Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeProjektovanje i podeavanje fuzzy regulatora PID tipa na bazi fazifikacije konvencionalnih regulatoraKada je problem upravljanja regulacija izlaza procesa oko eljene radne take, i u sluaju primene fuzzy kontrolera, prirodno je razmotriti greku praenja reference kao ulaznu veliinu, dok se integral i izvod greke takoe mogu upotrebiti kao korisni ulazi. Kod fuzzy PID kontrolera je teko predvideti uticaj promene parametara na vreme uspona, preskok i vreme smirenja, jer je kontroler nelinearan i postoji vei broj parametara koje je mogue podesiti nego kod PID kontrolera. ini se razumnim da proces projektovanja fuzzy upravljanja zapone podeavanjem obinog PID regulatora (moda ak i prostog P kontrolera) i da se izvri stabilizacija sistema. Nakon toga je lake prei na fuzzy upravljanje. Cilj ovog poglavlja je da ustanovi sistematsku proceduru za podeavanje parametara fuzzy regulatora prenoenjem odgovarajuih pravila iz PID u fuzzy domen i to po sledeim koracima: 1. podeavanje konvencionalnog PID regulatora, 2. zamena PID-a ekvivalentnim linearnim fuzzy kontrolerom, 3. transformacija u nelinearni fuzzy kontroler, 4. fino podeavanje. Ovaj metod se moe primeniti kada god je mogua implementacija PID kontrolera, uz kori enje poznatih tehnika za dizajn konvencionalnih PID-a, pre implementiranja finalnog fuzzy kontrolera.1. Podeavanje PID regulatoraPrvi korak u predloenoj strategiji upravljanja je podeavanje konvencionalnog PID regulatora. Parametri PID kontrolera se mogu podeavati na razne naine: runo, ZieglerNichols-ovim metodom, razliitim drugim analiti kim i eksperimentalnim metodama, optimizacijom, podeavanjem polova, autopodeavanjem (Smith, 1979, strm & Hgglund, 1995). Fuzzy kontroleri pod odreenim pretpostavkama pokazuju odreene slinosti sa PID kontrolerima (Siler & Ying, 1989; Mizumoto, 1992; Qiao & Mizumoto, 1996; Tso & Fung, 1997), to emo iskoristiti u narednim fazama projektovanja. Zakon upravljanja idealnog kontinualnog PID regulatora je:tde ) dtu = K p (e + T1 e d(1)+Tdi 0gde je u upravljaka promenljiva, konstanta Kp je proporcionalno pojaanje, Ti i Td su vremenske konstante integralnog i diferencijalnog dejstva, a e je signal greke jednak razlici izmeu1Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebereferentnog signala i upravljane promenljive y ( e = Ref y ). Pri maloj periodi odabiranja Ts diskretni ekvivalent zakonu upravljanja (1) moe se dobiti aproksimacijom izvoda diferenciranjem unazad, a integrala sumom pravougaonika irine Ts i visine e(jTs) (j = 0, 1, 2, ). Tako se dobija zakon upravljanja diskretnog PID regulatora: 1n= u Ke e e + Tie T +Tnn1,(2)npnjSdTSj= 1pri emu se oznaka un odnosi na vrednost upravljake promenljive u n-tom trenutku odabiranja u(nTS). Pod pojmom podeavanja PID regulatora podrazumevaemo menjanje vrednosti parametara Kp , Ti i Td sve dok ne postignemo eljeno ponaanje sistema u zatvorenoj sprezi. Neki zanimljivi aspekti podeavanja parametara se mogu ilustrovati posmatranjem statikih karakteristika (strm & Hgglund, 1995). U sluaju isto proporcionalnog regulatora (Td = 0 i 1/Ti = 0), zakon upravljanja (2) se svodi na:un = K p en(3)Posmatrajmo sistem sa zatvorenom spregom na sl. 1, gde kontroler ima pojaanje proporcionalnog dejstva Kp , a proces poseduje pojaanje K u stacionarnom stanju. Izlaz procesa x je povezan sa referencom Ref, ulaznim poremeajem l i mernim umom n preko jednaine:x =KpK( Ref n )+K1+Kp Kl Refl 1+ K p K( 4 )ny+e+ -uKp+ +Kx+Proces KontrolerSl. 1: Proporcionalni kontroler kod sistema sa optereenjem l i umom n. Ako su n i l jednaki nuli, tada Kp treba da ima veliku vrednost da bi se obezbedilo da izlaz procesa x bude blizak referenci Ref. ta vie, u sluaju da l ima nenultu vrednost, visokom vrednou Kp e se postii da je sistem manje osetljiv na promene ulaznog poremeaja l. Ali u sluaju da postoji merni um n, Kp treba da bude umereno da sistem ne bi bio preosetljiv na um. Ukoliko posmatramo dinamiku procesa, sistem sa velikom vrednou Kp e obino biti nestabilan. Oigledno je da se pri podeavanju Kp mora postii balansizmeu razliitih ciljeva upravljanja: stabilnosti, osetljivosti na um i regulacije optereenja. Jedna od metoda podesavanja parametara PID regulatora je Ziegler-Nicholsova procedura (Ziegler & Nichols in strm & Hgglund, 1995).1.1.Procedura Ziegler-NicholsaBez obzira na tip primenjenog regulatora (P, PI ili PID) u eksperimentu se najpre iskljue integralno (I) i diferencijalno (D) dejstvo postavljanjem vremenske konstante Ti na maksimalnu vrednost i T d na nulu. Pri tome se faktor proporcionalnog dejstva Kp postavlja na neku malu vrednost pri kojoj je kontura regulacije stabilna. Zatim se u malim iznosima korak po korak2Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebepoveava Kp , u svakom koraku izaziva poreme aj i na regulatoru snima regulisana promenljiva. Eksperiment se ponavlja sve dok se u nekom koraku kontura ne nae na oscilatornoj granici stabilnosti. Tada se regulisana promenljiva posle poremeaja tipa poetnih uslova ne vraa u prvobitno stacionarno stanje, ve u stacionarnom stanju poprima periodine oscilacije konstantne amplitude. Na osnovu dostignute vrednosti pojaanja Kkr i vremena izmeu dva sukcesivna maksimuma u oscilacijama regulisane promenljive Tkr , kao i tabele 1 moe se pristupiti podeavanju parametra PID (odnosno P ili PI) regulatora. Tabela 1. Ziegler Nicholsova pravila Regulator P PI PID Kp 0.5 Kkr 0.45 Kkr 0.6 Kkr TkrTiTd/ 1.2 /2 Tkr / 8TkrMoe se uspostaviti veza izmeu periode odabiranja i vremenske konstante diferencijalnog dejstva T d . strm i Wittenmark (1984) su predloili da periodu odabiranja (Ts) treba birati izmeu 1/10 i 1/2 Td . Odnosno, na osnovu pravila Zieglera i Nicholsa, Ts treba da bude 1 5 % Tkr . Postoji i drugo pravilo koje kae da periodu odabiranja treba birati izmeu 1/10 i 1/5 dominantne vremenske konstante. Ziegler i Nichols su predloili i drugu metodu za podeavanje parametara PID (odnosno P ili PI) regulatora, pri emu se parametri odreuju na osnovu odskonog odziva sistema u otvorenoj povratnoj sprezi. Ova metoda se moe primeniti kod sistema kod kojih se oscilacije u sistemu sa zatvorenom povratnom spregom ne mogu tolerisati. Primer 1. (Ziegler Nicholsova procedura) Neka proces sa sl. 1 ima funkciju prenosa kontroler uklonjeni integralni 1 . Stavimo na mesto a PID regulator sa m m iG )= (s(s +1) 3diferencijalnim dejstvom: Td = 0 i 1/Ti = 0. Treba postepeno poveavati proporcionalno pojaanje dok ne doe do stabilnih oscilacija (sl. 2). U tom trenutku e biti Kkr = 8 i Tkr 15/4. Poto proces nema integralni karakter (astatizam), radi uklanjanja greke stacionarnog stanja, regulator mora posedovati integralno dejstvo. Na osnovu tree vrste iz tabele 1 moe se podesiti: Kp = 0.6 Kkr = 4.8, Ti = T kr / 2 = 15/8 i T d = Tkr / 8 = 15/32. Sl. 3 prikazuje odziv sistema u zatvorenoj sprezi na odskonu referencu (u nultom trenutku) i pri skokovitoj promeni ulaznog poremeaja nakon 20 sekundi.1.8 1.6 1.4 1.2 1 y 0.8 0.6 0.4 0.2005101520 t (s)25303540Sl. 2: Ziegler-Nicholsove oscilacije procesa 1/(1+s)3.3Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebe1.55 4 3 y u 2 0.5 1 0 0105101520 t (s)25303540-105101520 t (s)25303540Odziv procesaUpravljaki signalSl. 3: PID upravljanje procesom 1/(1+s)3. Za skokom reference u trenutku t=0 sledi skok ulaznog poremeaja u trenutku t = 20 sec. Ziegler i Nichols su svoja pravila razvili za sluaj linearnog sistema sa transportnim kanjenjem i polom u koordinatnom poetku. Zahtev koji su sebi postavili pri projektovanju je bio da pri skokovitoj promeni reference ili ulaznog poremeaja svaki sledei maksimum signala greke bude 25% prethodnog. Prema tome, drugi preskok signala greke e biti etiri puta manji od prvog to predstavlja kompromis izmeu brzog odziva i malog preskoka. Primena ovog metoda na sisteme ije je transportno kanjenje znatno ve e od dominantne vremenske konstante ne daje dobre rezultate. Generalno, navedena procedura esto ne daje zadovoljavajue rezultate ali se dobijeni parametri ne razlikuju mnogo od parametara idealno podeenog PID-a za dati proces. Srodna ali tanija procedura je Kappa-Tau podeavanje parametara koja se zasniva na bezdimenzionim parametrima: relativnom pojaanju k i relativnom mrtvom vremenu procesa (strm & Hgglund, 1995; strm, Hang, Persson & Ho, 1992).1.2.Procedura runog podeavanjaPojaanja dobijena bilo kojom analitikom metodom mogu se posmatrati kao pribline vrednosti i dobro polazite za runo podeavanje parametara. Runo podeavanje se zasniva na nekim empirijskim pravilima korienim od strane iskusnih inenjera (tabela 2). Tabela 2. Iskustvena pravila za podeavanje PID regulatora. Akcija Poveanje Kp Poveanje Td Poveanje 1/Ti Vreme uspona Krae Due Krae Preskok Poveava se Smanjuje se Poveava se Stabilnost Pogorava se Poboljava se Pogorava sePodeavanjem parametara treba postii kompromis izmeu brzog odziva i stabilnosti. Postoje izuzeci od pravila navedenih u tabeli. Ako, na primer, proces sadriintegraciju, poveanje Kp esto kao posledicu ima stabilnije upravljanje. Iskustvena pravila se mogu4Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeilustrovati pomou mapa podeavanja (videti npr. strm & Hgglund, 1995). Sledea procedura runog podeavanja parametara potie od Smith-a (1979). Procedura runog podeavanja: (a) Ukloniti integralno i diferencijalno dejstvo podeavanjem Td = 0 i 1/Ti = 0. 2) Podesiti proporcionalno pojaanje Kp tako da se dobije eljeni odziv, ignoriui greku stacionarnog stanja. 3) Poveati pojaanje proporcionalnog dejstva pa podesiti vremensku konstantu diferencijalnog dejstva Td tako da se smanji preskok. 4) Podesiti pojaanje integralnog dejstva 1/Ti tako da se eliminie greka stacionarnog stanja. 5) Ponavljati (c) i (d) dok se ne postigne zadovoljavajui odziv sa to veim Kp. Prema ovoj proceduri, diferencijalno dejstvo se podeava pre integralnog dejstva, ali u praksi ovaj redosled moe biti i obrnut. Prednost runog podeavanja je to ga inenjer moe primeniti na licu mesta, on-line i tako razviti oseaj o ponaanju sistema u zatvorenoj sprezi. Mane su to moe potrajati dok se ne razvije taj oseaj i to je teko osetiti da li su finalna podeavanja optimalna. Primer 2. Posmatrajmo laboratorijsku aparaturu koja se sastoji od pumpe, rezervoara sa vodom i ventila za isputanje vode. Zadatak upravljanja je podeavanje nivoa vode u rezervoaru nakon skokovite promene reference. 