Embed Size (px)
Citation preview
PLU Zerlegung, Rang und Aquivalenz vonMatrizen
Lineare Algebra I
Kapitel 5
15. Mai 2012
Logistik
Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16
Webseite: www.math.tu-berlin.de/˜holtz Email: [email protected]
Assistent: Sadegh Jokar, MA 620, Sprechstunden Donnerstag 11:30-13
Tutoren: Cronjager, Guzy, Kourimska, Rudolf
Anmeldung: uber MOSES
Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847
Telefon: (030) 314-21097 Email: [email protected]
Vorlesungen: VL am Dienstag 10-12 im MA004, Mittwoch 8-10 im H0104
Klausur? 11.07.2012 Mittwoch 8-10 H0104
Der Kurs gilt mit 50% Punkten fur Hausaufgaben als bestanden
Achtung: Die nachste Vorlesung (16.05.12 um 8:00) ist in A 151.
PLU Zerlegung
Theorem.Fur jede Matrix A ∈ K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ K n,n, eineuntere Dreiecksmatrix L ∈ GLn(K ) mit 1-Diagonale und eine obereDreiecksmatrix U ∈ K n,n so dass A = PLU ist. Die Matrix U ist genaudann invertierbar, wenn A invertierbar ist.
Beweis: A hat ihre TNF U: SnSn−1 · · ·S1A = U, wobei U eine obereDreiecksmatrix ist. Da die Matrizen S1 bis Sn invertierbar sind, ist Agenau dann invertierbar, wenn U invertierbar ist:
U = Sn · · ·S1A =⇒ A = S−11 · · ·S−1
n · U.
Jedes Si hat die Form
Si =
1·
1si,i
si+1,i 1·
sn,i 1
Pi,ji mit ji ≥ i .
PLU Zerlegung
Theorem.Fur jede Matrix A ∈ K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ K n,n, eineuntere Dreiecksmatrix L ∈ GLn(K ) mit 1-Diagonale und eine obereDreiecksmatrix U ∈ K n,n so dass A = PLU ist. Die Matrix U ist genaudann invertierbar, wenn A invertierbar ist.
Beweis: A hat ihre TNF U: SnSn−1 · · ·S1A = U, wobei U eine obereDreiecksmatrix ist. Da die Matrizen S1 bis Sn invertierbar sind, ist Agenau dann invertierbar, wenn U invertierbar ist:
U = Sn · · ·S1A =⇒ A = S−11 · · ·S−1
n · U.
Jedes Si hat die Form
Si =
1·
1si,i
si+1,i 1·
sn,i 1
Pi,ji mit ji ≥ i .
PLU Zerlegung
Theorem.Fur jede Matrix A ∈ K n,n gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ K n,n, eineuntere Dreiecksmatrix L ∈ GLn(K ) mit 1-Diagonale und eine obereDreiecksmatrix U ∈ K n,n so dass A = PLU ist. Die Matrix U ist genaudann invertierbar, wenn A invertierbar ist.
Beweis: A hat ihre TNF U: SnSn−1 · · ·S1A = U, wobei U eine obereDreiecksmatrix ist. Da die Matrizen S1 bis Sn invertierbar sind, ist Agenau dann invertierbar, wenn U invertierbar ist:
U = Sn · · ·S1A =⇒ A = S−11 · · ·S−1
n · U.
Jedes Si hat die Form
Si =
1·
1si,i
si+1,i 1·
sn,i 1
Pi,ji mit ji ≥ i .
PLU Zerlegung: Beweis I
Also Sn · · ·S1 =1
. . .
11
sn,n
1
. . .
1sn−1,n−1
sn,n−1 1
Pn−1,jn−1 · · ·
×
1
s22s32 1...
. . .
sn,2 1
P2,j2
s11s21 1s31 1...
. . .
sn,1 1
P1,j1
mit ji ≥ i fur alle i = 1, . . . , n − 1.
PLU Zerlegung: Beweis IIEs gilt aber, dass durch die Multiplikation mit Pn−1,jn−1 in
1. . .
