Platonova tela - pmf.ni.ac.rs · PDF filePlaton je bio neposredni Sokratov uqenik, ... Zakoni), a vrlo retko prema nekom dogaaju, pa i tada se imao u vidu dogaaj koji se moe neograniqeni

Univerzitet u Nixu

Prirodno-matematiqki fakultet

Departman za matematiku

Platonova telaMaster rad

Mentor:Prof. Dr. Mi�a Stankovi�

Student:Tamara Miloxevi�

SADR�AJ

1 Uvod 5

2 Istorijat Platonovih tela 72.1 Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Nastanak tetraedra - prvog prostornog oblika . . . . . . 122.1.2 Nastanak drugog prostornog oblika - oktaedra . . . . . . 122.1.3 Nastanak tre�eg prostornog oblika - ikosaedara . . . . 122.1.4 Nastanak qetvrtog oblika - heksaedra (kocke) . . . . . . 12

2.2 Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Elementi XIII kǌiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Euklidovi Elementi XIV i XV kǌiga . . . . . . . . . . . 21

2.3 �on Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Leonard Ojler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Pravilni poliedri 273.1 Poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Topoloxki pravilni poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Simetrije pravilnih poliedara . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Stelacije pravilnih poliedara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Tetraedar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.1 Konstrukcija pravilnog tetraedra . . . . . . . . . . . . . 403.5.2 Formule pravilnog tetraedra . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.3 Simetrije pravilnog tetraedra . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6 Pravilni heksaedar - Kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.1 Konstrukcija kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6.2 Formule kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6.3 Simetrije kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Pravilni oktaedar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7.1 Konstrukcija pravilnog oktaedra . . . . . . . . . . . . . 463.7.2 Formule pravilnog oktaedra . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7.3 Simetrije pravilnog oktaedra . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Pravilni dodekaedar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

4 SADR�AJ

3.8.1 Konstrukcija pravilnog dodekaedra . . . . . . . . . . . . 483.8.2 Formule pravilnog dodekaedra . . . . . . . . . . . . . . . 493.8.3 Simetrije pravilnog dodekaedra . . . . . . . . . . . . . . 50

3.9 Pravilni ikosaedar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9.1 Konstrukcija pravilnog ikosaedra . . . . . . . . . . . . . 503.9.2 Formule pravilnog ikosaedra . . . . . . . . . . . . . . . 513.9.3 Simetrije pravilnog ikosaedra . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Platonova tela oko nas 534.1 Platonova tela u �ivim organizmima . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Platonova tela u hemiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Platonova tela u umetnosti i arhitekturi . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Zakǉuqak 61

Deo 1

Uvod

Platonova tela oduvek su fascinirala ǉude razliqitih profesija, alipre svega matematiqare i filozofe. U ovom radu prikaza�emo ukratko nekeod pojedinosti o Platonovim telima.

Prvo poglavǉe predstavǉa sam uvod u ovaj rad.Drugo poglavǉe bavi se Platonovim telima kroz istoriju, sve od Pla-

tona, preko Euklida, Keplera i na kraju Ojlera. U ovom odeǉku prikazanisu odlomci iz razliqitih istorijskih spisa i razmatraǌa ovih poznatihmatematiqara i filozofa o pravilnim poliedrima.

Tre�e poglavǉe bavi se opxtim osobinama pre svega pravilnih poliedara.Definisani su poliedri, a kroz teoreme i dokaze prikazane su osobine pravil-nih poliedara. Drugi deo tre�eg poglavǉa prikazuje svaki od pravilnihpoliedara ponaosob i bavi se ǌihovim specifiqnostima kao i prikazom ǌi-hovih karakteristiqnih formula.

Qetvrto poglavǉe prikazuje Platonova tela u prirodi, umetnosti, arhi-tekturi.

Ciǉ ovog rada jeste da se napravi kratak osvrt na osobine Platonovihtela i da se uka�e na ǌihovu sveprisutnost kako u matematici tako i u svetuoko nas.

5

6 1. Uvod

Deo 2

Istorijat Platonovih tela

Pravilni poliedri su poznati od davnina. Ukrasni modeli koji se moguna�i me�u isklesanim kamenim loptama datiraju od doba kasnog neolitaXkotske. Treba uzeti u obzir da se ǌima nije pridavala ve�a pa�ǌa negomaǌe simetriqnim objektima, kao i da nekih pravilnih poliedara uopxtenije bilo u to vreme. Kockice za igru su stare koliko i sama civilizacijai u oblicima su bax tih pravilnih poliedara.

Slika 2.1.

Stari Grci su se dosta posvetili prouqavaǌu pravilnih poliedara. Nekiizvori govore da ih je otkrio Pitagora, dok drugi, ipak, ukazuju da je on znaosamo za tetraedar, kocku i dodekaedar, a da se otkri�e oktaedra i ikosa-edra vezuje za Teeteta Platonovog savremenika. U svakom sluqaju, Teetet jematematiqki opisao svih pet oblika i veruje se da je zaslu�an za postavǉaǌeprvog dokaza da ne postoje drugi pravilni poliedri osim ovih pet. Tako�e suprona�eni po Evropi, mali, xupǉi, bronzani dodekaedri iz vremena Rima,me�utim ǌihova namena ni dan danas nije otkrivena.

7

8 2. Istorijat Platonovih tela

Platonova tela opisana su u Platonovom Timaju u kom je povezao svakiod qetiri elementa: vatru, vodu, zemǉu i vazduh sa po jednim pravilnimpoliedrom. I to redom vatru sa tetraedrom, vodu sa ikosaedrom, zemǉu sakockom i vazduh oktaedrom, dok je smatrao da je dodekaedar Bog iskoristioza raspore�ivaǌe sazve��a po nebu.

Euklid je postavio matematiqki opis svakog poliedra u XIII kǌizi ”Ele-menata”. Tvr�eǌa od 13. do 18. stava ove kǌige opisuju konstrukciju svihPlatonovih tela i za svako od ǌih Euklid je naxao odnos preqnika opisanesfere i du�ine ivice poliedra. U 18. tvr�eǌu vodi se rasprava o postojaǌujox nekog pravilnog poliedra.

Za vreme renesanse umetnici su postali zainteresovani za perspektivu ipoliedri su postali izazov i za umetnike i za crtaqe. Postoje neki lepiprimerci intarzije1 iz ovog perioda koji ukǉuquju poliedre. Neke od na-jlepxih izradio je fra �ovani de Verone.

Prve kompletne ilustracije svih pet Platonovih tela dao je Leonardoda Vinqi2 koji je ilustrovao kǌigu Divina Proportione matematiqara fraǌe-vaqkog reda Luke Paqolija3.

Slika 2.2. Da Vinqijevi crte�i Platonovih tela

Poliedrima se bavio i Kepler koji je Platonova tela iskoristio dapoka�e solarni sistem do tada poznatih planeta.

Konaqnu potvrdu da postoji samo pet pravilnih poliedara dao je u XVIIveku Ojler, postavǉaǌem teoreme i davaǌem dokaza za ǌu.

1Mozaik napravǉen od parqi�a drveta. To su ravne ploqe isprepletane tehnikomrazliqitih boja, tonova i teksture tako da qine jednu celinu.

2Leonardo di ser Piero da Vinci(1452-1519) jedan je od najve�ih nauqnika i pronalazaqaikada. Bio je svestrani filozof svog vremena, arhitekta, slikar, skulptor,anatomist i in�iǌer.

3Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (1446-1517).

2.1. Platon 9

U XX veku, hemiqar Robert Mun4 produbǉuje vezu Platonovog tela i fi-ziqkog sveta formiraǌem modela ǉuske elektrona.

2.1 Platon

Postoje razliqiti podaci o mestu i godini ro�eǌa Platona, jednog odnajve�ih filozofa antiqke Grqke. Opxte je prihva�eno da je ro�en u Atini428g. p.n.e. u plemi�koj porodici, kojoj je po majci xest generacija unazadpripadao atinski zakonodavac, pesnik i jedan od ”sedmorice mudraca” - Sa-lon. Po oqevoj porodiqnoj liniji, govorilo se da je Platonov daleki predakbio legendarni atiqki kraǉ Kodrus. Poxto se dan Platonovog ro�eǌa po-klapao sa praznikom ro�eǌa Apolona delfijskog, kasnije je stvoren mit daje Platon Apolonov sin. Imao je dug �ivot, qak 81 godinu.

Slika 2.3. Platon

Platon je bio neposredni Sokratov uqenik, a nakon ǌegove smrti putovaoje u Egipat i ju�nu Italiju gde je prouqavao matematiqko znaǌe pitagore-jaca, koje �e kasnije imati dubok uticaj na ǌegovu teoriju ideja.

4Robert James Moon 1911-1989 Ameriqki fiziqar, hemiqar i in�iǌer. Zaqe-tnik je rada na fundamentalnoj strukturi atomskog jezgra, koja je baziranana Platonovim telima.


Po povratku u Atinu, u jednom gaju, qije je ime bilo Akademija, osno-vao je prvu, pravu filozofsku xkolu Stare Grke, Akademiju. Smatra se daje Akademija osnovana po uzoru na pitagorejsko bratstvo. Po predaǌu naulazu u Akademiju pisalo je ”Neka ne ulazi ko ne zna geometriju.” Ova le-genda nastala je verovatno zbog izuzetnog znaqaja koji je, u Platonovo vreme,pridavan istra�ivaǌima u geometriji i matematici uopxte. Akademija nijebila obiqan ”univerzitet”. U ǌu su primani u poqetku samo muxkarci ra-zliqite starosti, a kasnije i �ene, a izvesno je da je prijem morao biti uslo-vǉen nekom vrstom testa koji bi proveravao obdarenost za uqeǌe i spremnostda se �ivot posveti ǉubavi prema mudrosti, odnosno sklonosti za trajnimistra�ivaǌem i sticaǌem znaǌa. Pouzdano se zna da je jedan od prvih, asvakako najpoznatiji, uqenik Akademije, bio Aristotel. Akademija je pre-dstavǉala pravo sveuqilixte sa prostorijama za predavaǌa i razgovore,prostorijama za smextaj gostuju�ih prijateǉa Akademije koji su dolaziliiz drugih helenskih gradova i biblioteke. Postojaǌe biblioteke omogu�iloje da se u potpunosti saquvaju svi Platonovi zapisi.

Bibliotekar aleksandrijske biblioteke Trasil sredio je Platonovu kǌi-�evnu zaostavxtinu, podelivxi je na devet tetralogija, po ugledu na ranije(u Platonovo i Sokratovo vreme) uobiqajeno grupisaǌe dela tragiqkih pesni-ka. Na taj naqin, Trasilovo izdaǌe Platonovih sabranih dela obuhvatilo jeukupno 36 spisa: 35 dijaloga i 13 pisama uvrxtenih u jednu celinu. Kasnijese pokazalo da jedan od dijaloga - Epinomi (Dodatak Zakonima), nije napisaoPlaton, ve� neko od ǌegovih sledbenika. Ostalo je dakle 34 dijaloga, odkojih verovatno jox neki nisu autentiqni. Neizvesno je da li naslovi tihdijaloga potiqu od samog Platona, ili od Trasila, koji je najverovatnijedodao i podnaslove, na primer: Dr�ava ili O praviqnosti, Fedon ili Oduxi, Gozba ili O ǉubavi, i sl. Naslovi su davani prete�no prema imenimaliqnosti koje sudeluju u dijalogu (Protagora, Gorgija, Fedon, Timaj, Fedar,i sl.), ali i prema predmetu (Apologija, Dr�ava, Zakoni), a vrlo retko premanekom doga�aju, pa i tada se imao u vidu doga�aj koji se mo�e neograniqenibroj puta ponavǉati (Simposion - Gozba). Diogen Laertije tvrdi da je Pla-ton prvi poqeo da pixe dijaloge, mada su drugi stari pisci to poricali. Usvakom sluqaju, Platon je bio i ostao nenadmaxan u toj vrsti filozofskogistra�ivaǌa. ǋegovi raniji dijalozi imaju izra�eniju dramsku formu odstarijih, a svi su uglavnom sredǌeg ili maǌeg obima, izuzev Dr�ave i Zakonakoji su priliqno obimna dela. Svi su Platonovi dijalozi saquvani u celini,mada su izvorni rukopisi mestimiqno iskvareni ili nejasni. Sadaxǌa izda-ǌa i prevodi Platonovih dela po pravilu sadr�e na marginama posebnu pa-ginaciju, koja potiqe od izdaǌa celokupnih Platonovih dela na grqkom jeziku1578. godine u Lionu. Ovo izdaǌe je s velikom akribijom priredio fra-ncuski helenista H. Stefanus (Anri Etjen). On je zapravo prvi podeliosvaku stranicu na pet pribli�no jednakih odeǉaka, oznaqavaju�i svaki ode-

2.1. Platon 11

ǉak redom prvim slovima abecede: a, b, c, d, e. Ovo je znatno olakxalo citi-raǌe Platonovih dela i pronala�eǌe citiranih mesta: dovoǉno je stavitinaslov dijaloga i stranicu sa slovima koja bli�e pokazuje poqetak citiranogmesta, na primer, Dr�ava, 526c, ili Resp. 526c, xto je isto (jer Resp. jeskra�enica od Republika - Dr�ava).

Prvi spisi o Platonovim telima potiqu od Teetet-a uqenika PlatonoveAkademije koji se bavio pravilnim poliderima ispituju�i ǌihova zajedniqkasvojstva. Smatra se da je bax on u geometriju uveo pojam pravilnog poliedrajer je on autor svih teorema datih u XIII kǌizi Elemenata koju je napisaoEuklid.

Slika 2.4. Timaj

Platon opisuje pravilne poliedre oslaǌaju�i se na Teetet-ova geometri-jska istra�ivaǌa i u svom delu Timaj pomiǌe pravilne poliedre.


2.1.1 Nastanak tetraedra - prvog prostornog oblika

”. . . Poqe�emo od prvog oblika (tetraedar), qiji je sastav najjednostavnijii najmaǌi. ǋegov element je trougao qija je hipotenuza dvostruko du�a odkra�e stranice (katete). Ako se dva takva trougla spoje svojim hipotenuzama(tako da one predstavǉaju dijagonalu dobijenog qetvorougla), i ako se sveto tri puta ponovi, tako da se i dijagonale i kra�e stranice (prvobitnihtrouglova) oslaǌaju na istu taqku, kao na centar, dobija se jedan jednako-straniqni trougao, koji postaje od ovih xest (maǌih trouglova). A takva qe-tiri jednakostraniqna trougla sastave se tako da po tri ǌihova povrxinskaugla qine jedan qvrsti ugao (rogaǉ), qija veliqina neposredno prevazilaziveliqinu najve�eg tupog povrxinskog ugla (tj.180◦). Poxto su dovrxena qe-tiri takva rogǉa, sastavǉen je prvi prostorni oblik, koji mo�e deliti najednake i sliqne delove svaku sferu (u koju je upisan).”