1) Pretpostavimo da je ventil zatvoren. U tom sluaju za reavanje problema je dovoljan P regulator - im nivo vode dostigne predvieni nivo greka postaje nula i kontroler zaustavlja pumpu. Ukoliko pumpa sporo reaguje, korienje samo P regulatora bi dovelo do preskoka, tj. kontroler mora poeti da smanjuje dotok vode pre nego to voda dostigne predvieni nivo u tom sluaju je neophodan PD regulator. 2) Pretpostavimo sada da je ventil otvoren. Nivo vode mora dostii zahtevani nivo, pri emu pumpa mora i dalje da radi da bi se kompenzovala koliina vode koja kroz ventil izlazi iz rezervoara. Potrebno je zadrati upravljaki signal i u stacionarnom stanju, tj. kontroler mora da sadri integralno dejstvo, pa se koriste PI ili PID regulatori.2. Linearni fuzzy kontroleriDrugi korak u naoj proceduri projektovanja je zamena sumiranja kod PID regulatora linearnim fuzzy kontrolerom koji vri funkciju sumiranja. Sistem u zatvorenoj povratnoj sprezi bi prema tome trebao da ima isti odskoni odziv; na taj nain se moe proveriti da li nam je interpretacija dobra. Razmotriemo pojedinane elemente fuzzy sistema zakljuivanja i nelinearnosti koje oni unose u sistem upravljanja. Upravljaka povrina Ako imamo dva ulaza i jedan izlaz, ulazno-izlazna mapa je povrina. Nasl. 4 je prikazan primer odnosa izmeu ulaznih signala greke i promene greke d i izlaza5Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebekontrolera . Slika je nastala kao posledica baze pravila koja se sastoji od 9 pravila i povrina je manje ili vie naborana. Horizontalni platoi su nastali kao posledica ravnih vrhova u ulaznim skupovima (trapezne funkcije pripadnosti). Plato u okolini koordinatnog poetka implicira malu osetljivost na promene bilo signala greke bilo signala promene greke u okolini reference. Ovo je prednost ako osetljivost na um mora biti mala kada se proces nalazi blizu reference. Sa druge strane, teko je zadrati proces u referentnom poloaju, pa je potrebno poveati pojaanje u okolini koordinatnog poetka.2 1 0 -1 -2 1 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 d -1 0.5 1Sl. 4: Primer upravljake povrine. Kod fuzzy kontrolera postoje tri izvora nelinearnosti: 0 Funkcije pripadnosti. Pozicija, oblik i broj fuzzy skupova pripadnosti, kao i nelinearno skaliranje ulaza prouzrokuju nelinearne transformacije. Pravila opisuju nelinearnu upravljaku strategiju koji ustvaruje fuzzy regulator. 0 Baza zakljuivanja. Ako su veznici and i or implementirani kao na primer min i max respektivno, tada su oni nelinearni. 0 Defazifikacija. Neke od metoda defazifikacije su nelinearne. Mogue je napraviti bazu pravila sa linearnim ulazno izlaznim mapiranjem koja se ponaa kao sumiranje (Silver & Ying, 1989; Mizumoto, 1992; Qiao & Mizumoto, 1996; Jantzen, 1998), ako su zadovoljeni sledei uslovi: Ulazni univerzumi Ulazni univerzumi moraju biti dovoljno veliki da bi ulazni signali ostali u okviru zahtevanih granica (bez zasienja). Svaka ulazna familija treba da ima odreeni broj lanova, odabranih tako da suma nivoa preklapanja za svaki ulaz bude 1. Ovo se moe postii u sluaju kada su skupovi trougaoni i seku sebi susedne skupove u takama u kojima je nivo preklapanja = 0.5; prema tome, njihovi maksimumi e biti ekvidistantni. Svaka ulazna vrednost prema tome moe da bude lan najvie dva skupa i njena pripadnost svakom od njih je linearna funkcija ulazne vrednosti. Broj pravila Broj lanova u svakoj familiji odreuje broj pravila, poto pravila moraju sadrati and kombinacije svih lanova da bi se obezbedila kompletnost. Preporuljivo je da izlazni skupovi budu singltoni si jednaki sumi pozicija vrnih vrednosti ulaznih skupova. Izlazni skupovi mogu takoe biti trougaoni, simetrini u odnosu na svoje maksimume, ali singltoni ine proces defazifikacije jednostavnijim. Veznici Da bi osigurali linearnost, moramo izabrati algebarski proizvod za realizaciju veznika and. Koristei ponderisan prosek doprinosa pravila upravljakom signalu (to odgovara metodi6Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebedefazifikacije koja se naziva centar gravitacije, COG), imenilac nestaje u izrazu za rezultat deazifikacije, jer zbir svih lanova iznosi jedan.Sve do sada reeno se moe generalizovati na ulazne familije sa vie od dva ulazna skupa po ulazu, jer e samo dva ulazna skupa biti aktivna u isto vreme. Sledea lista sumira izbore koje treba napraviti tokom procedure dizajniranja da bi se dobila baza pravila ekvivalentna sumiranju: 0 Koristiti trougaone ulazne skupove sa nivoom preklapanja = 0.50 Koristiti algebarski proizvod () za realizaciju veznika and. 0 Baza pravila mora sadrati and kombinaciju svih lanova iz ulaznih familija. 0 Treba koristiti izlazne singltone ija pozicija se odreuje kao suma pozicija vrnih vrednosti ulaznih skupova. 0 Koristiti COG metod defazifikacije. Nakon ovih izbora upravljaka povrina postaje potpuno glatka dijagonalna ravan.3. Prevoenje pojaanja iz PID u fuzzy domenTrei korak u naoj proceduri je da za pojaanja iz PID domena naemo ekvivalentna pojaanja linearnog fuzzy kontrolera.3.1. Proporcionalno upravljanjeUlaz fuzzy proporcionalnog (FP) kontrolera je signal greke e, a izlaz je upravljanje u, kao to je prikazano na sl. 5, gde je usvojeno, a koristie se i nadalje, oznaavanje veliinama sa "kapicom" ^ za normirane ulaze i izlaze fuzzy regulatora.e KpFuzz y Infere nce Syste mKuSl. 5: Fuzzy proporcionalni kontroler (FP).Fuzzy proporcionalni kontroler je najjednostavniji fuzzy kontroler koji postoji. On ima primenu kod zatvaranja povratne sprege po stanju ili izlazu u kontroleru na bazi prostora stanja. Za razliku od obinog proporcionalnog kontrolera sa jednim pojaanjem, fuzzy P kontroler ima dva pojaanja K p i Ku . Pojaanja se koriste za podeavanje odziva, ali sa dva pojaanja imamo dodatni stepen slobode, koji moemo koristiti za skaliranje izlaznog signala da bi u potpunosti iskoristili opseg dozvoljenog upravljanja procesom..Izlaz kontrolera je signal u koji je generalno nelinearna funkcija ulaznog signala e: u= Ku f Kp(e)(5)7Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatora( )Materijal za vebeFunkcija f predstavlja ulazno izlazno preslikavanje fuzzy kontrolera. Korienjem = linearne aproksimacije f K p eK p e , dobija se =uKuKpe(6)Poreenjem poslednjeg izraza sa izrazom (3) moe se zakljuiti da je proizvod pojaanja FP kontrolera ekvivalentan proporcionalnom pojaanju, tj. K= K p Ku (7) Tanost aproksimacije uglavnom zavisi od funkcija pripadnosti i pravila. Potpuno linearni FP regulator ostvarujemo izborom normirane irine [-1, 1] i ulaznog i izlaznog univerzuma i setom pravila:p= 2. ako Nula1. ako = Poz tada tada =0 = 1=13. ako = Neg tadagde su Poz, Nula i Neg trougaoni, kao to je ranije definisano, a upravljanje je definisano singltonima {-1, 0, 1}. Ako znamo koje Kp hoemo da postignemo (npr. iz Ziegler-Nicholsovih pravila), jedna ina (7) nam pomae da odaberemo pojaanja. Jednaina ima jedan dodatni stepen slobode, jer fuzzy P kontroler ima jedno poja anje vie od obinog P regulatora. Ovo svojstvo se koristi da bi se iskoristio ceo opseg izlaznog univerzuma. Npr, ako je opseg dozvoljenog upravljanjau [Umax , Umax], tada biramo jednaine (7) kao Kp = K p / Ku .Ku = Umax , aK p se odreuje izZbog dinamike procesa bie potrebno neko vreme pre nego to se promena upravljakog signala oseti na izlazu procesa, te e proporcionalni kontroler kasniti vie ili manje u ispravljanju greke.3.2. Proporcionalno-diferencijalno upravljanjeDiferenciranje pomae da se predvidi greka i proporcionalno diferencijalni (PD) regulator koristi diferencijalno dejstvo za poboljanje stabilnosti u zatvorenoj sprezi. PD regulator se obino koristi kada objekt upravljanja ima integralni karakter (astatizam), jer sam kontroler nema u sebi integralno dejstvo i ne moe da otkloni greku ustaljenog stanja. Osnovna struktura PD regulatora je: deu= Kp Td e+ = K p e + K p Td ed ,(8a )dtodnosno za diskretni ekvivalent:une ep= Ken+ Tdnn1= Kpen+ KpT eddn.(8b )TSZa T d = 0 kontroler je isto proporcionalan, a kada postepeno poveavamo Td doi e do smanjivanja oscilacija. Ako Td postane previe veliko sistem e postati prekompenzovan i moe postati i nestabilan.8Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeDirektni ulazi fuzzy proporcionalno diferencijalnog (FPD) kontrolera su normirani signal greke i normirani izvod signala greke d (sl. 6).eKpFuzzy Kued KddInference SystemSl. 6: Fuzzy PD kontroler (FPD). kontinualno izvo = de / signala greke s ed dt kontrolera, d obino e dobija Kod g proputanjem signala grekee kroz realni (kauzalni) diferencijator funkcije prenosa: D(s) = s , s / d +1 (9)gde se uestanost d bira da bude vea od propusnog opsega sistema zatvorene sprege. Kod diskretnog kontrolera, za dobijanje izvoda greke, obino se koristi aproksimacija diferenciranjem unazad:ed n = en en1TS.(10)Izlaz kontrolera je nelinearna funkcija greke e i izvoda greke ed := ( ) u K u f K p e, Kd ed(11)Ponovo funkcija f predstavlja ulazno izlaznu mapu fuzzy kontrolera, samo to je to ovog puta povrina u koja zavisi od dve ulazne koordinate e i ed. Korienjem linearne aproksimacije K p e + Kd ed , dobija se:u = K u K p e + K d ed = K p Ku e + Kd Ku ed (12) Poreenjem izraza (8) i (12), dobijaju se veze: K (13) p = K p / Ku K (14) d = K p Td / Ku Iskoriena aproksimacija odgovara zameni nelinearne fuzzy ulazno izlazne povrine jednom glatkom ravni koju ostvaruje linearni FPD kontroler. Linearni FPD kontroler se realizuje normiranim ulaznim univerzumom [1, 1] i za i za d , dok se za normirano upravljanje usvajaju singltoni {2, 1, 0, 1, 2}. Izlazni univerzum je dvostruko iri, jer( ) kontroler ima dva ulaza, pa se maksimalne vrednosti oba ulaza i d u iznosu 1, po linearnoj relaciji = + d, preslikavaju u 2.Ako je opseg dozvoljenog upravljanja sistemom definisan sa ubiramo Ku9 = Umax /2, a K i Kd p[Umax , Umax], tadarelacijama (13) i (14), konsekventno.Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeFuzzy PD kontroler moe biti primenjen kada reenje sa proporcionalnim kontrolerom nije adekvatno. Diferencijalni lan smanjuje preskok, ali moe biti osetljiv na um, kao i na naglu promenu referentnog signala koja e izazvati diferencijalni skok. Uobiajene protivmere mogu da ree ovaj problem su: pomenuti realni diferencijator (9) za filtriranje pri diferenciranju signala greke ili korienje izvoda izlaza procesa y umesto izvoda signala greke.3.3. Inkrementalno proporcionalno-integralno upravljanjeAko postoji greka stacionarnog stanja, uz proporcionalno, neophodno je i integralno dejstvo. Integralno dejstvo e poveati upravljaki signal u sluaju postojanja pozitivne greke, bez obzira koliko je greka mala, a smanjiti upravljaki signal, ukoliko je greka negativna. Kontroler sa integralnim dejstvom e uvek postii nultu greku stacionarnog stanja.Mogue je dobiti fuzzy PI kontroler koristei greku e i promenu greke ed kao ulazne signale baze pravila. Meutim, iskustvo je pokazalo da je veoma teko napisati pravila za integralno dejstvo. Mora da se vodi rauna i o problemima koji nastaju zbog navijanja integratora. Do navijanja dolazi ako aktuator poseduje ogranienje, kao to su maksimalna brzina kod motora ili maksimalna otvorenost ventila. Kada aktuator ue u zasienje upravljaka akcija postaje konstantna, ali kontroler nastavlja da integrali greku i dolazi do navijanja integratora. Integralni lan moe postati veoma veliki i trebae puno vremena da se smanji nakon to signal greke promeni znak. Kao posledica ovog fenomena moe doi do velikog preskoka ili ak nestabilnosti. Postoje metode da se ovo izbegne (strm & Hgglund, 1995). esto je bolje reenje da se kontroler konfigurie kao inkrementalni kontroler. Inkrementalni kontroler kreira promenu u upravljakog signala: d e e u= d Kp e = u d , K (15) + 1 t d = t K e + tpT i 0pdtTi0u = K p e+ Kde=0Kpe+K e. (16) d p Ti Ti p t d Izraz (16) je dobijen iz (1) uz Td = 0, a kontroler efektivno realizuje signal koji se dodatno integrali da bi se ostvario PI zakon upravljanja. Za diskretni ekvivalent, realizacija integracije u, za dobijanje upravljanja u, vri se pomou numerike aproksimacije integracijom unazad tj. un = u n1 + u n TS , a relacija (16) vai, uz realizaciju ed pomou diferenciranja unazad (10).Inkrementalni kontroler se, kao i konvencionalni PI, koristi kada sam proces nema integralni karakter (astatizam). Npr, prirodno je koristiti inkrementalni kontroler kada se kao aktuator koristi korani motor. Izlaz kontrolera je inkrement upravljakog signala dok sam motor vri integraciju. Prednost je to to je izlaz kontrolera izveden direktno iz integratora, tako da je lako reavati problem navijanja, npr. ograniavanjem izlaza integratora ili nekim drugim metodom. Mana Finc regulatora je to se u zakon upravljanja ne moe ukljuiti diferencijalno dejstvo. Fuzzy inkrementalni (FInc) kontroler sa sl. 7 je skoro iste konfiguracije kao FPD kontroler, jedina razlika je u integratoru na izlazu.10Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeeKp uFuzzy Ku 1/sed KddInference SystemSl. 7: Fuzzy inkrementalni PI kontroler (FInc). Iz relacije (16) zakona upravljanja inkrementalog kontrolera vidi se da je on efektivno PD kontroler, sa proporcionalnim delovanjem u iznosu Kp/Ti i diferencijalnim delovanjem u iznosu Kp. Stoga, relacije, ekvivalentne relacijama (13) i (14) FPD kontrolera, ali sada za podeavanje parametara inkrementalnog kontrolera, na bazi poznatih parametara PI regulatora Kp i Ti, glase: KpKp=Ti Ku(17)U odreivanju pojaanja Kd = K p / Ku Ku(18)treba imati u vidu da opseg izlaznog univerzuma linearnogFPD bloka iznosi [2, 2], a da objekt upravljanja obino poseduje ogranienje u vidu maksimalne brzine promene upravljakog signala |du/dt|max , pa tada biramo: Ku = du / dtmax.2(19)3.4. Proporcionalno-integralno-diferencijalno upravljanjeIzvoenje fuzzy PID kontrolera sa tri ulaza: greka, integral greke i izvod greke je pravolinijsko. Meutim, baza pravila u sluaju tri ulaza moe lako postati veoma velika a pravila koja se tiu integralnog dejstva su problematina, kao to je ranije pomenuto. Prema tome, uobi ajeno je da se integralno dejstvo izdvoji, kao u sluaju fuzzy PD + I (FPD + I) kontrolera na sl. 8.ed Kpe Ki KdeipdFuzzy +u i=idInferenceSystem+KuSl. 8: Fuzzy PD+I kontroler (FPD+I).11Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeRegulator FPD+I predstavlja proirenje FPD regulatora dodatnim sabirkom integralnog upravljanja, iji se ulaz ei kod analognog regulatora dobija kao izlaz integratora koji integrali signal greke e, a u diskretnoj realizaciji preko aproksimacije integracijom unazad:ei n = ei n1 + en TS(20)Relacije za podeavanje parametara FPD+I kontrolera, na bazi poznatih parametara PID regulatora Kp , Ti i Td, glase: K (21) p = K p / Ku Kd = K T / K (22) p d u Kp Ki=(23)Ti KuOvaj kontroler prua iste pogodnosti kao i konvencionalni PID regulator, ali takoe poseduje i mane koje se odnose na diferencijalni skok i navijanje integratora. Pravila podeavanja (21) (23) podrazumevaju da se prvo usvoji pojaanje Ku . Meutim, poto je integralno delovanje nezavisno od fuzzy PD regulatora, ne postoji unapredpredviena granica opsega , na osnovu koje bi mogli da usvojimo Ku . Podeavanje parametara moe se izvesti maksimalnim korienjem ulaznih univerzuma fuzzy regulatora, to je ilustrovano sledeim primerom. Primer 3. Primenimo fuzzy PD + I kontroler na proces iz primera 1, za koji je prvobitno projektovan konvencionalan PID sa parametrima Kp = 4.8, Ti = 15/8 i T d = 15/32. Poto je, prema sl. 3 za konvencionalno PID upravljanje, opseg promene greke e = r y u opsegu e [0.5, 1], da bi greku e preveli na usvojeni normalizovani opseg [1, 1], usvojiemo=Kp1. Pojaanje Ku je sada fiksirano, na osnovu (21), relacijom: = ==KuKp /Kp4.8/14.8Pojaanje promene greke je fiksirano relacijom (22):= ==KdK p Td / Ku4.8 15 / 32 / 4.8 15 / 32 .Poslednje pojaanje je, na osnovu (23): KpK =i4.8=15/ 8 4.8= 8 /15 .Ti KuOdskoni odziv sa linearnim FPD + I kontrolerom je