1sn−2,n−2
sn−1,n−2 1sn,n−2 0 1
hochstens die letzten beiden Zeilen vertauscht werden, also kann manschreiben
Pn−1,jn−1
1
·1
sn−2,n−2
sn−1,n−2 1sn,n−2 1
=
1
·1
sn−2,n−2
sn−1,n−2 1sn,n−2 1
Pn−1,jn−1 .
(Durch die Multiplikation APij werden die Spalten i und j in Avertauscht.)
PLU Zerlegung: Beweis III
Analog gilt
Pk,jk
1·
1sl,l
sl+1,l 1...
. . .
sn,l 1
=
1·
1sl,l
sl+1,l 1...
. . .
sn,l 1
Pk,jk
fur k = 2, . . . , n − 1, l = 1, . . . , k − 1.
Es folgt per Induktion, dass Sn · · ·S1 die Form L · P hat, wobei L eineuntere Dreiecksmatrix und P eine Permutationsmatrix ist. Also ist
A = S−11 · · ·S−1
n U = P−1L−1U = PLU.
PLU Zerlegung: Beweis III
Analog gilt
Pk,jk
1·
1sl,l
sl+1,l 1...
. . .
sn,l 1
=
1·
1sl,l
sl+1,l 1...
. . .
sn,l 1
Pk,jk
fur k = 2, . . . , n − 1, l = 1, . . . , k − 1.
Es folgt per Induktion, dass Sn · · ·S1 die Form L · P hat, wobei L eineuntere Dreiecksmatrix und P eine Permutationsmatrix ist.
Also ist
A = S−11 · · ·S−1
n U = P−1L−1U = PLU.
PLU Zerlegung: Beweis III
Analog gilt
Pk,jk
1·
1sl,l
sl+1,l 1...
. . .
sn,l 1
=
1·
1sl,l
sl+1,l 1...
. . .
sn,l 1
Pk,jk
fur k = 2, . . . , n − 1, l = 1, . . . , k − 1.
Es folgt per Induktion, dass Sn · · ·S1 die Form L · P hat, wobei L eineuntere Dreiecksmatrix und P eine Permutationsmatrix ist. Also ist
A = S−11 · · ·S−1
n U = P−1L−1U = PLU.
Rang
Definition.Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A ∈ K n,m wird derRang von A genannt und Rang(A) bezeichnet.
Eigenschaften vom Rang1. Rang(A) ≤ min{m, n}.
2. A ∈ K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n.
3. Ist A = BC , so gilt Rang(A) ≤ Rang(B).
Beweis. Sei Q ∈ GLn(K ), so dass QB in TNF ist. Dann QA = QBC . Inder Matrix QBC sind hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverscheiden. Die TNF von QA ist gleich der TNF von A. Somit konnen inder TNF von A ebenfalls hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverschieden sein. Also Rang(A) ≤ Rang(B).
Rang
Definition.Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A ∈ K n,m wird derRang von A genannt und Rang(A) bezeichnet.
Eigenschaften vom Rang1. Rang(A) ≤ min{m, n}.
2. A ∈ K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n.
3. Ist A = BC , so gilt Rang(A) ≤ Rang(B).
Beweis. Sei Q ∈ GLn(K ), so dass QB in TNF ist. Dann QA = QBC . Inder Matrix QBC sind hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverscheiden. Die TNF von QA ist gleich der TNF von A. Somit konnen inder TNF von A ebenfalls hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverschieden sein. Also Rang(A) ≤ Rang(B).
Rang
Definition.Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A ∈ K n,m wird derRang von A genannt und Rang(A) bezeichnet.
Eigenschaften vom Rang1. Rang(A) ≤ min{m, n}.
2. A ∈ K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n.
3. Ist A = BC , so gilt Rang(A) ≤ Rang(B).
Beweis. Sei Q ∈ GLn(K ), so dass QB in TNF ist. Dann QA = QBC . Inder Matrix QBC sind hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverscheiden. Die TNF von QA ist gleich der TNF von A. Somit konnen inder TNF von A ebenfalls hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverschieden sein. Also Rang(A) ≤ Rang(B).
Rang
Definition.Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A ∈ K n,m wird derRang von A genannt und Rang(A) bezeichnet.
