Gb. 323 djuga dapat dipandang sebagai segi-empat lengkap; lihat

gb. 324; keempat titiknja ialah A, B, C dan D ; keenam sisi2nja (lihat

1 _ 6) garis2 penghubungnja, jaitu AB, AC, AD, CD, BD dan BC ;

dua buah sisi jang berhadap-hadapan (ambillah 2 huruf dari A, B,"C, D

sebagai s is i; jang dua lainnja menentukan sisi dihadapannja) berpo

tongan disuatu titik diagonal; BA dan CD di E, AC' dan BD di F, DA

dan CB di G.

«

331

Letak harmonis seperti pada gb. 323, sekarang kita njatakan demi

kian : dua buah titik diagonal suatu segi-empat lengkap memisahkan

harmonis sisi2 jang melalui titik diagonal ketiga.

u

Gb. 324: Sudutempattengkap (E ,G ; P ,Q ) = — /-

E dan G ialah titik2 diagonal; jang la inn ja : F ; sisi2 jang melalui

F diberi bernomor 2 dan 5 ; 2 memotong EG di P, 5 memotong EG

di Q; sekarang (E, G; P, Q) = — 1, seperti jang telah dibuktikan diatas.

EF memotong sisi2 3

dan 6 di H dan K (tidak

disini) ; digambar letak

* E, F; H, K harmonis. GF

memotong 1 dan 4 ber

turut-turut di L dan M;

maka G, F ; L, M sua

tu ke-empatan harmonis djuga.

TJONTOH 61.

Tempat kedudukan

titik2 Q, jang terpisah

harmonis dari titik P Gb. 325: P, l dan m diketahui; ditjari TQ.

oleh garis l dan m, ialah

suatu garis jang melalui titikpotong T ; garis ini ialah sinar-harmonis ke-4

terhadap kepada l, m dan T P.

B u k t i . PLM ialah suatu transversal l dan m, jang tidak melalui T.

Tariklah melalui L garis jang sedjadjar dengan m ; garis ini memotong

TP di A; buatlah sekarang LB = LA, maka menurut dalil 148 : TB

ialah sinarharmonis ke-4. Djika ditarik garis lain melalui P (lihat PLjMj)

dan melalui Lx garis AjBj // m (A ^ j = L ^ ) , maka TBX djuga sinar-

332

harmonis ke-4; menurut dalil 145, pada tiap ketigaan titik ada satu

titik harmonis ke-4, djadi djuga pada tiap ketigaan sinar ada satu sinar

harmonis ke-4. Lebih sederhana la g i: TLL^ ialah garisberat pada A

TAB dan pada A TAjBj, djadi AL : LB = A ^ : L ^ ; lagi pula

BA ¡I A jBu sehingga AXA, LXL dan BjB melalui satu titik, jaitu T, djadi

B„ B dan T kolineair.

§ 97.

Apa jang telah kita peladjari pada dalil 150, dapat kita pergu

nakan untuk melaksanakan :

L U K I S A N X X V I

Melukis titik (sinar) harmonis ke-4 kepada tiga buah titik kolineair

(sinar2 konkuren), jang diketahui.

P e l a k s a n a a n . Sudah kita kenal lukisan titik harmonis ke-4: D, kepada

A, B dan C atas dasar definisi, jang mengatakan, bahwa C dan D mem-

bagi-dalam segmentgaris AB dengan perbandingan jang sama.

Gb. 326: Melukis titik harmonis ke-empat.

Pada gb. 326a dan b, kita pergunakan lagi definisi dengan tjara

lain, dengan mempergunakan pertolongan: pembagian-luar dan -dalam

suatu segmentgaris dengan perbandingan jang sama.

Gb. 327: Melukis titik harmonis ke-empat.

Suatu lukisan jang sama sekali berbeda kita peroleh dengan mem

pergunakan dalil 150. Ini didjelaskan pada gambar2 327a dan b, jang

333

tidak memerlukan keterangan lebih landjut. Perhatikan, bahwa pada

lukisan ini tiada dipergunakan djangka. Lukisan sematjam ini disebut :

lukisan-mistar. Pada gambar2 326 dan 327 titik2 jang diminta, ditun-

djukkan dengan tandatanja.

Pada lukisan jang telah dibitjarakan tadi, tersimpul pula lukisan

sinar harmonis ke-4 kepada 3 sinar2 konkuren jang diketahui.

Masih ada lagi tjara ketiga untuk melukiskan dengan mudah em

pat buah titik harmonis ; dx membagi dua salah satu sudut antara l

dan m, d2 membagi dua sudut-bersisian-nja; maka l, m; du d2 merupakan

suatu sinar empat harmonis. Pada tiap transversal ke-empat sinar itu

terletaklah empat buah titik harmonis ; lihatlah A, B ; C, D.

TJONTOH 64.

, SEGI-EMPAT HARMONIS

Pada gambar 329 A, C' ; B', D, ialah suatu ke -empatan harmonis.

Ki a projeksikan ke-empatan itu dari suatu titik T pada lingkaran jang melalui T, A dan D; projeksi A

dan D berturut-turut di A dan

D. Dikatakan, bahwa A, C; B

D terletak harmonis pada ling

karan tsb., dan bahwa ABCD

itu suatu segi-empat harmonis.

Untuk T telah dipilih satu ti

tik pada sumbu AD, sehingga

busur AT = busur TD. Djika

diambil suatu titik lain P, jang

terletak pada busur AD jang

memuat T, dan kita hubung

kan P dengan A, B, C dan D,

maka terdjadilah suatu sinar-

empat jang kongruen ; sebab

ATB APB — ^ bs AB, dst. Gb. 329: A B C D ialah segiempat harmonis

334

Djadi, perbandingan-rangkap2 sinar2-empat T (A, C; B, D) sama dengan

P(A, B ; C, D), dan djuga P(A, B ; C, D) suatu sinar-empat harmonis.

D jadi tidak kuranglah umumnja, djika puntjak T dipilih demikian,

hingga TA = TD. Pandjang ke-empat buah talibusur TA, TB, TC dan

TD kita sebut a, p, y dan a. Sudut2 dengan angka2 jang sama dida-

lamnja, sama besarnja.K ita turunkan sekarang suatu nasabah antara a, b, c dan d, sisi2

segi-empat talibusur ABCD ; lihat djuga a , b dan c pada AD.

A T A B 'c o a T B A , djadi a' : a = a : (3 j = T(y

A TDC' co A TCD, djadi c' : c = TC' : a i P’

A TB'C ' co A TCB, djadi b' : b = T C ': p.

Djadi, a'c' : ac = b' : b = b 'd: bd; maka A, C' ; B', D merupakan

suatu ke-empatan harmonis, sehingga berlakulah nasabah a'c' = b'd ;

djadi ac = bd; atau dengan kata2 : hasil2-perbanjakan sisi2 berhadapan

pada suatu segi-empat harmonis, sama ; keduanja menurut dalil Ptole-

maeus sama dengan i pq.Kita turunkan suatu sifat segi-empat harmonis; ini dapat pula

kita definisikan sebagai suatu segi-empat talibusur, jang untuknja

Gb. 330: Invers titik* sudut segiempat harmonis merupakan keempatan-titik harmonis kolineair.

berlaku ac = bd. Dari definisi ini kita turunkan, bahwa invers titik2

sudut suatu segi-empat harmonis membentuk suatu ke-empatan-titik-

harmonis, djika pusatnja diambil pada lingkaran-luarnja. Kita perguna

kan nasabah pada'dalil 138 ; disitu tertjantum, bahwa A ^ = k8. AB

OA.OB’

r335

djika sekarang kita sebut A 1B 1 itu a ’, AB a, dsb., maka pada suatu

kuasa k2 :OA.OB.g ' OC.OD.c'

OB.OC .b' J OD.OA.d'

Njatalah, bahwa a'c' = b'd', karena ac = bd ; inilah definisi letak

harmonis: Ai, Ci; Bi D t dalam bentuk rumus.

