PLATONOVA TELA

1

1. POLIEDRI U PREDHELENSKO DOBA

Pojam poliedar se ne nalazi u Euklidovim "Elementima"; on koristi pojmove (geometrijsko) "telo", oktaedar, dodekaedar, ali ne pominje uopšteno geometrijsko telo ograničeno ravnima. Glavno interesovanje Grka vezano za figure ovog tipa odnosilo se na pet pravilnih poliedara, a to su tetraedar, oktaedar, heksaedar, ikosaedar i dodekaedar. Verovatno je da je Pitagora (540.g. p.n.e.) svoje znanje o kocki, tetraedru i oktaedru doneo iz Egipta ali da su se ikosaedar i dodekaedar razvijali u njegovoj školi.

Budući da se pet pravilnih poliedara javljaju u prirodi u pravilnom ili skoro pravilnom obliku kao kristali nekih hemijskih jedinjenja, izvesno je da su ljudima bili poznati i u praistorijsko doba. Postoje ostatci, pre svega tetraedra, kocke, oktaedra, a zatim i ikosaedra koji otprilike datira još iz Ptolomejskog doba u Egiptu. Zatim, na planini kod Padove u severnoj Italiji otkriven je pravilan dodekaedar Etrurskog porekla za koji se smatra da datira iz prve polovine prvog milenijuma pre nove ere. Takođe, postoji izvestan broj (oko 26) zanimljivih prastarih Keltskih bronzanih figura u obliku pravilnog dodekaedra koji se čuvaju u raznim muzejima. Verovatno da je postojao neki mistički ili religijski značaj koji se pripisivao ovim figurama. Pošto kamen u obliku dodekaedra otkriven u severnoj Italiji, datira još iz praistorije, moguće je da su Kelti svoju ideju dobili iz tih predela (južno od Alpa) i takođe je verovatno da je ovaj oblik već bio poznat u Italiji kad su Pitagorejci počeli svoje učenje.

Međutim, istorija pravilnih poliedara ne počinje otkrićem pojedinih pravilnih geometrijskih tela, već saznanjem da ta pojedinačna tela imaju neka zajednička svojstva koja ih karakterišu. U tom smislu pojam pravilnog poliedra u predhelensko doba nije postojao, kao što nije bilo ni geometrije, iako je bilo nekih praktičnih geometrijskih znanja. Prvi pravi geometrijski pojmovi i prvi dokazi geometrijskih teorema su tekovine grčke civilizacije. Tako je i pojam pravilnog poliedra ustanovljen u klasičnoj Grčkoj. Uvođenje ovog pojma imalo je pored kosmološke i estetsku motivaciju. Od tog vremena pa do danas pravilni poliedri se proučavaju zajedno i ypoređuju jedni sa drugima.

2. HELENSKO DOBA

2.1. GEOMETRIJA PITAGOREJACA

Pitagorin poseban doprinos geometriji ovako je opisan u Proklovom spisu:"Posle Talesa, Pitagora je transformisao učenje o geometriji u slobodno

obrazovanje, izučavajući principe nauke od njenih početaka i ispitujući teoreme na nematerijalan i intelektualan način; on je bio taj koji je otkrio teoriju iracionalnih brojeva i konstrukciju kosmičkih figura."

Kao i obično, bilo je žučnih rasprava oko toga kako treba shvatiti ovu rečenicu, kao i oko toga da li je Pitagora zaista uradio ono što mu se pripisuje. Pokazalo se da je Proklo (410-485 g.p.n.e.) sledio jednu od mnogih antičkih legendi koje su se odnosile na rodonačelnika pitagorejskog bratstva. Ali, zahvaljujući upravo njemu, konstrukcija pet pravilnih poliedara nazvanih "kosmičkim figurama" je veoma dugo pripisivana Pitagori.

