planos ycristales

INGENIERIA DE MATERIALES

ADIOS MATERIALES 2012

ESTRUCTURA CRISTALINA

• SRO – Un material tiene orden de corto alcance si el arreglo espacial de los átomos solo se extiende a su vecindad .

• LRO – El arreglo átomico espacial abarca escalas de longitud mayores a 100 nm, formando un patron regular y repetitivo.

• Condensado de Bose-Einstein (BEC) – Predijeron la existencia de este estado de la materia, donde un grupo de átomos enfriados a temperaturas muy bajas (justo arriba de 0 K, mediante láseres y trampas magnéticas, tiene el mismo estado cuántico fundamental. Uno de sus usos podría ser láseres atómicos

Seccion 3.1 Orden de corto alcance Vs. Orden

de largo alcance

(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™

Figura 3.1 Niveles de ordenamiento átomico en los materiales: (a)Los gases monoátomicos inertes no tienen ordenamiento regular de átomos. (b y c) algunos materiales que incluyen vapor de agua, nitrogeno gaseoso, silicio amorfo y vidrios de silicato, tienen orden de corto alcance. (d) Metales,aleaciones y muchas cerámicas, así como polímeros, tienen ordenamiento regular de átomos o iones que se extiende a través del material.


Figura 3.2 Tetraedro básico de Si-O en el vidrio de silicio.


Figura 3.3 Arreglo tetraédrico de los enlaces C-H en el polietileno.

Figura 3.4 (a) Fotografía de un monocristal de silicio. (b) Micrografía de un acero inoxidable policristalino, donde se ven los granos y los límites de grano (Cortesia de los Dr. M. Hua, Dr. I. Garcia, y Dr. A.J. Deardo.)

Figura 3.5 Pantalla de cristal líquido, estos materiales son amorfos en un estado y sufren cristalización localizada como respuesta a un campo eléctrico externo se usan mucho en las pantallas de cristal líquido (LCD). (Cortesia de Nick Koudis/PhotoDisc/Getty Images.)

(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson

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Figura 3.7 Clasificación de los materiales con base en la clase de orden atómico.

Materiales amorfos

Vidrios

Vitroceramicas

Sección 3.2 Materiales amorfos: Principios y

aplicaciones tecnológicas


Figura 3.9 (b) Esquema del proceso de formado por soplado y estirado para fabricar una botella de dos litros de PET (tereftalato de polietileno) a partir de una pre forma. El esfuerzo inducido en la cristalización causa la formación de cristales pequeños que contribuyen a reforzar el resto de la matriz amorfa.


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Figura 3.10 Arreglos atómicos en el silicio cristalino y en el silicio amorfo. (a) silicio amorfo. (b) Silicio cristalino. Obsérvese la variación en la distancia interatómica en el silicio amorfo.

La red – Es una colección de puntos llamados puntos de red ordenados en un patrón periódico de manera que los alrededores de cada punto de la red son idénticos.

Base – Son un grupo de átomos asociados con un punto de la red. Estructura cristalina = red + base

Celda unitaria – Es la sub división de una red que sigue conservando las características generales de toda la red.

Radio Atomico – El tamaño aparente del átomo en una celda unitaria se calcula en base al radio de un átomo.

Factor de empaquetamiento – Es la fracción de espacio ocupada por átomos, suponiendo que son esferas que tocan a su vecino cercano.

Sección: 3.3

Celdas unitarias,bases y estructuras cristalinas


Figura 3.11 Los catorce tipos de redes de Bravais, agrupados en siete sistemas cristalinos. En las figuras 3.12 y 3.16 se muestra la celda unitaria real para un sistema hexagonal.

Tabla 3.1 Características de los siete sistemas cristalinos


Figura 3.12 Definición de los parámetros de la red y su aplicación en los sistemas cristalinos cúbico, ortorrómbico y hexagonal.


Figura 3.13 (a) Ilustración de la distribución de los átomos en caras y vértices. (b) Los modelos de celdas unitarias cúbica simple (SC), cúbica centrada en el cuerpo (BCC), y cúbica centrada en las caras (FCC) asumiendo que hay un solo átomo por punto de red.

Calcule los puntos red por celda en los sistemas cristalinos cúbicos. Si solo hay un átomo en cada punto de red, calcule la cantidad de átomos por celda unitaria.

SOLUCION

En la celda unitaria SC : puntos de red / celda unitaria = (8 vértices)1/8 = 1

En BCC : puntos de red / celda unitaria = (8 vértices)1/8 + (1 centro)(1) = 2

En FCC : Puntos de red / celda unitaria = (8 vértices)1/8 + (6 caras)(1/2) = 4

Como se supone que solamente hay un átomo en cada punto de red, la cantidad de átomos por celda unitaria sería 1, 2, y 4,para las celdas unitarias cúbica simple, cúbica centrada en el cuerpo y cúbica centrada en las caras, respectivamente.

Ejemplo 3.1 Determinación de la cantidad de puntos de red en sistemas cristalinos cúbicos

Determine la relación entre el radio atómico y el parámetro de red en las estructuras SC, BCC, y FCC cuando se tiene un átomo en cada punto de red.

Ejemplo 3.2 Determinación de la relación entre el radio

atómico y los parámetros de red.


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Figura 3.14 Relaciones entre el radio atómico y el parámetro de red en sistemas cúbicos.

Ejemplo 3.2 SOLUCION De la figura 3.14, vemos que los átomos se tocan a lo largo de la arista del cubo en las estructuras SC.

3

40

ra

En FCC , Los átomos se tocan a lo largo de la diagonal

de la cara del cubo, su longitud es a02 y hay 4 radios

2

40

ra

ra 20

En BCC , Los átomos se tocan a lo largo de la diagonal del

cuerpo, que tiene una longitud a03, hay 4 radios


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Figura 3.15 Números de coordinación en celdas unitarias (a) SC y (b) BCC . En SC seis átomos tocan a cada átomo, mientras que en la celda unitaria BCC son 8.