identian odzivu na sl. 3. Provera ulaznih univerzuma (sl. 9) pokazuje da vai [0.5, 1] i d [0.5, 0.2], odnosno da ne dolazi do zasienja nijednog normiranog ulaza FPD dela kontrolera.U sluaju da je bilo kritino d , tj. da je ono prelazilo normirani opseg [1, 1], usvojili bi tako da d ulazi u dozvoljeni opseg ulaznog univerzuma,Kd podeavanje Kubi izveli pomourelacije (22), a preostala pojaanja na osnovu relacija (21) i (23).12Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebe1 0.2 0.1 0.5 d0 -0.1 0-0.2 -0.3 -0.4-0.505101520 t (s)25303540-0.505101520 t (s)25303540Sl. 9: FPD + I kontrola procesa 1/(1+s)3; iskorienje ulaznih univerzuma3.5. Komparacija FP, FPD, Finc i FPD+I kontroleraMane i prednosti sva etiri fuzzy kontrolera su prikazane u tabeli 3. Fuzzy P kontroler moe da se koristi kod modela u prostoru stanja ili za potrebe vebanja. Radi poboljanja vremena smirenja i smanjenja preskoka preporuuje se fuzzy PD kontroler. Ukoliko postoji problem sa grekom stacionarnog stanja tada treba birati fuzzy inkrementalni ili fuzzy PD + I kontroler. Tabela 3. Pregled prednosti i mana fuzzy kontrolera. Kontroler FP FPD Prednosti Jednostavan Manji preskok Mane Moda i previe jednostavan Osetljiv na um, diferencijalni skok Spor jeFIncUklanja greku stacionarnog stanja, gladak upravlj. signal Sve u jednomFPD + INavijanje, diferencijalni skokOdnosi izmeu PID pojaanja i fuzzy pojaanja su pregledno prikazani u tabeli 4. Treba naglasiti da su kontroleri, kod kojih je f zamenjeno sumiranjem, u stvari linearne aproksimacije odgovarajuih fuzzy konfiguracija; relacije navedene u tabeli vae samo za linearne fuzzy aproksimacije. One su validne i za analogne i diskretne kontrolere, pri emu se u realizaciji mora voditi rauna o diskretnim aproksimacijama signala diferencijala d (10) i integrala i (20), te izraunavanja integrala upravljanja kod Finc kontrolera.Takoe, treba imati u vidu da je, pri izvoenju linearnih fuzzy kontrolera, voeno rauna da izlazni univerzum mora biti suma ulaznih univerzuma. Npr, za ulazne univerzume [ 1, 1] izlazni univerzum FPD kontrolera treba da bude [-2, 2]. Kada fuzzy kontroler nije linearan,opseg izlaznog univerzuma ima uticaj na izbor vrednosti pojaanja Ku kojim se u potpunosti iskoriava raspoloivi dozvoljeni opseg signala upravljanja.13Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebe Tabela 4. Odnosi izmeu fuzzy i PID pojaanja sa usvojenim KuKontrolerKpFPK /K p / KuTKKiKdu)K p / KuFIncp(iFPDFPD + IK p / Ku K /K p / Kup( iTKuK pTd / Ku )K pTd / Ku3.6. Zasienje, kvantizacija i umNa ovom mestu potrebno je izneti nekoliko praktinih razmatranja. Vano je znati da li dolazi do zasienja ulaznih signala u njihovim univerzumima. Uzmimo kao primer proces treeg 3 1 / reda (s+1) iz primera 1. Odgovarajua vrednost pojaanja signala greke je K p = 1. Ilustracije radi, na sl. 10a je prikazano ta se deava kada doe do zasienja signala greke pojaanje = K p / K = 4.8/ 4 = 1.2 , sv ostal pojaanj s dobijaju je sada K p = 4, Ku p a a a a e iz tabele 4. Do zasienja signala greke dolazi rano tokom prelaznog procesa, to se jasno vidi na sl. 10b kao udaranje trajektorije o granice faznog dijagrama u ravni (, d). Kao posledica toga, dolazi do veeg preskoka, sporijeg odziva i nepravilnog signala greke.2 1.8 1.6 1.4 1.2 y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 u 1 32-1 -205101520 t (s)2530354005101520 t (s)25303540Odziv procesa3zasienje Sl. 10a: FPD + I kontrola procesa 1/(1+s) ; K= 4 izaziva . p1 0.8 0.6 0.4 0.2dUpravljaki signal0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Sl. 10b: Fazni dijagram prikazuje zasienje.14Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeAko su ulazni univerzumi kontrolera diskretni, uvek je mogue sraunati sve zamislive kombinacije ulaza pre putanja kontrolera u pogon. Kod kontrolera na bazi look-up tabele, odnosi izme u svih ulaznih kombinacija i njima odgovarajuih izlaza su poreani u look-up tabelu. Ova implementacija poboljava brzinu izvravanja jer se vreme izvravanja svodi na vreme potrebno za oitavanje vrednosti iz tabele to je bre ukoliko se potrebna vrednost moe nai bez previe pretraivanja. Kod kontrolera na bazi tabele koji ne vri interpolaciju, kvantizacija u tabeli utie na performanse.Lako se moe pokazati da e prilikom primene ovakvog kontrolera doi do pojave graninih krugova, tj. stabilnih oscilacija u stacionarnom stanju. Kontroler dozvoljava procesu da eta u okviru jedne elije look-up tabele, sve dok ne pree u drugu eliju i tek tada se menja upravljak nain granin poveanje K p i signal. Postoje tri a da se smanji i krug: 1) m , 2) smanjenjem kvanta diskretizacije i 3) pomo u interpolacije. Prva opcija ini kontroler osetljivijim na mala odstupanja od radne take i moe izazvati zasienje. Druga opcija se ostvaruje korienjem nove look-up tabele, sa finijom rezolucijom kada se proces priblii radnoj taki. Ovo je dobra alternativa u sluaju da je interpolacija vremenski i/ili memorijski previe zahtevna, inae koristimo treu opciju, kojom se potpuno oslobaamo efekata kvantizacije. um merenja takoe utie na performanse. Sl. 11 prikazuje odziv sistema sa kontrolerom = 1, kao u originalnom primeru, i merni beli GausovKpkoji ima linearnu upravljaku tabelu i um varijanse 106. Iako seum jedva moe uoiti na izlazu procesa, upravljaki signal je znaajno promenjen u odnosu na sluaj kada uma nema. Sistem je i dalje stabilan, ali diferencijalno dejstvo pojaava um i unosei ga u upravljaki signal.1.6 1.4 1.2 1 0.8 y 0.6 1 0.4 0.2 0 -0.2 0 -1 5 10 15 20 t(s) 25 30 35 40 -2 u 2 5 4 3005101520 t(s)25303540Odziv procesaUpravljaki signalSl. 11: FPD + I kontrola procesa 1/(1+s)3 sa umom.Ako je um preveliki on e pomeriti fazni dijagram ka ivici univerzuma signala promena greke d , a nakon toga ulazni univerzum e ograniiti uticaj uma. Ukoliko pod uticajem uma dolazi do nestabilnosti ili znaajnog poremeaja upravljakog signala mora se staviti filtar.Druga opcija je da se koristi fuzzy inkrementalni kontroler kod koga e integrator na izlazu ispraviti poremeaje upravljakog signala. Meutim, Ziegler Nicholsova pravila daju loe rezultate kada se primene na FInc kontroler, pa se mora pristupiti runom podeavanju = 0.5 to daje relativno dobar parametara. Na taj nain se dobija: K p = 1, Kd = 2, Ku odziv (sl. 12). Vreme uspona je due nego kod FPD + I kontrolera i vei je uticaj promene ulaznog poremeaja na odziv, ali je preskok u ovom sluaju manji. um u odzivu sistema se moeuoiti, ali je uticaj uma na upravljaki signal znatno manji nego u sluaju FPD + I kontrolera.15Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebe1.21 0.8 0.6 y 0.4 0.221.5 u 10.5 0 -0.205101520 t(s)25303540005101520 t(s)25303540Odziv procesaUpravljaki signalSl. 12: FInc kontrola procesa 1/(1+s)3 sa umom. Slinost sa PID regulatorom implicira postojanje tradicionalnih PID problema i kod fuzzy kontrolera. Signal promena greke je osetljiv na um mada se primenom konanog univerzuma moe ograniiti uticaj uma. esto se javlja potreba za primenom neke vrste filtra. Moe doi do pojave navijanja integratora kada je upravljaki signal u ogranien osobinama aktuatora. Meutim, ove probleme je mogue prevazii poznatim PID tehnikama (videti npr. strm & Hgglund, 1995).4. Kako uiniti fuzzy kontroler nelinearnimetvrti korak u naoj proceduri projektovanja je da linearni fuzzy kontroler postepeno uinimo nelinearnim. esta je praksa da se baza pravila gradi od lanova kao to su Poz, Nula i Neg, koji predstavljaju labele lingvistiki opis fuzzy skupova. Ulazna familija moe da se sastoji od ova tri lana. Zbog toga kao i zbog dva ulazna signala mogue je formirati 3 x 3 = 9 pravila i ovaj broj pravila se esto koristi u praksi.Oblik skupova i izbor pravila utiu na upravljaku strategiju i na dinamiku sistema u zatvorenoj sprezi. Postoje u sutini etiri karakteristina oblika upravljake povrine. Linearna povrina (sl. 13, levo) nastaje kao posledica sledeih pravila (uz primenu trougaonih ulaznih skupova) 1. ako 2. ako 3. ako 4. ako 5. ako 6. ako 7. ako 8. ako 9. ako greka = Neg greka = Neg greka = Neg greka = Nula greka = Nula greka = Nula greka = Poz greka = Poz greka = Poz i promena greke = Neg i promena greke = Nula i promena greke = Poz i promena greke = Neg i promena greke = Nula i promena greke = Poz i promena greke = Neg i promena greke = Nula i promena greke = Poz tada tada tada tada tada tada tada tada tada upravljanje = 2 upravljanje = 1 upravljanje = 0 upravljanje = 1 upravljanje = 0 upravljanje = 1 upravljanje = 0 upravljanje = 1 upravljanje = 2 (26)16Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebePovr na slici je u stvari ekvivalentna sumiranju dva ulazna signala (vrednosti na osama). Poto je povr ekvivalentna sumiranju, kontroler je ekvivalentan PD regulatoru. Strma povrina (sl. 13, desno) se gradi korienjem samo pravila 1, 3, 7 i 9, zajedno sa ulaznim skupovima prikazanim na slici (ovi skupovi su segmenti sinusne funkcije). Treba primetiti odsustvo centralnog pravila (broj 5) kod koga je greka = Nula i promena greke = Nula. Ova povrina ima strmiji nagib, odnosno vee poja anje u blizini centra tabele u odnosu na linearnu povrinu, ali obe povrine imaju iste vrednosti u sva etiri ugla.2 1 0 -1 -2 1 0.5 0 -0.5 -1 d -1 -0.5 0 0.5 2 1 0 -1 -2 1 1 0.5 0 -0.5 -1 d -1 -0.5 0 0.5 1Neg 1NulaPozNeg 1Poz0.8 m e m b e r s h i p 0.6 o f 0.4 D e g r e e0.8e b m r h s 0.6 p io f 0.4 D e g r e e0.20.20 -1 -0.5 0 , d 0.5 10 -1 -0.5 0 , d 0.5 1Sl. 13:Linearna povrina (gore levo) i strma povrina (gore desno) sa ulaznim familijama na osnovu kojih su generisane (dole levo i desno). Blaga povrina se gradi korienjem ista etiri pravila 1, 3, 7 i 9 kao i u prethodnom sluaju, ali su sada ulazni skupovi promenjeni. Oni su sada bazirani na inverznim trigonometrijskim funkcijama, tj. Poz (x) = 0.5 + arcsin (x) / i Neg (x) = arccos ( x) / . Ova povrina ima blai nagib, odnosno manje poja anje u blizini centra tabele u odnosu na linearnu povrinu, ali i ova povrina ima iste vrednosti u sva etiri ugla kao i linearna povrina. Naborana povrina nastala je dobijena korienjem skupa od devet pravila (26) i nelinearnim ulaznim funkcijama pripadanja gausovskim sa = 0.3. Ova povrina ima ravan plato u blizini centra i nabore na nekoliko mesta. I ona, takoe, ima iste vrednosti u sva etiri ugla kaoi sve prethodne povrine.17Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebe2 12 1 0 -1 -2 1 0.5 0 -0.5 -0.5 -1 d -1 d -1 -1 0 0.5 1 0.5 0 -0.5 -0.5 0 0.5 10 -1 -2 1Neg 1PozNeg 1NulaPoz0.8 m e m b e r s h i p 0.6 o f 0.4 D e g r e e m e m b e r s h i p 