Pitagorejci su tetraedar posvetili vatri, oktaedar vazduhu, ikosaedar vodi, kocku zemlji, a dodekaedar, koji je očigledno poslednji otkriven, je posvećen vasioni. Izgleda da su oni znali da se svih pet geometrijskih tela mogu upisati u

2

sferu. Svoje učenje o ovim geometrijskim telima oni su preneli na Platonovu (380.g. p.n.e.) školu u kojoj su ova tela privukla toliku pažnju da su kasnijim piscima bila poznata pod imenom "Platonova tela" ili "kosmičke figure". Ipak, malo je verovatno da je Pitagora ili rani Pitagorejci zaista konstruisali figure uz pomoć kompletne teorijske konstrukcije na način na koji su ih Euklid (300.g. p.n.e.) i Papus (300.g. p.n.e.) konstruisali. Ali nema razloga zbog kojih Pitagorejci ne bi sastavili pet figura onako kako ih je Platon sastavio u "Timeju", tj. spajajući izvestan broj uglova jednakostraničnih trouglova, četvorouglova ili petouglova u jednoj tački tako da nastane rogalj geometrijskog tela i zatim na isti način sastavio sve ostale rogljeve. Činjenica da su rani Pitagorejci otkrili pet pravilnih geometrijskih tela na ovaj elementaran način se dobro poklapa sa onim što mi znamo o tome kako su oni postavili uglove određenih pravilnih geometrijskih figura oko neke tačke i pokazali da će samo tri vrste ovakvih uglova ispuniti prostor u jednoj ravni oko postavljene tačke. Zaista, Platonov elementarni metod možemo tretirati kao znak da je ovo ustvari bila metoda kojom su se bavili rani Pitagorejci.

Spajajući tri po tri kvadrata, koji prave osam rogljeva neke figure, i jednakostranične trouglove tri po tri, četiri po četiri ili pet po pet koji prave četiri, šest ili dvanaest rogljeva neke figure, odmah se dobija kocka, tetraedar, oktaedar ili ikosaedar, ali peta pravilna geometrijska figura dodekaedar zahteva novi element - pravilni petougao. Koji je dokaz da su rani Pitagorejci mogli da konstruišu i da su konstruisali pravilne petouglove? To da su ih zaista konstruisali stoji kao dokaz u priči o Hipasusu "koji je bio Pitagorejac, ali zbog toga što je on bio prvi koji je objavio i zapisao konstrukciju sfere sa 12 petouglova, postao je sujetan i poginuo je zbog svoje sujete. Ali mu je ipak odato priznanje zbog otkrića, jer mu je to otkriće zaista i pripadalo. Upravo zbog njegove sujete svi se pozivaju na Pitagoru a njega ne imenuju." Veza između Hipasusovog imena i ove konstrukcije teško da je neko otkriće i priča verovatno ukazuje na njegov pozitivan poduhvat, dok su za priču o njegovoj sujeti i moralu odgovorni uvređeni Pitagorejci, zbog pokušaja drugih (pa i Hipasusa) da dostignu njihovog učitelja.

Oni su verovatno mogli da konstruišu pravilan petougao pošto ova konstrukcija zavisi od konstrukcije jednakokrakog trougla u kojem su uglovi na osnovici duplo veći od trećeg ugla, a ovo opet zavisi od podele duži zlatnim presekom. Zato možemo s razlogom pretpostaviti da je konstrukcija pravilnog petougla nastala na ovaj način. Iz toga sledi da su se rešenjem problema analizom već bavili Pitagorejci, uprkos tome što se otkriće analitičke metode (po Proklu) pripisuje Platonu. Kako je ova konstrukcija praktično izneta u IV Euklidovoj knjizi možemo pretpostaviti da je sadržaj ove knjige takođe delom pitagorejski.

Osim toga, postoje dokazi o veoma ranom postojanju dodekaedra (etrurskog porekla) na Apeninskom poluostrvu. Tako se može desiti da su Pitagora ili Pitagorejci videli dodekaedar ove vrste, ali njihova zasluga je u tome što su ih tretirali kao matematičke figure i uveli ih u svoju teorijsku geometriju. Dakle, bilo da su otkrili ili samo bili svesni da pet pravilnih geometrijskih tela postoje, oni su u svakom slučaju mogli empirijski da ih konstruišu tako što su spajali kvadrate, jednakostranične trouglove i petouglove.

