Platonova Tela

  • Upload
    oldzi

  • View
    417

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

Matematiki fakultet u Beogradu Metodika nastave matematike II

Kepler- Poisont-ova tela

Ime studenta:

profesor:

Isidora Bogdanovi 33/04septembar 2008. godine

Zoran Lui

Sadraj:

Platonova tela ...................................................................................................................... 1 Kepler-Poinsotova tela ........................................................................................................ 3 Formula za poliedarske povri ............................................................................................ 9 Veliki dodekaedar............................................................................................................... 11 Veliki ikosaedar.................................................................................................................. 12 Veliki zvezdasti dodekaedar............................................................................................... 14 Mali zvezdasti dodekaedar.................................................................................................. 15 Stelacija .............................................................................................................................. 16 Literatura ........................................................................................................................... 21

2

Platonova telaTakozvana Platonova tela naravno da nisu Platonovo otkrie, ali su oigledno nazvana Platonovim zbog njihove upotrebe koja je prikazana u "Timeju" gde su pojedinanim pojavama etiri elementa dodeljeni oblici prva etiri geometrijska tela. Tetraedar je bio dodeljen vatri, oktaedar vazduhu, ikosaedar vodi, a heksaedar zemlji, dok je sam Tvorac koristio dodekaedar za vasionu. Svako od pet Platonovih tela zadovoljava uslove: 1. sve pljosni su pravilne medjusobno podudarne poligonske povri (svaka pljosan ima isti broj ivica), 2. sve rogljaste povri su pravilne i medjusobno podudarne (svaki rogalj ima isti broj ivica) i konveksni su. Dobro je poznato da ovu klasu pravilnih poliedara ini sledeih pet poliedara : 1. {3,3} tetraedar 2. {3,4} oktaedar 3. {4,3} heksaedar 4. {3,5} ikosaedar 5. {5,3} dodekaedar Ova klasa pravilnih poliedara predstavljena je na sledeoj slici:

tetraedar

oktaedar

heksaedar

ikosaedar

dodekaedar

Platon konstruie pravilna geometrijska tela prosto tako to spaja ravne strane. Ove strane, primeuje on, su napravljene od trouglova, i svi trouglovi su sastavljeni iz dva pravougla

3

trougla. Pravougli trouglovi su ili (1) jednakokraki ili (2) nejednakostranini. Od trouglova druge vrste, kojima je broj neogranien, "najlepi" je onaj koji je dobijen podelom jednakostraninog trougla visinom. Heksaedar (kocka) ima strane (kvadrate) koje su napravljene od pravouglih trouglova prve vrste, tj. jednakokrakih, tako to su 4 takva spojena da bi formirala kvadrat. Ostala tri tela koja imaju za strane jednakostranine trouglove, tetraedar, oktaedar i ikosaedar zavise samo od ostalih vrsta pravouglih trouglova. Kod njih je svaka strana napravljena od 6 (a ne od 2) ovakva pravougla trougla. Peto telo, dodekaedar koji ima 12 pravilnih petouglova za strane nije opisan, ve je samo nagoveten. Platon je svestan da se strane dodekaedra ne mogu konstruisati uz pomo dva pravougla trougla od kojih zavise ostala geometrijska tela. To da je uinjen pokuaj da se petougao podeli na izvestan broj pravouglih trouglova jasan je iz tri odlomka, dva iz Plutarha i jedan iz Alcinousa. Plutarh kae da je svaka od 12 strana dodekaedra napravljena od 30 elementarnih nejednakostraninih trouglova koji se razlikuju od elementarnog trougla geometrijskih tela sa trouglastim stranama. Alcinous govori o 360 elemenata koji nastaju kada se svaki petougao podeli na 5 jednakokrakih trouglova i kad se svaki od ovih dalje podeli na 6 nejednakostraninih. Ako povuemo linije u petouglu dobijamo takav splet trouglova koji takoe pokazuje pitagorijski pentagram (tj. petokraku, koju su Pitagorejci koristili kao simbol za lanove svoje kole).

