Különböző konzisztencia indexek összehasonlítása

Poesz Attila1, Fülöp János2 and Bozóki Sándor1,2

1 - Budapesti Corvinus Egyetem2 - MTA SZTAKI

2010. november 4.

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 1 / 22

Saaty-féle hányados skála:1/9, . . . , 9

A =

1 1/3 1/5 3 7 53 1 3 1/5 5 35 1/3 1 3 5 3

1/3 5 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 34, 71% ⇒ Nagyon magas!

TulajdonságokÖnmagával azonos aii = 1, (1)

Reciprocitás aij = 1/aji , (2)Konzisztencia aik = aijajk , ∀i,j,k (3)

Inkonzisztens az a mátrix, amelyik nem konzisztens.

inkonzisztencia magas ⇒ nincs értelme számolni

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 2 / 22

Új megközelítés

Mátrix triádjainak

összefüggő rendszere

javítása a teljes rendszer vizsgálatával

Jelölések: A ∈ Rn×n

A = log A→ aij = log aij , i , j = 1, . . . , n.

Konzisztencia: aij + ajk + aki = 0, ∀ i , j, k = 1, . . . , n.

Kutatási irányok:1 Gráfelmélet

2 Egészértékű programozás (MIP,MINLP)

A1

A2A3

A4 A5

A6

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 3 / 22

III. MIP

K adottAz A mátrix maximum K elemének megváltoztatásával ⇒ min CM(A∗)?

z változó ⇒ CM(A∗) = 1− 1exp(zopt )

M = log(M)aij = log(aij )

min z

s.t. xij + xjk + xki ≤ z, 1 ≤ i < j < k ≤ n,−(xij + xjk + xki) ≤ z, 1 ≤ i < j < k ≤ n,

xij = −xji , 1 ≤ i < j ≤ n,−M ≤ xij ≤ M, 1 ≤ i < j ≤ n,

−2Myij ≤ xij − aij ≤ 2Myij , 1 ≤ i < j ≤ n,yij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,

n−1∑i=1

n∑j=i+1

yij ≤ K

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 4 / 22

R6×6 mátrixok, III. MIP

Min CMSorszám CM K=3 Eltérés CR

2 0,78 0,63 0,15 9,38%3 0,61 0,61 0 3,22%4 0,75 0,63 0,13 6,9%5 0,36 0 0,36 0,35%6 0,63 0,56 0,07 4,23%7 0,7 0,62 0,08 6,42%8 0,64 0,53 0,11 3,64%9 0,61 0,42 0,19 2,81%10 0,44 0,44 0 1,24%11 0,82 0,5 0,32 7,67%12 0,47 0,4 0,07 1,88%13 0,81 0,72 0,09 14,7%14 0,98 0,67 0,31 34,71%15 0,83 0,38 0,46 5,04%16 0,75 0,63 0,13 7,69%17 0,78 0,56 0,22 6,32%18 0,83 0,67 0,17 12,01%19 0,8 0,38 0,43 6,53%20 0,6 0,5 0,1 3,98%21 0,43 0 0,43 0,54%

A =

1 1/3 1/5 3 7 53 1 3 1/5 5 35 1/3 1 3 5 3

1/3 5 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 34, 71%

A∗1 =

1 1/3 1/5 3 7 53 1 3 1, 51 5 35 1/3 1 3 5 3

1/3 0, 65 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 15, 03%

A∗2 =

1 1/3 1, 15 3 7 53 1 3 2, 95 5 3

0, 87 1/3 1 3 5 31/3 0, 34 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 7, 29%

A∗3 =

1 0, 97 1, 56 3 7 51, 03 1 3 3 5 30, 64 1/3 1 3 5 31/3 1/3 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 4, 94%

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 5 / 22

Saaty-féle inkonzisztencia – CR –

A következetlenségi index a páros összehasonlítási mátrix maximális sajátértékébőlszámolható ki. (λmax ).

