Podkowa Smale’a jako klasyk chaosu - Strona Główna · Podkowa Smale’a jako klasyk chaosu Justyna Signerska [email protected] Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej,

Podkowa Smale’ajako

klasyk chaosu

Justyna Signerska

[email protected]

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej,

Politechnika Gdanska

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 1/??

Konstrukcja odwzorowania podkowa


Odwzorowanie podkowa

DefinicjaNiech S = [0, 1] × [0, 1].Najprostsze odwzorowanie podkowa Mh : S → R

2 okreslamygeometrycznie w nastepujacy sposób:

1. dokonujemy kontrakcji kwadratu w kierunku poziomym doszerokosci λ, gdzie 0 < λ < 1

2 : S → [0, λ] × [0, 1]

2. otrzymany prostokat rozciagamy w kierunku pionowym dowysokosci µ, gdzie 2 + ǫ < µ:[0, λ] × [0, 1] → [0, λ] × [0, µ]

3. prostokat o wymiarach λ × µ zginamy i umieszczamy nawyjsciowym kwadracie S w taki sposób, aby przecinał onkwadrat S dwukrotnie - otrzymujemy Mh(S)

4. powtarzamy proces uzywajac Mh(S) zamiast S itd.IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 3/??


Pierwsza iteracja



Pierwsza iteracja



Pierwsza iteracja



Pierwsza iteracja



Pierwsza iteracja



Pierwsza iteracja



Druga iteracja



Druga iteracja


Zbiór niezmienniczy



DefinicjaZbiorem niezmienniczym odwzorowania f nazywamy zbiór X owłasnosci:

∀x ∈ X f(x) ∈ X



Obraz pierwszej iteracji Mh(S):



Obraz pierwszej iteracji wstecz M−1h (S):



M−2

h (Vij) = Hij

W S nie ma atraktoraIV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 7/??


Niech:∆n = Mn

h (S) ∩ S

∆−n = M−nh (S) ∩ S

Wtedy:∆1 = V0 ∪ V1

∆2 = V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10

∆−1 = H0 ∪ H1

∆−2 = H00∪H01∪H11∪H10

Zbiór niezmienniczy ∆ odwzorowania podkowa Mh uzyskujemyjako:

∆ = ∆+ ∩ ∆−,

gdzie

∆+ =∞⋂

i=0

∆n(S), ∆− =∞⋂

i=0

∆−n(S).



∆ ⊂ (H0 ∪ H1) ∩ (V0 ∪ V1)

∆ ⊂ (H00 ∪ H01 ∪ H11 ∪ H10) ∩ (V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10) itd. ...



∆ ⊂ (H0 ∪ H1) ∩ (V0 ∪ V1)

∆ ⊂ (H00 ∪ H01 ∪ H11 ∪ H10) ∩ (V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10) itd. ...



∆ ⊂ (H0 ∪ H1) ∩ (V0 ∪ V1)

∆ ⊂ (H00 ∪ H01 ∪ H11 ∪ H10) ∩ (V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10) itd. ...

Zbiór niezmienniczy jest iloczynem kartezjanskim dwóch zbiorówCantora.


Dynamika symboliczna



Σ = {0, 1}Z - zbiór wszystkich podwójnie nieskonczonych ciagówa = (an), n ∈ Z z metryka:

d(α, β) =∑

k∈Z

|αk − βk|2|k|

Punkt x ∈ ∆ mozemy okreslic za pomoca podwójnienieskonczonego ciagu symboli a:

a = ...a−3a−2a−1.a0a1a2...,

gdzie:

ai =

0, dla M ih(x) ∈ H0;

1, dla M ih(x) ∈ H1.