Koliko je konstrukcija bila elementarna u Platonovim rukama moe se dokazati iz injenice da on tvrdi da se samo tri elementa mogu transformisati jedni u druge; jer su samo tri geometrijska tela sastavljena od jednakostraninih trouglova. Ovi trouglovi, kad se u dovoljnom broju nalaze u datom pravilnom geometrijskom telu mogu se rastaviti i ponovo sastaviti tako da formiraju pravilno geometrijsko telo sa razliitim brojem pljosni, kao da su geometrijska tela u stvari uplje koljke ograniene povrinama trouglova (Aristotel ovo kritikuje u njegovom delu "De caelo"). Ako izuzmemo uslov konveksnosti pravilnih poliedara, dobijamo jo etiri poliedra koje nazivamo Kepler-Poinsotovim poliedrima. Ovih devet tela ine skup pravilnih poliedara.

4

Kepler-Poisontova tela

Kepler-Poinsotova tela su etiri pravilna poliedra, se osobinom da ravni kojima pripadaju njihove strane prodiru jedne kroz druge. Ova tela su bila nepoznata u antiko vreme. Johan Kepler je dva ova tela otkrio i opisao, 1619. godine, u svom delu Harmonice Mundi. On je uvideo da 12 pentagrama mogu biti spojeni u parovima po njihovim ivicama na dva razliita naina tako da se dobiju pravilna tela. Ako 5 pentagrama se nalaze oko svakog temena, takvo telo se naziva mali zvezdasti dodekaedar.

mali zvezdasti dodekaedar

Ako se oko svakog temena nalaze 3 pentagrama, dobijeno telo zovemo veliki zvezdasti dodekaedar.

veliki zvezdasti dodekaedar

Dva veka kasnije, 1809. godine Louis Poinsot je otkrio jo dva nekonveksna pravilna tela: veliki dodekaedar i veliki ikosaedar.

5

Dvanaest strana velikog dodekaedra su pravilni petougli ( kao kod obinog pravilnog dodekaedra), ali koji se seku.

veliki dodekaedar

Analogno, strane velikog ikosaedra su 20 pravilnih trouglova, kao kod obinog pravilnog ikosaedra, ali koje se seku.

veliki ikosaedar

Veliki dodekaedar je, po nekim autorima, najinteresantnije Kepler-Poisont-ovo telo, koje daje privid pentougaone zvezde irafiranoj na svakom petouglu; svaka zvezda deli svaki svoj krak sa drugom, tako da jedna zvezda nestaje onog trenutka kada obratimo panju na drugu zvezdu. Dokazano je da su ova etiri tela, zajedno sa 5 Platonovih tela, jedini mogui pravilni poliedri. Moe se dokazati da samo pravilni poliedri zadovoljavaju jednakost: cos + cos + cos = 1 p q r 2 2 2

Gordon je pokazao da su jedina reenja jednaine:cos( 1 ) + cos( 2 ) + cos( 3 ) + 1 = 0

koja su data u obliku:

6

i =

mi ni

permutacije

2 2 , , , i 3 3 3

2 2 4 , , , . Ovo daje tri permutacije ( 3,3,4 ) i est 3 5 5

(3,5,5/3) kao moguih reenja prve jednaine. Zamenjujui, dobijamo Schlfli simbole moguih pravilnih poliedara: {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, {5,3} - Platonova tela, {3, 5/2}, {5/2,3}, {5,5/2} i {5/2,5 - Kepler-Poinsotova tela. Slino Platonovim telima, duali Kepler-Poinsotovih tela su ona sama, i to Keplerova tela su duali Poinsotovim telima.Ojlerova Schlfli pljosni ivice temena grupa karakteristika {p,q} i P I T simetrije Coxeter'Dynkin

ime

slika

stelacioni diagram

dual

mali zvezdasti dodekaedar

{5/2,5}

12 {5/2}

30

12 {5}

Ih

-6

veliki dodekaedar

veliki dodekaedar

{5,5/2}

12 {5}

30

12 {5/2}

Ih

-6

mali zvezdasti dodekaedar

veliki zvezdasti dodekaedar

{5/2,3}

12 {5/2}

30

20 {3}

Ih

2

veliki ikosaedar

veliki ikosaedar

{3,5/2}

20 {3}

30

12 {5/2}

Ih

2

veliki zvezdasti dodekaedar

7

Poliedri {5/2,5} i {5,5/2} ne zadovoljavaju Ojlerovu formulu za poliedarske povri nultog roda:

T - I + P = 2,gde je T broj temena, I broj ivica (stranica) i P broj pljosni (strana) poliedra. Ovaj neoekivani rezultat nije nikog vie do Sclafli-ja doveo do pogrenog zakljuka da ova dva poliedra ne postoje. Grupa ikosaedra Ih je poliedarska grupa reda 60 koju ine grupe E , 12C 5 , 12C 5 C 5 , 20C3 , 15C 2 i 12 S10 , 12S10 S10 S10 , 20S 6 , 15 . Svaki pravilni poliedar ima I+1 osa simetrije, gde je I broj ivica, i 3H/2 ravni simetrije, gde je H broj strana koje odgovaraju Petrijevom poligonu. U etvorodimenzionom prostoru, imamo 10 Kepler-Poinsotovih tela, a u ndimenzionalnom ne postoji nijedno. U etvorodimenzionom prostoru devet ima temena jednaka {3,3,5}, a temena desetog su jednaka {5,3,3}. Njhovi Schlafli simboli su {5/2,5/3}, {3,5,5/2}, {5,5/2,5}, {5/2,3,5}, {5,3,5/2}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, {3,5/2,5}, {5/2,3,3} i {3,3,5/2}. Tek 1811. godine Francuski matematiar Augustin Cauchy je pokazao da su KeplerPoinsot-ova tela zvezdaste forme dodekaedra i ikosaedra. Imena su im verovatno potekla od Arthura Cayley-ja, koji ih je prvi put upotrebio 1859. godine. Coxeter et al. (1954. godine) su izuavali zvezdu Arhimedov poliedar.

Veza izmeu pravilnih poliedara

8

Formula za poliedarske povriOvo je formula koja uvodi vezu izmeu broja temena T, pljosni P i ivica I prosto povezanog poliedra (nultog roda). Pronali su je nezavisno jedan od drugog Ojler (1752. godine) i Dekart, pa se jo naziva i Dekart-Ojlerova formula za poliedre. Mada ova formula vai za neke nekonveksne poliedre, ona ne vai za zvezdaste poliedre. Formula za poliedre glasi:

T + P I = 2,gde je T broj temena, P broj poljosni, I broj ivica poliedra. Dokaz: Skup svih simetrija pravilnog poligona {p,q} ima algebarsku strukturu grupe G{ p ,q } i njen red jednak je etvorostrukom broju njegovih ivica.G{ p ,q } = 4 I

Kako direktne izometrije koje {p,q} ostavljaju invarijantnim ima upola manje, red grupe rotacija pravilnog poligona je jednak dvostrukom broju njegovih ivica:G{+p ,q } = 2 I.

Svaku pljosan, pored identinosti, ostavljae invarijantnom i p-1 osnih rotacija prostora. Svaki rogalj e ostavljati invarijantnim q-1 rotacija, a svaku ivicu, pored identitete, joss jedna rotacija. Svaka rotacija pljosni je istovremeno i rotacija njoj naspramne pljosni, tj. roglja, i osa rotacije ivice je istovremeno i osa rotacije njoj naspramne ivice. Uz gore utvrdjenu notaciju, ukupan broj rotacija poliedra je:1 1 1 ( p 1 )P + ( q 1 )T + I 2 2 2

Kako, svake dve pljosni imaju po jednu zajedniku ivicu koja povezuje po dva temena:pP = 2 I = qT

Kako smo ve ustanovili da je red grupe rotacija pravilnog poliedra jednaka 2I, dobijamo:( p 1) q 1 1 I+ I + I + 1 = 2I p q 2

Odavde sledi da je:1 1 1 1 = + I p q 2

9

Ovo tvrdjenje je ekvivalent Ojlerovoj teoremi za pravilne poliedre:

P-T+I=2 Ovu formula je generalizovao na n-dimenzionalne politope Schlfli, 1: 2: 3: 4: ...n

