PME 3361 Processos de Transferência de Calorpaineira.usp.br/sisea/wp-content/uploads/2018/09/Apostila-PME3361... · e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração

ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA

SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS www.usp.br/sisea

PME – 3361 Processos de Transferência de Calor

Prof. Dr. José R Simões Moreira

2o semestre/2018 versão 1.5

primeira versão: 2005

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________ http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2018

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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 3361 - Processos de Transferência de Calor (antiga PME 2361) ministrada aos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Dewitt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, que é mais completo e deve ser consultado e estudado.



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Prof. José R. Simões Moreira Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644

Breve Biografia

Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação do Instituto de Energia e Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos termoquímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua décima quarta edição. Tem sido professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações industriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG-Shell. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui duas patentes. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor dos livros “Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética (2017) e "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999), beom como autor de um capítulo do livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou mais de 20 mestres e doutores, além de cerca de 50 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um número superior a 90 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.



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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a seguinte dúvida entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há diferença entre elas”? Para responder à essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar um pouco das premissas da Termodinâmica. A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:

- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)

- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva)

- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de conversão de uma forma de energia em outra”)

Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT

inicial final As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina:

frasco

ambientef TT Gf TT

t



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Termodinâmica: TmcUQT - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico médio – APENAS ISTO! Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto tempo t levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente (gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?

Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja

atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência

de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parâmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode se dar no interior de um corpo ou sistema ou na interface da superfície deste corpo e um meio fluido.

(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor

TERMIDINÂMICA: 1ª Lei: cec qqw . Permite conhecer ou estabelecer o trabalho

e os fluxos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os equipamentos (tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:

c

e

w

qCOP

TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas:

compressor válvula

condensador

evaporador



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- Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.

Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do fluxo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.

(a) Condução de calor - Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)

dx

dTAq

x

. .

x

sólido



7

onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq

T : temperatura A constante de proporcionalidade é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:

dx

dTkAqx

As unidades no SI das grandezas envolvidas são:

[x

q ] = W ,

[ A ] = 2m , [T ] = K ou Co , [ x ] = m .

assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm

Wo

ou Km

W

A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-texto. Necessidade do valor de (-) na expressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para 12 TT

T2

T1

T

x

T

xx1 x2

0xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,

portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)

Além disso, do esquema: 00

0

x

T

x

T, daí tem-se que o gradiente também será

positivo, isto é:



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0dx

dT mas, como 0k (sempre), e 0A (sempre), conclui-se que,

então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que 0xq na direção de x.

Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT , conforme próximo esquema, a equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)

De forma que a Lei da Condução de Calor é: Lei de Fourier (1822)

(b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)

)( TTAq S

onde, a proporcionalidade é dada pelo coeficiente de transferência de calor por

convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:

dx

dTkAq

x

)( TThAq S



9

onde: A : Área da superfície de troca de calor;

ST : Temperatura da superfície;

T : Temperatura do fluido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato fluido-superfície (área da superfície, sua rugosidade e sua geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor. (c) Radiação Térmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884). Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica

(para um corpo negro) constante de Stefan – Boltzmann (5,669x10-8 W/m2 K4)

Corpos reais (cinzentos) 4ATq , onde é a emissividade da superfície que é sempre menor que a unidade.

Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas

ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.

4ATq



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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência

de calor e massa, Incropera

1.1 A base, com 5 mm de espessura, de uma panela com diâmetro de 200 mm pode ser feita com ferro fundido (k=80,2 W/(m K)) ou cobre (k=390 W/(m K)). Quando usada para ferver água, a superfície da base exposta à água encontra-se a 110ºC. Se calor é transferido do fogão para a panela a uma taxa de 600 W, qual é a temperatura da superfície voltada para o fogão para cada um dos dois materiais? Dados do problema: Diâmetro do fundo da panela: ∅ = ��

Espessura do fundo da panela: = ��

Condutividade dos materiais: alumínio - � = , � � ; cobre - � = � �

Temperatura no fundo do lado em contato com a água: � = °�

Desenho esquemático:

Hipóteses: 1. Regime permanente

2. Problema unidimensional

Solução: Da lei de Fourier: � = −�� = −�� − �

Sabendo que � = �, e que � = ��24 = , ∗ , 24 = , � � = �� + �

Para o ferro fundido: � = � ∗ , �, �� ∗ , � + = , °�

Para o cobre:

� = � ∗ , �� ∗ , � + = , °�

Note-se que devido à condutividade do cobre ser maior do que a do alumínio a diferença de

temperatura entre T1 e T2 são menores.

1.2 Uma caixa de transmissão, medindo w=0,3 m de lado, recebe uma entrada de potência de Pent=150 HP fornecida por um motor elétrico. Sendo a eficiência de transmissão η=0,93; com o escoamento do ar caracterizado por T∞=30ºC e h = 200 W/(m2K). Nessas condições, pede-se qual é a temperatura superficial da caixa de transmissão? Dados do problema: Dimensões do cubo = , �

Quantidade de faces exposta: 6

Potência de entrada: � = ��

Rendimento da caixa de transmissão: � = ,

Temperatura do ar: �∞ = °�

e



11

Conversão de unidade: �� = �


2. Coeficiente convectivo e temperatura na superfície uniforme

3. Transferência de calor por radiação desprezível

Solução: � = Da lei de resfriamento de Newton: � = ℎ � � − �∞ = ℎ � − �∞

A potência transmitida é dada por � = � �. Logo, a parte não foi transmitida se

transformou em um fluxo de calor que pode ser obtido por: � = � − � = �� − , = �

Igualando ambos obtemos a temperatura da superfície: � = �∞ + � ℎ = °� + �∗ �� , � = , °�

1.3 Considere a caixa de transmissão do problema anterior, mas agora permita a troca por

radiação com a sua vizinhança, que pode ser aproximada por um grande envoltório a Tviz

=30ºC. Sendo a emissividade da superfície da caixa a ε=0,8, qual é a sua temperatura?

Dados do problema: Dimensões do cubo = , �

Quantidade de faces exposta: 6

Potência de entrada: � = ��

Rendimento da caixa de transmissão: � = ,

Temperatura do ar: �∞ = °�


2. Coeficiente convectivo e

temperatura na superfície

uniforme

3. Transferência de calor por

radiação com a vizinhança

Solução:

Aproveitando a solução do exercício anterior: � = � e � =

A transferência de calor se dá por convecção e radiação, fazendo um balanço de energia para

regime permanente temos que: � − � í = Sendo que: � � = �[ ℎ � − �∞ + ��(�4 − ��4 )]

Igualando a taxa de calor da transmissão temos (nota: as temperaturas têm que ser absolutas:

� = , [ � − + , ∗ , ∗ −8 �4 − 4 ]

Radiação Convecção



12

Após tentativa e erro, obtém-se: � ≈ � = °� Notamos que para a temperatura � ≈ � , a � � ≈ � e � = �, ou seja, a

transferência de calor por convecção é predominante. E como vimos no exercício anterior, se

desprezarmos a radiação a temperatura da superfície será de � = , °�.


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AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR

CONDUÇÃO DE CALOR

Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k

Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente

proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:

x

Tkq

, onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a

condutividade térmica do material.

As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:

x

TA

qk

m

Cm

Wk

o2

Cm

Wk

o ou

Km

W

.

Sendo:

k: condutividade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de

forma experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de

apêndice do livro-texto.

Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k

isolante

x

A

Resistência

elétrica

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

i

Pontos de medição de

temperatura

q

A


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No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica

enrolada em torno da haste do bastão. O fluxo de calor gerado por efeito joule vai ser

conduzido da haste para o bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de

temperatura (termopares, por ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de

temperaturas ao longo de bastão, como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente

falando, esse perfil temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo

de calor fornecido é a própria potência elétrica dissipada, ou seja, IUIRq 2 .

Sendo a seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a

condutividade térmica do material da haste, k. Neste caso,

x

TA

qk

.

Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é

diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os

mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.

Gases

O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais

energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a

temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento

molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica

flui. Pode-se mostrar que.

Tk

Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados

tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,

desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.

Líquidos

Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos

líquidos é o mesmo do que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais

complexa devido à menor mobilidade das moléculas.


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Sólidos

Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:

vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais

efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons

condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de

calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.

O diagrama a seguir ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutividade

térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutividade aumenta na sequência de

gases, líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.

EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS

Balanço de energia em um

volume de controle elementar


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BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI) NO VC DIFERENCIAL

Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de

calor que calor de variação calor que

entra no + gerada = da energia + deixa o

V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C.

(I) (II) (III) (IV)

Sejam os termos:

(I) Fluxo de calor que entra no VC

Direção x

x

TdAk

x

Tdzdykq xxx

-

Direção y

y

Tdzdxkq yy

y

Tdzdxkq yy Direção z y

Tdydxkq zz

(II) Taxa de calor (energia térmica) gerado no interior do VC:

dz q '''

G dydxEG

onde: '''

gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. 3mW

(III) Taxa temporal de variação da energia interna

t

Tcdzdydx

t

um

t

UEar

onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. CkgkJ o/

(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:

Direção x: xdx

qqq xxdxx )(0 2dxdx

x

qqq x

xdxx

Direção y:

dy

y

qqq

y

ydyy

z

Tdydxkq zz


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Direção z:

dzz

qqq z

zdzz

Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:

dzz

qqdy

y

qqdx

x

qq

t

Tcdxdydzdxdydzqqqq z

z

y

y

x

xGzyx

'''

+ ordem superior

simplificando os termos zyx qqq e , , vem:

, ''' dzz

qdy

y

qdx

x

q

t

Tcdxdydzdxdydzq zyx

G

e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,

dxdydzkz

dxdydzky

dxdydzkxt

Tcdxdydzdxdydzq zyxG

z

T

y

T

x

T '''

Dividindo ambos os lados pelo volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:

Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução analítica para

todos os casos e geometrias, porque se trata de um problema que depende das condições

inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que

dependem da geometria do problema, do fato de ser ou não em regime permanente, bem

como das condições de contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo:

),,,( tzyxTT . A seguir são apresentados alguns casos básicos.