Sebaliknja, ternjata, bahwa gambar-invers suatu keempatan titik

harmonis terhadap suatu sentrum, jang tidak terletak pada pemuatnja,

menghasilkan suatu segi-empat harmonis, jang lingkaranluarnja melalui

sentrum inversi.

§ 9 8 . S O A L - S O A L

1. Djika A, B ; C, D suatu ke-empatan titik harmonis dan M titik-

tengah AB, buktikanlah nasabah2

a. DA. DB = D C . DM ; b. AB . CD - 2AD . CB = 2AC . BD.

2. Dari ke-empatan titik kolineair A, B, C, D diketahui, bahwa N

titiktengah CD, sedangkan NA : ND = AC : BC. Buktikan, bahwa

keempat titik2 tadi terletak harmonis.

3. Dalam A ABC D, E dan F titik2-tengah BC, CA, dan AB ; ZJitik-

berat dan M titikpotong DE dan CF. Buktikan, bahwa : CM. FZ =

M Z . FC.

4. Melalui titiktengah BC, sisi segitiga ABC, jaitu D, ditarik garis-

sedjadjar dengan garis-sisi AB dan AC, jang memotong garistinggi

AE (E di BC) berturut-turut di P dan Q. Buktikan, bahwa (A,

E; P, Q) = — 1.

5. Diketahui sebuah segitiga ABC dan suatu titik P jang tidak ter

letak pada salah satu sisinja. Lukiskan garis l melalui P, j an§

memotong garis sisi2 BC, CA dan AB berturut-turut di Q, R dan S,

sehingga P, Q ; R, S stiatu keempatan-harmonis.

6. Diketahui dua buah garis a dan b jang berpotongan di S dan pada

a suatu titik A jang bukan S. Suatu garis l melalui A memotong

336

b di B ; pada / diambil pada kedua belah fihak B, 'bagian2 BP =

BQ = BS dan ditentukan titik K jang serangkai harmonis pada

A terhadap pasangan-titik P, Q. Tentukan tempatkedudukan K,

djika / berputar terhadap A.

7. Pada garis l diketahui pasangan-titik A, B. Lukiskanlah pada /

pasangan titik C, D, jang memisahkan harmonis A, B, sehingga

CD sama dengan segmentgaris a.

8 a Diluar lingkaran (/, m) dilukiskan trapesium samakaki ABCD,

AB /j DC, AB=2fl, D C =2b(a>b). Ditariklah IE // AB (E pada

BC) dan IF _L BC (F pada BC), sedangkan G letaknja sedemi

kian, hingga FG // BA dan IG JL BA. Djika IE =; r dan FG

= h buktikanlah, bahwa r, m dan h berturut-turut pembanding-

tengah derethitung, deretukur dan harmonis dari a dan b.

b. Buktikanlah, bahwa h < m < r dan c. m2 = lir.

9 Pada salah satu kaki suatu sudut dengan titiksudut B diletakkan

bagian2 BA = a dan BD = b dan pada kaki jang lain BC = a dan

Melalui titjkpotong F antara AE dan CD ditariklah FG

II CA (G pada AB); buktikan, bahwa BG merupakan, pembanding-

tengah harmonis dari a dan b.

10 Pada perpandjangan segmentgaris AB = a diambillah BC = b

(a>b), kemudian dilukiskan lingkaran jang bergaristengah AC

dan berpusat di M, jaitu titiktengah AC. Garistegaklurus di B pada

AC memotong lingkaran di D ; E ialah projeksi B pada N\D. Djika

sekarang AM = r, BD = m dan D E = h, buktikanlah djuga

sifat2 pada nomor 8 a, b dan c pada gambar ini.

337

Planimetri — 22.

BAB XVII

M A K S I M A D A N M I N I M A

§ 99.

Kita pandang suatu kumpulan kebesaran2 K, jang untuknja telah

didefinisikan pengertian2 „lebih besar” , „sama” dan „lebih ketjil” (mi-

salnja : suatu kumpulan bilangan2-ukuran).

Djika K terdiri dari kebesaran2 jang banjaknja terhingga, maka

tentulah dapat ditundjukkan suatu kebesaran g, jang tidak ada kebe

saran2 lainnja jang lebih besar daripadanja, dan djuga suatu kebesaran

k jang mempunjai sifat, bahwa tiada terdapat kebesaran daripada K,

jang lebih ketjil daripada k. Maka g dinamakan maksimum dan k dina

makan minimum K ; dikatakan djuga, bahwa keduanja itu ekstfim K.

Selandjutnja, akan ditilik tjara mentjari maksimum dan (atau)

minimum kebesaran2 ilmu-ukur jang sedjenis, m isalnja: dari suatu

kumpulan segitiga2 jang semuanja memenuhi satu sjarat atau lebih, kita

t j ari segitiga2, jang kelilingnja atau jang luasnja terbesar (terketjil).

Dalam pada itu akan dipandang dulu hal2 jang dengan tjara jang mudah

dapat dikembalikan kepada salah satu dari ketiga hal berikut ini :

a) Hubungan terpendek antara dua titik A dan B ialah segmentgaris

AB.

b) Hubungan terpendek antara titik A dan garis l jang tidak melalui

A, ialah garis tegaklurus dari A pada l.

c) Hubungan terpendek antara titik A dengan suatu lingkaran (P, r)

jang tidak melalui A, ialah segmentgaris jang menghubungkan A dengan

titikpotong antara sinar PA dengan lingkaran. Dari semua potongan-

garis2 jang menghubungkan A dengan suatu titik lingkaran tsb. segment

garis jang menghubungkan A dengan titikpotong antara perpandjangan

A P dengan lingkaran itulah jang terpandjang.

Kita berikan beberapa penggunaan jang sederhana.

1. Diketahui dua buah titik dan B dan suatu garis l, jang tidak memr

punjai titik-persekutuan dengan segment

garis AB. Tentukan dari semua segitiga /

sehingga CA -f CB seketjil-ketjilnja. Gb. 331: Keliling a b c paling ketjil.

Untuk itu, kita tentukan titik-ba-

P e n j e l e s a i a n . Oleh karena A B tetap,

haruslah ditentukan titik C pada l,

ABC, dengan C pada l, segitiga dengan

keliling jang terketjil.

338

ianean tiermin A terhadap l, jaitu: As. Untuk tiap2 titik C pada l

r\ 1 r n _ r A 4- CB. Sekarang, Aa dan B itu titik2 jang tetap, ASB

ia t h ^ L 'g a n ¿pe nde k antara A . dan B. Djadi titik C jang ditjari

«»A + ™ - PA . + PB > A ,B -

CA + CB.

p FRINriTiN KE i Dalam hal, bahwa l // AB, maka dari semua segi

tiga2 jang alas dan luasnja diketahui, segitiga samakaki-lah jang terketjil •

kelilingnja.

p FBINr.T. N KE 9 Sebaliknja: Dari semua segitiga2 jang alas dan ke-r fcKINGATArs . . .lilingnja diketahui, segitiga samakaki-lah jang terluas.

B u k t i . Misalkan AB alas jang d'ke

tahui dan A ACB segitiga samakak.

dengan keliling jang diketahui. ju

kuplah kita pandang segitiga- jang

letaknja sefihak dengan C terhadapAB.

D jika kita tarik garis / // AB me a m , A A BC paling besar.puntjak segitiga sematjam itu harus J 'terletak dibagian bidang antara AB dan l, djika kaki2nja tidak sama.

Sebab djika puntjaknja terletak pada titik P pada l jang berlainan

dengan C, maka menurut pembitjaraan diatas : PA + PB > CA + CB, -

sehingga keliling A APB tidak sama dengan keliling jang diketahui.

D jika puntjaknja terletak pada titik Q jang terhadap / pada fihak lain

daripada AB, dan djika R titikpotong QB dengan l, maka: QA + QB >

RA + RB CA + CB, sehingga A AQB pun tidak memiliki keliling jang

diketahui T iap2 segitiga jang tidak samakaki, dengan alas AB dan keli

ling jang diketahui, puntjaknja lebih dekat kepada AB daripada C, se

hingga dari segitiga2 jang dimaksud diatas, A ACB lah jang terluas.

