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Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio
Curso de Licenciatura em Matemática
PLANO DE AULA
1 IDENTIFICAÇÃO:
Escola: Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado Sombrio
Município: Sombrio
Disciplina: Matemática
Ano: 1º ano
Nível: Ensino Médio
Professores: Rabechy Machado Rodrigues e Thiano Trajano Lopes
Tempo estimado: 12 períodos (47 minutos cada)
2 TEMA:
3 CONTEÚDO: Função de primeiro grau.
4 JUSTIFICATIVA:
O conteúdo de funções é um conteúdo abrangente, e por conta disso
frequentemente os alunos apresentam dificuldades no seu aprendizado. Segundo os
parâmetros curriculares nacionais, não apenas se tratando do conteúdo específico de
função, mas como um todo, orienta-se trabalhar a matemática de forma integral.
Devemos observar que uma parte importante da Trigonometria diz respeito
às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial
progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que
particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em
Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções
correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas
podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o
enfoque algébrico que é feito tradicionalmente. (BRASIL, 1997, p. 43)
Portanto, o foco das orientações dos PCN’s apoia-se na ideia de que o aluno
deve adquirir uma flexibilidade para trabalhar com o conceito de funções, devido a suas
várias relações com outros conteúdos e até mesmo disciplinas. Pode-se dizer, então, que
o conteúdo de funções é muito importante para a matemática, e deve ser trabalhado
sempre de forma a instigar os alunos a construir seu conhecimento.
Os parâmetros curriculares nacionais
5 OBJETIVOS:
a) Traduzir situações-problema em funções de primeiro grau.
b) Diferenciar os diferentes casos particulares das funções de primeiro grau.
c) Representar graficamente uma função de primeiro grau.
d) Identificar se a função de primeiro grau é crescente ou decrescente.
e) Calcular as inequações apresentadas.
f) Representar graficamente nas retas reais o estudo dos sinais das
inequações.
6 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS:
Equações do 1o grau, operações com frações, operações com polinômios.
7 ESTRATÉGIAS:
7.1 RECURSOS:
Quadro, pincel, computador com software de geometría dinámica.
7.2 TÉCNICAS:
Aula expositiva e dialogada, com auxílio de softwares de geometria dinâmica.
8 PROCEDIMENTOS:
8.1 PROBLEMATIZAÇÃO:
O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro
município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A
primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de
R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km (n), acrescidos de
um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentaram o mesmo padrão de
quantidade de serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do
ponto de vista econômico, qual equação possibilitará encontrar a extensão da rodovia
que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas
apresentadas?
8.2 HISTORICIZAÇÃO:
O saber matemático formalizado que atualmente conhecemos e divulgamos em
nossa prática docente, não foi construído de uma hora para outra, em um momento
único e isolado. As necessidades do homem, com os mais variados propósitos, fizeram
dela, através dos tempos, um estudioso dos problemas naturais, bem como de suas
causas e efeitos.
O conceito de função, tal qual o concebemos hoje, não fugiu a essa regra. Esse
conceito possui notável relevância na formação matemática de qualquer cidadão atuante
na sociedade contemporânea. Na linguagem do dia-a-dia é comum ouvirmos frases
como: “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. Não é raro
também abrirmos revistas e jornais e encontrarmos gráficos, sobre os mais variados
assuntos, mostrando a dependência entre os fatores em estudo.
A ideia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação
por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. No entanto
essa forma de representação não foi sempre assim. O conceito de função sofreu várias
interpretações até chegar ao modernamente utilizado.
8.3 OPERACIONALIZAÇÕES DAS AULAS:
8.3.1 Primeira aula (2 períodos):
Em primeiro momento, inicia-se a aula explicando o que é uma função de
primeiro grau com um exemplo que possibilite os alunos a construir uma fórmula do
tipo 𝑎𝑥 + 𝑏. Então, explicar que isso é uma função de primeiro grau, ou seja, é uma
função 𝑓: ℝ → ℝ que associa todo número 𝑥 a um número real 𝑎𝑥 + 𝑏, sendo 𝑎 ≠ 0.
Explicar então, o que é domínio e imagem, e consequentemente o que significa 𝑓: ℝ →
ℝ.
Então, explicar-lhes que o formato 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 se chama fórmula geral da
função de primeiro grau, e que necessariamente temos que 𝑎 ≠ 0, pois se 𝑎 = 0, temos
uma função constante, ou seja, não existem variáveis e para todo valor de 𝑥 temos um
mesmo valor para 𝑦, que é o termo 𝑏 da função.