N0 = 2 N 0 N1 = 0 N 0 N1 + N 2 = 2 N 0 N1 + N 2 N 3 = 0

n:

( 1 )i =1

( i 1 )

N i 1 = 1 ( 1 ) n

to je dokazao Poankare, a dokaz se moe videti u [8], str. 166-167. Za povri nultog roda, ova formula moe biti generalizovana do Poankareove formule:

T I + P = (g),gde je (g) = 2 - 2g Ojlerova karakteristika, za koju se ponekad korisiti i naziv OjlerPoankareova karakteristika. Formula za poliedre nultog roda odgovara specijalnom sluaju g = 0. Postojei politopi koji ne zadovoljavaju formulu za poliedre, najistaknutiji su veliki dodekaedar {5,5/2} i mali zvezdasti dodekaedar {5/2, 5}, za koje vai:

T I + P= - 6 .

10

Veliki dodekaedar

mrea velikog dodekaedra

Za jedininu ivicu poluprenik opisane sfere je dat sa:1 r = 5 4 a 21

gde je zlatni presek, pa je:r= 1 4 5 2+2 5 41

Moe se konstruisati spajanjem ikosaedra ivice jedinine duine sa piramidom , (sl.1) ija je visina:h= 1 1 3 15 2 61 1 5 2 2 s2 = 1 V = 5 5 5 4 4

Ovo nam daje duine bonih ivica tela:s1 =

Dobijeni veliki dodekaedar ima sledeu povrinu S i zapreminu V :P = 15 5 2 5

Schlfi nije prepoznao veliki dodekaedar, jer on, kao i mali zvezdasti dodekaedar zadovoljava jenakost N0 - N1 N2 = 12 30 +12 = -6 gde je N0 broj temena, N1 broj ivica i N2 broj pljosni, pa je naruena jednakost u Ojlerovoj formuli za poliedarske povri nultog reda. Konveksni omota velikog dodekaedra je pravilni ikosaedar, pa s obzirom da je dual ikosaedra dodekaedar, dual velikog dodekaedra (mali zvezdasti dodekaedar) je jedna od stelacija ikosaedra.

11

Veliki ikosaedarVeliki ikosaedar se moe konstruisati iz ikosaedra, sa jedininom stranicom uz odreivanje 20 temena meusobno udaljenih za , odnosno zlatan odnos. Telo se sastoji od 20 jednakostraninih trouglova i njihov simetrini raspored rezultira da telo sadri 12 petouglova.

mrea velikog ikosaedra

Meutim, veliki ikosaedar se moe najlake konstruisati pomou spljotenog dodekaedra iz odgovarajue mree (slika, levo). Tada, koristei ovu mreu, konstruiu se 12 petougaonih piramida, kao na slici i privrste se u konkavne delove figure (slika desno). Ovaj postupak konstrukcije su dali Cundy i Rollet. Ako je duina ivice dodekaedra jedinina, onda je visina petostrane piramide (iznad strana dodekaedra) data reavanjem jednaine za kosu visinu petostrane piramide:s= 1 100h 2 + 10( 5 + 5 )a 2 10

za a=1, dobijamo Udaljenst od centra dodekaedra do vrha piramide je data sa:H = h+r =

1 1 ( 25 + 11 5 ) 2 2

gde je r poluprenik upisane sfere u dodekaedar . Dimenzije petostrane piramide mogu biti ispitane pomou podele velikog ikosaedra na trouglove. Na sledeoj slici, u ovom trouglu, svaka strana je podeljena u odnosu :1: , i iz te take su spojene duima, gde je kolinik zlatnog preseka za jedininu du. Svetlo oseneni delovi, krajnje levi i desni, odgovaraju stranama dveju piramida. Oseneni deo u sredini je deo piramide koja se nalazi izmedju prve dve. Zatamnjeni deo dijagrama

12

odgovara jednoj strani ikosaedra upisanog u veliki ikosaedar. U notaciji koja je koritena na slici sledee duine su jednake:

1 3 2 3 1 CP2 = 10 + 2 10 2 1 MP = 15 10 1 1 5 T1T3 = 2 2 1 PA2 = 10 5 MT2 =

Veliki ikosaedar konstruisan pomou dodekaedra koji ima jedininu duinu ivice ( gde su ivice interpretirane tako da budu izlomljene na mestima gde se strane presecaju) je dat sa:1 10 5 s2 = 1 1 1 s3 = + 5 2 2 3 1 s4 = 10 + 2 10 2 s1 =

Polurenik opisane sfere je:R= 1 50 + 22 5 4

a povrina i zapremina su mu:P = 3 3( 5 + 4 5 ) V = 25 9 + 5 4 4

Konveksni omota velikog ikosaedra je pravilan ikosaedar, a dual ikosaedra je dodekaedar, pa je dual velikog ikosaedra jedna stelacija dodekaedra.

13

Veliki zvezdasti dodekaedar

Ovo je Kepler-Poinsot-ovo telo iji je dual veliki ikosaedar. Ono je takodje trea stelacija dodekaedra. Njegove strane su 12{5/2}. Njegov poluprenik opisane sfere, kada se uzme jedinina duina ivice je :R= 1 3( 5 1 ) 4

Najlaki nain za konstrukciju velikog zvezdastog dodekaedra je spajanjem, npr. pomou 12 trougaonih piramidi ija je duina bone strane jednaka zlatnom preseku jedinine dui preko osnovica se spoje na strane ikosaedra. Visina ovih piramidi je onda:h= 1 (7 +3 5 ) 6

Proirujui dodekaedar da bi dobili veliki zvezdasti dodekaedar proizvodi telo ije su duine ivica:s1 = 1 1 1 s2 = + 5 2 2

Povrina i zapremina ovako dobijenog velikog zvezdastog dodekaedra je:P = 15 5 + 2 5 V = 15 5 + 5 4 4

14

Mali zvezdasti dodekaedar

Ovo je jedno od Kepler-Poinsot-ovih tela iji je dualni poliedar veliki dodekaedar. Prvobitno ga je Kepler nazvao nestako u svom delu Harmonice Mundi iz 1619. godine. Ima 12 petougaonih pljosni (strana). Strane su mu 12{5/2}. Najlaki nain da se konstruie mali zvezdasti dodekaedar je spajanjem, npr.dvanaest petougaonih piramida i prispajanjem njih na strane dodekaedra. Visina piramida za mali zvezdasti dodekaedar napravljen na dodekaedru ivice jedinine duine je:h = 5+ 2 5 )

Poluprenik upisane sfere za petougaonu ivicu jedinine duine je:1 R = 54 2 5 2 41

Povrina i zapremina ovako dobijenog malog zvezdastog dodekaedra je:P = 15 85 38 5 5 V = ( 5 5 11 ) 4

Schlafli nije prepoznao mali zvezdasti dodekaedar, zato to on, kao i veliki dodekaedar, zadovoljava jednakost N0 - N1 N2 = 12 30 +12 = -6 gde je N0 broj temena, N1 broj ivica i N2 broj pljosni, pa je naruena jednakost u Ojlerovoj formuli za poliedarske povri nultog reda.

15

StelacijaZamislimo da se nalazimo u unutranjosti nekog poliedra. Uoavamo u njemu upisane manje objekte ije su ravni strana delovi spoljnjeg poliedra. Stelacija poliedara je proces generisanja novog poliedra koji se sastoji u produavanju njegovih elemenata (strana i ivica) do preseka svakog elementa sa ostalim, odnosno do formiranja novog poliedra, potujui pri tome odreene tipove simetrije. Stelacijom pravilnih poligona moemo dobiti pravile zvezdaste poligone i preklapanje ve postojeih poligona. Pravilan poligon ima jednake stranice i jednake uglove kod svakog temena. Oigledno, zvezda je pravilan poligon ako dozvolimo da joj stranice prodiru jedne kroz druge. Pravilan zvezdasti poligon je predstavljen preko svog Schlfli simbola (n/m), gde je n broj temena, a m je korak korien u sekvencioniranju ivica oko temena. Upravo ova notacija se koristi za opis zvezda poligona. Ako konstruiemo zvezdu, koristei temena ntostranog poligona i povezujui svako m-to teme, dobijena zvezda je pravilni n/m-tagon. Da bi dobili petostranu zvezdu, konstruiemo temena pravilnog petougla na krugu i konstruiemo dui koje povezuju naspramna temena. Uglovi izmedju temena su 360(2/5), tj. 144. Dakle, petostranu zvezdu smatramo 5/2-touglom. Takoe, temeni uglovi pravilnog n-tougla su 180(n-2)/n. Pravilna petostrana zvezda (petokraka) ima temene uglove 180(5/2 2)/(5/2) = 36. Ako n i m imaju zajedniki delilac, kao npr. 6/2, zvezda rezultira (u ovom sluaju to je Davidova zvezda), ali joj ivice ne formiraju kontinuirani skup. Davidova zvezda se zapravo sastoji od dva trougla koji se preklapaju. Takve zvezde se ee posmatraju kao delovi poligona, nego kao sami poligoni. Sluajevi kao 6/3, 8/4 i analogni su degenerisane zvezde i sastoje se od radijalnih pravih linija.

16

U zavisnosti od toga kako ravni kome pripadaju strane datog poliedra dele prostor, postoji vie naina da se produe i odaberu delovi koji e biti spojeni. Dobijeni poliedar zavisi od diagrama stelacije, odnosno od principa koji proizvodi izbor dobijenih preseka. Dijagram stelacije prikazuje nain produavanja ivica jedne strane poliedra i izbor presenih taaka sa ivicama preostalih strana. Primetimo da dve ravni koje se sreu u jednoj ivici u stelaciji nee deliti ivicu u svom unutranjem poliedru. Odale moemo zakljuiti da ne postoji stelacija za kocku- nesusedne strane su joj paralelne,. Ne postoje stelacije kocke jer su joj nesusedne strane paralelne pa se nikada ravni u kojima se nalaze ne mogu sei, kada uzimamo u obzir konana tela. Takodje je nemogua stelacija tetraedra jer su mu svake dve stane susedne.

Jedina stelacija oktaedra je: stella octangula sastavljena od dva pravilna tetraedra. Ovaj model pokazuje konture dva pravilna tetraedra; ravni kojima pripadaju njihove strane su generisane produenim stranama unutanjeg oktaedra.

Mogue su tri stelacije dodekaedra: mali zvezdasti dodekaedar, veliki dodekaedar i veliki zvezdasti dodekaedar. Ovim rasporedom, svaka je produenje strane prethodne. U unutranjosti svakog od njih nalazi se dodekaedar.

Mali zvezdasti dodekaedar ima dvanaest petostranih piramida koje se nalaze na stranama dedekaedra. Svi elementarni trouglovi su jednakokraki, sa uglovima od 36,72 i 72 stepena. Svaka strana zvezde se sastoji od strana piramide koja viri iz centra.

17

Veliki dodekaedar ima dvanaest petougaonih poljosni koje se presecaju, svaka se sastoji od upisane petougaone zvezde. Ovo telo se sastoji od ivica i temena ikosaedra, ali umesto trougaonih pljosni ima trougaona udubljenja. Strane tih udubljenja ine jednakokraki trouglovi sa uglovima od po 36, 108 i 36 stepeni.

Veliki zvezdasti dodekaedar takodje sadri dvanaest pljosni oblika zvezda koje se presecaju. Moe se posmatrati i kao ikoaedar sa trostranom piramidom na svakoj strani. Elementarni trouglovi su jednakostranini sa uglovima 36, 72 i 72 stepena. Zvezdane povrine je tee videti, jer je svaka zvezda podeljena sa pet piramida u svom centru.

Postoji ak 59 stelacija ikosaedra, ukljiujui i veliki ikosaedar, koji zajedno sa stelacijama dodekaedra ini klasu Kepler-Poinsotovih tela.

18

Veliki ikosaedar ima dvadeset strana koje se sastoje od jednakostraninih trouglova, koje je teko videti, zbog sloenosti naina na koji su ispresecani. Globalni oblik mu je slian malom zvezdastom dodekaedru sa piramidama u obliku zvezda.

Prva stelacija konveksnog kvazi-pravilnog tela je spoj dva dualna pravilna tela. Na primer, prva stelacija kuboktaedrona koji je poznat i kao heptoparalelodron, je spoj kocke i pravilnog oktaedra.

kuboktaedrona

Romboidni dodekaedar je konveksan poliedar sa 12 strana rombova. Primada klasi Archimedeovih dualnih tela. Kuboktaedron je dualno telo romboidnom dodekaedru. Postoje tri stelacije romboidnog dodekaedra: Prva stelacija se moe konstruisati preko dijagonala kuboktaendrona i povezivanjem centara tri dijagonale sa susednim temenom. Primetimo da lii na sastavljena tri pravilna oktaedra; dovoljno je da samo promenimo oblik svakog trougla u sastavu da bi dobili stelaciju. Oba prikazuju rad M. C. Escher-a.

19

Druga stelacija romboidnog dodekaedra moe se videti kao spoj etiri ravna romboidna paralelopipeda.

Trea stelacija moe se videti kao spoj est etvorougaonih disfennoida, veoma slinih spoju est pravilnih tetraedara; ponovo samo mala promena u obliku trouglova do jednakokrakog je potrebna da bi se dobio zvezdasti romboidni dodekaedar. Interesantno je, da prvobitni romboidni dodekaedar i ove tri stelacije mogu biti sklopljene iz kopija jedne jedine romboidne piramide- a to je jedna dvanaesti deo prvobitnog romboidnog dodekaedra- kako navode Cundy i Rollett u referenci [14].

20

Literatura:[1] Aigner, M. and Ziegler, G. M. ``Three Applications of Euler's Formula.'' Ch. 10 in Proofs from the Book. Berlin: Springer-Verlag, 1998. [2] Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover,1987. [3] Beyer, W. H. (Ed.) CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1987. [4] Cauchy, A. L. Recherches sur les polydres.'' J. de l'cole Polytechnique 9, 1813. [5] Cayley, A. On Poinsot's Four New Regular Solids.'' Philos. Mag. 17, 1859. [6] Courant, R. and Robbins, H. What is mathematics: An Elementary Approach to Ideals and Methods. Oxford University Press, 1978. [7] Coxter, H.S.M. The Beauty of Geometry: Twelwe Essays, New Yourk: Dover, 1999. [8] Coxeter, H. S. M. ``Euler's Formula.'' and ``Poincar's Proof of Euler's Formula.'' 1.6 and Ch. 9 in Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. [9] Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; and Miller, J. C. P. Uniform Polyhedra.'' Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 1954. [10] Coxeter, H. S. M. Regular and Semi-Regular Polytopes I. Math. Z. 46, 1940. [11] Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. [12] Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; and Miller, J. C. P. Uniform Polyhedra.'' Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 1954. [13] Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press, 1997. [14] Cundy, H. and Rollett, A. Great Stellated Dodecahedron. Ch. 3.6.3. in Mathematical Models 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989.

[15] Euler, L. ``Elementa doctrine solidorum.'' Novi comm. acad. scientiarum imperialis petropolitanae 4, 1752-1753. Reprinted in Opera, Vol. 26. [16] Lui}, Z. Geometrija euklidska i hiperbolika. Grafitti: Matematiki fakultet, Beograd, 1994.

21

[17] Pappas, T. The Kepler-Poinsot Solids.'' The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, 1989. [18] Poincar, H. ``Sur la gnralisation d'un thorme d'Euler relatif aux polydres.'' Comptes rendus hebdomadaires des sances de l'Acadmie des Sciences 117, 1893. [18] Quaisser, E. Regular Star-Polyhedra.'' Ch. 5 in Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums (Ed. G. Fischer). Braunschweig, Germany: Vieweg, 1986. [19] Schlfli, L. ``Theorie der vielfachen Kontinuitt.'' Denkschriften der Schweizerischen naturforschenden Gessel. 38, 1901. [20] Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999 [21] Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, 1991. [22] Wenninger, M. J. Dual Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1983. [23] Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, 1979.

-

22