Podstawy Ekonomii Matematycznejmarmaj.math.uni.lodz.pl/Files/El_Ek_Mat_W.pdf · Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011. Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej.5

Podstawy Ekonomii Matematycznej

Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Spis tre±ci

I Elementy matematyki �nansowej. 5

1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6

2 Procent prosty. 82.1 Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa. . . . . . . . 82.2 Równowa»no±¢ stóp procentowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Dyskontowanie proste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Dyskonto handlowe proste. 153.1 Dyskonto handlowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Stopa dyskontowa a stopa procentowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Weksle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Procent skªadany 224.1 Zasada oprocentowania skªadanego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Kapitalizacja roczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Kapitalizacja podokresowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Kapitalizacja ci¡gªa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania skªadanego. . . . . . . . 264.6 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Dyskontowanie skªadane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.8 Oprocentowanie a in�acja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Warto±¢ kapitaªu w czasie 345.1 Model warto±ci kapitaªu w czasie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Zasada równowa»no±ci kapitaªów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Modele matematyczne. 39

6 Pochodna funkcji w ekonomii 406.1 Funkcja kra«cowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Elastyczno±¢ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x0. . . 456.2.2 Elastyczno±¢ funkcji kosztów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2.3 Elastyczno±¢ funkcji popytu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3 Funkcje Törnquista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3.1 Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista. . . . 53

2

Spis tre±ci

7 Modele ekonomiczne. 557.1 Skªadniki modelu ekonomicznego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2 Modele równowagi statycznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.1 Cz¦±ciowa równowaga rynkowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2.2 Keynesowski model dochodu narodowego. . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Modele nakªadów i wyników Leontiewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3.1 Model statyczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3.2 Model dynamiczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.4 Modele dynamiczne z czasem dyskretnym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.4.1 Model paj¦czyny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Aktualizacja: 9 czerwca 2011 3

Spis tre±ci

.


Cz¦±¢ I

Elementy matematyki �nansowej.

5

Rozdziaª 1

Procent, stopa procentowa,

kapitalizacja.

W matematyce procent oznacza oczywi±cie setn¡ cz¦±¢ caªo±ci (per centum � przez sto)

x% =x

100.

W matematyce �nansowej procent o jaki zmienia si¦ dana wielko±¢ nazywamy stop¡procentow¡ (wzrostu lub spadku).

Przykªad 1.1. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiªa 500 zª i wzrosªa w ci¡gu tegookresu o 30%. Obecnie cena powi¦kszyªa si¦ o

500 · 30% = 500 · 0.3 = 150 [zª],

wynosi wi¦c500 + 150 = 650 [zª].

Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie ceny ko«cowej

500 · (1 + 0.3) = 650 [zª].

Warto zwróci¢ te» uwag¦, »e gdyby po roku roku cena towaru zwi¦kszyªa si¦ o 40%, a nie o30%, to stopa wzrostu zwi¦kszyªaby si¦ o 10 punktów procentowych, a nie o 10%. Dlaporównania, gdyby stopa zwi¦kszyªaby si¦ o 10%, to wynosiªaby

30% · (1 + 10%) = 30% · (1.1) = 33%.

Przykªad 1.2. Cena pewnego towaru wynosiªa 300 zª. Po upªywie miesi¡ca wzrosªa o20%, a po upªywie kolejnego miesi¡ca wzrosªa o 30%. Zatem po dwóch miesi¡cach cenawynosiªa

300 · 1.2 · 1.3 = 468 [zª].

Cena wzrosªa wi¦c o468− 300

300= 0.56 = 56%.

Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie o ile procent wzrosªa cena:

1.2 · 1.3− 1 = 0.56 = 56%.

Uzasadnienie powy»szego rachunku jest proste

468− 300

300=

300 · 1.2 · 1.3− 300

300= 1.2 · 1.3− 1.

6

Rozdziaª 1. Procent, stopa procentowa, kapitalizacja.

Powy»szy przykªad uzasadnia przyj¦cie nast¦puj¡cej de�nicji.

Je±li pewna wielko±¢ zmieniªa si¦ o p%, to liczb¦ ρ := 1 + p100

nazywamy czynnikiemprocentowym zmiany (wzrostu lub spadku).

Uogólniaj¡c przykªad 1.2 mo»emy stwierdzi¢, »e je±li wielko±¢ P wzrasta o p1%, anast¦pnie wzrasta o p2%, to wzrasta o

P · (100 + p1) % · (100 + p2) %− PP

=(

1 +p1

100

)·(

1 +p2

100

)− 1

=[(

1 +p1

100

)·(

1 +p2

100

)− 1]· 100% = (ρ1 · ρ2 − 1) · 100%,

gdzie ρ1 = 1 + p1100

, ρ2 = 1 + p2100

s¡ czynnikami wzrostu odpowiadaj¡cymi stopom p1, p2.

W matematyce �nansowej cz¦sto uto»samia si¦ procent o jaki wzrasta kapitaª z odset-kami , czyli wielko±ci¡ o jak¡ wzrósª kapitaª. Powi¦kszenie kapitaªu o odsetki wygenerowa-ne przez ten kapitaª nazywa si¦ kapitalizacj¡ odsetek . Same odsetki nie s¡ kapitaªem,ale stan¡ si¦ jego cz¦±ci¡ dopiero po kapitalizacji. Czas, po którym odsetki s¡ dopisywa-ne do kapitaªu nazywamy okresem kapitalizacji . Kapitaª, który wygenerowaª odsetkinazywa si¦ kapitaªem pocz¡tkowym , a kapitaª powi¦kszony, po okresie kapitalizacji, oodsetki nazywa si¦ kapitaªem ko«cowym . Czas, w ci¡gu którego odsetki s¡ generowanenazywa si¦ czasem oprocentowania .

Stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª w ustalonym okresie nosi nazw¦okresowej stopy procentowej . W praktyce najcz¦±ciej mamy do czynienia ze stopamiustalonymi dla okresu rocznego i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej , sto-pie w stosunku rocznym lub u»ywamy skrótu p.a. (per annum). Warto zauwa»y¢, »eefektem obliczenia odsetek za dany okres nie musi by¢ ich kapitalizacja.

Przez warunki oprocentowania nale»y rozumie¢ dane, których znajomo±¢ wystar-cza, aby obliczy¢ wysoko±¢ odsetek nale»nych od ustalonego kapitaªu za ustalony czas.


Rozdziaª 2

Procent prosty.

2.1. Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i pod-

okresowa.

W przypadku transakcji �nansowych zwykle nie okre±la si¦ odsetek, lecz wysoko±¢ stopyprocentowej oraz sposób obliczania odsetek � wedªug zasady oprocentowania prostego lubskªadanego.

Zasada oprocentowania prostego. Odsetki oblicza si¦ od kapitaªu pocz¡tkowego pro-porcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania.

Niech:K0 � pocz¡tkowa warto±¢ kapitaªu,r � roczna stopa procentowa,n � czas oprocentowania wyra»ony w latach,In � odsetki za czas n lat,Kn � ko«cowa warto±¢ kapitaªu po n latach.

Przy powy»szych oznaczeniach zasad¦ oprocentowania prostego mo»na zapisa¢ jako

In = rK0 · n (2.1)

alboKn = K0 + rK0 · n = K0 (1 + rn) . (2.2)

Innymi sªowy, kapitaª przy oprocentowaniu prostym wzrasta liniowo wzgl¦dem czasu zewspóªczynnikiem kierunkowym równym rK0. Zauwa»my te», »e

Kn+1 −Kn = K0 + rK0 · (n+ 1)− (K0 + rK0 · n) = rK0,

czyli przy oprocentowaniu prostym kapitaª wzrasta arytmetycznie.

Przykªad 2.1. Jak¡ warto±¢ osi¡gnie kapitaª pocz¡tkowy 500 zª po:

a) 4 latach,

b) 198 dniach

8

Rozdziaª 2. Procent prosty.

oprocentowania prostego, przy rocznej stopie 12% i latach liczonych wedªug reguªy bankowej(1 rok = 360 dni)?

Skorzystamy ze wzoru (2.2)

Kn = K0 + rK0 · n.

Ad. a) Mamy: K0 = 500 zª, r = 0.12, n = 364·3+365360

= 1457360

, st¡d

K = 500 + 0.12 · 500 · 1457

360= 742.83 [zª].

Ad. b) Tym razem n = 198360

,

K = 500 + 0.12 · 500 · 198

360= 533 [zª].

Przykªad 2.2. W dniu 30 czerwca 2001 r. pan X miaª na koncie a'vista 2500 zª. Wokresie od 1 lipca do 30 wrze±nia tego roku dokonano dwóch wpªat na konto: 12 lipca �3259 zª i 17 sierpnia � 1600 zª oraz trzech wypªat: 23 lipca 4200 zª, 5 sierpnia � 1900 zªi 18 wrze±nia � 300 zª. Odsetki dopisywane s¡ na koniec ka»dego kwartaªu. Bank obliczaodsetki od dodatniego salda wg ustalonej stopy rocznej 12%, a w przypadku ujemnego salda� karne odsetki wg. ustalonej stopy rocznej powi¦kszonej o 50%. Obliczy¢ odsetki za IIIkwartaª 2001 roku. Czas bankowy biegnie wedªug reguªy kalendarzowej.

Mamy tu do czynienia z oprocentowaniem prostym w ka»dym z okresów, kiedy kapitaªna koncie nie ulegaª zmianie. Do oblicze« wygodnie jest sporz¡dzi¢ tabel¦

Data Operacja Saldo Numer dnia Czas oprocentowania

operacji wpªata wypªata po operacji w roku w dniach

30 czerwca − − 2500 181 −12 lipca 3250 − 5750 193 12

23 lipca − 4200 1550 204 13

5 sierpnia − 1900 −350 217 12

17 sierpnia 1600 − 1250 229 32

18 wrze±nia − 300 950 261 12

30 wrze±nia − − 950 273 −



Do obliczenia odsetek skorzystamy ze wzoru (2.1)

I1 = 2500 · 0.12 · 12

365= 9.86

I2 = 5750 · 0.12 · 11

365= 20.79

I3 = 1550 · 0.12 · 13

365= 6.62

I4 = −350 · 0.18 · 12

365= −2. 07

I5 = 1250 · 0.12 · 32

365= 13.15

I6 = 950 · 0.12 · 12

365= 3.75

Zatem za III kwartaª wynosz¡ odsetki wynosz¡

9.86 + 20.79 + 6.62− 2. 07 + 13.15 + 3.75 = 52.10

Kapitaª ko«cowy na dzie« 30 wrze±nia, wynosi

950 + 52.10 = 1002.10 [zª].

Cz¦sto, aby obliczy¢ odsetki proste u»ywamy oprócz stopy rocznej stopy miesi¦cznejlub kwartalnej. W tym wypadku miesi¡c, kwartaª itd. nazywamy podokresem opro-centowania (wzgl¦dem oprocentowania rocznego), a stop¦ procentow¡ dla tego okresu �stop¡ podokresow¡ . Podokres mo»e by¢, cho¢ jest to stosowane rzadko, dªu»szy ni» roknp. mo»e wynosi¢ 2 lata.

Wprowad¹my oznaczenia:k � liczba podokresów, których ª¡czna dªugo±¢ jest równa dªugo±ci roku,ik � stopa podokresowa,mk � czas wyra»ony w podokresach (numer kolejnego podokresu).

Dªugo±¢ podokresu, przy ustalonym k, jest zawsze równa 1kdªugo±ci roku. W praktyce

najcz¦±ciej mamy do czynienia z nast¦puj¡cymi podokresami:

• póªrocze, k = 2

• kwartaª, k = 4,

• miesi¡c, k = 13,

• tydzie«, k = 52,

• dzie«, k = 365 (lub 360).

Odsetki wg oprocentowania prostego za mk podokresów wynosz¡

Imk= ikK0 ·mk,

a warto±¢ kapitaªu

Kmk= K0 (1 + ik ·mk) .



Przykªad 2.3. Po»yczka 1200 zª b¦dzie spªacona jednorazowo po upªywie 4 miesi¦cy zodsetkami prostymi przy miesi¦cznej stopie wynosz¡cej 1.3%. Obliczmy kwot¦ potrzebn¡do spªaty tej po»yczki.

A zatem, k = 12, m12 = 4, i12 = 0.013, K0 = 1200, czyli

K4 = 1200 + 0.013 · 1200 · 4 = 1262 [zª].

2.2. Równowa»no±¢ stóp procentowych.

Skoro mo»emy posªugiwa¢ si¦ ró»nymi stopami (roczn¡ lub podokresow¡) wa»ne jest usta-lenie warunków równowa»no±ci tych stóp. Przede wszystkim doprecyzujmy, co oznaczarównowa»no±¢ stóp. T¦ równowa»no±¢ okre±la w matematyce �nansowej nast¦puj¡ca

Zasada równowa»no±ci stóp procentowych. Stopy procentowe s¡ równowa»ne wczasie n, je»eli przy ka»dej z nich ten sam kapitaª pocz¡tkowy K0, generuje w tymsamym czasie n, b¦d¡cym liczb¡ lat, te same odsetki.

Dla ustalenia warunku równowa»no±ci stóp zauwa»my najpierw, »e je»eli n jest liczb¡lat, to odpowiadaj¡ca jej liczba mk podokresów dªugo±ci 1

kroku wynosi

mk = nk. (2.3)

Niech dane b¦d¡ dwie stopy podokresowe ik1 oraz ik2 odpowiadaj¡ce podokresom dªugo±ci1k1

i 1k2

roku. Odsetki generowane przez kapitaª K0 po upªywie n lat s¡ identyczne przystopach ik1 i ik2 , wtedy i tylko wtedy, gdy

ik1mk1K0 = ik2mk2K0,

gdzie wobec (2.3)mk1 = nk1, mk2 = nk2,

sk¡dik1nk1K0 = ik2nk2K0.

W konsekwencji

ik1ik2

=1k11k2

, (2.4)

co mo»na sªownie wyrazi¢ nast¦puj¡co: dwie stopy podokresowe s¡ równowa»ne wtedy itylko wtedy, gdy ich stosunek jest identyczny jak stosunek dªugo±ci odpowiadaj¡cych impodokresów wyra»onych w latach. Z tego powodu przy oprocentowaniu prostym stopyrównowa»ne nazywamy proporcjonalnymi.

Wzór (2.4) jest równowa»ny wzorowi

ik1 = ik2k2k1, (2.5)

który pozwala przelicza¢ równowa»ne stopy procentowe. W szczególno±ci, z powy»szegowzoru wynika, »e je±li ik jest stop¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi dªugo±ci

1kroku, za± r jest

stop¡ roczn¡, tor = ikk.



Przykªad 2.4. Póªroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i2 = 18%. Obliczy¢ rów-nowa»ne stop¦ miesi¦czn¡, 13�dniow¡, 2�letni¡. U»ywaj¡c ka»dej z nich obliczy¢ odsetkiproste od kapitaªu 400 zª za czas 3 lat. W obliczeniach u»ywa¢ reguªy bankowej.

W przypadku stopy miesi¦cznej mamy: k = 12 i wobec wzoru (2.5)

i12 = i22

12= 18% · 1

6= 3%.

Dalej dla 3 lat m12 = 12 · 3 = 36 oraz

I = i12 ·m12 ·K0 = 0.03 · 36 · 400 = 432 [zª]

Dla stopy 13�dniowej k = 36013

oraz

i 36013

= i22

36013

= 18% · 13

180= 1.3%.

Mamy te», »e dla 3 lat m 36013

= 36013· 3 = 1080

13oraz

I = i 36013·m 360

13·K0 = 0.013 · 1080

13· 400 = 432 [zª]

Wreszcie dla stopy 2�letniej k = 12,

i 12

= i2212

= 18% · 4 = 72%

m 12

= 12· 3 = 3

2

I = i 12·m 1

2·K0 = 0.72 · 3

2· 400 = 432 [zª].

Przykªad 2.5. Najni»sza cena, po której kupiono 26�tygodniowe bony skarbowe wyniosªa9521.06 zª za bon o warto±ci 10000 zª. Obliczy¢ stop¦ zysku tych bonów w skali 26 tygodnii skali roku.

Mamy wi¦c

k =360

26 · 7oraz

ik =10000− 9521.06

9521.06= 0.0503 = 5.03%,

co wynika ze wzoruK = K0 + ikK0.

W skali roku

r = ikk = 5.03%360

26 · 7= 9.95%.



2.3. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.

Zaªó»my, »e czas oprocentowania kapitaªu K0 wynosi n lat i skªada si¦ z m nast¦puj¡cychpo sobie okresów o dªugo±ci n1, n2, ..., nm lat, gdzie

n =m∑i=1

ni.

Zaªó»my dalej, »e w i�tym okresie obowi¡zuje stopa roczna ri, i = 1, 2, ...,m. Wówczasodsetki proste w i�tym okresie wynosz¡

Ini= rini ·K0.

�¡czne odsetki za okres n lat wynosz¡ wi¦c

I =m∑i=1

rini ·K0 = K0

m∑i=1

rini,

za± kapitaª ko«cowy

K = K0 +K0

m∑i=1

rini = K0

(1 +

m∑i=1

rini

). (2.6)

Mo»emy teraz wprowadzi¢ poj¦cie stopy przeci¦tnej r (za okres n lat) okre±lonej zapomoc¡ równo±ci

rnK0 = K0

m∑i=1

rini.

Czyli jest to staªa stopa, jaka daªaby za n lat ten sam przyrost kapitaªu, co stopy zmienne.Wynika st¡d, »e

r = 1n

m∑i=1

rini.

Stopa przeci¦tna jest wi¦c ±redni¡ stop¡ wa»on¡ stóp r1, r2, ..., rm z wagami b¦d¡cymidªugo±ciami poszczególnych okresów. W szczególno±ci, je±li okresy s¡ jednakowe, stopaprzeci¦tna jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp r1, r2, ..., rm.

