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INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE
MODELOS CONSTITUTIVOS
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil
Universidade Federal de Alagoas
Prof. Severino Pereira Cavalcanti Marques
CONCEITOS BÁSICOS
TENSOR TENSÃO E VETOR TENSÃO
22σ
11σ33σ
12σ
13σ31σ32σ
21σ23σ
=
333231
232221
131211
σσσσσσσσσ
σ ij
Tensor tensão
P
1x
2x
3x
n
jiij σσ =
n~
1t3t
2tA
BC
P1x
2x
3x
ABC plano ao normal unitário vetor n =~
=
3
2
1
nnn
n~
=
3
2
1
ttt
nσ~
vetor tensão no plano ABC
=
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
nnn
ttt
σσσσσσσσσ
jiji nt σ=
TENSÕES E DIREÇÕES PRINCIPAIS
n de direção na vetor escalar →σ
0=− ijij nn σσ
0)( =− jijij nσδσn~
A
BC
P1x
2x
3x
nt σ=~ ~
0=− ijij σδσ 0
333231
232221
131211
=−
−−
σσσσσσσσσσσσ
principaistensões=σ
~
Tensões Principais
0
333231
232221
131211
=−
−−
σσσσσσσσσσσσ
0322
13 =−+− III σσσ
Equação característica
3322111 σσσ ++=I213
223
2121133332222112 σσσσσσσσσ −−−++=I
13231221233
21322
223113322113 2 σσσσσσσσσσσσ −−−−=I
Invariantes do estado de
tensão
TENSOR TENSÃO DESVIADOR E TENSOR TENSÃO HIDROSTÁTICO
11s33s
12s
13s31s32s
21s23s
11σ33σ
12σ
13σ31σ32σ
21σ23σ
22σ
mσmσ
mσ 22s
+=
ijijkkij s+= δσσ31
desviador tensão de tensor sij =
cohidrostáti tensão tensor ijkkij == δσσ31
mσmσ
mσ
11s33s
12s
13s31s32s
21s23s
22s
Estado de Tensão Hidrostático
331332211 I
m =++
=σσσσ
=
m
m
m
ij
σσ
σσ
000000
Estado de Tensão Desviador
ijkkijijs δσσ31
−=
=
333231
232221
131211
sssssssss
sij
0=iiσ
Condição necessária e suficiente para um estado de tensão ser de cisalhamento puro
que tal x e x ,x eixosexistem sepuro tocisalhamen de serdito é tensão de estado Um
321 ′′′
1x′
2x′
3x′
0332211 === ′′′′′′ σσσ
01 =I
=
′′′′
′′′′
′′′′
′′
00
0
2313
3212
3121
σσσσσσ
σ ji
Estado de Cisalhamento Puro
O estado de tensão desviador corresponde a um estadode cisalhamento puro
32
3332211332211
1111σσσσσσσ −−
=++
−=s
32
3331122332211
2222σσσσσσσ −−
=++
−=s
32
3221133332211
3333σσσσσσσ −−
=++
−=s
0=iis
ijkkijijs δσσ31
−=
que tal x e x x eixos Existem 321 ′′′ , 0332211 === ′′′′′′ sss
Tensões Principais do Estado de Tensão Desviador
0=− ijij ss δ
0322
13 =−−− JsJsJs
Equação Característica do Estado Desviador
desviador tensão de estado do principais tensões s =
1J2J3J
Invariantes do tensor de tensãodesviador
1s
2s
3s
03213322111 =++=++= ssssssJ
)(
......)(21
21
23
22
21
12212112233
222
2112
sss21
sssssssssJ jiij
++=
+++++==
3213 31 ssssssJ kijkij ==
Primeiro Invariante
Segundo Invariante
Terceiro Invariante
Invariantes do Tensor Tensão Desviador
Tensões Octaédricas
n~octσ
1σ
3σ
2σPlano Octaédrico
Plano cuja normalforma ângulos iguais com os eixos principaisde tensão
taédricastensões ocσ octoct =τ,octτ
octt
=
31
31
31Tn
~ octoctoctt τσ +=~ ~~
=
=
3
3
3
313
13
1
3
2
1
3
2
1
000000
σ
