Pojęcia podstawowePojęcia podstawowe

Algebra Boole’a

……

I

T

P

WTadeusz

ŁubaW

ZPT 1

Łuba

ZCB

Dwuelementowa algebra Boole’a

Algebra Boole’a jest modelem matematycznym operacji na sygnałach

binarnych reprezentujących sygnały elektryczne o dwóch wartościach: 0 lubbinarnych reprezentujących sygnały elektryczne o dwóch wartościach: 0 lub

1. Wartości te są przyporządkowane dwom poziomom napięcia

wytwarzanego przez (elektroniczne) układy logiczne. Najczęściej przyjmuje

się, że napięciu wysokiemu jest przyporządkowana wartość sygnału 1,się, że napięciu wysokiemu jest przyporządkowana wartość sygnału 1,

natomiast napięciu niskiemu – wartość 0.

u(t)

Wysoki poziom = 5 V

u(t)

Niski poziom = 0 V t

Ciąg bitów .....I

T

P

W

.... 0 1 0.....Ciąg bitów .....

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

Łuba

ZCB

Dwuelementowa algebra Boole’a

Algebra Boole’a jest algebrą z trzema operacjami na

dwuwartościowych argumentach, które przyjmują wartości: 0 i 1.

Rezultaty tych operacji są także dwuwartościowe.

Te trzy operacje to:

Rezultaty tych operacji są także dwuwartościowe.

- suma logiczna (suma boolowska, alternatywa),

- iloczyn logiczny (iloczyn boolowski, koniunkcja),- iloczyn logiczny (iloczyn boolowski, koniunkcja),

- negacja (inwersja).

I

T

P

W

Dwie pierwsze operacje są wieloargumentowe, a trzecia jest

jednoargumentowa.Tadeusz

ŁubaW

ZPT

jednoargumentowa.Łuba

ZCB

Operacja sumy logicznej (OR)…

…jest zdefiniowana następująco: jeżeli co najmniej jeden z

argumentów jest równy 1, to wynik jest równy 1, zatem sumaargumentów jest równy 1, to wynik jest równy 1, zatem suma

logiczna jest równa 0 tylko dla przypadku, gdy wszystkie argumenty

są równe 0.

0 + 0 = 0 Bramka OR 0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1c = a + b

a

b1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

c = a + bb

I

T

P

W

1 + 1 = 1

gdzie + oznacza operację ORTadeusz

ŁubaW

ZPT

Łuba

ZCB

Operacja iloczynu logicznego (AND)…

…jest zdefiniowana następująco: wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i

tylko wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują wartość 1.tylko wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują wartość 1.

Bramka AND0 • 0 = 0

0 1 = 0a

bc = a • b

0 • 1 = 0

1 • 0 = 0 b1 • 0 = 0

1 • 1 = 1

I

T

P

W

gdzie • oznacza operację ANDTadeusz

ŁubaW

ZPT

Łuba

ZCB

Operacja negacji (NOT)…

…zmienia wartość argumentu na przeciwny. Negacją 0 jest 1,…zmienia wartość argumentu na przeciwny. Negacją 0 jest 1,

a negacją 1 jest 0, co zapisujemy…

Bramka NOT

01 =x x

10

01

=

=

Operacja NOT zmiennej X, jest oznaczana

10 =

I

T

P

W

Operacja NOT zmiennej X, jest oznaczana X

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

Łuba

ZCB

Prawa i własności algebry Boole’a

Własności stałychWłasności stałychWłasności stałychWłasności stałycha + 0 = a a •••• 0 = 0a + 0 = a a •••• 0 = 0

a + 1 = 1 a •••• 1 = a

Własności negacjiWłasności negacjiWłasności negacjiWłasności negacji1111 aaaa aaaa =+ 0000 aaaaaaaa =•

Własności negacjiWłasności negacjiWłasności negacjiWłasności negacji

aa =

Podwójna negacja

IdempotentnoIdempotentnoIdempotentnoIdempotentnośćśćśćść

aa =

I

T

P

W

IdempotentnoIdempotentnoIdempotentnoIdempotentnośćśćśćśća + a = a a •••• a = a

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

7

Łuba

ZCB

Prawa i własności algebry Boole’a c.d.