2.2. TEETET

Pronalazak centra sfere u koju je upisan dodekaedar, bez njihove konstrukcije, na komplikovan način je prikazan u Euklidovoj XIII knjizi, kao i pronalazak odnosa između ivice dodekaedra i poluprečnika sfere. Za ovo poslednje istraživanje je verovatno zaslužan Teetet (414.-369.g.p.n.e.), Sokratov sledbenik, učenik Teodora iz Kirene i, uz svog učitelja, jedan od

3

učesnika Platonovog dijaloga koji je po njemu i dobio ime. Ovde treba pomenuti osvrt u prvoj sholiji XIII knjige Euklidovih elemenata nepoznatog autora (koji je verovatno sledio Geminija) da "pet tzv. Platonovih tela ipak ne pripadaju Platonu, jer za tri od pet figura zasluga pripada Pitagorejcima i to kocka, piramida i dodekaedar, dok je za oktaedar i ikosaedar zaslužan Teetet." Ovo možda potiče iz činjenice da je Teetet bio prvi koji je pisao o dvema figurama koje su poslednje pomenute, kao i da je bio prvi koji je teorijski konstruisao svih pet figura i u potpunosti ispitao njihove međusobne odnose i sfere koje su opisane oko njih. Moguće je da je Teetet prvi dao ove konstrukcije, jer u Suidavom zapisu stoji da je "on bio prvi koji je konstruisao" ili "pisao o pet geometrijskih figura". Da je Teetet, kasnije učenik Platonove Akademije, zaista pisao o pravilnim poliedrima, potkrepljuje se i činjenicom da postoji njegov prilog teoriji iracionalnih brojeva, čiji je značaj u konstrukciji Platonovih tela vidljiv i u XIII knjizi Euklidovih Elemenata. Zato se smatra da je pojam pravilnog poliedra u geometriju prvi uveo Teetet.

Dakle, osim toga što je postavio osnovu teorije o iracionalnim brojevima, kakvu pronalazimo u Euklidovoj X knjizi, Teetet je ne manje značajno doprineo i XIII knjizi Elemenata, koja je nakon 12 uvodnih delova posvećena konstrukciji pet pravilnih geometrijskih tela, opisivanju sfere oko njih i

pronalaženju odnosa između njihovih dimenzija i opisanih sfera. Skoro da nema sumnje da je Teetetova konstrukcija ili teza o pravilnim geometrijskim figurama dala isto onoliko teorijske konstrukcije kao što pronalazimo kod Euklida.

2.3. PLATON, KONSTRUKCIJA PRAVILNIH POLIEDARA

Takozvana Platonova tela naravno da nisu Platonovo otkriće, ali su očigledno nazvana Platonovim zbog njihove upotrebe koja je prikazana u "Timeju" gde su pojedinačnim pojavama četiri elementa dodeljeni oblici prva četiri geometrijska tela. Tetraedar je bio dodeljen vatri, oktaedar vazduhu, ikosaedar vodi, a kocka zemlji, dok je sam Tvorac koristio dodekaedar za vasionu. U Timeju Platon piše:

"Treba sada da kažemo koja su ta četiri najlepša tela, međusobno nejednaka, pa ipak sposobna da se uzajamnim razlaganjem rađaju jedna iz drugih. Jer ako pronađemo odgovor na ovo, imaćemo pred sobom istinu o postanku zemlje i vatre kao i onih tela koja se usrazmerena nalaze između njih. Jer nikome nećemo dati saglasnost da su vidljiva tela lepša nego ova od kojih je svako pojedinačno jedinstven rod."

T.L. Heath u svom delu Istorija grčke matematike ne pridaje važnost problemu u kojem Platon po svemu sudeći pitagorizira i posvećuje prva četiri geometrijska tela elementima i to zemlji, vatri, vazduhu i vodi, jer je Empidokle, a ne Pitagora bio prvi koji je objavio da su ova četiri elementa bila materijalni principi na kojim je izgrađen univerzum. On takođe smatra da postojanje ova četiri elementa nije razlog zbog kog su samo prva četiri geometrijska tela otkrivena u vreme kada su ta četiri elementa osmišljena, a da je dodekaedar iz tih razloga otkriven kasnije. On ne vidi razlog zašto svih pet nisu otkrili rani Pitagorejci pre nego što je ikakvo pitanje o njihovoj povezanosti sa elementima pokrenuto. Isečak iz Filoleja (filozofskog dela) zaista kaže: "postoji pet elemenata u sferi, vatra, voda zemlja i vazduh, a sama sfera čini peti". Ali pošto se ovo tiče samo elemenata u sferi univerzuma a ne geometrijskih figura, po Dielovom prevodu, izgleda da Platon u njegovom "Timeju" polaže najveća prava na ovu ideju i sve može veoma lako postati upravo Platonova zasluga samo izgovorena rečima Pitagorejaca. Istovremeno činjenica da je "Timej" pitagorejski u osnovi možda je navela pisce da suviše preuranjeno zaključe da "ovde Platon pitagorizira".