Também explicar que 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Em primeiro momento talvez se perguntem o
porquê disso, então explica-se que futuramente será estudado os números complexos, e
não se pode trabalhar funções da mesma forma com números complexos.
Explicar então, que o elemento 𝑎 da função é chamado coeficiente angular e o
elemento 𝑏 é chamado coeficiente linear. Também explicar que o coeficiente angular é
o que determina se a função será crescente ou decrescente, sendo crescente se 𝑎 > 0 e
decrescente se 𝑎 < 0, porém, avisá-los que isso será melhor trabalhado junto ao gráfico,
futuramente.
Por fim, mostrar que existem casos particulares de função do primeiro grau, que
é a função linear, quando 𝑏 = 0, a função identidade, que é uma função linear de forma
𝑓(𝑥) = 𝑥, ou seja, com 𝑏 = 0 e 𝑎 = 1, e por fim a função constante, que tem forma
𝑓(𝑥) = 𝑏, ou seja, 𝑎 = 0. Então, entregar uma lista de exercícios para ser resolvida em
casa, referente a essa primeira parte introdutória do conteúdo (anexo I).
8.3.2 Segunda aula (1 período):
Nesta aula, explicar o que é o zero da função de primeiro grau, sendo o valor de
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 que zere a função. Ou seja, o valor de 𝑥 que tenha como imagem 0.
Então, explicar o porquê da fórmula 𝑥 = −𝑏
𝑎, mas também os lembrar que isso é tudo
interpretativo, e que eles não precisam se ater a essa fórmula.
8.3.3 Terceira aula (2 períodos):
Nesta aula, será explicado tudo relacionado aos gráficos de funções de primeiro
grau. Mostrar, preferencialmente, com a ajuda de um software, para passar mais
segurança aos alunos, assim como trabalhar de forma mais flexível de acordo com as
necessidades. Explicar, então, que o gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta
não paralela ao eixo das abscissas e das ordenadas (desde que 𝑎 ≠ 0), e o zero da
função, trabalhado na aula anterior, é o ponto onde a reta intercepta o eixo das
abscissas, assim como o 𝑏 é o ponto onde o a reta passa no eixo das ordenadas.
Explicar, então, que o gráfico de uma função de primeiro grau pode ser feito a
partir de dois pontos da função, ou seja, desde que haja a ordem da função, pode-se
achar dois pontos (𝑥, 𝑦) quaisquer no plano cartesiano, e então traçar uma reta passando
por esses dois pontos.
Agora, para o processo inverso, quando se tem o gráfico de uma função de
primeiro grau e o que queremos é a ordem da função, novamente precisamos de dois
pontos. Com esses dois pontos (𝑥, 𝑦), pode-se substituir os valores na forma geral da
função de primeiro grau, e então resolver um sistema para achar os coeficientes 𝑎 e 𝑏.
Por exemplo, se temos os pontos (−1, −6) e (3, 2) , podemos montar duas
equações: −6 = −𝑎 + 𝑏 e 2 = 3𝑎 + 𝑏. Com essas equações, é possível resolvermos um
sistema de equações, e achar os coeficientes da função, montando assim a ordem dela.
8.3.4 Quarta aula (1 período):
Nesta quarta aula, faz-se a análise de função crescente e decrescente, dessa vez a
partir dos gráficos, explicando que graficamente, se a reta estiver inclinada para baixo,
tem-se uma função decrescente, e se estiver inclinada para cima tem-se uma função
crescente. Também explicar graficamente o que significa ser uma função linear, ou seja,
a reta passar pela origem, e o que significa ser função constante, que é relacionado a ser
uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas e paralela ao eixo das abscissas (para todo
𝑥 mantém um mesmo valor 𝑦).
Explicar então o que é taxa de variação média. Sendo X1 e X2 dois elementos do
domínio de uma função, e X2 > X1, a taxa de variação média da função em relação a x
pode ser expressa pelo quociente 𝐴
𝐵=
Y2−Y1
X2−X1, que pode ser simplificada de forma a restar
𝐴
𝐵= 𝑎 , ou seja, o coeficiente angular é a taxa de variação de uma função. Então,
entregar uma lista de exercícios referente aos conteúdos envolvendo zeros da função e
análise e construção gráfica (anexo II).
8.3.5 Quinta aula (2 períodos):
Nesta aula, primeiramente será explicado aos alunos sobre o estudo do sinal nas
funções de primeiro grau. Trata-se de encontrar o zero da função, e de acordo com o
coeficiente 𝑎, ou seja, se a função é crescente ou decrescente, encontrar para quais
valores de 𝑥 a função tem imagem positiva, negativa ou zero. Se a função for crescente,
qualquer 𝑥 > −𝑏
𝑎 terá valores positivos, e terá valores negativos para qualquer 𝑥 < −
𝑏
𝑎.