2. Diketahui segitiga ABC, siku2 pada C; Q dan R ialah projeksi2

titik P jang terletak pada AB, pada BC dan pada AC. Tentukan P pada

A B , sehingga : PQ2 + p ** minimum.

P e n j e l e s a i a n . Karena untuk tiap2 titik P pada sisi AB berlaku : P Q 2

_l_ p R 2 _ p c 2; tinggallah kita tentukan titik pada AB jang terdekat

kepada C; djadi P haruslah projeksi C pada AB, jaitu D.

3 Diketahui dua buah titik A dan B dan lingkaran (P, r); tentukan

lah pada lingkaran itu suatu titik C, sehingga harga C A2 + CB2 ekstrim.

339

P e n j e l e s a i a n . Apabila C suatu titik pada lingkaran itu dan N titik-

tengah AB, maka CN2 == £(CA2 + CB2) — J AB2, djadi : CA2 -|- CB2 =

2CN2 + \ AB2. Maka dari itu, oleh karena AB tetap,CA2 + CB2 berharga

A

Gb. 333: Minimum PQ- + PR'-. Gb. 334: Extrim CA2 + CB'-.

ekstrim,. djika harga CN ekstrim pula. Menurut dalil 60, CA2 + CB2

akan minimum, djika C berimpit dengan titikpotong D antara sinar MN

dengan lingkaran itu dan suatu maksimum, djika C berimpit dengan

titikdiametral D, jaitu D t.

Kita beri lagi beberapa tjontoh jang agak sulit.

T J O N T O H 65.

Buktikan, bahwa dari semua segitiga2 jang terlukis didalam segitiga

lantjip ABC, segitiga-titikkaki dari titiktinggilah kelilingnja jang terketjil.

B u k t i . Kita pandang dulu A PQR, segitiga2-dalam A ABC, jang titik-

sudutnja P suatu titik tetap sisi AB. Dengan mudah titik2sudut lainnja

dapat ditentukan, sehingga keliling segitiga tsb. terketjil (lihat §5 nr.

21). Untuk itu kita tentukan titik2bajangan tjermin P terhadap BC dan

AC berturut-turut, jaitu: Ps dan PB'. Sekarang, djika PaPs" memotong

sisi2 BC dan AC berturut-turut pada Sx dan S2, maka untuk Q haruslah

340 J

kita pilih S,, dan untuk R : S2. Sebab, keliling A PQR sama dengan

pandjang garispatah PaQRPs'; djadi minimal, djika Q dan R terletak

pada PSPS'. Bahwa St dan S2 benar2 terletak pada sisi2 CB dan CA di

sebabkan karena lantjipnja A ABC. Oleh karena sudut2 a dan 0 lantiip

P8,P's dan C terletak pada fihak AB jang sama, djadi diuea S dan S

Selandjutnja, ¿_ PSCP -f- ¿_ PCP'S = 2y < 180°, sehingga A ABC ter

letak didalam sudut-berat-kedalam Z PSCP'S, dan Sx dan S2 tidak mung

kin terletak pada perpandjangan2 AC dan BC atau pada C.

K ita masih harus menentukan minimum PSP 'S) djika P digerakkan

sepandjang sisi AB. Oleh karena CPS = CP = CPS' dan PSCP ' = 2 (djadi: tetap), maka PSPS' akan minimum, djika CP minimum, djadi

djika CP garistinggi C pada AB. Segitiga PQR jang terdjadi sekarang,

kelilingnja terketjil. Oleh karena kita djuga dapat mulai dari titiksudut

Q atau R, maka haruslah titik2 ini masing2 titikkaki garistinggi2 dari A

dan B, sehingga segitiga PQR ialah segitiga-titikkaki titiktinggi segitiga ABC.

D jika A ABC tumpul atau siku2, maka penurunan diatas tidak ber

laku. D jika misalnja y > 90°, maka PSP'S akan memotong perpandjang

an2 AC dan BC, atau djustru melalui C.

Dalam hal ini, djika PQR segitiga-dalam A ABC, maka keliling

PQ R = PSQ + QR + RP's > PsC + CP's, djadi > 2 CP. DjikaDpro-

jeksi C pada AB, maka tiap segitiga-dalam A ABC kelilingnja akan

lebih besar dari 2 CD. Tetapi perbedaan antara keliling ini dengan 2 CD

dapat dibuat ketjil menurut kehendak kita, dengan menempatkan P di

D, dan Q dan R tjukup dekat C. Sekarang tidak ada segitiga-dalam de

ngan keliling-minimum (ketjuali, djika A CDC jang berubah tjoraknja,

jang terdiri dari garistinggi CD terhitung lipat dua, hendak dianggap

sebagai suatu segitiga).

Kadang2, dalam mentjari harga2 ekstrim suatu

kebesaran ilmu-ukur dapat ditempuh djalan se- B

bagai berikut. D itjoba melukis gambar jang me

muat kebesaran ini, seandainja kebesaran ini ber

harga a. Selandjutnja, dari lukisan ini diturunkan

harga2 ekstrim a itu, jang masih dapat dikerdja-

kan Iukisannja;- maka harga itu pulalah harga2

ekstrim kebesaran tsb.

Tentukan dari semua segitiga, dengan a = 90°

dan garistinggi A D = t, segitiga dengan lingkaran-

dalam terketjil.

P e n j e l e s a i a n . Dilukis segitiga siku2 ABC dengan Gb• 337: M inimum r.

garistinggi t, dan djari2 lingkaran-dalam dinama

Planimetri — 22a. 341

kan r. Sisimiring merupakan garissinggung luar pada lingkaran2 (I, r)

dan (A, t). Supaja lukisan mungkin dikerdjakan, lingkaran-dalam tidak

boleh djatuh didalam lingkaran (A, t) ; sehingga haruslah r(l + \/2)

^ t, atau r > t (\/ 2 — 1). Dari sini dapat kita lihat, bahwa harga

minimum r sama dengan t(\/ 2— 1); djadi, segitiga BAC samakaki.

P e r i n g a t a n . Dari lukisan itu djuga ternjata, bahwa haruslah 2r < t,

djadi r < Tetapi ini tidak berarti, bahwa \t merupakan harga mak

simum r, karena r tidak mempunjai harga maksimum.

Djika r = \t, maka segitiga itu akan berubah tjoraknja, karena salah

satu dari titik2 sudut B dan C menghilang ke tak-terhingga; r dapat

mendekati \t dari fihak ketjil dengan tak terbatas, tetapi tak dapat

mentjapai harga \t itu sendiri.

§ 100.

Dalam menentukan ekstrim2 kebesaran jang berubah-ubah, se

ringkah dapat digunakan hasil2 dalam aldjabar dengan menguntung

kan. Akan dikemukakan disini, mana jang penting.

Aac— b2,I. Funksi kwadratis ax2 -f- bx + c berharga ekstrim — — — untuk

bx = — ^ '¡-harga ini maksimum, djika a < 0, dan minimum, djika

a > 0.

I I . Djika x -f- y = s (s suatu bilangan positif tetap), maka xy mak

simum, djika x = y.

I I I . D jika xy = p2 (p suatu bilangan positif, tetap, dan x dan y

positif), maka x + y minimum, djika x = y = p.

II dan III dapat djuga dibuktikan dengan mudah setjara ilmu-

ukur; dimisalkan, bahwa s dan p itu segment2garis jang diketahui, x

dan y segment2garis jang berubah-ubah.

II. Djika misalnja segment-garis AB = s (lihat gb. 338) maka kita

lukiskan setengah-lingkaran (P, £s) dengan AB sebagai garistengah.

C titik berubah-ubah, diantara A dan B, sehingga AC = x dan CB = y.

Djika garis tegaklurus di C pada AB memotong setengah-lingkaran tsb.

di D, maka menurut dalil 106 b: CD2 = xy, sehingga xy maksimum,

djika CD maksimum. Ini terdjadi djika C berimpit dengan P, djadi djika x = y =

342

III. Pada sebuah garis melalui M, dipasang pada kedua belah fihak

M potongan MQ = M R = p. Pada sumbu QR dipilih sebuah titik P, dan

dilukis lingkaran jang melalui Q dan R dengan P sebagai titikpusat.

