-
13 - O Planejamento da Operao por Etapas
O objetivo de um sistema eltrico de potncia atender a demanda de
energia de umsistema com confiabilidade, continuidade e
economicidade.
A impossibilidade de tratar todos os aspectos do problema da
operao simultaneamenteimpe uma decomposio em etapas. Cada etapa
corresponde a um horizonte com suasprprias caractersticas, grau de
detalhamento. Este horizonte depende fundamentalmenteda capacidade
de regulao dos reservatrios e das caractersticas hidrolgicas do
sistema.
Portanto, no mnimo o horizonte deve ser de um ano,
correspondente ao ciclo hidrolgiconatural de um rio. Porm existem
reservatrios de regulao plurianual, necessitando de umhorizonte de
alguns anos.
Sero apresentados neste captulo as caractersticas do:
Planejamento da Operao de Longo Prazo; Planejamento da Operao de
Mdio Prazo; Planejamento da Operao de Curto Prazo.
Em cada etapa busca-se tratar das principais caractersticas do
problema e represent-lo nomodelo. A especificao do horizonte em
cada etapa deve ser feita de modo a tratar
destascaractersticas.
Em um sistema hidrotrmico a gesto de combustveis e as decises
sobre o uso da guarequerem um planejamento detalhado de como e por
onde, quais usinas, dever atender ademanda de energia. Deve-se,
portanto, ter um compromisso entre o ganho associado com agerao
hidroeltrica imediata e os ganhos advindos com o armazenamento da
gua nosreservatrios, tomando-se como referncia para esse clculo a
economia do combustveltrmico.
-
2A limitao na disponibilidade de energia eltrica na forma de gua
armazenada noreservatrio, faz com que o seu uso adequado seja uma
tarefa complicada, devido relaode dependncia entre a deciso tomada
num determinado estgio e suas consequnciasfuturas.
Os aspectos mais importantes a serem abordados no planejamento
de um sistemahidrotrmico so: a aleatoriedade da vazo dos rios e o
acoplamento entre usinashidroeltricas situadas no mesmo rio. Pela
aleatoriedade das vazes, se divide oplanejamento em curto prazo
(totalmente determinstico), mdio prazo (incertezaconjuntural) e
longo prazo (incerteza estrutural).
O dilema de operao de um sistema hidrotrmico est no fato de que
existe uma relaoentre a deciso tomada em um estgio com relao a um
estgio futuro. A figura 3.1 abaixoilustra este problema.
Figura 3.1 - Processo de deciso para Sistemas Hidrotrmicos
A aleatoriedade das vazes dos rios o aspecto mais difcil de se
tratar no planejamento daoperao. Se o tomador de deciso resolve
deplecionar os estoques de energia hidroeltricaeconomizando
combustvel trmico no presente, vindo a ocorrer vazes mais baixas,
sernecessria uma complementao hidroeltrica maior e mais cara no
futuro, ou mesmopoder ser necessrio o corte de carga. Por outro
lado, se a deciso for manter os estoquesde energia hidroeltrica e
gerar mais intensivamente com as termoeltricas no presente,
-
3ocorrendo vazes altas no futuro, poder haver vertimento no
sistema o que representadesperdcio energtico.
3.1 Estrutura de um problema de otimizao
Antes de apresentar a formulao matemtica do Planejamento de
Longo Prazo daOperao importante destacar que quando se planeja, aps
representar o sistema atravsde equaes que permita prever o seu
comportamento para diferentes estratgias, busca-sedefinir aes que
levem este sistema a um comportamento timo.
A otimizao consiste em encontrar a melhor alternativa, frente a
outras alternativas
possveis.
Os problemas de otimizao normalmente so compostos por:
Funo objetivo: a medida quantitativa do funcionamento do sistema
quebusca-se otimizar, maximizar ou minimizar. Como exemplo de
funoobjetivo pode-se mencionar a minimizao de gerao trmica,
maximizaodos benefcios da operao de um reservatrio de usos
mltiplos, aminimizao dos custos de operao de um sistema
hidrotrmico,etc.
Variavis: so as decises que podem ser tomadas para modificar o
valor dafuno objetivo.
Do ponto de vista funcional as variveis podem ser de dois
tipos:dependentes ou independentes. Exemplos de variveis: fluxo de
potncia deuma linha de transmisso, custo de produo de um grupo de
geradores, etc.
Restries: So o conjunto de relaes (expressadas mediante equaes
ouinequaes) as quais as variveis devem satisfazer. Podem-se se
citar comorestries: nveis mximo e mnimo de um reservatrio, potncias
mxima emnima de operao de grupo de geradores.
-
4Resolver um problema de otimizao consiste em encontrar o valor
que devem serescolhidos para as variveis para tornar tima a funo
objetivo, satisfazendo as restriesdo problema.
Existem alguns tipos de problema de otimizao que fogem a esta
regra, alterando estadefinio:
Sistemas de equaes lineares ou no lineares
No existe uma funo-objetivo. O interesse encontrar uma soluo
factvel a umproblema sujeito a um conjunto de restries. Como
exemplo, podemos citar: o problemado fluxo AC ou DC, etc.
Otimizao sem restries
Trata-se de encontrar o conjunto de valores das variveis que
determinam o mnimo e omximo de uma funo. Algumas das tcnicas de
programao no-linear so paraotimizao sem restries.
Otimizao multiobjetivo
Existe mais de uma funo objetivo. Trata-se de vrias funes
objetivo ao mesmo tempo,levando em conta que o timo para uma funo
no para a outra, sendo conflitantes entresi.
Os mtodos de soluo dos problemas de otimizao podem ser
classificados em: mtodosclssicos (que apresentam mais literatura e
so bastante difundidos em livros deotimizao) e mtodos heursticos
(que fazem parte das tcnicas de inteligncia artificial).
Nos mtodos clssicos se encontram a otimizao linear, linear
inteira mista, no-linear,estocstica e dinmica. Em mtodos heursticos
esto includos os algoritmos evolutivos
-
5(genticos entre outros), o mtodo simulated annealing e as
buscas heursticas (mtodotabu, busca aleatria, etc.).