4

Platon naravno konstruiše pravilna geometrijska tela prosto tako što spaja ravne strane. Ove strane, primećuje on, su napravljene od trouglova, i svi trouglovi su sastavljeni iz dva pravougla trougla. Pravougli trouglovi su ili (1) jednakokraki ili (2) nejednakostranični. Od trouglova druge vrste, kojima je broj neograničen, "najlepši" je onaj koji je dobijen podelom jednakostraničnog trougla visinom.

Kocka ima strane (kvadrate) koje su napravljene od pravouglih trouglova prve vrste, tj. jednakokrakih, tako što su 4 takva spojena da bi formirala kvadrat. Ostala tri tela koja imaju za strane jednakostranične trouglove, tetraedar, oktaedar i ikosaedar zavise samo od ostalih vrsta pravouglih trouglova. Kod njih je svaka strana napravljena od 6 (a ne od 2) ovakva pravougla trougla. Peto telo, dodekaedar koji ima 12 pravilnih petouglova za strane nije opisan, već je samo nagovešten. Platon je svestan da se strane dodekaedra ne mogu konstruisati uz pomoć dva pravougla trougla od kojih zavise ostala geometrijska tela. To da je učinjen pokušaj da se petougao podeli na izvestan broj pravouglih trouglova jasan je iz tri odlomka, dva iz Plutarha i jedan iz Alcinousa. Plutarh kaže da je svaka od 12 strana dodekaedra napravljena od 30 elementarnih nejednakostraničnih trouglova koji se razlikuju od elementarnog trougla geometrijskih tela sa trouglastim stranama. Alcinous govori o 360 elemenata koji nastaju kada se svaki petougao podeli na 5 jednakokrakih trouglova i kad se svaki od ovih dalje podeli na 6 nejednakostraničnih. Ako povučemo linije u petouglu dobijamo takav splet trouglova koji takođe pokazuje pitagorijski pentagram (tj. petokraku, koju su Pitagorejci koristili kao simbol za članove svoje škole).

Koliko je konstrukcija bila elementarna u Platonovim rukama može se dokazati iz činjenice da on tvrdi da se samo tri elementa mogu transformisati jedni u druge; jer su samo tri geometrijska tela sastavljena od jednakostraničnih trouglova. Ovi trouglovi, kad se u dovoljnom broju nalaze u datom pravilnom geometrijskom telu mogu se rastaviti i ponovo sastaviti tako da formiraju pravilno geometrijsko telo sa različitim brojem pljosni, kao da su geometrijska tela u stvari šuplje školjke ograničene površinama trouglova (Aristotel ovo kritikuje u njegovom delu "De caelo").

2.4. HERON, MERENJE POLIEDARA

U poglavljima 16-18 druge knjige Metrike Heron izračunava zapremine pet pravilnih poliedara po primeru kocke. On zaista u svakom od slučajeva pronalazi normalu iz centra opisane sfere na svaku stranu. Neka je p visina, a ivica, r poluprečnik kruga opisanog oko bilo koje strane (pljosni).

(1)Za tetraedar je

; .

(2)U slučaju oktaedra koji predstavlja zbir dve jednake piramide na zajedničkoj kvadratnoj osnovi, zapremina je trećina osnove pomnožena dijagonalom figure, tj.

5

ili .

(3)U slučaju ikosaedra Heron samo kaže da je ; stvarna vrednost proporcije je

.

(4)U slučaju dodekaedra, Heron kaže da je ; stvarna vrednost je

,

i ako se napiše kao , Heronova proporcija se lako dobija.

2.5. PAPUS

2.5.1. Upisivanje pravilnih poliedara u sferu

Papus u svom delu Kolekcija, u četvrtom poglavlju III knjige rešava probleme upisivanja svakog od pet pravilnih geometrijskih tela u sferu. Posle nekih početnih lema, Papus kritikuje suštinske probleme koristeći metodu analize koja je praćena sintezom u slučaju svakog geometrijskog tela.