2.1.2 Nastanak drugog prostornog oblika - oktaedra

”Drugi je oblik od istih trouglova: osam jednakostraniqnih trouglovaje sastavǉeno tako da po qetiri povrxinska ugla obrazuju jedan prostorni.Kada nastane xest takvih uglova, dovrxeno je telo drugog oblika.”

2.1.3 Nastanak tre�eg prostornog oblika - ikosaedara

”Tre�i oblik spojen je od stodvadeset osnovnih trouglova i dvanaest pro-stornih uglova, dok on ima dvadeset jednakostraniqnih uglova za osnove.”

2.1.4 Nastanak qetvrtog oblika - heksaedra (kocke)

”I poxto su ro�ena ova tela, jedan od elemenata (osnovnih trouglova) jezavrxio svoje, dok je ravnokraki trougao rodio prirodu qetvrtog oblika. Onje sastavǉen tako xto su po qetiri takva trougla, sa svojim pravim uglovima,spojena u centru obrazuju�i tako jednakostraniqni qetvorougao (kvadrat).Xest kvadrata spojeno je tako da obrazuju osam prostornih uglova, svakiograniqen sa po tri ravna ugla. Oblik tako sastavǉenog tela je kocka, kojaima xest qetvorouglih ravnostranih osnova.”

Konstrukcija za dodekaedar, koji ima dvanaest pǉosni (strana) koje supravilni petouglovi i ne mogu se konstruisati ni od jednog od pomenuta dvatrougla, ne nalazi se u Platonovom Timaju. Ali se dodekaedar ipak pomiǌe.

”Postoji jox jedan peti sastav: Bog ga je upotrebio za svemir, oslikavaju-�i na ǌemu likove (Zodijaka).” Dodekaedar je veruje se izabran za svemir,jer po svom obliku najvixe podse�a na loptu.

2.2. Euklid 13

2.2 Euklid

O �ivotu Euklida zna se jako malo. Ono xto je poznato jeste da je ro�enu Atini 330. godine p.n.e i da je poha�ao Platonovu Akademiju gde je geo-metriju uqio od Eudoksa i Teetet-a. Imao je relativno kratak �ivotni vek,�iveo je 55 godina. Kraǉ Ptolomej I pozvao ga je u novoosnovanu bibliotekuu Alesksandriji gde je Euklid osnovao matematiqku xkolu qiji je jedan odnajpoznatijih uqenika Arhimed. Na Euklida i ǌegov rad najve�i uticaj suimali Platon i Aristotel. Matematiku je prihvatao kao deo logike, qimese upotreba strogog dokazivaǌa sama nametala. Poznat je kao osnivaq geo-metrije i filozof, a osim osnovima geometrije bavio se i teorijom brojeva,perspektivom, presecima konusa i sfernom geometrijom.

Slika 2.5. Euklid

U odnosu na druge nauqne oblasti geometrija je dostigla zavidan nivooko 300. godine p.n.e. pojavom dela ”Elementi” koje predstavǉa brili-jantan i veoma korix�en rad na kome se vekovima zasnivala geometrija. Eu-klid je pokuxao da izlagaǌe bude strogo deduktivno i upravo zbog te dosle-dnosti ”Elementi” su stole�ima smatrani najsavrxenijim matematiqkim de-lom. Mnoge generacije matematiqara i drugih nauqnika su uqili iz ove kǌi-ge kako se logiqki zakǉuquje i novo povezuje s ranije utvr�enim qiǌeni-cama. Kasnije su ”Elementi” analizirani i dopuǌavani. Posebnu pa�ǌusu privlaqili aksiomi i postulati. U ovoj kǌizi su sadr�ana sva saznaǌai otkri�a do kojih su doxli Euklid, ǌegovi prethodnici i savremenici ugeometriji, teoriji brojeva i algebri. Tako�e, dokazane su i 464 teoreme nanaqin koji je i danas besprekoran.


2.2.1 Elementi XIII kǌiga

XIII Euklidova kǌiga ”Elemenata” sadr�i 18 stavova, od kojih je prvih12 o pravilnim poligonima: jednakostraniqnom trouglu, kvadratu i pravil-nom petouglu, dok je posledǌih 6 o pravilnim poliedrima, pri qemu je prvih12 neophodno za dokazivaǌe posleǌih 6.

Sve konstrukcije date su tako da je svaki od poliedara ”zamixǉen usferi” xto podrazumeva konstruisaǌe opisane sfere i ukǉuquje odre�ivaǌeodnosa izme�u ivice poliedra i polupreqnika sfere. u sluqaju tetraedra,oktaedra i hedsaedra taj odnos je zaista odre�en, dok se u sluqaju ikosaedramo�e pokazati da da je ivica itacionalna tzv. ”maǌa”, a u sluqaju dodeka-edra ”apotema”.

Moramo naglasiti da je Euklid pravilni tetraedar nazivao piramidom,iako je u ǌegovim definicijama pojam piramide mnogo xiri. Ovakve nelo-giqnosti u primeni terminologije nisu retkost u Euklidovom izlagaǌu.

13. stav - konstrukcija tetraedra

”Konstruisati piramidu, i obuhvatiti je datom sferom, i dokazati da je kva-drat na preqniku sfere jedan i po puta ve�i od kavadrata na ivici piramide.5”

”Odmerimo du� AB, jednaku preqniku date sfere, i presecimo je takotaqkom G da AG bude dva puta ve�e od GB.

Nacrtajmo na AB polukrug ADB, konstruiximo kroz taqku G du� GDupravnu na AB i spojimo A i D pravom AD.

Slika 2.6.

5Dat je opis konstrukcije bez daǉeg dokazivaǌa.

2.2. Euklid 15

Nacrtajmo krug EZH polupreqnika DG, upiximo u krug EZH jednako-strani trougao EZH, uzmimo za centar kruga taqku F i povucimo du�i EF ,FZ, FH. Iz taqke F konstruixemo pravu FK normalnu na ravan kruga EZH.Odmerimo na FK du� FK jednaku AG. Povucimo KE,KZ,KH. Poxto jeprava KF normalna na ravni kuga EZH, ona obrazuje prave uglove sa svimpravama koje je seku i nalaze se u ravni kruga EZH. No, seqe je svaka odpravih FE, FZ, FH , pa prema tome je FK upravna na svakoj od FE, FZ, FH.

Poxto je AG jednako FK, a GD jednako FE i obrazuju prav ugao, bi�ei osnovica DA jednaka osnovici KE. Iz tih razloga i svako od KZ i KHjednako je DA. Prema tome su tri du�i KE,KZ,KH jednake me�u sobom.Poxto je AG dva puta ve�e od GB, bi�e AB tri puta ve�e od BG. No, kako�emo to docnije dokazati, AB je prema BG kao kvadrat na AD prema kvadratuna DG. Prema tome je kvadrat na AD triput ve�i od kvadrata na DG. Ikvadrat na ZE triput ve�i od kvadrata na EF , a DG je jednako EF . Dakle,i DA jednako je EZ. Ali, kako je dokazano, i svako od KE,KZ,KH jednakoje DA, pa je znaqi, svako od EZ,ZH,HE jednako svakom od KE,KZ,KH.Prema tome su qetiri trougla EZH,KEZ,KZH,KEH jednakostrani. Naovaj naqin je obrazovana piramida od qetiri jednakostrana trougla qija jeosnova trougao EZH, a vrh taqka K. . . ”

14. stav - konstrukcija oktaedra

”Konstruisati oktaedar, obuhvatiti ga sferom, kao u predhodnom sluqaju idokazati da je kvadrat na preqniku sfere dvaput ve�i od kvadrata na ivicioktaedra.6”

”Odmerimo preqnik date sfere AB, prepolovimo ga taqkom G i nacrtajmona AB polukrug ADB. Zatim iz taqke G povucimo pravu normalnu na AB,povucimo DB.

Uzmimo kvadrat EZHF qije su sve strane jednake DB. Daǉe, povucimoFZ,EH pa iz taqke K povucimo pod pravim uglom prema ravni kvadrataEZHF pravu KL, produ�imo je sa druge strane ravni kao KM . Na svakojod KL i KM odmerimo prave KL,KM jednake jednoj od EK,ZK,HK,FKi nacrtrajmo LE,LZ, LH,LF,ME,MZ,MH,MF . Poxto je KE jednako KFi ugao EKF prav, bi�e kvadrat na FE dvaput ve�i od kvadrata na EK.Zatim, poxto je LK jednako KE i ugao LKE prav, bi�e kvadrat na EL dvaputve�i od kvadrata ne EK. Prema tome je kvadrat na LE jednak kvadratuna EF , dakle i LE jednako EF . Iz istih razloga je i LF jednako FE.Dakle, trougao LEF je jednakostran. Sliqno se dokazuje da je jednakostrani svaki od preostalih trouglova qije su osnovice strane kvadrata EZHF



Slika 2.7.

i vrhovi u taqkama L,M . Na ovaj naqin je konstruisan oktaedar ome�en saosam jednakostranih trouglova. . .”

15. stav - konstrukcija kocke

”Konstruisati kocku, obuhvatiti je sferom, kao i piramidu i dokazati da jekvadrat na preqniku sfere triput ve�i od kvadrata na ivici kocke.7”

Slika 2.8.


2.2. Euklid 17

”Odmerimo AB kao preqnik date sfere podelimo ga taqkom G tako daAG bude dvaput ve�e od GB. Daǉe, nacrtajmo na AB polukrug ADB, iz Gpodignimo normalu GD na AB, povucimo DB.

Konstruiximo kvadrat EZHF kome je strana jednaka DB, pa kroz taqkeE,Z,H, F u ravni kvadrata EZHF povucimo normale EK, ZL, HM , FN .Odmerimo na svakoj od EK,ZL,HM,FN du�i EK, ZL, HM , FN od kojihje svaka jednaka jednoj od du�i EZ, ZH, HF , FE. Spojimo K sa L, L sa M ,M sa N i N sa K. Tako je naqiǌena kocka ZN obuhva�ena sa xest jednakihkvadrata. . .”

16. stav - konstrukcija ikosaedra

”Konstruisati ikosaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela idokazati da je ivica ikosaedra iracionalna i takozvana ”maǌa”.8”

”Odmerimo AB kao preqnik date sfere podelimo ga taqkom G tako da AGbude qetiri puta ve�e od GB. Daǉe, nacrtajmo na DB polukrug ADB, iz Gpodignimo normalu GD na AB, povucimo DB.

Slika 2.9.

Konstruiximo krug EZHFK polupreqnika DB, pa upixemo u taj krugjedankostrani i jednakougli petougao EZHFK. Prepolovimo lukove EZ,ZH, HF , FK, KE taqkama L,M,N, J,O i nacrtajmo LM , MN , NJ , JO,OL, EO. Bi�e tada LMNJO jednakostran i jednakougli petougao i EOstrana desetougla. Kroz taqke E,Z,H, F,K u ravni kruga povucimo normaleEQ,ZP,HS, FT,KU jednake polupreqniku kruga EZHFK i spojimo QP , PS,



ST , TU ,UQ, QL, LP , PM , MS, SN , NT , TJ , JU , UO, OQ. Poxto je svakaod EQ i KU normalna na istoj ravni, bi�e EQ paralelno sa KU a one sui jednake. Ali prave koje spajaju sa iste strane krajeve jednakih paralelnihdu�i jednake su i paralelene. Prema tome su prave QU i EK jednake iparalelene. No, EK je strana jednakostranog petougla. Znaqi da je i QUstrana jednakostranog petougla upisanog u krug EZHFK. Iz istih razlogai svaka od du�i QP,PS, ST, TU je strana jednakostranog petougla upisanogu krug EZHFK.

Dakle, petougao QPSTU je jednakostran. Poxto je QE strana xestougla,a EO desetougla i ugao QEO je prav, bi�e QO strana petougla, jer je kvadratstrane petougla jednak zbiru kvadrata strane xestougla i strane desetouglaupisanih u isti krug. Iz istih razloga i OU je strana petougla. Tako�e,i QU je strana petougla. Prema tome je trougao QOU jednakostrani. Izistih razloga i svaki od trouglova QLP , PMS, SNT , TJU , je jednakostran.Poxto je dokazano da je svaka od du�i el i QO strana petougla, a tako�e iLO strana petougla, bi�e i trougao QLO jednakostran. Iz istih razlogai svaki od trouglova LPM , MSN , NTJ , JUO je jednakostran. Uzmimo zacentar kruga EZHFK taqku V . Iz taqke V spustimo normalu V Y na ravankruga i produ�imo kao V X na drugu stranu. Odmerimo stranu xestouglaVW i svaku V X, WY kao strane desetougla i spojimo QY , QW , UY , EV ,LV , LX, XM . Poxto je svaka od VW i QE normalna na ravni kruga, ondasu VW i QE paralelne a one su jednake. Znaqi, i EV i QW su jednake iparalelne.

No, EV je strana xestougla te prema tome, i QV je strana xestougla.Poxto je QV strana xestougla WY strana desetougla i ugao QWY prav,bi�e QY strana petougla. Iz istih razloga i UV je strana petougla, jerako povuqemo V K i WU one su jednake i suprotnog polo�aja, a kako je V K,kao polupreqnik, strane xestougla, bi�e i WU strana xestougla. No, WXje strana desetougla i ugao UWY prav, znaqi i UV je strana petougla, ai QU je strana petougla. Prema tome je i trougao QUY jednakostran. Izistih razloga i svaki od preostalih trouglova sa osnovicama QP , PS, ST ,TU i sa vrhom u taqki Y je jednakostran.

Zatim , poxto je V L strana xestougla a V X desetougla, i ugao LV Xprav, bi�e LX strana petougla. Iz istih razloga, ako uzmemo du� MV ,koja je strana xestougla, bi�e i MX strana petougla. No, i LM je stranapetougla. Prema tome je i trougao LMX jednakostran. Na sliqan naqin sedokazuje da je i svaki od preostalih trouglova sa osnovicama MN , NJ , JO,OL i vrhom u taqki X jednakostran. Na ovaj naqin je konstruisan ikosaedarobuhva�en sa dvadeset jednakostranih trouglova. . .”