(1)


Shift map

Shift map

σ : Σ → Σ

a = (an), a′ = σ(a) = (an+1)

tj. ∀i a′

i = ai+1

Z (1) otrzymujemy:

a′i =

0, dla M i+1h (x) = M i

h(Mh(x)) ∈ H0;

1, dla M i+1h (x) = M i

h(Mh(x)) ∈ H1.(2)



Niech φ : ∆ → Σ okresla zwiazek miedzy x ∈ ∆, a ciagiem symbolia ∈ Σ, a = φ(x).Wtedy:

σ(a) = φ(Mh(x))

Mh ↾∆= φ−1 ◦ σ ◦ φ

Σσ // Σ

φ−1

��∆

φ

OO

Mh

// ∆

Dynamike symboliczna odpowiadajaca odwzorowaniu Mh ↾∆

nazywamy przesunieciem zupełnym na dwóch symbolach.


Własno sci odwzorowania podkowa


Własno sci Mh ↾∆

istnieja dwa punkty stałe,




dla kazdego n ∈ N odwzorowanie Mh ↾∆ posiada 2n

orbit okresowych o okresie n






istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie







orbit okresowych jest przeliczalnie wiele








zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny









zbiory punktów okresowych i nieokresowych sageste w ∆









zbiory punktów okresowych i nieokresowych sageste w ∆

w Mh obserwujemy tzw. "chaos przejsciowy"



W szczególnosci wiec odwzorowanie Mh ↾∆ jest chaotyczne:

DefinicjaDeterministyczny układ dynamiczny jest chaotyczny, jesli dla

kazdego ciagu Bernoulliego mozemy znalezc stan

poczatkowy, startujac z którego odtworzymy ten ciag

wzgledem ustalonej partycji przestrzeni fazowej.


Rozmaito sci stabilne i niestabilne


Zbiory przyciagania i odpychania

DefinicjaX- zwarta gładka rozmaitosc,f : X → X - dyffeomorfizm klasy Ck,p - punkt stały dla f

Rozmaitoscia stabilna punktu p nazywamy zbiór:

W s(p) := {x ∈ X : limn→∞

fn(x) → p}

Rozmaitoscia niestabilna punktu p nazywamy zbiór:

W u(p) := {x ∈ X : limn→∞

f−n(x) → p}


Zbiory przyciagania i odpychania

DefinicjaMówimy, ze punkt stały p jest hiperboliczny, jesli lezy na przecieciuconajmniej jednej rozmaitosci stabilnej i conajmniej jednejrozmaitosci niestabilnej.


Przeciecie homo- i heterokliniczne

Uwagi:

rozmaitosci stabilne nie moga przecinac sie ze soba(niezaleznie od tego, czy odpowiadaja temu samemu punktowistałemu czy tez róznym punktom stałym),

podobnie rozmaitosci niestabilne nie przecinaja sie ze soba,

rozmaitosci stabilne i niestabilne moga sie przecinacwzajemnie

DefinicjaMówimy, ze punkt x ∈ X jest punktem homoklinicznym, jesli lezy naprzecieciu rozmaitosci stabilnej i niestabilnej odpowiadajacychtemu samemu punktowi stałemu p.



DefinicjaMówimy, ze punkt x ∈ X jest punktem heteroklinicznym, jesli lezyna przecieciu rozmaitosci stabilnej i niestabilnej odpowiadajacychróznym hiperbolicznym punktom stałym p1 i p2.Twierdzenie (Poincaré)Jesli istnieje jeden punkt homokliniczny (heterokliniczny), to istniejeich nieskonczenie wiele.



Przeciecie homokliniczne:



Przeciecie heterokliniczne:


Uniwersalno sc dynamiki odwzorowaniapodkowa


Uniwersalna dynamika

W 1967 roku Smale udowodnił, ze z istnienia przeciecia homoklinicznego wynikadynamika typu odwzorowanie podkowa:


Inne odwzorowania typu podkowa


Uogólniona n− podkowa

µ > n + ǫ

"zawijamy" n − 1 razy i umieszczamy na kwadracie S tak, aby"podkowa" przecinała S n-krotnie


Twierdzenie Smale’a

Twierdzenie (Smale, 1963)Kazde odwzorowanie typu odwzorowanie podkowaposiada domkniety zbiór niezmienniczy ∆, który zawieraprzeliczalnie wiele orbit okresowych o dowolnie długim okresie oraznieprzeliczalnie wiele orbit nieokresowych, wsród których sa orbityprzebiegajace dowolnie blisko kazdego danego punktu zbioru ∆.