B

Gb. 338: Maximum xy, d jika x + y = s.

Gb. 339: M inimum x + y, d jika xy = p2.

D jika suatu garis jang berubah-ubah melalui M, memotong lingkaran tsb.

pada C dan D, dan djika MC = x dan MD — y, maka xy = p2 dan x +

y = CD.

Sekarang, x + y akan minimal, djika CD berimpit dengan QR, oleh

karena djarak Q R ke P, terbesar, djadi djika x — y = p.

K ita berikan disini beberapa penggunaan2 jang mudah.

1. Pada kaki BC /_ A B C — 60° diketa

hui: titik D; B D = d. Tentukan pada BA titik

P, sehingga P B 2 + P D 2 seketjil-ketjilnja.

P e n j e l e s a i a n . Misalkan PB = x, maka PB2

+ P D 2 = 2x2 — dx + d2 dan menurut I, ini

akan m inimum , untuk x = %d, sehingga P te

lah tertentu letaknja pada BA.

Soal ini dapat d juga dipetjahkan dengan

sederhana setjara ilmu-ukur. D jika misalnja

M tengah2 BD, maka PB2 + PD2 = 2PM2 +

\d2 sehingga PB2 + PD2 minimal, djika PM

m in im al. D jadi, djika Q projeksi M pada BA,

P harus berimpit dengan Q; dan memanglah

BQ = ^ BM = \d. Gb. 340: PB + P D 2harus minimal.

2. Dalam A ABC dengan sudut2 a dan p lantjip, dilukis empat-

persegi-p and jang2 PQ RS . (P dan S pada AC, Q pada AB dan R pada

B C ) ; tentukan dari semua empat-persegi-pandjang ini satu jang luasnja terbesar.

P e n j e l e s a i a n . AC = b ; t garistinggi dari B ; selandjutnja PQ = x,

Q R = y. Oleh karena A Q BR co A ABC, maka y : b — (t — x ) : t,

f

343

I

djadi y = — (/b. x

x). Djika luas PQRS = L, maka L ----— (t x).

Oleh karena _ tetap, haruslah diselidiki bilamana x(t — x) maksi

mum; menurut II hal ini terdjadi, djika x = t — x, djadi x = £f.

Q dan R haruslah m asing2 terletak di-tengah2 BA danBC; begitu djuga

BC = a ; sehingga x : RC = t : a, dan y : BR = b : a, djadi L = xy =

BR.RC. Oleh karena a, b dan t tetap, haruslah BR.RC m aksim al;a2

sekarang, B R + R C = a , sehingga menurut II maksimum tertjapai, djika

R ditengah-tengah BC.

Gf>. 341: Luas P Q R S harus maximal.

3. Dari segitiga2 jang alas dan

kelilingnja diketahui, segitiga mana

kah jang terluas ?

P e n j e l e s a i a n . Penjelesaian setjara

ilmu-ukur terdapat pada hal. 339

Dengan tjara aldjabar djalannja

seperti berikut: djika c alas, 2s ke

liling dan L luas A ABC, maka L2 = s(s — a) (s — b) (s — c) ; s dan s — c

tetap. D jum lah faktor2 s — a dan s — b sama dengan c, djadi tetap ;

hasil perbanjakannja, dan djuga L, menurut II maksimal, djika mereka

sama, djadi, djika A ABC samakaki.

4. Dari semua empat-persegi-pandjang jang luasnja L diketahui,

empat-persegi-pandjang manakah jang terketjil kekelilingnja ?

P e n j e l e s a i a n . Djika suatu empat-persegi-pandjang dengan luas L

ukuran2nja x dan y, maka xy = L, sedangkan

kelilingnja sama dengan 2(x + y). Menurut

III keliling ini minimal untuk x — y, djadi dji

ka empat-persegi-pandjang merupakan bu-

djursangkar.

Hal ini dapat djuga diartikan dengan

mudah setjara ilmu-ukur; sebab, djika bu-

djur-sangkar ABCD dan empat-persegi-pan

djang AEFG luasnja sama dan K titikpotong

BC dengan FG, maka luas B EFK = luas CDGK. Karena CD > E F,

haruslah KC < KF, djadi keliling ABCD < keliling AEFG.

Seperti djuga halnja dalam aldjabar ternjatalah, bahwa sifat2 II dan

Gh. 342: Keliling A B C D < keliling A EFG .

3 4 4

I I I h a l . 3 4 2 d j u g a b e r l a k u u n t u k l e b i h d a r i d u a k e b e s a r a n b e r u b a h - u b a h

j a n g p o s i t i f d e n g a n d j u m l a h a t a u h a s i l p e r b a n j a k a n j a n g t e t a p .

Suatu penggunaan sifat ini ia lah:

5. Dari semua segitiga dengan keliling jang diketahui 2s, segitiga

samasisilah jang terluas.

P e n j e l e s a i a n . D j i k a L l u a s s e g i t i g a ABC d e n g a n k e l i l i n g 2 s , m a k a L 2 =

s(s — a) (s — b) (s — c ) , s e h i n g g a L a k a n m a k s i m a l , d j i k a ( s — a) (s— b)

(s — c) m a k s i m a l . K a r e n a d j u m l a h k e t i g a f a k t o r 2 t e t a p , j a i t u s , h a s i l

p e r b a n j a k a n n j a m a k s i m a l , d j i k a m e r e k a s a m a , d j a d i , d j i k a A ABC s a m a s i s i .

S O A L -*S 0 A L.

§ 101

1 . Tentukan dari semua segitiga dengan alas dan sudutpuntjak jang

diketahui, segitiga :

o- j a n g l u a s n j a t e r b e s a r ,

b. d e n g a n k e l i l i n g t e r b e s a r .

2 . a. Tentukan dari semua segitiga dengan dua buah sisi diketahui,

segitiga jang luasnja terbesar.

b. Diketahui suatu lingkaran (P, r) dan titik M; diminta menarik

garis melalui M, jang memotong lingkaran tsb. di A dan B, se

hingga A APB seluas-luasnja.

3. AB garistengah lingkaran (P, r) dan AC talibusur, jang membentuk

sudut 9 dengan AB; D titik-tengah busur AB, jang tidak memuat

C. Tentukan 9 sehingga : a. A ABC seluas-luasnja;

b. A ACD seluas-luasnja.

4. (a. Tentukan titik, sehingga djumlah kwadrat djarak2nja ke titik2-

s u d u t s u a t u s e g i t i g a ABC j a n g d i k e t a h u i , s e k e t j i l - k e t j i l n j a .

b. D j i k a a, b d a n c s i s i 2 A ABC, t e n t u k a n p u l a t i t i k P, s e h i n g g a :

a. PA2 + b . PB2 + c. PC2 s e k e t j i l - k e t j i l n j a .

5. Di A dan B, titik2 diametral pada lingkaran (P, r) ditariklah garis2 singgung a dan b pada lingkaran tsb. Suatu garissinggung ketiga: c,

memotong a di D dan b di C. Tentukan C, sehingga trapesium ABCD:

a. luasnja seketjil-ketjilnja;

b. kelilingnja seketjil-ketjilnja.

345

6. Peringatan kedua pada hal. 339 memberikan suatu djawaban ;

djika djawaban itu tidak diketahui, dapat penjelesaiannja dilaku

kan demikian : misalkan alas 2b, djumlah sisi2tegak 2a jang satu

a + x dan jang lain a — x. Hitunglah tingginja jang terbesar.

7. Diketahui empat-persegi-pandjang ABCD dengan sisi2 AB = a dan

BC = b. Lukislah disekeliling empat-persegi-pandjang itu suatu em

pat-persegi-pandjang jang seluas-luasnja dan njatakan luas mak

simal itu dengan a dan b.

8. Lukiskanlah dalam lingkaran (P, r) empat-persegi-pandjang,

a. jang seluas-luasnja;

b. dengan keliling jang terbesar.