Przemienność•••• ••••

Przemiennośća + b = b + a a •••• b = b •••• a

Łącznośća + (b + c) = (a + b) + c a••••(b••••c) = (a••••b)••••ca + (b + c) = (a + b) + c a••••(b••••c) = (a••••b)••••c

Rozdzielnośća + b••••c = (a + b)••••(a + c) a•••• (b + c) = a••••b +a••••c

Prawa De Morgana

a + b••••c = (a + b)••••(a + c) a•••• (b + c) = a••••b +a••••c

babay +=•= babay •=+=

Prawa De Morgana

I

T

P

W

babay +=•= babay •=+=

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

8

Łuba

ZCB

Wyrażenie boolowskie

Wyrażenie boolowskie to formuła, w której zmienne

boolowskie połączone są operatorami: + (OR), boolowskie połączone są operatorami: + (OR),

• (AND), (NOT) X

Przykład:

a+b+c•d+e a+b+cd+e

a+b(d+e)

a+b+cd+e

Kropkę często pomijamy

Kolejność operacji:

1. NOT

I

T

P

W

1. NOT

2. AND

3. ORTadeusz

ŁubaW

ZPT

9

3. OR(Może być zmieniona przez stosowanie nawiasów).

Łuba

ZCB

Układy logiczne

Układy logiczne to dział techniki cyfrowej, w której układy cyfroweUkłady logiczne to dział techniki cyfrowej, w której układy cyfrowe

konstruowane są na poziomie bramek logicznych i przerzutników.

kombinacyjne sekwencyjne kombinacyjne sekwencyjne

I

T

P

W

ClkFF

D

Q

Q

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

10

Łuba

ZCB

Iloczyn kartezjański

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B , oznaczanym A × B

nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (a, b), takich że

∈pierwszy element pary należy do zbioru A (a ∈ A), natomiast drugi

do B (b ∈ B).

( ){ }BbAabaBA ∈∈=× ,:,

000

Przykładzik

000

001

011

{0, 1}3

011

010

110I

T

P

W

110

111

101Tadeusz

ŁubaW

ZPT

11

101

100

Łuba

ZCB

Funkcja boolowska

Funkcją boolowską zmiennych binarnych x1,... ,xn nazywamy Funkcją boolowską zmiennych binarnych x1,... ,xn nazywamy

odwzorowanie:

f: X → Y

gdzie:gdzie:

X ⊆ Bn = {0,1} × {0,1} ×...× {0,1}, Y ⊆ Bm

n-razyn-razy

Jeżeli X = B n, to funkcję nazywamy zupełną; w przeciwnym przypadku

jest to funkcja niezupełna, zwana również funkcją nie w pełnijest to funkcja niezupełna, zwana również funkcją nie w pełni

określoną.

Reprezentacje:

I

T

P

W

Tablica prawdy

Formuła (wyrażenie) boolowskie

Reprezentacje:

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

12

Formuła (wyrażenie) boolowskie

... i wiele innych sposobów opisu (np. BDD)

Łuba

ZCB

Tablica prawdy

tablicowe przedstawienie odwzorowania f

x x x f

f(x1, x2, x3)f: B3 →B

fx3x2x1 x1 x2 x3 f

0 0 0 0 011001

00000

fx3x2x1

1 0 0 1 1

3 0 1 1 111103

0102

11001

0─

4 1 0 0 0

5 1 0 1 111015

00014

11103

I

T

P

W

5 1 0 1 1

7 1 1 1 111117

0116 1─

−1nTadeusz

ŁubaW

ZPT

13

Funkcja niezupełna ( ) ∑−

=

==1n

0j

j

jNKBD 2aALAŁuba

ZCB

Tablica prawdy...

( ) ∑−1n

( ) ∑−

=

==1n

0j

j

jNKBD 2aALA =

= an-1 ⋅ 2n-1 +....+ a2 ⋅ 22 + a1 ⋅ 21 + a0⋅20

(0101)B = 0⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 0⋅ 21 + 1⋅20 = 5D(0101)B = 0⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0⋅ 2 + 1⋅2 = 5D

(1010)B = 1⋅ 23 + 0 ⋅ 22 + 1⋅ 21 + 0⋅20 = 10DI

T

P

W

(1010)B = 1⋅ 23 + 0 ⋅ 22 + 1⋅ 21 + 0⋅20 = 10D

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

14

Łuba

ZCB

Uproszczony zapis tablicy prawdy

x1 x2 x3 f

0 0 0 0 0

x1 x2 x3 f

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 ─

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0 2 0 1 0 ─

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0 4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 ─

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1 6 1 1 0 ─

7 1 1 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

I

T

P

W

f = Σ[1, 3, 5, 7, (2, 6)]f = Σ(1, 3, 5, 6, 7)Tadeusz

ŁubaW

ZPT

15

Łuba

ZCB

Wyrażenie boolowskie

Znacznie wygodniejsza w praktyce Znacznie wygodniejsza w praktyce Znacznie wygodniejsza w praktyce Znacznie wygodniejsza w praktyce Znacznie wygodniejsza w praktyce Znacznie wygodniejsza w praktyce Znacznie wygodniejsza w praktyce Znacznie wygodniejsza w praktyce jest reprezentacja funkcji jest reprezentacja funkcji jest reprezentacja funkcji jest reprezentacja funkcji jest reprezentacja funkcji jest reprezentacja funkcji jest reprezentacja funkcji jest reprezentacja funkcji boolowskich w postaci wyrażenia boolowskich w postaci wyrażenia boolowskich w postaci wyrażenia boolowskich w postaci wyrażenia boolowskiego.boolowskiego.boolowskiego.boolowskiego.boolowskiego.boolowskiego.boolowskiego.boolowskiego.

