• Home

  • Documents

  • Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD...
29
4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQRļą SURVWD 3U]\NáDG ĂųſǏŵLJ ǏĞ ĐĞŶĂ ũĞĚŶĞŐŽ ŬŝůŽŐƌĂŵĂ ĐƵŬƌƵ ũĞƐƚ ƌſǁŶĂ Ϯ njų ϯϬ Őƌ ĂŽďƐĞƌǁƵũĞŵLJ ũĂŬ njŵŝĞŶŝĂ Ɛŝħ ŬŽƐnjƚ njĂŬƵƉſǁ ǁ njĂůĞǏŶŽƑĐŝ ŽĚ ŝůŽƑĐŝ njĂŬƵƉŝŽŶĞŐŽ ĐƵŬƌƵ WŽŬĂnjƵũĞ ƚŽ ƉŽŶŝǏƐnjĂ ƚĂďĞůĂ ůŝĐnjďĂ ŬŐ ĐƵŬƌƵ x 1 Ϯ ϯ 4 5 6 ŬŽƐnjƚ njĂŬƵƉƵ ǁ njų y ϮϯϬ ϰϲϬ ϲϵϬ ϵϮϬ ϭϭϱϬ ϭϯϴϬ ĂůĞǏŶŽƑđ ŵŝħĚnjLJ ŬŽƐnjƚĞŵ njĂŬƵƉƵ Ă ůŝĐnjďČ ŬŝůŽŐƌĂŵſǁ ĐƵŬƌƵ ǁLJƌĂǏĂ ǁnjſƌ y Ϯϯ x ŐĚnjŝĞ x ũĞƐƚ ůŝĐnjďČ ŶĂƚƵƌĂůŶČ ĚŽĚĂƚŶŝČ ĂƵǁĂǏ ǏĞ ŬŽƐnjƚ njĂŬƵƉƵ ;yͿ ŝ ůŝĐnjďĂ ŬŝůŽŐƌĂ- ŵſǁ njĂŬƵƉŝŽŶĞŐŽ ĐƵŬƌƵ ;xͿ njŵŝĞŶŝĂũČ Ɛŝħ ǁ ƚLJŵ ƐĂŵLJŵ ƐƚŽƐƵŶŬƵ ŶƉ ƚƌnjLJŬƌŽƚŶLJ ǁnjƌŽƐƚ ůŝĐnjďLJ ŬŝůŽŐƌĂŵſǁ ƉŽĐŝČŐĂ njĂ ƐŽďČ ƚƌnjLJŬƌŽƚŶLJ ǁnjƌŽƐƚ ŬŽƐnjƚƵ njĂŬƵƉƵ ^ƚĂųLJ ƐƚŽƐƵŶĞŬ ŬŽƐnjƚƵ njĂŬƵƉƵ ;yͿ ĚŽ ůŝĐnjďLJ ŬŝůŽŐƌĂŵſǁ njĂŬƵƉŝŽŶĞŐŽ ĐƵŬƌƵ ;xͿ ǁLJƌĂǏĂ ĐĞŶħ ϭ ŬŐ ĐƵŬƌƵ ĐnjLJůŝ Ϯϯ ;njųͿ 3U]\NáDG ZŽǁĞƌnjLJƐƚĂ ƉŽƐƚĂŶŽǁŝų ǏĞ ƉĞǁŝĞŶ ŽĚĐŝŶĞŬ ƚƌĂƐLJ ƉƌnjĞũĞĚnjŝĞ njĞ ƐƚĂųČ ƉƌħĚŬŽƑĐŝČ ϭϮ ŬŵŚ :ĂŬ ďħĚnjŝĞ njŵŝĞŶŝĂųĂ Ɛŝħ ĚųƵŐŽƑđ ƉƌnjĞďLJƚĞũ ĚƌŽŐŝ ũĞƑůŝ ƌŽǁĞƌnjLJƐƚĂ ŶĂ ƚĞŶ ĞŬƐƉĞƌLJŵĞŶƚ ƉƌnjĞnjŶĂĐnjLJų ϰ ŐŽĚnjŝŶLJ ųƵŐŽƑđ ƉƌnjĞďLJƚĞũ ĚƌŽŐŝ ƉƌnjLJ ƐƚĂųĞũ ƉƌħĚŬŽƑĐŝ ũĂnjĚLJ njĂůĞǏLJ ŽĚ ĐnjĂƐƵ ǁ ũĂŬŝŵ ƚĂ ĚƌŽŐĂ njŽƐƚĂŶŝĞ ƉƌnjĞďLJƚĂ ŝ ǁLJƌĂǏĂ Ɛŝħ ǁnjŽƌĞŵ s v t ĐnjLJůŝ s ϭϮ t ŐĚnjŝĞ s ʹ ĚųƵŐŽƑđ ĚƌŽŐŝ ǁ Ŭŵ t ʹ ĐnjĂƐ ũĂnjĚLJ ǁ ŐŽĚnjŝŶĂĐŚ t (Ϭ ϰ² ĂƵǁĂǏ ǏĞ ƚLJŵ ƌĂnjĞŵ ĚųƵŐŽƑđ ƉƌnjĞďLJƚĞũ ĚƌŽŐŝ ;sͿ ŝ ůŝĐnjďĂ ŐŽĚnjŝŶ ũĂnjĚLJ ;tͿ njŵŝĞŶŝĂũČ Ɛŝħ ǁ ƚLJŵ ƐĂŵLJŵ ƐƚŽƐƵŶŬƵ ^ƚĂųLJ ƐƚŽƐƵŶĞŬ ĚųƵŐŽƑĐŝ ƉƌnjĞďLJƚĞũ ĚƌŽŐŝ ;sͿ ĚŽ ůŝĐnjďLJ ŐŽ- ĚnjŝŶ ũĂnjĚLJ ;tͿ ǁLJƌĂǏĂ ǁĂƌƚŽƑđ ƉƌħĚŬŽƑĐŝ ũĂnjĚLJ ĐnjLJůŝ ϭϮ ;ŬŵŚͿ :ĞƑůŝ ĚǁŝĞ ǁŝĞůŬŽƑĐŝ njŵŝĞŶŝĂũČ Ɛŝħ ǁ ƚLJŵ ƐĂŵLJŵ ƐƚŽƐƵŶŬƵ ƚŽ ŵſǁŝŵLJ ǏĞ ƚĞ ĚǁŝĞ ǁŝĞůŬŽƑĐŝ ƐČ ǁƉƌŽƐƚ ƉƌŽƉŽƌĐũŽŶĂůŶĞ 'H¿QLFMD WƌŽƉŽƌĐũŽŶĂůŶŽƑĐŝČ ƉƌŽƐƚČ ŶĂnjLJǁĂŵLJ njĂůĞǏŶŽƑđ ŵŝħĚnjLJ ĚǁŝĞŵĂ ǁŝĞůŬŽƑĐŝĂŵŝ njŵŝĞŶŶLJŵŝ x y ŽŬƌĞƑůŽŶČ ǁnjŽƌĞŵ y a x ŐĚnjŝĞ a ũĞƐƚ ůŝĐnjďČ ƌſǏŶČ ŽĚ njĞƌĂ njǁĂŶČ ǁƐƉſųĐnjLJŶŶŝŬŝĞŵ ƉƌŽƉŽƌĐũŽŶĂůŶŽƑĐŝ 179

Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

4. Funkcja liniowa

x 1 4 5 6y

y xx y -

x

y x

s v t s ts t t (

s ts -

t

x y y a x a

179

Page 2: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

-

xy

x y x

y x x

-

y x x-

93

3

648

8

y ax a xR

x y-

y xa)

x – – 6y – – 4

x –4 –y –5 155

4. Funkcja liniowa 180

Page 3: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

x y

x

y 2423

-

-

--

x

-x

-x

x��������

�������

14

12

1 112

, , ,

h

Px -

x (-

Ph -

0

12345678P

0,5 1 1,5 2 X

181

Page 4: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

funkcji liniowej

y ax ba b a

bR

y x – (a b – ) y – x (a – b )y x a b � �3 0, y (a b )

-OY

OY

-

f a b bf a b a b

y ax b ( b)( a b)

0 1X

Y

(0, b)

(1, a + b)f(x) = ax + b

4. Funkcja liniowa 182

Page 5: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

y = – x y = –x y = – xy = x y = x y = x

1)

10

1

–1–2–3–4–5

2345Y

–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6 X

y = –x

y = –3x

y = –0,25x

10

1

–1–2–3–4–5

2345Y

–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6 X

y = xy = 3x

y = 0,25x

y = ax a ( ) ( a)y = ax a y = ax a -

y = y = – y =

1)

y = 3

1 2 3 4–3–4 –2 –1 X

Y

12

4

–3–4

–2–10

3

y = –2,5

1 2 3 4–3–4 –2 –1 X

Y

12

–3–4

–2–10

34

y = 0

1 2 3 4–3–4 –2 –1 X

Y

12

–3–4

–2–10

34

y = b ( b) ( b)OX b y = b

y =

183

Page 6: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

y x 12

3

( – ) ( – )-

x 1 4y – – –1

y x 12

3 x R

10

1

–1–2–3–4–5

234Y

–1–2–3–4–5 2 3 4 5 6 7 8 X

y = x – 312

f OX ( )

a f x ax b OX

OX

f xax bax –b a a

xba

f x ax b a ba

a f x ax b OX - ��

���

ba, 0

4. Funkcja liniowa 184

Page 7: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

f x – x –

fOY ( –5)

