1

РОЗДІЛ І Термодинаміка плазми 1.1. Поняття плазми, квазінейтральність, мікрополя. 1.2. Дебаївський радіус. 1.3. Ідеальна та неідеальна плазма. 1.4. Умова термодинамічної рівноваги. 1.5. Термічна іонізація: формула Саха, зниження потенціалу іонізації. 1.6. Квантова статистика Фермі-Дірака для електронного газу; модель Томаса Фермі. 1.1. Поняття плазми, квазінейтральність, мікрополя.

Відмінність між звичайним іонізованим газом та плазмою пов’язане з властивістю квазінейтральності. Ця властивість та обумовлені нею характерні часовий та просторовий масштаби розглядаються в даному підрозділі.

Означення плазми

Плазмою називають суміш електронів, іонів та нейтральних частинок (атомів і молекул), яка є в цілому квазінейтральною. Поняття квазінейтральності означає електронейтральність у середньому за достатньо великі проміжки часу і на достатньо великих просторових масштабах.

Для того, щоб визначення плазми набуло конкретності, треба кількісно визначити згадані часові та просторові масштаби. . Поняття квазінейтральності означає електронейтральність за достатньо великі проміжки часу і на достатньо великих просторових масштабах.

Квазинейтральність плазми. Основна властивість плазми − це її квазинейтральність. Розділити в ній

позитивно і негативно заряджені частинки дуже важко. Уявимо собі, що у декотрому плоскому шарі товщиною δ нам вдалось все ж таки зсунути усі негативно заряджені частинки на деяку відстань x (рис.8.1). Тоді ліворуч (у області "а") утворюється шар надлишкового негативного заряду товщиною x, а праворуч (у області "в") такий же шар позитивного заряду. Поверхнева густина цих надлишкових зарядів σ = enex і породжуване ними електричне поле дорівнюватиме

xen

E e

00 εεσ == . (8.1)

Так, наприклад, для ne= 1012 см-3 та х = 1 мм це поле виявляється рівним 2⋅105 В/см. Звичайно, таке велике поле нереальне і здійснити подібне розшарування зарядів у плазмі практично неможливо.

Мікрополя в плазмі На просторових масштабах, менших від дебаївського радіусу, або на часових

масштабах, менших від періоду ленгмюрівських коливань, електронейтральність плазми може порушуватися за рахунок теплового руху електронів. Це призводить до виникнення так званих мікрополів. Для оцінки величини цих мікрополів виконаємо модельний розрахунок.

2

Нехай у деякому шарі завширшки ∆z усі електрони змістилися на одну межу, а всі іони – на іншу (рис. 1.4). Тоді у проміжку виникне поле, аналогічне до поля в плоскому конденсаторі:

04 4E n e zπσ π= = ∆ . (1.20)

Різниця потенціалів на кінцях проміжку ∆z складе величину ( )2

04U E z n e zπ= ∆ = ∆ . (1.21)

Щоб пролетіти цю різницю потенціалів, електрон повинен мати енергію ( )22

04W eU n e zπ= = ∆ . (1.22)

Віддаль ∆z, яка визначає величину мікрополів у плазмі, може бути визначена з умови, що W=kBT. Тоді

Рис. 1.4. До оцінки величини мікрополів у плазмі.

204

BD

k Tz r

n eπ∆ = ≡ (1.23)

Відповідно, максимальну величину мікрополів у плазмі можна оцінити як 2

max 0 04 4 p D pD B

Te

m r mE n er n k T

e ev

ω ωπ π= = = ≈ . (1.24)

Іншими словами, сила, що діє на електрони плазми за рахунок мікрополів, є величина порядку сили, що обумовлює ленгмюрівські коливання з амплітудою порядку дебаївського радіусу. Оцінка (1.24) залишається в силі за порядком величини незалежно від геометрії конкретної моделі. Для параметрів плазми, що вже використовувалися вище, з (1.24) отримаємо: Еmax≈5 В/см.

Ленгмюрівська частота

Для знаходження часових масштабів можливого розділення зарядів у плазмі слід розв’язати задачу про власні коливання плазми. Для цього розглянемо найпростішу модель необмеженої плазми, в якій іони нерухомі, плазма електронейтральна в цілому, теплового руху електронів немає.

Візьмемо плоский шар і частину електронів, які в ньому знаходяться, зсунемо на деяку віддаль в напрямку, перпендикулярному до площини шару (рис. 1.1). При цьому електронейтральність плазми порушиться. В результаті розділення зарядів виникне електричне поле, під дією якого зсунуті електрони повернуться на своє місце. Але, оскільки електрони мають ненульову масу, вони

3

проскочать положення рівноваги і за інерцією рухатимуться далі, поки не відхиляться від положення рівноваги в інший Знову виникне електричне поле, яке намагатиметься повернути електрони в положення рівноваги, вони знову проскочать це положення, і відтвориться початковий стан. Потім процес періодично повторюватиметься. Такі коливання прийнято називати електронними плазмовими, або ленгмюрівськими. Можна сказати, що період ленгмюрівських коливань і буде визначати часовий масштаб можливого порушення електронейтральності. Очевидно, плазма може вважатися квазінейтральною лише проміжках часу, значно більших за період цих коливань.

Рис. 1.1. До пояснення коливань електронів у плазмі.

Для оцінки періоду таких коливань скористаємося системою рівнянь, що

відповідають теоремі Гаусса, рівнянню руху електронів та рівнянню неперервності:

( )04div E e n nπ= −r

;

( )v ev v E

t m

∂ + ∇ = −∂

r

r

r r ; (1.1)

0div jt

ρ∂ + =∂

r

,

де n0 – середня концентрація електронів, яка збігається з концентрацією іонів. У другому рівнянні системи (1.1) враховано, що координати електрона змінюються з часом, тому повна похідна за часом набуває вигляду

( )3 3

1 1

ii

i ii i

xdv v v v v vv v v

dt t x t t x t= =

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = + ⋅∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑

r r r r r r

r r . (1.2)

Будемо вважати, що концентрація електронів змінюється лише вздовж осі z. Тоді електричне поле, обумовлене цією зміною концентрації, а також і спричинена даним полем швидкість руху електронів будуть спрямовані вздовж осі z. Система (1.1) набуває вигляду

( )

( )

04 ;

;

0.

Ee n n

zv v e

v Et z mn

nvt z

π∂ = − ∂

∂ ∂ + = − ∂ ∂∂ ∂ + = ∂ ∂

(1.3)

Стаціонарний однорідний розв’язок системи (1.3) – n=n0, v=0, E=0. Будемо розглядати малі відхилення концентрації електронів від n0. Тоді

розв’язок (1.3) можна шукати у формі n(z, t)=n0+n~(z, t), причому |n~|<<n0, а v та E

4

також можна вважати величинами першого порядку мализни. Після підстановки до (1.3) та лінеаризації можна отримати:

~

~0

4 ;

;

0.

Een

zv e

Et m

n vn

t z

π∂ = ∂

∂ = − ∂∂ ∂ + = ∂ ∂

(1.4)

Систему (1.4) можна звести до одного рівняння 2

2~~2

0p

nn

tω∂ + =

∂, (1.5)

де 2

04p

n e

m

πω = (1.6)

– електронна плазмова, або ленгмюрівська частота. Обернена до неї величина T=2π/ωp і визначає максимальний часовий масштаб порушення електронейтральності. Формулу (1.6) можна переписати у формі

[ ] 4 3102

ppf Гц n см

ωπ

− ≡ ≈ .

Тоді, наприклад, для концентрації 1011 см–3 (таку концентрацію можна вважати типовою для лабораторних експериментів) ленгмюрівська частота складе приблизно 3 ГГц, а відповідний період – 300 нс. Отже, лабораторну плазму можна вважати квазінейтральною лише в середньому за проміжки часу в кілька мікросекунд.

1.2 Дебаївський радіус екранування. Квазінейтральність плазми може все ж таки порушуватися, навіть за рахунок

теплового руху частинок плазми, якщо відстані x досить малі. Потенціальна енергія електрона у системі, зображеній на рис.8.1, дорівнює

0

22

εxne

eExFxпe=== . (8.3)

Прирівняємо тепер цю енергію кінетичній енергії теплового руху електронів

kTxne e =

0

22

ε .

Звідси можна одержати величину відстані x, на котрій може порушуватися квазинейтральність плазми за рахунок теплового руху зарядів. Ця відстань позначається як d і має назву дебаївського радіусу екранування

20

en

kTd

e

ε= . (8.4)

Так, наприклад, для ne= 1012 см-3 і Т= 3⋅104 К це буде d = 1,2⋅10-3 см. На цю ж відстань невеликий пробний заряд, введений у плазму, збурює цю

плазму, впливає на своїх сусідів і сам зазнає їх впливу ( звідси і назва "радіус екранування"). На більших відстанях електричне поле пробного заряду у плазмі

5

послаблюється настільки, що оточуючі його заряджені частинки у своєму тепловому русі перестають відчувати це поле і підкорятися йому.

Саме на цю відстань простягаються сили далекодії у плазмі і тому дебаївський радіус екранування виявляється природним просторовим масштабом процесів, що відбуваються у плазмі.

Оскільки квазінейтральність у плазмі може порушуватися у межах дебаївського радіусу екранування та за часи, сумірні з періодом легмюрівських коливань, наведене на початку цього розділу визначення плазми слід доповнити такими обмеженнями: "у об'ємах, більших від дебаївського радіусу екранування і для проміжків часу, більших від періоду легмюрівських коливань".

1.2. Дебаївський радіус екранування Проаналізуємо тепер можливі порушення квазінейтральності в просторі. Розглянемо пробний заряд q, занурений у плазму. Для визначеності

вважатимемо його позитивним. Якби електрони плазми не мали кінетичної енергії (що відповідає так званій

моделі холодної плазми), вони впритул наблизилися б до пробного заряду ("обліпили" б його) й повністю екранували його кулонівське поле.

Оскільки в реальності електрони плазми мають ненульову кінетичну енергію (температуру), вони не опустяться на дно потенціальної ями, створеної пробним зарядом, а будуть рухатися в ній. В результаті в околі пробного заряду утвориться підвищена концентрація електронів, які будуть екранувати поле цього заряду, але тільки на помітних віддалях (рис. 1.2). Характерна віддаль, на якій поле малого пробного заряду буде екрануватися, називається дебаївським радіусом екранування, або просто дебаївським радіусом. Легко зрозуміти, що саме дебаївський радіус визначає просторовий масштаб можливого порушення електронейтральності в плазмі.

Рис. 1.2. Екранування пробного заряду в холодній (а) та теплій (б) плазмі.

Для кількісного розрахунку дебаївського радіусу необхідно побудувати

розв’язок рівняння Пуассона ( )04 ee n nϕ π∆ = − , (1.7)

що описує електростатичне поле навколо пробного заряду. Знову вважаємо іони нерухомими, а тепловий рух електронів цього разу

врахуємо. Тоді густина електронів відповідно до закону Больцмана має визначатись розподілом потенціалу:

6

( ) ( )0 exp

B

e rn r n

k T

ϕ = −

r

r . (1.8)

Підставимо (1.8) до рівняння Пуассона (1.7) і розкладемо експоненту в ряд Тейлора, вважаючи, що теплова (кінетична) енергія електронів значно перевищує їхню потенціальну енергію1, так що

1B

e

k T

ϕ << . (1.9)

Маємо: ( ) ( )

20

0

44 1 1

B B

e r n een r

k T K T

ϕ πϕ π ϕ

∆ = − + =

r

r , (1.10)

або

01

2 =−∆ ϕϕDr

, (1.11)

де використано позначення 2

204

BD

k Tr

n eπ= . . (1.12)

З урахуванням сферичної симетрії задачі лапласіан у сферичних координатах набуває вигляду

=∆dr

dr

dr

d

r

ϕϕ 22

1 (1.13)

Нас цікавить розв’язок (1.11), що в околі нуля поводить себе як q/r (на малих віддалях поле пробного заряду не зазнає екранування). Будемо підставляти до (1.11) з урахуванням (1.13) розв’язок у формі ϕ(r)=f(r)/r. Тоді рівняння набуває вигляду

2D

ff

r′′ = , (1.14)

і його розв’язок записується в експоненціальній формі:

1 2exp expD D

r rf C C

r r

= − +

. (1.15)

При r→∞ потенціал пробного заряду має прямувати до нуля, тому слід покласти С2=0. Отже,

( ) 1 expD

C rr

r rϕ

= −

. (1.16)

При r<<rD, як уже вказувалося, побудований розв’язок повинен відповідати кулонівському полю пробного заряду, тому С1=q.

Остаточно маємо:

( )

−=

Dr

r

r

qr expϕ (1.17)

(рис. 1.3).

1 Ця умова буде обов’язково виконана, якщо теплова енергія електронів перевищить потенціал іонізації.

7

Рис. 1.3: 1 – кулонівський потенціал; 2 – потенціал екранування в плазмі.

Величина rD, визначена співвідношенням (1.12), і визначає дебаївський радіус екранування. Можна записати, що

1

8TeB

DP P

vk Tr

m

πω ω

= = , (1.18)

де

m

Tkv b

Te π8= (1.19)

– середня теплова швидкість електронів (точніше, середній модуль повної швидкості). Формулу для дебаївського радіусу можна також переписати у формі

[ ] [ ] [ ]3 3

6.85 740D

T К T еВr см

n см n см− −

= =

.

Для концентрації 1011 см–3, яку ми вже використовували для оцінки ленгмюрівської частоти, та температури 1 еВ, яку теж можна вважати типовою для лабораторної плазми, можна отримати rD порядку 25 мкм.

Тепер можна уточнити визначення плазми: плазма – це суміш електронів, іонів та нейтральних частинок, яка існує протягом часу, більшого від періоду ленгмюрівських коливань, і має характерні розміри, більші від дебаївського радіусу.

Сказане вище стосується газової плазми. Але в широкому розумінні плазмою називають будь-яку квазінейтральну суміш протилежно заряджених частинок. Говорять, наприклад, про електронно-діркову плазму напівпровідників, електронну плазму в металах, плазмові властивості електролітів і навіть про кварк-глюонну плазму2. 1.3. Ідеальна та неідеальна плазма. В залежності від параметрів (концентрація заряджених частинок, температура, наявність чи відсутність магнітного поля та інші) властивості різних видів плазми

2 Гіпотетичний стан матерії, що характеризується сильною взаємодією. В цьому стані кольорові кварки (частинки зі спіном 1/2, зарядом ±2/3 або ±1/3 та специфічною характеристикою – так званим кольором) та глюони (частинки, що забезпечують взаємодію кварків між собою), звичайно зв’язані в адрони (до адронів належать усі баріони, в тому числі протони й нейтрони, а також мезони), вивільнюються й можуть рухатись як квазівільні частинки по всьому об’єму плазмової матерії (подібно до електронів у напівпровіднику). Кварк-глюонна плазма характеризується "кольоропровідністю" (аналог електропровідності в електрон-іонній плазмі). Вважають, що така плазма існувала в перші 10-5 с після космологічного вибуху.

8

можуть дуже сильно відрізнятися між собою. Розглянемо різні варіанти класифікації плазми. Ідеальна та неідеальна плазма. Статистика Максвелла Як відомо, в фізиці часто використовують модель ідеального газу, коли потенціальною енергією його частинок можна знехтувати порівняно з їхньою кінетичною енергією. Інколи такою моделлю можна описувати й плазму.

Внутрішня енергія плазми складається з кінетичної енергії електронів та іонів і потенціальної енергії їхньої кулонівської взаємодії. Порівняємо кінетичну енергію, що припадає на одну частинку, тобто (3/2)kBT, із середньою енергією взаємодії частинок. Оскільки в плазмі має місце дебаївське екранування електростатичного поля, то у взаємодії беруть участь лише найближчі частинки. Отже, середню енергію взаємодії частинок можна оцінити як e2n1/3 (n–1/3 – середня віддаль між частинками в плазмі). Тоді умова того, що плазму можна вважати ідеальним газом, тобто кінетична енергія частинок значно перевищуватиме їхню потенціальну енергію, буде мати вигляд:

12 3

Be n k T<< . (1.25) Використавши поняття дебаївського радіусу (див. формулу (1.12), це співвідношення можна переписати у формі

13

1

0 >>Drn , або

10 >>= DD VnN , (1.26)

де VD=(4π/3)rD3 – об’єм так званої дебаївської сфери,

( )3 2

0 3 1 20

1

6B

D D

k TN n V

e nπ= = (1.27)

– кількість частинок у дебаївській сфері. Отже, ідеальною є гаряча (з великою кінетичною енергією частинок) і

розріджена (з малою потенціальною енергією частинок) плазма. Для ідеальної плазми справджується максвеллівський розподіл частинок за

швидкостями (енергіями). Кількість частинок сорту α (електронів, іонів, нейтральних атомів) зі швидкостями в інтервалі швидкостей [v, v+dv] і в інтервалі координат [r , r+dr ] можна записати як

( )3 2 2

0, exp2 2B B

m m vdn v r n dvdr

k T k Tα α

α α π

= −

r r r r ; (1.28)

в тому самому інтервалі координат та в інтервалі модулів швидкості [v, v+dv] – як

( )3 2 2

20, exp 4

2 2B B

m m vdn v r n v dvdr

k T k Tα α

α α ππ

= −

r r ; (1.29)

в тому самому інтервалі координат та в інтервалі енергій [W, W+dW] – як

( ) ( )3

20

2, expB

B

Wdn W r n k T W dWdr

k Tα α π−

= −

r r . (1.30)

Прикладами ідеальної плазми може служити космічна та газорозрядна плазма. Як правило, саме про таку плазму йтиметься в даному курсі.

9

При порушенні умови (1.26) говорять про неідеальну плазму. При зростанні концентрації плазма нагадує вже не газ, а рідину. Прикладом неідеальної плазми можуть бути електроліти, де інколи можна побачити перехід до рідкого плазмового стану і навіть до металізації.

При ще більших концентраціях можуть виявитися квантові ефекти.

1.4. Умова термодинамічної рівноваги. Рівновага термодинамічної системи — стан, при якому термодинамічна

система займає певний об'єм, і перебуває у рівноважному стані (стані рівноваги). Такий стан є тоді, коли тиск, температура і хімічний склад системи в усіх її частинах, якими малими вони б не були, є однаковими.

Принцип детальної рівноваги У термодинамічно рівноважній плазмі виходи усіх прямих і зворотних процесів повинні дорівнювати один одному3. Так наприклад, вихід ударної іонізації має дорівнювати виходу потрійної рекомбінації eAeA 2+↔+ + А вихід фотоіонізації повинний зрівноважуватися виходом радіаційної рекомбінації eAhA +↔+ +ν Не може бути того, щоб усі іони виникали за рахунок іонізації електронним ударом, а зникали за рахунок радіаційної рекомбінації. Далі можна написати і інші пари прямих і зворотних процесів, швидкості протікання яких також будуть дорівнювати один одному: eAeA +↔+ * (збудження електронним співударянням і співударяння другого роду), *AhA ↔+ ν (фотозбудження та спонтанне випромінювання збудженого атома). Принцип детальної рівноваги виконується задовільно навіть у випадках, коли деякі процеси неточно компенсують один одного, така ситуація виникає, зокрема, щодо останнього процесу, бо в обмеженому об’ємі плазми деякі кванти виходять з об’єму не створивши актів ані фотоіонізації, ані фотозбудження. Така ситуація дістала назву локальної термодинамічної рівноваги. Застосування принципу детальної рівноваги полегшує розрахунки швидкостей протікання процесів у плазмі, бо перетини прямих процесів здебільше краще відомі, ніж перетини зворотних процесів.

В моделі локально термодинамічної рівноваги (ЛТР) вважається, що

розподіл електронів по енергетичним рівням цілком визначається зіткненнями між частинками, а процеси зіткнень відбуваються настільки часто, що при будь-якій зміні умов в плазмі відповідний розподіл встановлюється миттєво. В цьому випадку кожному процесу можна поставити у відповідність обернений йому

3 Нагадаємо, що виходом будь-якого процесу називають кількість актів даного процесу у одиниці об’єму за одиницю часу.

10

процес, причому обидва процеси протікають з однією швидкістю. Хоч температура і густина можуть змінюватись в просторі і в часі, розподіл електронів по енергетичним рівням в деякий момент часу в певній точці простору повністю залежить від температури, густини і хімічного складу плазми в цьому місці. Якщо концентрація вільних електронів невелика, то розподіл швидкостей електронів задається розподілом Максвела:

,)2

exp()2

(4 22

2/3v dVV

kT

mV

kT

mndn

eee

−=π

π (1.1.1)

де nе- повна концентрація вільних електронів, Те- електронна температура. Для зв'язаних станів розподіл по рівнях виражається формулою

Больцмана:

(1.1.2)

Однією з умов виконання ЛТР є формула Саха:

(1.1.3)

Спектральна густина енергії випромінювання, що знаходиться в рівновазі з електронами при температурі Т, визначається формулою Планка:

(1.1.4)

Для оптично тонкої плазми інтенсивність спектральної лінії визначається формулою:

∫⋅= ,),(),()(4

1),( dsqphvqpApnqpI

π (1.1.5)

де A(p,q) – ймовірності переходу в атомі, hv(p,q) – енергія фотонів. Щоб відхилення від ЛТР були менші 10% частота спонтанних переходів

повинна бути хоча б на порядок менша частоти переходів обумовлених зіткненнями. 1.5. Термічна іонізація: формула Саха, зниження потенціалу іонізації.

Як відомо, ступінь рівноважної іонізації газу визначається за формулою Саха:

( )3

2expBe i e i i

a a B

mk Tn n g g W

n g k T

π = −

h, (2.1)

11

де індекси e, i, a вказують відповідно на електрони, іони та атоми, g – статистична вага відповідних частинок, Wi –потенціал іонізації. Слід нагадати4, що формула Саха дає ступінь іонізації, який не залежить від її конкретних механізмів, а характеризує стан термодинамічної рівноваги при даній температурі. Потенціал іонізації Wi для воднеподібних атомів може бути знайдений із розв’язку рівняння Шрьодінгера. Для атомів, що мають більше одного електрона користуються методом самоузгодженого поля. Ідея цього методу полягає в тому, що кожен електрон в атомі рухається в полі, що створюється ядром і всіма іншими електронами. Для складних атомів цей метод виявляється дуже громіздким, і користуються методом Томаса-Фермі: враховується, що більшість електронів характеризується великими значеннями головного квантового числа, тому для розрахунку можна скористатися квазікласичним наближенням. 1.6. Квантова статистика Фермі-Дірака для електронного газу; модель Томаса Фермі. В газі вільних і незалежних електронів одно електронні рівні описуються хвильовим вектором k і спіновим числом s: енергії рівнів не залежать від s (при відсутності магнітного поля ) і визначаються виразом: E(k)=ħ2k2/2m (1) В основному стані зайняті тільки ті рівні, в яких E(k)≤EF, тому в основному стані функція розподілу повинна мати вигляд: fkS=1, E(k)<EF ; 0, E(k)>EF (2) З іншої сторони в границі T→0 розподіл Фермі-Дірака набере вигляду limT→0fkS=1, E(k)<µ ; 0, E(k)>µ (3) Щоб ці два вирази були сумісні, повинна виконуватися умова: limT→0 µ=EF (4) Одним з найбільш важливих прикладів застосування статистики Фермі-Дірака може служити розрахунок електронного вкладу в питому теплоємність металу при постійному об’ємі cv=(T/V)(∂S/∂T)v=(∂U/∂T)v , (5) u=U/V В наближенні незалежних електронів внутрішня енергія U рівна сумі добутків E(k) на середнє число електронів на даному рівні, взятій по всіх одно електронних рівнях U=2∑kE(k)f(E(k)) (6) Щоб підкреслити, що fk залежить від k тільки через енергію електрона E(k) , ми ввели функцію Фермі f(E)= 1/(exp((E-µ)/kST)+1) (7) Якщо поділити дві частини рівності (6) на об’єм V, використовуючи рівність limV→∞(1/V)∑kF(k)=∫dkF(k)/8π3, то густину енергії u=U/V можна записати у вигляді u=∫dkE(k)f(E(k))/4π3 (8)

4 Про це йшлося в курсі "Фізична електроніка. Ч.1".

12

Розділивши на V також і дві частини співвідношення N=∑i1/(exp((E-µ)/kST)+1), можна доповнити (8) виразом для густини електронів n=N/V і використати його для виключення хімічного потенціалу n=∫ f(E(k))dk/4π3 (9) При розрахунку типу (8) і (9) , які мають форму ∫ F(E(k))dk/4π3 (10) часто використовують те, що підінтегральний вираз залежить від k лише через енергію електрона E=ħ2k2/2m. Переходячи в інтегралі до сферичних координат і замінюючи k на E, маємо ∫ F(E(k))dk/4π3=∫0,∞k2dk F(E(k))/ π2=∫-∞,∞dEg(E)F(E) (11) Тут g(E)=(m/ħ2π2 )√2mE/ ħ2 , E>0; 0, E<0. Оскільки інтеграл (10) являє границю суми (1/V)∑ksF(E(k)), із виразу слідує, що g(E)dE=(1/V)l (13) де l- число одно електронних рівнів в інтервалі енергій від E до E+dE. g(E) називають густиною рівнів в розрахунку на одиницю об’єму (або густиною рівнів). g зручно записати у виді: g(E)=3n/2EF(E/EF)1/2 , E>0; 0, E<0 (14) Особливо важливо знати числове значення густини рівнів біля поверхні Фермі, яке може бути представлене в двох еквівалентних формах, що випливають з співвідношень (12) і (14) g(EF)=mkF/ħ

2π2 (15) або g(EF)= 3n/2EF (16) Використовуючи введені позначення, запишемо вирази (8) і (9) наступним чином: U== ∫-∞,∞dEg(E)F(E) (17) і n=∫-∞,∞dEg(E)f(E) (18) Якщо визначити густину рівнів з допомогою виразу (13), то ми отримаємо для конкретного випадку, а вирази (17) і (18) справедливі для будь-якої кількості невзаємодіючих (незалежних) електронів.

Інтеграли (17) і (18) мають складну структуру, але їх можна розкласти в ряд тому, що при всіх температурах, які представляють інтерес для металів, при температурах набагато меншій за температуру Фермі.

Функція f(E) відрізняється від свого значення при нульовій температурі лише в малій області шириною порядку kBT поблизу µ.

Тому відмінність інтегралів типу ∫-∞,∞H(E)f(E)dE від їх значень для нульової температури ∫-∞,EFH(E)dE

13

повністю визначається видом функції H(E) поблизу точки E=µ. Якщо H(E) міняється мало в області шириною порядку kBT поблизу точки µ, то температурну залежність інтеграла можна знайти, замінивши функціюH(E) на суму декількох перших членів її розкладу в ряд Тейлора при E=µ: H(E)=∑n=0,∞ (d

n/dEn) H(E)|E-µ(E-µ)n/n! (19) Результат має форму ряду ∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+∑n=1,∞ (kBT)2nan(d

2n-1/dE2n-1)H(E)|E-µ (20) який називається розкладом Зоммерфельда. an- безрозмірна стала порядку одиниці. Як правило, з всієї суми (20) залишають перший і (дуже рідко) другий члени. Вони мають наступний вигляд:

∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+π2/6(kBT)2H’(µ)+7π4/360(kBT)4H’’’ (µ)+ O(kBT/µ)6 (21) Щоб розрахувати питому теплоємність металу при температурах, малих порівняно з TF, скористуємося розкладом Зоммерфельда (21) і застосуємо його до інтегралів (17) і (18) для густини енергії і густини числа електронів: U= ∫0,µEg(E)dE+ π2/6(kBT)2[µg’(µ)+g(µ)+ O(T)4 ] (22) n=∫0,µg(E)dE+ π2/6(kBT)2g’(µ)+ O(T)4 (23) З виразу (23) слідує, що µ відрізняється від свого значення EF при T=0 лише на величину порядку T2. Тому з точністю до T2 можна записати ∫0,µH(E)dE=∫0,EFH(E)dE+(µ-EF)H(EF) (24) Аналогічним чином у виразах(22) і (23) отримаємо U= ∫0,EFEg(E)dE+ EF ((µ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g’(EF))+ π2/6(kBT)2g(EF) + O(T)4 (25) n=∫0,EFg(E)dE+((µ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g’(EF))+ O(T)4 (26) Перші члени в правих частинах, незалежні від температури, являють значення u і nдля основного стану. Оскільки ми розраховуємо питому теплоємність при постійній густині, то величина n не залежить від температури і вираз (26) зводиться до співвідношення: 0=(µ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g’(EF) (27) яке визначає відхилення хімічного потенціалуµ відEF µ= EF- π2/6(kBT)2g’(EF) /g(EF) (28) Оскільки для вільних електронів густина рівнів g(E) пропорційна E1/2 (див. (14)), отримаємо µ= EF(1-1/3(πkBT/2EF)2) (29) тобто, зміна µ має порядок T2 і складає близько 0,01% навіть при кімнатних температурах. Враховуючи (27) член в фігурних дужках у виразі (25) перетворюється в нуль, тому вираз для густини теплової енергії при постійній густині електронів набуває більш простої форми u=u0+ π2/6(kBT)2g(EF) (30) де u0- густина енергії в основному стані. Отже, питома теплоємність електронного газу:

14

cv=(∂U/∂T)n=π2k2Tg(EF)/3 (31)

і для вільних електронів (див.(16)) маємо cv=(π2/2)(kBT/EF)nkB (32) Порівнюючи цей вираз із класичним результатом для ідеального газу (cv=3/2·kB), ми бачимо, що статистика Фермі-Дірака приводить до пониження питомої теплоємності за рахунок множника (π2/3)(kBT/EF), який пропорційний температурі і має порядок 10-2 Цим пояснюється відсутність спостерігаю чого вкладу електронних ступенів вільності в питому теплоємність металу при кімнатній температурі. Для грубих обрахунків питомої теплоємності досить проаналізувати залежність від температури функції Фермі. Передбачення лінійного вкладу в питому теплоємність являє собою одне з важливих наслідків статистики Фермі-Дірака. Воно дозволяє ще раз провірити теорію електронного газу в металах, при умові, що ступені вільності відмінні від електронних, не дають порівняльного або великого вкладу. В дійсності виявляється, що при високих температурах основний вклад в теплоємність вносять інші ступені вільності. Але при температурах набагато нижчих від кімнатної їх вклад падає пропорційно кубу температури і при дуже низьких температурах стає нижче електронного, який зменшується лінійно з температурою Т. Щоб розділити ці два вклади, зазвичай будують криву залежності cv/T від T2. Дійсно, при врахуванні електронного і іонного вкладів теплоємність при низьких температурах становить cv=γT+AT3 (33) тоді cv/T=γ+AT2 (34) Тому можна знайти γ. Значення питомої теплоємності вказують в Дж/мольК. Щоб знайти теплоємність одного моля c, необхідно помножити віднесену до одиниці об’єму питому теплоємність cv на ZNA/n c= π2ZRkBTg(EF)/3n (35) де R=kBNA=8,314 Дж/моль К Використовуючи вираз (16) для густини рівнів вільних електронів і вичислене вище значення EF/kB, отримаємо, що вклад вільних електронів в теплоємність одного моля дорівнює c=γT, де γ= π2ZR/2TF=0,169Z(rS /a0)

210-4 калмоль-1 К-2 (36). Модель Томаса — Ферми Методу теории функционала плотности предшествовала модель Томаса — Ферми, развитая Л. Томасом и Энрико Ферми в 1927 г. Они рассчитали энергию атома как сумму его кинетической энергии, представленной в виде функционала электронной плотности, и потенциальной энергии взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; энергия взаимодействия также была выражена через электронную плотность.

15

Несмотря на заметную роль, которую модель Томаса — Ферми сыграла в развитии квантовой механики, её точность была недостаточной, поскольку не учитывалось обменное взаимодействие, в отличие, например, от метода Хартри — Фока. В 1928 г. Поль Дирак уточнил функционал энергии в модели Томаса — Ферми, добавив к нему слагаемое, описывающее обменное взаимодействие (это слагаемое также имело вид функционала электронной плотности).

Несмотря на это, для ряда применений модель Томаса — Ферми — Дирака не давала удовлетворительного результата. Основным источником погрешности являлось выражение кинетической энергии, приводящее к погрешности в вычислении обменной энергии. Кроме того, не учитывалась энергия электронной корреляции.

Розподіл електричного заряду в атомі. Розподіл заряду в тяжких атомах можна розрахувати за допомогою наближеного методу, який називають методом Томаса – Фермі. При цьому використовується той факт, що в тяжкому атомі більшість електронів має великі квантові числа. Довжини хвиль електронів при цьому малі в порівнянні з областю зміни потенціалу. Тоді густина електронів у кожній точці атома може бути розрахована так само, як і густину вільних електронів у потенціальній ямі з пласким дном.

Нехай невеликий імпульс електронів у даній точці дорівнює 0p . Кількість

станів в одиниці об’єму в інтервалі ( , )p p dp+ дорівнює 3/(2 )dp π . Оскільки в основному стані атома електрони повинні заповнювати всі стани з імпульсом, меншим 0p , то кількість електронів в одиниці об’єму дорівнює

303 3

4 12 2

(2 ) 3 (2 )

dpn pπ

π π= =∫

(множник 2 виникає через дві можливі проекції спіну електрона). Позначимо через ( )rϕ електростатичний потенціал атомного поля. Згідно з рівнянням Пуассона

4 nϕ π∆ = , Тобто

30pϕ∆ .

Пов’яжемо 0p із ϕ . Повна енергія електрона дорівнює 2 ( )p rϕ− . Нехай 0ε – максимальне значення повної енергії в кожній точці атома, тобто

20

0 ( )2

prε ϕ= − .

Величина 0ε повинна бути сталою, інакше електрони будуть переходити з точок з більшою енергією в точки з меншою енергією. Із двох останніх формул знаходимо

32

0( )ϕ ϕ ε∆ + або

32ϕ ϕ∆ ,

16

якщо відраховувати ϕ від 0ε− . Визначимо радіус l області, в якій знаходиться більшість атомних електронів. Із останньої формули маємо за порядком величини

32

2l

ϕ ϕ , звідки 14l ϕ −

.

З іншого боку, величину l можна пов’язати з кількістю всіх електронів атома Z: 3Z nl

або, враховуючи співвідношення nϕ∆

32

Z l ll

ϕϕ ϕ∆ .

Порівнюючи два останніх вирази, знайдемо 4Z l l− ⋅ або

13

1.l

Z

Середня енергія ε атомного електрона за порядком величини дорівнює

електростатичному потенціалу ( )lϕ . Оскільки 14l ϕ −

, то отримуємо 44 3l Zε −

. Повна енергія всіх електронів E має порядок величини

73E Z Zε .

Кількість вузлів хвильової функції 13l Zε .

Отже, радіус K -оболонки атома 1/Kr Z , відстань l (томас-фермієвський

радіус), на якому знаходиться більшість атомних електронів, 131/Z і радіус

зовнішніх оболонок 1 , оскільки ефективний заряд для електронів зовішніх оболонок 1 . Формула Резерфорда. Розглянемо розсіяння легкої частинки масою m та зарядом eна тяжкій частинці з зарядом Ze у нерелятивістському класичному випадку. Переріз розсіяння не залежить від маси тяжкої частинки; він визначається швидкістю налітаючої частинки υ , її масою і зарядами e та Ze. Із закону Кулона слідує, що переріз σ залежатиме лише від комбінації 2Ze . Із цих параметрів можна скласти тільки одну величину з розмірністю довжини, а саме

2 2/Ze mυ ; відповідно, переріз розсіяння 22

2( ) ( )

Zef

mσ θ θ

υ

=

.