9. Diketahui dua buah titik A dan B dan suatu garis Z. Tentukan

pada Z titik P, sehingga /_ APB suatu ekstrim, djika :*)

a. A dan B tidak terletak pada fihak Z jang sama,

b. A dan B terletak pada satu fihak Z.

10. Diketahui lingkaran e dan dua buah titik A dan B jang tidak ter

letak pada lingkaran itu. Tentukanlah pada e titik M, sehingga

Z AMB suatu ekstrim1),

djika : a. A didalam dan B diluar e letaknja.

b. e terletak pada satu fihak garis AB;

c. s memotong perpandjangan BA didua titik;

d. e memotong potongan-garis AB didua titik.

11. Tentukan budjur-sangkar jang terketjil, jang dilukis didalam suatu

budjursangkar jang diketahui dengan sisi a.

12. P suatu titik pada BC, alas A ABC, D dan E projeksi2 P pada garis-

sisi2 AC dan BA. Tentukan P pada BC, sehingga luas A PDE mak

simal.

•

13. a. Diketahui suatu sudut PAQ = a, dan djuga segmentgaris p.Tentukanlah titik B pada AP dan C pada AQ, sehingga luas A

ABC = p2, sedangkan BC sependek-pendeknja;

b. N jatakanlah harga minimum BC dengan p dan a;

c. Lukislah pada suatu A ABC jang diketahui, segmentgaris ter

pendek jang membagi segitiga itu mendjadi dua bagian jang

sama luasnja.

x) Dengan ekstrim dimaksudkan : ekstrim mutlak atau relatif.

346

14. D idalani suatu segitiga lantjip ABC dilukiskan empat-persegi-pan-

djang2 PQRS (P dan S pada BC, Q pada AB dan R pada AC); tentu

kanlah empat-persegi-pandjang dengan diagonal terpendek.

15. D iketahui suatu potongan-garis AB; C suatu titik padanja. Pada

satu fihak AB dilukiskan setengahlingkaran2 a, ¡3 dan y, jang garis-

tengahnja berturut-turut BC, CA dan AB. Tentukanlah C pada AB,

sehingga luas bagian bidang jang dibatasi- oleh a, (i dan y maksimal.

16. Lukiskan didalam suatu lingkaran (P, r) jang diketahui suatu segi

tiga samakaki ACB dengan puntjak jang diketahui, jaitu C, se

hingga hasil-perbanjakan ketiga sisinja sebesar-besarnja.

347

U L A N G A N U M U M

1. Diketahui sebuah budjursangkar ABCD dengan sisi a; E dan F

titiktengah2 AB dan BC, S titikpatong DE dan A F . Buktikan,

bahwa CDSF suatu segiempat-talibusur, dan njatakanlah luasnja

dengan a.

2. a. Lukiskanlah dalam suatu sektor-lingkaran suatu segitiga-saina-

sisi. Berapa banjakkah penjelesaian jang mungkin?

b. Pada lingkaran (P, r) diketahui dua buah titik A dan B (A dan

B bukan tit ik 2diametral), AB = k. Hitunglah sisi segitiga sama-

sisi, jang satu titiksudutnja ada ditengah-tengah busur terketjil

dari kedua busur AB, sedangkan titiksudut jang lain terletak

di djari-djari PA dan PB.

3. Diketahui tiga buah lingkaran C,, C2 dan C3, jang satu terletak

diluar jang lain. D im inta melukiskan suatu segitiga PQR didalam

C3, jang sudutnja P diketahui, sedangkan QR menjinggung C2 dan

P R menjinggung C3. Terutama tjarilah, berapa buah segitiga PQ R

jang memenuhi

4. Dari A ABC : y = 90°, BC = a dan AC = 2a. Buktikan, bahwa titik-

singgung lingkaran-dalam membagi sisi BC mendjadi irisan mas.

5. Buktikan, bahwa suatu segitiga salah satu sudutnja 30° (atau 150°),

djika djari2 lingkaran-luarnja sama dengan salah satu sisinja.

6. Dari trapesium ABCD (AB // CD) AC = 12V2, AD = 13, BC = 15

dan BD = 20. Hitunglah AB dan CD.

7. Diketahui tiga buah lingkaran, djari2nja sama, jang satu terletak

diluar jang lain. Lukiskanlah semua lingkaran jang menjinggung

ketiga lingkaran jang diketahui.

8. Lukiskanlah suatu lingkaran ber-djari2 r, jang memotong tegaklurus

sebuah lingkaran C dan memotong sebuah garis / dengan sudut 45°.

9. Pada lingkaran a ada empat buah titik A, B, C dan D. Melalui A

dan B dilukislah p, suatu lingkaran berubah-ubah, dan melalui C

dan D suatu lingkaran y jang menjinggung p. Tentukan tempat

kedudukan titiksinggung antara p dan y, jaitu R.

§ 102.

348

10. AB suatu garistengah lingkaran e, C dan D dua buah titik pada e,

AC dan BD berpotongan di S, AD dan BC berpotongan di T. Bukti

kan, bahwa C, D, S dan T terletak pada lingkaran 8, jang memotong

tegaklurus lingkaran e.

11. Dua garis m dan n berpotongan di S dengan sudut <p. Pada m ter

letak titik M dan pada n terletak titik N, sehingga MN = a. Garis-

tegaklurus pada m jang melalui M memotong garis tegaklurus pada

n jang melalui N dititik P. Tentukan tempat kedudukan P, djika

M dan N berubah-ubah, tetapi a tetap.

12. Didalam lingkaran (P, r) ditarik dua buah talibusur AB dan CD

tegaklurus satu terhadap jang lain, jang berpotongan didalam

lingkaran itu dititik E. Buktikan :

a. EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4r2;

b. AB2 + CD2 + 4PE2 = 8r2;

c. Selidikilah, apakah rumus ini djuga berlaku, djika E terletak

pada atau diluar lingkaran tsb.

13. Njatakanlah a, b, dan c, sisi2 A ABC dengan :

a. garisberat2 za, zb dan zc;

b. garistinggi2 /a, /b dan /c.

14. Lukislah sebuah segi-empat, djika diketahui dua buah sudut jang

berhadapan, luasnja dan kedua segment-garis jang menghubung

kan titik ztengah sisi2 jang berhadap-hadapan dua berdua.

15. Diketahui dua buah titik A dan B, lingkaran Clf C2 dan C3 dan

garis l. Lukislah suatu lingkaran X , jang membagi dua dan

a. melalui A dan B;

b. melalui A dan menjinggung /;

c. memotong tegaklurus C2 dan C3;

d. memotong l dengan sudut 30° dan berdjari-djari r.

16. a. Diketahui sebuah segilima-beraturan ABCDE dengan sisi a.

Garis2 tegaklurus di A pada AB, di B pada BC dst. merupakan

sisi2 segilima AjBjCjDj Ej . Buktikan, bahwa segilima inipun ber

aturan.

b. N jatakanlah A ^ dengan a.

c. Dengan tjara jang diberikan pada a dapatlah diturunkan sebuah

segilima A2B2C2D 2E2 dari A jB jC jD jE j, dan daripadanja A3B3C3

D 3E3 dan begitu seterusnja. Buktikanlah, bahwa dari segilima2

349

ini (termasuk ABCDE), baik djum lah. kelilingnja, maupun

djumlah luasnja mempunjai limit, dan tentukanlah lim it2 tsb.

17. Sisi2 A ABC BC, CA dan AB diperpandjang berturut-turut

dengan potongan2 CD = p, AE = q dan BF = r. D jika (P, R)

lingkaran-luar A ABC, maka buktikanlah, bahwa : 4R. luas A

D EF = aq(c + r) + br(a + p) + cp(b + q) + abc.

18. Alt Blt Cj titiktengah2 sisi2 BC, CA, AB; Z titikberat A ABC, M

sebuah titik sebarang.

a. Buktikanlah, bahwa 2 MA2 = S MAX2.+ J 2 a2.

b. Turunkanlah dari a, bahwa 2 MA2 = 3MZ2 + J 2 a2.