Przykªad 2.6. Pan X wpªaciª 3600 zª na roczn¡ lokat¦ z odsetkami naliczanymi po za-ko«czeniu lokaty. Przez 4 miesi¡ce obowi¡zywaªo oprocentowanie 6%, przez nast¦pne 3miesi¡ce 5.5%, a przez ostatnie 5 miesi¦cy 4.5% (wszystkie stopy w stosunku rocznym).

Zgodnie z (2.6) warto±¢ lokaty wynosi

K = 3600

(1 + 0.06 · 4

12+ 0.055 · 3

12+ 0.045 · 5

12

)=

3600

(1 +

1

50+

11

800+

3

160

)= 3600 · 421

400= 3789 [zª].

Natomiast ±rednia stopa

r =21

400= 0.0525 = 5.25%.



2.4. Dyskontowanie proste.

Dyskontowaniem nazywamy obliczanie kapitaªu pocz¡tkowego K0 na podstawie war-to±ci kapitaªu ko«cowego K. Ró»nic¦ D mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i pocz¡tkowymnazywamy dyskontem . Je±li dyskontowanie odbywa si¦ przy u»yciu stopy procentowejr, to nazywamy je dyskontem prostym . W matematyce �nansowej stosuje si¦ równie»dyskontowanie handlowe oparte na tzw. stopie dyskontowej. Zatem, przyjmuj¡c za n czaswyra»ony w latach mamy, »e

K = K0 (1 + rn)

sk¡dK0 = K (1 + rn)−1

oraz

D = K −K0 = K −K (1 + rn)−1 =K +Krn−K

1 + rn=

Krn

1 + rn= Krn (1 + rn)−1 .

Przykªad 2.7. Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiejwpªacie a) 1 kwietnia, b) 1 stycznia saldo na rachunku 1 stycznia nast¦pnego roku b¦dziewynosi¢ 1000 zª?

Mamy natychmiasta)

K0 =K

1 + rn=

1000

1 + 0.16 · 0.75= 892.86 [zª],

b)

K0 =1000

1 + 0.16=

1000

1 + 0.16= 862.07 [zª].


Rozdziaª 3

Dyskonto handlowe proste.

3.1. Dyskonto handlowe.

Zapªata za po»yczenie pieni¦dzy mo»e by¢ zrealizowana w formie odsetek od po»yczonejkwoty. Nie jest to jednak jedyna forma zapªaty, omówimy teraz zapªat¦ za po»yczk¦ zwan¡dyskontem.

Dyskontem handlowym nazywamy zapªat¦ za po»yczk¦ obliczon¡ za pomoc¡ stopydyskontowej na podstawie kwoty, któr¡ dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, przy czymdyskonto jest pªatne z góry (w momencie otrzymania po»yczki) i pomniejsza kwot¦ prze-kazanych pieni¦dzy.

Dyskonto handlowe bywa nazywane procentem pªatnym z góry. Warto±¢ dyskontazale»y od kwoty, któr¡ mamy zwróci¢ oraz od czasu, na jaki po»yczamy pieni¡dze. Rocznastopa, przy u»yciu której oblicza si¦ warto±¢ dyskonta nosi nazw¦ stopy dyskontowej.Mamy

Zasada dyskonta handlowego (prostego). Dyskonto jest obliczane od kwoty, któr¡dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowaneod tej kwoty w momencie udzielenia po»yczki.

Niech:F � kwota spªaty (warto±¢ nominalna po»yczki),D � dyskonto,P � warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki (warto±¢ nominalna po potr¡ceniu dyskonta)d � roczna stopa dyskontowa,n � czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, wyra»ony w latach.

Zgodnie z zasad¡ dyskonta handlowego:

D = dF · n (3.1)

orazP = F −D = F (1− dn) . (3.2)

sk¡d równie»

F = P1−dn . (3.3)

Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki nie mo»e by¢ ujemna czyli

F −D > 0

15

Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.

sk¡d dostajemy, »edn < 1,

co oznacza, »e przy danej stopie d czas udzielenia po»yczki musi speªnia¢ warunek

n < 1d, (3.4)

za± przy ustalonym czasie n stopa musi speªnia¢ warunek

d < 1n. (3.5)

Przykªad 3.1. Aby dzi± dosta¢ po»yczk¦ zobowi¡zujemy si¦ odda¢ po 3 miesi¡cach 1500zª. Jaka jest opªata za po»yczk¦, je±li ma ona posta¢ dyskonta o stopie d = 14%. Wobec(3.1)

D = 0.14 · 1500 · 3

12= 52.50 zª,

a zatem otrzymamy

P = F −D = 1500− 52.50 = 1447.50 zª.

Przykªad 3.2. Po koniec 2001 roku du»¡ popularno±ci¡ cieszyªy si¦ w Polsce tzw. lokatyantypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry w zwi¡zku z 20% tzw. podatkiem Belki. Zaªó»-my, »e dysponujemy kwot¡ 10000 zª i chcemy je zdeponowa¢ na póª roku maj¡c do wyborudwie oferty:

• w banku X póªroczn¡ lokat¦ z odsetkami pªaconymi z góry przy stopie rocznej d =12%

• w banku Y póªroczn¡, tradycyjn¡ lokat¦ z oprocentowaniem r = 15% w stosunkurocznym.

Która oferta jest lepsza?W banku X po»yczka lokata ma charakter dyskontowy z kwot¡ pocz¡tkow¡ P = 10000

zª, musimy wi¦c obliczy¢ kwot¦ ko«cow¡ F :

F =P

1− dn=

10000

1− 0.12 · 12

= 10638.30 zª

W banku Y mamy, »e odsetki b¦d¡ wynosiªy

I = rPn = 0.15 · 10000 · 1

2= 750.00 zª

ale b¦d¡ obci¡»one podatkiem, a zatem bank wypªaci nam

K = 10000 + 0.8 · 750.00 = 10600.00 zª.

Zatem, lepiej skorzysta¢ z oferty banku X



Obliczymy jeszcze przy jakiej stopie r obie oferty s¡ jednakowo opªacalne

P

1− dn= P + rPn · 0.8

1

1− dn= 1 + rn · 0.8

rn · 0.8 =1

1− dn− 1

rn · 0.8 =nd

1− dn

r =1.25d

1− dn=

1.25 · 0.12

1− 0.1212

= 0.159 6 = 15.96%.

3.2. Stopa dyskontowa a stopa procentowa.

Zajmiemy si¦ odpowiedzi¡ na pytanie kiedy stopa dyskontowa i procentowa wygeneruj¡w jednakowym czasie jednakowe odsetki. Takie stop¦ nazywamy równowa»nymi.

Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i procentowej. Roczna stopa dyskon-towa d i roczna stopa procentowa r s¡ równowa»ne w czasie n, je±li dyskonto i odsetkiobliczane przy tych stopach dla tej samej po»yczki s¡ równe.

Wyprowadzimy teraz analityczny warunek równowa»no±ci obu stóp. Skoro (przy ozna-czeniach przyj¦tych w tym oraz poprzednim rozdziale) D = I przy warunku K0 = P, wi¦cwobec (3.1)

dFn = rPn,

sk¡d uwzgl¦dniaj¡c (3.3)P

1− dn= rP,

czyli

r = d1−dn (3.6)

orazd = r

1+rn. (3.7)

Ze wzorów (3.6)-(3.7) wynika

Wªasno±¢ 3.1.

1. Wysoko±¢ równowa»nych stóp nie zale»y od kwoty udzielonej po»yczki, ale zale»y odczasu na jaki j¡ udzielono.

2. Istnieje dokªadnie jeden okres n, w którym stopy s¡ równowa»ne (zwany okresemrównowa»no±ci stóp dyskontowej i procentowej), wynosi on

n =1

d− 1

r. (3.8)

3. Okres równowa»no±ci stóp d i n jest dodatni (wynika, to z warunku (3.4)).



4. Dla ka»dego okresu n i ka»dej stopy procentowej r istnieje równowa»na w okresie nstopa dyskontowa d.

5. Dla ka»dej stopy dyskontowej d i ka»dego okresu n speªniaj¡cego warunek nd < 1istnieje równowa»na w okresie n stopa r.

Zauwa»my te», »e warunkiem, aby warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki przy dyskoncie przyokresie po»yczki n byªa dodatnia byªa nierówno±¢ n < 1

d, która dla okresu równowa»no±ci

otrzymanego w (3.8) jest oczywi±cie speªniona.

Przykªad 3.3. Powró¢my do przykªadu, w którym rozwa»ali±my inwestycj¦ w 26 tygo-dniowe bony skarbowe o warto±ci 10000 zª. Nominalna cena zakupu tych bonów wynosiªa9521.06 zª. Przyjmijmy F = 10000 zª, P = 9521.06 zª, n = 26·7

360. Roczna stopa dyskonta

wynosiªa wi¦c

d =D

nF=F − PnF

=10000− 9521.06

26·7360· 10000

= 0.0947 = 9.47%.

Roczna stopa rentowno±ci tej inwestycji jest równa

r =D

nP=

10000− 9521.0626·7360· 9521.06

= 0.0995 = 9.95%.

Jest to oczywi±cie roczne oprocentowanie po»yczki 9521.06, której warto±¢ wraz z odsetkamiwyniosªaby po 26 tygodniach 10000 zª.

Powy»szy przykªad uzmysªawia nam nast¦puj¡ce spostrze»enie.

Wªasno±¢ 3.2. Roczna stopa zysku (rentowno±ci) z transakcji, w której opªat¡ jest dys-konto obliczone przy stopie d za czas n jest roczn¡ stop¡ procentow¡ r równowa»n¡ stopied w czasie n.

Dowód. Rzeczywi±cie, roczna stopa zysku wynosi w tym wypadku

D

nP=

I

nP= r.

W praktyce du»e znaczenie ma

Wªasno±¢ 3.3. Niech d i r b¦d¡ stopami rocznymi dyskontow¡ i procentow¡ odpowiedniorównowa»nymi w okresie n . Niech D b¦dzie warto±ci¡ dyskonta, za± I warto±ci¡ odsetekprzy po»yczce na n lat (n < 1

d). Wówczas

1.D > I ⇔ n > n,

2.D < I ⇔ n < n.



Dowód. Niech P b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡ po»yczki, F � kwot¡ spªaty po»yczkidyskontowej o warto±ci pocz¡tkowej P po n latach.. Mamy wobec (3.1), (3.2) oraz (3.6),»e

D = dFn,

I = rPn = rF (1− dn)n =d

1− dnF (1− dn)n =

1− dn1− dn

· dFn.

ZatemD

I=

1− dn1− dn

.

W konsekwencji (przy zaªo»eniu, »e n < 1d)

D > I ⇔ 1− dn1− dn

> 1⇔ n > n

oraz

D < I ⇔ 1− dn1− dn

< 1⇔ n < n

teraz n > n, to D > I, je±li n < n, to D < I.

Mamy równie»

Wªasno±¢ 3.4. Niech n oznacza czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, I warto±¢ odsetekza czas n przy stopie rocznej stopie procentowej r, za± D warto±¢ dyskonta tej samejpo»yczki za czas n lat przy rocznej stopie dyskontowej d (n < 1

d). Wówczas:

1.

D > I ⇔ r <d

1− dn⇔ d >

r

1 + rn.

2.

D < I ⇔ r >d

1− dn⇔ d <

r

1 + rn.

Dowód. Mamy wobec (3.3)

F =P

1− dnD

I=dF

rP=

dP

1− dn· 1

rP=

d

1− dn· 1

r,

sk¡d (przy zaªo»eniu n < 1d)

D > I ⇔ d

1− dn· 1

r> 1⇔ r <

d

1− dn⇔ d >

r

1 + rn

oraz

D < I ⇔ r >d

1− dn⇔ d <

r

1 + rn



3.3. Weksle.

Weksel stanowi zobowi¡zanie do zapªaty okre±lonej kwoty w ustalonym terminie i maform¦ dokumentu sprecyzowanego odpowiednimi przepisami. Kwot¦, do zapªaty którejzobowi¡zuje weksel nazywamy warto±ci¡ nominaln¡ weksla. Termin, w którym we-ksel ma by¢ spªacony nazywamy terminem wykupu weksla . Warto±¢ weksla obliczon¡na podstawie jego warto±ci nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej d na okre±lonydzie« poprzedzaj¡cy poprzedzaj¡cy termin jego wykupu nazywamy warto±ci¡ handlo-w¡ (aktualn¡) weksla.

Poniewa» weksel stanowi form¦ po»yczki liczonej wedªug zasady dyskonta handlowe-go, zast¦pujemy dotychczas stosowan¡ terminologi¦ dotycz¡c¡ dyskonta handlowego wnast¦puj¡cy sposób:

• kwota spªaty F � warto±¢ nominalna weksla,

• opªata za po»yczk¦ (dyskonto) D � warto±¢ dyskonta weksla,

• warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki P = F −D � warto±¢ aktualna weksla,

• czas od otrzymania do zwrotu po»yczki n � czas do wykupu weksla.

W konsekwencji, aktualna warto±¢ weksla o warto±¢ nominalnej F, przy stopie dys-kontowej (rocznej) d na n lat przed wykupem wynosi

P = F (1− dn) .

Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e w odniesieniu do weksli czas w dniach zamienia si¦ nalata wedªug reguªy bankowej (1 rok = 360 dni).

Przykªad 3.4. Zobowi¡zanie do zapªaty za dostaw¦ pewnego towaru o warto±¢ 195 jp(jednostek pieni¦»nych) ma posta¢ weksla podpisanego 3 lipca na sum¦ 200 jp z terminemwykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku.

Mamy wi¦c

F = 200,

P = 195,

D = F − P = 5.

Czas do wykupu wyra»ony w dniach (wg tabeli)

276− 183 = 92 dni;

wyra»ony w latach

n =92

360.

Stopa dyskontowa

d =D

nF=

5

200 · 92360

=5

5 · 929

=9

92= 9.78%.



Równowa»na stopa procentowa przy czasie n wynosi

r =d

1− dn=

992

1− 992· 92

360

992

1− 140

=9

92· 40

39=

3

23· 10

13=

30

299= 10.03%.

Oznacza to, »e gdyby±my 3 lipca po»yczyli 195 jp, to zwrot 3 pa¹dziernika 200 jp oznaczaªbystop¦ procentow¡ 10.03%. Innymi sªowy po»yczka byªaby korzystniejsza od wystawieniaweksla przy stopie mniejszej ni» 10.03%. Wynika to równie» bezpo±rednio z wªasno±ci 3.4.

Przykªad 3.5. Firma X rozwa»a dwa warianty pozyskania potrzebnych jej ±rodków: wy-stawienie weksla o terminie wykupu za 90 dni przy stopie dyskontowej d = 16%, albo 90dniowa po»yczka przy stopie rocznej r = 17%. Która opcja jest korzystniejsza.

Mamy

d

1− dn=

0.16

1− 0.16 · 90360

=0.16

1− 16100· 1

4

=16

100· 100

96=

1

6= 16.67% < r.

Zatem z wªasno±ci 3.4 wynika, »e weksel jest bardziej opªacalny. Mo»emy równie» obliczy¢czas n, przy którym obie stopy s¡ równowa»ne. Z (3.8) mamy

n =1

d− 1

r=

100

16− 100

17=

25 · 17− 400

68=

25

68= 0.367 647 058 8

to jest0.367 647 058 8 · 360 = 132.352 941 2 dni.

Z wªasno±ci 3.3 po»yczka byªaby korzystniejsza dla czasu co najmniej 133 dni.


Rozdziaª 4

Procent skªadany

4.1. Zasada oprocentowania skªadanego.

Przypomnijmy, »e w przypadku oprocentowania prostego odsetki s¡ dopisywane do kapi-taªu dopiero po zako«czeniu czasu oprocentowania. Taki proces nazywa si¦ kapitalizacj¡.Gdy jednak odsetki powi¦kszaj¡ kapitaª w równych odst¦pach czasu, przed upªywem cza-su oprocentowania mamy do czynienia z procentem skªadanym. Czas, po upªywie któregoodsetki s¡ za ka»dym razem dopisywane do kapitaªu nazywa si¦ okresem kapitalizacji.

Zasada oprocentowania skªadanego. Oprocentowanie skªadane polega na tym, »eodsetki (proste) oblicza si¦ za ka»dy ustalony z góry okres i kapitalizuje si¦ je na koniectego okresu.

Omówimy trzy zasadnicze typy oprocentowania skªadanego zwi¡zane z ró»nymi okre-sami kapitalizacji.

4.2. Kapitalizacja roczna.

Przypu±¢my, »e dany jest kapitaª pocz¡tkowy K0 > 0 i roczna stopa procentowa r, aodsetki s¡ kapitalizowane co rok. Niech n oznacza okres oprocentowania wyra»ony wlatach. Przy kapitalizacji rocznej musimy poczyni¢ zaªo»enie, »e n ∈ N (:= {1, 2, . . .}) .Obliczmy warto±¢ kapitaªu po upªywie kolejnych lat:

po roku K1 = K0 + rK0 = K0 (1 + r)

po dwóch latach K2 = K1 + rK1 = K1 (1 + r) = K0 (1 + r)2

......

po n latach K0 (1 + r)n

Zatem, po upªywie n lat kapitaª Kn wynosi:

Kn = K0 (1 + r)n , (4.1)

za± ª¡czne odsetki po upªywie n lat:

In = Kn −K0 = K0 ((1 + r)n − 1) . (4.2)

22

Rozdziaª 4. Procent skªadany

Równania (4.1)-(4.2) stanowi¡model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacjirocznej, albo krócej: model kapitalizacji rocznej. Widzimy te», »e przy modelu rocz-nym kapitaª wzrasta geometrycznie z ilorazem (1 + r) . Model ten mo»e by¢ wi¦c opisanyza pomoc¡ równania ró»nicowego postaci

Kn+1 = Kn (1 + r)n , n ∈ N ∪ {0} .

