Calculo I

Aula 02 - Funcoes - Parte I Data: 18/03/2015

Objetivos da Aula:

X Definir funcao e apresentar as notacoes usadas.

Palavras-Chaves: Funcao, Domnio, Imagem, Grafico de funcao, Funcao Par, Funcao Impar.

Definicao e Notacoes

Definicao 1. (Funcao) Uma funcao de um conjunto A em um conjunto B e uma regra queassocia a todo elemento de A um unico elemento em B.

E comum usar letras para denominar as funcoes. Assim, podemos usar f , g, h, C, P ,...para denominar funcoes. Em cada caso, estas letras sao nomes que usamos para representar asregras entre os conjuntos.

Indica-se uma funcao f de A em B por:

f : A B (le-se : f de A em B)

A - e chamado o domnio da funcao f , que indicaremos aqui por Df ;B - e chamado o contradomnio de f .

Para cada x A, o unico elemento y B associado a x pela regra f e chamado a imagemde x pela funcao f e indicado por f(x). Assim, a expressao

y = f(x)

diz que y e a imagem de x pela funcao f .

A variavel de entrada x e chamada variavel independente, pois a ela podemos atribuirqualquer valor que pertenca ao domnio da funcao. Ja a variavel de sada y e chamada variaveldependente, pois o seu resultado depende do valor atribudo a x.

O conjunto{f(x) | x A}

e chamado a imagem de f , denotado aqui por Imf .

2 Calculo I Profa. Nazare Bezerra

X Exerccios 1.

(01) O valor mensal V , em reais, a pagar por um usuario de telefone celular que durante o mesteve um consumo de x minutos e dado por V (x) = 3, 00 + 0, 15x.(a) Determine o domnio e o contradomnio de V(b) Explique o significado da igualdade V (90) = 16, 50(c) Calcule e explique o significado de V (0) e V (300)(d) Determine o valor de x para o qual V (x) = 7, 80. Explique o que foi calculado.(02) Considerando h 6= 0 um numero real, calcule o que se pede para cada uma das funcoesabaixo:(a) f(x) =

23:

Determine f(1) e f(12), f(x + h) f(x).

(b) g(x) = 2x + 1:

Determine g(5), g(12) e g(x+h)g(x)

h.

(c) f(x) = 2x2 + 1:

Determine f(3); f(0) e f(x+h)f(x)h

(d) f(x) = x2 + 2x 3:Determine: f(3); f(3+h)f(3)

he f(x+h)f(x)

h.

(e) g(x) = x3:

Determine g(2) e g(x+h)g(x)h

.(f) f(x) = x+2

x2 :

Determine f(x + h) e f(x+h)f(x)h

.

Domnio de Existencia

Se domnio e contradomnio de uma funcao f sao subconjuntos de R, dizemos que f e umafuncao de uma variavel real a valores reais. Neste curso trabalharemos apenas com este tipode funcao.

Quando nao fornecemos o domnio e o contradomnio de uma funcao de uma variavel reala valores reais, fica subentendido que o contradomnio da funcao e R e o domnio e o maiorsubconjunto de R para o qual f(x) R (ou seja, f(x) esta definida) para todo x neste subcon-junto. Este conjunto e chamado o domnio de existencia da funcao. Portanto, quando Df naoe explicitado, assumimos que:

Df = R {x R | f(x) nao existe em R}.

As razoes matematicas mais comuns que restringem o domnio de uma funcao real a valoresreais sao:(i) nao ser possvel dividir um numero real por zero;(ii) nao ser possvel extrair a raiz quadrada (ou raiz de ndice par) de numeros negativos;(iii) nao ser possvel calcular logaritmo de numeros negativos ou nulos.

X Exerccios 2.

(01) Sabendo-se que f e uma funcao de uma variavel real a valores, determine o seu domniode existencia:

UFPA Calculo I 3

(a) f(x) = 1x

(b) f(w) = 32w+7

(c) f(x) = 3x + 10

(d) f(p) = 2px+1

(e) f(x) = x+4x29 (f) f(t) =

3

2t 1(g) f(x) = log(x2 5x) (h) f(x) = 3 xx2 + 5x (i) f(x) = x+1

1+ 1x+1

(j) f(p) =

2p (k) f(x) ={

3x2 , se x 6= 24, se x = 2

Igualdade de Funcoes

Duas funcoes f e g sao iguais (escreve-se f = g) se:(i) elas tem o mesmo domnio e o mesmo contradomnio;(ii) f(x) = g(x), para todo x Df = Dg.X Exerccios 3.(01) As funcoes f(x) = x +

2 x e g(u) = u +2 u sao iguais? Justifique.