Já na função decrescente é o contrário, a função terá valores positivos para qualquer
𝑥 < −𝑏
𝑎, e terá valores negativos para todo 𝑥 > −
𝑏
𝑎.
Após o estudo do sinal, iniciar o conteúdo de inequações. Explicar que as
inequações de primeiro grau, apresentadas no formato 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0, por exemplo, nada
mais são do que determinar para quais valores de x a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 tem
imagem maior que zero. Então, junto ao estudo do sinal estudado a pouco, resolver
exemplos de inequações, verificando nos gráficos a veracidade dos resultados, etc.
8.3.6 Sexta aula (1 período):
Nesta aula, apresentar sistemas de inequações. Se tivermos duas inequações, por
exemplo: 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 e 𝑐𝑥 + 𝑑 < 0 , devemos buscar separadamente a resolução de
ambas inequações, chegando assim a dois intervalos diferentes em que a afirmação é
verdadeira. Após isso, para que tenhamos um 𝑥 que satisfaça ambas inequações, é
preciso fazer a intersecção dos conjuntos verdade encontrados, para que então
encontremos uma resposta para o sistema. Representar os conjuntos verdade na reta
real, para que haja um melhor entendimento dos alunos, e que eles consigam visualizar
melhor a intersecção.
8.3.7 Sétima aula (2 períodos):
Na sétima e última aula de conteúdo, apresentar aos alunos sobre inequação-
produto, que é uma desigualdade do tipo 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) > 0. Para resolver, estuda-se o
sinal de ambas funções, de forma a determinar em qual intervalo elas são positivas ou
negativas. Feito isso, fazer uma comparação na reta real mostrando os intervalos em que
os sinais são iguais ou diferentes. Por exemplo, se uma inequação-produto ter ambos
termos positivos ou negativos em um intervalo, quer dizer que naquele intervalo
qualquer valor produzirá valores maiores que zero. Cabe então aos alunos identificar
quais são os intervalos que eles precisam para satisfazer a inequação-produto, e isso
nada mais é que multiplicar os sinais encontrados nos intervalos, de forma a achar em
qual (is) intervalo (s) a inequação-produto é verdadeira.
Por fim, explicar sobre a inequação-quociente, que é basicamente igual a
inequação-produto, sendo que a única coisa que difere é que o denominador da
inequação-quociente não pode zerar, excluindo o valor do domínio. Então, entregar uma
lista de exercícios para ser feita em casa pelos alunos, referente a todo o conteúdo
envolvendo inequações (anexo III).
8.3.8 Oitava aula (1 período):
Nesta última aula, será aplicado um trabalho de revisão para a avaliação (anexo
IV). Esse trabalho engloba todos os últimos 11 períodos de conteúdo até então, e deverá
ser entregue ao professor antes do término da aula. Ele terá peso 2 e a avaliação que
será aplicada nos próximos 2 períodos terá peso 8. O trabalho será feito individual com
consulta. Após isso, encerra-se a aula.
9 AVALIAÇÃO:
A avaliação se dará de forma contínua e processual, visto que a avaliação deve
ser um instrumento de acompanhamento pedagógico a ser utilizado pelo professor de
forma mais complexa do que a simples dinâmica de medir o conhecimento do aluno
atribuindo-lhe valor. Também, ao final do conteúdo, será aplicado além do trabalho uma
avaliação individual.
9.1 CRITÉRIOS:
Os critérios serão a participação do aluno em sala de aula, a assiduidade dele,
seu interesse em buscar conhecimento e também o respeito com o professor e demais
colegas, além de apresentar ter aprendido corretamente os conteúdos.
8.2 INSTRUMENTOS:
Os instrumentos serão a observação constante do professor, além do trabalho
que será aplicado antes da avaliação, e a avaliação que será feita posteriormente.
Também nota-se o desempenho dos alunos nas listas de exercícios, pois com elas, os
alunos podem além de revisar o conteúdo, descobrir em que áreas estão com
dificuldades e assim procurar auxílio do professor.
10 REFERÊNCIAS:
SILVA, Claudio Xavier da; BARRETO, Benigno Filho. Matemática aula por aula. – 2.
ed. renov. – São Paulo: FTD, 2005.