Ejemplo 3.3: Cálculo del factor de empaquetamiento

74.018)2/4(

)3

4(4)(

empaquet. deFactor

24r/ FCC para Como

)3

4)(atoms/cel. (4

empaquet.Factor

3

3

0

3

0

3

r

r

r

a

a

Calcular el factor de empaquetamiento de una celda FCC

SOLUCION

Hay 4 puntos de red por celda, si hay un átomo por punto de red, también hay 4 átomos por celda. El volumen es 4πr3/3 y el volumen de la celda unitaria es :

3

0a

Ejemplo 3.4 Determine la densidad del hierro BCC

El hierro BCC , tiene un parámetro de red de 0.2866 nm.

SOLUCION

Atoms/cel = 2, a0 = 0.2866 nm = 2.866 10-8 cm

masa a. = 55.847 g/mol

Volumen = (2.866 10-8 cm)3 = 23.54 10-24 cm3/cell

Avogadro NA = 6.02 1023 atoms/mol

3

0a

3

2324/882.7

)1002.6)(1054.23(

)847.55)(2(

Avogadro) )(Núm.unit cel. (volume

hierro) del masa (atoms/cel) de(numer Densidad

cmg


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Figura 3.16 La estructura hexagonal compacta HCP (izquierda) y su celda unitaria.

Tabla 3.2 Propiedades de la estructura Cristalina de algunos metales

Alotrópicas – Los elementos que tienen mas de una estructura cristalina se llaman alotrópicos. Este término suele reservarse para los elementos puros, donde el efecto de la presión o la temperatura hace que cambie la estructura.

Poliformismo – Se emplea el mismo concepto pero para materiales compuestos.

Sección 3.4 Transformaciones alotrópicas o

polimorfas

Figura 3.17 Los sensores de oxígeno gaseoso que se usan en automóviles y otras aplicaciones se basan en composiciones de zirconia estabilizada. (Cortesía de Bosch © Robert Bosch GmbH.)

Calcular el cambio de volumen porcentual cuando la zirconia pasa de una estructura tetragonal a una estructura monoclinica.[9] la constante de red para estructuras unitarias monoclinicas son: a = 5.156, b = 5.191, y c = 5.304 Å, respectivamente. El ángulo β de la celda monoclinica es 98.9º. Para la celda tetragonal las constantes de red son: a = 5.094 y c = 5.304 Å, respectivamente. [10] durante la transformación se expande o se contrae la zirconia? Cuales son los efectos de esta transformación sobre las propiedades mecánicas de la cerámica de la zirconia?

Ejemplo 3.5 Cálculo de cambios de Volumen en

polimorfos de zirconia

Ejemplo 3.5 SOLUCION El volumen de una celda unitaria tetragonal V = a2c = (5.094)2 (5.304) = 134.33 Å3. El volumen de una celda unitaria monoclínca es V = abc sin β = (5.156) (5.191) (5.304) sin(98.9) = 140.25 Å3. Entonces hay una expansión de la celda unitaria conforme el ZrO2, se transforma de tetragonal a monoclínico. El cambio porcentual de volumen es: = (Volumen final-Volumen inicial)/(volumen inicial)* 100

= (140.25 - 134.33 Å3)/140.25 Å3 * 100 = 4.21%.

La mayoria de los cerámicos son muy frágiles y no pueden resistir un cambio de volumen mayor al 0.1%.La conclusión es que los cerámicos de ZrO2 no pueden usarse en su forma monoclínica por que cuando la zirconia pase a su forma tetragonal, casi con seguridad se rompe.Por lo tanto, el ZrO2 se estabiliza con frecuencia en una forma cúbica, usando diversos aditivos, como CaO, MgO, and Y2O3.

Ejemplo 3.6 Diseño de un sensor para medir el cambio de volumen

Para estudiar el comportamiento del hierro a temperaturas elevadas, nos gustaria diseñar un instrumento que pueda detectar , con exactitud del 1%, el cambio de volumen de un cubo de hierro de 1-cm3 cuando se calienta pasando por su temperatura de transformación polimórfica. A 911oC, el hierro es BCC, con un parámetro de red de 0.2863 nm. A 913oC, el hierro es FCC, con un parámetro de red de 0.3591 nm. Determine la exactitud que se requiere en el instrumento medidor.

SOLUCION

El volumen de una celda unitaria del hierro BCC antes de transformarlo es:

VBCC = = (0.2863 nm)3 = 0.023467 nm3 3

0a

Ejemplo 3.6 SOLUCION (Continuación) El volumen de una celda unitaria de hierro FCC : VFCC = = (0.3591 nm)3 = 0.046307 nm3

Pero este es el volumen que ocupa 4 átomos de hierro en FCC, en consecuencia se deben comparar 2 celdas BCC, con un volumen de 2(0.023467) = 0.046934 nm3, con cada celda FCC, El cambio porcentual de volumen durante la transformación es:

3

0a

%34.11000.046934

0.046934) - (0.046307 volumen de Cambio

El cubo de hierro de 1-cm3 se contrae a 1 - 0.0134 = 0.9866 cm3 despues de la transformación;en consecuencia, para asegurar una exactitud de 1% el instrumento debe detectar un cambio de:

ΔV = (0.01)(0.0134) = 0.000134 cm3

Indices de Miller - Es la notación abreviada para describir las direcciones y planos metalográficos. Las direcciones se denotan con corchetes [ ] y los planos con paréntesis ( ). Los números negativos se representan con una barra encima del número.

Direcciones de una forma o familia – Grupo de direcciones equivalentes forman familias, se usa los paréntesis especiales.

Distancia de repetición. – Es la distancia entre puntos de la red a lo largo de la dirección.

Densidad lineal – Es la cantidad de puntos de la red por unidad de longitud, a lo largo de la dirección.

Fracción de empaquetamiento – Es la fracción realmente ocupada por átomos.

Sección 3.5:Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria.

Figura 3.18 Coordenadas de puntos seleccionados en la celda unitaria. El número indica la distancia al origen, en términos de parámetros de red.

Determine los índices de Miller en las direcciones A, B, y C en la figura 3.19.

Ejemplo 3.7 Determinación de Indices de Miller de direcciones

(c) 2003 Brooks/Cole Publishing /

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Figura 3.19 Direcciones y coordenadas cristalográficas, para el ejemplo 3.7.