CR =

(λmax − n

n − 1

)1

RIn, ahol

RIn =λmax − n

n − 1

Saaty szabályEgy mátrix elfogadható ⇔ CR < 10%.

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 6 / 22

Frobenius tételA ∈ Rn×n nem negatív, irreducibilis mátrix és λmax a maximális sajátértéke.Aw = λmax w

Sekitani, Yamaka [1998]

maxx≥0

mini

(∑n

j=1 aijxj

xi

)= λmax = min

x≥0max

i

(∑n

j=1 aijxj

xi

),

akkor és csak akkor, ha w > 0

új logaritmizált változókkal

zi = log wi xij = log aij

Max. sajátérték meghatározása (Convex NLP)

min t s .t.

n∑

j=1

exij+zj−zi

︸ ︷︷ ︸konvex

≤ t, ∀i

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 7 / 22

Mixed integer nonlinear programmingMINLP No.1CRelf legyen adottMi az a minimális mátrix elemszám, amelyet módosítva (A⇒ A∗) teljesül:CR(A∗) ≤ CRelf ?

minn−1∑i=1

n∑j=i+1

yij

s.t.∑n

j=1exij +zj−zi ≤ γ, ∀i

xij = −xji , 1 ≤ i < j ≤ n,−M ≤ xij ≤ M, 1 ≤ i < j ≤ n,

−2Myij ≤ xij − aij ≤ 2Myij , 1 ≤ i < j ≤ n,yij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,

aholγ = n + CRelf (n − 1)RIn

zij = logwij

M = log(M)aij = log(aij )

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 8 / 22

MINLP No.3

K adottLegfeljebb K elem megváltoztatásával ⇒ min CR(A∗)?

min γ

s.t.∑n

j=1exij +zj−zi ≤ γ, ∀i

xij = −xji , 1 ≤ i < j ≤ n,−M ≤ xij ≤ M, 1 ≤ i < j ≤ n,

−2Myij ≤ xij − aij ≤ 2Myij , 1 ≤ i < j ≤ n,yij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,

n−1∑i=1

n∑j=i+1

yij ≤ K

aholγ = n + CR(A)(n− 1)RIn

zij = logwij

M = log(M)aij = log(aij )

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 9 / 22

Numerikus eredmények MATLAB-baningyenesen hozzáférhető megoldók

MIP Solver

IP

MINLP Solver

fminconset

bnb20

MINLP megoldók

Branch-and-Bound algorimus alapján dolgoznak

biztosítják a globális optimumot convex nem lineáris kevert egészértékűfeladatoknák.

leírása megtalálható a Bussieck és Vigerske (2010) [5] cikkében

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 10 / 22

Példa: 6× 6 mátrix, “megoldva” a ...

MIP No.4 ( min CM )

A =

1 1/3 1/5 3 7 53 1 3 1/5 5 35 1/3 1 3 5 3

1/3 5 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CM = 0, 978

A∗1 =

1 1/3 1/5 3 7 53 1 3 1, 51 5 35 1/3 1 3 5 3

1/3 0, 65 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CM = 0, 880

A∗2 =

1 1/3 1, 15 3 7 53 1 3 2, 95 5 3

0, 87 1/3 1 3 5 31/3 0, 34 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CM = 0, 800

A∗3 =

1 0, 97 1, 56 3 7 51, 03 1 3 3 5 30, 64 1/3 1 3 5 31/3 1/3 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CM = 0, 667

MINLP No.3 ( min CR )

A =

1 1/3 1/5 3 7 53 1 3 1/5 5 35 1/3 1 3 5 3

1/3 5 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 34, 71%

A∗1 =

1 1/3 1/5 3 7 53 1 3 3, 54 5 35 1/3 1 3 5 3

1/3 0, 65 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 13, 90%

A∗2 =

1 1/3 1, 22 3 7 53 1 3 3, 35 5 3

0, 87 1/3 1 3 5 31/3 0, 34 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 7, 3%

A∗3 =

1 1, 01 1, 67 3 7 51, 03 1 3 2, 56 5 30, 64 1/3 1 3 5 31/3 1/3 1/3 1 3 31/7 1/5 1/5 1/3 1 1/31/5 1/3 1/3 1/3 3 1

CR = 4, 90%

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 11 / 22

Más indexekre is létezik ez a hasonlóság?