Casos:

A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T)

kkkk zyx

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T'''

g

T

1

2

2

2

2

2

2

2

onde,

t

T

z

T

y

T

x

T "'

cqkz

ky

kx

Gzyx


____________________________


18

=c

k

é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é:

s

m

s

s

J

mW

Kkg

J

m

kg

Km

W

c

k ²²

3

Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:

onde:

2

2

2

2

2

22

zyx

é o operador matemático chamado de Laplaciano no

sistema cartesiano de coordenadas.

Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,

embora ela tenha sido deduzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a

formulação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado.

Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o

Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo,

- Cilíndrico: 2

2

2

2

2

2 11

zrrr

rr

- Esférico: 2

2

222

2

2

2 sen

1 sen

sen

11

rrr

rrr

B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq

(Eq. de Fourier)

C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0

t

T

(Eq. de Poisson)

D) Regime permanente e k constante e uniforme

(Eq. de Laplace)

t

T

k

qT G

1

'''

2

t

TT

12

0'''

2 k

qT G

02 T


____________________________


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2.1 Considere uma parede plana com 100 mm de espessura e condutividade térmica de 100 W/m

K. Supondo a manutenção de condições de regime permanente, com T1 = 400 K e T2 = 600 K,

determine o fluxo de calor q”x e o gradiente de temperatura dT/dx para os sistemas de

coordenadas mostrados.

Dados do problema: T1 = 400 K ; T2 = 600 K ; k= 100 W/

m K ; L=100 mm. Hipóteses:

1. Transferência de calor

unidimensional

2. Propriedades, k é constante

3. Regime permanente

4. Sem geração interna de calor

Solução: A equação de transferência de calor: ��′′ = −� ��

O gradiente de temperatura é constante na parede é constante podendo ser representado desta

forma: �� = � − �

Substituindo os valores numérico no gradiente, temos:

a) �� = � −� = −, = /�

b) �� = � −� = −, = − /�

c) �� = � −� = −, = /�

A taxa de calor é calculada utilizando a equação da Lei de Fourier e considerando k=

100 W/m.

a) ��" = − � = − ��

b) ��" = − � − = + ��

c) ��" = − � = − ��

2.2 Condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia interna

uniforme ocorre em uma parede plana com espessura de 50 mm e uma condutividade

térmica constante igual a 5 W/ (m K). Nessas condições, a distribuição de temperaturas tem

a forma T (x)= a +b x +cx2. A superfície em x=0 está a uma temperatura T(0) = T0 =120°C.

Nessa superfície, há convecção com um fluido a T∞ = 20°C com h = 500 W/(m2 K). A

superfície em x=L é isolada termicamente.

(a) utilizando um balanço de energia global na parede, calcule a taxa de geração interna de

energia utilizando um balanço de energia na parede, calcule a taxa de geração interna de

energia.

(b) determine os coeficientes a, b e c aplicando as condições de contorno na distribuição de

temperaturas especificada. Use os resultados para calcular e representar graficamente a

distribuição de temperatura.

Desenho esquemático:


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Hipóteses: 1. Regime estacionário

2. Condução unidimensional

3. Propriedades constantes e geração interna de calor constante

4. Condição de contorno, x=L é adiabático

Solução: (a) a geração interna de energia pode ser obtida pelo balanço de energia na parede �̇′′ − �̇ í′′ + �̇�′′ =0 onde �̇ í′′ = � �′′

Substituindo temos: ℎ �∞ − � + �̇ =

sendo �̇ = −ℎ �∞−� = −5 � − °�, = , �

b) aplicando as condições de contorno podemos obter os coeficientes a, b e c da equação de

distribuição de temperatura.

Condição de contorno 1: quando x= 0, convecção na superfície. �̇′′ − �̇ í′′ = � �′′ − ��′′ = o qual, ��′′ = −� ��)�=

Substituindo ��′′ (distribuição de temperatura), ℎ �∞ − � − [−� + + � �= ] = , assim obtemos o coeficiente b: = − ℎ �∞ − �� = −5 � − °� 5 � = , �

Condição de contorno 2: x=L, parede adiabática ou superfície isolada �̇ − �̇ � = −��′′ = onde, ��′′ = −� ��)�= �[− + + �]�= = assim obtemos c, = − = − , , = − ,

Desde que a temperatura em x=0 é conhecida, T(0)=T0 =120°C, obtemos:

� = °� = + + ou a =120°C obtendo o perfil de temperatura

� � = °� + , � � − , � �


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AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA

O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o

caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e

propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado

na figura abaixo em que uma parede de espessura L, tendo a face esquerda mantida a

uma temperatura T1, enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se

imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de

temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da

parede é linear, como indicado na figura, com T1 > T2.

Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida

na aula anterior, isto é:

t

T

k

qT G

1

'''

2

Introduzindo as simplificações do problema, vem:

i. Não há geração interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional (1D): 1

2

22

x

Assim, com essas condições, vem que 02

2

x

Td, e a solução procurada é do tipo T(x).

Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx

dT

Logo, substituindo na equação, vem que 0dx

d


____________________________


23

Integrando por separação de variáveis vem:

1Cd , ou seja: 1C

Mas, como foi definido dx

dT 1C

dx

dT

Integrando a equação mais uma vez, vem:

21)( CxCxT Que é a equação de uma reta, como já antecipado.

Para se obter as constantes C1 e C2, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse

exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos

matemáticos isso quer dizer que

(A) em x = 0 1TT

(B) e em x = L 2TT

De (A): 12 TC

e de (B): 112 TLCT L

TTC 12

1

Assim,

Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT , como mostrado na figura abaixo.

Cálculo do fluxo de calor transferido através da

parede

.

Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:

dx

dTkq

e, substituindo a distribuição de temperaturas,

vem:

L

TTkT

L

xTT

dx

dkq 12

112

, ou,

em termos de fluxo de calor por unidade de área,

temos: mW 212''

L

TTk

qq

Esquecendo o sinal de (-), já que sabemos a direção do fluxo de calor, vem

112 )()( TL

xTTxT

L

Tkq

''


____________________________


24

Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: Aumentar o fluxo de calor q”: . Com o uso de material bom condutor de calor, isto é, com k

. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L

Ou diminuir o fluxo de calor q”: . Com o uso de material isolante térmico k

. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.

Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor

unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica

constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua

aplicação é para tubos cilíndricos.

A equação geral é da forma t

T

k

qT G

1

'''

2

Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em

coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:

t

T

k

q

z

TT

rr

Tr

rr

G

111 '''

2

2

2

2

2

Introduzindo as simplificações:

i. Não há geração interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional (1D): que é válido para um tubo muito longo, ou

seja, T não depende de z, logo 02

2

z

T

iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02

2

T

As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na

direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:


____________________________


25

0

dr

dTr

dr

d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT

As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:

A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr

A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:

ee TTrr

Solução:

1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:

10 Cdrdrdr

dTrd 1C

dr

dTr

Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:

21 Cr

drCdT

Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não

linear como no caso da parede plana.

Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação das condições de contorno:

(A) ii TTrr 21 )ln( CrCT ii

(B) ee TTrr 21 ) ln( CrCT ee

Fazendo-se (A) – (B), temos que e

i1

r

rln CTT ei , ou

e

i1

r

rln

ei TTC

Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:

Distribuição de temperatura, supondo ei TT .

21 )ln( CrCrT

e

ei TTT

rT

e

e

i r

rln

r

rln


____________________________


26

Te

Ti

re ri raio

Lei logarítmica T

O fluxo de calor é obtido por meio da Lei de Fourier, isto é, dr

dTkq

Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área da

seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo.

rLA 2 (área da casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo

Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,

21 )ln()( CrCrT , vem:

])ln([2 21 CrCdr

drLkq

ou, efetuando a derivação, temos:

r

kLrCq1

2 1

ou, ainda: 12 kLCq

Substituindo, 1C :

e

i

r

rln

2 ie TTkLq

(W)

O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!

Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área, ''q , depende da posição radial

e

i

ie

r

r

TT

rL

kL

A

qq

ln

)(

2

2''

e

i

ie

r

r

TT

r

kq

ln

)('' 2

mW


____________________________


27

Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa,

Çengel. 3.1. Considere que a base do ferro de passar roupa doméstico possui uma espessura de L

= 0,5 cm, e uma área de A = 300 cm2, o material de ferro com condutividade térmica, k

= 15 W/m. A superfície interna da placa é aquecida por uma resistência de 1200 W e a

superfície externa ocorre uma transferência de calor por convecção a vizinhança com T∞

= 20°C como apresentado na figura abaixo. Considerando um coeficiente de

transferência de calor por convecção, h = 80 W/m2°C, e que a transferência de calor por

radiação é desprezível, determine a distribuição de temperatura ao longo da placa e a

temperatura da superfície interna e externa.

Hipóteses: Estado estacionário

A condução e calor é unidimensional

As propriedades físicas constantes

Sem geração interna de energia

A isolação térmica na superfície interna é

perfeitamente adiabático

Dados do problema: h = 80 W/m

2°C ; L = 0,5 cm ; A = 300 cm

2; T∞ = 20°C ; k

= 15 W/m

Solução: O fluxo de calor na superfície interna é dada por, ̇ = �̇� � = �, � = �� .