Знайдемо залежність перерізу від кута розсіювання в граничному випадку малих кутів. Кут відхилення θ приблизно дорівнює (рис. Х) /p pθ ⊥≈ , де p – імпульс частинки, а p⊥ – імпульс, що виникає у напрямку, перепендикулярному до початкового. Вирахуємо p⊥ :

2 2 2 2

3 32 2 2 2 22 20

2 2cos

( ) (1 )

Ze Ze dt Ze dx Zep F dt dt

r t x

ραρυ ρυρ υ

∞ ∞ ∞ ∞

⊥ ⊥−∞ −∞ −∞

= = = = =+ +

∫ ∫ ∫ ∫

(інтеграл береться заміною x tgy= ); тут ρ – прицільна відстань (рис. Х). Відповідно,

17

2

2

2( )

Zer

mθ

υ ρ= .

За визначенням диференціального перерізу розсіювання: sin

sin

d d d dd d d d d

d d

ρ ρ θ θ ϕσ ρ ρ ϕ ρ θ ϕ ρϕ ϕ θ

= = = , (1)

або 1

sin

d d

d d

σ ρρθ θ

=Ω

. (2)

Використовуючи (1) і (2), отримуємо формулу Резерфорда для малих кутів розсіювання:

2

2 4

2 1d Ze

d m

συ θ

= Ω

. (3)

Розподіл Томаса – Фермі в атомі. Для потенціальної енергії V електрона можна написати наступне електростатичне рівняння:

4V πρ∆ = − , (4) де ρ – густина електронів у даній точці. Це рівняння наближене, оскільки насправді ми маємо багаточастинкову задачу – ядро і Z електронів, і потенціал

1

1( , )

Z

ii i

ZV r r

r r r=

= − +−∑

є оперетор, а не число, тобто V залежить від електронних координат, а ρ , очевидно, не залежить. Відповідно, потенціал в (4) є значенням істинного потенціалу, усередненим по руху електронів. Оскільки частинок багато, то відхилення ( , )iV r r від ( )V r будуть в середньому малими (хоча формально ( , )iV r r може набувати довільних значень). Рівняння Шредінгера з таким усередненим потенціалом має вигляд

2( ) 0E V∆Ψ + − Ψ = , (5) Причому потенціал V можна вважати сферично-симетричним (сферична симетрія може порушуватися тільки за рахунок зовнішніх електронів або незаповнених

оболонок). Тоді ( )nl

nlm lm

u rY

rΨ = .

Густина електронів дорівнює 2

2 2

22 2 nl

nlm lmnlm nlm

uY

rρ = Ψ =∑ ∑ . (6)

Підсумовування за m з урахуванням співвідношення 2 2 1

4

l

lmm l

lY

π=−

+=∑

призводить до виразу 2

2

( ) 2 1( ) 2

4nlu r l

rr

ρπ+= ∑ . (7)

В квазікласичному наближенні радіальна хвильова функція має вигляд

18

1

( ) cos4

rnl

nl nl

rnl

au r k dr

k

π = −

∫ , (8)

де 2

22

( 1/ 2)( ) 2( ( ) )

2nl nl

lk r E V r

r

+= − − , 2 2 nlnl

Ea

nπ∂≈∂

.

Рівні енергії nlE знаходяться із правила квантування Бора 2 1

( )2

r

nl

r

k dr n π= +∫ . (9)

При 0l = замість 12n + у співвідношенні (9) потрібно написати n .

Із (7) і (8) отримуємо

1

22

2

1( ) (2 1)cos

2 4

rnl

nlnl nl r

ar l k dr

k r

πρπ

= + −

∑ ∫ . (10)

В квазікласичному наближенні можна замінити середнє значення квадрата

косинуса на 12.

Із (10) маємо

2 2

1 2 1 1( )

2nl

nl nl

E lr

n r kρ

π∂ +=∂∑

. (11)

Від підсумовування за n в (11) перейдемо до інтегрування при фіксованому l ; оскільки

(...) (...) (...)nl nl

n

E Edn dE

n n

∂ ∂→ →∂ ∂∑ ∫ ∫ ,

то

1

1

12( )

2( )nl

n nl nl

E dE dEE V

n k k E V

∂ = = = −∂ −∑ ∫ ∫

0

minEI ,

де min 1E V= (при 1E V> хвильова функція має вигляд cos4

kdrπ −

∫ , а при

1E V< вона затухає експоненційно і внеском цієї частини в ( )rρ можна

знехтувати). Тому вираз (11) можна записати у вигляді

2 2

1 2 1( ) 2

2 ll

lr V

rρ

π+= −∑ . (12)

Оскільки 2

2

1 1

2 2lV V lr = + +

, то 2

2 12 ldV l

dl r

+= , і тоді (12) набуває вигляду

32

2 2 2

1 1 2( ) 2 2 ( 2 )

3 2l

l l l ll

dVr V V dV V

dlρ

π π π= − = − = − −

⋅∑ ∫max

min

l

l

V

VI . (13)

19

minlV відповідає 0l = , minlV V= . Величина

max( ) 0lV r = . Для станів з більшими l точка

r знаходиться в класично недоступній області, і такі стани роблять експоненційно малий внесок у густину в точці r (рис. З). Отже,

32

2

1( ) ( 2 )

3r Vρ

π= − . (14)

Позначаючи V ϕ− ≡ , запишемо рівняння Пуассона (4) з урахуванням (14) у наступному вигляді:

3 32 2

8 24

3Cϕ πρ ϕ ϕ

π∆ = = = , (15)

де 8 2 /3C π≡ . Це – так зване рівняння Томаса – Фермі. Якщо 0r → , то /Z rϕ → – потенціал ядра. Доцільно замінити

( ) ( ) /r Z r rϕ χ= з граничною умовою (0) 1χ = . В сферичних координатах 2 2

2 2

1 1( ) ( )

d dr Z

r dr r drϕ ϕ χ∆ = = , (16)

відповідно, із (15) маємо 12 3

212

( )Z

r Cr

χ χ′′ = . (17)

Введемо нову змінну 13x Z rα= (α виберемо пізніше) з метою отримати

універсальне рівняння для функції χ . Тоді із (17) знаходимо

2 1 31 12 3 62 2 21

2

1Z CZ Z

xα χ α χ′′ =

або, якщо обрати 3

2 Cα = , тобто

238 2

3α

π

=

, то остаточно знаходимо

2 32

2

1,

( ) 0,

(0) 1.

d

dx x

χ χ

χχ

=

∞ ==

(18)

Рівняння (18) розв’язується чисельно. Його розв’язок визначається розподілом густини електронів. Характерний радіус цього розподілу в безрозмірних одиницях 1x , відповідно, в звичайних одиницях 3

. . 0 /т ф

a a Z− . На

цій відстані знаходиться більшість електронів. Рівняння (18) справедливе в тій області атома, де застосовне квазістатичне наближення.

20

РОЗДІЛ ІІ Елементарні процеси

Елементарні процеси та їхня класифікація Як уже вказувалося, елементарні процеси – це процеси зіткнень частинок (молекул, атомів, іонів, електронів, фотонів). Оскільки молекули, атоми, іони є досить складними системами, то явища, що супроводжують їхні зіткнення, можуть бути досить різноманітними: виникнення та зникнення частинок (іонізація та рекомбінація, дисоціація); обмін енергією та імпульсом, поглинання та випромінювання електромагнітних хвиль. Як правило, розглядаються парні зіткнення, хоч інколи доводиться брати до уваги й зіткнення більшої кількості частинок (наприклад, потрійні). Дослідження елементарних процесів у фізичній електроніці є базою для опису таких процесів у макроскопічних системах, як збудження, іонізація, дисоціація, рекомбінація, поглинання та випромінювання електромагнітних хвиль, дифузія, тепло- та електропровідність і багато інших. Елементарні процеси можна розрізняти за характерним часом взаємодії частинок ∆t. Так, поняття миттєвого удару передбачає, що характерний час ∆t значно менший від середнього проміжку τ між двома зіткненнями. Такими є, наприклад, зіткнення нейтральних частинок у розрідженому газі. В цьому випадку траєкторія кожної частинки може розглядатись як ламана лінія (рис. 2.1.3 а).

Між зарядженими частинками діють кулонівські сили на далекій віддалі. Тому, наприклад, у плазмі електрон взаємодіє одночасно з багатьма іншими електронами та іонами, в результаті чого його траєкторія буде плавною кривою (рис. 2.1.3 б). У цьому випадку поняття характерного часу зіткнення та проміжку між зіткненнями, строго кажучи, втрачають зміст. Умовно за середній час між зіткненнями τ можна умовно прийняти час, за який швидкість електрона змінить свій напрямок, наприклад, на 90о.

а б

Рис. 2.1.3: а – траєкторія частинки, яка зазнає миттєвих ударів; б – траєкторія частинки, яка взаємодіє одночасно з багатьма іншими

частинками. Елементарні процеси можна також класифікувати за енергією, яка поглинається або виділяється при взаємодії частинок. Під таким кутом зору серед елементарних процесів виділяють пружні та непружні зіткнення. В результаті пружних зіткнень частинки можуть обмінюватись енергією та імпульсом, проте внутрішня енергія та стан частинок лишаються незмінними. Відповідно при

21

непружних зіткненнях внутрішня енергія та стан однієї з частинок зазнає зміни (рідше зазнають зміни внутрішня енергія та стан обох частинок). Непружні зіткнення, в свою чергу, ділять на удари першого та другого роду. До ударів першого роду належать процеси, які відбуваються за рахунок кінетичної енергії частинок, що стикаються: збудження електронних, коливних, обертових станів молекул, атомів та іонів. До непружних ударів І роду відносять і такі, що супроводжуються перетвореннями самих частинок – наприклад, іонізацією атомів або дисоціацією молекул.

Якщо ж частинка стикається з іншою, яка перебуває у збудженому стані, і внутрішня енергія збудженої частинки повністю або частково переходить в енергію поступального руху, говорять про удари другого роду, або надпружні удари.

Нарешті, елементарні процеси можна класифікувати за їхніми наслідками на: − пружні зіткнення, в результаті яких стан частинок після зіткнення не зазнає

змін; − процеси збудження атомів (супроводжуються переходом електронів на вищі

енергетичні рівні) та молекул (супроводжуються збудженням на вищі коливні чи обертові рівні);

− процеси руйнування атомів (іонізація) та молекул (дисоціація, утворення молекулярних іонів);

− процеси релаксації атомів та молекул (перехід зі збудженого в основний енергетичний стан);

− процеси рекомбінації (утворення атома в результаті об’єднання іона та електрона).

Саме відповідно до цієї класифікації і буде нижче викладатися матеріал. 2.1. Зіткнення заряджених частинок, дальнодія, частота зіткнень.

2.1.1 Імовірність співударянь. Поперечний переріз. Довжина вільного пробігу.(лев) Довжина вільного пробігу.

Розглянемо рух потоку частинок у газовому середовищі (рис.7.2). Потік рухається вздовж вісі x і містить початково 0N частинок. Концентрація газових молекул an . Якби газового середовища не було, то кількість частинок у потоці зберігалася б

незмінною при будь-яких значеннях координати x. Але за рахунок зіткнень з молекулами газу окремі частинки потоку розсіюються і виходять зі спрямованого потоку у різні боки. Потік “худне” в міру свого руху у газі. Можна скласти диференціальне рівняння, що описує цей процес: dxQxNdN )(−= (7.7)

22

де dN - кількість частинок що зазнали розсіяння на відрізку шляху dx, )(xN - кількість частинок у потоці на координаті x; Q - коефіцієнт пропорційності. Розв’язком цього рівняння буде: xQeNxN −= 0)( (7.8). Розмірність величини Q є зворотною до довжини і ця величина має фізичний зміст імовірності співударянь при проходженні частинкою шляху у одиницю довжини (наприклад, 1см). Звичайно цю величину називають повним поперечним перерізом співударянь або просто “поперечником”. За нею можна визначити деякі похідні величини: Q/1=λ - середню довжину вільного пробігу ;

vQv =−λ

ν - частоту співударянь (тобто кількість співударянь за одиницю

часу, що зазнала частинка , яка рухається зі швидкістюv ). Очевидно, що Q має бути пропорційним до концентрації молекул газу an , що розсіюють частинки потоку. Звідси випливає величина

an

Qq = (7.8).

що має розмірність см2 і має назву ефективного поперечного перерізу. Фізичний зміст q - це начебто площа, яку являє собою переріз молекули газу для частинки, що з нею співударяється (рис.7.3). Звичайно для пружних співударянь величина q має порядок 1615 1010 −− − см2, що відповідає характерним “розмірам” молекул 87 1010 −− −≈a см. Але було б помилково уявляти атом чи молекулу начебто

ідеально пружною твердою кулькою з фіксованим радіусом a , а величину q вважати деякою константою.

7.3. Ефективний переріз пружного зіткнення електрону з молекулою газу

Ефективний переріз такого співударяння істотно залежить від швидкості електрону. Ця залежність має характерний вигляд подібний до зображеного на рис.7.4 і складається з двох частин: а ) для великих швидкостей електронів, коли їх дебройлівська довжина хвилі набагато менша від розмірів молекули

710−≈<<= amv

heλ см.

Тут величина ефективного перерізу )(vq монотонно спадає зі збільшенням швидкості і енергії електрону; б ) у області малих швидкостей, де ae≈λ , ефективний переріз набуває значних величин, але має

немонотонний хід. Це обумовлено резонансними явищами між електронною довжиною хвилі і структурою молекули. Це явище має назву ефекту Рамзауера. Межа між вказаними областями лежить звичайно у діапазоні енергій електронів у кілька електрон-вольт. .

23

2.1.2 Зіткнення заряджених частинок. (Кулонівські співударяння) Під кулонівськими співударяннями розуміють розсіювання заряджених частинок на заряджених же частинках, тобто iiee, та ei - співударяння. Розглянемо, наприклад, ei -зіткнення, тобто співударяння електрона з іоном. У відсутності кулонівських сил електрон пролетів би повз іона на мінімальній відстані 0r , яка має назву прицільного параметра. Але з причин кулонівського притягання траєкторія електрона відхилиться на кут χ , котрий залежить від 0r . Сила кулонівської взаємодії дається виразом

2

0

2

4 r

eF

επ=

Електрон відчуває дію цієї сили лише протягом часу, поки він знаходиться поблизу іона. Цей час T приблизно дорівнює vr /0 , де v - швидкість електрона. Таким чином зміна імпульсу електрона при співударянні описується наближеним виразом

vr

eFTmv

00

2

4)(

επ≈=∆

При відхилення траєкторії електрону на великі кути ( O90≥χ ) його імпульс mv зміниться на величину порядку самого mv, тобто vremvmv 00

2 4/)( επ≈≈∆ і прицільний параметр 0r виявляється рівним 2

02

0 4/ vmer επ≈ . Отже, можна вважати, що налітаючий електрон буде розсіяний іоном при усіх 0rr ≤ і ефективний поперечний переріз кулонівського розсіяння має дорівнювати

.16 422

0

4

0vm

erq

εππ == (7.9)

Але таким чином ми враховуємо лише розсіяння на великі кути. В дійсності з причини дальнодії кулонівських сил частинки будуть здебільше відхилятися на малі кути і такі співударяння можуть дати загальний внесок більший, ніж розсіяння на великі кути. Тому звичайно підрахований вище ефективний переріз кулонівських співударянь збільшують у Λ разів, де .2010−≈Λ Слід підкреслити, що при кулонівських співударяннях q дуже сильно залежить від швидкості частинок, бо величина v стоїть у знаменнику у четвертому степені.

Величини, що характеризують елементарні процеси (аніс) Розглянемо тепер деякі загальні величини, що характеризують елементарні

процеси незалежно від їхньої конкретної природи. До таких параметрів належить,

24

у першу чергу, переріз розсіювання (виділяють повний, диференціальний та транспортний переріз), а також частота зіткнень та довжина вільного пробігу.

Ефективний повний переріз розсіювання

Розглянемо рух первісно монокінетичного потоку пробних частинок у газі. Нехай в об’єм, заповнений газом з концентрацію розсіювальних центрів (частинок газу – атомів або молекул) n, влітає I0=n1v0 пробних частинок за одиницю часу на одиницю площі поперечного перерізу потоку (n1 та v0 – відповідно концентрація та швидкість пробних частинок). Величину I0 називатимемо інтенсивністю потоку пробних частинок на вході в систему. Нехай потік рухається вздовж осі х, а межа об’єму, заповненого газом, збігається з площиною х=0 (рис. 2.1.4). За рахунок парних зіткнень пробні частинки втрачають швидкість спрямованого руху. Вважатимемо, що до складу потоку входять тільки ті пробні частинки, що не зазнали зіткнень. Очевидно, розподіл потоку по довжині системи можна схарактеризувати монотонно спадною залежністю І(х).

Рис. 2.1.4. Розсіювання потоку частинок у газі.

Очевидно, кількість частинок, розсіяних за одиницю часу на проміжку

завдовжки dx на одиницю площі потоку, буде ,)()( QdxxIxdI −= (2.1.13)

де Q – деякий коефіцієнт пропорційності (вимірюється в см-1). Як випливає з (2.1.13),

( )( ) expoI x I Qx= − . (2.1.14)

Залежність (2.1.14) добре підтверджується експериментально. Величина Q відома в літературі як макроскопічний переріз (перетин) розсіювання. Величина 1/Q являє собою довжину релаксації пучка – віддаль, на якій потік пробних частинок ослабляється в е≈2.7 рази.

Очевидно, макроскопічний переріз повинен бути пропорційним до концентрації частинок газу n:

qnQ = . (2.1.15) Коефіцієнт пропорційності q, що має розмірність площі, називається ефективним повним перерізом розсіювання, або повним мікроскопічним перерізом розсіювання (вживане позначення q походить від німецького слова Querschnitt– поперечний перетин). Звичайно для пружних зіткнень q~10-15÷10-16см2.

25

Поняття повного перетину розсіювання було введено вище для процесу пружного розсіювання частинок. Але його легко узагальнити на будь-які інші елементарні процеси, які призводять до зменшення потоку пробних частинок при проходженні через газ. . Довжина вільного пробігу

Підрахуємо тепер середній шлях пробної частинки до моменту її розсіювання.

Якщо інтенсивність потоку пробних частинок у газі спадає вздовж траєкторії його руху за законом (2.1.14), то це, по суті, означає, що ймовірність того, що частинка пролетить віддаль х без зіткнень, складає величину

( ) ( )0

( ) expI x

p x nqxI

= = − . (2.1.16)

Відповідно, ймовірність того, що частинка зазнала зіткнення на шляху х, складає p′(x)=1–p(x). Густина розподілу ймовірності зіткнень знаходиться диференціюванням функції p′(x):

( ) ( ) ( ) ( )'exp

dp x dp xw x qn qnx

dx dx= = − = − − .

(2.1.17) Тепер можна строго розрахувати середню довжина вільного пробігу

частинок:

0

1 1( )fl x xw x dx

nq Q

∞

≡ ⟨ ⟩ = = =∫ (2.1.18)

(інтегрування здійснюється частинами). Частота зіткнень, тобто кількість зіткнень за одиницю часу на одну пробну частинку, буде визначатися формулою

f

vnqv

lν = = . (2.1.19)

Якщо розсіювання потоку пробних частинок обумовлено не одним, а кількома процесами з перерізами q1, q2…, то ефективна частота зіткнень буде визначатися співвідношенням

eff ii

nv qν = ∑ , (2.1.19 а)

а довжина вільного пробігу – співвідношенням 1 1

fi i

ln q

= ∑ . (2.1.18 а)

Спираючись на формулу (2.1.19), можна дати наочну інтерпретацію введеного вище поняття повного ефективного (мікроскопічного) перерізу розсіювання. Розглянемо просту механічну модель (рис. 2.1.5). Нехай частинки потоку – це кульки радіусу r1, а частинки газу – кульки радіусу r2. Тоді кількість зіткнень за одиницю часу для частинки потоку з молекулами газу буде ν=π(r1+r2)

2vn. Порівнюючи цей результат з (2.1.19), легко побачити, що q=π(r1+r2)

2. Отже, можна

26

чекати, що повний переріз пружного розсіювання є величиною порядку квадрату радіусу частинок, що взаємодіють.

Рис. 2.1.5. Механічна модель зіткнень частинок.

Досі йшлося про монокінетичний потік пробних частинок. Якщо цей потік не є монокінетичним, то треба взяти до уваги, що переріз розсіювання та довжина вільного пробігу виявляються функціями швидкості (або енергії) пробних частинок: q=q(W), lf=lf(W). Нехай інтенсивність потоку частинок з енергіями в інтервалі [W, W+dW] буде І(W)dW, так що повна інтенсивність може бути подана у формі інтеграла

( )0

I I W dw∞

= ∫ . (2.1.20)

Тоді середні значення перерізу розсіювання та довжини вільного пробігу визначаються формулами

( ) ( )

( )( ) ( )0

0

0

1q W I W dW

q q W I W dWI

I W dW

∞

∞

∞= =∫

∫∫

, (2.1.21)

( ) ( )

( )( ) ( )0

0

0

1f

f f

l W I W dW

l l W I W dWI

I W dW

∞

∞

∞= =∫

∫∫

, (2.1.22)

причому ці середні величини в загальному випадку вже не пов’язані співвідношенням (2.1.18).

У формулу (2.1.19) входить, строго кажучи, не абсолютна швидкість пробної частинки, а її відносна швидкість vrel щодо частинок газу. Якщо йдеться про розсіювання потоку електронів у газі, то швидкість електронів можна, як правило, вважати значно більшою від швидкості молекул (атомів), тому vrel=v.

Якщо ж цікавитися розсіюванням частинок газу, що рухаються з тепловими швидкостями, на частинках того самого газу, то відносна швидкість знаходиться зі співвідношення vrel~(kBT/m`)1/2, де m`=m1m2/(m1+m2)=m/2 – зведена маса. Отже, в цьому випадку

2 .relv v= (2.1.23)

27

Диференціальний переріз розсіювання Пробні частинки, що рухаються в газі, розсіюються під різними кутами (рис. 2.1.6). В елемент тілесного кута dΩ=dθdϕ sinθ, де θ й ϕ – відповідно аксіальний та азимутальний кути сферичної системи координат, потрапить потік розсіяних на елементі довжини dx частинок величиною

2,( , ) ( )d I I x nq dxdθ ϕθ ϕ = − Ω . (2.1.24)

Рис. 2.1.6. До визначення ефективного диференціального

перерізу.

Введена таким чином величина qθ,ϕ називається диференціальним перерізом

розсіювання. Повна кількість розсіяних на елементі довжини dx частинок буде

( )2,,dI d I Indx q dθ ϕθ ϕ

Ω Ω

= = − Ω∫ ∫ . (2.1.25)

З іншого боку, з (2.1.13) та (2.1.16) dI Inqdx= − . Порівнюючи обидва вирази для dI, отримаємо зв’язок між повним та диференціальним перерізами розсіювання:

∫ Ω= dqq ϕθ , . (2.1.26)

Очевидно, для випадку ізотропного розсіювання, коли qθ,ϕ не залежить ні від аксіального, ні від азимутального кута, можна записати, що qθ,ϕ=q/4π. Транспортний переріз та ефективна частота зіткнень

Ймовірність розсіювання пробних частинок під певним кутом визначається диференціальним перерізом. Але для дослідження руху потоку частинок як цілого важливо, під яким саме кутом відбувається розсіювання (наприклад, розсіювання під дуже малими кутами практично не впливає на потік).

Розглянемо, як швидко пробні частинки втрачають свою спрямовану швидкість або відповідний їй імпульс.

В результаті одноразового розсіювання імпульс пробної частинки змінюється на величину ∆p=m(v-v`), де v та v` –швидкості цієї частинки відповідно до та після зіткнення. Щоб знайти зміну імпульсу за одиницю часу, найпростіше усереднити ∆p за всіма можливими кутами розсіювання, а потім помножити результат на кількість зіткнень за одиницю часу. Отримаємо: dp

m v vdt

ν ′= −r

r r . (2.1.27)

Для того, щоб виконати операцію усереднення за кутами розсіювання, розкладемо швидкість пробної частинки після зіткнення v` на поздовжню та

28

поперечну компоненти щодо початкової швидкості v: v`=v//`+v⊥`. Оскільки розсіювання в протилежних напрямках на сферично-симетричному розсіювальному центрі однаково ймовірне, то <v⊥`>=0. З іншого боку, якщо пробні частинки мають значно меншу масу, ніж розсіювальні центри, то при пружному розсіюванні швидкість перших практично не змінюється за величиною, як це має місце, наприклад, при розсіюванні електронів у газі. Тому в цьому випадку можна вважати, що v//=v cosθ. Таким чином,

( ) ( )2// 1 cos 1 cosdp

mv nmv qdt

ν θ θ= − = − , (2.1.28)

де враховано формулу (2.1.19) для частоти зіткнень, а усереднення за кутом виконується з урахуванням диференціального перерізу:

,

,

,

cos 1cos cos

q dq d

qq d

θ ϕθ ϕ

θ ϕ

θθ θ

Ω= = Ω

Ω∫

∫∫

. (2.1.29)

Величина qtr=q(1–<cosθ>), яка входить до співвідношення (2.1.28), називається транспортним перерізом розсіювання, або ефективним перерізом передачі імпульсу. Її можна переписати у формі:

2, ,(1 cos ) 2 sin

2trq q d q dθ ϕ θ ϕθθ= − Ω = Ω∫ ∫ . (2.1.30)

Якщо розсіювання ізотропне, тобто qθ,ϕ=q/4π, то 2

0 0 0

sin (1 cos ) 2 (2 sin cos )4 4tr

q qq d d d q

π π π

ϕ θ θ θ π θ θ θπ π

= − = − =∫ ∫ ∫ ,

(2.1.30 а) тобто в цьому випадку транспортний переріз збігається з повним. Іншими словами, релаксація імпульсу спрямованого руху потоку пробних частинок відбувається з такою самою швидкістю, як і релаксація кількості нерозсіяних пробних частинок. Перепишемо формулу (2.1.28) у формі

//eff

dpmv

dtν= . (2.1.28 а)

Введена таким чином величина ( ) ( )1 cos 1 coseff trnvq nvqν ν θ θ= − = − = (2.1.31)

називається ефективною частотою зіткнень пробної частинки. 2.1. Зіткнення заряджених частинок (Диференціальний переріз при кулонівській взаємоді)ї

Оцінимо диференціальний переріз розсіювання при кулонівській взаємодії частинок. Це можна зробити на основі простих міркувань.

Будемо розглядати розсіювання електрона на однозарядному іоні. Останній можна вважати нерухомим. Нехай електрон налітає на іон зі швидкістю v0, при цьому частинки зближуються на прицільну віддаль b (рис. 2.2.1). Тоді кут розсіювання визначається поперечною швидкістю v⊥, яку електрон набуває під дією кулонівської сили порядку e2/b2 за час прольоту порядку b/v0 повз розсіювальний центр (це час, протягом якого сила кулонівської взаємодії зберігає свою максимальну величину порядку e2/b2):

29

2 2

20 0

1 1 e b ev F t

m m b v mv b⊥ ∆ = . (2.2.6)

Якщо v⊥<<v0, то кут розсіювання θ буде малим, і його можна оцінити як 2 2

20 0 0 0

arcsinv v e e

v v mv b bWθ ⊥ ⊥= , (2.2.7)

де W0=mv02/2 – початкова енергія електрона. Відповідно до (2.2.5)

диференціальний переріз буде 22 3 2 4 2

0 04 4 4

0

1

sin

W b W bbdb eq bdb

d e db e Wθ θ θ θ

= = =

. (2.2.8)

Точна формула, відома в літературі як формула Резерфорда, має вигляд 2 42

0

2

sin 2

eq

Wθ θ

=

. (2.2.8 а)

Видно, що вона зводиться до (2.2.8 а) за умови θ<<1. Якщо підставити (2.2.8) або (2.2.8 а) до (2.1.23), тобто розрахувати повний

переріз розсіювання за відомим диференціальним перерізом, отримаємо, що інтеграл

2 2 24 12 2 2

3 30 0 00 0 1

2 8 cos 2 82 sin

sin 2 sin 2

e e e dxq d d d

W W W x

π π

θθπ θ θ π θ π

θ θ −

Ω = = =

∫ ∫ ∫ ∫ (2.2.9)

розбігається, тобто повний переріз розсіювання виходить нескінченно великим. Це пов’язано з тим, що повний переріз згідно з (2.1.26) враховує розсіювання на будь-які, в тому числі й дуже малі, кути. З іншого боку, при кулонівській взаємодії формально забезпечується розсіювання на ненульові кути при як завгодно великих значеннях прицільного параметра. Це й призводить до необмеженого зростання повного перерізу розсіювання при кулонівській взаємодії (і при будь-якій іншій взаємодії, яка буде ненульовою при як завгодно великих значеннях прицільного параметра). На практиці розсіювання на дуже малі кути виявляється непомітним, тому переріз розсіювання, який можна визначити експериментально, виявляється скінченим. Справді, якщо в інтегралі (2.2.9) відкинути область малих θ, переріз розсіювання виявиться скінченим. Його величина буде обернено пропорційна до квадрату початкової енергії розсіяної частинки або до четвертого ступеню її швидкості. 2.2. Зіткнення електронів з атомами (пружні та непружні). Парні пружні співударяння Пружними називають співударяння, при яких загальна кінетична енергія взаємодіючих частинок залишається незмінною. Запишемо рівняння збереження енергії і імпульсу при такому співударянні:

22

22

21

21 2

1

2

1

2

1

2

1MvmuMvmu +=+ (7.1)

2211 vMumvMumrrrr +=+ (7.2)

30

де m і M - маси частинок, 1u і 1v - їх початкові, а 2u і 2v - кінцеві швидкості. Для простоти розглянемо випадок, коли 1v = 0 (тобто одна з частинок є початково нерухомою). Рівняння (7.2) спроектуємо на вісі паралельну і

перпендикулярну до напрямку швидкості 1u (рис.7.1). 2

222

21 Mvmumu += (7.1а)

θϕ

θϕsinsin0

coscos

22

221

Mvum

Mvumum

+=+=

(7.2а)

де ϕ і θ - кути розльоту частинок після співударяння. Найпростішим є випадок центрального удару, коли ϕ і θ дорівнюють нулю. Тоді 2

222

21 Mvmumu += (7.1б)

221 Mvumum += (7.2б) Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержуємо кінцеві швидкості частинок

;2

; 1212 uMm

mvu

Mm

Mmu

+=

+−= (7.3)

Частина енергії, котра буде частинці з масою M після такого співударяння, має назву коефіцієнта акомодації і позначається як α :

221

22

)(

4

2

12

1

Mm

mM

um

Mv

+==α (7.4)

При нецентральному ударі

θα 22

cos)(

4

Mm

mM

+= (7.5)

Якщо усереднити α по всіх рівно імовірних кутах θ , то усереднене значення коефіцієнту акомодації дорівнює

2)(

2Mm

mM

+=α (7.6)

Розглянемо два крайні можливі випадки: а ) Mm= , тобто співударяння частинок з однаковими масами. Тоді 2/1=α і початкова енергія розподіляється між частинками порівну. б ) Mm << - така ситуація виникає, наприклад, при співударянні електрона з масивною частинкою (атомом, молекулою або іоном). Тоді

12 <<=M

mα , тобто частина енергії, що передається масивній частинці, дуже

мала і легка частинка після співударяння відлітає зберігши майже усю свою енергію. 2.2.2 Непружні співударяння При непружних співударяннях одна (або дві) з взаємодіючих частинок переходить у якісно інший стан, що має певну потенціальну енергію

пE . Отже,

загальна кінетична енергія взаємодіючих частинок тепер не зберігається:

31

п

MvmuMvmu E++=+ 22

22

21

21 2

1

2

1

2

1

2

1. (7.17)

Сам же процес непружної взаємодії можна умовно описати формулою ©BABA +→+ ,

яка показує, що частинка B після співударяння переходить у новий стан ©B . Оскільки ж атоми і молекули можуть набувати різні стани ©B , то і непружні процеси можуть бути вельми різноманітними. Збудження електронних рівнів.

Електрони у електричному полі позитивного атомного ядра мають потенціальну

енергію 2

04п

eE

rπε= , де r - відстань від ядра. Тому

квантовані енергетичні рівні зображають звичайно у вигляді діаграми поданої на рис.7.6.

У незбудженому стані електрон знаходиться на найнизшому (основному) енергетичному рівні. При співударянні з іншою частинкою B атому A може бути передана енергія, так що один з його електронів, що знаходиться у основному стані, може перейти на

вищий рівень, що за енергією відрізняється від основного на aE . aB2 EEE +=+→+ 21

*BBABA

Тут зірочкою позначений збуджений атом, а BE - енергія збуджуючої частинкиB . Зрозуміло, що збудження можливе лише при aEE >1B .

Здебільше доводиться мати справу зі збудженням атома електронним ударом )( eB ≡ . Але навіть маючи енергію aEE > електрон далеко не завжди може збудити атом. При такому співударянні завжди існує певна імовірність цього процесу 1<aw , котра сильно залежить від швидкості електрона ev . Типова залежність

)( ea vw зображена на рис.7.7. Тут mv aa 2/E= . Як видно з цього рисунку, при ae vv < збудження неможливе і стає можливим лише починаючи з

ae vv = . Енергія aE , що відповідає цій швидкості, складає здебільше кілька одиниць або десятків еВ. Найменшим aE посідає перехід з основного стану на найнижчий збуджений ( так званий резонансний) рівень. Найменшу енергію такого переходу має атом цезію (1.39 еВ), найбільшу - атом гелію (20.5 еВ). Для усіх інших речовин величина minaE лежить у цих межах. При ae vv > спостерігається швидкий зріст aw . При maxev імовірність збудження

досягає максимуму, після цього порівняно повільно спадає. У максимумі величина

32

aw складає звичайно від кількох одиниць до кількох десятків відсотків. З імовірністю aw тісно пов’язана величина поперечного перетину збудження, котра дорівнює aджa wqq = , де

джq - газокінетичний перетин атому.

У плазмі, де концентрація атомів AN , концентрація вільних електронів en , а їх середня швидкість >< ev , вихід процесу збудження az ( тобто кількість актів збудження атомів у 1 см3 за 1 с) дорівнює ><= eeAaa vnNqz (7.18) У збудженому стані атом може перебувати час порядку 97 1010 −− −≈aτ с, після чого він само довільно повертається у попередній стан випускаючи квант світла νν hhAA a =+→ E* У рівноважному стані кількість актів збудження повинна дорівнювати кількості актів випромінювання квантів. З цих міркувань можна оцінити концентрацію збуджених атомів, яка має дорівнювати aaa zn τ=* (7.19) Звичайно час перебування атомів у збудженому стані невеликий і їх концентрація *

an також невелика, але існують так звані метастабільні рівні, з яких такі самодовільні випромінювальні переходи заборонені. Будучи збуджені на такі рівні атоми можуть перебувати у збудженому стані досить довгий час і виходять з нього здебільше під дією якихось зовнішніх сил (наприклад, при зіткненні з іншою частинкою). Отже, як видно з формули (7.13), концентрація таких метастабільних атомів може досягати досить великих значень. Іони і атоми також можуть своїми ударами збуджувати інші атоми. Для них максимум aw досягається при тих же швидкостях, як і для електронів. Але це відповідає набагато більшим енергіям.