OX52

0

��

���, (– )

y ax b aba

y ax b a by ax b

a b

f x x bg x x b

g f –– b b

f x (m – )x – mf m m m –

m f f x –4x

m f x ( – 4)x – f x

m – f x x f x f

10

1

–1–2–3–4–5–6

234Y

–1–2–3–4–5 2 3 4 5 X

y = –2x – 5

185

Page 8: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

f x – x f xx

( )x �5 7 f x x( )x 1

22 f x

x( )x 54

a b

y x y – x yx

5 34

y –

A -

A( ) A(– ) A( –4) A( )y ax b -

( b) ( a b)

10

1

–1–2–3–4

2345Y

–1–2 2 3 4 5 X 10

1

–1–2–3–4

2345Y

–1–2 2 X–3–4–5 10

1

–1–2–3–4

2345Y

–1–2 2 3 4 5 X

A( ) B( –4) A( ) B( – )A( – ) B( ) A( – ) B(– – )

-

y x y –x y – y x15

y – x y 2 6x 4

yx

�123

23

y � �x �x

4

4. Funkcja liniowa 186

Page 9: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

ff x f x – x f x x –

f x x( )x

�28

5 2 f x 3x – 6 f x x( )x � � � 6 5�

-

f x x b 12

f x –5x b

f x ax – – f x ax 6 2

ff

f xx

( )x, ,x

, ,

1x ,x1

1xx0,

i

if x

x

x x( )x

, ,x

, ,x ,

2x ,x4

1 5, 2

i

i

f xx x

x x( )

, ,

, ,

2 6 0

6 0

i

if x

x x

x( )

, ,

, ,

42

2

3 2

i

i

g x –mx m –g OY

m m m m

h x ( m )x –h OX

m m m – m

f f x x m – mf

f OY ( );(– );

fm f -

f x( )x 3 4x 5

g x ax a – 13

ag OY

187

Page 10: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

we wzorze funkcji liniowej-

A xA yA B xB yB xB xA

1)

0 1 xA

yA

yB

xB

1

X

Y

xB – xA

yB – yA > 0

y = f(x)B(xB, yB)

A(xA, yA)

ff -

xB – xAyB – yA

0 1 xA

yA

yB

xB

1

X

Y

xB – xA

yB – yA < 0

y = f(x)

B(xB, yB)

A(xA, yA)

f

xB – xAyB – yA

0 1 xA

yA = yB

xB

1

X

Y

xB – xA yB – yA = 0y = f(x) B(xB, yB)A(xA, yA)

f-

xB – xA -

yB – yA f xB xAyB – yA f xB – f xA (axB b) – (axA b) axB – axA a(xB – xA)

yB – yA a (xB – xA) xB – xAxB – xA

ay yx xB A

B A

4. Funkcja liniowa 188

Page 11: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

y yx xB A

B A

� � � �

y yx xA B

A B

y yx xA B

A B

A B y ax b

A(xA yA) B(xB yB)y ax b a

y yx xB A

B A

A( – ) B( ) -

a � �

5 34 2

4

y x bA B x y

– bb –11

y x –

y yx xB A

B A

-

-

y ax ba

aa

f x 1 2� �x g x – x h x

f 1 2 0 �� � g( ) h

189

Page 12: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

y ax b -a b

II I

III IV

X

Y

y = ax + b

b

OY( ) b -

OXa

f x ax b -a

A(xA yA) B(xA yB)yB – yA f xA – f xA a xA b – (axA b) a

y – x y x �34

2

y – x-

OY ( )-

– a –

10

1

–1–2

–3

–4

–5

2

3Y

–1–2–3–4 2 3 4 X

y = –2x + 11

–2

1

–21

–2

-

( –1) ( – ) ( –5)

(– )-

4. Funkcja liniowa 190

Page 13: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

y 34

x

10

1

–1–2–3

234567Y

–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7 X

4

3

A(0, 2)

B(4, 5)

y = x + 234

OYA( )

4 -

-

4 34

3� ��

���

B( ) B( )A B

f x 1x g x 1x h x 1x –

1f(x) = x + 4

h(x) = x – 2

g(x) = x

12

12

12

10

1

–1–2–3–4–5

2345Y

–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6 X

f -y x ( )

a b y ax ba -

y x b( ) x y

b b –5f y x –

191

Page 14: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

A B -

A( ) B( ) A( – ) B( )A( ) B(– ) A� �3 2, B� �1 2,

A(– – ) B( ) A� �1 2 3, B� �3 2,

M N

M( –1) N(– ) M( ) N(– – )M 5

64 12

, �� ��

�������

N( ) M� �5 5, N� �

f x ( m – ) – mx A( – )m m -

f

10

1

–1–2

23456Y

–1–2–3–4–5 2 3 4 5 6 X

y = f(x)