Ejemplo 3.7 SOLUCION

Dirección A

1. Los puntos son 1, 0, 0, y 0, 0, 0

2. 1, 0, 0, -0, 0, 0 = 1, 0, 0

3. No hay fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4. [100]

Dirección B

1. Los puntos son 1, 1, 1 y 0, 0, 0

2. 1, 1, 1, -0, 0, 0 = 1, 1, 1


4. [111]

Dirección C

1. Los puntos son 0, 0, 1 y 1/2, 1, 0

2. 0, 0, 1 -1/2, 1, 0 = -1/2, -1, 1

3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2

2]21[ .4


Figura 3.20 Equivalencia de las direcciones cristalográficas de una forma, en sistemas cúbicos.

Tabla 3.3 Direcciones de la familia 110 en sistemas cúbicos


Figura 3.21 Determinación de la distancia de repetición, densidad lineal y fracción de empaquetamiento para una dirección [110] en el cobre FCC.

Determine Los índices de Miller de los planos A, B, y C en la figura 3.22.

Ejemplo 3.8, Determinación de los Indices de Miller de planos


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Figura 3.22 Planos cristálograficos y sus intersecciones (para el ejemplo 3.8)


Plano A

1. x = 1, y = 1, z = 1

2.1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1

3. No hay fracciones que eliminar

4. (111)

Plano B

1. El plano nunca cruza el plano z por lo que x = 1, y = 2, y z =

2.1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0

3. Eliminar fracciones:

1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0

4. (210)

Plano C

1. Se debe cambiar origen, por que el plano pasa 0, 0, 0. Mover en dirección y, entonces, x = , y = -1, and z =

2.1/x = 0, 1/y = 1, 1/z = 0

3. No hay fracciones que eliminar.

)010( .4

Tabla 3.4 Planos de la familia {110} en los sistemas cúbicos

Calcule la la densidad planar y la fracción de empaquetamiento planar para los planos (010) y (020) en el Polonio cúbico, cuyo parámetro de red es 0.334 nm.

Ejemplo 3.9 Cálculo de la densidad planar y la fracción de empaquetamiento


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Figura 3.23 Las densidades planares de los planos (010) y (020) en celdas unitarias SC no son idénticas (para el Ejemplo 3.9).

Ejemplo 3.9 SOLUCION El total de átomos en cada cara es uno. La densidad planar es:

2142

2

atoms/cm 1096.8atoms/nm 96.8

)334.0(

carapor atom 1

cara de área

carapor atoms (010)planar Densidad

79.0)2(

)(

)( atom) 1(

cara de área

carapor atoms de área (010) Emp. deFracción

2

2

20

2

r

r

r

a

Sin embargo no hay átomos con centros en los planos (020). Por consiguiente la densidad planar y la fracción de empaquetamiento planar son cero. Los planos (010) y (020) no son equivalentes!.

Ejemplo 3.10 trazado de dirección y plano

trazar (a) dirección y (b) el plano en una celda unitaria cúbica.

1]2[1 10]2[


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Figura 3.24 Construcción de a (a)una dirección y (b) un plano dentro de una celda unitaria (para el ejemplo 3.10)

Example 3.10 SOLUCION

a. Como sabemos que hay que moverse en la dirección negativa, ubiquemos el origen en 0, +1, 0. La “cola” de la dirección estará en el nuevo origen. Se determina un segundo punto de la dirección avanzando +1 en la dirección x, -2 en la dirección y, y +1 en la dirección z (Figura 3.24(a)].

b. Para dibujar el plano, se determinan primero los recíprocos de los índices para obtener las intercepciones:

x = 1/-2 = -1/2 y = 1/1 = 1 z = 1/0 =

Como el cruce en x esta en una dirección negativa y se desea trazar el plano dentro de la celda unitaria, se cambia el origen +1 en la dirección x hasta 1, 0, 0. Entonces se puede ubicar la intercección con x en - 1/2 y con y en +1. El plano será paralelo al eje Z [Figura 3.24(b)].

10]2[


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Figura 3.25 Indices de Miller-Bravais en celdas unitarias HCP usando un sistema coordenado de 4 ejes. Los planos identificados con A y B y las direcciones identificadas con C y D son del ejemplo 3.11.


Figura 3.26 Direcciones comunes en la celda unitaria HCP usando sistemas con 3 y 4 ejes. Las líneas punteadas muestran que la dirección [1210] es equivalente a una dirección [010].

Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y para las direcciones C y D en la Figura 3.25.

Ejemplo 3.11 Determinación de los Indices de Miller-Bravais para planos y direcciones


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Figura 3.25 Los Indices Miller-Bravais son obtenidos usando un sistema de coordenadas de 4 ejes. Los planos identificados con A y B, y las direcciones con C y D son del ejemplo 3.11.

Ejemplo 3.11 SOLUCION Plano A 1. a1 = a2 = a3 = , c = 1 2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1 3. No hay fracciones que simplificar 4. (0001) Plano B 1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 1 2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1 3. No hay fracciones que simplificar 4. Dirección C 1. Dos puntos son 0, 0, 1 y 1, 0, 0. 2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = -1, 0, 1 3. No hay fracciones que eliminar ni enteros que reducir. 4.

)1211(

113]2[ ó ]011[

Example 3.11 SOLUCION (Continuación) Dirección D 1. Dos puntos son 0, 1, 0 y 1, 0, 0. 2. 0, 1, 0, -1, 0, 0 = -1, 1, 0 3. No fracciones que eliminar ni enteros quereducir 4. 100]1[ ó ]101[

Tabla 3.5 Planos y direcciones compactas


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Figura 3.27 La secuencia de apilamientoABABAB de planos compactos produce la estructura HCP.


Figura 3.28 La secuencia de apilamiento ABCABCABC de planos compactos produce la estructura FCC.

Sitios Intersticiales – En cualquiera de las estructuras cristalinas hay pequeños huecos entre los átomos normales, y en ellos se pueden ubicar átomos más pequeños. Esos huecos reciben el nombre de sitios intersticiales

El sitio cúbico – Con un número de coordinación de 8 se presenta en la estructura simple SC.

Sitios octaédricos – Producen un número de coordinación de 6. Los átomos tocan al átomo intersticial y forman un octaedro y los átomos mayores ocupan los puntos normales de la red.