(a)Da bi se opisala pravilna piramida ili tetraedar u sferu, on je pronašao dva kružna preseka koji su jednaki i međusobno paralelni. Svaki od njih sadrži jednu od dve naspramne ivice kao svoje prečnike. Neka je d prečnik sfere, i neka paralelni kružni preseci imaju prečnik , onda je

.

(b)U slučaju kocke Papus ponovo pronalazi dva paralelna kružna preseka sa prečnikom d takav da je

.

Kvadrati upisani u ove krugove se strane kocke sa paralelnim stanicama.(v) U slučaju oktaedra koriste se dva jednaka kružna preseka sa

prečnikom d tako da je

.

Jednakostraničan trougao upisan u jedan krug je jedna strana, a naspramna strana je jednakostraničan trougao upisan u drugi krug i postavljen suprotno od prvog.

(g) U slučaju ikosaedra Papus pronalazi 4 paralelna kružna preseka gde svaki prolazi kroz 3 visine ikosaedra. Dva od njih su mali krugovi koji su opisani oko dve naspramne trouglaste strane respektivno, a druga dva se nalaze između ova dva mala kruga i oni su paralelni njima a međusobno su jednaki. Parovi ovih krugova su određeni na sledeći način. Neka je d prečnik sfere i neka su x i y dve proizvoljne duži, takve da su d, x i y u proporciji sa stranama pravilnog petougla, šestougla i desetougla respektivno koji su upisani u isti krug. Manji par krugova ima r za poluprečnik, gde je

,

a poluprečnik većeg para krugova je r, gde je

.

6

(d) U slučaju dodekaedra postoje ista 4 kružna preseka kao u slučaju ikosaedra. Upisani petouglovi postavljeni suprotno upisani su u dva manja kruga i formiraju naspramne strane. Pravilni petouglovi upisani u veće krugove sa visinama koje su povučene iz odgovarajućih tačaka (i naravno postavljeni jedan nasuprot drugog) određuju deset drugih visina upisanog dodekaedra.

Ove konstrukcije se prilično razlikuju od onih u Euklidovoj XIII knjizi, gde je problem prvo konstruisati određenu pravilnu figuru i onda "zamisliti u sferi", tj. odrediti opisanu sferu u svakom pojedinačnom slučaju.

2.5.2. Pravilni poliedri sa jednakim površinama

Vraćajući se na glavni problem V knjige, Papus u poglavlju 5 pokazuje da su od pet pravilnih poliedara, koji imaju jednake površine, veći oni koji imaju više strana. Tako da zapremina piramide, kocke, oktaedra, dodekaedra i ikosaedra sa jednakim površinama raste respektivno. Papus ukazuje da su "neki od starijih naučnika" uspeli da dokažu ove teoreme analitičkom metodom. Ali on daje svoju metodu do koje došao sintetičkom dedukcijom, za koju tvrdi da je jasnija i kraća.

On je dao prvo teoreme (sa pomoćnim lemama) u vezi sa normalama iz centra opisane sfere na stranu (a) oktaedra, (b) ikosaedra (teoreme 39-43), onda teoremu po kojoj ako su dodekaedar i ikosaedar upisani u istu sferu, jedan isti mali krug u toj sferi opisuje i petougao dodekaedra i trougao ikosaedra (teorema 48). Ovo poslednje je teorema koju je dokazao Hipsikle u tzv. XIV Euklidovoj knjizi. Papus daje dve metode dokaza, od kojih druga odgovara Hipsiklovoj. Još dve teoreme su istog sadržaja kao Hipsiklove, ali izlaganje drugačije. Teorema 49 dokazuje da 12 pravilnih petouglova upisanih u krug su zajedno veći od 20 jednakostraničnih trouglova upisanih u isti krug. Konačne teoreme koje dokazuju da je kocka veća od piramide koja ima istu površinu, oktaedar veći od kocke, itd. su teoreme 52-56.

2.6. EUKLID, ELEMENTI XIII KNJIGA

Tema knjige XIII je da konstruiše i da "zamisli u sferi" svaki od pet pravilnih poliedara. "Zamisliti u sferi" podrazumeva konstruisanje opisane sfere i uključuje određivanje odnosa između "strane" tj, ivice poliedra i poluprečnika te sfere. U slučaju tetraedra, oktaedra i kocke taj odnos je zaista i određen, dok se u slučaju ikosaedra može pokazati da je ivica te figure iracionalna tzv. "manja", a u slučaju dodekaedra "apotoma". Teoreme na početku knjige su preliminarne.