�atwo wida¢, »e przy danym kapitale pocz¡tkowym K0 i ko«cowym Kn (Kn > K0) za nlat roczna stopa oprocentowania wynosi

r = n

√Kn

K0

− 1, (4.3)

za± przy danym kapitale pocz¡tkowym K0, ko«cowym Kn (Kn > K0) i stopie rocznej rczas oprocentowania n (wyra»ony w latach) wynosi

n = log1+r

(Kn

K0

)=

ln(Kn

K0

)ln (1 + r)

. (4.4)

W tym drugim przypadku nale»y dodatkowo zaªo»y¢, »e K0, Kn i r s¡ tak dobrane, »eln(

KnK0

)ln(1+r)

jest liczb¡ naturaln¡.

Przykªad 4.1. Rozwa»my pi¦cioletni¡ lokat¦ w wysoko±ci K0 = 10000 zª przy czym:

(a) odsetki s¡ naliczane po jej zako«czeniu a stopa procentowa wynosi r = 12%,

(b) lokata jest kapitalizowana corocznie a stopa procentowa wynosi r = 10%.

W pierwszym przypadku warto±¢ ko«cowa kapitaªu wynosi

K5 = K0 (1 + rn) = 10000 (1 + 0.12 · 5) = 16000.00 zª,

w drugimK5 = K0 (1 + r)n = 10000 (1 + 0.1)5 = 16100.00 zª.

Widzimy wi¦c, »e pomimo ni»szej stopy kapitalizacja jest bardziej opªacalna. Mo»emy si¦te» zastanowi¢ jaka stopa roczna r bez kapitalizacji wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaªco stopa r z kapitalizacj¡:

r =K5

K0− 1

n=

1610010000

− 1

5= 12.20%,

i na odwrót, jaka stopa roczna r z kapitalizacj¡ wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª costopa roczna r bez kapitalizacji

r = 5

√K5

K0

− 1 =5

√16000

10000− 1 ≈ 9.856%.



4.3. Kapitalizacja podokresowa

Przypu±¢my, »e odsetki dopisywane s¡ za ka»dym razem po upªywie czasu krótszego ni» 1rok. Wtedy taki okres nazywamy podokresem kapitalizacji . Oczywi±cie kapitaª b¦dziewzrastaª dokªadnie wg tej samej zasady co przy kapitalizacji rocznej, pod warunkiem »e dojego opisu b¦dziemy u»ywa¢ stopy z zwi¡zanej z tym podokresem czyli stopy podokreso-wej . Poj¦cie stopy podokresowej pojawiªo si¦ przy omawianiu oprocentowania prostego.W przypadku kapitalizacji podokresowej jest ona równa procentowi, o jaki wzrasta ka-pitaª za ka»dym razem po upªywie jednego podokresu. Liczb¦ podokresów kapitalizacjiprzypadaj¡cych na jeden rok nazywa si¦ cz¦stotliwo±ci¡ kapitalizacji .

Wprowadzaj¡c oznaczenia analogiczne jak dla oprocentowania prostego przyjmijmyk � cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji (�ile razy w roku dopisywane s¡ odsetki�),mk � czas oprocentowania wyra»ony w liczbie podokresów (zakªadamy, »e mk ∈ N),ik � stopa podokresowa.

Wtedy, rozumuj¡c analogicznie jak dla kapitalizacji rocznej dostajemy, »e kapitaª Kmkpo

upªywie czasu mk (czyli na koniec mk − tego podokresu), przy kapitale pocz¡tkowym K0

wynosi

Kmk= K0 (1 + ik)

mk ,

a ª¡czne odsetki po upªywie czasu mk wynosz¡

Imk= K0 ((1 + ik)

mk − 1) .

Przykªad 4.2. Niech warto±¢ pocz¡tkowa kapitaªu wynosi K0 = 1000 zª. Kapitaª ro±niewedªug oprocentowania skªadanego z kapitalizacj¡ kwartaln¡ (k = 4) i stop¡ kwartaln¡i4 = 6%. Wówczas okres 2 lat stanowi 8 podokresów (mk = 8). Kapitaª ko«cowy wynosiwi¦c

K8 = K0 (1 + ik)mk = 1000 (1 + 0.06)8 = 1593.85 zª.

Cz¦sto warunki oprocentowania z kapitalizacj¡ podokresow¡ z cz¦stotliwo±ci¡ kapitali-zacji k razy w roku mog¡ by¢ podane przy u»yciu tak zwanej rocznej stopy nominalnejrk (a nie podokresowej ik). W tym wypadku podawana roczna stopa nominalna rk jestde�niowana jako stopa proporcjonalna do stopy podokresowej, dokªadniej

rk := k · ik.

Kapitaª po upªywie mk okresów przy powy»szych warunkach oprocentowania i przy kapi-tale pocz¡tkowym K0 b¦dzie wynosi¢

Kmk= K0

(1 + rk

k

)mk ,

albo, je±li zamiast czasu wyra»onego w liczbie podokresów u»yjemy odpowiadaj¡cego muczasu wyra»onego w n latach,

Kn = K0

(1 + rk

k

)nk.

Warto równie» zwróci¢ uwag¦, »e o ile stopa podokresowa wyra»aªa procent o jaki wzro±nienas kapitaª w ci¡gu jednego okresu kapitalizacji, to stopa roczna nominalna ju» takiej



wªasno±ci nie posiada (chyba, »e podokres jest równy 1 rok co, cho¢ formalnie poprawne,podwa»a praktyczny sens u»ycia okre±lenia �podokres�).

U»ywaj¡c rocznej stopy nominalnej mo»na wprowadzi¢ jeszcze jeden wspóªczynnikmierz¡cy szybko±¢ wzrostu kapitaªu. Przy poprzednich oznaczeniach zbadajmy iloraz war-to±ci kapitaªu po dwóch nast¦puj¡cych po sobie latach

Kn+1

Kn

=K0

(1 + rk

k

)nk+k

K0

(1 + rk

k

)nk =(

1 +rkk

)k.

Wspóªczynnik ten oznaczany przez ρk nie zale»y od n i zwany jest rocznym czynnikiemoprocentowania . Informuje on ile razy zwi¦ksza si¦ kapitaª po upªywie roku. Ma onnast¦puj¡c¡ (do±¢ jasn¡ intuicyjnie wªasno±¢)

Wªasno±¢ 4.1. Przy ustalonej rocznej stopie nominalnej roczny czynnik oprocentowaniajest tym wi¦kszy (czyli kapitaª ro±nie tym szybciej), im krótszy jest okres kapitalizacji.

4.4. Kapitalizacja ci¡gªa

Przypu±¢my, »e dana jest roczna stopa nominalna rc. Je±li zaªo»ymy, »e cz¦stotliwo±¢ kapi-talizacji k mo»e wzrasta¢ nieograniczenie (czyli okres kapitalizacji staje si¦ niesko«czeniemaªy, dodatni), to przy zaªo»eniu, »e stopa rc jest niezmienna dostajemy, »e po n latachkapitaª Kn, którego warto±¢ pocz¡tkowa byªa K0 b¦dzie wynosi¢

Kn = limk→∞

K0

(1 +

rck

)nk= lim

k→∞K0

((1 +

rck

) krc

)nrc= K0e

rcn. (4.5)

Zauwa»my, »e powy»szy wzór ma sens nie tylko dla n ∈ N, n mo»e by¢ liczb¡ rzeczywistadodatni¡, musimy tylko pami¦ta¢, »e odpowiada upªywowi czasu wyra»onego w jednostce 1rok. Z tego powodu wygodniej b¦dzie dla oznaczania czasu u»ywa¢ litery t. Zatem, w chwilit ≥ 0 warto±¢ kapitaªu K(t) podlegaj¡cego oprocentowaniu ci¡gªemu (z kapitalizacj¡ �coniesko«czenie krótki czas�) z roczn¡ stop¡ nominaln¡ rc wynosi

K(t) = K(0)erct. (4.6)

Je»eli zaªo»ymy, »e zamiast warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego w chwili t = 0 znana jestwarto±¢ kapitaªu w chwili t = t0, to jego warto±¢ w dowolnej chwili t ≥ t0 wynosi¢ b¦dzie

K(t) = K(t0)erc(t−t0). (4.7)

Wreszcie, je±li przyjmiemy r = erc − 1, to wzór (4.7) przyjmie posta¢

K(t) = K(t0)(1 + r)(t−t0). (4.8)

Wzory (4.5)-(4.8) opisuj¡ wi¦c model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji ci¡gªej(�co niesko«czenie krótki czas�) zwany równie» modelem kapitalizacji ci¡gªej . �atwosprawdzi¢, podstawiaj¡c we wzorze (4.8) t = t0 +1, »e r jest roczn¡ stop¡ efektywn¡, czyliw ci¡gu roku kapitaª pocz¡tkowy podlegaj¡cy modelowi (4.8) wzro±nie o dokªadnie r%.



Powy»szy model mo»na równie» wyprowadzi¢ nast¦puj¡co. Przypu±¢my, »e kapitaliza-cja odbywa si¦ co ∆t lat (∆t nie musi by¢ wielko±ci¡ caªkowit¡). Wówczas, je±li w chwilit warto±¢ kapitaªu wynosiªa K (t) oraz kapitalizacja nast¡pi w chwili t+ ∆t, to

K (t+ ∆t) = K (t) +K (t) rc∆t

st¡dK (t+ ∆t)−K (t)

∆t= rcK (t) .

Gdyby okres kapitalizacji byª niesko«czenie krótki, to

lim∆t→0

K (t+ ∆t)−K (t)

∆t= rcK (t)

czyliK ′ (t) = rcK (t) . (4.9)

Rozwi¡zaniem powy»szego równania jest ka»da funkcja postaci,

K (t) = cerct,

gdzie c jest dowoln¡ staª¡. Zakªadaj¡c, »e w chwili pocz¡tkowej t = 0 warto±¢ kapitaªuwynosiªa K0 mamy, »e

K0 = c,

sk¡dK (t) = K0e

rct.

Tak jak poprzednio musimy pami¦ta¢, »e powy»sze rozumowanie jest prawdziwe, je±lijednostk¡ czasu t jest 1 rok.

Równanie (4.9) mówi, »e przy kapitalizacji ci¡gªej pr¦dko±¢ wzrostu kapitaªu w chwilit jest proporcjonalna do jego wielko±ci, za± wspóªczynnik tej proporcjonalno±ci interpre-tujemy jako roczn¡ stop¦ nominaln¡.

4.5. Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania

skªadanego.

Zajmiemy si¦ teraz problemem równowa»no±ci stóp procentowych w oprocentowaniu skªa-danym. Przypomnijmy ogóln¡ de�nicj¦ stóp równowa»nych. Dwie stopy procentowe ik1 iik2 s¡ równowa»ne w czasie n, je±li przy tym samym kapitale pocz¡tkowym K0 generuj¡w czasie n identyczne odsetki albo, co na jedno wychodzi generuj¡ ten sam kapitaª ko«-cowy Kn. De�nicja ta, wprowadzona przez nas w rozdziale dotycz¡cym oprocentowaniaprostego obowi¡zuje bez wzgl¦du na rodzaj oprocentowania.

Podamy analityczny warunek równowa»no±ci dwóch stóp procentowych. Zajmijmy si¦najpierw oprocentowaniem skªadanym z kapitalizacj¡ dyskretn¡.

Rozwa»my dwa modele oprocentowania skªadanego. W pierwszym mamy do czynieniaz kapitalizacj¡ k1 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik1 (zwi¡zan¡ z podokresem 1

k1), w

drugim z kapitalizacj¡ k2 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik2 (zwi¡zan¡ z podokresem



1k2). Niech dany b¦dzie kapitaª pocz¡tkowy K0 oraz czas n lat. Wówczas, stopy ik1 oraz

ik2 s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy

K0 (1 + ik1)nk1 = K0 (1 + ik2)

nk2

zatem

(1 + ik1)k1 = (1 + ik2)

k2 .

Ta sama zale»no±¢ przy u»yciu rocznych stóp nominalnych rk1 i rk2 proporcjonalnych dostóp ik1 i ik2 odpowiednio ma posta¢(

1 +rk1k1

)k1=(

1 +rk2k2

)k2.

Wreszcie, przy u»yciu rocznych czynników oprocentowuj¡cych ρk1 i ρk2 (odpowiadaj¡cychstopom rk1 i rk2 odpowiednio) dostajemy warunek równowa»no±ci w postaci

ρk1 = ρk2 .

Oczywi±cie, z powy»szych wzorów wynika, »e równowa»no±¢ stóp procentowych nie zale»yod kapitaªu pocz¡tkowego, ani czasu oprocentowania. Tym samym udowodnili±my

Wªasno±¢ 4.2. Niech ik1 oraz ik2 b¦d¡ stopami podokresowymi ik1 oraz ik2 odpowiada-j¡cymi podokresom kapitalizacji k1 i k2, za± rk1, rk2 rocznymi stopami nominalnymi orazρk1, ρk2 rocznymi czynnikami oprocentowuj¡cymi odpowiadaj¡cymi stopom ik2 , ik2 odpo-wiednio. Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne

(1) stopy ik1 oraz ik2 s¡ równowa»ne,

(2) (1 + ik1)k1 = (1 + ik2)

k2 ,

(3)(

1 +rk1k1

)k1=(

1 +rk2k2

)k2,

(4) ρk1 = ρk2 .

Z powy»szej wªasno±ci ªatwo wynika, »e je»eli ik1 jest stop¡ podokresow¡ odpowiada-j¡c¡ podokresowi kapitalizacji k1, to równowa»na stopa podokresowa ik2 odpowiadaj¡capodokresowi kapitalizacji k2 wyra»a si¦ wzorem

ik2 = (1 + ik1)k1k2 − 1.

W szczególno±ci, stopa roczna (odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji 1 raz w roku) rów-nowa»na stopie ik odpowiadaj¡cej podokresowi k nazywana stop¡ efektywn¡, jest ozna-czana symbolem ref i wynosi

ref = (1 + ik)k − 1 = ρk − 1, (4.10)

gdzie ρk oznacza roczny czynnik oprocentowania dla stopy podokresowej ik. Poniewa»roczny czynnik oprocentowania mierzy ile razy powi¦kszy si¦ kapitaª w ci¡gu roku, tostopa efektywna informuje nas o ile procent powi¦kszy si¦ ten kapitaª w ci¡gu roku.



Stopa podokresowa ik odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji k równowa»na stopie efek-tywnej ref wynosi natomiast

ik = (1 + ref )1k − 1.

Wreszcie, je±li rk1 jest roczn¡ stop¡ nominaln¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi kapitaliza-cji k1, to jak ªatwo sprawdzi¢, równowa»na roczna stopa nominalna rk2 odpowiadaj¡capodokresowi kapitalizacji k2 wyra»a si¦ wzorem

rk2 =

((1 +

rk1k1

) k1k2 − 1

)k1.

Je»eli teraz porównamy kapitalizacj¦ ci¡gª¡ przy rocznej stopie nominalnej rc z kapi-talizacj¡ k razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik, to te dwie stopy s¡ równowa»ne wtedy itylko wtedy, gdy

erc = (1 + ik)k .

W szczególno±ci, stopa efektywna równowa»na stopie rc wynosi

ref = erc − 1 = ρc − 1.

Na zako«czenie zajmiemy si¦ problemem równowa»no±ci stóp procentowych przy opro-centowania skªadanym i prostym. Niech ik b¦dzie stop¡ podokresow¡ odpowiadaj¡c¡ pod-okresowi k, za± r roczn¡ stop¡ procentow¡ przy oprocentowaniu prostym. Wówczas, wmy±l zasady równowa»no±ci stóp stopy s¡ równowa»ne w okresie n lat wtedy i tylko wte-dy, gdy

(1 + ik)nk = 1 + rn.

Równowa»no±¢ stóp oprocentowania prostego i zªo»onego zale»y wi¦c od okresu oprocen-towania. Mo»na udowodni¢, »e je±li te dwie stopy s¡ równowa»ne w okresie n, to nie s¡równowa»ne w »adnym innym okresie.

4.6. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.

Przypu±¢my, »e kapitaª K0 zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj¡ roczn¡, przy czymw kolejnych latach obowi¡zywaªy stopy r(i), i = 1, 2, ..., n. Wtedy warto±¢ kapitaªu wkolejnych latach wynosi

K1 = K0

(1 + r(1)

),

K2 = K0

(1 + r(1)

) (1 + r(2)

),

...

Indukcyjnie dowodzimy, »e warto±¢ kapitaªu po n latach wynosi

Kn = K0

∏ji=1

(1 + r(i)

), (4.11)

za± ª¡czne odsetki po n latach

In = K0

(∏ji=1

(1 + r(i)

)− 1). (4.12)



Powy»sze wzory opisuj¡model oprocentowania skªadanego rocznego przy zmiennejstopie.

Mo»emy wprowadzi¢ dla tego modelu stop¦ przeci¦tn¡ (roczn¡) r jako stop¦ roczn¡,która wygeneruje po okresie n lat ten sam kapitaª Kn, zatem

K0 (1 + r)n = K0

n∏i=1

(1 + r(i)

),

sk¡d

r = n

√∏nj=1 (1 + r(i))− 1. (4.13)

Je±li oznaczymy przez ρ przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy odpowiadaj¡cystopie przeci¦tnej, to

ρ = r + 1 = n

√∏nj=1 (1 + r(i)),

mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy jest ±redni¡ geo-metryczn¡ rocznych czynników oprocentowuj¡cych w kolejnych latach okresu n lat.

