Podstawowe elementy liniowe

Własności statyczne i dynamiczne

Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich własności dynamiczne. Wyróżniamy sześć grup elementów podstawowych:1. Bezinercyjne (proporcjonalne)2. Inercyjne3. Całkujące4. Różniczkujące5. Oscylacyjne6. Opóźniające.

Własności statyczne określa charakterystyka statyczna, a własności dynamiczne równanie różniczkowe, transmitancja operatorowa i widmowa a także charakterystyki czasowe i częstotliwościowe.

Człon bezinercyjny (proporcjonalny)

Ogólna postać równania elementu bezinercyjnego jest następująca:

y = k x ,

gdzie y – wielkość wyjściowa, x – wielkość wejściowa, k – współczynnik proporcjonalności (wzmocnienia).

Transmitancja elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi wzmocnienia:

ksXsYsG

)()()(

Odpowiedzią na skok jednostkowy członu proporcjonalnego jest skok o wartości k.

0

t

h(t)

1

k

Charakterystyki częstotliwościowe są linią prostą o stałym wzmocnieniu z przesunięciem fazowym równym 0.

Przykłady realizacji członu proporcjonalnego:a) dzielnik napięciowy

b) mnożenie przez stałą (wzmacniacz operacyjny)

21

2)(RR

RksG

1

2)(RRksG

R1

R2

-+

R1

R2

Człon inercyjny I rzędu

Ogólna postać równania różniczkowego elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest następująca:

Stąd wynika transmitancja:

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa [s]

kxydtdyT

1)(

TsksG

)1()1()(

)1(

1)1(

11

)()()(

Tt

Tt

ekeTTkty

TssT

kTssk

sTsksXsGsY

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca:

221)1(

1)(

TTjk

TjkjG

Stąd

TT

kA

TTkQ

TkP

arctg)(1

)(

1)(

1)(

22

22

22

Charakterystyki częstotliwościowe członu inercyjnego I rzędu wyglądają następująco:

Przykładem układu inercyjnego I rzędu jest filtr dolnoprzepustowy RC, w którym sygnałem wejściowym i wyjściowym jest napięcie, lub silnik prądu stałego (lub indukcyjny 3-fazowy), w którym skokowe włączenie zasilania jest sygnałem wymuszającym a wyjściem jest prędkość kątowa wału silnika.

RC

Człon całkujący idealny

Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego idealnego jest następująca:

Stąd wynika transmitancja:

gdzie: k – współczynnik wzmocnieniaW przypadku szczególnym (k ma wymiar odwrotności czasu), może zajść:

kxdtdy

sksG )(

TssG 1)(

kttysk

ssksXsGsY

)(

1)()()( 2

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca:

kj

jkjG )(

Stąd

2)(

)(

)(

0)(

kA

kQ

P

Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego idealnego wyglądają następująco:

Przykładem układu całkującego jest układ zawierający idealny kondensator C, przy czym sygnałem wejściowym jest prąd a wyjściowym napięcie na kondensatorze.

C

-+

R

C

RCssG 1)(

Człon całkujący rzeczywisty

Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego rzeczywistego (z inercją) jest następująca:

Stąd wynika transmitancja:

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.

kxdtdy

dtydT 2

2

)1()(

TssksG

)1()(

)1(1

)1()()()( 2

Tt

ekTktty

Tssk

sTssksXsGsY

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca:

)1(1)1()( 2222 T

kjT

kTTjj

kjG

Stąd

2arctg1arctg)(

1)(

)1()(

1)(

22

22

22

TT

T

kA

TkQ

TkTP

Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego rzeczywistego wyglądają następująco:

Przykładem układu całkującego rzeczywistego jest układ filtru RC w układzie , lub silnik obcowzbudny prądu stałego, w którym wymuszeniem jest skok napięcia wirnika a wyjściem kąt obrotu wirnika.

RC

Człon różniczkujący idealny

Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego idealnego jest następująca:

Stąd wynika transmitancja:

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia.

dtdxky

kssG )(

)()(

11)()()(

tty

ksks

skssXsGsY

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca:

kjkjjG )(

Stąd

2)(

)()(

0)(

kAkQ

P

Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego idealnego wyglądają następująco:

Przykładem układu różniczkującego idealnego jest kondensator idealny C , przy czym sygnałem wejściowym jest napięcie a wyjściowym prąd.

C

-+

R

CsCRsG )(

Człon różniczkujący rzeczywisty

Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego rzeczywistego (z inercją) jest następująca:

Stąd wynika transmitancja:

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.

dtdxky

dtdyT

)1()(

TskssG

Tt

eTkty

Tsk

sTskssXsGsY

)(

)1(1

)1()()()(

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca:

22

2

1)1()(

TjkTk

TjkjjG

Stąd

T

T

kA

TkQ

TTkP

arctg2

)(

1)(

)1()(

1)(

22

22

22

2

Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego rzeczywistego wyglądają następująco:

Przykładem układu różniczkującego rzeczywistego jest układ filtru górnoprzepustowego RC.

RC

Człon oscylacyjny

Ogólna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca:

przy czym

Stąd wynika transmitancja:

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T1, T2 – stałe czasowe.

21

22

22

22

1

4TT

kxydtdyT

dtydT

)1()(

222

1

sTsTksG

Inna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca:

przy czym

Stąd wynika transmitancja:

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa, – współczynnik tłumienia.

1

2

2

20

2002

22

xkydtdy

dtydT

)12()( 22

TssTksG

2

202

1222

12112

1

202

1

21

222

2,1

222

221

1arctg

)]1sin(1

1[)(

])(

1)(

11[)(

)1(2

4

1)12(

1)1(

)()()(

0

21

tekty

esssT

esssT

kty

TTTT

s

sTssTk

ssTsTksXsGsY

t

tsts

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Odpowiedź członu oscylacyjnego na skok jednostkowy wygląda następująco:

Transmitancja widmowa jest następująca:

222222

22

22 4)1(]2)1[(

12)()(

TTTjTk

TjjTkjG

Stąd

22

222222

222222

222222

22

12arctg)(

4)1()(

4)1(2)(

4)1()1()(

TT

TT

kA

TTTkQ

TTTkP

Charakterystyki częstotliwościowe członu oscylacyjnego wyglądają następująco:

Przykładem układu oscylacyjnego jest układ RLC.

RC

L

)()( txty

sesXsYsG

)()()(

Człon opóźniającyRównanie elementu opóźniającego ma postać:

skąd na podstawie twierdzenia o przesunięciu rzeczywistym wynika transmitancja:

Element opóźniający nie zniekształca sygnału wejściowego lecz jedynie przesuwa go w czasie.

Dziękuję za uwagę!