Sitios tetraédricos – Producen un número de coordinación igual a 4. Un átomo o ion toca 4 átomos o iones.

Sección 3.6 Sitios Intersticiales


Figura 3.29 Ubicación de los sitios intersticiales en las celdas unitarias cúbicas. Solo se muestran sitios reprentativos.

Ejemplo 3.12 Cálculo de sitios octaédricos

Calcule la cantidad de sitios octaédricos que pertenezcan en forma exclusiva a una celda unitaria FCC.

SOLUCION: Los sitios octaédricos incluyen las 12 aristas de la celda unitaria, con las coordenadas:

2

11,,0

2

11,,1

2

10,,1

2

1,0,0

,12

1,0 ,1

2

1,1 ,0

2

1,1 ,0

2

1,0

1,1,2

1 0,1,

2

1 1,0,

2

1 0,0,

2

1

mas la posición central, 1/2, 1/2, 1/2.

Ejemplo 3.12 Continuación Cada uno de los sitios en la arista de la celda unitaria se comparte entre 4 celdas unitarias por lo que solo un ¼ de cada sitio pertenece exclusivamente a cada celda unitaria, entonces la cantidad de sitios que pertenecen exclusivamente a cada celda :

(12 aristas) (1/4 por celda) + 1 en centro = 4 sitios octaédricos

Se desea producir una pared absorvente de radiación formada por 10000 esferas de Pb, cada una de 3 cm de diámetro, en arreglo FCC. Se decide que habra mejor absorción si se llenan con esferas mas pequeñas los sitios intersticiales. Diseñe el tamaño de las esferas de Pb mas pequeñas y determine cuántas se necesitan.

Ejemplo 3.13 Diseño de una pared absorbente de radiación


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Figura 3.30 Cálculo de un sitio intersticial octaédrico, para el ejemplo 3.13.

Ejemplo 3.13 SOLUCION Para este diseño, podemos introducir esferas pequeñas de Pb que quepan exactamente en todos los sitios intersticiales octaédricos. Primero calculamos el diámetro de los sitios octaédrico entre las esferas de 3 cm de diámetro:

Longitud AB = 2R + 2r =4R/

r = 2 R-R = (2 -1)R r/R = 0.414

Esto es consistente con la tabla 3.6, como r/ R = 0.414, el radio de la esfera pequeña de Pb es :

r = 0.414 * R = (0.414)(3 cm/2) = 0.621 cm.

En el ejemplo 3-12, se observa que hay 4 sitios octaédricos en el arreglo FCC que tambien tiene 4 puntos de red. Entonces se necesita la misma cantidad de esferas pequeñas 10,000.

2

2 2

Se deben tener en cuenta los siguientes factores para comprender las estructuras cristalinas de los sólidos con enlaces iónicos:

Radios iónicos

Neutralidad eléctrica

Conexión entre poliedros de anion

Visualización de estructuras cristalinas en computadoras.

Sección 3.7 Estructuras cristalinas de los

materiales iónicos


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Figura 3.31 Conexión entre poliedros de aniones. (a) tetraedros con vértices compartidos, (b) tetraedros con aristas compartidas y (c) tetraedro con cara compartida


Figura 3.32 (a) Estructura del cloruro de cesio, una celda unitaria SC con dos iones (Cs+ y CI-) por punto de red. (b) La estructura del cloruro de sodio,una celda unitaria FCC con dos iones (Na+ + CI-) por punto de red. Nota: los tamaños de los iones no estan a escala.

Para el cloruro de potasio (KCl), (a) verificar que el compuesto tiene la estructura del cloruro de cesio y (b) calcular el factor de empaquetamiento de este compuesto. SOLUCION

a. De tablas, rK+ = 0.133 nm y rCl- = 0.181 nm, entonces:

rK+/ rCl- = 0.133/0.181 = 0.735

Como 0.732 < 0.735 < 1.000, El número de coordinación de cada clase de ion es 8 y la estructura del CsCl es la mas probable.

Ejemplo 3.14 Relación de radios del KCl

Ejemplo 3.14 continuación de la SOLUCION b. Los iones se tocan a lo largo de la diagonal del cuerpo de la celula unitarial,entonces:

a03 = 2rK+ + 2rCl- = 2(0.133) + 2(0.181) = 0628 nm

a0 = 0.363 nm

725.0)363.0(

)181.0(3

4 )133.0(

3

4

ion) Cl 1(3

4 ion)K 1(

3

4

ientoempaquetam deFactor

3

33

3

0

33

a

rrClK

Demuestre que el MgO tiene la estructura cristalina del cloruro de sodio y calcule la densidad del MgO.

SOLUCION

De tablas, rMg+2 = 0.066 nm y rO-2 = 0.132 nm, entonces:

rMg+2 /rO-2 = 0.066/0.132 = 0.50

Como 0.414 < 0.50 < 0.732, el número de coordinación de cada ion es 6, y es posible la estructura del cloruro de sodio.

Ejemplo 3.15 Ilustración de una estructura cristalina y cálculo de su densidad


Las masas atómicas son 24.312 y 16 g/mol para el magnesio y oxígeno respectivamente. Los iones se tocan a lo largo de la arista del cubo, entonces:

a0 = 2 rMg+2 + 2rO-2 = 2(0.066) + 2(0.132)

= 0.396 nm = 3.96 10-8 cm

3

2338

-22

/31.4)1002.6(cm) 1096.3(

)16)(O4()312.24)(Mg4(cmg


Figura 3.33 (a) La estructura de la blenda de zinc (b) vista de planta.

La constante de red del Arseniuro de galio (GaAs) es 5.65 Å. Demuestre que la densidad teórica del GaAs es 5.33 g/cm3.

SOLUCION

En la celda unitaria de la “blenda de zinc” GaAs hay cuatro átomos de Ga y cuatro de As. De acuerdo a la Tabla Periódica:

Cada mol (6.023 1023 atoms) de Ga tiene una

masa de 69.7 g. entonces la masa de 4 átomos sera: (4 * 69.7/6.023 1023) g.

Ejemplo 3.16 Cálculo de la densidad teórica del GaAs

3.16 SOLUCION (Continuación)

Cada mol de As (6.023 1023 atoms) tiene una masa de

74.9 g.