Interesantno je primetiti da geometrijsko telo koje se danas zove pravilni tetraedar, Euklid naziva jednostavno piramida, bez obzira što je taj pojam u njegovim definicijama mnogo širi. Takva nelogičnost u primeni terminologije se pojavljuje kod Euklida i u drugim pojmovima.

Konstrukcije pravilnih poliedara, koja moraju biti upisana u datu sferu, mogu se kratko izložiti na sledeći način.

1. Pravilna piramida ili tetraedarNeka je dato D, prečnik sfere, u koju se treba upisati tetraedar. Euklid konstruiše krug sa poluprečnikom r tako da je

ili

i upisuje jednakostraničan trougao. Iz centra povlači normalu koja je dužine

.

7

Duži koje spajaju krajnje tačke normale sa temenima jednakostraničnog trougla određuju tetraedar. Svaka od tih duži tj. ivica (recimo x) su takve da

,

a dokazano je da je kvadrat na strani trougla upisan u krug takođe . Iz toga sledi da je ivica a tetraedra

.

2. OktaedarNeka je D poluprečnik opisane sfere, i neka je kvadrat upisan u taj krug. Iz njegovog centra povučene su normale u oba pravca dužine jednake poluprečniku kruga ili polovini dijagonale kvadrata. Svaka od ivica koje se uzdižu iznad kvadrata je jednaka stranici kvadrata. Zbog toga je svaka od ivica a oktaedra upravo

.

3. KockaNeka je D prečnik opisane sfere. Konstruisan je kvadrat stranice a takav da je

ili .

Zatim je konstruisana kocka sa kvadratom kao osnovom.

4. IkosaedarNeka je D prečnik opisane sfere. Konstruisan je krug poluprečnika r tako da je

.

8

U njega je upisan pravilni desetougao. Iz temena ovog desetougla nacrtane su normale dužine r. Ovo određuje temena pravilnog desetougla upisanog u jednaki paralelni krug. Spajanjem svakog drugog temena jednog, a onda i drugog desetougla dobijaju se pravilni petouglovi u paralelnim krugovima koji ih opisuju, ali tako da im temena ne budu naspramna. Spajanjem temena jednog petougla sa najbliža dva temena drugog dobija se 10 trouglova. Neka je p stranica svakog petougla, d stranica oba desetougla, onda su stranice koje se uzdižu iznad trouglova (recimo x)

,zato su 10 trouglova jednakostranični. Neka su C, C centri paralelnih krugova, CC je produžena u oba pravca do X i Z, respektivno, tako da CX=CZ=d (stranica desetougla). Onda povezujući X i Z sa temenima dva petougla, respektivno dobijaju se ivice (recimo x), koje su

.Odavde sledi da je svaka od ivica

.

Konačno se pokazuje da sfera prečnika XZ opisuje ikosaedar i .

5. DodekaedarPočinje se od kocke upisane u datu sferu prečnika D. Onda se nacrtaju petouglovi kojima su stranice kocke dijagonale. Neka su H, N, M i O središne tačke stranica na pljosnig BF, i H, G, L i K središne tačke stranica na pljosni BD, onda se spoje NO, GK koje su paralelne BC i MH, HL koje su njihove medijatrise u tačkama P,LJ.

9

Zlatnim presekom se podele PN, PO, LJH u tačkama R, S, T tako da su PR, PS, LJT veći segmenti. RU, PX, SV su upgravne na ravan BF, i TNJ upravna na ravan BD, tako da je svaka od ovih normala jednaka PR ili PS. Zatim se spoje UV, VC, CNJ, NJB, BU. One određuju stranice petougla, a ostali petouglovi su nacrtani na isti način. Onda je dokazano da je svaki od petouglova, poput UVCNJB

(1)jednakostraničan,(2)u istoj ravni,(3)sa jednakim uglovima.

Što se tiče stranica koje možemo da vidimo npr.

Na kraju, dokazano je da ista sfera prečnika D koja opisuje kocku takođe opisuje i dodekaedar. Npr. neka je Z centar sfere

,.

Neka je a ivica dodekaedra, c ivica kocke, onda je

.