10

1

–1–2

23456Y

–1–2–3–4–5 2 3 4 5 6 X

y = g(x)

f x ( – m)x f

m m m – m

m m Rf x (m – )x mf x ( – m)xf x m – ( m – )xf x m – (m – )(m + )x

4. Funkcja liniowa 192

Page 15: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

a b f x ax b

0 X

Y

y = f(x)

0 X

Y

y = f(x)

0 X

Y

y = f(x)

f f --

f

f x x – f x –4x f x 13

x

f x 37

x f x 25

x – f x 7 84

f P gg f

Pf x 2x – P( ) f x –5x P( )f x – P( ) f x – x P( )f x P( ) f x( )x 3 2x � P � �1 3,

f gm

f x x – m g x (m )xf x ( m – )x – m g x mx –

m

f A(– ) B( )g f

C(– – )f g

fg

193

Page 16: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

-

x (– )–

f x ax bf -

fa b f – f OY

( –1) b –b – a b

a 13

f f x x( ) 13

1

f x – x g x x-

10

1

–1–2–3–4

2345Y

–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X

y = f(x)

y = g(x)

f gf x x g x x –5

f -g

4. Funkcja liniowa 194

Page 17: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

f x x (– ) g x x (– )OX

(– )

x (– )

UWAGA: (– ) (– ) (– )

– x xx x –5

f x x( ) �12

1 (

f x ( f x

3 12

1 7� �x

12

1 3x � �12

1 7x

x x x (

f ( x (

f x x( ) �12

1

OY (y y

f OXf x (

195

Page 18: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

10

1

–1–2–3

2345678Y

–1–2–3–4–5–6–7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X

f(x) = x + 112

f (x (

f f x

x x

x x

x x

( )

, , ,

, ,

, , ,

0 5 1 4

3 4

3 0 5 0

i

i 0

i

f

f -

f

x (– –4)x

x –– (– –4)

x – )xx –– – )

x )– x

x)

f –

f

10

1

–1–2

234Y

–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6 7 X

y = f(x)

f (–

4. Funkcja liniowa 196

Page 19: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

f x x (– – ) ( )

y (m – )x m m

y ax by a b

a m – b mm – m

(m – )(m ) m –(m m – ) m –

m –

mf x ( m )x – m OY -

P( )y ax b a

OY P( ) ba m b –m

m –mm – m

(– ) (– )(– ) (– ) (– )

f OYP m (– )

A( – ) B( –5) C(– –11)-

A BC

f x ax b

a �

5 7

60 0130

197

Page 20: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

A( – ) f b b –

f f x x( ) 130

7 C

-f – –

f –130

– – –11

C A B A B C

f x ax b OY ( )x (– )

f

f x (m – )xx (– – ) m

f x x( )x �38

6 (–

f x x( )x x13

25

g x –5x

y f x y g xf-

);

g x

f x – x g x – xf

g

10

1

–1–2–3

234567Y

–1–2–3–4–5–6–7 2 3 4 5 6 7 8 X

y = f(x)

y = g(x)

4. Funkcja liniowa 198

Page 21: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

f x x – -g x x –

f

f x

x

x

( )x

, ,

, ,

, ,

1,xx4,

13 x, x 3

6 3x, x

i

i

i

f x

x

x( )x

, ,x

, ,

, ,

2 8x 212

2xx3, 4

4xx1,

i

i

i

p p Rf x (p )x – p OY

P( – ) K( )f x (a )x (a ) g x x a

OY ab

f x (b b )xf x b(b – )x bf x ( b)x – b

k k Rg x k – (5k )xg x (k )x kg x –4k – ( – k)x

f x ( – m)x (m )A( ) m m

fm m R

f x ( – m)x m –

m m Rh x ( m )x m -

f x – a xg x (b – )x a b

k C(5k k )A( ) B(– )

f x ( – m)x – mg x (m – )x –

m

-

199

Page 22: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

-d

t

d

td t – t

t d t

– t t d t – t t 0 315

,

0 321 4

y = d(t)

140

160d [km]

t [h]

-

-

f -

xy

4. Funkcja liniowa 200

Page 23: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

x xx

x –

(x – )

x –x

-

x –

(x – )

x –

x –x –

f

f x xx

( ),

, ,, ,

�

��

��

00 1 500

0 25 5000

xx

x

f

0

2,5

5

7,5

10

10 20 30 40 50 60 70 X [tys. USD]

