Planos de R3 Ejercicios resueltos página 139, 140 y 141

Universidad Nacional de Luján Departamento de Ciencias Básicas Matemática 1 (10025)

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Planos de R3

Ejercicios resueltos página 139, 140 y 141.

1. Escribir las ecuaciones paramétricas del plano del espacio xyz que pasa por el punto

P = (-1,0,3) y es paralelo a las rectas X = (1,3,2) + t(1,1,1), X = (-2,0,2) + t(3,-2,-1)

El plano cuyas ecuaciones paramétricas queremos escribir es paralelo a la recta:

X = (1,3 ,2) + t(1,1,1), por lo tanto es también paralelo a su vector director (1,1,1)

Y es también paralelo a la recta: X = (-2, 0,2) + t(3,-2,-1), por lo tanto es también paralelo a su vector

director (3,-2,-1). Tenemos entonces dos vectores paralelos al plano: A= (1,1,1) y

B= (3,-2,-1) que, además, no son paralelos entre sí (no son múltiplos escalares uno del otro), los

podemos utilizar como vectores directores del plano. Como sabemos que el plano pasa por el punto

P= (-1,0,3), ya podemos escribir una ecuación vectorial del mismo:

Sabemos que una ecuación vectorial de un plano se escribe así

X = P + u A + v B

Reemplazando:

X = (-1, 0,3) + u (1, 1,1) + v (3,-2,-1) , con u,v Є 𝑹

Esta es una igualdad entre dos vectores de R3, resolviendo las operaciones del segundo miembro y

recordando que X = (x,y,z) es un punto cualquiera del plano, se puede escribir así:

(x,y,z) = (-1+u +3v, u – 2v, 3 + u – v)

Que se convierte en tres igualdades escalares (numéricas) igualando componente a componente:

x = -1 + u + 3v

y = u – 2 v

z = 3 + u – v con u,v Є R

Estas son las ecuaciones paramétricas del plano pedido

En el siguiente gráfico se muestran los vectores directores de las rectas paralelas al plano pedido:

A = (1,1,1) y B = (3,-2,-1), vectores no paralelos entre sí que generan el plano :

X = u(1,1,1) + v(3,-2,-1) que pasa por el origen y que, trasladado por el vector P = (-1,0,3) genera el

plano pedido: X = (-1,0,3) + u(1,1,1) + v(3,-2,-1) y cuyas ecuaciones paramétricas son:

x = -1 + u + 3v

y = u – 2 v

z = 3 + u – v con u,v Є R

(se muestran el eje “x” en rojo, el eje “y” en verde y el eje “z” en azul)


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2. Escribir la ecuación cartesiana del plano del ejercicio 1

Comencemos buscando el vector normal N, recordemos que este vector es ortogonal o

perpendicular a los dos vectores directores , por lo tanto perpendicular al plano.

Por lo tanto hallaremos el producto vectorial de 𝐴 = ( 1, 1, 1) 𝑦 𝐵 = ( 3, −2,−1)

𝑁 = 𝐴 𝑋 𝐵 = |𝐸1 𝐸2 𝐸31 1 13 −2 −1

| = 𝐸1(−1 + 2 ) − 𝐸2(-1 -3) +𝐸3( −2 − 3) = ( 1, 4, −5)

Luego reemplazamos N en la ecuación cartesiana del plano:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, obtenemos

𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 + 𝑑 = 0

Falta calcular d, para ello reemplazamos x, y, z por el punto 𝑃 = (−1,0, 3) que es uno de los datos.

Resulta,

−1 − 15 + 𝑑 = 0, de donde 𝑑 = 16

Entonces la ecuación cartesiana del plano es :

𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 + 16 = 0 o lo que es lo mismo 𝑥 + 4𝑦 − 5 = −16

También podríamos usar como estrategia para encontrar la ecuación cartesiana del plano, la

eliminación de los parámetros 𝑢 y v

A y B son vectores anclados

en el origen


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Para ello pasamos de las ecuaciones paramétricas de un plano de ℝ3 a su ecuación cartesiana

eliminando los parámetros (tenemos tres ecuaciones paramétricas con dos parámetros):

x = -1 + u + 3v

y = u – 2 v

z = 3 + u – v con u,v Є 𝑅

De la segunda ecuación podemos despejar la “u”:

u = y + 2v

Reemplazamos en alguna de las otras dos ecuaciones, por ejemplo en la tercera:

z = 3 + (y + 2v) –v

z= 3 + y + v

De donde despejamos la “v”:

v = z – y – 3

Reemplazamos ahora “u” y “v” en la primera ecuación:

x = -1 +(y + 2v) + 3(z – y – 3) = -1 + y + 2v + 3z – 3y -9 = -10 - 2y + 2v + 3z

Es decir:

x = -10 - 2y + 2v + 3z

Reemplazando en esta última ecuación la “v” por su expresión:

x = -10 – 2y + 2(z – y – 3) + 3z

Aplicando la propiedad distributiva y reordenando, nos queda:

x + 4y – 5z = -16 que es la ecuación cartesiana del plano dado

de manera que el plano pedido en el ejercicio 1 se puede expresar con su ecuación vectorial:

X = (-1,0,3) + u(1,1,1) + v(3,-2,-1), u,v Є 𝑹

con sus ecuaciones paramétricas:

x = -1 + u + 3v

y = u – 2 v

z = 3 + u – v con u,v Є 𝑹

o con su ecuación cartesiana:

x + 4y – 5z = -16

3. a) Investigar si los cuatros puntos P1 = (1,0,0), P2 = (0,1,-1), P3 = (0,2,1) , P4 = (1,1,2) son coplanares.