További következetlenségi mutatók vizsgálata:

Triádokra determinánsára épülő CI

A végső súlyok és a mátrix elemek eltérésén alapuló GCI

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 12 / 22

CI következetlenségi index

Lamata és Paláez ötlete [3]

Triád det = 0⇔ ha a triád konzisztens ⇒ determinánsok átlag CI:

CI = 1NT

NT∑i=1

det(Γi ), ahol NT = n!(n−3)!3!

1 aij aik

1/aij 1 ajk

1/aik 1/ajk 1

az (i , j, k) objektumokat összehasonlító Γ ∈ R3×3 triád (Sarrus szabály):

det(Γ) =aik

aijajk

+aijajk

aik

− 2 ⇒ det(Γ) = exik−xij−xjk + exij+xjk−xik − 2

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 13 / 22

CI MINLP No.1

Határ: CIelf adott

Minimálisan hány elem megváltoztatása ⇒ CI(A∗) ≤ CIelf ?

minn−1∑i=1

n∑j=i+1

yij

s.t.n−2∑i=1

n−1∑j=i+1

n∑k=j+1

(exik−xij−xjk + exij +xjk−xik

)≤ c∗,

xij = −xji , 1 ≤ i < j ≤ n,−M ≤ xij ≤ M, 1 ≤ i < j ≤ n,

−2Myij ≤ xij − aij ≤ 2Myij , 1 ≤ i < j ≤ n,yij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,

ahol

c∗ = (CIelf + 2) n!(n−3)!3!

M = log(M)aij = log(aij )

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 14 / 22

CI MINLP No.2

K adott

Legfeljebb K elem megváltoztatása ⇒ min CI(A∗)?

minn−2∑i=1

n−1∑j=i+1

n∑k=j+1

( exik−xij−xjk + exij +xjk−xik ) = c

s.t. xij = −xji , 1 ≤ i < j ≤ n,−M ≤ xij ≤ M, 1 ≤ i < j ≤ n,

−2Myij ≤ xij − aij ≤ 2Myij , 1 ≤ i < j ≤ n,yij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,

n−1∑i=1

n∑j=i+1

yij ≤ K

ahol

CI(A) = c/ n!(n−3)!3!

− 2

M = log(M)aij = log(aij )

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 15 / 22

Geometriai konzisztencia index –GCI –

Aguarón és Moreno-Jiménez (2003) alapgondolat [1]Egy konzisztens A páros összehasonlítási mátrixból számított súlyvektor i és j

komponenseinek hányadosa egyenlő a mátrix (i , j) elemével. wi

wj= aij

GCI, majd logaritmizált váktozókkal ( zi = log(wi) ):

2

(n − 1)(n − 2)

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

log2

(aij

wj

wi

)⇒

2

(n − 1)(n− 2)

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

(xij + zj − zi)2

NehézségVégső súlyvektor jelenléte! ⇒ λmax tartozó sajátérték komponensek. CR-nélhasonló, DE:

célfüggvénybe nem lehet a λmax

nincs előre adott λmax

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 16 / 22

GCI

Sajátvektor egyenlet Aw = λw komponensekre szedve:

(Aw)i

wi

= λ, ∀ i

(Aw)i

wi

=(Aw)j

wj

, ∀ i 6= j

(Aw)i

wi

=1

n

n∑

j=1

(Aw)j

wj

, ∀ i

Ha w > 0 akkor a Frobenius tétel miatt w sajátvektor a λmax sajátértékheztatrozik.