A partir da equação de difusão do calor e as hipóteses admitida obtemos a equação diferencial

abaixo: �� =

Integrando a equação acima duas vezes obtemos o perfil de temperatura: �� = � . Integrando mais uma vez obtemos, � � = � � + � . C1 e C2 são as constantes de

integração e são obtidas aplicando as condições de contorno.

Condição de contorno 1: Na superfície interna, � = , −� ��|�= = ̇ , o que indica que −�� = ̇ e � = − �̇

Condição de contorno 2: Na superfície externa, � = , � = � + � e −� �� = ℎ[� − �∞] → −�� = ℎ[ � + � − �∞] Substituindo � = − �̇ e resolvendo para obter C2, temos: � = �∞ + ℎ̇ + �̇ . Substituindo

as constantes no perfil de temperatura obtemos:

� � = �∞ + ̇ ( − �� + ℎ ) Aplicando os valores na equação acima para � = e � = , � encontramos a

temperatura da superfície interna e externa respectivamente.

� = °� + �� ( , ��°� + �� °�)

= °� � = °� + �� °� = °�


____________________________


28

3.2. Um tubo por onde passa vapor de água possui as seguintes dimensões: comprimento, L=20

m; raio interno r1= 6 cm; raio externo r2=8 cm; e condutividade térmica, k= 20W/m°C. A

temperatura média da superfície interna e externa, T1=150°C e T2=60°C, são mantidas

constantes. Obtenha a distribuição de temperatura da parede do tubo e determine a perda de

calor do vapor por meio da parede do tubo. Hipóteses:

1. Regime estacionário

2. Condução de calor unidimensional

3. As propriedades físicas

4. Sem geração calor

Solução: Da equação de difusão de calor para

coordenada cilíndrica, ( �) =

Integrando uma vez temos, � = e integrando mais

uma vez obtemos o perfil de temperatura: � = � ln + � Aplicando as condições de contorno para determinar as constantes,

C.C 1: = � = � = °� → � = � ln + � →� = � −�ln

C.C 2: = � = � = °� → � = � ln + � →� = � − � −�ln ln

Substituindo as constantes no perfil de temperatura obtemos: � = lnln � − � + �

A taxa de calor do vapor é determinada utilizando a lei de Fourier, �̇ = −�� = −� � � = − �� = �� − �ln Substituindo os valores numéricos obtemos: �̇ = � ( ��°�) � − °�ln ,, = ��



29

AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.

Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações:

- parede 1: 1

211

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

1

121

- parede 2: 2

322

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

2

232

- parede 3: 3

433

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

3

343

Assim, somando os termos _____________

de todas as paredes: Ak

LqTT

i

i 41

ou, simplesmente,

R

Tq

onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a

resistência térmica da parede composta, dada por Ak

LR

i

i

ANALOGIA ELÉTRICA Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:

qi TU

TÉRMICOÔHMICORR



30

Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.

Circuito elétrico equivalente

Fluxo de calor que é:

T

total

R

Tq

5//1 RRRRT

com

432//

1111

RRRR

Resistência térmica de contato Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato, � ," , devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies, como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode estar presente.

q



31

A resistência térmica de contato é dada por � ," = � − ��"

Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do Incropera, reproduzida a seguir.

CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule)

2RIP (W) Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W)

R : resistência ôhmica ( ) I : corrente elétrica (A)

Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)

UIP ou R

UP

2

Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW ,

V

PqG '''

(W/m3), onde V : volume onde o

calor é gerado. 2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por

exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma reação endotérmica, 0''' Gq .



32

3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). Esse é o caso de resistências elétricas planas. Lb

T1

T2

2L

2b

i

Equação geral

t

T

k

qT G

1'''

2 , sendo que 0

t

T (regime permanente)

0'''

2 k

qT G )(xTT

Condições de contorno: (1) Lx 1TT (2) Lx 2TT

Solução

Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx

dT ,

Então k

q

dx

d G'''

Integrando essa equação por partes, vem:

1

'''

Cdxk

qd G , mas como

1

'''

então , Cxk

q

dx

dT

dx

dT G



33

Integrando novamente: Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.

Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e,

claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''

Gq for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas

resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.

Determinação das constantes 1C e 2C : Condições de contorno

(1) 21

2'''

1 2CLC

k

LqT G - temperatura da face esquerda conhecida

(2) 21

2'''

2 2CLC

k

LqT G - temperatura da face direita conhecida

Somando (1)+(2), vem:

2

2'''

21 2Ck

LqTT G

k

LqTTC G

22

2'''21

2

.

Substituindo em (1) ou (2), tem-se L

TTC

212

1

Então, a distribuição final de temperaturas é:

CASOS:

(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma

temperatura: STTT 21 . Daí, resulta que:

21

2'''

2)( CxC

k

xqxT G

22)(

2

)()( 21

12

22''' TT

L

xTT

k

xLqxT G

SG T

k

xLqxT

2

)()(

22'''



34

É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''

Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo

e, no plano central, haveria a mínima temperatura.

Também poderia se chegar a essa expressão usando 0dx

dT

S

GCMÁX

Tk

LqTT

2

2'''

O fluxo de calor (lei de Fourier)

dx

dTkAq ou, o fluxo de calor por unidade de área,

dx

dTk

A

qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:

S

'''G'' T

k

)xL(q

dx

dkq

2

22,

ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno. Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q

(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo,

21 TT , como ilustrado abaixo a seguir.

'''''Gxqq



35

Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :

0máxxdx

dTk ou

022

)()(2

2112

22'''

TT

L

xTTxL

k

q

dx

d G , que resulta em:

02

)( 12'''

L

TTx

k

qmáx

G

Cuja solução é: Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!

PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer

sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico.

Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não

sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula?


de calor e massa, Incropera 4.1. O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre sua superfície interna. (a) Se o ar quente está a T∞,i = 40°C e o coeficiente de convecção correspondente é a hi = 30 W/(m2 K), quais as temperaturas das superfícies interna e externa de uma janela de vidro de 4 mm de espessura se a temperatura do ar ambiente é T∞,e = -10°C e o coeficiente de convecção associado é he = 65 W/(m2 K)?

'''12

2

)(

G

máxLq

kTTx



36

Diagrama esquemático do problema:

Hipóteses:

1. Regime estacionário 2. Condução unidimensional 3. A transferência de calor por radiação é desprezível 4. As propriedades físicas são constantes

Solução: (a) O fluxo pode ser obtido por: �′′ = �∞, − �∞,� � = �∞,� − �∞,ℎ + � + ℎ� = °� − − °�� + , �, � + �

= °�, + , + , � / = � Se o fluxo de calor �′′ = ℎ�(�∞,� − �∞, ), a temperatura da superfície é: � ,� = �∞,� − �′′ℎ� = °� − �� = , °�

Da mesma forma obtemos para a temperatura da superfície externa: � , = �∞, − �′′ℎ� = − °� − �� = , °C

4.2.Uma parede plana de espessura 0,1 m e condutividade térmica k = 25 W/(m K) com geração volumétrica de calor uniforme de 0,3 MW/m3 é isolada de um lado enquanto o outro lado é exposto a um fluido a 92°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é 500W/(m2 K). Determine a temperatura máxima da parede.

Hipóteses: 1. Regime estacionário 2. Condução unidimensional 3. Geração de energia uniforme no

volume 4. A superfície interna é adiabática

Solução: A equação do perfil de temperatura é para parede plana é dado por; � � = � � + � Como a parede interna é adiabática, a temperatura no ponto � = , é a temperatura máxima na parede que pode ser obtido com a equação: � = �̇�� + �

A temperatura externa pode obtida por: � = �∞ + �̇ℎ = °� + , � , �� = + = °�

Consequentemente obtemos: � = , � , � �� + °� = + = °�



37

AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE

GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equação geral da condução de calor:

t

T

k

qT

'''G

12

(Regime permanente)

Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:

2

2

2

2

22 11

z

TT

rr

Tr

rrT

Hipóteses adicionais

- simetria radial: 02

2

(não há influência da posição angular numa seção

transversal, pois há simetria radial)

- o tubo é muito longo: 02

2

z

(não há efeitos de borda na direção axial)

Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, )(rTT Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:

01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Ou, integrando por partes:

1

'''

Crdrk

q

dr

dTrd G

, ou, ainda: 1

2'''

2C

k

rq

dr

dTr G

Integrando novamente por separação de variáveis:

2

1'''

2Cdr

r

Cr

k

qdT G

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G



38

*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: (1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida

(2) 00

rdr

dT simetria radial na linha central

Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,

também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.

Da segunda condição de contorno, vem que:

02

lim 1'''

0

r

C

k

rqG

r

Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.

Da primeira condição de contorno.

2

20

4C

k

rqT

'''

GS ou,

k

rqTC G

S 4

20

'''

2

Finalmente, a equação da condução de calor fica:

É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !

Sendo, SG

máx Tk

rqT

4

20

'''

Calcule o fluxo de calor!

SG Trrk

qT 22

0

'''

4



39

EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere uma resistência tubular cilíndrica longa revestida de isolamento térmico perfeito do seu lado externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .

Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''

Gq uniforme.

a) calcule a distribuição de temperaturas na parede da resistência cilíndrica; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente) da resistência tubular; c) determine a temperatura da superfície externa da resistência.

Solução: Hipóteses: as mesmas que as anteriores.