Układy hiperboliczne i niehiperboliczne


Hiperboliczno sc

DefinicjaOdwzorowanie f nazywamy hiperbolicznym, jesli przecinajace sierozmaitosci stabilne i niestabilne dowolnych punktów stałychzawsze przecinaja sie transwersalnie.Jesli przecinaja sie stycznie, to odwzorowanie jest niehiperboliczne.

Odzworowanie podkowa Mh jest zatem hiperboliczne.


Hiperboliczno sc

Rozwazania dyskretnego układu dynamicznego:

xn+1 = F (xn)

mozna w poblizu punktu stałego x∗ sprowadzic do rozwazan układuliniowego

yn+1 = Ayn, gdzie A = DF (x∗).

Niech αj beda wartosciami własnymi A takimi, ze |αj | > 1 orazu1, u2, ..., un(α) odpowiadajacymi im wektorami własnymi. Wtedy:

Eu = span(u1, u2, ..., un(α)) - podprzestrzen niestabilna.


Hiperboliczno sc

Analogicznie dla βj takich, ze |βj | < 1

Es = span(v1, v2, ..., vn(β)) - podprzestrzen stabilna

oraz dla γj takich, ze |γj | = 1

Ec = span(w1, w2, ..., wn(β)) - podprzestrzen srodkowa.

Wektory y układu yn+1 = Ayn nazywamy wektorami stycznymi dlaodwzorowania F .Przestrzen, w której leza wektory styczne odwzorowania w punkciex = x∗ nazywamy przestrzenia styczna i oznaczamy Tx∗ .


Hiperboliczno sc

DefinicjaMówimy, ze punkt stały x∗ jest hiperboliczny, jezeli nie istniejepodprzestrzen srodkowa Ec . To znaczy, ze przestrzen styczna Tx∗

rozkłada sie na sume Tx∗ = Es ⊗ Eu.DefinicjaMówimy, ze zbiór niezmienniczy ∆ jest hiperboliczny, jesli w zbiorze∆ istnieje ciagły wzgledem x rozkład przestrzeni Tx na sumeprzestrzeni stabilnej i niestabilnej Tx = Es

x ⊗ Eux .


W s(x∗) i W u(x∗) vs. Es i Eu

Rozmaitosci stabilne i niestabilne W s(x∗) i W u(x∗) hiperbolicznegoukładu xn+1 = F (xn) maja taki sam wymiar jak Es i Eu i sa do nichstyczne:


Układy hiperboliczne


Uogólnione odwzorowanie piekarza

Uogólnione odwzorowanie piekarza definiujemy jako nastepujaceprzekształcenie kwadratu S = [0, 1] × [0, 1]:

xn+1 =

λaxn, jezeli yn < α;

(1 − λb) + λbxn, jezeli yn > α.

yn+1 =

yn

α, jezeli yn < α;

yn−αβ

, jezeli yn > α.

gdzie β = 1 − α i αa + αb = 1.



Pierwsza iteracja:



Druga iteracja:



Dla uogólnionego odwzorowania piekarza macierz Jacobiego mapostac:

DM(x) =

λx(y) 0

0 λy(y)

,

gdzie wartosci własne:

λx(y) =

λa, jezeli y < α;

λb, jezeli y > α.

λy(y) =

α−1, jezeli y < α;

β−1, jezeli y > α.

Rozmaitosci stabilne sa liniami poziomymi, a niestabilne -pionowymi.


Odwzorowanie kota Arnolda

Odwzorowanie Arnolda dane jest wzorem:

xn+1

yn+1

=

1 1

1 2

xn

yn

mod 1 (3)

Jesli wartosci x i y modulo 1 uwazac za zmienne katowe, toodwzorowanie to oddziałuje na powierzchnie dwuwymiarowegotorusa (gdzie jeden obieg dookoła jest zaznoczony poprzez zwiekszenie wartosci

odpowiedniej zmiennej katowej o 1 a nie o 2π).