I

T

P

WTadeusz

ŁubaW

ZPT

16

Łuba

ZCB

Wyrażenie boolowskie - przykład

x1 x2 x3 f

0 0 0 0 0 321321321321321 xxxxxxxxxxxxxxxf ++++=0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

321321321321321 xxxxxxxxxxxxxxxf ++++=

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 17 1 1 1 1

321 xxx 321321 xxxxxx ++321 xxx+

321 xxx+f =I

T

P

W

321 xxx 321321 xxxxxx ++321 xxx+

321 xxx+f =

Ogromne znaczenie formuł boolowskich ...Tadeusz

ŁubaW

ZPT

17

Ogromne znaczenie formuł boolowskich ...Łuba

ZCB

Operatory logiczne

mają swoje realizacje techniczne - bramki logicznex

1

AND

1

2

x3

x1

x2

OR

2

3f

NOT4

55

Realizacja funkcji f

I

T

P

W

321321321321321 xxxxxxxxxxxxxxxf ++++=1 2 3 4 5Tadeusz

ŁubaW

ZPT

18

Łuba

ZCB

Komentarz

Zatem upraszczając wyrażenia boolowskie będziemy mogli Zatem upraszczając wyrażenia boolowskie będziemy mogli Zatem upraszczając wyrażenia boolowskie będziemy mogli Zatem upraszczając wyrażenia boolowskie będziemy mogli jednocześnie uprościć ich realizację,jednocześnie uprościć ich realizację,jednocześnie uprościć ich realizację,jednocześnie uprościć ich realizację,np.np.np.np. zmniejszyć liczbę zmniejszyć liczbę zmniejszyć liczbę zmniejszyć liczbę zastosowanychzastosowanychzastosowanychzastosowanych bramek co decyduje o bramek co decyduje o bramek co decyduje o bramek co decyduje o kosztach realizacjikosztach realizacjikosztach realizacjikosztach realizacji i i i i jednocześnie uprościć ich realizację,jednocześnie uprościć ich realizację,jednocześnie uprościć ich realizację,jednocześnie uprościć ich realizację,np.np.np.np. zmniejszyć liczbę zmniejszyć liczbę zmniejszyć liczbę zmniejszyć liczbę zastosowanychzastosowanychzastosowanychzastosowanych bramek co decyduje o bramek co decyduje o bramek co decyduje o bramek co decyduje o kosztach realizacjikosztach realizacjikosztach realizacjikosztach realizacji i i i i tym samym jest głównym czynnikiem zwiększającym tym samym jest głównym czynnikiem zwiększającym tym samym jest głównym czynnikiem zwiększającym tym samym jest głównym czynnikiem zwiększającym konkurencyjność naszego produktu na rynkukonkurencyjność naszego produktu na rynkukonkurencyjność naszego produktu na rynkukonkurencyjność naszego produktu na rynku....konkurencyjność naszego produktu na rynkukonkurencyjność naszego produktu na rynkukonkurencyjność naszego produktu na rynkukonkurencyjność naszego produktu na rynku....

x

x1

x2

1

x3

f

2

3

x

x1

f3

4

fx

x2

3

I

T

P

W

5Podstawy teoretyczne upraszczania wyrażeń boolowskich zawarte są w algebrze Boole’a.Tadeusz

ŁubaW

ZPT

19

w algebrze Boole’a.Łuba

ZCB

Transformacja formuły

=++++= 321321321321321 xxxxxxxxxxxxxxxf

=+++++= xxxxxxxxxxxxxxxxxx

)( xxxx += )( xxxx ++ =++ )( xxxx

=+++++=321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxx

)( 2231 xxxx += )( 2231 xxxx ++ =++ )( 3321 xxxx

=1 =1 =1

x

=++= 213131 xxxxxx

f

x

x

x

1

2

3

213 xxx +=

I

T

P

W

Realizacja uproszczonej

funkcji fTadeusz

ŁubaW

ZPT

20

funkcji fŁuba

ZCB

Sens fizyczny…

x1 x2 x3 f

x3

x1

x2

10

1

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

0

13

f

3

5

1

0 2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 00

1

1

1

6

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

0 1

7

x

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

I

T

P

W

f

x

x

x

1

2

3

0

1

0

0

0

1

1

1Tadeusz

ŁubaW

ZPT

21

0 1Łuba

ZCB

Minimalizacja funkcji boolowskich…

321321321321321 xxxxxxxxxxxxxxxf ++++=213 xxxf +=

x1

321321321321321 xxxxxxxxxxxxxxxf ++++=213 xxxf +=

x3

1

x2

1

3

f5

f

x

x

x

1

2

36

7

x3

…jedno z najważniejszych I

T

P

W

…jedno z najważniejszych zagadnień w syntezie logicznej

Tadeusz

ŁubaW

ZPT

22

Łuba

ZCB