De maneira geral e aproximada podemos dizer que os mtodos
clssicos buscam egarantem uma otimizao local enquanto que os mtodos
metaheursticos apresentammecanismos especficos para alcanar um timo
global, embora ele no assegure atingiresse timo.
Um exemplo de um problema de otimizao o seguinte:
onde: k varivel indexada de tempo;gT varivel de gerao trmica;gH
varivel de gerao hidrulica;dk varivel que representa a demanda no
instante k;m varivel que representa a meta de gerao hidrulica.
A primeira equao representa a funo objetivo do problema a ser
otimizado. As equaesque se seguem representam as restries deste
problema.
A funo objetivo procura minimizar o custo de operao das
termoeltricas ao longo doperodo k=1,..,T.
(3.1) ,....,1
..
1
101
22
Tkggg
ggg
mg
dggas
agagaMax
HHH
TTT
T
k
kH
kHT
I
k
kT
kT
=
=
=+
++
=
=
-
6A segunda equao nos informa que a soma da gerao trmica mais a
gerao hidrulicadeve atender a demanda no instante de k=1,..,T. A
terceira equao nos informa que agerao total hidrulica deve atender
s metas pre-estabelecidas. A quarta e a quintaequaes apresentam os
limites mnimo e mximo de gerao de usinas trmicas ehidreltricas,
respectivamente.
3.2 Caractersticas do Planejamento da Operao de Longo Prazo
O principal objetivo do planejamento de longo prazo estabelecer
uma estratgia deoperao que determine em cada estgio, os totais de
energia hidrulica e trmica a seremgerados, buscando sempre uma
minimizao do valor do custo de operao.
Os modelos matemticos utilizados no Sistema Eltrico Brasileiro
para o planejamento daoperao de longo prazo no utilizam uma
representao individualizada de cada usina eunidades geradoras.
representado um sistema agregado, diminuindo a dimenso doproblema e
possibilitando otimizar as aleatoriedades das afluncias dos rios e
da demandafutura, atravs de tcnicas de otimizao estocstica, que
sero apresentadas em captulosposteriores.
Nos modelos para o planejamento de longo prazo o sistema
hidrulico geralmenterepresentado por um reservatrio equivalente de
energia e o parque trmico representadopor uma trmica equivalente.
Esta representao j dita, agregada satisfatria para esteplanejamento
porque preciso estabelecer a proporo global entre a gerao trmica e
ahidrulica.
Nos prximos itens sero apresentadas e equacionadas as
caractersticas que compem oplanejamento de longo prazo da operao,
com comentrios sobre cada item.
3.2.1 Construo de um reservatrio equivalente
-
7A idia central para a construo de um reservatrio equivalente de
que toda a operaohidrulica do sistema pode ser traduzida em termos
de operao energtica de um nicoreservatrio de energia. Isto
baseia-se no fato de que pode-se associar a uma certa vazoafluente
a um dado reservatrio um montante de energia que seria gerado por
esta vazocaso fosse turbinado na prpria usina e em todas as usinas
a jusante. Um clculosemelhante pode ser feito para o volume til
armazenado e para a vazo turbinada.
Sejam os seguintes vetores:Yin vetor das afluncias
incrementais;Ynat vetor das afluncias naturais;
- vetor das produtividades mdias;a vetor das produtividades
mdias acumuladas, isto , a produtividade das usinasa jusante.
Estes vetores devem satisfazer as seguintes relaes:
=
kiiak
(3.2)
=
kjk
jinnat YY
(3.3)
onde: k conjunto de todas usinas a jusante de k; k conjunto de
todas usinas a montante de k.
3.2.2 Energia afluente
A energia afluente a um sistema hidroeltrico pode ser obtida
pela soma das energiasgeradas pelas vazes incrementais, supondo-se
que esta vazo seja turbinada na prpriausina e em todas as usinas a
jusante dela:
inT
ae yy = (3.4)
-
83.2.3 Energia armazenada
Os volumes teis dos reservatrios podem ser expressos em termos
de energia calculando-se a quantidade de energia que se poderia
gerar turbinando esse volume til pela prpriausina e todas as usinas
a jusante:
xx Tae = (3.5)
onde x o vetor dos volumes teis.
Para calcular a capacidade energtica mxima do reservatrio
equivalente, basta substituir o
vetor x na equao acima pelo vetor dos volumes teis mximos de
cada reservatrio.
Obtem-se os seguintes limites para o reservatrio equivalente
3.2.4 Energia Defluente
A converso das vazes defluentes de cada usina em energia feita
de maneira anloga aoclculo da energia afluente:
Te = (3.6)
onde o vetor de defluncia nas usinas.Os limites mnimo e mximo de
defluncia para o reservatrio equivalente pode ser obtido
a partir da equao substituindo-se o vetor pelo vetor com os
limites inferiores esuperiores das usinas obtendo-se:
3.2.5 Funo de gerao
A funo de gerao de uma usina representa a relao entre a energia
gerada com aenergia armazenada e a energia afluente.
Mer xx 0
Mee
m
e
-
9A produtividade de uma usina, dependente do volume de gua
armazenada, ou energiaarmazenada. Se esta energia tal que a
produtividade igual a produtividade mdia, entoa energia gerada
igual a energia defluente. Porm se a energia armazenada for
superior aenergia armazenada correspondente a produtividade mdia,
isto implica que aprodutividade equivalente superior a
produtividade mdia e a energia gerada superior aenergia defluente,
calculada supondo-se uma produtividade mdia. E vice-versa para o
casoem que a energia armazenada inferior a mdia.
Podemos definir ento a funo de gerao de uma usina pela
equao:
ee uxKp )(= (3.7)
Onde K(x) uma funo que corrige o erro na produtividade em funo
da energiaarmazenada no reservatrio equivalente dado por:
cbxaxxK ++= 2)( (3.8)com a, b e c so coeficientes de uma funo
quadrtica da curva de correo daprodutividade.