Entonces en 4 atomos de As se tiene:

(4 * 74.9/6.023 1023) g. Estos átomos ocupan un volumen de (5.65 10-8)3 cm3.

38

23

cm) 1065.5(

10023.6/)9.747.69(4

volumen

masa densidad

Entonces la densidad teórica del GaAs es 5.33 g/cm3.


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Figura 3.34 (a) Celda Fluorita, (b) vista de planta.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son

Learn

ing

Figura 3.35 Celda unitaria de la perovskita mostrando los cationes en sitio A y B y los iones de oxígeno que ocupan las posiciones de centro de cara de la celda unitaria. Nota: Los Iones no se muestran a escala.

Figura 3.36 Estructura cristalina de un nuevo super conductor cerámico de alta Tc basado en un oxido de cobre, bario e itrio. Estos materiales son excepcionales por ser cerámicos cuya resistencia eléctrica, desaparece a bajas temperaturas. (Fuente: ill.fr/dif/3D-crystals/superconductor.html; © M. Hewat 1998.)

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.37 Estructura del corindon de alúmina alfa (α-AI203).

Materiales con enlaces covalentes Con frecuencia tienen estructuras complicadas para satisfacer las restricciones direccionales que imponen los enlaces.

Estructura cúbica del diamante – Los elementos como el Si, el Ge, el alfa Sn y el carbono (en su forma de diamante) estan unidos por cuatro enlaces covalentes que producen un tetraedro.

Sección 3.8 Estructuras covalentes

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.38 (a) Tetraedro y (b) Celda unitaria cúbica del diamante (DC) . Se produce esta estructura abierta por los requerimientos del enlace covalente.

Determine su factor de empaquetamiento.

Ejemplo 3.17 Determinación del factor de empaquetamiento para el silicio cúbico

tipo diamante.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing /

Thom

son L

earnin

g

Figura 3.39 Determinación de la relación entre el parámetro de red y el radio atómico en una celda cúbica de diamante. (para el ejemplo 3.17).

Ejemplo 3.17 SOLUCION Los átomos se tocan a lo largo de la diagonal del cuerpo de la celda. Aunque no hay átomos en todos los lugares de la diagonal hay huecos que tienen el mismo diámetro que los átomos, en consecuencia:

34.0

)3/8(

)3

4)(8(

)3

4)(atoms/cel. (8

ientoEnpaquetamFactor

83

3

3

3

0

3

0

r

r

a

r

ra

Comparado con el valor de tablas es el mismo valor.

Ejemplo 3.18 Cálculo del radio y la densidad del silicio

La constante de red del silicio es 5.43 Å . Cual será el radio y la densidad del silicio?. La masa atómica del silicio es 28.1 gm/mol.

SOLUCION

Tenemos que a = 5.43 Å, remplazando en la ecuación tenemos que el radio del silicio es R = 1.176 Å .

ra 83 0

3

38

23

/33.2cm) 1043.5(

10023.6/)1.28(8

volumen

masa densidad cmg

Si hay 8 átomos por cada celda unitaria entonces la densidad:

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son

Learn

ing

Figura 3.40 Tetraedro Silicio-Oxígeno y la forma cristobalita β de silice resultante.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.41 Celda unitaria del polietileno cristalino

¿Cuántos átomos de carbono e hidrógeno hay en cada celda unitaria de polietileno cristalino? Hay el doble de átomos de hidrógeno que de carbono en la cadena. La densidad aproximada del del polietileno es 0.9972 g/cm3.

SOLUCION

Si x es la cantidad de átomos de carbono, entonces, 2x es la

cantidad de hidrógeno. De acuerdo con los parámetros de red en la figura 3.41:

Ejemplo 3.19 Cálculo de la cantidad de átomos de

carbono e hidrógeno en el polietileno cristalino.

)1002.6)(1055.2)(1094.4)(1041.7(

)/1)(2()/12)((23888

cmcmcm

molgxmolgx

x = 4 átomos de carbon por celda

2x = 8 átomos de hidrógeno por celda.

Difracción – La estructura de un material se puede analizar refractando Rx o difracción de electrones.

Ley de Bragg – Cuando los Rx se difractan, o el haz se refuerza esta cumpliendo el enunciado de la Ley de

Bragg, esto es:Sen = / 2dhkl

En un difractómetro un detector móvil registra los

ángulos 2 con los cuales se difracta el haz y se

obtiene una figura característica de difracción, figura 3.45b.

Sección 3.9 Técnicas de difracción para el análisis de la estructura

cristalina

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.43 Interacciones (a) Destructiva y (b)Constructiva entre Rx y el material cristalino. El refuerzo, o interacción constructiva, sucede en ángulos que satisface la Ley de Bragg.

Figura 3.44 Fotografía de un difractómetro de Rx. (Cortesia de H&M Analytical Services.)

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.45 (a) Diagrama de un difractómetro donde se observan la muestra en polvo y los haces incidente y difractado. (b) Figura de difracción obtenida con una muestra de polvo en oro.

Los resultados de una difracción de Rx utilizando

λ = 0.7107 Å (radiación obtenida con un blanco de

molibdeno, Mo) indican que los picos de difracción estan en los ángulos 2θ siguientes:

Ejemplo 3.20 Análisis de la difracción de Rx.

Determine la estructura cristalina, los índices del plano que produce cada pico y el parámetro de red del material.

Ejemplo 3.20 SOLUCION Primero se determina sin2θ para cada pico y despues se

divide entre el valor mínimo, 0.0308.

Ejemplo 3.20 SOLUCION (Continuación)

Para calcular la distancia entre planos se puede usar cualquiera de los valores de 2θ de los picos y luego el parámetro de la red.Si escogemos el pico 8:

2θ = 59.42 o θ = 29.71 Å Å

868.2)4)(71699.0(

71699.0)71.29sin(2

7107.0

sin2

2224000

400

lkhda

d

Este es el parámetro de red del hierro BCC

Figura 3.46 Fotografía de un microscopio electrónico de transmisión (TEM) usado para el análisis de la microestructura de materiales. (Cortesia de JEOL USA, Inc.)

Figura 3.47 Micrografía electrónica de transmisión de una muestra de aleación de Al. La figura de difracción de la derecha muestra manchas luminosas grandes que representan la difracción de los principales granos de la matriz de aluminio, las manchas más pequeñas se originan en cristales de nanoescala de otro compuesto que esta presente en esa aleación. (Cortesía del Dr. JÖrg M.K. Wiezorek, University of Pittsburgh.)

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.48 Determine los índices de Miller, para las direcciones mostradas

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g Figura 3.49

Determine los índices para las direcciones en la celda unitaria.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.50 Determine los índices para los planos en la celda unitaria cúbica.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.51 Determine los índices para los planos de la celda unitaria cúbica.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.52 Determine los índices para las direcciones en la red hexagonal, usando el sistema de 3 y 4 dígitos.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.53 Determina los índices para las direcciones en la red hexagonal, usando 3 y 4 dígitos.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.54 Determina los indices para los planos mostrados.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.55 Determina los índices para los planos mostrados.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.56 Si se usaron Rx longitud de onda de = 0.15418nm Determine:La estructura cristalina,parámetro, los índices de los planos que produce cada pico.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.57 Si se usaron Rx de = 0.07107 nm, determine:

Estructura cristalina, los indices de los planos y el parámetro del metal.

Figura 3.18 Coordenadas de puntos seleccionados en la celda unitaria. El número indica la distancia al origen, en términos de parámetros de red.

Determine los índices de Miller en las direcciones A, B, y C en la figura 3.19.

Ejemplo 3.7 Determinación de Indices de Miller de direcciones


Thomson Learning™

Figura 3.19 Direcciones y coordenadas cristalográficas, para el ejemplo 3.7.


Dirección A

1. Los puntos son 1, 0, 0, y 0, 0, 0

2. 1, 0, 0, -0, 0, 0 = 1, 0, 0


4. [100]

Dirección B

1. Los puntos son 1, 1, 1 y 0, 0, 0

2. 1, 1, 1, -0, 0, 0 = 1, 1, 1


4. [111]

Dirección C

1. Los puntos son 0, 0, 1 y 1/2, 1, 0

2. 0, 0, 1 -1/2, 1, 0 = -1/2, -1, 1

3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2

2]21[ .4


Figura 3.20 Equivalencia de las direcciones cristalográficas de una forma, en sistemas cúbicos.


Figura 3.21 Determinación de la distancia de repetición, densidad lineal y fracción de empaquetamiento para una dirección [110] en el cobre FCC.

Determine Los índices de Miller de los planos A, B, y C en la figura 3.22.

Ejemplo 3.8, Determinación de los Indices de Miller de planos


Thomson Learning™

Figura 3.22 Planos cristálograficos y sus intersecciones (para el ejemplo 3.8)


Plano A

1. x = 1, y = 1, z = 1

2.1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1

3. No hay fracciones que eliminar

4. (111)

Plano B

1. El plano nunca cruza el plano z por lo que x = 1, y = 2, y z =

2.1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0

3. Eliminar fracciones:

1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0

4. (210)

Plano C

1. Se debe cambiar origen, por que el plano pasa 0, 0, 0. Mover en dirección y, entonces, x = , y = -1, and z =

2.1/x = 0, 1/y = 1, 1/z = 0

3. No hay fracciones que eliminar.

)010( .4

Calcule la la densidad planar y la fracción de empaquetamiento planar para los planos (010) y (020) en el Polonio cúbico, cuyo parámetro de red es 0.334 nm.

Ejemplo 3.9 Cálculo de la densidad planar y la fracción de empaquetamiento


Thomson Learning™

Figura 3.23 Las densidades planares de los planos (010) y (020) en celdas unitarias SC no son idénticas (para el Ejemplo 3.9).

Ejemplo 3.9 SOLUCION El total de átomos en cada cara es uno. La densidad planar es:

2142

2

atoms/cm 1096.8atoms/nm 96.8

)334.0(

carapor atom 1

cara de área

carapor atoms (010)planar Densidad

79.0)2(

)(

)( atom) 1(

cara de área

carapor atoms de área (010) Emp. deFracción

2

2

20

2

r

r

r

a

Sin embargo no hay átomos con centros en los planos (020). Por consiguiente la densidad planar y la fracción de empaquetamiento planar son cero. Los planos (010) y (020) no son equivalentes!.

Ejemplo 3.10 trazado de dirección y plano

trazar (a) dirección y (b) el plano en una celda unitaria cúbica.

1]2[1 10]2[


Learning™

Figura 3.24 Construcción de a (a)una dirección y (b) un plano dentro de una celda unitaria (para el ejemplo 3.10)

Example 3.10 SOLUCION

a. Como sabemos que hay que moverse en la dirección negativa, ubiquemos el origen en 0, +1, 0. La “cola” de la dirección estará en el nuevo origen. Se determina un segundo punto de la dirección avanzando +1 en la dirección x, -2 en la dirección y, y +1 en la dirección z (Figura 3.24(a)].

b. Para dibujar el plano, se determinan primero los recíprocos de los índices para obtener las intercepciones:

x = 1/-2 = -1/2 y = 1/1 = 1 z = 1/0 =

Como el cruce en x esta en una dirección negativa y se desea trazar el plano dentro de la celda unitaria, se cambia el origen +1 en la dirección x hasta 1, 0, 0. Entonces se puede ubicar la intercección con x en - 1/2 y con y en +1. El plano será paralelo al eje Z [Figura 3.24(b)].

10]2[

(O) ( 110)

(x) (-110

(0) (101)

(x) (-101)

(0) (011)

1/3

1/4 00

INTERSECCIO

NES:

X=-2/3, Y= 3/4

-3/2 4/3

IM (-980)

1/3

1/2

OO

Intersecciones:

x=-2/3 z= -1/2

-3/2 -2

(hkl) (-30-4)

00

-1/2

1/2

(1-22)

00

-1/3

(-30-1)

ESTRUCTURA BCC

(100)

AREA PLANO: a2

ATOMOS : 1

AREA ATOMOS: r2

(110)

AREA PLANO:a22

ATOMOS: 2

AREA ATOMOS:2 r2

(111)

AREA PLANO: a23/2

ATOMOS: 1/2

AREA ATOMOS:1/2 r2

ESTRUCTURA FCC

(100)

AREA PLANO: a2

ATOMOS: 2

AREA ATOMOS: 2r2

(110)

AREA PLANO:a22

ATOMOS: 2

AREA AT:2r2

(111)

AREA PLANO:a23/2

ATOMOS: 2

AREA AT: 2r2

Se desea producir una pared absorvente de radiación formada por 10000 esferas de Pb, cada una de 3 cm de diámetro, en arreglo FCC. Se decide que habra mejor absorción si se llenan con esferas mas pequeñas los sitios intersticiales. Diseñe el tamaño de las esferas de Pb mas pequeñas y determine cuántas se necesitan.

Ejemplo 3.13 Diseño de una pared absorbente de radiación


Thomson Learning™

Figura 3.30 Cálculo de un sitio intersticial octaédrico, para el ejemplo 3.13.

Ejemplo 3.13 SOLUCION Para este diseño, podemos introducir esferas pequeñas de Pb que quepan exactamente en todos los sitios intersticiales octaédricos. Primero calculamos el diámetro de los sitios octaédrico entre las esferas de 3 cm de diámetro:

Longitud AB = 2R + 2r =4R/

r = 2 R-R = (2 -1)R r/R = 0.414

Esto es consistente con la tabla 3.6, como r/ R = 0.414, el radio de la esfera pequeña de Pb es :

r = 0.414 * R = (0.414)(3 cm/2) = 0.621 cm.

En el ejemplo 3-12, se observa que hay 4 sitios octaédricos en el arreglo FCC que tambien tiene 4 puntos de red. Entonces se necesita la misma cantidad de esferas pequeñas 10,000.

2

2 2

La constante de red del Arseniuro de galio (GaAs) es 5.65 Å. Demuestre que la densidad teórica del GaAs es 5.33 g/cm3.

SOLUCION

En la celda unitaria de la “blenda de zinc” GaAs hay cuatro átomos de Ga y cuatro de As. De acuerdo a la Tabla Periódica:

Cada mol (6.023 1023 atoms) de Ga tiene una

masa de 69.7 g. entonces la masa de 4 átomos sera: (4 * 69.7/6.023 1023) g.

Ejemplo 3.16 Cálculo de la densidad teórica del GaAs

3.16 SOLUCION (Continuación)

Cada mol de As (6.023 1023 atoms) tiene una masa de

74.9 g.

Entonces en 4 atomos de As se tiene:

(4 * 74.9/6.023 1023) g. Estos átomos ocupan un volumen de (5.65 10-8)3 cm3.

38

23

cm) 1065.5(

10023.6/)9.747.69(4

volumen

masa densidad

Entonces la densidad teórica del GaAs es 5.33 g/cm3.

Determine su factor de empaquetamiento.

Ejemplo 3.17 Determinación del factor de empaquetamiento para el silicio cúbico

tipo diamante.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing /

Thom

son L

earnin

g

Figura 3.39 Determinación de la relación entre el parámetro de red y el radio atómico en una celda cúbica de diamante. (para el ejemplo 3.17).

Ejemplo 3.17 SOLUCION Los átomos se tocan a lo largo de la diagonal del cuerpo de la celda. Aunque no hay átomos en todos los lugares de la diagonal hay huecos que tienen el mismo diámetro que los átomos, en consecuencia:

34.0

)3/8(

)3

4)(8(

)3

4)(atoms/cel. (8

ientoEnpaquetamFactor

83

3

3

3

0

3

0

r

r

a

r

ra

Comparado con el valor de tablas es el mismo valor.

Ejemplo 3.18 Cálculo del radio y la densidad del silicio

La constante de red del silicio es 5.43 Å . Cual será el radio y la densidad del silicio?. La masa atómica del silicio es 28.1 gm/mol.

SOLUCION

Tenemos que a = 5.43 Å, remplazando en la ecuación tenemos que el radio del silicio es R = 1.176 Å .

ra 83 0

3

38

23

/33.2cm) 1043.5(

10023.6/)1.28(8

volumen

masa densidad cmg

Si hay 8 átomos por cada celda unitaria entonces la densidad:

¿Cuántos átomos de carbono e hidrógeno hay en cada celda unitaria de polietileno cristalino? Hay el doble de átomos de hidrógeno que de carbono en la cadena. La densidad aproximada del del polietileno es 0.9972 g/cm3.

SOLUCION

Si x es la cantidad de átomos de carbono, entonces, 2x es la

cantidad de hidrógeno. De acuerdo con los parámetros de red en la figura 3.41:

Ejemplo 3.19 Cálculo de la cantidad de átomos de

carbono e hidrógeno en el polietileno cristalino.

)1002.6)(1055.2)(1094.4)(1041.7(

)/1)(2()/12)((23888

cmcmcm

molgxmolgx

x = 4 átomos de carbon por celda

2x = 8 átomos de hidrógeno por celda.

Difracción – La estructura de un material se puede analizar refractando Rx o difracción de electrones.

Ley de Bragg – Cuando los Rx se difractan, o el haz se refuerza esta cumpliendo el enunciado de la Ley de

Bragg, esto es:Sen = / 2dhkl

En un difractómetro un detector móvil registra los

ángulos 2 con los cuales se difracta el haz y se

obtiene una figura característica de difracción, figura 3.45b.

Sección 3.9 Técnicas de difracción para el análisis de la estructura

cristalina

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.43 Interacciones (a) Destructiva y (b)Constructiva entre Rx y el material cristalino. El refuerzo, o interacción constructiva, sucede en ángulos que satisface la Ley de Bragg.

Figura 3.44 Fotografía de un difractómetro de Rx. (Cortesia de H&M Analytical Services.)

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.45 (a) Diagrama de un difractómetro donde se observan la muestra en polvo y los haces incidente y difractado. (b) Figura de difracción obtenida con una muestra de polvo en oro.

Los resultados de una difracción de Rx utilizando

λ = 0.7107 Å (radiación obtenida con un blanco de

molibdeno, Mo) indican que los picos de difracción estan en los ángulos 2θ siguientes:

Ejemplo 3.20 Análisis de la difracción de Rx.

Determine la estructura cristalina, los índices del plano que produce cada pico y el parámetro de red del material.

Ejemplo 3.20 SOLUCION Primero se determina sin2θ para cada pico y despues se

divide entre el valor mínimo, 0.0308.

Ejemplo 3.20 SOLUCION (Continuación)

Para calcular la distancia entre planos se puede usar cualquiera de los valores de 2θ de los picos y luego el parámetro de la red.Si escogemos el pico 8:

2θ = 59.42 o θ = 29.71 Å Å

868.2)4)(71699.0(

71699.0)71.29sin(2

7107.0

sin2

2224000

400

lkhda

d

Este es el parámetro de red del hierro BCC

Figura 3.46 Fotografía de un microscopio electrónico de transmisión (TEM) usado para el análisis de la microestructura de materiales. (Cortesia de JEOL USA, Inc.)

Figura 3.47 Micrografía electrónica de transmisión de una muestra de aleación de Al. La figura de difracción de la derecha muestra manchas luminosas grandes que representan la difracción de los principales granos de la matriz de aluminio, las manchas más pequeñas se originan en cristales de nanoescala de otro compuesto que esta presente en esa aleación. (Cortesía del Dr. JÖrg M.K. Wiezorek, University of Pittsburgh.)

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g


(c) 20

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Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g Figura 3.49


(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g


(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g


(c) 20

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Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.56 Si se usaron Rx longitud de onda de = 0.15418nm Determine:La estructura cristalina,parámetro, los índices de los planos que produce cada pico.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.57 Si se usaron Rx de = 0.07107 nm, determine:

Estructura cristalina, los indices de los planos y el parámetro del metal.

PLANOS Y DIRECCIONES CRISTALOGRAFICAS EN

CELDAS EXAGONALES COMPACTAS

INDICES DE MILLER-BRAVAIS

Se tiene tres ejes basicos, y la altura biene a ser el cuarto eje, correspondiendo

a1 = x , a2 = y , a3 = eje auxiliar, c = z, tomando las inversas:

h = 1/a1 , k = 1 / a2, I = 1 /a3 y l = 1/c

Por lo tanto los indices de Miller son: (hkil) y como los ejes forman un

angulo de 120 grados, tenemos:

H + k+ I = 0 I = -(h + k)

Ejes a considerar

a1

a2

-a1

-a2

a3

-a3

c

( 0,1,1) ( 0,-1,1)

(1,1,1)

(1,0,0) (1,1,0)

(1,0,1)

(0,1,0)

(-1,0,1)

Ejemplos: 1. (0001)

2. (10-10)

3. (1-100)

4. (01-10)

5. (01-11)

6. (0-110)

7. (11-20)

8. Dibujar los planos

correspondientes

a1

a2

a3

c

IM (001)

IMB (0001)

IM (010),

IMB (01-10)

IM (100) ,

IMB (10-10)

INTERSECCIONES a1 =1, a2=

c =1/2, hallamos los reciprocos

IM (102)

IMB (hkil) = (10-12), donde

i = -(h+k)

OE

INTERSECCIONES:

a1 = -1 , a2 = , c=

RECIPROCOS

-1, 0, 0

im ( -100)

IMB (-1010)

intersecciones

a1 -1, a2 =1/2 , c = 1

reciprocos

-1 2 1

IM (-121)

IMB (-12-11)

Indices de direccion

• Aqui se mantiene los 3 ejes en el plano y la

altura es el eje z, la simbologia es la

siguiente: a1=u, a2=v, a3=t y c =w,

por lo tanto los indices de direccion se

indican

• [uvtw] y u+v+t = 0 y t= -(u+v)

• Si se quieren indicar con 3 ejes se utiliza a1

= u, a2 = v y c=w

Ejemplos:

• Indices de direccion

• D:[010], E: [001]

• [-1-11],[010] y [100]

• A:Punta (-1,0,1) cola

(1,1,1)

• B:punta(1,0,1), cola

(0,1,0)

• C:Punta(1,0,0), cola

(0,0,1)

A

B

C

Determinar las direcciones

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son

Learn

ing

Determinar las direcciones

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing /

Thom

son L

earnin

g

Determinar los planos

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing /

Thom

son L

earnin

g

Determinar los planos

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son

Learn

ing


Learning™

Figura 3.25 Indices de Miller-Bravais en celdas unitarias HCP usando un sistema coordenado de 4 ejes. Los planos identificados con A y B y las direcciones identificadas con C y D son del ejemplo 3.11.


Figura 3.26 Direcciones comunes en la celda unitaria HCP usando sistemas con 3 y 4 ejes. Las líneas punteadas muestran que la dirección [1210] es equivalente a una dirección [010].

Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y para las direcciones C y D en la Figura 3.25.

Ejemplo 3.11 Determinación de los Indices de Miller-Bravais para planos y direcciones


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Figura 3.25 Los Indices Miller-Bravais son obtenidos usando un sistema de coordenadas de 4 ejes. Los planos identificados con A y B, y las direcciones con C y D son del ejemplo 3.11.

Ejemplo 3.11 SOLUCION Plano A 1. a1 = a2 = a3 = , c = 1 2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1 3. No hay fracciones que simplificar 4. (0001) Plano B 1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 1 2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1 3. No hay fracciones que simplificar 4. Dirección C 1. Dos puntos son 0, 0, 1 y 1, 0, 0. 2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = -1, 0, 1 3. No hay fracciones que eliminar ni enteros que reducir. 4.

)1211(

113]2[ ó ]011[

Example 3.11 SOLUCION (Continuación) Dirección D 1. Dos puntos son 0, 1, 0 y 1, 0, 0. 2. 0, 1, 0, -1, 0, 0 = -1, 1, 0 3. No fracciones que eliminar ni enteros quereducir 4. 100]1[ ó ]101[

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g


(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g Figura 3.49


(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g


(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g


(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.52 Determine los índices para las direcciones en la red hexagonal, usando el sistema de 3 y 4 dígitos.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.53 Determina los índices para las direcciones en la red hexagonal, usando 3 y 4 dígitos.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.54 Determina los indices para los planos mostrados.

(c) 20

03

Bro

ok

s/Cole P

ublish

ing / T

hom

son L

earnin

g

Figura 3.55 Determina los índices para los planos mostrados.

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