Prof. dr Esad Jakupović

Definicija 1. Algebarska struktura (S, +, ∙ ), gde su + i ∙ binarne operacije skupa S, naziva sa prsten ako su ispunjeni sledeći uslovi:

1 (S, +) je Abelova grupa;2 (S, ∙ ) je semigrupa, (tj. ∙ je asocijativna operacija);3 (tj. operacija ∙ je distributivna u odnosu na operaciju +).

Neutralni element (aditivne) grupe (S, +) obilježava se sa 0 i zove se nula prstena (S, + , ∙ ). Inverzni element elementa a S u odnosu na operaciju + obilježava se sa -a,Umjesto a+(-b) piše se a-b. Operacije +, ∙ ne moraju, naravno, da budu sabiranje i množenje brojeva.

Primjer 1. Skup cijelih brojeva Z snabdjeven operacijama sabiranja i množenja predstavlja vrlo važaa primjer prstena. Osim (Z, +, ∙) postoje i drugi prsteni brojeva: (Q, +, ∙ ), (R, +, ∙ ), (C, +, ∙ ). U navedenim primjerima prsteni su beskonačni. Postoje i konačni prstenovi; na primjer, (M, , ), gdje je M ={ 1,2,..., m-1} a i označavaju sabiranje i množenje pomeduium, respektivno.

, , ,x y z S x y z x z y z x y z x y x z

Teorema 1. U proizvoljnom prstenu (S, +, ∙ ) važi relacija

Dokaz. x ∙ 0 = x ∙ (0+0) = x ∙ 0 + x ∙ 0. Označavajući x ∙ 0 sa y dobijamo y=y+y. »Dodavanjem« elementa (- j) obijema stranama ove relacije dobija se y=0, tj. x ∙ 0 = 0. Na analogan način se dokazuje relacija 0 ∙ x = 0.Ovim jo dokaz završen.

Definicija 2. Ako operacija ∙ u prstenu (S, + , ∙ ) ima neutralni element, prsten (S, + , ∙ ) se naziva prsten sa jedinicom. Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi idempotentni naziva se Booleov prsten.Dakle, prsten iz posljednjeg primjera je Booleov prsten.

0 0 0.x S x x

Definicija 3. Prsten (S, +, ∙ ) je komutativan ako je operacija ∙ komutativna.

Definicija 4. Element a 0 prstena (S, +, ∙ ) je lijevi (odnosno, desni) djelitelj nule ako postoji b 0 (b S) takvo da važi a ∙ b=0 (odnosno, b ∙ a=0). Prsten sa bar dva elementa u kome ne postoje djelitelji nule naziva se oblast cjelih (ili područje integriteta).

Primjer 2. U prstenu ({0,1, 2, 3, 4, 5}, , ), gde odnosno označavaju sabiranje odnosno množenje po modulu 6, postoje djelitelji nule. Pošto je 2 3 = 3 2=0, 2 i 3 su djelitelji nule. Prsten (M, , ) iz primjera 1 je oblast cjelih ako je m prost broj.U području integriteta važi implikacija

Analogno pojmu podgrupe kod grupa uvodi se za prstenove pojam podprstena.

0 0 0.x y x y

Definicija 5. Ako je (S, +, ∙ ) prsten i ako je (T, +, ∙ ), gde je T S, takođe prsten, onda se (T, +, ∙ ) naziva podprsten prstena (S, +, ∙ ). Prema ovoj definiciji (T, +, ∙ ) je podprsten prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sledeći uslovi:

1° (T, +) je podgrupa Abelove grupe (S, +), tj. x, y T x – y T.2° (T, ∙ ) je semigrupa, tj. x, y T x ∙ y T.

Svaki prsten je podprsten samoga sebe. Takođe, skup koji sadrži samo nulu jednog prstena je podprsten tog prstena.Ovakvi podprstenovi nazivaju se trivijalni podprstenovi.

Definicija 6. Skup I se naziva lijevi, odnosno desni, ideal prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1° (1, +) je podgrupa grupe (S, +);2° odnosno

Ako je I i lijevi i desni ideal, on se naziva ideal.