2.2. Euklid 19

17. stav - konstrukcija dodekaedra

”Konstruisati dodekaedar, obuhvatiti ga sferom, kao i ranije navedena tela idokazati da je ivica dodekaedra iracionalna takozvana ”apotema”.9”

Uzmimo dve, jedna na drugoj upravne, ravni ABCD i CBEF , ranije pome-nute kocke. Svaku od ivica AB, BC, CD, DA, EF , EB, FC prepolovimotaqkama G, H, K, L, M , N , O spojimo GK, HL, MH, NO i podelimo svakuod NP , PO, HQ neprekidno taqkama R, S, T . I neka su RP , PS, TQ ve�idelovi. Pa iz taqaka R, S, T podignemo normale na ravnima kocke sa spo-ǉaxǌe strane, odmerimo du�i RU , SV , TW jednake du�ima RP , PS, PQ ispojimo UB, BW , WC, CV , V U . Tvrdim da je UBWCV jednakostran ravanpetougao i da ima jednake uglove.

Slika 2.10.

Zaista, uzmimo RB, SB i V B. Poxto je du� NP podeǉena taqkom RRneprekidno, i ve�i deo je RP , bi�e zbir kvadrata na PN i NR triput ve�iod kvadrata RP . No, PN je jednako NB i RP jednako RU . Prema tome jezbir kvadrata na BN i na NR triput ve�i od kvadrata na RU . No, zbirkavadrata na BN i na NR jednak je kvadratu BR. znaqi, kvadrat na BR jetriput ve�i od kvadrata na RU . Tako da je zbir kvadrata na BR i na RUqetiri puta ve�i od kvadrata na RU . No, zbir kvadrata na BR i ran RUjednak je kvadratu na BU . Prema tome je kvadrat na BU qetiri puta ve�i odkvadrata na UR, dakle, BU je dvaput ve�i od RU .

No, i V U je dvaput ve�e od UR, poxto je SR dvaput ve�e od RP tj. odRU . Na ovaj naqin BU je jednako UV . Sliqno se dokazuje da je i svako



od BW , WC, CV jednako svakom od BU i UV . Dakle, petougao BUV CWje jednakostran. Tvrdim da je i ravan. Zaista, povucimo kroz taqku P saspoǉaxǌe strane kocke pravu PX paralelnu svakoj od pravih RU i SV ipovucimo XH i HW . Tvrdim da je XHW prava. Zaista, poxto je du�podeǉena taqkom T neprekidno i ve�i ǌen deo je QT , bi�e HQ prema QTkao QT prema TH. No, HQ je jednako HP , a QT svakoj od TW i PX dakle,HP je prema PX kao WT prema TH. I du� THT je paralelna sa PX, jer jezaista svaka normalna na ravni BF . No, ako su dva trougla XPH i HTW ,sa po dve proporcionalne strane, u takvom polo�aju da su dva kratka uglajednog trougla paralelna sa homolognim kracima ugla drugog trougla, ondasu ǌihove preostale strane u istoj pravoj. Prema tome su XH i HW u jednojravni.

Tvrdim da on ima jednake uglove.Zaista, poxto je du� NP podeǉena taqkom R neprekidno i ve�i deo je

PR (bi�e i zbir NP i PR prema PN kao PN prema PR), a PR je jednakoPS (znaqi, SN prema NP kao NP prema PS), prema tome, NS je podeǉenotaqkom P neprekidno i ve�i je deo NP . Znaqi, zbir kvadrata na NS i naSP je triput ve�i od vadrata na NP . No, NP je jednako NB i PS je jednakoSV . Prema tome je zbir kvadrata na NS u na SV triput ve�i do kvadrata naNB tako daje zbir kvadrata na V S, SN i NB qetiri puta ve�i od kvadratana NB. No, zbir kvadrata na SN i na NB jednak je kvadratu na SB. Nataj naqin zbir kvadrata na BS i na SV , a to je kvadrat na BV (jer je ugaoV SB prav), je qetiri puta ve�i od kvadrata na NB. Znaqi, BV je dvaputve�e od NB. Ali, i BC je dvaput ve�e od BN . Prema tome je BV jednakoBC. I poxto su dve strane BU i UV jednake dvema stranama BW i WC iosnovica BV je jednaka osnovici BC, bi�e i ugao BUV jednak uglu BWC.Prema tome su tri ugla BWC, BUV i UV C jednaka me�u sobom, petougao imajednake uglove. Jednake uglove ima i petougao BUV CW , a dokazano je da je oni jednakostran. Na taj naqin petougao BUV CW je jednakostran i jednakouglii nalazi se na ivici BC kocke. Prema tome, ako na svakoj od dvanaest ivicakocke izvrximo isto to, dobi�emo prostornu figuru obuha�enu do dvanaestjednakostranih i jednakokrakih petouglova koja se zove dodekaedar. . .”

Kǌiga XIII zavrxava se 18. stavom koja ivice pet pravilnih poliedaraupisanih u sferu re�a po veliqini. Euklid dokazuje da se ivice piramide(tetraedra), oktaedra i kocke nalaze me�u sobom u racionalnim razmerama,a da se ivice ostala dva, ikosaedra i dodekaedra, ne nalaze u racionalnimrazmerama, jer su one iracionalne. Va�i proporcija

(2R)2 : a2tetr : a2okt : a2koc = 6 : 4 : 3 : 2 i aikos > adod

atetr =23R√6 aokt = R

√2 akoc =

23R√3 aikos =

15R√

10(5−√5)

adod =13R(

√15−

√3)

2.2. Euklid 21

R je polupreqnik opisane sfere.

Nakon 18. stava iznosi se i dokazuje jox jedan stav koji nije numerisan,pa se smatra da je naknadno dodat i on glasi:

”Tvrdim, da se sem pet pomenutih tela ne mo�e konstruisati ni jednodrugo telo, koje bi bilo obuhva�eno jednakostranim i jednakouglim mnogouglovi-ma.”

U prilogu postoji dokaz koji ukratko pokazuje da sem ovih pet ne postojidrugo pravilno geometrijsko telo, jer zbir uglova rogǉa pravilnog poliedramora biti maǌi od zbira qetiri prava ugla (tj. 360◦). Tako�e, minimalanbroj uglova rogǉa je tri, jer se od dva ugla ma koje ravne slike ne mo�esastaviti rogaǉ. Ovo kratko rasu�ivaǌe je postalo osnovno i ulazi u sveubenike elementarne geometrije.

2.2.2 Euklidovi Elementi XIV i XV kǌiga

Nakon napisanih XIII kǌiga Euklidovim Elementima dodaju se i XIV i XVkǌiga koje se nazivaju ”takozvane kǌige Euklidovih Elemenata”. XIV kǌigapripada grqkom matematiqaru Hipisklu i dodata je u II veku nove ere, dok jeautor XV kǌige nepoznat.10

U samoj XIV kǌizi, nakon stavova o odnosima povrxina i zapremina nekihpravilnih poliedara, nalazi se zakǉuqak:

”Ako je AB = a neka du�ina podeǉena taqkom G neprekidno i AG = mve�i deo, a GB = n maǌi, i ako imamo kocku, dodekaedar, ikosaedar, upisaniu istu sferu, onda je :

1. (ivica kocke) : (ivica ikosaedra) =√a2 +m2 :

√a2 + n2

2. (povrxina dodekaedra) : (povrxina ikosaedra) = (ivica kocke) : (ivicaikosaedra)

3. (zapremina dodekaedra) : (zapremina ikosaedra) = (povrxina dodekaedra): (povrxina ikosaedra)

4. (zapremina dodekaedra) : (zapremina ikosaedra) =√a2 +m2 :

√a2 + n2”

XV kǌiga Elemenata napisana je u vidu bele�nice. Poqetak se odnosina upisivaǌe pravilnih poliedara u druge pravilne poliedre: tetraedar ukocku, oktaedar u tetraedar, oktaedar u kocku, kocku u oktaedar, dodekaedar uikosaedar. Daǉe slede veoma elementarna rasu�ivaǌa o broju strana i brojutemena pomenutih poliedara. Kǌiga se zavrxava prouqavaǌem Isidorovogproblema koji se sastoji u odre�ivaǌu uglova izme�u ravni strana pet pravi-lnih poliedara.

10Po nekim izvorima pripisuje se Damaskiju koji je bio posledǌi upravnik Novo-platonske akademije.


2.3 �on Kepler

John Kepler (27. Decembar 1571 - 15. Novembar 1630) bio je nemaqki ma-tematiqar, astronom i astrolog. Predstavǉao je jednu od kǉuqnih figura unauqnoj revoluciji XVII veka, a quven je po svojim zakonima kretaǌa planetadatim u delima Astronomianova,Mysterium Cosmographicum,HarmonicesMundi i Epitome of Copernican Astronomy.

Tokom svoje karijere, Kepler je bio profesor matematike na sveuqilixtuu Gracu (Austija), gde je zapoqeo saradǌu sa princem Hans Ulrihom von Egen-bergom. Kasnije je postao asistent astronoma Tiho Brahe, i na kraju carskimatematiqar caru Rudolfu II i ǌegovim prestolonaslednicima Matiasu iFerdinandu II. Tako�e je bio nastavnih matematike u Lincu i savetnik Gene-ralu Valenxtajnu. Pored toga, bavio se fundamentalnim radom u oblastioptike, izmislio je i poboǉxao verziju refrakcionog teleskopa i pomenuoteleskopska otkri�a svog savremenika Galilea Galileja.

Slika 2.11. Keplerov solarni model

Kepler je bio fasciniran pravilnim poliedrima te je razvio svoju teorijuo ǌima. Prihvatio je korespodenciju 5 tela sa 4 elementa postavǉenu u anti-qko vreme i prikazuje ih crte�ima vatre na tetraedru, oblacima i pticamana oktaedru, drvetom i alatom na heksaedru, ribama i morskim rakom naikosaedru, mesecom, suncem i zvezdama na dodekaedru.

Kepler je u svom delu Mysterium Cosmographicum (1596) napisao de-taǉnu studiju o pravilnim telima.

Pokuxao je da redukuje rastojaǌe planete Sunqevog sistema na metriqkeosobine Platonovih tela. Predstavio je model solarnog sistema u kojemje pet Platonovih tela postavǉeno jedno unutar drugog i odvojeno serijamaupisanih i opisanih sfera. xest sfera je u korespodenciji sa jednom od pla-neta (Merkur, Venera, Zemǉa, Mars, Jupiter i Saturn). Tela su pore�anado same unutraxǌosti redom: oktaedar, ikosaedar, dodekaedar, tetraedar i

2.4. Leonard Ojler 23

Slika 2.12.

kao posledǌi heksaedar. Na kraju, ova ǌegova teorija je odbaqena. Moramonaglasiti da Kepler u to vreme nije znao za postojaǌe Urana, Neptuna iPlutona koji su otkriveni kasnije. Kao rezultat ǌegovih istra�ivaǌa imamootkri�e Keplerovih tela11, saznaǌe da orbite tela nisu kru�ne ve� eli-ptiqne, tri zakona o kretaǌu planeta koji su temeǉi nove astronomije.

2.4 Leonard Ojler

Leonard Paul Ojler (Leonhard Paul Euler) ro�en je u Bazelu 15. aprila1707 godine, a umro je u Sankt Petersburgu 18. septembra 1783. Bavio sematematikom i fizikom.

Smatra se da je Ojler jedan od najznaqajnijih matematiqara XVIII veka ijedan od najve�ih matematiqara svih vremena. Tako�e spada me�u najplodnijejer je saquvano preko 900 ǌegovih radova.

Ojler se bavio skoro svim oblastima matematike: geometrijom, anali-zom, trigonometrijom, algebrom, teorijom brojeva kao i fizikom kontinuuma,lunarnom teorijom i drugim oblastima fizike.

U matematiqku notaciju uveo je pojam funkcije i prvi je upotrebio oznakuf(X). Pored toga uveo je moderan zapis trigonometrijskih funkcija, slovoe kao oznaku osnove prirodnog logaritma (danas poznatu kao Ojlerov broj),grqko slovo Σ za oznaqavaǌe sumiraǌa i slovo i za oznaqavaǌe imaginarnejedinice. Tako�e je koristio grqko slovo π pa oznaqi odnos obima i polupre-qnika kruga, mada to izvorno nije bila ǌegova ideja.

11Kepler-Poisont-ova tela su pravilni poliedri sa podudarnim rogǉevima bez uslovakonveksnosti. Ima ih qetiri, mali zvezdasti dodekaedar, veliki zvezdasti do-dekaedar, veliki dodekaedar i veliki ikosaedar. Osobina im je da ravni kojimapripadaju ǌihove pǉosni prodiru jedna kroz drugu.


Porodica Bernuli sa kojom je Ojler bio u uskom kontaktu zaslu�na jeza ve�i deo ranih otkri�a iz oblasti matematiqke analize. Zahvaǉuju�iǌihovom uticaju, Ojler se fokusirao na izuqavaǌe matematiqke analize.Iako neki ǌegovi dokazi ne zadovoǉavaju standarde danaxǌe matematiqkestrogosti, ǌegove ideje utrle su put mnogim znaqajnim dostignu�ima. Ojlerje poznat po qestoj upotrebi i velikom doprinosu razvoju stepenih redova,prikazivaǌa funkcija u vidu zbira beskonaqno mnogo sabiraka.

ex =∞∑n=0

= limn→∞

(1

0!+

x

1!+

x2

2!+ . . .+

xn

n!)

Znaqajno Ojlerovo otkri�e je razvoj broja e i inverzne tangensne fukcijeu stepeni red, xto mu je na kraju omogu�ilo rexavaǌe quvenog Bazelskogproblema.

limn→∞

(1

12+

1

22+

1

32+ . . .+

1

n2) =

π2

6

Ojler je u analitiqke dokaze uveo upotrebu eksponencijalne funkcije ilogaritama. Proxirio je domen matematiqke primene logaritama time xtoje otkrio naqin da razliqite logaritamske funkcije izrazi pomo�u stepenihredova, i time je definisao logaritme negativnih i kompleksnih brojeva.Tako�e je definisao eskponencijalnu funkciju za kompleksne brojeve i otkrioǌenu vezu sa trigonometrijskim funkcijama, stoga za proizvoǉan realan brojφ, prema Ojlerovoj formuli va�i jednakost:

eiφ = cosφ+ i sinφ

Poseban sluqaj te formule koji se dobija za frednost φ = π, poznat je kaoOjlerov identitet

eiπ + 1 = 0

Ojler je razradio teoriju vixih transcedentalnih funkcija uvode�i gama-funckiju i novu metodu za rexavaǌe jednaqina qetvrtog stepena. Otkri-vaǌem naqina da izraquna integral sa kompleksnim granicama nagovestioje razvoj kompleksne analize. Zaqeo je funkcionalnu analizu i dao quvenu

2.4. Leonard Ojler 25

Ojler-Lagran�ovu teoremu. Koriste�i analitiqke metode za rexavaǌe pro-blema teorije brojeva, ujedinio je ove dve grane i uveo novu oblast istra�i-vaǌa analitiqku teoriju brojeva. U ovom postupku nastale su teorija hiper-geometrijskih redova, hiperboliqnih trigonometrijskih funkcija i anali-tiqka teorija veri�nih razlomaka. Dokazivaǌem, korix�eǌem divergentno-sti harmonijskog reda, da prostih brojeva ima beskonaqno mnogo omogu�io jenastanak Teoreme o prostim brojevima. Doxao je do dokaza da suma recipro-qnih vrednosti prostih brojeva divergira, pri qemu je otkrio vezu izme�uRimanove zeta-funkcije i prostih brojeva, danas poznatu kao Ojlerova for-mula za Rimanovu zeta - funkciju.

Dokazao je ǋutnove identitete, Malu Fermaovu teoremu, Fermaovu teo-remu o zbiru dva kvadrata, i dao je znaqajan doprinos Lagran�ovoj teoremio qetiri kvadrata. Uvo�eǌem funkcije φ(n), koja daje broj svih pozitivnihcelih brojeva maǌih od broja n koji su sa ǌim uzajamno prosti, uopxtio jeMalu Fermaovu teoremu, xto je danas poznato kao Ojlerova teorema. Znaqa-jno je doprineo razumevaǌu savrxenih brojeva i postavio je hipotezu koja jekasnije dokazana kao Zakon kvadratnih reciprociteta.

Ojler je rexio problem poznat kao Sedam mostova Kenigsberga. Ovo re-xeǌe se smatra prvom teoremom teorije grafova, odnosno teorije planarnihgrafova.

Ojlerov doprinos analitiqkoj geometriji se sastoji u formulaciji jedna-qina koje opisuju kupu, vaǉak, i razliqite rotacione povrxi. Pored toga,pokazao je da se najkra�e rastojaǌe izme�u dve taqke na zakrivǉenoj povrxipretvara u du� ukoliko se ta povrx projektuje na ravan. Prvi je prouqavaosve krive zajedno, bez posebne naklonosti prema konikama i temeǉno se baviokrivama koje generixu transcedentalne funkcije.

Napisao je i znaqajan rad o klasifikaciji krivih i povrxi i dao i iscr-pnu diskusiju o polarnim koordinatama koje su date u savremenom obliku.Dokazao je i nekoliko teorema opxte geometrije, izme�u ostalih i tvr�eǌe date�ixte, ortocentar i centar opisanog kruga trougla uvek pripadaju jednojpravoj. ǋemu u qast, ta prava je nazvana Ojlerovom.

Naqinio je celinu od Lajbnicovog diferencijalnog raquna i ǋutnovemetode fluksija, i razvio je aparat koji je olakxao primenu matematiqkeanalize na fiziqke probleme. Napravio je velike korake u poboǉxaǌu nu-meriqke aproksimacije integrala, tako xto je u upotrebu uveo takozvaneOjlerove aproksimacije, me�u kojima su najznaqajnije Ojlerova metoda iOjler-Maklorenova formula. Olakxao je upotrebu diferencijalnih jednaqi-na uvode�i takozvanu Ojler-Maskeronijevu konstantu:

γ = limn→∞

(1 +1

2+

1

3+

1

4+ . . .+

1

n− lnn)


Formula koja povezuje broj temena V , ivica E i strana F konveksnogpoliedra, tako�e je Ojlerova zasluga.

V − E + F = 2

Iz ove formule kasnije je izvedena teorema sa dokazom o konaqnom brojuPlatonovih tela. Konstanta koja se pojavǉuje u navedenoj formuli je po-znata kao Ojlerova karakteristika grafa ili bilo kog drugog matematiqkogobjekta, i u bliskoj je vezi sa ǌegovim rodom. Izuqavaǌe i generalizacijanavedene formule koje su obavili Koxi i L’Ulije bili su osnova za zasni-vaǌe topologije.

Deo 3

Pravilni poliedri

3.1 Poliedri

Da bi pojasnili xta je to pravilni poliedar i prikazali ǌegovekarakteristike, moramo prvo uvesti pojmove poliedarske povrxi i poliedrai pojasniti neke ǌihove karakteristike.

Definicija 3.1.1. Povezan skup poligonskih povrxi nazivamo poliedarskompovrxi ako su zadovoǉeni slede�i uslovi:

(1) Svaka du� na stranici neke od poligonskih povrxi datog skupa mo�eda pripada rubu jox samo jedne poligonske povrxi tog skupa;

(2) Svake dve susedne poligonske povrxi iz tog skupa pripadaju dvemaraznim ravnima.

Definicija 3.1.2. Skup svih taqaka poliedarske povrxi ω, koje se nalazena granicama ǌenih pǉosni i koje pripadaju granici samo jedne poligonskepovrxi iz tog skupa, nazivamo rubom te povrxi.

Definicija 3.1.3. Poliedarsku povrx koja ima rub nazivamo otvorenom poli-edarskom povrxi, a poliedarsku povrx koja nema rub, zatvorenom poliedarskompovrxi. Poligonske povrxi od kojih je sastavǉena jedna poliedarska povrxnazivamo pǉosnima poliedarske povrxi. Stranice tih poligonskih povrxinazivamo ivicama poliedarske povrxi, a temena tih poligonskih povrxitemenima poliedarske povrxi.

Definicija 3.1.4. Ako nikoje dve pǉosni poliedarske povrxi nemaju zaje-dniqkih taqaka sem xto susedne imaju zajedniqku ivicu i pǉosni koje se su-stiqu u istom temenu imaju zajedniqko to teme, poliedarsku povrx nazivamoprostom poliedarskom povrxi. U protivnom nazivamo je slo�enom poliedar-skom povrxi.

27

28 3. Pravilni poliedri

U geometriji poliedara razlikujemo topoloxke i metriqke osobine. Pri-likom prouqavaǌa topoloxkih osobina poliedara uvode se pomo�ne relacijei to:

(1) relacija incidentnosti temena, ivica i pǉosni poliedra,(2) relacija izomorfnosti i(3) relacija dualnosti dva poliedra.

Definicija 3.1.5. Kod nekog poliedra su incidentni:(1) jedno teme i jedna ivica ako se to teme poklapa sa jednim krajem ivice,(2) jedno teme i jedna pǉosan ako se to teme poklapa sa jednim temenom te

pǉosni,(3) jedna ivica i jedna pǉosan ako se ta ivica poklapa sa jednom stranicom

te pǉosni.

Definicija 3.1.6. Dva poliedra F i F ‘ nazivamo izomorfnim ako izme�utemena, ivica i pǉosni poliedra F i temena, ivica i pǉosni poliedra F ‘postoji takav bijektivni odnos u kome incidentnim temenima, ivicama i pǉo-snima poliedra F odgovaraju respektivno incidentna temena, ivice i pǉosnipoliedra F ‘.

Neposredno mo�emo zakǉuqiti da je relacija izomorfnosti poliedararelacija ekvivalencije, stoga se skup svih poliedara prostora S3 mo�e razvr-stati u klase ekvivalencije koje su sastavǉene od izomorfnih poliedara.Osobine koje su zajedniqke za sve poliedre iz iste klase nazivamo topoloxkimosobinama proizvoǉnog poliedra razmatrane klase. Osim toga razmatraǌetopoloxkih osobina poliedara iz jedne klase omogu�ava upoznavaǌe topoxkihosobina polidara iz dualne klase.

Definicija 3.1.7. Dva poliedra F i F ‘ nazivamo dualnim ako izme�u temena,ivica i pǉosni poliedra F i pǉosni, ivica i temena poliedra F ‘ postojibijektivan odnos u kome incidentnim temenima, ivicama i pǉosnima poliedraF odgovaraju redom incidentne pǉosni, ivice i temena poliedra F ‘.

3.2. Topoloxki pravilni poliedri 29

Slika 3.1. Dualnost pravilnih poliedara

3.2 Topoloxki pravilni poliedri

Definicija 3.2.1. Prost poligon kome su stranice ivice nekog poliedra tj.poliedarske povrxi nazivamo povratnom linijom te poliedarske povrxi.

Definicija 3.2.2. Maksimalan broj povratnih linija neke poliedarske povrxikoje me�u sobom nemaju zajedniqkih taqaka i koje ne razla�u tu poliedarskupovrx na dva ili vixe delova nazivamo rodom te poliedarske povrxi.

Teorema 3.2.1. (Ojlerova teorema za poliedarske povrxi nultog roda)Ukupanbroj temena t i pǉosni p bilo koje poliedarske povrxi nultog roda za dva je ve�iod broja ǌegovih ivica tj.


t+ p = i+ 2

Definicija 3.2.3. Poliedar Φ prostora E3 je topoloxki pravilan ako:(1) sve pǉosni poliedra imaju jednak broj stranica i(2) u svakom temenu poliedra sustiqe se jednak broj ivica.

Teorema 3.2.2. Postoji pet i samo pet razliqitih vrsta topoloxki pravlinihpoliedara.

Dokaz. Neka je Φ poliedar sa t temena, i ivica i p pǉosni. Neka je daǉem broj strana svake pǉosni a n broj ivica koje se sustiqu u jednom temenupoliedra Φ. Prema Ojlerovoj teoremi je t+ p− i = 2. Svaka ivica poliedraje zajedniqka stranica dveju susednih pǉosni poliedra pa va�i mp = 2i tj.p = 2i

m. Daǉe svaka ivica poliedra spaja dva razna temena tog poliedra pa

je nt = 2i tj.t = 2in. Ako vrednosti za p i t zamenimo u Ojlerovoj formuli

dobijamo1m+ 1

n= 1

i+ 1

2

Odavde zakǉuqujemo da mora biti 1m

+ 1n> 1

2. Odavde sledi da je bar

jedan od brojeva 1m

i 1nve�i od 1

4. Znaqi bar jedan od brojeva m i n �e biti

jednak 3 tj. bar jedan je maǌi od 4. Brojevi m i n ne mogu biti maǌi od3 jer oznaqavaju broj stranica i broj ivica poliedra. Prema tome jedinarexeǌa nejednaqine 1

m+ 1

n> 1

2su ure�eni parovi (3,3), (3,4), (3,5), (4,3),

(5,3). To znaqi da postoji taqno pet razliqitih vrsta topoloxki pravilnihpoliedara.

(1) Ako je m = 3, n = 3 tada je t = 4, i = 6, p = 4. Takav poliedar nazivase tetraedar.

(2) Ako je m = 3, n = 4 tada je t = 6, i = 12, p = 8. Takav poliedar nazivase oktaedar.

(3) Ako je m = 3, n = 5 tada je t = 12, i = 30, p = 20. Takav poliedarnaziva se ikosaedar.

(4) Ako je m = 4, n = 3 tada je t = 8, i = 12, p = 6. Takav poliedar nazivase heksaedar.

(5) Ako je m = 5, n = 3 tada je t = 20, i = 30, p = 12. Takav poliedarnaziva se dodekaedar.

Brojevi t, i i p odre�eni su iz relacija t+ p = i+ 2, mp = 2i, nt = 2i.�

3.3 Simetrije pravilnih poliedara

Radi detaǉnijeg poznavaǌa simetrija , neophodno je dobro poznavati ra-vansku refleksiju i ǌene osobine jer se sve ostale izometrijske transforma-cije prostora definixu pomo�u ravanske refleksije. Slede�e teoreme govoreo svim postoje�im izometrijskim transformacijama prostora E3.

3.3. Simetrije pravilnih poliedara 31

Teorema 3.3.1. Svaka izometrijska transformacija I prostora E3 mo�e sepredstaviti kao kompozicija najvixe qetiri ravanske refleksije tog prostora.

Dokaz. S obzirom na maksimalan broj linearno nezavisnih taqaka invarija-ntnih u izometriji I prostora E3 mogu nastupiti pet razliqitih sluqajeva.

(i) Izometrija I ima bar qetiri nekomplanarne invarijantne taqke. Ozna-qimo ih sa A, B, C i D. Tada je I(A) = A, I(B) = B, I(C) = C, I(D) =A, I(D) = A. Prema osnovnom stavu o izometrijskim transformacijamaprostora E3, takva izometrijska transformacija predstavǉa koncidencijuprosto-ra E3 tj. I = ε. Kako je Sπ involuciona izometrijska transforma-cija, sledi I = Sπ tj. u ovom sluqaju I je predstavǉena kao kompozicija dveravanske refleksije.

(ii) Izometrija I raspola�e sa tri nekolinearne invarijantne taqke, ozna-qimo ih sa A, B i C. Van ravni odre�enoj taqkama A, B i C izometrija Inema invarijantnih taqaka pa je I = ε. Prema tome postoji taqka X prostoraE3 takva da je I(X) = X‘ i X‘. Oznaqimo sa π medijalnu ravan du�i XX‘.Kako je AX = AX‘, BX = BX‘, CX = CX‘ sledi da taqke A, B i C pripadajuravni π. Kompozicija ISπ ima qetiri invarijantne nekomplanarne taqke A,B, C i X pa predstavǉa koincidenciju. Dakle ISπ = ε, odakle je I = Sπ.

(iii) Izometrija I raspola�e sa dve razne ivarijantne taqke oznaqimo ihsa A i B. Van prave odre�ene taqkama A i B izometrija I nema invarijantnihtaqaka, pa je I = ε. Prema tome postoji taqka X van prave AB prostora E3,takva da je I(X) = X‘ i X‘. Oznaqimo sa π medijalnu ravan du�i XX‘.Kako je AX = AX‘ i BX = BX‘ sledi da taqke A i B pripadaju ravniπ. Kompozicija ISπ ima tri invarijantne nekolinearne taqke A, B i X paprema prethodnom sluqaju predstavǉa neku ravansku refleksiju Sπ‘. DakleISπ = Sπ‘, odakle je I = SπSπ‘.

(iv) Izometrija I raspola�e sa jednom invarjantnom taqkom A. Postojitaqka X prostora E3 razliqita od taqke A takva da je I(X) = X‘ i X‘.Oznaqimo sa π medijalnu ravan du�i XX‘. Kako je AX = AX‘ sledi dataqka A pripada ravni π. Kompozicija ISπ ima dve razne invarijantne taqkeA i X pa prema prethodnom sluqaju predstavǉa kompoziciju tri ravanskerefleksije Sπ‘ i Sπ”. Dakle ISπ = Sπ‘∫π” odakle je I = Sπ,Sπ‘,Sπ”.

(v) Ostaje nam da razmotrimo sluqaj kada izometrija I nema invarija-ntnih taqaka. Postoji taqka X prostora E3 takva da je I(X) = X‘ i X‘.Oznaqimo sa π me�alnu ravan du�i XX‘. Kompozicija ISπ ima invarijantnutaqku X pa prema prethodnom sluqaju predstavǉa kompoziciju tri ravanskerefleksije Sπ‘, Sπ” i Sπ‘”. Dakle ISπ = Sπ‘Sπ”Sπ‘”, odakle je I = SπSπ‘Sπ”Sπ‘”.

Time je dokaz teoreme u potpunosti zavrxen.�


Napomena. Va�i�e i generalizacija ovakve teoreme za n-dimenzionalni pro-stor pri qemu �e svaka izometrija I prostora Sn mo�i da se prika�e kaokompozicija najvixe n + 1 hiperravanske refleksije, pri qemu pod pojmomhiperravanske refleksije podrazumevamo neidentiqnu izometriju koja quvainvarijantnim n− 1 dimenzionalni podprostor Sn, taqku po taqku.

Teorema 3.3.2. Svaka direktna izometrijska transformacija I prostora E3

mo�e se predstaviti kao kompozicija dveju osnih simetrija E3.

Dokaz. Ako je I = ε, tada zbog ivolutivnosti osne refleksije za svaku pravup3 imamo da je I = SpSp. Ako je I = ϵ, tada postoji taqka X3 takva da jeI(X) = X‘ i X‘. Oznaqimo sa π me�alnu ravan du�i XX‘. S obzirom daje I direktna i Sπ1 indirektna izometrijska transformacija prostora E3,kompozicija Sπ1I predstavǉa indirektnu izometrijsku transformaciju togprostora. Iz relacija I(X) = X‘ i Sπ1(X‘) = X sledi da je u kompozicijiSπ1I taqka X invarijantna. Ako kompozicija Sπ1I sem taqke X poseduje joxneku invarijantnu taqku Y ona predstavǉa neku ravansku refleksiju Sπ1. Utom sluqaju iz relacije Sπ1I = Sπ2 sledi da je I = Sπ1Sπ2. Ako obele�imosa π ravan upravnu obema ravnima π1 i π2, a sa m i n prave po kojima onaseqe te ravni, bi�e:

I = Sπ1Sπ2 = (Sπ1Sπ)(SπSπ2) == SmSn

Ako kompozicija Sπ1I sem taqke X nema drugih invarijantnih taqaka, onapredstavǉa neku osnorotacionu refleksiju Rπ4;s,ω kojoj je sredixte taqka X.Obele�imo sa π2 ravan koja sadr�i pravu s i koja je upravna na ravni π1, asa π2 daje ravan takvu da je Rs,ω = Sπ2Sπ3. U tom sluqaju bi�e:

Sπ1I = Sπ2Sπ3Sπ4 tj. I = Sπ1Sπ2Sπ3Sπ4

Iz relacija π1 ⊥ π2, π3 ⊥ π4 i jednakosti π1∩π2 = m, π3∩π4 = n nalazimoda je I = SmSn.

�

Teorema 3.3.3. (Xal)Svaka direktna izometrijska transformacija I ravniE3 predstavǉa koincidenciju, translaciju, osnu rotaciju ili zavojno kretaǌe.

Dokaz. S obzirom da je I : E3→E3 po pretpostavci direktna izometrijskatransformacija prema poznatoj teoremi ona se mo�e predstaviti kao kompo-zicija dveju osnih refleksija, tj. I = SnSm. U zavisnosti od uzajamnogpolo�aja osa m i n tih refleksija razlikujemo slede�e sluqajeve:

(i) Prave m i n se poklapaju tj. m = n. Tada je I = ε.


(ii) Prave m i n se su komplanarne i disjunktne. Oznaqimo sa π ravanodre�enu pravama m i n a sa µ i ν ravni koje sadr�e redom prave m i n iupravne su na ravan π. Tada je:

I = SnSm = SνSπSπSµ = SνSµ = τ−−−→MM ‘

.

(iii) Prave m i n seku se u nekoj taqki O. Oznaqimo sa π ravan odre�enupravama m i n, a sa µ i ν ravni koje sadr�e redom prave m i n i upravne suna ravan π. Tada je:

I = SmSn = SνSπSπSµ = SνSµ = Rs,ω

pri qemu je s preseqna prava ravni µ i ν a ω = ](µ, ν).(iv) Prave m i n su mimoilazne. Tada postoji prava s koja je zajedniqka

normala na prave m i n. Oznaqimo sa M i N preseqne taqke prave s redomsa pravama m i n, a sa π1 i π2 ravni koje su u taqkama M i N upravne napravu s. Prave m i n pripadaju redom ravnima π1 i π2. Neka su σ1 i σ2 ravniodre�ene redom pravama s,m i s, n. Tada, s obzirom na to da su ravni σ1 iσ2 upravne na π1 i π2 istovremeno (jer su π1 i π2 paralelne), imamo

I = SmSn = Sπ1Sσ1Sπ2Sσ2

= Sπ1Sπ2Sσ1Sσ2 = τ−−−→MM ‘

◦ Rs,ω = Z−−−−−→MM ‘,ω

tj. I je zavojno kretaǌe.�

Teorema 3.3.4. Svaka indirektna izometrijska transformacija I prostora E3

predstavǉa ravansku, osnorotacionu ili klizaju�u refleksiju.

Dokaz. Kako je I indirektna izometrijska transformacija prostora E3 ǌenaoptimalna simetrijska reprezentacija sastoji se iz jedne ili tri ravanskerefleksije.

(i) U prvom sluqaju je I = Sπ, tj. I je ravanska refleksija prostora E3.

(ii) U drugom sluqaju je I = SαSβSγ, pri qemu ravni α, β i γ ne pripadajuistom pramenu ravni. Naime ako bi ove ravni pripadale istom pramenu ondabi SαSβSγ, predstavǉala ravansku refleksiju, te bi se sluqaj (ii) sveo nasluqaj (i).

Tri ravni α, β i γ u prostoru odre�uju jedan snop u ravni. U prostoruE3 postoje dve vrste snopova ravni: snop konkurentnih ravni i ortogonalnisnop ravni.


(a) Ako ravni α, β i γ pripadaju snopu konkurentnih ravni kome je sredixtetaqaka O, tj. zajedniqka taqka ravni α, β i γ, tada je taqka O invari-jantna taqka kompozicije SαSβSγ. U tom sluqaju izometrija I kao indirektnaizometrijska transformacija sa invarijantnom taqkom O predstavǉa rota-cionu refleksiju prostora E3 tj. I = Rπ;s,ω.

(b) Ako ravni α, β i γ pripadaju ortogonalnom snopu ravni, kompozicijaSαSβSγ predstavǉa klizaju�u refleksiju prostora E3 tj. I = G

π,−−−→MM ‘

.�

Teorema 3.3.5. Svaka indirektna izometrijska transformacija I koja ima je-dinstvenu invarijantnu taqku O u prostoru E3 predstavǉa rotacionu refle-ksiju sa sredixtem O.

Dokaz. Kako je I indirektna izometrijska transformacija prostora E3, aε direktna izometrijska transformacija tog prostora bi�e I = ε zbog togapostoji taqka X prostora S3 takva da je I(X) = X‘ i X‘. Neka je π1 medi-jalna ravan du�i XX‘. Kompozicija Sπ1I ima dve invarijantne taqke O iX. Kompozicija Sπ1I je direktna izometijska transformacija prostora E3

predstavǉa koincidenciju ili osnu rotaciju qija osa sadr�i taqke O i X.Kompozicija Sπ1I nije koincidencija jer ako bi bilo Sπ1I = ε onda bi

bilo I = Sπ1 te bi izometrijska transformacija I predstavǉala ravanskurefleksiju i posedovala sem taqke O jox invarijantnih taqaka, xto je kon-tradikcija sa pretpostavkom teoreme.

Prema tome Sπ1I = Rs,ω tj. Ako je prava s upravna na π1 neposrednozakǉuqujemo da je I rotaciona refleksija. Ako prava s nije upravna na π1,tada obele�imo sa π2 koja sadr�i pravu s i upravna je na ravan π1, a sa π3

obele�imo ravan takvu da je Rs,ω = Sπ2Sπ3. U tom sluqaju je I = Sπ1Sπ2Sπ3,pri qemu je ravan π2 upravna na π1 i seqe je po pravoj s1. Obele�imo saσ1 ravan koja sadr�i pravu s1 i upravna je na π3, a sa σ2 ravan takvu da jeSπ1Sπ2 = Sσ1Sσ2. S obzirom da je Sπ1Sπ2 = Rs1,2R, bi�e i Sσ1Sσ2 = Rs1,2R

odakle sledi da prava s1 pripada ravni σ2 jer je π1 ∩ π2 = s1 i da je ravanσ2 upravna na σ1 jer uglovi rotacije kod jednakih rotacija moraju biti po-�ednaki. Prema tome I = Sπ1Sπ2Sπ3 = Sσ1Sσ2Sπ3. Ravni σ2 i π3 su upravne naravan σ1 i seku se po nekoj pravoj o koja sadr�i taqku O i koja je upravna naσ1 te kompozicija Sσ2Sπ3 predstavǉa osnu rotaciju R0,θ oko prave o pri qemuje θ dvostruki orjentisani ugao izme�u ravni σ2 i π3. Prema tome znamo daje

I = Sσ1R0,θ = Rσ1;0,θ

qime smo dokazali da izometrija I predstavǉa rotacionu refleksiju sasredixtem O.


�Prethodne teoreme omogu�avaju da klasifikaciju izometrijskih transfor-

macija euklidskog prostora E3 prika�emo u obliku slede�e xeme:

Direktne:KoincidencijaTranslacijaOsna rotacijaZavojna kretaǌa

Indirektne:Ravanska refleksijaOsnorotaciona refleksijaKlizaju�a refleksija

Razlikujemo sedam vrsta izometrijskih transformacija, pa s obzirom nato razlikujemo i sedam vrsta simetrija i likova u tom prostoru, a to su:Koincidencija, ravanska simetrija, osna simetrija reda n, osnorotaciona si-metrija reda n, translaciona simetrija, klizaju�a simetrija, zavojna sime-trija. Sa ovako utvr�enim postoje�im vrstama simetrija likova u prostoruE3, mo�e se pristupiti nala�eǌu postoje�ih grupa simetrija u prostoru E3.

Definicija 3.3.1. Simetrijom nekog lika Φ u prostoru E3 nazivamo svaku izome-trijsku transformaciju I tog prostora takvu da je I(Φ) = Φ. Skup svih simetrijalika Φ u E3 obrazuje grupu, koju zovemo gupom simetrija tog lika i oznaqavamo saG(IΦ).

U geometriji pravilnih poliedara u prostoru E3 posebnu pa�ǌu privlaqepitaǌa koja se odnose na ǌihove grupe simetrija. Slede�im teoremama usta-novi�e se sve postoje�e simetrije tih poliedara. Dokaza�e se tri teoreme;prva - kojom �e biti ustanovǉen red grupe simetrija pravilnih poliedara,druga - kojom �e biti identifikovane sve postoje�e simetrije iz grupe rotaci-ja, i tre�a - identifikova�e se sve preostale simetrije tih poliedara.

Teorema 3.3.6. Ukupan broj svih postoje�ih simetrija pravilnog poliedra F uprostoru E3 jednak je dvostrukom broju ǌegovih iviqnih uglova, tj. qetvoro-strukom broju ǌegovih ivica. Jednu polovinu tih simetrija qine direktne, adrugu polovi-nu qine indirektne izometrijske transformacije.

Dokaz. Neka su ∠ABC i ∠A‘B‘C‘ ma koja dva iviqna ugla pravlinog poliedraΦ, i neka je O ǌegovo sredixte. Taqke O, A, B, C i O, A‘, B‘, C‘ su nekom-planarne pri qemu je:


(O,A,B,C) ∼= (O,A′, B′, C ′) i (O,A,B,C) ∼= (O,C ′, B′, A′)

Stoga postoje I1 i I2, dve izometrijske transformacije prostora E3 odkojih prva, preslikava O, A,B, C redom u O, A′, B′, C ′, a druga iste taqkeO, A, B, C slika O, C ′, B′, A′. Budu�i da su tetraedri OABC i OC ′B′A′

suprotno orjenti-sani, jedna od izometrijskih transformacija je direktna,druga indirektna i u odnosu na ǌih lik je invarijantan tj.:

I1(Φ) = Φ, I2(Φ) = ΦOvo je taqno, jer u transformaciciji I1 stranici (ABC....H) odgovara

stranica (A′B′C ′...H ′), a iz podudarnosti svih diedara i stranica lika Φ,zakǉuquje se da u transformaciji I1 susednim stranicama sa (ABC...H) odgo-varaju stranice susedne sa (A′B′C ′...H ′) itd. za sve odgovaraju�e susednestranice qime dolazimo do I1(Φ) = Φ. Na potpuno identiqan naqin za-kǉuquje se da je I2(Φ) = Φ. Svaka od izometrijskih transformacija I1 iI2 predstavǉa simetriju poliedra Φ. Svakom iviqnom uglu pridru�uje sejedna direktna i jedna indirektna (izometrijska transformacija) simetrija,zbog qega je ǌihov ukupan broj jednak dvostrukom broju iviqnih uglova tj.qetvorostrukom broju ivica. Sem toga, jednu polovinu tih simetrija qinedirektne a drugu indirektne izometrijske transformacije.

�

Teorema 3.3.7. Red grupe rotacija pravilnog poliedra, jednak je dvostrukombroju ǌegovih ivica. Simetrije ove grupe sastoje se od osnih rotacija oko pravihkoje sadr�e sredixta stranica i upravne su na ǌih; pravih odre�enih sredi-xtima naspramnih ivica i pravih koje predstavǉaju ose temena tog poliedra.

Dokaz. Neka je req o pravilnom poliedru Φ kome pǉosni imaju po m stranica,rogǉevi po n ivica, koji ima t temena, i ivica i p pǉosni.

Zna se da je ukupan broj svih simetrija poliedra Φ jednak 4i, a broj si-metrija koje ne meǌaju ǌegovu orijentaciju je 2i. Po Xalovoj teoremi di-rektne transformacije prostora E3 su: rotacije, translacije, zavojna kre-taǌa i koincidencija. Kako je req o nuldimenzionoj grupi simetrija ko-jima transformacije imaju zajedniqkih invarijantnih taqaka, mo�e se govo-riti samo o prvoj i zadǌoj transformaciji- rotaciji i identiqnom preslika-vaǌu. Taqnije, grupa direktnih simetrija pravilnog poliedra Φ sastoji seod koincidencije i jedne od slede�ih osnih rotacija:

(i) Osne rotacije definisane u odnosu na prave koje sadr�e sredixtapǉosni poliedra Φ i upravne su na ǌima. Ove rotacije preslikavaju svakoteme neke pǉosni u sva ostala temena iste pǉosni. Znaqi ukupan broj tihrotacija je m − 1. Ako pravilan poliedar nema naspramnih pǉosni, a tu jejedini tetraedar, onda su prave upravne na dvema razliqitim pǉosnima uǌihovim sredixtima razliqite me�u sobom. Rotacije oko ovih pravih raz-likuju se me�u sobom, pa je ǌihov ukupan broj (m−1)p, tj. za tetraedar osam.


Svi ostali pravilni poliedri imaju po p/2 parova naspramnih pǉosni. Oseupravne u sredixtima dveju naspramnih pǉosni su istovetne, te su i rotacijeoko ǌih istovetne. Zbog toga je ukupan broj postoje�ih rotacija oko pravihupravnih na pǉosni u ǌihovim sredixtima jednak (m−1)p/2 za sve pravilnepoliedre sem tetraedra.

(ii) Osne rotacije definisane u odnosu na sredixta naspramnih ivica.Svaka takva prava je osa samo jedne rotacije-osne simetrije. Kako svakipravilan poliedar ima i naspramnih ivica , ukupan broj rotacija oko pravihodre�enih sredixtima naspramnih ivica je i/2.

(iii) Osne rotacije definisane u odnosu na prave koje su ose rogǉeva posma-tranog pravilnog poliedra. Rotacija oko svake od ovih pravih prevode jednupǉosan rogǉa u ma koju drugu pǉosan tog istog rogǉa. Kako tih pǉosniima n − 1, ukupan broj rotacija oko prave koja predstavǉa osu jednog rogǉapravilnog poliedra je n−1.Ose razliqitih rogǉeva razliqite su me�u sobom,sem kod pravilnog tetraedra, pa su razliqite i rotacije oko ǌih.

Svaki pravilan poliedar, sem naravno tetraedra, ima t/2 parova naspra-mnih temena. Ose rogǉeva kod tih temena su istovetne, rotacije oko osaistovetne, pa je ukupan broj postoje�ih rotacija oko svih mogu�ih takvihosa jednak (n− 1)t/2.

Kod pravilnog tetraedra, ose ma kog rogǉa upravne su na naspramnimpǉosnima u ǌihovim sredixtima, pa se poistove�uju sa osama iz sluqaja 1,pa se odgovaraju�e rotacije poistove�uju.

�

Teorema 3.3.8. Ukupan broj simetrija pravilnog poliedra koje meǌaju ǌegovuorijentaciju jednak je dvostrukom broju ivica tog poliedra. Skup svih sime-trija sastoji se iskǉuqivo iz rotacionih i ravanskih refleksija.

Dokaz. Neka je req o pravilnom poliedru Φ kome pǉosni imaju po m stranica,rogǉevi po n ivica, koji ima t temena, i ivica i p pǉosni.Sve (indirektnetransformacije) simetrije ovog poliedra koje mu meǌaju orijentaciju iscr-pǉene su sa dve vrste ravanskih i tri vrste rotacionih refleksija:

(i) Ravanskom refleksijom definisanom bisektralnim ravnima unutra-xǌih diedara, poliedra Φ. Simetralne ravni naspramnih unutraxǌih dieda-ra se poklapaju u svim (ostalim) pravilnim poliedrima, samo su razliqiteu pravilnom tetraedru. Ukupan broj ovih ravanskih refleksija je kod tetra-edra jednak broju ǌegovih ivica, a kod ostalih pravilnih poliedara i/2. Kodpravilnog oktaedra simetralna ravan unutraxǌeg diedra poklapa se ne samosa istom naspramnog, ve� i sa simetralnom ravni onih dvaju diedara kojimaivice pripadaju bisektralnoj ravni polaznog diedra. Zbog toga pravilanoktaedar ima samo i/4 posmatranih ravanskih refleksija, tj. svega 3.

(ii) Ravanskom refleksijom definisanom medijalnim ravnima ivica poli-edra Φ. Medijalne ravni ivica mogu se preklapati sa bisektralnim ravnima


unutraxǌih diedara, kao na primer u pravilnom tetraedru, dodekaedru iikosaedru. Kod pravilnog heksaedra i oktaedra to nije sluqaj, ali se kodǌih medijalne ravni nekih ivica poklapaju me�u sobom. Pravilan heksaedarima samo tri medijalne ravni ivica, jer se medijalne ravni ǌegovih naspra-mnih ivica poklapaju.

(iii) Rotacionim refleksijama definisanim u odnosu na prave odre�enesredixtima naspramnih pǉosni. Ove rotacione refleksije prevode svakoteme jedne od dveju naspramnih pǉosni, na primer Ψ, u odgovaraju�im teme-nima druge pǉosni Ψ1, pa postoji i takva refleksija koja slika svako teme uǌemu naspramno. Ta rotaciona refleksija predstavǉa centralnu simetrijupoliedra. Ako je m paran broj xto je sluqaj jedino kod pravilnog heksa-edra, ravanska refleksija definisana u odnosu na zajedniqku osnovu svihtih rotacionih refleksija slika jednu pǉosan Ψ u ǌoj naspramnu Ψ1. Zbogtoga je ukupan broj rotacionih refleksija definisanih u odnosu na praveodre�ene sredixtima dveju naspramnih pǉosni, sem u sluqajevima kada onepredstavǉaju centralnu ili ravansku refleksiju, jednak m−1 (m neparno), tjm− 2 (m parno). Kako tetraedar uopxte nema naspramnih pǉosni, on uopxtenema rotacionih refleksija. Svi ostali pravilni poliedri imaju p/2 parovanaspramnih pǉosni, pa je ukupan broj rotacionih refleksija oko pomenutihosa (opet izuzimaju�i sluqaj kada one predstavǉaju centralnu ili ravanskurefleksiju) jednak (m− 1)p/2, odnosno (m− 2)p/2 zavisno od m.

(iv) Rotacionim refleksijama definisanim u odnosu na prave koje spajajusredixta naspramnih ivica. Kod svih pravilnih poliedara, sem tetraedra,naspramne ivice su komplanarne pa se ne mogu definisati rotacione refle-ksije oko ovih osa koje bi bile razliqite od centralne ili ravanske refle-ksije. Naspramne ivice pravilnog tetraedra su nekomplanarne, pa postojedve rotacione refleksije definisane pravom odre�ene ǌihovim sredixtima.Nijedna od ovih rotacionih refleksija ne predstavǉa centralnu ili ravan-sku refleksiju. Ukupan broj im je xest, jer pravilan tetraedar ima tri paranaspramnih ivica. Sredixta svih ovih rotacionih refleksija poklapaju se(sa sredixtem tetraedra).

(v) Rotacionim refleksijama definisanim u odnosu na prave odre�enenaspramnim temenima. Ove rotacione refleksije prevode svaku ivicu kojapolazi iz jednog (od tih dvaju temena) u svaku ivicu koja polazi iz drugogod tih dvaju temena. Mo�e se pritom desiti da se ivice koje polaze iz prvogtemena preslikaju u sebi naspramne ivice koje polaze iz drugog temena -tada je req o rotacionoj refleksiji - koja predstavǉa centralnu simetri-ju. Ili pak, kakav je sluqaj jedino kod pravilnog oktaedra, da ravanskarefleksija definisana u odnosu na zajedniqku osnovu svih ovih rotacionihrefleksija, prevodi ivice koje polaze iz prvog temena u ivice koje polazeiz drugog temena. Zbog svega ovog, ukupan broj rotacionih refleksija defi-nisanih u odnosu na prave koje spajaju naspramna temena izuzimaju�i, nara-

3.4. Stelacije pravilnih poliedara 39

vno, sluqajeve centralne i ravanske refleksije jednak je (n − 1), n neparnotj (n − 2), n je parno. Svi pravilni poliedri (sem tetraedra), imaju t/2naspramnih temena, pa se ukupan broj pomenutih rotacionih refleksija svodina (n − 1)t/2, za neparno n, tj. (n − 2)t/2 za parno n. Pravilan tetraedaruopxte nema naspramnih temena pa se razumǉivo kod ǌega ni ne definixuove rotacione refleksije.

�Prethodnim teoremama ustanovǉene su sve postoje�e vrste simetrija pra-

vilnih poliedara.

Svaki pravilan poliedar ima istu grupu simetrija kao ǌegov dualnipoliedar, jer rotacije koje cikliqno permutuju temena neke pǉosni jednogod ovih dvaju poliedara, istovremeno cikliqno permutuju pǉosni oko jednogtemena ǌemu dualnog poliedra.

3.4 Stelacije pravilnih poliedara

Stelacija poliedara je proces generisaǌa novog poliedra ”produ�ava-ǌem” ǌegovih elemenata, strana i ivica do preseka svakog elementa sa osta-lim, odonsno do formiraǌa novog poliedra, poxtuju�i pri tome odre�enetipove simetrije.

Stelacijom pravilnih poligona mo�emo dobiti pravilne zvezdaste poligo-ne i preklapaǌe ve� postoje�ih poligona. Oqigledno zvezda je pravilanpoligon ukoliko joj dozvolimo da stranice prodiru jedna kroz drugu.

U zavisnosti od toga kako ravni kome pripadaju strane datog poliedradele prostor postoji vixe naqina da se produ�e i odaberu delovi koji �ebiti spojeni. Primetimo da dve ravni koje se sre�u u jednoj ivici u stelacijine�e deliti ivicu u svom unutraxǌem poliedru. Odatle mo�emo zakǉuqitida ne postoji stelacija za kocku jer su joj nesusedne pǉosni paralelne pa senikad ravni u kojima se nalaze ne mogu se�i, kada uzimamo u obzir konaqnatela. Tako�e je nemogu�a stelacija tetraedra, jer su mu svake dve stranesusedne.

Stelacija oktaedra sastavǉena je od dva pravilna tetraedra. Ravni ko-jima pripadaju ǌihove strane su generisane produ�enim pǉosnima unutra-xǌeg oktaedra.

Kepler - Poisotova tela su stelacije pravilnog ikosaedra i dodekaedra,pa je veliki ikosaedar stelacija ikosaedra, dok su ostala tri tela stelacijedodekaedra.


3.5 Tetraedar

U geometriji tetraedar je poliedar sastavǉen od trouglastih povrxi,pri qemu se tri povrxi sre�u u jednom temenu ili rogǉu. Tetraedar imaxest ivica i qetiri rogǉa. Tetraedar je najjednostavniji od svih pravilnihkonveksnih poliedara i jedini je koji ima maǌe od pet stranica. Tetraedarje trodimenzionalni sluqaj generalizovanog koncepta konveksnog skupa u Eu-klidskom prostoru.

Slika 3.2. Tetraedar

Tetraedar je vrsta piramide, koja je poliedar sa ravnom mnogougaonombazom i trouglastim boqnim stranama koje povezuju bazu sa jednom zajedni-qkom taqkom. U sluqaju tetraedra baza je trougao, pa se bilo koja stranicatetraedra mo�e smatrati bazom piramide. Tako�e, tetraedar se drugaqijemo�e nazvati ”pravilnom trougaonom piramidom”.

Kao i svi konveksni poliedri, tetraedar mo�e biti sklopǉen od jednoglista papira i poseduje dve razliqite mre�e. Za svaki tetraedar postojiopisana sfera u kojoj se sadr�e sva temena, i upisana sfera kojoj su boqnestranice tangente. Kod pravog tetraedra sve stranice su jednakostraniqnitrouglovi. Pravilni tetraedar ne mo�e zasebno da formira rexetku, aliudru�en sa pravilnim oktaedrom qine izmeǌeno kubno sa�e koje formirarexetku.

Sve qetiri stranice pravilnog tetraedra su jednakostraniqni trouglovi.Tetraedar je sam sebi dualan, a ako se izgradi slo�ena figura od dva dualnatetraedra dobija se stelacioni oktaedar.

3.5.1 Konstrukcija pravilnog tetraedra

Neka je dat D preqnik opisane sfere u koju se upisuje tetraedar. Kon-struisati kru�nicu sa polupreqnikom r tako da je

r2 = 13D · 2

3D tj. r = 1

3

√2D

3.5. Tetraedar 41

i u ǌu upisati jednakostraniqni trougao. Iz centra kru�nice povu�inormalu koja je du�ine 2

3D. Du�i koje spajaju krajǌe taqke normale sa

temenima jednakostraniqnog trougla odre�uju tetraedar. Svaka od tih du�itj. ivica oznaqenih sa a takve su da je

a2 = r2 + 49D2

Kako je

D2 = 92r2 to je a2 = 3r2.

3.5.2 Formule pravilnog tetraedra

Date koordinate Dekartovog sistema definixu qetiri temena tetraedrasa ivicom du�ine 2, pri qemu je tetraedar centriran na koordinatnom po-qetku

(±1, 0,− 1√2)

(0,±1, 1√2)

Za pravilni tetraedar du�ine stranice a:Povrxina jedne strane je:

A0 =√34a2

Povrxina tetraedra:

A = 4A0 =√3a2

Visina tetraedra:

H =√63a =

√23a

Zapremina:

V = 13A0H =

√2

12a3 = a3

6√2

Ugao izme�u dve povrxi:

arccos(13) = arctan(2

√2) ≈ 70.5288◦

Tetraedarski ugao:


arccos(−13) = 2 arctan(

√2)

Polupreqnik opisane sfere:

R =√64a =

√38a

Polupreqnik upisane sfere (tangenta je stranica tetraedra):

r = 13R = a√

24

Polupreqnik sfere kojoj su tangente ivice tetraedra:

rM =√rR = a√

8

Primetimo da je visina stranice (2√2) dva puta ve�a od ivice (

√2),

xto odgovara qiǌenici da je horizontalna razdaǉina, koja ide od baze kavrhu du� ivice, duplo du�a od medijane stranice. Drugim reqima ako je Cte�ixte osnovice, udaǉenost C do nekog temena baze je dvostruko ve�a odudaǉenosti C do sredixta ivice baze. Ovo sledi iz qiǌenice da se medijanetrougla seku u te�ixtu trougla i da ova taqka deli svaku od ǌih u dvasegmenta od kojih je jedan dvostruko du�i od drugog.

3.5.3 Simetrije pravilnog tetraedra

Pravilan tetraedar ima 24 simetrije od kojih jedna polovina meǌa ǌe-govu orijentaciju, a druga ne.

Direktne transformacije bile bi:1. Identiqko preslikavaǌe;2. Osam osnih rotacija reda tri u oba smera u odnosu na prave odre�ene

visinama tetraedra;3. Tri osne simetrije reda dva definisane u odnosu na prave odre�ene

sedixtima naspramnih ivica.Indirektne transformacije bi bile:1. Xest ravanskih refleksija definisanih bisektralnim ravnima unu-

traxǌih diedara;2. Xest rotacionih refleksija reda qetiri definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene sredixtima naspramnih ivica i ravni. To je ijedina rotaciona refleksija kojom raspola�e, jer pravilan tetraedar nemani naspramnih strana, ni naspramnih temena.

3.6. Pravilni heksaedar - Kocka 43

3.6 Pravilni heksaedar - Kocka

U geometriji kocka je trodimenzionalno telo koje je saqiǌeno od xestkvadratnih povrxina, pri qemu su tri povrxine sastavǉene u jednom temenu.Kocka je jedini pravilni heksaedar, predstavǉa paralelepiped, jednakostraniqnikuboid i pravilni romboid. To je prava kvadratna prizma sa tri ori-jentacije i trigonalni trapezoid sa qetiri orijentacije. Kocka je dualnasa oktaedrom i poseduje kubiqnu ili oktaedarsku simetriju.

Slika 3.3. Kocka

Kocka u prostoru Rn mo�e se definisati pomo�u jedne taqke A = (a1, . . . , an)iz Rn. Recimo da je svaka ivica kocke paralelna sa taqno jednim razliqitimvektorom te baze kao i da taqka A predstavǉa poqetak koordinatnog sisitemakoga grade ovi vektori. Svaka taqka X = (x1, . . . , xn) onda mo�e biti pred-stavǉena na slede�i naqin:

X : A+n∑

k+1

αk ◦ υk, αk ∈ [0, a]

Ukoliko se za vektore v1, . . . , vn uzmu vektori koji qine kanonsku bazu Rn

dobija se

X : {X1 ∈ [ai, ai + a], i = 1, . . . , n}


3.6.1 Konstrukcija kocke

Neka je D preqnik opisane sfere u koju treba upisati kocku. konstruixese kvadrat stranice a takav da je

a = 13

√3D

Zatim se konstruixe kocka sa ovim kvadratom kao osnovom.

3.6.2 Formule kocke

Za kocku koja je centrirana u koordinatnom poqetku sa ivicama paralel-nim sa osnovama koordinatnog sistema i ivicom du�ine 2, koordinate su

(±1,±1,±1)

dok se unutraxǌost sastoji od svih taqaka (x0, x1, x2) pri qemu je −1 <x1 < 1.

U analitiqkoj geometriji, povrxina kocke sa centrom (x0, y0, z0) i du�i-nom ivice 2a je geometrijsko mesto taqaka X(x, y, z) takvo da

limn→∞

[(x− x0)n + (y − y0)

n + (z − z0)n − an] = 0

Direktna formula za izraqunavaǌe povrxine bez upotrebe limesa je:

max{|x− x0|, |y − y0|, |z − z0|} = a

Za kocku qija je du�ina ivice a va�e slede�i obrasci:Povrxina:

P = 6a2

Zapremina:

V = a3

Dijagonala stranice:

d = a√2

Dijagonala kocke:

D = a√3

3.6. Pravilni heksaedar - Kocka 45


R = a√32

Polupreqnik sfere qije su tangente ivice kocke:

rM = a√2

Polupreqnik upisane sfere:

r = a2

Ugao koji zaklapaju stranice:

θ = π2

Zapremina kocke predstavǉa du�inu stranice na tre�i stepen, pa se takopo analogiji sa kvadratom tre�i stepen naziva kub1. Kocka poseduje najve�uzapreminu u odnosu na sve ostale kuboide sa jednakom povrxinom. Tako�e,kocka poseduje najve�u zapreminu o odnosu na sve kuboide sa jednakim tota-lnim zbirom du�ina visine, xirine i du�ine.

3.6.3 Simetrije kocke

Kocka poseduje 48 simetrija od kojih jedna polovina meǌa orijentaciju adruga ne.

Direktne transformacije bile bi:1. Identiqko preslikavaǌe2. Xest osnih simetrija reda qetiri definisanih u odnosu na prave koje

spajaju sredixta naspramnih stranica;3. Osne simetrije reda dva definisane u odnsu na prave koje spajaju

sredixta naspramnih stranica;4. Xest osnih simetrija reda dva definisanih u odnosu na sredixta

naspramnih ivica;5. Osam osnih simetrija reda tri, definisanih u oba smera u odnosu na

prave odre�ene naspramnim temenima.

Indirektne transformacije bile bi:1. Xest ravanskih refleksija definisanih u oba smera u odnosu na bi-

sektralne ravni unutraxǌih diedara;2. Tri ravanske revfleksije zadate medijalnim ravnima ivica;3. Xest rotacionih refleksija reda qetiri definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica;4. Osam rotacionih simetrija reda xest definisanih u oba smera u

odnosu na pravce odre�ene naspramnim temenima;5. Centralna refleksija.

1Kocka je na engleskom cube


3.7 Pravilni oktaedar

U geometriji, oktaedar je poliedar sa osam stranica. Pravilni oktaedarsastavǉen je od osam jednakostraniqnih trouglova, od kojih se po qetirisusre�u u jednom temenu. Pravilni oktaedar je dualan kocki. Oktaedar sejox mo�e opisati i kao jednakoiviqna osmostrana bipiramida.

Slika 3.4. Oktaedar

3.7.1 Konstrukcija pravilnog oktaedra

Neka je D preqnik opisane sfere u koju treba upisati oktaedar. Kon-struisati krug sa polupreqnikom r tako da je r = 1

2D i upisati kvadrat u

taj krug. Iz centra kvadrata povu�i normale u oba pravca du�ine jednakepolupreqniku kruga ili polovini dijagonale kvadrata. Svaka od ivica kojese uzdi�u iznad kvadrata je jednaka stranici kvadrata. Zbog toga je svaka odivica oktaedra a = 1

2

√2D.

3.7.2 Formule pravilnog oktaedra

Oktaedar sa ivicom du�ine√2, sa centrom u koordinatnom poqetku i sa

temenima na osama koordinatnog sistema ima temena u slede�im taqkama:

(±1, 0, 0)

(0,±1, 0)

(0, 0,±1)

U Oxyz Dekartovom koordinatnom sistemu, oktaedar sa centrom u O(0, 0, 0),kordinatama (a, b, c), i polupreqnikom r sadr�i taqke (x, y, z)

|x− a|+ |y − b|+ |z − c| = r

3.7. Pravilni oktaedar 47

Ako je du�ina ivice pravilnog oktaedra a onda je

Povrxina:

P = 2a2√3 ≈ 3.46410162a2

Zapremina:

V = 13a3√2 ≈ 0.47140452a3


R = a2

√2 ≈ 0.70710674

Polupreqnik upisane sfere (tangenta je stranica oktaedra):

r = a6

√6 ≈ 0.4082482

Polupreqnik sfere qije su tangente sredine ivica oktaedra:

rM = a2= 0.5

Zapremina oktaedra qetiri je puta ve�a od zapremine tetraedra, dok jepovrxina ve�a dva puta od povrxine tetraedra sa istom du�inom ivice.

3.7.3 Simetrije pravilnog oktaedra

Pravilan oktaedar ima 48 simetrija od kojih polovina meǌa orijentacijua druga polovina ne.

Direktne transformacije bile bi:1. Identiqko preslikavaǌe;2. Xest osnih simetrija reda qetiri definisanih u oba smera odnosu na

prave odre�ene naspramnim temenima;3. Tri osne simetrije reda dva definisane u odnsu na prave odre�ene

naspramnim temenima;4. Xest osnih simetrija reda dva definisanih u odnosu na sredixta

naspramnih ivica;5. Osam osnih simetrija reda tri, definisanih u oba smera u odnosu na

prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica.

Indirektne transformacije bile bi:1. Xest ravanskih refleksija definisanih medijalnim ravnima i ivi-

cama;2. Tri ravanske refleksije zadate bisektralnim uglovima;3. Xest rotacionih simetrija reda qetiri definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene naspramnim temenima;4. Osam rotacionih simetrija reda xest definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica;5. Centralna simetrija.


3.8 Pravilni dodekaedar

U geometriji dodekaedar je svaki poliedar sa dvanaest stranica, mada senajqex�e pod dodekaedrom podrazumeva pravilni dodekaedar koji se sastojiiz dvanaest stranica koje su pravilni petouglovi, pri qemu se tri stra-nice susre�u u temenu. Ima 20 temena, 30 ivica i 160 dijagonala. Dualnipoliedar dodekaedru je ikosaedar.

Slika 3.5. Dodekaedar

3.8.1 Konstrukcija pravilnog dodekaedra

Konstrukcija dodekaedra poqiǌe konstrukcijom kocke upisane u datu sferupreqnika D. Zatim se konstruixu petouglovi kojima su stranice dijagonalekocke. Neka su H,N ,M i O sredixne taqke ivica na stranici BEFC, a H,G,Li K sredixne taqke ivica na stranici BCDA. Onda se spoje NO, GK kojesu paralelne sa BC i MH i HL koje su ǌihove medijatrise u taqkama P i Q.Zlatnim presekom2 se podele PN , PQ, i HQ taqkama R, S, T tako da su PR,PS i QT ve�i segmenti. RU , PX i SV su upravne na ravan BEFC a TWupravna na ravan BCDA tako da je svaka od ovih normala jednaka PR ili

2Zlatni presek u matematici i umetnosti je specifiqni odnos izme�u dveveliqine koje zadovoǉavaju slede�e pravilo: odnos ǌihovog zbira i ve�eveliqine jednak je odnosu ve�e veliqine prema maǌoj.

3.8. Pravilni dodekaedar 49

PS. Spajaju se UV , V C, CW , WB i BU . One odre�uju stranice pravilnogpetougla UV CWB, a ostali petouglovi se dobijaju na isti naqin. Pri qemuva�i

BU2 = BR2 +RU2 = BN2 +NR2 +RP 2 = PN2 +NR2 +RP 2 = 4RP 2 = UV 2

Drugi naqin za konstruisaǌe dodekaedra ukǉuquje konstrukciju kocke izasniva se na tome da sfera preqnika D koja opisuje kocku opisuje i do-dekaedar. Neka je a ivica dodekaedra a c ivica kocke onda je

a = 2 ·√5−14

c = 2√3

3·√5−14

D = 16D(

√15− 3)

Dodeǉivaǌem jednog pravilnog petougla svakoj od 12 ivica kocke dobi�ese 12 pravilnih petouglova koji su pǉosni pravilnog dodekaedra.

3.8.2 Formule pravilnog dodekaedra

Date koordinate Dekartovog koordinatnog sistema definixu temena do-dekaedra du�ine ivice 2/φ centriranog u koordinatnom poqetku i pogodnoporavnatog i orijentisanog.

(±1,±1,±1)(0,±1/φ,±φ)(±1/φ,±φ, 0)(±φ, 0,±1/φ)

Za dodekaedar qija je du�ina ivice a va�e slede�i odnosi

Povrxina:

P = 3√25 + 10

√5a2

Zapremina:

V = 14(15 + 7

√5)a3


R = a√34(1 +

√5) = a

√32φ

Polupreqnik sfere qije su tangente ivice kocke:

rM = a14(3 +

√5) = aφ2

2


r = a12

√52+ 11

10

√5 = a φ2

2√3−φ

Za dodekaedar du�ine ivice 1, R je tako�e i polupreqnik opisanog kruganad kockom ivice φ, tako�e r je apotema petougla stranice du�ine φ.


3.8.3 Simetrije pravilnog dodekaedra

Pravilan dodekaedar ima 120 simetrija od kojih jedna polovina meǌaorijentaciju a druga ne.

Direktne transformacije bile bi:1. Identiqko preslikavaǌe;2. Dvadeset osnih simetrija reda tri definisanih u oba smera u odnosu

na prave odre�ene naspramnim temenima;3. Petnaest osnih simetrija reda dva definisanih sredixtima naspram-

nih ivica;4. Dvanaest osnih simetrija reda pet definisanih u oba smera u odnosu

na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica;5. Dvanaest osnih simetrija reda 5/2 definisanih u oba smera u odnosu

na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica.

Indirektne transformacije bile bi:1. Dvadeset rotacionih simetrija reda xest definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene naspramnim temenima;2. Petnaest ravanskih refleksija definisanih bisektralnim ravnima un-

utraxǌih diedara;3. Dvanaest rotacionih refleksija reda deset definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica;4. Dvanaest rotacionih refleksija simetrije reda 5/ definisanih u oba

smera u odnosu na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica;5. Centralna refleksija.

3.9 Pravilni ikosaedar

U geometriji, ikosaedar je poliedar sa dvadeset stranica. Pravilniikosaedar sastavǉen je od dvadeset jednakostraniqnih trouglova, od kojih sepo pet susre�u u jednom temenu. Ima dvanaest temena i trideset ivica.

3.9.1 Konstrukcija pravilnog ikosaedra

Neka je D preqnik opisane sfere. Konstruixe se krug polupreqnika rtako da je r2 = D · 1

5D i upisuje se pravilan desetougao. Iz temena desetougla

povlaqe se normale du�ine r. Ovo odre�uje temena pravilnog desetougla up-isanog u jednaki paralelni krug. Spajaǌem svakog drugog temena jednog a ondadrugog desetougla dobijaju se pravilni petouglovi u paralelnim krugovimakoji ih opisuju ali tako da im temena ne budu naspramna. Spajaǌem temenajednog petougla sa najbli�a dva temena drugog dobija se 10 trouglova. Nekaje p stranica svakog petougla a d stranica oba desetougla, onda su stranice

3.9. Pravilni ikosaedar 51

Slika 3.6. Ikosaedar

koje se uzdi�u iznad trouglova, oznaqene sa x, x2 = d2 + r2 = p2. Zato jedeset konstruisanih trouglova jednakostraniqno.

Neka cu C i C‘ centri paralelnih krugova. CC‘ je produ�ena u oba pravcado X i Z respektivno tako da je CX = C‘Z = d, gde je d stranica desetougla.Spajaju�i X i Z sa temenima dva petougla respektivno dobijaju se iviceikosaedra du�ine a. Odavde sledi da je

a = p = 12r√10− 2

√5 = D

2√5

√10− 2

√5 = 1

10D√

10(5−√5)

Sfera preqnika XZ opisuje ikosaedar i

XZ = r + 2d = r + r(√5− 1) = D

3.9.2 Formule pravilnog ikosaedra

Za ikosaedar qija je du�ina ivice a va�e slede�i odnosi

Povrxina:

P = 5a2√3

Zapremina:


V = 512(3 +

√5)a3


R = a14

√10 + 2

√5 = a sin 2π

5= a

2

√φ ·

√5


r = a2√6

√7 + 3

√5 = a

12(3√3 +

√15)

Ugao izme�u stranica ikosaedra:

η = arccos(√

53

)≈ 138, 19◦

3.9.3 Simetrije pravilnog ikosaedra

Pravilan ikosaedar ima 120 simetrija od kojih jedna polovina meǌa ori-jentaciju a druga ne.

Direktne transformacije bile bi:1. Identiqko preslikavaǌe;2. Dvadeset osnih simetrija reda tri definisanih u oba smera u odnosu

na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica;3. Petnaest osnih simetrija reda dva definisanih sredixtima naspram-

nih ivica;4. Dvanaest osnih simetrija reda pet definisanih u oba smera u odnosu

na prave odre�ene naspramnim temenima;5. Dvanaest osnih simetrija reda 5/2 definisanih u oba smera u odnosu

na prave odre�ene naspramnim temenima.

Indirektne transformacije bile bi:1. Dvadeset rotacionih refleksija reda tri definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene sredixtima naspramnih stranica;2. Petnaest ravanskih refleksija definisanih bisektralnim ravnima un-

utraxǌih diedara;3. Dvanaest rotacionih simetrija reda pet definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene naspramnim temenima;4. Dvanaest rotacionih simetrija reda 5/2 definisanih u oba smera u

odnosu na prave odre�ene naspramnim temenima;5. Centralna simetrija.

Deo 4

Platonova tela oko nas

Kako se pravilni poliedri smatraju savrxenim telima priroda je ure-dila da se mogu na�i u �ivotiǌskom svetu i ǉudskom telu, da se mnoga hemi-jska jediǌeǌa i minerali mogu na�i u obliku pravilnih poliedara, a da lizbog svoje simetrije ili zbog neke druge osobine koja ih qini ugodnim ǉud-skom oku Platonova tela oduvek su bila interesantna umetnicima i arhitek-tama.

4.1 Platonova tela u �ivim organizmima

Slika 4.1.

Pravilni tetraedri mogu se na�i svuda oko nas. Tako su s poqetka vekaopisane su protozoe1 Radiolarie2 u qijim se skeletima prepoznaju neki odpravilnih poliedara.

Pa tako:1Protozoe su jedno�elijski organizmi, rasprostraǌeni u morima, kopne-

nim vodama i vla�noj zemǉi a mnoge �ive na ili u telima drugih organizama.2Radiolarie (Radiolaria) su brojna grupa morskih jedno�elijskih protista

sa mineralnom ǉuxturom.

53

54 4. Platonova tela oko nas

Circoporus octahedrus - oktaedarCircigonia icosahedra - ikosaedar

Lithocumbus geometricus - heksaedarCircorrhegma dodechaedra - dodekaedarProtozoa Callimitra agnesae - tetraedar

Skelet Radiolaria iz proteklih geoloxkih perioda je dosta dobro saquvani zato se i ǌihove ǉuxture upotrebǉavaju za odre�ivaǌe starosti pojedinihslojeva.

Mnogi poznati virusi svojom strukturom podse�aju na pravilne poliedre.Na primer virus HIV-a inkapsuliran je u pravilni ikosaedar, dok je virusPariacoto V irus(PaV ) sa dodekaedarskim kaveznim obosmernim RNA.

Ikosaedar koji je i sam Platon povezao sa vodom najzastupǉeniji je oblikstrukturnog uve�aǌa vode sa niskim sadr�ajem qestica. U neprekidnom nizuikosaedarskih strukturnih uve�aǌa nalaze se dodekaedri.

Slika 4.2.

Voda ima tendenciju da se grupixe u dodekaedre a zatim u ikosaedarskeklastere. Grupisaǌe molekula mo�e da bude razliqito, xto izaziva osobenekarakteristike. Kada molekuli vode formiraju dodekaedar, to znaqi da vodamo�e da uskladixti do sto puta vixe energije, u ǌoj mogu da se stvarajuproteinske forme, i da funkcionixu organele. Kako voda u svom moleku-lskom obliku ne mo�e da prolazi kroz akvaporinske kanale3, struktuiraǌe udodekaedre i ikosaedre omogu�ava ǌen prolazak kroz ranije pomenute kanale,qime se omogu�ava normalno funkcionisaǌe �elija.

4.2 Platonova tela u hemiji

Ugǉovodonici koji predstavǉaju molekularne prezentacije pravilnih poliedaranazivaju se Platonovi ugǉovodonici. Kod ǌih su temena zameǌena atomima

3Akvaporinski kanali predstavǉaju pore na �elijskoj membrani kroz kojeje specijalnim mehanizmima omogu�en protok vode.

4.2. Platonova tela u hemiji 55

ugǉenika, a ivice hemijskim vezama. Me�utim, nemaju svi pravilni poliedrisvoje molekulske parove:

(1) Qetvorovalentnost ugǉenika4 iskǉuquje ikosaedar ( pet pǉosni kojese seku u svakom temenu) kao izvodǉivu formu.

(2) Ugaoni napon onemogu�ava oktaedarsku strukturu. Poxto se qetiristrane seku u svakom uglu , tamo ne bi moglo da bude vodonikovih atomai ovaj hipotetiqki oktaedar bio bi alotrop5 C6 elementa ugǉenika, a neugǉovodonika. Uzimaju�i u obzir navedene izuzetke sintetisani su slede�iPlatonovi ugǉovodonici:

• Tetraedran (C4H4) ali samo sa odgovaraju�im supstituentima• Kuban (C8H8)• Dodekaedran (C20H20)

Tetraedran je Platonov ugǉovodonik, hemijske formule (C4H4) i tetraedarskestrukture. Preveliki ugaoni napon (uglovi izme�u ugǉenika mnogo odstupajuod ugla u tetraedru koji je pribli�no 109.5◦) spreqava ovaj molekul da nas-taje prirodno.

Slika 4.3. Tetraedran

Kuban (C8H8) je sintetiqki ugǉovodoniqni molekul koji se sastoji odosam ugǉenikovih atoma raspore�enih u uglovima kocke sa po jednim atomomvodonika vezanim za svaki atom ugǉenika.

Kuban je kristalna supstanca i predstavǉa ugǉovodonik sa najve�om gusti-nom, xto dodatno doprinosi ǌegovoj sposobnosti da sadr�i velike koliqineenergije. Iz tog razloga tra�i se naqin ǌegove upotrebe u medicini inanotehnologiji. Pre ǌegove sinteze , istra�ivaqi su verovali da ga jenemogu�e sintetisati zbog ugla od 90◦, jer bi pritome ugǉenikovi atomi

4Ugǉenik ima qetiri elektrona u posledǌem energetskom nivou omotaqakoji slu�e za gra�eǌe jediǌeǌa.

5Alotropska modifikacija nekog elementa je pojava koja se dexava kada seneki element javǉa u vixe oblika koji se razlikuju po broju atoma u molekuluili strukturnoj formuli molekula.


bili pod prevelikim pritiskom i samim tim bi jediǌeǌe bilo nestabilno.Iznena�uju�e, nasuprot tome, kuban je kinetiqki vrlo stabilan zbog ne-dostatka naqina da se raspadne. Kuban i ǌegovi derivati imaju va�ne oso-bine. Zbog napetih veza, derivati kubana poseduju veliku reaktivnost xtoih qini veoma korisnim gorivima velike gustine i eksplozivima velikogenergetskog sadr�aja kao kod oktanitrokubana i heptanitrokubana.

Slika 4.4. Kuban

Dodekaedran je hemijsko jediǌeǌe (C20H20) koje je sintetisano da bi sedokazalo daje sinteza ovakvog molekula mogu�a. U ovom molekulu svako temeje atom ugǉenika koji vezuje tri susedna atoma ugǉenika. Primetno je da jeugao od 108◦ svakog pravilnog pentagona blizak idealnom uglu veze od 109.5◦

koji postoji izme�u sp3 hibridizovanih ugǉenikovih atoma. Svaki ugǉenikovatom je tako�e i vezan i za po jedan vodonikov atom.

Slika 4.5. Dodekaedran

Sa porastom broja ugǉenikovih atoma u mre�i, geometrija se konaqno

4.2. Platonova tela u hemiji 57

pribli�ava sferi. Ovo je najzad postignuto kod fularena6, iako on sam nijepravilan poliedar. Bakminster fularen C60 ima oblik zaseqenog ikosaedra,Arhimedovog tela.7

Elementarni bor ima vixe alotropa i jedan od ǌih je α − bor, B12. Iko-saedarska struktura je prona�ena kod borovog jediǌeǌa B12H

2−12 . Za ovo se

znalo mnogo godina pre pronalaska molekula C60.

Slika 4.6. Alotropska modifikacija bora

Alotropske modifikacije ugǉenika su grafit, fulareni i dijamant. Ugǉe-nikovi atomi u dijamantu zauzimaju tetraedarsku strukturu, a svaki atomugǉenika ima qetiri σ veze. Dijamant je bezbojna, kristalna supstanca savelikim indeksom prelamaǌa svetlosti i on je najtvr�i mineral u prirodi.

Tri od pet pravilnih poliedara se mogu na�i u prirodi kao kristali:

tetraedar kao kristal natrijum antimonsulfida (Na3SbS4 · 9H2O),

heksaedar kao kristal natrijum hlorida (NaCl)

oktaedar kao kristal kalijumhrom sulfata (K2Cr(SO4)4 · 24H2O)

6Fulareni su klasa alotropa ugǉenika koji se sastoje od grafenskih slo-jeva smotanih u tube ili sfere. U ove strukture spadaju nanotube koje suinteresantne zbog svoje mehaniqke qvrsto�e kao i zbog svojih elektriqnihosobina

7Arhimedova tela se mogu posmatrati kao tela nastala zasecaǌemPlatonovih tela ili daǉim zasecaǌem tako dobijenih tela. Zaseqeniikosaedar ima 32 pǉosni (12 petouglova, 20 xestouglova), 90 ivica i 60temena.


4.3 Platonova tela u umetnosti i arhitekturi

Pet Platonovih tela su kroz gotovo qitavu istororiju prikazivana kao ume-tniqki motivi. ǈudi su uvek imali interesovaǌa za ǌih, tako da ǌihveoblike prepoznajemo na mnogim slikama, korix�eni su kao igraqke ili kaodelovi upotrebnih predmeta i samog dizajna u xirem smislu.

Gotovo nijedna druxtvena igra ne mo�e se zamisliti bez kockica, koje sunajqex�e oblika pravilnog heksaedra, mada mogu biti oblika bilo kog odPlatonovih tela.

Tako�e je jedna od IQ puzli Rubikova kocka, mo�e se sem u obliku kockena�i i u vidu svih ostalih Platonovih tela.

Slika 4.7. Varijante Rubikove kocke

U mnogim muzejima prikazivane su kocke perioda raznih dinastija. Mnogisu bili opsednuti ǌima da li zbog ǌihovih matematiqkih osobina kao susimetrija i zlatni presek ili zato xto su im jednostavno privlaqile pa�ǌu.Jedan primer ovakve opsednutosti jeste umetnik i matematiqar veka Exer,koji je bio obuzet geometrijom, pa je pravio modele Platonovih tela i nijese odvajao od ǌih.

4.3. Platonova tela u umetnosti i arhitekturi 59

U Xkotskoj i Irskoj prona�ena je grupa kameǌa koja podse�a na Platonovatela i potiqu iz perioda kasnog neolita i ranog bronzanog doba.

Slika 4.8.

U Francuskoj je oblik dodekaedra iskorix�en kao kontejner za odlagaǌekomunalnog otpada i recikla�e.

Forme inspirisane pravilnim poliedrima se nalaze u arhitekturi i mo-dernom dizajnu. U arhitekturi 70-tih i 80-tih godina razvio se novi principgradǌe. Pokuxalo se sa primenama kocki i dodekaedara kao stambenih je-dinica. U Holandiji se ovaj dizajn pokazao kao uspexan te se ovakvi stanovivode kao luksuzni i izuzetno je prijatno boraviti u ǌima. U Izraelu neuo-biqajeni projekti izgradǌe stambenog prostora u vidu dodekaedra pokazalisu se kako potpuno nefunkcionalni za �ivot.

Mnoge moderne gra�evine danas kao osnovu imaju kocku.

Slika 4.9.


Slika 4.10. Roterdam

Deo 5

Zakǉuqak

Platonova tela su jedinstveni oblici i bax zbog toga predstavǉali supredmet interesovaǌa kroz istoriju kao i danas. ǋihove specifiqne mate-matiqke osobine odvajaju ih od svih ostalih poliedara te ih zato iznovai iznova qine interesantnim za razmatraǌe. Simetriqnost koju ova telaposeduju qini ih ugodnim ǉudskom oku te se zato kroz istoriju koriste uumetnosti i arhitekturi. Neretko se mogu na�i i u prirodi, mada ovo poǉeqini se jox uvek nije dovoǉno istra�eno. Te �e se sigurno sa razvojemnauke, tehnike i tehnologije otkriti i nove mogu�nosti primene pravilnihpoliedara, i ǌihove rasprostraǌenosti u prirodi.

Ipak na osnovu svega xto smo do sada saznali o Platonovim telima, qinise da oni predstavǉaju najsavrxenije oblike kojima nas je priroda nagradila.

61

62 5. Zakǉuqak

Literatura

[1] T.L. Heath, History of Greek Mathematics vol I-II, Dover, New York, 1981

[2] A. Belimovi�, Euklidovi elementi , X kǌiga, Srpska Akademija Nauka,Matematiqki institut, Beograd, 1956

[3] M. Brajkovi�, Zoologija invertebata I, ZUNS, Beograd, 2001.

[4] D. Lopandi�, Geometrija, Nauqna kǌiga, Beograd, 1970.

[5] N. V. Jefimov, Vixa geometrija, Nauqna kǌiga, Beograd, 1948.

[6] M. Prvanovi�, Osnovi geometrije, Gra�evinska kǌiga, Beograd, 1987.

[7] M. Stankovi�, Osnovi geometrije, Prirodno matematiqki fakultet,Nix, 2006.

[8] Z. Luqi�, Geometrija, Nauqna Kǌiga, Beograd, 1979

[9] L. Tang, K.N.Johnson, L.A.Ball, T.Lin, M.Jeager, The structure of Pariacotovirus, Nature Structural Biology, 2001

[10] N. Trinajsti�sa saradnicima, Ru�er Boxkovi�Institut, Zagreb Kom-pleksnost Platonovih tela, Bilten o Hemiji i Tehnologijama , Make-donija, vol.13, no.2, 1994

[11] Z. Luqi�Ogledi iz istorije antiqke geometrije, preliminarna verzija

[12] S.B. Nedovi�, Matematiqko-istorijski mozaik pogled u matematiku an-tike (sa zbirkom zadataka), Arhimedes, Beograd, 2004

[13] M. Petrovi�, ǈ. Petrovi�, Matematiqki vremeplov prilozi za istorijumatematike, Zmaj, Novi Sad, 2006

[14] Platon Timaj, Eidos, Vrǌaqka Baǌa, 1995

[15] A.V.Shubnikov, Symmetry in science art, plenum press, New York London,1974

[16] E. Heackel, Art forms in nature, Prestel USA, 1998

63

Documents

Platonova tela - pmf.ni.ac.rs · PDF filePlaton je bio neposredni Sokratov uqenik, ... Zakoni), a vrlo retko prema nekom dogaaju, pa i tada se imao u vidu dogaaj koji se moe neograniqeni