3.2.6 Equao de transio de estado
A equao de transio de estado ou equao dinmica do reservatrio
equivalente definida a partir dos princpios de conservao de
energia.
n
e
n
e
n
e
n
e uyxx +=+1
(3.9)
3.2.7 Equao de balano de carga
A equao de balano de carga a seguinte:
nnn
e
n
e
n
e cdguxK =++)( (3.10)Onde dn o dficit de energia que pode
ocorrer no perodo n; cn - a carga a ser atendida pelo sistema no
perodo n;
-
10
ge a gerao da trmica equivalente.
3.2.8 Construo de uma trmica equivalente
A construo de uma usina trmica equivalente realizada baseada nos
princpios daoperao econmica, isto , considerando que o despacho
destas usinas o mais econmicopossvel.
Na Figura 3.2 esto representadas as curvas de custo de cada
trmica individualmente comas seguintes funes de custo,
respectivamente:
Figura 3.2 - Funo custo para trmicas 1 e 2
Enquanto que na Figura 3.3 esto as curvas de custo marginal
destas trmicas, com asseguintes funes:
(3.11) 2222222111
2111
cgbgafcgbgaf++=
++=
(3.12) 2'2'
2222
1111
bgafbgaf
+=
+=
-
11
Figura 3.3 - Funo custo marginal para trmicas 1 e 2
Segundo as regras de operao econmica, exige-se que estas estejam
operando com omesmo custo marginal. Supomos, atravs dos
coeficientes das funes de custo de cadatrmica, que a trmica 2 tenha
um custo marginal inferior a trmica 1 (b1>b2), entoinicialmente,
somente a trmica 2 estar em operao at atingir o ponto em que o seu
custo
marginal seja igual a trmica 1, quando a trmica 2 entra em
operao. A partir deste ponto,as trmicas operam sob o mesmo custo
marginal, at que a primeira atinja sua produomxima (g1M
-
12
Figura 3.4 - Funo custo marginal da trmica equivalente
3.2.9 Formulao do problema de Planejamento de Longo Prazo
Apresentaremos neste item a formulao simplificada do problema da
operao de longoprazo, constitudo apenas por um reservatrio
equivalente e uma trmica equivalente, osquais devem atender uma
determinada carga.
(3.13)
0
)(..
))()((min
0
1
21
1
dadox
uuu
xx
uyxx
cduxKgas
dg
Me
ne
me
Me
ne
ne
ne
ne
ne
nnne
ne
ne
nne
T
n
+=
=++
+
+
=
Onde : 1 a funo custo trmico equivalente correspondente a uma
gerao trmicatotal g;
2 a funo de penalizao sobre o dficit d; cn demanda de carga no
intervalo n;
- fator que estabelece o valor relativo entre os dois
objetivos.
-
13
Este modelo simplificado determina a proporo tima entre as
geraes hidrulica etrmica, considerando as restries do reservatrio
equivalente e da trmica, minimizando ocusto trmico e o dficit de
atendimento demanda.
A demanda e a energia afluente neste modelo so consideradas
variveis estocsticas, isto, associadas ao perodo de tempo. Para a
resolver este problema, a tcnica mais utilizada a programao dinmica
estocstica, que ser abordada nos prximos captulos.
Em um modelo real devemos levar em considerao para a formulao do
problema algunsaspectos mais complexos, devido a considerao de
outros objetivos do planejamento,geralmente conflitantes com a
otimizao da operao energtica como o caso dosbenefcios associados
com a irrigao ou restries como, as limitaes do intercmbioentre
regies, ou at considerar a energia perdida por infiltraes ou
evaporao.
3.2.10 Princpios econmicos da operao de reservatrios
Em uma operao econmica dos reservatrios, a gua deve ser encarada
como umcombustvel que ir substituir a gerao trmica ao longo de um
perodo. Cada metrocbico de gua acumulado em um reservatrio pode
gerar um montante de energia,dependente da produtividade da usina,
gerando uma economia, associada sempre asubstituio trmica. Teremos
ento um valor calculado para cada metro cbico de gua emfuno da
economia sobre a substituio trmica.
Supe-se para tal dois cenrios para estabelecer estes princpios.
O primeiro cenrioapresenta apenas usinas hidreltricas a fio dgua,
sem capacidade de armazenamento. Osegundo cenrio apresenta uma
usina com reservatrio de capacidade infinita. Supomostambm,
hipteses iniciais de vazes determinsticas, horizonte de estudo
anual ediscretizao semanal. O objetivo para os dois casos minimizar
o custo de operaodestes sistemas.
-
14
a) Cenrio 1 Sistema sem resevatrio (usinas a fio dgua)
Neste sistema devido a falta de reservatrios, toda a afluncia
que chega s usinas deve serdefluda no mesmo perodo. Como a operao
de uma semana no influi na operao dasprximas semanas, o problema
pode ser dividido em 52 subproblemas independentes.Supondo que toda
afluncia seja turbinada, a gerao hidreltrica total no perodo
ser:
O restante da demanda deve ser atendido pela gerao termoeltrica
do parque gerador:
A esta complementao trmica est associado um custo marginal , j
apresentadoanteriormente.
A gerao produzida pela turbinagem de um metro cbico de gua no
reservatrio j iguala produtividade j desta usina. Supondo-se que
esta gerao seja utilizada para substituiotrmica, isto , com a
turbinagem 1 metro cbico de gua, pode-se substituir j MW de
gerao trmica. Causando uma economia xj [$]. A este valor,
denominamos valornatural da gua, e diz que se a afluncia natural
for acrescido um metro cbico a mais degua, esta seria a economia
resultante atrelada a economia de combustvel trmico.
b) Cenrio 2 Sistema com reservatrio ilimitado
As hipteses iniciais para este cenrio de um reservatrio de
capacidade dearmazenamento e defluncias ilimitadas. O efeito de
variao sobre a cota montante (nveldo reservatrio) considerado
desprezvel ao longo do horizonte de estudo e o estado final fixado
de modo a assegurar um suprimento adequado para o perodo seguinte,
em nossocaso para o ano seguinte.