,a I s S s a I ,a I s S a s I

Definicija 7. Neka je I ideal prstena (S, +, ∙ ). Relacija kongruencije po modulu ideala I u skupu S definiše se pomoću

Ideal je igra kod prstenova onu ulogu koju invarijantne podgrupe igraju kod grapa.Neka je S/I količnički skup skupa S u odnosu na relaciju kongruencije po modulu ideala I. Lako se uviđa da je gdje jeVidi se da je I+x klasa razvoja po invarijantnoj podgrupi (I,+) grupe (S, +).Skupovi I+x zovu se klase razvoja po idealu I.U skup S/I uvode se operacije i pomoću

Može se pokazati da su ovako definisane operacije »dobro«.definisane.Struktura (S|I, , ) je prsten koji se naziva količnički prsten. On je homomorfna slika polaznog prstena (S, +, ∙).

,x y S x y x y I

,S I I x x S .I x a x a I

I x I y I x y

I x I y I x y

Definicija 1. Algebarska struktura (S, +, ∙ ), gde su + i ∙ binarne operacije skupa S, naziva se telo ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1° (S, +) je Abelova grupa;2° operacija ∙ je distributivna prema operaciji + ;3° struktura (5\{0}, ∙), gde je 0 neutralni element grupe (S, +), je grupa.

Dakle, prsten sa jedinicom u kome su svi elementi 0 invertibilni naziva se tijelo.

Definicija 2. Tijelo (S, +, ∙ ) u kome je operacija ∙ komutativna naziva se polje.

Primjer 1. Tipični primjeri brojnih polja su (Q, +. ∙), (R, +, ∙) i (C, +, ∙).

Primjer 2. Skup matrica oblikaobrazuje neko maiativno tijelo u odnosu na operacije sabiranja i množenja matrica.

, , ,

a b c d

b a d ca b c d R

c d a b

d c b a

Primjer 3. Polje ima najmanje dva elementa (neutralni element 0 aditivne grupe i neutralni element 1 multiplikovane grupe). Polje sa dva elementa je (B, , ), gde je B={0,1} sa poznatim operacijama iz iskazane algebre. Polje GF(n) postoji ako i samo ako je n=pk gde je p prost broj a k N. Ovu činjenicu navodimo bez dokaza. Najprije dajemo konstrukciju polja GF(p), gde je p prosi broj.Sva polja sa p elemenata izomorfna su konstruisanom polju GF(p).U cilju konstrukcije polja GF(pk) posmatrajmo skupP=polinoma (k-l)-tog stepena sa koeficijentima (i promjenljivom) iz polja GF(p). Simboli + i ∙ označavaju sada operacije polja GF(p), tj. sabiranje i množenje po modulu p. Pri operacijama sa polinomima pridržavamo se pravila koja važe u GF(p).Polinom je ireducibilan nad poljem GF(p) ako se ne može predstaviti kao pro izvod polinoma nižeg stepena sa koeficijentima iz istog polja. Za svako k postoji polinom stepena k ireducibilan nad GF(p).

1 20 1 1 0 1 1... , ,...,k k

k ka x a x a a a a GF p

Primjer 4. Konstruisaćemo polje GF(4). Polinomi stepena ne većeg od 1 sa koeficijentima iz GF(2) su 0,1,x, x+1.Polinom drugog stepena x2+x+1 je ireducibilan što se provjerava ispitivanjem svih mogućnosti faktorizacije. Usvojićemo P(x)=x2+x+1 pa Cayleyjeve tablice opeiracija i glase

Definicija 3. Neka je (X, +, ∙) polje u kome je 0 neutralni element za sabiranje i e neutralni element za množenje. Karakteristika polja (X, +, ∙) je najmanji pripodan broj s takav da jeAko takav broj ne postoji karakteristika polja je broj 0.Polje GF(pk) ima karakteristiku p. Polja (Q, +, ∙), (R, +, ∙) i (C, +, ∙) imaju karakteristika 0.