Іонізація Якщо енергія налітаючої частинки B більше енергії зв’язку електрона з

атомом Ei, то електрон може бути відірваним від атома eiBBeBABA EEEE ++=++→+ +

21 і стає самостійною вільною частинкою, а атом втративши свій електрон, стає позитивним іоном. Цей процес має назву іонізації. При цьому частина енергії 1BE витрачається на іонізацію атома ( iE ) та на надання звільненому електрону кінетичної енергії

e. Найчастіше доводиться мати справу з іонізацією атомів електронним ударом

)( eB ≡ . Тоді ця реакція матиме вигляд: eAeA 2+→+ + Ефективний поперечний перетин іонізації

джii qwq = , де iw - імовірність акту іонізації. Величина iw 1< і залежить від швидкості (енергії) налітаючого електрона. Залежність )( ei vw якісно має вигляд подібний до )( ea vw (рис.7.7): швидкий зріст, максимум і подальше плавне спадання. Максимум імовірності іонізації лежить для

33

більшості речовин в околі 100 еВ, де вона може досягати кількох десятків відсотків.

Найменшу енергію іонізації має знову ж таки цезій (3.87 еВ), а найбільшу - гелій (24.5 еВ). Можлива також і багатократна іонізація, коли від атома послідовно відривається декілька електронів. В результаті утворюється багатозарядний іон. Але енергія потрібна для відривання кожного наступного електрона набагато більша, ніж для попереднього. Тому створення багатозарядних іонів - досить складна справа.

Східчасті процеси

Збудження і іонізація атомів може відбуватися не лише з найнижчого (основного) стану, але і з будь-якого збудженого рівня. Так наприклад, таке східчасте збудження атому електронним ударом може бути описане формулами

)( ©21

©**aaeeeAeA EEEE −+=+→+

де *A та ©*A - атом збуджений на якійсь рівень і збуджений з цього рівня на ще вищий рівень, а aE і ©

aE - енергії цих рівнів, 1eE та 2eE - початкова та кінцева енергія збуджуючого електрона. У граничному випадку це може бути східчаста іонізація eaieeeAeA EEEEE +−+=+→+ + )(2 21

* Очевидно, що збудження з одного з високих рівнів або іонізація з таких рівнів потребує меншої енергії, ніж збудження або іонізація з основного рівня. Але імовірність того, що атом. Який знаходиться короткий час у збудженому стані

*A , зазнає за цей час зіткнення з електроном, звичайно не дуже велика. Ця імовірність зростає у двох випадках: а ) у плазмах з великою концентрацією електронів або б ) якщо вихідний стан атому є метастабільним. У обох цих випадках вихід східчастих процесів різко зростає і їх внесок може набагато перевищувати кількість актів збудження або іонізації з основного стану. Деякі особливі випадки іонізації

Окрім розглянутих вище “класичних” випадків іонізації електронним ударом можливі ще й деякі особливі випадки іонізації

а ) асоціативна іонізація eiaeAAA EEE +=+→+ + 22

** Вона здійснюється при зустрічі двох збуджених атомів, якщо сумарна

енергія їх збудження перевищує енергію іонізації молекули, що при цьому утворюється. Таким чином можуть утворюватися молекулярні іони деяких металів (наприклад, +

2Cs ) або навіть молекулярні іони інертних газів ( ++22 , ArHe та інші).

Очевидно, що імовірність асоціативної іонізації тим більша, чим вища концентрація збуджених атомів. Це можливо у густих плазмах або у випадках, коли збуджений стан є метастабільним

б ) автоіонізація eiaaeAA EEEE +=++→ +

21**

34

Цей процес має місце, якщо у вже збудженому атомі додатково збуджується ще один електронний рівень і при тому сумарна енергія цих збуджених станів перевищує енергію іонізації. 2.3. Зіткнення пружних частинок, перезарядка. Парні пружні співударяння Пружними називають співударяння, при яких загальна кінетична енергія взаємодіючих частинок залишається незмінною. Запишемо рівняння збереження енергії і імпульсу при такому співударянні:

22

22

21

21 2

1

2

1

2

1

2

1MvmuMvmu +=+ (7.1)

2211 vMumvMumrrrr +=+ (7.2)

де m і M - маси частинок, 1u і 1v - їх початкові, а 2u і 2v - кінцеві швидкості. Для простоти розглянемо випадок, коли 1v = 0 (тобто одна з частинок є початково нерухомою). Рівняння (7.2) спроектуємо на вісі паралельну і

перпендикулярну до напрямку швидкості 1u (рис.7.1). 2

222

21 Mvmumu += (7.1а)

θϕ

θϕsinsin0

coscos

22

221

Mvum

Mvumum

+=+=

(7.2а)

де ϕ і θ - кути розльоту частинок після співударяння. Найпростішим є випадок центрального удару, коли ϕ і θ дорівнюють нулю. Тоді 2

222

21 Mvmumu += (7.1б)

221 Mvumum += (7.2б) Розв’язуючи цю систему рівнянь, одержуємо кінцеві швидкості частинок

;2

; 1212 uMm

mvu

Mm

Mmu

+=

+−= (7.3)

Частина енергії, котра буде частинці з масою M після такого співударяння, має назву коефіцієнта акомодації і позначається як α :

221

22

)(

4

2

12

1

Mm

mM

um

Mv

+==α (7.4)

При нецентральному ударі

θα 22

cos)(

4

Mm

mM

+= (7.5)

Якщо усереднити α по всіх рівно імовірних кутах θ , то усереднене значення коефіцієнту акомодації дорівнює

2)(

2Mm

mM

+=α (7.6)

Розглянемо два крайні можливі випадки:

35

а ) Mm = , тобто співударяння частинок з однаковими масами. Тоді 2/1=α і початкова енергія розподіляється між частинками порівну. б ) Mm << - така ситуація виникає, наприклад, при співударянні електрона з

масивною частинкою (атомом, молекулою або іоном). Тоді 12 <<=M

mα , тобто

частина енергії, що передається масивній частинці, дуже мала і легка частинка після співударяння відлітає зберігши майже усю свою енергію.

Перезарядження. Перезарядження - це обмін взаємодіючих частинок електронами: ++ +→+ BABA . При такому співударі іона +A з нейтральною частинкою B електрон переходить від B до A. Частинка A нейтралізується, а частинка B стає позитивним іоном. Цей процес має резонансний характер і відбувається найбільш ефективно, якщо енергетичні рівні, між якими відбувається перехід електрона, приблизно однакові. При нестачі, або надлишку енергії імовірність процесу перезарядження різко знижується. Тому перезарядження між молекулою і іоном різних речовин здебільше малоімовірне. Але при однорідних молекулах і іонах імовірність перезарядження близька до одиниці, тобто при кожному газокінетичному зіткненні (тобто торканні частинок) між ними можливий обмін електронами. Ри однакових енергіях однакових частинок цей процес виявити неможливо, бо при перезарядженні взаємодіючі частинки зберігають свою кінетичну енергію і відрізнити їх не вдається. Але якщо одна з частинок має кінетичну енергію набагато більшу , аніж друга (наприклад, швидкість іона +A набагато більша швидкості нейтральної молекулиB ), то після перезарядження утворюється повільний іон +B і швидка нейтральна молекула A. Саме це і є одним зі способів одержання потоків швидких нейтральних атомів. Для цього потік швидких іонів (які можна легко прискорити у електричному полі) пропускають через камеру з газом тотожним до іонів. Швидкі іони перезаряджаються на атомах газу і на виході з камери значна кількість іонів виявляється перетвореною на швидкі нейтральні атоми. А ті іони, які не зазнали перезарядження. Легко відхилити електричними або магнітними полями.

36

3.1. Рівняння Больцмана та Власова. Одночастинкова функція розподілу Точний опис системи, що складається з багатьох частинок, дає така звана

мікроскопічна функція розподілу частинок (мікроскопічна густина):

( ) ( )( ) ( )( )∑=

−−=N

tvvtrrtvrf1

,,α

αα δδ rrrrrr (2.1.1)

де сума береться по всіх частинках. Мікроскопічний стан плазми цілком визначено, якщо в даний момент часу

t визначено мікроскопічну густину f (для кожного сорту частинок)та мікрополя Er

і Br

в будь-якій точці фазового простору. Реально нас цікавлять макроскопічні величини. Їх з достатньою точністю

можна одержати в межах статистичного опису. Статистичний підхід до опису багаточастинкової системи полягає в тому,

що для знаходження значення координат і імпульсів усіх частинок системи в деякий момент часу розглядається сукупність таких систем, які відрізняються станами частинок, і вивчається розподіл систем за різними станами (підхід запропонований Дж. Гіббсом). Для опису розподілу систем по станах вводять так звану функцію розподілу Ліувілля у фазовому просторі відповідного числа частинок. Розподіл Ліувілля для системи з N частинок залежить від координат і швидкостей N частинок:

( )txxxDD NNN ;,...,, 21= , (2.1.2) де iii vrx

rr

,= Якщо частинки тотожні, то функція розподілу Ліувілля симетрична що до перестановки координат і швидкостей окремих частинок. Функція Ліувілля нормована на одиницю:

( )∫ = 1...;,...,, 2121 NNN dxdxdxtxxxD (2.1.3)

Про інтегрувавши розподіл Ліувілля по координатах та швидкостях 1−N частинок, отримаємо так звану одночастинкову функцію розподілу:

( )∫= NNN dxdxdxtxxxDNtxf ...;,...,,),( 2121 (2.1.4)

Одночастинкова функція розподілу нормована на повне число частинок: ( )∫ = 1, dxtxf (2.1.5)

Багаточастинкова функція розподілу для Sчастинок (для NS < ) визначається так:

( ) ( ) ( )∫ ++−= NSSSNSS dxdxdxtxxxD

SN

Ntxxxf ...;,...,,

!

!;,...,, 212121 (2.1.6)

Багаточастинкова функція Sf містить всю ту саму інформацію, що й 1−Sf , плюс деяку додаткову. Максимальну інформацію про ансамбль містить функція Ліувілля. Якщо частинки не взаємодіють, то будь-яка багаточастинкова функція розподілу може бути записана як добуток одночастинкових функцій:

( ) ∏=

=S

iiSS txftxxxf

121 ),(;,...,, (2.1.7)

37

В цьому випадку для статистичного опису поведінки системи достатньо знати одночастинкову функцію розподілу. Повернемося до позначення ),,(),( tvrftxf

rr= Очевидно,

( ) ( )trnvdtvrf ,,,rrrr =∫ – концентрація частинок; (2.1.8)

( ) ( ) >=<∫ trjvdtvrfv ,,,r

r

rrrr – густина потоку частинок; (2.1.9)

( ) ( ) ( ) >=<∫ trvdtvrftvrtrn

,,,,,),(

1 rrrrrrr

rϕϕ – середнє значення будь-якої фізичної величини

),,( tvrrrϕ . (2.1.10)

Одночастинкова функція розподілу використовується для опису безструктурних частинок, кожна з яких має 3 ступені вільності та рухається відповідно до законів класичної механіки. Для практичного використання одночастинкової функції розподілу необхідно знати рівняння, що описує її зміну в просторі з часом. Ї 3.1.1 Кінетичне рівняння Больцмана Зміна функції розподілу з часом у проміжках між зіткненнями визначається з умови:

( )0

,, =dt

tvrdfrr

(2.2.1)

Розпишемо:

03

1

3

1

=++∂∂≡

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂= ∑∑

== vd

dfv

rd

dfv

t

f

t

v

v

f

t

x

x

f

t

f

dt

df

i

i

ii

i

i

r&r

rr (2.2.2)

З другого закону Ньютона

Fmdt

vd r

r

1= (2.2.3)

тому

0=++∂∂=

vd

df

m

F

rd

dfv

t

f

dt

dfr

r

r

r (2.2.4)

( Fr

-сила, що діє на частинку). Щоб врахувати зміну функції розподілу за рахунок зіткнень, у праву частину дописують так званий інтеграл зіткнень fI :

fIvd

df

m

F

rd

dfv

t

f

dt

df =++∂∂=

r

r

r

r (2.2.5)

для однорідного рівноважного розподілу 0=fI В розріджених газах нейтральних частинок за відсутності зовнішніх полів можна вважати, що 0=F

r

. В плазмі силовий доданок необхідно враховувати навіть за відсутності зовнішніх полів – він описує взаємодію частинок через самоузгоджене поле. Перейдемо до розрахунку інтегралу зіткнень. Обмежимось лише парними зіткненнями, оскільки в розрідженому газі потрійні зіткнення несуттєві. Розглянемо зіткнення двох частинок з масами 1m і 2m та початковими швидкостями 1v

r та 2vr . В системі відліку, пов’язаній з першою

частинкою, закони збереження мають вигляд:

38

'' 221122 vmvmvmrrr += (2.2.6)

2

'

2

'

2

222

211

222 vmvmvm

rrr

+= (2.2.7)

Покажемо, що в такій системі зберігається величина відносної швидкості частинок, тобто 212 vvv ′−′= . Піднесемо перше рівняння до квадрату і поділимо на

2m :

''2'' 2112

222

12

212

2 vvmvmvm

mvm

rr++=2 (2.2.8)

Віднімемо друге рівняння:

''2'1 2112

12

11 vvmv

m

mm

rr+

− (2.2.9)

звідси

21

21

2

1

'

''21

v

vv

m

mr

rr

−= (2.2.10)

Поділимо (2.2.8) на 2m і підставимо в праву частину виразу для 2

1

m

m .

( ) ( )

( )22121

22

21

21

221

212

221

221

212

1

2

21

2121

22

2

21

2121

22

''''2''

'

''''2'

'

''4''4'

'

''21''2'

'

''21'

vvvvvv

v

vvvvv

v

vvvvv

v

vvvvv

v

vvvv

rrrr

r

rr

rr

r

rr

rr

r

rr

rr

r

rr

−=+

=−+++−

=

−++

−=

(2.2.11)

Таким чином, в процесі розсіювання відносна швидкість (позначимо її через ur )

змінює свій напрямок на деякий кут θ - так званий кут розсіювання. Скористаємось відомим поняттям диференціального перерізу розсіювання σd , який пов’язує абсолютну густину потоку падаючих частинок j і кількість частинок dN , розсіяних одним розсіювальним центром в елемент просторового кута Ωd :

σjddN =1 () Ωdd ~σ (2.2.12) Визначимо кількість частинок, що вибувають з елементу vd

r простору швидкостей за одиницю часу внаслідок пружного розсіювання. Густина потоку частинок зі швидкістю v

r , що розсіюються на частинці зі швидкістю 'v

r , буде ( ) vdtvrufj

rrr

,,= ( 'vvurrr −= ) (2.2.13)

Відповідно в елемент просторового кута Ωd розсіюється від одного центру розсіювання

( ) σσ dvdtvrufjddNrrr

,,1 == (2.2.14) частинок. Кількість центрів розсіювання частинок зі швидкістю v

r′ - складає ( ) ',, vdtvrfdn

rrr= (2.2.15) Тоді повна кількість частинок, що вибувають з елементу vd

r за одиницю часу, визначається інтегралом

( ) ( )∫=− σdvdtvrftvrufvddN ',',,,rrrrrr (2.2.16)

39

Міркуючи абсолютно аналогічно, можна записати кількість частинок, що надходять до елемента vd

r за одиницю часу в результаті зіткнень: ( ) ( )∫=+ σdvdtvrftvrufvddN '~,'~,,~,~ rr

r

r

r

r

(2.2.17)

де vr~ і v ′

r~ - швидкості частинок після зіткнення. Оскільки за теоремою Ліувілля

'~~' vdvdvdvdrr

rr = (2.2.18) то інтеграл зіткнень можна подати в формі:

( ) '''~~

vdudffffvd

dNdNfI

r

rσ∫ −=−= −+ (2.2.19)

де позначено ( )tvrff ,','

rr= ( )tvrff ,~,

~ r

r= (2.2.20) ( )tvrff ,'~,'

~ r

r= Диференціальний переріз розсіювання σd знаходиться з розв’язку задачі розсіювання двох частинок за методами класичної механіки. Він залежить від модуля відносної швидкості ur та кута розсіювання θ . Інтегрування в (2.2.19) виконується в просторі 'v

r з урахуванням законів збереження імпульсу та енергії. Інтеграл зіткнень у формі (2.2.19) вперше записав Л. Больцман. Підставивши його в кінетичне рівняння, отримуємо кінетичне рівняння Больцмана:

( ) vdudffffv

f

m

F

r

fv

t

f r

r

r

r

r σ∫ −=∂∂+

∂∂+

∂∂

''~~ (2.2.21)

Це рівняння є нелінійним інтегро-диференціальним. Для просторово

необмежених систем його слід доповнити значенням ( )0,, =tvrf

rr , (2.2.22) а для просторово обмежених ще й граничними умовами. Крім того, завжди

( ) v

,0,,

∞→→

r

rr

tvrf (2.2.23)

В загальному випадку побудувати розв’язок (2.2.21) не вдається через складність інтегралу зіткнень. Для спрощених обчислень можна використати модельну форму fI у так званому τ - наближенні.

Нехай слабко неідеальний газ має функцію розподілу, яка мало відрізняється від рівноважної:

( ) ( ) ( ) 0110 ||,,,,, fftvrfvftvrf <<+= rrrrr (2.2.24) Підставимо це в (2.2.19) і обмежимося доданками, лінійними по 1f :

( ) ( )

( )t

fftvrfvn

vdftvrfvvdudfffffffffI

Te

Te

−≡−

=−−−+≈ ∫∫0

1

0110101010

,,

'~,,~'''~

'~

'~~

rr

rrr

σ

σσ, (2.2.25)

де ( ) 1~ −Tevnστ - характерний час зіткнень.

Розглянемо просторово однорідний газ за відсутності зовнішніх сил. Тоді в τ - наближенні кінетичне рівняння набуває вигляду:

40

τff

dt

df −= 0 , (2.2.26)

звідки

( ) ( )

−=+=τt

tfftf exp010 . (2.2.27)

Як бачимо, час τ є характерним часом релаксації функції розподілу до рівноважної: він інколи називається часом максвелізації.

3.1.2 Самоузгоджене поле в плазмі. Рівняння Власова. З умови ідеальності плазми випливає, що середня відстань між частинками має бути набагато меншою від дебаївського радіусу. На відміну від нейтрального газу, в плазмі внаслідок кулонівських сил суттєвою стає колективна взаємодія. Точні мікроскопічні поля, що діють на заряджену частинку, можна подати як суми:

BBBEEErr

r

rr

r

δδ +=+= ~,

~ , (2.3.1) де BE

rr

δδ , - випадкові флуктуаційні поля, що зумовлюють зміни руху частинок, пов’язані з парними зіткненнями. Поля E

r

і Br

є значення в точці, де перебуває частинка, усереднені за областями з розміром d таким, що

Drdn <<<<− 3/1 . (2.3.2) Кінетичні рівняння для кожного сорту частинок можна записати у формі

∑=∂∂+

∂∂+

∂∂

βαβ

α

α

ααα Iv

f

m

F

r

fv

t

fr

r

r

r , (2.3.4)

де ( )eif ,=αα - функція розподілу частинок, αβI - інтеграл зіткнень частинок сорту

α з частинками сорту β ( ααI відповідає зіткненням однакових частинок між

собою), αFr

- сила, що діє на частинку сорту α з боку електромагнітного поля:

[ ]

×+= Bv

eEeF

r

r

rr 1αα (2.3.5)

Якщо плазма досить розріджена, то кореляціями між положеннями окремих частинок можна знехтувати. Оскільки парні зіткнення означають наявність парних кореляцій, то нехтування кореляціями означає нехтування зіткненнями. Тоді кінетичні рівняння для частинок різних сортів набувають вигляду

[ ] 01 =

∂∂

×++

∂∂+

∂∂

v

fBv

eE

m

e

r

fv

t

fr

r

r

r

r

r α

α

ααα (2.3.6)

Макроскопічні поля Er

і Br

визначаються з рівнянь Максвела:

t

B

cErot

∂∂−=r

r 1

jct

E

cBrot

r

r

r π41 +∂∂= (2.3.7)

πρ4=Edivr

0=Bdiv

r

Густини зарядів і струмів, що входять до рівнянь Максвела, в свою чергу визначаються функцією розподілу:

41

∑ ∫=α

αρ vdfea

r (2.3.8)

∑ ∫=α

αα vdfvejrr

r

(2.3.9)

Рівняння (2.3.6), (2.3.7), (2.3.8)та (2.3.6) утворюють замкнену систему – так звану систему рівнянь Власова. Необхідна умова застосовності рівнянь Власова зводиться до того, що ефективна частота зіткнень ν має бути малою порівняно з частотою самоузгодженого поля )(, ωνω << , або середня довжина вільного пробігу fl - має

бути великою в порівнянні з довжиною хвилі λ . Оскільки ν/~ Tf vl -, а k/1~λ , то

остання умова набуває вигляду tkv<<ν . Рівняння Власова інваріантні щодо заміни tна t− , тобто вони не можуть описувати наближення системи до стану термодинамічної рівноваги.

42

3.4. Явища переносу в плазмі. 3.5. Електропровідність, дифузія частинок за наявності та відсутності магнітного поля.

Явища перенесення в газі Спочатку розглянемо явища перенесення в газі – теплопровідність, в’язкість

та дифузію – і отримаємо відповідні коефіцієнти. Як буде показано нижче, частина цих результатів може бути перенесена на плазму.

Збурення кінетичної функції в неоднорідному газі у τ-наближенні

Розглянемо неоднорідний газ нейтральних частинок. Для аналізу процесів перенесення в такому газі скористаємося рівнянням Больцмана у τ-наближенні, яке для даного випадку набуває вигляду

τff

r

fv

t

f −=∂∂+

∂∂ 0

r

r , (2.2)

де

( )3 2 2

0 exp2 2B B

m v umf n

k T k Tπ −

= −

r r

(2.3)

– локально рівноважна (максвеллівська) функція розподілу (пор. з (1.1.28)), у якій концентрація n, температура T і гідродинамічна швидкість u можуть бути функціями координат.

Вважаючи неоднорідність газу слабкою, шукаємо розв’язок у формі 0 'f f f= + , 0'f f<< . (2.4) Оскільки неоднорідність слабка, то характерний розмір неоднорідності L –

великий параметр. Тому grad f′~f′/L є величина другого порядку мализни. Нехай f0 і f′ – стаціонарні розподіли. Тоді кінетичне рівняння Больцмана (2.2) набуває вигляду:

τ'0 f

r

fv −=

∂∂r

r , (2.5)

звідки ( )0' fgradvfrτ−= . (2.6)

Користуючись формулою (2.6), можна обчислити коефіцієнти перенесення для різних величин. В ряді випадків знайдені таким чином величини можна застосувати й до плазми. Коефіцієнт теплопровідності Нехай у нерухомому газі (u=0) існує стаціонарний градієнт температури. Феноменологічна формула – так званий закон Фур’є – пов’язує цей градієнт з потоком тепла:

( )Bq grad k Tχ= −r . (2.7)

Тут χ – коефіцієнт теплопровідності. З іншого боку, потік тепла задається співвідношенням

vdfvmv

q2

rrr

'2∫= . (2.8)

43

У нерухомому однорідному (n=const) неоднорідно нагрітому (T=T(r )) газі можна записати:

( ) ( )( )0' BB

ff v grad k T

k Tτ ∂= − ⋅ =

∂r

( )( ) ( )

3 23 2 2 2

5 2 2

3 1exp

2 2 2 22B

B BB B

m m mv mvv k T n

k T k Tk T k Tτ

π π

= − ⋅∇ − + − =

r

( )2

0

3

2 2BB B

mvv k T f

k T k T

τ = − ⋅∇ − +

r . (2.9)

Підставимо (2.9) до попереднього інтегралу (2.8). Отримаємо:

( )2 2

6 40

3 3

2 2 2 6 2 2B BB B B B

mv mv m mq v f v k T dv v v k T

k T k T k T k T

τ τ = − − ⋅∇ = < > − < > ∇

∫

r r r r (2.10)

(враховано, що внесок до інтегралу дають лише компоненти швидкості, паралельні до градієнту температури). Порівнявши (2.10) та (2.7), можна записати вираз для коефіцієнту теплопровідності у формі:

6 43

6 2 2B B

m mv v

k T k T

τχ

= − < > − < >

. (2.11)

Обчислимо <v4> за допомогою розподілу Максвела (2.3):

( )3 2 2

4 4 4 20

0

exp 42 2B B

m mvv v f v dv n v v dv

k T k Tπ

π

∞ ∞

−∞

= = − =

∫ ∫

r r

3 2 226

0

15exp

2 22B

B B

k Tn m mvv dv n

k T k T mπ

∞ = − =

∫ . (2.12)

Аналогічно 3

6 105

2Bk T

v nm

=

. (2.13)

Тут враховано, що для натуральних n

( ) ( )2 21 2

0

2 1 !!exp

2 (2 )n

n

nx ax dx

a

π∞

+

−− =∫ , ( ) ( ) ( )2 1 !! 1 3 5 ... 2 3 2 1n n n− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − . (2.14)

Підставивши (2.12) та (2.13) до (2.11), отримаємо: 5

2 Bnk Tχ τ= . (2.15)

Співвідношення (2.11) часто записують у формі 1

3 P f Tc nml vχ = , (2.15 а)

де cp=5/2 – питома теплоємність газу при p=const, vT=(3kBT/m)1/2 – теплова швидкість частинок, lf=vTτ – довжина вільного пробігу. Коефіцієнт в’язкості

Нехай в ізотермічному однорідному газі існує стаціонарний потік у напрямку x, причому ux=ux(z), див. рис.2.1. Завдяки внутрішньому тертю між

44

шарами газу з’являється потік імпульсу в напрямку z. При малих градієнтах він визначається емпіричною формулою

Рис. 2.1. Просторовий розподіл швидкості газу.

z

uxxz ∂

∂−=Π η , (2.16)

де η – коефіцієнт в’язкості (коефіцієнт внутрішнього тертя). В цьому випадку максвеллівська функція розподілу (2.3) набуває вигляду

( )3 2

2 2 20 exp

2 2 x x y zB B

m mf n v u v v

k T k Tπ = − − + +

, (2.3 а)

збурення рівноважної функції розподілу відповідно до (2.6) можна записати як 0' x

zx

f uf v

v zτ ∂ ∂=

∂ ∂. (2.17)

Відповідно до загальної формули (1.44) можна записати потік імпульсу mvx в напрямку z:

( ) 'xz x zmv v f dvΠ = ∫r (2.18)

(пор. із формулою (2.8)). Як і в попередньому випадку, незбурена частина функції розподілу не дає внеску до інтегралу. Тепер підставимо (2.17) до (2.18). Отримаємо:

2 2 20 00

x x xxz x z y z z x x z

x x

f u u f um v v dv m dv dv v v dv m v f dv

v z z v zτ τ τ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Π = = = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫∫ ∫ ∫r r (2.19)

(інтегрування по vx виконується по частинах). Порівнявши (2.19) та (2.16), можна записати:

20zm v f dvη τ= ∫r . (2.20)

Підставивши до (2.20) рівноважний розподіл (2.3 а) і виконавши інтегрування, можна отримати вираз для коефіцієнту в’язкості:

1

3B f Tnk T nml vη τ= = (2.20 а)

(враховано позначання, введені наприкінці п. 2.2.2). Коефіцієнт дифузії

Аналогічно до того, як були розраховані коефіцієнти теплопровідності та в’язкості, можна визначити коефіцієнт дифузії, який задає потік частинок за наявності градієнту концентрації. Емпірична формула для потоку частинок (так званий закон Фіка) має вигляд J D n= ∇r

, (2.21)

45

де D – коефіцієнт дифузії. Для збурення функції розподілу можна отримати:

( )nvfn

f ∇⋅−= r

0'τ . (2.22)

Підставивши (2.22) до виразу для густини потоку частинок 'J vf dv= ∫

r

r r , (2.23)

(пор. з формулою (1.43)), виконавши інтегрування і порівнявши результат з (2.21), можна отримати вираз для коефіцієнту дифузії:

21 1

3 3f

f Te

lD l v

τ= = (2.24)

(враховано, що lf=vTeτ). Тут, як і в усіх попередніх формулах, τ – час релаксації малих збурень функції розподілу, тобто, по суті, середній час між двома зіткненнями.

3.4 Явища перенесення в плазмі Отримані в попередньому підрозділі формули для коефіцієнтів

теплопровідності та в’язкості можуть бути безпосередньо перенесені на плазму. Але для цього спочатку потрібно знайти характерні часи релаксації.

Окремо розглядаються електропровідність та дифузія плазми. Специфічність останнього полягає в тому, що в плазмі неможливе розділення зарядів.

Часи релаксації та довжина вільного пробігу

Записавши інтеграл зіткнень у τ-наближенні, ми отримали оцінку для характерного часу між зіткненнями частинок газу у формі

1~

Tnqvτ , (1.67)

де vT~(kBT/m)1/2. Використаємо це співвідношення для оцінки характерного часу електрон-електронної, іон-іонної та електрон-іонної релаксації. Для простоти розглядатимемо повністю іонізовану плазму, що складається з електронів та однакових однозарядних іонів.

В курсі фізичної електроніки для ефективного перерізу пружних зіткнень у плазмі було одержано вираз

( )4

2

4 ln

81 B

eq

k T

π Λ= , (2.25)

де

( )( )

1 23

3 2

2ln

3 B

e n

k T

πΛ = (2.26)

– кулонівський логарифм. Підставивши (2.25) до (1.67) і знехтувавши числовим коефіцієнтом порядку

одиниці, отримаємо:

( ) ( )2 3 21 2

4 4

1~

ln lnB B e

eee B

k T m k Tm

n k T e neτ =

Λ Λ. (2.27)

46

Це – середній час між зіткненнями електронів з електронами. Відзначимо, що таким самим (принаймні, за порядком величини) буде середній час між зіткненнями електронів з іонами, оскільки переріз пружних зіткнень (2.25) для цього процесу буде таким самим (цей переріз залежить лише від величини заряду розсіювального центру). Величина τее визначає одночасно й час релаксації (максвеллізації) електронного газу.

Замінивши в (2.22) масу електронів m на масу іонів M, можна отримати середній час між іон-іонними зіткненнями:

( )3 21 2

4~

lnB

ii

M k T

neτ

Λ (2.28)

(тут іони вважаються однозарядними, а плазма – повністю іонізованою). Величина τіі визначає одночасно і час встановлення максвеллівського розподілу для іонів. Якщо плазма неізотермічна, тобто електронний та іонний гази характеризуються відмінними температурами Те та Ті, то відповідно в формули (2.27) та (2.28) треба підставляти саме ці температури. За одне зіткнення електрона з іоном перший передає другому частку своєї енергії порядку m/M. Звичайно Те>Ті. Тому для релаксації електронів з іонами потрібен час порядку

3 2 1 2

4~ ~e

ei ee

T mM M

m e nL mτ τ (2.29)

(підкреслимо, що τеі не середній час між зіткненнями електронів та іонів, а саме час вирівнювання температури електронів та іонів).

В ізотермічній плазмі (при Те=Ті) буде виконуватись таке співвідношення між характерними часами:

~ii ee

M

mτ τ , ~ei ii

M

mτ τ , 1

M

m>> . (2.30)

Отже, τei>>τii>>τee. Таким чином, у плазмі спочатку встановлюється максвеллівський розподіл для електронів, потім – для іонів, і лише в останню чергу вирівнюються температури електронів та іонів. Середня довжина вільного пробігу електронів у плазмі визначається співвідношенням:

( )Λln

~~4

2

ne

Tkvl eb

eeTef τ . (2.31)

Коефіцієнти теплопровідності та в’язкості в ізотропній плазмі Конкретизуємо тепер вирази для коефіцієнтів перенесення стосовно плазми. Для цього слід підставити отримані у п. 2.3.1 вирази для часів релаксації та довжини вільного пробігу до формул для коефіцієнтів перенесення, отриманих у п. 2.2.

Коефіцієнт теплопровідності для електронів записується у вигляді: ( )5 2

1 2 4~ ~

lnB e

e P e Te f

k TC n mv l

m eχ

Λ. (2.32)

47

Коефіцієнт теплопровідності для іонів отримаємо, замінивши m і Te на M і Ті відповідно. Оскільки звичайно Те>>Ті і М>>m, то χе>>χі – теплопровідність плазми переважно забезпечується електронами. Для коефіцієнтів в’язкості за рахунок електронів та іонів виходять такі вирази:

( )5 2 1 2

4~

lnB e

e

k T m

eη

Λ, ( )5 2 1 2

4~

lnB i

i

k T M

eη

Λ. (2.33)

Таким чином, при Те≥Ті маємо ηі>>ηе, тобто в’язкість плазми визначається переважно іонною компонентою.

Електропровідність ізотропної плазми Електропровідність плазми визначається переважно електронами, тому

густину струму можна подати у формі: e ej en v= −

rr . (2.34) Спрямована швидкість електронів визначається балансом сил електричного

поля і гальмування на зіткненнях з іонами: e

ee

mveE

τ− =

r

r

(2.35)

(нагадаємо, що середній час між двома зіткненнями електрона з іонами – це якраз τее). Звідси

2e eee n

j E Em

τ σ= =r rr

,

де коефіцієнт електропровідності визначається формулою

( )3 22

1 2 2~ ~

lnB ee ee

k Te n

m m e

τσΛ

. (2.36)

Цікаво, що коефіцієнт електропровідності пропорційний до Те

3/2 і не залежить від ne.

Рухливість електронів µ визначається із співвідношення ve=-µE, звідки

( )3 2

1 2 3 lnB eee

e

k Te

m m ne

τµ = =Λ

. (2.37)

Аналогічно рухливість іонів можна подати у вигляді

( )3 2

1 2 3 lnB iii

i

k Te

M M ne

τµ = =Λ

. (2.37 а)

Ефективний переріз пружних зіткнень у плазмі швидко зменшується зі зростанням швидкості частинок (як v-4). Тому електрон, що набув у прискорювальному електричному полі великої швидкості (ve~vTe), буде рухатись майже без зіткнень, безперервно прискорюючись електричним полем. Порогова швидкість, з якої починається цей ефект, визначається формулою:

( )three thr

eEv

m vτ= , (2.38)

або

( )3 21 2 2

4~

lnthr

thr

m mveEv

m ne Λ, (2.38 а)

48

звідки 3 ln

~thr

e nv

mE

Λ . (2.39)

Якщо vthr>>vTe, то кількість таких електронів (так званих електронів-утікачів) незначна і закон Ома залишається справедливим. У протилежному випадку закон Ома порушується. Потік електронів-утікачів може збуджувати в плазмі різні коливання, віддаючи їм свою енергію. З цим пов’язаний так званий аномальний опір плазми. Дифузія ізотропної плазми

Підставивши (2.31) до (2.24), можна формально отримати вираз для коефіцієнту дифузії електронів у вигляді:

( )5 2

1 2 4

1 1

3 3 lnB e

e f Te

k TD l v

m e n= =

Λ. (2.40)

Аналогічну формулу можна записати для іонів:

( )5 2

1 2 4

1

3 lnB e

i

k TD

M e n=

Λ (2.40 а)

Порівнявши (2.40) та (2.37), можна записати, що 2

~ ~f Tee Te B

ee

l vD mv k T

e m e mµ τ= . (2.41)

Формула (2.41), що справедлива лише за умов термодинамічної рівноваги, відома як співвідношення Ейнштейна. Останній отримав його з суту термодинамічних міркувань. Однак формула (2.40) характеризуватиме дифузію електронів у плазмі лише в початкові моменти часу. Справді, електрони (з меншими масами та більшими тепловими швидкостями) почнуть дифундувати швидше від іонів. В результаті відбудеться розділення зарядів і з’явиться електричне поле, яке буде пригальмовувати електрони і прискорювати іони (рис. 2.2). За рахунок цього плазма буди дифундувати як єдине ціле. Такий процес називається амбіполярною дифузією.

а б

в

Рис. 2.2. Амбіполярна дифузія: початковий розподіл концентрацій електронів та іонів (а), розподіли концентрацій електронів та іонів (б) і електричного поля (в) у пізні моменти часу.