Knjiga XIII se završava teoremom koja ivice pet pravilnih poliedara upisanih u istu sferu ređa po veličini. Euklid dokazuje da se ivice piramide (tetraedra), oktaedra i kocke nalaze među sobom u racionalnim razmerama, a da se ivice ostala dva, ikosaedra i dodekaedra, ne nalaze u racionalnim razmerama, jer su one iracionalne. Važi proporcija

i Prilog dokazuje da nijedno drugo pravilno geometrijsko telo ne postoji,

osim ovih pet već postojećih, jer zbir uglova roglja pravilnog poliedra mora biti manji od zbira četiri prava ugla. Takođe, minimalan broj uglova roglja je tri, jer se od dva ugla ma koje ravne slike ne može sastaviti rogalj. Ovo kratko rasuđivanje je postalo osnovno i ulazi u sve uxbenike elementarne geometrije.

2.7. XIV I XV KNJIGA EUKLIDOVIH ELEMENATA

XIV knjiga pripada grčkom matematičaru Hipsiklu (oko 200.g.), a autor XV knjige je nepoznat. Iz teksta XV knjige se može zaključiti da je ona napisana mnogo kasnije, možda čak u VI veku n.e. Kako se ove dve knjige i po sadržaju i po načinu izlaganja znatno razlikuju od pravih Euklidovih knjiga, one su dobile naziv "takozvanih knjiga" Euklidovih elemenata. Predgovor XIV knjige je veoma značajan istorijski. Iz njega se može zaključiti da je Apolonije pisao o upoređivanju dodekaedra i ikosaedra upisanih i istu sferu, kao i da su postojala dva izdanja ove Apolonijeve knjige, prvo koje je na neki način bilo netačno i drugo koje je davalo tačne dokaze. U samoj XIV knjizi, posle preliminarnih teorema i teorema o odnosima površina nekih pravilnih poledara, nalazi se zaključak:

"Ako je AB=a neka dužina podeljena tačkom neprekidno i A=m veći deo, a B=n, manji, i ako imamo kocku, dodekaedari ikosaedar, upisane u istu sferu, onda je

1. (ivica kocke):(ivici ikosaedra)2. (površina dodekaedra):(površini ikosaedra) =

= (ivica kocke):(ivici ikosaedra)3. (zapremina dodekaedra):(zapremini ikosaedra) =

= (površina dodekaedra):(površini ikosaedra)4. (zapremina dodekaedra):(zapremini ikosaedra) ."

10

Sadržaj tzv. XV knjige je mnogo slabiji od sadržaja Hipsiklove knjige. Neki istraživači su mišljenja, da knjiga ima karakter đačke beležnice i da možda i nije pripadala istom piscu. Ne može se tačno ustanoviti ni vreme kad je ona napisana. Početak knjige se odnosi na upisivanje pravilnih poliedara u druge pravilne poliedre, tj. tetraedar u kocku, oktaedar u tetraedar, oktaedar u kocku i obrnuto i dodekaedar u ikosaedar. Izlaganje poslednje konstrukcije i njenog dokaza je nedovršeno. Dalje slede veoma elementarna rasuđivanja o broju strana i broju temena kod proučenih poliedara. Knjiga se završava proučavanjem problema koji je postavio Isidor, "veliki naš učitelj", kako ga veliča autor knjige. Neki komentatori smatraju da je to Isidor iz Mileta, arhitekta koji je rukovodio zidanjem crkve sv. Sofije u Carigradu završene 537.g., ali je to malo verovatno. Isidorov problem se sastoji u određivanju uglova između ravni strana pet pravilnih poliedara. Međutim, dokazi ovih konstrukcija pomenutog "slavnog čoveka" nisu dovoljno jasni, pa autori prevoda ove knjige uglavnom iznose svoja objašnjenja, pored prevoda originalnih.

3. PRAVILNI POLIEDRI U SREDNJEM VEKU

U srednjem veku pet pravilnih poliedara su uglavnom privlačili pažnju astrologa, verovatno podstaknuti kosmološkim značenjem koje su poliedrima dodelili stari Grci. Međutim, na kraju ovog perioda pažljivo su ih izučavali mnogi matematičari. Najčuveniji među njima bio je Petar Frančesko čije je delo "De corporibus regularibus" (1475. g.) bilo prvo koje se problemom bavilo donekle ozbiljno. Kao što je u to vreme bio običaj, Paćoli (1509) je slobodno koristeći dela svojih savremenika, uzeo zavidan deo ovog materijala i priključio ga svom delu "De dinina proportione".