0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1

1 1 1 0 1 0 1 1

x x x x

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

... 0

s puta

e e e

Posmatrajmo strukture (P(I), ) i (P(I), ), gde je I proizvoljan skup. Obe strukture su komutativne semigrupe sa neutralnim elementom, tj. monoidi ali nisu grupe. Neutralni element u prvom slučaju je prazan skup a u drugom skup I.Kombinovanjem ovih dveju struktura dobija se algebra skupova (P(I), , , - ) koja je razmatrana u odjeljku 4.3. Sada ćemo aksiomatski definisati jednu algebarsku struk tura po ugledu na algebru skupova.U sljedećoj definiciji binarne operacije nekog skupa X su označene sa i . Ove oznake ne znače obavezno da se radi o disjunkciji ili konjunkciji iako u j jednoj specijalnoj interpretaciji imaju i to značenje. Stoga ćemo navedene simbole čitati drukčije; na primjer, »kap« i »kep«. (Ovako se izgovaraju engleske reci »cup« i »cap« koje znače »šolja« i »kapa«, na šta i podsećaju navedeni simboli).

Definicija 1. Algebarska struktura (X, , ), pri čemu je X , naziva se Booleova algebra ako su zadovoljene sljedeće aksiome:

Napomena.Simboli 0,1 i označavaju izvjesne elemente iz X, U aksiomi 9 simbol označava u prvom pojavljivanju konjunkciju rečenica a u drugom operaciju kep. Element naziva se komplement elementa x. U 9 su sa 0 i 1 označeni upravo oni elementi čija se egzistencija utvrđuje u 7 i 8.

1. , , ,

2. , , ,

3. , , ,

4. , , ,

5. , , ,

6. , , ,

7. 0 0 ,

8. 1 1 ,

9. 1 0 .

x y z X x y z x y z

x y z X x y z x y z

x y z X x y y x

x y z X x y y x

x y z X x y z x y x z

x y z X x y z x y x z

X x X x x

X x X x x

x X x X x x x x

x

x

Primjer 1. Neposredno se provjerava da struktura (B, , ), gdje je B={0,1} a i označavaju disjumkciju i konjunkciju, predstavlja Bookovu 'algebru. Booleova algebra je i algebra skupova (P(I), , ) gdje je I proizvoljan skup. U prvom slučaju ulogu komplementa igra negacija a u drugom komplement skupa.Bez dokaza navodimo činjenicu da se Booleove algebre iscrpljuju sa onima koje su navedene u primeru 1. Preciznije, može se dokazati da je svaka Booleova algebra izornorfna nekoj algebri skupova (P(I), , ), gdje je pogodno izabran skup. Iz ovog sljeduje da konačna Booleova algebra ima 2m elemenata, gde je m nenegativan cjeli broj (broj elemenata skupa I). Dakle, postoje Booleove algebre sa 1, 2, 4, 8,... elemenata ali ne, na primjer, sa 3 elementa.

Primjer 2. Booleova algebra sa četiri elementa je određena skupom {0, a, b, 1} i sljedećim Cayleyjevim tablicama:

U Booleovoj algebri važe razne relacije. Sve relacije iz iskazne algebre ili algebre skupova se prenose u Booleovu algebru jer je Booleova algebra upravo algebra skupova. Međutim, mogućno je iste relacije dokazivati i aksiomatski polazeći od aksio ma koje po definiciji važe u Booleovoj algebri.

Primjer 3. U Booleovoj algebri važiDobili smo zakon idempotentnosti za operaciju kap : x x=x.Ovome odgovara tautoloaija p p p, odnosno relacija p p=p u iskaznoj algebri i skupovna relacija A A=A.

0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0 1

a b a b

a b

a a a a a a

b b b b b b

a b

0 1 .x x x x x x x x x x x x x

Primjer 4.

Primjer 5.

Dobili smo zakon apsorptivnosti operacije kap prema operaciji kep.

Postoje i drugi sistemi aksioma za Booleovu algebru. Do jednog aksiomatskog sistema dolazimo uz pomoć mreža.

Definicija 2. Algebarska struktura (X, , ) gde je X neprazan skup a i , binarne operacije u X, naziva se A-mreža ako za obadvije operacije važi komutativni i aso cijativni zakon i ako je svaka od operacija apsorptivna u odnosu na drugu. Mreža je distributivna ako je svaka od njenih operacija distributivna u odnosu na drugu. Mreža je komplementirana ako postoji preslikavanje X→X takvo da je

Distributivna komplementirana mreža naziva se Booleova algebra.

1 1 1 1 1 1.x x x x x x x x x

1 1 1 .x x y x x y x y x x

, ,

, .

x y X x x y y

x y X x x y y