Y [tys. USD]

y = f(x)

201

Page 24: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

---

l -l T

l l Tl

l – l l Tl l l Tl l ( T)

� ��

11 10 16

C

l T –l ( – )l ( )ll

l T lT l l T

l l (T – T )–6 (T – )

(T – )T –

T

4. Funkcja liniowa 202

Page 25: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

–-

T[h h

–-

hh

100

T h –h

100T h – h h

T – – ––

T – h

hT

23

0 006,

h � �23 250 006,

h 480 006,

h–

203

Page 26: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

30

20

10

0

–10

–20

–30

–40

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 h [m]

T [°C]

T(h) = 23 – · 0,6h100

-

-

-

st

-

s -t

0

6121824303642485457

s [km]

1 t [h]

-

Pt -

-

F a C b

4. Funkcja liniowa 204

Page 27: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

x y

x a

y 16 b

a b

(– )

y y – x y –4x y x –

f x x( )x � � 1x� � 2 2 13 2 2

f x 2x

2 32 62

2

f x – m (m – )x OY P( )

m m m – m –4

f x x( )x �23

14

–

f x x – k g x x m( )x �x 12

2

k m k – m k m k m

y – x y ( – )x y x y

205

Page 28: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

f x (k )x k –k k k – k

P(– ) R( – )

58

–58

f x – x

x x x – x –4

f x x –

y ax b

a b a b a b a b

f x x –g x ( m)x m

m m – m m

A( – )OX

OY

-f x (k ) (x – )

P -

OY

A( – )x (– )

f x x( )x �23

313

g x (x – a) – a R

a

f x – x

g x x( )x �x13

2

10

1

–1

234Y

–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10 X

y = f(x)P

4. Funkcja liniowa 206

Page 29: Podr LIC-1 POD 2019-2 rozdz4 - Pazdro€¦ · 4. Funkcja liniowa 3URSRUFMRQDOQR < SURVWD 3U]\NáDG s Ï u Ç U Ï v i v P } l ] o } P u µ l µ i Á v î Ì s ï ì P X } Á µ i

f f xx

x x( )x

, ,x

, ,x

2 1xx 343

10 3 9,

i

i

1634 f

f – ff

ff

f

f

f;f

mf x ( – m)x – m

mf x ( m)x m OYP( – )

m f x ( – m)xg x x( )x x2 3 5m�

2

af x (a – )x a

f x – x 3 0,� �f x ( k )x – k

g x ( k)x –k

k -

t

10

1

–1–2

234Y

–1–2–3–4–5 2 3 4 5 X

y = f(x)

D

207


Ergebnisliste FuLA 2020 - noe122.at · > v P v o v ^ í ì ô n ï ð ï ì d µ o o v v } v µ d o ( } v W = ð ï ~ î î ó î õ ì ì ñ r í ï í ó ì n & Æ W = ð ï ~ î

Ergebnisliste FuLA 2020 - noe122.at · > v P v o v ^ í ì ô n ï ð ï ì d µ o o v v } v µ d o ( } v W = ð ï ~ î î ó î õ ì ì ñ r í ï í ó ì n & Æ W = ð ï ~ î

Documents
q E Ô wå ѵ» çq´£ï¼ µ® Í¯Ì Ew¿T ßQ µ · q E Ô wå ѵ» çq´£ï¼ µ® Í¯Ì Ew¿T ßQ µ Modern Japanese Lifestyle and Gender Consideration of Advertising

q E Ô wå ѵ» çq´£ï¼ µ® Í¯Ì Ew¿T ßQ µ · q E Ô wå ѵ» çq´£ï¼ µ® Í¯Ì Ew¿T ßQ µ Modern Japanese Lifestyle and Gender Consideration of Advertising

Documents
v o P í Ì µ Z ] Z o ] v ] ( º ] ' Á Z µ v P À } v µ Á v µ ... · ï ï v } ( r, o Á v P r ' µ v Z µ o r U ^ Z µ o À v î ò X ï ó õ U ì ì ¦ r ¦ ï ð & ] o v

v o P í Ì µ Z ] Z o ] v ] ( º ] ' Á Z µ v P À } v µ Á v µ ... · ï ï v } ( r, o Á v P r ' µ v Z µ o r U ^ Z µ o À v î ò X ï ó õ U ì ì ¦ r ¦ ï ð & ] o v

Documents
d W } } } o W v...v Z Ç u ( À ] v Ì ] Z ] ï ñ r ð ñ v ] v i ] } ( í ñ r ï ì v } o µ r l ] v P ~,h í ì ì r í ñ ì X Z X À X µ v µ } o ] µ X

d W } } } o W v...v Z Ç u ( À ] v Ì ] Z ] ï ñ r ð ñ v ] v i ] } ( í ñ r ï ì v } o µ r l ] v P ~,h í ì ì r í ñ ì X Z X À X µ v µ } o ] µ X