Eigenschaften vom Rang1. Rang(A) ≤ min{m, n}.
2. A ∈ K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n.
3. Ist A = BC , so gilt Rang(A) ≤ Rang(B).
Beweis. Sei Q ∈ GLn(K ), so dass QB in TNF ist. Dann QA = QBC . Inder Matrix QBC sind hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverscheiden. Die TNF von QA ist gleich der TNF von A. Somit konnen inder TNF von A ebenfalls hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverschieden sein. Also Rang(A) ≤ Rang(B).
Rang
Definition.Die Anzahl r der Pivotpositionen in der TNF von A ∈ K n,m wird derRang von A genannt und Rang(A) bezeichnet.
Eigenschaften vom Rang1. Rang(A) ≤ min{m, n}.
2. A ∈ K n,n ist invertierbar genau dann wenn Rang(A) = n.
3. Ist A = BC , so gilt Rang(A) ≤ Rang(B).
Beweis. Sei Q ∈ GLn(K ), so dass QB in TNF ist. Dann QA = QBC . Inder Matrix QBC sind hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverscheiden. Die TNF von QA ist gleich der TNF von A. Somit konnen inder TNF von A ebenfalls hochstens die ersten Rang(B) Zeilen von Nullverschieden sein. Also Rang(A) ≤ Rang(B).
Weitere Eigenschaften von Rang4. Es gibt Matrizen Q ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit
QAZ =
[Ir 00 0
]genau dann wenn Rang(A) = r .
Beweis. Ist Rang(A) = r = 0, dann ist A = 0. Sonst gibt esQ ∈ GLn(K ) so dass QA in TNF ist. Es gibt dann einePermutationsmatrix P ∈ K n,n, so dass
PATQT =
[Ir 0V 0
],
wobei V ∈ Km−r ,r . Nehmen wir nun
Y =
[Ir 0−V Im−r
].
Es folgt
YPATQT =
[Ir 00 0
].
Mit Z = PTY T ergibt sich das Resultat.
Weitere Eigenschaften von Rang4. Es gibt Matrizen Q ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit
QAZ =
[Ir 00 0
]genau dann wenn Rang(A) = r .
Beweis. Ist Rang(A) = r = 0, dann ist A = 0. Sonst gibt esQ ∈ GLn(K ) so dass QA in TNF ist. Es gibt dann einePermutationsmatrix P ∈ K n,n, so dass
PATQT =
[Ir 0V 0
],
wobei V ∈ Km−r ,r .
Nehmen wir nun
Y =
[Ir 0−V Im−r
].
Es folgt
YPATQT =
[Ir 00 0
].
Mit Z = PTY T ergibt sich das Resultat.
Weitere Eigenschaften von Rang4. Es gibt Matrizen Q ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit
QAZ =
[Ir 00 0
]genau dann wenn Rang(A) = r .
Beweis. Ist Rang(A) = r = 0, dann ist A = 0. Sonst gibt esQ ∈ GLn(K ) so dass QA in TNF ist. Es gibt dann einePermutationsmatrix P ∈ K n,n, so dass
PATQT =
[Ir 0V 0
],
wobei V ∈ Km−r ,r . Nehmen wir nun
Y =
[Ir 0−V Im−r
].
Es folgt
YPATQT =
[Ir 00 0
].
Mit Z = PTY T ergibt sich das Resultat.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit
Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist
B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann ist
A = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
Aquivalenz von Matrizen
Definition.Zwei Matrizen A, B ∈ K n,m heißen aquivalent, wenn es MatrizenQ ∈ GLn(K ) und Z ∈ GLm(K ) mit A = QBZ gibt.
I Reflexivitat: A = QAZ mit Q = In und Z = Im.
I Symmetrie: Ist A = QBZ , dann ist B = Q−1AZ−1.
I Reflexivitat: Sind A = Q1BZ1, B = Q2CZ2, dann istA = (Q1Q2)C (Z2Z1).
Frage: Was bildet eine vollstandige Menge von Reprasentanten dieserAquivalenz?
Antwort: Die Menge
{[
Ir 00 0
]∈ K n,m : r ≤ min{n,m}}.