19. Didalam sudut X O Y , jang tidak lebih besar dari 45°, diketahui, se

buah titik A; projeksi sebuah titik P di O.Y pada O X ialah Q. Ten

tukan P, sehingga AP + PQ minimum.

20. AB ialah garistengah lingkaran (P, r) dan M sebuah titik gariste-

ngah ini.

a. D jika CD suatu talibusur jang sedjadjar dengan AB, buktikan

lah, bahwa : CM2 + DM2 = AM2 + BM2.

b. Lukiskanlah talibusur CD, sehingga CD // AB dan Z CMD

=90°.v

21. Sisi2 A ABC, ja itu a, b dan c, dalam urut-urutan ini membentuk

suatu deret-ukur, sedangkan y = 90°. Djika r, djari2 lingkaran-

dalam diketahui, lukislah A ABC.

22. Didalam A ABC dilukis sebuah lingkaran; sedjadjar dengan AB

ditariklah garissinggung pada lingkaran itu, jang memotong AC

di Ax dan BC di Bx. Didalam A AjBjC dikerdjakan hal serupa itu

pula, dst.nja. Njatakan djumlah luas semua lingkaran2-dalam jang

diperoleh dengan tjara ini (termasuk jang pertama)-dengan sisi2

A ABC, jaitu a, b dan c.

23. Tentukanlah sebuah titik didalam A ABC, sehingga hasil-perba-

njakan djarak2 dari titik itu ke-garissisi2 maksimum.

24. M dan N titik2tengah AD dan BC, jaitu sisi2 sedjadjar trapesium

ABCD. Buktikanlah, bahwa lingkaran2-titik-sembilan segitiga2

ABC, BCD, CDA dan BAD semuanja melalui satu titik P, jang

terletak pada MN.

350

25. Pada lingkaran (P, r) diketahui dua titik A dan B dan pada tali-

busur AB titik2 M dan Q, sehingga AM = MQ = QB. Sinar2 P M

dan QP memotong lingkaran itu berturut-turut di D dan E. D jika

AE = ED = D B , hitunglah pandjang AB.

26. D idalam A ABC ditariklah garistinggi2 AD, BE dan CF; T titik-

tinggi; Av Bj dan Cx titiktengah2 BC, CA dan AB, dan A2, B2 dan

C2 titiktengah2 TA, TB dan TC. D im inta membuktikan:

a. balnva garis2titikkaki A,, B2 dan C2 terhadap A DEF, mem

bentuk segitiga M QR, jang homotetis dengan A ABC;

b. bahwa garis2titikkaki Aj, Bx dan Cx terhadap A DEF tegaklurus

pada sisi2 A ABC;

c. bahwa garis2titikkaki tersebut di b melalui satu titik O;

d. bahwa, djika S titikberat A DEF, maka titik2 T, S dan O koli-

neair, sedangkan TS = 2SO.

27. a. Dengan sisi2 sebuah segi-enam beraturan sebagai sisi2, dilukis

kan budjursangkar2 jang terletak diluar segi-enam tsb. Bukti

kanlah, bahwa titiksudut2 budjursangkar2, jang bukan titik-

sudut2 segi-enam itu, ialah titiksudut2 suatu segi-duabelas

beraturan.

b. Njatakan luas segi-duabelas ini dengan sisi2 a segi-enam tsb.

28. a. Pada lingkaran-luar segi-empat talibusur ABCD terletak titik

M; d j arak2 M kegaris sisi2 AB, BC, CD dan DA berturut-turut

Pif Pz> Ps dan pA. Buktikan pxp3 = p2p4.

b. Sebutkan dan buktikan sifat jang sesuai dengan sifat diatas un

tuk suatu segi-2rc-dalam (n > 2).

c. Sebuah lingkaran menjinggung kaki2 segitiga samakaki ACB

di A dan di B. D jika M suatu titik lingkaran itu, maka kwadrat

d j arak M sampai AB, sama dengan hasil-perbanjakan djarak2

dari M sampai kedua sisi jang lain. Turunkanlah ini dari a.

d. Berikanlah pula sekali lagi bukti langsung untuk sifat tsb. di c.

e. D jika titik M terletak pada lingkaran-luar A ABC, maka hasil

perbanjakan djarak2 sampai ketiga garis-sisi2nja sama dengan

hasil perbanjakan djarak2 dari M sampai garissinggung2 di A,

B dan C pada lingkaran tsb. Buktikanlah. - ’

/. Sebutkan dan buktikanlah sifat jang sesuai 'dengan e untuk segi- n-dalam (n > 3 ) .

29. Lukislah segi-empat ABCD,. djika diketahui AC, BD, sudut2 A dan C dan sudut antara AC dan BD.

351

30. Dua lingkaran (M, R) dan (N, r) bersinggungan-luar di C. Tentukan

lah pada lingkaran jang pertama sebuah titik A dan pada lingkaran

jang kedua sebuah titik B, sehingga /_ ACB sama dengan sudut ?

jang diketahui dan luas A ABC maksimal.

31. Melalui B dan C, jaitu titiksudut2 suatu segitiga samasisi ABC di

tariklah garis2 m dan n, keduanja tegaklurus pada BC. Suatu garis

l melalui A memotong m di M dan n di Q. Tentukan tempatkedu-

dukan2 titiksudut segitiga samasisi MQR, djika Z berputar ter

hadap A.

32. Dengan sisi2 A ABC sebagai sisi2 dilukiskan keluar budjursangkar2;

buktikan, bahwa luas segitiga jang bertitiksudut pada titiktengah2

budjursangkar2 tadi sama dengan.djumlah luas A ABC dan seper

delapan djumlah luas budjursangkar2 itu.

33. P sebuah titik sebarang, S titikpotong garis2 jang menghubungkan

titik2 tengah2 sisi2 segi-empat ABCD jang berhadap-hadapan dua- 4

berdua ; a, b, c, dan d ialah sisi segi-empat tsb. e dan / diagonal2,

dan m dan n bimedian2 (segmentgaris2 jang menghubungkan titik

tengah2 sisi2 jang berhadapan). Buktikan nasabah berikut ini :

PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4PS2 + i (a2 + b°- + c2 + d2) +

\ (e2 + /2 + m2 + n2).

34. Dengan sisi2 A ABC sebagai sisi2, dilukiskan kedalam, segitiga2

samasisi BCA,, CABX dan ABCV Buktikan, bahwa :

a. AAj = BB1 = CCj ;

b. lingkaran-luar2 segitiga2 samasisi itu melalui satu titik Tx;

■c. djuga garis2 AAlf BB! dan CCX melalui Tv

35. Diketahui garis2 sedjadjar Z dan m, garis n, jang dipotongnja, dan

titik P jang tidak terletak pada Z atau m. Suatu titik A bergerak

sepandjang Z dan suatu titik B bergerak sepandjang m,'sehingga

AB j/ n. Lukiskan kedudukan2 AB, pada waktu /_ APB ektrim.

36. AA', BB ' dan CC' : garis2 tinggi segitiga lantjip ABC. (P, R) ling

karan-luar segitiga ABC dipotong oleh B'C' di Mj, oleh C 'B ' di Ma,

oleh C 'A ' di Qu oleh A'C ' di Q2, oleh A 'B ' di Rx dan oleh B 'A ' di R 2.

a. Buktikan, bahwa: AMX = AM2, BQX = BQ2 dan CRt = CR2.

b. Buktikan, bahwa AMX menjinggung lingkaran BC'M dan AM2

menjinggung lingkaran B'CM2.

c. Njatakan AMX dengan a, b, c, jaitu sisi2 A ABC.

352

d. Buktikan, bahwa AM,2 -r AM22 + BQX2 + BQ22 + CRX" -f- CR22

= 2 a-.

e. Buktikan, bahwa lingkaran2 (A, AMX) dan (B, BCJj) berpotongan

tegaklurus satu terhadap jang lain.