Documents
> À } D > í ó ð ì ìW ì ì - DENEK> À } D > í ó ð ì ìW ì ì ' µ _ } u } v v ] ] v ï ï ò í ô õ ï ñ õ ï' ì ì í ^KWKZd >Kt K ï ï õ ï î ï í î ó õW

> À } D > í ó ð ì ìW ì ì - DENEK> À } D > í ó ð ì ìW ì ì ' µ _ } u } v v ] ] v ï ï ò í ô õ ï ñ õ ï' ì ì í ^KWKZd >Kt K ï ï õ ï î ï í î ó õW

Documents
Narodowy Instytut } P v ] Ì i ] } Ï Ç l µ µ o ] Ì v P } t ... · Narodowy Instytut t } o v } ] r v µ u Rozwoju ^ } s Ì w Á Obywatelskiego Z } Ì v Á } Ì v ] u Ç } Ç Ì

Narodowy Instytut } P v ] Ì i ] } Ï Ç l µ µ o ] Ì v P } t ... · Narodowy Instytut t } o v } ] r v µ u Rozwoju ^ } s Ì w Á Obywatelskiego Z } Ì v Á } Ì v ] u Ç } Ç Ì

Documents
^ X ^ À } } o } U v X ò U µ µ ] U ^ } ï U ì ï ì ì ô ð ......10 liceul teoretic "c. noica" /rf llwruenescu vlad m teleorman, municipiul alexandria 21 municipiul alexandria

^ X ^ À } } o } U v X ò U µ µ ] U ^ } ï U ì ï ì ì ô ð ......10 liceul teoretic "c. noica" /rf llwruenescu vlad m teleorman, municipiul alexandria 21 municipiul alexandria

Documents
µ o ] Ì W ì ò X ì õ X î ì í õ ^ } l: µ > } o ] o } o } d ] ] À ] µ - … de distributie...X î U D µ v X o U : µ X s o µ ] U } } o ó ï í í ï ò o s o µ ] r µ

µ o ] Ì W ì ò X ì õ X î ì í õ ^ } l: µ > } o ] o } o } d ] ] À ] µ - … de distributie...X î U D µ v X o U : µ X s o µ ] U } } o ó ï í í ï ò o s o µ ] r µ

Documents
E&KZD ' ^d/ME · í X î ð ì í X î ð ì í X î ð ì ~ ô µ v } P } u ] o Ç } µ v } P ð X ó õ ð X í ò ó ï X í ð ï X õ ì õ ï X ð ð ì X õ ï ï

E&KZD ' ^d/ME · í X î ð ì í X î ð ì í X î ð ì ~ ô µ v } P } u ] o Ç } µ v } P ð X ó õ ð X í ò ó ï X í ð ï X õ ì õ ï X ð ð ì X õ ï ï

Documents
/ E } µ } v ^ s ] } ^ µ À ] o o v µ ] v P : µ o Ç ï ì t µ P ì ï U î ì í ... · 2019-05-13 · BHANu of Electronics & C DELHI TECHNOLOGIC CIANELEC. & C S. Indu Prof

/ E } µ } v ^ s ] } ^ µ À ] o o v µ ] v P : µ o Ç ï ì t µ P ì ï U î ì í ... · 2019-05-13 · BHANu of Electronics & C DELHI TECHNOLOGIC CIANELEC. & C S. Indu Prof

Documents
LES BODIN S LE DIMANCHE 12 JANV 2020 - Tourisme Rajat · > ZDKEd r& ZZ E í ô Z ï ì } µ } µ X Z } µ À µ d,/ Z^ } µ í õ Z ï ì X Title: Microsoft Word - LES BODIN S LE

LES BODIN S LE DIMANCHE 12 JANV 2020 - Tourisme Rajat · > ZDKEd r& ZZ E í ô Z ï ì } µ } µ X Z } µ À µ d,/ Z^ } µ í õ Z ï ì X Title: Microsoft Word - LES BODIN S LE

Documents
^ X ^ À } } o } U v X ò U µ µ ] U ^ } ï U ì ï ì ì ô ð Telefon: …...BUCOVINA 3UH HGLQWHOZARCHEVICI LIVIA V SUCEAVA, MUNICIPIUL SUCEAVA 10 MUNICIPIUL SUCEAVA 5 CENTRUL CULTURAL

^ X ^ À } } o } U v X ò U µ µ ] U ^ } ï U ì ï ì ì ô ð Telefon: …...BUCOVINA 3UH HGLQWHOZARCHEVICI LIVIA V SUCEAVA, MUNICIPIUL SUCEAVA 10 MUNICIPIUL SUCEAVA 5 CENTRUL CULTURAL