σ
σ
σσ
σoctt
~
Componente na direção de n~ ntoctoct .=σ
~ ~
3321 σσσσ ++
=oct31I
moct ==σσ
Tensões Octaédricas
Invariante
Tensões Octaédricas
Componente de Cisalhamento 22octoctoct t στ −=
[ ]213
232
221 )()()(
91 σσσσσστ −+−+−=oct
232 Joct =τ
26J
Invariante
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO ESTADO DE TENSÃO
ostáticalinha hidr
Espaço das tensõesprincipais
=3
1,3
1,3
1e
( )321 ,, σσσσ =~
~
octmI σσξ 3331 === ),,( mmm σσσξ =
~
),,( 321 σσσP
O
1σ
2σ
3σ
σ~
r~N
e~
eON .σξ == ~ ~
ξ~
),,( 321 σσσP ostáticalinha hidr
O
1σ
2σ
3σ
σ~
r~N
e~ξ~ ξσ −=r
~ ~~
),,(),,(),,( 321321 sssr mmm =−= σσσσσσ~
223
22
21 2Jsssr =++=
Invariante
Espaço das tensõesprincipais
),,( 321 σσσP cohidrostátieixolinha ou
O
1σ
2σ
3σ
σ~
r~N
e~ξ~
),,( 321 σσσσ == OP~
),,( mmmON σσσξ ==~
),,( 321 sssNPr ==~
ginal estado oriensões do vetor de tOP ==σ~rostáticoestado hidensões do vetor de tON ==ξ
~
viadorestado desensões do vetor de tNPr ==~
TEORIA DA PLASTICIDADEMaterial Elastoplástico Perfeito
Postulado 1: ) tal que:o f(σ escoament função deExiste uma ij
0 ≥= )(σf0 e )f(σsesticoregime plámMaterial e ijij&
0)( e 0)(ou 0)( <=< ijijij fffsestico regime elámMaterial e σσσ &
),,,,,( 121323332211 σσσσσσf ),,,,,( 321321 ααασσσfou
incipaistensões pri σ aises princip as direçõue definem ângulos qiα
Superfície de Escoamento 0)( =ijf σ
Postulado 3: mento ocam escoas não provdrostáticaTensões hi
Postulado 2: o é isótropO material
A função de escoamento independe das direções e não muda com apermutação dos eixos, ou seja, f é simétrica com relação às tensõesprincipais
=),,( 321 σσσf =),,( 312 σσσf ),,( 231 σσσfA função de escoamento pode ser expressa em função dos invariantes
),,( 321 IIIf
),,( 321 sssf ),( 32 JJfou p
p
pp
p
Postulado 4: o compressãtração e àamentos à Os comport
)()( ijij ff σσ −=
cossão idênti
O valor da tensão de escoamento não muda quando o sinal de todas as componentes de tensão são trocados
1σ
2σ
3σ
0),,( 321 =σσσf
o
•Pσ
r
~
~Plano desviador
e~
N ),,( 321 sssr =~
321 σσσ ==eixo hidrostático
ξ
)(3
1321 σσσξ ++= ξσσσ 3)( 321 =++
Equação do Plano Desviador
Geometria da Surpefície de Escoamento
++⋅++=⋅= kjikjirrrrrr
31
31
31)(e 321 σσσσξ
~ ~
o60o60
1σ
2σ
3σ
ricanção simét) é uma fu,σ,σf(σ 321
NA
B
C
DE
F
NFANCFNECNEBNDBNAD ≡≡≡≡≡
CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE TRESCA
(Materiais Dúcteis)σ
σ σ
maxττ
σ
2maxστ =
σ
maxτ
o45
K==2maxστ
2YK =
1σ3σ
2σ
KMax =
−−− 133221 2
1 ,21 ,
21 σσσσσσ
Caso Tridimensional
Critério da Máxima Tensão de Cisalhamento
1σ
2σ
3σ
o
021 ,
21 ,
21),,( 133221321 =−
−−−= KMaxf σσσσσσσσσ
1σ3σ
2σ
1σ
2σ
Representação Geométrica do Critério de Tresca
Tridimensional
1σ
2σ
o
Y=2σ
Y=1σ
Y−=2σ
Y−=1σ Y=− 21 σσ
Y−=− 21 σσ
Representação Geométrica do Critério de Tresca
Bidimensional
1σ
2σ
1σ
2σ
22minmax
maxY
=−
=σσ
τ
CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE VON MISESCritério da Máxima Energia de Distorção
(Materiais Dúcteis)
DeformaçãoVolumétrica
)(21321321 σσσνεεε ++
−=++=
∆EV
V
1σ3σ
2σ
1σ
2σ
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξσ −1
ξσ −3
ξσ −2
ξσ −1
ξσ −2
+=
Estado Hidrostático Estado Desviador
Estado Hidrostático de Tensão
Estado Desviador de Tensão
( )321)21()21(3 σσσννξ
++−
=−
=∆
EEVV
Não gera distorção r planoem qualque 0 ;0 == γτ
0)3(21321 =−++
−=
∆ ξσσσνEV
V
Não gera variação de volume 0=∆VV
Energia de Deformação Elástica Específica
)(21
332211 εσεσεσ ++=u1σ
3σ
2σ
1σ
2σ
Estado Hidrostático de tensão ζεεεεεε =++
===3
321321hhh
Estado qualquer de tensão
Estado desviador de tensão
ζεε −= 11s
ζεε −= 22s
ζεε −= 33s
[ ])()()(21
332211sssu εζσεζσεζσ +++++=
DV uuu +=
( ) [ ]sssu 332211321 21
21 εσεσεσσσσζ +++++=
energia associada à variação de volume
energia associada à mudança de forma
ENERGIA DE DISTORÇÃO)( Vu)( Du
Energia Total
Critério de escoamento da Máxima Energia de Distorção(Critério de von MISES)
limuuD =
[ ] lim2
132
322
21 )()()(6
1 uE
=−+−+−+ σσσσσσν
Obtenção experimental de ulim
1σ 032 ==σσY=1σ
2
31 Y
Eulim
ν+=
2213
232
221 2)()()( Y=−+−+− σσσσσσ
1σ
2σ
3σ
o
planooctaédrico
TridimensionalRepresentação Geométrica do Critério de von Mises
Expressão do Critério de von Mises
Bidimensional
Representação Geométrica do Critério de von Mises
1σ
2σ
1σ
2σ
22221
21 Y=+− σσσσ
1σ
2σ
o YY−
Y
Y−
),( YY
),( YY −−
a
Comparação entre os Critérios de Tresca e de von MisesCaso Bidimensional
1σ
1σ
2σ
o YY−
Y
Y−
),( YY
),( YY −−
( ) 0=ijf σ
( ) 0=+ ijij df σσ
( ) ( ) 0=−+= ijijij fdfdf σσσ
Condição de Continuidade do Fluxo Plástico
Seja um ponto submetido a um estado de tensão σij sobre a superfície de escoamento,ou seja,
Suponha que seja aplicado um incremento dσij em σij.
Condição para que o ponto continueem processo de escoamento
0..... 1212
2222
1111
=∂∂
++∂∂
+∂∂
= σσ
σσ
σσ
dfdfdfdf
ãoto de tensr incremenar ao vetoerpendicule de f é pO gradient
0=∂∂
= ijij
dfdf σσ
Condição de Continuidade do Fluxo Plástico
σ∂∂
=f(f)Grad ~
σ σσ d+
σ∂∂f
( ) 0=ijf σ
~ ~ ~
σd~~
o
∂∂
∂∂
∂∂
=122211
..... )(σσσffffGrad T
{ }122211 ...... σσσσ dddd T =~
Vetor Incremento de Tensão
Vetor Gradiente da Função
(f)Grad σd~
(Condição de Consistência)
Condição de Retorno ao Regime Elástico
0<∂∂
= ijij
dfdf σσ
O Gradiente de f forma um ângulo obtuso com o vetor incremento de tensão
( ) 0=ijf σσ~
σσ d+~ ~
σd~σ∂∂f
~
o
Postulado de Drucker
Dado um corpo em equilíbrio sob um estado de tensão inicial definido pelo vetor tensão generalizado Qi
0 e submetido a um agente externo que aplica lentamente um conjunto de forças auto-equilibradas que, em seguida, são removidas. O trabalho realizado pelo agente externodurante o ciclo aplicação-remoção das forças não é negativo.
00 ≥−= WWW totext
externo agente pelo realizado trabalhoWext =
tensões as todas por realizado total trabalhoWtot =
constantes iniciais tensões pelas feito trabalhoW =0
Vetor tensão generalizada Vetor taxa de deformação generalizada
iiqQW && =
Potência
=
12
31
23
33
22
11
σσσσσσ
Q~
=
12
31
23
33
22
11
222
εεεεεε
&&&&&&
&q~
ijijW εσ && =
pi
eii qqq &&& +=
componente elástica componente plástica
0=t2QQo =
1QQQ δ+1
ttt δ+= 1
1tt =
Superfície deescoamento em t=0
Superfície deEscoamentoem t=t1+δt
dtqQdtqqQdtqQdtWW ei
t
tt ip
iei
tt
t iei
t
itot &&&&& ∫∫∫∫ +
++++== 2
1
1
1
1 )(0 δ
δ
Trabalho Total no Ciclo Aplicação-Remoção de Tensões
Trabalho realizado no ciclo fechado envolvendo deformações elásticasé nulo
dtqQW pi
tt
t itot &∫+
=δ1
1
pWδIncremento de trabalho plástico
Trabalho realizado pelas tensões generalizadas Qi0 durante o ciclo
fechado
dtqQdtqqQdtqQW ei
t
tt
pi
ei
tt
t iei
t
ii i&&&& ∫∫∫ +
++++= 2
1
1
1
1 00
0
00 )(
δ
δ
dtqQW pi
tt
t i &∫+
=δ1
1
00
pW0δ
ppext WWW 0δδ −=
( ) 01
1
00 ≥−=−= ∫
+dtqQQWWW p
i
tt
t ipp
ext i&
δδδ
Pelo Postulado de Drucker:
( ) 00 ≥− pi
p qQQii&
pequeno mentearbitraria tδ
( ) 00 ≥− pij
pijijεσσ &
OBS.: Foi usado o índice p em Qi e σij para indicar que tais tensõescorrespondem a um ponto sobre a superfície de escoamento
Desigualdade
de
Drucker
( ) 00 ≥− pi
p qQQii&
O vetor taxa de deformação plástica generalizada forma umângulo não maior que 90o com o vetor de incrementos de tensões generalizadas
Em forma incremental, a desigualdade acima pode ser escrita na forma
( ) 00 ≥− pi
p dqQQii
A, B Pontos sobre a superfície de escoamento
superfície de escoamentoPA
B
PA Se → PB e →
fora para aponta e escoamento de superfície à normal é q vetor p&O
pq&~
P
pq&
Lei ou Princípio da Normalidade
Druckerstulado deviola o poanto côncavde escoameSuperfície
A superfície de escoamento é convexa
Lei da Convexidade
pq&
Q~
~nto de escoameSuperfície
dQQ +~ ~
dQ~
90resultar e dQ pode qntre O ângulo e 0p >&
Um material que satisfaz o Postulado de Drucker é dito ESTÁVELou “ work-wardening material”
Função Potencial Plástico e Regra de Fluxo
Regra de Fluxo Hipótese cinemática postulada para adeformação plástica ou fluxo plástico
Função Potencial Plástico Função escalar das tensões
)( ijg σRegra de Fluxo Plástico
ij
pij
gddσ
λε∂∂
=
negativocalar não alidade esproporcion fator de d =λ cação plástide deformao increment d p
ij =ε
ij
pij
gddσ
λε ∂=
( ) 0=ijg σ
σ~
pijdε
o
ij
gσ∂∂
Regra de Fluxo Plástico – Representação Geométrica
)()( ijij fg σσ =
Regra de Fluxo Associada
ij
pij
fddσ
λε ∂=
)()( ijij fg σσ ≠Regra de FluxoNão Associada
Regra de Fluxo Geral Associada
0),( 32 =JJf
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂
=ijijij
pij
JJfJ
Jfdfdd
σσλ
σλε 3
3
2
2
ijij
sJ=
∂∂σ
2ijij ssJ
21
2 =
kijkij sssJ31
3 =ijijpqqppjip
ij
rssssJ=−=
∂∂ δσ 3
13
∂∂
+∂∂
= ijijp
ij rJfs
Jfdd
32
λε
Lei da Normalidade: p
ijdε~
P
0),( 32 =JJfσ∂∂f
~
Regra de Fluxo Associada de von Mises
A função de escoamento de von Mises pode ser escrita como:
03
)(2
22 =−=YJJf
ij
pij
JJfdd
σλε
∂∂
∂∂
= 2
2
ijij
sJ=
∂∂σ
2
λεεεεεε ds
ds
ds
ds
ds
ds
d pppppp
======13
13
23
23
12
12
33
33
22
22
11
11
Regra de Fluxo Associada
Como
Equações de Prandtl-Reuss
ijp
ij sdd λε =
Materiais Elastoplásticos com Endurecimento
Endurecimento (strain hardening) propriedade definida pelo aumento contínuo da tensão axial com a evolução da deformação axial após o ponto de escoamento.
0>⇒>εσεε
dd
Y
Trajetórias carga-descarga praticamente retas e coincidentes, paralelas ao ramo elástico linear inicialApós descarga e carga consecutivas, ocorre um aumento da tensão de escoamento
carg
a 1
carg
a (2
)
desc
arga
(1)
desc
arga
(2)
carg
a (3
)
σ2Yσ1Yσ
Yσ Y1Y
2Y
Yε ε
σ
σ
Caso Uniaxial
Materiais Elastoplásticos com EndurecimentoCaso Tridimensional
Endurecimento (strain hardening) a superfície de escoamento muda com a ocorrência de deformações plásticas adicionais
0),,( =kf pijij εσ
imentode endurecparâmetro k =11σ33σ
12σ
13σ31σ32σ
21σ23σ
22σ
ticamação pláss de deforcomponentepij =ε
Regra de endurecimento Define a evolução da superfície deescoamento com o fluxo plástico
(?)
Critério de Continuidade de Fluxo Plástico Material com Endurecimento
0dσσf0 ef >⋅∂∂
= 0≠pijdε
0dσσf0 ef ≤⋅∂∂
= 0=pijdε
~
~
( ) 0,, =kf pijij εσ
σ~σσ d+~ ~
σd~σ∂
∂f
~
o
ασ∂∂f
~σd~
o90 <α 0≠pdε~
~
~
Regra de Endurecimento para MateriaisElastoplásticos
0)(),(),,( 2 =−= pp
ijijp
ijij kFkf εεσεσ
forma da superfície tamanho da superfície
Definições
ijije ssJ233 2 ==σ p
ijp
ijp εεε32
=
Tensão Efetiva Deformação Plástica Efetiva
[ ]21
2212 )0()00()0(
213 −+−+−== σσσ Je
1σσ =e
1σ
1σ
pij
pijp εεε
32
= [ ]23
22
21 )()()(
32 ppp
p εεεε ++=
Material Plástico Incompressível ppp
132 21 εεε −==
pp 1εε =
Tensão e Deformação plásticas efetivas - Caso de Tensão Uniaxial
02 =σ 03 =σ
Tensão efetiva = Tensão uniaxial
Deformação plástica efetiva = Deformaçãoplástica uniaxial
Modelo de Endurecimento Isótropo
o1σ
2σ
02 =− kF 021 =− kF
kk >1
A superfície inicial se expande uniformemente sem distorção e sem translação quando ocorre o fluxo plástico
( ) )(2pij kF εσ =
( ) 0)(, 22 =−= pij kJkf εσ
031 2
2 =− eJ σ 03 22 =− eJ σ
Modelo de Endurecimento Isotrópo – Função de von Mises
1σ
1σ
[ ] 21
21
2212 3
1)0()00()0(61 σσσ =−+−+−=J
0)(31 22
1 =− pk εσ )(3 22pe k εσ =
epk σε3
1)( =
Parâmetro k(εp)
Modelo de Endurecimento Cinemático
Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento se desloca como um corpo rígido no espaço das tensões, mantendo a forma, o tamanho e a orientação da superfície inicial.
0)(),,( 2 =−−= kFkf ijijp
ijij ασεσ
AB - plástico
BAO – elástico
o1σ
2σ
2)( kF ij =σ2)( kF ijij =−ασ
o1
1ij s de Ocoordenada =α
A
B
) (ε pijijij αα =
Modelo de Endurecimento Misto
Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento sofre uma translação definida por αij e uma expansão uniforme medida por k2, mantendo a sua forma original.
2)( kF ij =σ
o 1σ
2σ 21)( kF ijij =− ασ
o1
) (ε pijijij αα =
kk >1
0)()(),,( 2 =−−= pijijp
ijij kFkf εασεσ
Relação Constitutiva Incremental(Material Elastoplástico Perfeito)
}{}{}{ pe ddd εεε +=
( )}{}{][}]{[}{ pe ddCdCd εεεσ −==
Vetor de Incremento de Deformação
Vetor de Incremento de Tensão
Lei da Normalidade
∂∂
=σ
λε fdd p}{
material do elásticarigidez dematriz C =][
∂∂
−=σ
λεσ fddCd }{][}{
Condição de Consistência
0][][ =
∂∂
∂∂
−
∂∂
σσλε
σfCfddCf TT
0}{ =
∂∂ σσ
df T
0][}]{[ =
∂∂
−
∂∂
σλε
σfCddCf T
Aplicando a lei da normalidade
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
σσ
εσ
σεσ
fCf
dCffdCd T
T
][
}]{[}{][
∂∂
∂∂
∂∂
=
σσ
εσλ
fCf
dCf
d T
T
][
}]{[
Fator de proporcionalidade
Relação Constitutiva Elastoplástica do Material
}{][
][][][ ε
σσ
σσσ dfCf
Cff
ICd T
T
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
σσ
σσfCf
Cff
ICC T
T
ep
][
][][][][
Matriz de Rigidez Elastoplástica do Material
APLICAÇÃO: Matriz de Rigidez de uma Barra
Condição de plastificação de uma seção transversal
0),,,,,( =zyxzyx MMMVVNψ
Material estável de Drucker:
}{}{ GU p Λ= &&
ψ função da gradiente vetor G =}{plásticos tosdeslocamen de taxa vetor U p =}{ &
alidadeproporcion de fator =Λ&
Lei da normalidade
convexa é 0 e superfíciA =ψ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=zyxzyx
T
M
M
M
V
V
NG ψψψψψψ}{
forças tosdeslocamen de taxa vetor F =}{ &
},,,,,{}{ zyxzyxT MMMVVNF =
Condição de Consistência 0}{}{ =FG T &
Seção Plastificada
Rotula Plástica
0=ψ
1 2
Elemento de Barra
Elemento com uma rótula plástica no extremo 1
plástico elástico1 2
=}{}{
}{2
1
UU
U&
&&
Vetor taxa de deslocamentos nodais Vetor taxa de forças nodais
=}{}{
}{2
1
FF
F&
&&
=
}{}{
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2
111
2
1
2221
12
UU
KKKK
FF e
ee
ee
&
&
&
&
[ ] }{}{ ee UKF && =barra da elástica lincrementarigidez dematriz K e =][
}{}{}{ 111pe UUU &&& −=
Vetor de taxa de deslocamentos elásticos no extremo 1
}{}{ 111 GU p Λ= &&Lei da normalidade
Seção do Extremo 1Condição de Consistência
0}{}{ 11 =FG T &
0}{][}{}]{[}{}]{[}{ 1111121211111 =Λ−+ GKGUKGUKG eTeTeT &&&
[ ]
=Λ}{}{
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1
2
1121111
11111 U
UKGKG
GKGeTeT
eT &
&&
Λ
−
=
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2
111
2
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12
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KKKK
UU
KKKK
FF
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111
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EP KGGc
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Matriz de Rigidez Elastoplástica do Elemento
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