37. Pada sebuah lingkaran e diketahui empat titik A, B, C, dan D ;

a suat u segmentgaris. Suatu titik M pada e dihubungkan dengan

A dan B, MA dan MB memotong CD berturut-turut di titik2 K

dan L. Tentukan M pada e, sehingga KL = a.

38. a. Dalam lingkaran (M, R) dilukiskan segi-empat ABCD ; titik2

Ta, Tb, Tc, dan Td masing2 titiktinggi2 segitiga2 BCD, CDA, DAB

dan ABC ; buktikan, bahwa segi-empat TaTbTcTd ^ segi-

empat ABCD.

b. (N, R) ialah lingkaran-luar segi-empat Ta Tb Tc Td T ; S titik-

potong bimedian2 segi-empat ABCD ; P titik jang sesuai dengan

S pada segi-empat Ta Tb Tc Td ; buktikan, bahwa S dan P

terletak pada MN, dan tjarilah dengan perbandingan2 berapa

MN itu dibaginja.

c. D jika E titikpotong BC dan AD, F titikpotong AB dan CD,

dan T,, T„, T3 dan T4 masing2 titiktinggi2 segitiga2 CDE, ADF,

ABE dan BCF, maka titik2 Tx, T2, T3 dan T4 terletak pada satu

garis l dengan titiktengah MN, jaitu O. Buktikanlah.

d. D jika m garis jang melalui titik2 tengah AC dan BD, maka

buktikanlah, bahwa m melalui S dan tegaklurus pada /. Di-

manakah letak garis n jang sesuai dengan m untuk segi-empat

Ta Tb Tc Td?

e. Buktikanlah, bahwa lingkaran2-titik-sembilan ke-empat segi

tiga2 jang disebutkan dalam a, semuanja melalui O.

39. Diketahui dua buah titik A dan B dan lingkaran e. y, sebuah ek

semplar dari berkas-lingkaran dengan A dan B sebagai titikdasar2,

memotong e di C dan D. Buktikan, bahwa AC. AD : BC . BD tidak

berubah, djika y diganti dengan eksemplar lain dari berkas tadi.

40. Sebuah lingkaran (P, R) dipotong oleh suatu garis dititik-titik A

dan B. D idalam segment-lingkaran terketjil jang terpotong, di

lukiskan lingkaran2 jang menjinggung busur AB dan talibusur AB

a. Buktikan, bahwa garis jang menghubungkan titik2 singgung

lingkaran seperti ini melalui sebuah titik tetap S. *

b. Lukiskanlah lingkaran C jang memotong tegaklurus semua

lingkaran jang menjinggung busur AB dan talibusur AB.

353

c. Buktikan, bahwa pada inversi dengan C sebagai lingkaran-

inversi, gambar seluruhnja beralih kegambar sendiri.

41. a. Diketahui dua lingkaran (P, r) dan (0, R) djuga sebuah titik

A pada lingkaran pertama dan sebuah titik B pada.jang kedua.

Tentukan pada lingkaran pertama suatu titik C, dan pada

jang kedua titik D, sehingga AC // BD dan CD sama dengan

sebuah segmentgaris a.

b. Lukiskan sebuah empat-persegi-pandjang jang garis-sisinja2 ber-

turut-turut melalui A, B, C dan D jang diagonal2-nja sama

dengan sebuah segmentgaris d.

42. Diketahui dua buah lingkaran Ca dan C2 dan dua buah titik A dan

B. Lukislah lingkaran X , jang melalui A dan B, sedangkan garis

kuasa Cx dan X , jaitu m, harus menjinggung C2.

43. Tentukanlah tempatkedudukan titik2 inversi sebuah titik M jang

diketahui, terhadap tiap eksemplar sebuah berkas-lingkaran jang

diketahui sebagai lingkaraninversi.

44. AB suatu garistengah lingkaran (P, r), C sebuah titik lingkaran ini.

Dilukiskanlah keluar, pada BC dan CA, sisi2 A ABC, segitiga2

samasisi CBTj dan CAT2. Tentukan tempat kedudukan T, dan T2,

djika C berdjalan sepandjang lingkaran itu.

45. Didalam lingkaran (P, r) ditarik garistengah AB dan pada perpan-

djangan AB diambil titik C, sehingga BC = AB. Di C ditarik

garis l tegaklurus pada AC, kemudian diambillah sebuah titik M

pada l. MB memotong lingkaran sekali lagi di D, AD memotong /

di Q. QB memotong garis jang melalui M dan sedjadjar dengan

CA di R dan masih memotong lingkaran lagi di E, MB memotong

garis jang melalui Q dan sedjadjar dengan CA di S. Buktikanlah

bahwa :

a. CM . CQ tetap, kalau M berdjalan sepandjang garis / ;

b. MB : MS = DB : DS ; e. SE melalui suatu titik te tap ;

c. M, E dan A kolineair; f. D R melalui suatu titik tetap.

d. S, A dan R kolineair ;

46. Diketahui sebuah lingkaran (P) dan diluar lingkaran itu t it ik 2

A dan B. Lukiskanlah melalui A dan B suatu lingkaran (X), sehing

ga gariskuasa lingkaran2 (P) dan (X ) membagi A PAB dalam 2

bagian jang sama luasnja.

354

47. Diketahui A ABC dengan lingkaran-dalamnja (I, r), jang menjing-

gung sisi2 BC, CA dan AB berturut-turut pada titik2 D, E dan F.

D im inta melukis lingkaran, jang melalui 1, menjinggung lingkaran

(A, AF) dan memotong lingkaran2 (B, BD) dan (C, CE) dengan

sudut jang sama.

48. Diketahui 2 buah garis berpotongan, jaitu l dan m, dan sebuah

lingkaran (N, r) pada bidang Z dan m. Lukislah suatu lingkaran,

jang menjinggung garis2 Z dan m dan memotong tegaklurus ling

karan (N, r).

49. Diketahui dua buah lingkaran (M, R) dan (N, r), jang bersinggung

an luar di A (R > r). Pada garissinggung persekutuannja di A, dike

tahui titik P. Lukislah suatu lingkaran, jang melalui P dan me-

njinggung lingkaran2 jang diketahui.

50. Pada lingkaran (P, r) diketahui sebuah titik A ; garis Z, jaitu garis

singgung di A pada lingkaran tsb.; B titik diametral A. D ititik M

pada lingkaran itu ditarik garissinggung m, jang memotong l di

Q. Kemudian dilukiskan lingkaran y, jang melalui M dan menjing

gung Z di Q; T, ialah titik diametral Q pada lingkaran y. Djika

sekarang titik M berdjalan sepandjang lingkaran (P, r), diminta

membuktikan, bahwa :

a. TP = TQ ; b. kuasa B terhadap lingkaran y tetap;

c. lingkaran y menjinggung suatu lingkaran tetap.

51. Dititik-titik-sudut A ABC, jaitu A dan B, ditarik garissinggung2

pada lingkaran-luarnja (P, R ) ; garissinggung ini berpotongan di S.

Buktikan, bahwa luas A ABC : luas A BSC = b2 : a2. Garis apakah

CS itu ? D juga buktikanlah ini dengan pertolongan sinar-empat

harmonis C (KSMQ), djika K titiktengah AB dan M dan Q titik-

potong2 KS dengan lingkaran (P, R). D jika CS memotong ling-

karannja lagi di T, maka TC ialah bimedian didalam A ABT.

Buktikanlah.

52 Lingkaran2 (P, r) dan (O, R) berpotongan dititik-titik C dan C'.

Sebuah garis Z menjinggung lingkaran (P, r) di A dan lingkaran (O, R)

di B ; dy memotong Z di D ; titik E serangkai harmonis dengan D

terhadap A dan B. Buktikanlah, bahwa pusat lingkaran CDE ter

letak di PO.

53. O ialah pusat lingkaran-luar A ABC dan Z titikberatnja; r ialah

suatu segmentgaris. Dilukiskanlah lingkaran2 (A, r), (B, r) dan

355

(C, r). Kemudian dilukis ketiga lingkaran jang masing2 melalui 2

buah titiksudut A ABC dan memotong tegaklurus lingkaran jang

berpusat dititiksudut jang ketiga. Djika P, Q dan R berturut-

turut pusat2 lingkaran2 tsb. buktikan, bahwa :

a. Z titikkuasa lingkaran2 (P), (Q) dan (R) ;

b. O titikberat A PQR.

54. Diketahui lingkaran2 (M, r) dan (N, r), dan djuga sebuah titik P

diluar lingkaran2 itu. Lukiskanlah:

a. suatu lingkaran, jang melalui P dan jang menjinggung luar

kedua lingkaran ta d i;

b. suatu lingkaran, jang melalui P, menjinggung luar lingkaran

(M, r) dan menjinggung dalam lingkaran (N, r).

55. Melalui titik2 sudut A ABC, jaitu A dan C, dilukislah lingkaran a ;

kemudian melalui B dan C dilukis lingkaran /?, jang memotong

tegaklurus p. Titikpotong kedua lingkaran itu jang bukan C, di

sebut S. Tentukan tempat kedudukan S dan sudut pada perpotong

an tempat kedudukan itu dengan lingkaran luar A ABC.♦

56. Suatu berkas-lingkaran ditentukan oleh eksemplar (M, R) dan

gariskuasanja m, jang tiada bertitik persekutuan dengan (M, R ) ;

selandjutnja, diketahui sebuah lingkaran lagi, jaitu (N, r). Lukiskan

suatu lingkaran dari berkas tsb. jang membagi dua lingkaran (N, r).

57. O luas A ABC dan zc garisberat dari C. Dilukis 2 lingkaran (M)

dan (N), jang melalui C dan menjinggung sisi AB berturut-turut

di A dan B.

Buktikanlah, bahwa projeksi2 AC dan BC pada sentral MN, jaitu

A 'C ' dan B-'C', keduanja sama dengan O : zc.

58. Diketahui lingkaran (M, R) dan berkas-lingkaran B, jang ditentu

kan oleh eksemplar (N, r) dan gariskuasa m. Lukislah eksemplar B,

jang dibagi dua oleh lingkaran (M, R).

59. Lukislah A ABC, djika d ike tahu i: BC = a, garisbagi da dan

P — Y = s -

60. Diketahui garis Z, lingkaran K dan titik C, jang tidak terletak di l

ataupun di K, dan djuga sudut y. D im inta melukis A ABC, djika

A dan B harus terletak pada Z, sedangkan /_ ACB == y dan ling-

karan-luar A ABC harus menjinggung K.

356

P E L B A G A I R U M U S

pb 4- Qa ,x = ------ (rumus trapesium).

P + <7

“ ,7 ,/+ „= (Segitiga2 Pythagoras).

| + c‘ — 6* |p z=z ----- ------- (projeksi a kepada c).

o.v2 = a.,b- -f- fljC2 — (dalil Stewart).

2 _

/a = ~a ^ S(S “ 0) (S ~ b) ~ e)’ Zft2 = + c2) ~

_________ 2 __ _________d a. = v'ftc — a,a2 = V bcs(s — a);

<-'« = v ' aYa2 — b c = j ^ - ^ j V bc{c — b) (s — c).

L 2 = s(s — a) (s — ¿0 (s — c) = V.6 (2 Sa262 — 2 a4).

¿?c flftc L L

R 2U 4 L ' r s ’ ^ s ~ a'

[i.(L, C) = LP2 — /2; P l2 - R 2 — 2/?r; P Ia2. = R 2 + 2Rr&;

N 1 = $R — r; N la = i R + ra.

Dalam pembanding ber-turut2 irisan m a s ; pemb. terk. dan p.t.

a; fa2; f2a; /2 + / = 1 a; Y>a (— 1 + V5); yza (3 — y/5)

p ad + bcpq — ac + bd (Ptolemaeus), — = -------,F/ V q ab + cd

pq < ac + bd (bukan segiempat talibusur).

L2 = (s _ 0) (S _ C) (5-tf); R = (ac + M ) ( a t f+ ^

4L

s3 — R\/3 s4 = R V 2 55 = 10— 2\/5

se = # s8 = R V 2 - V 2 s10 = i/2/?( — i + y'S)

«i2 = ^ /? (a /6 — \/2) ■ d5 = Y zR V 10 + 2 y /5 ■

«15 = M ^ ( V 10,+ 2 V 5 + V 3 — V 15)

S3 = 2R\/3 S4 = 2/? S6 = 2/? __2 i/5

S6 = 2/3/?V3 S , = 2R(\/ 2 — l) S10 = 2/jR\/ 25 — T05 '

S „ = 2tf(2 — V3)

357

S2n = ^ 2/?2— R V' 4/?* — Sn2 = V R (R + i/2sn) — V R ( R — % sn) ;

Sn = W 4 / ? 2- s 22n; Sn = - i - nR ; Sn = j £ ° g _ •/? V 4/?*-S2n n V 4/?2 + 52

e _ ____ 2gn/? ; c _ 8_s2n /?2 -20 2/? + V 4/?2 + 52n n 4/?2 — S22n"

L = {n. /?d = y2n . psn.

Keliling lingkaran = '2 tc R ; luas lingkaran = k R2;

n = 3,141 592 6536 ; J _ = 0,318 310.TC

, j . , 18021 radial = ----= 57°17'45".

7t

(a + b) (c + d) = 2(ab + cd) (relasi2 harmonis).

\m\ .A B O A ' . O B'

O A O B = ~~\m\----B ^ arak titika invers).

358

B A B § I s i B u k u

I 1— 5 L u k is a n ..................................................

II 6— 12 Tem pat k e d u d u k a n ...........................

13 U la n g a n p e r t a m a .................................

I II 14— 22 Perbandingan segmentgaris. Lurus.

IV 23— 29 Perbandingan seharga antara seg

m entgaris...........................................

V 30— 34 Memperbanjak bangun ................

VI 35— 40 Hal sebangun........................................

V II 41— 46 Dalil Menelaos dan C eve .................

V III 47— 52 Hal menghitung segmentgaris. Lu

kisan....................................................

53 U la n g a n k e d u a ....................................

IX 54— 59 Mengukur sudut dengan busur

lin g k a ra n ..........................................

X 60— 67 Relasi antara segmentgaris ber

hubung dengan lingkaran . . . .

XI 68— 71 Segibanjak be ra tu ran .......................

X II 72— 75 Lingkaran. Luas dan pandjang . .

76 U la n g a n k e t i g a .......................... . . .

X III 77— 84- Garis kuasa. Berkas lingkaran . .

X IV 85— 89 Inversi...................................................

XV 90—93 Soal persinggungan Apollonius . . .

XV I 94—98 Letak harm on is ................................

X V II 99— 101 Maximum dan m in im a ...................

102 U la n g a n u m u m ...................................

Halaman Dalil Gambar Lukisan Tjontoh

j 13— 27

| 28— 46

_ 1— 13

14—27

1— XI I I 1—3

4— 10

j 47— 51

52— 72 68— 80 28—55 X IV 11— 15

73— 99

100— 114

115— 133

134— 150|

81— 89

90

91— 101

102— 105

56— 93

94— 110

111— 126

127— 149

XV — X V III

X IX

16—23

24— 30 .

31 — 36 '

37

151— 174 106— 111 150— 180 X X , X X I 38— 43

175— 181 — — — —

182— 205. 112, 113 181—203 X X I I 44—49

206— 230

230— 240

241— 251

114— 116

117— 122

123— 127

204—230

231 —243

244—250

X X II I , X X V 50—55

252— 259

260— 283

284— 303

304— 322

323— 337

338— 347

128— 137

138— 141

142, 143

144— 150

252—373

274— 294

295—309

310— 330

331—242

X X V

X X V I

56— 59

60—62

63, 64

65

348— 356i1

—

&Í.

ö«Bfut?di0d/!jeqiuay, *jö^

& £ .

LL

u-

Perpustakaan UI

T r o r ^ ? t J e t a k oleh K Q L F j .-' D JA K A R T A

Documents

Planimetri untuk kursus Bl dan Bll ilmu pasti disadur dari vlakke