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UFG - Instituto de Informtica Pesquisa OperacionalBacharelado em
Cincia da Computao Prof. Humberto Longo1
1 Lista de Exerccios 2008.2
Modelagem de Problemas com P.L.
1. Uma companhia fabrica dois tipos de fertilizantes, fosfato-Hi
e fosfato-Li. So usados para a suaproduo trs materiais de base, tal
como se indica no quadro:
Toneladas de cada materialrequeridas para produo de uma
tonelada de fertilizanteQuantidade mxima de
Material Fosfato-Hi Fosfato-Li material disponvel porms
(toneladas)
1 2 1 15002 1.5 1 12003 0.1 0 200
Preo de venda portonelada de fertilizante 2.24 1.49
(R$10.000)
(a) Apresente uma formulao matemtica deste problema, de forma a
maximizar a receita mensal.
(b) Reescreva o modelo obtido no item 1.(a), considerando o fato
do fabricante ter capacidade paraarmazenar um mximo de 2000
toneladas de fertilizantes.
(c) Reescreva o modelo obtido no item 1.(b), considerando o fato
de que, por questes de equilbrio naproduo, a quantidade produzida
de cada fertilizante no deve ser inferior a 30% da produo.
2. Um certo composto alimentar formado por trs ingredientes (A,
B e C), sendo impostas duas condi-es bsicas qualidade da mistura:
(1) a porcentagem de matria fibrosa no deve ser superior a 3% e(2)
a quantidade de leo existente no composto alimentar deve ser no
mximo duas vezes a quantidadede protena. A composio e custo dos trs
elementos so os seguintes:
Porcentagens (%) PreoIngrediente Fibras leo Protena (R$/ton)
A 4 9 3 840B 2 1 2 900C 2 5 3 870
Assumindo que no h perdas de peso durante o processo de
fabricao, formule um modelo de PLpara produzir 100 toneladas do
composto.
3. Uma fbrica de brinquedos pretende produzir dois tipos de
aero-modelos. O 1 tipo tem corpo demadeira, uma hlice e um conjunto
de rodas. O 2 tipo tem corpo de ao, 2 hlices e dois conjuntos
derodas. Sabe-se que a fbrica pode produzir 30 hlices, 20 conjuntos
de rodas, 10 corpos de madeira e 6corpos de ao por hora. Determinar
qual a quantidade de cada dos aero-modelos devem ser produzidospor
hora visando maximizar o lucro, sabendo-se que o aero-modelo de
madeira fornece lucro unitriode R$2,00 e o de ao R$5,00.
4. Uma empresa pode fabricar 3 produtos (A, B e C) na mesma
mquina. Sabe-se que a mquina trabalhano mximo 45 h/semana e que a
produo para cada artigo respectivamente: 50 peas A/h; 25 peasB/h;
75 peas C/h. Uma anlise mercadolgica revelou que no mximo sero
absorvidas: 1000 peasA por semana; 500 peas B por semana; 1500 peas
C por semana. Sabendo-se que os lucros unitriosso respectivamente:
R$4,00; R$12,00 e R$3,00 para os produtos A, B e C, determinar o
plano semanalde produo que garanta mximo lucro.
1e-mail: [email protected]
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5. Numa fundio, que est equipada para produzir no mximo 1.100 kg
de ferro/h, devem ser feitos doisprodutos: A e B. A pea A pesa 10Kg
sem rebarbas e sem quebra de canais e o peso de areia por pea de
6Kg para areia de moldagem e 4Kg para areia de macho. A pea B pesa
11Kg e so utilizadas10Kg de areia de moldagem e 1Kg de areia de
macho. A produo de areia de moldagem de 800 kg/he a areia de macho
180 kg/h. Sabendo-se que a demanda mxima de peas/hora 40 para peas
A e70 para peas B e que o lucro de cada pea A R$2,40 e o lucro de
cada pea B R$4,00, determinara quantidade de peas de cada tipo a
serem produzidas por hora para que se tenha lucro mximo.