(3.14) )(
=
Hj
njjT uH
(3.15)
==
Iit
nni HcgG
-
15
Em um sistema sem reservatrio o valor natural da gua varia de
acordo com a aflunciaocorrida no perodo. Quando existem grandes
afluncias, o valor da gua baixo, pois serpossvel obter uma grande
produo hidreltrica e uma pequena complementao trmica,sendo o custo
marginal do sistema menor se comparado a uma situao inversa de
perodosde baixa afluncia. Em perodos de baixa afluncia, o custo
marginal do sistema alto, poishaver maior gerao das
termoeltricas.
No sistema com disponibilidade de reservatrio, pode-se ter a
possibilidade de controlar ovalor da gua, atravs da acumulao da gua
das afluncias durante os perodos molhadose de sua utilizao durante
perodos de baixa afluncia. Ocorre portanto, uma alterao docusto
marginal do sistema, atravs da distribuio da gerao hidrulica ao
longo doperodo.
No caso apresentado, o reservatrio dito de capacidade ilimitada,
tanto de armazenagemquanto de turbinagem. Este caso hipottico
possibilitaria a transferncia de gua de umperodo para o outro de
maneira coordenada, gerando um valor de gua constante durantetodo o
ano. Isto , a economia causada por uma turbinagem de um metro cbico
de gua amais, em termos de substituio trmica o mesmo para qualquer
perodo do ano. Emsistemas reais, os reservatrios apresentam
limitaes de armazenamento e de defluncia, oque torna quase
impossvel a equalizao do valor da gua, porm o princpio da
operaoeconmica de um reservatrio considera um valor de gua o mais
homogneo possveldurante o perodo considerado.
3.3 Caractersticas do Planejamento da Operao de Mdio Prazo
No planejamento de longo prazo, determinamos como produto final
os totais globais degerao trmica e hidroeltrica em um sistema
hidrotrmico. Porm, no planejamento daoperao de mdio prazo
normalmente so tratadas as usinas individualmente, istorespeitando
as metas estabelecidas pelo planejamento de longo prazo. A
representaoindividualizada das usinas permite uma considerao mais
realista da operao do sistema,
-
16
com um grau de detalhamento maior da produtividade, mas tambm
com um maiornmero de restries operativas.
Adotaremos as seguintes hipteses na formulao do planejamento da
operao de mdioprazo:
1) Os tempos de transporte da gua entre dois reservatrios so
consideradosnulos, pois so menores que o intervalo de discretizao
(uma semana);2) No considera-se explicitamente a rede eltrica. Em
alguns casos em que hfortes restries no sistema de transmisso entre
duas regies, estas restriesso consideradas limitando a gerao de
algumas usinas;3) Conhece-se os planos de manuteno
(disponibilidade) das unidades e aentrada de novas unidades ao
longo do ano;4) A curva de carga representada.
3.3.1 Sistema Hidroeltrico
O planejamento de mdio prazo determina uma poltica de
armazenamento da afluncia aolongo do ano. Em funo disso, os
reservatrios mais importantes so os reservatrios degrande
capacidade de regularizao, que estabelece a relao entre a
capacidade dearmazenamento de volume til e a afluncia mdia ao
reservatrio, pois estes sero osresponsveis pela acumulao de gua ao
longo do ano. Em relao aos reservatrios debaixa capacidade, estes
so consideradas usinas a fio dgua, a gerao depender apenasda
defluncia da usina a montante. Esta uma simplificao bastante
significativa, poisrestringe a gerao de todas as usinas de um
trecho aos maiores reservatriosacumuladores, diminuindo a dimenso
do problema.
O sistema hidroeltrico para o horizonte de mdio prazo ser
representado por:
Equao dinmica do reservatrio j:n
jn
jn
jn
jn
jn
j vuzyxx ++=+1
(3.16)
-
17
Devemos considerar as restries:
Limites operativos
Funo de gerao
Com relao ao estado final, em algumas abordagens o estado final
fixado, enquanto queem outras o estado final associado a uma funo
que representa o benefcio associado aovolume de gua armazenado para
o prximo ano.
3.3.2 Formulao do problema de Mdio Prazo
Formularemos a seguir um problema simplificado de planejamento
de mdio prazo daoperao, no qual o enfoque da funo objetivo
minimizar a participao no-hidrulicapara atendimento da carga,
considerando as restries do sistema:
(3.19) ,..,1;;
..
)(
1
1
wnIiHjhhh
ggg
vvv
uuu
xxx
vuzyxx
chgas
gfMin
Mj
nj
mj
Mi
ni
mi
Mj
nj
mj
Mj
nj
mj
Mj
nj
mj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
Hj
nnj
Ii
ni
T
n Ii
nii
=
++=
=+
+
=
Onde: H o conjunto de unidades hidroeltricas;n ndice do
intervalo;
(3.18) ))()(( 21 njnjnjnjjnj uvufxfh +=
(3.17) Mjnjmj
Mj
nj
mj
Mj
nj
mj
vvv
uuu
xxx
-
18
w nmero de usinas.
No problema modelado acima, duas variveis so de caractersticas
aleatrias : a demandade carga e afluncia ao sistema hidroeltrico.
Dependendo da abordagem dada a esteproblema, elas podem ser
estocsticas ou determinsticas. Uma abordagem considera
estasvariveis como determinsticas, e resolve para diversos cenrios
hidrolgicos; outraabordagem considera-as estocsticas e resolve o
problema com tcnicas de otimizaoestocstica.
3.4 Caractersticas do Planejamento da Operao de Curto Prazo
O planejamento da operao de curto prazo estabelece em ltima
instncia a programaoda operao que servir de base para a operao em
tempo real, isto claro, seguindo osplanejamentos estabelecidos no
longo e no mdio prazo. Como h uma estreita relaoentre a operao em
tempo real e o planejamento de curto prazo da operao, como j
vistoanteriormente, o grau de detalhamento das condies operacionais
do sistema bemsuperior, com o objetivo de assegurar uma operao bem
mais prxima da realidade. Nodecorrer deste item ser apresentada uma
representao matemtica para cada componentede um sistema
termoeltrico no horizonte de curto prazo, bem como suas
caractersticas euma formulao global do problema.
3.4.1 Sistema Hidroeltrico
A operao de um sistema hidroeltrico no horizonte de curto prazo
condicionado de umlado pelas limitaes nos recursos hdricos
estabelecidos nos planejamentos anteriores delongo e mdio prazo,
representada pelas metas de gerao por usinas e por outro lado
pelascondies operacionais do sistema. Estas condies esto
condicionadas s caractersticasde cada unidade, da sua
disponibilidade em relao ao volume do reservatrio, bem
comoacoplamentos com outras usinas.
-
19
Os reservatrios de grande capacidade de regularizao no curto
prazo, esto sujeitos a umadinmica muito lenta, podendo ser
considerados praticamente inalterados neste horizontede
planejamento. A operao a sua montante no afeta a operao a jusante.
J as usinas afio dgua precisam ser representadas individualmente
porque a sua operao dependediretamente da operao da usina
imediatamente a montante, no perodo de tempo anteriorigual ao tempo
de deslocamento de gua.
Na modelagem matemtica para o planejamento da operao de curto
prazo, sero adotadasas seguintes representaes:
Metas semanais estabelecidas pelos Planejamentos de Longo/Mdio
prazos definea disponibilidade total de recursos hdricos ao longo
da semana para cada usina:
onde t ndice de tempo; T tempo final;
uit defluncia na usina i no tempo t,
Mi Meta a longo/mdio prazo da usina i; RM Conjunto de
reservatrios de longo/mdio prazo.
Equao dinmica representa a evoluo temporal do volume
armazenado:
xit volume armazenado no reservatrio i no comeo do intervalo
t;
yit vazo incremental ao reservatrio i no intervalo t;
sj tempo de atraso de transporte de gua entre os reservatrios s
e j;RC conjunto de reservatrios considerados no curto prazo.
RMi
MuT
ti
ti
==1
(3.20)
(3.21)
1
RCj
uuyxxj
sj
Ss
ti
ts
ti
ti
ti
+++=
+
-
20
Os reservatrios de grande capacidade de regularizao praticamente
mantm o seu volumeconstante ao longo da semana, e portanto, para
estes no necessrio representar a equaodinmica, somente as metas
estabelecidas a mdio e longo prazo. As unidades a fio dguaesto
sujeitas a uma restrio que determina que a sua defluncia em funo da
deflunciadas unidades imediatamente a montante, defasadas do tempo
de atraso de transporte degua:
onde FD o conjunto das unidades a fio dgua.
Funo de gerao
onde pjt potncia ativa gerada pela usina j; jt constante que
depende do rendimento do conjunto turbina/gerador;
h1j(.) polinmio que fornece a cota do reservatrio j em funo do
volumearmazenado;
h2j(.) polinmio que fornece a cota do canal de fuga em funo do
canal defuga em funo da vazo defluente;
qj engolimento mximo;
H conjunto de todas as unidades hidreltricas.
Limites operativos
FDj
yuuj
sj
Ssj
ts
tj
+=
(3.22)
(3.23) ),,min())()(( 21 Hjquuhxhp jjtjjtjjjtj =
(3.24) MtmMtm
xxx
uuu
-
21
3.4.2 Sistema Trmico
A operao de um sistema trmico no est sujeita s limitaes de
recursos, porm a suaoperao condicionada por um alto custo devido ao
preo dos combustveis. Os custos deoperao das usinas trmicas so
basicamente custos de ligao das unidades e custo deoperao. Estes
custos variam muito dependendo do tipo de unidades.
As unidades trmicas no apresentam em geral dependncia
operacional entre as unidades,mas esto sujeitas a uma dependncia
temporal devido a restries de entrada e sada deunidades. A primeira
destas restries diz respeito a variao mxima na gerao de umperodo a
outro enquanto que a segunda define as configuraes de unidades
trmicas emoperao ao longo do horizonte. A otimizao da configurao
trmica particularmenteimportante para sistemas predominantemente
trmicos onde a variao da carga acompanhado por gerao trmica.
Associado a partida h um custo devido ao tempo deaquecimento de
suas caldeiras e este custo depende do intervalo de tempo em que a
unidadetrmica ficou desativada. Comumente este custo expresso por
uma funo exponencial dotempo de desativao:
(3.25) )1()( 0 aZegzg =
onde g0 o custo de ligao a partir da mquina fria, a a taxa de
resfriamento e z o tempo em que a mquina ficou desativada.Alm deste
custo de ligao a entrada/sada das unidades trmicas esto, em geral,
sujeitasas seguintes restries:
1) Equao dinmica que rege o tempo de desativao da unidade i:
(3.26) )1)(1(1 tititi zz +=+
onde i- 0, se a unidade i est desligada no intervalo de tempo t;
1, caso contrrio.
2) Tempo de desativao mnima (bi):(3.27) 0))(( 1 + itititi bz
3) Tempo de operao mnima (ci):
-
22
(3.28) 0))((1
1 +=
+t
citji
ji
ti
ti c
4) Nmero mximo de partidas durante o horizonte (di):
(3.29) 1||1
0
1
=
+T
ti
ti
ti d
5) Nmero mximo de unidades partindo em um dado intervalo
(ei):
+ Gj
itj
tj e (3.30) )1(1
As restries de 1 a 5 so funes das variveis booleanas it e sero
sinteticamente
representadas por: it e i.
Em termos do modelo matemtico o sistema trmico pode ser
representado por:1) Custos de operao
=
+=T
t Gi
tii
ti
tii pfzgF
1
(3.31) ))()((
onde: gi funo custo de ligao; fi funo custo de produo; pit
potncia gerada pela unidade i no intervalo t; G conjunto de
unidades trmicas.
2) Restries de entrada e sadait e i
3) Restries de produo Limites de gerao
Pim Pit PiM
Onde: m limite mnimo de gerao [MW]; M limite mximo de gerao
[MW].
-
23
Restries de tomada de carga
| Pit-Pit-1 | i
3.4.3 Sistema Eltrico
A cada instante a gerao hidrulica mais a gerao trmica devem
atender as restriesoperativas dos seus respectivos parques de gerao
e atender a demanda daquele instante.
Do ponto de vista da operao eltrica isto corresponde a
determinar a injeo de potnciaativa nas barras de gerao. Como as
redes eltricas tambm esto sujeitas a restries preciso assegurar
tambm a factibilidade operacional do sistema de transmisso.
Naoperao em tempo real, em geral de intervalo de 5 minutos,
resolvido um problemasimilar que o Despacho Econmico, o qual
distribui a carga entre os geradores do parque,considerando as
restries operativas naquele intervalo.
O problema do despacho surgiu da necessidade de alocar
economicamente a gerao entreas unidades trmicas com custos e
caractersticas diferentes. No incio dos anos 30, osengenheiros
Steinberger e Smith, mostraram que a soluo mais econmica era
operartodas unidades ao mesmo custo marginal. Isto pode ser
facilmente demonstradosolucionando-se o seguinte problema:
(3.32) )( ..
)(
dpas
pfMin
Gii
Giii
=
cuja soluo tima obtida a partir da funo Lagrangeana definida
por:(3.33) ))(( dppfL
iiii +=
Nesta formulao considera-se somente o atendimento da demanda
global, no levando-seem conta as restries do sistema de transmisso
e as perdas. Esta abordagem convenientepara sistemas que no
apresentam sobrecarga. Aplica-se a sistemas
predominantementetrmicos, pois as unidades geradoras localizam-se
prximos a centros de carga.
-
24
Posteriormente foram includas as perdas da transmisso (pL) na
equao de balano decarga:
+=Gi
Li pdp (3.34)
O fator de penalizao (FPi) pode ser interpretado como um ganho
que estima a perdacausada por uma variao incremental na injeo de
potncia na usina i, convm ressaltarque esta abordagem aplica-se
somente a sistemas sem sobrecarga.
(3.35) )( =
ii
i FPpf
onde o fator de penalizao dado por:
(3.36) 1
1
i
Li
pp
FP
=
Em 1962, Carpentier apresentou a formulao do Fluxo de Carga
timo, com a qual foipossvel representar as condies operacionais de
um sistema eltrico. A diferena bsicaentre os modelos de Despacho
timo e os modelos de Fluxo de Carga a substituio daequao de balano
de carga (barra nica) pelas equaes de fluxo de carga. Estas
equaesfornecem o balano de demanda das barras e do sistema e o
fluxo de potncia ativa ereativa das linhas de transmisso,
possibilitando um controle dos limites de capacidade.
A seguir apresentada a formulao geral do problema de Fluxo de
Carga timo:
Mm
Mm
xxx
uuu
xugas
xufMin
=
(3.39) (3.38) 0),(
..
(3.37) ),(
Onde u so as variveis controlveis como gerao ativa e magnitude
de tenso nas barrasde gerao, de compensadores sncronos, taps
variveis de transformadores para magnitudede tenso e ngulo de fase,
gerao de reativo de capacitores e reatncias. As variveis de
-
25
estado x so as variveis necessrias para definir o estado do
sistema, como por exemplo,ngulos de fase das barras e magnitudes de
tenso das barras de carga.
A funo objetivo (3.37) mais utilizada o custo de operao, porm
outros objetivospodem ser adotados como perdas no sistema e desvio
para outro ponto de operao dosistema. A restrio (3.38) apresenta a
relao entre x e u atravs das equaes de fluxo decarga, a qual
representa as leis de Kirchhoff e assegura o atendimento das
demandas ativase reativas. As restries (3.39) consideram os limites
das variveis.
Esta formulao apresenta a inconvenincia do alto custo
computacional, devido a relaono-lineares. Uma alternativa a
utilizao de modelos de fluxo de carga linearizados. Estaformulao
baseia-se na hiptese de que a gerao de potncia ativa depende
fortemente dongulo da tenso nodal e fracamente das magnitudes de
tenso entre as barras, e vice-versapara a potncia reativa. As
suposies acima so utilizadas para sistemas de alta tenso. Odesvio
entre o modelo de fluxo de carga completo e o modelo linearizado
est em torno de5% para o sistema brasileiro. Para fins de
planejamento tal preciso suficiente, poisdeseja-se uma estimativa
do fluxo de potncia. A formulao bsica dada por:
(3.43) (3.42) /(3.41)
..
(3.40) ),(
Mmiii
rrr
xr
Bpas
rpfMin
==
onde o vetor de ngulos de fase das magnitudes de tenso; ri o
fluxo de
potncia ativa na linha i; i a abertura angular na linha i; e B
uma matriz do tipoadmitncia cujos elementos so dados por:
(3.44) 1
1
=
=
ijij
m
imii
xB
xBi
onde xim reatncia na linha i-m;
i conjunto das barras que esto ligadas barra i.
-
26
A resoluo do fluxo de carga linearizado pode ser interpretado
como a determinao dacorrente em um circuito de corrente contnua,
fazendo-se uma analogia entre a injeo depotncia ativa com a injeo
de corrente, o fluxo de potncia ativa com a corrente em cadalinha,
o ngulo de fase com a tenso em cada n e a reatncia entre as barras
com aresistncia entre os ns. Determina-se a soluo do fluxo de
potncia atravos do problemade mnimo esforo eltrico:
Mmrrr
pAras
rxrMin
=
..
(3.45) '
Na formulao acima considera-se como restrio somente a primeira
lei de Kirchhoff, aqual representa a lei dos ns, enquanto a segunda
lei de Kirchhoff assegurada pela funoobjetivo na soluo tima.
A segunda lei de Kirchhoff exige que a somatria das quedas de
tenso em uma malha darede de transmisso seja nula. Em um modelo
linearizado a queda de tenso em uma dadalinha k definida por:
kkjik txiRV === . (3.46)
Onde xk a reatncia da linha k. Portando a queda de tenso em uma
malha definida por:
(3.47) 0== mm k
kkk
k tx
onde m o conjunto de arcos que constituem a malha m.
Ento, uma formulao alternativa considerando as duas leis de
Kirchhoff para o fluxo depotncia linearizado seria:
-
27
(3.48)
, 0
..
),(
Mm
kkk
rrr
Mmtx
pAras
rpfMin
m
=
=
onde M o conjunto das malhas elementares da rede. Como a
formulao acimaconsidera as duas leis de Kirchhoff a equivalncia com
o fluxo de carga linearizado sempre assegurada, mesmo na presena de
limites de transmisso ativos.
3.4.4 Formulao do Problema do Planejamento da Operao a Curto
Prazo
A formulao do problema do planejamento de curto prazo para um
sistema hidrotrmicoconstitudo de um parque trmico, um parque
hidroeltrico e um sistema de transmissopode ser descrito em
termos:
=
T
tHG rPPfMin
1),,( (3.49)
Sujeito a:1) Restries trmicas
Restries de entrada e sada de unidades
1 e 1 Restries de gerao trmica
2) Restries Hidrulicas Grandes reservatrios
(3.50) ,,1,|| 1
GiPPP
TtPPM
it
im
i
it
it
i
= +
(3.51)
,
1Mj
tj
mj
T
tj
tj
uuu
RMjMu
==
-
28
Pequenos reservatrios
Unidades a fio dgua
Funo de gerao
3) Restries Eltricas
(3.53) , FDjyuuj
sj
Ss
tj
ts
tj +=
(3.55) ,1;
0),,,,(
Mtm
Mtm
ttttt
sss
Ttrrr
srdqpg
=
=
(3.54) ),,( HjuxP tjtjjtj =
(3.52) ,
1
Mj
tj
mj
Mj
tj
mj
Ss
tj
ts
tj
tj
tj
uuu
RCjxxx
uuyxxj
sj
-
29
4 Planejamento da Operao de um Sistema Termoeltrico
O planejamento da operao de um sistema termoeltrico uma
atividade de complexasoluo e estudo. A sua importncia est no fato
de que muitos pases tm como base degerao de energia centrais
trmicas.
O problema do planejamento da operao de unidades trmicas
consiste em determinar-sequando (em que perodo de tempo) e quanto
(montante de gerao) cada unidade de umparque trmico deve atender a
demanda de carga. Existem dois aspectos na resoluo desteproblema: o
despacho econmico e o unit commitment.
O unit commitment consiste em determinar qual unidade
termoeltrica a ser despachada.Para isto considera os custos de
partida e parada das unidades, sendo portanto de complexasoluo,
devido a no-linearidade das funes de custos de partida e parada,
por envolvervariveis inteiras ou mistas. J o despacho econmico
considera apenas a curva de custo deoperao das trmicas e encontra
uma soluo timo com custo minimizado.
Neste captulo abordaremos a soluo para o despacho econmico,
atravs dos mtodos deLagrange, de agregao e mtodo interativo. O
problema do unit commitment no serabordado.
4.1 Custo Mdio e Custo Marginal
Do ponto de vista da operao econmica o nico custo pertinente o
custo do combustvelgasto nas unidades termoeltricas. Os demais
custos tais como custo de manuteno, mo-de-obra e outros so
considerados praticamente fixos, portanto no afetam a otimizao
daoperao.
Qualquer que seja o tipo de combustvel utilizado o custo (f) uma
funo da gerao decada usina (g) e apresenta em geral o aspecto tpico
de uma funo convexa e crescenteconforme a Figura 4.1:
-
30
Figura 4.1- Custo da gerao termoeltrica
A funo de custo da gerao termoeltrica obtida a partir do
levantamento do consumode combustvel para cada nvel de gerao,
atravs da utilizao de ajustes polinomiais.
Analisando a funo de gerao f(g) dois conceitos so relevantes
para a operaoeconmica: os custos mdio e marginal de gerao.
4.1.1 Custo mdio de gerao
O custo mdio de gerao representa a eficincia de cada usina em
cada patamar degerao. representado por:
4.1.2 Custo marginal de gerao
O custo marginal de gerao representa o custo adicional pelo
incremento da gerao, ouseja o custo do prximo Megawatt [MW] gerado
para cada unidade. representado por:
dggdfgf )()(' = (4.2)
Estes dois valores medidos em [$/MW], esto ilustrados na figura
4.2, para os nveis degerao g:
(4.1) )()(ggf
gf =
-
31
Figura 4.2 - Custo mdio e custo marginal de uma unidade
termeltrica
Do ponto de vista da operao isolada de uma usina termoeltrica, o
nvel de gerao queminimiza o custo do MW gerado dado pelo ponto de
custo mdio de gerao mnimo. ochamado ponto de mxima eficincia da
usina, onde o consumo especfico do combustvel minimizado.Na figura
4.3 tambm esto representadas as curvas de custo mdio e custo
marginal degerao. O ponto g de mxima eficincia corresponde ao nvel
de gerao onde o customdio e o custo marginal se igualam:
Figura 4.3 - Curvas de custo mdio e marginal de uma
termoeltrica
Do ponto de vista da operao conjunta de um parque termoeltrico,
entretanto, o nvel degerao econmico depende exclusivamente dos
custos marginais de gerao nas usinas eno dependem dos seus custos
mdios.
-
32
4.2 Formulao Matemtica e Mtodos de Resoluo
Para uma dada gerao G, o custo da operao depende da participao
individual de cadausina termoeltrica, e pode ser otimizado atravs
da resoluo do Despacho EconmicoTermoeltrico (DET).
Para o nosso primeiro mtodo de soluo utilizaremos o mtodo de
Lagrange. Aformulao do problema est a seguir:
Onde: i ndice da usina i;I conjunto dos ndices de usinas;gi
gerao da usina i, em [MW];[gim,giM] limites operacionais de gerao
da usina i, em [MW];fi(.) funo de custo de gerao da usina i, em
[$].
4.2.1 Mtodo de Lagrange
O problema a ser solucionado pelo Mtodo de Lagrange consiste em
encontrar a melhorpoltica de operao de um parque de usinas trmicas
para o atendimento da demanda d. Asusinas termoeltricas so
representadas atravs da sua funo de custo de operao fi, quenada
mais so que funes convexas do custo para diferentes nveis de
gerao.
Como exemplo consideremos um sistema com duas unidades
termoeltricas: f1 = a1g12+b1g1+c1 f2 = a2g22+b2g2+c2
a1 e a2 > 0 (4.4)
(4.3)
..
)(min
Mii
mi
Iii
Iiii
ggg
Gg
as
gf
=
-
33
A funo objetivo representada por:
(4.5) ..
)}()({
21
2211
dggas
gfgfMin
=+
+
Teremos portanto um problema formado por uma funo objetivo
sujeita a restrio deatendimento a demanda.
Esta funo objetivo formada pela soma das funes convexas de custo
das unidadestermoltricas. Estas so bem representadas por equaes de
segundo grau, j apresentadasem captulo anteriores. A equao de
restrio define a necessidade de atender a demandade carga e tambm a
condio do mnimo da funo objetivo. Logicamente, o mnimo dafuno seria
g1 e g2 igual a zero, porm no satisfaz a restrio de atendimento
demanda.
O mtodo consiste em introduzir na funo objetivo a restrio da
demanda multiplicadapor um multiplicador de Lagrange
transformando-o agora num problema de otimizaosem restrio.
Como tratam-se de soma de funes convexas para encontrar o seu
mnimo, bastadeterminar o ponto onde a derivada desta funo zero.
(4.7)
2
2
21
2222
1111
ggdL
bgagL
bgagL
=
+=
+=
Igualando as derivadas a zero, chegaremos a um sistema de trs
equaes e trs incgnitas:
dppbpabpa
=+
=+
=+
21
222
111
0202
(4.9)
(4.6) )()()(),,( 21221121 ggdgfgfggL ++=
-
34
Para exemplificar a soluo do mtodo de Lagrange iremos supor o
caso de duastermoeltricas com funes de custo diferentes para
atender uma demanda de 1000 [MW].
Os coeficientes da funo custo das termoeltricas so:Termoeltrica
1 a1=0,5; b1=-200; c1=1000Termoeltrica 2 a2=1; b2=-100; c2=2000
Resolvendo o sistema de equaes pelo mtodo de Lagrange
obteremos:
*= 500 [$/MW], g1*= 700 [MW] e g2*= 300[MW]
Teremos ento que despachar para a trmica 1, com 700 [MW] e a
trmica 2, com 300[MW], isto um custo marginal de 500 [$/MW]. Este
custo marginal determina o custodo prximo Megawatt a ser gerado por
este parque.
O ponto timo de operao, ou ponto de custo mnimo de operao
caracterizado pelaequalizao dos custos marginais das termoeltricas
que compem um sistema, isto claro,quando os valores de gerao no
sejam maior que a gerao mxima, ou menor que agerao mnima.
Se por acaso no nosso sistema, for possvel a compra de energia
[MW] um custo inferiorque o custo * de operao do sistema de um
mercado vizinho, conveniente substituirmosa gerao prpria pela
importao de energia. Caso contrrio, se tivermos um custo
marginal (*) menor, conveniente utilizar todo o parque gerador,
at que o custo marginal atinja o mesmo valor do Megawatt importado.
Analisando esta situao, conclui-se que ainsero de uma nova
termoeltrica s ser atrativa ao sistema se o seu custo for menor
queo custo marginal atual do sistema.
-
35
4.2.2 Mtodo da Agregao
O segundo mtodo para a operao de um sistema termoeltrico com
despacho econmicoapresentado neste captulo o Mtodo da Agregao.
No sentido de automatizar a poltica de operao econmica de um
parque termoeltricoapresenta-se o seguinte procedimento:
1 Condensar o sistema termoeltrico em uma funo custo marginal de
geraoagregado, com as funes de custo marginal de cada termoeltrica
agreg-las graficamente:
Figura 4. 5 - Custo Marginal Agregado
2 Determinando a carga a ser atendida na abcissa da figura 4.5
determinamos o
custo marginal do sistema *;
-
36
3 Entrando com o custo marginal * nas ordenadas da Figura 4.6
determinar onvel de gerao tima de cada termoeltrica
indivualmente.
Os passos 2 e 3 podem ser simplificados atravs da construo das
curvas de participaotima individual gi* em funo da carga demandada
pelo sistema. A Figura 4.6 resume aregra da operao econmica de um
sistema termoeltrico atravs do Mtodo deAgregao. Fornece o nvel de
gerao, o ponto de operao das trmicas que iguala oscustos marginais
do sistema.
Figura 4. 6- Participao na gerao de cada usina
individualmente
-
37
4.2.3 Mtodo Iterativo
O mtodo iterativo consiste em adotar um procedimento de ajustar
o custo marginal de umparque de usinas termoeltricas iterativamente
at que a demanda seja atendida.
Para um melhor entendimento do mtodo considerem o custo marginal
de duastermoeltricas plotadas num mesmo grfico, apresentado na
figura 4.7:
Figura 4. 7 - Exemplo do Mtodo Iterativo para alocao de unidades
trmicas
Para um dado custo marginal inicial 1 corresponde um nvel de
gerao g11 para atermoeltrica 1. Este valor, como pode ser observado
no grfico, est entre os limitesmximo (gmx1) e mnimo (gmn1) de gerao
desta usina, porm, o custo marginalinicialmente estimado no atinge
a funo de gerao da termoeltrica 2. Neste caso, paraassegurar que as
trmicas operem dentro da faixa permitida de operao fazemos
g22=g2mn.
Aps este procedimento, somam-se g11 e g12 e confere-se se esta
soma igual a demanda,admitindo-se uma certa tolerncia de erro. Se a
soma da gerao no satisfaz, ajusta-senovamente o custo marginal no
sentido de atingir o objetivo de equalizar a soma da geraocom a
demanda.
-
38
Iremos supor um novo valor para o , dito 2. Para este valor de 2
,obtem-se g11+ g12 everificar se a soma atinge o objetivo de
equalizar a demanda. Este processo apresentadono fluxograma da
Figura 4.8:
Figura 4. 8 - Algoritmo para a resoluo de DET por Mtodo
Iterativo.
Entrada de dados: ai,bi,ci,d, , , ig e
k=1
(k) =
Calcular gi*( (k))
gi*( (k)) :g
gi* = ig
gi*( (k)) ig
gi* = ig
gi*=gi*( (k))
gtotal = gi*
|gtotal d |: Imprimir gi* e
(k+1) = (k) + (gtotal d)
>
>