Documents
Ï µ ' q Ì N ¶ ` $ 4 × × à ¤ A ªattach.tjzzb.gov.cn/upload/book/2012022015010_.pdf · Ï µ ' q Ì N ¶ ` $ 4 × × à ¤ A ª ... a

Ï µ ' q Ì N ¶ ` $ 4 × × à ¤ A ªattach.tjzzb.gov.cn/upload/book/2012022015010_.pdf · Ï µ ' q Ì N ¶ ` $ 4 × × à ¤ A ª ... a

Documents
v ( } u D } v ] } ] ] } ï ì i µ o ] } î ì î ì - BCRA · / v ( } u D } v ] } ] ] } ï ì i µ o ] } î ì î ì d / v ~ v } v i v } u ] v o v µ o K } ] v ] } ^ o } _ ] }

v ( } u D } v ] } ] ] } ï ì i µ o ] } î ì î ì - BCRA · / v ( } u D } v ] } ] ] } ï ì i µ o ] } î ì î ì d / v ~ v } v i v } u ] v o v µ o K } ] v ] } ^ o } _ ] }

Documents
D Eh > Z &h'/ K^ ~ µ o í r ï õ À ï W W í ò r ì î r î ì í ò · 2016-03-18 · D Eh > Z &h'/ K^ ~ µ o í r ï õ À ï W W í ò r ì î r î ì í ò r Y µ µ u v M

D Eh > Z &h'/ K^ ~ µ o í r ï õ À ï W W í ò r ì î r î ì í ò · 2016-03-18 · D Eh > Z &h'/ K^ ~ µ o í r ï õ À ï W W í ò r ì î r î ì í ò r Y µ µ u v M

Documents
COVID-19 - RAPPORT ETUDE RETROSPECTIVE CLINIQUE ET ... · ì ï l ì ð l î ì î ì t ì õ Z ï ñ W D } v ] µ } u ] v ] µ D ] v v À } ] µ v v } P v o µ o [ Z Ç } Æ Ç Z

COVID-19 - RAPPORT ETUDE RETROSPECTIVE CLINIQUE ET ... · ì ï l ì ð l î ì î ì t ì õ Z ï ñ W D } v ] µ } u ] v ] µ D ] v v À } ] µ v v } P v o µ o [ Z Ç } Æ Ç Z

Documents
Programme FR352*5$00( µ ] o ] õ Z ì ì í í W ì ì W µ r ( í î W ï ì i µ v í ñ W í ì W µ r ( í ó W ì ì t í ô W ì ì Z ] } v µ P ì õ W ï ì D } ] v À v µ

Programme FR352*5$00( µ ] o ] õ Z ì ì í í W ì ì W µ r ( í î W ï ì i µ v í ñ W í ì W µ r ( í ó W ì ì t í ô W ì ì Z ] } v µ P ì õ W ï ì D } ] v À v µ

Documents
UpQpHV ILQ ;,; HW...: µ ] ï K } î ì í õ í ð Z ï ì s v µ Æ v Z µ o ] µ o [, o À v U í î õ U µ s ] } , µ P } U ï î ì ì ì h , s v o ] À v ] v u } v X

UpQpHV ILQ ;,; HW...: µ ] ï K } î ì í õ í ð Z ï ì s v µ Æ v Z µ o ] µ o [, o À v U í î õ U µ s ] } , µ P } U ï î ì ì ì h , s v o ] À v ] v u } v X

Documents
Wielkanoc · 2. Zgodnie z wielkanocnym Ì Á Ç Ì i u s } l ] µ } u ] v l ] l Ï u µ } Ì i M ï X P o ] l Á ] Ì Ì okienko t s } v l } X } Ï Z Ì } Ì Ç l } Ì Ç l Ì Y ð

Wielkanoc · 2. Zgodnie z wielkanocnym Ì Á Ç Ì i u s } l ] µ } u ] v l ] l Ï u µ } Ì i M ï X P o ] l Á ] Ì Ì okienko t s } v l } X } Ï Z Ì } Ì Ç l } Ì Ç l Ì Y ð

Documents
KBA 61322 NT02 vollständig - probrake · 2018. 7. 25. · v o P í Ì µ d Ì µ u' î ì í î î õ ñ ï ì î XE Z P ò í ï î î ì î, o o , v o v u d Ç , µ µ u ' E

KBA 61322 NT02 vollständig - probrake · 2018. 7. 25. · v o P í Ì µ d Ì µ u' î ì í î î õ ñ ï ì î XE Z P ò í ï î î ì î, o o , v o v u d Ç , µ µ u ' E