(02) As funcoes f(x) = x2xx1 e g(x) = x sao iguais? Justifique.

(03) As funcoes f(x) =

{x24x2 , se x 6= 2

4, se x = 2e g(x) = x + 2 sao iguais? Justifique.

Representacao Numerica de uma Funcao

Variacao do dolar em Marco/2015Dia Valor para compra02 2, 894203 2, 926004 2, 978705 3, 010006 3, 055009 3, 128510 3, 101511 3, 126612 3, 159013 3, 2460

Embora nao tenhamos uma regra explicita, a tabela acima e funcao do conjuntoD = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13} em R, uma vez que para cada dia t D, existe umunico valor correspondente de V (t) = valor do dolar no dia t.

Em muitas situacoes nao existe uma regra explcita que estabeleca a correspondencia entre oselementos do domnio e contradomnio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usandotecnicas apropriadas e possvel encontrar uma expressao para uma funcao que aproxime osvalores dados na tabela.

Grafico da Funcao

O grafico de uma funcao real f : Df R e o conjunto G dos pontos (x, y) do plano tais quex Df e y = f(x), isto e,

G = {(x, f(x)) | x Df}.

4 Calculo I Profa. Nazare Bezerra

Como G R2, entao o grafico de f e representando marcando-se os pontos de G em umsistema de coordenadas cartesianas.

Se (x, f(x)) pertence ao grafico de f , segue da definicao de funcao que a segunda coorde-nada f(x) fica univocamente determinada pela primeira coordenada x. Assim a reta verticalque passa por cada valor do domnio da funcao deve interceptar seu grafico exatamente em umponto.

2

2

4

6

0

Grafico de Funcao 321

1

2

3

4

5

6

0

nao e grafico de funcao

Funcao Par - Funcao Impar

Uma caracterstica que ajuda na construcao do grafico de uma funcao e sua paridade.

Definicao 2. (Funcao par/mpar) Seja y = f(x) uma funcao real de uma variavel real.Dizemos que:(i) f e uma funcao par, se f(x) = f(x), para todo x Df ;(ii) f e uma funcao mpar, se f(x) = f(x), para todo x Df .

X Exerccios 4.

(01) Verifique se a funcao e par, mpar ou nenhum dos dois:(a) f(x) = x4 + 3x2 + 1;(b) f(x) = x|x|;(c) f(x) = x4 + x + 2.

Se P (x, y) e um ponto no grafico de uma funcao f par, entao

y = f(x) = f(x).

Consequentemente o ponto P (x, y) tambem esta no grafico de f . Assim, para cada pontoP (x, y) no grafico de uma funcao par, segue que o ponto P (x, y), o qual e o simetrico de Pem relacao ao eixo do y, tambem pertence ao grafico. Portanto, o grafico de uma funcao par euma curva simetrica em relacao ao eixo y.

UFPA Calculo I 5f

f(x) = x4 + 3x2 + 1

Analogamente, se P (x, y) e um ponto no grafico de uma funcao mpar f , entao

y = f(x) y = f(x) = f(x)

Logo, P (x,y) tambem esta no grafico da funcao. Assim, para cada ponto P (x, y) no graficode uma funcao mpar, o ponto P (x,y), o qual e obtido de P por uma rotacao de 1800 emtorno da origem, tambem pertence ao grafico de f . Portanto, o grafico de uma funcao mpar euma curva simetrica em relacao a` origem.

x

y

x

y

P

P

f(x) = x3 x

E apos a aula....

1- ResumoFaca um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Reveja as definicoes e notacoesdadas.

2 - Aprofundando o conteudoLeia mais sobre o conteudo desta aula no Captulo 1 - Secao 1.1 do livro texto.

3. Sugestoes de ExercciosResolva os exerccios 1.1 do livro texto.

4. Desafio- Dadas as funcoes f(x) =

1 x2 e g(x) = senx, construa o grafico da composta f(g(x)).

Definio e NotaesDomnio de ExistnciaIgualdade de Funes Representao Numrica de uma FunoFuno Par - Funo Impar