6. Um jovem estava saindo com duas namoradas: Sandra e Regina.
Sabe, por experincia, que:(a) Sandra, elegante, gosta de frequentar
lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma sada de
trs horas custar R$240;(b) Regina, mais simples, prefere um
divertimento mais popular, de modo que, uma sada de trs
horas custar R$160;(c) Seu oramento permite dispor de R$960
mensais para diverso;(d) Seus afazeres escolares lhe daro liberdade
de, dispor de no mximo, 18 horas e 40.000 calorias de
sua energia para atividades sociais;(e) Cada sada com Sandra
consome 5.000 calorias, mas com Regina, mais alegre e extrovertida,
gasta
o dobro;(f) ele gosta das duas com a mesma intensidade.
Como deve planejar sua vida social para obter o nmero mximo de
sadas?7. Uma companhia deseja produzir locomotivas, vages e
unidades de controle. A fbrica possui trs
sees principais. Cada vago produzido consome por ms 3 unidades
da capacidade da seo A, 1 daseo B e 3 da seo C; cada locomotiva
produzida consome 2 unidades da capacidade da seo A,4 da seo B e 3
da seo C; e cada unidade de controle consome 1 unidade da
capacidade da seoC. Sabendo-se que as capacidades mensais das sees
A, B e C so respectivamente 10, 11 e 13, eque os lucros auferidos
por cada unidade de locomotivas, vages e unidades de controle
produzida sorespectivamente 4, 5 e 1 unidades monetrias, determine
um programa timo de produo.
8. Deseja-se determinar as misturas de 4 derivados do petrleo,
que sero os constituintes de trs tiposde gasolina (extra, super e
comum). O objetivo maximizar o lucro.
Derivado Disponibilidade Custo/barril(barris/dia) (R$)
1 3.000 32 2.000 63 4.000 44 1.000 5
A fim de manter a qualidade de cada tipo de gasolina, preciso
manter as porcentagens dos derivadosde petrleo dentro dos limites
especificados. Os preos de venda de cada tipo de gasolina por
barriltambm esto indicados na tabela abaixo:
Gasolina Especificaes Preo de venda (R$)no mximo 30% de 1
A no mximo 50% de 3 5,50no mnimo 40% de 2
B no mximo 50% de 1 4,50no mnimo 10% de 2
C no mximo 70% de 1 3,50
9. Um fazendeiro tem 200 unidades de rea de terra, onde planeja
cultivar arroz, feijo e milho. Aproduo esperada de 2100Kg por
unidade de rea plantada de arroz, 1800Kg por unidade de reaplantada
de feijo e 2900Kg por unidade de rea plantada de milho. Para manter
o consumo internoe sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 16
unidades de rea de arroz, 12 unidades de rea de feijoe 20 unidades
de rea de milho. Ele tem condies de armazenar no mximo 700.000Kg.
Sabendoque o arroz d um lucro de R$0,60 por Kg, o feijo R$1,20 por
Kg e o milho R$0,28 por Kg, quantasunidades de rea de cada produto
ele deve plantar para que o seu lucro seja o maior possvel?
10. Uma refinaria deseja produzir com mnimo custo a gasolina
Premium que contenha, no mnimo, asseguintes porcentagens dos
componentes A, B e C, a saber: 10% de A, 20% de B e 12% de C.
Eladispe de trs diferentes tipos de leo cru:
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(a) do tipo 1, custa R$2 o barril e tem 15% de A, 10% de B e 9%
de C;(b) do tipo 2, custa R$2,5 o barril e tem 18% de A, 25% de B e
3% de C;(c) do tipo 3, custa R$1,30 o barril e tem 10% de A, 15% de
B e 30% de C.
11. Considere o problema de encontrar a produo de duas ligas
metlicas A e B, que so feitas de quatrometais distintos, I, II,
III, IV , de acordo com a especificao apresentada na tabela a
seguir:
Ligas Especificaono mximo 80% de I
A no mximo 30% de IIno mnimo 50% de IVEntre 40% e 60% de II
B no mnimo 30% de IIIno mximo 70% de IV
Os quatro metais so extrados de trs minrios diferentes, cujas
porcentagens em peso destes metais,quantidades mximas dos minrios e
custos por toneladas so fornecidas a seguir:
Minrio Disponibilidade Componentes Preo por ton.(ton.) I II III
IV Outros (R$)
1 1000 20 10 30 30 10 30,002 2000 10 20 30 30 10 40,003 3000 5 5
70 20 0 50,00
Considere que os preos de venda das ligas A e B sejam R$200,00 e
R$300,00 por tonelada, respecti-vamente.
12. Num laboratrio qumico, querem produzir um cido com as
seguintes caractersticas:(a) O cido deve conter no mnimo 20% do
componente B1, no mximo 20% do componente B2 e no
mnimo 35% do componente B3;(b) O peso especfico deve ser menor
ou igual a 1.O cido dever ser produzido a partir de uma mistura de
trs matrias-primas, R1, R2, R3. A per-centagem na qual os
componentes B1, B2 e B3, encontram-se nas matrias-primas bem como o
pesoespecfico e o preo por unidade so dados pela tabela apresentada
a seguir:
B1 B2 B3 Peso Preo porEspecfico unidade (R$)
R1 15 10 40 1,04 140R2 20 15 30 0,95 120R3 25 30 35 1,00 130
Considere que o peso especfico do cido ser dado levando-se em
conta a proporo em que as matrias-primas se encontram na mistura.
Determinar esta proporo, que minimize o custo da produo docido.
13. Uma indstria produz sucos de laranja e de tomate. O processo
consiste na fabricao da lata, extraodo suco e envasamento. O
mercado fornecedor pode fornecer tomate para 20.000 latas por
semana,e laranjas para 30.000 latas por semana. Cada lata de suco
de tomate d um lucro de R$0,20 e delaranja de R$0,30. As latas so
idnticas, diferindo apenas no rtulo. As sees de fabricao de latastm
capacidade para produzirem 40.000 latas por semana. A seo de extrao
trabalha 40 horas porsemana e pode produzir 1.000 latas de suco de
laranja por hora ou 2.000 latas de suco de tomate porhora (ou
qualquer outra combinao entre essas produes, ou seja, se produzir
1.000 latas de suco delaranja por hora, esgota toda sua capacidade
e no pode produzir sucos de tomate; se dedicar metadede sua
capacidade produo de cada tipo de suco, produzir 500 latas de suco
de laranja por hora eainda 1.000 latas de suco de tomate por hora).
A seo de envasamento pode enlatar at 35.000 lataspor semana, de um
tipo ou de outro, pois as latas so idnticas. Determinar a programao
semanalde produo que leva a mximo lucro.
14. A companhia Eletro & Domsticos pretende escalonar a
produo de um novo apetrecho de cozinha querequer dois recursos:
mo-de-obra e matria-prima. A companhia considera a hiptese de 3
modelosdiferentes, tendo o seu departamento de engenharia fornecido
os seguintes dados:
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Modelo A B CMo-de-obra (h/unidade) 7 3 6Matria-prima
(Kg/unidade) 4 4 5Lucro (R$/unidade) 4 2 3
O fornecimento de matria-prima est limitado a 200 quilos/dia.
Por dia esto disponveis 150 horasde trabalho. O objectivo maximizar
o lucro total. Formule o modelo que permitiria resolver
esteproblema.