b) Verificar que las rectas r1 : x = 1-t, y = 2t, z = t, y r2 : x = t, y = 1-t, z= -1+t, son coplanares y escribir

la ecuación vectorial del plano que las contiene.

a) Para ver si cuatro puntos son coplanares, construimos con ellos tres vectores y nos fijamos si esos

vectores son coplanares (tres vectores son coplanares cuando el producto mixto entre ellos da cero,

pág 120):


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P1P2 = P2 – P1 = (0,1,-1) – (1,0,0) = (-1,1,-1)

P1P3 = P3 – P1 = (0,2,1) – (1,0,0) = (-1,2,1)

P1P4 = P4 – P1 = (1,1,2) – (1,0,0) = (0,1,2)

P1P2ˑ( P1P3 × P1P4) = |−1 1 −1−1 2 10 1 2

| = −1(4 − 1) + 1(2 + 1) = −3 + 3 = 0

Luego, los puntos P1, P2, P3 y P4 son coplanares.

b) Para ver si dos rectas son coplanares elegimos arbitrariamente dos puntos de cada recta y nos

fijamos si esos cuatro puntos son coplanares (pág 138, ejemplo 27):

En r1 : x = 1-t, y = 2t, z = t , dándole valores arbitrarios al parámetro “t” obtenemos puntos de la

recta:

Si t = 0 entonces x =1, y = 0 , z = 0, es decir, A = (1,0,0) es un punto de r1

Si t = 1 entonces x = 0, y = 2, z = 1, es decir, B = (0,2,1) es otro punto de r1

Hacemos lo mismo en r2 : x = t, y = 1-t, z= -1+t

Si t = 0 entonces x = 0, y = 1, z = -1, es decir, C = (0,1,-1) es un punto de r2

Si t = 1 entonces x = 1, y = 0, z = 0, es decir, D = (1,0,0) es otro punto de r2

Aquí podemos notar que las rectas r1 y r2 tienen un punto en común : A = D = (1,0,0) y esto nos

alcanza para afirmar que las dos rectas dadas son coplanares:

Si dos rectas tienen un punto en común puede ocurrir que tengan otro en común y, por lo tanto,

sean coincidentes. En tal caso hay infinitos planos que las contienen, tomemos uno de ellos y

podremos decir que ambas rectas están en un plano, luego son coplanares.

Si dos rectas tienen un punto en común y sólo un punto en común, tomando un punto diferente en

cada recta tendremos un plano determinado por esos tres puntos (el común y los otros dos

diferentes, uno en cada recta), que no están alineados ya que las dos rectas no son coincidentes.

Ambas rectas están en dicho plano, ya que el plano contiene, respectivamente, dos puntos distintos

de cada recta, luego contiene a las dos rectas, luego las dos rectas son coplanares.

Supongamos que no teníamos presente esto último y proseguíamos con el método tal como lo

hicimos en a), es decir, con los cuatro puntos obtenidos (dos distintos de cada recta) generamos tres

vectores y luego nos fijamos si esos vectores son coplanares:

AB = B – A = (0,2,1) – (1,0,0) = (-1,2,1)

AC = C – A = (0,1,-1) – (1,0,0) = (-1,1,-1)

AD = D – A = (1,0,0) – (1,0,0) = (0,0,0)

𝐴𝐵ˑ(𝐴𝐶 × 𝐴𝐷) = |−1 2 1−1 1 −10 0 0

| = 0

(no necesitamos calcular el valor del determinante, sabemos que da cero ya que es el determinante

de una matriz que tiene una fila de ceros)


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Como el producto mixto da cero, los tres vectores son coplanares, por lo tanto los cuatro puntos A, B,

C y D son coplanares y las rectas r1 y r2 también lo son.

Para escribir la ecuación del plano que contiene a las rectas r1 y r2 tomamos tres puntos no alineados

de él, aprovechamos lo que ya hicimos, esos puntos pueden ser A = (1,0,0), B = (0,2,1) y C = (0,1,-1):

Con esos tres puntos generamos dos vectores: AB = (-1,2,1) y AC = (-1,1,-1), que no son paralelos

(¿por qué?). Luego, una ecuación vectorial del plano que contiene a las rectas r1 y r2 es:

X = (1,0,0) + u(-1,2,1) + v(-1,1,-1) , u,v Є 𝑹

Visualizamos lo que hemos obtenido en un gráfico con el Geogebra:

4. Escribir la ecuación cartesiana del plano determinado por los puntos P = (1, 0, 0) Q=(0,1,0)

R=(0,0,1)

Con tres puntos es fácil encontrar la ecuación vectorial del plano X = P + u A + v B , u,v Є 𝑹

Donde P es un punto de paso, A y B vectores directores (no paralelos anclados en el origen)

Entonces podemos encontrarlos haciendo:

A = PQ = Q – P = (0, 1, 0) – (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)

B = PR = R – P = (0, 0, 1) – (1 ,0 ,0) = (-1, 0, 1)

Por lo tanto la ecuación vectorial es X = (1, 0, 0) + t (-1, 1,0) + s (-1, 0,1)


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Ahora bien, para la ecuación cartesiana 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 necesitamos un punto de paso (que

podemos utilizar P o cualquiera de los tres puntos dados) y el vector normal N cuyas coordenadas

son (𝑎, 𝑏, 𝑐)