Albreht Direr, umetnik iz Nirnberga, takođe je dao svoj doprinos razvoju teorije poliedara. On je pokazao kako se konstruišu figure uz pomoć mreže na način na koji se obično stvaraju moderna dela.

Na helensku ideju, koja dovodi u vezu pravilne poliedre sa četiri elementa i univerzumom, nadovezao se i Johan Kepler (1571-1630.g.) u svome delu Harmonices Mundi, i u mnogome je razvio i dopunio. Kocka oslonjena na svoju osnovu simbolizuje stabilnost, pa je ona u vezi sa Zemljom. Oktaedar koji slobodno rotira, ako se pridržavaju njegova naspramna temena simbolizuje pokretljivost Vazduha. Među pravilnim poliedrima tetraedar ima najmanji, a ikosaedar najveći broj pljosni, pa tetraedar označava suvoću Vatre, a ikosaedar vlažnost Vode. Dodekaedar je nebeski simbol jer ima dvanaest pljosni koliko je i zodijačkih znakova, pa je zato pridružen Univerzumu.

Kepler je u svojoj kosmološkoj teoriji u delu Misterium cosmographicum stvorenoj mnogo pre njegovih zakona po kojima je i danas poznat, pokušao da redukuje rastojanja planeta Sunčevog sistema na metričke osobine Platonovih tela alternativno upisanih i opisanih oko nebeskih sfera pridruženih planetama: Saturnu, Jupiteru, Marsu, Zemlji, Veneri i Merkuru koje su odvojene, redom, kockom, tetraedrom, dodekaedrom, oktaedrom i ikosaedrom. Naravno, Kepler nije ništa znao o Uranu, Neptunu i Plutonu koji su otkriveni kasnije. NJegova konstrukcija je dala približno tačne rezultate. Za ideju o zvezdastim poliedrima takođe je zaslužan Kepler (1619. g.) i ona je privukla zavidnu pažnju tog vremena.

Teorija pravilnih poliedara danas igra veoma važnu ulogu ne samo u teorijskoj matematici (teorija grupa i geometrija), već i u primenjenoj matematici, mehanici i fizici. Teorija poliedara raznovrsnih oblika danas predstavlja posebnu oblast koja je, naročito u vezi sa kristalografijom, postala i zasebna grana nauke o prirodi, nauka o prirodnim formama. Kao specijalni deo

11

ona ulazi i u topologiju. U hemiji, postoje molekuli oblika pravilnih poliedara koji se nazivaju "buckyball". Ovi molekuli su dobili ime po naučniku Buckminster Fuller-u (koji je takođe dizajnirao globus ili mapu u obliku dodekaedra). "Buckyballs" u poslednje vreme privlače veliku pažnju naučnika.

12

SADRŽAJ

1. POLIEDRI U PREDHELENSKO DOBA .................................................................1

2. HELENSKO DOBA ............................................................................................1

2.1. Geometrija pitagorejaca .....................................................................1

2.2. Teetet .................................................................................................2

2.3. Platon, konstrukcija pravilnih poliedara .............................................3

2.4. Heron, merenje poliedara ..................................................................4

2.5. Papus .................................................................................................5

2.5.1. Upisivanje pravilnih poliedara u sferu ...................................5

2.5.2. Pravilni poliedri sa jednakim površinama ..............................6

2.6. Euklid, Elementi XIII knjiga .................................................................6

2.7. XIV i XV knjiga Euklidovih elemenata ................................................9

3. PRAVILNI POLIEDRI U SREDNJEM VEKU .........................................................10

13

LITERATURA

1. T.L. Heath, A History of Greek Mathematics, vol I-II, Dover, Nenj York, 1981.2. D.E. Smith, History of Mathematics, vol II, Dover Publications, INC. Nenj York, 1958.3. Euklid, Elementi, Naučna knjiga, Beograd, 1957.4. Z. Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija, Total design i Matematički

fakultet, Beograd, 1997.5. njnjnj.math.utah.edu/žalfeld/math/polyhedra/polyhedra.html

14