15. Uma refinaria pode misturar 3 tipos de petrleo para produzir
gasolina normal e super. Existemdisponveis duas unidades de
mistura. Para cada ciclo de produo a unidade mais antiga usa 5
barrisdo tipo A, 7 barris do tipo B e 2 barris do tipo C para
produzir 9 tanques de gasolina normal e 7de gasolina super. A
unidade de mistura mais recente usa 3 barris do tipo A, 9 do B e 4
do C paraproduzir, num ciclo de produo, 5 tanques de gasolina
normal e 9 de super. Devido a contratos jassinados, a refinaria tem
que produzir, pelo menos, 500 tanques de normal e 300 tanques de
super.Existem disponveis 1500 barris de petrleo do tipo A, 1900 do
B e 1000 do C. Por cada tanque degasolina normal produzida a
refinaria ganha 6 unidades monetrias e, por tanque de super, 9
unidadesmonetrias. O problema saber como utilizar as reservas de
petrleo e as duas unidades de mistura,de forma a, respeitando os
compromissos assumidos, maximizar o lucro da refinaria.
16. Uma empresa planeja arrendar espaco num armazm, sendo as
suas necessidades para os prximos 5meses as seguintes:
Ms Necessidade (m2)1 15002 10003 20004 5005 2500
Perodo de arrendamento Custo mensal (m2)1 28002 45003 60004
73005 8400
Construa um modelo que permita determinar o esquema de contratos
a assinar, de forma a satisfazeras necessidades de espao o mais
economicamente possvel.
17. O papel normalmente fabricado em rolos grandes (em largura e
em dimetro), que depois so divididosem rolos menores, que por sua
vez podero ser enviados diretamente para clientes ou para ser
cortadosem formatos especficos. Veja o seguinte exemplo. O papel
produzido em rolos com 6 metros delargura. A partir deste rolos
necessrio produzir 30 rolos menores com 280cm, 60 rolos com 200cme
48 rolos com 150cm. Assim sendo, um rolo de 6 metros pode ser
dividido, por exemplo, em 2 rolosde 280, sobrando um rolinho de
40cm que considerado desperdcio. Assumindo que existem rolosgrandes
em quantidade suficiente para satisfazer esta encomenda, o problema
consiste em determinara forma de cortar os rolos grandes de forma a
minimizar o desperdcio.
18. Uma companhia de aviao vai comprar avies a jato de
passageiros, para viagens longas, mdias ecurtas (tipos Al, Am e Ac,
respectivamente). Os custos unitrios, em milhs de reais so,
respectiva-mente, de 5000, 3800 e 2000. A administrao da companhia
autorizou a verba mxima de 112000milhes de reais para esse efeito.
Admite-se que os lucros anuais sejam de 310, 230 e 200 milhes
dereais com cada um dos tipos de avio Al, Am e Ac, respectivamente.
Haver pilotos suficientes parapilotar, no mximo, 30 avies novos. Se
apenas fossem comprados avies Ac, os servios de manutenosuportariam
40 avies novos. Contudo, cada avio Am equivale a 43 de um avio Ac e
cada avio Al a53 de um avio Ac, no que diz respeito manuteno. A
direo tcnica ainda de opinio que, porcada avio Ac que seja
comprado, se comprem tambm pelo menos um avio Al ou um avio Am.
Poroutro lado, selecionado um avio Al para comprar, tambm devero
ser comprados pelo menos 8 aviesAc ou Am. Com estes dados, a gesto
da empresa deve decidir a quantidade de avies de cada tipo
acomprar, de modo a maximizar o lucro. Formule um modelo para este
problema.
19. Pretende-se urbanizar um determinado terreno. O terreno
divide-se em 3 zonas com caractersticas,em termos de relevo,
localizao e tipo de subsolo, diferentes: Z1, Z2 e Z3. Esta
urbanizao deverincluir reas para fins residenciais (Ar), reas
verdes (Av) e de equipamentos sociais (Ae). O custo deconstruo de
um determinado tipo de rea (R, V ou E) em Z1, Z2 ou Z3 proporcional
respectivarea de construo, sendo as constantes de proporcionalidade
diferentes entre si e conhecidas. necessrio construir pelo menos K
hectares de Ar e garantir que os quocientes AeAr e
AvAr
no sejaminferiores a l e m (conhecidos), respectivamente.
Pretende-se conhecer as reas a atribuir a R, V , e Enas zonas Z1,
Z2 e Z3.
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(a) Formule o problema nas seguintes condies:i. As condies
relativas a l e m devem ser satisfeitas em cada zona.ii. As condies
relativas a l e m devem ser satisfeitas para o conjunto de Z1, Z2 e
Z3.
(b) Qual a relao de ordem existente entre o custo total da soluo
tima calculvel em (i) e em (ii)?Justifique.
(c) Formule o problema como em (ii) mas admitindo que se as reas
para E forem maiores que pento as reas para V sero maiores que q (p
e q conhecidos).
20. Uma certa companhia area pretende manter a sua
competitividade num setor de atividade fortementeconcorrencial. O
aumento de competitividade passa, nomeadamente, pela realizao de
dois objetivos, amelhoria da qualidade de servio e a reduo dos
custos de operao. Por outro lado, a segurana de umacompanhia area
um aspecto de primordial importncia, estando intimamente ligado
manuteno.Para manter um avio em boas condies tcnicas, procede-se
manuteno preventiva atravs depequenas inspees entre pouso e
posterior descolagem. A direo da empresa tambm considera ahiptese
de oferecer estes servios de manuteno a outras companhias de aviao,
mesmo que paratal tenha que aumentar as equipes de manuteno. O
elemento crucial nestas equipes o chefe demanuteno, tcnico
altamente qualificado, que necessita ter formao especfica para cada
tipo deavio e obter assim uma licenaa imprescindvel para o
desempenho dessas funes. A cada licenacorresponde uma categoria de
avies, existindo 4 licenas diferentes:
Tipo de licena AviesModelo Capacidade
1 Boeing 717 1002 Boeing 777 300 a 5003 Airbus A319 1244 Airbus
A340 350
Cada tcnico pode ter no mximo 2 licenas. A primeira licena
demora vrios anos a obter, sendoportanto mais cara para a empresa,
enquanto a segunda licena demora menos anos a obter,
ficandonaturalmente mais barata. O custo da segunda licena depende
ainda da licena anterior que o tcnicopossui. Atualmente existem 9
equipes de manuteno, cada uma chefiada por um tcnico licenciado,que
funcionam em 3 turnos.
Custo (R$10.000)Licena Licenaanterior a tirar
1 2 3 40 2 4 2 41 1 2 32 1 2 33 1 3 24 1 2 1
Turno Chefe de equipe Tipo de licena1 1, 2
1 2 13 24 3, 4
2 5 26 37 4
3 8 3, 49 3
Para poder oferecer servios a outras companhias de aviao, a
empresa pretende que existam 4 licenasde cada tipo, no conjunto dos
chefes de manuteno. Isto pode ser conseguido enviando para
formaoatuais chefes de equipa (portanto tcnicos que j possuem 1
licena) ou outros tcnicos que ainda nopossuem nenhuma licena. No
entanto, de cada turno s poder sair, no mximo, 1 chefe de
equipepara formao. Escreva um modelo de programao matemtica que
permita determinar a poltica deobteno de licenas que minimize os
custos para a companhia de aviao.
21. Uma fbrica de motores especiais recebeu recentemente
R$900.000,00 em pedidos de seus 3 tipos demotores. Cada motor
necessita de um determinado nmero de horas de trabalho no setor de
montageme de acabamento. A fbrica pode terceirizar parte da sua
produo. A empresa deseja saber quantoproduzir de cada motor na sua
Planta e quantos tero sua produo terceirizada.
Modelo 1 2 3 TotalDemanda 3500 2500 500 6000Montagem (h/unid) 1
2 0,5 6000Acabamento (h/unid) 2,5 1 4 10000Custo Produo (R$) 50 90
120Custo Terceiros (R$) 65 92 140