Encontramos N haciendo A x B =|𝐸1 𝐸2 𝐸3−1 1 0−1 0 1

| = 𝐸1 |1 00 1

| − 𝐸2 |−1 0−1 1

| + 𝐸3 |−1 1−1 0

|

Resolviendo cada determinante nos queda:

= (1, 0, 0) . 1 – (0,1, 0). (-1) + (0, 0 ,1) 1

= (1, 0, 0) – (0,-1,0) + (0,0,1)

= (1, 1,1)

Reemplazando en la ecuación cartesiana: (𝑥 , 𝑦, 𝑧) por P= (1, 0, 0) y N = (1, 1,1) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) podemos

encontrar el valor de 𝒅

𝟏. 𝟏 + 𝟏. 𝟎 + 𝟏. 𝟎 + 𝒅 = 𝟎

De donde 𝟏 + 𝟎 + 𝟎 + 𝒅 = 𝟎 o sea 𝟏 + 𝒅 = 𝟎 despejando 𝒅 = −𝟏

La ecuación cartesiana pedida es 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟏 = 𝟎 o 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏

También podemos usar la siguiente expresión para obtener la ecuación cartesiana (ver página

121)

𝑋ˑ𝑁 = 𝑃ˑ𝑁

(𝑥, 𝑦, 𝑧)ˑ(1,1,1) = (1,0,0)ˑ(1,1,1)

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏


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5. Hallar la recta de R3 que pasa por el origen y es normal al plano z = 5x – y

A la ecuación cartesiana del plano z = 5x – y, la reescribimos de manera que los términos con las

variables queden todos en un mismo miembro de la igualdad:

5x – y – z = 0

De esta manera podemos leer al vector de coeficientes asociado a ella: N = (5,-1,-1), que es un

vector normal al plano, por lo tanto podemos utilizarlo como vector director de la recta pedida. Por

otro lado nos piden que la recta pase por el origen. Entonces, su ecuación vectorial es:

X = (0,0,0) + t(5,-1,-1) , t Є 𝑹

O, directamente: X = t(5,-1,-1) , t Є 𝑹

Mostramos la recta pedida con los datos dados en el siguiente gráfico:

6. Escribir la ecuación vectorial de la recta de R3 de ecuaciones x - 2y – z = -1, x + 3y +z = 2.

La recta viene presentada en sus ecuaciones cartesianas: {𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −1𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2


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Que representan dos planos de R3 no paralelos cuya intersección determina la recta dada. Entonces,

la solución del sistema lineal constituído por las dos ecuaciones cartesianas es el conjunto de todos

los puntos que verifican a ambas ecuaciones, por lo tanto están simultáneamente en ambos planos y

representan a la recta que es su intersección. Para pasar de las ecuaciones cartesianas de la recta a

su ecuación vectorial simplemente tenemos que resolver el sistema lineal que constituyen sus

ecuaciones cartesianas y mostrar al conjunto solución en la forma : X = P + tA (ecuación vectorial de

la recta). Lo hacemos por Gauss:

{𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −1𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2

⇔ {𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −15𝑦 + 2𝑧 = 3

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑙2 − 𝑙1 → 𝑙2

Elegimos como variable libre la “z” y despejamos la “y” de la segunda ecuación:

y =3 − 2z

5=3

5−2

5𝑧

Reemplazamos en la primera ecuación:

𝑥 − 2(3

5−2

5𝑧) − 𝑧 = −1

Operamos y despejamos la “x”:

𝑥 =1

5+1

5𝑧

Y la solución del sistema es: 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1

5+1

5𝑧,3

5−2

5𝑧, 𝑧) , 𝑧 Є ℝ}

Que, igualando componente a componente, podemos escribir así:

{

𝑥 =1

5+1

5𝑧

𝑦 =3

5−2

5𝑧

𝑧 = 𝑧

con z Є 𝑹

Que son las ecuaciones paramétricas de la recta. Como no es conveniente que el parámetro tenga el

mismo nombre que el de una de las variables, hacemos un cambio asignándole a la variable libre

(parámetro), otro nombre por ejemplo, elegimos que z = t. Con esta asignación, las ecuaciones

paramétricas de la recta obtenida queda:

{

𝑥 =1

5+1

5𝑡

𝑦 =3

5−2

5𝑡

𝑧 = 𝑡

con t Є 𝑹

Resta pasar de las ecuaciones paramétricas a la vectorial:


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𝑿 = (𝟏

𝟓,𝟑

𝟓, 𝟎) + 𝒕 (

𝟏

𝟓,−𝟐

𝟓, 𝟏) , 𝒕 Є ℝ

Así tenemos tres representaciones de la recta dada, sus ecuaciones cartesianas:

{𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟏𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟐

sus ecuaciones paramétricas:

{

𝒙 =𝟏

𝟓+𝟏

𝟓𝒕

𝒚 =𝟑

𝟓−𝟐

𝟓𝒕

𝒛 = 𝒕

con t Є ℝ

y su ecuación vectorial:

𝑿 = (𝟏

𝟓,𝟑

𝟓, 𝟎) + 𝒕 (

𝟏

𝟓,−𝟐

𝟓, 𝟏) , 𝒕 Є ℝ

Podemos observar lo trabajado en el siguiente gráfico:


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7. Escribir la ecuación cartesiana del plano de R3 que pasa por el punto P = (1,1,2) y es ortogonal a la

recta X = (2,1,0) + t(1,3,-1).