49

Потоки електронів та іонів обумовлюються одночасно електричним полем та градієнтом концентрації. Для плазми, градієнт концентрації якої паралельний до осі х, можна записати:

ee e e e

nJ En D

xµ ∂= − −

∂,

ii i i i

nJ En D

xµ ∂= −

∂, (2.42)

де Е – напруженість електричного поля, обумовленого поляризацією плазми. Воно задовольняє рівнянню

4 ( )i ediv E e n nπ= −r

. (2.43)

Поділимо перше з рівнянь (2.42) на µе, друге не µі, і результати додамо. Вважаючи, що потоки електронів та іонів майже однакові, Ji≈Je≡J і, таким чином, ni≈ne≡n, отримаємо:

1 1 e i

e i e i

D D nJ

xµ µ µ µ ∂+ = − + ∂

, (2.44)

або

aJ D n= − ∇r

, (2.44 а) де

i e e ia

i e

D DD

µ µµ µ

+=+

(2.45)

– коефіцієнт амбіполярної дифузії в плазмі. Оскільки µе>>µі, то i

a i ee

D D Dµµ

≈ + . (2.45 а)

Для ізотермічної плазми (Те=Ті≡Т) з урахуванням (2.30), (2.37) та (2.40) можна записати:

2 2a e i

m MD D D

M m≈ = . (2.45 б)

Таким чином, De>>Da>>Di. Наведена вище теорія амбіполярної дифузії має спрощений характер, але в цілому задовільно описує це явище. Помітний ефект, який вона не враховує – це утворення невеликої кількості швидких іонів з енергіями W>>kBT внаслідок розділення зарядів і появи електричного поля. Цей ефект спостерігається в лабораторних експериментах і описується за допомогою комп’ютерного моделювання. Явища перенесення в плазмі з магнітним полем Досі йшлося про явища перенесення в ізотропній плазмі, тобто плазмі без магнітного поля. Наявність такого поля різко ускладнює загальну картину. Справді, як відомо, безперешкодний рух заряджених частинок у присутності магнітного поля можливий лише вздовж магнітних силових ліній. Рух у напрямку, перпендикулярному до поля, буде утруднений через дію сили Лоренца. В результаті коефіцієнти перенесення набувають вигляду тензорів.

50

Прикладом явищ перенесення за наявності магнітного поля може служити дифузія плазми метеорних слідів у земній іоносфері. Метеорний слід являє собою стовп плазми, утвореної в результаті іонізації атмосфери розігрітим метеорним тілом. Дифузія такої плазми відбувається переважно вздовж силових ліній геомагнітного поля, нахилених щодо вертикалі. В результаті горизонтальний переріз метеорного сліду має форму еліпсу.

Що стосується електропровідності плазми в магнітному полі, то, як уже вказувалося, роль закону Ома в диференціальній формі відіграє співвідношення (1.89). Якщо знехтувати інерцією електронів (me=0) і додати ці рівняння, отримаємо рівняння руху для однорідної гідродинаміки:

1i

dvm n p j B

dt c + ∇ = ×

r

rr

, (1.88)

де p=pe+pi, j=en(vi-ve), v≡vi (пор. із рівнянням (1.78)). В цьому ж наближенні рівняння для електронної рідини – друге з рівнянь

(1.87) – має вигляд:

( )e e i ee

en mnp enE v B v v

c τ ∇ = − − × + −

r r

r r r . (1.87 а)

Врахувавши, що швидкість електронів значно більша від швидкості іонів, так що j=en(vi-ve)≈–enve, остаточно перепишемо це рівняння у формі

1e

en enjp enE v B j B

c c σ ∇ = − − × + × +

r

r r rr

r , (1.89)

де провідність σ визначається співвідношенням 2

eee n

m

τσ = . (1.90)

Рівняння (1.89), що пов’язує j з E, можна розглядати як узагальнений закон Ома.

Для отримання повної системи рівняння (1.88) та (1.89), як і раніше, слід доповнити рівнянням неперервності

( ) 0n

div nvt

∂ + =∂

r (1.91)

і рівнянням Максвелла без струмів зміщення (1.80). Що стосується температур, то для малих проміжків часу зміну Te і Ti можна

вважати адіабатичною. Нехай провідність плазми дуже велика. Тоді узагальнений закон Ома набуває

вигляду 1

e

enp enE v B j B

c c ∇ = − − × + ×

r r rrr . (1.92)

Звідси при Te(r )=const маємо:

( )1 1 1 1 1lnB B

e i i e e e

k T k TE p v B v v B n v B n v B

en c c en c e c = − ∇ − × + − × = − ∇ − × = −∇ − ×

r r r r r

r r r r r

(1.93) (враховано, що pe=nkBT).

Підставимо (1.93) в закон електромагнітної індукції (друге з рівнянь (1.80)). Оскільки rot grad ϕ=0, отримаємо:

51

e

Brot v B

t

∂ = × ∂

r

r

r . (1.94)

Це рівняння означає вмороженість поля в електронну рідину (див. п. 1.4.2). В однорідному наближенні до формули входила швидкість плазми v (фактично – швидкість іонів), а не швидкість електронів ve. Отже, помітного розходження між одно- та дворідинною гідродинамікою можна чекати, коли vi та ve сильно відрізняються. На закінчення відзначимо, що рівняння дворідинної гідродинаміки (1.87) та однорідинної гідродинаміки (1.88) нерідко застосовують і до плазми без магнітного поля. Такий підхід застосовується, зокрема, при дослідженні хвиль у плазм. 5.1. Рівняння руху плазми в магнітному полі.

Гідродинамічний опис плазми Як уже вказувалося, найбільш точним є кінетичний опис плазми. Але він є

надзвичайно складним. Тому в багатьох випадках застосовують більш просту модель – так званий гідродинамічний опис. Цей опис застосовний тоді, коли плазма близька до стану термодинамічної рівноваги, а її функція розподілу – до максвеллівської.

Ідея гідродинамічного опису плазми в найпростішому випадку зводиться до того, що вона розглядається як провідне суцільне середовище, точніше, як суміш двох заряджених рідин5 – електронної та іонної. Ці рідини взаємодіють між собою через зіткнення та спільне електричне поле. Такий опис називається дворідинною гідродинамікою. Для повільних рухів справджується умова електронейтральності, тобто електронна та іонна рідини рухаються однаково. Це відповідає однорідинній гідродинаміці.

Плазма характеризується високою провідністю. Це приводить до того, що зміна магнітного поля в нерухомій плазмі стає неможливою: така зміна породжує сильні струми, що компенсують початкову зміну магнітного поля. В результаті магнітне поле в плазмі може змінюватися тільки при зміні самої плазми. Ця властивість відома як вмороженість магнітного поля в плазму. Рівняння магнітної гідродинаміки Ідеї магнітної гідродинаміки висунуті шведським фізиком Х.Альвеном стосовно космічної плазми. В багатьох випадках (космос, лабораторна плазма) плазма знаходиться в магнітному полі, яке істотно впливає на рух частинок у напрямках, перпендикулярних до цього поля. Найпростіший опис динаміки плазми, вміщеної в магнітне поле, дають рівняння магнітної гідродинаміки (краще було б говорити про газодинаміку, але ми користуватимемося усталеною термінологією). В цьому наближенні вважається, що поведінка плазми описується рівнянням стану p=2nkBT, як для ідеального газу (двійка вказує, що тиск спричиняють як електрони, так і іони). Оскільки M>>m (M – маса іона, m – маса електрона), то ρ≈nМ.

5 Традиційно говорять саме про рідини, хоча правильніше було б говорити про гази.

52

Рівняння руху такої рідини має вигляд: 1v

Mn p j Bt c

∂ + ∇ = × ∂

r

rr

(1.78)

(останній доданок – сила Ампера; в’язкістю знехтували). До цього треба додати рівняння неперервності

0=+∂∂

vndivt

n r (1.79)

і рівняння Максвела (вважаючи провідність плазми великою, можна знехтувати струмом зміщення поруч зі струмом провідності):

jc

Brotrr π4= ;

t

B

cErot

∂∂−=r

r 1 ; 0=Bdivr

. (1.80)

Рівняння (1.78)-(1.80) і складають систему рівнянь магнітної гідродинаміки. При розв’язанні системи диференціальних рівнянь у багатьох випадках

намагаються звести її до одного рівняння. Відповідно до цього поведінку плазми можна описувати, наприклад, через концентрацію, швидкість або густину струму. Але ідея Х.Альвена полягала в тому, щоб описувати плазму через магнітні поля.

Відповідно до цього спробуємо виключити з рівнянь (1.78)-(1.80) електричне поле та густину струму.

Плазма має добру провідність, тому за законом Ома j=σE*, де E*=E+[v×B]/c – електричне поле в системі відліку, що рухається разом з „рідиною”. Тоді E=j /σ–[v×B]/c. Підставивши це співвідношення до другого з рівнянь (1.80) і виключивши j за допомогою першого з рівнянь (1.80), отримаємо:

[ ] [ ]

−×=

×−−=−=

∂∂

Brotc

rotc

BvrotBvc

jrotcErotc

t

B rr

r

r

r

r

r

r

πσσ 41 .

Але з урахуванням останнього з рівнянь (1.80) BBBdivgradBrotrotrrrr

∆−=∆−= , тому остаточно отримаємо:

[ ] Bc

Bvrott

B rr

r

r

∆+×=∂∂

πσ4

2

. (1.81)

Для невеликих збурень в силу гарної теплопровідності плазми можна вважати, що T=const. Для опису еволюції великомасштабних збурень користуються рівнянням адіабати T~nγ-1.

Рівняння магнітної гідродинаміки добре описують великомасштабний рух у плазмі, якщо анізотропія функції розподілу частинок не суттєва.

5.3. “Вмороженість” магнітного поля в плазму. Розберемо більш детально рівняння (1.81).

Якщо провідність достатньо велика, другим доданком у правій частині можна знехтувати, і приходимо до ідеальної магнітної гідродинаміки, в якій дисипація повністю відсутня. Тоді рівняння (1.81) набуває вигляду

[ ]Bvrott

B r

r

r

×=∂∂ . (1.82)

Розглянемо замкнений контур L, що рухається разом із плазмою (рис. 1.5). Введемо магнітний потік через поверхню S, напнуту на цей контур. Оскільки

53

div B=0, тобто магнітні силові лінії ніде не починаються і не закінчуються, величина Φ визначається лише контуром L і не залежать від форми поверхні, напнутої на нього.

Рис. 1.5. До аналізу вмороженості магнітного поля в плазму.

Зміна магнітного потоку за час ∆t складає величину

∫∫ −=∆ΦSS

SdBSdBrrrr

'

' (1.83)

(штрих відповідає моменту часу t+∆t). За поверхню S′, натягнуту на контур L′, в силу сказаного раніше можна взяти поверхню S плюс бічну поверхню ∆S циліндра, побудованого на поверхні S як на основі: S′=S+∆S. Тоді

( ) ( )[ ] ∫∫∫∫∫ ∂∂∆=∆

∂∂≈−∆+=−

SSSSS

Sdt

BtSdt

t

BSdtBttBSdBSdB

r

r

r

r

rrrrrrr

' . (1.84)

Оскільки елемент бічної поверхні ∆S можна записати як S v t dl ∆ = ∆ ×

rr

r ,

де dl – елемент контуру L, то з урахуванням відомого співвідношення для мішаного добутку трьох векторів (a⋅[b×c])=–(c⋅[b×a]) та теореми Гріна можна записати:

' 'S S L S

B dS B v t dl t v B dl t rot v B dS∆ ∆

= ∆ × = −∆ × = −∆ × ∫ ∫ ∫ ∫r rr rr r r r

r r r . (1.85)

Отже,

[ ]∫ =

×−∂∂∆=∆Φ

S

SdBvrott

Bt 0

rr

r

r

, (1.86)

оскільки в силу (1.82), підінтегральний вираз рівний нулю. Значить, Φ=const. Це означає, що силові лінії магнітного поля ніби приклеєні до ідеально

провідної рідини. Коли йдеться про плазму в магнітному полі, говорять, що магнітне поле вморожене в плазму.

Вмороженість магнітного поля суттєво спрощує картину динаміки цього поля при русі ідеальної плазми.

Повернемося тепер до повного рівняння (1.81). Якщо не зважати на перший доданок у правій частині (що буде справедливим при невеликій провідності), це рівняння аналогічне до рівняння дифузії: йдеться про дифузне розпливання поля в провіднику внаслідок скінченої провідності. Коефіцієнт дифузії магнітного поля складає величину Dm=c2/4πσ.

54

5.4. Дворідинне наближення.

Дворідинна та однорідинна гідродинаміка Швидкості електронів та іонів дуже відмінні через різницю їхніх мас. В

звичайній магнітній гідродинаміці це не береться до уваги, там взагалі не фігурує швидкість електронів. З іншого боку, максвеллізація електронів та іонів окремо відбувається значно швидше, ніж вирівнювання температур цих компонент. Тому більш акуратний опис плазми вимагає використання окремих рівнянь руху для електронної та іонної „рідин”:

( )ii i e i

e

dv en mnMn p enE v B v v

dt c τ + ∇ = + × + −

r

r r

r r r ,

( )ee e i e

e

dv en mnmn p enE v B v v

dt c τ + ∇ = − − × + −

r

r r

r r r , (1.87)

У рівняннях (1.87) pi,e=nTi,e, ni=ne≡n (умова квазінейтральності), τe – середній час між зіткненнями електрона з іонами.

Якщо знехтувати інерцією електронів (me=0) і додати ці рівняння, отримаємо рівняння руху для однорідної гідродинаміки:

1i

dvm n p j B

dt c + ∇ = ×

r

rr

, (1.88)

де p=pe+pi, j=en(vi-ve), v≡vi (пор. із рівнянням (1.78)). В цьому ж наближенні рівняння для електронної рідини – друге з рівнянь

(1.87) – має вигляд:

( )e e i ee

en mnp enE v B v v

c τ ∇ = − − × + −

r r

r r r . (1.87 а)

Врахувавши, що швидкість електронів значно більша від швидкості іонів, так що j=en(vi-ve)≈–enve, остаточно перепишемо це рівняння у формі

1e

en enjp enE v B j B

c c σ ∇ = − − × + × +

r

r r rr

r , (1.89)

де провідність σ визначається співвідношенням 2

eee n

m

τσ = . (1.90)

Рівняння (1.89), що пов’язує j з E, можна розглядати як узагальнений закон Ома.

Для отримання повної системи рівняння (1.88) та (1.89), як і раніше, слід доповнити рівнянням неперервності

( ) 0n

div nvt

∂ + =∂

r (1.91)

і рівнянням Максвелла без струмів зміщення (1.80). Що стосується температур, то для малих проміжків часу зміну Te і Ti можна

вважати адіабатичною. Нехай провідність плазми дуже велика. Тоді узагальнений закон Ома набуває

вигляду 1

e

enp enE v B j B

c c ∇ = − − × + ×

r r rrr . (1.92)

55

Звідси при Te(r )=const маємо:

( )1 1 1 1 1lnB B

e i i e e e

k T k TE p v B v v B n v B n v B

en c c en c e c = − ∇ − × + − × = − ∇ − × = −∇ − ×

r r r r r

r r r r r

(1.93) (враховано, що pe=nkBT).

Підставимо (1.93) в закон електромагнітної індукції (друге з рівнянь (1.80)). Оскільки rot grad ϕ=0, отримаємо:

e

Brot v B

t

∂ = × ∂

r

r

r . (1.94)

Це рівняння означає вмороженість поля в електронну рідину (див. п. 1.4.2). В однорідному наближенні до формули входила швидкість плазми v (фактично – швидкість іонів), а не швидкість електронів ve. Отже, помітного розходження між одно- та дворідинною гідродинамікою можна чекати, коли vi та ve сильно відрізняються.

На закінчення відзначимо, що рівняння дворідинної гідродинаміки (1.87) та однорідинної гідродинаміки (1.88) нерідко застосовують і до плазми без магнітного поля. Такий підхід застосовується, зокрема, при дослідженні хвиль у плазмі . 6.1. Рівновагові конфігурації плазми в магнітному полі, пінч. Рівновага плазми в магнітному полі.

Реальна плазма практично завжди є неоднорідною. Для підтримання стаціонарного просторового розподілу плазми на неї повинні діяти якісь сили, що перешкоджають її розтіканню. Такі сили можуть бути обумовлені магнітним полем. Розглянемо повністю іонізовану плазму, яка являє собою ідеальний газ із тиском 2 bp nk T= . Провідність – нескінченна, в’язкість – нульова (модель ідеальної плазми). Рівновага плазми можлива, коли градієнт тиску компенсується силою

Ампера: 1p j B

e ∇ = ×

rr

(*).

За ідеальної провідності jr

має задовольняти умову неперервності 0divj =r

. З

рівнянь Максвела , 04

cj rotB divB

π= =

r rr

. З (*) випливає, що ( ) ( )0, 0B p j p⋅∇ = ⋅∇ =r r

,

тобто тиск уздовж силових ліній магнітного поля та ліній струму є сталими. З іншого боку, оскільки вектор p∇ перпендикулярний до поверхні p const= Це означає, що силові лінії мають бути замкненими і вкладеними одна в одну так, щоб на межі плазми тиск обертався в нуль, а всередині був максимальним.

Для області скінчених розмірів така система поверхонь без само перетинів може являти собою лише набір вкладених торів (токамаки, стеларатори, LHD).

Підставляючи j через B до ( )∗ , отримаємо

56

[ ] ( )

∇−∇=

×=× 2

2

1

44BBB

cBBrot

cBj

ππ

( )BBB

p ∇=∇+∇ππ 4

1

8

2

.

Введемо одиничний вектор B

Bh = вздовж магнітного поля. Тоді величина

( )uhh ∇⋅rr

буде поздовжня компонента ugrad , а ( ) uuhhugrad ⊥∇≡∇⋅− - поздовжня

компонента ugrad , розписуючи π8

2B∇ , дістанемо

∇⋅+∇=∇ ⊥ πππ 888

222 Bhh

BB ,

( ) nR

Bhh

BBp

πππ 448

222

=∇=∇+∇ ⊥ ,

де R- радіус кривизни силової лінії, n - нормаль до силової лінії.

Можна сказати, що магнітне поле створює тиск π8

2Bpm = у

поперечному напрямку і породжує додаткову силу в напрямку увігнутості силових ліній, тобто вони поводять себе як натягнуті пружні нитки.

Розглянемо тепер рівноважні конфігурації плазми на найпростішому прикладі аксіально-симетричного плазмового стовпа. Така рівновага досягається шляхом стиснення плазми або поздовжнім магнітним полем (θ -пінч), або власним полем струму, що протікає вздовж плазмового стовпа (z-пінч).

Для простоти вважатимемо плазмові шнури необмеженими за довжиною. Нехай вісь симетрії шнура збігається з віссю z циліндричних координат zr ,,θ . Тоді

рівняння рівноваги набуває вигляду 048

2

=

++ππθθ B

dr

d

r

BBz

dr

d

dr

dp .

Оскільки маємо одне рівняння на три функції - θBBp z,, - то ступінь довільності дуже великий, і існує велике різноманіття різних конфігурацій.

θ - пінч. Нехай zj =0, відповідно θB . Утримання плазми здійснюється азимутальним струмом θj ., звідки й походить назва θ -пінч. Для нього маємо

constBz

p =+π8

2

,

тобто тиск плазми зрівноважується магнітним тиском. Звідси випливає, що плазма є діамагнетиком : всередині плазми магнітне поле послаблюється.

57

Можна сказати, що додавання струмів, обумовлених циклотронним обертанням електронів, приводить до формування деякого поверхневого струму, що обтікає стовп плазми. Створене ним магнітне поле в плазмі віднімається від зовнішнього. З іншого боку сила Ампера, пов’язана з цим струмом, якраз зрівноважує газокінетичний тиск плазми в стовпі.

Діамагнетизм плазми призводить, взагалі кажучи, до появи сил, які будуть виштовхувати плазму з магнітного поля. Це робить утримання плазми надзвичайно складною задачою.

z-пінч. При zB =0 маємо звичайний пінч-ефект – стягнення плазмового шнура магнітним полем струму з густиною

( )θπrB

dr

d

r

cj z 4

= ,

який у ньому протікає. Помножимо рівняння рівноваги на drr 2 і про інтегруємо

від 0 до ∞ : ( ) ( )N

TkrBdrrrB

dr

d

r

Bdrr

dr

dpБ

πππθ

θθ 2

024

1

4

1 22

0

2

0

=∞

−=−= ∫∫∞∞

,

де N - число електронів на одиницю довжини шнура.

( )rdrrnTkrdrTnkrdrpdr

dprdrr

dr

dpББ ∫∫ ∫∫

∞∞ ∞∞

=⋅−=⋅−∞

=00 0

2

0

42220

При ∞→r c

rBΙ= 2

θ , де І – повний струм, що протікає в плазмі. Тому остаточно:

2

24

8

12

c

TNkБ

Ι−=−ππ

, або 224 Ι=TNkcБ

.

Це так звана умова Беннета. За наявності поздовжнього магнітного поля, якщо тиск плазми малий,

стягання шнура власним магнітним полем може компенсуватися збільшенням поздовжнього магнітного поля всередині шнура, при цьому виникає своєрідний парамагнетизм плазми.

Тороїд альні магнітні пастки Скрутимо тепер θ -пінч у тор великого радіусу. На перший погляд, умови рівноваги мають

58

τ -тороїдальний кут θ - полоїдальний кут

зберегтися. Але для аксіально-симетричної системи завжди справджується співвідношення

( )cR

RB

Ι= 2 , де ( )RΙ - повний струм через округ

радіусу R . Тому при зростанні R поле спадає. В результаті виникає градієнт магнітного тиску, який плазму на периферію системи.

Один з можливих шляхів розв’язання цієї проблеми, що реалізується у т. зв. Токамаках – це створення полоїдальної компоненти магнітного поля. Силові лінії результуючого поля будуть спіралями, що навиваються на деякі тороїд альні поверхні.

Якщо густина цих поверхонь зростатиме на периферії, то плазма в принципі може бути в рівновазі. Цікаво, що на більшості таких поверхонь спіралі, утворені силовими лініями, будуть не замкненими (нескінченно довгими).

6.2. Нестійкість плазми. 6.3. Види нестійкостей. Основні типи нестійкостей плазми в ідеальній магнітній гідродинаміці

Подібно до того, як у механіці рівновага тіла в полі сил не завжди буває стійкою, так і рівноважна конфігурація плазми в магнітному полі може виявитися нестійкою. Так буде, якщо мала флуктуація параметрів системи спричинить до появи збурень, що швидко зростають і різко порушують початкову рівновагу плазми. Стійкість межі плазми в магнітному полі

Найпростіший тип нестійкої рівноваги плазми можна проілюструвати на прикладі плазми з різкою межею, що утримується зовнішнім магнітним полем (див. рис. 3.5 а). Плазма займає верхній півпростір, магнітне поле – нижній.

а б

59

в

Рис 3.5: а – плазма в гравітаційному полі, що утримується магнітним полем; б – шар важкої рідини, що знаходиться над шаром легкої рідини; в – утримання плазми горизонтальним магнітним полем, що знаходиться під нею.

Нехай на одиницю об’єму плазми діє сила тяжіння ρg. Ця система нагадує

гідродинамічну нестійкість шару важкої рідини над шаром легкої рідини. Якщо на межі поділу виникне хвилеподібне збурення (див. рис. 3.5 б), то „язики” важкої рідини тонутимуть, „язики” легкої – спливатимуть угору, і збурення з часом зростатиме. Можна показати, що інкремент такої нестійкості буде γ=(kg)1/2, де k – хвильове число збурення. В плазмі, утримуваній магнітним полем, подібна нестійкість (так звана нестійкість Крускала – Шварцшильда) може розвинутись, якщо хвильовий вектор збурення буде перпендикулярним до магнітного поля.

Нехай тепер проміжок, заповнений плазмою, обмежений вертикальними ідеально провідними стінками, в які вморожене магнітне поле (рис. 3.6). Новим у цій моделі в порівнянні з попередньою є можливість вигину магнітних силових ліній під дією ваги плазми (рис. 3.5 в). Вигин силових ліній приводить до появи пружної сили (див. п. 3.1.1), яка може компенсувати вагу плазми.

Нехай межа плазми є розмитою з характерним розміром δz. Додаткову силу пружності за рахунок вигину силових ліній (на одиницю об’єму) можна відповідно до формули (3.9) оцінити як Ві

2/4πR. Радіус кривини силових ліній R, у свою чергу, можна оцінити як R≈L2/2δz (позначання див. на рис. 3.5. в). Ця об’ємна сила повинна переважати силу ваги ρg. Обравши δz порядку ширини перехідного шару плазма-поле, який завжди існує в реальних ситуаціях, отримаємо умову стійкості:

z

g

L

B

δρ

π>

2

2

2. (3.16)

Реально роль сили ваги може грати будь-яка інша сила, перпендикулярна до магнітного поля, що не залежить від знаку заряду – наприклад, відцентрова сила, пов’язана з рухом частинок уздовж викривленої силової лінії. В цьому випадку g у формулі (3.1.6) слід замінити на величину v//

2/R, де R – радіус кривини магнітної силової лінії, v// – паралельна до магнітного поля компонента швидкості плазми.

Роль сили ваги може відігравати й сила, пов’язана з градієнтним дрейфом у неоднорідному магнітному полі. У цьому випадку замість g у формулу (3.1.6) слід підставити величину v⊥

2/2R (v⊥ – компонента швидкості плазми, перпендикулярна до магнітного поля).

Якщо плазма рухається прискорено, то замість g слід узяти це прискорення. Остання ситуація реалізується в експериментах з інерціального термоядерного синтезу.

60

Жолобкова нестійкість Як випливає з попереднього розгляду, опукла межа плазми, де виникає

відцентрова сила при русі частинок уздовж силових ліній магнітного поля, в принципі має тенденцію до нестійкості. Це можна пояснити тим, що плазма, як діамагнетик, буде виштовхуватися в область слабшого магнітного поля.

Для замкнених магнітних пасток можна довести, що створити таке магнітне поле, напруженість якого зростає назовні від межі плазми поблизу кожної точки тороїдальної поверхні, неможливо. Це означає, що плазма в деяких точках межуватиме з областю, де магнітне поле спадає назовні, і в цих областях може проявитися нестійкість.

Характер нестійкості істотно залежить від величини параметра β=p/pm=8πp/B2.

Якщо β≈1, на поверхні плазми можуть утворюватися і розвиватися збурення типу „язиків”(рис. 3.6).

а б Рис. 3.6: а – збурення типу “ язика” на поверхні плазми в області, де магнітне поле спадає назовні; б – жолобкова нестійкість.

Внаслідок вмороженості поля в плазму утворення „язика” приводить до

викривлення силових ліній і збільшення магнітної енергії. Ця робота виконується за рахунок теплової енергії плазми, що розширюється. Якщо „язик” зустрічає слабке поле, він буде поширюватися далі, що означає нестійкість межі плазми. Така нестійкість матиме локальний характер.

Реально в токамаках β<<1. Це означає, що тиск плазми не може помітно змінити форму силових ліній. В результаті збурення на межі плазми можуть мати лише характер перестановки цілих систем силових ліній, вмерзлих у плазму. Об’єм такої магнітної трубки зростатиме, якщо вона пересувається в область слабшого магнітного поля. Дане явище відоме як жолобкова нестійкість (рис. 3.6 б).

Стійкість щодо збурень такого типу досягається, якщо середня напруженість магнітного поля (вздовж силової лінії) зростає при віддаленні від поверхні плазми назовні. Нестійкості плазмового шнура та плазмового тороїда

У випадку z-пінча, коли повздовжнє магнітне поле відсутнє, легко виникають нестійкості типу „перетяжка” та „вигин” (див. рис. 3.7 а, б). В першому випадку флуктуаційне зростання магнітного поля в області перетяжки магнітної трубки приводить до витіснення плазми й подальшого зростання магнітного поля в цій

61

області. В другому випадку така сама ситуація має місце в області увігнутості магнітної трубки. Ці нестійкості руйнують геометрію системи, і плазма, взаємодіючи зі стінками, швидко охолоджується.

а б Рис. 3.7. Нестійкості типу перетяжка (а) та “ вигин” ( б).

Цих нестійкостей можна позбутися накладанням додаткового повздовжнього магнітного поля, яке зробить плазмовий шнур жорстким. Результуючі магнітні силові лінії являтимуть собою спіралі, навиті на циліндричні поверхні.

Щоб позбутися жолобкової нестійкості в такій системі, необхідно, щоб крок гвинтових ліній змінювався при переході від однієї магнітної поверхні до іншої. Чим сильнішою буде перехрещеність силових ліній (так званий шир), тим стійкішою буде рівновага. Справді, шир перешкоджатиме перестановочній жолобковій нестійкості через „переплутування” трубок при радіальному зміщенні.

Оскільки домогтися того, щоб магнітне поле зростало назовні в усіх напрямках, неможливо, в деяких областях, де магнітне поле спадає назовні від поверхні плазми, можливі локальні деформації – так звані балонні моди. Ця нестійкість обумовлена ненульовим β і стабілізується, якщо натяг силових ліній достатньо великий.

Крім нестійкостей, обумовлених розширенням плазми перпендикулярно до магнітного поля, можуть існувати нестійкості, притаманні самій магнітній конфігурації. Силові лінії прагнуть скоротитися шляхом деформації, при цьому вони випрямляються, а плазмовий шнур зазнає гвинтоподібної деформації (рис. 3.8).

Всі три типи нестійкостей ідеальної плазми із вмерзлим магнітним полем – жолобкова, балонна та гвинтоподібна деформація шнура з повздовжнім струмом – за невиконання умов рівноваги розвиваються за характерний час vi/a (жолобкові) або vA/a (гвинтові), де vi=(kBTi)

1/2, vA=B0/(4πnM)1/2, a – характерний розмір плазмового утворення, в результаті термоізоляція плазми швидко руйнується.

Рис. 3.8. Гвинтоподібна деформація плазмового шнура, обумовлена “ пружністю” магнітних силових ліній.

„ Гравітаційна” нестійкість Один із варіантів нестійкості плазми з ненульовим опором обумовлений

внутрішньою енергією плазми, що витрачається на її розширення, як і у випадку жолобкової нестійкості. Але, на відміну від жолобкової нестійкості, плазма тепер

62

майже не збурюватиме магнітного поля. Електричне поле, що виникає при цьому, буде чисто потенціальним (Е=–∇ϕ). Прикладом нестійкості такого типу є так звана „гравітаційна” нестійкість.

Нагадаємо, що за умови вмороженості поля в плазму (при β<<1) деформації, що виникають, орієнтовані строго вздовж магнітного поля (жолобкова нестійкість, див. п. 3.2.2), тобто k⊥B. При врахуванні скінченої провідності плазми можуть виникнути збурення з ненульовою поперечною (щодо магнітного поля) компонентою хвильового вектора. В обох випадках нестійкість виникає, коли поле зменшується в бік зменшення густини плазми.

Для спрощення аналізу замість сили, обумовленої діамагнетизмом плазми і неоднорідністю магнітного поля, зручно взяти деяку ефективну силу, а поле вважати однорідним. Такою ефективною силою може бути сила ваги, звідки й виник термін – „гравітаційна” нестійкість.

Нехай плоский шар плазми з концентрацією n(x) (dn/dx<0) знаходиться в сильному магнітному полі, паралельному до осі z, B=ezB. Сила ваги, що моделює вплив неоднорідного магнітного поля, спрямована вздовж осі х.

Нехай у плазмі виникла флуктуація густини в площині yz, n1~exp(iωt-ikyy-ikzz). При цьому на поверхнях рівної густини плазми з’являться збурення, паралельні до осі х. Можна сказати, що сусідні шари плазми зсунуться в різні боки паралельно до осі х (див. рис. 3.8).

Рис. 3.8. До пояснення “ гравітаційної” нестійкості.

Пі дією сили ваги, паралельної до осі х, і магнітного поля, паралельного до

осі z, виникне дрейф (аналогічний до дрейфу в схрещених електричному та магнітному полях) у напрямку y, що залежить від знаку зарядів. В однорідній по y плазмі розділення зарядів при цьому не виникне. Але збурення n1 приведе до поляризації шарів, паралельних до осі х, і утворення на їхніх межах об’ємних зарядів. Величина цих об’ємних зарядів залежить від провідності, бо їх частково компенсує струм, паралельний магнітному полю.

Паралельне до y поле Е разом із полем В, паралельним до z, в свою чергу породжують дрейф у схрещених полях, паралельний до х. Оскільки в сусідніх шарах напрямок електричного поля, а, отже, і дрейфова швидкість спрямовані в

63

протилежні боки, то початкова флуктуація густини підсилюється, і цим замикається кільце позитивного зворотного зв’язку.

Як показує розрахунок, інкремент такої нестійкості визначається формулою

s

g

ωω

γ2

= , (3.22)

де

eiceciy

zs k

k τωωω2

= ,

−=

dx

dn

ngg

0

0

1ω , ρp

Rg

21= , (3.23)

р – тиск плазми, ρ – її масова густина, R – радіус кривини силової лінії магнітного поля.

Якщо в плазмі вздовж магнітного поля тече струм і існує перпендикулярний до магнітного поля градієнт температур, то може виникати так звана струмово-конвективна нестійкість, що також породжує косі деформації в плазмі. Але в ній головну роль відіграють збурення не густини, а температури та електропровідності.

Дрейфова нестійкість плазми Як уже вказувалося, рівняння однорідинної магнітної гідродинаміки не

справджуються, коли швидкості електронної та іонної рідин помітно відрізняються (див. п. 1.4.3). Саме така ситуація реалізується для так званих дрейфових хвиль у неоднорідній плазмі в магнітному полі.

Розглянемо спочатку плоску модель, у якій градієнт концентрації плазми спрямований уздовж осі у, тобто n0=n0(y), а магнітне поле – вздовж осі z (рис. 3.11 а), причому Те>>Ті. Нехай до того ж концентрація плазми збурена в напрямку х: n1~exp(iωt-ikxx). Збурення концентрації плазми породжують збурення тиску електронів: ∆pe=kBTe∆ne, а збуреннями іонного тиску можна знехтувати в силу умови Те>>Ті. Під дією градієнту тиску електронні збурення будуть розсмоктуватися. При цьому електронейтральність плазми порушиться, і виникне потенціальне електричне поле (рис. 3.11 б). Зв’язок збурення електронної густини з потенціалом можна записати у формі

( )1 0 0 0exp B e B en n n e k T n e k Tϕ ϕ= − − ≈ . (3.25)

а б

64

Рис.3.11. До пояснення дрейфових хвиль: а – взаємна орієнтація магнітного поля, градієнту концентрації плазми та хвильового вектора збурення; б – утворення потенціального електричного поля внаслідок розсмоктування електронного збурення.