Legyen zi = log(wi), w > 0 és xij = log(aij)

n∑

j=1

exij+zj−zi =1

n

n∑

i=1

n∑

j=1

exij+zj−zi , i = 1, . . . , n,

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 17 / 22

GCI MINLP No.1

Határ: GCIelf adottMinimálisan hány elem megváltoztatása ⇒ GCI(A) ≤ GCIelf ?

minn−1∑i=1

n∑j=i+1

yij

s.t. 2(n−1)(n−2)

n−1∑i=1

n∑j=i+1

(xij + zj − zi )2 ≤ GCIelf ,

n∑j=1

exij +zj−zi = 1n

n∑i=1

n∑j=1

exij +zj−zi , 1 ≤ i ≤ n,

xij = −xji , 1 ≤ i < j ≤ n,−M ≤ xij ≤ M, 1 ≤ i < j ≤ n,

−2Myij ≤ xij − aij ≤ 2Myij , 1 ≤ i < j ≤ n,yij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,

aholzi = log(wi )M = log(M)aij = log(aij )

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 18 / 22

GCI MINLP No.2

K adottLegfeljebb K elem megváltoztatása ⇒ min GCI(A∗)?

minn−1∑i=1

n∑j=i+1

(xij + zj − zi )2 = g

s.t.n∑

j=1

exij +zj−zi = 1n

n∑i=1

n∑j=1

exij +zj−zi , 1 ≤ i ≤ n,

xij = −xji , 1 ≤ i < j ≤ n,−M ≤ xij ≤ M, 1 ≤ i < j ≤ n,

−2Myij ≤ xij − aij ≤ 2Myij , 1 ≤ i < j ≤ n,yij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,

n−1∑i=1

n∑j=i+1

yij ≤ K

aholGCI(A) = g 2

(n−1)(n−2)

zi = log(wi )M = log(M)aij = log(aij )

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 19 / 22

References No.1

Aguarón, J., Moreno-Jiménez, J.M. [2003]: The geometric consistency index:Approximated thresholds, European Journal of Operation Research 147,pp. 137-145.

Bozóki, S., Rapcsák, T. [2008]: On Saaty’s and Koczkodaj’s inconsistenciesof pairwise comparison matrices, Journal of Global Optimalization 42(2),pp. 139-148.

Bozóki, S., Fülöp, J., Koczkodaj, W.W. [2010]: LP-based consistency-drivensupervision for incomplete pairwise comparison matrices, Working Paper, WP2010-1.

Bozóki, S., Fülöp, J., Poesz, A. [2010]: On pairwise comparison matrices thatcan be made consistent by modification of a few elements, Central European

Journal of Operation Research (in print). DOI 10.1007/s10100-010-0136-9

Bussieck, M.R., Vigerske, S.[2010]: MINLP Solver Software, Wiley

Enciklopedia of Operation Research and Management Science (in print)

Kéri, G. [2005]: Kritériumok páros összehasonlítás mátrixokra (In Hungarian),Szigma, 36, pp. 139-148.

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 20 / 22

References No.2Kindler, J., Papp O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata (In Hungarian),Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

Koczkodaj, W.W [1993]: A new definition of consistency of pairwisecomparisons, Mathematical and computer modelling, 18, pp. 79-84.

Lamata, M.T., Peláez, J.I. [2003]: A New Measure of Consistency forPositive Reciprocal Matrices, Computers and Mathematics with Applications,46, pp. 1839-1845

Poesz, A. [2008]: A páros összehasonlítás mátrixok kritikus értékeinekdetektálása (In Hungarian), TDK dolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem,Budapest.

Poesz, A. [2008]: Inconsistency analysis of empirical pairwise comparisonmatrices, Thesis, University of Budapest, Department of Decisions inEconomics, Budapest.

Saaty, T.L [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New-York.

Sekitana, K., Yamaki, N. [1998]: A logical interpretation for the eigenvaluemethod in AHP, Journal of the Operations Research, 42, pp. 219-232.

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 21 / 22

Köszönöm a figyelmet!

Poesz A., Bozóki S., Fülöp J. (BCE, SZTAKI) Konzisztencia indexek 2010. november 4. 22 / 22