Documents
µ  ï è µ . Ò ¯ ï«æ Ä Ì...1 yy ¨ Stainless Steel Bars for Concrete Reinforcement µ  ï è µ . Ò ¯ ï«æ Ä Ì ±µ¯ï µÂÆ Ä % µÂïèµ .Ò464 4%xz ¯ï«æ

µ  ï è µ . Ò ¯ ï«æ Ä Ì...1 yy ¨ Stainless Steel Bars for Concrete Reinforcement µ  ï è µ . Ò ¯ ï«æ Ä Ì ±µ¯ï µÂÆ Ä % µÂïèµ .Ò464 4%xz ¯ï«æ

Documents
Osavuotiskatsaus 2018-11-22 esitysmateriaali · ^ µ µ ] u u } u ] i ï ì X õ X î ì í ô ï í K l l ] v

Osavuotiskatsaus 2018-11-22 esitysmateriaali · ^ µ µ ] u u } u ] i ï ì X õ X î ì í ô ï í K l l ] v

Documents
Ì P } l µ i v Ì Ç u µ Ì } Á v ] } u M · Ì Ç i ] l } u } v } Á s M v Á Ì µ l Z. D } v Ï v } Á ] W v Á Ì µ l Z

Ì P } l µ i v Ì Ç u µ Ì } Á v ] } u M · Ì Ç i ] l } u } v } Á s M v Á Ì µ l Z. D } v Ï v } Á ] W v Á Ì µ l Z

Documents
Huurcontract gebruiksovereenkomst GRAAFvanLOON - kopie · ï n, µ µ } v l p µ ] l } À v l } u ( Ì o 'z &s e>kke ì í l ì ï l î ì í õ 'rho ydq gh]h ryhuhhqnrpvw jholhyh

Huurcontract gebruiksovereenkomst GRAAFvanLOON - kopie · ï n, µ µ } v l p µ ] l } À v l } u ( Ì o 'z &s e>kke ì í l ì ï l î ì í õ 'rho ydq gh]h ryhuhhqnrpvw jholhyh

Documents
ModuloBCompletoSJ pl v0 · 2021. 1. 15. · Ì l ] / v Ç µ D } o } P ] ]: v } l v } Ç ( ] l } Á v v X í ï ô ï K l µ Î v _ ï í U ò ï ô ì ì v } U Ì l Z µ o ] l o

ModuloBCompletoSJ pl v0 · 2021. 1. 15. · Ì l ] / v Ç µ D } o } P ] ]: v } l v } Ç ( ] l } Á v v X í ï ô ï K l µ Î v _ ï í U ò ï ô ì ì v } U Ì l Z µ o ] l o

Documents
} v } u v µ K µ ] v , } o ~ K, } u Ì } î ì í ï ~ } } À

} v } u v µ K µ ] v , } o ~ K, } u Ì } î ì í ï ~ } } À

Documents
Thames Valley Park 2 - assets.savills.com · Ì˚—î ‹“°îò‰–ò«µ Ì‚¿‡»› ˚¿··»§ —¿fiµ ô ˛»¿…•†„ ˛ÙŒ ï—Ì Ô»¿›» ß“¿•·¿¾·»

Thames Valley Park 2 - assets.savills.com · Ì˚—î ‹“°îò‰–ò«µ Ì‚¿‡»› ˚¿··»§ —¿fiµ ô ˛»¿…•†„ ˛ÙŒ ï—Ì Ô»¿›» ß“¿•·¿¾·»

Documents
v ] o o /ZW& ~ K ì ô r ì ï r î ì í ô UK v ,&W l î ï í l î ì í ô W ... · 2018-07-10 · ò í^ ] µ ] v / v u µ o í^ ] µ ] v X/ v u µ o ò îZ ( v ] o X/ v u µ

v ] o o /ZW& ~ K ì ô r ì ï r î ì í ô UK v ,&W l î ï í l î ì í ô W ... · 2018-07-10 · ò í^ ] µ ] v / v u µ o í^ ] µ ] v X/ v u µ o ò îZ ( v ] o X/ v u µ

Documents
> µ v ^ ì ô l ì ï - LICEO PETILIA

> µ v ^ ì ô l ì ï - LICEO PETILIA

Documents
µ v W · o ] î ì í ó ~W } v W · o ] } W W } i µ ] À }ì ï ì î ì î ì ï ó õ o o í õ r E · u } î ì ì r Æ ð î Ç ð î r & X s ] o P U D µ v í î U ì ï í

µ v W · o ] î ì í ó ~W } v W · o ] } W W } i µ ] À }ì ï ì î ì î ì ï ó õ o o í õ r E · u } î ì ì r Æ ð î Ç ð î r & X s ] o P U D µ v í î U ì ï í

Documents