В схрещених електричному та магнітному полях полі заряди починають дрейфувати в напрямку у зі швидкістю vy=cEx/B. В результаті збурення зсувається вздовж осі у. Але, оскільки плазма неоднорідна по у , такий зсув буде приводити до зміни концентрації в часі: з рівняння неперервності для іонів

0ii

ndiv n v

t

∂ + =∂

r

випливає, що 0

1 1i

i y

n dni n i n v

t dyω ω∂ ≡ ≈ = −

∂ (3.26)

(враховано, що збурення концентрацій електронів та іонів відрізняються мало). З урахуванням явного вигляду дрейфової швидкості vy=cEx/B можна

записати: 0 0 0 1

10

x B edn E dn dn n k Tc d ci n c ik

dy B B dy dx B dy n e

ϕω = − = = (3.27)

(електростатичний потенціал виключений за допомогою співвідношення (3.25)). Ввівши характерний розмір неоднорідності плазми L з умови

dy

dn

nL0

0

11 = (3.28)

і підставивши (3.28) до (3.27), дістанемо дисперсійне співвідношення для дрейфових хвиль:

B eck Tk

eBLω = . (3.29)

Цей результат справедливий при ω<<ωci. Неоднорідність концентрації або температури плазми може привести до того,

що ці хвилі стануть нестійкими, тобто їхня амплітуда зростатиме з часом. Розвиток дрібномасштабних нестійкостей типу дрейфових хвиль не

приводить до негайного порушення рівноваги плазми. Але збудження таких нестійкостей у широкому діапазоні частот приводить до турбулентного руху плазми. Турбулентність же спричиняє збільшення потоків частинок і тепла в напрямку, перпендикулярному магнітному полю, що утримує плазму – так звану аномальну дифузію та аномальну теплопровідність.

6.4. Іонізаційна нестійкість. Іонізаційна нестійкість у розрядах постійного струму У багатьох випадках, як уже вказувалося, однорідний стан жевріючого або дугового розряду виявляється нестійким. Особливо це стосується розрядів у великих об’ємах, при підвищених тисках, при сильних струмах і великому тепловиділенні. В результаті розвитку нестійкостей плазма переходить у просторово-неоднорідний стан. Так, позитивний стовп уздовж поля може розбитися на темні й світлі шари, які в окремих випадках можуть рухатися вздовж

65

стовпа (стратифікація). Таке явище нерідко спостерігається в лампах денного світла. В інших випадках спостерігається стягування плазми в тонкий яскравий струмовий шнур (контрактація). Останнім часом ці ефекти стали предметом пильного вивчення, оскільки вони згубно впливають на роботу потужних газових лазерів. Умови розвитку іонізаційної нестійкості Неоднорідність світіння плазми обумовлена, в першу чергу, неоднорідністю концентрації електронів. Рівняння для зміни концентрації електронів можна подати у формі

−+

−

=dt

dn

dt

dn

dt

dn eee . (3.6.1)

Стаціонарному стану ne=ne0 відповідає рівність швидкостей народження на загибелі електронів:

−+

=

dt

dn

dt

dn ee . (3.6.2)

На рис. 3.6.1 подано умовну залежність цих величин від ne (насправді вони можуть визначатися розв’язком не алгебраїчного, а диференціального рівняння). Якщо в точці рівноваги величина (dne/dt)– зростає швидше, ніж (dne/dt)+, рівновага буде стійкою(рис. 3.6.1 а). Справді, при зростанні ne понад значення ne0 переважатимуть процеси рекомбінації, при спаданні ne нижче ne0 – процеси іонізації. В протилежному випадку рівновага буде нестійкою (рис. 3.6.1 б). Отже, умову стійкої рівноваги можна подати у формі:

00 eeee nn

e

enn

e

e dt

dn

dn

d

dt

dn

dn

d

=+=−

>

. (3.6.3)

При виконані умови, протилежної до (3.6.3), в системі може розвинутися нестійкість.

а б Рис. 3.6.1. Стійка (а) та нестійка (б) рівновага між процесами іонізації та рекомбінації. Механізми іонізаційних нестійкостей Розглянемо тепер детальніше найбільш поширені механізми іонізаційних нестійкостей – іонізаційно-перегрівну та обумовлену ступінчастою іонізацією. Відразу слід відзначити, що ці нестійкості на практиці призводять до контрактації розрядів, тобто утворенню струмових шнурів, усередині яких температура та

66

ступінь іонізації різко підвищуються. Ми обмежимося розрахунком інкрементів нестійкостей, тобто аналізом їхньої лінійної стадії. На якісному рівні буде обговорено також нестійкості, обумовлені прилипанням та максвеллізацією енергетичного спектру електронів. Іонізаційно-перегрівна нестійкість Нехай у деякій області розряду випадково зросла концентрація електронів ne. Оскільки з нею пов’язана провідність плазми, σ=e2ne/mν (див. формулу (3.1.8)), де ν – частота зіткнень електронів з важкими частинками, зростання концентрації спричинить зростання джоулевого тепловиділення. Це, в свою чергу, приведе до локального нагріву іонної та нейтральної компонент плазми. Локальний нагрів матиме наслідком зменшення концентрації атомів слабко іонізованого газу. Зменшення концентрації атомів приведе до збільшення довжини вільного пробігу електронів, що матиме наслідком зростання температури електронів. Зростання температури електронів збільшить ступінь іонізації плазми. Таким чином, у системі виникає позитивний зворотній зв’язок. Спробуємо розрахувати інкремент малих збурень температури. Для цього скористаємося рівнянням теплового балансу у формі:

21 1 0( )a p a p T

dTn c E n c T T

dtσ ν= − − , (3.6.4)

де ср1 – теплоємність на одну молекулу, Т0 – температура навколишнього середовища, νТ – величина, обернена до характерного часу охолодження (за рахунок теплопередачі). Слід урахувати, що при теплопередачі νТ~χ, де χ - коефіцієнт теплопровідності, який в рамках елементарної теорії ідеального газу має вигляд

1

3 Ta f Vv l cχ ρ= , 1

2f

a

lqn

= , (3.6.5)

де vTa та lf –відповідно середня теплова швидкість та довжина вільного пробігу атомів, ρcV –теплоємність одиниці об’єму газу при сталому об’ємі. В газі з не дуже малим ступенем іонізації, де, однак, na>>ne, основну роль у теплопередачі відіграють електрони (у них приблизно така ж lf , як у атомів, значення ρcV, менше в ne/na разів, але в (M/m)1/2 разів більша швидкість. В результатів виходить, що χе~1/na, так що νТna=const. Концентрація електронів установлюється в результаті балансу між іонізацією електронним ударом і радіаційною рекомбінацією, так що

2)( eeffeei nnT βν = , (3.6.6)

де νі(Те) – ефективна частота іонізації (на один електрон), βeff – ефективний коефіцієнт рекомбінації. Звідси

eff

eie

Tn

βν )(

= . (3.6.7)

Частота іонізації експоненціально залежить від температури, νі~exp(-Wi/kBTe), звідки можна записати зв’язок між малими змінами температури та частоти іонізації у формі

67

i i e

i B e e

W T

k T T

δν δν

= . (3.6.8)

Тоді зв’язок між збуреннями концентрації та температури має вигляд e i i e

e i B e e

n W T

n k T T

δ δν δν

= = . (3.6.9)

Проваріюємо рівняння теплового балансу (3.6.4) з урахуванням умов νТna=const, Е≅const та явного вигляду провідності σ. Отримаємо:

( )2 2

1 1e e

p a a T p e

d T e n Ec n n c T

dt m

δ δ ν δν

= − . (3.6.10)

Вважатимемо, що δТ~exp(γt), і подамо δne через δТe згідно формули (3.6.9):

( )2

1 12i

p a e e a T p eB e

E Wc n T T n c T

k T

σγ δ δ ν δ= − (3.6.11)

Звідси можна знайти інкремент іонізаційно-перегрівної нестійкості: 2

1

iT

a p e B e

WE

n c T k T

σγ ν= − . (3.6.12)

Увівши характерний час нагрівання газу вдвічі при Te=const 2

1T a p en c T Eτ σ= , (3.6.13)

отримаємо остаточний вираз для інкременту: 1 i

TT B e

W

k Tγ ν

τ= − . (3.6.12 а)

Видно, що ця нестійкість розвивається при достатньо великих напруженостях електричних полів:

1T a pcr B e

B i

n cE E k T

k W

νσ

> ≡ . (3.6.14)

Типові значення інкременту (3.6.12 а) для умов лабораторного експерименту складають величину 103-104с-1.

Ступінчаста іонізація Нехай іонізація має ступінчастий характер, а релаксація відбувається на

стінках розрядної трубки. Тоді (dne/dt)+~ne2, а (dne/dt)–~ne. Отже, в цьому випадку

рівновага між процесами іонізації та релаксації буде нестійкою, і можливе її катастрофічне (лавиноподібне) порушення.

Для розрахунку інкременту нестійкості запишемо кінетичні рівняння для концентрацій електронів та збуджених атомів:

* *ei a e i e d e

dnk n n k n n n

dtν= + − ; (3.6.15)

** * * *

2a e e d

dnk n n k n n n

dtν= − − (3.6.16)

(див. п. 2.6.1). В аналізованій моделі електрони народжуються як за рахунок прямої, так і

ступінчастої іонізації, а релаксують на стінках. Збуджені атоми породжуються електронним ударом, а релаксують на зіткненнях з електронами та на стінках (тобто розглядається збудження атомів на метастабільні рівні). Всі коефіцієнти вважаємо сталими.

68

Нехай ступінь іонізації газу є малим, так що na>>ne, na>>n*, тому можна наближено вважати, що na=const. У стаціонарному стані рівняння (3.6.15)-(3.6.16) набувають вигляду:

* *0 0i a i dk n k n ν+ − = , (3.6.15 а)

* * * *0 2 0 0 0 0a e e dk n n k n n nν− − = . (3.6.16 а) Розв’язуючи цю систему, неважко визначити стаціонарні концентрації

збуджених атомів *0 *

d i a

i

k nn

k

ν −= (3.6.17)

та електронів ( )

( )** *

00 * * * *

2 0 2 2

d d i ade

a i i a d

k nnn

k n k n k k k k n k

ν ννν

−= =

− + −. (3.6.18)

Візьмемо варіації від обох частин кінетичних рівнянь(3.6.13) та (3.6.14), вважаючи, що δne~δn*~exp(γt):

( )* * *0 0e i a i d e i en k n k n n k n nγδ ν δ δ= + − + ; (3.6.19)

( ) ( )* * * * *2 0 2 0a e e dn k n k n n k n nγδ δ ν δ= − − + . (3.6.20)

Врахувавши співвідношення (3.6.16)-(3.6.17), отримаємо: *

0e i en k n nγδ δ= ; (3.6.19 а) * * *

2 *0 0*0 0

a e de

e

k n n nn n

n n

νγ δ δ

+ =

. (3.6.20 а)

Перемноживши ліві і праві частини (3.6.19 а)-(3.6.20 а), отримаємо квадратне рівняння щодо γ:

*2 * *0

0*0

0a ei d

k n nk n

nγ γ ν+ − = . (3.6.21)

Його додатній корінь, що відповідає нестійкості, визначається формулою 2* *

* *0 00* *

0 0

14

2a e a e

i d

k n n k n nk v n

n nγ

= + −

. (3.6.22)

Якщо під коренем перший доданок значно перевищує другий (фактично це означає, що релаксація збуджених атомів носить переважно об’ємний характер), то інкремент можна підрахувати за наближеною формулою, яка з урахуванням (3.6.17)-(3.6.18) набуває вигляду:

( ) ( )( )

( )2* *

0 * *2 22* * *

0

i d i d i ai i a d

a e i a

k n k k nk k k k n k

k n n k k n

ν νγ ν

− ≈ = + − . (3.6.22 а)

Так, при р=3 тор, na=1017см-3 у трубці радіусом 1 см νі≈νd≈5⋅103с-1, νd*≈3⋅103с-

1, k2=10-8см3/с. Тоді максимальне значення γmax=3⋅103см-1 досягається при n0

*=5⋅1012см.

69

Інші механізми іонізаційних нестійкостей Існують також інші механізми іонізаційних нестійкостей. Наприклад, можлива нестійкість, обумовлена прилипанням електронів до нейтральних атомів (див. п. 2.5.2.1). Частота прилипання залежить від параметра Е/na не так різко, як частота іонізації. У поздовжніх неоднорідностях розряду величини Е/na та Те залежать від nе протилежним чином – коли одна з них зростає, то інша зменшується. Але коли прилипання значною мірою компенсується відлипанням, швидкість якого практично не залежить від Те (основний механізм відлипання пов’язаний із зіткненнями негативних іонів з атомами та молекулами), можлива нестійкість. Зростання електронної концентрації в деякій точці приводить до зменшення електричного поля (напруга падає передусім на високоомних областях), а, отже, й електронної температури. В результаті зменшується й швидкість іонізації. Але суттєвішим є зменшення прилипання. Останнє залишає нескомпенсованим відлипання, яке залишилося незмінним. В результаті електрони продовжують надходити в плазму за рахунок зменшення числа негативних іонів. Зростання числа електронів приводить до подальшого зменшення електричного поля та електронної температури. В результаті розвитку описаної нестійкості в розряді виникають домени – області з підвищеною концентрацією електронів та ослабленим електричним полем, або, навпаки, з різко підвищеним полем та зменшеною концентрацією електронів. Такі домени можуть зароджуватися біля одного з електродів, потім вони відриваються, біжать через розрядний проміжок і зникають. Нестійкість, обумовлена прилипанням, виникає, коли концентрації електронів та негативних іонів порівняні між собою (nе/n–~0.1÷10) і не дуже великі (nе≤1010см-3). Ще один можливий механізм іонізаційної нестійкості реалізується при великих концентраціях електронів і пов’язаний з максвеллізацією електронної функції розподілу на електрон-електронних зіткненнях. В областях, де концентрація електронів зменшується, іонізація атомів електронним ударом спричиняє до суттєвого збіднення їхнього енергетичного спектру в області енергій, достатніх для іонізації. А оскільки концентрація електронів мала, то й максвеллізація відбувається повільно. В результаті частота іонізації на один електрон зменшується, і концентрація електронів ще дужче спадає. Навпаки, в областях, де концентраціях електронів збільшена, максвеллізація їхнього енергетичного спектру прискорюється, і концентрація швидких електронів збільшується. В результаті частота іонізації збільшується, і концентрація електронів ще дужче зростає. При достатньо великих концентраціях електронів (розрядних струмів) така нестійкість може призвести до контрактації або утворення страт. Прояви іонізаційної нестійкості Найбільш поширені прояви іонізаційної нестійкості – це контрактація розряду та утворення страт. Обговоримо ці явища більш детально.

70

Контрактація позитивного стовпа При збільшенні розрядного струму жевріючий розряд дифузного типу, що займає майже весь об’єм розрядної трубки, може стрибком зменшити свій радіус. Типова вольт-амперна характеристика такого розряду в області переходу з дифузного стану в контрагований наведена на рис. 3.6.2 а, а відповідна зміна радіального розподілу концентрації електронів – на рис. 3.6.2 б. Відзначимо, що падаюча ділянка вольт-амперної характеристики відповідає нормальному жевріючому розряду, контрольованому дифузією (див. п. 3.4.2.6).

а б Рис. 3.6.2. Контрактація жевріючого розряду: а – вольт-амперні характеристики з ділянкою гістерезису; б – зміна радіального розподілу концентрації електронів при переході від дифузного (1-4) до контрагованого (5-7) режиму. Розряд у неоні, радіус трубки – 2.8 см, тиск – 113 тор, струм для кривої 1 – 13.4 мА, 2 – 43.1 мА, 3 – 75.0 мА, 4 – 105.0 мА, 5 – 120.1 мА, 6 – 160.1 мА, 7 – 200.2 мА. При переході від дифузного до контрагованого режиму радіус розрядного стовпа може зменшитись на порядок, а концентрація електронів на осі може зрости на два порядки. Контрактація розрядного стовпа виникає при виконанні двох необхідних умов. Перша з них – електрони повинні народжуватися переважно там, де їхня концентрація підвищена. Такий ефект можливий за рахунок іонізаційно-перегрівної нестійкості, ступінчастої іонізації або максвеллізації (див. вище, п. 3.6.2). Друга умова полягає в тому, що рекомбінація електронів повинна мати об’ємний характер і забезпечувати швидке спадання концентрації за межами струмового шнура. Остання умова забезпечується лише при великих стумах, коли об’ємна рекомбінація переважає рекомбінацію на стінках. Відзначимо, що струмовий шнур за своїми характеристиками займає проміжне становище між нерівноважною плазмою жевріючого розряду і рівноважною плазмою дугового розряду.

71

Можна гадати, що схожу фізичну природу має також утворення катодних та анодних плям у дуговому розряді (див. вище, пп. 3.5.1.2, 3.5.2.1). Але механізм цих явищ досі детально не досліджений. Страти Позитивний стовп розрядів у трубках часто буває стратифікованим (рис. 3.6.3), причому ці страти звичайно (але не завжди) рухаються від аноду до катоду. Для інертних газів при тисках 0.1-1 тор швидкість руху страт складає порядку 100 м/с, а частота – одиниці кілогерц.

Рис. 3.6.3. Страти в газовому розряді (фото).

Страти являють собою іонізаційні коливання та хвилі. В ролі механізмів нестійкості, що породжують страти, виступають ступінчаста іонізація або максвеллізація електронів. Пояснимо, чому страти звичайно біжать від аноду до катоду. В реальних, порівняно коротких хвилях розділення зарядів визначається не дрейфом, а дифузією. В результаті розділення зарядів виникає змінне електричне поле δЕ, яке в одних точках додається до зовнішнього поля Е0, а в інших – віднімається від нього (рис. 3.6.4). Хвиля електричного поля δЕ зсунута на чверть періоду щодо хвилі збурення густини плазми. Оскільки вздовж розряду j=const, то енерговиділення jЕ вздовж розряду розподілене так само, як і δЕ. Практично такий самий розподіл має і збурення електронної температури Те, спричинене неоднорідним по довжині енерговиділенням. Швидкість іонізації νіnе розподілена майже так само, як Те, оскільки добуток νіnе залежить від Те набагато сильніше, ніж від nе (експоненціально, а не лінійно). Отже, максимальна іонізація відбувається в точках, де електричне поле максимальне. Таким чином, максимуми nе з часом зсуваються в бік найближчих максимумів δЕ, тобто в напрямку зовнішнього поля Е0 (на рис. 3.6.4 – праворуч). На рис. 3.6.5 показано типові розподіли концентрації та температури електронів, потенціалу та напруженості електричного поля в стратах великої амплітуди. Напруженість поля вимірювалася за допомогою зондів, радіальний розподіл густини електронів – за гальмівним випромінюванням при розсіюванні на нейтральних атомах (його інтенсивність пропорційна добуткові nena). Враховувався радіальний профіль густини газу, пов’язаний з його температурою умовою сталості тиску naТ=const. Для знаходження радіального розподілу температури розв’язувалося рівняння теплопровідності з експериментально

72

виміряним розподілом джерел тепла j(r)E. На стінках трубки підтримувалася температура 300 К.

Рис. 3.6.4. До пояснення механізму руху страт.

а б в Рис. 3.6.5. Експериментально виміряний розподіл потенціалу (а, б), напруженості електричного поля (б) та електронної концентрації й температури (в) у стратах великої амплітуди. Рисунок б є фрагментом рисунку а. Розряд горить в аргоні, радіус трубки – 0.85 см, тиск – 6 тор, струм розряду – 75 мА.

Поздовжній розподіл світіння в розряді приблизно повторює відповідний розподіл концентрації електронів. Максимум електричного поля та швидкості іонізації локалізується в області найбільш різкого спадання концентрації електронів (як і в стратах малої амплітуди, розібраних вище). Саме тому страта рухається в бік катоду (на рис. 3.6.5 – праворуч). Інколи спостерігаються й нерухомі страти. Звичайно такі страти пов’язані з існуванням деякого джерела постійного сильного збурення (наприклад, зонд під великим негативним потенціалом або різка зміна перерізу розрядної трубки). Іноді роль такого збурення відіграє прикатодна область. З енергетичної точки зору утворення страт є “вигідним”, оскільки при однакових напругах у стратифікованому розряді виділяється менша потужність. Це пов’язано з тим, що народження та загибель електронів в останньому випадку рознесені в просторі та в часі.

73

7.1. Основні типи коливань та хвиль у плазмі: ленгмюрівські електронні та іонні, іонно-звукові, магнітозвукові, альфвеновські.

Коливання та хвилі в плазмі. Ленгмюрівські хвилі в плазмі.

Плазмові коливання: зробимо припущення:

магнітне поле відсутнє В=0; немає теплового руху КТ=0; іони рівномірно розподілені в просторі і нерухомі; плазма нескінченна; електрони рухаються вздовж осі Х.

Задача буде одновимірна , опишемо коливання електронів.

Рівняння руху: Eenmn

x

vv

t

vee

ee

e −=

∂∂

+∂

∂

;

Рівняння неперервності: 0

)(=

∂∂

+∂

∂x

vn

t

n eee

;

Рівняння для електричного поля: )(0 ei nne

x

E −=∂∂ε

; Ці три рівняння описують поведінку плазми. Процедура лінеаризації: всі змінні електронів, які описують плазму розділимо на частини: а) рівноважну – індекс “0”; б) збурення – індекс “1”.

10 nnne += ; n1; v1; E1 – описують коливання;

10 vvve += ; n0; v0; E0 – описують рівновагу. E=E0+E1; n1<<n 0; v0=0; E0=0.

00 =∂

∂x

n

– плазма однорідна.

Підставимо в рівняння руху і лінеаризуємо: 1

11

1 eEx

vv

t

vm −=

∂∂

+∂

∂

, другим доданком

нехтуємо. Рівняння неперервності: 00

11

01 =

∂∂

+∂∂

+∂

∂x

nv

x

vn

t

n

, рівняння поля:

11001

0 )( ennnnex

E−=−−=

∂∂ε

.

Маємо систему рівнянь: 1

1 eEt

vm −=

∂∂

; 01

01 =

∂∂

+∂

∂x

vn

t

n

; 1

10 en

x

E−=

∂∂ε

, шукаємо розв’язки, вважаючи, що осцилюючі величини змінюються по гармонічному закону. Розв’язок шукаємо в такому вигляді:

( )[ ]tkxivv ω−=∧

exp11 ; ( )[ ]tkxinn ω−=∧

exp11 ; ( )[ ]tkxiEE ω−=∧

exp11 ; ωi

t−=

∂∂

; ik

x−=

∂∂

– підставимо вирази в наші рівняння:

74

11010111 ;; enikEikvnnieEvim −=−=−−=− εωω : виражаємо рівняння:1

0

20

1 ven

ivimωε

ω −=−,

0

202

εω

m

en=

- плазмова частота з якою коливаються електрони в плазмі. 0

20

εω

m

enp =

(СI),

m

enp

204πω =

(CGSE). Чи будуть розповсюджуватися коливання?

Я врахувати тепловий рух електронів ( )0≠KT , тоді рівняння руху несправедливе.

Враховуємо градієнт тиску: x

PP e

e ∂∂

=∆.

γρcPe = , N

N 2+=γ, N – кількість ступенів

вільності. x

nKT

x

Pe

e

∂∂

=∂∂ 13

добавляємо до рівняння збереження кількості руху:

x

nKTEen

t

vmn e ∂

∂−−=

∂∂ 1

100 3, x

nKTenE

x

vv

t

vnm e

ee

e

∂∂−−=

∂∂

+∂

∂3

підставляємо: x

nnKTEnne

t

vmnn

∂+∂

−+−=∂

∂+

)(3)()( 10

1101

10; x

nKTEen

t

vmn e ∂

∂−−=

∂∂ 1

101

0 3,

якщо залежності гармонічні підставляємо в наших три рівняння, то отримаємо

таке дисперсійне співвідношення: 1

0

0010 3 v

i

iknikKT

ik

eenvnim e

+

−=

ωεω

;

+= 2

0

202 3

Km

KT

m

en

εω

; 22

.2222

2

33 kvk

m

KTтеплp

ep +=+= ωωω

, m

KTv eтепл

22. =

, зобразимо графічно і проаналізуємо.

Щоб одержати дисперсійну швидкість візьмемо

похідну: kdkvd

тепл2

2

32 2

.=ωω, 2

3. ==

dk

dvгр

ω;

.

2.2

. 2

3

гр

тепл

тепл v

vkv =

ω , kvф

ω=, маємо на увазі тангенси

кута.

Якщо ∞→k , то pω ми можемо знехтувати.

∞→k , 22

.2

2

3kv

тепл=ω

. При 0=k буде стояча хвиля.

Особливістю плазми є надзвичайне багатство власних хвиль, які можуть у ній існувати (за наявності магнітного поля). У цьому розділі розглядатимуться переважно хвилі малої амплітуди, при поширенні яких плазмі можна вважати лінійним середовищем.

Ми почнемо розгляд із найпростішого випадку, коли магнітне поле в плазмі відсутнє. Потім розглянемо основні типи хвиль у плазмі за наявності магнітного поля.

75

Окремо будуть розглянути явища, що мають місце при поширенні хвиль у неоднорідній плазмі, а також деякі механізми випромінювання хвиль у плазмі.

Наприкінці розділу будуть розглянуті явища збудження хвиль у термодинамічно нерівноважній плазмі.

4.1. Хвилі в плазмі без магнітного поля Основні типи хвиль, що можуть поширюватися в плазмі без магнітного поля

– це електромагнітні хвилі, електронні плазмові (ленгмюрівські) хвилі та іонно-звукові хвилі. Ми розберемо властивості цих хвиль послідовно, почавши з отримання виразу для діелектричної проникності плазми. В зв’язку з аналізом ленгмюрівських хвиль буде обговорений також специфічний кінетичний механізм їхнього згасання – так зване згасання Ландау.

4.1.1. Діелектрична проникність холодної ізотропної плазми Як відомо, плазма є гарним провідником. При поширенні хвиль у ній

протікають струми. Проте при аналізі цього явища плазму формально можна розглядати як діелектрик, увівши струм провідності до складу струму зміщення.

Розглянемо холодну ізотропну плазму в однорідному змінному електричному полі E(t)=Emexp(iωt). Вважатимемо іони нерухомими. Для електронів можна записати рівняння руху у формі:

( )expm

dv eE i t

dt mω= −

r

r

, (4.1)

звідки ie

v Emω

=r

r . (4.2)

Тоді густину струму в плазмі можна подати у вигляді 2ie n

j env Emω

= − = −rr

r , (4.3)

де n – концентрація електронів плазми. Праву частину рівняння Максвелла

24 1 4E ne irotH j i E E

c c t m c c

π π ωω

∂= + = − +∂

r

r r rr

, (4.4)

записану з урахуванням (4.3), замінимо струмом зміщення:

Ec

i

t

E

ct

E

cj

c

r

rr

r ωεεπ =∂∂=

∂∂+ 14 , (4.4 а)

ввівши тим самим діелектричну проникність ε. Тоді для діелектричної проникності можна записати:

22

2 2

41 1 1p

c

ne n

m n

ωπεω ω

= − = − = − , (4.5)

де ωp2=4πne2/m та nc=mω2/4πne2 – відповідно ленгмюрівська частота (див. формулу

(1.6)) та критична концентрація плазми. Як видно з формули (4.5), ε<1. Це пов’язано з протифазністю струму

зміщення, який породжує одиницю у виразі для ε, і струму провідності, який

76

породжує доданок –4πne2/mω2. Видно також, що при ω<ωp (або при n>nc) струм провідності переважає струм зміщення, і ε стає від’ємним.

Діелектрична проникність плазми за відсутності магнітного поля є скалярною величиною. Тому така плазма називається ізотропною.

4.1.2. Дисперсійне рівняння для електромагнітних хвиль На високих частотах поширення електромагнітних хвиль у плазмі нічим

особливо не відрізняється від поширення таких хвиль в ізотропних діелектриках або у вакуумі. Можливо, єдина особливість полягає в тому, що діелектрична проникність плазми завжди менша від одиниці, тому фазова швидкість електромагнітних хвиль буде більшою за швидкість світла (що, звичайно, ніяк не суперечить спеціальній теорії відносності).

Зовсім інша ситуація має місце на низьких частотах, де діелектрична проникність плазми стає від’ємною. Для низькочастотних електромагнітних хвиль плазма є непрозорою, вони відбиваються від плазми. Цей ефект, спричиняє, зокрема, відбиття довгих радіохвиль від іоносфери. Відкриття наддалекого радіозв’язку, обумовленого таким відбиттям, стало першим фактом, який вказував на існування іоносфери.

З врахуванням введеної вище діелектричної проникності плазми перші два рівняння Максвелла набудуть вигляду:

t

E

cBrot

∂∂=r

r ε , t

B

cErot

∂∂−=r

r 1 (4.6)

(враховано, що в плазмі µ=1). При введенні діелектричної проникності ми вважали поле гармонічним.

Тому відразу приймемо, що B~E~exp(iωt–ikr ), тобто розглядатимемо плоску гармонічну хвилю. Тоді рівняння (4.6) набувають вигляду:

0i k B i k Eε − × =

r r r

, 0i k E ik B − × = −

r r r

, 0k cω= . (4.7)

Помножимо друге рівняння (4.7) векторно на k:

( ) 2 20 0k k E k kE k E k k B k Eε × × ≡ − = × = −

r r r r rr r r r r

(4.8)

(у правій частині враховане перше з рівнянь (4.7)). Розіб’ємо E на повздовжню і поперечну (щодо k) частини:

⊥+= EEErrr

|| .

Тоді ( ) ||kEEk =rr

, ( ) ||2EkEkkrrrr

= .

Таким чином, рівняння (4.8) набуває вигляду ( ) ( ) 0||

20||

2||

2 =+++− ⊥⊥ EEkEEkEkrrrrr

ε . (4.9)

Проектуючи (4.9) на напрямки E// і E⊥, маємо: 0||

20 =Ekr

ε , ( ) 020

2 =− ⊥Ekkr

ε . (4.10)

Перше з рівнянь (4.10) відповідає хвилям із повздовжнім електричним полем. З умови їхнього існування (E//≠0) випливає дисперсійне рівняння ε=0. Але для коректного розгляду цих хвиль треба врахувати температуру плазми, що ми зробимо нижче (див. п.п. 4.1.3-4.1.4).

77

Для хвиль із поперечним електричним полем (E⊥≠0) дисперсійне рівняння має вигляд k2=εk0

2, або з урахуванням явного вигляду ε (4.5)

ck

p22 ωω −

±= . (4.11)

Графік дисперсійної залежності для електромагнітних хвиль у плазмі подано на рис. 4.1 а.

З (4.11) легко визначити фазову та групову швидкості електромагнітних хвиль в ізотропній плазмі

2 21ph

p

c

k

ωυω ω

= =−

; 1

2 21g p

kc

k

ωυ ω ωω

−∂ ∂ = = = − ∂ ∂ . (4.12)

Графіки залежностей фазової та групової швидкості від частоти хвилі подано на рис. 4.1 б.

Як випливає з дисперсійного рівняння (4.11), у закритичній плазмі електромагнітні хвилі поширюватися не можуть. Від такої плазми вони відбиваються. Ці ефекти використовуються для далекого радіозв’язку та для діагностики плазми.

а б Рис. 4.1. Електромагнітні хвилі в плазмі: а – дисперсійна крива; б – залежність фазової та групової швидкості від частоти. Ленгмюрівські хвилі: гідродинамічний розгляд

На початку курсу при введенні поняття про ленгмюрівську частоту (див. п. 1.1.2) ми розглядали власні коливання плазми без урахування теплового руху електронів. Врахування такого руху приводить до того, що замість коливань виходять поздовжні хвилі – так звані електронні плазмові, або ленгмюрівські хвилі.

Розглянемо ленгмюрівські хвилі плазми спочатку в гідродинамічному наближенні. Будемо, як і раніше (п. 1.1.2) вважати іони нерухомими. Для електронної рідини можна записати такі рівняння: рівняння руху

dvmn p neE

dt= −∇ −

r

r

, (4.13)

рівняння неперервності

( ) 0n

div nvt

∂ + =∂

r (4.14)

та теорему Гауса

78

( )nneEdiv −= 04πr

. (4.15) Вважатимемо, що всі величини залежать лише від координати z, так що

v//E//ez. Вважатимемо температуру плазми Т сталою величиною, незалежною від координат, і врахуємо, що p=nkBT. Якщо амплітуда збурень мала, то можна вважати, що n=n0+n~, |n~|<<n0, причому v~E~n~. Тоді

( )dv v vv v

dt t t

∂ ∂= + ∇ ≈∂ ∂

r r r

r r ,

0

dv vn n

dt t

∂≈∂

r r

,

EnEnrr

0≅ ,

( ) 0div nv n divv≈r r ,

і лінеаризовані рівняння набувають вигляду

~0 0

~0

~

;

0;

4 .

B

nvmn k T n eE

t zn v

nt z

Een

zπ

∂∂ = − − ∂ ∂

∂ ∂ + = ∂ ∂∂ = − ∂

(4.16)

Продиференціюємо перше з рівнянь (4.16) по z. Тоді, виключивши Е та v за допомогою двох інших рівнянь, можна записати таке хвильове рівняння:

2 22~ ~

0 ~2 24B

n nm k T n e n

t zπ∂ ∂− = − +

∂ ∂. (4.17)

Використавши позначення vTe2=kBT/m, ωp

2=4πn0e2/m, запишемо остаточно

хвильове рівняння у формі: 2 2

2 2~ ~~2 2

0Te p

n nv n

t zω∂ ∂− + =

∂ ∂. (4.17 а)

Підставивши до хвильового рівняння розв’язок у формі гармонічної хвилі, n~~exp(iωt-ikz), отримаємо дисперсійне рівняння:

( )2 2 2 2 2 2 21p Te p Dk v k rω ω ω= + = + . (4.18)

Двочленний характер правої частини дисперсійного рівняння (4.18) відповідає повертальним силам електричної та газокінетичної природи. Графік дисперсійної кривої, що відповідає співвідношенню (4.18), подано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Дисперсійна крива для ленгмюрівських хвиль (результат розрахунку в гідродинамічному наближенні).

79

Іонно-звукові хвилі Крім електромагнітних та ленгмюрівських хвиль, в ізотропній плазмі

можуть поширюватися так звані іонно-звукові, або іонно-акустичні хвилі (більш низькочастотні, ніж ленгмюрівські). Вони мають фазову швидкість, значно меншу від vTe. Якщо Te~Ti, то такі хвилі сильно згасають на іонах за механізмом Ландау. Без помітного згасання вони можуть поширюватися лише при Te>>Ti. Тому надалі вважатимемо, що Ti≈0.

Щоб пояснити механізм виникнення іонного звуку, згадаємо, як утворюються звичайні акустичні хвилі. Якщо в газі виникне збурення густини, під дією сил газокінетичного тиску воно буде розсмоктуватися. Але частинки газу, набувши кінетичної енергії, “проскочать” положення рівноваги, в результаті чого утвориться нове збурення концентрації, і так далі.

Розглянемо тепер замість газу плазму з холодними іонами. Нехай у такій плазмі виникло невелике збурення густини. Оскільки газокінетичний тиск іонів близький до нуля, то під дією газокінетичних сил будуть розпливатися лише збурення електронної концентрації. В результаті порушиться електронейтральність плазми і виникне електричне поле, під дією якого іони почнуть рухатися слідом за електронами. Ця ситуація дещо нагадує амбіполярну дифузію (див. п. 2.3.4). Як і при амбіполярній дифузії, порушення електронейтральності плазми в іонно-звукових хвилях є незначним. Таким чином, при поширенні іонного звуку газокінетичний тиск спричиняється електронним газом, а маса забезпечується іонами.

Іонний звук являє собою чисто поздовжні хвилі, тому для них rot E=0, і електричне поле можна вважати потенціальним, так що E=–∇ϕ.

Для кількісного опису іонно-звукових хвиль скористаємося рівняннями дворідинної гідродинаміки без магнітного поля (див. п. 1.4.3). Скористаємося рівнянням руху для іонної рідини dv e

dt Mϕ= − ∇

r

, (4.24)

рівнянням неперервності для іонів

( ) 0ii

ndiv n v

t

∂ + =∂

r , (4.25)

рівнянням руху електронів ( )e B e en k T en ϕ∇ = ∇ (4.26)

(інерційний доданок відкидаємо внаслідок малої маси електронів, пор. з рівнянням (1.87 а)) та рівнянням Пуассона

( )4 i ee n nϕ π∆ = − − . (4.27)

Нехай хвиля поширюється вздовж осі z, так що всі величини залежать лише від координати z, а швидкість та електричне поле паралельні до z. Вважатимемо також, що Те=const. Лінеаризуємо систему (4.24)-(4.27) по малих змінних складових густини електронів ne~ та іонів nі~ (швидкість та електричне поле також вважаються малими). Постійні складові концентрації електронів та іонів n0 вважаємо однаковими. Підставимо до лінеаризованої системи диференціальних

80

рівнянь розв’язок у формі exp(iωt-ikz). Отримаємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

( )

~ 0

~ 0

2~ ~

0;

0;

0;

4 0.

i

e B e

i e

i v ike M

i n ikn v

ikn k T iken

k e n n

ω ϕω

ϕϕ π

− = − =− + = − − =

(4.28)

Прирівнявши до нуля визначник однорідної системи (4.28), можна отримати дисперсійне рівняння для іонно-звукових хвиль у формі:

( ) 044 2

02220

2

=++− enTkkTm

neee

i

πωπ, (4.29)

звідки 2

2 20

22 2

202

0

4

4 14

B eB e

B eB e

e n k Tk T k k

M Mk Te n k k T k

n e

π

ωπ

π

= =+ +

. (4.29 а)

Позначимо 2B es

k Tc

M≡ , (4.30)

де cs – швидкість звуку, і врахуємо, що 2

22 2 2

0 04 4B e B e Te

Dp

k T k T vmr

n e m n eπ π ω= = = .

Тоді закон дисперсії іонно-звукових хвиль можна переписати у формі: 2 2

22 21s

D

k c

k rω =

+. (4.29 б)

При k→∞ частота хвиль асимптотично прямує до значення cs/rD=(4πn0e

2/M)1/2≡ωpi – так званої іонної плазмової, або іонної ленгмюрівської частоти. Дисперсійна крива для іонно-звукових хвиль наведена на рис. 4.4. Як видно з цього графіка, при krD>>1 фазова швидкість vph=ω/k прямує до нуля. Це призведе то того, що включиться згасання Ландау на іонах, і хвилі будуть сильно згасати. Взявши два останні рівняння системи (4.28) і виключивши з них потенціал, можна записати зв’язок між збуреннями концентрації електронів та іонів:

Рис. 4.4. Дисперсійна крива для іонно-звукових хвиль у плазмі.

81

( )2 2~ ~ 1i e Dn n k r= + . (4.31)

На початковій ділянці дисперсійної кривої, де відсутнє згасання, а швидкість хвилі близька до значення cs, виконано умову krD<<1, тобто збурення концентрацій електронів та іонів майже однакові, і електронейтральність плазми практично не порушується. Як відомо, швидкість акустичних хвиль у газі визначається співвідношенням cs

2=γp0/ρ0, де p0 та ρ0 – відповідно тиск та масова густина газу, γ – показник адіабати. В нашому випадку p=n0kBTe. Це означає, зокрема, що γ=1, оскільки p~n0. З іншого боку, оскільки маса іонів складає основну частину маси плазми, то ρ0=Мn0. Таким чином, формула для швидкості звуку в газі у випадку плазми з гарячими електронами справді зводиться до вигляду (4.30).

Альвенівські хвилі Розглянемо поширення хвиль строго вздовж магнітного поля, так що всі

величини залежать лише від координати z. Тоді рівняння (4.64)-(4.65) набувають вигляду:

2 22// //

2 2Sct z

ξ ξ∂ ∂=∂ ∂

; (4.64 а)

22

2 2Act z

ξ ξ⊥ ⊥∂ ∂=∂ ∂

r r

. (4.65 а)

Як бачимо, рівняння для поздовжніх та поперечних зміщень у цьому випадку розділяються.

Рівняння (4.64 а) описує вже знайомі нам (див. п. 4.1.5) іонно-звукові хвилі (для випадку krD<<1). Коли такі хвилі поширюються строго вздовж магнітного поля, останнє не впливає на їхні властивості.

Рівняння (4.65 а), що збігається за формулою з рівнянням малих поперечних коливань струни, описує так звані альвенівські хвилі. Справді, права частина хвильового рівняння пов’язана з натягом магнітної силової лінії. Роль маси відіграють приморожені до поля частинки плазми. Оскільки ми використали умову ∂/∂z=0, то для альвенівських хвиль divξξξξ⊥=0, тобто віддаль між сусідніми магнітними силовими лініями не змінюється.

Як видно з рівняння (4.65 а), альвенівські хвилі поширюються строго вздовж магнітного поля.

Магнітозвукові хвилі Тепер візьмемо дивергенцію від обох частин рівняння (4.65):

222 2 2

2 2( ) ( )S A Adiv c div div c div div c div

t z

ξξ ξ ξ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥

∂∂ = ∇ + ∇ +∂ ∂

r

r r r

. (4.65 б)

Врахуємо, що

div ⊥ ⊥∇ = ∆ , 2

2z⊥∂∆ + = ∆∂

, ( ) ( ) //div divz

ξξ ξ⊥ ⊥ ⊥ ⊥∂∆ = ∆ + ∆∂

r r

.

Тоді рівняння (4.65 б) можна переписати у формі 2

2 2 2//2

( ) ( )S S Adiv c div c c divt z

ξξ ξ ξ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥∂∂ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂

r r r

(4.66)

Розглянемо спочатку розріджену плазму в сильному магнітному полі, так що

82

20

2 20

4~ 1S

A

c p

c B

πγ β= << . (4.67)

Тоді, нехтуючи доданками, пропорційними до cs2, отримуємо з (4.66)

хвильове рівняння для величини ψ=divξξξξ⊥: 2

22 Ac

t

ψ ψ∂ = ∆∂

. (4.68)

Це рівняння описує так звані магнітозвукові хвилі. Оскільки в цих хвилях divξξξξ⊥≠0, то при їхньому збудженні плазма зсувається в поперечному щодо В0 напрямку, причому джерела й стоки поперечних зсувів чергуються. Іншими словами, зміщення ξξξξ⊥ спричиняє стиснення та розрідження силових ліній магнітного поля. Пружність середовища при поширенні магнітного звуку в плазмі з β<<1 створюється лише тиском магнітного поля.

Альвенівську швидкість сА (4.63) можна розглядати як звукову cs, де роль газокінетичного тиску р0 відіграє магнітний тиск В2/4π, а γ=2. Умова γ=2 пов’язана з вмороженістю магнітного поля в плазму. Справді, якщо ξ//=0, то магнітне поле пропорційне до густини плазми, а його тиск В2/4π – до квадрату густини, тобто p/n2=const.

Таким чином, трьом розглянутим типам низькочастотних хвиль у замагніченій плазмі – іонно-звуковим, альвенівським та магнітозвуковим –відповідають три різні типи зміщень плазми зі вмерзлим магнітним полем, показані на рис. 4.8 а-в.

а б в Рис. 4.8. Деформація магнітних трубок для різних типів низькочастотнимх хвиль у плазмі: а – іонно-звукові хвилі, б – альвенівські хвилі, в – магнітозвукові хвилі.

В загальному випадку, коли тиск плазми не можна вважати малим порівняно

з магнітним тиском, магнітозвукові хвилі не можна відділити від іонно-звукових. У цьому випадку рівняння (4.64) і (4.66) треба розв’язувати сумісно. Підставивши до цих рівнянь розв’язок у формі плоскої хвилі вигляду exp(iωt-ikr ), отримаємо:

83

( ) ( )2 2 2 2// // //S Sk c c k kω ξ ξ⊥ ⊥− = ⋅

r r

;

( )( )2 2 2 2 2 2 2// //A S Sk c k c k c k kω ξ ξ⊥ ⊥ ⊥ ⊥− − ⋅ =

r r

. (4.69)

Перемноживши ліві та праві частини рівнянь (4.69), отримаємо дисперсійне рівняння у формі:

( )4 2 2 2 2 2 2 2 2 0S A S A zk c c c c k kω ω− + + = . (4.70)

Корені дисперсійного рівняння (4.70)

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 214

2 A S A S A Sk c c k k c c k c cω± ⊥ = + ± − +

(4.71)

відповідають парі магнітозвукових хвиль, які називаються відповідно швидкою (ω+) та повільною (ω-).

Рівняння істотно спрощується для випадків чисто повздовжнього чи чисто поперечного (щодо магнітного поля) поширення хвиль. Так, при чисто поздовжньому поширенні (k⊥=0) отримуємо:

2 2 2//Ac kω+ = , 2 2 2

//Sc kω− = , (4.71 а) тобто дисперсійні рівняння є наслідком проаналізованих вище хвильових рівнянь (4.64 а)-(4.65 а) і відповідають альвенівським та іонно-звуковим хвилям. При чисто поперечному поширенні (k⊥= k) з (4.71) випливає, що

2 2 2 2( )A Sc c kω+ = + , 2 0ω− = . (4.71 б) Для загального випадку залежність фазової та групової швидкостей від кута

θ між хвильовим вектором та магнітним полем для повільної та швидкої магнітозвукових хвиль наведені на так званих полярних діаграмах (рис. 4.9).

а б Рис. 4.9. Фазова (а) та групова (б) поляри – залежності відповідних швидкостей від кута θ між хвильовим вектором та магнітним полем (цифри 1 та 2 відповідають швидкій та повільній магнітозвуковим хвилям).

На закінчення нагадаємо, що магнітна гідродинаміка правильно описує лише

великомасштабні (низькочастотні) рухи в плазмі. Тому отримані нами дисперсійні співвідношення справедливі, взагалі кажучи, лише при малих значеннях

84

хвильових чисел, або при великих довжинах хвиль, як ми це бачили на прикладі іонного звуку.

7.2. Показник заломлення плазми. Діелектрична проникливість плазми (Левитський) Одною з основних характеристик будь-якого середовища необхідних для опису електричних явищ, що в ньому мають місце, є відносна діелектрична проникливість ε , яка визначається співвідношенням

t

Ej ‚М ∂

∂εεr

r

0= , (9.1)

де Er

- напруженість електричного поля, ‚Мjr

- густина струму зміщення, 0ε - абсолютна діелектрична проникливість вакууму ( 0ε =8,85.10-12 Ф/м у системі СІ). При дії на плазму високочастотного електричного поля ti

meEtE ωrr

=)( в ній протікатиме струм j

r

, що є сумою ‚Мjr

- струму зміщення у вакуумі, KEjr

- конвекційного струму електронів та KIj

r

- конвекційного струму іонів. Вакуумний струм зміщення

EieEit

Ej tj

m‚М

rr

r

r

000 εωεω∂∂ε ω === (9.2)

Конвекційний струм електронів KEj

r

= ee venr

r (9.3) обумовлений рухом електронів зі швидкістю ev

r під дією електричного поля )(tEr

. Ця швидкість може бути знайдена шляхом інтегрування рівняння руху електронів

tjm

e eEetd

vdm ω

r

r

r

= (9.4)

тоді ω

ω

i

eE

m

ev

tjm

e

r

r

r = і густина конвекційного струму буде

Em

neij e

KE

r

rr

ω

2

−= (9.5)

Аналогічно для іонів

EM

neij i

IK

r

rr

ω

2

−= (9.6)

де M - маса іона. Але оскільки ie nnmM =>> a , ,то конвекційним струмом іонів можна знехтувати порівняно з конвекційним струмом електронів. Отже, повний струм складатиметься з вакуумного струму зміщення і конвекційного стуму електронів

Em

neiEij e

rrr

ωεω

2

0 −= (9.7)

Цей вираз можна перетворити до вигляду

Em

neij e

rr

)1( 20

2

0 ωεεω −=

85

що є подібним до (9.1) для струму зміщення через середовище , яке має відносну діелектричну проникливість

−= 1pε2

0

2

ωε m

ne e (9.8)

Одержана відносна діелектрична проникливість плазми pε виявляється

меншою від одиниці, тоді як для усіх інших відомих діелектричних середовищ ε завжди перевищує одиницю. Більше того, при достатньо великій концентрації електронів діелектрична проникливість плазми може стати величиною від’ємною. Фізичний зміст одержаного результату можна легко зрозуміти, якщо повернутися до виразу (9.7) і згадати, що повний струм через плазму, який ми умовно стали вважати ємнісним, насправді складається зі справжнього ємнісного струму зміщення ‚Мj

r

і електронного конвекційного струму KEjr

. Останній є протифазним до струму зміщення, оскільки швидкість електронів з причини їх механічної інерції відстає від фази електричного поля на 2/π . Отже, струм KEj

r

має формально індуктивний характер. Еквівалентну схему, що має описувати проходження стуму через плазму, можна зобразити у вигляді двох паралельно увімкнених кіл, по одному з яких протікає ємнісний струм ‚Мj

r

, а по другому _ індуктивний струм KEjr

. Така схема виявляється паралельним контуром з резонансною частотою

m

ne ep

0

2

εω = (9.9)

Ця частота співпадає з частотою власних коливань плазми (ленгмюрівською частотою).

Діелектрична проникність і показник заломлення електромагнітних хвиль у плазмі.

Як відомо, плазма є гарним провідником. При поширенні хвиль у ній протікають струми. Проте при аналізі цього явища плазму формально можна розглядати як діелектрик, увівши струм провідності до складу струму зміщення.

Розглянемо холодну ізотропну плазму в однорідному змінному електричному полі

1.1

Вважатимемо іони нерухомими. Для електронів можна записати рівняння руху у формі:

1.2

86

звідки

1.3

Тоді густину струму в плазмі можна подати у вигляді

1.4

де N – концентрація електронів плазми. Праву частину рівняння Максвелла

1.5

записану з урахуванням (1.4), замінимо струмом зміщення:

1.6

ввівши тим самим діелектричну проникність εp. Тоді для діелектричної проникності можна записати:

1.7

де

– відповідно ленгмюрівська частота та критична концентрація плазми [1].

Як видно з формули (1.7), εр<1. Видно також, що при ω<ωp (або при N>Nc) струм провідності переважає струм зміщення, і ε стає від’ємним. Діелектрична проникність плазми за відсутності магнітного поля є скалярною величиною. Тому така плазма називається ізотропною. Діелектрична проникність визначає показник заломлення електромагнітних хвиль у плазмі

87

1.8

В практичній системі одиниць (СІ) вищенаведені формули набувають вигляду

1.9

При урахуванні співударянь електронів з молекулами нейтрального газу (які завжди присутні в плазмі) діелектрична проникність (а разом з нею і коефіцієнт заломлення) стають комплексними величинами, так що εр набуває вигляду

1.10

Діелектрична проникність холодної ізотропної плазми Як відомо, плазма є гарним провідником. При поширенні хвиль у ній

протікають струми. Проте при аналізі цього явища плазму формально можна розглядати як діелектрик, увівши струм провідності до складу струму зміщення.

Розглянемо холодну ізотропну плазму в однорідному змінному електричному полі E(t)=Emexp(iωt). Вважатимемо іони нерухомими. Для електронів можна записати рівняння руху у формі:

( )expm

dv eE i t

dt mω= −

r

r

, (4.1)

звідки ie

v Emω

=r

r . (4.2)

Тоді густину струму в плазмі можна подати у вигляді 2ie n

j env Emω

= − = −rr

r , (4.3)

де n – концентрація електронів плазми. Праву частину рівняння Максвелла

24 1 4E ne irotH j i E E

c c t m c c

π π ωω

∂= + = − +∂

r

r r rr

, (4.4)

записану з урахуванням (4.3), замінимо струмом зміщення:

Ec

i

t

E

ct

E

cj

c

r

rr

r ωεεπ =∂∂=

∂∂+ 14 , (4.4 а)

ввівши тим самим діелектричну проникність ε. Тоді для діелектричної проникності можна записати:

22

2 2

41 1 1p

c

ne n

m n

ωπεω ω

= − = − = − , (4.5)

де ωp2=4πne2/m та nc=mω2/4πne2 – відповідно ленгмюрівська частота (див. формулу

(1.6)) та критична концентрація плазми.

88

Як видно з формули (4.5), ε<1. Це пов’язано з протифазністю струму зміщення, який породжує одиницю у виразі для ε, і струму провідності, який породжує доданок –4πne2/mω2. Видно також, що при ω<ωp (або при n>nc) струм провідності переважає струм зміщення, і ε стає від’ємним.

Діелектрична проникність плазми за відсутності магнітного поля є скалярною величиною. Тому така плазма називається ізотропною.

Тензор діелектричної проникності холодної анізотропної плазми Як і в ізотропній плазмі, для опису поширення хвиль в анізотропній плазмі її властивості описують за допомогою діелектричної проникності, яка в анізотропному середовищі являє собою тензор. Цей тензор визначається з такого самого співвідношення, як в ізотропній плазмі: € 1 4E E

jc t c t c

ε π∂ ∂= +∂ ∂

r r

r

. (4.4 а)

Розглянемо найпростішу модель анізотропної плазми. Цікавлячись поширенням високочастотних хвиль, вважатимемо іони нерухомими. Знехтуємо також тепловим рухом електронів і їхніми зіткненнями з важкими частинками. Плазму вважатимемо неоднорідною та стаціонарною. Стале однорідне магнітне поле В спрямоване вздовж осі z.

Нехай на плазму накладене однорідне електричне поле змінюється гармонічно, E(t)=Emexp(iωt). Для знаходження тензора діелектричної проникності необхідно записати компоненти густини струму в плазмі через компоненти прикладеного електричного поля.

Рівняння руху для електронів у цьому наближенні має вигляд:

0

dv em eE v B

dt c = − − ×

r

r r

r (4.32)

Врахуємо, що швидкість, як і електричне поле, змінюється гармонічно, і спроектуємо рівняння руху (4.32) на осі координат. Отримаємо:

−=

+−=

−−=

zz

xyy

yxx

eEmvi

Bvc

eeEmvi

Bvc

eeEmvi

ω

ω

ω

0

0

(4.33)

Останнє з рівнянь (4.33) дозволяє відразу знайти z-компоненту швидкості: z

z

ieEv

mω= . (4.34)

Два інші рівняння утворюють систему. Розв’язавши її, знаходимо дві інші компоненти швидкості електронів:

( )( )2 2

x c y

x

c

e i E Ev

m

ω ωω ω

−=

−;

( )( )2 2

c x y

y

c

e E i Ev

m

ω ωω ω

− +=

−, (4.35)

де використано позначення ωc=eB0/mc – (електронна) циклотронна частота. Як бачимо, кожна з компонент швидкості vx та vy залежить від обох перпендикулярних до магнітного поля компонент електричного поля – Еx та Еy. Це

89

наслідок циклотронного обертання електронів навколо силових ліній магнітного поля. Густина струму в плазмі пов’язана зі швидкістю електронів, а через неї – з прикладеним електричним полем:

Evenjr

)rr

σ=−= 0 , (4.36)

де σij –тензор провідності, який, спираючись на формули (4.35)-(4.36),можна записати у вигляді:

( ) ( )

( ) ( )

2 20 0

2 2 2 2

2 20 0

2 2 2 2

20

0

0

0 0

c

c c

c

c c

i e n e n

m m

e n i e n

m m

ie n

m

ω ωω ω ω ω

ω ωσω ω ω ω

ω

− − − = − − − − −

) . (4.37)

Тепер знайдемо зв’язок між тензорами провідності та діелектричної проникності. Для цього підставимо (4.36) до (4.4 а) і врахуємо гармонічність зміни поля. Отримаємо: 4

E i E i Ec c c

π ω ωσ ε+ =r r r

)) , (4.4 б)

звідки

,4

ωσπε)

))

iI −= (4.38)

де Іij – одиничний тензор. Тоді тензор діелектричної проникності плазми з урахуванням явного вигляду тензора провідності (4.37) може бути поданий у формі

//

0

0

0 0

i

i

ε αε α ε

ε

⊥

⊥

− =

) , (4.39)

де використано позначення 2

21 p

c

ωε

ω ω⊥ = −−

; 2

// 21 pω

εω

= − ; ( )2

2 2

c p

c

ω ωα

ω ω ω=

−, (4.40)

ωp2=4πn0e

2/m – (електронна) плазмова частота. Відзначимо, що компонента ε// має такий самий вигляд, як діелектрична проникність ізотропної плазми. Це пов’язано з тим, що при русі електронів уздовж магнітного поля останнє не впливає на їхній рух.

Як видно з (4.40), при В0=0 і, відповідно, при ωc=0 отримаємо α=0, ε⊥=ε//=ε, і тензор діелектричної проникності вироджується в скаляр: εij=εδij, як і має бути в ізотропній плазмі (див. п 4.1.1).

Навпаки, при В0→∞ і ωc→∞ виходить α=0, ε⊥=0, і тензор діелектричної проникності набуває вигляду:

90

//

1 0 0

0 1 0

0 0

εε

=

) . (4.41)

Справді, сильне магнітне поле придушує рух електронів у напрямку, перпендикулярному до його силових ліній, тому електродинамічні властивості плазми в цьому напрямку такі самі, як у вакуумі.

7.3. Фазова та групова швидкість плазмових хвиль.

Фазова та групова швидкість. Дисперсія

На високих частотах (ω>ωp) поширення електромагнітних хвиль у плазмі нічим особливо не відрізняється від поширення таких хвиль в ізотропних діелектриках або у вакуумі. Можливо, єдина особливість полягає в тому, що діелектрична проникність плазми завжди менша від одиниці, тому фазова швидкість електромагнітних хвиль буде більшою за швидкість світла (що, звичайно, ніяк не суперечить спеціальній теорії відносності).

Зовсім інша ситуація має місце на низьких частотах (ω<ωp), де діелектрична проникність плазми стає від’ємною. Для електромагнітних хвиль на таких частотах плазма є непрозорою, вони відбиваються від плазми. Цей ефект, спричиняє, зокрема, відбиття довгих радіохвиль від іоносфери. Відкриття наддалекого радіозв’язку, обумовленого таким відбиттям, стало першим фактом, який вказував на існування іоносфери.

При введенні діелектричної проникності ми вважали поле гармонічним. Тому відразу приймемо, що B~E~exp(iωt–ikr ), тобто розглядатимемо плоску гармонічну хвилю.

Для хвиль із поперечним електричним полем (E≠0) дисперсійне рівняння має вигляд

2.1

Графік дисперсійної залежності для електромагнітних хвиль у плазмі подано на рис. 2.1.

Рис 2.1

91

З (2.1) легко визначити фазову та групову швидкості електромагнітних хвиль в ізотропній плазмі

2.2

2.3

Графіки залежностей фазової та групової швидкості від частоти хвилі подано на рис. 2.2.

Рис 2.2

Як випливає з дисперсійного рівняння (2.1), у закритичній плазмі електромагнітні хвилі поширюватися не можуть. Від такої плазми вони відбиваються. Ці ефекти

використовуються для далекого радіозв’язку та для діагностики плазми [5].

Фазовою швидкістю υph монохроматичної хвилі прийнято називати швидкість поширення хвилевого фронту. У середовищі з показником заломлення n фазова швидкість дорівнює

2.4 Тут ω – кутова частота, k – хвильове число, c – швидкість світла у вакуумі.

Як показує досвід, всі без виключення середовища володіють дисперсійними властивостями – хвилі різних частот поширюються в середовищах з різними фазовими швидкостями. Це явище називають дисперсією. Закон дисперсії можна задати або у вигляді залежності показника заломлення від частоти n(ω), або у вигляді функції υ(ω)=c/n(ω), або у вигляді залежності хвилевого числа від частоти k(ω)=ω/υ(ω). Як аргумент в законі дисперсії може бути замість ω використана довжина хвилі в середовищі λ [6].

При поширенні монохроматичної хвилі в середовищі з дисперсією жодних особливих явищ не спостерігається; хвиля поширюється зі своєю фазовою швидкістю, яка визначається значенням показника заломлення на частоті хвилі. Але якщо в середовищі з дисперсією одночасно поширюється група хвиль різних частот, то в міру поширення хвиль виникають фазові зрушення між окремими спектральними компонентами. При цьому відбувається деформація форми сумарного імпульсу. Якщо на вході в середовище збурення мало вигляд імпульсу (хвилевого пакету) певної форми, то після проходження деякого шару форма імпульсу може істотно змінитися. У загальному випадку спостерігається «розпливання» хвилевого пакету. Рис. 2.3 ілюструє цей процес.

92

Рис 2.3

Питання про швидкість поширення хвилевого пакету в середовищі з

дисперсією досить складне і неоднозначне. Можна, наприклад, стежити за переміщенням переднього фронту (точка A на Рис. 2.3). Зазвичай в теорії розглядається так звана групова швидкість, тобто швидкість переміщення центру хвилевої групи або точки з максимальним значенням амплітуди (точка B).

8.1. Збудження та згасання хвиль у плазмі. Дисперсійне рівняння для електромагнітних хвиль На високих частотах поширення електромагнітних хвиль у плазмі нічим

особливо не відрізняється від поширення таких хвиль в ізотропних діелектриках або у вакуумі. Можливо, єдина особливість полягає в тому, що діелектрична проникність плазми завжди менша від одиниці, тому фазова швидкість електромагнітних хвиль буде більшою за швидкість світла (що, звичайно, ніяк не суперечить спеціальній теорії відносності).

Зовсім інша ситуація має місце на низьких частотах, де діелектрична проникність плазми стає від’ємною. Для низькочастотних електромагнітних хвиль плазма є непрозорою, вони відбиваються від плазми. Цей ефект, спричиняє, зокрема, відбиття довгих радіохвиль від іоносфери. Відкриття наддалекого радіозв’язку, обумовленого таким відбиттям, стало першим фактом, який вказував на існування іоносфери.

З врахуванням введеної вище діелектричної проникності плазми перші два рівняння Максвелла набудуть вигляду:

t

E

cBrot

∂∂=r

r ε , t

B

cErot

∂∂−=r

r 1 (4.6)

(враховано, що в плазмі µ=1). При введенні діелектричної проникності ми вважали поле гармонічним.

Тому відразу приймемо, що B~E~exp(iωt–ikr ), тобто розглядатимемо плоску гармонічну хвилю. Тоді рівняння (4.6) набувають вигляду:

0i k B i k Eε − × =

r r r

, 0i k E ik B − × = −

r r r

, 0k cω= . (4.7)

Помножимо друге рівняння (4.7) векторно на k:

( ) 2 20 0k k E k kE k E k k B k Eε × × ≡ − = × = −

r r r r rr r r r r

(4.8)

(у правій частині враховане перше з рівнянь (4.7)). Розіб’ємо E на повздовжню і поперечну (щодо k) частини:

⊥+= EEErrr

|| .

Тоді ( ) ||kEEk =rr

, ( ) ||2EkEkkrrrr

= .

Таким чином, рівняння (4.8) набуває вигляду

93

( ) ( ) 0||20||

2||

2 =+++− ⊥⊥ EEkEEkEkrrrrr

ε . (4.9)

Проектуючи (4.9) на напрямки E// і E⊥, маємо: 0||

20 =Ekr

ε , ( ) 020

2 =− ⊥Ekkr

ε . (4.10)

Перше з рівнянь (4.10) відповідає хвилям із повздовжнім електричним полем. З умови їхнього існування (E//≠0) випливає дисперсійне рівняння ε=0. Але для коректного розгляду цих хвиль треба врахувати температуру плазми, що ми зробимо нижче (див. п.п. 4.1.3-4.1.4).

Для хвиль із поперечним електричним полем (E⊥≠0) дисперсійне рівняння має вигляд k2=εk0

2, або з урахуванням явного вигляду ε (4.5)

ck

p22 ωω −

±= . (4.11)

Графік дисперсійної залежності для електромагнітних хвиль у плазмі подано на рис. 4.1 а.

З (4.11) легко визначити фазову та групову швидкості електромагнітних хвиль в ізотропній плазмі

2 21ph

p

c

k

ωυω ω

= =−

; 1

2 21g p

kc

k

ωυ ω ωω

−∂ ∂ = = = − ∂ ∂ . (4.12)

Графіки залежностей фазової та групової швидкості від частоти хвилі подано на рис. 4.1 б.

Як випливає з дисперсійного рівняння (4.11), у закритичній плазмі електромагнітні хвилі поширюватися не можуть. Від такої плазми вони відбиваються. Ці ефекти використовуються для далекого радіозв’язку та для діагностики плазми.

а б Рис. 4.1. Електромагнітні хвилі в плазмі: а – дисперсійна крива; б – залежність

фазової та групової швидкості від частоти. 8.2. Черенковське випромінювання.

Обговорюючи механізм згасання Ландау, ми вже згадували, що умовою ефективної взаємодії хвиля-частинка є рівність фазової швидкості хвилі вздовж траєкторії частинки та швидкості руху частинки, в результаті чого остання взаємодіє з полем хвилі у сталій фазі. Цю умову можна подати у вигляді ω/kz=v0, або ω=kzv0, де kz – компонента хвильового вектора, паралельна до швидкості частинки v0.

94

Якщо (k⋅v0)≠kzv0, тобто |kz|<k, то синхронна взаємодія частинка-хвиля можлива лише тоді, коли швидкість частинки v0 перевищує фазову швидкість хвилі ω/k. Саме ця умова і є умовою виникнення черенковського випромінювання.

Якісно явище черенковського випромінювання можна зрозуміти, розглядаючи фронт електромагнітної хвилі, яка утворюється при інтерференції хвиль, випромінюваних у різних точках простору зарядженою частинкою, що рухається. Якщо v0<ω/k, то поле, створене частинкою в попередній момент часу, завжди її випереджає (рис. 4.12 б).

а б в

Рис. 4.12. Фронти випромінювання від точкового джерела: а – нерухомого (v0=0), б – v0<ω/k, в – v0>ω/k.

Якщо ж v0>ω/k, частинка випереджає своє випромінювання (рис. 4.12 в), і в

результаті інтерференції утворюється конічна поверхня. Знайдемо кут її розкриву. Нехай час, за який частинка перейде з точки А в точку В (рис. 4.12 в), дорівнює t. Тоді

0 0 0

sin ph phv t v

v t v kv

ωθ = = = . (4.114)

Відзначимо, що кут між напрямком хвильового вектора збудженої хвилі та швидкістю частинки складає величину ϕ=π/2–θ. Так, при v0=vph виходить θ=π/2, ϕ=0, тобто збуджувана хвиля поширюється паралельно до швидкості частинки.

В середовищі з часовою дисперсією (в тому числі й у плазмі) vph=vph(ω). Тоді діапазон частот, у якому матиме місце черенковське випромінювання, визначається співвідношенням vph(ω)>v0.

Так, наприклад, для ленгмюрівських хвиль: 2 2 2 23p Те

k vω ω= + , (4.21 а)

звідки

2 2

3

1Те

ph

р

vv

ω ω=

−, (4.115)

і умова появи черенковського випромінювання набуває вигляду

( )2

01 3

p

Tev v

ωω >

−. (4.116)

95

Відзначимо, що за черенковським механізмом можуть випромінюватись не тільки електромагнітні, але й, наприклад, акустичні хвилі (приклад – конус Маха, що утворюється в газі при русі тіл із надзвуковими швидкостями).

В анізотропній плазмі картина черенковського випромінювання ускладнюється, оскільки величина фазової швидкості виявляється залежною від напрямку поширення. Але умова черенковського резонансу ω–kzv0=0 зберігається. На відміну від ізотропної, в анізотропній плазмі за черенковським механізмом і можуть випромінюватися й електромагнітні хвилі (коли їхня фазова швидкість менша від с). 8.3. Згасання Ландау. Результати кінетичного розгляду. Згасання Ландау.

Точний розрахунок поширення ленгмюрівських хвиль можна отримати лише в рамках кінетичного опису плазми. Для цього треба отримати вираз для діелектричної провідності плазми в кінетичному наближенні. В цьому наближенні діелектрична проникність навіть в ізотропній плазмі буде тензором, який можна подати у формі

( ) ( )kk

kkk

k

kk ljitrjiijij ,,

22ωεωεδε +

−= , (4.19)

де ki– компоненти вектора k, εtr і εl – так звані поперечна та повздовжня діелектричні проникності. Справді, якщо напрямок вектора k сумістити з віссю z, то тензор діелектричної проникності εij набуває вигляду

0 0

€ 0 0

0 0

tr

tr

l

εε ε

ε

=

, (4.19 а)

тобто величина εtr визначає зв’язок між напруженістю Е та індукцією D для поперечної (щодо напрямку хвильового вектора) компоненти електричного поля, а величина εl – для поздовжньої компоненти.

Залежність εij(ω, k) вказує на наявність часової (залежність від частоти) та просторової (залежність від хвильового вектора) дисперсії плазми6. Часова дисперсія обумовлена наявністю в плазмі власних частот, просторова – характерного розміру (дебаївського радіусу).

Розглядаючи лише високочастотні хвилі і вважаючи виконаною умову ω/k>>vTe,i, наслідком чого є слабке згасання таких хвиль, Re ω>>Im ω, отримаємо закон дисперсії ленгмюрівських хвиль у вигляді:

( )2 22 2 2

2 2 3 3 2 2, 1 1 3 exp 0

2 2p pl Te

Te Te

k vk i

k v k v

ω ωωπ ωε ωω ω

= − + − − =

(4.20)

(пор. з умовою існування поздовжніх хвиль, яка випливає з першого рівняння (4.10)).

У першому наближенні Im ε≈0, тому з (4.20) випливає закон дисперсії

6 Див., наприклад: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003. С.209-212.

96

2 22 2

21 3 Te

p

k vω ωω

= +

. (4.21)

Оскільки kvTe<<ω, то в другому доданку в дужках можна покласти ω≈ωp, і отримаємо звичайну форму запису закону дисперсії ленгмюрівських хвиль:

( )2 2 2 2 2 2 23 1 3p Te p Dk v k rω ω ω= + = + . (4.21 а)

Цей вираз з точністю до коефіцієнту 3 збігається з отриманим в рамках гідродинаміки (див. формулу (4.18)).

Тепер приймемо, що частота хвилі є комплексною, ω=ω′+іω′′, і знайдемо уявну частину частоти ω′′, що описує згасання. Оскільки Im εl→0, то з точністю до першого порядку мализни дисперсійне рівняння можна переписати у формі:

( ) ( )( ) ( ) 0ImReRe =′+′′′∂∂+′ ωεωωεω

ωε lll ii . (4.21)

Оскільки закон дисперсії ми знайшли з умови Re εl(ω′)=0, то з (4.21) випливає, що

( )( )

Im

Re

l

l

ε ωω

ε ωω

′′′ = − ∂ ′ ∂

. (4.22)

Врахувавши, що ω≈ωp, rD=vTe/ωp,

( )2 2 2

3 5

2Re 2 12

p

p

pl Te

p

k vω ω

ω ω

ωε ω

ω ω ω ω≈≈

∂ = − − ≈ − ∂

,

можна остаточно записати:

( )( ) ( ) ( )

2

3 2

Im 1'' exp

8 2Re '

lp

lD Dkr k r

ωε ω πωε ω

ω

= − ≈ − ∂ ∂

. (4.23)

Формули (4.21 а) та (4.23) записані для плазми без зіткнень. Затухання, описуване формулою (4.23), відоме в літературі як згасання Ландау. Природа цього згасання пов’язана із взаємодією хвиль та частинок.

Ленгмюрівську хвилю можна уявити собі як хвилю електростатичного потенціалу, що рухається з фазовою швидкістю vph=ωp[k

–2+3rD2]1/2. В плазмі

знайдеться певна кількість так званих резонансних електронів, швидкість яких за величиною і напрямком збігається зі швидкістю хвилі.

Перейдемо в систему координат, де хвиля є нерухомою. Резонансні електрони потрапляють у потенціальну яму, де вони коливаються, відбиваючись від стінок. При відбитті від однієї (передньої) стінки швидкість електронів у лабораторній системі координат зменшується. Отже, вони віддають свою енергію хвилі. При відбитті від іншої (задньої) стінки швидкість електронів, навпаки, зростає, тобто електрони будуть відбирати енергію у хвилі (рис. 4.3 а). Для максвеллівського розподілу (див. рис. 4.3 б) електронів, що первісно обганяють хвилю і здатні віддати їй енергію, буде завжди менше, ніж тих, які відстають і відповідно відбирають енергію у хвилі. В результаті хвиля буде згасати. Це і є згасання Ландау.

Для ленгмюрівських хвиль із частотами, близькими до ωp, фазова швидкість буде значно більша від vTe, і резонансних електронів буде мало, тому згасання

97

буде слабким. При збільшенні частоти фазова швидкість наближається до vTe, і згасання Ландау стане настільки сильним, що унеможливить поширення ленгмюрівських хвиль.

а б Рис. 4.3. До пояснення згасання Ландау: а – резонансні електрони в

потенціальній ямі, утвореній ленгмюрівською хвилею; б – електрони, що відстають від хвилі (темна смуга) та ті, що випереджають хвилю (світла

смуга) для vph=0.7 vTe. Наведені вище якісні міркування враховують одноразове відбиття електронів від стінок потенціальної ями, утвореної ленгмюрівською хвилею. Це відповідає лінійному згасанню Ландау. Врахування впливу багатократних відбиттів породжує так зване нелінійне згасання Ландау. 8.4. Розхитування плазмових коливань пучками. Взаємодія електронних пучків з плазмою (Левитський)

Електронний пучок введений у плазму паралельно вісі OX можна розглядати як складову частину загального ансамблю електронів, яка має певну функцію розподілу електронів ).( xvf На фоні загальної максвелівської функції розподілу електронів

).(0 xvf такий пучок утворює горб на швидкості 0xx vv = . де 0xv - спрямована швидкість електронів пучка (рис.9.11).

Отже, на ділянці між точками a і b утворюється ситуація, коли .0/)( >xx dvvdf Для повздовжних плазмових електронних хвиль, що мають фазову швидкість xФx kv /.ω= , яка лежить в межах ділянки ab, кількість електронів, що

мають швидкість більшу від Фxv , перевищує кількість, що мають меншу швидкість.

Працює “згасання Ландау”, але тепер вже в оберненому вигляді: хвиля відбирає енергію у електронів пучка і зростає за амплітудою. Отже, якщо якимсь чином збудити таку хвилю, то вона буде не згасати, а наростати.

98

Особливо яскраво цей процес здійснюється, якщо електрони пучка мають певну дискретну швидкість 0v , тобто якщо пучок є монокінетичним і його функція розподілу є )( 0vvx −δ . Тоді процес взаємодії повздовжних плазмових хвиль з пучком здійснюється як у лампі біжучої хвилі. Зрозуміла річ, що все це може відбуватися лише на частотах pωω> , тобто там, де можливе існування

повздовжних хвиль. Описаний механізм взаємодії можна назвати “синхронним”, бо він вимагає приблизної рівності швидкостей між пучком і підсилюваною хвилею.

Але може існувати і інший механізм, який здійснюється для частот pωω< і який

можна назвати асинхронним. Будемо вважати, що пучок промодульовано частотою ω , його електрони мають швидкість 0v і він утворює у плазмі

низку електронних згустків з просторовим періодом ω

π 02v

=Λ (рис.9.12). Якщо б

такий пучок рухався у вакуумі, то кулонівські сили просторового заряду намагалися б розширювати згустки і вирівнювати концентрацію електронів вздовж пучка. Якщо ж пучок рухається у плазмі, концентрація якої така, що виконується умова pωω< , то це означає, що рух електронів відбувається у середовищі,

діелектрична проникливість якого для частоти ω є від’ємною. У такому середовищі кулонівські сили змінюють свій знак і тепер однойменні заряди у згустках будуть не відштовхуватися, а взаємно притягатися з силою

20

21

r

eeF

pεε= (9.20)

В міру руху пучка у плазмі щільність густини зарядів у згустках буде зростати, тобто глибина модуляції електронного пучка і змінна компонента струму у ньому будуть зростати. Процес цей розвиватиметься експоненціально з просторовим інкрементом γ в буде обмежуватися лише нелінійними ефектами.

З формули (9.20) видно. Що сили, які будуть ущільнювати згустки, тим більші, чим ближче pε до нуля,

тобто чим ближче ω до pω . Відповідно, в міру наближення

до плазмового резонансу зростатиме і величина γ (рис.9.13). Однак до нескінченно великих значень інкременту справа, звісно, не дійде. Якщо ми наближаємося до області

pωω≥ , асинхронний механізм змінюється на синхронний,

при якому величина інкременту зберігається скінченою. Найбільший інкремент досягається у точці близькій до pωω = , тобто у околі

плазмового резонансу.

99

Описане явище підсилення хвиль у плазмі електронними пучками лежить в основі цілого класу приладів плазмової електроніки - плазмових підсилювачів і генераторів високочастотних сигналів. Плазмово-пучкова взаємодія

У випадку згасання Ландау (див. п. 4.1.4) хвиля передає свою енергію частинкам плазми. Але в плазмі з немаксвеллівським розподілом частинок за швидкостями можливий обернений процес, коли частинки передають свою енергію на збудження хвилі. Прикладом такої системи може служити плазма, крізь яку рухається пучок електронів.

4.6.1. Якісний розгляд та класифікація режимів Нехай через плазму рухається пучок заряджених частинок. Це означає, що

розподіл частинок за швидкостями (наприклад електронів) буде істотно немаксвеллівським, тобто така система буде не рівноважною – в ній міститься деякий запас енергії у формі кінетичної енергії електронів пучка. Ця енергія в процесі переходу системи до стану термодинамічної рівноваги буде виділятись, це може, зокрема, привести до збудження в системі деяких коливань або хвиль (явище плазмово-пучкової нестійкості). Якщо пучок є монокінетичним (кількісний критерій монокінетичності буде сформульовано нижче), то задачу про плазмово-пучкову нестійкість можна розв’язати в гідродинамічному наближенні. В цьому випадку говорять про гідродинамічний режим плазмово-пучкової нестійкості. Він є більш простим для аналізу. Якщо температура пучка є істотною (в пучку має місце суттєвий розкид за швидкостями), то задачу треба розв’язати за допомогою кінетичного рівняння для функції розподілу. В цьому випадку говорять про кінетичний режим плазмово-пучкової нестійкості.

В будь-якому випадку розвиток плазмово-пучкової нестійкості супроводжується модуляцією пучка за швидкістю та густиною. Поки виконується умови ∆v/v0<<1, ∆n/nB<<1, тобто відносні збурення швидкості та густини пучка залишаються малими, говорять про лінійну стадію розвитку плазмово-пучкової нестійкості, яку можна адекватно описувати лінеаризованими рівняннями. Коли хоч одна з цих умов порушується, говорять про нелінійну стадію плазмово-пучкової нестійкості. Цю стадію можна описати аналітично тільки на обмеженому проміжку. На пізніх стадіях придатне лише комп’ютерне моделювання.

В принципі можна уявити собі три можливі постановки задачі про плазмово-пучкову нестійкість. 1. Розглядається нескінченна однорідна система, в якій задане деяке початкове

періодичне збурення, а потім досліджується еволюція цього збурення з часом. Така постановка відповідає так званій задачі з початковими умовами, або початковій задачі.

2. На вході в деяку область пучок моделюється (наприклад, фіксованою частотою), а нестійкість розвивається в просторі в стаціонарному режимі. Отримуємо так звану задачу з граничними умовами, або граничну задачу.

100

3. Реально інжекція пучка в плазму починається в деякий момент часу і супроводжується перехідними процесами, які можуть і не згаснути, тобто система може не вийти на стаціонарний режим (так звичайно і буває в реальних експериментах). В цьому випадку слід розв’язувати початково-граничну задачу.

4.6.2. Отримання дисперсійного рівняння в гідродинамічному режимі

Розглянемо модель плазмово-пучкової системи, в якій електронний потік, що рухається зі швидкістю v0, заповнює весь простір, у якому існує однорідна фонова плазма. Нехай середня густина потоку значно менша, ніж густина фонової плазми: nB0<<np0. Вважатимемо, що об’ємний заряд пучка компенсується іонами плазми, так що nі0= np0+ nB0. Температурою пучка нехтуємо, іони плазми вважаємо нерухомими, електричне поле – потенціальним. Лінеаризовані рівняння для плазмово-пучкової системи можна подати у формі:

2

0

p Tep p

p

v ven v

t m nϕ ν

∂= ∇ − ∇ −

∂

r

r (4.121)

(рівняння руху електронів плазми);

0( )BB

v ev v

t mϕ∂ + ∇ = ∇

∂

r

r r (4.122)

(рівняння руху електронів пучка);

0( ) 0pp p

nn v

t

∂+ ∇ =

∂r (4.123)

(рівняння неперервності для електронів плазми);

0( ) ( ) 0BB B B

nn v n v

t

∂ + ∇ + ∇ =∂

r r (4.124)

(рівняння неперервності для електронів пучка); ( )4 B Pe n nϕ π∆ = − + (4.125)

(рівняння Пуассона). Підставивши розв’язок у формі плоскої хвилі, f(r, t)~exp(iωt-ikr ), і вважаючи, що v0=ezv0, k=k x, 0, kz, замість системи (1), можна записати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо амплітуд vpx, vpz, np, vBx, vBz, nB, ϕ:

2

0

( ) 0Tepz z p z

p

v ei v k n k

n mω ν ϕ− − + = ;

2

0

( ) Tepx x p x

p

v ei v k n k

n mω ν ϕ− − + ;

0( ) 0z Bz z

ek v v k

mω ϕ− + = ;

0( ) 0x Bx x

ek v v k

mω ϕ− + = ; (4.126)

0

0z pz x px pp

k v k v nn

ω− − + = ;

101

00

( ) 0Bx Bx z Bz z

B

nk v k v k v

nω− − + − = ;

24 ( ) 0p Be n n kπ ϕ+ + = .

Прирівнюючи до нуля визначник цієї системи, можна отримати дисперсійне рівняння:

22 2 2

20

1 1 0( ) ( ) ( )

pTe B

z

k v

i k v i

ωωω ω ν ω ω ω ν

− − − = − − −

, (4.127)

де використано позначення ωp2=4πnp0e

2/m, ωB2=4πnB0e

2/m. Будемо вважати, що vTe, ωB

2 та ν – це величини першого порядку мализни. Тоді, відкинувши в (4.127) доданки другого й вищих порядків мализни, можна отримати:

2 2 2 2

2 20

1 0( ) ( )

p Te B

z

k v

iv k v

ω ωω ω ω ω

− − − =− −

(4.128)

Це і є дисперсійне рівняння для хвиль у плазмі, крізь яку рухається електронний потік.

4.6.3. Інкремент плазмово-пучкової нестійкості в холодній плазмі без зіткнень

Спростимо дисперсійне рівняння (4.128), поклавши ν=0 і vTe=0. Отримаємо: 2 2

2 20

1 0( )

p B

zk v

ω ωω ω

− − =−

. (4.129)

Можна чекати, що потенціальна хвиля електричного поля буде найбільш ефективно взаємодіяти з пучком за виконання умови черенковського резонансу ω=kzv0. Тому для початкової задачі (тобто для заданого дійсного k) шукатимемо розв’язок рівняння (4.129) у формі ω=kzv0+δ, |δ|<<kzv0. Врахувавши, що

( ) ( ) ( )

2

2 2 220 00 0 0

1 1 1 1 21 1

z zz z zk v k vk v k v k v

δ δω δ

−

= = + ≈ − +

,

рівняння (4.129) можна переписати у формі: 2 2

0 3 20

20

( )p B

zk v

ω δ ωεδ

+ − = (4.130)

де ε0=1–(ωp/kzv0)2 – діелектрична проникність плазми на частоті ω=kzv0.

Спочатку розглянемо випадок, коли ε0<0 і –ε0>>2|δ|ωp2/(kzv0)

3. Тоді з (4.130) випливає, що δ2=ωВ

2/(–ε0), і

1,2

0

Biωδ

ε= ±

−. (4.131)

Один з коренів (4.131), а саме δ2, якраз і відповідає інкременту нерезонансної плазмово-пучкової нестійкості для аналізованої моделі. Бачимо, що |δ|~nB

1/2. Підставивши отримане значення |δ|, можна переписати умову чинності розв’язку (4.131) для ε0 у формі:

102

2 3 2

00

pB

p zk v

ωωεω

− >>

(4.132)

Механізм цієї нестійкості пов’язаний із тим, що діелектрична проникність плазми є від’ємною. При цьому кулонівська сила змінює знак, і однойменні заряди починають притягуватися. В результаті початкова модуляція пучка за густиною з часом буде зростати. Нехай тепер виконується умова, протилежна до (4.132), тобто

2 3 2

00

pB

p zk v

ωωεω

<<

. (4.133)

Тоді замість (4.131) із рівняння (4.130) можна отримати: 1 3

23

021

2B

p

kvωδω

=

, (4.144)

причому в силу (4.133) можна прийняти, що kv0≈ωр, тобто 1 32

3 1.2

B pω ωδ

=

(4.144 а)

Оскільки

( )3

11 1= , ( )3

2,3

1 31

2

i− ±= ,

то інкремент нестійкості в цьому випадку дається формулою 1 32

1 33~

2 2B p

Bnω ω

γ

=

(4.144 б)

Оскільки nB – мала величина, то нестійкість у цьому випадку буде сильнішою, ніж у попередньому. Ця нестійкість називається резонансною, оскільки для неї kv0≈ωр, або поляризаційною, оскільки вона, не збуджуючи власних хвиль, приводить до поляризації (розділення) зарядів. Вона реалізується як при додатних, так і при від’ємних ε0.

4.6.4. Радіаційна нестійкість Нехай тепер vTe≠0, але, як і раніше, ν=0. У цьому випадку дисперсійне

рівняння (4.128) набуває вигляду: 2 2 2 2

2 2 20

1 0( )

p Te B

z

k v

k v

ω ωω ω ω

− − − =−

. (4.145)

Ввівши позначення 2 2 2

2 2( , ) 1 p Te

p

k vk

ωε ω

ω ω= − − ,

перепишемо його у формі: ( )( )2 2

0,p z Bk k vε ω ω ω− = . (4.145 а)

При ωB→0 рівняння (4.145 а) розпадається на два: ω1,2=kzv0 (це рівняння описує хвилі просторового заряду в електронному пучку7) і εp(ω,k)=0 (це рівняння 7 Про хвилі просторового заряду див.: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003.

103

описує ленгмюрівські хвилі в гідродинамічному наближенні, див. п. 4.1.3). Наявність ненульового ωB приводить до появи зв’язку між цими хвилями. Зокрема, розв’язок рівняння (4.145 а) можна подати у формі:

0( , )

Bz

p

k vk

ωωε ω

= ± . (4.146)

Як бачимо, в нульовому наближенні за ωB частота задовольняє співвідношенню ω≈kzv0.

При одночасному виконанні цієї умови і умови εp(ω,k)=0 відбувається збудження пучком ленгмюрівських хвиль.

Врахуємо в (4.145), що k2=kx2+kz

2. Тоді для kx2 отримаємо з (4.145):

2 22

2 20

( )px

Te

kv v

ε ω ω ω= − , (4.147)

де використане позначення εр(ω)=1–ωр2/ω2.

Умова випромінювання хвиль пучком має вигляд kx2>0, або

0( )

Teph

p

vv v

ε ω> = , (4.148)

тобто швидкість пучка має перевищувати фазову швидкість ленгмюрівської хвилі. Можна говорити, отже, що механізм випромінювання в цьому випадку є черенковським.

Для знаходження часового інкременту нестійкості в цьому випадку приймемо, що при заданому k виконана умова синхронізму між ленгмюрівською хвилею і пучком, тобто частота має вигляд ω=ω0+δ, де

2 2 20 0z p Tek v k vω ω= = + . (4.149)

З останнього співвідношення можна знайти зв’язок між kx та kz:

( )2 2 2 2 202

1x z Te p

Te

k k v vv

ω = − − . (4.150)

Рівняння для δ має такий самий вигляд як у випадку резонансної нестійкості, тобто збігається з (4.144), де слід лише замінити ωр на (ωр

2+k2vТе2)1/2, тобто на ω0:

22 33 30

00 0

( )

2 2B z Bk vω ωδ ω

ω ω

= =

,

звідки відразу 1 32

03

2 2Bω ωγ

=

. (4.151)

Як і у випадку резонансної нестійкості, інкремент пропорційний до nB1/3.

Ясно, що нижня межа, на якій можлива ця нестійкість, визначається умовою ωmin=ωp (нижче від цієї частоти ленгмюрівські хвилі не існують). Можна показати, що верхня межа визначається співвідношенням:

1 32

2 2max 2

1 Bp D

p

k rωω ωω

= + +

. (4.152)

104

З енергетичної точки зору аналізована нестійкість пов’язана з відбором енергії від повільної хвилі просторового заряду на збудження ленгмюрівської хвилі.

Дисперсійні залежності для рівняння (4.145) подані на рис. 4.15. Можна показати, що в нестійкій області ω/k<v0.

Рис. 4.15. Дисперсійні криві для хвиль у теплій плазмі без

зіткнень, крізь яку рухається електронний пучок: 1, 2 –

плазмові коливання, 3, 4 – хвилі просторового заряду пучка, 5 –

інкремент нестійкості.

4.6.5. Дисипативна нестійкість Розглянемо тепер випадок, коли vTe=0, але ν≠0. Введемо позначення

2 2 2

2 2( ) 1 Re Im 1

( )p p p

p p pi iiv

ω ω ωνε ω ε εω ω ω ω ω

= − = + ≈ − −−

(4.153)

(остання рівність справедлива при ν/ω<<1). Тоді дисперсійне рівняння (4.128) набуде вигляду:

2

20

( ) 0( )

Bp

zk v

ωε ωω

− =−

. (4.154)

Це рівняння зручно розв’язати щодо kz (це відповідає граничній задачі). Отримаємо:

1,20

1 Bz

p

kv

ωωε

= ±

. (4.155)

Два розв’язки (4.155) відповідають двом хвилям просторового заряду – повільній (верхній знак) та швидкій (нижній). При Re εp>0, як відомо, швидка хвиля просторового заряду є хвилею з додатною енергією, а повільна хвиля – з від’ємною. Оскільки εp має уявну частину, величини kz1,2 також будуть комплексними. Можна показати, що швидка хвиля спадатиме, а повільна – зростатиме вздовж напрямку руху пучка. В даному разі енергія від пучка відбиратиметься на розігрів плазми за рахунок зіткнень. При цьому хвиля з додатною енергією згасатиме , а з від’ємною – навпаки, зростатиме. Нестійкості такого типу називаються дисипативними.

105

4.6.6. Нелінійна стадія гідродинамічної плазмово-пучкової нестійкості На початку слід відзначити, що нелінійність у процесі розвитку плазмово-пучкової нестійкості буде перш за все проявлятися в пучку. Це пов’язано з тим, що електрони пучка мають швидкість, близьку до швидкості хвилі електричного поля, тобто вони взаємодіють із полем майже незмінної фази. В процесі розвитку плазмово-пучкової нестійкості для чисто поздовжніх хвиль виникає поздовжня хвиля потенціалу. В системі координат, пов’язаній із цією хвилею, фазовий портрет для електронів пучка нагадує математичний маятник. Нагадаємо, що поблизу центрів фазові траєкторії ізохронні, а поблизу сепаратриси період коливань зростає. Спершу частинки пучка нерухомі, потім вони починають рухатися по фазових траєкторіях (рис. 4.16 а). Це приводить до того, що у фазовому просторі з’являється хвиля (рис. 4.16 б). В певний момент часу її фронт перекидається (рис. 4.16 в). Цей момент відповідає максимальному групуванню електронів пучка в згустки.

а в

б г Рис. 4.16: а – фазовий портрет математичного маятника; б-г – послідовна зміна фазового портрету електронного пучка при взаємодії з поздовжньою електростатичною хвилею (епюра в відповідає моменту перекидання хвилі у

фазовому просторі). Коливання електронів у потенціальних ямах хвилі прийнято називати баунс-коливаннями. Частота цих коливань (поблизу центру) можне бути оцінена з рівняння руху електронів у потенціалі хвилі:

2

2

d xm e

dt x

ϕ∂=∂

, cosm kxϕ ϕ= , (4.156)

106

звідки 2

2sin 0mked x

kxdt m

ϕ+ = , (4.156 а)

або при kx<<1 2 0me

x k xm

ϕ+ =&& . (4.156 б)

Отже,

mek

m

ϕΩ = , 0

pkv

ω≈ . (4.157)

Картина баунс-коливань, наведена на рис. 4.16, ускладнюється тим, що в процесі розвитку нестійкості амплітуда потенціальної хвилі зростає. Оскільки хвиля дещо відстає від пучка, захоплення електронів пучка відбувається не відразу, а лише при певній амплітуді хвилі.

Залежність амплітуди електричного поля та середньої швидкості пучка від часу (для початкової задачі) подана на рис. 4.17. Видно, що на нелінійній стадії відбувається квазіперіодичний обмін енергією між електростатичною хвилею та пучком.

Рис. 4.17. Квазіперіодична зміна амплітуди електричного поля хвилі

та середньої швидкості електронного пучка, обумовлена баунс-коливаннями.

4.6.7. Кінетичний режим плазмово-пучкової нестійкості Реальний пучок характеризується ненульовою температурою, тобто

наявністю розкиду електронів за швидкостями ∆vB. З іншого боку, хвилі частоти ω, що зростає з інкрементом γ, можна приписати ширину спектру по частотах порядку γ і, отже, розкид по фазових швидкостях ∆vph~γ/k. Якщо ∆vph>∆vB, реалізується гідродинамічний режим нестійкості, про який досі була мова. В протилежному випадку реалізується кінетичний режим нестійкості. Такий режим характерний для електронних пучків природного походження (сонячний вітер, авроральні області іоносфери)

107

В кінетичному режимі (при ∆vB>>γ/k) генерується широкий спектр коливань. Це явище можна інтерпретувати як зміну знаку згасання Ландау в тій області, де нахил функції розподілу системи плазма-пучок буде додатнім(див. рис. 4.18). Число збуджених мод у цьому випадку буде

~ 1Bk vN

γ∆ >> . (4.158)

В результаті збудження цих мод розподіл f(vz) із позитивним нахилом поступово зникає (це стосується значення f(vz), усередненого по багатьох періодах коливань), і формується плато (лінія 3 на рис. 4.18).

Схожа еволюція функції розподілу спостерігається і в кінетичному режимі. Вперше цей ефект було експериментально досліджено С.М. Левитським та І.П. Шашуріним8.

Рис. 4.18. Еволюція функції розподілу електронів за швидкостями в процесі

розвитку плазмово-пучкової нестійкості.

4.8 Плазмово-пучковий розряд та плазмово-пучкова турбулентність

Якщо плазмово-пучкова нестійкість розвивається в слабко іонізованій плазмі, то високочастотні поля, збуджені пучком, можуть іонізувати її нейтральну компоненту. У цьому випадку говорять про плазмово-пучковий розряд. Якщо ленгмюрівські хвилі, збурені пучком, можуть достатньо велику амплітуду, вони починають нелінійно взаємодіяти, формуючи широкий частотний спектр. Зокрема, можуть відбуватись так звані l-s розпади – параметричні розпади високочастотної ленгмюрівської хвилі на ленгмюрівську нижчої частоти та іонно-звукову. Так формується плазмово-пучкова турбулентність. Але цей хаотичний процес характеризується певними невипадковими спектральними властивостями (наприклад, так званими колмогорівськими спектрами).

9.1. Розповсюдження електромагнітних хвиль в неоднорідній плазмі.

Реальна плазма майже завжди є неоднорідною. При поширенні хвиль у неоднорідних середовищах можливий цілий ряд ефектів, які не реалізуються в однорідному випадку. Ми розглянемо ці ефекти на прикладі поширення електромагнітних хвиль в неоднорідній ізотропній плазмі. 4.4.1 Хвильові рівняння для електромагнітних хвиль у плоско-шаруватій плазмі

8 С.М.Левитский, И.П.Шашурин. ЖЭТФ, 1967, т.52, 2, с 350-356.

108

Будемо розглядати холодну ізотропну плазму без зіткнень, концентрація якої залежить від однієї координати z (так звана плоско-шарувата модель). Нехай у такій плазмі поширюється електромагнітна хвиля, причому її хвильовий вектор лежить у площині yz. Хвильове рівняння для такої моделі можна записати у вигляді (див. п. 4.1.2):

( ) 2

2 20

z Erot rot E

c t

ε ∂+ =∂

r

r

, (4.72)

або ( ) 2

2 20

z EE grad div E

c t

ε ∂∆ − − =∂

r

r r

. (4.72 а)

Врахуємо, що компоненти поля не залежать від х. Тоді проекції хвильового рівняння на осі координат дає:

02

2

22

2

2

2

=∂

∂−∂

∂+∂

∂t

E

cz

E

y

E xxx ε ; (4.72 б)

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

0;

0.

y y y yz

yz z z z

E E E EE

y z y y z c t

EE E E E

y z z y z c t

ε

ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ − − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ + − − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(4.72 в)

Система отриманих таким чином рівнянь розпадається на рівняння (4.72 б) для компоненти Е

х (це рівняння описує s-поляризовані хвилі) і підсистему (4.72 в)

для компонент Ey та Ez (вона відповідає р-поляризованій хвилі). Розглянемо спочатку s-поляризовані хвилі. Будемо шукати розв’язок хвильового рівняння (4.72 б) у формі E

х(r,t)=E

х(z)exp(iωt-ikyy). Після його

підстановки отримаємо:

( ) 02202

2

=−+ xyx Ekk

dz

Ed ε , 0kc

ω= . (4.73)

4.4.2. Наближення геометричної оптики Нехай неоднорідність плазми є слабкою, тобто виконано умову 10 >>Lk , (4.74)

де 1

1 dL

dz

εε

−

= , (4.75)

– характерний розмір неоднорідності плазми. По суті, умова (4.74) означає, що вказаний розмір неоднорідності значно перевищує вакуумну довжину електромагнітної хвилі.

Тоді розв’язок можна шукати в наближенні геометричної оптики, тобто у формі:

( ) ( ) ( )expxE z A z i zψ= . (4.76)

Введена таким чином величина ψ називається ейконалом. Вважатимемо виконаними умови

L

A

dz

dA~ ,

dz

d

Ldz

d ψψ 1~

2

2

. (4.77)

109

Іншими словами, вважатимемо справедливими нерівності

Akdz

dA0<< ,

dz

dk

dz

d ψψ02

2

<< . (4.77 а)

Випишемо в явному вигляді першу та другу похідні від Ех:

( ) ( )0

exp exp

I

xdE dA di iA i

dz dz dz

ψψ ψ= + ; (4.76 а)

( ) ( ) ( ) ( )0

22 2 2

2 2 2exp 2 exp exp exp

II II

zd E d A dA d d di i i iA i A i

dz dz dz dz dz dz

ψ ψ ψψ ψ ψ ψ = + + −

(над доданками у правих частинах виразів указано їхній порядок вказаний мализни за параметром (k0L)-1). Тепер підставимо розв’язок (4.76) з урахуванням (4.76 а) до рівняння (4.73), залишаючи доданки нульового та першого порядків мализни. В отриманому виразі прирівняємо до нуля окремо доданки нульового і першого порядків. Отримане таким чином рівняння для доданків нульового порядку мализни має вигляд:

( )[ ] 0220

2

=−+

− Akzkdz

dA yεψ , ( ) ( )2 2

0z yk z k z kε≡ − , (4.78)

звідки можна знайти явний вираз для ейконалу:

( )∫±=Z

Z z dzzk0

''ψ , (4.79)

Рівняння для доданків першого наближення має вигляд

022

2

=+dz

diA

dz

d

dz

dA ψψ , (4.80)

або, з урахуванням явного вигляду ейконалу,

022

=±±dz

dkAk

dz

Ad zz . (4.80 а)

Інтегруючи рівняння (4.80 а), можна знайти явний вигляд просторової залежності амплітуди А:

( )( )0

z

AA z

k z= . (4.81)

Отже, в загальному випадку розв’язок рівняння (4.73) за методом геометричної оптики9 можна подати у формі:

( )( )

( ) ( ) ( )0 0

1 2

1exp ' ' exp ' ' exp

z z

x z z y

z zz

E z A i k z dz A i k z dz i t ik yk z

ω = + − −

∫ ∫ . (4.82)

Розв’язок (4.82) описує дві хвилі – пряму та зворотну. Відзначимо, що в розв’язку (4.82) сталі інтегрування А1 та А2 – комплексні

амплітуди зворотної та прямої хвиль – залежать від параметра z0. В щільній плазмі, де kz

2<0, також можна записати розв’язок хвильового рівняння у наближенні геометричної оптики:

( )( )

( ) ( ) ( )0 0

1 2

1exp ' ' exp ' ' exp

z z

x z z y

z zz

E z B z dz B z dz i t ik yz

χ χ ωχ

= − + − ∫ ∫ , (4.82 а)

9 В літературі метод геометричної оптики називають також методом Вентцеля – Крамерса – Бріллюена (ВКБ).

110

де введене позначення χz2(z)=-kz

2(z). Обговорення геометрико-оптичного розв’язку Нехай у неоднорідному середовищі присутня тільки пряма хвиля, тобто А1=0, А2≠0. Знайдемо z-компоненту вектора Пойнтінга для такої хвилі. Як відомо, вектор Пойнтінга пропорційний добутку групової швидкості хвилі на густину її енергії, так що Πz~vzgEm

2, де Em=A0(kz(z))-1/2. Розрахунок z-компоненти групової швидкості з урахуванням явної залежності ε(ω) (4.5) дає:

( )1

11 1 2 22 2 20 2 2

0

1 2

2pz z

zg y yz z

k kv k z k k c

k c k c k

ω ωω ωεω ω ω

− −− − − ∂∂ ∂ ∂ = = = − = − = = ∂ ∂ ∂ ∂

.

(4.83) Отже,

( ) ( )( )

constk

zkc

zk

Az z

zz =Π

0

20~ . (4.84)

Як бачимо, просторова зміна амплітуди, що описується формулою (4.81), обумовлена зміною групової швидкості хвилі при збереженні густини потоку її енергії.

Знайдемо тепер, у яких областях наближення геометричної оптики (4.77 а) порушується. Для цього розрахуємо першу похідну від геометрико-оптичної амплітуди:

( )2 2 20 00 03 2 2

1

2 4z

yz z

A AdA d dk z k k

dz k dz k dz

εε= − − = − . (4.85)

Як видно з рівняння (4.85), ця похідна необмежено зростає при kz→0, тобто в околі точки, де ε(z)=(ky/k0)

2. Оскільки у вакуумі ky=k0sinθ, то в цій точці ε(z)=sin2θ. Ця точка називається точкою повороту хвилі, оскільки вона розділяє області прозорості та непрозорості для хвилі з даними значеннями ω та ky. Порушення справедливості наближення геометричної оптики в околі точки повороту означає, що в цій точці можливе взаємне перетворення прямої та зворотної хвиль. Відбиття s-поляризованої хвилі від слабко неоднорідної плазми Розглянемо тепер задачу про відбиття s-поляризованої електромагнітної хвилі від плазми з розмитою межею. Концентрація плазми, як і раніше, залежить лише від координати z. Нехай область z<0 являє собою вакуум, а в області z>0 концентрація плазми монотонно зростає (рис. 4.10 а). Нехай на плазму під кутом θ падає s-поляризована хвиля. Хвильовий вектор хвилі лежить у площині yz. Електричне поле хвилі s-поляризованої перпендикулярне до площини падіння, тобто воно спрямоване вздовж осі х. Таким чином, поведінка електричного поля хвилі описується рівнянням (4.73). Якщо неоднорідність плазми вважати слабкою, то поза околом точки повороту, в якій ε=sin2θ, справедливі геометрико-оптичні розв’язки (4.82) (ліворуч від точки повороту) та (4.82 а) (праворуч від точки повороту). В останньому розв’язку слід покласти В2=0, оскільки поле хвилі повинне залишатися обмеженим при z→∞.

111

Ми вважаємо хвилю, що падає на плазму, заданою (тобто задаємо амплітуду А2). Тоді, зв’язавши між собою розв’язки хвильового рівняння по обидва боки від точки повороту, можна знайти амплітуди А1 та В1. Оскільки в нашій моделі відсутнє згасання (Im ε=0), то амплітуда відбитої хвилі має дорівнювати амплітуді падаючої хвилі (|А1|=|А2|). Іншими словами, в тій області, де електромагнітна хвиля може поширюватися, вона буде чисто стоячою. Для того, щоб зв’язати геометрико-оптичні розв’язки по обидва боки від точки повороту, можна покласти, що в околі названої точки профіль концентрації плазми є лінійним. У цьому випадку рівняння (4.73) вдається розв’язати точно через деякі спеціальні функції – так звані функції Ейрі. В свою чергу, асимптотика цих функцій може бути ототожнена з геометрико-оптичними розв’язками.

а в

б г Рис. 4.10. Відбиття s-поляризованої хвилі від слабко неоднорідної плазми: а –

профіль концентрації плазми; б – просторовий розподіл інтенсивності електричного

поля; в – траєкторія окремого променя; г – схема її побудови.

Залежність інтенсивності електричного поля хвилі від координати z, побудована описаним вище способом, наведена на рис. 4.10 б. Щоб зрозуміти, як виглядає траєкторія окремого променя (вона показана на рис. 4.10 в), можна подумки розбити плазму на плоскі однорідні шари (рис. 4.10 г). При зростанні концентрації плазми її діелектрична проникність ε зменшується, і показник заломлення n=ε1/2 також зменшується. В результаті при заломленні на кожній межі шарів промінь все дужче відхиляється від нормалі до меж цих шарів. У точці повороту відбувається повне внутрішнє відбиття, і промінь змінює напрямок руху вздовж осі z на протилежний.

112

Відбиття р-поляризованої хвилі від розмитої межі плазми. Точка локального плазмового резонансу Розглянемо тепер падіння на розмиту межу плазми, описану вище (п. 4.4.4), р-поляризованої хвилі, у якої відмінні від нуля компоненти електричного поля Еу та Еz. Для неї зручніше розв’язувати хвильове рівняння для магнітного поля, яке має єдину ненульову компоненту Вх. Це хвильове рівняння неважко отримати з рівнянь Максвелла таким самим способом, як ми раніше отримували хвильові рівняння для електричного поля (4.72 б-в). Запишемо рівняння, що визначає магнітне поле струму з урахуванням струму зміщення (оскільки струм провідності плазми враховано в її діелектричній проникності, див. п. 4.1.1, то вважаємо, що j=0):

Erot B

c t

ε ∂=∂

r

r

. (4.86)

Узявши ротор від обох частин цього рівняння, отримаємо:

( )0rot rot B ik rot Eε=r r

(4.87)

(прийнято, що часова залежність поля є гармонічною з частотою ω, і використано позначення k0=ω/c). Тепер перетворимо праву та ліву частини (4.86) за відомою формулою векторного аналізу:

( )rot E rot E Eε ε ε = + ∇ × r r r

;

rot rot B grad div B B B= − ∆ = −∆r r r r

(4.88) (в останньому співвідношенні враховано теорему Гаусса для магнітного поля). Підставивши (4.88) до (4.87) і виключивши електричне поле за допомогою (4.85) та закону електромагнітної індукції

0rot E ik B= −r r

, (4.89) отримаємо:

20 0

0

rot BB k B ik

ikε ε

ε

−∆ = − + ∇ ×

r

r r

, (4.90)

або остаточно 2

0

10B rot B k Bε ε

ε ∆ + ∇ × + =

r r r

. (4.90 а)

Врахуємо, що ε=ε(z), а залежність від х відсутня. Тоді векторне рівняння (4.86) можна переписати у формі двох скалярних:

( )0

1 xz

BE

ik z yε∂= −∂

, ( )0

1 xy

BE

ik z zε∂=∂

. (4.86 а)

Шукатимемо розв’язок хвильового рівняння (4.90) у формі B(r ,t)=exB(z)exp(iωt-ikyy). Тоді, врахувавши, що

0

x

x

rot B B z

B y

= ∂ ∂ − ∂ ∂

r

,

dz

dez

εε r−=∇ ,

113

[ ]dz

dB

dz

deBrot x

εε r

r

−=×∇ ,

можна переписати (4.90) у вигляді:

( )2

2 202

10y

d B d dBk k B

dz dz dz

ε εε

+ + − = . (4.91)

Можна показати, що в околі точки, в якій ε=0, наближено виконується умова В(z)=const, тому в цій області, відповідно до першого зі співвідношень (4.86 а),

( )0

yz

k BE

k zε= − , (4.92)

тобто електричне поле у цій точці має полюс першого порядку (рис. 4.11 а, пор. з рис. 4.10 б). Ця особливість електричного поля відповідає збудженню коливань в точці локального резонансу, де частота хвилі збігається з електронною ленгмюрівською частотою, тобто ω=ωр(z). Врахування зіткнень електронів із важкими частинками або ненульової температури електронів обмежує амплітуду коливань електричного поля в резонансній точці.

Можна показати, що електричне поле в околі точки локального плазмового резонансу при врахуванні лише зіткнень електронів з важкими частинками можна подати у формі

( ) ( )Lk

EzE m

z

0

02πν

τω Φ= , ( )1 3

0 sink Lτ θ= , (4.93)

де ν – частота зіткнень електронів з важкими частинками, L=|(1/ε)(dε/dz)|-1ε=0 – характерний розмір неоднорідності плазми в області локального плазмового резонансу. Графік функції Φ(τ) поданий на рис. 4.11 б.

При малих кутах θ падіння р-поляризованої хвилі на плазму поле в точці локального плазмового резонансу прямує до нуля, оскільки при θ=0 електричне поле падаючої хвилі стає чисто поперечним (щодо градієнту концентрації плазми), і таке поле не може розгойдувати поздовжні коливання в резонансній точці. Навпаки, при великих θ зростає бар’єр непрозорості між точкою повороту, де ε=sin2θ, і точкою резонансу, де ε=0.

а б Рис. 4.11.

114

Коливання в точці локального плазмового резонансу можна збудити і іншими способами – наприклад, помістивши неоднорідну плазму в змінне електричне поле, паралельне до градієнту її концентрації. 9.3. Лінійна трансформація хвиль. Лінійна трансформація хвиль у неоднорідній плазмі: отримання базових рівнянь

В неоднорідній плазмі з’являється зв’язок між хвилями, які в однорідній плазмі є нормальними. Він приводить до лінійної трансформації одних типів хвиль в інші. Найпростіший приклад такої трансформації – це відбиття хвилі, тобто перетворення прямої хвилі в зворотну на неоднорідності середовища.

Розглянемо цей ефект на прикладі трансформації електромагнітних хвиль у ленгмюрівські.

Запишемо лінеаризовані рівняння для електронів теплої плазми в гідродинамічному наближенні (іони вважаємо нерухомими), поклавши, як і раніше, що незбурена концентрація плазми n0 змінюється вздовж осі z, n0=n0(z):

Em

en

n

v

t

v Ter

r

−∇−=∂∂ ~

0

2

(4.95)

(рівняння руху), neEdiv ~4π−=

r

(4.96) (теорема Гаусса). У рівнянні (4.95) виключимо швидкість електронів, ввівши густину струму j=-env. Отримаємо:

Em

ennevji Te

rr

202 ~ +∇=− ω ,

або

Em

nein

ievj Te

rr

ωω0

22~ −∇= . (4.97)

Взявши градієнт від обох частин рівняння (4.96), можна отримати, що

Edivgradiv

n Ter

πω4~

2

−=∇ .

Підставивши це співвідношення до (4.97), можемо записати:

Em

neiEdivgrad

ivj Te

rrr

ωπω0

22

4−= . (4.97 а)

Отриманий вираз для густину струму (4.97 а) підставимо до рівняння Максвелла

Eikjc

Brotrrr

0

4 += π

(залежність від часу для всіх змінних вважаємо гармонічною з частотою ω). Тоді можна записати:

2 204Tev e n E

rot B i grad div E i Ec m c c

π ωω ω

= − +r

r r r

. (4.98)

Увівши в рівнянні (4.98) позначення βT=vTe/c, ε=1-4πn0e2/mω2 і доповнивши

його законом електромагнітної індукції, можна записати таку систему рівнянь:

115

( )20

0

0

;

.

T

irot B grad div E ik z E

k

rot E ik B

β ε = + = −

r r r

r r

(4.99)

Спроектуємо рівняння (4.99) на осі координат, вважаючи, що залежність від координати х відсутня:

xyz Eik

z

B

y

B0=

∂∂

−∂

∂ ;

20

0

yx zT y

EB Eiik E

z k y y zβ ε

∂ ∂ ∂∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂ ;

zzy

Tx Eik

z

E

y

E

zk

i

y

B εβ 02

0

+

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂− ; (4.99 а)

z

E

y

EBik yz

x ∂∂

−∂

∂=− 0 ;

z

EBik x

y ∂∂=− 0 ;

y

EBik x

z ∂∂−=− 0 .

Система (4.99 а) розпадається на дві не пов’язані між собою системи – для компонент Ех, Ву, Вz (вона описує s-поляризовані хвилі) та для компонент Вх, Еу, Еz (для хвиль р-поляризації). Ця остання система в припущенні, що залежність полів від координати у має вигляд f(y)~exp(-ikyy), може бути записана у формі:

( )20

0

22

020

0

;

;

.

x zT y y y y

y zy x T y z

yx y z

dB dEiik ik E ik E

dz k dz

dE d Eiik B ik ik E

k dz dz

dEik B ik E

dz

β ε

β ε

= − − + +

= − + +

− = − −

(4.100)

Перейдемо до безрозмірних координат, увівши позначення ξ=k0z, ny=ky/k0. Замість (4.100) отримаємо:

( )2 2 2

22

2

;

;

.

x zT y y T y

y zy x T y z

yx y x

dB dEi n E n

d d

dE d En B in E

d d

dEiB in E

d

ε β βξ ξ

β εξ ξ

ξ

= − +

= − + +

= −

(4.100 а)

З другого рівняння системи (4.100 а) виключимо компоненту Еу, підставивши похідну від неї з третього рівняння цієї системи. Отримаємо:

( ) ( )2

2 2 2 22

1zT T y z y T x

d En E n B

dβ ε β β

ξ+ − = − . (4.101)

Перше рівняння системи (4.100 а) поділимо на (ε–βT2ny

2) і продиференціюємо:

116

( ) ( )2 22 2

2 22 2 2 2 2 22 2 2 2

1 1 y T y T yx x z z

T y T yT y T y

dE n nd B dB dE d Ed di

n d d d d d d n dn n

β βε εε β ξ ξ ξ ξ ξ ξ ε β ξε β ε β

− = + −− −− −

. (4.102)

З рівняння (4.102) виключимо dЕу/dξ за допомогою останнього рівняння системи (4.100 а) та d2Ez/dξ2 за допомогою рівняння (4.101). Отримаємо:

( )22

22 2 2 2 2

T T

1

- -T yx x z

y xy y

nd B dB dEd dn B

d n d d n d d

βε εεξ ε β ξ ξ ε β ξ ξ

+ + − = − . (4.103)

Відзначимо, що при βT=0 це рівняння переходить в уже відоме нам рівняння (4.91), яке описує поширення р-поляризованих хвиль у холодній неоднорідній плазмі. 4.4.7. Лінійна трансформація електромагнітних та ленгмюрівських хвиль

Розглянемо спершу однорідну плазму (dε/dξ=0). У цьому випадку рівняння (4.103) набуває вигляду:

( )2

22

0xy x

d Bn B

dε

ξ+ − = . (4.103 а)

Шукатимемо розв’язок системи рівнянь (4.101), (4.103 а) у формі exp(-ik0nzz). Друге з указаних рівнянь набуває вигляду: ( ) 022 =−− xzy Bnnε .

Якщо Вх≠0, тоді виконується умова ε–ny2–nz

2=0. Це ні що інше як дисперсійне рівняння для електромагнітної хвилі в плазмі (див. п. 4.1.2). Для неї з рівняння (4.101) можна отримати співвідношення між компонентами електричного та магнітного поля у формі

( ) ( )2 2 2 21T x y z y T xn n E n Bε β β − + = − ,

або

xy

z Bn

Eε

= . (4.104)

У неоднорідній плазмі для цієї хвилі, як ми вже знаємо, наближення геометричної оптики порушується в точці повороту, де ε=ny

2, і в точці резонансу, де ε=0.

Якщо, навпаки, Вх=0, то рівняння (4.103 а) задовольняється тотожно, а рівняння (4.101) при підстановці експоненціального розв’язку exp(-ik0nzz) дає ε–βТ

2(ny2+nz

2)=0, або ω2=ωp2+k2vTe

2, тобто дисперсійне рівняння для ленгмюрівської хвилі в гідродинамічному наближенні.

Для цієї хвилі у слабко неоднорідній плазмі наближення геометричної оптики порушується в точці ε=βТ

2ny2≈0 (враховано, що βТ<<1).

Розглянемо тепер випадок слабко неоднорідної плазми. У такій плазмі в околі точки ε=0 наближення геометричної оптики порушується як для електромагнітної, так і для ленгмюрівської хвилі. Там можлива взаємна трансформація цих хвиль. Вона виявляється найбільш істотною при Φ(τ)~1, тобто при sinθ~(k0L)-1/2.

117

9.5. Розсіювання та трансформація хвиль. Розсіювання електромагнітних хвиль у плазмі Відбиття електромагнітних хвиль від випадкових неоднорідностей у плазмі

приводить до появи хвиль з випадковими амплітудами і напрямками поширення, тобто до розсіювання.

Рівняння для електромагнітних хвиль частоти ω у неоднорідній плазмі має вигляд (пор. з рівнянням (4.72 а)):

( ) 020 =+−∆ EkrEdivgradEr

r

rr

ε . (4.105) Розглянемо випадок так званого томсонівського розсіювання, коли кожен

електрон коливається незалежно від інших. Для плазми це означає, що ω>>ωр, або 2

20 1 1Pωε

ω< ∆ ≡ − = << (4.106)

Така ситуація реалізується, наприклад, при розсіюванні радіохвиль на метеорних слідах на пізніх стадіях існування останніх.

Тоді рівняння (4.105) можна переписати у формі: ( )ErkEkEdivgradE

r

r

rrr

∆=+−∆ 20

20 . (4.105 а)

Будемо розв’язувати рівняння (4.105 а) за методом послідовних наближень за малим параметром ∆:

0 1 ..., ~n nE E E E= + + ∆r r r r

. Підставивши та прирівнявши до нуля окремо доданки нульового та першого порядків мализни, дістанемо відповідно:

0020

00 =+−∆ EkEdivgradErrr

; 02

012

011 EkEkEdivgradE

rrrr

∆=+−∆ . (4.107) За змістом задачі поле Е0 має описувати падаючу хвилю. Тому покладемо

Е0=Emexp(iωt-ik0r ), причому (k0⋅Em)=0 (хвиля поперечна).

Поле Е1 відповідає розсіяній хвилі. Розкладемо її в потрійний інтеграл Фур’є по координатах:

( ) ( ) ( ) ( )11, exp expE r t i t E k ikr dkω

∞

−∞

= −∫r r rr r

r r . (4.108)

Так само розкладемо функцію ∆(r ):

( ) ( ) ( )expr K iKr dK∞

−∞

∆ = ∆ −∫r r r

r r .

Тоді

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0exp exp exp ' exp ' 'm mr E i t E K iKr ik r dK i t E K k iK r dKω ω

∞ ∞

−∞ −∞

∆ = ∆ − − = ∆ − −∫ ∫r rr r r r r r r r r

r r r r .

(4.109) Підставивши (4.109) до рівняння (4.107), отримаємо:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 0 1 0 0exp ' exp ' 'mE k k kE k E ikr dk k E k iK r dK

∞ ∞

−∞−∞

⌠ ⌠⌡⌡

− + + − = ∆ Κ − −

r r r r rr r r r rr

r r . (4.110)

Обидва інтеграли являють собою перетворення Фур’є. Тоді з однозначності перетворення Фур’є випливає, що спектри однакових функцій збігаються, тобто ( ) ( ) ( )0

2011

220 kkEkEkkEkk m

rrrrrrr

−∆=+− (4.111)

118

(змінні інтегрування позначили однаково). Скалярно помножимо обидві частини (4.111) на k. Отримаємо:

( )( ) ( ) ( )0201

2220 kkEkkEkkkk m

rrrrrr

−∆=+− , звідки ( ) ( ) ( )01 kkEkEk m

rrrrrr

−∆= . (4.112) Тоді з (4.111)-(4.112) випливає, що

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )22

0

20

220

220

1020

1kk

kkEkkEk

kk

EkkkkEkkE mmm

−−∆−

=−

−−∆=

rrrrrrrrrr

rr

, (4.113)

і поле розсіяної хвилі можна записати у формі

( ) ( ) ( ) ( ) ( )020 2 2

0

exp expm m

k kE r i t k E k kE ikr dk

k kω

∞

−∞

∆ − = − − −∫

r r

r r r rr r r

r r . (4.114)

Аналіз формули (4.114) дозволяє зробити ряд висновків щодо процесу розсіювання електромагнітної хвилі на випадкових неоднорідностях плазми: − електричне поле розсіяної хвилі спрямоване інакше, ніж поле падаючої хвилі,

тобто поляризація хвилі при розсіюванні змінюється; − хвильові вектори розсіяної хвилі за напрямком відмінні від k0, їхній набір

визначається просторовим спектром неоднорідності, тобто розсіювання відбувається в різні боки.

− основний внесок в інтервал дають значення k0, які перетворюють у нуль знаменник підінтегрального виразу, тобто |k|=k0.

Якщо неоднорідності не є слабкими, тобто в областях із максимальною концентрацією плазми для частоти хвилі ω виконано умови ε(ω)<0 та |ε(ω)|>>1, то процес розсіювання нагадує розсіювання на провідних утвореннях. Справді, для ідеального провідника можна вважати, що ε=–і∞, оскільки в провідному середовищі ε=1-і4πσ/ω (див. формулу (4.38)).

Проміжний випадок, коли в максимумах концентрації плазми ε близьке до нуля, найбільш складний для аналізу. 12. Методи діагностики плазми 12.1. Зондові методи. . Метод електричних зондів. До методів діагностики плазми відносяться: – зондова діагностика плазми: – плоский зонд; – циліндричний зонд; – подвійний зонд; – оптична діагностика плазми: – діагностика за допомогою інтенсивностей спектральних ліній; – діагностика за допомогою контурів спектральних ліній; – дослідження плазми за рекомбінаційним контуром; – лазерна діагностика плазми; – мікрохвильова діагностика плазми; – метод “відсічки”; – мікрохвильова інтерферометрія;– метод “резонатора”.

119

Метод електричних зондів : Перші вимірювання параметрів плазми були здійснені за допомогою електричних зондів. І навіть сьогодні цей метод залишається одним з основних в арсеналі фізики плазми. Розроблений Ленгмюром ще в 1924 році і тому його доволі часто називають методом ленгмюрівських зондів. Електричний зонд – це невевеличкий металевий елекрод (дротинка), занурений в плазму. Він зєднуеться з джерелом живлення, що дозволяє підтримувати на ньому різні напруги (,+, та ,-,), відносно потенціалу плазми. Струм на зонді за даних умов несе інформацію про параметри плазми. Зондова діагностика набула поширення власне через властивість плазми в широкому діапазоні умов локалізувати збурення, до яких призводить введення зонда в плазму. Щоправда це не відноситься до плазми в сильному магнітному полі. В цьому випадку збурення не локалізуються і струм зонду залежить вже не тільки від параметрів плазми( густини,елек. та іонної температури),а ще й від способу у творення та підтримання плазми. Основна перевага даного методу над іншими – дає можливість проводити виміри локальних параметрів. Майже всі інші методи, такі як спекроскопічний чи мікрохвильовий, надають інформацію усереднену по великому обєму плазми. Конструктивно будучи виключно простим (складається з звичайної ізольованої дротинки, з’єднаної з джерелом постійної напруги та міліамперметром чи осцилографом), має дость складну теорію. Проблеми виникають через те , що зонди слугують межею плазми, а біля меж рівняння руху плазми змінюють свій вигляд. Зокрема, умова квазінейтральності плазми не виконуеться біля межі (там виникають шари, в яких густина електронів та іонів різна та, як наслідок, можуть існувати великі електричні поля ). Зондовий струм буде визначатися параметрами системи, яка працюватиме за певних умов: – геометричний розмір системи L; – дебаївська довжина Dλ ;

геометричний розмір зонда λ . Один з параметрів істотно перевищує інші. В режимі Легнмюрівського зонду, тобто λ набагато більше Dλ і L, тоді найпростіше характеризувати рух

частинок. Плоский зонд роблять з охоронними кільцями. В сферичний зонду розміри кульки набагато більші розмірів дротинки, на якій закріплений зонд та є найпростішим для аналізу.

Одиночний зонд: вигляд зондової характеристики Загальна схема зондових вимірювань та типові конструкції зондів подані на

рис. 6.1. Типові розміри зондів – порядку 1мм, діаметр дроту – 0.05÷0.5мм. Зонди виготовляються з тугоплавких металів (вольфрам, молібден, тантал). Потенціал зонду фіксується щодо опорного електроду – анода, катода або заземленої металевої стінки розрядної камери.

120

а

б Рис. 6.1. Електричний зонд: а – типова схема зондових вимірювань; б – циліндричний (1), сферичний (2)

та дископодібний (3) зонди. Дещо ідеалізована вольт-амперна характеристика зонда подана на рис. 6.2.

Спробуємо якісно пояснити її хід.

Рис. 6.2. Вольт-амперна характеристика одиночного зонда.

Нехай за відсутності зонда плазма електронейтральна, ne=ni=n0. Нехай

потенціал плазми щодо опорного електрода в точці розміщення зонду дорівнює Vs. Нехай потенціал Vs мало змінюється в області, яка збурюється наявністю зонду. Вимірюваний потенціал зонду буде V=Vр+Vs, де Vр – потенціал зонду щодо плазми в його околі. Електричний струм на зонд визначається струмами електронів та позитивних іонів: і=іе–іі.

Якщо потенціал зонду дорівнює потенціалу простору, а поверхня збору струму паралельна до напрямку зовнішнього поля між анодом і катодом, то заряди потрапляють на зонд лише внаслідок їхнього теплового руху. Але в розрядах невисокого тиску vTe>>vTi, тому при V=Vs струм на зонд буде визначатися переважно електронами, і≈іе.

При V>Vs електричне поле відштовхує від зонду іони, а електрони притягає. В результаті навколо зонду утворюється шар негативного об’ємного заряду, який екранує потенціал Vр. Якщо ввести умовну поверхню цього шару, то саме вона збирає струм електронів, що є тепловим і слабко залежить від потенціалу зонду (така залежність мала б зникнути для нескінченного плоского електроду).

Якщо потенціал зонду буде негативним щодо плазми, то електронний струм рідко спадатиме зі зростанням |Vр|, оскільки зменшується частка електронів, здатних проминути гальмівне поле. Так формується крута частина вольт-амперної характеристики (ділянка С). Місце верхнього “зламу” вольт-амперної характеристики фіксує потенціал простору Vs. При V=V f струм зникає (невеликий

121

потік швидких електронів компенсується потоком іонів). Саме такого, як кажуть, плаваючого потенціалу набуває ізольоване тіло, вміщене в плазму.

При V<V f зонд відштовхує майже всі електрони. Навколо нього утворюється іонний шар позитивного об’ємного заряду, що компенсує від’ємний потенціал Vр. Струм на зонд чисто іонний і слабко залежить від потенціалу зонду.

Можна показати, що у випадку максвеллівського розподілу електронів крута частина вольт-амперної характеристики описується формулою:

0 exp4

pTe

B e

eVen vi S

k T

=

, (6.1)

де 8 B e

Te

k Tv

mπ=

– середня теплова швидкість електронів, S – площа поверхні електрода. Побудувавши залежність ln i від V, за її нахилом можна визначити Te. В точці “зламу”(при V=Vs)

0

1

4sat Tei i Sen v= = (6.2)

Знаючи vTe з вимірів Te, за цим струмом можна знайти концентрацію плазми n0 (для тисків, які не перевищують 0.1÷1 тор, коли lf>>rD, S1/2, де S1/2 – характерний розмір зонду).

Оскільки крута частина вольт-амперної характеристики визначається розподілом електронів за енергіями, з неї можна знайти цей розподіл:

( )2 3

02 2

2t

d i eS f v

dV m

π= − , (6.3)

де

2 p

t

e Vv

m= . (6.4)

Наведені вище результати справедливі у випадку ізотропної плазми. При накладанні магнітного поля, коли плазма стає анізотропною, вигляд зондових характеристик дещо зміниться. Зокрема, в деяких випадках він залежатиме від орієнтації зондів щодо магнітного поля. Подвійні зонди

За відсутності опорного електрода (наприклад, у високочастотному розряді) користуються так званим подвійним зондом (рис. 6.3 а).

При таких вимірюваннях напруга між окремими зондами повинна не лише змінюватися за величиною, але й змінювати свій знак. Якщо зонди ідентичні, вольт-амперна характеристика буде непарною функцією прикладеної напруги (рис. 6.3 б). Ділянки з малим нахилом відповідають іонному струму насичення. На середній ділянці істотний внесок дає електронний струм. З цієї вольт-амперної характеристики можна визначити електронну температуру та концентрацію електронів.

122

а б в

Рис. 6.3. Подвійний зонд: схема увімкнення (а) та вольт-амперні характеристики за відсутності (б) та за наявності (в) електричного поля в

плазмі. Подвійний зонд дозволяє також виміряти величину електричного поля в

плазмі (якщо воно там існує) – за зміщенням ∆V точки нульового струму (рис. 6.3 в). Поле визначається з формули E=∆V/∆x, де ∆x – віддаль між зондами).

При підвищенні тиску використання зондової методики суттєво ускладнюється.

12.2. Оптичні методи. Спектроскопічна діагностика плазми

В основі спектроскопічної діагностики лежить вимірювання параметрів власного випромінювання плазми, яке детально розглядалося в курсі фізичної електроніки. На відміну від зондової, спектроскопічна діагностика плазми є безконтактною.

Вимірявши інтенсивність деякої спектральної лінії, можна знайти випромінювальну спроможність, а потім і заселеність відповідного переходу. Такі вимірювання найбільш надійні за відсутності самопоглинання, тобто коли оптична товщина плазми є малою.

На практиці зручніше вимірювати не абсолютну інтенсивність лінії, а відношення інтенсивностей двох різних ліній, яке визначається формулою

1 1 1 1 1 2

2 1 2 2

expB e

I g A W W

I g A k T

ωω

−= −

, (6.5)

де ω1,2 – частоти переходів, А1,2 – ймовірності переходів з верхніх рівнів, W1,2 – енергії збудження, g1,2 – статистичні ваги. Тоді за формулою (6.5) можна знайти електронну температуру Те. Для забезпечення достатньої точності вимірів верхні рівні повинні бути достатньо розсунуті за енергіями.

Для гарячої розрідженої плазми температуру поступального руху важких частинок можна визначити за допплерівським розширенням спектральних ліній.

Навпаки, в щільній плазмі основну роль відіграє штарківське розширення, вимірювання якого дозволяє визначити електронну густину:

( ) ( )2 310 31.8 2.3 10S eA n cмλ − − ∆ ≈ ÷ ⋅

& (6.6)

(для лінії Нβ водню при температурах від 5⋅103 К до 4⋅104 К).

123

Неперервний спектр оптичного випромінювання також дозволяє знайти температуру, оскілки на неперервній ділянці залежність інтенсивності випромінювання від частоти визначається законом exp(-ħω/kBTe).

12.3. НВЧ-методи. 12.4. Лазерне розсіювання. Надвисокочастотна та лазерна діагностика плазми

В основі цієї діагностики лежить явище поширення електромагнітних хвиль у плазмі.

Наприклад, деякі властивості плазми можна визначити, вимірюючи набіг фази та ослаблення амплітуди хвилі, що рухається в докритичній плазмі (в ролі такої хвилі може виступати надвисокочастотна хвиля або промінь лазера). За набігом фази (його зручно вимірювати за допомогою інтерферометра Маха – Ценедера, див. рис. 6.4) знаходять показник заломлення, а потім і концентрацію плазми. За ослабленням амплітуди знаходять ефективну частоту зіткнень електронів з іонами та атомами.

Рис. 6.4. Схема

інтерферометра Маха – Цендера. Смуги однакової товщини можна отримати, якщо зображення S’ та S’’ джерела світла в двох гілках інтерферометра суміщені одне з одним.

Для вимірювання концентрації електронів можна також використовувати

метод відсічки: коли плазма стає непрозорою для надвисокочастотної хвилі з частотою ω, її концентрація якраз дорівнює концентрації, критичній для частоти хвилі:

( )2

24cr

mn n

e

ωωπ

= = .

Схема установки подана на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Схема вимірювання концентрації плазми за методом відсічки.

124

Для дуже щільної плазми зондування здійснюють не надвисокочастотною хвилею, а лазером. Використовують і рефракцію – відхилення траєкторії променя від прямої при його поширенні в неоднорідному середовищі.

Нарешті, для вимірювання властивостей плазми можна використати розсіювання надвисокочастотної хвилі або лазерного променя в плазмі. Особливо інформативним є так зване некогерентне розсіювання, що супроводжується зміною частоти розсіяної хвилі.

13.1 Газовий розряд. Несамостійний та самостійний розряд. Нормальний та аномальний тліючий розряд.

Газовий розряд – проходження електричного струму в газі під впливом еектромагнітних полів різної частоти. Це проходження струму супроводжується:

виникненням самої електропровідності під впливом електромагнітних полів поглинанням самого електромагнітного випромінювання.

Електричні розряди поділяються на самостійні та несамостійні. У самостійних розрядах достатньо прикласти певну напругу, щоб у міжелектродному проміжку виникнув струм, у несамостійних слід створити за допомогою якогось зовнішнього агента додаткову іонізацію, щоб потік струм.

Прикладене електричне поле будемо вважати

однорідним: aVE =

. Як ми бачимо, при деяких значеннях напруги V струм в колі досягає насичення і перестає залежати від напруги V. Він визначається швидкістю появи зарядів під дією зовнішніх джерел – космічних променів або штучного іонізатора. Це є несамостійний розряд. При ще більших напругах починається іонізація молекул електронним ударом, що призводить до підсилення струму, створеного зовнішніми джерелами. Розглянемо кількісно цей процес :

dxnбdn = (1), αααα - іонізаційний коефіцієнт Таунсенда (кількість актів іонізації, що здійснює один електрон на шляху 1см., dn - кількість актів іонізації на шляху dx, що створюється потоком електронів n. Інтегруючи (1) отримаємо :

бxAeu = (2), при граничній умові x = 0 : u(0) = u0 маємо :

( ) бx0enxu = (3) і струм на аноді становитеме

бa0eii = (4),

де і0 – струм створений зовнішніми джерелами.

Іонізаційний коефіцієнт Таунсенда : V

apB

epAб−

= (5), р – тиск, А, В – константи.

Статична ВАХ

несамост. розряду між плоскими електродами в

125

Повний струм на катод в стаціонарному стані також рівний і. Він складається зі струму електронів і0 та іонів і0(е

αа-1). Вертикально зростаюча ВАХ стає більш пологою. При подальшому зростанні напруги вступають в гру вторинні процеси – народження електронів під дією частинок, які з’являються в результаті первинного процесу іонізації газа електронами. Особливо активно впливають вторинні процеси на підсилення, якщо призводять до емісії електронів з катода. З урахуванням вторинної емісії стаціонарний розрядний струм визначається

формулою : ( )[ ]1eг1eii aб

aб0

−−= (6), γ - ефективний коефіцієнт вторинної емісії з

катода, яка виникає під дією іонів, фотонів, атомів, що народжуються в газі в результаті іонізації та збудження атомів електронами. Струм залишається несамостійним поки знаменник в (6) додатній.

Якщо на електроди подати напругу V>V t , при якій 11)г(eмaб >−= та

знаменник в (6) від’ємний, формула втрачає фізичний сенс. Це означає, що при такій напрузі струм не може бути стаціонарним. З іншої сторони при V<V t , коли µ<1, тече стацірнарний несамостійний струм. Умова переходу µ=1 або :

11)г(e aб =− , ( )[ ] 01eг1 aб =−− звідки г

11e aб +=

,

+=г

11lnaб

(7) – умова протікання стаціонарного самостійного струму в

однорідному полі aVE t

t =, відповідна напруга Vt визначається з рівності (7).

Перехід несамостійного розряду в самостійний можнарозглядати як наступання пробою. Підставивши (5) в (7) отримаємо вираз для напруги запалювання

самостійного розряду :

+=

−

г

11lnepAa V

apB

,

+=

−

г

11ln

apA

1e V

apB

,

+

=

г

11ln

apAln

V

apB

,

+

=

г

11ln

apAln

apBV

ЗАП

(8). Так, умова запалювання самостійного розряду має вигляд : V>Vзап. Напруга запалювання не є функцією від р або а окремо, а лише від добутку ра.

Тобто збільшення тиску газу в два рази еквівалентно подвоєнню міжелектродного проміжку а. Цей закон має назву закону Пашена.

126

( )

A

г

11ln

2.72ap OPT

+

= (9),

( )A

г

11lnB

2.72V MINЗАП

+

= (10).

При виникненні пробою газу в постійному полі при високому тиску : еαа>108, αa~8÷10 кожен електрон може породити свою власну лавину. Такий процес пробою називається стрімерним. Классичним прикладом стрімера може служити блискавка. Тліючий розряд – це самостійний розряд з холодним катодом, що випромінює електрони внаслідок вторинної емісії, головним чином під дією додатніх іонів. Його особливою ознакою є існування поблизу катода шару певної товщини з великим додатнім об’ємним зарядом, сильним полем у поверхні та значним падінням потенціалу 100-400 В (та більше). Воно називається катодним падінням. Товщина шару катодного падіння обернено пропорційно густині (тиску) газу. Якщо міжелектродний проміжок достатньо великий, між катодним шаром та анодом виникає електронейтральна плазмова область, де поле відносно невелике. Серединну, однорідну область її називають додатнім стовпом. Від анода він відділяється анодним шаром. Додатній стовп тліючого розряду постійного струму – найбільш яскраво виражений й розповсюджений приклад слабоіонізованої нерівноважної плазми, яка підтримується електричним полем. На відміну від катодного шару, без якого тліючий розряд існувати не може, додатній стовп не є його невід’ємною частиною. Якщо в результаті утворення катодного шару проміжок між електродами стає вичерпаним, стовпа нема. Але якщо не вистачає відстані на формування необхідного катодного шару, розряд не розгорається. Тліючий розряд супроводжуеться яскравими ефектами, що залежать від властивостей та тиску газу.

127

Картина світіння тліючого розряду :

Мал. Картина тліючого розряду в трубці й розподіл інтенсивності світіння Ј, потенціала φ, продольного поля Е, густини електронного та іонного струмів je, j+ та зарядів ne, n+,просторового заряду ρ = е(ne+n+).

ВАХ розрядів при постійних струмах :

А – область несамостійного розряду

BC – самостійний DE - нормальний тліючий

EF – аномальний тліючий FG – перехід в дугу GH - дуга

Тліючий розряд(нормальний, аномальний). Будемо нарощувати струм. Практично це можна реалізувати, зменшуючи навантажувальний опір або збільшуючи ЕРС джерела. Починаючи з деякого струму напруга на електродах падає (після ВС). Потім падіння припиняється й в доволі широкому діапазоні струмів майже не змінюється. Ця область DE на ВАХ відповідає так званому нормальному тліючому розряду. Нижній частині перехідної ділянки CD відповідає піднормальний тліючий розряд. При нормальному тліючому розряді при зміні розрядного струму його густина на катоді залишається незмінною. Змінюється площа на катоді, в яку втікає струм. Коли на катоді не залишається вільного місця, для збільшення струму приходиться збільшувати напругу, щоб вирвати з одиниці площі катода більше електронів. Тепер має зростати густина катодного струму. Такий розряд називається аномальним. Йому відповідає зростаюча ділянка EF. При струмі ~1А тліючий розряд зривається в дугу. Ділянка FG описує перехід, ділянка GH – дуговий розряд.

Газовий розряд: дуговий розряд, високочастотний розряд.

128

Газовый разряд – процесс протекания тока через газ. Электрической дугой называют установившейся разряд, который характеризуется низким катодным падением потенциала и высокой плотностью тока в отличие от тлеющего, который характеризуется высоким катодным потенциалом и низкой плотностью тока. Дуговой разряд образуется благодаря эмиссии, а не как тлеющий (который образуеться благодаря ионному бомбардированию.) Различают дуговые разряды по типу катода: горячие – ускоренные непосредственно вблизи катода термоэлектронные электроны в прикатодной области создают электронные пары. Ионы ускоряются к катоду на котором производиться 2 – 9 термоэмиссионных электронов на один ион. холодные - на катоде образуются токовые пятна, причем плотность тока должна быть больше критической, иначе дуга гаснет. подогретые - в дуге катодный слой только ускоряет электроны термоэмиссии на столько, чтобы они поддерживали нужную ионизацию газа. угольные. по давлению: низкого давления (< 10-3 – 1 атм.), высокого давления (1- 5 атм.), сверхвысокого (<10 атм). В дуговом разряде различают: прикатодный слой (тонкий, падение напряжения поряда потенциала ионизации атомов газа); положительный столб, состояние и поведение плазмы в котором определяется балансом энергий (температуры ионов и электронов в центральной части равны); анодный тоже тонкий и с малым падением. Положительный столб Положительный столб дугового разряда сильно зависит от рода газа, давления силы тока. При малых давлениях и силе тока, столб неравновесен (Te > Ti). Плазма паров металла, молекулярных газов, при давлении p≥ 1 атм. Характерное распределение по радиусу столба температуры и проводимоси см на рисунке. Анодная область, как и катодная, очень тонкая. Падение напряжения на ней зависит от режима работы анода, а их 2. Первый режим – диффузионный имеет место при большой площади анода и плотности тока j≤100A/cm2, падение напряжение очень мало и даже бывает отрицательным. Второй режим: площадь анода мала и при некоторых величинах тока, ток собираеться в пятно (или пятна). Високочастотний розряд. В електричному полі високої частоти ( ) tщi

meEtE = заряди (електрони і іони) перебувають у коливальному русі зі змінною швидкістю v(t). Якщо частота поля ω набагато більша за частоту зіткнень, то рух зарядів

можна вважати коливальним з амплітудою 2

MM

mщ

eEa = . Ця величина може бути

129

отримана шляхом інтегрування рівняння руху зар. частинки в електричному полі

( )tEexm =⋅⋅

Якщо τр – це час релаксації розряду, то при ωτр<<1 будуть почергово встановлюватись розряди. У протилежному випадку ωτр>>1 маємо високочастотний розряд. При ωτр~1 розряд називається пульсуючим