Eq. 01 '''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Condições de contorno: (1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)

(2) 0erdr

dT (fluxo de calor nulo na superfície)

A solução geral, como já visto, é:

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G

Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:



40

i

ie

ieG Tr

r

r

rr

k

rqrT

ln2

4)(

2

222'''

k

rqC eG

2

2'''

1 ;

)ln(2

4

22'''

2 i

e

ieGi r

r

r

k

rqTC

Assim,

O fluxo de calor é:

dr

dTkAq

)()2( rTdr

drLkq

Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:

22'''ieG rrq

L

q (W/m)

A temperatura máxima é:

emáx TT

i

i

e

e

eieG

emáx Tr

r

r

rr

k

rqTT

ln2

4 2

222'''

OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a C

o95 e o coeficiente de transferência de calor vale CmkW

o2/10 . Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua

condutibilidade térmica vale CmW o/5,22



41

CTo

c 267

Solução:

Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.

R

URiP

22 ;

A

LR

m 81070

mL 3,0 , 26232

100425,84

)102,3(

4m

DA

2

6

8

106111,2100425,8

3,01070R

kWP 830,3106111,2

1002

3,0100425,8

1083,31083,36

33

LAV

PqG

3910587,1

m

WqG

hA

PTTTThAP PP )(

3,0)102,3(1010

1083,395 33

3

PT

CTo

P 222

k

rqTT oG

Pc 4

2

5,224

)106,1(10587,1222

239

cT



42

RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações

- paredes planas

R

TTq 21

kA

LR

- circuito elétrico

- paredes compostas

- Circuito elétrico

Ainda,

onde

432//

1111

RRRR

5//1 RRRREQ

EQR

TTq 21



43

- Tubo cilíndrico

R

TTq ei ;

kL

rr

Ri

e

2

ln

- Tubo cilíndrico composto


ieq RR

Para dois tubos:

Lk

r

r

R1

1

2

1 2

ln

Lk

r

r

R2

2

3

2 2

ln

Lk

r

r

Ri

i

i

eq 2

ln 1



44

Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?

Lei de convecção (Newton)

)( TThAq p e

hA

TTq

p

1

onde, hA

1 é a resistência térmica de convecção


Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:

- Convecção em tubo cilíndrico

LkA



45

Tabela-resumo de Resistências Térmicas

Circuito Elétrico

Fluxo de

Transferência

de calor

Resistências Térmicas

Parede plana

R

TTq 21

kA

LR

Parede plana com convecção

R

TTq 21

321 RRRR

AhkA

L

AhR

21

11

Paredes compostas

EQR

TTq 21

5//1 RRRREQ

432//

1111

RRRR

Tubo cilíndrico

R

TTq ei

kL

rr

Ri

e

2

ln

Tubo cilíndrico composto

eq

ei

R

TTq

Lk

r

r

Ri

i

i

eq 2

ln 1

Convecção externa em tubo cilíndrico

eq

ei

R

TTq

hAkL

rr

Ri

e

eq

1

2

ln



46

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U O coeficiente global de transferência de calor é definido por:

totalTUAq

Claramente, U está associado com a resistência térmica,

- parede plana

AhkA

L

AhR

21

11

TUAR

Tq

RUA

1 ou

RAU

1

Logo,

21

111

hk

L

h

U

- tubo cilíndrico

Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são

intercambiáveis mediante a seguinte expressão:

totaliitotalee TAUTAU

Logo, iiee AUAU



47

U referido à área externa:

e

rr

e

e

hkL

AU

i

e 1

2

ln1

U referido à área interna:

ee

irr

i

i

hA

A

kL

AU

i

e

2

ln

1

RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio

ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em

custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e

simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais

pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta

operação.

Como visto, o fluxo de calor é

hLrkL

TTq

e

rr

i

i

e

2

1

2

ln

ou, hrk

TTLq

e

rr

i

i

e 1ln

)(2

Note que o raio externo que aparece no

denominador dessa expressão tem duas

contribuições: uma no termo de condução e a

outra no termo de convecção. De forma que, se

o raio externo do isolamento aumentar, ele

diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência

térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um

ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre

quando a derivada é nula, isto é,



48

h

krcrit

2.

1

.

12

1ln

)(20

erhe

rk

hrk

TTL

dr

dq

e

rr

i

ei

e

Assim,

2

11

ee hrkr

critr é o chamado raio crítico de isolamento.

Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h

k a transferência de calor

será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio

crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao

desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de

isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão

de fato diminuir a perda de calor.

Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por

convecção de h = Cm

Wo27 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos

de isolamento para alguns isolantes térmicos.

material

CmW

ok critr (mm)

Teflon 0,350 50,0 Papel 0,180 25,7 Couro 0,159 22,7

Borracha macia 0,130 18,6 Silicato de cálcio 0,055 7,9

Lã de vidro 0,038 5,4 Poliestireno expandido 0,027 3,9

Folhas de papel e alumínio de

vidro laminado 0,000017 0,0024

Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa,

Çengel 5.1 Um fio com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento com isolante de plástico, espessura de 2 mm e condutividade térmica, k = 0,15 W/m°C. Medições elétricas indicam que passa uma corrente de 10 A pelo fio e a queda de tensão ao longo do fio é de 8 V. O isolamento de plástico fica exposto ao ar com T∞ = 30°C e o coeficiente de transferência de calor, h = 12W/m

2°C.

Determine a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolante em operação de regime permanente, e determine o raio crítico.



49

Hipóteses: 1. Regime permanente 2. A condução de calor unidimensional 3. As propriedades físicas constantes 4. A resistência de contato entre fio e o isolante é desprezível 5. A transferência de calor por radiação está incluída no

coeficiente de transferência de calor Solução: A taxa de transferência de calor do fio para o isolante é igual a taxa de geração de calor produzido devido à resistência, assim podemos obter: ̇ = ̇� = � = � = A área da superfície externa, � = � � � = � , � � = , � E as resistências apresentadas são dados por: � � = ℎ� = � °� , � = , °�

�� = ln �� = ln ,, � , �°� � = , °�

Portanto: �� = �� + � � = , + , = , °�� ̇ = �1−�∞�� → determinando a temperatura na superfície de contato entre o fio e a capa de

plástico: � = �∞ + ̇ �� = °� + , °�� = °� Ainda determinamos o raio crítico do isolamento: �� = �ℎ = , �°�� °� = , � = , ��

O raio crítico, rcr , com o aumento da espessura da capa de plástico a taxa de transferência de calor aumenta se a temperatura da superfície de contato permanecer constante. Este comportamento ocorre até que o raio da capa plástico atinja o raio crítico.

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 50

____________________________


AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

Considere uma superfície aquecida (ou resfriada) que se deseja trocar calor com um

fluido que a envolve que está à temperatura T∞.

Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por

TThAq s , onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a

área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).

Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por

exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,

aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o

fluxo de calor trocado. Porém, há um preço a pagar e este preço é o fato que vai se

exigir a utilização de equipamentos de maior porte para movimentação do fluido, ou

seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).

Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste

em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilustradas

abaixo.

Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo

aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida e o fluido.


____________________________


Alguns poucos exemplos de aplicação de aletas:

(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar, como os do

“velho” fusca e motores de motocicletas;

(2) carcaça de motores elétricos;

(3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado;

(4) dissipadores de componentes eletrônicos e de CPUs de computadores;

(5) orelhas de elefantes.

TIPOS DE ALETAS

A figura abaixo ilustra uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem

centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao

processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).

(j) (k)

Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a)

aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil

retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil

parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado

com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico

truncado; (i) pino parabólico; (j) fotografias de tipos de aletas radiais; (k) dissipador de

calor


____________________________


EQUAÇÃO GERAL DA ALETA

Volume de controle

elementar, C

Hipóteses:

- regime permanente;

- temperatura uniforme na seção transversal;

- propriedades constantes.

Balanço de energia

convecçãopCVdo

saiquequecalordefluxo

III

conduçãopCVo

deixaquequecalordefluxo

II

conduçãopCVno

entraquecalordefluxo

I

/../../..

(I) dx

dTkAq xx

(II) )( 2dxodxdx

dqqq x

xdxx expansão em série de Taylor

(III) )TT(hAq Lc

)( TThPdxqc

P : perímetro “molhado”, isto é, o perímetro da superfície externa (área lateral, AL) da

aleta que se encontra em contato com o fluido.

Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:

dxTThPdxdxdx

dqqq x

xx )(

0)( TThPdx

dqx

Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:

0)(

TThPdx

dTA

dx

dk

Sendo dTdTT


____________________________


mxmx ececx 21)(

0

k

hP

dx

dA

dx

d Esta é a equação geral da Aleta

)(x que é a distribuição de temperaturas ao longo da aleta;

)(xAA que depende da geometria da aleta (deve ser conhecida).

ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR

Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de

seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta prismática de seção

transversal retangular ou circular. Assim, da equação geral com A = cte, vem:

02

2

2

m

dx

d,

kA

hPm 2

A solução é do tipo: ,

Essa solução provém do polinômio característico, o qual possui duas raízes reais e

distintas (m e –m) . Veja a seção “ lembrete de cálculo” abaixo.