Anexo I
Lista de exercícios – 01
1. Analisando as funções abaixo, definir qual o valor 𝒂 e o 𝒃 de cada uma delas:
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 7
b) 𝑓(𝑥) = −7𝑥 −5
4
c) 𝑓(𝑥) = 16𝑥
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 18
2. Determinar se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes em função do
seu coeficiente 𝒂:
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 8
b) 𝑓(𝑥) = −1
2𝑥 − 5
c) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4
d) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 6
3. Classificar as funções abaixo como função linear, identidade ou constante:
a) 𝑓(𝑥) = 9
b) 𝑓(𝑥) = 11𝑥
c) 𝑓(𝑥) = √17
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥
e) 𝑓(𝑥) = 19𝑥
Anexo II
Lista de exercícios - 02
01. (UNIFOR) A função 𝑓, do 1° grau, é definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑘. O valor de 𝑘
para que o gráfico de 𝑓 corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02. (UFF) O gráfico da função 𝒇 está representado na figura.
a) Determine o domínio de 𝒇.
b) Determine a imagem de 𝒇.
c) Analise o crescimento e decrescimento da função.
d) Determine os intervalos onde 𝑓 > 0, 𝑓 = 0 e 𝑓 < 0.
03. (FGV) O gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 passa pelos pontos (−1,3) e (2,7). O
valor de 𝒂 vale:
a) 5
3 b)
4
3 c) 1 d)
3
4 e)
3
5
04. Determine a função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, sabendo que 𝑓(1) = 5 e 𝑓(– 3) = – 7.
Faça o gráfico da função.
05. Determinei a lei que define a função
representada no gráfico a seguir:
Anexo III
Lista de exercícios – 03
01. (UFPI) A função real de variável real, definida por 𝒇(𝒙) = (𝟑 – 𝟐𝒂)𝒙 + 𝟐, é
crescente quando:
a) 𝑎 > 0 b) 𝑎 <3
2 c) 𝑎 =
3
2 d) 𝑎 >
3
2 e) 𝑎 < 3
02. Resolva as inequações a seguir:
a) −4𝑥 − 1 < 0
b) 2𝑥 − 3 ≥ 𝑥
c) 𝑥 + 2 > 0
d) 3𝑥 + 5 ≤ 2
03. Resolva os sistemas de inequações a seguir:
a) {3𝑥 − 2 ≥ 7
−4𝑥 − 8 < 0
b) – 𝑥 + 4 < 𝑥 + 2 < 3𝑥 − 2
c) {−3𝑥 + 5 ≤ 02𝑥 − 5 < 𝑥
04. Resolva as inequações-produto a seguir:
a) (𝑥 − 3) . (𝑥 + 6) > 0
b) (3𝑥 − 12) . (−2𝑥 + 6) ≥ 0
c) (4𝑥 − 2) . (−3𝑥 + 1) . (𝑥 + 5) ≥ 0
05. Resolva as inequações-quociente a seguir:
a) 𝑥−2
𝑥−3 ≥ 0
b) 3𝑥−2
𝑥−1≤ 0
05. Entre as opções a seguir, qual é a que melhor representa a idade de Maria?
Ana tem duas vezes a idade que Maria terá daqui a dez anos, entretanto,
a idade de Ana não supera o quádruplo da idade de Maria.
a) A idade de Ana é maior que a idade de Maria.
b) A idade de Maria é menor que a idade de Ana.
c) A idade de Ana é maior que 10 anos.
d) A idade de Maria é maior que 10 anos.
e) A idade de Maria é menor que 10 anos.
06. Uma empresa que trabalha com cadernos tem gastos fixos de R$400,00 mais o custo
de R$3,00 por caderno produzido. Sabendo que cada unidade será vendida a R$11,00,
quantos cadernos deverão ser produzidos para que o valor arrecadado supere os gastos?
a) 50 cadernos
b) 70 cadernos
c) 90 cadernos
d) A arrecadação nunca será superior
e) Os gastos nunca serão superiores
Anexo IV
Trabalho sobre funções do primeiro grau
Nome: __________________________________________ Data: __________
01. Analisando o gráfico a seguir responda as seguintes questões:
a) Determine a lei da função;
b) Determine o domínio e a imagem da
função;
c) Classifique a função como crescente ou
decrescente;
d) Calcule 𝑓(2) + 𝑓(5)
02. Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 4 e classifique como crescente ou
decrescente.
03. Uma loja compra um pacote de mercadorias do distribuidor pelo valor de
R$300,00 e é informado que o gerente de vendas pretende vender cada unidade por
R$5,00. Com isso podemos afirmar que o lucro final desta empresa será dado em
função das x unidades vendidas. Responda:
a) Qual a lei de formação desta função?
b) Qual será o intervalo dos valores de 𝑥 em que teremos 𝑓(𝑥) < 0?