Uogólniaj¡c powy»sze wzory, je±li stopy i(j), j = 1, 2, ...,m s¡ stopami okresowymi(niekoniecznie rocznymi) w kolejnych okresach, to warto±¢ ko«cowa kapitaªu pocz¡tkowegoK0 zªo»onego na czas m podokresów (z kapitalizacj¡ na koniec ka»dego okresu) wynosi

Km = K0

∏mj=1

(1 + i(j)

), (4.14)

za± stopa przeci¦tna w czasie m podokresów, zwana m−okresow¡ stop¡ przeci¦tn¡ , ıwynosi

ı = m

√∏mj=1 (1 + i(j))− 1. (4.15)

Zauwa»my, »e wobec wzoru (4.14) m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy ρm (rozu-miany jako wielko±¢ o jak¡ zmieni si¦ kapitaª po upªywie m podokresów) wynosi

ρ =∏m

j=1

(1 + i(j)

), (4.16)

natomiast m−okresowa stopa efektywna r (czyli o jaki procent zmieni si¦ kapitaª poupªywie m podokresów) wynosi

r = ρm − 1 =∏m

j=1

(1 + i(j)

)− 1 (4.17)

Rozwa»my teraz sytuacj¦, w której kapitaª K0 zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj¡ci¡gª¡, przy czym w kolejnych latach obowi¡zywaªy nominalne stopy nominalne r

(j)c , j =

1, 2, ..., n. Wtedy kapitaª Kn po n latach ma warto±¢

Kn = K0er(1)c er

(2)c ...r

(n)c = K0e

∑nj=1 r

(j)c ,

za± roczna nominalna stopa ±rednia rc oprocentowania ci¡gªego speªnia warunek

ercn = e∑n

j=1 r(j)c ,

i wynosi

rc = 1n

∑nj=1 r

(j)c ,

czyli jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp r(j)c , j = 1, 2, ..., n.



4.7. Dyskontowanie skªadane.

Zajmiemy si¦ teraz operacj¡ odwrotn¡ do obliczania kapitaªu ko«cowego na podstawiekapitaªu pocz¡tkowego, który podlegaª oprocentowaniu skªadanemu, czyli operacj¡ dys-kontowania.

Przypu±¢my, »e znamy warto±¢ kapitaªu ko«cowego Kn, który powstaª z kapitaªu po-cz¡tkowego K0 zdeponowanego na n lat przy oprocentowaniu skªadanym. Rozwa»my dwaprzypadki:

1. Okres kapitalizacji wynosi rok i roczna stopa procentowa jest równa r. Wtedy zzale»no±ci

Kn = K0 (1 + r)n

dostajemy natychmiast, »e

K0 =Kn

(1 + r)n.

2. Kapitalizacja jest ci¡gªa z roczn¡ stop¡ rc. Wówczas

Kn = K0ercn,

sk¡dK0 = e−rcnKn.

W obydwu przypadkach warto±¢ dyskonta (czyli ró»nica mi¦dzy kapitaªem ko«cowym ipocz¡tkowym) jest równa warto±ci ª¡cznych odsetek od kapitaªu K0.

Czynniki 11+r

oraz e−rc nazywaj¡ si¦ rocznymi czynnikami dyskontuj¡cymi przykapitalizacji rocznej i ci¡gªej odpowiednio. Jest to wspóªczynnik ν przez jaki trzeba po-mno»y¢ kapitaª na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª na pocz¡tku tego rokutzn,

Kn = νKn+1,

Obliczaj¡c roczn¡ stop¦ dyskontow¡ d, czyli o ile procent trzeba zmniejszy¢ kapitaªKn+1 na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª Kn na pocz¡tku tego roku mamy

d =Kn+1 −Kn

Kn+1

= 1− ν.

Zatem, roczna stopa dyskontowa przy kapitalizacji rocznej ze stop¡ roczn¡ r wynosi

d = 1− 1

1 + r=

r

1 + r,

za± przy kapitalizacji ci¡gªej i stopie nominalnej rc

dc = 1− e−rc .

Przy u»yciu czynnika dyskontuj¡cego kapitaª pocz¡tkowy K0, który wygeneruje po nlatach kapitaª ko«cowy Kn wyra»a si¦ wzorem

K0 = νnKn,

a przy u»yciu rocznej stopy dyskontowej d :

K0 = (1− d)nKn.



4.8. Oprocentowanie a in�acja.

Mianem in�acji okre±lamy zjawisko spadku siªy nabywczej kapitaªu, czyli ilo±ci dóbr(towarów i usªug), które mo»emy kupi¢ za ten kapitaª. Miar¡ in�acji w ustalonym okresieczasu jest stopa procentowa in�acji , która wyra»a procentowy wzrost cen towarówi usªug w tym okresie. Poniewa» in�acyjny wzrost cen w danym okresie nakªada si¦ nawzrost cen w poprzednim okresie, wi¦c model opisuj¡cy in�acyjne zmiany cen jest mode-lem oprocentowania skªadanego ze zmiennymi w czasie stopami wyra»onego równaniem(4.11).

Przypu±¢my, »e badamy in�acyjne zmiany cen w m okresach.Niech:

i(j)inf � okresowa stopa in�acji w okresie j = 1, 2, ...,m,finf � m−okresowa stopa in�acji (równa procentowi o jaki wzrosn¡ ceny ª¡cznie po

upªywie m okresów),ıinf � przeci¦tna w czasie m okresów stopa in�acji.

Zgodnie ze wzorami (4.16)-(4.17) m�okresowy czynnik in�acji 1 + iinf wynosi

1 + finf =∏m

j=1

(1 + i

(j)inf

),

czyli jest iloczynem czynników in�acji z kolejnych okresów. Za± zgodnie z (4.15) przeci¦tnaw czasie m podokresów stopa in�acji wynosi

ıinf = m√

1 + finf − 1 = m

√∏mj=1

(1 + i

(j)inf

)− 1. (4.18)

Bior¡c pod uwag¦ wpªyw in�acji na zmian¦ warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego K0 poupªywie pewnego ustalonego okresu t nale»y rozró»ni¢ jego wzrost �nominalny� � np.zwi¡zany z faktem, »e kapitaª byª zdeponowany w banku, z jego wzrostem �realnym�zwi¡zanym z siª¡ nabywcz¡ tego kapitaªu. Zaªó»my, »e dana jest pewna stopa procentowainom zwana w tym kontek±cie stop¡ nominaln¡. Wedªug tej stopy, po upªywie czasu tkapitaª ko«cowy b¦dzie wynosi¢

Knom = K0 (1 + inom) . (4.19)

Jednak warto±¢Kreal tego kapitaªu zwi¡zana z jego siª¡ nabywcz¡ b¦dzie tyle razy mniejszaile razy wzrosªy ceny w tym okresie. Je±li wi¦c iinf oznacza stop¦ in�acji w tym okresie,to

Kreal =Knom

1 + iinf= K0

1 + inom1 + iinf

. (4.20)

Powy»sze rozwa»ania pozwalaj¡ na formalne wprowadzenie poj¦¢ warto±¢ kapitaªu nomi-nalnego i realnego.

Warto±ci¡ nominaln¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy danej stopie inomnazywamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.19), tzn.

Knom := K0 (1 + inom) .



Warto±ci¡ realn¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy stopie in�acji iinf nazy-wamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.20) t.j.

Kreal := Knom

1+iinf.

Stop¡ realn¡ nazywamy liczb¦

ireal :=1 + inom1 + iinf

− 1. (4.21)

Wobec (4.19)-(4.20)

Kreal =Knom

1 + iinf=K0 (1 + inom)

1 + iinf= K0 (1 + ireal) ,

czyli stopa ireal jest w istocie stop¡ procentow¡ informuj¡c¡ o ile procent zmienia si¦warto±¢ realna kapitaªu w badanym okresie czasu t.

Bezpo±rednio z (4.21) wynika, »e

1 + inom = (1 + ireal) (1 + iinf ) . (4.22)

Powy»sza zale»no±¢ nosi nazw¦ wzoru Fishera . Mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e czynniknominalnego oprocentowania kapitaªu jest iloczynem czynnika realnego wzrostu kapitaªui czynnika in�acji. Ze wzoru Fishera wynika, »e

ireal =inom−iinf

1+iinf(4.23)

oraziinf = inom−ireal

1+ireal.

Mamy

Wªasno±¢ 4.3.

1. Stopy nominalna jest równa stopie realnej jedynie przy zerowej in�acji.

2. Je±li iinf > 0, to ireal < inom − iinf .

3. Je±li iinf < 0, to ireal > inom − iinf = inom + |iinf |

4. ireal > 0 ⇔ iinf < inom

W okresach, w których stopa in�acji jest ujemna mówimy o de�acji , której miar¡jest stopa |iinf |. Wtedy wªasno±¢ 4.3.3 mówi, »e przy de�acji (o stopie mniejszej ni» 1)warto±¢ realna jest wi¦ksza ni» stopa nominalna nawet powi¦kszona o stop¦ de�acji.

Przykªad 4.3. Tegoroczne ±rodki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze s¡ wy»szedo ubiegªorocznych o 22%. Jaki jest realny wzrost tego funduszy, je±li stopa in�acji wynosi13%?

Przykªad pokazuje sens wzoru Fishera. Mam oczywi±cie, »e

1 + rreal =1 + rnom1 + rinf

=1.22

1.13≈ 1.0796,

sk¡drreal = 7.96%



Przykªad 4.4. Przewiduj¡c stop¦ in�acji 5% rocznie ustalono, »e spªata po»yczki 6500 zªwyniesie po dwóch latach 8000 zª. Obliczymy realn¡ roczn¡ stop¦ oprocentowania po»yczki,je±li

(a) poziom in�acji b¦dzie zgodny z przewidywaniami,

(b) w pierwszym roku in�acja wyniesie 6%, a w drugim 9%.

(Ad a) Obliczymy najpierw roczn¡ stop¦ nominaln¡ rnom oprocentowania po»yczki. Ponie-wa»

8000 = 6500 (1 + rnom)2 ,

wi¦c

rnom =

√8000

6500− 1 ≈ 10.94%.

Korzystaj¡c ze wzoru Fishera albo bezpo±rednio z (4.23)

rreal =rnom − rinf

1 + rinf=

0.1094− 0.05

1 + 0.05≈ 5.66%.

(Ad b) Stopa in�acji zmieniaªa si¦ w ci¡gu caªego okresu dwóch lat. Mo»emy jednak obliczy¢stop¦ przeci¦tn¡, która zgodnie z okre±leniem, wygenerowaªaby w okresie dwóch latidentyczny spadek warto±ci nominalnej kapitaªu. Zgodnie ze wzorem (4.18)

rinf =√

(1 + 0.06) (1 + 0.09)− 1 ≈ 7.49%.

rnom − rinf1 + rinf

=0.1094− 0.0749

1 + 0.0749≈ 3.21%.

Powró¢my jeszcze do zale»no±ci mi¦dzy warto±ci¡ realn¡ kapitaªu i jego warto±ci¡nominaln¡. Wobec okre±lenia warto±ci realnej

Kreal =Knom

1 + iinf= Knom

(1 + iinf − iinf

1 + iinf

)= Knom

(1− iinf

1 + iinf

).

Obliczenie kapitaªu realnego na podstawie kapitaªu realnego przypomina wi¦c operacj¦dyskontowania ze stop¡

dinf :=iinf

1 + iinf.


Rozdziaª 5

Warto±¢ kapitaªu w czasie

5.1. Model warto±ci kapitaªu w czasie.

Jest rzecz¡ jasn¡, »e warto±¢ kapitaªu jest wielko±ci¡ zmienn¡ w czasie. Ta sama kwotapieni¦dzy posiadana 10 lat temu dzi± stanowi zupeªnie inn¡ warto±¢. W matematyce �-nansowej za aktualn¡ warto±¢ kapitaªu rozumie si¦ jego warto±¢ w chwili obecnej � presentvalue (PV). Dla oznaczenia przyszªej warto±ci kapitaªu u»ywa si¦ skrótu FV � future va-lue. Oczywi±cie dla obliczenia przyszªej warto±ci kapitaªu na podstawie warto±ci obecnejstosuje si¦ model oprocentowania, natomiast dla obliczenia warto±ci obecnej na podstawiewarto±ci przyszªej � model dyskontowania.

Rozwa»my nast¦puj¡cy

Przykªad 5.1. N pocz¡tku roku pan Kowalski ma zdeponowane na lokacie rocznej opro-centowanej 6% w skali roku 100000 zª. Na koniec roku pan Kowalski otrzyma 40000 zªjako zapªat¦ za pewn¡ prac¦ zlecon¡. Zauwa»my, »e

1. Pan Kowalski nie mo»e powiedzie¢, »e na koniec roku b¦dzie posiadaczem kwoty140000 zª albowiem b¦dzie posiadaczem kwoty 40000 zª oraz 100000 zª powi¦kszonejo odsetki:

100000 · 1.06 + 40000 = 1460000.

2. W chwili obecnej pan Kowalski nie mo»e (na ogóª) uwa»a¢ si¦ za posiadacza kwoty140000 zª. Gdyby chciaª za t¦ kwot¦ kupi¢ samochód, to nawet likwiduj¡c lokat¦musiaªby wzi¡¢ kredyt na pozostaª¡ kwot¦. W sytuacji, gdyby otrzymaª kredyt doko«ca roku musiaªby go spªaci¢ wraz z odsetkami, czyli w kwocie przekraczaj¡cej40000zª.

Powy»szy przykªad pokazuje, »e aby analizowa¢ warto±¢ kapitaªu potrzebne jest u»y-cie jakiego± mechanizmu rachunkowego przeliczaj¡cego jego warto±¢ na wskazan¡ chwil¦czasu. Oczywi±cie takim mechanizmem jest oprocentowania i dyskontowanie. Na ogóª doprzeliczania warto±ci kapitaªu w czasie u»ywa si¦ modelu zwi¡zanego z procentem (dys-kontem) skªadanym.

Niech R 3 t 7→ K (t) b¦dzie funkcj¡ modeluj¡c¡ warto±¢ kapitaªu w czasie (t oznaczaczas mierzony w latach). Przypu±¢my, »e znana jest jego warto±¢ K (t0) w chwili t0. Za-stosujemy model wykªadniczy oprocentowania czyli model kapitalizacji ci¡gªej. Zaªó»my,

34

Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie

»e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu ze stop¡ efektywn¡ r > 0. Wobec (4.8)mamy dla t ≥ t0

K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 ,

gdy» kapitaª podlega oprocentowaniu. Aby obliczy¢ warto±¢ kapitaªu dla t < t0 musimyzauwa»y¢, »e zgodnie z modelem wykªadniczym

K (t0) = K (t) (1 + r)t0−t ,

sk¡dK (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 .

Zatem, modelem zmiany warto±ci kapitaªu w czasie jest funkcja

K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 , t ∈ R. (5.1)

Oczywi±cie w przypadku, gdy kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu z kapitalizacj¡okresow¡ powy»szy funkcja uci¡gla dyskretne zmiany warto±ci kapitaªu. Wtedy warto±ciargumentu t powinny by¢ dyskretne, zwi¡zane z dªugo±ci¡ okresu kapitalizacji (pami¦taj-my, »e w ka»dym wypadku t wyra»a czas mierzony w latach). Za pomoc¡ rocznej stopynominalnej rc (speªniaj¡cej warunek (1 + r = erc) model (5.1) mo»e by¢ wyra»ony jako

K (t) = K (t0) erc(t−t0).

Zwró¢my te» uwag¦, »e we wzorze (5.1) wybór chwili t0 jest arbitralny � t0 mo»nazast¡pi¢ dowolnie inn¡ chwil¡ t1. Wtedy K (t1) = K (t0) (1 + r)t1−t0 oraz

K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0+t1−t1 = K (t0) (1 + r)t1−t0 (1 + r)t−t1 = K (t1) (1 + r)t−t1 .

Kolejn¡ istotn¡ cech¡ modelu (5.1) jest jego addytywno±¢. To znaczy, je±li kapitaª Kpodlegaj¡cy modelowi (5.1) jest sum¡ kapitaªów K1, . . . Km, tzn.

K (t) =m∑j=1

Kj (t) ,

to ka»dy z kapitaªów Kj zmienia sw¡ warto±¢ wedªug tego samego modelu tzn.

K (t) = K (t0) (1 + r)t−t0 = (1 + r)t−t0m∑j=1

Kj (t0) =m∑j=1

Kj (t0) (1 + r)t−t0 .

Przykªad 5.2. Przypu±¢my, »e koszt produkcji towaru A wytwarzanego przez �rm¦ Bprzypadaj¡cy na jednostk¦ czasu w chwili t wynosi c (t) (jest to tzw. strumie« kosztówprodukcji wyra»ony w jednostkach monetarnych dzielonych przez czas; mo»na t¦ wielko±¢uto»samia¢ z pr¦dko±ci¡ zmiany kosztów produkcji). Przypu±¢my, »e nie uwzgl¦dniamyzmiany warto±ci pieni¡dza w czasie. W tej sytuacji dla maªego przyrostu czasu ∆t o chwilit do chwili t + ∆t mo»na przyj¡¢, »e koszt produkcji nie zmienia si¦ w tym przedzialeczasowym i w konsekwencji wynosi c (t) ∆t. Post¦puj¡c jak przy konstrukcji caªki w sensieRiemanna dostajemy, »e caªkowity koszt produkcji w czasie od t0 = 0 do chwili t = Twynosi ∫ T

0

c (t) dt.