Determinação das constantes 1c e

2c vêm das condições de contorno:

a1 Condição de Contorno

TT

TTxpara

bb

b

)0(

)0(0

0

2

0

1

ececb

bcc 21


____________________________


LEMBRETE DE CÁLCULO

Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constantes

02

2

cydx

dyb

dx

yd

Assume-se que nxey

Substituindo essa solução, vem

02 nxnxnx cebneen nxe

Daí, obtém-se o polinômio característico

02 cbnn

Caso 1: 1n e

2n reais e distintos

xnxn

ececy 21

21

Caso 2: 1n e

2n reais iguais

xnxn

xececy 11

21

Caso 3: conjugados complexos

qipn 1; qipn 2

)]()cos([ 21 qxsencqxcey px

Onde, 2

bp ;

2

4 2bcq

A outra relação entre as condições de contorno depende do tipo de aleta, conforme

os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:

(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa e sua

extremidade já atingiu a temperatura do fluido. Do ponto de

vista matemático uma aleta muito longa pode ser

simplificada como uma aleta de comprimento “infinito”, isto é:

0 ouTTx


____________________________


x

kA

hP

b

mx

b ex

ex )(

)(

Assim,

b

mxmx

xccececlim

2121 00

De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:

Ou, substituindo a definição de , vem:

O fluxo de calor total transferido pela aleta

O fluxo de calor total transferido pela aleta pode

ser calculado por dois métodos:

(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total

transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)

(2) dxTThPqaleta )(0

(o fluxo de calor total transferido é a integral do

fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)

Usando o método (1), vem:

00

x

b

x

baletadx

dkA

dx

dTkAq

Mas, cteAAb

0

)(

x

mx

b

mx

baleta emkAedx

dkAq

kA

hPkAq baleta

hPkAq baleta ou )( TThPkAq baleta

Pelo outro método (2):

x

kA

hP

bb

eTT

T)x(T)x(


____________________________


mLmL

mL

bee

ec 1

dxhPqaleta

0

; cteP

dxehPq mx

baleta 0

bbmb

mx

bmx

baleta hPkAm

hPe

m

hP

m

ehPdxehPq

1limlimlim

00

ou, )( TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!

(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática

(finito) Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na

extremidade da aleta é muito pequena. Portanto,

admite-se que é adiabático:

LxLx dx

d

dx

dT

0 (extremidade adiabática), ou 021 mxmx ececdx

d

De onde, se obtém, mLmL

mL

b

ee

ec

2

Mas como bcc 21 , então:

Logo, substituindo na equação, vem:

mx

c

mLmL

mLmx

c

mLmL

mL

b

eee

ee

ee

e

21

Ou

2/

2/)()(

mLmL

xLmxLm

b ee

ee

ou

mLcosh

)xL(mcosh

T)x(T

T)x(T)x(

bb


____________________________


)mL(senh

mkhmLcosh

)xL(msenhmk

h)xL(mcosh

T)x(T

T)x(T)x(

bb

)mL(senh

mkh)mLcosh(

)mL(conhmk

h)mL(senh)TT(hPkAq b

Lembrete de funções hiperbólicas:

FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA )(xsenh

2

xx ee

)cosh(x

)cosh(x

2

xx ee

)(xsenh

tanh �

)cosh(

)(

x

xsenh

)(sec 2 xh

O fluxo de calor total transferido pela aleta

O mesmo resultado do caso anterior

00 cosh

)(cosh

x

b

x

aletamL

mxL

dx

dkA

dx

dkAq

)()cosh(

)(m

mL

mLsenhkA b

)(mLtghmkA b

)LkA

hP(tghhPkAq b

(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade

Caso realista.

Condição de contorno na extremidade:

em

)( TThdx

dTkLx L

Lx

condução na extremidade = convecção

Distribuição de temperaturas

Fluxo de calor


____________________________


Tabela Resumo. Distribuição de temperaturas e perda de calor em aletas de seção

transversal uniforme.

Caso

Condição de

contorno na

extremidade � = �

Distribuição de Temperatura

Fluxo de Calor

a

Aleta muito

longa

x

kA

hP

bb

eTT

TxTx )()(

)TT(hPkAq baleta

b

Extremidade

adiabática

mL

xLm

TxT

TxTx

bb cosh

)(cosh

)(

)()(

)mL(tghhPkA)TT(q b

c

Convecção na

extremidade

(caso real)

)(cosh

)()(cosh

)(

)()(

mLsenhmk

hmL

xLmsenhmk

hxLm

TxT

TxTx

bb

)()cosh(

)()()(

mLsenhmk

hmL

mLconhmk

hmLsenhTThPkAq b

� = √ℎ��

Comprimento Corrigido de Aleta

Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –

mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da

espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,

LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.

b

t

L t/2

Lc=L+t/2

2/tLLc

L t/2

Lc

O erro introduzido por

essa aproximação será

menor que 8% desde que

5,0k

ht


____________________________


Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência

de calor e massa, Incropera 6.1 Tubos de cobre foram fixados à placa absorvedora de um coletor solar plano, conforme

mostrado na figura.

A placa absorvedora, feita com a liga de alumínio (2024-T6), possui 6 mm de espessura e é

isolada termicamente na sua superfície interior. Há vácuo no espaço que separa a superfície

superior da placa e a placa de cobertura transparente. Os tubos encontram-se espaçados entre si

por uma distância L de 0,02 m e água escoa nos tubos para remover a energia coletada. A água

pode ser suposta estar a uma temperatura uniforme Ta=60°C. Em condições de operação em

regime permanente, nas quais o fluxo radiante liquido na superfície absorvedora é de �′′ = W/m

2. Nessas condições, quais

são a temperatura máxima na placa e

taxa de transferência de calor para a

água por unidade de comprimento do

tubo? Note que �′′ representa o

efeito líquido da absorção da radiação

solar pela placa absorvedora e da troca

de radiação entre placa absorvedora e

a placa de cobertura. Você pode supor

que a temperatura da placa

absorvedora exatamente acima de um

tubo seja igual à da água.

Hipótese: 1. Regime permanente


3. Absorção de radiação uniforme na superfícia da placa

4. A perda por cndução no isolamento é desprezível

5. A perda de calor por convecção é desprezível

6. A temperatura da placa absorvedora no ponto x=0, a temperatura da placa é igual da água

na entrada

Solução: Pela tabelas de propriedades, temos que: � = ��°� , a placa absorvedora atua

como uma superfície estendida (aleta), e a equação diferencial que descreve a distribuição de

temperatura pode ser obtida com o balanço de massa no volume de controle:

Obtemos: ��′ + �′′ �� − ��+ �′ = , sendo que ��+ �′ = ��′ + �′� �� e , ��′ = −�� Então temos: �′′ − � [−�� ] = ou

�� + ��′′�� =

Integrando duas vezes, a solução geral para a distribuição de temperatura é dada por: � � = − �′′�� + � +

Aplicando as condições de contorno: � = � → = � ��|�= = → = ��′′ ��

Consequentemente: � � = ��′′�� − � + � , a temperatura máxima na placa absorvedora, o

qual ocorre em � = �, é dado por:


____________________________


�� = � ( ) = �′′ �� + � A taxa de energia coletada por tubo pode ser obtido a equaçãod a lei de Fourierno ponto, � = .

Essa é a energia transferido para o tubo por condução proveniente da placa absorvedora,

portanto: �′ = [−� � ��|�= ] consequentemente, multiplicando-se por 2, pois, o calor vem dos dois

lados temos: �′ = − �′′′

Portanto: �� = 8 �� , �8 [ 8 �� ] , 6 � + ° ou �� = , ° �′ = − , � 8 �� ou �′ = − ��

6.2 Uma barra de latão de 100 mm de comprimento de 5 mm de diâmetro se estende

horizontalmente de um molde de fundição a 200°C. a barra está no ar ambiente com T∞=20°C e

h=30 W/m2K. Qual é a temperatura da barra a 25, 50 e 10 mm a partir do molde?

Hipótese:

1. Regime estacionário


3. Propriedades físicas e, h,

são constantes

4.Radiação é desprezível

Da tab ela de propriedades dos materiais, latão k=133 W/mK.

� = [ ℎ�� ] = [ ℎ�� ] = [ ℎ� ] = [ �� , � ] � = , �− Ainda de acordo com a tabela de resumo de distribuição de temperatura, a distribuiçãod e

temperatura tem a seguinte forma: � = c sh � �−� + ℎ/�� se h � �−�c sh ��+ ℎ�� se h �� as relações ℎ�� = ��, �− �� = ,

Sabendo que � = ° , a distribuição de temperatura é dada por: � = cosh � − � + , senh � − �, °

A partir da equação descrita acima é possivel encontrar a temperatura para cada distância

obtendo a tabela abaixo:

m (m) Cosh m(L-x) Senh m(L-x) � � ° � = , 1,55 1,19 136,5 156,5 � = , 1,24 0,725 108,9 128,9 = , 1 0 87 107



61

AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas, bom como para comparar entre si o desempenho de diferentes tipos de aletas. Para alguns casos simples, existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Seções geométricas irregulares ou que envolvem condições de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral da aleta. Porém, existe um método de seleção de tipos de aletas baseado no chamado método da eficiência da aleta. Sendo que a eficiência de aleta,

A , é definida por

idealcasobase.tempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo

realcasoaleta/potransmitidcalordefluxoA

q

qb

qb= cte

L

Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2

Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a

aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:

c

c

bc

cbA

mL

mLtgh

hPL

mLtghhPkA )()(

qq , com

kA

hPm

Por outro lado, o perímetro molhado é dado por

btbP 2)(2 (para t << b, aleta fina), sendo btA , de onde se obtém:

cc Lkt

hmL

2



62

Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode ser obtido por meio de maxqq AA , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é

aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:

bahAq qmax ,

onde, Aa é a área total exposta da aleta e TTbbq

Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:

baaA hAq q

Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.

Na sequência deste texto há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:

(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) (2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e

alumínio, por razões que veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100oC e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2

K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.

Solução Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de 240 W/moC (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 63 à frente.



63

mt

LLmL

mt

c 0155,02

015,001,02

)5,25,5(

001,0

255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123

c25

PcP kAhLmtLA

Para o uso do gráfico (pg.63), precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.

24,225,1

2/1,075,22/

1

2

1

2

r

tr

r

r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos

%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: , 5,177500394,06591,0 WhAq baaA q Já que a área exposta da aleta, vale,

. 00394,02 221

22 mrrA ca

Exemplo de Aplicação (cont...) Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor

total transferido pelo tubo, se o mesmo for de 1 m de comprimento.

Solução O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:

aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq

221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa

Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065 O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100 Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será

Wqqq casaT 5,209417506,344 e %6,83%1002095

1750%

Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.



64

Ap – área de seção transversal de aleta

Tipo Aa área total exposta da aleta

b – largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura

Retangular cbL2

Triangular 2/122 )2/(2 LLb

Parabólica 2/122 )2/(05,2 LLb

Anular 2/121

222 rrb c

Fluxo de calor transmitido pela aleta:

baahAq qÁrea total da aleta

Eficiencia da aleta (f da figura)

TTbbq

base Aa é a área total exposta da

aleta Para obter a eficiência da aleta, use os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcule o fluxo real de calor através da simples expressão acima. Comentários: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipação de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parabólico é a que tem melhor índice de dissipação de calor por unidade de volume (q/V), mais é apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso é raramente justificado em função de maior custo de produção. A aleta anular é usada em tubos.



65

Efetividade da Aleta

Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de seleção de tipos

de aletas, já que uma tabela, gráfico ou equação fornece as eficiências das aletas e os

cálculos se dão a partir desse ponto. Mas, é preciso continuar com a análise para

determinar se, de fato, haverá incremento ou não da transferência de calor com a

instalação de aletas. Claro que está informação é crucial para que o engenheiro decida

pela instalação de aletas. Para que se possa seguramente tomar uma decisão sobre a

vantagem ou não da instalação de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade

de aleta, . Nesse método, compara-se o fluxo de calor através da aleta com o fluxo de

calor que o ocorreria caso ela não tivesse sido instalada. Lembrando que caso a aleta

não existisse, a transferência de calor em questão ocorreria através da área da base da

aleta, Ab. Assim, define-se a efetividade como sendo a razão entre o fluxo de calor

através da aleta pelo fluxo de calor através da base da aleta, ou seja:

bb

aleta

aletas

aleta

hA

q

q

q

q

/

Ab, Tb

O fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta, conforme

ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.

Para aleta retangular da extremidade adiabática

bb

cb

hA

mLtghhPkA

qq

)(

Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA

mLtgh c

/

)(



66

Exemplos de Aplicação Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L

= 5 cm e r = 1 cm, é submetida à três condições de resfriamento, quais sejam:

A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados: - k aço inox = 19 W/m K (obtido de uma tabela de propriedades de transporte) - Comprimento corrigido: Fórmula 2/rLLc

L= 5cm

Solução:

kPhA

mLtgh c

/

)( , com

hh

kr

h

rk

rh

kA

hPm 24,3

01,0.19

2222

e 2/01,005,024,3 hmLc , ou

seja: hmLc 178,0 .

No denominador tem-se: hh

k

hr

rk

rh

kP

hA0162,0

19.2

01,0.

22

2

.

Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:

h

htgh

0162,0

)178,0(



67

Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)

Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1

1

50000162,0

)5000178,0(

tgh

Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0

945,0

1000162,0

)100178,0(

tgh

Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0

510,0

100162,0

)10178,0(

tgh

Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No

caso A, por exemplo, a instalação de aletas deteriora a transferência de calor, já que ε<1.

Um critério básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso

de aletas.

Caso (A) 31,1kP

hA

Caso (B) 026,0kP

hA

Caso (C) 00262,0kP

hA

- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferência de calor, que é também o de maior resistência térmica. Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja

constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h

= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade para cada caso.

Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A – Cobre k = 368 W/m K B – Aço inox k = 19 W/m K C – Alumínio k = 240 W/m K Solução:



68

kkkr

hm

4,141

01,0.

100.22 e, portanto,

kkmLc

76,72/01,005,0

4,141

No denominador, agora temos: kkk

hr

kP

hA

2

1

2

01,0.100

2

Substituindo ambos os resultados, obtém-se:

)/76,7(2 ktghk Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 Comentário: O material da aleta é bastante importante no que tange a efetividade de uma aleta. Deve-

se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio).

Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais

como:

(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;

(2) Tem custo relativamente baixo;

(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do

equipamento;

(4) Tem excelente condutividade térmica.

Em algumas situações as aletas podem ser parte do projeto original do equipamento e

serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre com as carcaças de motores

elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por exemplo. Nesse caso, as aletas são

feitas do mesmo material da carcaça do motor.



69

Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência


7.1 Como mais e mais componentes são colocados em um circuito integrado individual (chip), a taxa de calor que é dissipada tende a aumentar. Por outro lado, esse aumento está limitado pela temperatura máxima permitida de operação do chip, que é aproximadamente 75°C. Para maximizar a dissipação de calor propõe-se utilizar uma matriz 4x4 de aletas de cobre em forma de pino que podem ser fixadas através de processos metalúrgicos à superfície externa de um chip quadrado de 12,7 mm de lado. (a)Esboce o circuito térmico equivalente para a montagem pino-chip-placa, admitindo condições de estado estacionário unidimensional e resistência de contato desprezível entre os pinos e o chip. Numa forma variável, enumere as resistências apropriadas, temperaturas e taxas de calor. (b)Para as seguintes condições: Rt,c=10

-4 m

2K/W, Lb= 5 mm, kb = 1 W/m

oC, T∞,0= T∞,i = 20°C;

hi=40W/m2o

C, h0=250W/m2o

C, qual é a máxima taxa na qual o calor pode ser dissipado no chip quando os pinos estão no lugar? Isto é, qual é o valor de qc para Tc=75°C? O diâmetro e o comprimento do pino são Dp=1,5 mm e Lp=15 mm.

Hipóteses: 1. Regime permanente 2. Condução unidimensional 3. A resistência de contato entre o

chip e pino é desprezível 4. Propriedades físicas são

constante 5. A resistência térmica do chip é

desprezível 6. A temperatura no chip é

uniforme Solução: a) O esquema da resistência térmica é dado pela figura abaixo:

Tendo a dissipação de calor pela a placa inferior, qi, e a dissipação e calor pelas aletas, qt.

A energia dissipada pela placa é dada por: �� = � −�∞,�(ℎ�+� ,′′ +� )/�

Já a energia dissipada pelas aletas é dada por: � = � −�∞,� ,

A resistência das aletas é dada por � , = ℎ � − , onde = − �� − ; � = � + � e � = �� = �� + � .

b) Fazendo alguns cálculos para aleta e substituindo os valores na equações acima, obtemos � .

� = ��; � = √ ℎ �� ; = tanh �� ; � = � � ;� = � = � ; � = �� Resolvendo as equações obtemos que � = , � e �� = , �, consequentemente � = , �



70

7.2 Água é aquecida por meio de um tubo de cobre de 50 mm de diâmetro submerso em um tanque. Gases quentes de combustão (Tg=750 K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a transferência de calor para água, quatro aletas planas de seção transversal uniforme formando um cruzamento são inseridas em cada tubo. As aletas possuem 5 mm de espessura e também são feitas de cobre (k = 400 W/m

oC). Se a temperatura da superfície do tubo é Ts =350 K e o

coeficiente de transferência de calor por convecção do lado do gás é hg = 30W/m2o

C, qual a taxa de transferência de calor para á água por metro de tubo?

Hipóteses: 1. Regime permanente 2. Condução unidimensional 3. Propriedades físicas constantes 4. A radiação térmica é desprezada 5. O coeficiente de convecção são constantes 6. O tubo cilíndrico pode ser adotado como uma

placa plana com aletas retangulares e com a superfície da ponta adiabática Solução:

A taxa de transferência de calor por unidade de tubo: �′ = ℎ�′ �� − � = − �′�′ − �′ = = , � = , � �′ = �′ + �′ = , � + �� − � = , � + � x , � − x , � = , � Para aletas com a ponta adiabática temos, = � � = tanh �ℎ x � −� , lembrando que, � = x �, e neste problema está sendo calculado

por metro de tubo, ou seja, = �. = √ℎ� � = [ ℎ � + � � � x � ] (�� − � )≈ [ �� , � ] = �

� = √ ℎ�� = { ℎ � + �� x � } / = [ �� , � ] / , � = ,

E ainda temos que tanh � = , = � ,�� , � = � � = ,

= − ,, − , = ,

�′ = , �� , � = ��


____________________________ http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização agosto/2018

71

AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO

Introdução

Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas

condições de temperatura como, por exemplo, pela sua exposição a um novo ambiente de

temperatura diferente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio

térmico. Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais,

tratamento térmico, alimentos colocadas na geladeira, materiais inseridos em fornos, entre

outros. No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma

temperatura uniforme T0. Subitamente, é exposto a um ambiente que está a uma

temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está

indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de

certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência

pessoal.

T0

1T

10 TT

Tempo t=0

2T

2T

T0

t

t

T(t)

Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo

ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo pode não ocorrer de

forma uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma ilustrativa a

temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas



72

de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é

uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da

difusão interna do calor é um pouco trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode ser

resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simples, como será visto

na próxima aula. Casos mais complexos podem ser resolvidos de forma numérica.

Entretanto, o interesse da aula de hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para

um grande número de casos práticos. A ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha

uma única temperatura uniforme a cada instante. Esta hipótese é chamada de sistema

concentrado, objeto de análise na sequência.

2T

T0

t

Ts

T0

TC

2T

T

T0

Sistema

Concentrado

TC

Sistema Concentrado A hipótese é que a cada instante t, o sistema tenha uma só temperatura uniforme T(t).

Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua resistência interna à

condução desprezível face à resistência externa à troca de calor externa que, geralmente se

dá por convecção. Para conduzir essa análise, lança-se mão do esquema abaixo de um

corpo a uma temperatura inicial T0 e que, subitamente, é exposto a um ambiente de

temperatura T∞, de forma a que ocorra transferência de calor convectiva.

T0

T

q convecção

TS



73

O balanço de energia fornece o seguinte esquema

Balança de energia

= Termo (I):

dt

dTc

dt

du

dt

dum

dt

dU

m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; = volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II):

)( TThAqconv h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); T = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:

)( TThAdt

dTc

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0. Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem:

dtc

hA

TT

dT

Taxa temporal de variação de energia

interna do corpo (I)

Fluxo de calor Trocado por convecção

(II)



74

Por simplicidade, seja dTdTT , então:

dtc

hAd

, ou

t

t

dtc

hAd

00

, do que resulta em:

tc

hA

0

ln .

Finalmente,

tc

hA

e

0

ou t

c

hA

eTT

TT

0

Analogia Elétrica

Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo

ocorrem em diversas sistemas físicos, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia

perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,

como ilustrado no esquema abaixo.

V

t

V0 C R

V0

Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada).

Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.

A solução desse circuito RC paralelo é

RC

t

eV

V

0

Note a Analogia



75

Elétrica Térmica Tensão, V TT

Capacitância, C c Resistência, R hA/1

Circuito térmico equivalente

V

t

T0

V0

c hA/1

T Constante de tempo do circuito elétrico,

RC

A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rapidamente o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de, t , e é o instante em que a tensão do capacitor atingiu o valor de e-1 ~ 0,368

368,011

0

eee

V

V

Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico

abaixo que indica a descarga do capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior for a constante de tempo, mais o capacitor demora para atingir o valor de 0,368V0.

V

t

V0

III

III

IV

1 2 3 4

0,368V0

Por analogia, a constante de tempo térmica será:



76

t

tt

c

hA

eeTT

TT

0

→ hA

ct

Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.

tt

TT

TT0

)(368,0 0 TT

Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da

medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem

de dois fios unidos pelas suas extremidades que formam uma junção. Essa junção é exposta

ao ambiente que se deseja medir a temperatura. Suponha, de forma ilustrativa, um ambiente

que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado pela linha cheia no

esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de período em período (onda

quadrada). Agora, deseja-se selecionar um sensor que acompanhe o mais próximo possível

o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas diferentes são mostrados. Note

que o sensor de maior constante térmica, 3 , praticamente não “sente” as variações de

temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica acompanha melhor as

variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um motor de combustão

interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e combustão dos gases.

Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante térmica.



77

t

10 TT

TT

20 TT

tP 2tP 3tP

12 1

13

A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter

a seguinte forma

FoBie

TT

TT

0

Onde, Bi é o número de Biot, definido por k

hLBi , e Fo é o número de Fourier, definido

por 2L

tFo

(trata-se de um “tempo” adimensional). Sendo,

h = coeficiente transferência de calor por convecção;

= difusividade térmica;

k = condutividade térmica;

L = comprimento característico do corpo;

O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência

externa à convecção.

Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca

de calor.

expostaárea

corpodoolume

v

A

VL

Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema

concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável

desde que:

1,0Bi



78

EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1)

Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são

formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas

extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,

ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para

medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,

c = 400 J/kg K e = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25oC e é

inserido na corrente de gás quente a 200oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o

sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9oC seja indicada pelo

instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.

SOLUÇÃO

Comprimento característico: mD

A

VL

43

10167,16

107,0

6

Número de Biot: 34

10333,220

10167,1400

k

hLBi

Da expressão da temperatura, vem 76,320020025

2009,199ln

10333,2

1ln

13

0

TT

TT

BiFo

Dado que 610883,54008500

20

c

k

e

2L

tFo

, vem:

s

LFot 4,7

10883,5

10167,176,32006

242

Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0Bi . Um tempo de 7,4 s é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura. O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade?



79

EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2

Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma melancia a 25oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5oC. Você acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de alguns minutos a fatia da mesma estará em temperaturas diferentes? Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas propriedades de transporte sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2oC. Solução: á�� = , �/�°

Cálculo do Nº de Biot � = ℎ , sendo = �

= , = , �

D= 0,3 m � = 0,0 ×0,02 =

Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua experiência?

D = 0,3 m


____________________________


80

AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO

Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito

Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas

concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui

dimensões maiores e propriedades de transporte tais que a resistência interna à

condução não pode ser desprezada face à resistência externa à convecção (Bi > 0,1).

Soluções analíticas existem para casos em que uma das dimensões é predominante e

muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito. Considere o esquema abaixo

de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor (à esquerda) e sua dimensão

se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-infinito). A face exposta sofre

bruscas mudanças de condição de contorno, como se verá.

Condições de contorno

(A) Temperatura constante na face exposta:

TiT0

x

Solução: T(x, t)

Equação geral condução de calor

t

T

k

qT

1'''2

Por não haver geração interna de calor, vem que t

T

x

T

1

2

2

, a qual é submetida as

seguintes condições:

- Condição inicial: iTxT )0,(

- Condição de contorno: 0),0( TtT

Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de

temperaturas é dada por:


____________________________


81

t

xerf

TT

TT

i 20

0,

Onde, erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:

t

x

det

xerf

2

0

22

2

Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.

Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera

e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.

Tabela B-2 do Incropera


____________________________


82

Fluxo de calor numa posição x e tempo t

Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a

lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas

acima, na equação de Fourier, isto é:

t

x

iix dex

TTkAt

xerfTTT

xkA

x

TkAq

2

0

000

22)()

2()(

t

x

xe

TTkAt

x

i

2

)(240

2

, do que, finalmente, resulta em:

t

x

ix e

t

TTkAq

40

2

)(

(B) Fluxo de calor constante na face exposta:

Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor

constante,

Tiq0qx

x

Partindo da equação da condução de calor t

T

x

T

1

2

2

, submetida às seguintes

condições:

- Condição inicial: iTxT )0,(

- Condição de contorno: 0

0

qx

TkA

x


____________________________


83

A solução é:

t

xerf

kA

xq

kA

et

q

TT

t

x

i

21

20

4

0

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!

(C) Convecção de calor na face exposta

Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face

exposta à esquerda.

Tiqx

x

T

Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:

t

T

x

T

1

2

2

, a qual é submetida às seguintes condições:

- Condição inicial: T (x,o) = Ti

- Condição de contorno:

TtThAx

TkA

x

),0(0

(condução interna =

Convecção)

A solução é:

k

th

t

xerfe

t

xerf

TiT

TT k

th

k

hx

i

21

21

2

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier!


____________________________


84

Outros casos de condução transitória de interesse

Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças

mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de

sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação

geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler

desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo.

Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler

Placas cuja espessura é

pequena em relação as outras

dimensões

Cilindros cujos diâmetros são

pequenos quando comparados

com o comprimento

Esferas

T0 Te

x

2L

T

T

Te r0

r0

rTe

T

TtrTouTtxT ),(),(

TTii

TT00

TTee

Número de Biot: k

hLBi

L – dimensão características (dada no gráfico)

Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por

22 cL

kt

L

tFo

Calor total trocado pelo corpo Qi

iii cTTcQ )(


____________________________


85

Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e

cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt


____________________________


86

Exemplo:

Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de

425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,

T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa

e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.

Dados:

k = 43,2 W/mK

α = 1,19 x 10-5

m2/s

x

5 cm

h

Solução:

2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m

1,0289,02,43

025,0500

k

hLBi

Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para

isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:

45,3289,0

11

Bi e 43,3

025,0

1801019,12

5

20

L

tF

Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:

e C,)(C 2274506542565 . Assim,

CT o2270 Na linha de centro após 3 mim

Do gráfico para uma posição qualquer x:

45,3/1 iB

5,0025,0

0125,0/ Lx

95,00

95,0)65227(6595,0)( 0 CCTTTT

CT o9,218 p/ min3,5,0 tL

x

45,3165,0

11

iB

43,30 F

45,00 i



AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL

Condução Bidimensional

Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor

unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição

espacial da temperatura para além de uma dimensão. Também foram estudados os casos

transitórios em uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas reais são bi ou

tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de problemas de

condições de contorno e geometrias simples. Os casos mais realistas devem ser

resolvidos de forma numérica. Entretanto, neste curso introdutório é importante que o

estudante tenha uma visão das soluções analíticas existentes e, para isso, é resolvido um

problema clássico que é o método da separação das variáveis para uma placa retangular

bidimensional.

O Método da Separação de Variáveis Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.

y

b

T2

T1

T1

T1

L

T(x,y)

x

Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) Equação da condução de calor

t

T

k

qT

1'''2

Hipóteses:

(1) Regime permanente (2) Sem geração interna de calor (3) Bidimensional



As hipóteses resultam em: 02 T ou 02

2

2

2

y

T

x

T

Condições de contorno – temperaturas dos quatro lados

(1) T(0,y) = T1 (2) T(L,y) = T1 (3) T(x,0) = T1 (4) T(x,b) = T2

É conveniente realizar uma mudança de variáveis

12

1

TT

TT

Condições de contorno na nova variável θ são:

(1) θ(0,y) = 0 (2) θ(L,y) = 0 (3) θ(x,0) = 0 (4) θ(x,b) = 1

A variação elementar de temp. é dTT

dT

12

Então, 02

2

2

2

yx

Esta é a equação da condução na nova variável θ.

A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas θ(x,y)

seja o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções

exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, isto é:

yYxXyx ),(

Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:

Primeira derivada: dx

dXY

x

Segunda derivada: 2

2

2

2

dx

XdY

x

Analogamente em relação à y:

Segunda derivada: 2

2

2

2

dy

YdX

y



Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da condução, vem:

02

2

2

2

dy

YdX

dx

XdY

ou, dividindo-se pelo produto XY, vem:

2

2

2

2 11

dx

Xd

Xdy

Yd

Y

É digno de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y

e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da equação são

sempre iguais. Isto implica dizer que cada lado da equação não pode ser nem função de

x, nem de y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida.