Como la recta dada es ortogonal al plano pedido, su vector director también lo es y podemos

utilizarlo como vector normal del plano. Nuestro plano entonces tiene vector normal N = (1,3,-1) y

pasa por el punto P = (1.1.2) .

Reemplazamos el vector N en la ecuación cartesiana del plano:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 , obtenemos 𝑥 + 3 𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0 , falta reemplazar P para encontrar 𝑑,

resulta: 1 + 3 − 2 + 𝑑 = 0 , despejando 𝑑 = −2, entonces la ecuación cartesiana del plano será

𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 − 𝟐 = 𝟎

O lo que es lo mismo

𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟐

También podemos usar la siguiente expresión para obtener la ecuación cartesiana (ver página

121)

𝑋ˑ𝑁 = 𝑃ˑ𝑁

(𝑥, 𝑦, 𝑧)ˑ(1,3,−1) = (1,1,2)ˑ(1,3,−1)

𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 + 3 − 2

𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟐

Que es la ecuación cartesiana del plano pedida

Vemos el plano pedido, ortogonal a la recta dada y que pasa por el punto P, en el siguiente gráfico:


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8. Escribir la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P = (0,1,2) y es paralelo al plano

2x + y – z = 4

Un plano paralelo al plano dado tendrá una ecuación cartesiana de la forma:

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0

Como el plano pasa por el punto P = (0,1,2), las coordenadas del punto deben verificar la ecuación

del plano. Reemplazando obtendremos el valor de “d” correspondiente al plano que pasa por P:

2 ∙ 0 + 1 − 2 + 𝑑 = 0

0 − 1 + 𝑑 = 0 despejando 𝑑 = 1

De manera que, la ecuación cartesiana del plano pedido es:

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 ó 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = − 𝟏

9. Hallar, si existe, la intersección de los planos x – y + 2z = 1, 3x + y – z = 2

Hallar la intersección entre los planos dados, si existe, es hallar el conjunto de puntos comunes a

ambos planos, es decir, los puntos cuyas coordenadas verifican simultáneamente a las ecuaciones de

ambos planos. Y esto no es otra cosa que resolver el sistema: {𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 13𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2

Lo resolvemos por Gauss:

{𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 13𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2

3𝑙1−𝑙2→𝑙2⇔ {

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1−4𝑦 + 7𝑧 = 1

Elegimos como variable libre a la “z” y despejamos la “y” de la segunda ecuación:

𝑦 = −1

4+7

4𝑧

Reemplazamos en la primera ecuación y despejamos la “x”:

𝑥 − (−1

4+7

4𝑧) + 2𝑧 = 1


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𝑥 +1

4−7

4𝑧 +

8

4𝑧 = 1

𝑥 =3

4−1

4𝑧

La solución del sistema es: 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3

4−1

4𝑧, −

1

4+7

4𝑧, 𝑧) , 𝑧 Є ℝ}

Como vimos en el ejercicio anterior, haciendo la asignación z=t, esta solución se puede escribir así:

{

𝑥 =3

4−1

4𝑡

𝑦 = −1

4+7

4𝑡

𝑧 = 𝑡

con t Є ℝ , que son las ecuaciones paramétricas de una recta

Y la ecuación vectorial de esta recta, intersección de los dos planos dados, es:

𝑿 = (𝟑

𝟒,−𝟏

𝟒, 𝟎) + 𝒕 (−

𝟏

𝟒,𝟕

𝟒𝟏) , 𝒄𝒐𝒏 𝒕 Є ℝ

Observación:

En la consigna se pide hallar, si existe, la intersección de los planos …, podríamos haber anticipado

que la intersección existe y que es una recta ya que se trata de la intersección de dos planos no

paralelos entre sí (los vectores de coeficientes de los planos dados no son paralelos)

11. Escribir las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por el punto P = (1,0,1) y es paralela a la

recta X = (1,2,3) +t(2,1,-1)

Dos rectas son paralelas si lo son sus vectores directores. Una ecuación vectorial de la recta pedida es

entonces:


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que constituyen otras ecuaciones

cartesianas de la recta pedida,

𝑿 = (𝟏, 𝟎, 𝟏) + 𝒕(𝟐, 𝟏, −𝟏) , 𝒕 Є ℝ

Pero nos piden sus ecuaciones cartesianas, es decir, las ecuaciones cartesianas de dos planos cuya

intersección es nuestra recta. Para obtenerlas vamos a escribir las ecuaciones paramétricas de la

recta y vamos a despejar de ellas el parámetro:

{𝑥 = 1 + 2𝑡𝑦 = 𝑡 𝑧 = 1 − 𝑡

despejando el parámetro “t” de cada ecuación e igualando se obtiene:

𝑡 =𝑥 − 1

2= 𝑦 = 1 − 𝑧

Utilizando dos de las tres igualdades obtenidas al despejar “t” obtenemos la ecuación cartesiana de

un plano que contiene a la recta, y utilizando otras dos obtendremos la ecuación cartesiana de otro

plano que la contiene y ambas constituyen unas ecuaciones cartesianas de la recta. Por ejemplo:

{𝑥−1

2= 𝑦

𝑦 = 1 − 𝑧 reordenando: {

𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏 𝒚 + 𝒛 = 𝟏

Ecuaciones cartesianas de la recta pedida

Podríamos haber elegido otras dos igualdades, por ejemplo:

{

𝑥−1

2= 𝑦

𝑥−1

2= 1 − 𝑧

reordenando: {𝑥 − 2𝑦 = 1 𝑥 + 2𝑧 = 3


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12. Escribir las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por el punto P = (1,-1,3) y es perpendicular

al plano z = 3x – y

Reordenamos la ecuación del plano para leer su vector de coeficientes:

3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 , con N = (3,-1,-1) su vector de coeficientes

Como el vector de coeficientes es un vector normal al plano, lo usamos como vector director de la

recta pedida que además, pasa por el punto P=(1,-1,3). Una ecuación vectorial de la recta es:

𝑋 = (1,−1,3) + 𝑡(3,−1,−1) , 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ ℝ

Ahora obtenemos las ecuaciones cartesianas de la recta a partir de su ecuación vectorial tal como lo

hicimos en el ejercicio anterior:

{𝑥 = 1 + 3𝑡𝑦 = −1 − 𝑡𝑧 = 3 − 𝑡

con t Є ℝ Son sus ecuaciones paramétricas, despejando la “t” e igualando:

𝑡 =𝑥−1

3= −1− 𝑦 = 3 − 𝑧 Y tomando de aquí dos igualdades diferentes:

{𝑥−1

3= −1 − 𝑦

−1 − 𝑦 = 3 − 𝑧 que, reordenándolas, quedan:

{𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟐−𝒚+ 𝒛 = 𝟒

y que son unas ecuaciones cartesianas de la recta pedida


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13. Hallar la intersección de la recta que pasa por el origen, en la dirección del vector V = (1,1,1), con

el plano 4x – 3y +z = 2

Una ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen y tiene la dirección de V = (1,1,1) es:

𝑋 = 𝑡(1,1,1) , 𝑡Єℝ

Cuyas ecuaciones paramétricas son :

{𝑥 = 𝑡𝑦 = 𝑡𝑧 = 𝑡

𝑡Єℝ

Si un punto de la recta está en el plano 4𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 2 entonces sus coordenadas deben verificar la

ecuación del plano, reemplazamos las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano.

4𝑡 − 3𝑡 + 𝑡 = 2

2𝑡 = 2

𝑡 = 1

Con este valor del parámetro reemplazamos en la ecuación de la recta y obtenemos el punto de

intersección de la recta con el plano:

(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟏, 𝟏, 𝟏) punto que verifica tanto la ecuación de la recta como la del plano

14. Hallar la intersección del plano x – 2y + z = 2 con la recta que pasa por P = (-1,3,2) y es ortogonal al

plano.


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El plano x – 2y + z =2 tiene vector de coeficientes N = (1,-2,1) que es un vector normal (ortogonal) al

plano, por lo tanto lo podemos utilizar como vector director de la recta que, además pasa por el

punto P = (-1,3,2), luego su ecuación vectorial es:

𝑋 = (−1,3,2) + 𝑡((1, −2,1) , 𝑡Єℝ

Cuyas ecuaciones paramétricas son:

{𝑥 = −1 + 𝑡𝑦 = 3 − 2𝑡 𝑧 = 2 + 𝑡

, 𝑡Єℝ

Si un punto de esta recta está también en el plano x – 2y + z = 2 entonces sus coordenadas deben

verificar la ecuación del plano Reemplazamos las coordenadas de un punto cualquiera de la recta

(ecuaciones paramétricas) en la ecuación del plano:

(−1 + 𝑡) − 2 ∙ (3 − 2𝑡) + (2 + 𝑡) = 2

Resolvemos despejando “t” y obtenemos el valor 𝑡 =7

6 , con este valor del parámetro vamos a la

ecuación de la recta y obtenemos las coordenadas del punto de intersección entre la recta y el plano:

{

𝑥 = −1+

7

6=1

6

𝑦 = 3 − 2 ∙7

6=2

3

𝑧 = 2 +7

6=19

6

es decir: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1

6,2

3,19

6)

Pueden verificar que las coordenadas de este punto verifican también la ecuación del plano

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟏 = 𝟎


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15. Hallar la intersección de la recta que pasa por P = (1, 3,-2) y es paralela a la recta

X = (1,2,3) + t(1,2,2) con el plano que pasa por Q = (1,-1,2) y es ortogonal a la recta dada.

La recta tiene ecuación vectorial: 𝑿 = (𝟏, 𝟑,−𝟐) + 𝒕(𝟏, 𝟐, 𝟐) , 𝒕Єℝ

Y ecuaciones paramétricas: {𝒙 = 𝟏 + 𝒕 𝒚 = 𝟑 + 𝟐𝒕 𝒛 = −𝟐 + 𝟐𝒕

, 𝒕 ∈ ℝ

El plano es ortogonal a la recta dada, por lo tanto podemos utilizar el vector director de la recta

como vector normal del plano: 𝑵 = (𝟏, 𝟐, 𝟐) y además pasa por 𝑸 = (𝟏,−𝟏, 𝟐). Luego,

reemplazamos el vector N en la ecuación cartesiana del plano: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 , obtenemos

𝑥 + 2 𝑦 + 2𝑧 + 𝑑 = 0 , falta reemplazar Q para encontrar 𝑑, resulta: 1 − 2 + 4 + 𝑑 = 0 ,

despejando 𝑑 = −3, entonces la ecuación cartesiana del plano será

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟑 = 𝟎 o lo que es lo mismo 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑

Tenemos que hallar la intersección entre la recta: 𝑿 = (𝟏, 𝟑,−𝟐) + 𝒕(𝟏, 𝟐, 𝟐) , 𝒕Єℝ y el

plano: 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑 , procedemos como en los casos anteriores:

(1 + 𝑡) + 2 ∙ (3 + 2𝑡) + 2 ∙ (−2 + 2𝑡) = 3

1 + 𝑡 + 6 + 4𝑡 − 4 + 4𝑡 = 3

9𝑡 = 0 , de donde: 𝒕 = 𝟎

Con ese valor del parámetro “t” reemplazamos en la ecuación de la recta y obtenemos el punto:

(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝑰, 𝟑, −𝟐) cuyas coordenadas también verifican la ecuación del plano (verificar) y, por lo

tanto, es el punto de intersección entre la recta y el plano dados.

Observación: Recordemos que también podemos encontrar la ecuación cartesiana del plano usando

esta expresión:

𝑁 ∙ 𝑋 = 𝑁 ∙ 𝑄 reemplazando (1,2,2)ˑ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,2)ˑ(1, −1,2) , obtenemos 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑


18

16. Escribir la ecuación cartesiana del plano de R3 que pasa por el punto P = (1,-1,0) y por la recta

X = (1,1,1) +t(1,2,1)

Si el punto P estuviese en la recta, habría infinitos planos que pasan por el punto y la recta (los

infinitos planos que pasan por la recta). Pero no lo está y es muy fácil comprobarlo (vuestra tarea).

Para escribir fácilmente la ecuación cartesiana del plano necesitamos un vector normal a él, un punto

por donde pasa. Podemos obtener un vector normal al plano haciendo el producto vectorial entre

dos vectores no paralelos. Uno ya lo tenemos: el vector director de la recta contenida en el plano, el

vector (1,2,1). Obtendremos otro usando un punto cualquiera de la recta, por ejemplo (llamémoslo

A) el punto A = (1,1,1), y un punto del plano que no esté en la recta, por ejemplo el punto P =(1,-1,0).

Entonces:

𝑃𝐴 = 𝐴 − 𝑃 = (1,1,1) − (1,−1,0) = (0,2,1) , luego será:

𝑁 = (1,2,1) × (0,2,1) = |𝐸_1 𝐸_2 𝐸_31 2 10 2 1

| = (0,−1,2)

Ya podemos obtener la ecuación cartesiana del plano:

Reemplazamos por el vector N y luego por el punto P en : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 , resultando

−𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏 , que es la ecuación cartesiana del plano pedido

O también podemos usar:

𝑁ˑ𝑋 = 𝑁ˑ𝑃

(0, −1,2)ˑ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,−1,2)ˑ(1,−1,0)

−𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏


19

18. Investigar si las rectas X = (1,0,1) + t(0,1,1) , X= (-1,0,-1) + t(1,1,0), son coplanares

Tomamos dos puntos distintos de cada recta:

En la recta X = (1,0,1) + t(0,1,1) :

Para t=0 obtenemos el punto A = (1,0,1), y para t=1 obtenemos el punto B = (1,1,2)

En la recta X= (-1,0,-1) + t(1,1,0) :

Para t=0 obtenemos el punto C = (-1,0,-1), y para t=1 obtenemos el punto D = (0,1,-1)

Nos fijamos si estos cuatro puntos son coplanares, para ello construimos con ellos tres vectores:

Por ejemplo si el punto de aplicación es A , construimos 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (1,1,2) − (1,0,1) = (0,1,1)

que es el vector director de la primera recta y esto era de esperarse ya que si construimos un vector

con dos puntos distintos de la recta obtendremos un vector paralelo (múltiplo escalar) al vector

director de la recta

𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = (−1,0,−1) − (1,0,1) = (−2,0, −2)

𝐴𝐷 = 𝐷 − 𝐴 = (0,1,−1) − (1,0,1) = (−1,1,−2)

Calculamos el producto mixto de estos tres vectores:

𝐴𝐵 ∙ (𝐴𝐶 × 𝐴𝐷) = |0 1 1−2 0 −2−1 1 −2

| = −1 ∙ (4 − 2) + 1 ∙ (−2) = −4

Como el producto mixto no da cero, los vectores no son coplanares, luego los cuatro puntos A, B, C y

D no son coplanares y, como A y B son dos puntos distintos de la primera recta y , C y D son dos

puntos distintos de la segunda recta, las rectas dadas no son coplanares.

Si graficamos las rectas dadas en el Geogebra y vamos rotando el gráfico, podremos observar que

estas rectas no se interceptan, no son paralelas y no están contenidas en un mismo plano. Este tipo

de rectas se llaman rectas alabeadas.


20

19. Escribir la ecuación cartesiana del plano que pasa por P = (2,-1,0) y es perpendicular a la recta -

2x + y + z = 0, x + y – z = 1

Como el plano pedido es perpendicular a la recta dada, podemos usar el vector director de la recta

como vector normal del plano. Pero la recta viene dada por sus ecuaciones cartesianas, ¿cómo

obtenemos un vector director de la recta cuando viene definida por sus ecuaciones cartesianas?

Podemos hacer lo que ya sabemos: pasar de las ecuaciones cartesianas a la vectorial resolviendo el

sistema lineal constituido por las dos ecuaciones cartesianas de la recta como hicimos en el ejercicio

6. O podemos resolverlo de forma más sencilla, veamos:

La recta dada es la intersección de los planos de sus ecuaciones cartesianas, esto implica que está

contenida en ambos planos. Y como la recta está contenida en ambos planos, su vector director será

ortogonal a la normal de cada uno de ellos. Entonces, si llamamos N al vector director de la recta de

ecuaciones cartesianas:

{−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

,

sabemos que : 𝑁1 = (−2,1,1), 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝑁2 = (1,1,−1), 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

Como la recta está en el primer plano, su vector director N es ortogonal a N1

Como la recta está también en el segundo plano, su vector director N es ortogonal a N2

Entonces N, el vector director de la recta, es un vector que es simultáneamente ortogonal a los

vectores N1 y N2 , y ya conocemos la operación en 𝑅3 que , a partir de dos vectores nos devuelve un

vector que es simultáneamente ortogonal a ambos : el producto vectorial. De manera que haciendo

𝑁1 × 𝑁2 obtenemos N :

𝑁 = 𝑁1 × 𝑁2 = |𝐸1 𝐸2 𝐸3−2 1 11 1 −1

| = (−2,−1,−3)

Ahora estamos en condiciones de escribir la ecuación del plano pedido; tenemos un vector normal a

él : N = (-2,-1,-3) ya que es el vector director de una recta que es perpendicular al plano, y sabemos

que pasa por el punto P = (2,-1,0) , reemplazamos por el vector N en :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0, resulta −2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 + 𝑑 = 0 ,

Luego reemplazamos por P y obtenemos:

−𝟐𝒙− 𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟑

Que es una ecuación cartesiana del plano pedido. Multiplicando esta ecuación por un número real

distinto a cero obtenemos una ecuación equivalente. Por ejemplo, si multiplicamos ambos miembros

de la ecuación por -1, obtenemos la ecuación equivalente:

𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟑 , esta es otra ecuación cartesiana del plano pedido, pero más simple

También podemos, como señalamos antes, encontrar una ecuación cartesiana usando

𝑁 ∙ 𝑋 = 𝑁 ∙ 𝑃


21

(−2,−1,−3) ∙ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2,−1,−3) ∙ (2, −1,0)

−2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −3

Observación:

Obtuvimos como vector director de la recta a N= (-2,-1,-3), pero cualquier múltiplo escalar de él

podría haber sido también un vector director de la recta, por ejemplo N = (-1)(-2,-1,-3) = (2,1,3) es

otro vector director de la recta, y con él, como vector normal al plano, hubiésemos obtenido

directamente la ecuación: 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟑

21. Hallar la recta que pasa por el punto P = (2,-1,1) y es perpendicular a la recta x + y + z = 1, y –

3z = 2

Obtenemos el vector director de la recta x + y + z = 1 , y – 3z = 2:

El plano x + y + z = 1 tiene vector de coeficientes N1 = (1,1,1)

El plano y – 3z = 2 tiene vector de coeficientes N2 = (0,1,-3)

Un vector director de la recta definida por dichos planos es:

𝑁1 × 𝑁2 = |𝐸1 𝐸2 𝐸31 1 10 1 −3

| = (−4,3,1)


22

La recta pedida es ortogonal a la recta dada cuyo vector director es : 𝑁1 × 𝑁2 = (−4, ,3,1)

Necesitamos para generarla un vector ortogonal a este último. Elegimos al vector A = (0,-1,3)

Verificamos: (−4,3,1) ∙ (0, −1,3) = 0 − 3 + 3 = 0 , luego dichos vectores son perpendiculares

entre sí.

Entonces, la recta pedida pasa por P = (2,-1,1) y tiene vector director A = (0,-1,3), una ecuación

vectorial de esta recta es:

𝑿 = (𝟐,−𝟏, 𝟏) + 𝒕(𝟎,−𝟏, 𝟑) , 𝒕 ∈ ℝ

29. Escribir las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por el punto (1,-2,-3) y es paralela a la recta

x – y + 2z = 8, 2x – z = 1

Obtenemos el vector director de la recta x – y + 2z = 8, 2x – z = 1 :

El plano 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 8 tiene vector de coeficientes 𝑁1 = (1,−1,2)

El plano 2𝑥 − 𝑧 = 1 tiene vector de coeficientes 𝑁2 = (2.0. −1)

Un vector director de la recta definida por dichos planos es:

𝑁1 × 𝑁2 = |𝐸1 𝐸2 𝐸31 −1 22 0 −1

| = (1,5,2)

La recta pedida y la recta dada son paralelas, por lo tanto sus vectores directores también lo son.

Usamos como vector director de la recta pedida un múltiplo escalar del vector (1,5,2), por ejemplo:

él mismo. Entonces la recta pedida pasa por el punto (1,-2,-3) y tiene como vector director al (1,5,2),

una ecuación vectorial de ella es:


23

𝑋 = (1,−2,−3) + 𝑡(1,5,2) , 𝑡 ∈ ℝ

Nos piden sus ecuaciones cartesianas, ya sabemos obtenerlas a partir de una ecuación vectorial de

ella, escribimos sus ecuaciones paramétricas:

{𝑥 = 1 + 𝑡 𝑦 = −2 + 5𝑡𝑧 = −3 + 2𝑡

, 𝑡 ∈ ℝ

Despejamos el parámetro t de las tres ecuaciones paramétricas e igualamos:

𝑡 = 𝑥 − 1 =𝑦 + 2

5=𝑧 + 3

2

De las expresiones obtenidas de “t” tomamos dos igualdades distintas, cada igualdad representa un

plano que contiene a la recta:

{𝑥 − 1 =

𝑦+2

5

𝑥 − 1 =𝑧+3

2

y, las reordenamos:

{𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 − 𝒛 = 𝟓

, que son las ecuaciones cartesianas de la recta pedida

En el siguiente gráfico se muestra a la recta dada determinada por los planos: x – y + 2z = 8 , 2x – z = 1 y también

cómo el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la determinan da por resultado un vector en la

dirección de la recta:

En el siguiente gráfico se muestran la recta dada, su vector director y la recta pedida, paralela a la dada y que pasa por P =

(1,-2,-3), determinada por los planos: 5x – y = 7 , 2x – z = 5


24

37. Escribir la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P = (2,-1,3) y es paralelo al plano 3x +

2y –z = 1

Un plano paralelo al plano dado tendrá una ecuación cartesiana de la forma:

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0

Como el plano pasa por el punto P = (2,-1,3), las coordenadas del punto deben verificar la ecuación

del plano. Reemplazando obtendremos el valor de “d” correspondiente al plano que pasa por P:

3 ∙ 2 + 2 ∙ (−1) − 3 + 𝑑 = 0

6 − 2 − 3 + 𝑑 = 0 despejando 𝑑 = −1

De manera que, la ecuación cartesiana del plano pedido es:

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟏 = 𝟎 ó 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏

Hemos obtenido la ecuación del plano dado, podríamos habernos evitado el trabajo anterior si nos

hubiésemos preguntado antes: el punto P, ¿está en el plano dado?, porque si está, entonces el plano

pedido es el plano dado y, si no hubiese estado, procedíamos a continuación como lo hicimos al

principio.

Tenemos la ecuación cartesiana del plano pedido, pero nos piden su ecuación vectorial. Para pasar

de la ecuación cartesiana a la ecuación vectorial expresamos el conjunto solución de la ecuación

cartesiana en forma vectorial:

Elijo como variables libres a la “x” y a la “y” y escribo a la “z” en función de ellas, despejándola de la

ecuación cartesiana del plano:

𝑧 = −1 + 3𝑥 + 2𝑦

A cada variable libre le asigno un parámetro distinto y escribo las ecuaciones paramétricas de plano:

{

𝒙 = 𝒖 𝒚 = 𝒗 𝒛 = −𝟏 + 𝟑𝒖 + 𝟐𝒗

u,v Є 𝑹


25

Y, a partir de las ecuaciones paramétricas, escribo una ecuación vectorial del plano:

𝑿 = (𝟎, 𝟎,−𝟏) + 𝒖(𝟏, 𝟎, 𝟑) + 𝒗(𝟎, 𝟏, 𝟐) , 𝒖, 𝒗 Єℝ

Que es lo que se pedía

44. Hallar el vector dirección de la recta x = -z + 1, y = 3z – 2

El plano: 𝑥 + 𝑧 = 1 tiene vector de coeficientes N1 = (1,0,1)

El plano: 𝑦 − 3𝑧 = −2 tiene vector de coeficientes N2 = (0,1,-3)

Y un vector director de la recta definida por dichos planos es:

𝑁1 × 𝑁2 = |𝐸1 𝐸2 𝐸31 0 10 1 −3

| = (−1,3,1)

Si lo llamamos A, un vector de la recta dada es: A = (-1,3,1)

En el siguiente gráfico mostramos la recta definida por los planos x = -z + 1, y = 3z – 2 y su vector dirección

A = (-1,3,1):

Bonus track:

A) Investigar si los planos 2x – y +3z = 1 , X = (2,0,0) + u(1,1,0) + v(1,0,1) son, entre sí, paralelos,

perpendiculares o ninguna de ambas opciones

Un vector normal al plano: 2x – y +3z = 1 es: N1 = (2,-1,3)

Un vector normal al plano: X = (2,0,0) + u(1,1,0) + v(1,0,1) es:

𝑵𝟐 = (1,1,0) × (1,0,1) = |𝐸1 𝐸2 𝐸31 1 01 0 1

| = (𝟏,−𝟏,−𝟏)

Recordemos que:


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Dos planos son paralelos si sus vectores normales lo son

Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales lo son

Veamos si son paralelos:

Debemos ver si los vectores normales de los respectivos planos son vectores paralelos, y claramente

no lo son ya que, a simple vista se ve que N1 no es múltiplo escalar de N2 o viceversa. Si N1 fuese

múltiplo escalar de N2 entonces existiría un único c Є 𝑅 tal que:

𝑁1 = 𝑐 ∙ 𝑁2

(2, −1,3) = 𝑐 ∙ (1, −1,−1)

De donde: {2 = 𝑐−1 = −𝑐3 = −𝑐

Mirando las dos primeras ecuaciones se llega a dos valores distintos para c: c=2 y c=1, por lo tanto no

existe un único valor de c que verifique la igualdad N1 = cˑ N2 , luego estos vectores no son paralelos

y tampoco lo son sus respectivos planos.

Veamos si son perpendiculares:

Debemos ver si los vectores normales de los respectivos planos son perpendiculares entre sí. Sabemos

que dos vectores son perpendiculares entre sí cuando el producto escalar entre ellos da cero.

Calculamos su producto escalar:

𝑁1 ∙ 𝑁2 = (2,−1,3) ∙ (1, −1,−1) = 2 + 1 − 3 = 0

Luego, N1 y N2 son perpendiculares entre sí y, por lo tanto, también lo son sus respectivos planos

Respuesta:

Los planos dados son perpendiculares entre sí

Documents

Planos de R3 Ejercicios resueltos página 139, 140 y 141