Taki sposób obliczenia kosztów caªkowitych nie uwzgl¦dnia realnej zmiany warto±ci pieni¡-dza. Nale»y najpierw zaktualizowa¢ poszczególne warto±ci kosztu na jeden wspólny momenti dopiero pó¹niej dokona¢ obliczenia kosztu caªkowitego. Przypu±¢my, »e dokonamy aktu-alizacji funkcji kosztu na chwil¦ ko«cow¡ t = T. Wtedy funkcja c b¦dzie odzwierciedlaªarealny koszt produkcji na chwil¦ t = T, a dla chwil t < T pieni¡dze wydawane na pokryciekosztów b¦d¡ miaªy w chwili T na ogóª realn¡ warto±¢ wi¦ksz¡ ni» ich ówczesna warto±¢nominalna. Zakªadaj¡c zmian¦ warto±ci kapitaªu zgodn¡ z modelem oprocentowania zestop¡ efektywn¡ r > 0 realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci

c (t) (1 + r)T−t .

Caªkowity koszt wynosi¢ wi¦c b¦dzie

C (T ) =

∫ T

0

c (t) (1 + r)T−t dt.

Odwrotnie, je±li szacujemy caªkowity koszt produkcji dla chwili t = 0, to kwota c (t) wy-dawana w chwilach bliskich T b¦dzie miaªa mniejsz¡ warto±¢ realn¡ od nominalnej, st¡drealny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci

c (t) (1 + r)−t ,

a caªkowity koszt

C (0) =

∫ T

0

c (t) (1 + r)−t dt.

Zwró¢my uwag¦, »e mo»emy równie» znaj¡c caªkowity zaktualizowany na chwil¦ t0 wyrazi¢,korzystaj¡c z modelu wykªadniczego przeliczy¢ go na dowoln¡ chwil¦ τ :

C (τ) = C (t0) (1 + r)τ−t0 .

Na przykªad znaj¡c koszt C (T ) =∫ T

0c (t) (1 + r)T−t dt mamy

C (0) = C (T ) (1 + r)−T = (1 + r)−T∫ T

0

c (t) (1 + r)T−t dt =

∫ T

0

c (t) (1 + r)−t dt.

W obu przypadkach dostajemy identyczny efekt ko«cowy.

5.2. Zasada równowa»no±ci kapitaªów.

Zasada równowa»no±ci kapitaªów jest jedn¡ z najwa»niejszych zasad matematyki �nanso-wej. Pozwala ona zbada¢, czy dwa modele zmienno±ci kapitaªu w czasie opisuj¡ zmianytego samego kapitaªu. Punktem wyj±cia do naszych rozwa»a« jest poni»sza

Zasada równowa»no±ci kapitaªów w momencie t. Kapitaªy K1 i K2 s¡ równo-wa»ne w chwili t, je±li ich warto±ci zaktualizowane na t¦ chwil¦ s¡ równe.

Wyprowadzimy teraz formalne warunki równowa»no±ci kapitaªów. Zakªadamy caªyczas, »e warto±¢ kapitaªu w czasie jest zgodna z modelem wykªadniczym (5.1) z ustalon¡roczn¡ stop¡ efektywn¡ r. Niech

K1 (t) = K1 (t1) (1 + r)t−t1 (5.2)



orazK2 (t) = K2 (t2) (1 + r)t−t2 , (5.3)

gdzie K1 (t1) , K2 (t2) > 0. Zgodnie z powy»sz¡ zasad¡ kapitaªy te b¦d¡ równowa»ne wchwili t, wtedy i tylko wtedy, gdy

K1 (t1) (1 + r)t−t1 = K2 (t2) (1 + r)t−t2 ,

sk¡d dziel¡c obie strony przez (1 + t)t−t2

K1 (t1) (1 + r)−t1 = K2 (t2) (1 + r)−t2 . (5.4)

Je±li rc oznacza roczn¡ stop¦ nominaln¡ oprocentowania ci¡gªego równowa»n¡ stopie r, towarunek równowa»no±ci ma posta¢

K1 (t1) e−rct1 = K2 (t2) e−rct2 . (5.5)

Wida¢, »e w obu wzorach (5.4) i (5.5) nie wyst¦puje chwila t, st¡d mamy

Wªasno±¢ 5.1. Kapitaªy K1 i K2 opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡ rów-nowa»ne w chwili t wtedy i tylko wtedy, gdy s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t′.

Wobec powy»szej wªasno±ci mo»emy mówi¢ o równowa»no±ci kapitaªów niezale»nieod czasu, czyli prowadzi¢ nasze dalsze rozwa»ania w oparciu o zasad¦ równowa»no±cisformuªowan¡ nast¦puj¡co:

Zasada równowa»no±ci kapitaªów. Kapitaªy K1 i K2, opisane modelem wykªadni-czym, s¡ równowa»ne je±li s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t.

Ze wzoru (5.4) wynika te» natychmiast

Wniosek 5.1. Dwa kapitaªy K1 i K2 opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy

K1(t1)K2(t2)

= (1 + r)t2−t1 . (5.6)

Ponadto, relacja równowa»no±ci kapitaªów jest relacj¡ przechodni¡.

Wszystkie powy»sze rozwa»ania zostaªy przeprowadzone przy danej z góry stopie pro-centowej r. Zauwa»my, »e je»eli kapitaªy K1 i K2 s¡ równowa»ne przy stopie r, to dladowolnej innej stopy r′ równowa»no±¢ kapitaªów oznaczaªaby na mocy poprzedniej wªa-sno±ci, »e

(1 + r)t2−t1 = (1 + r′)t2−t1 ,

sk¡dt2 = t1.

Czyli równowa»no±¢ przy nowej stopie byªaby mo»liwa, gdyby zmiana stopy nast¡piªa dlaobu kapitaªów w tym samym momencie, w pozostaªych przypadkach kapitaªy nie b¦d¡równowa»ne.

Rozwa»aj¡c model wykªadniczy kapitaªu w czasie mo»na równie» postawi¢ nast¦puj¡cyproblem. Zaªó»my, »e mamy dane dwa kapitaªy K1 i K2, których warto±ci K1 (t1) i K2 (t2)



w chwilach t1 i t2 s¡ dane. Przy jakiej stopie r kapitaªy te s¡ równowa»ne? Ze wzoru (5.6)dostajemy natychmiast, »e stopa ta speªnia warunek

r =(K1(t1)K2(t2)

) 1t2−t1 − 1.

Na zako«czenie rozwa»my jeszcze przypadek, w którym dane s¡ dwa ci¡gi kapitaªów Mj,j = 1, 2, ...,m oraz Nj, j = 1, 2, ..., n. Powiemy, »e powy»sze ci¡gi s¡ równowa»nymici¡gami kapitaªów, je±li kapitaªy K1 oraz K2 postaci

K1 (t) =m∑j=1

Mj (t)

oraz

K2 (t) =n∑j=1

Nj (t)

s¡ równowa»ne.


Cz¦±¢ II

Modele matematyczne.

39

Rozdziaª 6

Pochodna funkcji w ekonomii

Przyjmijmy oznaczenie R+ := [0,∞) .

6.1. Funkcja kra«cowa

Niech funkcja C : R+ → R+ opisuje koszt produkcji pewnego towaru w zale»no±ci od liczbywyprodukowanych jednostek. Dla x ∈ R+ wielko±¢ C (x) oznacza wi¦c koszt wyproduko-wania x jednostek towaru. Funkcj¦ C b¦dziemy nazywa¢ funkcj¡ kosztu caªkowitego.Dalej, dla x > 0 wielko±¢

c (x) :=C (x)

x

oznacza koszt jednostkowy wyprodukowania x jednostek towaru, tzn. koszt, jaki przypadana produkcj¦ jednej jednostki towaru przy poziomie produkcji x jednostek. Funkcj¦ c :(0,∞)→ R+ nazywamy funkcj¡ kosztu przeci¦tnego.

Niech x0 ∈ R+, ∆x > 0 wtedy iloraz ró»nicowy

C (x0 + ∆x)− C (x0)

∆x

oznacza przeci¦tny koszt wyprodukowania dodatkowych ∆x jednostek towaru przy pozio-mie produkcji x0. Granic¦

C ′ (x0) := lim∆x→0

C (x0 + ∆x)− C (x0)

∆x,

o ile istnieje, nazywamy kosztem kra«cowym (marginalnym) produkcji przy pozio-mie produkcji x0. Zakªadaj¡c ró»niczkowalno±¢ funkcji C funkcj¦ C ′ nazywamy funkcj¡kosztu kra«cowego. Mamy te», »e dla maªych ∆x

C (x0 + ∆x)− C (x0) ≈ C ′ (x0) ∆x,

co, uznaj¡c ∆x = 1 za wielko±¢ maª¡, daje przybli»on¡ informacj¦, »e je±li zwi¦kszymyprodukcj¦ z poziomu x0 jednostek o jedn¡ jednostk¦, to koszt produkcji zwi¦kszy si¦ oC ′ (x0) .

Wielko±¢ produkcji x0 dla której koszt przeci¦tny c(x) wyprodukowania jednostki da-nego dobra przez przedsi¦biorstwo osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ nazywamy optimum tech-nologicznym.

40

Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii

Przykªad 6.1. Koszt wytworzenia x jednostek produkcji dla x ≥ 0 okre±lony jest funkcj¡C(x) = x3 − 60x2 + 1528x. Funkcja kosztów kra«cowych, a wi¦c pochodna funkcji C maposta¢

C ′(x) = 3x2 − 120x+ 1528.

Dla produkcji wynosz¡cej x = 5, koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie

C (6)− C (5) = 7224− 6265 = 959,

a koszt kra«cowy ma warto±¢ C ′(5) = 1003 jednostki, zatem skorzystanie z interpretacjikosztu kra«cowego daj¦ mocno przybli»ony wynik.

Je»eli x = 100, to koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie

C (101)− C (100) = 572 569− 552 800 = 19 769,

a koszt kra«cowy ma warto±¢ C ′(100) = 19 528 jednostek. Widzimy wi¦c, »e nawet stosu-j¡c przybli»on¡ za pomoc¡ funkcji kosztu kra«cowego warto±¢ wyprodukowania dodatkowejjednostki towaru mo»emy wyci¡gn¡¢ wniosek, »e zwi¦kszanie produkcji opªaca si¦ bardziejprzy produkcji na poziomie x = 5 jednostek ni» na poziomie x = 100 jednostek.

Nast¦pnie koszt przeci¦tny okre±la funkcja postaci

c(x) =C(x)

x= x2 − 60x+ 1528.

Mamy wi¦c, »e minimalna warto±¢ funkcji c jest osi¡gni¦ta dla x = 30. Zatem wielko±¢produkcji x = 30 stanowi optimum technologiczne. Zauwa»my te», »e

c(30) = 628 = C ′(30)

Wªasno±¢ 6.1. Niech x0 b¦dzie optimum technologicznym, wówczas

c(x0) = C ′(x0).

Dowód. Niech x0 b¦dzie wielko±ci¡ produkcji. Skoro x0 jest optimum technologicznym,to

c′(x0) = 0⇔(C(x)

x

)′x=x0

= 0,

st¡dC ′(x0)x0 − C(x0)

x20

= 0,

czyliC(x0)

x0

= C ′(x0),

zatemc(x0) = C ′(x0).

Ostatnia równo±¢ oznacza, »e krzywa kosztów kra«cowych przecina si¦ z krzyw¡ kosztówprzeci¦tnych w punkcie oznaczaj¡cym jej minimum.

Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi sprzeda» towaru. Niech x ≥ 0 oznacza ilo±¢ jed-nostek towaru sprzedawanych przez ten zakªad. oznaczmy przez U(x) utarg caªkowity ,



czyli przychód ze sprzeda»y x jednostek towaru. Funkcja U : R+ → R+ jest, wi¦c funk-cj¡ utargu caªkowitego czyli funkcj¦ opisuj¡c¡ kwot¦, jak¡ przedsi¦biorstwo otrzymaza sprzeda» x jednostek towaru. Zakªadaj¡c, »e U jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ szybko±¢zmian utargu zakªadu przy sprzeda»y x jednostek wynosi:

U ′(x) = lim∆t→0

∆U

∆x.

Tak jak w przypadku kosztu U ′ nazywana jest funkcj¡ utargu kra«cowego. Zatem utargkra«cowy U ′ jest równy wzrostowi sprzeda»y je±li zwi¦kszymy j¡ o dodatkow¡ jednostk¦towaru.

Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi produkcj¦ i sprzeda» produktu. Niech Z(x) ozna-cza zysk caªkowity przedsi¦biorstwa przy produkcji i sprzeda»y x jednostek towaru.Funkcj¦ Z : R+ → R+ nazywamy funkcj¡ zysku caªkowitego. Oczywi±cie

Z(x) = U(x)− C(x) dla x ≥ 0,

gdzie U(x) oznacza utarg, a C(x) koszt caªkowity produkcji x jednostek danego produktu.St¡d dostajemy natychmiast

Wªasno±¢ 6.2. Je±li x0 jest wielko±ci¡ produkcji dla której przedsi¦biorstwo osi¡ga zyskmaksymalny, to C ′(x0) = U ′(x0), czyli koszt kra«cowy dla produkcji o wielko±ci x0 jestrówny utargowi kra«cowemu dla x0.

Przykªad 6.2. Cena zbytu wyrobu jest równa p(x) = 40 − 0.03x, gdzie x oznacza liczb¦jednostek wyrobu. Koszt caªkowity x jednostek wyrobu w pewnym zakªadzie dany jest wzo-rem C(x) = 0.01x2 + 20x + 225. Dla jakiej wielko±ci produkcji zysk na jednostk¦ wyrobujest najwi¦kszy?

Mamy

C ′ (x) = 0.02x+ 20,

Z (x) = (xp (x)− C (x)) = 20x− 0.04x2 − 225,

Z ′ (x) = −0.08x+ 20.

Niech x0 b¦dzie wielko±ci¡ produkcji odpowiadaj¡c¡ zyskowi maksymalnemu, wtedy

U ′(x0) = C ′(x0),

sk¡d x0 = 250.

6.2. Elastyczno±¢ funkcji

Niech f : (a, b) → R, ((a, b) ⊂ R+), x0 ∈ (a, b) oraz niech ∆x b¦dzie takim przyrostem,»e (x0 + ∆x) ∈ (a, b).

Przyrostem wzgl¦dnym warto±ci funkcji f dla argumentu x0 i przyrostu ∆xnazywamy liczb¦

∆y

y:=

f(x0 + ∆x)− f(x0)

f(x0),



o ile f(x0) 6= 0. Liczb¦∆x

x0

nazywamy przyrostem wzgl¦dnym argumentu dla argumentu x0.

Elastyczno±ci¡ przeci¦tn¡ funkcji f w przedziale 〈x0, x0+∆x〉 nazywamy stosunekwzgl¦dnego przyrostu funkcji do wzgl¦dnego przyrostu argumentu

f(x0 + ∆x)− f(x0)

f(x0)· x0

∆x(6.1)

i oznaczamy symbolem Ex0,∆xf .

Elastyczno±ci¡ funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic¦ (o ile istnieje)

lim∆x→0

Ex0,∆xf

i oznaczamy Ex0f .

Uwaga 6.1. Je±li ∆x = 0.01x0 = 1% · x0, to

Ex0f ≈ Ex0,∆xf =f(x0 + ∆x)− f(x0)

f(x0)· 100%.

Elastyczno±¢ Ex0f jest wi¦c (w przybli»eniu) miar¡ przeci¦tnego procentowego przyrostuwarto±ci funkcji f , odpowiadaj¡cego przyrostowi warto±ci argumentu x o 1%.

Mamy nast¦puj¡c¡

Wªasno±¢ 6.3. Je»eli f(x0) 6= 0, to

Ex0f = f ′(x0)x0

f(x0). (6.2)

Dowód. Mamy, »e

lim∆x→0

Ex0,∆xf = lim∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x· x0

f(x0)= f ′(x0)

x0

f(x0).

Wªasno±¢ 6.4. Je»eli argument x funkcji f wzrasta o p% od pewnej warto±ci pocz¡tkowejx0, to warto±¢ funkcji zmienia si¦ o q%, gdzie

q ≈ pEx0f.

Dowód. Niech x0 b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡. Przypu±¢my, »e argument x wzrósª o p%,co wywoªaªo zmian¦ warto±ci funkcji o q% (licz¡c od f(x0)), wtedy

f(x0 +p

100x0)− f(x0) =

q

100f(x0). (6.3)

Mamy, »ef (x0 + ∆x)− f (x0) ≈ f ′ (x0) ∆x,



sk¡d

Ex0f =x0

f (x0)f ′ (x0) ≈ x0

f (x0)

f (x0 + ∆x)− f (x0)

∆x

Przyjmuj¡c ∆x = p100x0 otrzymujemy z (6.3), »e

Ex0f ≈x0

f(x0)

q100· f(x0)p

100x0

=q

p,

zatemq ≈ pEx0f.

Przykªad 6.3. Obliczymy elastyczno±¢ funkcji

f(x) =2x

x+ 8, x > 0

w punkcie x0 = 2.

Poniewa» f ′(x) = 16(x+8)2

, zatem

Ex0f =1

2(x+ 8)

16

(x+ 8)2=

8

x+ 8.

Dla x0 = 2 mamy wi¦c, »e E2f = 0.8. Oznacza to, »e je±li argument x0 = 2 wzro±nie o1%, to warto±¢ funkcji f wzro±nie o okoªo 0.8%.

Porównamy ten wynik z wynikiem dokªadnym:

f(x0 + 0.01x0) = f(2 + 0.02) = f(2.02) =2 · 2.02

2.02 + 8=

4.04

10.02=

202

501oraz

f(x0) = f(2) =4

10= 0.4.

Sk¡d

f(x0 + 0.01x0)

f(x0)· 100% =

202501

0.4· 100% =

202

501· 10

4· 100% =

505

501· 100% ≈ 100.798 403 2,

czyli wzrost nast¡piª o 0.798 403 2%.