De forma que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se

usa o símbolo 2 . Dessa forma, tem se:

22

21 dx

Xd

X e

22

21 dy

Yd

Y

Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações

diferenciais comuns ou ordinárias. As soluções dessas duas novas equações são bem

conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:

xsenCxCxX 21 cos , e

yy eCeCyY 43

De forma que, voltando à variável original, yYxXyx ),( , a solução global é:

yy eCeCxsenCxCyx 4321 .cos,

A obtenção das constantes depende das condições de contorno impostas. Assim:

Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0

0.0.0.cos,0 4321 yy eCeCsenCCy

De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C



Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0

432 .0 CCxsenC

de onde se obtém que 043 CC 43 CC

Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0

)(.0 42yy eeCLsenC

mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:

042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen

Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: nL

ou, seja L

n n = 1,2,3, .....

nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada. λ são os autovalores.

Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:

)(

42 22,

L

ynsenh

L

yn

L

yn

C

n

ee

L

xnsenCCyx

n

ou, seja )()(,L

ynsenh

L

xnsenCyx nn

Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.

L

ynsenh

L

xnsenCyx

n

n

1

,

Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:

L

bnsenh

L

xnsenC

n

n

1

1



A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para

obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das

funções ortogonais, revista abaixo.

REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS

Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa , se

b

a

nm nmpdxxgxg /0)()( (dica: note que se parece com produto escalar de

vetores: o produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo)

Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L

xnsen e )cos(

L

xn em

Lx 0 Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, ou seja:

1

)()(m

mm xgAxf

Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:

(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:

1

)()()()(m

mmnn xgAxgxfxg

(2) Integra-se no intervalo de interesse:

dxxgAxgdxxfxgb

am

mmn

b

an

1

)()()()(

Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja:

nmsedxxgxgb

anm 0)()(

Pode-se eliminar a somatória, então: dxxgAdxxfxgb

amm

b

am )()()( 2

Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:

dxxg

dxxfxgA

b

am

b

am

m

)(

)()(

2



Voltando ao problema, tem-se:

1

1n

nL

bnsenh

L

xnsenC

(A)

Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que

,....2,1;)(

n

L

xnsenxg

ortogonalfuncão

n

Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem

1

1

n

nL

xnsenA

Assim, podem ser obtidos os coeficientes da série, como visto na revisão acima:

ndx

L

xnsen

dxL

xnsen

An

L

L

n

1)1(2 1

0

2

0

Então,

11)1(2

1

1

n

n

L

xnsen

n

(B)

Comparando (A) com (B), vem:

1

1

1

1)1(2

n

n

n

nL

xnsen

nL

bnsenh

L

xnsenC

Então, da igualdade das séries:

,....3,2,1;

1)1(2 1

n

L

bnsenhn

Cn

n

De forma que a solução final do problema é:



1

1 1)1(2),(

n

n

L

bnsenh

L

ynsenh

L

xnsen

nyx

É interessante ver o gráfico desta função

y

b

Lx

1

75.050.0

25.0

10.0

0

00

Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:

ix

Tkqx

e jy

Tkq y

. Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq e o

módulo do fluxo de calor será 22yx qqq em W/m2

Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a T1 e a externa T2.

T2

T1

(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.



T2

T1

SIMETRIA

SIMETRIA

(2) As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.

T2

T1

PAREDES ADIBATICAS

(3) Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de fluxo constante.

T2

T1

(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.

qX

DL

LINHAS DE FLUXO CTE.

(ADIABÁTICO)

(OU QUADRADO CURVILÍNEO)

(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o ângulo formado pelas duas superfícies

T

T

LINHA DE FLUXO CTE.

O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo ilustrado é:



DD

Dl

Tlkqi (1)

qi

DL

DL

O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.

N

TTT 12 D (2)

T1

T2

Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). Assim, de (1)

N

TTkqi

)( 12 (3)

O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)

)( 121

TTkN

Mqq

M

i

i

Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:

)(5 12 TTkq Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência


10.1. Um forno longo, construído de tijolo refratário com condutividade térmica de 1,2 W/mK, possui a seção transversal mostrada com temperatura de superfície interna e externa de 600 e 60°C, respectivamente. Determine o fator de forma e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento utilizando o método de representação gráfica do fluxo. Hipóteses:

1. Condução bidimensional 2. Propriedades físicas constantes 3. Comprimento do forno, l

Solução: Considerando o forno simétrico, podemos fazer a análise em um quarto do forno. Portanto a fluxo de transferência de calor por unidade de comprimento, l, é dada por: �′ = �� = �� − , onde, S é fator de forma para a seção simétrica. Escolhendo 3

incrementos de temperatura, N, podemos plotar o gráfico do fluxo abaixo:



Da equação do fator de forma temos: = �

ou �� = = 8,5 = ,

Assim podemos obter o fluxo de calor, �′ = � , � , � � − °� = , �

Obs*: O fator de forma também pode ser estimado a partir da tabela 4.1 do livro fundamentos de transferência de calor e massa do Incropera. A seção consiste em duas paredes (uma horizontal e outra na vertical) com um canto de junção. Utilizando as relações da tabela obtemos: = , , + , + ,, = ,


____________________________

http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Setembro/2018

97

AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA - DIFERENÇAS FINITAS

Como estudado na aula anterior, a solução da equação da condução de calor em

configurações bi e tridimensional é bastante complexa e, verdadeiramente, na maioria dos

casos práticos não existe nem solução analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos

numéricos de solução. Há uma grande variedade de métodos disponíveis na literatura, mas

vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das diferenças finitas.

A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinada em pontos discretos ou

pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado

no esquema abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo original em um meio discreto

formado por uma matriz de pontos com propriedades térmicas que “concentram” as

informações do meio contínuo original naqueles pontos. Considerando o esquema a seguir,

considere o ponto nodal (m,n) indicado, tendo como vizinhos os pontos nodais (m-1,n) à

esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A distância entre os pontos

nodais é x e y, nas duas direções principais.

m,n

x

ym,nm+1,nm-1,n

m,n+1

m,n-1

y,n

x,m

Pontos Nodais


____________________________


98

A equação da condução de calor em RP, 2-D é dada por 02

2

2

2

y

T

x

T. Ela pode assim

ser assim discretizada:

x

TT

x

T nmnm

nm

)( ,1,

,2

1 (Primeira derivada na direção x – face esquerda)

x

TT

x

T nmnm

nm

)( ,,1

,2

1 (Primeira derivada na direção x – face direita)

Assim,

x

x

T

x

T

x

T nmnm

,

2

1,

2

1

2

2

(Segunda derivada na direção x – centro)

Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2

,,1,1

,2

2

)(

2

x

TTT

x

T nmnmnm

nm

Analogamente, na direção y: 2

,1,1,

,2

2

)(

2

y

TTT

y

T nmnmnm

nm

Assim, a equação original da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma

equação algébrica,

2

2

2

2

y

T

x

T04 ,1,1,,1,1 nmnmnmnmnm TTTTT , se Δx = Δy

A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas para o caso em RP, 2-

D. Note que a temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas

da sua redondeza.


____________________________


99

O que acontece nas regiões de contorno do problema?

Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a

superfície ou no contorno do meio.

m,nm-1,n

m,n+1

m,n-1

Convecção

T

Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão

)()(

2

)(

2

)(,

1,,1,,,1,

TTyh

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk nm

nmnmnmnmnmnm

se Δx = Δy

0)2(2

12 1,1,,1,

nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas.

Por exemplo, um canto superior à direita:

m,nm-1,n

m,n-1

Ty

x

x = y

0)(212 1,,1,

nmnmnm TTT

k

xh

k

xhT

Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.

Tabela 4.2 do Incropera.


____________________________


100

Uma vez que as equações de todos os pontos nodais forem estabelecidas, obtém-se um

sistema de N equações por N incógnitas do tipo:


____________________________


101

NNNNNN

NN

NN

cTaTaTa

cTaTaTa

cTaTaTa

...

....

....

....

...

...

2211

22222121

11212111

Ou, em notação simplificada matricial, vem:

][]].[[ CTA

Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)

Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado

método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:

0...2211 nnmnmm cTaTaTa

Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o seguinte procedimento de solução:

1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;

2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;

3 – “Relaxar” o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura

do ponto nodal correspondente;

4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;

5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.

Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um

sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o

método de eliminação gaussiana.


____________________________


102

Exemplo Resolvido

Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se

calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:

h = 200 W/m2 ºC

T = 20 ºC

k = 10 W/m ºC

x = y = 10 cm

5 6 7 6 5

3 4 3

1 2 1

20T C

100°C

100°C

100°C

OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número)

Solução:

Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:

04 ,1,1,,1,1 NMNMNMNMNM TTTTT

Portanto,

042:4

01004:3

010042:2

0)100(24:1

7432

6431

421

321

TTTTnó

TTTTnó

TTTnó

TTTnó

Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação

0)(2 ,1,

fixonmnm TTT

k

xh

k

xhT

nó 5: 0)100(2010

1,02002

10

1,020065

TT , ou


____________________________


103

01404 65 TT

Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:

022

12 ,1,11,,

nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

nó 6: 022

120

10

1,02002

10

1,02007536

TTTT , ou

022

120

10

1,02002

10

1,02007536

TTTT , ou ainda,

0402

14

2

17653 TTTT

nó 7: 0)22(2

1404 647 TTT , ou

0404 764 TTT

Em forma de Matriz temos:

40

40

140

0

100

100

200

41010002

14

2

10100

0140000

1004210

0101401

0001042

0000114

7

6

5

4

3

2

1

T

T

T

T

T

T

T

Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana

CT

CT

CT

CT

CT

CT

CT

7,36

8,38

7,44

2,68

3,74

2,87

4,90

7

6

5

4

3

2

1

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