0.60.8o f 0.4 D e g r e e 0.20.20 -1 -0.5 0 , d 0.5 10 -1 -0.5 0 , d 0.5 1Sl. 14:Blaga povrina (gore levo) i naborana povrina (gore desno) sa ulaznim familijama na osnovu kojih su generisane (dole levo i desno). Teko je napraviti objektivno poreenje upravljakih karakteristika ove etiri upravljake povrine. Radi studije o tome kako razne nelinearne povrine utiu na odziv pogledati Jantzen-a (1997).5. Fino podeavanje nelinearnog fuzzy kontroleraPeti korak u naoj proceduri projektovanja podrazumeva fino podeavanje pojaanja dobijenog nelinearnog fuzzy kontrolera. Izbor pojaanja koje je potrebno fino podesiti obino se vri na osnovu iskustva i intuicije. Nekoliko iskustvenih pravila je mogue izvesti iz linearne aproksimacije: Perioda odabiranja kod diskretne realizacije. Nijedno od pojaanja fuzzy kontrolera ne zavisi od periode odabiranja Meutim, ako je perioda odabiranja premala, raunanje ed e postati previe osetljivo na um. Ovo se obino ispoljava tako to ne dolazi do smirivanja upravljakog signala. Takoe, raunanje integralnog upravljanja kod inkrementalnog kontrolera moe postati osetljivo na greke zaokruivanja. Pojaanje K p . Ako signal greke treba da koristi ceo opseg svog univerzuma tada maksimalno treba da bude jednako ogranienju univerzuma, tj. Kp18em a x = Universe max(27)Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebeSa skokom reference u iznosu R i univerzumom = [1, 1], iz jednaine (27) sledi: 1/R.KpKod FPD i FPD + I kontrolera, K p utie samo na proporcionalno dejstvo regulatora i poeljno jeto vee K pda bi se povealo pojaanje povratne sprege, ali se ne sme preterati da se ne binaruila stabilnost. U inkrementalnom kontroler, K prealizuje integralno dejstvo, pa njegoveprevisoke vrednosti mogu destabilisati sistem. diferencijalno dejstvo. U tom sluaju poeljno je da K p bude to vee da bi se smanjio uticaj uma i imalo veliko proporcionalno pojaanje. Pojaanje Kd . Slian argument gore navedenom vai u sluaju kada signal promena greke treba da koristi ceo opseg svog univerzuma, Kded max= Universemax(28)n efekta aKod FPD i FPD+I kontrolera, veeKdznai veediferencijalnopojaanje,bezproporcionalno pojaanje. Prema tome, da bi se problemi sa umom sveli na minimum treba smanjiti Kd to vie. Kod FInc kontrolera, Kd realizuje proporcionalno dejstvo; prema tomeodgovara nam to vee Kd . Pojaanje Ku . Ovo pojaanje utie na sva tri dejstva regulatora. Treba ga to vie poveati, ali pri tom treba paziti da upravljaki signal ne ulazi u zasi enje i da ne nastane preveliki preskok. Ako je ovo pojaanje previe malo, sistem e biti prespor, a ako je preveliko, sistem moe postati i nestabilan.Sledei postupak predstavlja proceduru za runo podeavanje parametara FPD + I kontrolera (a uz trivijalne modifikacije ova procedura se takoe moe upotrebiti i za FPD i FInc kontrolere):1. Podesiti K pna osnovuamplitude odskone pobude,takoda se iskoristi ceo opseguniverzuma [1, 1].Kd= Ki = 0 . Podesiti Ku tako2. Ukloniti integralno i diferencijalno dejstvo postavljanjemda se dobije eljeni oblik odziva, ignoriui greku stacionarnog stanja.3. Poveati proporcionalnopojaanje menjanjemKu ,azatim podesitidiferencijalnopojaanje menjanjem Kdtako da se smanji preskok. tako da4. Podesiti integralno pojaanje menjanjem Kis eodstrani grekastacionarnogstanja.5. Ponavljati celu proceduru sve dok se ne postigne dasignal upravljanja ne ue u zasienje.Kubude najvee mogue, a da19Projektovanje i podeavanje fuzzy PID regulatoraMaterijal za vebe6. Rezime i zakljuakAko na kraju sumirajmo sve prethodno reeno moemo doi do procedure za podeavanje parametara fuzzy kontrolera. Procedura koja e dole biti navedena odnosi se na FPD+I kontroler, poto je to najoptiji sluaj, ali se slian postupak moe primeniti i na ostale kontrolere. 1. Podesiti postojei PID regulator jednom od poznatih metoda (Ziegler Nichols, Kappa Tau, optimizacija, runo podeavanje ili neka druga metoda). 2. Uneti linearan FPD + I. Korienjem tabele 4, na osnovuKp , Td3. i Ti, odrediti K p , Kd , Ki i Ku . Ukoliko ne doe do zasienja u univerzumima, odzivi PID i fuzzy kontrolera bi trebalo da su identini.4. Uneti nelinearnu bazu pravila.5. Runim podeavanjem fino podesiti parametre; koristitiuniverzuma greke, Ku za poboljanje vremena uspona, KdKpza iskorienje ulaznogza smanjenje preskoka, a Ki za otklanjanje greke stacionarnog stanja.FPD + I kontroler ima jedan dodatni stepen slobode, poto ima jedno pojaanje vie od obinog PID regulatora. Ovaj stepen slobode se koristi da bi se iskoristio ceo opseg ulaznog univerzuma. Npr, ako se projektuje kontroler za praenje reference koja moe da se menja u opsegu r [R, R], a univerzum za normiranu je [ 1], tada postavit greku 1, treba i a K p odreuje iz zasienje, tada se pomuu Kd normira da bude d [1, 1], formula. Dobijene performanse fuzzy kontrolera e zavisiti od upravlja ke tabele. Fuzzy PID kontroler sa linearnom upravljakom tabelom se moe podesiti tako da ima potpuno isti odziv kao i obian PID regulator. U nekim sluajevima fuzzy kontroler sa nelinearnom upravljakom tabelom moe da ima bolje performanse od konvencionalnog PID kontrolera, ali to zavisi od samog procesa i od pravilnog izbora nelinearne upravljake tabele.K p = 1/R da bi se iskoristio pun opseg univerzuma. Ako je signal dvee amplitude i ulazi u20