Widzimy wi¦c, »e stosuj¡c wzór na elastyczno±¢ funkcji w punkcie rozwi¡zanie jestznacznie krótsze.

Uwaga 6.2. Wªasno±¢ 6.4 podaje przybli»ony wzrost procentowy funkcji f. Zauwa»myjednak, »e warto±¢ pEx0f jest dokªadnie równa procentowi o jaki wzrosªa warto±¢ funkcjiprzy wzro±cie argumentu o p%, je±li funkcja jest liniowa. Wynika to bezpo±rednio z faktu,»e dla funkcji liniowej f zachodzi wzór

f (x0 + ∆x)− f (x0) = f ′ (x0) ∆x.

Innymi sªowy, dla funkcji liniowej elastyczno±¢ przeci¦tna i elastyczno±¢ s¡ równe. Po-wy»szy wniosek pozostaje prawdziwy, je±li przyrost ∆x jest na tyle maªy, »e funkcja f naprzedziale (x0, x0 + ∆x) jest liniowa (lub mo»e by¢ tak traktowana).



STYCZNA

STYCZNA

X0X0

f(x)0

f(x)0

kk

f(x)

f(x)

Rysunek 6.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x0.

6.2.1. Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punk-

cie x0.

Zgodnie z geometryczn¡ interpretacj¡ pochodnej funkcji f w punkcie x0 warto±¢ f′(x0) jest

wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji f w punkcie(x0, f(x0)). Niech x1 oznacza miejsce zerowe tej stycznej oraz niech k := x0−x1. Wówczas

f ′(x0) = f(x0)k

. St¡d

Ex0f(x0) =x0

f(x0)f ′(x0) =

x0

f(x0)

f(x0)

k=x0

k.

Analizuj¡c funkcj¦ przedstawion¡ na rysunku 6.1 z lewej strony widzimy, »e elastycz-no±¢ funkcji w punkcie x0 jest wi¦ksza od 1, czyli Ex0f(x0) = x0

k> 1, gdy» x0 > k, za±

funkcja z prawej strony ma elastyczno±¢ w punkcie x0 mniejsz¡ od 1, czyli Ex0f(x0) =x0k< 1, gdy» x0 < k.

6.2.2. Elastyczno±¢ funkcji kosztów.

Niech C : R+ → R+ oznacza funkcj¦ kosztu caªkowitego (C(x) oznacza koszt caªkowitywytworzenia x jednostek produktu). Zaªó»my, »e C jest ró»niczkowalna. Wówczas zgodnieze wzorem (6.2) elastyczno±¢ kosztu (przy zaªo»eniu, »e C(x) > 0) wynosi

ExC =x

C(x)C ′(x).

Je±li wi¦c c oznacza funkcj¦ kosztu przeci¦tnego, to

ExC =C ′(x)

c(x).



Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest wi¦c równa stosunkowi (ilorazowi) kosztu caªkowitegodo kosztu przeci¦tnego.

Dla kosztu przeci¦tnego c mamy

Exc =x

c(x)c′(x). (6.4)

Mamy

Wªasno±¢ 6.5. Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest o jeden wi¦ksza od elastyczno±cikosztu przeci¦tnego

Exc+ 1 = ExC.

Dowód.

Exc =x

c(x)c′(x) =

xC(x)x

·(C(x)

x

)′=

x2

C(x)· xC

′(x)− C(x)

x2=

x

C(x)C ′(x)− 1 = ExC − 1.

6.2.3. Elastyczno±¢ funkcji popytu.

Zajmiemy si¦ teraz rozwa»aniem dotycz¡cym zmian popytu. W ekonomii popyt okre±lailo±¢ dobra (usªugi), jak¡ nabywcy s¡ gotowi zakupi¢ (naby¢) przy ró»nej wysoko±ci ce-ny w danym czasie przy zaªo»eniu, »e inne czynniki maj¡ce wpªyw na popyt pozostaj¡niezmienne.

Zmiana popytu zachodzi pod wpªywem licznych czynników takich jak: wysoko±¢ ceny,dochód, liczba nabywców, zmiana cen innych dóbr, reklama i preferencje nabywców. Do-kªadniej omówimy dwa z tych czynników: zmian¦ wielko±ci cen dóbr i wysoko±ci dochodukonsumenta.

Cz¦sto aby zilustrowa¢ popyt rozwa»a si¦ tak zwan¡ krzyw¡ popytu. Jest to zale»-no±¢ mi¦dzy ilo±ci¡ danego towaru, jaki mo»e by¢ wchªoni¦ty przez rynek, a czynnikiemksztaªtuj¡cym popyt np. cen¡ towaru na rynku. Naturalne jest, »e je±li cena danego do-bra ro±nie, to wyst¦puje spadek wielko±ci popytu i odwrotnie gdy cena maleje wówczasnast¦puje zwi¦kszenie wielko±ci popytu jest, to tak zwane prawo popytu.

Ilość

Cena

p

p

1

2

q

2

1

q

xx 21

Rysunek 6.2 Krzywa popytu.



Cenowa elastyczno±¢ popytu

Zaªó»my, »e zmiana popytu jest wyra»ona za pomoc¡ funkcji ilo±ci towaru q, jaki mo-»e zosta¢ wchªoni¦ty przez rynek a jego cen¡ jednostkow¡ p. Wra»liwo±¢ zmian popytuna zmian¦ cen dóbr mierzy si¦ przy pomocy elastyczno±ci funkcji q (p) zwanej cenow¡elastyczno±ci¡ popytu. Jej warto±¢ (dla konkretnej warto±ci ceny) nazywa si¦ wspóª-czynnikiem elastyczno±ci cenowej popytu.

Dokonuj¡c linearyzacji funkcji q (p), czyli zakªadaj¡c, »e zmiana funkcji q ma, przy-najmniej lokalnie charakter liniowy, mamy, »e elastyczno±¢ cenowa popytu to stosunekwzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do wzgl¦dnej (procentowej), (maªej), zmiany ce-ny. Je±li ustalimy argument p, to przy takim zaªo»eniu wspóªczynnik elastyczno±ci εc (de-�niowany jako warto±¢ elastyczno±ci w punkcie p) okre±la (w przybli»eniu � tak dobrym,jak zaªo»enie liniowo±ci funkcji w otoczeniu punktu p jest realne), o ile procent zmieni(zmniejszy lub zwi¦kszy) si¦ popyt na dane dobro w przypadku gdy jego cena zmieni si¦(wzro±nie lub spadnie) o 1%.

Przykªad 6.4. Zaªó»my, »e p jest cen¡ towaru za± q oznacza popyt na dany towar (ilo±¢towaru, jaka mo»e by¢ wchªoni¦ta przez rynek). Niech cena pocz¡tkowa towaru wynosip0 = 30 jednostek pieni¦»nych, nast¦pne cena ta zostaªa zwi¦kszona o ∆p = 6 jednostkipieni¦»ne. Wzgl¦dna zmiana ceny, wi¦c wynosi

∆p

p=

6

30= 20%

Nast¦pnie zaªó»my, »e cenie p0 = 30 odpowiada popyt q = 200 jednostek towaru, a ceniezwi¦kszonej o 6 jednostek od pozycji wyj±ciowej, czyli p + ∆p = 36 odpowiada popyt q +∆q = 190 jednostek towaru, st¡d mamy ∆q = −10, zatem wzgl¦dna zmiana popytu wynosi

∆q

q=−10

200= −5%.

Zaªó»my, »e popyt jest funkcj¡ liniow¡ (przynajmniej w otoczeniu p0). Elastyczno±¢ cenowapopytu w naszym przypadku b¦dzie równa

∆q

q:

∆p

p= −1

4.

Widzimy wi¦c, »e w naszym przypadku wzrost (b¡d¹ spadek) ceny p o 1% spowoduje zmniej-szenie (b¡d¹ zwi¦kszenie) popytu o 0.25%.

Bezwzgl¦dny wspóªczynnik cenowej elastyczno±ci popytu |εc| mo»e przyjmowa¢ war-to±ci z przedziaªu (0;∞) dlatego przyj¦to konwencje wedªug której okre±lamy czy funkcjapopytu jest elastyczna w pewnym punkcie. A zatem gdy:

• |εc| = 0 oznacza, »e zmiany ceny jakie wyst¡piªy nie spowodowaªy zmiany popytu.Popyt jest wówczas doskonale nieelastyczny (sztywny).

• |εc| < 1 wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest wi¦ksza ni» wzgl¦dna zmiana popytu,czyli je±li wzrostowi ceny o 1% odpowiada zmiana warto±ci popytu mniejsza ni» 1%.W tym przypadku mówimy, »e popyt jest nieelastyczny .



• |εc| = 1 wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest równa wzgl¦dnej zmianie popytu, czylije±li cena wzro±nie np. o 1% to popyt zmieni sam¡ warto±¢ o 1% tak¡ elastyczno±¢nazywamy elastyczno±ci¡ wzorcow¡ a popyt o tej wªasno±ci popytem neutralnym.

• |εc| > 1 wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest mniejsza od wzgl¦dnej zmiany popytu,czyli wzrost ceny o 1% spowoduje zmian¦ wielko±ci popytu o warto±¢ wi¦ksza odwzrostu ceny - wi¦ksz¡ ni» 1%. Mówimy wi¦c, »e popyt jest elastyczny (silnieelastyczny).

• |εc| → ∞ wówczas mówimy, »e popyt jest doskonale elastyczny .

W przypadku gdy εc < 0 wówczas jest to tzw. paradoks cenowy, czyli wzrost cenypowoduje wzrost wielko±ci popytu, a spadek ceny powoduje spadek wielko±ci popytu.

Wracaj¡c do przykªadu 6.4 otrzymali±my ∆qq

: ∆pp

= −14, a wi¦c zmiana ceny jaka

wyst¡piªa jest wi¦ksza od zmiany warto±ci popytu, czyli |εc| < 1, wi¦c popyt jest nieela-styczny.

Znajomo±¢ elastyczno±ci cenowej popytu ma du»e znaczenie ekonomiczne dla przedsi¦-biorcy poniewa» pozwala przewidzie¢ reakcj¦ jaka wyst¡pi na rynku w przypadku zmiancen towarów, czyli w jakim stopniu zmiany cen wpªyn¡ na popyt.

Przykªad 6.5. Znaj¡c warto±¢ elastyczno±ci cenowej popytu wiemy jak powinni±my zmie-ni¢ wysoko±¢ opªat za przejazd autobusem, aby nast¡piª wzrost przychodów MPK za ko-rzystanie z transportu publicznego. W przypadku gdy popyt na przejazdy jest elastyczny wstosunku do ceny, wówczas podwy»ka opªat za bilety zmniejszy przychody MPK. Obni»a-j¡c wysoko±¢ opªaty za przejazdy, spowoduje zwi¦kszenie liczby ch¦tnych korzystaj¡cych zusªug transportu autobusowego a przy tym podniesie wpªywy MPK. Gdyby jednak popyt naprzejazdy autobusem byª nieelastyczny, nale»aªoby wprowadzi¢ podwy»k¦ cen biletów.

Dochodowa elastyczno±¢ popytu

Kolejnym wa»nym czynnikiem wpªywaj¡cym na zmian¦ popytu jest wielko±¢ dochodukonsumenta. Rozwa»amy wi¦c zale»no±¢ w (d) ilo±ci towaru w, jaki mo»e wchªon¡¢ rynekw zale»no±ci od dochodu konsumenta d. Wówczas mo»emy mówi¢ o dochodowej ela-styczno±ci popytu. Rozumuj¡c jak poprzednio wprowadzamy (dla ustalonego dochodud przy zaªo»eniu lokalnej liniowo±ci funkcji w) miernik sªu»¡cy do oceny wpªywu zmianydochodu konsumenta na popyt, czyli stosunek wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu dowzgl¦dnej (procentowej) zmiany dochodu

εd =∆w

w:

∆d

d. (6.5)

Wtedy εd jest równy warto±ci elastyczno±ci funkcji w w punkcie d i mierzy siª¦ reakcj¦popytu na zmian¦ dochodu konsumenta, czyli o ile procent wzro±nie popyt gdy dochódkonsumenta wzro±nie o 1%. Podobnie jak dla elastyczno±ci cenowej popytu wyró»nia-my takie same rodzaje popytu: elastyczny, doskonale elastyczny, neutralny, nieelastyczny.Zwró¢my te» uwag¦, »e wyst¦puje równie» zjawisko, które polega na spadku popytu naniektóre towary mimo wzrostu dochodu gdy |εd| < 0 (np. zast¡pienie dotychczas nabywa-nego produktu takim samym tylko w wy»szej jako±ci).



Na podstawie przyjmowanych warto±ci wska¹nika dochodowej elastyczno±ci popytumo»emy dokona¢ rozró»nienia nast¦puj¡cych dóbr:

• je±li εd < 0, to mamy do czynienia z popytem na tzw. dobra ni»szego rz¦du(podrz¦dne). S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w < 0) wraz ze wzrostemdochodu konsumentów (∆d > 0) i odwrotnie, popyt na nie ro±nie (∆w > 0), gdydochody spadaj¡ (∆d < 0). Przykªadem mo»e tu by¢ u»ywana niskogatunkowaodzie».

• je±li εd > 0, to mamy do czynienia z popytem na tzw. dobra normalne (zwykªe).S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w < 0) wraz ze spadkiem dochodu konsu-mentów (∆ < 0) oraz ro±nie (∆w > 0), gdy dochody rosn¡ (∆d > 0). Rozró»niamydobra normalne dwojakiego rodzaju

� dobra podstawowe (niezb¦dne) � charakteryzuje je wspóªczynnik εd ∈ [0, 1],s¡ to dobra pierwszej potrzeby np. chleb,

� dobra luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), dla których εd > 1 � s¡ toprzewa»nie towary wysokiej jako±ci.

Wykorzystanie dochodowej elastyczno±ci popytu odgrywa istotn¡ role w ekonomii, jestniezb¦dne do prognozowania zmian w strukturze popytu konsumpcyjnego, zachodz¡cychpod wpªywem wzrostu zamo»no±ci konsumentów jak i wzrostu gospodarczego (czyli wzwi¦kszeniu rocznej produkcji dóbr i usªug).

Informacje które dotycz¡ce zmian ilo±ci asortymentu produkcji wskazuje wªa±nie war-to±¢ wska¹nika elastyczno±ci dochodowej popytu. W przypadku gdy nast¦puje wzrostdochodów konsumentów wówczas producent w celu osi¡gni¦cia najwy»szych wpªywów zesprzeda»y dóbr, mo»e zwi¦kszy¢ swoj¡ produkcje dóbr normalnych lub te» zast¡pi¢ dobrapodrz¦dne innymi, posiadaj¡cymi wy»szy standard lub takimi które b¦d¡ atrakcyjniejszedla klientów itp. Je±li za± dochód konsumentów maleje wówczas producent powinien obni-»y¢ produkcje dóbr normalnych a zwi¦kszy¢ produkcj¦ dóbr podrz¦dnych, w szczególno±citych wy»szego rz¦du (tzw. luksusowych).

6.3. Funkcje Törnquista

Szwedzki ekonomista Törnquist badaª zale»no±¢ pomi¦dzy wydatkami na zakup dóbr awielko±ci¡ dochodów konsumentów. Zaproponowaª on wymierny model krzywej popytujako funkcji dochodu konsumentów. Rozró»nia si¦ trzy rodzaje funkcji Törnquista:

• dla dóbr podstawowych:

T1(x) = a · x

x+ b, gdzie x > 0 oraz a, b > 0;

• dla dóbr wy»szego rz¦du:

T2(x) = a · x− cx+ b

, gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0;



• dla dóbr luksusowych:

T3(x) = a · x · x− cx+ b

, gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0

gdzie x oznacza dochód, za± parametry a, b, c s¡ pewnymi staªymi (przy czym parametryte dla ka»dej funkcji mog¡ by¢ ró»ne).

Przedstawimy teraz wykresy ka»dej z powy»szych funkcji oraz omówmy ich interpre-tacj¦ ekonomiczn¡.

1. Funkcja Törnquista dla dóbr pierwszej potrzeby (podstawowych):

T1(x) = a · x

x+ b,

gdzie x > 0 oraz a, b > 0. Wykres funkcji T1 jest postaci:

0

a

X

f ( )1x

Rysunek 6.3 Wykres funkcji dla dóbr podstawowych.

Widzimy, »e dobra pierwszej potrzeby nabywane s¡ ju» przy najni»szych dochodach.Wydatki konsumentów s¡ rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów, czyli zwi¦kszaj¡ si¦ wraz zewzrostem wielko±ci dochodów. Jednak wzrost ten mimo wzrostu dochodu jest corazwolniejszy. Zauwa»my, »e

limx→∞

a · x

x+ b= a,

a wi¦c krzywa T1 ma asymptot¦ poziom¡ y = a, oznacza to »e istnieje poziomnasycenia, czyli cho¢by dochód rósª nieograniczenie, to wydatki nie przekrocz¡ tegopoziomu.

Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:

Ex0T1 = x0 ·x0 + b

ax0

· ab

(x0 + b)2=

b

x0 + b.

Obliczaj¡c granice Ex0T1 w niesko«czono±ci mamy

limx→∞

b

x0 + b= 0. (6.6)



0 X

E

1

x0f1( )

Rysunek 6.4 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr podstawowych.

Z wykresów 6.4 oraz 6.6 wida¢, »e gdy dochód konsumenta ro±nie, to warto±¢ ela-styczno±ci maleje do zera. Popyt dochodowy funkcji T1 jest, wi¦c nieelastyczny, po-niewa» elastyczno±¢ jest zawsze mniejsza od 1, Ex0T1 < 1 dla ka»dego x0 > 0 gdy»b > 0. Oznacza to, »e wzrost dochodów o 1% powoduje wzrost wydatków (popytu)na okre±lone dobro o warto±¢ mniejsz¡ ni» 1%. Przy odpowiednio du»ych docho-dach wzrost konsumpcji na okre±lone dobro zanika, czyli konsumenci posiadaj¡cywy»sze dochody w znacznie wi¦kszym stopniu maj¡ zaspokajaj¡ dobra podstawoweni» konsumenci o ni»szych dochodach, u których reakcja na wzrost dochodów jestznacznie silniejsza.

2. Funkcja Törnquista dla dóbr wy»szego rz¦du :

T2(x) = a · x− cx+ b

,

gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0. Wykres funkcji f2(x) jest postaci:

0

a

X

f ( )x2

c

Rysunek 6.5 Wykres funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.

Wykres funkcji przedstawiony na rysunku 6.5 podobnie jak w poprzednim przy-padku (rysunek 6.3) jest rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów wzgl¦dem wydatków na dobrawy»szego rz¦du. Funkcji jest okre±lona dla x > c co oznacza, »e wydatki na dobrawy»szego rz¦du wyst¦puj¡ je±li zostan¡ zaspokojone potrzeby na dobra podstawowe.Zauwa»my, »e

limx→∞

a · x− cx+ b

= a.

Zatem podobnie jak w przypadku funkcji T1 przy coraz wi¦kszych dochodach popytzmienia si¦ nieznacznie (stabilizuje si¦) w stosunku do wydatków, nie przekraczaj¡cpoziomu nasycenia.




Ex0T2 = x0 ·b+ c

(x0 − c)(x0 + b), x0 > c.

0 X

Ex0f2( )

c

Rysunek 6.6 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.

Elastyczno±¢ funkcji T2 (rysunek (6.6)) jest funkcj¡ malej¡c¡. Mamy, te», »e

limx→∞

x0 ·b+ c

(x0 − c)(x0 + b)= 0,

a wi¦c wraz ze wzrostem dochodów konsumenta elastyczno±¢ funkcji T2 maleje do ze-ra. Zatem procentowy wzrost dochodów powoduje coraz mniejszy procentowy wzrostwydatków (popytu) na dane dobro wy»szego rz¦du. Mo»emy te» zauwa»y¢, »e przydo±¢ du»ych dochodach wzrost konsumpcji na dane dobro zanika.

3. Funkcja Törnquista dla dóbr luksusowych :

T3(x) = a · x · x− cx+ b

,

gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0. Wykres funkcji jest postaci:

0 X

f ( )x

c

3

b+c

Rysunek 6.7 Wykres funkcji dla dóbr luksusowych.

Dobra luksusowe podobnie jak dobra wy»szego rz¦du nabywane s¡ po osi¡gni¦ciuodpowiednio wysokiego poziomu dochodu, który pozwoliª zaspokoi¢ potrzeby dóbrni»szych rz¦dów. Widzimy, »e

T ′3(x) =a · (x2 + 2bx− bc)

(x+ b)2> 0,



a wi¦c funkcja T3 jest rosn¡ca w caªej swojej dziedzinie (rysunek 6.7). Zauwa»myrównie», »e w przeciwie«stwie do poprzednich funkcji T1 i T2 powy»sza funkcja jestnieograniczona. Oznacza to, »e wydatki konsumentów na dobra luksusowe rosn¡wraz ze wzrostem dochodów (coraz szybciej) nieograniczenie, czyli wzrost wydatkówstaje si¦ wprost proporcjonalny do wielko±ci dochodu konsumenta.


Ex0T3 =x0(x0 + b)

ax0(x0 − c)· a(x2

0 + 2bx0 − bc)(x0 + b)2

=x2

0 + 2bx0 − bc(x0 − c)(x− 0 + b)

.

0 X

Ex0f3( )

c

1

Rysunek 6.8 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr luksusowych.

Z powy»szego wykresu (rysunek 6.8) wida¢, »e elastyczno±¢ funkcji T3 jest funkcj¡malej¡c¡, przyjmuj¡c¡ warto±ci wi¦ksze od 1 ((Ex0f3) > 1 dla x0 > c), a wi¦c popytdla dóbr luksusowych jest zawsze elastyczny. Obliczaj¡c granic¦ Ex0T3 otrzymujemy

limx→∞

x20 + 2bx0 − bc

(x0 − c)(x− 0 + b)= 1

co oznacza, »e dopiero dla odpowiednio du»ego dochodu konsumenta elastyczno±¢ T3

ma warto±¢ blisk¡ a nawet równ¡ 1. Zatem dla dóbr luksusowych procentowy wzrostdochodów konsumentów o 1% powoduje, wzrost wydatków (popytu) o wi¦cej ni» 1%na dane dobro.

6.3.1. Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnqu-

ista.

Rozwa»my funkcje Törnquista postaci

T1(x) = a1 ·x

x+ b1

, gdzie x > 0 oraz a1, b1 > 0;

T2(x) = a2 ·x− c2

x+ b2

, gdzie x ≥ c2 oraz a2, b2, c2 > 0;

T3(x) = a3 · x ·x− c3

x+ b3

, gdzie x ≥ c3 oraz a3, b3, c3 > 0.

Przedstawmy na jednym wykresie wszystkie funkcje (krzywe) Törnquista.



0

a

X

T( )x

a

b+c

1

2

cc1 2

T TT 21 3

Rysunek 6.9 Krzywe T1, T2, T3.

Parametry ci gdzie (i = 1, 2, 3) s¡ wyznacznikami hierarchii pilno±ci potrzeb, za±ai gdzie (i = 1, 2, 3) okre±laj¡ poziom ich nasycenia.

Analizuj¡c wykresy funkcji T1, T2, T3 przedstawione na wykresie (rysunek 6.9) widzimy,»e przy niskim poziomie dochodów zaspokajane s¡ dobra pierwszej potrzeby, to na nieprzeznaczona jest wi¦ksza ilo±¢ wydatków. Jednak wraz ze wzrostem dochodów popyt nadobra podstawowe jest wolniejszy, zmiany te nast¦puj¡ a» do poziomu a1 tzw. poziomunasycenia.

W przypadku gdy dochód ulegª zwi¦kszeniu na tyle, »e dobra podstawowe zostaªyzaspokojone wówczas dochód przeznaczany jest na wydatki dóbr wy»szego rz¦du. Zatemwydatki te wyst¦puj¡ dla x > c1 gdzie c1 jest warto±ci¡ od której wyst¦puje wzrost popytuna dobra wy»szych rz¦dów. Zmiany wielko±ci tych wydatków d¡»¡ do poziomu nasyceniaa2 i ich wzrost jest coraz wolniejszy.

Gdy dochód konsumentów jest na tyle wysoki, »e zapewnione s¡ potrzeby na dobrani»szych rz¦dów wówczas mamy do czynienia z wydatkami na dobra luksusowe, czylix > c2 gdzie c2 jest warto±ci¡ od której zaczyna si¦ popyt na dobra luksusowe. W przeci-wie«stwie do wydatków na dobra ni»szych rz¦dów, wydatki na dobra luksusowe wzrastaj¡nieograniczenie staj¡c sie wprost proporcjonalne do dochodów.


Rozdziaª 7

Modele ekonomiczne.

W ekonomii matematycznej buduje si¦ matematyczne modele ekonomiczne stanowi¡ceprzybli»on¡ reprezentacj¦ rzeczywistego zjawiska. Mo»na ogólnie stwierdzi¢, »e model eko-nomiczny, to ukªad równa« matematycznych opisuj¡cy struktur¦ pewnego zjawiska.

7.1. Skªadniki modelu ekonomicznego.

Jak ju» wspomnieli±my model ekonomiczny stanowi ukªad równa«. Równania te zawieraj¡trzy rodzaje obiektów:

� zmienne (b¦dziemy na ogóª stosowa¢ nast¦puj¡ce oznaczenia zmiennych: P � cena,π � zysk, R � przychód (utarg), C � koszt, Y � dochód narodowy),

� staªe,

� parametry.

Zmienne. W terminologii ekonomii matematycznej utrwaliª si¦ podziaª zmiennychna:

� endogeniczne, inaczej wewn¦trzne, których warto±¢ jest determinowana przez danymodel,

� egzogeniczne, inaczej zewn¦trzne czyli okre±lane niezale»nie od modelu.

Dokªadniejsze znaczenie poszczególnych rodzajów zmiennych zostanie omówione naprzykªadach w dalszej cz¦±ci wykªadu. Ju» teraz mo»emy jednak zwróci¢ uwag¦, »e pewnezmienne endogeniczne w jednym modelu mog¡ by¢ egzogeniczne w innym i na odwrót.

Staªe. Warto±¢ staªych nie zmienia si¦ w danym modelu.

Parametry. S¡ to wielko±ci, które nie s¡ zmiennymi, ale mog¡ przyjmowa¢ ró»newarto±ci w zale»no±ci od przyj¦tych w modelu zaªo»e«. Oznaczamy je zwykle a, b, c, α, β γ.

Równania wyst¦puj¡ce w modelu mog¡ by¢:

� de�nicyjne, czyli ustalaj¡ce to»samo±ci mi¦dzy wielko±ciami i wyra»eniami. Cz¦stow równaniach tych pojawia si¦ zamiast znaku równo±ci znak ≡, np. π ≡ R− C,

55

Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.

� behawioralne � opisuj¡ce zachowanie zmiennej w reakcji na zmian¦ innych zmien-nych. Przykªadowo, równaniem behawioralnym jest równanie C = 75 + 10Q, opisu-j¡ce koszt C produkcji w zale»no±ci od jej wielko±ci Q.

� równowagi, które opisuj¡ warunki zachowania pewnej równowagi, np. Qd = Qs �popyt jest równowa»ony przez poda».

7.2. Modele równowagi statycznej.

Spróbujmy najpierw udzieli¢ odpowiedzi na pytanie: czym jest równowaga? Przyjmijmyza ekonomist¡ austriackim Fritzem Machlupem, »e równowaga jest �pewn¡ konstelacj¡wybranych, powi¡zanych ze sob¡ zmiennych, tak dopasowanych do siebie, »e w modelu,który stanowi¡ nie przewa»a »adna tendencja do zmiany�.Mo»emy wi¦c krótko powiedzie¢,»e równowaga, to brak tendencji do zmiany.

7.2.1. Cz¦±ciowa równowaga rynkowa.

Model liniowy dla jednego dobra.

Opis. Zaªó»my, »e mamy do czynienia z izolowanym rynkiem, w którym wyst¦puje tyl-ko jedno dobro. B¦dziemy bada¢ warunki równowagi popytu i poda»y na to dobro wzale»no±ci od ceny.

Oznaczenia. NiechQd > 0 oznacza wielko±¢ popytu na dobro,Qs > 0 oznacza wielko±¢ poda»y na dobro,P > 0 � cena za jednostk¦ dobra.

Zaªo»enia. Zakªadamy, »e popyt i poda» zmieniaj¡ si¦ liniowo w zale»no±ci od ceny.Popyt jest funkcj¡ malej¡c¡ ceny, za± poda» funkcj¡ rosn¡c¡. Dodatkowo, poda» pojawiasi¦ pocz¡wszy od pewnej ceny minimalnej P1 > 0.

Równania modelu.

Qd = a− bP, P ≥ 0 (równanie behawioralne)

Qs = −c+ dP, P > P1 (równanie behawioralne)

Qd = Qs, (równanie równowagi),

gdzie parametry a, b, c, d > 0.



7.2.2. Keynesowski model dochodu narodowego.

Opis. Rozwa»my gospodark¦ narodow¡, w której wyst¦puj¡ trzy rodzaje wydatków: in-westycje, wydatki rz¡dowe oraz wydatki na konsumpcje.

Oznaczenia. NiechI0 � inwestycje (wielko±¢ staªa),G0 � wydatki rz¡dowe (wielko±¢ staªa),C � wydatki na konsumpcj¦ (zmienna egzogeniczna),Y � dochód narodowy (zmienna endogeniczna).

Zaªo»enia. Zakªadamy, »e wydatki na konsumpcje s¡ liniow¡ funkcj¡ rosn¡c¡ dochodunarodowego. Dochód narodowy pokrywa wszystkie (trzy) rodzaje wydatków.

Równania modelu.

C = a+ bY (równanie behawioralne)

Y = C + I0 +G0 (równanie równowagi),

gdzie parametry a > 0, b ∈ (0, 1) .

Interpretacja parametrów.a � konsumpcja autonomiczna, niezale»na od dochodu (wydatki na konsumpcj¦ przy

zerowym dochodzie narodowym),b � kra«cowa skªonno±¢ do konsumpcji (gdy dochód wzrasta o 1, wydatki na konsump-

cje wzrastaj¡ o b < 1.

Rozwi¡zania modelu. Punktem równowagi jest konsumpcja C przy dochodzie Y , gdzie

Y =a+ I0 +G0

1− b,

C =a+ b (I0 +G0)

1− b.

7.3. Modele nakªadów i wyników Leontiewa

7.3.1. Model statyczny.

Opis. Rozwa»my gospodark¦, w której funkcjonuje n ≥ 1 gaª¦zi przemysªu. Model bada,jaki powinien by¢ poziom produkcji ka»dej z n gaª¦zi, aby caªkowity popyt na wytwarzanyprzez nie produkt byª zaspokajany. Wyniki produkcji ka»dej z gaª¦zi s¡ potrzebne jakonakªady w innych gaª¦ziach (nie wykluczaj¡c jej samej); tªumaczy to nazw¦ modelu.

Oznaczenia.Xi � globalna wielko±ci produkcji i− tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) ,xij � wielko±¢ produkcji i− tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹,Yi � wielko±¢ ko«cowa produkcji i− tej gaª¦zi � nie zu»yta przez gaª¦zie.

Zaªo»enia.1. Produkcja i − tej gaª¦zi jest caªkowicie bilansowana (równowa»ona) przez zu»ycie

produkcji w pozostaªych gaª¦ziach i warto±¢ produkcji ko«cowej

Xi =n∑j=1

xij + Yi dla i = 1, ..., n.



2. Wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ jest proporcjonalnado wielko±ci produkcji j − tej gaª¦zi

xij = aijXj dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.

Parametr aij nazywa si¦ wspóªczynnikiem nakªadów.

Równania modelu.

Xi =n∑j=1

aijXj + Yi dla i = 1, ..., n.

Równania te mo»na zapisa¢ w postaci macierzowej.X1

...

Xn

=

a11 · · · a1n

.... . .

...

an1 · · · ann

X1

...

Xn

+

Y1

...

Yn

Przyjmuj¡c: X = [X1, ..., Xn]T , Y = [Y1, ..., Yn]T , A = [aij]i,j=1,...,n mamy

X = AX + Y , (7.1)

albo, równowa»nie(I − A) X = Y . (7.2)

Uwagi.

1. Macierz A nazywa si¦ macierz¡ nakªadów bezpo±rednich, X = [xij] macierz¡ prze-pªywów mi¦dzygaª¦ziowych, (I − A) macierz¡ Leontiewa, X wektorem produktu glo-balnego, za± Y � wektorem produktu ko«cowego.

2. Cz¦sto warto±ci Xi, xij oraz Yi s¡ wyra»ane w jednostkach monetarnych, w tymwypadku wielko±ci te reprezentuj¡ warto±ci produkcji.

3. Dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n

aij =xijXj

,

a poniewa» xij oznacza wielko±¢ produkcji i− tej gaª¦zi zu»ywan¡ przez j−t¡ gaª¡¹,wi¦c ekonomicznie uzasadnione jest, by xij ≤ Xj, czyli aby aij ≤ 1. Co wi¦cej,zauwa»my, »e ustalonego j = 1, ..., n suma

n∑i=1

xij = Xj

n∑i=1

aij

reprezentuje sum¦ produkcji wszystkich gaª¦zi, zu»ywanych przez j−t¡ gaª¡¹. Wiel-ko±¢ ta powinna by¢ nie wi¦ksza ni» Xj, w przeciwnym wypadku j−ta gaª¡¹ zu»ywawi¦cej ni» sama produkuje. Zatem

Xj

n∑i=1

aij ≤ Xj, dla j = 1, ..., n



sk¡dn∑i=1

aij ≤ 1 dla j = 1, ..., n

Dodatkowo, je±li Yj > 0, czyli jaka± cz¦±¢ produkcji j − tej gaª¦zi jest niewykorzy-stana przez pozostaªe gaª¦zie, to

n∑i=1

aij < 1.

4. W przypadku, gdy wektor produktu ko«cowego jest niezerowy, mówimy o tak zwa-nym modelu otwartym.

Rozwi¡zanie modelu. Przy zaªo»eniu, »e det (I − A) 6= 0, czyli macierz I − A jestnieosobliwa rozwi¡zaniem modelu przy danej macierzy A oraz danym wektorze produktuko«cowego jest wektor produkcji

X = (I − A)−1 Y . (7.3)

7.3.2. Model dynamiczny.

W przedstawionym w poprzednim podrozdziale modelu statycznym zakªadali±my, »e war-to±ci produkcji, a co za tym idzie wektory X i Y nie zmieniaj¡ si¦ w czasie. Zbadamyteraz wªasno±ci modelu, który jest pewnym analogonem tego modelu, ale takim, w którympowy»sze zaªo»enie nie jest speªnione.

Opis. Zaªó»my, jak w modelu statycznym, »e mamy do czynienia z n ≥ 1 gaª¦ziamigospodarki. Niech t oznacza czas dyskretny, reprezentuj¡cy kolejny numer pewnego okresu,w którym zakªadamy, »e produkcja poszczególnych gaª¦zi jest staªa. Niech dalej

Xi (t) � globalna wielko±ci produkcji i− tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) w okresie t,xij (t) � wielko±¢ produkcji i− tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ w okresie t,Yi (t) � wielko±¢ ko«cowa produkcji i− tej gaª¦zi w okresie t

Zakªadamy wi¦c, »e wektor produkcji globalnej, oraz wielko±ci produkcji poszczególnychgaª¦zi zu»ywanej przez inne gaª¦zie oraz produkcji ko«cowej s¡ funkcjami czasu dyskret-nego:

N ∪ {0} 3 t 7→ X (t) = [X1 (t) , ..., Xn (t)]T � wektor produkcji globalnej,N ∪ {0} 3 t 7→ xij (t) ,

N ∪ {0} 3 t 7→ Y (t) = [Y1 (t) , ..., Yn (t)]T � wektor produkcji ko«cowej.W czasie trwania ka»dego z okresów zakªadamy, »e speªnione s¡ te same zaªo»enia jakw przypadku otwartego modelu statycznego. W szczególno±ci, dla ustalonego t, zachodz¡wszystkie wªasno±ci, ª¡cznie z formuª¡ na rozwi¡zanie, prawdziwe dla tego modelu. Za-kªadamy te», »e macierz nakªadów A jest macierz¡ staª¡ (maj¡c¡ takie same wyrazy dlawszystkich okresów).

Zaªo»enia � wyprowadzenie modelu.

1. Zakªadamy, »e w ka»dym nast¦pnym okresie t + 1 chcemy zwi¦kszy¢ produkcj¦ wstosunku do okresu poprzedniego t. Mo»emy to uczyni¢ przeznaczaj¡c cz¦±¢ produk-tu ko«cowego Y (t) na inwestycje.Ustalmy t, zatem

Y (t) = S (t) + C (t) ,



gdzie:

S (t)− wektor inwestycji, S (t) = [S1 (t) , ..., Sn (t)]T , tj. produktu, który b¦dziewykorzystany jako nakªad w nast¦pnym okresie t+ 1,

C (t)− wektor czystego produktu ko«cowego , C (t) = [C1 (t) , ..., Cn (t)]T , (nie wy-korzystanego w nast¦pnym okresie t+ 1 jako nakªad w »adnej gaª¦zi).

2. Zakªadamy dalej, »e dla ka»dego i = 1, ..., n Si (t) jest rozdystrybuowane na inwe-stycje w ka»dej z j gaª¦zi gospodarki (j = 1, ..., n), tzn.

Si (t) =n∑j=1

sij (t) , dla i = 1, ..., n, (7.4)

gdzie sij (t) jest wielko±ci¡ inwestycji i − tej gaª¦zi przeznaczon¡ na inwestycje wj − tej gaª¦zi.

3. Przyjmijmy, »e wielko±¢ sij jest proporcjonalna do wzrostu produkcji globalnej j−tejgaª¦zi w okresie t+ 1, tzn.

sij (t) = zij (Xj (t+ 1) +X (t)) dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.

gdzie staªa zij jest tzw. wspóªczynnikiem inwestycyjnym. W konsekwencji, wobec(7.4)

Si (t) =n∑j=1

sij (t) =n∑j=1

zij (Xj (t+ 1)−Xj (t)) dla i = 1, ..., n,

czyli S1

...

Sn

=

z11 · · · z1n

.... . .

...

zn1 · · · znn

X1 (t+ 1)−X1 (t)

...

Xn (t+ 1)−X (t)

Oznaczaj¡c macierz wspóªczynników inwestycyjnych przez Z = [zij]i=1,...,n, j=1,...,n

mamyS (t) = Z ·

(X (t+ 1)− X (t)

).

Wykorzystuj¡c równanie (7.2) statycznego modelu Leontiewa (w czasie trwania okre-su t badany model jest statyczny) dostajemy, »e

(I − A) X (t) = Y (t) = S (t) + C (t) = Z ·(X (t+ 1)− X (t)

)+ C (t) ,

Z−1 (I − A) X (t) = X (t+ 1)− X (t) + Z−1C (t)

czyli równanie dynamicznego modelu Leontiewa

X (t+ 1) =(Z−1 − Z−1A+ I

)X (t)− Z−1C (t) . (7.5)

Rozwi¡zanie modelu. Zaªó»my, »e macierze A oraz Z s¡ dane oraz (I − A) i Z s¡nieosobliwe. Przypu±¢my te», »e dane s¡ wielko±¢ pocz¡tkowego czystego produktu ko«-cowego C (0) oraz pocz¡tkowego wektora inwestycji S (0) , a co za tym idzie dana jest



wielko±¢ pocz¡tkowego produktu ko«cowego Y (0) = S (0) + C (0) . Wówczas z formuªy(7.3) na rozwi¡zanie statycznego modelu Leontiewa dostajemy

X (0) = (I − A)−1 Y (0) .

Wykorzystuj¡c równanie (7.5) mamy

X (1) =(Z−1 − Z−1A+ I

)X (0)− Z−1C (0) . (7.6)

Znaj¡c teraz warto±¢ X (1) wektora produkcji globalnej dla okresu t = 1 mo»emy ze wzoru(7.2) obliczy¢ warto±¢ wektora produkcji ko«cowej dla tego okresu

Y (1) = (I − A) X (1) .

W tym momencie mo»emy znów podj¡¢ decyzj¦ jak¡ cz¦±¢ produktu ko«cowego Y (1)przeznaczamy na inwestycj¦ S (1), a jaka b¦dzie stanowi¢ czysty produkt ko«cowy C (1).Pami¦ta¢ jednak powinni±my, »e

Y (1) = S (1) + C (1) ,

oraz, »e wszystkie wspóªrz¦dne wektorów S (1) i C (1) powinny by¢ nieujemne. Przy da-nych wektorach X (1) oraz C (1) mo»emy ponownie wyliczy¢ warto±¢ produktu globalnegodla nast¦pnego okresu za pomoc¡ formuªy (7.5):

X (2) =(Z−1 − Z−1A+ I

)X (1)− Z−1C (1) .

Kontynuuj¡c to post¦powanie generujemy ci¡g wektorów produkcji{X (t)

}∞t=0

. Ci¡g tennazywany jest ±cie»k¡ rozwoju gospodarczego.

Z formalnego punktu widzenia rozwi¡zaniem dynamicznego modelu Leontiewa jestwi¦c ci¡g wektorów produkcji globalnej b¦d¡cy rozwi¡zaniem równania ró»nicowego

X (t+ 1) =(Z−1 − Z−1A+ I

)X (t)− Z−1C (t) ,

z warunkiem pocz¡tkowymX (0) = X0,

gdzie wektor C (t) jest okre±lony dla wszystkich t = 0, 1, ....Fakt, »e wektor C (t) jest z góry dany oznacza, »e zaplanowane zostaªo jak¡ cz¦±¢

produktu ko«cowego Y (t) przeznaczamy na inwestycj¦ S (t) = Y (t)−C (t) dla wszystkicht = 0, 1, .... Aby model miaª sens ekonomiczny musi by¢ speªniony warunek nieujemno±ciwektora S (t) tj. »e

C (t) ≤ Y (t) = (I − A) X (t) dla t = 0, 1, ....

7.4. Modele dynamiczne z czasem dyskretnym.

Z modelem dynamicznymmieli±my ju» do czynienia przy omawianiu modelu Leontiewa. Wtym podrozdziale zbadamy kilka klika innych modeli dynamicznych. Najogolniej mówi¡cs¡ to modele, w których zmienne s¡ zale»ne od czasu. Ograniczymy si¦ do sytuacji, wktórej czas jest czasem dyskretnym reprezentuj¡cym numer kolejnego okresu. Tak jak wprzypadku modelu Leontiewa w czasie trwania ka»dego z okresów model jest statyczny azmiana warto±ci zmiennych nast¦puje po przej±ciu do kolejnego okresu. Takie modele s¡opisane za pomoc¡ równa« ró»nicowych.



7.4.1. Model paj¦czyny.

Opis. Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t = 0, 1, 2, .... Rozwa»a-my rynek pewnego, pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ±cie»ki ceny{P (t)}∞t=0 na dane dobro, aby dla ka»dego okresu popyt caªkowicie zaspokoiª poda».

Oznaczenia. Niecht = 0, 1, 2, ... � kolejny numer okresu,Qs (t) � poda» na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra poszukiwana przez kon-

sumentów w okresie t),Qd (t) � popyt na dobor w okresie t (liczbe jedostek dobra dostarczana przez produ-

centów w okresie t),P (t) � cena za jednostk¦ dobra w okresie t.

Zaªo»enia.

1. Wileko±¢ popytu Qd (t) zale»y liniowo od ceny P (t) dla tego samego okresu. Zale»-no±¢ jest funkcj¡ malej¡c¡. Zakªadmy, »e Qd (t) ≥ 0.

2. Wielko±¢ poda»y Qs (t) zale»y liniowo od ceny P (t− 1) z okresu poprzedniego.Zale»no±¢ jest funkcj¡ rosn¡c¡. Zakªadamy, »e Qs (t) ≥ 0.

3. Liniowy charakter popytu i poda»y jest identyczny dla ka»dego z okresów.

4. W ka»dym okresie popyt jest caªkowicie równowa»ony przez poda».

Równania modelu.

Qd (t) = α− βP (t) (7.7)

Qs (t) = −γ + δP (t− 1) (7.8)

Qd (t) = Qs (t) (7.9)

dla t = 1, 2, ..., gdzie α, β, γ, δ > 0 (parametry).

Uwagi.

1. Sytuacja opisywane przez model wyst¦puje w rolnictwie , gdzie zasiewy poprzedzaj¡zbiory. Popyt na dany produkt jest zale»ny od aktualnej ceny, ale poda», wynikaj¡caz wielko±ci zasiewów, jest ustalana na podstawie cen z poprzedniego okresu.

2. Aby równania przedstawiaªy sens ekonomiczny musz¡ by¢ speªnione warunki nieujm-no±ci zmiennych. Warunki te prowadz¡ do zastrze»enia, »e ±cie»ka cenowa {P (t)}∞t=0

powinna speªnia¢ warunek

γ

δ≤ P (t) ≤ α

βdla t = 0, 1, 2, .... (7.10)

W szczególno±ci, musi by¢ speªniony warunek

γ

δ≤ α

β(7.11)

lub równowa»nieβγ − αδ ≤ 0 (7.12)



Interpretacja parametrów.α � maksymalna warto±¢ popytu (przy zerowej cenie),−β � kra«cowa warto±¢ popytu reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ konsumentów na zmian¦

ceny,−γ � wspóªczynnik zapewniaj¡cy dodatnio±¢ poda»y pocz¡wszy od pewnej ceny mi-

nimalnej P1 ≥ 0,δ � kra«cowa warto±¢ poda»y reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ producentów zmian¦ na ceny.

Rozwi¡zanie modelu.Poszukujemy ±cie»ki ceny {P (t)}∞t=0, czyli ci¡gu speªniaj¡cego ukªad (7.7)-(7.9). Wo-

bec równania równowagi (7.9) i wobec (7.7)-(7.8)

α− βP (t) = −γ + δP (t− 1) ,

sk¡d wobec faktu, »e β 6= 0

P (t) = − δβP (t− 1) +

α + γ

β. (7.13)

Jest to równanie ró»nicowe liniowe niejednorodne pierwszego rz¦du. Ogóª rozwi¡za« rów-nania jednorodnego jest postaci

Po (t) = c

(− δβ

)t, t = 0, 1, 2, ...,

gdzie c jest dowoln¡ staª¡. Szczególnego rozwi¡zania równania niejednorodnego poszuku-jemy w±ród rozwi¡za« staªych

Ps (t) = k,

zatem

k = − δβk +

α + γ

β,

sk¡d

k =α + γ

β + δ,

gdy» β + δ > 0. St¡d, ogóª rozwi¡za« równania (7.13) jest postaci

P (t) = c

(− δβ

)t+α + γ

β + δ, t = 0, 1, 2, ....

Je±li znamy warto±¢ P (0) = P0, to

P (0) = c+α + γ

β + δ,

W konsekwencji rozwi¡zaniem równania (7.13) z warunkiem pocz¡tkowym P (0) = P0

jest ±cie»ka cenowa

P (t) =

(P0 −

α + γ

β + δ

)(− δβ

)t+α + γ

β + δ, t = 0, 1, 2, .... (7.14)

Uwaga. Aby rozwi¡zanie miaªo sens ekonomiczny nale»y zaªo»y¢, »e P (t) speªnia warunek(7.10). Nale»y przynajmniej zadba¢, aby γ

δ≤ P0 ≤ α

β.

Dalsza analiza modelu � wªasno±ci ±cie»ki cenowej.



1. Je±li P0 = α+γβ+d

, to

P (t) =α + γ

β + d, t = 0, 1, 2, ....

Mamy wtedy do czynienia z rozwi¡zaniem staªym. Zauwa»my, »e z warunku (7.12)wynika, »e γ

δ≤ P (t) ≤ α

βdla t = 0, 1, 2, ... (¢wiczenie). Model jest to»samy ze sta-

tycznym modelem równowagi omawianym w jednym z poprzednich podrozdziaªów.

2. Zaªó»my, »e P0 >α+γβ+δ

(ze wzgl¦du na sens ekonomiczny nie mo»e zaj±c sytuacja

P0 <α+γβ+d

). Rozwa»my trzy przypadki.

(a) δβ< 1. Wtedy ±cie»ka {P (t)}∞t=0 jest ci¡giem zbe»nym do α+γ

β+d.

(b) δβ

= 1. Wtedy ±cie»ka {P (t)}∞t=0 jest postaci

P (t) =

{P0 gdy t jest parzyste

2α+γβ+d− P0 gdy t jest nieparzyste

.

±cie»ka oscyluje wi¦c wokóª warto±ci α+γβ+d

.

(c) δβ> 1. ±cie»ka jest ci¡giem rozbie»nym � pocz¡wszy od pewnego t traci sens

ekonomiczny.

Powy»sz¡ analiz¦ mo»na przedstawi¢ gra�cznie za pomoc¡ tzw. diagramu schodkowe-go. Ksztaªt otrzymanego diagramu jest wyja±nieniem nazwy modelu (¢wiczenia).


Skorowidz

m−okresowa stopa efektywna, 29m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy, 29

cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji, 24czas oprocentowania, 7czynnik procentowy, 7

de�acja, 32dobra

� luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), 49� ni»szego rz¦du (podrz¦dne), 49� normalne (zwykªe), 49� podstawowe (niezb¦dne), 49

dyskonto, 14� handlowe, 15� proste, 14

dyskontowanie, 14

elastyczno±¢� cenowa popytu, 47� dochodowa popytu, 48� wzorcowa, 48

elastyczno±¢ funkcji, 43� przeci¦tna, 43

Fishera wzór, 32funkcja kosztu

� caªkowitego, 40� kra«cowego, 40� przeci¦tnego, 40

Funkcja Törnquista� dla dóbr luksusowych, 52� dla dóbr pierwszej potrzeby (podsta-

wowych), 50� dla dóbr wy»szego rz¦du, 51

funkcja utargu� caªkowitego, 42

funkcja zysku� caªkowitego, 42

hierarchia pilno±ci potrzeb, 54

in�acja, 31

kapitaª� ko«cowy, 7� pocz¡tkowy, 7

kapitalizacja odsetek, 7koszt kra«cowy (marginalny), 40krzywa popytu, 46

model� kapitalizacji rocznej, 23

model kapitalizacji ci¡gªej, 25model oprocentowania skªadanego rocznego

przy zmiennej stopie, 29

odsetki, 7okres kapitalizacji, 7okres równowa»no±ci stopy procentowej i dys-

kontowej, 17optimum technologiczne, 40

per annum (p.a.), 7podokres kapitalizacji, 24podokres oprocentowania, 10popyt, 46

� doskonale elastyczny, 48� doskonale nieelastyczny (sztywny), 47� elastyczny (silnie), 48� neutralny, 48� nieelastyczny, 47

poziom nasycenia potrzeb, 54prawo popytu, 46procent, 6

� pªatny z góry, 15przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy,

29przyrost wzgl¦dny

� argumentu, 43� warto±ci funkcji, 42

punkt procentowy, 6

równowa»ne ci¡gi kapitaªów, 38

65

Skorowidz

reguªa bankowa, 9reguªa kalendarzowa, 9roczna nominalna stopa ±rednia, 29roczna stopa nominalna, 24roczny czynnik dyskontuj¡cy, 30roczny czynnik oprocentowania, 25

stopa� nominalna, 31� realna, 32

stopa dyskontowa, 15� roczna, 30

stopa procentowa, 6� efektywna, 27� in�acji, 31� kwartalna, 10� miesi¦czna, 10� okresowa, 7� podokresowa, 10, 24� przeci¦tna� roczna dla modelu oprocentowaniaskªadanego, 29

� m−okresowa, 29� (dla modelu oprocentowania pro-stego), 13

� roczna, 7stopa w stosunku rocznym, 7

termin wykupu weksla, 20

utarg caªkowity, 41

warto±¢ kapitaªu� nominalna, 31� realna, 32

warto±¢ weksla� handlowa (aktualna), 20� nominalna, 20

warunki oprocentowania, 7weksel, 20wspóªczynnik elastyczno±ci cenowej popytu,

47

zasada� dyskonta handlowego (prostego), 15� oprocentowania prostego, 8� oprocentowania skªadanego, 22� równowa»no±ci stóp procentowych, 11

� równowa»no±ci stopy dyskontowej i pro-centowej, 17

zasada równowa»no±ci kapitaªów, 37� w momencie t, 36

zysk caªkowity, 42


Documents

Podstawy Ekonomii Matematycznejmarmaj.math.uni.lodz.pl/Files/El_Ek_Mat_W.pdf · Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011. Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej.5