Inaczej odwzorowanie Arnolda zwane jest "wyzymaniem kota"



Inaczej odwzorowanie Arnolda zwane jest "wyzymaniem kota"



Wartosci własne macierzy w odwzorowaniu (??) wynosza:

λ1 =3 +

√5

2> 1 oraz λ2 =

3 −√

5

2< 1.

Kierunki stabilne i niestabilne sa zatem jednowymiarowe irównoległe do odpowiednich wektorów własnych (1, λ1 − 1) i(1, λ2 − 1)."Typowe warunki poczatkowe" daja poczatek orbicie, któraostatecznie dochodzi dowolnie blisko do dowolnego punktu natorusie oraz odwiedza równe pola z równa czestotliwoscia - stadnaturalna miara niezmiennicza jest jednostajna.




Układy niehiperboliczne


Odwzorowanie Hénona

Odwzorowanie Hénona dane jest wzorem:

xn+1 = 1 − ax2n + yn

yn+1 = bxn

(standardowy wybór dla parametrów a i b to a = 1.4 i b = 0.3).

Istnieja punkty na atraktorze Hénona, w których rozmaitosc stabilnaW s oraz niestabilna W u sa styczne. W tych punktach stycznoscinie mozemy wyznaczyc przestrzeni Es i Eu - atraktor Hénona niejest hiperboliczny.






Własno sci układów hiperbolicznych


Strukturalna stabilno sc

Definicja(X, d) - p. metrycznaf : X → X- homeomorfizmMówimy, ze odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jesli istniejeotoczenie V w zbiorze Homeo(X) takie, ze kazdy element V jesttopologicznie sprzezony z f .DefinicjaM - zwarta gładka rozmaitoscf : M → M - dyffeomorfizm klasy Ck

Mówimy, ze odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jesli istniejeotoczenie V w zbiorze Diffk(M) takie, ze kazdy element V jesttopologicznie sprzezony z f .



dynamike na zbiorze niezmienniczym mozemy badac zapomoca dynamiki symbolicznej (przesuniecie zupełne lub niezupełnena podwójnie nieskonczonym ciagu symboli),




jezeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, toistnieje miara naturalna,




jezeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, toistnieje miara naturalna,

zbiór niezmienniczy i jego dynamika sa strukturalnie stabilnetzn. małe gładkie zaburzenia zachowuja dynamike.


Ukł. hiperboliczne vsniehiperboliczne

Dla hiperbolicznych układów mozliwe jest uzyskanie

wielu scisłych wyników. Mozna je opisywac analitycznie

oraz statystycznie.


Ukł. hiperboliczne vsniehiperboliczne

Dla hiperbolicznych układów mozliwe jest uzyskanie

wielu scisłych wyników. Mozna je opisywac analitycznie

oraz statystycznie.

Niestety rzeczywiste zjawiska chaotyczne obserwowane

w układach doswiadczalnych sa przewaznie

niehiperboliczne.


Bibliografia

1. E. Ott, Chaos w układach dynamicznych, WNT, Warszawa1997.

2. S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math.Soc. 73 (1967)

3. M. Shub, What is ... a Horseshoe?, Notices of AMS, vol. 52.

4. C. Beck, F. Schlogl Thermodynamics of chaotic systems,Cambridge University Press 1993.

5. J.P. Eckmann, D. Ruelle Ergodic theory of chaos and strangeattractors, Reviews of Modern Physics, vol. 57, No.3

6. M. Branson, The Smale Horseshoe as a Fractal Structure inDynamical Systems, Lecture Notes.


Documents

Podkowa Smale’a jako klasyk chaosu - Strona Główna · Podkowa Smale’a jako klasyk chaosu Justyna Signerska [email protected] Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej,