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Poço potencial
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Aplicacoes da equacao de Schrodingerindependente do tempo
Poco potencial finito e infinito
Robenil dos Santos Almeida
Universidade Federal do Reconcavo da BahiaCentro de Formacao de Professores
Curso de Licenciatura em Fsica
Sumario
Equacao de Schrodinger unidimensional
Interpretacao probabilstica da funcao de onda
Normalizacao
Equacao de Schrodinger unidimensional independente do tempo
Poco potencial quadrado infinito
Poco potencial quadrado finitoCaso E > V0
Equacao de Schrodinger unidimensional
i~(x , t)
t= ~
2
2m
2(x , t)
x2+ V (x , t)(x , t) (1)
Operadores diferenciais
p 7 ~ x
(Operador momento)
E 7 i~2 t
(Operador energia)
Interpretacao probabilstica da funcao de onda
O modulo do quadrado da funcao de onda (x , t) e uma quantidadereal, que representa a localizacao aleatoria da partcula microscopica,que chamamos de densidade de probabilidade:
|(x , t)|2 = (x , t)(x , t)
Normalizacao
+|(x , t)|2dx = 1
I Se satisfazer a condicao de normalizacao, 0 quando|x | .
I Esta condicao impoe restricoes a`s possveis solucoes de quenao tendem a zero quando |x | . Neste caso, estas solucoesnao sao aceitaveis como funcao de onda.
Equacao de Schrodinger unidimensional independentedo tempo
Quando V depende somente de x , ou seja, V = V (x), podemosseparar a dependencia em x da dependencia em t de (x , t), assu-mindo que a solucao da eq.(1) seja (x , t) = (x)(t), de modoque obtemos
(t) = e iEt/~
~2
2m
d2
dx2(x) + V (x)(x) = E(x) (2)
Voltar
Poco potencial quadrado infinito
V (x) =
[, se x 0 e x L0, se 0 < x < L
I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.
I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:
~2
2m
d2(x)
dx2= E(x) (3)
Ver eq.(2)
V (x) =
[, se x 0 e x L0, se 0 < x < L
I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.
I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:
~2
2m
d2(x)
dx2= E(x) (3)
Ver eq.(2)
V (x) =
[, se x 0 e x L0, se 0 < x < L
I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.
I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:
~2
2m
d2(x)
dx2= E(x) (3)
Ver eq.(2)
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~. Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~.
Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~. Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica
(x) = Ae ikx + B eikx
onde k =
2mE/~. Assumindo A = B , temos
(x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)
Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)
Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)
com k =
2mE/~.
I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.
I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa
(x) = 0, em x 0 e x L
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)
com k =
2mE/~.I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,
a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.
I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa
(x) = 0, em x 0 e x L
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)
com k =
2mE/~.I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,
a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.
I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa
(x) = 0, em x 0 e x L
I A continuidade da funcao de onda impoe que
(0) = (L) = 0
I A derivada da funcao de onda, d(x)/dx , nao pode ser nulanestes pontos extremos, ja que, se fosse o caso, entao (x) = 0para todo valor de x .
I A continuidade da funcao de onda impoe que
(0) = (L) = 0
I A derivada da funcao de onda, d(x)/dx , nao pode ser nulanestes pontos extremos, ja que, se fosse o caso, entao (x) = 0para todo valor de x .
Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos
(0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0Entao, a eq.(6) fica
(x) = A sin(kx) (7)
Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos
(0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0
Entao, a eq.(6) fica
(x) = A sin(kx) (7)
Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos
(0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0Entao, a eq.(6) fica
(x) = A sin(kx) (7)
A condicao de contorno (x) = 0 quando x = L, restringe ospossveis valores de k e, portanto, os valores da energia E . Apli-cando esta condicao de contorno, temos
(L) = A sin(kL) = 0
Esta condicao e satisfeita quando
k kn = npiL, n = 1, 2, 3, ... (8)
A condicao de contorno (x) = 0 quando x = L, restringe ospossveis valores de k e, portanto, os valores da energia E . Apli-cando esta condicao de contorno, temos
(L) = A sin(kL) = 0
Esta condicao e satisfeita quando
k kn = npiL, n = 1, 2, 3, ... (8)
O valor de k havia sido determinado anteriormente como
k kn =
2mE
~2= k2n =
2mE
~2(9)
Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos
n2pi2
L2=
2mE
~2
E En = n2~2pi2
2mL2(10)
O valor de k havia sido determinado anteriormente como
k kn =
2mE
~2= k2n =
2mE
~2(9)
Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos
n2pi2
L2=
2mE
~2
E En = n2~2pi2
2mL2(10)
O valor de k havia sido determinado anteriormente como
k kn =
2mE
~2= k2n =
2mE
~2(9)
Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos
n2pi2
L2=
2mE
~2
E En = n2~2pi2
2mL2(10)
Para cada valor de n, existe uma dada funcao de onda (x) n(x)dada por
n(x) =
{0, para x < 0 e x > L
An sin(npix/L
), para 0 < x < L
Normalizando, podemos determinar a constante An:
L0
|(x)|2dx = L0
A2n sin2(npix/L
)dx = 1
Para cada valor de n, existe uma dada funcao de onda (x) n(x)dada por
n(x) =
{0, para x < 0 e x > L
An sin(npix/L
), para 0 < x < L
Normalizando, podemos determinar a constante An:
L0
|(x)|2dx = L0
A2n sin2(npix/L
)dx = 1
An =
2
L
Entao, obtemos, para a regiao 0 < x < L, a seguinte funcao de onda
n(x) =
2
Lsin(npix/L
)(11)
Poco potencial quadrado finito
Nesta situacao, o potencial e
V (x) =
{0 para a
Nesta situacao, o potencial e
V (x) =
{0 para a
Nesta situacao, o potencial e
V (x) =
{0 para a
Entao,
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)
Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x)
Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)
onde l =
2m(V0 E )/~.
Entao,
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x)
Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)
onde l =
2m(V0 E )/~.
Entao,
(x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x)
Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)
onde l =
2m(V0 E )/~.
A eq.(14) diverge quando x , assim, a solucao fisicamenteadmissvel e
(x) = Ce lx , para x a (15)
Para x a, a solucao e(x) = Fe lx + Gelx (16)
onde l =
2m(V0 E )/~. A eq.(16) diverge quando x +,assim, a solucao fisicamente admissvel e
A eq.(14) diverge quando x , assim, a solucao fisicamenteadmissvel e
(x) = Ce lx , para x a (15)Para x a, a solucao e
(x) = Fe lx + Gelx (16)
onde l =
2m(V0 E )/~. A eq.(16) diverge quando x +,assim, a solucao fisicamente admissvel e
(x) = Gelx , para x a (17)
O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
(x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a.
No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
(x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares.
A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
(x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)
Trabalhando com as solucoes pares, temos:
(x) = Gelx , para x a (18)
(x) = B cos(kx) , para a < x < a (19)(x) = (x) , para x < 0 (20)
A continuidade de (x), em x = a, diz que
Gela = B cos(ka) (21)
Trabalhando com as solucoes pares, temos:
(x) = Gelx , para x a (18)
(x) = B cos(kx) , para a < x < a (19)(x) = (x) , para x < 0 (20)
A continuidade de (x), em x = a, diz que
Gela = B cos(ka) (21)
E a continuidade de (d(x)/dx) diz que
lGla = Bk sin(ka) (22)
Dividindo a eq.(22) pela eq.(21), descobrimos que
l = k tan(ka) (23)
Essa e uma formula para as energias permitidas, pois k e l sao funcoesde E . Como, l =
2m(V0 E )/~ e k =
2mE/~, temos que
E a continuidade de (d(x)/dx) diz que
lGla = Bk sin(ka) (22)
Dividindo a eq.(22) pela eq.(21), descobrimos que
l = k tan(ka) (23)
Essa e uma formula para as energias permitidas, pois k e l sao funcoesde E . Como, l =
2m(V0 E )/~ e k =
2mE/~, temos que
tan
(2ma2E
~2
)=
V0 E
E(24)
Esta e uma equacao transcendental para E . Pode ser resolvidagraficamente, organizando tan(
(2ma2E )/~2) e
(V0 E )/E na
mesma grade e buscando pontos de intersecao.
tan
(2ma2E
~2
)=
V0 E
E(24)
Esta e uma equacao transcendental para E . Pode ser resolvidagraficamente, organizando tan(
(2ma2E )/~2) e
(V0 E )/E na
mesma grade e buscando pontos de intersecao.
I Caso E > V0
Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.
(x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)
com k =
2mE/~. No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x) (26)
I Caso E > V0
Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.
(x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)
com k =
2mE/~.
No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x) (26)
I Caso E > V0
Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.
(x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)
com k =
2mE/~. No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma
~2
2m
d2(x)
dx2+ V0(x) = E(x) (26)
Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):
(x) = Ae ikx + Beik
x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a
(27)
com k =
2m(E V0)/~.
Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:
Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):
(x) = Ae ikx + Beik
x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a
(27)
com k =
2m(E V0)/~.Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.
Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:
Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):
(x) = Ae ikx + Beik
x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a
(27)
com k =
2m(E V0)/~.Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:
Fe ika + Geika = Ce ika
ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)
F
G=
(k + k
k k )eika (29)
Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik
a + Be ika
ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)
Fe ika + Geika = Ce ika
ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)
F
G=
(k + k
k k )eika (29)
Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik
a + Be ika
ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)
Fe ika + Geika = Ce ika
ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)
F
G=
(k + k
k k )eika (29)
Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik
a + Be ika
ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)
F/G + e ika
F/G e ika =k
k A/B + e ik
a
A/B e ik a (31)
As eqs.(29) e (31) permitem calcular o quociente B/A e obter ocoeficiente de reflexao R . De forma analoga, podemos calcular C/Ae obter o coeficiente de transmissao T .
R =|B |2|A|2 =
[1 +
4k2k 2
(k2 k 2)2 sin2(ka)
]1(32)
T =|C |2|A|2 =
[1 +
(k2 k 2)2 sin2(ka)4k2k 2
]1(33)
F/G + e ika
F/G e ika =k
k A/B + e ik
a
A/B e ik a (31)
As eqs.(29) e (31) permitem calcular o quociente B/A e obter ocoeficiente de reflexao R . De forma analoga, podemos calcular C/Ae obter o coeficiente de transmissao T .
R =|B |2|A|2 =
[1 +
4k2k 2
(k2 k 2)2 sin2(ka)
]1(32)
T =|C |2|A|2 =
[1 +
(k2 k 2)2 sin2(ka)4k2k 2
]1(33)
Referencias
GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum mechanics. 1a. ed.Upper Saddle River: Prentice Hall, 1994.
LIMA, C. R. A. Notas de Aula: Fsica Moderna. Disponvel em:http://www.fisica.ufjf.br/cralima/index arquivos/Page491.htm. Acesso em: 03 de maio de 2015.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica para cientistas e engenheiros.5a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Equao de Schrdinger unidimensionalInterpretao probabilstica da funo de ondaNormalizaoEquao de Schrdinger unidimensional independente do tempoPoo potencial quadrado infinitoPoo potencial quadrado finitoCaso E>V0